55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

ISSN 2078-9130ВІСНИКНАЦІОНАЛЬНОГО ТЕХНІЧНОГОУНІВЕРСИТЕТУ«ХПІ»55'2012Харків

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТІ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИНаціональний технічний університет«Харківський політехнічний інститут»ВІСНИКНАЦІОНАЛЬНОГО ТЕХНІЧНОГОУНІВЕРСИТЕТУ «ХПІ»Серія:Динаміка і міцність машин№ 55 (961) 2012Збірник наукових працьВидання засноване у 1961 р.ХарківНТУ «ХПІ», 2012

Вісник Національного технічного університету «ХПІ». Збірник науковихпраць. Серія: Динаміка і міцність машин. – Х. : НТУ «ХПІ». – 2012. – № 55(961). – 189 с.Державне виданняСвідоцтво Держкомітету з інформаційної політики УкраїниКВ № 5256 від 2 липня 2001 рокуЗбірник виходить українською та російською мовами.Вісник Національного технічного університету «ХПІ» внесено до «Переліку наукових фаховихвидань України, в яких можуть публікуватися результати дисертаційних робіт на здобуттянаукових ступенів доктора і кандидата наук», затвердженого Постановою президії ВАК Українивід 26 травня 2010 р., № 1 – 05/4 (Бюлетень ВАК України, № 6, 2010 р., с. 3, № 20).Координаційна рада:Голова: Л. Л. Товажнянський, д-р техн. наук, проф.;Секретар: К. О. Горбунов, канд. техн. наук, доц.;А.П.Марченко, д-р техн. наук, проф.; Є.І.Сокол, д-р техн. наук, чл.-кор. НАН України;Є. Є. Александров, д-р техн. наук, проф.; А. В. Бойко, д-р техн. наук, проф.;Ф. Ф. Гладкий, д-р техн. наук, проф.; М. Д. Годлевський, д-р техн. наук, проф.;А. І. Грабченко, д-р техн. наук, проф.; В. Г. Данько, д-р техн. наук, проф.;В. Д. Дмитриєнко, д-р техн. наук, проф.; І. Ф. Домнін, д-р техн. наук, проф.;В. В. Єпіфанов, канд. техн. наук, проф.; Ю. І. Зайцев, канд. техн. наук, проф.;П. О. Качанов, д-р техн. наук, проф.; В. Б. Клепіков, д-р техн. наук, проф.;С. І. Кондрашов, д-р техн. наук, проф.; В. М. Кошельник, д-р техн. наук, проф.;В. І. Кравченко, д-р техн. наук, проф.; Г. В. Лісачук, д-р техн. наук, проф.;О. К. Морачковський, д-р техн. наук, проф.; В. І. Ніколаєнко, канд. іст. наук, проф.;П. Г. Перерва, д-р екон. наук, проф.; В. А. Пуляєв, д-р техн. наук, проф.;М. І. Рищенко, д-р техн. наук, проф.; В. Б. Самородов, д-р техн. наук, проф.;Г. М. Сучков, д-р техн. наук, проф.; Ю. В. Тимофієв, д-р техн. наук, проф.;М. А. Ткачук, д-р техн. наук, проф.Редакційна колегія серії:Відповідальний редактор: О.К.Морачковський, д-р техн. наук, проф.Відповідальний секретар: А.Г.Андрєєв, канд. техн. наук, доц.К.В.Аврамов, д-р техн. наук, проф.; Є.Є.Александров, д-р техн. наук, проф.;Д.В.Бреславський, д-р техн. наук, проф.; Ю.С.Воробйов, д-р техн. наук, проф.;А.П.Зиньковський, д-р техн. наук, проф.; Л.В.Курпа, д-р техн. наук, проф.;Г.І.Львов, д-р техн. наук, проф.; Ю.В.Міхлін, д-р фіз.-мат. наук, проф.;М.А.Ткачук, д-р техн. наук, проф.; Ю.М.Шевченко, академік НАНУ, д-р техн. наук,проф.З номеру 42’2012 Вісник НТУ «ХПІ» має власну подвійну нумерацію: № 42 (948).Рекомендовано до друку Вченою радою НТУ «ХПІ».Протокол № 8 від 30 жовтня 2012 р.© Національний технічний університет «ХПІ», 2012

ный деятель науки Украинской ССР, Почетный доктор НТУ «ХПИ».С. И. Богомолов заведовал кафедрой динамики и прочности машин Харьковскогополитехнического института с 1960 по 1991 гг. Его основные научныеисследования посвящены проблемам колебаний лопаточного аппарата турбомашин.25 октября 1921 года исполнилось 90 лет со дня его рождения.Сергей Иванович Богомолов родился в городе Крюков на Днепре Кременчугскогорайона Полтавской области. Его отец Иван Филиппович Богомолов– рабочий Крюковского вагоностроительного завода в 1929 году былпослан на учебу в Киевский авиационный техникум, по окончании которогов 1932 году был направлен в ВВС Красной армии. Участвовал в ВеликойОтечественной войне, демобилизовался в 1945 году [1, л. 10].В 1932 году семья переезжает в Борисоглебск Воронежской области, гдеСергей Иванович в 1939 году окончил среднюю школу № 2. В том же году онпоступил в Сталинградский механический институт на Бронетанковый факультет.Однако учеба на нем продолжалась всего один месяц. С началом IIмировой войны студентов младших курсов стали призывать в армию. СергейИванович был призван в ряды Красной армии в октябре 1939 года и направленв Забайкальский военный округ. С началом Великой Отечественной войныон, как имеющий среднее образование, в августе – сентябре 1941 годапрошел подготовку на сборах и стал командиром взвода противотанковыхорудий. В августе 1943 года С. И. Богомолов был назначен командиром противотанковойбатареи. Находясь все годы войны в пустыне на территорииМонгольской народной республики, молодой лейтенант страстно стремилсяпопасть на фронт. Вместе с офицерами своей батареи они собрали деньги(свою неизрасходованную за годы войны зарплату) и сдали их в фонд оборонына постройку батареи противотанковых пушек, написав рапорты на имяВерховного Главнокомандующего И. В. Сталина с просьбой отправить ихвместе с этой батареей на фронт. У Сергея Ивановича сохранились два ответныхписьма Сталина, в которых он благодарил офицеров за этот вклад вдело Победы, объяснив при этом, что служить надо там, куда поставила Родина.В должности комбата С. И. Богомолов участвовал в боях с японскимимилитаристами в августе 1945 года, за что был награжден орденом КраснойЗвезды и медалью «За победу над Японией». После окончания боевых действийв сентябре 1945 года Сергей Иванович был назначен начальником штабадивизиона минометного полка [1, л. 10 обр.].В августе 1946 года С. И. Богомолов демобилизовался и 4 сентября былбез вступительных экзаменов зачислен в Харьковский механико-машиностроительныйинститут (ХММИ), так как был призван в армию со студенческойскамьи [1, л. 1]. Все экзамены Сергей Иванович сдавал только на «отлично»и в числе лучших студентов был удостоен Сталинской стипендии.Отличную учебу Богомолов сочетал с активной общественной работой. Ещев армии, в 1946 году политотделом 676-й артиллерийской бригады он был4 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

принят кандидатом в члены ВКП(б), а в апреле 1947 года партийной организациейХММИ был принят в партию. Позже студент Богомолов стал членомпартийного бюро факультета [1, л. 10 обр.]. Он также был председателемстуденческого научного общества (СНО) факультета и членом СНО института.Сам он трижды выступал с докладами на студенческих научнотехническихконференциях, за что был премирован и отмечен благодарностьюв приказе директора института [1, л. 11].С. И. Богомолов окончил ХПИ 1 в декабре 1951 года по специальностидинамика и прочность машин. Его дипломная работа на тему «Исследованиесистемы регулирования турбины ВР-25-1 методом нелинейной механики»была продиктована требованиями практики, а тема предложена Харьковскимтурбогенераторным заводом (ХТГЗ) им. С. М. Кирова. Как отмечалось в отзывена работу Сергея Ивановича, руководителя – доцента А. В. Дабагяна,анализ системы регулирования этой турбины производился на заводе методомлинеаризации системы уравнений, описывающих процесс регулирования[1, л. 20]. Однако развитие паротурбостроения, особенно турбин с высокимии сверхвысокими параметрами пара, турбин специального назначения потребовалосоздания более совершенных и надежных систем автоматическогорегулирования. Актуальным стал вопрос об учете нелинейностей в системеавтоматического регулирования и их влияния на динамическую устойчивостьпоследней.В своей работе дипломник Богомолов исследовал устойчивость нелинейнойсистемы автоматического регулирования, в частности провел поискавтоколебательных режимов в контуре регулирования противодавления. Делов том, что в системах регулирования противодавления предвключенныхтурбин часто встречались неполадки. Им также был сделан анализ переходныхпроцессов в системе регулирования при помощи электроинтегратора.При решении этого вопроса Богомолов пользовался методом определениякритериев устойчивости профессора А. И. Лурье, разработанным на базе теорииустойчивости движения А. М. Ляпунова.В рецензии руководителя отдела регулирования ЦОКБ при ХТГЗА. Фридмана на дипломную работу С. И. Богомолова кафедре ДПМ быловысказано пожелание – развивать данное направление исследований и далее[1, л. 14-18].В связи с достигнутыми успехами, С. И. Богомолов кафедрой ДПМ иУченым Советом института был рекомендован для дальнейшего обучения васпирантуре [1, л. 12, 13]. С 2 января 1952 года он работал ассистентом накафедре теоретической механики ХПИ, а 1 ноября зачислен в аспирантуру,оставаясь работать ассистентом кафедры теоретической механики по совместительству.После окончания аспирантуры и успешной защиты кандидатской1 В 1950 г. ХММИ вошел в состав воссозданного политехнического институтаISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 5

диссертации, с 1 ноября 1955 года он был принят ассистентом на кафедруДПМ. 16 апреля 1958 года С. И. Богомолов переведен на должность старшегопреподавателя [2, л. 25, 29, 32, 34].3 мая 1960 года, в связи с оставлением А. П. Филипповым должностизаведующего кафедрой динамики и прочности машин ХПИ, старший преподавательС. И. Богомолов был назначен временно исполняющим обязанностизаведующего [2, л. 37]. 15 января 1964 года ему присвоено ученое звание доцент[2, л. 10]. В 1969 году С. И. Богомолов в Ученом совете ХПИ защитилдокторскую диссертацию, и 10 апреля 1970 года ВАК СССР присвоила ученуюстепень доктора технических наук [2, л. 49], а 25 сентября 1970 года –ученое звание профессор [2, л. 11]. 1 декабря 1991 года Сергей Иванович перешелна должность профессора кафедры ДПМ и оставался на этой должностидо своей кончины 2 ноября 1999 года [2, л. 76, 87].Научные интересы С. И. Богомолова всегда были тесно связаны с проблемамидинамической прочности турбомашин, и, в частности, с проблемамиколебаний их дисков и лопаток. Появление авиационных газовых турбин икомпрессоров, а также переход в турбостроении к более высоким рабочимтемпературам, давлениям и окружным скоростям потребовал всестороннегоразвития теоретических и экспериментальных вибрационных явлений в дискахи лопатках турбомашин. Стремление создать конструкции возможноменьшей материалоемкости привело к созданию турбомашин с равнопрочнымиузлами и деталями. В результате частотные характеристики отдельныхконструктивных элементов оказались одного порядка. Это, в свою очередь,привело к сильной взаимосвязанности колебаний. В частности, одной из важныхи интересных проблем динамической прочности роторов турбомашинстала проблема совместных колебаний рабочих лопаток и дисков.Именно этой проблеме была посвящена кандидатская диссертацияС. И. Богомолова. В своей работе он рассмотрел изгибные колебания дискапостоянной толщины совместно с лопатками, центр кручения и центр тяжестипоперечного сечения которых совпадают [3]. Такое упрощение основывалосьна предположении о том, что несовпадение центра кручения и центратяжести поперечного сечения лопаток значительного влияния на частоту совместныхколебаний облопаченных дисков не оказывают.Существовавшие к тому времени приближенные методы, основанные навычислении кинетической и потенциальной энергии, дисков и лопаток былинедостаточно эффективны при исследовании колебаний дисков, снабженныхдлинными лопатками. К тому же, эти методы не позволяли более глубокопроанализировать суть исследуемых явлений. Поэтому С. И. Богомоловымдля исследования был предложен метод совместного решения дифференциальныхуравнений колебаний диска и лопаток, который был одним из наиболееточных методов, в особенности для нахождения высших частот. Он, вчастности, позволял исследовать некоторые явления, которые при использованииприближенных методов оставались незамеченными, например, коле-6 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

А. М. Журавлевой и О. К. Сливы был разработан единый подход к решениюзадач о колебаниях сложных механических систем, основанный на матричномметоде исследования колебаний, позволявшим наилучшим способомиспользовать ограниченные ресурсы ЭВМ того времени.Основная идея авторов заключалась в том, что при получении уравненийколебаний в рассматриваемой конструкции выделялись типовые элементы,связанные в единую систему. Так для турбомашин облопаченныйдиск рассматривается как совокупность простых конструктивных элементов:круглые пластины переменной толщины, естественные закрученные стержни,оболочки вращения или их части, участки вала и круговые кольца – кривыебрусья. После построения матричных уравнений указанных элементов, сучетом их расположения в конструкции и условий сопряжения, можно получитьматричное уравнение для всей модели. Решение уравнений проводилосьметодом начальных параметров в матричной форме. Собственные частотыопределялись методом проб.В работе О. К. Сливы, выполненной под руководством С. И. Богомолова,разработан общий метод построения дискретных моделей естественнозакрученных стержней и круглых пластин и на этой основе проведено исследованиеизгибно-крутильных колебаний, как отдельных лопаток, так и ихпакетов. Рассмотрены различные способы размещения замещающих массдискретных моделей [6].В кандидатской диссертации А. М. Журавлевой [7], у которой СергейИванович также был руководителем, разработан метод исследования совместныхколебаний конструктивных элементов ротора барабанно-дисковоготипа, представляющего собой систему тонких облопаченных дисков, связанныхв пакет конической или цилиндрической оболочкой вращения. Проблемавозникла в связи с тем, что жесткость оболочек соизмерима с жесткостьютонких и гибких дисков.Для исследования использовался матричный метод, при этом матричноеуравнение колебаний подкрепляющих оболочек получалось с помощью основныхдифференциальных уравнений изгиба оболочек в рамках теорииКирхгофа-Лява [7, с. 46–65]. Программа, реализованная на ЭЦВМ М-20, предусматривалавозможность исследования динамических характеристик дисков,у которых может варьироваться положение подкрепляющих оболочек, атакже характер граничных условий на внутреннем контуре диска и торцахподкрепляющих оболочек.Кроме того, в работе был разработан метод расчета совместных колебанийсистемы «упругие опоры-вал-диски-рабочие лопатки» и критическихскоростей многоопорных роторов на податливых упругих опорах с учетомупруго-инерционных свойств гибких прецессирующих облопаченных дисков.На основе этих методов были выполнены теоретические исследованиясовместных колебаний, возникающих в роторах авиационных газотурбинныхдвигателей [7, с. 173].8 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Позже С. И. Богомоловым и А. М. Журавлевой были написаны две монографии,посвященные колебаниям сложных механических систем, описывающихколебания в паровых и газовых турбинах [8; 9].Развитие вычислительной техники и внедрение более мощных ЭВМ позволилошироко применять метод конечных элементов. С его помощью ученыекафедры ДПМ рассматривали многие задачи, связанные с колебаниямине только лопаточного аппарата турбин, но и их корпусов, и трубопроводов.Под руководством С. И. Богомолова работали и защитили кандидатские диссертацииВ. Н. Грищенко, Б. С. Лукин, В. А. Жовдак, В. Л. Хавин,В. А. Дмитренко, С. К. Шелковый, С. П. Иглин, Е. П. Петров и др. Подробныйанализ исследований в области колебаний турбомашин, проведенных накафедре ДПМ, дан в очерке профессора В. А. Жовдака, опубликованном вмонографии [10, с. 195–217].Профессор Богомолов внес большой вклад в дело подготовки инженерови научных работников. В разные годы он читал оригинальные курсылекций «Устойчивость упругих систем», «Тепловые машины» и «Теория колебаний»[2, л. 69]. 31 год С. И. Богомолов руководил одой из ведущих кафедрХПИ. За это время было подготовлено около двух тысяч инженеров поспециальности «Динамика и прочность машин», которым присваивалась квалификацияинженер-механик-исследователь. Сотрудниками возглавляемыхим кафедры и проблемной лаборатории защищено 12 докторских и свыше130 кандидатских диссертаций [11, с. 109–110]. Сам Сергей Иванович являетсяавтором свыше 120 научных трудов, в том числе трех монографий.Профессор Богомолов всегда уделял большое внимание внедрению вычислительнойтехники, как в научные исследования, так и в учебный процесс.Именно по инициативе кафедры ДПМ и лично С. И. Богомолова в ХПИбыл создан вычислительный центр, основными пользователями которого былисотрудники и студенты Инженерно-физического факультета, и в первуюочередь кафедры ДПМ [2, л. 71].Труд С. И. Богомолова получил заслуженное признание. За цикл работ вобласти прочности энергетических машин и внедрение их в практику турбостроенияв 1984 г. он в числе других сотрудников Инженерно-физическогофакультета ХПИ и Института проблем машингостроения АН УССР удостоензвания Лауреата Государственной премии УССР [2, л. 2 обр.]. 4 ноября1985 г. С. И. Богомолову присвоено звание Заслуженного деятеля науки УкраинскойССР [2, л. 12], а 10 сентября 1993 г. – звание Почетный доктор НТУ«ХПИ». В 1997 г. за участие в разработках теоретических основ автоматизированногооптимального проектирования машин, конструкций и приборов,создание на этой базе образцов современной техники с внедрением в серийноепроизводство нового поколения турбокомпрессорных систем он сталЛауреатом Государственной премии Украины. Сергей Иванович удостоенряда правительственных наград. Кроме ордена Красной Звезды, полученногоза участие в боевых действиях, он награжден орденом Октябрьской револю-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 9

ции (1976 г.), орденом Отечественной войны I степени (1985 г.) и многимимедалями [2, л. 2 обр.].Поражает и восхищает административное чутье Сергея Ивановича, с необычайнойточностью он определял научное направление работы школы динамикии прочности. С конца 1970-х годов кафедра динамики и прочностимашин во главе с Сергеем Ивановичем начинает тесное сотрудничество сСумским машиностроительным предприятием. Это время, когда правительствоСССР приняло решение о строительстве шести крупнейших газопроводоввысокого давления для транспортировки природного газа с Крайнего Северав европейскую часть государства и далее в северные страны. Компрессорныестанции северных районов этих газопроводов первоначально предполагалосьукомплектовать газоперекачивающими агрегатами западноевропейскихпроизводителей. Однако американское правительство объявило о введениисанкций на поставку в СССР оборудования для нефтяной и газовой промышленности.А после ввода в Афганистан в 1979—1980 гг. «ограниченногоконтингента советских войск», подтвердили серьезность намерений блокироватьпоставки в СССР высоких технологий. Президент США Рональд Рейган,приступивший к исполнению обязанностей в 1981 году, наложил эмбарго напоставку этой продукции. В связи с этим в Советском Союзе принимаетсярешение оснастить газопровод своими агрегатами. Единственно возможнымиисполнителями этой нелегкой задачи признали сумских машиностроителей,которые в свою очередь обратились к ХПИ с целью ускорения научноисследовательскогоподтверждения новых конструкторских разработок газоперекачивающихагрегатов.Начало 80-х для кафедры было связано с НПО «Молния» большим длительнымпроектом по созданию многоразовой космической системы – орбитальногокорабля «Буран».Сергей Иванович Богомолов обладал поистине энциклопедическимизнаниями. Его научные интересы не ограничивались областью техническихнаук, они затрагивали проблемы философии, естествознания, психологии,педагогики и морально-этические нормы. Суждения и идеи Богомолова базировалисьна огромнейшем многогранном жизненном опыте человека, впитавшегов себя устремленность и противоречивость XX столетия.С. И. Богомолов, благодаря своим неоспоримым лидерским качествам,не только творчески развил идеи основателей Инженерно-физического факультета(академиков А. Ф. Иоффе, И. В. Обреимова, К. Д. Синельникова,А. К. Вальтера) – «взращивание» инженеров нового типа, но и воплотил вжизнь на родном факультете новые программы подготовки специалистов,сочетающие в себе университетскую физико-математическую подготовку,научный эксперимент и непосредственную тесную связь учитель – ученик.В своих трудах, посвященных вопросам образования и воспитания, Богомоловотмечал – Становление классической науки вселяло в людей оптимизм,потрясающие успехи науки манили прекрасным будущим. Но глобаль-10 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

ные результаты «деятельности» науки показывают – не такую науку мечталсоздать человек.Не может быть, чтобы самое великое совершенство жизни во вселенной– Человек разумный создал свое творение науку для уничтожения жизни исамого себя. Вряд ли Жизнь могла породить такого человека, ведь генетическилюди не расположены к самоубийству, и самыми сильными инстинктамиявляется – самосохранение и продолжение жизни. Тогда становится очевидным,что столько лет создаваемая людьми наука, призванная совершенствоватьи повышать качество жизни, не оправдывает возлагаемых на нее надежди, более того, ведет к отрицанию самой жизни. Следовательно, науку необходимоизменить, преобразовать науку, разрушающую жизнь, в науку, еетворящую.Всесторонне исследуя данную проблему, Сергей Иванович одним изпервых пришел к убеждению необходимости гуманизации образования вуниверситете, как единственному правильному пути сохранения жизни и человекана Земле: «Инженеры в глобальном смысле повинны в техногенномпути развития человечества, но они же и лучше других знают, как этот путьтрансформировать в гуманный, созидательный».С. И. Богомолов сформулировал общие подходы необходимости фундаментальныхперемен в образовании и воспитании, необходимости разработкиновой гуманистической парадигмы развития высшего техническогообразования, которое бы адекватно отображало сложные реалии бытия и деятельностисовременного человека, специалиста в отрасли инженерии [12,13].Потребность трансформации традиционной системы образования, системыформирования узкого специалиста в конкретной технической области, доформирования Человека творческого с ярко выраженной личностью, всестороннеразвитой и состоятельной к межкультурной коммуникации, к образованиюкак приоритетному фактору общественного прогресса [14]. Это единственныйвыход, для того чтобы не просто выжить, но и сравняться с передовымистранами, работать на упреждение: разрабатывать такую продукцию,открывать такие технологии, которые еще не освоены. В этом заключаетсясуть новой парадигмы высшего технического образования.Профессор Богомолов был влюблен в науку, кафедру, своих сотрудников,являлся образцом принципиального и внимательного воспитателя молодежи.Сергей Иванович пользовался заслуженным авторитетом коллектива всего института,студентов и выпускников инженерно-физического факультета, специалистовв области динамики машин. Выпускники многих поколений студентовнавсегда сохранили память об этом замечательном педагоге и ученом.Список литературы: 1. Архив НТУ «ХПИ», д. 1235. – Отдел кадров ХПИ. – Личное дело. –Богомолов Сергей Иванович. – Начато 26.09.1946 г. – Окончено 05.06.1952 г. – 25 л. 2. АрхивНТУ «ХПИ», д. 143667. – Отдел кадров ХПИ. – Личное дело. – Богомолов Сергей Иванович. –Начато 02.01.1952 г. – Окончено 02.09.1999 г. – 87 л. 3. Богомолов С. И. Изгибные колебаниядисков совместно с лопатками / Сергей Иванович Богомолов. – Автореф. дис. … канд. техн. на-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 11

ук.– Х.: 1955. – 12 с. 4. Богомолов С. И. Колебания дисков турбомашин дис. … докт. техн. наук /Сергей Иванович Богомолов. – Х.: 1969. – 448 с. 5. Богомолов С. И. Влияние центробежных сили неравномерного нагрева на изгибные колебания круглых пластин / С. И. Богомолов // Динамикаи прочность машин. – Вып. 10. – 1969. – С. 3-10. 6. Слива О. К. Метод сосредоточенных параметрови его применение в исследовании колебаний рабочих лопаток турбомашин / Олег КирилловичСлива // Автореф. дис. … канд. техн. наук.– Х.: 1967. – 21 с. 7. Журавлева А. М. Исследованиесовместных колебаний конструктивных элементов роторов турбомашин: дис. … канд. техн.наук / Алевтина Матвеевна Журавлева. – Х.: 1967. – 187 с. 8. Богомолов С. И. Взаимосвязанныеколебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях / С. И. Богомолов, А. М. Журавлева. - Х.:Вища школа, 1973. – 179 с. 9. Богомолов С. И. Колебания сложных механических систем /С. И. Богомолов, А. М. Журавлева // Х.: Вища школа, 1978. – 136 с. 10. Морачковский О. К. Инфиз:очерки истории творчества / О. К. Морачковский. – Х.: Энерго Клуб Украины, 2005. – 372 с.11. Выдающиеся педагоги высшей школы г. Харькова. Биографический словарь. – Х.: Глобус,1998. - 736 с. 12. Богомолов С. И. Инженер XXI века – самая гуманная специальность на Земле(проблемы гуманизации инженерного образования) / С. И. Богомолов , Л. С. Даниленко // ПолитехникНТУ «ХПИ». – Х.: 1995. – № 12. – 12 с. 13. Костенко Ю. Алгебра и гармония в техническомвузе / Ю. Костенко, С. Богомолов, Л. Даниленко // Человек. – 1996. – № 4. 14. Гуманізація –стратегічний напрямок розвитку інженерної освіти XXI сторіччя / Л. Товажнянський, А. Мамалуй// Политехник НТУ «ХПИ». – №18-19 от 05.10.2009.Поступила в редколлегию 06.06.2012УДК 539.374В.Г.БАБАДЖАНОВА, Сумгаитский государственный университет,АзербайджанВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИУ статті досліджуються осесиметричні коливання в'язкопружної циліндричної оболонки за допомогоюінтегрального перетворення Лапласа для довільних спадкових функцій.Ключові слова: інтегральне перетворення Лапласа, осесиметричні коливання.В статье исследуется осесимметричные колебания вязкоупругой цилиндрической оболочки спомощью интегрального преобразования Лапласа для произвольных наследственных функций.Ключевые слова: интегральное преобразование Лапласа, осесимметричные колебания.This article examines variations axisymmetric viscoelastic cylindrical shell using the integral Laplacetransform for arbitrary functions of hereditary.Keywords: integral Laplace transform, axisymmetric vibrations.Введение. Среди динамический задач вязкоупругости следует выделитьзадачу о колебании вязкоупругих систем, решения которых сводятся к интег-© В.Г.Бабаджанова, 201212 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

ро-дифференциальному уравнению Вольтера II рода. Решение этого уравнениятребует задания аналитического вида ядра, либо решается различнымиприближенными методами.Основная часть. Известно, что зависимость между перемещением идеформацией в общем виде определяется следующим образом:duwcosϕ+ u sinϕε1= ; ε 2 =;dξR0(1)2d wsinϕdwℵ1= − ; ℵ2= − ,2dξR0dξгде ε 1 и ε 2 – деформации, ℵ 1 и ℵ 2 – кривизны срединной поверхности, u и w– продольное нормальное перемещение точек срединной поверхности, φ –угол между касательной к образующей и осью оболочки, R 0 (ξ) – радиус срединнойповерхности оболочки, ξ – координата, отчитываемая вдоль образующей.Моменты и усилия определяются в виде:33h G ⎛ 1 ⎞ h G ⎛ 1 ⎞M1= ⎜ℵ1+ ℵ2⎟;M 2 = ⎜ ℵ1+ℵ2⎟;6( 1−ν) ⎝ 2 ⎠ 6( 1−ν) ⎝ 2 ⎠(2)2hG⎛ 1 ⎞2hG⎛ 1 ⎞N1= ⎜ε1+ ε 2 ⎟ ; N 2 = ⎜ ε1+ ε 2 ⎟ ,1−ν⎝ 2 ⎠1−ν⎝ 2 ⎠где h – толщина оболочки, ν = const – коэффициент Пуассона, G – модульсдвига.Ясно что сумма виртуальных работ напряжений δA σ , моментов δA M , поверхностныхи инерционных сил δA p и δA u равна нулю:δAσ + δAM+ δAP+ δAu= 0 . (3)ЗдесьA = − N δε + N δε dS;δA= − M δℵ+ M δℵdS;δ σ∫ ( 1 1 2 2 ) M ∫ ( 1 1 2 2 )S⎛2 2⎞() ;⎜∂ u ∂ wδA⎟P = −Φ t ∫δwdSδAu= −hρ∫δu+ δwdS.2 2SS ⎝ ∂t∂t⎠Здесь интегрирование ведется по недеформированной срединной поверхностиоболочки.Решение в перемещениях ищутся в виде:n( , t) = ∑Tk( t) uk( ξ );w( ξ,t) = ∑Tk( t) wk( ξ ).k = 1ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 13Su ξ (4)Здесь u k (ξ) и w k (ξ) – собственные функции колебаний упругой оболочки,и удовлетворяют краевым условиям задачи и считаются известными. T k (t) –искомые функции, зависящие только от t.Учитывая (1) и (4) для вариации перемещений и деформации получаемnk = 1

следующие формулы:Учитывая (4) в (1) и (2), определяем формулы, выражающие кривизны,усилия и моментов через T k (t), u k (ξ) и w k (ξ). Представляя эти выражения в (3)с учетом ортогональности собственных функции и оператора Вольтера, получаеминтегро-дифференциального уравнения:⎛t⎞2Tk ′ () t − w ⎜k Tk() t − ε R( t − ) Tk( ) d ⎟ = fk() t⎜ ∫ τ τ τ . (5)⎟⎝ 0⎠Здесь2 QkΦk2 2ω k = ; fk() t = q() t ; Φk= ∫ wk( ξ ) dS;Dk= ρh( ( ) ( ))D D∫ ukξ + wkξ dS ;kQk2G0h=1−ν∫Sk⎡⎛ du⎢ k⎢⎜⎣⎝ dξS2( ξ ) ⎞ 2νw ( ξ ) du ( ξ ) ⎛ w ( ξ )⎟⎠( ξ )+2R14 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)k0kdξ+ ⎜⎝kSR02⎞ ⎤⎟ ⎥dS +⎠ ⎥⎦3 2G0h⎛ ⎞⎜d wk+⎟ ; 0 = const.6( 1−) ∫dS Gν⎝ dξS ⎠Здесь предполагаем, что оператор Вольтера определяется в следующемвиде⎛t~⎞G( z) = G ⎜ ( ) − ( − ) ( ) ⎟0 z t ε⎜ ∫ R t τ z τ dτ.⎟⎝ 0⎠Начальные условия принимаем в виде:T ( 0) = T0 ; T′( 0) = T0′.(6)Значит, поставленная задача математически сводится к решению интегро-дифференциальногоуравнения (5) при условии (6).Применяя преобразование Лапласа по времени t к уравнению (5) с учетом(6) и опуская индексы для простоты записей получаем:pT0+ T0′f( )( p)T p = +. (7)2 2 22 2 2p + ω − εω R( p)p + ω − εω R( p)Здесь первый член правой части характеризует свободные колебанияоболочки. При вынужденных колебаниях добавляется второй член как этовыполнено в работе [1].⎛2( ) ⎞При ⎜εω R p⎟ < 1 формулу (7) представим в следующем виде:2 2⎝ p + ω ⎠гдеT( p)( p)( p)( p)( p)( p)2pT0 + T0′⎡ b b ⎤22 4f= ⎢1+ εω + ε ω + 2 ⎥ +, (8)2 2 2a( p)⎢⎣a a ⎥⎦p + ω − εω R( p)

a( p)22⎛ 1 ⎞ 2⎛ 1 ⎞p ε= ⎜ + R S + ⎜1−2 2p ε ω ω εRc⎟ ; b ( p) = R( p) + RS+ RC+ ( RS+ RC)⎝2RS⎟⎠=∞∫0R⎝2⎠() τ sinωτdτ; RC= ∫ R()τISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 15∞0ωcosωτdτ.В уравнении (8) оригинал первого члена имеет вид:⎛ 1 ⎞T1() t = exp⎜− εRSωt ⎟ ×⎝ 2 ⎠(9)⎡ ⎛ 1 ⎞ T0′− 0,5εR⎛ 1 ⎞ ⎤× ⎢ 0 cos ⎜1−StωT ω εRC⎟t+sinω⎜1− εRC⎟t⎥.⎣ ⎝ 2 ⎠ ω ( 1−0,5εRC ) ⎝ 2 ⎠ ⎦Это известное решение, полученное методом усреднения [19] для свободныхколебаний вязкоупругих систем.Для нахождения второго приближения представим его в виде:2 −1⎡b() ()( p)( ) ⎥ ⎤T2 t = εω T1t ⋅ L ⎢ .⎣ap ⎦Здесь звездочка обозначает свертку функцийft() t ⋅ g() t = ∫ f ( t − ) g( τ )0τ dτ.L −1 – оператор обратного преобразования Лапласа. Для вычисления оригиналаотношение представим его в виде:b ( p)a p( p)( p)( )R( p)RSp + d+a( p) ω a( p)2 2( R + R )bRCεω=; d = ω + S C .aRS4RSОтсюда находим:−1⎛b ( p)⎞ ⎛ ε ⎞ sin ω()( 1−0,5εR)1⎜ ⎟⎛ ⎞= ⋅ exp⎜−C t R +SLexp( )R t RSωt⎟⎜ − εRSωt⎟×⎝ a p ⎠ ⎝ 2 ⎠ ω ( 1−0,5εRC) ω ⎝ 2 ⎠⎡ ⎛ 1 ⎞ d − 0,5εR⎛ 1 ⎞ ⎤× ⎢cos⎜1−Sωω εRC⎟t+sin ω ⎜1− εRC⎟t⎥.⎣ ⎝ 2 ⎠ ω ( 1−0,5εRC) ⎝ 2 ⎠ ⎦Отсюда видно, что нахождение оригиналов следующих приближенийряда (8) не представляет труда.Как мы показали, к решению свободных колебаний вязкоупругих системпри вынужденных колебаниях добавляется еще следующее выражение22f( p)2( p) .p + ω − εω RОригинал этого выражения определяется в виде свертки функций. Сна-4;

m+ 1 tε ω+( ) ( ) .1 0,5∫ gmt −τψ τ dτ(11)− εRC0Свертывая функцию f(t) с выражением (11), находим оригинал второгослагаемого уравнения (7) в виде:p22f( p)2+ ω − εω R( p)• t1= ∫ sinω• ω0( t −τ) f ( τ ) dτ+ ε∫g1( t −τ) f ( τ )t0dτ+tm+1 t⎛ τε ω⎞+ +ε∫g ( ) ( ) ( ) ⎜ ( ) ( ) ⎟m t −τf τ dτ+.1 0,5∫ f t −τ⎜∫gmt − S ψ S dS dτ− εR⎟0C 0 ⎝ 0⎠Вывод. Таким образом, решение задачи вынужденных осесимметричныхколебаний вязкоупругой оболочки получается суммированием последнеговыражения с выражением (9), определяющее свободное колебание оболочки.Список литературы: 1. Ильясов М.Х., Курбанов Н.Т. К решению интегро-дифференциальногоуравнения динамических задач линейной вязкоупругости // ДАН. Азерб.ССР. – 1984. – № 5. 2.Ильюшин А.А., Ларионов Г.С., Филатов А.Н. К усреднению в системах интегродифференциальногоуравнения // ДАН. СССР. – 1969. – Т. 188, № 1. 3. Ларионов Г.С. Исследованиеколебаний вязкоупругих систем методом усреднения // Механика полимеров. – 1969. – № 5.4. Мирсаидов М., Трояновский И.Е. Вынужденные осесимметричные колебания вязкоупругойцилиндрической оболочки // Механика полимеров. – 1975. – № 6.Поступила в редколлегию 20.06.2012УДК 531.8.534.143:621.318.3А. Е. БОЖКО, д-р техн. наук, профессор, член-корр. НАН Украины,ИПМаш НАН Украины;Е. М. ИВАНОВ, канд. техн. наук, доцент, ХНАДУ «ХАДИ»З. А. ИВАНОВА, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., ИПМаш НАН УкраиныЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ПОРШНЕВОЙ ДВИГАТЕЛЬУ роботі представлені особливості функціонування електромагнітного поршневого двигуна, щомістить поршні зі стоками, з’єднані за допомогою загального колінчатого вала з маховиком,розміщені в циліндрах, оснащених установленими в мертвих точках соленоїдами.Ключові слова: поршень, циліндр, соленоїд, колінчастий вал, батарея конденсаторів, системауправління.© А. Е. Божко, Е. М. Иванов, З. А. Иванова, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 17

В работе представлены особенности функционирования электромагнитного поршневого двигателя,содержащего поршни со стоками, соединенные с помощью общего коленчатого вала смаховиком, размещенные в цилиндрах, оснащенных установленными в мертвых точках соленоидамиКлючевые слова: поршень, цилиндр, соленоид, коленчатый вал, батарея конденсаторов,система управления.In-process the presented features of functioning of electromagnetic reciprocator, that contains the pistonswith flows, united by means of general knee axle with a fly-wheel, are accommodated in the cylindersequipped by the solenoids set in dead centers.Key words: piston, cylinder, solenoid, crankshaft, the battery of capacitors, the system of management.Представлены особенности функционирования электромагнитногопоршневого двигателя, выполненного по принципу соленоида. В двигателеимеются шатуны и коленчатый вал, вращающийся в подшипниках скольжения[1].При разработке двигателя была поставлена задача переоснащения электрическойсистемы двигателя конструктивными элементами, которые моглибы работать на низкотоковых нагрузках, а двухсторонний ход поршневогомеханизма был бы реализован с помощью однотипных электромагнитныхэлементов, что исключает повышение энергозатрат, уменьшение разномоментныхтяговых усилий в нижней и верхней мертвых точках с нарушениемплавного вращения коленчатого вала и разбалансирование хода поршней, засчет чего достигается снижение энергопотребления на единицу мощностидвигателя, улучшение равномерности хода поршня и повышение частотывращения коленчатого вала.Поставленная задача достигается тем, что в данном электромагнитномпоршневом двигателе, который имеет поршни, соединенные один с одним спомощью общего коленчатого вала с маховиком и размещенные в цилиндрах,оснащенных установленными в нижней мертвой точки соленоидами, а уверхней мертвой точки тяговыми элементами, связанными с последовательносоединенными коммутатором, автоматической системой управления, высоковольтнымтрансформатором, выпрямителем, конденсаторной батареей,генератором переменного тока (мультивибратором Ройера [2]). В верхнихмертвых точках цилиндров установлены другие соленоида, а поршни в верхнейчасти жестко связаны со штоками, установленными с возможностью высовыванияиз цилиндров выполнены из ферромагнитного материала, приэтом верхние обмотки соленоидов каждого из непарных поршней и нижниеобмотки соленоидом каждого из парных поршней через коммутатор связаныс разноименными полюсами конденсаторной батареи. В электромагнитномпоршневом двигателе в каждую пару поршень-цилиндр с установленными вмертвой точке соленоидами вводится дополнительный соленоид, установленныйв верхней мертвой точке, что позволяет уменьшить энергопотреблениена единицу мощности электродвигателя, уравновесив суммарные момен-18 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

