krivulja u ravnini

Dodatak - Primjeri krivulja u ravnini
1. Krivulje drugog reda
Kružnica
Parabola
Jednadžba:
2 2 2
x y a
y
2
2px
y ax
2
Parametarske jednadžbe:
2
x acos
t
x t
x
t
y asin
t
y 2p t
y at
2
Elipsa
Hiperbola
Jednadžba:
x
a
y
b
2 2
1
2 2
x
a
y
b
2 2
1
2 2
Parametarske jednadžbe:
x acos
t
x acht
y bsin
t
y bsht
(za desnu granu)
viii

2. Krivulje trećeg reda
Kubna parabola
Kubna parabola
Jednadžba:
y ax
3
y ax
1/3
Parametarske jednadžbe: x
t
x
t
3
y
3
at
y at
U ishodištu: točka infleksije točka infleksije
Semikubna parabola
Neilova parabola
Jednadžba:
Parametarske jednadžbe:
y ax
x
t
3/ 2
2
y at
3
y ax
x
t
2/3
3
y at
2
U ishodištu: šiljak (singularna točka) šiljak (singularna točka)
ix

"Versiera" Marije Agnesi
Descartesov list
3
a
Jednadžba:
y
2 2
a x
3at
Parametarske jednadžbe: x
3
1 t
Točke infleksije:
a 3a
,
3 4
3 3
x y 3axy
2
3at
y
3
1 t
U ishodištu: dvostruka (singularna) točka
Dioklova cisoida
Strofoida
Jednadžba:
Parametarske jednadžbe:
y
x 2
a x
2
3
2 x
a
x
y
a
x
2
2
at
a t 1
x
x
2
2
t 1
t 1
3
2
at
at t 1
y
y
2
2
t 1
t 1
U ishodištu: šiljak (singularna točka) dvostruka (singularna) točka.
x

3. Krivulje četvrtog reda
Nikomedova konhoida
2 2 2 2 2
x a x y l x 0
Implicitna jednadžba:
Parametarske jednadžbe: x a l cos
U ishodištu (singularne točke):
y atg l sin
izolirana točka ako je l a,
Polarna jednadžba:
a
l
cos
čvorna točka ako je l a,
šiljak ako je l a.
Pascalov puž (konhoida kružnice)
2
Implicitna jednadžba: x 2 y 2 ax l 2 x 2 y
2
0 . Polarna jednadžba: acos
l
Parametarske jednadžbe:
cos, y acos sin l sin
2
x a cos l
xi

Kardioida (poseban slučaj Pascalovog puža za a
l)
2
Implicitna jednadžba:
x 2 y 2 2ax x 2 y 2 a 2 y
2 0
Parametarske jednadžbe: xacos1 cos
yasin1
cos
Polarna jednadžba: a1
cos
Cassinijevi ovali
2
Implicitna jednadžba:
x 2 y 2 2c 2 x 2 y 2 a 4 c
4 0
Polarna jednadžba: 2 c 2 cos2 c 4 cos 2 2
a 4 c
4
.
xii

Lemniskata (poseban slučaj Cassinijevih ovala za a
c)
2
Implicitna jednadžba: x 2 y 2 a 2 x 2 y
2
2 0. Polarna jednadžba: a 2cos2
.
Navedimo još neke krivulje:
Cikloida
Astroida (hipocikloida)
Parametarske jednadžbe: x a t sin t
y a 1 cos t
3
x a cos t
3
y a sin t
Implicitna jednadžba:
2/3 2/3 2/3
x y a
Evolventa kružnice
Parametarske jednadžbe: x a cos
t t sin t
, y a sin
t t cos t
xiii

Arhimedova zavojnica (spirala)
Hiperbolna zavojnica
Polarna jednadžba:
a , ( 0 ).
a
, ( 0 ).
Logaritamska zavojnica (spirala)
Klotoida
Polarna jednadžba:
a
e .
Ruža sa tri latice
Ruža sa četiri latice
Polarna jednadžba:
asin3
, ( 0 ). asin 2
xiv