АЛЕХИН - ХПІ

⎛ ⎛ j
⎞ ⎞
( ) = ⎜ + ⎜ ( )( ) ⎟ ⎟
⎜ ⎜
∑ = n
X D X 0.5
1 signum x j − x jα
x j α − x jβ
,
α
⎟ ⎟
⎝ ⎝ j = 1
⎠ ⎠
⎛ ⎛ j
⎞ ⎞
( ) = ⎜ + ⎜ ( )( ) ⎟ ⎟
⎜ ⎜
∑ = n
X D X 0.5
1 signum x j − x j β x j β − x j α ,
β
⎟ ⎟
⎝ ⎝ j = 1
⎠ ⎠
X D ( X ) =1 − X D ( X ) ∨ X D ( X ).
αβ
α
β
D
, D ,
b
Звідси маємо: µ ( X , A) = µ ( X , A) ⋅X
( X )
b
, µ ( X B) = µ ( X , B) ⋅X
( X )
b
µ ( X ] A,
B[
) = µ ( X ,( AB)
) ⋅X
D ( X )
αβ
[ A, B]
можемо записати так:
b
b
b
µ ( X ,[ A,
B]
) µ ( X , A) + µ ( X , B) + µ ( X ,] A,
B[
)
або ж і так:
α
, . Отже, нормальну функцію відрізка
= ,
b
b
b
( X ,[ A,
B]
) µ ( X , A) ∨ µ ( X , B) µ ( X ,] A,
B[
)
µ = ∨
. (10)
Приклад 2. Знайдемо нормальну функцію для дуги ∪ ABC кола Ω в
3
просторі
O ; i,
j,
k задані
R . Отже, нехай в прямокутній системі координат ( )
три різні точки: A ( x1,
y1,
z1 ),
B( x2,
y2,
z2) , C( x3,
y3,
z3)
просторі
3
R довільним чином. Умовимось, що
, які розміщені в
A i C є кінцеві точки дуги
∪ ABC , і, звісно ж, що AB × AC ≠ 0 . Спочатку сформуємо в просторі
O і таку, щоб центр кола
Ω був її початком, а саме коло лежало б в одній із координатних площин цієї
системи. Очевидно, що це можливо. Розглядаємо загальний випадок: точка
O не є центром кола Ω і саме коло не лежить ні в одній із координатних
нову прямокутну координатну систему ( 1;
i1,
j1,
k1)
площин. Відшукаємо центр 1( x0,
y0,
z0)
O і радіус r кола Ω . Зрозуміло, що
центр O 1 є перетином трьох площин: двох площин, які проходять
A , B , A,
C і площини
перпендикулярно через середини відрізків (хорд) [ ] [ ]
( ABC ). Тобто центр 1( x0,
y0,
z0)
O є єдиний розв’язок лінійної системи:
β
3
R
⎧⎛ x1
+ x2
⎞
⎪⎜
x − ⎟
⎪⎝
2 ⎠
⎪⎛ x1
+ x3
⎞
⎨⎜
x − ⎟
⎪⎝
2 ⎠
⎪ y1
− y2
⎪
⎩ y1
− y3
⎛ y1+
y2
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ y1
+ y3
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
z1
− z2
x1
− x2
⎛ z1
+ z2
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ z1
+ z3
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
z1
− z2
x1
− x2
( x1
− x2) + y − ( y1
− y2) + z − ( z1
− z2)
( x1
− x3) + y − ( y1
− y3) + z − ( z1
− z3)
( x − x1) − ( y − y1) + ( z − z1)
z1
− z3
x1
− x3
z1
− z3
а радіус кола ( ) ( ) 2 ( ) 2
r
x1
− x3
= 0,
= 0,
y1
− y2
y1
− y3
= 0,
= x1 − x0
2 + y1
− y0
+ z1
− z 0 . Формуємо тепер
нову прямокутну систему координат ( 1;
i1,
j1,
k1)
O , де покладаємо:
O1A
AB×
AC
i 1 = , k 1 = , j1
= k1×
i1
.
O1A
AB×
AC
Звідси, після відповідних
спрощень, можемо записати:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
i1
⎟ ⎜
i
⎟
⎜ j1⎟
= E⎜
j ⎟ ,
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k1
k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(11)
де через E позначаємо матрицю переходу від базису ( i j,
k)
, до базису
3
( i 1,
j1,
k1)
. Нехай M ( x, y,
z)
є плинна точка простору R ( O;
i,
j,
k)
координати якої в координатній системі ( 1;
i1,
j1,
k1)
( u v,
w)
O позначаємо через
, . В силу формули (11) і рівності O1M
= OM − OO1
нові координати
точки M виражаються через старі за формулою
⎛ u ⎞ ⎛ x − x0
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ v ⎟ = E ⋅ ⎜ y − y0⎟
(12)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ w⎠
⎝ z − z0
⎠
Зауважуємо, що у випадку, коли коло Ω лежить в одній із координатних
площин системи ( O ; i,
j,
k)
, наприклад, в площині ( O i,
j)
; , то нові
координати точки M будуть виражатися через старі за формулами:
⎧u
= x − x0,
⎪
⎨v
= y − y0,
⎪
⎩w
= z − z0.
,
(13)