ты количества движения с идентичными тяговыми усилиями, что приводитдо равномерного хода поршня и частоты вращения коленчатого вала, упрощаяконструктивное исполнения изделия в целом.Поршни цилиндров (с шатунами) в нижней части со стороны, прилегающейк коленчатому валу, жестко связаны с штоками, что уравновешиваетсиловой момент и которые установлены с возможностью выхода из цилиндрана длину хода поршня. Эти штоки, как было отмечено, выполнены из ферромагнитногоматериала с целью увеличения магнитной проводимости в соленоиде,снижение энергопотребления двигателя и увеличения равномерногохода поршня.Верхние обмотки соленоидов каждого из непарных поршней и нижниеобмотки соленоидов каждого из парных поршней через коммутатор связаныс разноименными полюсами конденсаторной батареи, что позволяет выравниватьмоменты на противоположных направлениях движения поршней исуммировать тяговые усилия моментов движения с целью увеличения мощностидвигателя. Для дальнейшего увеличения мощности двигателя можноразместить несколько пар параллельно соединенных цилиндров с поршнями,связанных через кривошипно-шатунные механизмы с коленчатым валом.Схема электромагнитного поршневого двигателяСтруктурно-механическая схема данного двигателя представлена на рисун-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 19

ке. Здесь изображена схема двигателя с двумя парами поршней и цилиндров ссоленоидами. Элементы, входящие в общую схему двигателя, следующие: 1, 2 –цилиндры с установленными в нижней мертвой точке первыми соленоидами (3,4) и верхней мертвой точке другими соленоидами (5, 6). В цилиндрах 1, 2 установленыпоршни 7, 8 со штоками 9, 10 и шатунами 11, 12 из ферромагнитногоматериала, которые соединены с коленчатым валом 13, оснащенным маховиком14. Электромагнитный двигатель включает в свою схему генератор постоянноготока 15, выход которого соединен с аккумуляторной батареей 16. Генератор 15своим валом (ротором, якорем) механически соединен с коленчатым валом 13.Выход батарей 16 соединен с блоком питания автоматической системы управления17 и преобразователем постоянного тока в переменный – (мультивибратор странсформаторной связью) 18.Выход мультивибратора Ройера подключен через выпрямитель 19 к входуконденсаторной батареи 20, а выход системы управления 17 подключен квходу коммутатора 21. В схеме двигателя также имеется трансформатор 22(понижающий), первичной обмоткой подключаемый к источнику сетевогонапряжения, а вторичной обмоткой – к аккумуляторной батареи через выпрямитель23. Конденсаторная батарея включает в себя 2N высокочастотныхконденсаторов большой емкости, где N – число цилиндров.Работа двухцилиндрового двигателя следующая. Считаем, что аккумуляторнаябатарея 16 заряжена до необходимого напряжения U б . В моментпуска двигателя от батареи 16 поршень 7 находится в верхней мертвой точкецилиндра 1, а поршень 8 находится в нижней мертвой точке цилиндра 2. Прикоманде автоматической системы управления 17 с заряженной до напряженияU с11 через коммутатор 21 на обмотку соленоидов 5 поршня 7 подаетсяимпульс этого напряжения. По обмотке 5 протекает ток i 11 , который наводитв магнитопроводе и поршне 7 (со штока) магнитный поток Ф 11 . Этот магнитныйпоток создает тяговое усилие F 11 , действующие на поршень 7 таким образом,чтобы поршень 7 мог перемещаться. Поршень 7, отталкиваясь от соленоида5, движется вниз по цилиндру 1 и через кривошипно-шатунный механизм11 вращает коленчатый вал 13. Одновременно с подачей импульсанапряжения U с11 на обмотку соленоида 5 подается импульс напряжения U c21на обмотку соленоида 4, вызывая в ней ток i 21 и соответственно в поршне 8наводится магнитный поток Ф 21 . Этот поток Ф 21 создает тяговое усилие F 21 ,направленной вверх цилиндра 2 и поршень 8 под действием этого тяговогоусилия F 21 движется вверх. Этим самым обеспечивается увеличения моментавращения коленчатого вала 13.Далее импульсы напряжений U с с предварительно заряженных конденсаторов20 подаются соответственно на обмотки соленоидов 3, 6 и поршни 7,8, которые движутся в противоположных направлениях через свои кривошипно-шатунныемеханизмы 11, 12 и коленчатый вал 13 разгоняет двигательдо необходимых оборотов.Скорость вращения коленчатого вала регулируются величиною ампли-20 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

туды импульсов U с , идущих с заряженных конденсаторов 20, то есть величинамитоков, которые протекают по обмоткам соленоидов 3, 4, 5, 6. Автоматическаясистема 17 совместно с коммутатором 21 управляет зарядкой и разрядкойконденсаторной батареи 20 на соответствующие обмотки соленоидов3, 4, 5, 6 и управлением преобразователя 18 с целью подзарядки от него черезвыпрямитель 19 конденсаторной батареи 20. Аккумуляторная батарея 16 заряжаетсяот сети через трансформатор 22 и выпрямитель 23 и во время вращенияколенчатого вала 13 от генератора 15.В предлагаемом двигателе уменьшено энергопотребление на единицумощности в результате взаимодействия магнитного поля соленоидов и ферромагнитныхпоршней. При подаче импульсов тока создается уравновешенноесинхронное движение поршней с плавным вращением коленчатого валадвигателя. Кинетическая энергия поршня преобразовывается в кинетическуюэнергию маховика, которые через вал и коробку передач (на рисунке она непоказана) передается на трансмиссию и генератор 15 для подзарядки аккумуляторнойбатареи 16. Предлагаемая конструкция двигателя может быть выполненас большим количеством цилиндров по сравнен–ию с рассматриваемыми.Однако принцип работы двигателя остается тем же.Далее остановимся на работе коммутатора 21. Это устройство заменяетраспределительный механизм двигателя внутреннего сгорания. Оно включаетв себя ряд механических контактов, расположенных в верхней и нижнеймертвых точек каждого цилиндра и системы управления тиристорами, включенныхпоследовательно в цепи разряда конденсаторов батареи 20.Еще раз подчеркиваем, что использование данного устройства позволяетуменьшить энергопотребление на единицу мощности двигателя, стабилизируетравномерность хода поршня и частоты вращения коленчатого вала, исключаетпотребление горючих материалов (бензина, газа и др.). Данный двигательэкологически безопасен.Далее рассмотрим основные аспекты теории этого двигателя.При разряде конденсатора на обмотку соленоида ток в электроцепи записываетсявыражением [3]Uc0 tp1tp2і () t = ( − e + e ), (1)( p1− p2) Lгде U co – начальное напряжение на конденсаторе, t – время, L – индуктивностьобмотки соленоида,r r 1p1,2= − ± − ,22L4LLCr – активное сопротивление обмотки соленоида, C – емкость конденсатора,2L = w G; G = μS0 ,(2)2δгде w – число витков обмотки соленоида, G – магнитная проводимость в ци-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 212

линдре с поршнем, μ 0 – магнитная проницаемость воздуха (в зазоре δ – смотририсунок), S – площадь поперечного сечения магнитопровода возле зазораδ, S = 2πRh, где R – радиус окружности магнитопровода, h – толщина магнитопроводавозле зазора.Согласно закону полного тока [4], ток і(t) вызывает в магнитопроводемагнитный поток Ф = iwG. Этот магнитный поток создает тяговое усилие F,которое, действуя на поршень, перемещает его в цилиндре. Поршень своимдвижением через кривошипно-шатунный механизм вращает коленчатый вал.Величина тягового усилия определяется формулой [5]2⎛ іw02 ⎟ ⎞F = μ S⎜. (3)⎝ δ ⎠Подставляя выражение (3) в (1), получим общую формулу тягового усилия,возникающего в двигателе в виде⎛ wU()( ) 201 20( 1 2 ) 2 ⎟ ⎞⎜c tp tpF t = μ S− e + e⎝ p − p δL⎠или с учетом (2)( ) 2tp1tp ⎞2− e + e ⎟1 ⎛ U 0()⎜cF t =0 ( 1 2 ) 2⎟. (4)μ S ⎝ p − p wδG⎠Из выражения (4) видно, что тяговое усилие прямо пропорциональноквадрату начального напряжения на конденсаторе.Для определения скорости движения поршня в цилиндре запишем уравнениеdv v dmuFі− Fc= m + , (5)dt 2 daгде m – масса поршня совместно с кривошипно-шатунным механизмом, v –скорость движения поршня, a – перемещение поршня, m u – приведенная масса,как функция от a, F c – сила сопротивления (в нашем случае сила трения).Из уравнения (5) получаем величину скорости перемещения поршня вцилиндре в виде [6]2 a1mu2V і = ∫ ( F − F ) +ac da v0. (6)m 0mПодставляя в (6) выражение (4), получим зависимость скорости перемещенияпоршня в цилиндре также от параметров соленоида в виде⎛22⎧1 1⎫ ⎞⎜ a ⎪ ⎛ U 0⎞ ⎪2 ⎟2 1( )0⎜ ⎨ ⎜c tp −tpm⎟uVі= ∫e − e − ⎬ +00 ( 1 2 )Fac da v⎟. (7)m μ S⎝⎪⎩ ⎝ p − p w ⎠m ⎪⎭ ⎠Как видно из выражения (7) скорость V i в каждой і-й точке S i при движениипоршня пропорциональна величине U co , то есть величине начального22 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)212

напряжения на конденсаторе. А это значит, что величину скорости можнорегулировать с помощью величины U co , которое может в свою очередь регулироватьсясистемой управления 17. Понятно, что и скорость вращения коленчатоговала двигателя также будет пропорциональна величине U co и зависитот числа поршней.Вывод: дана основная конструкция двигателя и теоретический аспектосновного функционирования электромагнитного поршневого двигателя.Список литературы: 1. Божко О.Є., Личкатий Є.О., Бєлих В.І., Іванов Є.М. Eлектромагнітнийпоршневий двигун. Патент України № 61108, Бюл. № 13 від 11.07.2011 р. 2. Божко А.Е. Принципрегулирования частоты генерируемого сигнала в мультивибраторе Ройера // Доповіді НА-НУ. – 2008. – № 1. – С. 83-86. 3. Гинзбург С.Г. Методы решения задач по переходным процессамв электрических цепях. – М.: Сов. радио, 1959. – 404 с. 4. Бессонов Л.А. Теоретические основыэлектротехники. – М.: Высшая школа, 1978. – 528 с. 5. Божко А.Е. Теория электромагнитныхвозбудителей / Божко А.Е., Белых В.И., Иванов Е.М., Мягкохлеб К.Б. – Х.: ХНАДУ, 2008. – 436 с.6. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М.: Наука. 1988. – 640 с.Поступила в редколлегию 02.10.2012УДК 539.3Д. В. БРЕСЛАВСКИЙ, д-р техн. наук, профессор, НТУ «ХПИ»;О. А. ТАТАРИНОВА, канд. техн. наук, доцент, НТУ «ХПИ»;Ю. Н. КОРЫТКО, канд. техн. наук, доцент, НТУ «ХПИ»ПОЛЗУЧЕСТЬ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В УСЛОВИЯХ СОВМЕ-СТНОГО ДЕЙСТВИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯТЕМПЕРАТУР И НАПРЯЖЕНИЙСтаттю присвячено опису постановки задачі та методу розв’язку задач повзучості оболонокобертання в умовах спільної дії температур та напружень, що періодично змінюються за часом.Для цього випадку надано рівняння стану повзучості та пошкоджуваності матеріалу. Наведеноприклад чисельного розв’язання задачі повзучості циліндричної оболонки.Ключові слова: оболонка обертання, температури, напруження.Статья посвящена описанию постановки задачи и метода решения задач ползучести оболочеквращения в условиях общего действия температур и напряжений, которые периодически изменяютсяпо времени. Для этого случая представлено уравнение состояния ползучести и повреждаемостиматериала. Приведен пример численного решения задачи ползучести цилиндровойоболочки.Ключевые слова: оболочка вращения, температуры, напряжений.© Д. В. Бреславский, О. А. Татаринова, Ю. Н. Корытко, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 23

The paper is devoted to the description of the problem statement as well as the method of solution forcreep problems of shells of revolution, which are in conditions of joint action of periodically varyingtemperatures and stresses. The creep-damage constitutive equations are given for this case. The exampleof numerical solution for the creep problem of cylindrical shell is presented.Keyword: rotational shell, temperature, stress.Введение. В современном машиностроении используются тонкостенныеконструктивные элементы в виде оболочек вращения. Часто они работают в условияхсовместного действия температурных и силовых полей, что приводит кползучести материала оболочек и обусловленному ею накоплению необратимойповрежденности, приводящему к разрушению. Во многих случаях в оболочечныхконструкциях, используемых в современном авиационном и космическоммашиностроении, двигателестроении, химических производствах, имеет местопериодическое изменение как уровня нагруженности оболочек, таки и распределениятемператур. Для этого случая, как известно из экспериментов и практикиэксплуатации [1, 2], характерно существенное влияние периодического изменениянапряжений и температур на скорость деформаций ползучести и накопленияповреждаемости. Подобное изменение, как правило, приводит к значительномуувеличению скорости роста деформаций ползучести, релаксации напряжений,накопления повреждаемости, что, безусловно, должно учитываться при расчетнойоценке долговечности конструкций.Исследованиям в области ползучести оболочечных конструкций посвященыработы Ю.Н. Работнова [1], Н.Н. Малинина [3], А.Н. Подгорного,А.В. Бурлакова, Г.И.Львова, О.К.Морачковского [4], Ю.Н.Шевченко [5] идругих ученых. В этих работах задачи ползучести и повреждаемости оболочекрешались в основном в статической постановке, без учета периодического,циклического изменения температур и напряжений.В работах [6-7] был сформулирован новый подход к решению задач ползучестипри действии осциллирующего поля напряжений, основанный наметодах многих масштабов времени и осреднения на периоде. Этот подходбыл использован при решении задач динамической ползучести и повреждаемостипри вынужденных колебаниях тонкостенных конструкций [7, 8]. Впоследующих работах рассмотрены случаи периодического изменения нагрузокс малой частотой, а также комбинированное воздействие на оболочкунагрузок с большим и малым периодами их изменения во времени[9].Расширение области использования подхода работ [6-7] на случай совместногодействия периодически изменяющихся температур и нагрузок вдвумерных задачах теории ползучести выполнено в работе [10]. Настоящаястатья посвящена использованию разработанных в работах [9, 10] методоврешения в задачах ползучести оболочек вращения при их вынужденных колебаниях.Уравнения состояния. В работе уравнения состояния ползучести материаловс повреждаемостью при периодических изменениях температур и24 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

напряжений построены, исходя из необходимости получения таких уравнений,применение которых позволяет проводить расчеты элементов конструкций.Материальные постоянные, входящие в эти уравнения состояния, получаютисключительно в исследованиях ползучести и длительной прочностипри статическом нагружении и постоянных значениях температур, на стандартныхобразцах при растяжении.Ползучесть образца, вырезанного из металлического материала, будемизучать в рамках общих кинетических зависимостей теории структурныхпараметров, предложенных Ю.Н. Работновым [1]. Уравнения состояния ползучестипри простом напряженном состоянии, принимая закон ползучести сповреждаемостью типа Бейли-Нортона и Работнова-Качанова, имеют следующийвид:n( σ )( 1−ω) kc = B(T ) ;γ( σ )( 1−ω) l ω = D(T ) , ω(0) = 0, ω(t * ) = ω * , (1)где c(t), ω(t) – необратимые деформации ползучести и параметр повреждаемости;ω * – значение параметра повреждаемости в момент времени окончанияскрытого разрушения t * .В работе рассматривается комбинированные нагружение точки материалаи закон изменения во времени температуры в виде⎛⎛ ⎞⎞= +1 = ⎜ + ⎜ ⎟⎟∑ ∞ 2 πkσ σ σ σ 1 M k sint + βk; (2)⎝ k =1 ⎝ Tσ⎠⎠⎛⎛ ⎞⎞= +1 = ⎜ + ⎜ ⎟⎟∑ ∞ T 2 πiTT T T T 1 Misint + βi, (3)i=1⎝⎝ TT⎠⎠где M k = σ ak /σ – коэффициенты асимметрии периодически изменяющейся составляющейнапряжения; σ ak , β k – амплитудные значения и фаза периодическиизменяющихся во времени с частотой f σ = 1/T σ составляющих напряжения;MT ai= Ti/ T – коэффициенты асимметрии периодически изменяющейсяTсоставляющей температуры; , β – амплитудные значения и фаза перио-aTiiдически изменяющихся с частотой f T = 1/T T составляющих температуры.Для описания процессов ползучести и связанной с ней повреждаемостипри комбинированном периодическом нагружении и изменении рабочих температурв работе применяется методика асимптотических разложений и усредненияна периоде. Асимптотические разложения по малому параметрупозволяют представить процессы в двух масштабах времени – медленного t ибыстрого ξ = τ/T, τ = t/μ, так, что0c ≅ c ( t)+ μc ( ξ ) ; (4)01ω ≅ ω ( t ) + μω ( ξ ) , (5)где c 0 (t), ω 0 (t), c 1 (ξ), ω 1 (t,ξ) – функции, отвечающие основному процессу пол-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 251

зучести и повреждаемости в масштабе медленно изменяющегося времени ипериодически повторяющемуся процессу в масштабе быстрого времени ξ;−1−1μ = min[ ( fσt* ) , ( fT t*) ], μ

∂ u 1ε ij= u i j+ u j i+ u k iu, , , k , j; x i∈ V ;∂t2( 0)σ = D ε − c ) ; σ n = p + Φ ( t); x i∈ S2; (7)2iεij= eij+ c ;ij ij,j+ fi= ρ2ijσ ; ( )ijkl(kl klijui= u i; x i∈ S1; u ( x ,0) = c ( x ,0) = 0 ,i iij iгде n – единичная нормаль к границе тела, j = 1,2,3; {D} – тензор упругихсвойств материала; u – не изменяющиеся во времени известные значенияimaxперемещений точек поверхности S 1 ; Φ () = p A sin( Ω t + )ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 27jiiii∑ ∞k=1t β , р i max – амплитудысоответствующих компонент поверхностных нагружений;k2k2kk/A = a + b ; Ω = 2πkT . Рассматриваем прямоугольные циклы изменениятемпературы от T max до T min и обратно. Считаем, что все точки тела в каждыймомент нагреты до одной и той же температуры. В работе [11] показано,что влиянием переходных изменений температурного поля на осредненнуюскорость ползучести при смене уровня нагрева во многих случаях можнопренебречь.Асимптотические разложения (4), (5) и усреднения на периоде позволяютразделить систему (7) на две: первая получается из соотношений, остающихсяпосле усреднения, и описывает процессы, происходящие в медленномосновном движении, а вторая – в результате вычитания из (7) первой системы.Таким образом, для определения напряженно-деформированного состояниятел при периодическом нагружении и изменении температуры решаетсяследующая система уравнений, в которой все неизвестные изменяются вмасштабе медленного времени:σ ij , j+ f i= 0; x i∈ V ; σ ijn j = pi; x i∈ S2;1ε ij = C ijklσkl+ cij; ε ij = ( u i,j + u j,i + uk,iuk,j ); x i∈ V;(8)2ui= u i; x i∈ S 1; ui( xi,0) = cij( xi,0) = 0с уравнениями состояния в виде (6).Для конкретизации предложенных в работе уравнений состояния (6)предварительно определяются компоненты тензоров амплитудных значенийнапряжений по решению краевой задачи в масштабе быстрого времени(k = 1,2,…):akak( ) 2ak maxσ = −ρΩ u ; x V ;ij, jk ii∈ σ ij n j = piAk; x i∈ S2; (9)ak akak( u + u ) C σak 1akε = = ; x V ;iji,j j,i ijmn mn i∈ ui= 0 , x i∈ S1.2Таким образом, решением системы (9) для каждой гармоники k находятсякомпоненты тензоров амплитудных значений напряжений, по которымkkk

определяются коэффициенты g σ i( ), g σ e( )n M kr M k, конкретизирующие уравнениясостояния (6).В работе использована конечноэлементная формулировка задач ползучеститонких неосесимметрично нагруженных оболочек вращения. Оболочкавращения с произвольной образующей при неосесимметричном напряженномсостоянии разбивается на конечные элементы, которые образованыдвумя поперечными сечениями, проходящими через ось вращения коническойоболочки. Таким образом, в результате использования метода конечныхэлементов решается система алгебраических уравнений[ K ]{ Δ } = { P } { } { } { }v+ Pc+ Pp+ Pn, (10)где [K] – глобальная матрица жесткости; { Δ } – вектор узловых перемещений;{P ν vT} – обобщенный вектор внешних узловых сил, { P } [ ] { p}dS ; {P с }∑ ∫ Φ28 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)=edS , {P p } – обобщенный вектор узловых усилий– обобщенный вектор узловых сил, обусловленный необратимыми деформа-cTциями, { P } = ∑ ∫ [ B] [ R]{ c}e eSpот проекции обобщенных сил на нормаль, { } ∑ ∫ [ ΦT p] { p }=eeSeSP dS ; {P n } –обобщенный вектор узловых усилий, обусловленный нелинейной состав-nTляющей упругих деформаций, { } [ B][ R]{ }P ε dS .= ∑ ∫eСистема уравнений (10) дополняется уравнениями состояния (6).Для определения амплитудных значений компонент напряженнодеформированногосостояния для каждой гармоники предварительно необходиморешить систему уравнений (9), конечноэлементная формулировкакоторой принимает следующий вид:ak akK − Ω2 M Δ = P ;([ ] [ ]){ } { }kTгде [M] – матрица масс системы, [ ] = [ Φ] [ Φ]eS∑∫eeSnM ρ dS ; Ω k – частота внешнегонагружения; Δ ak – вектор амплитудных значений при полигармоническомнагружении в пределах цикла.Пример расчета. Рассмотрим задачу о ползучести цилиндрической оболочкис шарнирно опертыми краями, нагруженной внутренним периодическиизменяющимся по прямоугольному циклу давлением.Оболочка изготовлена из сплава S-321. Физико-механические характеристикисплава определены по диаграммам деформирования, кривым ползучестии справочным данным: E = 1,67×10 5 МПа; ρ = 7,8×10 3 кг/м 3 ; ν = 0,3;b = 2,07×10 6 МПа -n /час; n = 4,054; d = 0,219 МПа -r /час; r = 7,62; m = l = 2,07;Q = Q = 4,09×10 4 К. В кинетическом уравнении для параметра повреждаемо-

сти (6) выбираем значение параметра α = 0. Рабочие температуры периодическиизменяются по прямоугольному циклу, параметры которого составляютT = 923 К; T α = 100 К; T T = 2 часа.Длина оболочки L = 0,3 м, радиус срединной поверхности R = 0,05 м,толщина стенки h = 0,001 м. Статическая составляющая внутреннего давленияр 0 равна 2 МПа, амплитуда его циклической составляющей изменялась впределах (0…0,25) р 0 для частоты нагружения f 2 , равной 0,1f, где f – перваясобственная частота.Поверхность оболочки покрывалась 200 конечными элементами. На рисункепредставлен график релаксации интенсивности напряжений в точкецентрального сечения наружной поверхности оболочки. Здесь кривая 1 соответствуетстатическому нагружению при постоянной температуре, кривая 2 –периодическому нагружению при постоянной температуре; кривая 3 – комбинированномудействию периодически изменяющейся по прямоугольномуциклу температуры и периодического нагружения. Из графика видно, что взадаче, решенной с учетом всех трех факторов (кривая 3), уровень достигнутыхк моменту времени 40 ч напряжений отличается на 15 % от случая чистостатического нагружения, в дальнейшем это отличие сохраняется.График релаксации интенсивности напряжений в точке центрального сечениянаружной поверхности оболочкиВыводы. Анализ численных результатов позволяет сделать вывод о существенномвлиянии периодически изменяющихся составляющих напряженийи рабочих температур на скорость перераспределения напряжений приползучести, что несомненно должно учитываться при проектировании иоценке долговечности оболочечных конструктивных элементов.Список литературы: 1. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов. –М.: Наука, 1966. – 752 с. 2. Тайра С. Теория высокотемпературной прочности материалов /С. Тайра, Р. Отани. – М.: Металлургия, 1986. – 280 с. 3. Малинин Н.Н. Расчеты на ползучестьэлементов машиностроительных конструкций / Н.Н. Малинин. – М.: Машиностроение, 1981. –221 с. 4. Подгорный А.Н. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций /А.Н. Подгорный, В.В. Бортовой, П.П. Гонтаровский, В.Д. Коломак, Г.И. Львов, Ю.И. Матюхин,О.К. Морачковский. – К.: Наукова думка, 1984. – 262 с. 5. Шевченко Ю.Н. Решение плоских иосесимметричных краевых задач термовязкопластичности с учетом повреждаемости материалаISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 29

при ползучести / Ю.Н. Шевченко, В.Н. Мазур // Прикладная механика. – 1986. – Т. 22, № 8. – С.3-17. 6. Mорачковский О.К. О нелинейных задачах ползучести тел при воздействии быстро осциллирующегополя / О.К. Морачковский // Прикладная механика. – 1992. – Т. 28, № 8. – С. 17-23. 7. Бреславский Д.В. Нелинейная ползучесть и разрушение плоских тел при высокочастотномциклическом нагружении / Д.В. Бреславский, О.К. Морачковский // Прикладная механика. – 1998.– Т. 34, №3. – С. 97-103. 8. Altenbach H. Cyclic Creep-Damage in Thin-Walled Structures/H.Altenbach, D.Breslavsky, O.Morachkovsky, K.Naumenko // Journal of Strain Analysis for EngineeringDesign. – Suffolk, UK: 2000. – Vol. 35, № 1. – P. 1-11. 9. Бреславский Д.В. Высокотемпературнаяползучесть и длительная прочность элементов конструкций при циклическом нагружении /Д.В. Бреславский, О.К. Морачковский, О.А. Татаринова // Проблемы прочности. – К.: 2008. – №5. – С.45-53. 10. Бреславський Д.В. Модель циклічної термоповзучості для тіл обертання./Д.В. Бреславський, О.К. Морачковський, Ю.М. Коритко // Проблемы прочности. – К.: 2011. – №2. – С. 33-46. 11. Бреславский Д.В. Ползучесть тел вращения при циклических теплосменах /Д.В. Бреславский, Ю.Н. Корытко // Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівноготвердого тіла. – Дніпропетровськ: ДНУ імені Олеся Гончара, 2009. – № 10. – С. 41-47.Поступила в редколлегию 01.10.2012УДК 539.3А. В. ВОРОПАЙ, канд. техн. наук, доцент, ХНАДУ, ХарьковНЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙПЛАСТИНЫ С УПРУГОЙ ПОДПОРКОЙМеханічна система складається з прямокутної пластини середньої товщини шарнірно-обпертоїпо контуру та зосередженої пружної підпірки. На пластину діє нестаціонарне навантаження, щозбурює коливання. Розрахунки зводяться до аналізу інтегральних рівнянь Вольтерра I роду, якірозв’язуються чисельно з використанням метода регуляризації А. М. Тихонова.Ключові слова: нестаціонарні коливання, механічна система, інтегральні рівняння, методрегуляризації.Механическая система состоит из прямоугольной пластины средней толщины шарнирноопертойпо контуру и сосредоточенной упругой подпорки. На пластину воздействует нестационарноенагружение, вызывающее колебания. Расчеты сводятся к анализу интегральных уравненийВольтерра I рода, которые решаются численно с использованием метода регуляризацииА. Н. Тихонова.Ключевые слова: нестационарные колебания, механическая система, интегральные уравнения,метода регуляризации.Mechanical system consists of hingedly supported medium-thickness rectangular plate with concentratedelastic support. The non-stationary concentrated load, which initiates vibration, is acting on theplate. The problem is reduced to the first-kind Volterra integral equations, which are solved numericallywith using of Tikhonov's regularization method.Keywords: non-stationary vibration, mechanical system, integral equations, regularizationmethod.© А. В. Воропай, 201230 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Введение. Одним из способов «смягчения» импульсных и ударных нагрузокна пластинчатые элементы конструкций является использование различныхупругих или вязкоупругих устройств (дополнительный подпорок). Самым простыми дешевым видом дополнительных упругих подпорок являются пружины.Схема установки подпорок в виде винтовых пружин легко реализуется на практикеи при известном месте нагружения можно устанавливать дополнительнуюопору непосредственно под местом нагружения, тем самым значительно снижаяперемещения в защищаемом элементе конструкции.Как правило, моделирование наличия дополнительных опор осуществляетсяв одно- или многомассовых системах с конечным числом степенейсвободы. Пластинчатые элементы конструкций, контактирующие с пружинами,зачастую рассматриваются как недеформируемые тела. Чрезвычайноактуальна разработка простой и удобной математической модели для пластинчатыхэлементов конструкции в рамках механики деформируемого твердоготела.Отметим, что к настоящему времени хорошо исследованы колебаниямногопролетных балок с одной или несколькими дополнительными упругимиопорами. Упомянем некоторые работы, связанные с подпорками для упругодеформируемых элементов конструкций в виде балок. Например, в работе[1] рассмотрены многопролетные балки на упругих опорах при подвижнойнагрузке, задачи решаются с использованием метода Ньютона и итерационныхсхем для определения прогиба балки с учетом жесткости дополнительныхопор.В работе [2] представлены решения прямой и обратной задачи для балокс дополнительными опорами, причем влияние опор моделируется при помощинеизвестных сосредоточенных сил.В настоящей работе рассматриваются нестационарные колебания прямоугольнойпластины с упругой подпоркой. Для решения задачи удобно использоватьподход, аналогичный изложенному в [2], который заключается вследующем: воздействие дополнительной опоры на пластину моделируется ввиде неизвестной нестационарной силы, приложенной к пластине в местеустановки подпорки. Тогда задача сводится к идентификации этой неизвестнойнагрузки, которая определяется на базе теории интегральных уравненийВольтерра, что позволяет получить аналитико-численное решение без использованияитерационных схем.Постановка задачи. Механическая система состоит из прямоугольнойупругой изотропной пластины средней толщины шарнирно-опертой по еепериметру и сосредоточенной упругой подпорки, контактирующего с пластинойв некоторой точке (рис. 1). Считается, что пружина установлена ортогональносрединной плоскости пластины и шарнирно соединена с ее нижнейлицевой поверхностью, жесткость пружины постоянна, а сила сопротивленияпрямо пропорциональна перемещению:ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 31

R( t)= c ⋅ wC( xC, yC, t),где c – коэффициент жесткости, Н/м.Рисунок 1 – Схема нагруженияНа пластину в некоторой точке воздействует поперечная импульсная нагрузкаP(t), вызывающая нестационарные колебания пластины с подпоркой.Требуется определить компоненты перемещения во времени точек пластины(прогибы и углы поворота нормали).При решении задачи предполагалось, что координаты точек приложениянагрузки и координаты установки дополнительной опоры произвольны (любыеточки, принадлежащие пластине и не лежащие на ее границе). Такжесчиталась известной величина коэффициента жесткости подпорки.Решение задачи. В рамках теории пластин С. П. Тимошенко системадифференциальных уравнений [3], которая с учетом соответствующих начальныхи граничных условий определяет решение, описывающее нестационарныедеформационные процессы в пластине с подпоркой, имеет вид:2⎧ 2∂ w⎪G'h(∇ w+ ψ xy ) = ρh− P(x,y,t)+ R(t)δ(x − x ) δ(− );2C y yC⎪∂t⎪222∂ ψ xy⎪ D∇ψ xy −G'h(ψ xy + ∇ w)= ρ⋅ I ;2⎨∂t(1)⎪2⎪D222∂ ϕxy[(1− ν)∇ ϕ + (1 + ν)∇ ψ ] − ' ( ϕ + ∇ ) = ρ⋅ ;⎪xy1 xy G h xy 1 w I22∂t⎪⎩w( xC, yC, t)= R(t)/c,где h – толщина пластины; G' = k'G; k' – коэффициент сдвига; I = h 3 /12; w –прогиб срединной плоскости пластины; ψ x , ψ y – углы поворота; ρ, E, ν – упругиепостоянные материала пластины; t – время,EhD = ;212 (1 − ν )32 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)3

∂ψ ∂ψx y ∂ψ ∂ψψ xy = + ;x y 2 ∂ ∂ 2 ∂ ∂ϕ xy = − ; ∇ = + ; ∇∂x∂y∂x∂y2 2 1 = − . Укажем,что P(x, y, t) и R(t) – возмущающая нагрузка (сосредоточенная или рас-2 2∂x ∂y ∂x ∂yпределенная) и реакция взаимодействия между пластиной и упругой подпоркойсоответственно.Методика решения задач для прямоугольных пластин, на которые воздействуетсистема нескольких независимых нестационарных нагрузок, описана,например, в [4]. В результате решения системы дифференциальныхуравнений (1) для прогиба пластины получается следующее аналитическоевыражение:tWWw( x,y,t) = ∫ P( τ) Ki( x,y,t − τ) dτ −∫R( τ) Ki( x,y,t − τ) dτ, (2)00где K i ( x, y,t)– соответствующие ядра интегралов Дюамеля (сверток):∞ ∞2WC π⋅ π⋅( , , ) = ikn k x n yK i x y t ∑∑ ⋅sinsin ⋅∑Ωpkn ⋅sinω pknt.Δk=1 n= 1kn l mp=1Аналитические выражения для определения собственных частот имеютвид:22ω 1kn= 0.5 [(λkn(a + d)+ b)+ Δkn]; ω 2 kn = 0.5 [(λkn(a + d)+ b)− Δkn] .В приведенных соотношениях использованы следующие обозначения:= G'G'h D ka ; b = ; d = ; λ * nk = π ; μ * ⎛2 2⎞2 2n = π ; ⎜k nλ⎟kn = π + ;ρ ρ ⋅ J ρ ⋅ J l m2 2⎝ l m ⎠4 1 kπ ⋅ x n yCi π ⋅ i224ikn = ⋅ ⋅sin⋅sin; Δ kn = ( λkn(a + d)+ b)− 4⋅a⋅d⋅λkn;l ⋅ m ρ ⋅ h l m2d ⋅λkn+ bΩ 1kn= ω1kn− ;ω1knd ⋅λ + bΩ 2kn= −ω2kn+ .ω2knПроблема заключается в идентификации закона изменения во временинеизвестной реакции R(t), для определения которой выражение (2) для точкикрепления подпорки к пластине ( xC, yC) может быть сведено к интегральномууравнению Вольтерра II рода относительно неизвестной R(τ):tISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 33t222knc∫ P(τ)K P ( t − τ)dτ = c∫R(τ)K R ( t − τ)dτ+ R(t).(3)0Решение уравнения (3) осуществляется с использованием метода регуляризацииА. Н. Тихонова [5]. В результате решения находится сила взаимодействиямежду подпоркой и пластиной R(t), что позволяет определять компонентыперемещения во времени во всех точках пластины.t022

Результаты расчетов. При расчетах срединная плоскость пластины быласвязана с плоскостью xOy декартовой системы координат. Численные расчетыпроизводились при следующих значениях: ρ = 7890 кг/м 3 ; ν = 0,3;E = 2,07⋅10 11 Па; h = 0,04 м; l = 0,6 м, m = 0,4 м. Координаты точки приложениявозмущающей нагрузки: x 0 = 0,3 м, y 0 = 0,2 м. Координаты точки крепленияупругой подпорки к пластине: x С = 0,3 м, y С = 0,2 м. (Для наглядностирассмотрен случай, когда нестационарная сила действует в центре пластины,а упругая подпорка установлена в том же месте под пластиной).абРисунок 2 – Возмущающая нагрузка и реакция упругой подпорки:а – изменение во времени P(t) и R(t), б: P(t) при различных значениях α34 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

На рис. 2, а показано изменение во времени возмущающей нагрузкиP(t) (полуволна синусоиды) и определенная в результате решения интегральногоуравнения реакция между пластиной и подпоркой R(t). На рис.2, б показаны графики идентифицированной реакции R(t) при различныхзначениях параметра регуляризации α. При относительно больших значенияхα = 10 −17 > α opt полученные кривые не совсем точно описывают зависимостьR(t) во времени. При уменьшении параметра регуляризации иприближении его к оптимальным для данного функционала значениямα → α opt = 10 −21 вид кривых практически не изменяется (они полностьюсовпадают), при уменьшении параметра регуляризации α = 10 −25 < α optвлияния «сглаживающей» части функционала Тихонова уменьшается, ина графике R(t) начинают появляться осцилляции. При дальнейшемуменьшении параметра регуляризации α opt >> α → 0 решение интегральногоуравнения перестает быть устойчивым, а график R(t) становится нефизичным. Заметим, что оптимальные значения параметра регуляризацииопределялись методом невязки [5].На рис. 3 приведены кривые изменения прогиба в центре пластины безупругой подпорки – кривая 1; кривая 2 демонстрирует влияние самой подпорки;кривая 3 – суммарная кривая, описывающая прогиб пластины с подпоркойпри нагружении возмущающей нагрузкой.Рисунок 3 – Влияние реакции подпорки на прогиб пластиныНа рис. 4, а показано влияние жесткости упругой подпорки на прогибпластины в точке нагружения, а на рис. 4, б показано изменение возмущающейнагрузки P(t) – кривая 1 и реакции R(t) между пластиной и пружинойпри различных значениях коэффициента жесткости пружины c –кривые 2-6.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 35

абРисунок 4 – Влияние жесткости упругой подпорки:а – изменение прогиба w при различных c; б – изменение реакции R при различных cНа рис. 4, а кривая 1 показывает изменение прогиба без подпорки (илиc = 0); при значении коэффициента жесткости c ≤100Н/м прогибы практическине отличаются, при c = 100 Н/м (кривая 2) видно незначительное снижениеамплитуды и отставание по фазе; при c = 1000 Н/м (кривая 3) наблюдаетсязаметное снижение амплитуды (около 10 %) и запаздывание; при c = 10 4Н/м (кривая 4) происходит «сильное» влияние подпорки на колебания пластины,(графики, приведенные на рис. 2-3 получены при значении коэффициентажесткости c = 10 4 ). При дальнейшем повышении жесткости подпорки36 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

c = 10 5 Н/м (кривая 5) ее влияние превышает влияние пластины, а уже прижесткости c = 10 6 Н/м (кривая 6) прогиб пластины становится ниже на несколькопорядков (подпорка становится «слишком» жесткой), а ее реакцияпрактически равна возмущающей нагрузке (кривая 6 на рис. 4, б).Укажем, что описанные численные значения справедливы только длярассмотренного случая, и в каждом конкретном случае они будут зависеть отконкретных геометрических и механических параметров системы, однакохарактер влияния коэффициента жесткости упругой подпорки во всех случаяхбудет аналогичен описанному.Выводы. В настоящей работе описан новый подход, при котором воздействиедополнительной опоры на пластину моделируется в виде неизвестнойнестационарной силы, определяемой из решения интегрального уравненияВольтерра. На основе предложенного подхода при моделировании нестационарногодеформирования пластинчатых элементов конструкций с дополнительнымиподпорками имеется возможность получать устойчивые аналитико-численныерешения задач механики деформируемого твердого тела безиспользования итерационных схем. Возможность идентификации реакциимежду пластиной и дополнительной подпоркой позволяет облегчить выборжесткости этой подпорки для «смягчения» импульсных и ударных нагрузок вконкретных механических системах.Список литературы: 1. Кохманюк С. С., Филиппов А. П. Колебания многопролетных балок наупругих опорах при подвижной нагрузке // Строительная механика и расчет сооружений. – № 6.– 1965. 2. Янютін Є. Г., Гнатенко Г. О., Гришакін В. Т. Розв’язання нестаціонарних прямих таобернених задач для балок з пружним додатковим спиранням // Львів: Машинознавство. – 2007.– № 8. – С. 18-23. 3. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5.Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. – М.: ВИНИТИ, 1973. – 272 с.4. Янютин Е. Г., Воропай А. В., Поваляев С. И., Янчевский И. В. Идентификация нагрузок приимпульсном деформировании тел. Монография в 2-х частях. Часть II. – Х.: Изд-во ХНАДУ, 2010.– 212 с. 5. Тихонов А. Н., Гончаровский А. В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорнаяинформация. – М.: Наука, 1983. − 200 с.Поступила в редколлегию 20.01.2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 37

УДК 531Д.В.ДАНИЛОВ, студент, НТУ «ХПИ»;А.Г.АНДРЕЕВ, канд. техн. наук, доцент, НТУ «ХПИ»СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОФИЛЬНЫХ СОЕДИНЕНИЙ СНАТЯГОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЕМПЕРАТУРПредметом дослідження в даній роботі є порівняльний аналіз різноманітних варіантів реалізаціїз’єднань з натягом, що знаходяться під дією температур. Метою роботи є виявлення критичнихзначень змін температури деталей, сполучених між собою та, на основі цих даних, визначенняоптимального варіанту з’єднання.Ключові слова: з’єднання з натягом, температура, профільні з’єднання.Предметом исследования в данной работе является сравнительный анализ различных вариантовреализации соединений с натягом, которые находятся под действием температур. Целью работыявляется выявление критических значений изменений температуры деталей, соединенных междусобой и, на основе этих данных, определение оптимального варианта соединения.Ключевые слова: соединение с натягом, температура, профильные соединения.In the given work the object of research is a comparative analysis of various variants of implementationpressure coupling which are under the influence of temperature. The work purpose is to identify criticalvalues of the temperature change of the details connected among themselves and, on the basis of thesedata, determination of optimal variant of connection.Keywords: pressure coupling, temperature, profile connections.Вступление. Соединение с натягом считается одним из наиболее распространенныхв строительстве и машиностроении напряженных соединений,в ряде случаев замещающих болтовые и заклепочные соединения, частичношпоночные и шлицевые. Основной целью исследования является сравнительныйанализ разнообразных, наиболее распространенных в инженернойпрактике вариантов реализации соединений с натягом, которые находятсяпод действием температур.Постановка задачи. В данной работе проводится исследование 15 вариантовпрофильных соединений с натягом, цель которого – нахождение критическихзначений изменения температуры деталей, соединенных между собой. Критическимизначениями изменения температуры считаются такие, которые приводятк исчезновению контактного давления между соединенными деталями,изготовленными из материалов с различными коэффициентами теплового расширения(в данном исследовании рассматривалось два материала – сталь 40Х имедь М1Ф). Предполагается, что величина изменения температуры – это разницамежду температурой деталей, при которой произошла потеря контактного давления,и начальной температурой. Начальной температурой считается такая, при© Д. В. Данилов, А. Г. Андреев, 201238 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

которой величина натяга соответствует общепринятой для всех 15-ти вариантов,то есть 0,12 мм. Исчезновение контактного давления является опасным с точкизрения надежности соединения деталей, поэтому изучение этой проблемы являетсяважным и актуальным. Варианты профильных соединений изображены нарис. 1-15. Геометрические размеры приведены в табл. 1, характеристики материалов– в табл. 2.Рисунок 1 – Первый вариантРисунок 2 – Второй вариантРисунок 3 – Третий вариантРисунок 4 – Четвертый вариантДля сравнительного анализа профильных соединений придерживалисьследующих условий: во всех видах соединений предполагается равенствовнешних периметров втулок S 1 , равенство периметров посадочных поверхностей2 S 2 и S, равенство усредненных значений величин натяга δ = 0,12 мм.Профильные соединения характеризуются достаточно равномернымраспределением напряжений по периметру зоны сопряжения вала и втулки,что позволяет рассматривать НДС такого соединения как плоское напряженноесостояние.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 39

Рисунок 5 – Пятый вариантРисунок 6 – Шестой вариантРисунок 7 – Седьмой вариантРисунок 8 – Восьмой вариантРисунок 9 – Девятый вариантРисунок 10 – Десятый вариант40 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 11 – Одиннадцатый вариантРисунок 12 – Двенадцатый вариантРисунок 13 – Тринадцатый вариантРисунок 14 – Четырнадцатый вариантРисунок 15 –Пятнадцатый вариантISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 41

Таблица 1 – Геометрические размеры профильных соединений с натягомНазвание геометрического параметразначение,[мм]1 2Радиус большого круглого отверстия r 0 62Внешний радиус круглой втулки r Д 110Периметр зоны контакта S = 2 S 2 390Внешний периметр втулки S 1 691Большая полуось большого эллипса (втулки) a 122Малая полуось большого эллипса (втулки) b 97Расстояние от центра большого эллипса (втулки) до фокуса c 74Большая полуось малого эллипса (вала) a ~ 69Малая полуось малого эллипса (вала) b ~ 55Расстояние от центра малого эллипса (вала) до фокуса c ~ 42Величина эксцентриситета e 20Расстояние от центра до вершин вспомогательного треугольника a 2 48Большой радиус криволинейного треугольника R 102Малый радиус криволинейного треугольника r 1 18Малый радиус криволинейного квадрата (вала) r 2 14Длина прямой стороны криволинейного квадрата (вала) a 1 75Длина стороны шестиугольника m 1 65Радиус среднего круглого отверстия r 1 = r' 0 30Расстояние от центра большого эллипса (втулки) до центра среднего 60отверстия dБольшой радиус криволинейного квадрата (втулки) r' 0 30Величина прогиба криволинейного квадрата (втулки) f 5Длина изогнутой стороны криволинейного квадрата (втулки) n 63Радиус малого круглого отверстия r" 0 20Расстояние от центра криволинейного квадрата (втулки) до центра 60малого отверстия m 2Таблица 2 – Характеристики материаловНазвание физического параметраЗначение для Значение длястали 40Х меди М1ФМодуль Юнга Е, [МПа] 2,1 10 5 1,1 10 5Коэффициент Пуассона ν 0,3 0,35Плотность ρ, [кг/м 3 ] 7800 8920Коэффициент теплового расширения α, [К -1 ] 11,7 10 -6 16,5 10 -6Предел текучести σ Т , [МПа] 785 300Предел прочности σ В , [МПа] 980 400Коэффициент трения µ 0,15 0,18В ходе работы с целью минимизации времени проведения одного расчетапо возможности рассматривалась наименьшая представительская часть42 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

симметричной конструкции с применением граничных условий симметричногозакрепления.Теоретические основы МКЭ для расчета НДС профильных соединенийс натягом, реализованных в ПК ANSYS. Поставленная задача моделироваласьс помощью МКЭ в ПК ANSYS. Для решения проблемы использовалсястандартный конечный элемент программного пакета – плоский восьмиузловой прямоугольный элемент, PLANE 82, который имеет две степени свободыв каждом узле. Реализация контактной деформируемой поверхности(для двумерной постановки задачи) требует создания на этой поверхностиконтактных элементов CONTA172 и целевых элементов TARGE 169, отвечающихпервым. Решение задачи МКЭ приводит к системе линейных алгебраическихуравнений:[ K ]{ U} = { F}, (1)где [K] – матрица жесткости тела, состоящая из матриц жесткости конечныхэлементов, {U} – вектор-столбец узловых перемещений, {F} – вектор приведеннойвнешней нагрузки.Полученные результаты и их анализ. В результате исследования былиполучены критические значения изменения температуры деталей 15-ти вариантовсоединений, находящихся под действием температурных нагрузок.Ниже представлены полученные результаты в виде табл. 3. В ней втораястрока содержит критические значения изменения температуры деталей, когдаматериал вала – сталь, втулки – медь; а шестая строка – соответственнонаоборот. Так же приведены рисунки с суммарными перемещениями и эквивалентныминапряжениями, соответствующие этим критическим значениям.Расшифровку их нумерации можно видеть в табл. 3. Так как при критическихзначениях контактное давление между сопрягаемыми деталями отсутствует,рисунки с давлением опущены ввиду их однообразности и не информативности.Рисунок 16 – Первый вариантРисунок 17 – Первый вариантISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 43

Рисунок 18 – Первый вариантРисунок 19 – Первый вариантРисунок 20 – Второй вариантРисунок 21 – Второй вариантРисунок 22 – Второй вариантРисунок 23 – Второй вариант44 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 24 – Третий вариантРисунок 25 – Третий вариантРисунок 26 – Третий вариантРисунок 27 – Третий вариантРисунок 28 – Четвертый вариантРисунок 29 – Четвертый вариантISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 45

Рисунок 30 – Четвертый вариантРисунок 31 – Четвертый вариантРисунок 32 – Пятый вариантРисунок 33 – Пятый вариантРисунок 34 – Пятый вариантРисунок 35 – Пятый вариант46 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 36 – Шестой вариантРисунок 37 – Шестой вариантРисунок 38 – Шестой вариантРисунок 39 – Шестой вариантРисунок 40 – Седьмой вариантРисунок 41 – Седьмой вариантISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 47

Рисунок 42 – Седьмой вариантРисунок 43 – Седьмой вариантРисунок 44 – Восьмой вариантРисунок 45 – Восьмой вариантРисунок 46 – Восьмой вариантРисунок 47 – Восьмой вариант48 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 48 – Девятый вариантРисунок 49 – Девятый вариантРисунок 50 – Девятый вариантРисунок 51 – Девятый вариантРисунок 52 – Десятый вариантРисунок 53 – Десятый вариантISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 49

Рисунок 54 – Десятый вариантРисунок 55 – Десятый вариантРисунок 56 – Одиннадцатый вариантРисунок 57 – Одиннадцатый вариантРисунок 58 – Одиннадцатый вариантРисунок 59 – Одиннадцатый вариант50 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 60 – Двенадцатый вариантРисунок 61 – Двенадцатый вариантРисунок 62 – Двенадцатый вариантРисунок 63 – Двенадцатый вариантРисунок 64 – Тринадцатый вариантРисунок 65 – Тринадцатый вариантISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 51

Рисунок 66 – Тринадцатый вариантРисунок 67 – Тринадцатый вариантРисунок 68 – Четырнадцатый вариантРисунок 69 – Четырнадцатый вариантРисунок 70 – Четырнадцатый вариантРисунок 71 – Четырнадцатый вариант52 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 72 – Пятнадцатый вариантРисунок 73 – Пятнадцатый вариантРисунок 74 – Пятнадцатый вариантРисунок 75 – Пятнадцатый вариантВариантсоединенияКритические значения изменениятемпературы деталей(сталь-медь) ΔТ, [ ° С]Характеристики НДССуммарные перемещения,[мм]Эквивалентные напряжения,[МПа]Критические значения изменениятемпературы деталей(медь-сталь) ΔТ, [ ° С]Характеристики НДССуммарные перемещения,[мм]Эквивалентные напряжения,[МПа]Таблица 3 – Основные результаты исследованияпрофильного123456789101112131415+201,55+226,8+50+201,61+41,1+41+235,9+244,3+222+201,2+201,6+227+227+202+220,7Номера рисунков162024283236404448525660646872172125293337414549535761656973-201,55-226,8-40,98-201,52-41-41-231,4-244,3-222-201,2-201,6-226,8-226,8-202-202Номера рисунков182226303438424650545862667074192327313539434751555963677175ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 53

Выводы. В результате исследования были найдены критические значенияизменения температуры деталей 15-ти вариантов профильных соединенийс натягом. На основе этих данных проведен сравнительный анализ, которыйопределил оптимальный вариант среди остальных – восьмой. Это обусловленотем, что критические значения изменения температуры в этом вариантевыше, чем в остальных (+244,3 °С и -244,3 °С), соответственно, соединениевала с втулкой в этом случае является наиболее надежным с точкизрения влияния температурных нагрузок.Список литературы: 1. Тарабасов Н. Д. Расчет напряженных посадок в машиностроении. – М.:Машгиз, 1961. – 264 с. 2. Берникер Е. И. Посадка с натягом в машиностроении. – М.: Машиностроение,1968. – 168 с. 3. Басов К. А. ANSYS: справочник пользователя. – М.: ДМК Пресс, 2005.– 640 с.Надійшла до редколегії 12.06.2012УДК 539.3С. ДАРЯЗАДЕ, аспирант, НТУ «ХПИ»;Г. И. ЛЬВОВ, д-р техн. наук, профессор, НТУ «ХПИ»МИКРО- И МАКРО-КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГОТВЕРСТИЙ В КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИНАХЦя стаття присвячена обчисленню мікро- і макронапружень та повного напруження в ортотропнихпластинках із отвором при концентрації напружень навколо межі отвору. Макронапругаобчислена за допомогою змішаних функцій змінних і ПК ANSYS. Результати мікронапруг отриманіза допомогою ПК ANSYS із застосуванням чисельних граничних умов. Повні значеннянапруження на арматурі в пластинках із композитних матеріалів були обчислені для тетрагональнихі гексагональних структур, заснованих на різних величинах займаного об'єму.Ключові слова: пружність, концентрація напруження, ортотропна пластинка, отвір.Данная статья посвящена вычислению микро- и макронапряжений и полного напряжения в ортотропныхпластинках с отверстием при концентрации напряжения вокруг границы отверстия.Макронапряжение вычислено с помощью смешанных функций переменных и ПК ANSYS. Результатымикронапряжений получены при помощи ПК ANSYS с применением численных граничныхусловий. Полные значения напряжений на арматуре в пластинках из композитных материаловбыли вычислены для тетрагональных и гексагональных структур, основанных на различныхвеличинах занимаемого объема.Ключевые слова: упругость, концентрация напряжения, ортотропная пластинка, отверстие.The current paper deals with the calculation of micro and macro stress and total stress in orthotropicplanes with circular hole at stress concentration of hole border. Macro stress is calculated by mixed© С. Дарязаде, Г. И. Львов, 201254 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

variables functions and ANSYS. By the required results, micro stress is calculated by applying boundaryconditions by numerical computations by the aid of ANSYS. Finally, the total stress values on reinforcementin composite planes were calculated for square and hexagonal structures based on variousvalues of volume occupancy.Keywords: elasticity, stress concentration, orthotropic plane, hole.ВведениеВ технике и строительстве во многих случаях применяются детали в видепластинки с отверстием. Рассматривая развитие механики и металловедения,а также наши потребности в промышленности, можно отметить, чтокомпозитные материалы имеют большое значение. Анализ пластинок с отверстиемпод действием сил необходимо проводить с учетом концентрациинапряжений. Пластинки с отверстием рассматривались различными методами,но смешанные функции Каласои – Мусхелишвили Н. И. для двумерногослучая [9] важны в теории упругости пластинки [6, 11]. Особенностью этогометода является точный математический анализ с согласованными различнымирешениями. Впервые Лехницкий С.Г. [8] при помощи смешанныхфункций исследовал проблему ортотропии пластинки с отверстием и провелее теоретический анализ, представив некоторые формулы как результатыработы. Савин Г.Н. [12] выполнил некоторые исследования в этом отношении.Гресчук, исследовав изотропный материал и несколько однонаправленныхсоединений, показал распределение напряжений вокруг отверстия.В этой статье вычислены полные напряжения вокруг отверстия в ортотропныхпластинках, значения концентрации макронапряжений для различныхтетрагональных и гексагональных микроструктур для различных значенийпропорций объемного компонента. Также исследованы различные внутренниеструктуры пластинок между матрицей и волокнами и «отношенияобъемного компонента». В этой статье был применен смешанный методфункций, предложенный Ваниным.При помощи макронапряжения, оценивающего концентрацию напряжений,мы численно исследовали местоположение концентрации вокруг круглогоотверстия, введя граничные условия, изучили геометрию внутреннейструктуры местоположения концентрации напряжения в пластинке на границеотверстия и получили напряжение на арматуре для различных состояний,а также вычислили полное напряжение.Определение упругих эффективных постоянных для ортотропныхпластинокЧтобы найти характеристики упругого плоского напряженного состоянияортотропного материала, мы определяем четыре основные константы.Для этого используем упругий эффективный метод констант для смешанныхфункций. Эти константы определяют, исследуя продольно-поперечное растяжение,продольно-поперечное сжатие, напряжения и вводя некоторыеуравнения для элементов констант упругости. Эти уравнения зависят от особенностейматериала матрицы-арматуры и внутренней структуры этих двухISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 55

пластинок [4, 5].Как следует из уравнения [2]:1− ξ + ( 1− ξ)⋅GG = Gm1− ξ + 1+ ξ ⋅G2E1=Em b12 ;( ) m Gb( χm+ 1)( υm− υb) ξυ21 = υm−;2 − ξ + χmξ + ( 1− ξ)( χb−1) ⋅GmGb8Gmξ( )( 1− ξ)( υb− υm)= ξEb− 1− ξ Em+2 − ξ + χmξ + ( 1− ξ)( χb−1) ⋅GmGb2( υ21) 1 ⎡2( 1− ξ)( χm−1) + ( χb−1)( χm−1+2ξ)⋅Gm+ ⎢E18G⎣ 2 − ξ + χmξ + ( 1− ξ)( χb−1)⋅GmGbχm( 1− ξ) + ( 1+ ξ)χm⋅GmGb⎤+ 2⎥;χ + ξ + ( 1− ξ)⋅GG1 ;mm b ⎦E2Равенство υ 12 = υ21как χm= 3 − 4υmи χb= 3 − 4υb.E1В вышеупомянутых уравнениях E 1 , E 2 , G, υ 12 , υ 21 – средний модуль композитногоматериала и E m , G m , υ m и E b , G b , υ b – матрица и коэффициенты волокна,соответственно.Все переменные для арматуры обозначены индексом «b», для матрицы –индексом «m». Вычисляем упругие постоянные характеристики сложныхматериалов, представляем соотношения для объемных составляющих материаловв соединении и геометрической формы пластинки.Схематические диаграммы тетрагональной и гексагональной плоскостипоказаны на рис. 1 и 2.Мы исследуем простую форму и геометрическую форму для однонаправленныхкомпозитов арматуры.Учитывая поперечное сечение, контур детали и повторяемость арматуры,обозначенное векторами w 2 = w 1 · b · e α , w 1 , мы можем сказать, что отношениеобъема составляющих материалов в композите показывает следующаяформула [2]:π⋅ aξ =,2w1⋅b⋅sinαuде a – радиус волокон.На рис. 1, 2 показаны схематические диаграмму структуры тетрагональногои гексагонального волокна.В табл. 1 и 2 показано отношение объема для различных расстояниймежду двумя волокнами в тетрагональной и гексагональной структуры.Мы вычислили результаты для пластинки, сделанной из композитногоматериала, используя формулы, данные выше и используя ПК MAPLE. Вы-56 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)2GGb+(1)

числения были повторены с использованием ПК ANSYS для проверки соответствиярезультатов.Рисунок 1 – Схематическая диаграмма структуры тетрагонального волокнаРисунок 2 – Схематическая диаграмма структуры гексагонального волокнаТаблица 1 – Расстояние между центрами двух волокон и отношения объемав тетрагональной структуре0.049 0.1225 0.196 0.488 0.78 ξ4 a 3.5 a 3 a 2.5 a 2 a w 1Таблица 2 – Отношение между центрами двух волокон и отношения объемав гексагональной структуре0.0574 0.142 0.227 0.573 0.92 ξ4 a 3.5 a 3 a 2.5 a 2 a w 1Принимая ортотропную пластинку со стекловолокном и рассматривая следующиемеханические особенности выполнены численные вычисления. Мат-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 57

ричные механические характеристики имеют тип полимера эпоксидная смолакак E m = 3500 МПа, G m = 1320 МПа, υ m = 0.32 и волокно с характеристикамиE a = 235000 МПа, G a = 90400 МПа отношений и Пуассона υ a = 0.3 [7].В табл. 3 приведены характеристики ортотропной стеклопластинки, полученныепо формулам (1), (2) при ξ = 0.488 [3].Таблица 3 – Механические характеристики ортотропной стеклопластинкиξ E 1 , МПа E 2 , МПа G, МПа υ 210.488 38380 11190 1380 0.31Распределение напряжений в ортотропной пластинке с круглым отверстиемМы рассматриваем состояние, в котором напряжение вычисляется вдалиот круглого отверстия ортотропной пластинки. Очевидно, что при распределениинормального давления равномерно в границе круга, концентрация напряженияимеет место. Чтобы вычислить концентрацию напряжения, мы использовалинекоторые соотношения, основанные на полярных координатах(рис. 3).Рисунок 3 – Ортотропная пластинка с отверстиемКоордината θ определяется относительно оси x. Для удобства при получениирезультата мы рассматриваем следующие уравнения:1− 2υ 1Em = ; G4E1k = ; n = 2 k + m ;E1 sin θ ⎛ 1 2υ1⎞ 2 2 sin θ= + ⎜ ⎟sinθcosθ +E E−1 G E, (4)θ ⎝ 1 ⎠E2где E θ – модуль Юнга для тангенциального направления.На границе отверстия круга при приложении напряжения P на краю пластинкив направлении оси x напряжение на границе отверстия вычисленоследующим образом[8]:σ θ = P · f(θ), (5)58 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)24

Ψ – угол между осью x на пластинке и главным направлением,Eθ 22 2 2 2f ( θ) = { n − k + n( k −1) cos θ + [( k + 1)− n ] sin θcosθ},E1σ(θ) max – максимальные напряжения на границе отверстия.В точке А на границе отверстия возникают максимальные напряжения,если напряжение действует вдоль оси x.Очевидно, что концентрация напряжения в границе на отверстии равнаK macro = σ(θ) max /P. (6)С тетрагональными и гексагональными формами мы рассматриваемструктуру, в которой равномерная напряжение P приложено на краю отверстийортотропной стекловолоконной пластинки с тетрагональными формами,причем P = 100 МПа и ξ = 0.488.В этом случае напряжение, полученное программой MAPLE, показанона рис. 4 в стекловолоконной пластинке с круглым отверстием.Рисунок 4 – Распределение напряжения вокруг отверстия для стекловолокнатетрагональной структуры с ξ = 0.488 при θ от 0 до 90°Конечное моделирование элементаВ этой части рассмотрим конечноэлементное моделирование и анализсложной пластины с круглым отверстием для однонаправленных волокон,используя ANSYS. Пластина разбита сеткой с элементами PLANE2с шестью узлами и двумя степенями свободы в узел в направлениях x и y.Из-за симметрии для задачи рассмотрим только 2 модели, как показано нарис. 5 [1, 10].ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 59

aбРисунок 5 – С PLANE2 2 пластины, разбитые на конечные элементы:а – модель 1; б – вложенная модель ячейкиДля этого случая на рис. 6 показана концентрация напряжений в стекловолоконнойпластинке и вокруг отверстия, полученная ПК ANSYS, для тетрагональнойструктуры ξ = 0.488.Рисунок 6 – Распределение напряжения для стекловолокна тетрагональной структурыпри ξ = 0.48860 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Вычисление микро напряженийПластинки с тетрагональными и гексагональными формами состоят изматрицы и арматуры. При вычислении максимальных напряжений необходимоучитывать внутреннюю структуру пластинки. Поскольку это было принятов первой части, к отверстию пластинки приложено напряжение вдольоси x в точке А (см. рис. 3).Напряжение было вычислено с учетом поперечного сдвига и рассмотренагеометрия микроструктуры в точке А при различных величинах соотношенийобъема компонента для тетрагональных и гексагональных форм.Пусть нормальное давление распределено равномерно по краю отверстия иконцентрация напряжения создана в точке A.Пластина разбита на отдельные типичные ячейки. Эти ячейки копируютсяпо толщине пластинки. Секция внутренней структуры ортотропной пластинки,состоящего из матрицы и арматуры с поперечного сдвига в точке Aпоказана для тетрагональных и гексагональных форм в рис. 7.абРисунок 7 – Вложенная модель ячейки, нормальное давление распределено равномернопо краю отверстия: a – тетрагональное устройство волокна; б – гексагональноеВ этом случае пластинка растянута вдоль осей x, z и сжата вдоль осиy. Поскольку арматура размещена вдоль оси x, это означает, что арматураподвержена продольному растяжению. Мы рассматриваем часть для двухструктур в точке A, в этой части действует напряжение σ(θ) max . Очевидно,что из-за этого напряжения форма арматуры в матрице изменена. Этовычислено ПК ANSYS и применены граничные условия на форме геометриидля тетрагональных и гексагональных структур числовым методом.Рассматривая ответ этой частично внутренней структуре пластинки, линииDE, EC, OC, OD, являются симметрическими. При смещении ОС углыувеличивает в оси z, и смещение – ноль вдоль оси y, таким образом, присмещении OD углы уменьшены вдоль оси y, и ее смещение вдоль z установленои равно нулю (рис. 7).ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 61

σ y = –σ θ(x)max и EC углы на оси z со смещением W 0 и является V 0 на оси yкак основанным на условии симметрии этой структуры на EC, которое мыимеем ∫ σz dy = 0 и на DE ∫ σ y dz = −σ θ( x)max.Применяя эти условия, максимальное напряжение, приложенное кструктуре пластинки из-за σ θmax , достигнуто.Концентрация напряжения равнаK micro = σ max /σ (θ)max . (7)где K 1 – микроконцентрация напряженияВычисление суммарного напряжения производим по формулеσmaxK = Kmacro⋅ Kmicro= . (8)PНа рис. 8 показано микронапряжение в стекловолоконной пластинки наарматуре в точке А, где нормальное давление распределено равномерно покраю отверстия.Рисунок 8 – Микронапряжение в стекловолоконной пластинкена арматуре в точке А с ξ = 0.488Таблица 4 – Максимальные напряжения на границе круга для тетрагональной моделиξ K macro K micro K0.78 5.9 0.6 40.488 3.8 1.75 6.650.196 2.3 3.47 80.122 1.85 5.18 9.580.049 1.4 12.42 17.462 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Табл. 4 и 5 показывают микро-, макроконцентрацию напряжений на границекруга и коэффициенты концентрации на арматуре в местоположенииконцентрации напряжения вокруг границы тетрагональных и гексагональныхформ для нормального давления P = 100 МПа, которое действует на границеотверстия.Таблица 5 – Максимальные напряжения на границе круга для гексагональной моделиξ K macro K micro K0.92 8.6 0.43 3.70.573 4.3 1.24 5.350.227 2.4 3.06 7.340.142 1.95 4.36 8.50.057 1.4 10.46 14.65ЗаключениеОсновываясь на численных результатах, можно сделать вывод, что сувеличением расстояния между двумя центрами арматурами отношение объемакомпонента уменьшено и мы можем предположить концентрацию напряжениядля другого отношения объема компонента (гексагональный и тетрагональный).Когда подкрепление становится далеким друг от друга, концентрациянапряжений уменьшена и ортотропная пластинка приближаетсяпо свойствам к изотропной пластинке, и микроконцентрация напряженияувеличена с сокращением количества арматуры, каждая арматура должнапереносить значительное величину напряжения.Для макронапряжения увеличено напряжение в гексагональной форме, когдак двум арматурам приближенных к тетрагональной, и результаты становятсяпоследовательными постепенно. Однако, в микронапряжении, напряжение вгексагональной структуре меньше чем в тетрагональной структуре.Полное напряжение, наложенное на арматуру, увеличено с сокращениемотношения объема компонента в обеих структурах.На основании результатов этой статьи, численных результатов и сравненииих, можно предсказать концентрацию напряжения при других величинахотношений объема компонента.Список литературы: 1. Басов К. А. ANSYS. Справочник. – М.: 2005. –635 с. 2. Ванин Г.А. Микромеханикакомпозиционных материалов. – К.: Наукова думка, 1971. – 304 с. 3. Дариязаде С.Исследование концентрации напряжений вокруг отверстия в пластинах из однонаправленныхкомпозитов // Вестник НТУ «ХПИ». – 2010 – № 37. – C. 68-79. 4. Малмейстер А.К., Тамуж В.П.,Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. – Рига: Зинатне, 1980. –572 с. 5. Тарнопольский Ю.М. Розе А.В. Особенности расчета деталей из армированных пластиков.– Рига: Зинатне, 1969. – 274 с. 6. Лаврентьев М.А, Шабат Б.В. Методы теории функцийкомплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с. 7. Липатов Ю. С., Уманский Э. С. Композиционныематериалы. Справочник. – К.: Наукова думка, 1985. – 592 с. 8. Лехницкий С.Г. Теорияупругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. –415 с. 9. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основныезадачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с. 10. Образцов И.Ф.,Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики лета-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 63

тельных аппаратов. – М.: Высшая школа, 1985. – 392 с. 11. Партон В.З., Перлин П.И. Методыматематической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 688 с. 12. Савин Г.Н. Распределениенапряжений около отверстий. – К.: Наукова думка, 1968. – 888 с.Поступила в редколлегию 20.06.2012УДК 539.3В. М. ДЕЕВ, канд. техн. наук, доц., Пермский государственный педагогическийуниверситет;И. В. МАШИНА, науч. сотр., Пермский государственный педагогическийуниверситетНОВАЯ ТРАКТОВКА ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙУ статті розглянуто нове трактування теорії визначників.Ключові слова: матриця, визначник.В статье рассмотрена новая трактовка теории определителей.Ключевые слова: матрица, определитель.New interpretation of theory of determinants is considered in the article.Keyword: matrix, determinant.Введение. Решая задачу СЛАУ методом исключения переменных,Г.Крамер (31.08.1704 – 4.05.1753) догадался для сокращения записи решенияввести квадратные таблицы, составленные из коэффициентов СЛАУ. Этитаблицы были названы определителями или детерминантами. В дальнейшеморигинальные усовершенствования в работах по определителям сделалиП.Ф.Саррюс и Лунс Кэррол. В XVIII-XX веках нет ни одного серьезного математика,который бы не внес свою лепту в теорию определителей. Труд этихматематиков отражен в трех книгах швейцарского математика Томаса Муира,которые не были переведены на русский язык. Однако книги Т.Муира малопригодны для чтения из-за того, что тексты в них фрагментарны из-за ссылокна оригинальные (и очень интересные) работы, бесполезные в силу их современнойнедоступности.Основная часть. Теория определителей Г.Крамера продолжает развиватьсяи в настоящее время. Однако иногда происходят некоторые неожиданности.Оказывается, что теория определителей тесно связана с теориейобыкновенных дробей. В [1] было показано, что определитель Г.Крамера ра-© В. М. Деев, И. В. Машина, 201264 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

вен разности двух дробей ba и dc , деленной на их общий знаменатель bd.Развивая эту идею, мы можем здесь записать следующую формулу⎛ a c ⎞ a c⎜ ∓ ⎟ bd = = ad ∓ bc . (1)⎝ b d ⎠ b d−Сохраняя в (1) знак минус, получаем определитель Г.Крамера Д 2 , сохраняяв (1) знак плюс, получаем наш определитель Д 2 , который до на-+стоящего времени не был выявлен. Таким образом, квадратная матрица второгопорядка имеет два определителя: минусовой и плюсовой, то есть Д 2 и−+Д 2 . Можно теперь написать интересную формулу+ − a cД 2 ⋅ Д2= . (2)2 2b d−Далее мы делаем предположение, что существуют определители Д n и+Д n , которые являются определителями квадратной матрицы n-го порядка.Для получения этих определителей предлагается следующая формула:ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 652ЛВn−1ЛНn−1∓−2ПрВn−1ПрНn−1центр Д ДД n ⋅ Дn− 2 =. (3)Д ДЭта формула справедлива, когда все определители, обозначенные в ней,являются минусовыми и плюсовыми. В формуле (3) введены следующие обозначения:ЛВ – левый верхний, ЛН – левый нижний, ПрВ – правый верхний,ПрН – правый нижний центральный определители. Зная размеры этих определителей,легко их выделить, а также определитель n-го порядка. Полученные5 определителей из определителя n-го порядка, в свою очередь, разделяютсяна 5 определителей меньшего порядка (с помощью аналогичной формуле(3)). Продолжая разделение полученных определителей, мы придем к некоторомунабору определителей 1, 2 и 3 порядка.Выводы. Вычисляя их, мы обратным ходом находим нужные определители,входящие в формулу (3). Формула (3) позволяет нам из найденных определителейполучить определитель Д п (минусовый или плюсовый). ОпределителиД n и Д n имеют различные значения, но если один из них равен ну-− +лю, то второй уже нулем быть не может. Следует отметить, что значение определителейД n и Д n могут быть получены методом конденсации [2]. Пре-− +дельный вариант метода конденсации и приводит к формуле (3).Список литературы: 1. Деев В.М. От обыкновенных дробей к определителю и обратно // Тез.конф. Математическое моделирование в естественных науках. – Пермь: Из-во Пермского госу-

дарственного технического университета, 2010. – С. 44-45. 2. Деев В.М. Новый метод вычисленияопределителей // Тез. докл. Уральской научно-технической конф. Геометрическое моделированиеи начертательная геометрия. – Пермь: 1987. – С. 40-41.Поступила в редколлегию 11.10.2012.УДК 621.039П.Н. ДЕМИДОВ, аспирант, НТУ «ХПИ»;А.С. КИПОРЕНКО, канд. техн. наук, доцент, УИПА, Харьков;С.М. ПОЛИЩУК, канд. техн. наук, доцент, УИПА, Харьков;А.И. ТРУБАЕВ, канд. техн. наук, доцент, НТУ «ХПИ»;В.М. ЧИЖИКОВА, аспирант, УИПА, ХарьковОЦЕНКА ВИБРАЦИОННОГО СОСТОЯНИЯ ТРУБОПРОВОДОВАЭС И ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИХ БЕЗОПАСНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИРозглянуті причини підвищеної вібрації трубопровідних систем після реконструкції, проведеноїв період планово-запобіжних робіт. Побудована скінченно-елементна модель ділянки трубопроводута визначені амплітудно-частотні характеристики і поперечні перетини системи з найбільшоюамплітудою коливань. На основі отриманих результатів дані рекомендації зі зниження вібраційдо безпечного рівня.Ключові слова: вібрація, трубопровідні системи, амплітудно-частотні характеристики.Рассмотрены причины повышенной вибрации трубопроводных систем после реконструкции,проведенной в период планово-предупредительных работ. Построена конечно-элементная модельучастка трубопровода и определены амплитудно-частотные характеристики и сечения системыс наибольшей амплитудой колебаний. На основе полученных результатов даны рекомендациипо снижению вибраций до безопасного уровня.Ключевые слова: вибрация, трубопроводные системы, амплитудно-частотные характеристики.The reasons of vibrations after the reconstruction of piping systems during planned preventive work areconsidered. A model of the pipeline on the basis of the finite element method is built and the amplitudefrequencycharacteristics and the cross sections with the greatest amplitude of oscillation are determined.Based on these results guidelines are given to reduce vibrations to a safe level.Keywords: vibration, piping systems, amplitude-frequency characteristics.ВведениеВ связи с окончанием срока эксплуатации некоторых энергоблоков АЭСУкраины, особое внимание уделяется обеспечению безопасности работы какотдельных элементов оборудования, так и всего топливно-энергетическогокомплекса. Одним из факторов, оказывающим существенное влияния на© П. Н. Демидов, А. С. Кипоренко, С. М. Полищук, А. И. Трубаев, В. М. Чижикова, 201266 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

безопасную работу энергооборудования, является вибрация трубопроводныхсистем. На некоторых участках трубопроводных систем уровень вибрациинастолько высок, что приводит к различным повреждениям (обрыв креплений,образование свищей и проч.) и отказам трубопроводов, и, как следствиевозникают простои энергоблоков и высокие материальные потери.Постановка задачиВ 2011 году на Южно-Украинской АЭС была проведена реконструкциятрубопроводной системы конденсата греющего пара от ПВД-6 (подогревателявысокого давления) в деаэратор блока №2 (рис. 1). Здесь указаны линейныеразмеры и цифрами в квадратных рамках обозначены пружинные подвески.Рисунок 1 – Аксонометрическая схема трубопровода, подающего конденсат греющегопара от ПВД-6 в деаэратор блока №2 на участке отм. +30,00; +44,60(м)Реконструкция данного участка заключалась в изменении трассировкидля разделения потоков в деаэраторе с целью уменьшения эрозионнокоррозионногоизноса металла трубопровода.После проведенных работ по реконструкции при пуске энергоблока для наборамощности осуществлялся подъем уровня давления теплоносителя в ПВД дономинального значения. При этом на трубопроводе, подающем среду в деаэратор,возникли колебания с амплитудой до 2000 мкм, что приводило к соударениямтруб с другим оборудованием. В табл. 1 приведены данные измерений вибрации,проведенные персоналом АЭС, в районе отметки 35,55 м. Здесь V скз – среднеквадратическиезначения виброскоростей, А – амплитуды компонент виброперемещенийв направлении осей координат, f – частота колебаний трубопровода.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 67

При этом амплитуды виброперемещений системы на отметке 44,60 м по визуальнойоценке составляли несколько сантиметров (по техническим причинам ихневозможно было замерить с помощью вибродатчика).Таблица 1 – Данные измерений, проведенные в районе отм. 35,55 мНаправлениеВертикальный участок, (отм.+ 35,50)V скз ,мм/с А, мкм f, ГцX3 2,0 25 1,12X2 8,5 1400 1,12X1 6,8 1800 1,12Расход среды при подаче в деаэратор составил всего 25% от номинального(номинальный массовый расход G=520 т/час). Было необходимо выявитьпричины повышенных вибраций трубопровода и дать рекомендации поих снижению.Определение динамических сил, воздействующих на трубопроводДля выявления причин возникновения повышенных вибраций трубопроводапроведен расчет теплофизических характеристик потока транспортируемойсреды. Скорость движения среды рассчитывается по данным номинальногомассового расхода из соотношения:w = G m / (S·ρ cм ), (1)где G m – массовый расход кг/с; S – площадь поперечного сечения трубопровода;ρ cм = ρ в (1 − φ) + ρ п φ – плотность смеси для двухфазной среды; ρ в – плотностьводы при рабочей температуре; φ – паросодержание; ρ п – плотностьпара при рабочей температуре. Плотности воды и пара определяется по таблицамтеплофизических свойств воды и водяного пара [1].Исходные данные для расчета следующие: рабочие параметры среды вПВД-6 – давление Р = 1,55 МПа, температура t = 188 о С; в деаэраторе Д-7ата– давление Р = 0,6 МПа, температура t = 164 о С. Материал трубопровода –сталь 20. Геометрические размеры сечения трубопровода Ø420х14.В табл. 2 представлены значения паросодержания и плотности среды похарактерным сечениям трубопровода (на рис. 1 указаны номера сечений).№сеченияТаблица 2 – Теплофизические свойства воды и водяного параПлотность Паро-Плотностьпара при рабочейтемперажаниесодер-Давлениесмеси,туре, ρ п , кг/м 3ρφ, % cм , кг/м 3 Р, МПаПлотностьводы при рабочейтемпературе,ρ в, кг/м 3Скоростьдвижениясреды,w, м/с1 864,9 7,84 0,1 779,20 1,25 1,492 877,2 6,36 0,2 703,00 1,24 1,693 882,5 5,64 0,5 444,10 1,22 2,604 904,7 3,5 0,8 183,74 1,10 6,3068 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Из предыдущего опыта [2-4] известно, что наличие фазового переходасвидетельствует о вскипании потока, пульсациях давления и возникновениигидродинамических сил на поворотах трубопровода при движении теплоносителя,что и является причиной повышенной вибрации.Рисунок 2 – Аксонометрическаясхема трубопровода с указаниемсил, вызванных пульсациейпотокаСтатические составляющие усилий, возникающихв трубопроводе от давления и температурныхвоздействий, вызывают предварительноенапряженное состояние и учитываютсяпри расчете системы на прочность [5]. Дляупрощения расчета вынужденных колебанийучитывалась только динамическая составляющаявнутреннего давления. Амплитуды вынуждающихсил на поворотах составляютP1 = P2 = 800, P3 = P4 = 655.5, P5 = 641,P6 = P7 = P8 = 569.3 H, а частоты воздействияизменяются в диапазоне 0,5-3 Гц [6]. На рис. 2представлена схема трубопровода с указанныминаправлениями действия сил, возникающихпри движении транспортируемой среды, иточками, в которых проводился расчет амплитудно-частотныххарактеристик (АЧХ). Внижней части системы физические параметрытранспортируемой среды и особенности геометриитаковы, что не возникает существенныхколебаний трубопровода [2].Результаты расчета собственных и вынужденных колебаний трубопроводнойсистемы и выработка практических рекомендаций по снижениюуровня вибрацийРешение задачи проводилось методом конечных элементов (МКЭ).Уравнение вынужденных колебаний конечно-элементной модели конструкцииимеет вид[M]{ y } + [R]{ y } + [K]{y} = {F(t)}, (2)где [M], [R], [K]–матрицы масс, демпфирования и жесткости соответственно,{y} – вектор узловых перемещений, {F(t)} – вектор динамических сил.Для моделирования трубопровода использовался стержневой элемент сшестью степенями свободы в узле, а для моделирования промежуточныхопор – стержневой элемент, имеющий свойства растяжения-сжатия, с тремястепенями свободы в каждом узле [7].Первые три собственные формы представлены на рис. 3, а в табл. 3представлены расчетные значения собственных частот трубопровода. Частотысистемы до модернизации, определенные экспериментально в месте крепленияпружинной опоры 23, (отм.+ 40,00), имеют следующие значения (Гц) :ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 69

0,63 ; 1,13; 1,63; 2,13; 2,63; 3,13; 3,63;5,13;10,1. Так как идентификация номераэкспериментальной частоты затруднительна из-за того, что не все формысобственных колебаний проявляются в месте крепления пружинной опоры23, то можно говорить о том, что экспериментальные частоты соответствуютотдельным значениям теоретического спектра. Например значение 0,63 Гцсоответствует частоте № 3, 1,13 – частоте № 5 и т.д.Таблица 3 – Собственные частоты трубопровода (Гц)№Частота до Частота послеЧастота до Частота после№модернизации модернизациимодернизации модернизации1 0,24 0,68 11 3,10 4,652 0,43 0,85 12 3,28 4,793 0,71 1,09 13 3,85 5,164 1,01 1,32 14 4,30 5,785 1,11 1,61 15 4,91 6,026 1,29 2,31 16 5,14 6,847 1,55 2,47 17 5,62 7,358 1,90 3,07 18 6,30 7,479 2,29 3,48 19 6,61 8,7210 2,84 3,86 20 6,88 9,07Для уменьшения уровня вибраций можно рекомендовать:– изменение трассы трубопроводов;– изменение режима подачи среды;– установку дополнительных опор.а б вРисунок 3 – Формы собственных частот:а – форма № 1; б – форма № 2; в – форма № 370 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Однако, изменения трассировки, которые позволили бы снизить воздействиена трубопровод со стороны потока транспортируемой среды, невозможновыполнить при работающем блоке, а изменение режима подачи среды,как показывает практика, приведет к снижению расхода среды подаваемойв деаэратор, что, в свою очередь, снизит мощность энергоблока. Такимобразом, единственным доступным способом снижения повышенной вибрацииявляется установка дополнительных опор.В районе пружинных подвесок 17, 18, 20, 23 (см. рис. 1) были установленырезиновые демпфирующие опоры [8] с жесткостями упругих связей1·10 3 Н/м в направлении осей Х1, Х2. Зависимости перемещений от времени,зафиксированные в разных точках системы представлены на рис. 4-6. Результатырасчета вынужденных колебаний до (рисунки с индексом а) и после(рисунки с индексом б) установки дополнительных опор были получены причастоте возмущающих сил 0,5 Гц.абРисунок 4 – Перемещения в точке 5: а – до установки опор; б – после установкиабРисунок 5 – Перемещения в точке 6: а – до установки опор; б – после установкиISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 71

абРисунок 6 – Перемещения в точке 7: а – до установки опор; б – после установкиКривые 1 и 2 соответствуют перемещениям вдоль горизонтальных осейХ1 и X2, а кривая 3 – по вертикальной оси Х3. Анализ представленных результатовпоказывает, что уровень виброперемещений снизился на порядокпосле установки дополнительных опор.ВыводыВ результате проведенных исследований были определены динамическиехарактеристики системы, сечения с наибольшей амплитудой колебаний,определены места установки демпфирующих элементов и разработанныерекомендации внедрены на практике, что позволило снизить уровень вибрациина порядок. Опыт эксплуатации энергоблока за последние шесть месяцевподтверждает правильность полученных решений.Список литературы: 1. Вукалович М.П. Таблицы теплофизических свойств воды и водяногопара / М.П. Вукалович, С.Л. Ривкин, А.А. Александров. – М.: Издательство стандартов, 1969. – 408с. 2. Полищук С.М. К расчету нестационарных процессов в трубопроводах крупных энергоблоков/ С.М. Полищук, Г.А. Лещинский // Энергетика и электрификация. – 1991. – № 3. – С. 26-29. 3.Баранов А.Н. Влияние системы регулирования на динамику движения двухфазных сред в трубопроводахкрупных энергоблоков / А.Н. Баранов, С.М. Полищук, А.С. Кипоренко, П.А. Сидоренко// Вестник НТУ «ХПИ». – 2005. – Вып. 57. – С. 42-49. 4. Калинин Б.П. К расчету параметровперегретого пара и вибрации трубопроводов крупных турбоагрегатов / Б.П. Калинин, С.М. Полищук,Г.И. Канюк, А.А. Манузин // Сборник научных трудов Севастопольского национальногоинститута ядерной энергии и промышленности. – 2003. – Вып. 9. – С. 83-90. 5. Г.А. ЛещинскийИзмерение переменного давления двухфазного потока в дренажных трубопроводах турбоустановок/ Г.А. Лещинский, С.М. Полищук // Энергетика и электрификация. – 1982. – № 2. – С. 12-14.6. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок(ПНАЭ Г-7-002-86). – М.: Энергоиздат, 1989, – 525 с. 7. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Методконечных элементов в расчетах судовых конструкций. – Л.: Судостроение, 1974. – 341 с. 8.Кравцов Э.Д. Расчет модуля упругости резиновых деталей машин // Труды Одес. политехн. унта.– Одесса, 1996. – № 1. – С. 19-20.Поступила в редакцию 20.02.201272 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

УДК 539.1С. Н. ИСАКОВ, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., НТУ «ХПИ»ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХПРОЦЕССОВ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХИНСТРУМЕНТОВПропонується метод побудови амплітудно-частотної характеристики УЗ технологічного інструментаз використанням апроксимації нелінійної динамічної характеристики в зоні контакту.Розглянуто два випадки подачі УЗТІ – кінематична та силова. Проведено аналіз поведінки АЧХпри зміненні параметрів технологічного процесу.Ключові слова: ультразвукові інструменти, нелінійні процеси, математичне моделювання,зона контакту.Предложен метод построения амплитудно-частотной характеристики УЗ технологического инструментас использованием аппроксимации нелинейной динамической характеристики в зонеконтакта. Рассмотрены два случая подачи УЗТИ – кинематическая и силовая. Проведен анализповедения АЧХ при изменении параметров технологического процесса.Ключевые слова: ультразвуковой инструмент, нелинейные процессы, математическоемоделирование, зона контакта.The method of US technological instrument amplitude-frequency characteristic construction with theuse of nonlinear dynamic description approximation in the contact zone is proposed. Two cases of USTIsupplying - kinematics and power are considered. The analysis of AFC at the change of technologicalprocess parameters is conducted.Keywords: ultrasonic instruments, nonlinear processes, mathematical design, contact zone .Описание проблемы. Отдельные составные части и элементы ультразвуковых(УЗ) технологических инструментов (УЗТИ), имеют между собойсиловые, кинематические и инерционные связи, а также используют различныесистемы управления, в том числе, и с обратной связью. Во многих случаяхявления, происходящие в таких системах, в принципе не могут быть исследованыс помощью линейных моделей. Возникновение нелинейности обусловленоразличными факторами:– нелинейностью упругих (жесткостных) характеристик отдельных элементови материалов;– нелинейностью внешних сил, нагружающих рабочие органы– нелинейностью системы управления.Большинство технологических процессов, выполняемых с использованиемУЗТИ, отличаются тем, что на рабочий орган кроме формообразующегодвижения подачи относительно обрабатываемого изделия или среды сообщаютсявысокочастотные колебания определенного направления, частоты иинтенсивности. Ультразвуковые установки и аппараты относятся к общему© С. Н. Исаков, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 73

классу высокочастотных вибрационных систем, однако они выделяются вотдельную группу по следующим основным причинам. Первая определяетсяпринципиальными особенностями поведения материалов и сред в ультразвуковомполе. Вторая причина обусловлена спецификой конструктивных особенностейосновных элементов таких систем, которые представляют собойсложные составные колебательные системы прямолинейной, криволинейнойи объемной формы, составленные, как правило, из неоднородных участковактивных и пассивных материалов и работающие в режиме высокоскорстногорезонансного нагружения в условиях плотного и кратного спектра частот.Основные соотношения. Наиболее распространенным подходом к анализудинамических нелинейных процессов УЗТИ является исследование такназываемой силовой динамической характеристики f = f ( u,u) колебательногопроцесса [1], которую после проведения гармонической линеаризации записываютв виде:0f ( u , u l l l) ≈ Pl( v,al) + [ k(v,al) + jωb(v,al)] u . (1)где v – скорость подачи; u 0 (t) – колебательная составляющая перемещения,a l – комплексная амплитуда колебаний. При этом перемещение рабочегооргана в зоне контакта представляется как:0 u( t) ≈ vt + u ( t) = vt + a exp( jωt), (2)Представляя уравнение колебаний УЗТИ под нагрузкой в виде:*u(t)= u ( t)− L(p)f ( u,u) , ( p = ∂ / ∂t)(3)где a *( ω)– комплексная амплитуда колебаний без нагрузки, а L(p) – оператординамической податливости системы в зоне обработки, при p = jω, уравнениедля комплексной амплитуды колебаний в зоне обработки записываетсяв виде:F(ω)a =, (4)W ( jω)+ k(v,a)+ jωb(v,a)−1*где W ( jω)= L ( jω)– динамическая жесткость системы; F ( ω)= a ( ω)W ( jω)– эквивалентная возбуждающая сила, создаваемая преобразователем УЗТИ.Коэффициенты k и b описываются формулами:Dω⎛ v ⎞D ⎛ v ⎞k ( v, a) = K⎜⎟ ; b ( v, a) = B⎜⎟ , (5)πv⎝ aω⎠ πv⎝ aω⎠где D – сила, прикладываемая к инструменту при обработке в отсутствииультразвуковых колебаний.Графики функций K(v/aω) и B(v/aω) показаны на рис. 1, а представленныена рис. 2 графики позволяют установить связь между постоянной составляющейсилы воздействия в зоне обработки P и скорости v обработки в зависимостиот параметров УЗТИ.74 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

абРисунок 1 – Графики функций:а – K(v/aω); б – B(v/aω)Рисунок 2 – Зависимости P/Dот v/aωУравнение для нахождения амплитуды колебаний представляется в виде:ω⋅ F(ω)a ω =U ( ω) + k( v,aω) + j[ V ( ω) + ωb( v,aω)] ,(6)где U ( ω)= ReW( jω),V ( ω)= ImW( jω), а для его решения используется графическийприем, позволяющий построить амплитудно-частотную зависимостьУЗТИ.Конструктивные особенности колебательной системы УЗТИ с нелинейнойнагрузкой определяют разнообразие возможных конфигураций резонансныхкривых, конкретный вид которых зависит от соотношения междуупругими и диссипативными параметрами колебательной системы и технологическойнагрузки, используемыми и обрабатываемыми материалами, типомподачи инструмента – кинематической или силовой и прочим.Математическое моделирование динамического состояния УЗТИ.УЗТИ работают в режиме высокоскоростного резонансного нагружения, приэтом генерируемые за счет пьезоэффекта в преобразователе пьезосилы определяютособенности вектора «внешней» нагрузки.Используя подходы, описанные в [2, 3], с учетом представления нелинейнойдинамической характеристики в зоне контакта в виде (1), уравнениерезонансной кривой может быть представлено в виде:*Pa =, (7)222 ⎡ ΔW( a)⎤[( c − mω) + k( ν,aω)] + ⎢ + ωb(ν,aω)2⎥⎣ πa⎦ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 75

где v(x,t)=N∑i=1 y ( x)η ( t); (8)i y i (x) – собственные формы колебаний,P * = ∫ ( f , y ) dV , (9)VΔ= ∫ Ψσi dVW 2V c = ( Cy,y)dV ; m = ∫ ( My,y)dV ;∫VVa Pa =. (15)22⎡Mi⎤ ⎡Mi2 2 2 Dω⎛ ν ⎞ ΔWωD⎛ ν ⎞⎤⎢am( ω0− ω ) + ∑ ki⎜⎟ ⎥ + ⎢ + ∑bi⎜ ⎟ ⎥⎢πν1 ⎥ ⎢ π πν⎣1 ⎝ ω⎣i=⎝ aω⎠⎦i=a ⎠ ⎥⎦Зависимости (13) с достаточной степень точности аппроксимируютсяполиномом четвертого порядка, при этом коэффициенты разложения76 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)icω 2 0 = , (10)m– энергия, рассеиваемая в системе за цикл колебаний в соответствиис представлением Давиденкова, где Ψ – коэффициент, определяемыйэкспериментально, σ i – интенсивность напряжений.Для преобразователя, состоящего из пьезокерамических шайб, поляризованныхпо толщине, «внешнюю» нагрузку можно записать в виде:f = σ p F pc , (11)где F PC – площадь пьезошайбы, а напряжения, возникающие вследствие пьезоэффекта,определяются какσ P = ePEPC, (12)где e P – пьезомодуль пьезокерамики, E PC – напряженность электрическогополя.Коэффициенты k(v/a) и b(v/a), характеризующие эквивалентные упругуюи диссипативную составляющие нелинейной нагрузки, определяются поформулам (5) в соответствии с графиками рис. 1.Аппроксимируя графики зависимостей K и B в виде разложения в ряд:Mi Mi⎛ ν ⎞⎛ ν ⎞K = ∑ ki⎜ ⎟ ; B = ∑bi⎜ ⎟(13)i=1 ⎝ aω⎠ i=1 ⎝ aω⎠и учитывая зависимости:222* 2m = a m; c = a c;ΔW= a ΔW; P = a P , (14)где m , c , Δ W и P – значения рассчитанные при а = 1, уравнение резонанснойкривой (7) для случая кинематической подачи может быть представленов виде:2

k1 = -0,1; k2 = 8,0167; k3 = -13,75 и k4 = 5,8333.b1 = 0,1042; b2 = 2,2396; b3 = 6,7708 и b4 = -9,1146.В случае силовой подачи для большинства практических случаев скоростьрезания может быть представлена зависимостью:νω= da D2P ⎛ P ⎞1 + d2⎜⎟⎠, (16)⎝ Dгде коэффициент d 1 и d 2 определяется в соответствии с графиками рис. 2, исходяиз свойств обрабатываемого материала. Тогда, уравнение резонанснойкривой (7) для случая силовой подачи может быть представлено в виде:a =Gk2 2 2[ a m( ω − ω ) + G ]0D=⎛ Pa ⎜ ⎛π d1+ d2⎜⎜⎝D ⎝a2PDP2k2⎞ ⎞⎟ ⎟⎠ ⎟⎠⎡ ΔW⎤+ ⎢ + Gb⎥⎣ π ⎦ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 77M∑ii=12⎛ Pk ⎜ ⎛d1+ d2⎜⎜⎝D ⎝;PDii2⎞ ⎞⎟ ⎟ ;⎠ ⎟⎠M2D⎛ P P ⎞Gbb ⎜ ⎛ ⎞=1 2 .2∑ i d + d ⎜ ⎟ ⎟⎛ P P ⎞ ⎜i=1 D D ⎟a d1d⎝ ⎝ ⎠⎜ ⎛ ⎞π + ⎟⎠2⎜⎟⎜ D D ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠Уравнения (15) и (17) позволяют построить амплитудно-частотные характеристикидля обоих случаев подачи УЗТИ.Исследование УЗТИ для обработки хрупких материалов. Рабочаямодель УЗТИ представлена на рис. 3, пассивная часть которой изготовлена изтитанового сплава ВТ-31, а активная – из пьезокерамических элементовЦТССт-3.При напряжении 200 В на электродах пьезошайб (наружный диаметр –30 мм, внутренний диаметр – 12 мм и ширина – 5 мм) без нагрузки рабочаячастота системы 27,5 кГц. Распределение перемещений по длине системыпредставлено на рис. 4, а потенциала по длине пьезопакета – на рис. 5.При отсутствии нагрузки амплитудно-частотная характеристика УЗТИпредставлена на рис. 6.При использовании в технологическом процессе кинематической схемыподачи, когда инструмент перемещается с постоянной скоростью v, характеризменения АЧХ в зависимости от величины отношения v к «ультразвуковой»скорости рабочего наконечника a*ω, представлен на рис. 7.Характер изменения АЧХ свидетельствует о том, что при увеличениискорости подачи более, чем на 40 % относительно a*ω приводит к «загибу»(17)

АЧХ и появлению зоны неустойчивости, что подтверждается практическимопытом использования аналогичного оборудования и что, в конечном итоге,может приводить при эксплуатации таких систем к резкому снижению амплитудУЗ колебаний инструмента в зоне обработки при переходе на устойчивуюветвь АЧХ и, соответственно, к снижению эффективности всего технологическогопроцесса в целом.Рисунок 3 – Рабочая модель технологической УЗ СССРисунок 4 – Распределение перемещений по длине системыЭто обстоятельство необходимо учитывать при проектировании системыавтоматического регулирования УЗТИ.Исследование динамических характеристик технологической УЗТИ присиловой схеме подачи, когда к инструменту прикладывается постоянное усилиеР, характер изменения АЧХ в зависимости от величины отношения Р/Dпредставлен на рис. 8.78 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 5 – Распределение потенциала по длине пьезопакетаЧастота, кГцРисунок 6 – АЧХ УЗТИ без нагрузкиУвеличение усилия подачи до критического значения Р кр приводит ксмещению резонансной кривой в сторону больших частот и снижению амплитудыколебаний рабочего наконечника, а при превышении критическогозначения Р кр может привести к «срыву» на неустойчивую ветку, когда поддержаниерезонансного режима всей системы оказывается невозможным, адля его восстановления необходимо будет разгрузить систему, что скажетсяна производительности технологической операции.Разработанные математические модели, методы расчетов и алгоритмымогут быть в дальнейшем использованы при разработке и проектированииISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 79

новых образцов ультразвуковой техники, применяемой в машиностроении,медицине, приборостроении и других областях.абРисунок 7 – Изменение характера АЧХ УЗТИ при кинематической схеме подачи:а – V/(a*ω) = 0,35; б – V/(a*ω) = 0,7абРисунок 8 – Изменение характера АЧХ УЗТИ при силовой схеме подачи:а – P = 30 % Р кр ; б – P = 90 % Р крСписок литературы: 1. Асташев В.К. О нелинейной динамике ультразвуковых технологическихпроцессов и систем // Научно-технический журнал «ВНТР», Национальная ТехнологическаяГруппа. – М: 2007. – №2. – С. 123-127. 2. Исаков С.Н, Исаков А.С., Марусенко С.И. Вынужденныеколебания высокочастотных структурно-связанных систем // Восточно-европейскийжурнал передовых технологий. – Х.: 2009. – № 4/10 (40). – С. 41-44. 3. Автономова Л.В., ИсаковС.Н. Управление параметрами технологического процесса структурносвязанной акустическойсистемы // Восточно-европейский журнал передовых технологий. – Х.: 2008. – № 1/5 (31-2008). –С. 3-6.Поступила в редколлегию 04.10.2012.80 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

УДК 519:539:534С.В. КРАСНИКОВ, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., НТУ «ХПИ»МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГОСОСТОЯНИЯ ФУНДАМЕНТА ПРИ ГИДРОИСПЫТАНИЯХТУРБОАГРЕГАТАНаводяться результати розрахунку напружено-деформованого стану фундаменту турбіни потужністю200 МВТ при гідростатичному навантаженні та порівняння з аналогічними характеристикамипри стаціонарному навантаженні. Визначені найбільш небезпечні місця при даному навантаженні.Моделювання й розрахунки виконані за допомогою методу скінченних елементів.Ключові слова: напружено-деформований стан, гідростатичне навантаження, метод скінченнихелементів.Приводятся результаты расчета напряженно-деформированного состояния фундамента турбины мощностью200 МВТ при гидростатическом нагружении и сравнение с аналогичными характеристикамипри стационарном нагружении. Определены наиболее опасные места при рассматриваемом нагружении.Моделирование и расчеты выполнены с помощью метода конечных элементов.Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, гидростатическое нагружение,метод конечных элементов.Results of the calculation of the stress-strain state of the foundation of a 200 MW turbine under hydrostaticloading and compared with similar data for stationary are described. Identified the most dangerousplaces in the considered are given. Modelling and calculations were performed using the finite elementmethod.Keywords: stress-strain state, hydrostatic loading, finite element method.Вступление. Современная практика использования энергетического оборудованиятепловых электростанций связана с наличием значительного износа иработой в нестандартных режимах. Надежность работы фундамента и оборудованияв этих режимах в большинстве случаев проверяется экспериментально. Врезультате этого подтверждается высокая отказоустойчивость или появляютсяразличные дефекты. Определение местоположения дефектов экспериментальночасто требует проведения замеров в труднодоступных местах. Поэтому проведениерасчетных исследований напряженно-деформированного состояния фундаментапри нестандартных режимах является важной и актуальной задачей.Цель работы. Определение напряженно-деформированного состоянияфундамента при гидроиспытаниях и сравнение полученных характеристик сраспределением напряжений и деформаций при стандартном стационарномнагружении.Расчетная модель. Моделирование фундамента выполнено на основеметода конечных элементов [1, 2] и описано в статье [3].© С.В. Красников, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 81

Рисунок 1 – Схема приложения вертикальных стационарных нагрузокРисунок 2 – Схема приложения временных нагрузок при гидроиспытанияхПри гидроиспытаниях вакуумной системы турбины к стационарным нагрузкамдобавляются временные нагрузки. Они направлены преимущественновертикально. Величина этих сил определяется в соответствии с весом82 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

жидкости. Схема приложения на фундамент стационарных нагрузок показанана рис. 2, а временных при гидроиспытаниях на рис. 2. Коэффициент перегрузкиот заполняющей жидкости при гидравлическом испытании в соответствиис рекомендациями РТМ 108.021.102-85 принят 1.0. Величины нагрузокдля турбины 200 МВТ следующие: F1 = 205 т, F6 = 230 т, остальные (F2, F3,F4, F5) по 82 т. Площадки с индексами нагрузки Q16-17, Q19- 29, Q35-36 изготовленыиз стали марок Ст. 3 и Ст. 5. Материал для остальных площадок –железобетон.Рисунок 3 – Распределение напряжений при нагрузках гидроиспытанииРисунок 4 – Распределение перемещений при гидроиспытанииISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 83

Результаты расчетов и анализ. На рис. 3-5 показано распределениенапряжений и перемещений, а в таблице приведено сравнение напряженийпри стационарных и временных (при гидроиспытаниях) нагрузках.Сравнение максимальных напряжений при постоянных и временныхнагрузках на площадках нагруженияОбозначение Максимальное напряжение, МПаРазличиесилы Постоянные нагрузки Временные нагрузки МПа %Q1 0,136 0,137 0,001 0,7Q2 - Q5 0,478 0,536 0,058 12,1Q6 1,378 1,673 0,295 21,4Q7 - Q10 0,480 0,894 0,414 86,3Q11 0,595 0,569 0,026 4,4Q12-Q15,Q18-Q230,076 0,076 0 0,0Q37 0,526 0,528 0,002 0,4Q16,Q17 8,870 9,910 1,04 11,7Q38,Q31-Q34 0,650 0,651 0,001 0,2Q24,Q25 0,640 0,750 0,11 17,2Q28,Q29 33,140 33,810 0,67 2,0Q26,Q27 24,200 24,500 0,3 1,2Q30 19,700 19,900 0,2 1,0Q35,Q36 12,700 12,150 0,55 4,3Q39-Q46 1,143 1,215 0,072 6,3Рисунок 5 – Распределение напряжений при стационарном нагружении (слева) игидроиспытании (справа)84 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Максимальные величины перемещений и деформаций при постоянных ивременных нагрузках одинаковы и равны 2 мм и 0,00005 соответственно.Картины распределений перемещений и деформаций одинаковы.Максимальная величина напряжений на элементах фундамента: при стационарныхнагрузках – 92,606 МПа, при временных нагрузках – 92,759 МПа.Отличие составляет 0,153 МПа или 0,17 % и является математической погрешностьюрасчета. Место максимальных значений напряжений не изменилось- стальные элементы фундамента, расположенные со стороны ЦВД (местанагрузок Q24-29).Картина распределения напряжений имеет заметные отличия вблизиприложения временных нагрузок. Наибольшие изменения в местах расположенияплощадок Q6-10, Q16-17, Q24-25. Максимальные изменения в местахQ7-10 (опоры центральной части ЦНД) и составляют увеличение на 86 %(0,414 МПа).Выводы. Проведенный анализ напряженно-деформированного состоянияфундамента показал незначительное влияние нагрузок гидроиспытанияна распределение и величины перемещений и деформаций. Этот тип нагруженияне приводит к увеличению значений максимальных напряжений и оказываетвлияние на распределение напряжений. Наибольшие изменения в областиопор ЦНД (увеличение значений напряжений до 86 %).Список литературы: 1. Красніков С.В., Степченко О.С., Торянік А.В. Комп’ютерне моделюваннябагатокорпусного турбоагрегату та аналіз його вібраційних характеристик // Машинознавство.– Л.: Кінпатрі, 2009. – № 2. – С. 27-33. 2. Шульженко Н.Г., Воробьев Ю.С. Численный анализколебаний систем турбоагрегат-фундамент. – К.: Наукова думка, 1991. – 232 с. 3. КрасніковС.В. Моделювання напружено-деформованого стану фундаменту турбоагрегату 200 МВт // ВісникНТУ «ХПІ». – Х.: НТУ «ХПІ», 2011. – № 63. – С. 54-58.Поступила до редколлегии 11.07.2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 85

УДК 539.374Н.Т. КУРБАНОВ, канд. физ.-мат. наук, доцент, Сумгаитский государственныйуниверситет, Азербайджан;У.С. АЛИЕВА, Сумгаитский государственный университет, АзербайджанИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЕЙУ статті розглядається задача про динамічну стійкість в'язкопружних стрижнів для будь-якогоспадкового ядра. Досліджено на малій в'язкості методом комплексного перетворення Лапласа.Ключові слова: комплексне перетворення Лапласа, динамічна стійкість.В статье рассматривается задача о динамической стойкости вязкоупругих стержней для любогонаследственного ядра. Исследовано на малой вязкости методом комплексного преобразованияЛапласа.Ключевые слова: комплексное преобразование Лапласа, динамическая стойкость.In article the problem about dynamic stability of viscoelastic cores for any hereditary kernels is investigatedat small viscosity by a method of integrated transformation of Laplas.Keywords: integral Laplace transform, dynamic stability.Одной из основных динамических задач вязкоупругости является задачао колебании вязкоупругих систем. При решении задач колебаний вязкоупругихэлементов конструкции применяются различные методы (метод усреднения,метод интегральных преобразований и т.д.). В данной статье методоминтегрального преобразования Лапласа решается задача о динамической устойчивостивязкоупругих стержней для произвольных наследственных функцийпри малой вязкости.Как известно поперечные колебания вязкоупругого стержня длиной l,сжатого под действием внешней нагрузки f(t,x) имеет вид:∂EI4u( x,t)∂x4∂+ P t()2u2( x,t) ∂ u( x,t)∂x2+ m∂t2t( x,τ )∂ u= EIε ∫ R( t −τ) dτ+ f ( x,t), (1)4∂xгде т – масса единицы длины стержня, Е – модуль упругости, I – моментинерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сеченияперпендикулярной к плоскости колебаний u(t,x) – поперечный прогиб,P(t) – продольная сила, действующая на стержень, f(t,x) – интенсивностьвнешней распределенной нагрузки, R(t) – функция релаксации, ε – некоторыймалый параметр.Предположим что, концы стержня закреплены шарнирно, тогда граничныеусловия будут в виде:04© Н. Т. Курбанов, У. С. Алиева, 201286 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

2( x,t)∂ uu( x,t)= 0, = 0 при x = 0;2∂x2∂ u( )( x,t)u x,t = 0, = 0 при x = l.2∂x(2)Начальные условия принимаем в виде:∂u( )( x,t)u x, t = ϑ 0 , = ϑ0′∂tпри t = 0, . (3)где ϑ 0 и ϑ′0 постоянные.Решение уравнения (1) будем искать в виде суммы по собственнымфункциямun( x, t) = ∑ k ( t) ϕk( x)k = 1ϑ . (4)Применяя процедуру Бубнова-Галеркина к уравнению (1) и переходя кбезразмерным величинамx u t ml; ; ; R() t .l l ml EIEIСохраняя для этих величин прежнее обозначения при f(t,x) = 0; P(t) = 0,получаем следующие дифференциальные уравнения:IVϕ x −ω′′ϕ x = 0 , k = 1,2(5)k( ) ( ) ,...kk ⎡t⎤4ϑ k () t + ωk⎢ϑk() t − ε∫R( t −τ) ϑk( τ ) dτ⎥ = 0 . (6)⎢⎣0⎥⎦Решая первое уравнение с соответствующими граничными условиями,находим собственные функции {φ k (x)} и собственные значения {ω k } рассматриваемойкраевой задачи. В частности в данном случае имеем граничныеусловия (2). При этом для существования ненулевого решения находим:sin ω l = 0; ωl= πk,k = 1,2,3,...Это уравнение частот. Отсюда находим собственные частоты2 π 2k Elp k = .2l mТогда собственные функции будут иметь вид:πkxϕk( x)= Bksin .lИз выше изложенного выходит, что решение поставленной задачисводится к решению интегро-дифференциального уравнения (6) при условииISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 874

( t)∂ϑk1ϑ k () t = ϑ0 , = ϑ0при t = 0 . (7)∂tПрименяя интегральное преобразование Лапласа по времени t к интегро-дифференциальномууравнению (6) и учитывая условие (7), получаем:pϑ0+ ϑ0ϑk ( p)= . (8)2 4 4p + ω − εω R( p)Здесь чертой сверху обозначено преобразование Лапласа одноименныхфункций с параметром p∞− ptf ( p) = ∫ f ( t) e dp;Re p > 0 .0Здесь при малых значениях времени параметр p является достаточно большим,и в рассматриваемом материале с мгновенной упругостью, изображениеядра релаксации R ( p)с увеличением p стремится к нулю. С другой стороны ужестких полимеров и композиционных материалов вязкое сопротивление малопо сравнению с упругими. Значит, на основании свойств интегральное преобразованиеЛапласа в указанных интервалах величина ε R( p)будет мала.Из этих соображений выходит что, неравенство4εω R( p)< 12 4p + ωбудет верным для любого времени t.Тогда формулу (8) можем представить в следующем виде:1( )( )∑ ∞ n⎛4pϑ⎞0 + ϑ0=⎜εω R pϑ ⎟k p. (9)2 4+2 4p ωn=0⎝p + ω ⎠Применяя процедуру, выполненных в работе [5] получаем:122pϑ0+ ϑ0⎛ 1 2 ⎞ 4⎛ 1 ⎞ϑk ( p)= ; a( p)= ⎜ p + ε R 1 ⎟4⎟ + ⎜ −a( p) − εω b( p)s ω ω εRc;⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠p ε 2 2b ( p) = R( p) + Rs+ R ( )2 c + Rs+ Rc;ω 4Rst= ∫0R2() τ sinωτdτ; R R()88 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)c1t= ∫02τ cosωτdτ.Аналогично вышеприведенному, при тех же значениях параметра p иследовательно времени t, можно доказать справедливость неравенстваεω4b( p)( p)a< 1.

Тогда для изображения решение получаем в виде:1 ⎡23pϑ+ b( )( p)b ( p)b ( p)( )( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎤k p = 0 ϑ0⎢42 83 12ϑ + +++ 23a p ⎢1 εω ε ω εa pω(10)⎣a p a p ⎦Оригинал первого члена этого ряда имеет вид:⎛ 1 2 ⎞ϑ k () t exp1 = ⎜ − εRsωt ⎟×⎝ 2 ⎠(11)⎡1 22⎛ 1 ⎞ ϑ 0,52 1 ⎤⎢ 0 cos 10 − εω R ⎛ ⎞× ⎜ −sϑ ω εRc⎟t+sinω⎜1⎟ .2− εRct⎥⎢⎣⎝ 2 ⎠ ω ( 1−0,5εRc) ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦Это первое приближенное решение поставленной задачи.Из ряда (11) видно, что второе, третье и т.д. приближения в изображенияхЛапласа определяется в следующем виде:вид:ϑϑϑk2k34( p) = εω ϑ k ( p)4( p) = εω ϑ k ( p)( p)( p)( p)( p)4 b( ) ( )( p)p = εω ϑ p ⋅( ) .−1a pb( p)a( p)k n k n12ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 89b⋅ab⋅a……………………………Нахождение оригинала отношенияg() t( p)( p)⎡ ⎤= − 1 bL ⎢ ⎥ =⎢⎣a ⎥⎦t;;(12)указано в работе [5] и имеет2( 1−0,5εRc)( 1−0,5εR)⎛ ε ⎞() ⋅ ⎜ −2 sinωtR t exp Rsωt ⎟×+2⎝ 2 ⎠ ωcR ⎛ ⎞+s 1⎜ −2exp εRsω⎟×2ω ⎝ 2 ⎠⎡2⎛ ⎞ −⎛ ⎞( ) ⎥ ⎥ ⎤×2 1 d 0,5ωεR⎢ ⎜ −s 2 1cosω1 εRc⎟t+sinω⎜1− ε R c ⎟ t . (13)2⎢⎣⎝ 2 ⎠ ω 1−0,5εRc⎝ 2 ⎠ ⎦2Rc2 εω 2 2где d = ω + ( R + R )Rs4Rssc, тогда из (11) и (13) получаем:4() t = εω ϑ () t g( t τ ) d ;ϑk ∫ −t2 k τ10

ϑϑk3knt4() t = εω ∫ϑk() t g( t −τ)20tdτ;……………………………………4() t = εω ∫ϑk() t g( t −τ) dτ.n−10Отсюда решение поставленной задачи определяется в следующем виде:ϑkt= k1∫0[ … ] g( t −τ) dτ.4() t ϑ () t + εω ϑ () t + ϑ () t + + ϑ () tk2Значит, оригиналы следующих приближений определяются в видесвертки функций.Для вычисления влияния последующих членов ряда на решение рас-t ϑ t длясмотрено ядро Ржаницина и построены графики функций ϑ ( ) и ( )конкретного материала полипропилена при ω = 1; ϑ0 = 0; ϑ0= 1 (см. рисунок).k3knk 11k 2(14)Графики функций ϑ ( t)и ϑ ( t)k 1k 2Список литературы: 1. Ильясов М.Х. Нестационарные вязкоупругие волны. – Баку: Изд-во«Азерб. Хава Йоллары», 2011. 2. Гасанов А.Б. Реакция механических систем на нестационарныевнешние воздействия. – Баку «Элм», 2004. 3. Ларионов Г.С. Исследование колебаний релаксирующихсистем методом усреднения // Механика полимеров. – 1969. – № 5. 4. Работнов Ю.Н.Элементы наследственной механики твердых тел. – М., Наука, 1977. 5. Ильясов М.Х., КурбановН.Т. К решению интегро-дифференциального уравнения динамических задач линейной вязкоупругости// ДАН Азерб. ССР. – 1984. – № 5.Поступила в редколлегию 27.06.201290 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

УДК 539.3О. О. ЛАРІН, канд. техн. наук, доцент, НТУ «ХПІ»;О. О. ВОДКА, аспірант, НТУ «ХПІ»;О. О. НАЗАРОВ, проректор, НУЦЗУ, Харків;С. А. СОКОЛОВСЬКИЙ, здобувач, НУЦЗУ, ХарківЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНІ ДОРОЖНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ПЛАВНОСТІХОДУ СПЕЦІАЛІЗОВАНОГО ТРАНСПОРТНОГО ЗАСОБУЗ НЕЛІНІЙНИМ ПІДРЕСОРЕННЯМВ роботі представлені результати експериментальних досліджень коливань вантажу, що розміщенийна спеціалізованому транспортному засобі (СТЗ) під час перевезень. Експерименти проведеніу вигляді дорожніх випробувань. Конструкції СТЗ, що розглядаються має додатковийрівень підресорення з нелінійною характеристикою, що має квазінульову жорсткість. Порівняльнийаналіз показав, що підресорення з квазінульовою жорсткістю дозволяє істотно знизити рівнівібрацій, а отже підвищити плавність ходу СТЗ.Ключові слова: спеціалізований транспортний засіб, нелінійне підресорення, квазінульоважорсткість, плавність ходу.В работе представлены результаты экспериментальных исследований колебаний груза, которыйразмещен на специализированном транспортном средстве (СТС) во время перевозок. Экспериментыпроведены в виде дорожных испытаний. Конструкции СТС, которые рассматриваются,имеют дополнительный уровень подрессоревания с нелинейной характеристикой, которая имеетквазинулевую жесткость. Сравнительный анализ показал, что подрессоревание с квазинулевойжесткостью позволяет существенно снизить уровни вибраций, а следовательно повысить плавностьхода СТЗ.Ключевые слова: специализировано транспортное средство, нелинейное подрессоревание,квазинулевая жесткость, плавность хода.The results of the experimental investigations of the vibrations during the transportations of the goodswhich are mounted on specialized vehicle (SV) are presented in the paper. As experiments the road testshave been done. The SV has additional level of cushioning with nonlinear characteristic, which hasquasi-zero stiffness. Comparative analysis has shown that quasi-zero stiffness cushioning essentiallyreduce the level of goods vibrations, so magnifying the movement smoothing.Keywords: specialized vehicle, nonlinear cushioning, quasi-zero stiffness, movement smoothing.Вступ. В сучасному автомобілебудуванні велика увага приділяєтьсязменшенню рівнів вібрацій у транспортних засобах під час перевезень. Сукупністьвластивостей ТЗ, що забезпечують віброзахист водія, пасажирів, вантажів,які перевозяться та власних агрегатів від впливу вібрацій, що виникаютьпід час руху, прийнято називати плавністю ходу [1]. Забезпечення високихпоказників плавності ходу особливо актуально при перевезеннях небезпечнихвіброчутливих вантажів. Практично будь-яка галузь сучасної промисловостісупроводжується використанням або виділенням тих чи інших небез-© О. О. Ларін, О. О. Водка, О. О. Назаров, С. А. Соколовський, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 91

печних інгредієнтів, які несуть певну загрозу життю людей та безпеці навколишньогосередовища при необхідності транспортування може бути визначенаяк небезпечний вантаж. Окремо слід відзначити проблему транспортуваннявід місця знаходження до пункту утилізації застарілих боєприпасів та іншихвибухонебезпечних предметів [2].Для транспортування зазначених об’єктів зазвичай використовуютьсяспеціалізовані візки-причепи (спеціалізовані транспортні засоби – СТЗ),конструкція яких оснащена ресорним підвішуванням [2]. Нажаль, традиційнісистеми підресорення візків-причепів не дозволяють отримати вібраційнийвплив на вантаж на необхідному низькому рівні. В роботах [3-4] пропонуєтьсястворити СТЗ, конструкція якого має додаткову ступінь підресорення, щомає реалізовувати віброізоляцію вантажу. Зменшення динамічної реакції вколивальній системі може бути досягнуто шляхом зменшення жорсткостіпружних елементів в цій системі [5]. Для звичайних пружин відповідна змінажорсткості із збереженням несучої спроможності вимагає істотного збільшеннярозмірів. Проте використання пружин (або спеціально сконструйованихпружинних блоків) з нелінійною характеристикою дозволяє отриматипевний проміжок роботи системи з суттєво малою жорсткістю за збереженнякомпактних розмірів та необхідної несучої спроможності. Такі системи прийнятоназивати системами із квазінульовою жорсткістю.Постановка задачі. В даній роботі розглядаються експериментальні дорожнівипробовування вертикальних коливань вантажу, що розміщений надослідному зразку СТЗ, який має дворівневу систему підресорення при чомудругий рівень реалізує стан квазінульової жорсткості. Метою досліджень євизначення фактичного ефекту щодо покращення плавності ходу запропонованоїсистеми у порівнянні із класичною конструкцією подібних причепів.Конструкція дослідного зразку СТЗ із додатковою системою підресорення,яка має квазінульову жорсткість. Дослідний зразок СТЗ являєсобою одновісний несамохідний причіп, що під’єднується до легкових автомобілів.Конструкція складається з однієї колісної вісі, несучої рами (кузова),ватажної платформи на якій розташовується вантаж та двох рівнів підресорення(рис. 1).Перший рівень підресорення в конструкції має лінійну характеристику,що є традиційним для автомобілебудування (СТЗ, що оснащений лише однимрівнем підресорення, являє собою класичний причіп легкового автомобіля).Для реалізації другого рівня підресорення на рамі причепа монтується задопомогою пружинного блоку (4, див. рис. 1) вантажна платформа на якійзакріплюється небезпечний вантаж, що перевозиться. Пружинний блок маєнелінійну характеристику із областю, що реалізує стан квазінульової жорсткості.Конструктивно, даний блок був створений з циліндричних пружин стискання,які утворювали між собою ферму Мізеса (рис. 2).92 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 1 – Схема конструкції СТЗ, що досліджується:1 – колеса візка, 2 – ресорне підвішування першого рівня (класичне), 3 – рама візкапричепа,4 – пружинні блоки ресорного підвішування другого рівня, 5 – вантажнаплатформа, 6 – вантаж, 7 – важелі напрямного паралелограму, 8 – шарнірні кріпленняважелів напрямного паралелограма, 9 – опорні котки (рухливі шарніри) важелів паралелограму,10 – дишло, 11 – профіль дороги, 12, 13 – елементи пружинного блокуресорного підвішування другого рівняабРисунок 2 – Схема конструкції (а) та фотографія дослідного зразку (б) другої ступеніресорного підвішування, що реалізує квазінульову жорсткістьНелінійнійна характеристика даної системи сформована геометричнимиспіввідношеннями між деформацією горизонтальних пружин та вертикальнимипереміщеннями. Причому горизонтальні пружини повиннібути попередньо у стисненому стані. Якщо ввести позначення L – довжинапружини у горизонтальному стисненому положенні, Δ – величина попередньогостискання, c s – жорсткість пружин вертикальних, c k – жорсткістьпружин горизонтальних, x – вертикальне переміщення платформи ізвантажем, то нелінійна приведена пружна сила, що виникатиме в пружинномублоці матиме вигляд:ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 93

⎛⎞⎜ L + Δ ⎟Fnl( x) = 2 ⋅ ck⋅ x⎜1−⎟ + 2 ⋅ cs⋅ x . (1)2 2L + x⎝⎠На рис. 3 наведено графік залежності нелінійної пружної сили F nl від вертикальнихпереміщень платформи.Для наочності на графіку побудованалінійна пружна сила, що утворюється придемонтажі горизонтальних пружин коректорівжорсткості. Величини жорсткості та геометричнірозміри були взяті у відповідностідо величин, що були застосовані у дослідномузразку СТЗ.Наведена залежність нелінійної пружноїсили вказує на наявність області із квазінульовоюжорсткістю: це інтервал переміщень±0,1 м. Крім того в межах переміщень±0,3 м горизонтальні коректори забезпечуютьменшу пружну силу ніж лінійна компо-Рисунок 3 – Нелінійнапружна силановка без коректорів жорсткості. Окремослід зазначити, що із збільшення можливихпереміщень в жорсткість даної системи різко зростає, що призведе до протилежноговідносно віброізоляції ефекту.Слід також відмітити, що нелінійна характеристика матиме область ізквазінульовою жорсткістю лише у випадку, якщо жорсткості пружин та їхпопереднє стискання будуть у раціональному співвідношенні:c s L = c k Δ. (2)Результати дорожніх випробувань вертикальних коливань вантажноїплатформи СТЗ. Дослідний зразок візка (із макетом небезпечного вантажуна ньому) підчас дорожніх досліджень був закріплений у якості причепадо автомобіля УАЗ, який рухався із заданою швидкістю (рис. 4). Платформабула попередньо навантажена (вантаж 100 кг), що реалізує робочі масові характеристикипри перевезеннях та реалізує у системі внаслідок присутностідодаткових сил тяжіння, необхідне базове положення рівноваги.Відповідно до задач експериментальних досліджень було використановимірювальний комплекс «Ультра-В-І» [6], який розроблений на кафедрі динамікита міцності машин НТУ «ХПІ». Вимірювальний комплекс складаєтьсяіз: датчика віброприскорень, що оснащений мікроелектромеханічним ємніснимсенсором; аналого-цифрового перетворювача (АЦП) та портативногокомп’ютера. «Ультра-В-І» має дійсне свідоцтво про Державну метрологічнуатестацію і дозволяє проводити вимірювання віброприскорень у точці конструкціїза двома напрямами.94 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Під час досліджень датчик вібрацій встановлювався під платформою(рис. 5). Далі через дріт датчик був під’єднаний до АЦП і комп’ютера, щознаходились в салоні автомобіля Система мала автономне акумуляторне живлення.Час безперервної роботи складав 2 години.Рисунок 4 – Лабораторні випробовуваннядослідницького зразка візкаРисунок 5 – Розміщеннядатчику вібраційДослідження проводились на різних швидкостях руху автомобіля: 10км/год, 20 км/год та 30 км/год. При цьому запис сигналу розпочинався післярозгону автомобіля до заданої швидкості руху та тривав близько 60 секунд,що для розглядуваних швидкостей дозволяло забезпечити рух чітко по прямомупроміжку дороги, а разом із тим достатній інтервал вимірювань дляподальшої обробки. При цьому кожен заїзд був проведений по одному й томуж проміжку дороги у однаковому напряму. Кожен заїзд повторювався у двохкомпоновках конструкції: в рамках роботи лише одного (першого) рівня підресорення,що реалізує класичний причіп для транспортування вантажів, тадля конструкції цього візка з двома рівнями підресорення. На рис. 6 наведенозареєстровані сигнали.Отримані коливання очікувано носять випадковий характер. Обробка сигналудає можливість визначити ймовірнісні (статистичні) оцінки, причому в роботістатистичний аналіз базується на припущеннях ергодичності та стаціонарностіпроцесу. Одним з найбільш головних та інформативних параметрів вібраційтранспортних засобів, що відображають плавність ходу є середнє квадратичнезначення (СКЗ) сигналу, яке є більш стійким до супроводжуючих шумівN1 2∑s(t j )N j=1ψ =, (3)yде ψ y – СКЗ; s(t j ) – зареєстровані значення сигналу; N – кількість зареєстрованихзначень.Величина СКЗ вібрацій при русі із швидкістю 10 км/год складає0,35 м/с 2 для класичної компоновки та 0,296 м/с 2 для запропонованої дворівневої,що менше на 15 %. Для візка, що рухається зі швидкістю 20 км/годISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 95

запропонована система віброізоляції дозволяє зменшити СКЗ віброприскореньу понад 25 %. У випадку руху на швидкості 30 км/год ефективність сягаєблизько 50 %.абвгдеРисунок 6 – Віброприскорення платформи візка класичної конструкції (а, в, д) та конструкціїз двома рівнями підресорення (б, г, е) при русі із швидкістюа, б: 10 км/год, в, г: 20 км/год, д, е: 30 км/год.96 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Окрім СКЗ віброприскорень показником плавності руху можна вважатипікові значення розмаху та амплітуди коливань віброприскорень, які визначалисьв ході обробки результатів замірів. За цим показником ефективністьна швидкості 10 км/год: 20 %, на швидкості 20 км/год: майже 15 % та нашвидкості 30 км/год трохи більша за 15 %.Узагальнення результатів, що отримані на різних швидкостях руху наведенона рис. 7.абРисунок 7 – Залежність віброприскорень (а) та відсотка покращення плавності ходуСТЗ (б) від швидкості його рухуЗареєстровані сигнали були проаналізовані також, з позиції спектральноїтеорії випадкових ергодичних стаціонарних функцій. За отриманими залежностямивіброприскорень від часу було розраховано автокореляційну функцію.Автокореляційна функція вказує на характер впливу значення вібрації вданий момент часу, на вібрацію, що відбуватиметься через певний проміжокчасу. Вона визначається як згортка сигналу з його дзеркальним зображенням:∞∫( t − t) dtK( t1 ) = s(t)s 1 , (4)−∞тут t 1 – це не даний час t – проміжок часу на якому аналізується «пам'ять»вібраційного процесу. У відповідності до теореми Вінера-Хінчіна автокореляційнафункція визначає енергетичний спектр сигналу (спектральну щільність),як його перетворення Фур’є:S∞iωt1ω K( t1)e dt1. (5)0( ) = ∫Спектральна щільність є важливою характеристикою вібрацій оскільки відображуєрозподіл енергії коливального процесу по частотам гармонік, що утворюютьцей сигнал. На рис. 8 представлено результати спектральної обробки зареєстрованихданих, що відображено у вигляді спектральних щільностей.Загальний аналіз спектральних щільностей вказує на те, що процес якийспостерігається є полігармонічним із випадковими значеннями амплітуди таISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 97

фази кожної з гармонік. При цьому для класичної конструкції є чітко визначенимитри гармоніки: перша має найменшу ширину смуги тобто має найменшеблуждання фази, а друга та третя – є широкосмугові, тобто мають доситьістотні випадкові у часі блуждання частоти по діапазону відповідноїсмуги.абРисунок 8 – Спектральна щільність віброприскорень платформи візка класичної(чорна крива) та запропонованої (червона крива) конструкції при русі:а – зі швидкістю 20 км/год; б – зі швидкістю 30 км/годПорівняльний аналіз отриманих спектральних щільностей для класичногопричепа та запропонованої конструкції із дворівневим підресоренням дозволяєвідзначити зміну частотного спектру. Перша гармоніка в системі здворівневим підресоренням отримала деяке зменшення своєї частоти разом ізтим відбулось збільшення ширини смуги сплеску, тобто коливання маютьбільш суттєве випадкове блуждання частоти та амплітуди. Важливо відмітити,що в спектральному складі СТЗ із дворівневою системою підресореннявідсутня друга гармоніка базової конструкції проте істотну частку енергії маєтретя. Також спостерігається значне зменшення енергії коливань на гармонікахіз більш високими частотами.Висновки. У роботі представлені результати дорожніх досліджень створеногодослідного зразку СТЗ, що має дворівневу схему підресорення, яказабезпечує високу плавність ходу. При цьому розглянуті результати випробовуваньСТЗ на різних швидкостях руху. Проведені узагальнюючі дослідженнядозволяють зробити висновки з ефективності впровадження другогорівня нелінійного підресорення, оскільки це дозволяє вже на малих швидкостяхруху на 10% знизити рівні СКЗ віброприскорень, а із збільшеннямшвидкості руху ефективність сягає 35% і більше. Крім того, нелінійна підвісказ квазінульвою жорсткістю покращує в середньому на 15% віброізоляційнівластивості візка щодо впливу випадкових викидів, що мають місце підчас транспортування небезпечних вантажів.98 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Список литературы: 1. Волков В. П. Теорія руху автомобіля: Підручник / В. П. Волков, Г. Б.Вільський. – Суми: Університетська книга, 2010. – 320 с. 2. Соколовский С.А. Проблема транспортировкиопасных грузов / А. Я. Калиновский, С. А. Соколовский // Об’єднання теорії та практики– залог підвищення постійної готовності оперативно-рятувальних підрозділів до виконаннядій за призначенням. Матеріали VIII науково-технічної конференції. – Х.: НУЦЗУ, 2011. – С. 52-53. 3. Ларін О.О. Моделювання коливань спеціалізованого транспортного засобу, що має віброзахиснусистему із квазінульової жорсткістю під час перевезення небезпечних вантажів / А.Я.Калиновский, О.О. Ларін, С.А. Соколовський // Вісник Севастопольского національного технічногоуніверситету, Серія: Машиноприладобудування та транспорт. – Севастополь: СевНТУ, 2012. –№ 135. – С. 64-67. 4. Соколовський С.А. Побудова математичної моделі вертикальних одновіснихколивань візка для транспортування небезпечних вантажів / С.А. Соколовський // Матеріали ІІІМіжнародної науково-практичної конференції «Проблеми розвитку транспортних систем і логістики»,Євпаторія, 3-8 травня 2012 року. – 2012. – С.187-190 5. Алабужев П. М. Виброзащитныесистемы с квазинулевой жесткостью / К. М. Рагульскис, П. М. Алабужев, А. А. Гритчин, Л. И.Ким и др. – Л.: Машиностроение, 1986. – 96 с. 6. Водка А.А. Комплекс для измерения виброускоренийна основе микроэлектромеханического сенсора / А.А. Водка, А.И. Трубаев, Ю.Н. Ульянов //Матеріали ІІІ Міжнародної науково-практичної конференції «Проблеми розвитку транспортнихсистем і логістики», Євпаторія, 3-8 травня 2012 року. – 2012. – С. 191. 7. Водка А.А. Виброизмерительныйкомплекс на основе микроэлектромеханического сенсора / А.А. Водка, А.И. Трубаев,Ю.Н. Ульянов // Вісник Східноукраїнського Національного університету ім. В. Даля. – Луганськ,2012.– № 9 (180). Ч.1. – С. 140-147.Надійшла до редколегії 10.06.2012УДК 539.3Г. И. ЛЬВОВ, д-р техн. наук; профессор, зав. каф., НТУ «ХПИ»;С. В. ЛЫСЕНКО, канд. техн. наук; вед. науч. сотр., НТУ «ХПИ»;Р. П. ПЕРИН, студент, НТУ «ХПИ»ДЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ РЕГУЛИРУЮЩЕГО КЛАПАНАШИБЕРНОГО ТИПА С УЧЕТОМ НЕОДНОРОДНОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫДля урахування неоднорідного розподілу температури запропоновано за допомогою функційАрреніуса розширити класичну модель механіки руйнування Качанова-Работнова-Хейхерста.Запропонована неізотермічна теорія повзучості з урахуванням пошкоджуваності була вбудованау скінчено-елементний код ПК ANSYS за допомогою розробленої підпрограми. Для тривимірноїмоделі корпусу шиберного клапана було проведено чисельний розрахунок тривалої міцності.Ключові слова: механіка руйнування, неізотермічна теорія повзучості, чисельний розрахунок,тривала міцність.Для учета неоднородного распределения температуры предложено посредством функций Аррениусарасширить классическую модель механики разрушения Качанова-Работнова-Хейхерста.Предложена неизотермическая теория ползучести с учетом повреждаемости была встроена в© Г. И. Львов, С. В. Лысенко, Р.П. Перин, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 99

конечно-элементный код ПК ANSYS с помощью разработанной подпрограммы. Для трехмерноймодели корпуса шиберного клапана был проведен численный расчет длительной прочности.Ключевые слова: механика разрушения, неизотермическая теория ползучести, численныйрасчет, длительная прочность.The conventional continuum damage mechanics model Kachanov-Rabotnov-Hayhurst is extended tothe case of variable temperature using Arrenius functions. The proposed non-isothermal creep-damageconstitutive theory have been implemented in FE-code of the universal CAE ANSYS. The numeralcalculation of long-term strength of three-dimensional model of vane valve body is executed.Keywords: damage mechanics model, non-isothermal theory of creep, numeral calculation, longtermstrength.Введение. Решение вопросов надежности и прочности в условиях ползучестисущественно отличается от аналогичных задач для упругих и упругопластическихматериалов в силу наличия фактора времени. При оценкепрочности энергетического оборудования, работающего в условиях высокихтемператур и сложных нагрузках, приходится считаться, с одной стороны, свозможностью недопустимо больших деформаций, с другой стороны, с возможностьюфизического разрушения материала.Рисунок 1 – Характер накопления поврежденности по мере исчерпанияресурса эксплуатацииПрогнозирование времени до разрушения основывается на опытныхданных, либо на основании феноменологических теорий ползучести и длительнойпрочности. Идея этих теорий состоит в том, что выделяется два основныхтипа разрушения – вязкое и хрупкое [1]. В первом случае разрушениеимеет внутризеренный характер и реализуется для некоторых чистых металловпри относительно высоких температурах и относительно больших скоро-100 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

стях деформации (при непродолжительном сроке службы). Куда большийинтерес имеет второй случай, когда разрушение носит межзеренный характер[2], при наблюдается многочисленные трещины внутри материала, а срокслужбы велик. Для него представлен общий вид взаимосвязи накоплениямикроповрежденности и процесса ползучести на рис. 1.Кроме разделения на два типа разрушения экспериментальные данныепоказывают, что при повышении температуры T скорость процесса ползучестипри одном и том же уровне напряжения увеличивается [1]. Типичная картинаползучести металлов при фиксированном напряжении σ = const и различныхтемпературах T i представлена на рис. 2. Этот факт важен для толстостенныхэлементов энергетического оборудования, где имеет место неоднородноераспределение температуры. В таких случаях оправдано использованиянеизотермической теории ползучести.Рисунок 2 – Схематические кривые ползучести при постоянномнапряжении (T3 > T2 > T1)Регулирующий клапан шиберного типа. Регулирующие клапаны D y100 (серия 675) применяются в качестве регуляторов расхода рабочей средыи устанавливаются на основных и вспомогательных трубопроводах пара высокихи сверхвысоких параметров [3]. Из технической характеристики клапанаизвестны следующие рабочие параметры: температура пара T раб = 545 °C,рабочее давление пара P раб = 30 МПа. Ввиду того что стенки корпуса клапанаотносительно толстые, а условия работы сопряжены с высокими температурамии интенсивными нагрузками, для оценки длительной прочности актуальноиспользовать неизотермическую теорию ползучести.По приведенному в [3] изображению конструкции клапана была построенагеометрическая модель (см. рис. 3, а). Кроме того симметрия конструкциипозволяет не рассматривать полностью трехмерную конечноэлементнуюмодель корпуса изучаемого объекта, а смоделировать толькоодну его четверть (см. рис. 3, б). При этом конечно-элементная модель содержит25145 элементов.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 101

абРисунок 3 – Регулирующий клапан шиберного типа:а – общий вид корпуса клапана; б – конечно-элементная модельНеизотермическая теория ползучести с учетом повреждаемости. Внастоящее время существует относительно немного надежных экспериментальныхданных по длительной прочности в условиях сложного напряженногосостояния. При определении времени до разрушения t разр обычно пользуютсятем или иным критерием длительной прочности. Наиболее перспективнымподходом здесь является установление некоторых эквивалентных напряженныхсостояний, приходящих к одному и тому же времени разрушенияt разр . Этот подход достаточно хорошо описан в литературе и существует многоисточников с различными предложениями выбора эквивалентного напряжения.Как будет показано далее, для решения поставленной задачи быловыбрано эквивалентное напряжение в форме представленной в [4].В данной работе используется классическая концепция Качанова-Работнова-Хейхерста [5], расширенная до варианта учитывающего изменениетемпературы как показано в [6], используя функцию Аррениуса [7]:n−1cr 3 ⎛ σ ⎞ Sijε vMij = α(T ) ⋅⎜⎟ ; (1)2 ⎝1− ω ⎠ 1− ωm⎛ ω ⎞cr ⎜ σeq⎟ω = β(T ) ⋅ , (2)⎜( )⎟1− ω⎝ ⎠102 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

гдеcrεij – тензор скорости деформации ползучести;1crω − скорость повреждаемости;σ = [ 3 s ⋅⋅]2s 2vM − интенсивность напряжений; S – девиатор тензора напряжений;σ eq – эквивалентное напряжение, предложенное в [4] вωформе:σ ω eq = λσ1 + (1 − λ)σ vM , (3)где λ – весовой коэффициент или коэффициент влияния главных механизмовповреждаемости; σ 1 – максимальное главное напряжение.Функция Аррениуса в уравнениях расширенной модели Качанова-Работнова-Хейхерста (1), (2) имеет следующую форму:α ( T ) = A⋅exp( − h / T );β ⋅(T ) = B ⋅exp(− p / T ) , (4)где T − абсолютная температура; A – константа материала, характеризующаяучасток установившейся ползучести; B – константа материала, характеризующаяучасток ускоренной ползучести, предшествующий разрушению конструкции;h, p – константы ползучести, имеющие такой вид:h = Qα / R;p = Qβ/ R , (5)где R − универсальная газовая постоянная; Q α − энергия активации диффузионнойползучести; Q β − энергия активации процессов поперечного скольжениядислокаций, которая влияет на скорость повреждаемости.При таком подходе естественным образом записывается критерий разрушенияв виде:ω(t * ) = 1, (6)где t * – время разрушения.Расчет длительной прочности регулирующего клапана шиберноготипа. Для решения поставленной задачи в конечно-элементный код ПКANSYS была встроена подпрограмма на основе неизотермической моделиползучести с учетом повреждаемости, написанная на языке FORTRAN. Особенностьюподпрограммы является введение дополнительной переменнойсостояния, в которой накапливается значение параметра повреждаемости впроцессе интегрирования системы дифференциальных уравнений (1), (2) повремени. Так как новая переменная не является независимой величиной, ивыражается через величины, являющиеся стандартными в программном комплексе,то необходимость создания нового конечного элемента не возникает.Для расширенной модели Качанова–Работнова-Хейхерста необходимошесть констант ползучести. Для некоторой жаропрочной стали, как показанов [6], они уже были определены:−5 ⎡−nА = 1,33⋅10МПа⎤; n = 5,6; h = 1,6 · 10⎢⎣ час⎥⎦4 ;−8 ⎡−mB = 1,87 ⋅10МПа⎤; m = 8; p = 1,86 · 10⎢⎣ час⎥⎦4 .ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 103

Выполнен расчет длительной прочности трехмерной модели корпуса регулирующегоклапана (см. рис. 3, б). Клапан нагруженного внутренним давлениемP = 30 МПа, а так же заданы граничные условия для температуры. Навнутренней поверхности корпуса клапана происходит передача энергии отпара, а на внешней от потока воздуха за счет движения молекул (конвективныйтеплообмен). В результате решения на первом шаге задачи теплопроводностиполучено распределение температуры в корпусе клапана, как показанона рис. 4.Рисунок 4 – Распределение температуры по объему конструкцииПосле нахождения поля температур была решена задача неизотермическойползучести с повреждаемостью. Найдено время разрушения корпусаклапана, которое составило t * = 121469 часа. При этом параметр повреждаемостидостиг своего критического значения ω(t * ) = 0,9 в 191-ом элементе,который находится на внешней стороне патрубка.В процессе ползучести происходит перераспределение характеристикНДС. В начальный момент времени распределение эквивалентных напряженийпо Мизесу показано на рис. 5, а. Для сравнения приведены результатырасчета аналогичных эквивалентных напряжений в момент разрушения (см.рис. 6, а). Из сравнения видно, что характер распределения полей напряженийпо объему корпуса клапана изменился. В частности, в критическом 191-ом элементе в процессе ползучести эквивалентные напряжения снижаются в104 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

абРисунок 5 – Перераспределения эквивалентных напряжений по Мизесу [МПа]:а – в начальный момент времени; б – в момент разрушенияISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 105

2,3 раза (см. рис. 6, а). Параметр повреждаемости сначала накапливается на внутреннейповерхности корпуса, но с течением времени максимальные значениясмещаются на внешнюю поверхность клапана. Накопление параметра повреждаемостив процессе ползучести в 191-ом элементе, грань которого находится навнешней поверхности корпуса, показано на рис. 6, б. Конечное накопление повреждаемостик моменту разрушения по объему клапана и в укрупненном масштабев области критического элемента представлено на рис. 7.абРисунок 6 – Изменение характеристик в 191-ом элементе:а – эквивалентного напряжения по Мизесу [МПа]; б – параметра повреждаемостиРисунок 7 – Распределения параметра повреждаемости в момент разрушения106 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Выводы. Для изучения прочности корпуса клапана использовалась модельнеизотермической ползучести и повреждаемости, которая описывает всетри стадии ползучести. Данная модель была встроена в ПК ANSYS с помощьюподпрограммы, написанной на языке FORTRAN.Был проведен расчет на длительную прочность корпуса регулирующегоклапана шиберного типа. Результатом расчета стало получение конечногозначения времени разрушения, которое составило приблизительно 16 лет.Данный результат подтверждает необходимость определения параметровдлительной прочности для такой конструкции. При этом местом зарожденияи развития первых трещин, которые в дальнейшем могут привести к разрывукорпуса клапана, является область резкого изменения толщины патрубка.Проведенный расчет неизотермической ползучести-повреждаемостиклапана также показал необходимость учета неравномерного распределениятемпературы по объему конструкции.Список литературы: 1. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Ползучесть и релаксация остаточныхнапряжений упрочненных конструкциях. – М.: Машиностроение, 2005. – 226 с. 2. Крейцер К.К.,Швецова Т.А. Восстановительная термическая обработка как метод увеличения ресурса паропроводов// Сб. докладов III Всероссийской конференции «Реконструкция энергетики-2011». – 2011.– С. 28-30. 3. Васильченко Е. Г. Арматура Энергетическая для АЭС и ТЭС. – М.: Научноисследовательскийинститут экономики в энергетическом машиностроении, 1986. – 547. 4. LeckieF.A., Hayhurst D.R. Constitutive equations for creep rupture // Acta Metallurgica, 25. – PergamonPress, 1977. – P. 1059-1070. 5. Hayhurst D.R. Computational continuum damage mechanics: its use inthe prediction of creep in structures: past, present and future // Creep in Structures. – Dordrecht, Kluwer,2001. - P. 175-188. 6 Львов Г.И., Лысенко С.В., Гораш Е.Н. Длительная прочность клапанавысокого давления с учетом неоднородного распределения температуры // Вісник НТУ «ХПІ»:Сб. науч. работ темат. выпуск «Динаміка і міцність машин». - 2007. – Вип. 22. - С. 98-107. 7.Perrin I.J., Hayhurst D.R. Creep constitutive equations for a 0.5Cr-0.5Mo-0.25V ferritic steel in thetemperature range 600-675 °C // Journal of Strain Analysis. - 1996. – Vol. 31, no. 4, ImechE. - PP. 299-314.Поступила в редколлегию 15.10.2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 107

УДК 621.7Г. И. ЛЬВОВ, д-р техн. наук, профессор, зав. каф., НТУ «ХПІ»;В. А. ОКОРОКОВ, студент, НТУ «ХПІ»ВЛИЯНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ МАТЕРИАЛАНА АВТОФРЕТИРОВАНИЕ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВУ статі розглядається задача автофретування товстостінного циліндра в припущені плоскої деформації.Представлені співвідношення, які описують пластичну поведінку матеріалу згідноінкрементальної теорії пластичності з урахуванням пошкоджуваності матеріалу. Описаний алгоритмрішення пружно-пластичної задачі, а також представлені результати рішення задачі автофретуваннятовстостінного циліндра.Ключові слова: автофретування, пошкоджуваність матеріалу.В статье рассматривается задача автофретирования толстостенного цилиндра в условиях плоскойдеформации. Представлены соотношения, описывающие пластическое поведение материаласогласно инкрементальной теории пластичности с учетом повреждаемости материала. Описаналгоритм решения, и приведены результаты для задачи автофретирования стального цилиндра.Ключевые слова: автофретирование, повреждаемость материала.This paper presents autofrettage processes in case of plain strain. There are produced equation of elastic-plastictheory in correspondence with Continuum Damage Mechanics. There are described methodof solving boundary problem and presented result of solving problem of autofrettage thick-walled tubes.Keywords: autofrettage, damage of material.Введение. Применительно к толстостенным цилиндрам процедуру автофретированияиспользуют для повышения предельно допустимого внутреннегодавления. Для этого цилиндр нагружают так, чтобы во внутреннихслоях или по всей толщине цилиндра возникли пластические деформации.После снятия нагрузки во внутренних стенках цилиндра появляются остаточныесжимающие напряжения. Автофретирование является альтернативойиспользования составных цилиндров, собранных с предварительным натягом.Остаточные напряжения, которые суммируются с противоположнымипо знаку напряжениями от внутреннего давления, в результате дают меньшеезначение действующих напряжений. Таким образом, значительно повышаетсядопускаемое внутреннее давление.Фундаментальными работами в области исследования автофретированияявляются работы Ильюшина[1], Огибалова[1], Биргера[2].При разгрузке цилиндра может возникать такое явление как эффектБаушингера, который для одноосного напряженного состояния проявляется вснижении предела текучести на сжатие, предварительно пластически растя-1 © Г. И. Львов, В. О. Окороков, 2012108 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

нутого образца. В случае сложного напряженного состояния это может проявитьсяв появлении вторичных пластических деформаций при разгрузке, икак следствие к уменьшению благоприятных остаточных напряжений. Поэтомупри расчете задач автофретирования необходимо использовать теориипластичности позволяющие учесть эффект Баушингера. В статье рассматриваетсямодель пластичности с комбинированным упрочнением. При использованиитакой модели поверхность пластичности может равномерно расширятьсяи смещаться, что позволяет учесть эффект Баушингера. Вопрос овлияния эффекта Баушингера на процесс автофретирования рассматриваетсяв статьях [3,4].Процедура автофретирования приводит к образованию значительныхпластических деформаций, что может привести к разупрочнению материалавследствие появления в нем повреждений. На экспериментальных диаграммахдеформирования это проявляется в снижении модуля упругости материалапри разгрузке. Для моделирования таких явлений используется континуальнаямеханика повреждаемости. Впервые в работах Работнова Ю.Н. [5]предложено связать повреждения материала и деградацию свойств упругостис параметром повреждаемости, который определяется как отношение общейплощади сечения материала к площади, эффективно сопротивляющейся нагрузке.В работе Леметра [6] представлены кинетические законы развитиядля хрупкой повреждаемости, повреждаемости вследствие пластичности,ползучести, малоцикловой и многоцикловой усталости.Формулировка условия пластичности с учетом повреждаемости материала.В зависимости от принятого закона изменения размеров, формы иперемещения поверхности пластичности, можно получать различные теориипластичности. Для учета анизотропного характера упрочнения может бытьприменена модель с равномерно расширяющейся и смещающейся поверхностьюпластичности. Это равносильно использованию критерия текучестиХубера – Мизеса, который выглядит следующим образом [7]:3f ( σ ij,ρij, R)= ( Sij− ρij)( Sij− ρij) − R −σT= 0,(1)2где S ij – компоненты тензора девиатора напряжений; ρ ij – компоненты тензорадобавочных напряжений; R – функция изотропного упрочнения; σ T – пределтекучести материала;Величина R обычно определяется как функция параметра Удквиста, акомпоненты тензора ρ ij , как функции компонент тензора пластических деформаций:pR = φ dε),(2)где(∫ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 109ipρij= g(ε ij),(3)pdε i – интенсивность приращений пластических деформаций, опреде-

ляемая формулой:2 pppdεi= ε ijεij.(4)3Функции φ и g могут быть определены из эксперимента на одноосноенапряженное состояние.Для учета повреждаемости необходимо использовать принцип эквивалентныхдеформаций, согласно которому любое уравнение состояния дляповрежденного материала может быть заменено на такое же для неповрежденногоматериала, путем введения тензора эффективных напряжений. Эффективныйтензор напряжений определяется согласно концепции эффективныхнапряжений:~ ijσij= σ ,(5)1 − Dгде D – скалярный параметр повреждаемости.При замене тензора напряжений на эффективный, критерий текучестиперепишется следующим образом:3 ⎛ Sij⎞⎛Sij⎞( , ρ , R,D) ⎜ − ρ ⎟⎜− ρ ⎟ − R −σ= 0.f σ ij ij =2 ⎜ij1 ⎟⎜ij1 ⎟ T(6)⎝ − D ⎠⎝− D ⎠В условиях активного нагружения должно выполняться следующее равенство:f = 0.(7)Таким образом, для получения условия пластичности необходимо рассмотретьскорость приращения функции текучести:f f f ff∂ ∂R∂ ∂= σij+ + ρij+ D. (8)∂σij∂R∂ρij∂DС учетом (2) и (3) приращения Rи ρ ij будут иметь вид:pR ∂φ= dεi;(9)p∂εi∂g p ρij= ε ij . (10)∂εpijДля определения приращения параметра повреждаемости необходиморассмотреть кинетический закон развития повреждаемости, который имеетвид [6]:FD ∂ D p= dεi( 1−D),∂Yпри pεi≥ p ,DD p= 0, при εi< pD, (11)110 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

pгде εi– интенсивность пластических деформаций; p D – порог, после котороговозникают первые повреждения; F D –потенциал повреждаемости. В зависимостиот выбора этого потенциала можно получать различные модели развитияповреждаемости.Частные производные из выражения (8) определяются следующим образом:гдеASijиAσiэто:∂f= −1 ;∂RA∂f3 Sij= −A∂ρ 2 σijiSAij∂f∂σij3 Sij=;A2 σ (1 − D)A∂f3 ij ij; =A2∂D2 σi(1 − D)ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 111iSSij= − ρij; 1 − DAS, (12)A 3 ⎛ Sij⎞⎛Sij⎞σ i = ⎜ ⎟⎜⎟− ρij− ρij. (13)2 ⎝1−D ⎠⎝1−D ⎠Ассоциированный закон течения для выбранной поверхности пластичностиимеет вид:pp 3 dεi A εij= SA ij . (14)2 σiЕсли подставить (9)-(14) в (8), то условие (7) будет иметь вид:dεpi=∂φ+∂εpi94Sσ32A 2mnA2iσA2i∂g∂εSij σ ij(1 − D)pmnA−32SσAmnAiSmn∂F(1 − D)∂YD. (15)С использованием ассоциированного закона течения с учетом (15) могутбыть получены 6 уравнений связывающих приращения пластических деформацийс приращениями напряжений:A9 SijSkl σ klA24pσ i (1 − D) εij=A 2A∂φ9 Smn∂g3 SmnSmn∂FD+−p A2p A∂εi4 σ ∂εmn2 σ i(1 − D)∂Yi. (16)или в сокращенном виде:p p εij= B ijklσkl. (17)A

Для записи зависимости между приращениями полных деформаций иприращениями напряжений необходимо определить приращение упругихдеформаций. Из закона Гука в прямой форме можно получить зависимостимежду приращениями упругих деформаций и приращениями напряжений:e 1+ν ν εij= σij− 3 σ0δij .E E(18)Приращение тензора эффективных напряжений:∂~ σij∂~~σijσ ij= σij+ D,∂σij∂D(19)и после дифференцирования:~ 1 σijσ ij= σij+21−D (1 − D)D. (20)После замены тензора напряжений на тензор эффективных напряжений,уравнения (18) перепишутся в виде:ee 1+ν νεij εij= σij− 3σijD0δ+ .E(1− D)E(1− D)(1 − D)(21)Если подставить кинетический закон развития повреждаемости (11) иассоциированный закон течения (14) в (21), то получится следующее выражение:A2 σ i ∂FDe p0 δij+ εA ijBijklσkl , (22)3 Sij∂Ye 1+ν ν εij= σ ij − 3 σE(1− D)E(1− D)или в сокращенном виде:e e εij= B ijklσkl. (23)Приращение полных деформаций определяется как сумма приращенийупругих и пластических деформаций:e p e p εij+ εij= ( Bijkl+ B ijkl) σkl, (24)и после суммирования тензоров: εij = Bijkl σ kl – в прямой форме, σ = – в обратной форме. (25)ijHijklεklТаким образом, матрица податливости B и матрица жесткости H зависятот текущего напряженного состояния, от упругих характеристик материала,а также от величин, характеризующих пластическое поведение материалаи развитие повреждаемости.Вывод разрешающего уравнения для толстостенного цилиндра постояннойтолщины. Физические соотношения (25) для осесимметричнойзадачи в полярных координатах можно записать в виде:112 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

= H11εr + H12ε θ ;θ H ε 21 r+ H22ε θσσ = ; (26)Соотношения Коши:duu ε r = ; ε θ = . (27)dr rДифференциальные уравнения равновесия:2d σ r σ r − σθ+ = 0 . (28)2dr rСистему уравнений (26)-(28) можно привести к разрешающему уравнениюотносительно приращений перемещений:2d u⎡dH111⎤ du⎡1dH12H22⎤H11 + ( 12 21 11)+= 02 ⎢ + H − H + H ⎥ ⎢ −2 ⎥u . (29)dr ⎣ dr r⎦ dr ⎣rdr r ⎦Дифференциальное уравнение второго порядка должно быть дополненограничными условиями на внутреннем и внешнем радиусах: σ r( r a) = −P; σr( r b) = 0 . (30)Относительно приращений перемещений граничные условия запишутсяв следующем виде:duH12H rauraP11 ( ) + ( ) = − ;dr rduH12H11 ( rb) + u( rb) =dr rISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 113ab0 . (31)Система (29), (31) формирует краевую задачу для дифференциальногоуравнения второго порядка с переменными коэффициентами.Алгоритм решения упругопластической задачи с учетом повреждаемости.Для решения задачи используется метод шагов. Задача разбиваетсяна N шагов по нагрузке. На каждом шаге решается краевая задача (29),(31). В результате вычисляются приращения перемещений u . Суммарныеn n−1nперемещения на n шаге вычисляются по формуле: u = u + u. Таким жеобразом вычисляются компоненты напряжений и деформаций. На каждомшаге проверяется условие текучести: f < 0; если неравенство выполняется, топластическая деформация не вычисляется и матрица жесткости H совпадаетс матрицей упругих коефициентов, если выполняется, то к расчету подключаетсяматрица податливости B . Затем, если интенсивность пластическихpдеформаций превысила порог повреждаемости, то согласно кинетическомузакону развития повреждаемости вычисляется приращение повреждаемости.Метод решения краевой задачи. Для решения дифференциальногоуравнения второго порядка с переменными коэффициентами применен метод

прогонки. Для этого производные заменены следующими конечными разностями:2d uui − 1− 2ui+ ui+1=; (32)22dr hduui+ 1− ui−1= ; (33)dr 2hduu iu+1−i= ; (34)dr hduui− ui−1= , (35)dr hгде h – величина шага равномерной сетки.Для замены дифференциального оператора в уравнении, использованыцентральные конечные разности второго порядка точности (32), (33), а длякраевых условий – левая и правая конечные разности первого порядка точности(34), (35).После подстановки конечных разностей в уравнение, а также в граничныеусловия, формируется система линейных алгебраических уравнений[8]:c0u0− b0u1= f 0;− a ui i 1+ c ui i− biu−i+1= fi; i = 1, N;−a Nu N −1 + cNuN = f N .(36)С помощью метода исключения Гаусса выводятся прогоночные коэффициенты:bib0αi+1 = ; i = 1,N −1;α 1 = ;c − a αciiifi+ aiβif0βi+1 = ; i = 1,N;β 1 = .(37)ci− aiαic0Вычисление коэффициентов α и β описывает прямой ход прогонки. Спомощью обратного хода прогонки находятся значения искомой функции:u i = N −1,0;u β .(38)i = αi+ 1 ui+1 + βi+1 ;114 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)0N = i+1Пример решения задачи автофретирования толстостенного цилиндрас учетом повреждаемости. В качестве теории пластичности выбранамодель с изотропным упрочнением. Параметры для такой модели определеныследующим образом:EETpR = εi, (39)E + ETгде E T – модуль упрочнения материала;

Кинетический закон развития повреждаемости принят в таком виде [6]:2iR pD σ= νdεi2ES, при pεi≥ p ,DD p= 0, при ε i < pD,22⎛ σ0⎞(1 ) 3(1 2 ) ⎜ ⎟ν = + ν + − ν3σ. (40)iR⎝ ⎠Материал цилиндра – нержавеющая сталь AISI 316. Для такого материалапараметры упругости, пластичности и повреждаемости представлены ниже.Модуль упругости: E = 2 · 10 11 Па; коэффициент Пуассона: ν = 0,32; пределтекучести: σ T = 260 МПа; модуль упрочнения: E T = 6 · 10 9 Па; параметр,характеризующий рост повреждаемости: S = 7 МПа; порог повреждаемости:p D = 0,1. Для цилиндра приняты следующие размеры: внутренний радиус:a = 0,03 м, внешний радиус: b = 0,09 м.Рисунок1 – Распределение окружных остаточных напряжений с ростомдавления автофретированияНа рис. 1 показаны распределения окружных остаточных напряженийдля различных значений давления автофретирования. При увеличении этогодавления происходит рост остаточных напряжений до тех пор, пока эффектыот повреждаемости материала при значительных пластических деформацияхне становятся превалирующими. Для определения оптимального давленияавтофретирования, при котором остаточное напряжение на внутреннем радиусецилиндра имеет наибольшее значение, проведена серия расчетов с различнымивеличинами давления.На рис. 2 показана зависимость остаточных окружных напряжений отISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 115

давления автофретирования. При значении давления P = P D = 477 МПа появляютсяпервые повреждения в материале, а при P = P opt = 551 МПа остаточныеокружные напряжения достигают максимума по абсолютному значению,при этом значение повреждаемости на внутреннем радиусе – D = 0,127. Такимобразом, давление P opt является оптимальным для процесса автофретирования.Как видно из рис. 3 максимальная повреждаемость развивается навнутреннем радиусе в месте максимальных пластических деформаций.Рисунок 2 – Зависимость остаточных окружных напряжений от давленияавтофретированияРисунок 3 – Развитие параметра повреждаемости с увеличением давленияавтофретированияВыводы. В статье выполнен анализ влияния повреждаемости материла наэффективность процесса автофретирования. Установлено, что непрерывное уве-116 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

личение давления автофретирования не приводит к росту остаточных напряжений.На конкретном примере найдено оптимальное значение давления, при которомостаточные напряжения достигают максимального значения.Разработанный алгоритм решения реализован с помощью программнойсреды Microsoft Visual Studio 2008 и языка программирования Visual С#.Приведен пример решения задачи.Список литературы: 1. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Упругопластические деформации полыхцилиндров. – М.: Изд-во МГУ, 1960. – 227 с. 2. Биргер И.А. Остаточные напряжения. – М.: Машгиз,1963. – 231 с. 3. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения / Работнов Ю.А. – М.:Наука, 1987. – 82 с. 4. Parker A.P. Bauschinger Effect Design Procedures for Autofrettaged TubesIncluding Material Removal and Sachs’ Method // Journal of Pressure Vessel Technology. – 1999. – №121. – P. 430-437. 5. Parker A.P. Bauschinger Effect Design Procedures for Compound Tubes Containingan Autofrettaged Layer // Journal of Pressure Vessel Technology. – 2001. – № 123. – P. 203-206. 6.Lamaitre J. A. Course of Damage Mechanics / J. Lamaitre, R. Desmorat. – Verlag Berlin Heidelberg:Springer, 2005. – 380 p. 7. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М.:Машиностроение. 1975. – 399 с. 8. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточныхуравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 с.Поступила в редколлегию 20.09.2012.УДК 531.382Г.Ю. МАРТЫНЕНКО, канд. техн. наук, доцент, НТУ «ХПИ»;С.С. МЯКИННИКОВ, студент, НТУ «ХПИ»ИНТЕГРИРОВАННОЕ ПРОГРАММНОЕ СРЕДСТВОДЛЯ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ДИНАМИКИ РОТОРОВНА РАЗЛИЧНЫХ ОПОРАХЗапропоновано інтегрований програмний засіб для опису динаміки роторів. Він дозволяє повведеним користувачем параметрам системи «ротор-опори» створювати в автоматичному режимірозрахункову скінчено-елементну модель валу, вибирати місцеположення приєднаних мас іопор із завданням їх типу і параметрів. В ньому реалізовано такі розрахункові засоби, як аналізвласних частот і форм з урахуванням гіроскопічного моменту, пошук критичних швидкостейобертання, а також визначення гармонійного відгуку на дію відцентрових сил викликаних наявністюдисбалансу мас. Достовірність розрахункового засобу підтверджена порівнянням з розрахунковимиі експериментальними даними.Ключові слова: динаміка ротора, критичні швидкості, програмний засіб.Предложено интегрированное программное средство для описания динамики роторов. Оно позволяетпо введенным пользователем параметрам системы «ротор-опоры» создавать в автоматическомрежиме расчетную конечно-элементную модель вала, выбирать местоположение присое-© Г. Ю. Мартыненко, С. С. Мякинников, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 117

диненных масс и опор с заданием их типа и параметров. В качестве расчетных средств реализованыанализ собственных частот и форм с учетом гироскопического момента, поиск критическихскоростей вращения, а также определение гармонического отклика на действие центробежныхсил вызванных наличием дисбаланса масс. Достоверность расчетного средства подтвержденасравнением с расчетными и экспериментальными данными.Ключевые слова: динамика ротора, критические скорости, программное средство.The integrated software for modeling the dynamics of rotors is introduced. The program allows you onset parameters of the «rotor-bearing» system to create in automatic mode finite element model of theshaft, to choose the location of the added masses and supports with the assignment of their type andparameters. Such types of calculations as the analysis of natural frequencies and forms subject to therotational velocity and gyroscopic moment, the search for critical speed of rotation, and the definition ofthe harmonic response to the action of the centrifugal force caused by the presence of mass imbalanceare implemented. The reliability of the software tools is confirmed by experimental data and results ofother computational research.Keywords: rotordynamics, critical speeds, software tool.Введение. Роторные машины, как и другие сложные технические устройства,подвержены воздействию вибраций, которые могут приводить в процессеэксплуатации к пагубным последствиям, а иногда и к разрушению отдельныхэлементов, например, опорных узлов [1-2]. Основным источником вибрации втаких машинах является вращающийся элемент – ротор, на который при наличииэксцентричной посадки навесных элементов (рабочих колес, полумуфт ит.д.) либо их остаточной несбалансированности действуют центробежные силы,направленные от центра вращения каждого сечения вала в сторону текущегоположения центра масс навесного элемента. Это главный и неизбежный видвибраций любой роторной машины. Неуравновешенный ротор всегда совершаетколебания с основной частотой, то есть с частотой вращения ротора ω. При этомвозникающие центробежные силы могут вызывать не только вертикальные игоризонтальные вибрации, но и, при определенных условиях, осевые. Анализудинамического поведения ротора под воздействием указанных сил должна подвергатьсялюбая роторная машина как на этапах проектирования и доводки, так ипри возникновении эксплуатационных аварий.Постановка задачи. Целью данной работы является реализация методикиконечно-элементного расчета основных динамических параметров ихарактеристик различных (в том числе многопролетных) роторов, установленныхв опорах различного типа, с учетом навесных элементов.Для автоматизации процесса построения геометрической и конечноэлементноймоделей роторов в виде валов кусочно-постоянного круглогосечения с навесными элементами, смоделированными сосредоточеннымимассами и обладающими инерцией поворота, а также нахождения их собственныхчастот и форм, построения частотных диаграмм для поиска критическихскоростей и амплитудно-частотных характеристик с визуализацией траекторийдвижения ротора для определения опасности резонансных режимов,в работе ставится задача по созданию специализированного интегрированногопрограммного средства.118 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Особенности моделирования роторов различного назначения.Объектом исследований в работе выбран ротор любой возможной конфигурациис валом, состоящим из участков кусочно-постоянного круглого(кольцевого) сечения. К такому представлению может быть приведен валпрактически любой роторной машины (турбины, компрессора, детандера,генератора и т.д.) [3]. Навесные элементы могут быть любой конфигурации,но для них должно быть известно местоположение центра масс навалу, масса, экваториальный и полярный моменты инерции. Применяемыев настоящее время подшипники (качения, скольжения, магнитные) могутмоделироваться как жестко защемленные, шарнирные или упругодемпферныеопоры в зависимости от степени близости к этим вариантамхарактеристик применяемого типа подшипников.Кроме того, для проведения расчетных исследований динамики должныбыть известны такие параметры ротора, как свойства материала вала, остаточныедисбалансы навесных элементов, разгонная характеристика и диапазонрабочих скоростей вращения ротора.Теоретические положения численного анализа роторной динамики.При анализе процессов, происходящих в роторной машине, следует разделятьпонятия критической скорости и резонанса. Первое связано с потерейустойчивости вращающегося ротора под действием возбуждения из-за собственнойнеуравновешенности [4-7]. Но в многовальных турбомашинах колебанияодного ротора могут быть вызваны неуравновешенностью другого [5,с. 167-170]. Такие колебания, в отличие от критических, называют резонансными[5]. Кроме того, резонансные вибрации определяются динамическимсостоянием машины в целом и могут возбуждаться, например, кинематическиили периодическими силами постоянного направления различной природы[4]. При этом ротор может совершать движение типа прямой или обратной,синхронной или несинхронной прецессии.В работе используются численный метод расчета динамических характеристик– метод конечных элементов (МКЭ) [8]. Определение критическихчастот ротора, как и все другие анализы, выполняется с использованиемуравнений роторной динамики, которые в матричной форме имеют вид [8]:[ M][U] + ([C] + [G])[U] + ([K] + [B])[U] = [F] , (1)где M, C и K – соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости, U– вектор-столбец узловых перемещений, F – вектор-столбец динамическойнагрузки, приведенной к узлам конечно-элементной сетки, а G и B – гироскопическаяматрица и матрица демпфирования, связанного с вращательнымдвижением, которые позволяют учесть зависимость динамических характеристик(например, собственных частот) от угловой скорости вращения ротора.Последняя матрица изменяет общую матрицу конструкционной жесткости,что может привести к неустойчивости движения ротора.Далее при [F] = 0 этим уравнениям придается форма, соответствующаяISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 119

задаче о собственных значениях, и для дискретных значений угловой скоростивращения в заданном диапазоне находятся собственные частоты, соответствующиеизгибным (поперечным) формам колебаний. Это позволяет построитьчастотную диаграмму (диаграмму Кэмпбелла) и по ней определитькритические скорости вращения с учетом гироскопического момента.На ротор при вращении действуют центробежные силы, проекции которыхна оси системы координат (y и z), перпендикулярные оси вала, изменяютсяпо гармоническому закону в противофазе [8]:FFyz2= ω (Fcosαcosωt+ Fsin αsinωt);2= ω (Fcosαsinωt+ Fsin α cosωt);F = me,где m – неуравновешенная масса, e – эксцентриситет, α – фаза неуравновешенности,ω – угловая скорость вращения.В комплексном виде равенства (2) могут быть записаны как:2Fy= ω (Fa− iFb)e ;(3)2iωtFz= ω ( −Fb− iFa)e .При выполнении гармонического анализа с учетом таких сил решаетсяуравнение вида (1) с правой частью (3) и строится амлитудно-частотная характеристика(АЧХ), например, для центров масс навесных элементов илиопорных участков. Это позволяет найти резонансные режимы с определениемамплитуд колебаний, построить траектории движения ротора, соответствующиеэтим угловым скоростям и в конечном итоге оценить их опасность.Интегрированное программное средство и методика вычислений.Для расчета динамических характеристик роторной системы (многоопорногоротора), то есть проведения расчетов собственных частот и форм невращающегосяротора, получения зависимостей собственных частот от угловой скоростивращения в заданном диапазоне и построения частотной диаграммыКэмбелла, выполнения гармонического анализа и построения амплитудночастотныххарактеристик с визуализацией траекторий движения ротора быласоздана программа «Sol». Она интегрирована с многоцелевым пакетом проектированияи конечно-элементного анализа. Геометрические параметрыротора в виде длин и диаметров отдельных участков вала задаются пользователемв главном окне программы «Данные», вид которого показан на рис. 1.Кроме того, в этом же окне имеется возможность указания мест расположениясосредоточенных масс с определением их параметров (масса, экваториальныйи полярный моменты инерции, дисбаланс), радиальных и осевыхопор с выбором вида опирания и заданием их характеристик (коэффициентовжесткости и сопротивления), свойств материала вала, а также типа расчета(критические скорости, гармонический анализ) и его параметров (количествособственных частот и форм, диапазон угловых скоростей для построениядиаграммы Кэмбелла, диапазон частот для построения АЧХ и количество120 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)iωt(2)

расчетных точек в этих диапазонах). Все представленные на форме параметрыснабжены вплывающими подсказками, содержащими информацию о физическомсмысле и единицах измерения (см. рис. 1).Рисунок 1 – Окно для задания параметров системы «ротор-опоры» программы «Sol»Передача этих и других исходных данных из управляющей программы впакет осуществляется посредством макроса, содержащего команды построениягеометрической и конечно-элементной моделей, задания свойств материалов,граничных условий и нагрузок, запуска на счет, визуализации и сохранениярезультатов.В качестве расчетной конечно-элементной модели в программе используетсябалочно-массовая модель. Так вал моделируется балочными конечнымиэлементами (КЭ) кусочно-постоянного круглого или кольцевого сечения,навесные элементы – КЭ сосредоточенных масс с учетом или без учета инерцииповорота, радиальные упруго-демпферные подшипники – КЭ специальноготипа с заданием коэффициентов жесткости и сопротивления в двух взаимноперпендикулярных направлениях, а осевые упруго-демпферные подшипники– КЭ типа линейных пружин с постоянными значениями коэффициентовжесткости и сопротивления.Примененные расчетные алгоритмы роторной динамики соответствуюттеоретическим положениям, описанным выше (см. п. 3).Вывод результатов включает в себя графическое представление диаграммыКэмбелла с указанием значений критических скоростей соответствующихпрямой, обратной и «неопределенной» прецессиям (вкладка «Кэм-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 121

пбелл-диаграмма»), визуализацию собственных форм колебаний невращающегосяротора с указанием значений собственных частот, соответствующихим (вкладка «Собственные частоты»), графический вывод АЧХ в виде резонанснойкривой (вкладка «Амплитудно-частотная характеристика») и отображениетраектории прецессионного движения ротора для заданной угловойскорости (вкладка «Орбиты»).Расчетные исследования и верификация программы. Целью выполненныхс использованием созданной программы численных исследований,результаты которых представлены ниже, являлось подтверждение адекватностирасчетного средства и демонстрация его возможностей.В качестве объектов исследований выбраны системы, для которых основныединамические характеристики были получены ранее либо расчетнымпутем с использованием других математических моделей и методов, либоэкспериментальным путем. Это ротор детандер-компрессорного агрегата,входящего в состав технологического стенда, разработанного на ПАО «СумскоеНПО им. М.В. Фрунзе» и служащего для сжижения природного газа [9],и ротор лабораторной установки, реализующей полный магнитный подвескомбинированного типа [10].Анализ динамики роторов ДКА. Геометрические модели исходной имодифицированной конструкций ротора ДКА представлены на рис. 2. В обоихслучая в состав конструкции ротора входит два рабочих колеса (детандерноеи компрессорное), цапфы радиальных и диск осевого подшипниковскольжения. Длины роторов равны 1 м и 0,94 м, а массы 54 и 63 кг – соответственно,жесткость опор – 1,3×10 7 Н/м. Изменение конструкции ротора выполненос целью перехода от подшипников скольжения (см. рис. 2, а) к магнитнымподшипникам [9], являющимся, по сути, тоже упругими опорами.абРисунок 2 – Геометрические трехмерные модели:а – исходная; б – модифицированная конструкция ротора ДКАСхема полного магнитного подвеса ротора ДКА с двумя радиальнымимагнитными подшипниками на постоянных магнитах (МППМ) и одним осевымактивным магнитным подшипником (АМП) двустороннего действия,расположенным посередине (см. рис. 2, б), рассмотрена в работе [10].С помощью программы была построена расчетная модель и проведенычисленные исследования, погрешность результатов которых, обусловленная122 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

сеточной дискретизацией, не превышала 1 %. Это было подтверждено ихсравнением с результатами, полученными при меньшем размере КЭ.На рис. 3 представлена диаграмма Кэмбелла для ротора ДКА модифицированнойконструкции (см. рис. 2, б), причем рис. 3, а демонстрирует зависимостьсобственных частот, находящихся в нижней части спектра, от угловойскорости вращения, а рис. 3, б – в верхней. Наклонная линия, выходящаяиз начала координат, соответствует первой (основной) гармонике, а точкипересечения ее с графиками частот дают критические скорости. Численныезначения этих скоростей представлены на форме в таблицах с указанием, какомутипу прецессии они соответствуют.Собственные формы поперечных и изгибных колебаний невращающегосяротора представлены на рис. 4-7. Кроме балочных элементов, моделирующихвал, на рисунках отображены и элементы (K0), моделирующие радиальныеи осевую упругие опоры. В таблицах даны значения собственных частот,попадающих в заданный диапазон.На рис. 8 представлены АЧХ ротора ДКА модифицированной конструкции,то есть зависимость амплитуд колебаний (в метрах) центров тяжестисосредоточенных масс навесных элементов (см. рис. 8, а) и центров опорныхучастков радиальных и осевого подшипников (см. рис. 8, б) от частоты возбуждения(в Герцах). Из анализа АЧХ можно сделать вывод, что первый резонансныйрежим возникает на частоте ~95 Гц. Это соответствует первойкритической скорости 5742 об/мин, на которой ротор совершает движениетипа прямой синхронной конической прецессии. Траектории движения наданной скорости отдельных узловых точек ротора изображены на рис. 9.Для выполнения сравнительного анализа и подтверждения достоверностирасчетной модели и примененных средств, а также всего программногопродукта использовались результаты расчетов для двух рассмотренных конструктивныхвариантов с теми же параметрами, но выполненные с использованиемтакже балочно-массовых расчетных моделей, представленных на рис.10. Здесь в расчетах, выполненных методом конечных разностей (МКР), учитываласьпрямая прецессия вала [9]. Результаты в виде первых пяти значенийкритических скоростей сведены в табл. 1. Их анализ показал, что относительнаяразница практически для всех критических скоростей ротора ДКАобеих конструкций не превышает 4 %, а это может являться подтверждениемадекватности предложенного программного средства, так как объяснениемнемного большего несовпадения некоторых значений может служить неучетв «эталонных» расчетах осевых упругих опор.Анализ динамики ротора лабораторной установки с магнитнымиподшипниками. Комбинированный магнитный подвес ротора лабораторной(экспериментальной) установки включает два радиальных магнитных подшипникана двух постоянных кольцевых магнитах (МППКМ) и один осевойактивный магнитный подшипник двухстороннего действия с двумя обмотками[10]. Установка предназначена для подтверждения возможности реализа-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 123

абРисунок 3 – Диаграмма Кэмпбелла (частотная диаграмма) ротора ДКА модифицированнойконструкции: а – нижняя часть спектра, б – верхняя часть спектра124 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 4 – Поперечная угловая форма собственных колебаний ротора ДКАмодифицированной конструкции с указанием места в спектре и собственной частотыРисунок 5 – Поперечная поступательная форма собственных колебаний ротора ДКАмодифицированной конструкции с указанием места в спектре и собственной частотыISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 125

Рисунок 6 – Первая изгибная форма собственных колебаний ротора ДКАмодифицированной конструкции с указанием места в спектре и собственной частотыРисунок 7 – Вторая изгибная форма собственных колебаний ротора ДКАмодифицированной конструкции с указанием места в спектре и собственной частоты126 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

абРисунок 8 – Амплитудно-частотная характеристика ротора ДКА:а – амплитуды колебаний сосредоточенных масс навесных элементов;б – амплитуды колебаний центров опорных участковISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 127

Рисунок 9 – Траектория движения ротора ДКА на первой критическойскорости вращения 5742 об/мин (прямая коническая прецессия)абРисунок 10 – Результаты расчетов критических скоростей методом конечныхразностей: а – исходная; б – модифицированная конструкция ротора ДКАТаблица 1 – Критические скорости вращения ротора ДКА в упругих опорах [об/мин]Вид движения –МодифицированнаяИсходная конструкция№ прямая синхроннаяконструкцияпрецессия МКР МКЭ МКР МКЭ1 коническая 5951 5768 5768 57422 цилиндрическая 7027 6566 6269 63473 изогнутой оси 15164 15580 22587 215684 изогнутой оси 26657 28757 37381 357255 изогнутой оси 84875 83116 127086 105937128 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

ции такого вида полного магнитного подвеса в высокоскоростных роторныхмашинах (например, ДКА), а также для проведения экспериментальных исследованийс целью апробации алгоритмов и законов управления для достижениядинамической устойчивости в заданном диапазоне возможных возмущающихвоздействий, определения вибрационных характеристик, поискаразличных резонансных режимов, в том числе связанных с нелинейностямисиловых и жесткостных характеристик магнитных подшипников, идентификациианалитических математических моделей [10]. Ее внешний вид показанна рис. 11. Здесь же представлены два варианта ротора исходной (вверху) имодифицированной (внизу) конструкций. Длина роторов равна 367 и 328 мм,а масса 2,5 и 2,7 кг соответственно. Конструктивные изменения ротора быливыполнены с целью совмещения точки измерения осевого положения ротораи точки управления осевым АМП, а также горизонтального выравниванияоси ротора в положении статического равновесия. В обоих вариантах роторакольца МППКМ имеют осевую намагниченность и обеспечивают самоцентрированиев радиальном направлении за счет сил отталкивания. Устойчивостьв осевом направлении обеспечивается системой управления (СУ) с обратнойсвязью, реализующей некоторый алгоритм управления, то есть алгоритмизменения управляющих напряжений, подаваемых на обмотки АМП взависимости от положения ротора, определяемого с помощью датчиков.Рисунок 11 – Лабораторная установка ротора в комбинированном магнитном подвесеи геометрические модели исходной и модифицированной конструкций ротораПри проведении расчетных исследований все магнитные подшипникирассматривались как упругие опоры с постоянной жесткостью, значение которойсоответствовало положению статического равновесии ротора [10]. Такжесткость радиальных опор равна 7800 Н/м и 5930 Н/м в вертикальном и горизонтальномнаправлении, а осевой – 8600 Н/м.Диаграммы Кэмбелла для рассматриваемых роторов, полученные с помощьюаналитических моделей в диапазоне угловых скоростей от 0 до3000 об/мин [11], представлены на рис. 12. Значения критических скоростейвращения, найденные по ним и подтвержденные экспериментальными дан-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 129

ными (погрешность меньше 0,5 %) [12], вместе со значениями, полученнымис помощью созданного программного средства, сведены в табл. 2 для сравнительногоанализа.В этом случае вид зависимостей собственных частот от угловой скоростивращения (см. рис. 12) отличается от предыдущего случая (см. рис. 3), таккак значения жесткости радиальных опор отличается в горизонтальном и вертикальномнаправлениях. Это является причиной появления двух собственныхчастот как поступательных, так и угловых поперечных колебаний невращающегосяротора p 1x и p 1y , p 2x и p 2y (см. рис. 12). А при разгоне ротора этоприводит к реализации как прямой, так и обратной прецессий, и поэтому втабл. 2 сравниваются критические скорости для обоих этих движений.абРисунок 12 – Диаграммы Кэмпбелла, полученные с помощью аналитической модели:а – исходная; б – модифицированная конструкция ротора лабораторной установкиТаблица 2 – Критические скорости вращения ротора моделив магнитных подшипниках [об/мин]№Исходная МодифицированнаяВид движения – синхроннаяконструкцияконструкцияпрецессияАМ МКЭ АМ МКЭ1 цилиндрическая обратная 633 636 627 6242 цилиндрическая прямая 714 719 706 7033 коническая обратная 1338 1358 1355 13644 коническая прямая 1854 1901 1968 2002Анализ результатов показал, что при их сравнении с данными, полученнымиэкспериментальным путем (см. табл. 2), погрешность составляет ~1 %.Это значение в отличие от сравнения с результатами численных исследований,проведенных на других моделях и другими методами, в 4 раза меньше(табл. 1) и может являться подтверждением достоверности всего программногосредства, а также примененных в нем способов моделирования, алгоритмоввзаимодействия отдельных модулей и способов интеграции с многоцелевымпакетом проектирования и конечно-элементного анализа.Заключение. В работе выполнено конечно-элементное моделированиероторов различных типов и назначения с учетом неуравновешенных масс,130 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

моделирующих навесные элементы, упругого или жесткого опирания в радиальноми осевом направлениях. Автоматизация моделирования и расчетовдинамических характеристик роторных систем реализована в программномсредстве, интегрированном с пакетом инженерного анализа. Серия расчетныхисследований, проведенных с его помощью, позволила доказать его работоспособность,адекватность примененных способов моделирования и методикчисленного поиска собственных частот, критических скоростей и АЧХ.Разработанное программное средство может использоваться для численногоопределения динамических характеристик роторов практически любойконструкции с любым количеством масс, упругих и жестких опор. Ещеодним применением программного средства является возможность его использованияв качестве расчетного модуля в пакете оптимизации геометриивала, выполняемой с целью обеспечения отстройки критических режимов отдиапазона рабочих скоростей вращения ротора.Список литературы: 1. Вибрации роторных систем / Рагульскис К.М., Ионушас Р.А., БакшисА.К. и др. – Вильнюс: Мокслас, 1976. – 232 с. 2. Гольдин А.С. Вибрация роторных машин /А.С. Гольдин. – М.: Машиностроение, 1999. – 344 с. 3. Кельзон А.С. Расчет и конструированиероторных машин / А.С. Кельзон, Ю.Н. Журавлев, Н.В. Январев. – Л.: Машиностроение, 1977. –288 с. 4. Липсман С.И. Предупреждение и устранение вибрации роторных машин / С.И. Липсман,А.Т. Музыка, В.С. Липсман. – К.: Техніка, 1968. – 196 с. 5. Иноземцев А.А. Основы конструированияавиационных двигателей и энергетических установок / А.А. Иноземцев, М.А. Нихамкин,В.Л. Сандратский. – М.: Машиностроение, 2008. – Т. 4: Динамика и прочность авиационныхдвигателей и энергетических установок. – 204 с. 6. Хронин Д.В. Теория и расчет колебаний вдвигателях летательных аппаратов / Д.В. Хронин. – М.: Машиностроение, 1970. – 412 с.7. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов / А. Тондл. – Л.: Энергия, 1971. – 387 с.8. Nelson H.D. The dynamics of rotor bearing systems using finite elements / H.D. Nelson,J.M. McVaugh // Journal of Engineering for Industry. – 1976. –Vol. 98. – P. 593-600. 9. Особенностимодифицирования ротора детандер-компрессорного агрегата для применения опор на постоянныхмагнитах / Бухолдин Ю.С., Левашов В.А., Гадяка В.Г., Мартыненко Г.Ю. // Компрессорнаятехника и пневматика. – М.: ИИЦ КХТ, 2012. – С. 22-28. 10. Мартиненко Г. Критичні швидкостіобертання ротора експериментальної моделі в пасивних радіальних і активному осьовому підшипниках/ Г. Мартиненко // Машинознавство. – Львів: Кінпатрі Лтд., 2009. – № 3 (141). – С. 28-33. 11. Мартиненко Г. Ідентифікація математичної моделі жорсткого ротора в пасивноактивномумагнітному підвісі на підставі експериментальних даних / Г. Мартиненко // Машинознавство.– Львів: Кінпатрі Лтд., 2009. – № 11 (149). – С. 9-14. 12. Мартыненко Г.Ю. Нелинейнаядинамика жестких роторов турбомашин в магнитных подшипниках с учетом взаимосвязи механическихи электромагнитных процессов / Г.Ю. Мартыненко // Прочность материалов и элементовконструкций: Тр. Междунар. науч.-техн конф. (Киев, 28-30 сентября 2010 г.) / Отв. ред. В.Т.Трощенко. – К.: Ин-т проблем прочности им. Г.С. Писаренко НАН Украины, 2011. – С. 50-58.Поступила в редколлегию 14.10.2012.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 131

УДК 534.232.001.62.50К.Б. МЯГКОХЛЕБ, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., ИПМаш НАНУкраины, ХарьковПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТ-НЫХ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ ДЛЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯТРЕХКООРДИНАТНОЙ НАГРУЗКИУ роботі показані особливості побудови математичної моделі руху платформи трьохкоординатногоелектромагнітного вібростенда (ЕМВС). На основі розробленої математичної моделі складенаструктурна схема ЕМВС. Показані шляхи компенсації кутових коливань.Ключові слова: математична модель, електромагнітний вібростенд, кутові коливання.В работе показаны особенности построения математической модели движения платформы трехкоординатногоэлектромагнитного вибростенда (ЭМВС). На основе разработанной математической моделисоставлена структурная схема ЭМВС. Показаны пути компенсации угловых колебаний.Ключевые слова: математическая модель, электромагнитный вибростенд, угловые колебания.In the report the features of construction of mathematical model of movement(traffic) of a platform ofthe three-coordinate electromagnetic vibrating stand (EMVS) are shown. On the basis of the developedmathematical model the block diagram EMVS is made. The ways of indemnification of are shown.Keyword: mathematical model, electromagnetic vibrating stand, angular fluctuations.Введение. Работа по созданию систем электромагнитного возбуждениямеханических колебаний, для различных технологических процессов, в частностидля колебания литейных форм при изготовлении отливок из разныхметаллов и сплавов является актуальной, поскольку направлена на повышениекачества литья с использованием более экономичного оборудования. Также многокоординатные вибростенды играют важную роль в современнойиспытательной технике при решении задач сокращения времени испытаний иповышения достоверности получаемых оценок, поскольку формируемые наних вибрации наиболее полно соответствуют эксплуатационным нагрузкам.Постановка проблемы. Рассмотрим трехкоординатный ЭМВС, приведенныйна рис. 1. принцип возбуждения колебаний платформы, связанной с тремяякорями определенным образом, основано на воздействии на якоря переменныммагнитным полем, действующим одновременно по трем направлениям.Уравнения динамики трехкоординатного ЭМВС, полученные на основанииуравнений Лагранжа-Максвелла [1], имеют вид∗2⎡ 1 ⎤mx + bxx + cxx= DI x ⎢a+ δ( Ψ + θ) ;2⎥⎣⎦ © К. Б. Мягкохлеб, 2012132 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

J Ψ + c ϕazy∗2⎡ 1my + byy+ cyy = −cyΨа+ DI y ⎢a+ δ⎣ 2∗2⎡ 1mz + bzz+ czz = DI z ⎢a+ δ⎣ 21J zϕ = −JzΨ + Dδ22+ b Ψa1I∗⎡x ⎢a+ δ − x + δ⎣ 21I∗ ⎡y ⎢a+ δ − y + δ⎣ 2y2= −Jϕ− cJ θ =xz12( Ψ + θ)( ϕ + Ψ)Dδy( ϕ + Ψ)( ϕ + θ) ;ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 133⎤⎥⎦⎤⎥;⎦∗2∗2[ I y ( δ − y) + I z ( δ − z)];∗2∗2− b ya + Dδ[ I ( δ − x) + I ( δ − y)]ya12∗2∗2[ I ( δ − x) + I ( δ − z)];xy⎤ ∗⎡Rx⎥ + I x ⎢⎦ ⎣ 2D⎤ ∗⎡ Ry⎥ + I y ⎢⎦ ⎣ 2Dz( δ − x) ⎛ 1− ⎜ x− δ( Ψ + θ)( δ − y)⎝2x⎛ 1− ⎜ y− δ⎝ 2( ϕ + Ψ)( δ − z) ⎛ 1 ⎞⎤U zz( ) = ,y⎞⎤U x⎟⎥= ;⎠⎦2D⎞⎤U y⎟⎥= ;⎠⎦2D1RI∗⎡⎤ ∗⎡zz ⎢a+ δ − z + δ( ϕ + θ)+ I z ⎢ − ⎜ − δ ϕ + θ ⎟⎥2⎥⎣⎦ ⎣ 2D⎝ 2 ⎠⎦2DI2∗q w μμ ( a + δ)0где Iq= ; D =, q – линейные обобщенные координаты, mδ − q2– масса платформы; с x , с y , c z – коэффициенты жесткости упругих элементов,установленных соответственно по координатам x, y, z; x, y, z, ϕ, ψ, θ – перемещениямассы m; b x , b y , b z – коэффициенты диссипации; J x , J y , J z –моментыинерции платформы; I x , I y , I z – токи в катушках; δ – величина воздушных за-1зоров, ( a + δ)( a + δ − x +2δΨ +2δθ)11, ( + δ)( a + δ − y +2δϕ +2δΨ)11( δ)( a + δ − z + δϕ + δθ)1+2 2a ,a − площади воздушных зазоров по координатам x,y, z соответственно, а – сторона сечения магнитопровода, w – число витков, R– активное сопротивление катушек, μ, μ 0 – магнитные проницаемости.Для составления структурной схемы трехкоординатного ЭМВ воспользуемсяпреобразованием Лапласа2∗2⎡ 1 ⎤x( mp + bxp + cx) = DI x ⎢a+ δ( Ψ + θ);2⎥⎣⎦2∗2⎡ 1 ⎤y( mp + byp + c y ) = −cyΨa+ DI x ⎢a+ δ( ϕ + Ψ);2⎥⎣⎦2∗2⎡ 1 ⎤z( mp + bzp + cz) = DI z ⎢a+ δ( ϕ + θ) ;2⎥⎣⎦;

ΨϕIp2∗2∗2[ I ( δ − y) + I ( δ − z)]2 2 221 ∗2∗2( J p + b a p + c a ) = −ϕJp − y( pb a + c a) + Dδ[ I ( δ − x) + I ( δ − y)]zI∗xyzy( + δ)( + δ)θJ= −ΨIxp2=zzp122DU x∗=+ I x x2D( a + δ)p + Rδ2D aU∗y∗I y =+ I y y2D a p + Rδ∗ UI z =2D az∗z+ I zp + Rδ+12Dδyyy2z∗2∗2δ[ I x ( δ − x) + I z ( δ − z)];( 4Dp+ R)∗ 2Dδ− I x( + δ) p + Rδ2D( a + δ) p + Rδ( Ψ + θ)( 4Dp+ R)∗ 2Dδ( ϕ + Ψ)− I y;2D( a + δ)p + Rδ2D( a + δ)p + Rδ( 4Dp+ R)∗ 2Dδ( ϕ + θ)− I z.2D( a + δ)p + Rδ2D( a + δ)p + Rδx;y;;Рисунок 1 – Общий вид ЭМВСВведем следующие обозначения1= W1; 4D= W6;2D( a + δ)p + RδD = W7;1= W2;a = W28;mp + bxp + cx11δ = W9;= W3;22mp + byp + cyδ = W10;1= W4;12δD= W11;mp + bzp + cz24Dp+ R = W ;2J p W ;5z =134 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)12mppb a + c a = W2y1δD2 = W2J pz1δD2 = W2J pxcya+ b p + cyyy1516;;13;= W17.

Структурная схема трехкоординатного ЭМВ представлена на рис. 2. Каквидно из структурной схемы в системе имеются имеются угловые колебания,которые не поддаются компенсации при принятой начальной конструкциитрехкоординатного ЭМВ. Для компенсации угловых колебаний необходимоувеличение числа электромагнитных вибраторов по каждой координате.Рисунок 2 – Структурная схема трехкоординатного вибростендаISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 135

На основании данных математической модели и структурной схемы влаборатории отдела надежности и динамической прочности ИПМаш НАНУбыл разработан многокоординатный электромагнитный вибростенд, представленныйна рис. 3, на него получен патент Украины на изобретение [2].Рисунок 3 – Многокоординатный вибростенд: 1 – основание; 2 – платформа;3 – объект нагружения; 4 – вибровозбудители; 5 – обмотки возбуждения; 6 –блоквибропреобразователей; 7 – система управления; 8 – соединительные узлы; 9 – обмоткипостоянного тока; 10 – регулируемый источник постоянного напряженияМногокоординатный вибростенд работает следующим образом. Системауправления 7 формирует управляющие сигналы, которые отвечают программеиспытаний, и поступают на вибровозбудители 4, которые передают вибрационноевоздействие на платформу 2, где расположены объект нагружения3 и блок вибропреобразователей 6. В процессе испытаний блок вибропреобразователей6 фиксирует механические колебания, которые испытывает объектнагружения 3, и превращает их в электрический сигнал. Исходный сигналблока вибропреобразователей 6 поступает на вход управляющей системы 7,которая по этому сигналу корректирует необходимые значения сигналовуправление любым вибровозбудителем 4. Кроме того, система управления 7формирует сигналы управления регулируемым источником постоянного напряжения10, за счет чего формируется необходимое постоянное напряжениена дополнительных обмотках 9 вертикально расположенных электромагнитов4. Это дает возможность получить компенсирующую электромагнитнуюсилу, линия действия которой противоположна силе гравитации, то есть ис-136 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

ключить влияние весовых параметров объекта нагружения 3 и платформы 2.Такое построение многокоординатного вибростенда разрешает существеннымобразом уменьшить влияние соединительных узлов на формированиевоспроизводимых нагрузок, а также повысить надежность вибростенда.Учтя все достоинства данного вибростенда, была разработана двухкоординатнаяэлектромагнитная виброустановка для колебаний литейной формыс четырьмя упругими элементами, ее схема приведена на рис. 4.Рисунок 4 – Двухкоординатная электромагнитная виброустановка для колебанийлитейной формы в трех проекциях: 1 – основание, 2 – платформа, 3 – горизонтальныевибровозбудители, 4 – вертикальные вибровозбудители, 5 – пружины, 6 – термостат скокилемВертикальный ЭМВ выбран с магнитопроводом большего размера, чем горизонтальныйЭМВ и с более мощными упругими элементами для возможностисоздания большего перемещения, поскольку при разливке металла масса подвижнойсистемы установки будет изменяться. Кроме того, это вызвано особенностямикрепления кокиля и другими требованиями технологического процесса.На базе патента «Многокоординатный вибростенд» с учетом электромагнитнойустановки для применения вибрации в технологическом процесселитья. Был получен патент Украины на полезную модель «Способ полученияслитков»[3].Выводы. Зная математические модели ЭМВС и представляя себе структурыэтих ЭМВС, можно более четко ориентироваться в существе преобразованийзадающих воздействий при получении необходимых перемещенийплатформы стенда. Результаты исследований могут использоваться и бытьвостребованы в различных отраслях народного хозяйства.Список литературы: 1. Божко А.Е. Оптимальное управление в системах воспроизведения вибраций.– К.: Наукова думка, 1977. – 219 с. 2. Патент №43014 А (Украина), МКИ 7 G01M7/00. Багатокординатнийвібростенд / А.Е.Божко, В.И.Белых, К.Б.Мягкохлеб. – Бюл. № 10, опубл.15.11.2001. 3. Патент на корисну модель № 27319 МПК(2006) B22D11/10 Спосіб одержаннязливків / А.Е.Божко, В.И.Белых, К.Б.Мягкохлеб, С.В.Шепель, В.В.Борисов. –Бюл. № 17, опубл.25.10.2007.Поступила в редколлегию 01.10.2012.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 137

УДК 532:631.362В.П. ОЛЬШАНСКИЙ, д-р физ.-мат. наук, профессор, ХНТУСХ, ХарьковОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ А.П. ФИЛИППОВА В ТЕОРИИНЕУПРУГОГО УДАРАПроведено аналітичний огляд робіт академіка АН УССР А.П. Філіпова, опублікованих в центральнихжурналах в Москві, а потім перевиданих в його книжках з коливань деформованих систем.Ключові слова: аналітичний огляд, коливання, деформовані системи.Проведен аналитический обзор работ академика АН УССР А. П. Филиппова, опубликованных вцентральных журналах в Москве, а потом переизданных в его книжках по колебаниям деформированныхсистем.Ключевые слова: аналитический обзор, колебания, деформированные системы.A analytical review of the work of Academician AN UkrSSR A.P. Philipova published in central journalsin Moscow, and then reissue of his books on the vibrations of deformable systems.Keywords: analytical review, vibrations, deformable systems.Введение. Проведенные Анатолием Петровичем исследования в теориинеупругого удара относятся к работам начального периода его творчества. Ноэти работы были актуальны, выполнены на высоком аналитическом уровне иопубликованы в центральных изданиях СССР. Они вошли в перечень работ,за которые А.П. Филиппов был избран членом-корреспондентом АН УССР иему была присуждена ученая степень доктора технических наук, без защитыдиссертации.Работы Анатолия Петровича в теории неупругого удара немногочисленны,но они являются составной частью богатого научного наследия, оставленноготем, кто интересуется динамикой деформируемых систем. Чтобыдальше развивать его идеи и методы исследований, нужно знать содержаниеэтих публикаций, что послужило мотивом написания этой статьи.Не дублируя в деталях его исследований, которые указаны в списке литературы,далее проведем обобщенный анализ этих работ, выделив их особенностии научную значимость.Прежде всего отметим, что в качестве тел, подверженных удару, он выбиралбалки и плиты конечных размеров, закрепленные на опорах, а в отдельныхслучаях, подкрепленные и упругим основанием Винклера. Эти элементыконструкций распространены в строительстве, машиностроении и другихобластях техники. Словом, теоретические исследования А.П. Филипповавсегда имели практическую направленность и содействовали техническомупрогрессу.© В. П. Ольшанский, 2012138 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Общие соотношения для неупругого удара. В первых публикациях попроблеме удара он решал задачи в постановке Сен-Венана. По Сен-Венану,ударяющее тело сообщает свою скорость элементу конструкции, там где оновступает в соприкосновение, а затем движется вместе с этим элементом. Такойудар называют неупругим [1]. В указанной постановке А.П. Филипповрешил задачи удара падающего массивного тела по балке, с учетом затуханияколебаний, а также удара по прямоугольной и круглой пластинам, подкрепленнымупругим основанием [2,3,4].Общая схема решения задач включает следующие действия. Записываетсяуравнение движения ударяемого тела (балки или пластины) под действиемединичной сосредоточенной силы, в пространстве изображений по Карсону,которому отдано предпочтение вместо преобразования Лапласа. Длядвумерного случая такое уравнение имеет вид:2 2DGp ( ξηβ , , p ) = αδ ( ξ −ξ1) δ ( η− η1). (1)Здесь D p – дифференциальный оператор изгиба пластины; p – параметринтегрального преобразования Карсона; ξ, η – безразмерные пространственныепеременные; ξ 1 , η 1 – безразмерные координаты точки приложения ударнойсилы; δ ( ξ − ξ 1 ) , δ( η−η 1 ) − функции Дирака; α – постоянный множитель,зависящий от изгибной жесткости пластины; β – постоянный множитель,зависящий от массы тонкостенного тела.Решив уравнение (1) и удовлетворив заданным граничным условиям наконтуре пластины (или на краях балки), получают выражение функции Грина:2 2αG( ξ , ξ , , , 1η η1β p ) . (2)Изображение силы ударного взаимодействия F(p) находят из уравнениявертикального движения падающего груза, записав его в пространстве изображений:2F( p)= Mg− Mp W + pMυ . (3)Здесь M − масса тела, которое с относительной скоростью υ ударяет побалке или пластине; g – ускорение свободного падения; W = W(p) – изображениеперемещения ударяющего тела.Согласно (2) и (3) изображение прогиба тела, подвергнутого удару,представляется произведением:Y( ξξ , 2 2 ) ( 2 ) ( 2 21, ηη ,1, β p = αM g− p W + pυ G ξξ ,1, ηη ,1,β p ) . (4)По гипотезе Сен-Венан:2 2W = W( p) = Y( ξ1, ξ1, η1, η1,β p ) . (5)Поэтому из (4) и (5) следует, что2 2αM ( g+pυ) G ( ξ1, ξ1, η1, η1,β p )W =. (6)2 2 21 + αMp G ξ , ξ , η , η , β p( 1 1 1 1 )ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 139

Подставив (6) в (4), получаем изображение прогиба тела, подвергнутогоудару:2 2αM ( g+pυ) G2 2( ξ, ξ1, η, η1,β p )Y( ξξ ,1, ηη ,1,β p ) =. (7)2 2 21 + αMp G( ξ1, ξ1, η1, η1,β p )Переход от изображения (7) к оригиналу осуществляется с помощьювторой теоремы разложения, что приводит к формуле прогибов тонкостенноготела:y ξξ , , ηη , , t = αM gG ξξ , , η,0+( ) ( )1 1 12 2( + ) ( ,1, ,1,)4 2 2′2 ( ξ ξ η η β p ) −∞1 αM g υpK G ξ ξ η η β pK pKt+ ∑ ⋅e. (8)2 K=1 αMpKG1, 1, 1, 1, K1pKЗдесь через p K обозначены корни трансцендентного уравнения:2 2 21 + αMp Gξ , ξ , η , η , β p = 0; (9)K ( 1 1 1 1 K)штрих обозначает частную производную G( 2 21, 1, 1, 1, pK)2pK; t – время.ξ ξ η η β по2 2 2Если ввести обозначение β pK= − sK, то уравнение (9) примет вид:22 2 βsKG( ξ1, ξ1, η1, η1,− sK)= . (10)α MВместо (8), получаем выражение:⎛ sKt υsK sKt⎞α M gcossin∞ ⎜ −β β β⎟y( ξξ ,1, ηη ,1,t)= yCT−⎝⎠∑×−2 4 2αMβ s G′ ξ , ξ , η , η , − s + 12 ( )sK( ξξ , 21, ηη ,1, sK)K = 1 K 1 1 1 1 KПри записи (11) учли, что Mg G ( , , , ,0)× G − . (11)1 1α ξ ξ η η равно статическому прогибуударяемого тела y CT под действием веса Mg ударяющего тела.Формула (11) заметно упрощается, когда ξ = ξ 1 , η = η 1 . В этом частотномслучае прогиб пластины под грузом равен:2 ⎛ stKυsK stK⎞β g cos sin∞ ⎜ −β β β⎟y( ξ1, ξ1, η1, η1,t)= yCT−⎝⎠∑ . (12)2 −2 4 2K = 1 s ⎡KαMβ sK G′ 2 ( ξ1, ξ1, η1, η1, − sK)+ 1⎤⎣sK⎦Штрих в (11) и (12) означает частную производную функции( 22G ξ1, ξ1, η1, η1, − sK) по sK.Конкретизируем общие решения для отдельных тел.140 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Колебания прямоугольной пластины1. В случае прямоугольной шарнирно-опертой пластины длиной a, ширинойb и толщиной h имеем:24434a μ 2 a ρha 2 caα = ; β = ; μ = ; γ444π D π D b= π D; EhD = ; (13)212 1−σG( ξξ , , ηη , , s )− =( )∞ ∞sin ( mπξ) sin( mπξ ) sin( nπη) sin( nπη)∑∑ .2 1 11 12 2 222 2m= 1 n=1( μ )m + n + γ −sЗдесь E, σ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластиныплотности ρ; c – коэффициент постели основания Винклера.Входящее в (11) отношение αMβ −2 выражается через массы соударяющихсятел по формуле:2 4μM4MαMβ− = = , (14)2ρ ha M0где M 0 – масса пластины.Поэтому, согласно (10), (11), (13) и (14):sKt υsK sKt2g cos − sin∞4aμMβ β βy( ξξ ,1, ηη ,1,t)= yCT−4 ∑×π D 4MK = 14 21 + sKf ( ξ1, η1,sK)M× G( ξξ , 21, ηη ,1, − sK) ; sKG( 1, 1, 1, 1,sK)f( ξ , η , sK)=ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 1410Mξ ξ η η − = ; (16)4Mmπξsin nπη2 2 0∞ ∞ 2 2sin ( ) ( )∑∑ .2 1 11 122m= 1 n=1 ⎡ 2 2 2 2 2m + n + γ −s⎤K( μ )⎢⎣⎥⎦К этим результатам А.П. Филиппов пришел в работе [3]. Для квадратнойпластины (a = b, μ = 1) при γ 2 = 100; M 0 M −1 = 10, υ = 0 он получил:2⎛1 1 1 1 ⎞aMg ⎧⎡ 24,29t 11,79ty⎜ , , , , t⎟ = 0,1231 0,1139 cos 0,0547cos4 ⎨ − ⋅ + +2 2 2 2 π D⎢⎝ ⎠ ⎩⎣ β β18,59t24,29t⎤⎫+ 0,0173cos + 0,0086cos + ... ⎬ββ⎥ .⎦⎭Коэффициент динамичности K g по прогибам, равный отношению максимальногодинамического прогиба y g к y CT , в этом случае равен 1,915. Для отношенийM 0 M −1 < 10 он еще более близок к двум, а при M 0 M −1 < ∞ он равен 1,57 [3].Чтобы проверить точность формулы Кокса [1]22 υ yCTyg = yCT + yCT+ ⋅, (17)g 1 + KM / M0

у которой y g – максимальный динамический прогиб; K – коэффициент приведениямассы M 0 к массе системы с одной степенью свободы, Анатолий Петровичпровел расчеты для больших скоростей удара, когда−( 1 / ) 1−1yCTυ yCTg KM0M

s K – положительные корни трансцендентного уравнения:∞ 22 2 2sin ( mπξ1)M0sK G( ξ1, ξ1,− sK)= sK∑ = .4 2 2m=1 m + γ −sK2MРасчет максимальных динамических прогибов существенно упрощаетсяпри центральном ударе груза по балке, опертой по краям только на опоры,когда ξ = ξ 1 = 1/2; γ = 0. В этом частном случае решение (16) принимает вид:sKt υsK sKt3g cos − sin∞⎛1 1 ⎞ Mgl α M, ,0 β β βy⎜t⎟= − ∑ . (21)⎝2 2 ⎠ 48EJ2 K = 1 2 ⎡ φ ⎤sK⎢1 + T( sK)⎣ 8 ⎥⎦2⎛ 1 1 ⎞ 6Здесь T( sK) = ζK ⎜ −2 2 ⎟−; s K – положительные корни⎝ cos ζKch ζK ⎠ φтрансцендентного уравнения:2M02tgζ− Kthζ= KMζ= Kφζ,Kπв котором ζK= sK; φ = M / M0.2Благодаря тому, что [5]:∞4G ⎛1 1 21, ,K 4 2 3( K K)2 2 s ⎞π⎜ − ⎟= ∑ =m 1,3... m sK 64tg ζ − th ζ ;⎝ ⎠ = − ζK4 1 1 2 1 ⎡2⎛ 1 1 ⎞ 6⎤φs G′ ⎛ ⎞, , ( )K ⎜ − s ζT s2 22 2 K ⎟= ⎢16 K ⎜ − ⎟− ⎥ = ,⎝ ⎠ ⎣ ⎝ cos ζ8KKch ζK ⎠ φ ⎦в решении (21), в отличие от (20), не приходится суммировать ряды по m.Поскольку1 1 2 2− = tg ζ ( ) 222 2K+ th ζK = tgζ K− thζK + tgζ KthζK=cos ζ ch ζKK4= + 2tgζKthζK,φζ2 2Kφ 1+ ⋅ = + + ⋅ .8 4φПоэтому решение (21) принимает вид:sKt υsK sKt3g cos − sin∞⎛1 1 ⎞ Mgl 4Mβ β βy⎜, , t⎟= − ∑ . (22)2⎝2 2 ⎠ 48EJ M0 K = 1 ⎛s⎞K2 2⎜ ⎟ ( 2 + φ + φ ζKtgζ K⋅thζK)⎝ β ⎠2 2то 1 T ( sK ) ( 2 φ φ ζKtgζ KthζK)ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 143

Формулу (22) А.П. Филиппов обобщил в [2,6] учетом затухания колебанийза счет внутреннего рассеяния энергии в материале балки.Колебания круглой пластины3. При центральном ударе по круглой пластине, подкрепленной упругимоснованием, согласно (11), прогиб пластины представляется выражением:⎛ stKυsK stK⎞α M gcossin∞ ⎜ −β β β⎟2y( ξ,0, t)= yCT−⎝⎠∑ G2 4 2( ξ,0,−s−K ). (23)αMβs G′ 0,0, − s + 1( )K = 1K 2sKK4ρ2 M 243a 2 a hВ нем: α = ; β = ; α M β − Eh= π a ; D = ; ah− ,2D DM0 12( 1−σ)соответственно радиус и толщина пластины; E, σ – модуль упругости и коэффициентПуассона ее материала; M 0 – масса пластины; ξ = ra − безраз-−1мерная радиальная координата;yСТ= αMgG( ξ,0,0);s K – положительные корни трансцендентного уравнения:2 21 − M aG ( 0,0, sK ) 0M π − = . (24)2Функция влияния G( ,0, sK)0ξ − в (23) и (24) зависит от условий закрепленияпластины на контуре ξ = 1. Так, при защемлении контура, согласно [4]:22 aG( ξ,0, − sK) = { her ( λξ2) − f1( λ)⎡her ( λ) bei′ ( λ) − her′( λ) bei( λ)⎤ ×4Dλ⎣ ⎦при( λξ ) 1 ( λ) ⎡ ( λ) ′( λ) ′( λ) ( λ) ⎤ ( λξ )}× ber + f ⎣ber her −ber bei ⎦ bei ;22 a ⎧1⎫G( 0,0, − sK) =2 ⎨ − f1( λ)⎡bei′ ( λ) her ( λ) −bei( λ) her′( λ)⎤⎬4Dλ2⎣⎦ ; (25)⎩ ⎭1f1( λ) = ⎡ber ( λ) bei′ ( λ) −ber′( λ) bei( λ)⎤− 4 4 −1 2⎣ ⎦ ; λ = ca D − s K,4 1 2ca D − > s Kи22 a ⎧ 1 1G( ξ,0,− sK) =2 ⎨− N0( δξ ) − K0( δξ ) + f2( δ ) ×4Dδ⎩ 2 π⎡ 2⎤×⎢+ I1( δ ) N0( δ) + I0( δ) N1( δ) J0( δξ) + f2( δ)×⎣πδ⎥⎦2 ⎡1⎤ ⎫× + ( δ ) ( δ) − ( δ) ( δ) ( δξ ) ⎬π⎢K0 J1 K1 J0 I1⎣δ⎥⎦ ⎭ ;144 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

2 ⎧ 4G( 0,0, − sK) = f2( δ ) ⎨ + I1( δ) N0( δ) + I0( δ) N1( δ)+⎩πδ2 ⎫+ ⎡ K0( δ ) J1( δ ) − K1( δ ) J0( δ ) ⎤⎬π⎣ ⎦ ; (26)⎭1−14 1 2f2( δ) = ⎡J0( δ) I1( δ) + J1( δ) I0( δ)⎤2⎣ ⎦ ; 4−δ = ca D − s K,4 1 2при ca D − < s K.В выражениях (25) и (26) c – коэффициент постели основания;ber( z), bei( z), her( z), hei( z)− функции Кельвина нулевого индекса (штрихомнад ними обозначены из производные); J j (z) – функции Бесселя индексовнуль и единица; I j (z) – модифицированные функции Бесселя; N j (z), K j (z) – соответственнофункции Неймана и Макдональда индексов нуль и единица( j = 0;1).Преодолев трудности вычислительного характера, связанные с вычислениемкорней трансцендентного уравнения (24), а также значений специальныхфункций, он представил в [4] результаты расчетов для пластины, у4 1которой ca D − = 1000 ; σ = 0,25 .Полученные им при υ = 0 значения коэффициента динамичностиK = y / y записаны в табл. 2.g g CTТаблица 2 – Значения коэффициента динамичности K g в зависимости от M 0 /MM 0 /MЗаделанная СвободнаяЗаделанная СвободнаяMпластина пластина0 /Mпластина пластина1 1,999 1,999 10 1,909 1,9052 1,998 1,998 15 1,863 1,8584 1,982 1,979 18 1,844 1,8346 1,948 1,944Как видно из табл. 2, для сравнительно малых M 0 /M коэффициент динамичностимало отличается от двойного.Для вычисления K g Анатолий Петрович вывел формулу [4]⎡ ⎛ st1st2sKt⎞⎤yt () ≈ yCT⎢1 − ⎜A1cos + A2cos + ... + AKcos + ... ⎟⎥.⎣ ⎝ β β β ⎠⎦При указанных выше исходных данных множители A K принимают значения,записанные в табл. 3.Корни трансцендентного уравнения (24) представлены в табл. 4.Эти корни можно использовать и для вычисления динамических прогибовпластины под грузом при тех скоростях удара υ, когда yg >> yCT.В этом случае расчет сводится к применению формулы [4]ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 145

⎛ st1st2sKt⎞yt () ≈ A⎜B1sin + B2sin + ... + BKsin + ... ⎟⎝ β β β ⎠ . (27)Таблица 3 – Значения A K в зависимости от M 0 /MM 0 /MЗакрепленная пластинкаСвободная пластинкаА1 А2 А3 А4 А5 А1 А2 А3 А4 А518 0,8253 0,1257 0,0380 0,0081 0,0020 0,8067 0,1398 0,0402 0,0082 0,002815 0,8630 0,0998 0,0296 0,0060 0,0015 0,8503 0,1090 0,0320 0,0061 0,001210 0,9277 0,0523 0,0160 0,0030 0,0007 0,9212 0,0577 0,0170 0,0030 0,00066 0,9715 0,0202 0,0066 0,0011 0,0002 0,9696 0,0219 0,0071 0,0012 0,00024 0,9868 0,0094 0,0031 0,0005 0,0001 0,9862 0,0099 0,0034 0,0005 0,00012 0,9962 0,0022 0,0008 0,0001 - 0,9965 0,0024 0,0009 0,0001 -1 0,9992 0,0006 0,0002 - - 0,9992 0,0006 0,0002 - -Таблица 4 – Значения s K в зависимости от M 0 /MM 0 /MЗаделанная пластинкаСвободная пластинкаs1 s2 s3 s4 s5 s1 s2 s3 s4 s518 27,24 42,84 76,79 132,20 208,44 26,98 41,70 75,44 130,73 207,0015 25,79 42,24 75,86 131,11 207,57 25,91 41,09 74,24 129,64 206,3610 23,36 41,17 73,86 129,24 206,07 23,21 40,17 72,51 127,64 204,986 19,52 40,26 72,22 127,68 204,65 19,44 39,10 70,80 126,12 202,984 16,58 39,80 72,14 126,77 - 12,17 38,25 60,01 124,44 -2 12,20 39,37 70,54 126,09 - 16,50 38,67 69,92 125,40 -1 8,81 38.16 70,05 - - 8,79 38,10 68,48 - -Таблица 5 – Значения B K в зависимости от M 0 /M для υ ≠ 0M 0 /MЗаделанная пластинкаСвободная пластинкаВ1 В2 В3 В4 В5 В1 В2 В3 В4 В518 0,1390 0,0333 0,0181 0,0066 0,0026 0,1348 0,0366 0,0188 0,0066 0,003515 0,1655 0,0313 0,0166 0,0058 0,0023 0,1638 0,0333 0,0177 0,0059 0,001910 0,2412 0,0240 0,0132 0,0043 0,0016 0,2386 0,0259 0,0138 0,0043 0,00136 0,3518 0,0151 0,0088 0,0026 0,0009 0,3500 0,0159 0,0094 0,0027 0,00084 0,4558 0,0104 0,0063 0,0018 0,0006 0,04538 0,0107 0,0066 0,0019 0,00062 0,6775 0,0049 0,0033 0,0008 - 0,6770 0,0051 0,0034 0,0009 -1 0,9806 0,0026 0,0017 - - 0,9799 0,0025 0,0017 - -Постоянные B K принимают значения, записанные в табл. 5.Общий множитель A зависит от скорости удара и, как прежде, определяетсявыражением A= υ yCTg M0M.−1 −1Вычисленные по (27) безразмерные максимальные динамические прогибыy = y A − указаны в табл.16.ggДля принятых исходных данных:−3 2 −1= 3,945⋅ 10 Mga D при защем-146 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)yCT

ленном крае пластины иyCT−3 2 −1= 3,960 ⋅10Mga D − при свободном крае [4].Ввиду большой жесткости основания, граничные условия не оказываютсущественного влияния на результаты вычислений.Построив сложные решения краевых задач в специальных функциях,Анатолий Петрович преобразовал их к простым расчетным формулам и провелих верификацию.M 0 /MТаблица 6 – Значения ygв зависимости от M 0 /MЗаделанная СвободнаяЗаделаннаяM 0 /MСвободнаяпластинапластина пластинапластина1 0,981 0,981 10 0,244 0,2432 0,667 0,667 15 0,176 0,1754 0,452 0,451 18 0,150 0,1486 0,344 0,343Выводы. Подводя итог работам по теории неупругого удара отметим,что имея инженерное и математическое университетское образования АнатолийПетрович владел методами операционного исчисления, использовал врешениях задач удара ряды и знал теорию цилиндрических функций. Он виделперспективность методов операционного исчисления в механике, особеннов исследованиях нестационарных колебаний. Его работы с применениемоперационного исчисления опубликованы раньше, чем известные отечественныекниги по операционному исчислению в механике, например [7],которые способствовали популяризации символического метода решенияуравнений движения. Исследуя динамику балки и пластины на упругом основании,поверженные удару, он рассматривал тела конечных размеров. Этоусложняло постановку и решения краевых задач, но позволило ему установитьпогрешности приближенной формулы Кокса (17), полученной энергетическимметодом.Список литературы: 1. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филлипов. – 2-еизд. – М.: Машиностроение, 1970. 2. Филиппов А.П. Колебания упругих систем / А.П. Филлипов.– К.: Изд-во АН УССР, 1956. 3. Филиппов А.П. Удар по прямоугольной пластинке, лежащей наупругом основании / А.П. Филлипов // Прикладная математика и механика. – 1938. – Ч. 3. Вып. 3.4. Филиппов А.П. Удар по круглой пластинке, лежащей на упругом основании / А.П. Филлипов //Прикладная математика и механика. – 1938. – Ч. ІІ. Вып. 2. 5. Прудников А.П. Интегралы и ряды.Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. – М.: Наука, 1981. – 800с. 6. Филиппов А.П. Колебания механических систем / А.П. Филиппов. – К.: Наукова думка, 1965.7. Лурье А.И. Операционное исчисление / А.И. Лурье. – М.-Л.: Гостехиздат, 1950.Поступила в редколлегию 23.01.2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 147

УДК 539.3:534.1В. П. ОЛЬШАНСКИЙ, д-р физ.-мат. наук, профессор, ХНТУСХ,Харьков;С. В. ОЛЬШАНСКИЙ, канд. физ.-мат. наук, ассистент, НТУ «ХПИ»ОБ УДАРНОМ КРУЧЕНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВАЛАПобудовано у вигляді рядів формули для обчислення максимального кута закручування та максимальнихдотичних напружень в циліндричному стержні, один край якого жорстко закріплений,а на другому закріплено абсолютно тверде тіло, яке піддається крутному удару. Для прискореннязбіжності рядів виділено та просумовано аналітично розривні складові розв’язку. Приведеноприклади розрахунків.Ключові слова: максимальний кут закручування, максимальні дотичні напруження, циліндричнийстержень.The form of series formula to calculate the maximum angle of twist and maximum shearing stresses in acylindrical rod whose one end is rigidly clamped, and the second fixed perfectly rigid body subjected totorque shock were constructed. To speed up the convergence of the series are highlighted and summedanalytically discontinuous components of the solution. Examples of calculations are given.Keywords: maximum angle of twist, maximum shearing stresses, cylindrical rod.Построены в виде рядов формулы для вычисления максимального угла закручивания и максимальныхкасательных напряжений в цилиндрическом стержне, один край которого жестко закреплен,а на втором закреплено абсолютно твердое тело, которое подвергается крутящему удару.Для ускорения сходимости рядов выделены и просуммированы аналитически разрывныесоставляющие решения. Приведены примеры расчетов.Ключевые слова: максимальный угол закручивания, максимальные касательные напряжения,цилиндрический стержень.Введение. В машиностроении ударному кручению подвергаются валымеханических трансмиссий, валы торсионных подвесок транспортныхсредств, винты при сборке и разборке резьбовых соединений и пр.В литературе по сопротивлению материалов [1-5] традиционно рассматриваютзадачи ударного кручения цилиндрических валов в упрощенной постановке,пренебрегая распределением массы валопровода по его длине.Максимальные напряжения определяют энергетическими методами. Приэтом не указывают величин погрешностей, к которым приводят вводимыеупрощения. Чтобы получить информацию о погрешностях традиционно рекомендуемыхформул, здесь решается задача в уточненной постановке с учетомволновых процессов в скручиваемом теле.Целью работы является вывод и апробация расчетами формул для расчетаугла закручивания и касательных напряжений в цилиндрическом стержнекругового поперечного сечения с учетом влияния на процесс удара нали-© В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский, 2012148 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

чия жесткого тела на незакрепленном крае вала, воспринимающего ударноевоздействие.Построение расчетных формул и проведение расчетов. Рассматриваемнаиболее опасный вариант скручивающего удара, когда торец вала x = 0неподвижен. На втором торце x = l закреплено абсолютно твердое тело, моментинерции которого относительно оси вала равен J * . Координатная ось oxявляется осью вала, длина которого равна l. К торцу x = l, неподвижного вала,мгновенно прикладывается крутящий кинетический момент со стороны ударяющеготела, которое вращается с угловой скоростью ω и имеет моментинерции J. Определим динамическое напряженно-деформированное состояниевала. Такая постановка задачи соответствует теории удара Сен-Венана[6], согласно которой после соприкосновения ударяющее и ударяемое теланекоторое время движется совместно, имея одинаковые скорости в областиудара. В рассматриваемой задаче принимается равенство после начала удараугловых скоростей тел с моментами инерции J и J * .Для решения поставленной задачи построим изображение функциивлияния G(x,p), исходя из уравнения кручения вала, записанного в пространствеизображений по Карсону:2 2dG p− 02 2 G = . (1)dx сЗдесь p – параметр интегрального преобразования; c= G0 / ρ0− скоростьволны кручения; G 0 , ρ 0 – модуль сдвига и плотность материала вала.Уравнение (1) решаем при граничных условиях:dG( хр , ) 1G( 0, р)= 0;= . (2)dx Gx l 0J= 04π dгде J0= − полярный момент инерции поперечного сечения вала с диаметромd.32Решением краевой задачи (1), (2) является:0 0−1( ζ xl )l shG( x,р)= . (3)GJζch( ζ )plЗдесь ζ = .cВыражение (3) упрощается когда x = l. Для этого сечения вала:lGlр ( , ) = th( ζ ). (4)GJ0 0ζУчитывая (3) и (4), находим изображение угла закручивания вала Φ(x,p).Согласно изложенной постановке задачи и теории Сен-Венана [6]:ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 149

( x,р)JωpG( x,p)2( J J) p G( l p)Φ =1 +* + ,. (5)Далее введем обозначения:J*J χωlχ* = χ( 1+ α); α = ; χ = ; A = .J0J0ρl c(6)Используя (3), (4) и (6), вместо (5), получаем:*−1( ζ xl )A shΦ ( xp , ) = . (7)1 + χζthζ ch ζПереход от (7) к оригиналу проводим с помощью второй теоремы разложения.Находим выражение угла закручивания по длине вала в зависимостиот времени t:∞p 1Kt−esh( ζKxl )φ ( xt , ) = A∑ . (8)dK = 1⎡p+χch( ) ( K )*pζ th ζζdp⎣⎤⎦p=pKcЗдесь p = K Kl ζ ; ζK− корни уравнения:1+ χζ*thζ= 0. (9)Выполнив дифференцирование в (8) по p, с учетом (9), получаем:d1 2⎡p*p th( ) 1p p* Kdp⎣ + χ ζ ζ ⎤⎦ =− − + χ ζ . (10)= K χ*Корни уравнения (9) чисто мнимые. Поэтому введя обозначения z = iζ,i = − 1 , вместо (9), будем решать трансцендентное уравнение:1tgz = , (11)χ*zкорни которого вещественные. Используя (8) и (10), для расчета угла поворотасечений вала получаем формулу:∞−1sin( z ) sinKt1( zKxl )φ ( xt , ) = 2A∑ , (12)1K = 121+ + χcos( zK)*zKχ*ctв которой t1= − безразмерный параметр времени; z K – положительныеlкорни уравнения (11).Формула (12) упрощается при вычислении угла закручивания на торцевала. Полагая x = l и используя (11), выражение (12) сводим к виду:∞sin( zKt1)φ ( lt , ) = 2A∑ . (13)2 2z 1+ χ + χ z150 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)( )( )K = 1 K * * K

Чтобы определить напряжения кручения у внешней поверхности валаτ(x,t) продифференцируем выражение (12) по x. Тогда∞−1Gd∂φ( xt , ) z ( 1) cos( )0Ksin zKtzKxlτ ( xt , ) = = B∑ .2 ∂x1K = 121+ + χcos( zK)*zKχ*−1Здесь B = χωdG0c.Наибольший интерес представляет вычисление напряжений в сечениях:x = 0, где закреплен вал и x = l, где происходит удар. Для этих сечений:∞zKsin( zKt1)τ ( 0, t)= B∑ . (14)K = 1 ⎛ 1 2 ⎞⎜1+ + χ*zK⎟cos( zK)⎝ χ*⎠∞zKsin( zKt1)τ ( lt , ) = B∑ . (15)1K = 121+ + χ*zKχ*Выделим в формуле (15) разрывную составляющую. С увеличением kкорни уравнения (11) z K асимптотически стремятся к числам (k – 1)π. Учитываятакую асимптотику, преобразуем (15) к виду:⎡⎤⎢ zKsin( zt11)1⎥τ ( lt , ) = B⎢+ S1( t1) + S2( t1)⎥ , (16)⎢ 1 21+ + χ **zχ⎥1⎢⎣ χ⎥*⎦∞χ* kπsin( kπt1)где S1( t1)= ∑ .1K = 12 21+ + χπ*kχ*Сумма этого ряда выражается в замкнутом виде [7]⎧1t1= + 01 ⎪sh( b( 1−t1))S1( t1)= ⎨ при + 0< t1< 2−0(17)2 ⎪⎪ shbt1= 2−0,⎩ −11+χ*причем b = .χ*Функция S 1 (t 1 ) периодическая. Ее период равен 2, то естьS 1 (t 1 + 2) = S 1 (t 1 ), а поэтому (17) позволяет вычислять S 1 (t 1 ) при любых t 1 . Вточках t1= 2,4,6,..., функция S 1 (t 1 ) имеет разрывы первого рода с высотойскачка, равной единице.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 151

Слагаемое S 2 (t 1 ) в (16) непрерывно и разлагается в ряд⎡⎤∞ ⎢ z ( ) ( 1sin ) (( 1Ksin zKt π k − k−1) πt1) ⎥S2( t1)= ∑ ⎢−⎥ ,122 1K = ⎢2 21+ + χ* zK1+ + χ*π ( k−1)⎥⎢⎣ χ* χ⎥*⎦который сходится быстрее, чем (15).Преобразуем аналогичным образом и формулу (14). Ее запишем в виде⎡⎤⎢⎥z1sin( zt1 1)1τ ( 0, t)= B⎢+ T1( t1) + T2( t1)⎥ . (18)⎢⎛1 2 ⎞ χ⎥*⎢⎜1+ + χ* z1⎟cosz1⎥⎢⎣⎝ χ*⎠⎥⎦Здесь разрывным слагаемым является:∞Kχ* kπ( −1) sin( kπt1)T1( t1)= ∑ .1K = 12 21+ + χπ*kχ*Сумма этого ряда выражается в замкнутом виде [7]⎧1t1=− 1+01 ⎪ sh( bt1)T1( t1)= ⎨−при − 1+ 0< t1< 1−0(19)2 ⎪ shbt⎪1= 1−0.⎩ −1Период T 1 (t 1 ) равен 2. Поэтому с помощью (19) можно вычислить T 1 (t 1 )при любых t 1 . В точках t1= 1,3, 5,... функция T 1 (t 1 ) имеет разрывы первогорода с величиной скачка равной единице.Слагаемое T 2 (t 1 ) в (18) непрерывно и разлагается в ряд:⎡⎤k∞⎢z ( ) ( 1) ( 1) sin1(( 1Ksin zKt − π k− k−) πt⎥1)T2( t1)= ⎢⎥∑ +.⎢1K = 2 ⎛ 1 2 22 ⎞⎥⎢⎜1+ + χ1* ( 1)*zK⎟cosz+ + χπ k −Kχχ⎥⎢⎣⎝* ⎠*⎥⎦Его сходимость более быстрая, чем ряда в (14).Таким образом, проведенное преобразование предоставило возможностьопределять касательные напряжения в ударяемом теле, с учетом разрывов,порожденных распространением волн кручения.Для проведения расчетов нужно знать положительные корни уравнения(11). Чтобы упростить их вычисление, положим:zK= ( k − 1)π + εK. (20)Тогда, вычисление ε K можно проводить по итерационной формуле:152 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

( n+1)1εK= arctg, (21)( n)χ ⎡* ⎣( k − 1)π + ε ⎤K ⎦в ней n = 0,1,2,... − номер итерации; k – номер корня.(0)(0)Начальным приближением служит εK= 1 или εK= 1/ χ*, когда χ*> 1 .С увеличением χ*сходимость итераций по формуле (21) замедляется.Поэтому при χ*> 5 применение итераций нецелесообразно. Более удобно ε Kопределять по формуле:1/2⎛ 2 2χ* aK1 ⎞ χ*aKε = ⎜+ ⎟ −, (22)K⎜24( χ ) *1/3 2( *1/3)*1/3 χ ⎟⎝ + +⎠χ +в которой a = ( k− 1)π .KК зависимости (22) приводит аппроксимацияεKtg εK≈ ,1 21−ε 3имеющая малую погрешность при малых ε K = 1. Например, когдаε K ≤ 0,3, погрешность аппроксимации меньше 0,02 %.Для проведения расчетов воспользуемся исходными данными работы[1], в которой: G0= 810 ⋅ Па; ρ0= 7810 кг/м 3 ; l = 1 м; d = 0,06 м; J = 0,25кгм 2 ; ω = 12,57 с -1 ; J*= 0 .формулеРезультаты вычисления ( lt , )φ( )−в которой z ( χ ) 1/2Kφ с помощью (13), а также по упрощеннойsin( zt )11lt , = 2A z1 * * z12 2( 1+ χ + χ ), (23)1=*+ 1/3 , записаны в табл. 1. В частичной сумме ряда (13)вычисляли 100 членов.310 t , с( lt)( lt)310 ,Таблица 1 – Значения φ ( lt , ), вычисленные по двум формулам0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0φ , по (13) 6,0892 11,5851 15,9315 18,6873 19,5680 18,4977310 ,φ , по (23) 6,0990 11,5904 15,9271 18,6773 19,5668 18,5071Для принятых исходных данных формулы (13) и (23) приводят к близкимрезультатам, что подтверждает быструю сходимость ряда в (13). Макси-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 153

мальный угол закрутки φ max φ( lt , )g= достигается приπ lt ≈ χ* + 1/ 3 ≈0,00248с и равен приблизительно 1,957 · 10 −2 рад. Его вычислениепо формуле2cJ lφg= ω , (24)G0 J0−2из справочника [4], дает φ g≈1,970⋅ 10 рад, что немного больше, чем теорияСен-Венана. Для указанного угла закрутки максимальные касательные напряженияGd0φgmaxτ = (25)2l55составляют 473⋅ 10 Па и хорошо согласуются с [1], где maxτ ≈ 476⋅ 10 Па.Массив корней уравнения (11), которые подставляли в формулу (13),определяли по (21), (22). Некоторые значения этих корней указаны в табл. 2.Таблица 2 – Значения z K при χ*= 25,158463k z K k z K k z K1 0,198061 4 9,428993 20 59,6909292 3,154194 5 12,569533 50 153,938313 6,289505 10 28,275740 100 311,01779π . Уже при k = 5 они незначительноотличаются от 4π ≈ 12,566371 .О влиянии жесткого тела на краю вала, которое подвергается удару, позволяютсудить графики на рис. 1, где нанесены кривые изменения φ ( lt , )для трех значений α.Расчеты показали, что с увеличением α (или J * ) уменьшаются динамическиеуглы закручивания вала, причем изменение φ ( lt , ) с хорошей точностьюописывается компактной формулой (23).Если использовать энергетические соотношения, то для расчета угла закручиванияполучаем формулуJlχφg= ω, (26)G0 J0 ( χ* + K0)в которой K 0 – коэффициент приведения массы вала. При K 0 = 0 и χ = χ*(J * = 0) формула (26) переходит в (24).Для проведения расчетов, с учетом массы вала, в (26) нужно положитьK 0 = 1/3 или K 0 = 4π −2 .При больших k корни z K близки к ( k − 1)154 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 1 – Графики угла закручивания при разных α: 1 – α = 0,3; 2, – α = 0,6; 3 – α = 1Таблица 3 – Значения φg, вычисленные по (13) и (26) при разных K 0210 φ g, по (13)210 φ g, вычислены по (26), при:αK 0 = 1/3 K 0 = 4π −2 K 0 = 0 K 0 = 10 1,957 1,957 1,954 1,970 1,9320,2 1,789 1,788 1,786 1,798 1,7690,4 1,657 1,657 1,655 1,665 1,6420,6 1,551 1,551 1,550 1,557 1,5380,8 1,463 1,463 1,462 1,468 1,4521,0 1,388 1,388 1,387 1,393 1,3792,0 1,135 1,135 1,134 1,137 1,130О согласовании результатов, к которым приводят формулы (13) и (26).позволяют судить числа, указанные в табл. 3.Лучшее согласование результатов имеем при K 0 = 1/3. В случае K 0 = 0формула (26) завышает значения φg, а при K 0 = 1 – занижает их. Следовательно,φg, удовлетворяют неравенствам:в которых φj= ωG JJlχ( χ + − j)0 0 *2φ < φ < φ ,1 g 2; j = 1; 2 .Разность между φ1и φ2уменьшается с увеличением χ*.Результаты вычисления касательных напряжений τ(l,t) по формулам(16), (17) графически представлены на рис. 2. Они получены для трех значенийα. Увеличение момента инерции J * приводит к понижению уровня напряжений.При α = 0 max τ ( lt , ) ≈ 5,68 ⋅ 10 Па достигается в момент7времени,ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 155

7соответствующий t 1 = 8, и превышает значение 4,76⋅ 10 Па, которое полученов [1], без учета волновых процессов.На рис. 3 показаны графики τ(0,t), рассчитанные по формулам (18), (19).Характерно, что до прихода волны кручения к закрепленному торцу ( t1< 1), тамкасательные напряжения раны нулю. При α = 0 максимум касательных напряженийτ(0,t) достигается раньше, чем в сечении x l t = , и приблизительноравен max τ ( lt , )= ( )17. Увеличение α уменьшает максимумы напряжений и смещаетих в сторону больших t 1 . Защитный «эффект ослабления удара» дополнительнойприсоединенной массой проявляется для обоих сечений вала.Рисунок 2 – Графики τ(l,t) при разныхα: 1 – α = 0; 2, – α = 0,5; 3 – α = 1Рисунок 3 – Графики τ(0,t) при разных α:1 – α = 0; 2, – α = 0,5; 3 – α = 1Рисунок 4 – Графики угла закручивания и напряжений (α = 0)156 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

С целью дальнейшей верификации полученных расчетных формул, проведенывычисления угла закручивания и напряжений на торцах стальноговала при α = 0; l = 1, 6 м; d = 0,06 м; ω = 10,6 с -1 ; J = 2,5125 кгм 2 . Эти значенияпараметров определены в [4] из условия, что maxτ = 10 Па. Расчет8напряжений проводили по формулам (24), (25), без учета волновых процессов.Результаты вычисления φ ( lt , ) , τ(0,t) и τ(l,t) по изложенной теории графическипредставлены на рис. 4.−28Здесь max φ ( lt , ) ≈6,654 ⋅ 10 рад; maxτ( 0, t) ≈ max τ( l, t) = 1,08 ⋅ 10 Па.Вследствие большого значения J, по сравнению с моментом инерции вала,время достижения максимумов угла закручивания и напряжений отличаютсянезначительно, то есть масса вала почти не влияет на протекание процессаудара. Сравнение напряжений на рис. 4 и в работе [4] приводит к заключению,что напряжения, вычисленные без учета волновых процессов, оказываютсяменьшими, чем полученные с учетом распространения волн.Выводы. Изложенная теория адекватно описывает явление ударногокручения цилиндрического вала, на краю которого закреплено жесткое телозаданного момента инерции. Полученные формулы позволяют рассчитыватьизменения во времени угла закручивания и касательных напряжений с учетомразрывов, вызванных распространением упругих волн.Список литературы: 1. Писаренко Г.С. Опір матеріалів / Г.С. Писаренко, О.Л. Квітка, Е.С.Уманський. – К.: Вища школа, 2004. – 655 с. 2. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлениюматериалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. – К.: Наукова думка, 1988. – 736 с. 3.Беляев Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев. – М. Наука, 1976. – 608 с. 4. Справочникпо сопротивлению материалов / Е.Ф. Винокуров, М.К. Балыкин, И.А. Голубев и др. – Минск: Наукаи техника, 1988. – 464 с. 5. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов / С.П. Фесик.– К.: Будівельник, 1982. – 280 с. 6. Филиппов А.П. Колебания механических систем / А.П.Филиппов. – М.: Машиностроение, 1970. – 734 с. 7. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарныефункции / А.П. Пудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. – М.: Наука, 1981. – 800 с.Поступила в редколлегию 12.03.2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 157

УДК 539.3:621.313Э. С. ОСТЕРНИК, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., ГП заводЭлектротяжмаш, ХарьковО ПАРАМЕТРАХ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИПРОВОДНИКОВОЙ МЕДИ ТУРБОГЕНЕРАТОРОВС ЖИДКОСТНЫМ ОХЛАЖДЕНИЕМВиконано аналіз технологічних процесів, статистики механічних характеристик та структурироторних провідників для турбогенераторів. Це дозволяє дати оцінку надійності за допомогоюкумулятивної моделі відмов.Ключові слова: роторні провідники, механічні характеристики, надійність, статистика,турбогенератор.Выполнен анализ технологических процессов, статистики механических характеристик и структурыроторных проводников для турбогенераторов. Это позволяет дать оценку надежности спомощью кумулятивной модели отказов.Ключевые слова: роторные проводники, механические характеристики, надежность, статистика,турбогенератор.We are accomplished the analysis of processing technology, structure and statistics of mechanical characteristicsof rotor conductors for turbogenerators. These data permit let the reliability estimation bymeans of cumulative failure model.Keywords: rotor conductors, mechanical characteristics, reliability, statistics, turbogenerator.Введение, цель и постановка задачи. Известно, что надежную работутурбогенераторов можно обеспечить лишь при условии проведения теоретическихи экспериментальных исследований обмоток ротора и статора. Авариикрупных синхронных генераторов показали, что требуются инженерныерасчетные схемы и эксперименты на обмотках, их моделях и отдельных элементах[1]. Предыдущие работы данного цикла относились к статорной обмотке.В этой работе рассматривается обмотка ротора. Комплекс вопросов механики,конструкции и технологии роторной обмотки оказался весьма сложным,и здесь описаны, в основном, состояние и постановка задачи, некоторыепути ее решения и полученные результаты.При эксплуатации турбогенераторов мощностью 500 МВт с жидкостнымохлаждением возникла необходимость в повышении надежности роторнойобмотки. Ее проводники выполняются из квадратных или прямоугольныхтруб с центральным круглым отверстием для охлаждающей дистиллированнойводы или масла. Трубы выполняются из меди с присадкой серебра.Медь обладает кубической гранецентрированной кристаллической решеткойс параметром 3,608 · 10 −4 мкм. Ее монокристаллы характерны значительной© Э. С. ОСТЕРНИК, 2012158 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

упругой анизотропией. Известно, что серебро полностью растворяется в медив твердом состоянии; оно обладает аналогичной решеткой с параметром4,077 · 10 −4 мкм.При холодном волочении или прокатке зерна меди дробятся на мелкиеучастки. При .больших обжатиях образуется предпочтительная ориентациятаких осколков. При этом временное сопротивление σ В и твердость H медиповышаются, относительное удлинение после разрыва δ снижается. Послерекристаллизационного отжига при 500…600 °С создается мелкозернистаяравноосная структура, восстанавливаются пластические свойства меди [2].Для мощных турбогенераторов механическая прочность чисто медныхобмоток оказалась недостаточной [3]. Уже при подъеме частоты вращенияхолодного ротора до 2000 об/мин роторные проводники полностью защемляютсяпод действием центробежных сил от ряда проводников, расположенныхв тех же пазах ротора, но ближе к его оси [4]. Максимальные напряженияразвиваются в торцах ротора. С учетом принятых допущений напряжениясжатия в опасном сечении проводника определяются по формуле( ) k ( − dCk) − dCkσ − =1 21 2 3 ,a − dCгде a – ширина, d C – диаметр отверстия в проводнике, k 1 , k 2 , k 3 – константы,определяемые данными ротора.Пря нагреве обмотки током до рабочей температуры в витках появляютсятемпературные напряжения сжатия, особенно у дна паза. Если они превышаютпредел текучести, то после снятия нагрузки с генератора в соответствующейзоне обмотки возникают остаточные деформации. Процесс повторяетсяпри каждом цикле пуск-нагрев-снятие нагрузки (особенно при остановах).Остаточные деформации сжатия суммируются, и укорочение можетпривести к замыканию витков обмотки ротора, что повышает вибрацию турбоагрегата.Возможно и разрушение материала обмотки.Ввиду этого в мощных турбогенераторах применяют обмотку из меди,легированной серебром. Сравнительные данные приведены в табл. 1 [5].Таблица 1 – Некоторые характеристики медных сплавов для роторных обмотокСостав сплава σ Т , МПа δ, % ρ, Ом · мм 2 /мБез присадки серебра 60…80 35…40 0,0175С присадкой серебра 170 35 0,0182Примечание: σ Т – предел текучести, ρ – электрическое сопротивление. Отметим, чтореальнее было бы сопоставление не по σ Т , а по условному предел текучести σ 0,2 – см.далее.Некоторые фирмы для экономии применяют медь, легированную кадмиемCd. Он кристаллизуется в гексагональной системе, температура плавленияtom= 321 °С. При внесении 0,8…1 % Cd значение σ В возрастает почтиISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 159

втрое, ρ ≈ 90 % ρ Cu [2].Целью работы является изучение вопросов, прямо или через технологиюсвязанных с прочностью обмоток. Сюда относится статистический анализсдаточных механических характеристик и их сопоставление с существующиминормами. Исследовался характер деформации в упругой зоне. Рассмотренаструктура материалов обмоток.Указанный подход позволяет применить кумулятивную модель отказовв оценке надежности роторной обмотки турбогенераторов с жидкостным охлаждением[6].Вопросы технологии и структуры. Технология слитков для последующейпрессовки или проката проводниковой меди с присадкой серебравполне устойчива. Принята технология полунепрерывного литья в кристаллизатор,чем снижается вероятность усадочных раковин и рассеянной пористостив слитке. Этот способ литья обеспечивает соблюдение норм по примесям[7]. Химсостав слитка практически повторяется в прокате.Этой технологии, как и технологии изготовления проводников, предшествовалоисследование гаммы сплавов меди с серебром в лабораторных условиях.Сплавы были шихтованы на содержание серебра 0,03; 0,06; 0,08,0,10 %, они прокатывались на Ø 4,75 мм, отжигались и потом тянулись напроволоку Ø 4,63 мм.Значения ρ сплавов практически одинаковы (0,0176…0,0179Ом · мм 2 /м), зависимость ρ от процента Ag немонотонна.Механические свойства определялись на образцах из проволоки Ø 4,63мм как в нагартованном (с 5 % наклепом), так и в отожженном состоянии.Отжиг производился при температурах: 150, 200, 250, 300, 400 и 500 °С втечение 1 часа, то есть до и после рекристаллизации.Испытание механических свойств производилось при разных температурах,начиная с комнатной и кончая 200 °С. Образцы перед испытанием нагревалисьс печью до нужной температуры, выдерживались при ней 15 минути затем подвергались разрыву. Механические свойства исследуемых сплавовблизки:σ Т = 205…253 МПа; σ В = 220±29 МПа; δ = 36±6 %.Зависимость механических свойств от процента Ag немонотонна. Во всехобразцах под микроскопом видна однородная β-фаза, причем в нагартованномматериале она имеет мелкозернистое равноосное строение, которое сохраняетсяи после отжига при температурах: 150, 200, 250 °С в течение 1 часа.Не обнаружено также роста зерна и при 72-х часовой выдержке образцовпри 250 °С. Этим и объясняется сохранение сплавами механическихсвойств в тех пределах, в каких они были до отжига. Отжиг при более высокихтемпературах, например при 500 °С, сказался на структуре уже послечасовой выдержки. Зерна стали заметно крупнее. В соответствии с этим σ Встало таким же, как для полностью отожженной меди (219…226 МПа), δ дос-160 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

тигло 56 %, а σ Т упал до 20…40 МПа. Речь вдет о переходе температуры рекристаллизации.В настоящее время диапазон 0,03…0,10 % Ag сохранился во всех техническихусловиях на турбогенераторные роторные сплавы.Роторные проводники квадратного сечения для турбогенераторов с частотойвращения n = 3000 об/мин изготавливаются из аналогичного сплаваCu + 0,03…0,10 % Ag. Технологический процесс предусматривает нагревслитков в печи, горячее прессование, травление и 2 стадии волочения с вытяжкой.Для турбогенераторов с частотой вращения ротора n = 1500 об/минприменяются прямоугольные проводники. В отличие от квадратных труб,здесь предусматривается холодный прокат, а затем отжиг в течение 1 часа,травление и волочение с вытяжкой на готовую трубу [8].Известно, что кристаллическая структура металла при холодной прокаткеменяется. При очень сильном наклепе образуется ячеистая структура, скапливаютсядислокации и дефекты решетки, возникает текстура; соответственноизменяются физические, механические и коррозионные характеристики.Такие процессы, как возврат, рекристаллизация, рост зерен, снижают упрочнение,полученное за счет наклепа при прокатке, и приближают металл кравновесному состоянию. Прокатка использована для создания желаемойструктуры, текстуры, размера зерен и состояния поверхности.Исследование механических свойств. В соответствии со стандартамии техническими условиями (ТУ) подлежат определению на образцах следующиемеханические характеристики проводниковой меди: временное сопротивлениеσ В , МПа – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке,предшествующей разрушению образца; предел текучести условный σ 0,2 , МПа– напряжение, при котором остаточное удлинение достигает 0,2 % длиныучастка образца, удлинение которого принимается в расчет при определенииуказанной характеристики.По ТУ требуется, чтобы σ 0,2 ≥ 170 МПа. Факультативно определялисьтакже значения σ В . Оказалось 72 годных образца.Результаты обработки методами прикладной статистики сведены в табл.2. Значения σ 0,2 и σ В распределяются по нормальному закону при уровне значимостикритерия q = 10 %. Сопоставление этих данных с нормами позволяетсчитать их вполне удовлетворительными.Таблица 2 – Статистические характеристики механических свойств роторной медиИсследуемыехарактеристики (x)n x x max x min m 0 x S Sxσ 0,2 71 211 240 190 215 13,6 1,6σ В 72 241 255 230 245 6,06 0,71Примечание: n – число данных, x – среднее арифметическое (выборочное среднее)значение величины, m 0 x – мода x, S – несмещенная оценка для среднего квадратичногоотклонения.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 161

Наличие нормального закона распределения для σ 0,2 и σ В позволяет применитьметоды теории надежности к роторным обмоткам турбогенераторованалогично [6, 9].О проекте стандарта на роторную медь. Сравнение технических условийна роторные проводники для генераторов с жидкостным охлаждениемпроизводства различных отечественных предприятий выявляет существенныеразличия этих нормативов. В частности, лишь одно предприятие требуеттрубы поставлять выправленными, притом на наружной поверхности не допускаютсяинородные включения, следы коррозии; на внутренней – не допускаютсякоксующийся остаток от смазки, чешуйчатость, складки.Имеются серьезные различия по геометрии и механическим свойствам.Так, другое предприятие нормирует вместо σ 0,2 величину σ В , факультативнуюв иных ТУ.Ввиду изложенных различий в технических условиях и учитывая большуюзагрузку станов холодного проката, целесообразно стандартизироватьроторную проводниковую медь, уменьшив число ее типоразмеров. Тогдапоявится техническая возможность сконцентрировать ее производство наодном-двух металлургических предприятиях.Ранее показано, что зависимость механических свойств σ Т , σ В и δ, а такжесопротивления ρ от процента Ag немонотонна. Содержание Ag на уровне0,03…0,10 % устанавливалось в период освоения сплава около 50 лет назад,когда распределение Ag по слитку было недостаточно равномерным. Современноекачество литья позволяет снизить эту величину до 0,03…0,05 %, чтоследует отразить в предполагаемом стандарте.Выводы. Установлен нормальный закон распределения механическихсвойств для проводникового сплава турбогенераторных роторов. Показанавозможность снижения уровня присадки серебра в этом сплаве.Перспективы данного исследования – применить к роторным обмоткамметоды теории надежности, разработать стандарт на роторную медь, а такжерассмотреть возможность замены серебра кадмием.Список литературы: 1. Станиславский Л.Я., Гаврилов Л.Г., Остерник Э.С. Вибрационная надежностьтурбогенераторов. – М.: 1985. – 240 с. 2. Болховитинов Н.Ф. Металловедение и термическаяобработка. – М.: 1961. – 464 с. 3. Турбогенераторы. Расчет и конструкция. – Л.: 1967. –722 с. 4. Кади-Оглы И.А. Анализ механических напряжений в полых проводниках обмотки крупныхгенераторов // Турбо- и гидрогенераторы большой мощности. Сб. науч. тр., 1969. – С. 189-201. 5. Технология крупного электромашиностроения. В 3-х ч. Ч. 1. Турбогенераторы. – М.-Л.:1966. – 335 с. 6. Остерник Э.С. О механических параметрах для оценки надежности турбогенераторов// Вестник НТУ «ХПИ». Сб. науч. тр. Тем. выпуск «Динамика и прочность машин». – №52. – 2011. – С. 142-156. 7. Курдюмов А.В., Пикунов М.В., Чурсин В.М. Литейное производствоцветных и редких металлов. – М.: 1972. – 496 с. 8. Чувашов Ю.Н., Богданов Н.Т., Соловьев О.П. идр. Новые процессы и оборудование для производства труб из цветных металлов и сплавов. – М.:1972. – 44 с. 9. Остерник Э.С. О стохастической модели статора турбогенератора // Вестник НТУ«ХПИ». Сб. науч. тр. Тем. выпуск «Динамика и прочность машин». – № 22. – 2007. – С. 135-147.Поступила в редколлегию 20.09.2012.162 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

УДК 539.3С. Ю. СОТРИХИН, доцент, ст. науч. сотр., ИПМаш НАН Украины,Харьков;В. Г. ЯРЕЩЕНКО, доцент, науч. сотр., ИПМаш НАН Украины, ХарьковВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛАНА ЕГО ДЕФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИАвторы благодарят МацевитогоВладимира Михайловича заидею проведения такихисследований.У статті розглянутий вплив зміни структури поверхневого шару металевої пластини на виникаючідеформації при ударному навантаженні.Ключові слова: поверхневий шар, деформація, ударне навантаження.В статье рассмотрено влияние изменения структуры поверхностного слоя металлической пластинына возникающие деформации при ударном нагружении.Ключевые слова: поверхностный слой, деформация, ударноенагружениеThe effect of structural changes in the surface layer of a metal plate on its deformation arising undershock loading is considered in the paper.Keywords: surface layer, deformation, shock loading.Введение. Представляет большой практический интерес определения остаточногоресурса элементов конструкций, выполненных из различных сталей.Важным фактором, влияющим на прочность элемента конструкции, являетсясостояние его поверхности. Состояние поверхности можно исследовать при помощиразличных известных способов. Однако представляет интерес использоватьс этой целью метод широкополосного динамического тензометрирования,как одного из наиболее высокоточных и информативных методов.Методика испытаний. В качестве объекта испытаний использоваласьпластина из стали 14Х17Н2 с размерами 127 х 206 мм и толщиной 6,7 мм. Вцентре одной стороны произведен наклеп диаметром 20 мм. Было проведеносравнение микротвердости нагружаемых участков пластины до и после наклепа.Микротвердость металла в состоянии поставки составляла 2250 МПа,в то время как микротвердость после наклепа сотавила 3150 МПа. Микротвердостьопределялась прибором ПМТ-3.На рис. 1 приведена схема наклейки тензорезисторов и закрепления пла-© С. Ю. Сотрихин, В. Г. Ярещенко, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 163

стины. На обеих сторонах пластины (1) на расстоянии 20 мм от центра наклеенытензодатчики (3). Для проведения испытаний осуществлялось шарнирноеопирание пластины. С этой целью по контуру пластины с нижней иверхней сторон, при помощи клея, закреплялись алюминиевые стержни (2).Затем вся конструкция зажимами притягивалась к массивной плите. Для нанесенияудара в необходимую точку использовалась стеклянная трубка, расположеннаявертикально, торец которой находится непосредственно над точкойприложения нагрузки. Нагружение проводилось металлическим шаромиз стали ШХ15 массой 4,056 гр. и диаметром 10 мм. Высота сброса шара составляла1,5 м.Рисунок 1 – Схема наклейки тензорезисторов и закрепления пластиныНаиболее удобным методом измерения деформаций является методдинамического широкополосного тензометрирования. Преимущество использованияметода элетротензометрии состоят в следующем: малая база имасса самих датчиков обеспечивают достоверную регистрацию деформациипри больших ускорениях, кроме того эти же параметры датчиков позволяютнаклеивать датчики в любых, даже самых труднодоступных местах. (1) Дляпроведения измерений использовались фольговые тензорезисторы типаКФ5П1-1-100-Б-12 сопротивлением 100 Ом.На рис. 2 представлена блок-схема измерений, которая позволяет регистрироватьтекущие значения деформаций во времени и измерять временныеинтервалы с заданной точностью.Сигналы с тензорезисторов (2), наклеенных на пластину (1), поступаютна тензоусилитель (3), а затем через АЦП Е20-10 (4) на ноутбук (5), где ипроисходит хранение и обработка результатов испытаний. Тензометрическийусилитель работает на принципе амплитудной модуляции с несущейчастотой 1000 кГц.164 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 2 – Блок-схема экспериментальной установкиИзмерение деформаций выполняется по мостовой схеме. Четверть мостанаходится в измерительной части, четверть – в калибровочной, а оставшаясяполовина – в тензоусилителе. Для минимизации тока в измерительной диагоналипроизводится подстройка моста по активной и реактивной составляющимсопротивления.Характеристики тензометрического усилителя:– число измерительных каналов 8;– несущая частота, кГц 1000;– полоса рабочих частот, кГц 0,04-200;– минимальная регистрируемая деформация, 30 · 10 -6 ;– сопротивление используемых тензодатчиков, Ом 50-200.Непосредственно перед проведением эксперимента на градуировочномустройстве проводилась градуировка каналов усиления. Градуировочное устройство– это приспособление, работа которого основана на принципе чистогоизгиба балки, на которую наклеены тензодатчики выносного плеча мостовойсхемы (рабочие тензодатчики, наклеенные на испытываемом объектесоставляют второе выносное плечо измерительной схемы). Задавая величинупрогиба, которая пересчитывается в деформацию и, сопоставляя ее с электрическимнапряжением на выходе АЦП, строим градуировочные зависимостиέ = έ(U), где έ – относительная деформация, U – напряжение на выходеАЦП.Измерение волн деформации на поверхностях пластины производилосьпри ударе шаром поочередно как с наклепанной, так и с не наклепанной стороныи регистрировались с обеих сторон (непосредственно возле точки удараи с противоположной стороны пластины). На рис. 3 приведены характерныеосциллограммы с датчиков, находящихся непосредственно возле места удара.Сплошная линия соответствует случаю удара по наклепанной стороне пластины,штриховая линия – удар с не наклепанной стороны.Сравнение отношений максимальных деформаций, зарегистрированныхпри ударе по наклепанной и ненаклепанной сторонам пластины составило0,74.Одновременно было проведено сравнение микротвердости нагружаемыхучастков пластины до и после наклепа. Микротвердость металла в состояниипоставки составляла 2250 МПа, в то время как микротвердость после наклепасотавила 3150 МПа. Микротвердость определялась прибором ПМТ-3. Отношениемикротвердостей наклепаннного и ненаклепанного участка составилоISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 165

0,71. Отсюда можно сделать вывод, что для стали 14Х17Н2 величина возникающихв пластине деформаций пропорциональна величине микротвердости,по которой производилось нагружение.Также сравнивалась высота отскока шарика от ненаклепанной и наклепаннойповерхностей. Она составила 18 и 36 см соответственно. Отношениеколичества энергии передаваемое ударником пластине при ударе по наклепаннойстороне пластины и ненаклепанной стороне составляет 0, 86.Рисунок 3 – Характерные осциллограммы с датчиков, находящихся непосредственновозле места удараВыводы. В результате проведенных исследований можно сделать вывод,что, по крайней мере, испытанная сталь 14Х17Н2, имеет ярко выраженнуюзависимость характера возникающих поверхностных волн деформацииот структурного состояния поверхности. Дальнейшая развитие этого методапредполагает разработку методики, позволяющей путем контрольных тензометрическихизмерений определять состояние поверхностного слоя металлическогоизделия, а, соответственно и прочностные свойства всего изделия.Список литературы: 1. Колодяжный А.В. Ударные и импульсные воздействия на конструкциии материалы : монография / А.В.Колодяжный, В.И.Севрюков. – К.: Наукова думка, 1986. – 168 с.Поступила до редколлегии 04.07.2012166 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

УДК 539.1А. В. СТЕПУК, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., НТУ «ХПИ»;С. В. БОНДАРЬ, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., НТУ «ХПИ»;Л. В. АВТОНОМОВА, канд. техн. наук, вед. науч. сотр., НТУ «ХПИ»;С. Ю. ПОГОРЕЛОВ, канд. техн. наук, доцент, НТУ «ХПИ»ОСОБЕННОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СОСТАВНОЙМАТРИЦЫУ роботі виконувався скінченно-елементний розрахунок напружено-деформованого стану складеноїматриці з врахуванням пластичної деформації матеріалу заготовки. Чисельне моделюванняпроцесу й механічний аналіз виконувалися на пакеті ANSYS. Розглянуті особливості деформаціїробочої вставки складеної бандажованої матриці.Ключові слова: механічний аналіз, пластичні деформації, кінцевий елемент, контактнінапруження, бандажована матриця, робоча вставка.В работе выполнялся конечно-элементный расчет напряженно-деформированного состояниясоставной матрицы с учетом пластического деформирования материала заготовки. Численноемоделирование процесса и механический анализ выполнялись на пакете ANSYS. Рассмотреныособенности деформирования рабочей вставки составной бандажированной матрицы.Ключевые слова: механический анализ, пластические деформации, конечный элемент,контактные напряжения, бандажированная матрица, рабочая вставка.The research carried out finite element calculation of stress-strain state of a compound matrix when awork-piece material is plastically deformed. Numerical modeling and mechanical analysis performedwith CAD-FEM software ANSYS. The features of the deformation of the working insert withinshrouded composite matrix are presented.Keywords: mechanical analysis, plastic deformation, finite element contact stresses, matrix bandage,mechanical insertОписание проблемы. Разработка нового изделия выдавливанием непосредственносвязана с информацией о поведении технологической системыматрица – обрабатываемый материал. На стадии проектирования с помощьюматематического моделирования можно провести анализ напряженнодеформированногосостояния (НДС) и заготовки, и элемента оснастки –составной матрицы, которая является дорогостоящим инструментом, что позволитоптимально подобрать натяги бандажа. Основная нагрузка на матрицу– это давление, которое передается со стороны заготовки. Учет пластическихдеформаций в заготовке позволяет получить более точные законы распределениядавлений на рабочих поверхностях составных элементов матрицы (например,на поверхности рабочей вставки).Постановка задачи. Для холодного выдавливания технологическая системаматрицы с заготовкой представляет собой совокупность взаимодействующих© А. В. Степук, С. В. Бондарь, Л. В. Автономова, С. Ю. Погорелов, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 167

соосных тел вращения , контактирующих между собой по совмещенным поверхностям.На рис. 1 показаны основные элементы матрицы (рабочая вставка,промежуточная вставка, бандаж и обойма). При прочностном анализе составнойматрицы следует учитывать следующие факторы: контактное взаимодействиевсех сегментов, которое осуществляется с кулоновским трением или с проскальзыванием;первоначальное деформированное состояние между вставкой и бандажом,в виде предварительного натяга, который также влияет на НДС. Прирасчете НДС матрицы, с учетом пластического деформирования заготовки,внешнее усилие прикладывается непосредственно к заготовке, а действующие наобойму (внешний элемент матрицы) силы стяжки матрицедержателя создаютпредварительное напряженное состояние.Нагрузки, действующие на рабочую поверхность матрицы со сторонызаготовки в процессе ее глубокого пластического деформирования, определяютсяиз расчета НДС, как в пластически деформируемой заготовке, так и винструменте с учетом их взаимного влияния друг на друга. Так как особенностиконфигурации рабочей поверхности могут приводить к резкому изменениюраспределений контактных давлений в локальных областях концентраторов,то для выяснения законов распределения реальных контактныхнапряжений на рабочей поверхности, учитывается контактное взаимодействиеэлементов и в составной матрице.Рисунок 1 – Конструкция составной бандажированной матрицыДля прочностного анализа расчет проводился в малых приращениях нагруженияот минимального значения приложенного давления до максимального,вызывающего стадию глубокого пластического деформирования материала,когда в заготовке возникают пластические деформации и большие перемещения.Данная задача являются физически и геометрически нелинейной.Пластическое деформирование описывается моделями вязкопластичности. Вчастности, используется зависимость интенсивности напряжений σ от скоро-168 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

сти деформирования [1].σ = σ 0 [1+ (ε/γ) m ],где интенсивность напряжений σ определяется функцией структурныхсвойств материала Ф (размер зерен, кристаллическая решетка и проч.).Ф = [(σ/σ 0 ) – 1] 1/m ,где параметр m – степень структурной зависимости свойств материала.Однако возникновение конечных пластических деформаций в зонах нарабочей поверхности матрицы не должно приводить к недопустимому искажениюгеометрии изделия и к разрушению внутренней вставки матрицы.Результаты численного моделирования. Данная контактная упругопластическаякраевая задача с учетом трения численно была решена с помощьюМКЭ. Распределение контактных напряжений позволяет отследитьопасные зоны на рабочей поверхности матрицы с учетом предварительногонапряженного состояния, которое компенсирует напряжения, возникающиепод действием радиального давления деформируемой заготовки на стенкирабочей вставки. На рис. 2 приведены графики распределения компонентнапряжений вдоль внутренней рабочей вставки при различных вариантахрасчетной схемы: деформирования заготовки в упругой области; деформированиезаготовки в упруго-пластической области. Анализ полученных результатовпоказывает, что в зоне А наблюдается локальное влияние концентратора(выступ с резким изломом – острая точка), приводящее в совокупности сограничениями контактного взаимодействия к более заметному возрастаниюзначений компонент тензора напряжений [2].Рисунок 2 – Распределение радиальных напряжений вдоль поверхности рабочейвставки матрицыПроведенные расчеты показали, что в значительно большей степени напрочность всей матрицы оказывает влияние напряженно-деформированноеISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 169

состояние рабочей вставки сложной геометрии (переходы сечения, калибрующиепояски и т.д.). На рис. 3 представлено распределение интенсивностинапряжений в составных частях матрицы. Концентрация напряжений на рабочихповерхностях является одним из основных факторов, определяющихпрочность матрицы в целом.Рисунок 3 – Распределение интенсивностей напряжений технологическойсистемы заготовка-составная матрицаПроведенный численный анализ НДС бандажированной матрицы с учетомпластического деформирования заготовки позволяет подобрать рациональныйнатяг между бандажом и рабочей вставкой, что дает снижение величины интенсивностинапряжения на внутренней поверхности вставки на 15-20 %. Варьированиежесткостью вставки приводит к тому, что при увеличении величины натягапроисходит уменьшение интенсивности напряжений в опасных зонах внутреннейповерхности рабочей вставки. Влияние натяга существенно зависит отвеличины жесткости вставки, которая непосредственно зависит от толщины еестенки. Таким образом, предпочтительней использовать конструкции матриц,имеющих равномерную жесткость по высоте матрицы. Для создания и обеспечения,наиболее сбалансированных эксплуатационных условий бандажированиянеобходимо сделать рабочую вставку разрезной, что позволит изменить непосредственновеличину натяга по высоте матрицы.Список литературы: 1. Rankin C. C., Brogan F. A. An Element Independent Corotational Procedure for theTreatment of Large Rotations // Journal of Pressure Vessel Technology. – 1986. – Vol. 108. – P. 165-174. 2.Бондарь С.В. Разработка методов расчета и исследования напряженно-деформированного состоянияэлементов штамповой оснастки для холодного и полугорячего выдавливания: Автореф. дисс. на соиск.уч. степ., канд. техн. наук ХГПУ. – Х.: 1998. – 22 с. 3. Chung J., Hulbert G. M. A Time Integration Algorithmfor Structural Dynamics with Improved Numerical Dissipation: The Generalized-α Method // Journal ofApplied Mechanics. – 1993. – Vol. 60. – P. 371.Поступила в редколлегию 27.09.2012.170 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

УДК 534.1:539.3А. Н. ШУПИКОВ, д-р техн. наук, профессор, зав. отд. прочности иоптимизации конструкций, ИПМаш НАН Украины, Харьков;Л. А. ЛИТВИНОВ, д-р техн. наук, профессор, зав. отд. монокристалловкорунда, Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков;С. В. УГРИМОВ, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., ИПМаш НАНУкраины, Харьков;С. Ю. СОТРИХИН, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., ИПМаш НАНУкраины, Харьков;В. Г. ЯРЕЩЕНКО, канд. техн. наук, науч. сотр., ИПМаш НАНУкраины, Харьков;Е. П. АНДРЕЕВ, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., Институт монокристалловНАН Украины, ХарьковИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В САПФИРОВЫХСТЕРЖНЯХ ПРИ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИПроведено теоретичне та експериментальне дослідження процесу розповсюдження хвиль деформаційу стержнях із сапфіру з різною орієнтацією кристалографічних осей. Отримано теоретичнізначення швидкостей хвиль деформацій. Встановлено хороше співпадання результатів теоретичногоаналізу з даними експериментальних досліджень.Ключові слова: теорія пружності, розповсюдження хвиль, удар, анізотропія, сапфір.Проведено теоретическое и экспериментальное исследование процесса распространения волн деформацийв стержнях из сапфира с различной ориентацией кристаллографических осей. Получены теоретическиезначения скоростей распространения волн деформаций. Установлено хорошее совпадениерезультатов теоретического расчета с данными экспериментальных исследований.Ключевые слова: теория упругости, распространение волн, удар, анизотропия, сапфир.The theoretical and experimental studies of wave propagation in the sapphire rods with different orientationof the crystallographic axes are performed. The theoretical values of the velocities of wavepropagation of deformations are obtained. The good agreement of the theoretical results with the experimentaldata is established.Keywords: elasticity theory, wave propagation, impact loading, anisotropy, sapphire.Введение. Лейкосапфир (сапфир) обладает комплексом уникальных физико-механическихи химических свойств. Он является исключительно жаропрочным,химически стойким и биологически неактивным материалом, которыйимеет высокую механическую прочность и твердость. Твердость сапфирапо шкале Мооса составляет 9 единиц и только немногим уступает твердостиалмаза. При этом сапфир является оптически прозрачным материалом,способным работать в условиях воздействия высоких температур и радиации.© А.Н.Шупиков, Л.А.Литвинов, С.В.Угримов, С.Ю.Сотрихин, В.Г.Ярещенко, Е.П.Андреев, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 171

Наличие таких свойств способствовало широкому применению сапфира вразных областях науки и техники. Одним из перспективных направленийиспользования сапфира является применение его в качестве элемента прозрачнойброни.Механические свойства изделий из сапфира обусловлены анизотропиейкристалла [1-3]. От кристаллографической ориентации зависит также и скоростьраспространения волн деформаций при ударном нагружении. При определенномвыборе ориентации, учитывающем условия нагружения изделий,можно повысить их прочностные характеристики.Состояние научной проблемы. Несмотря на широкое применение сапфирав технике [1], его механические свойства, особенно для случая ударныхнагружений, все еще недостаточно изучены [1, 2, 4-7]. В силу сложности математическогомоделирования поведения сапфира при ударном нагружении,основная часть работ в этой области носит экспериментальный характер. Так,в работе [2] представлены результаты экспериментальных исследований поведениясапфира при сжатии в различных кристаллографических направлениях.Цель работы. Целью работы было на относительно простых объектах(сапфировых стержнях диаметром 19 мм и длиной 550-560 мм) теоретическии экспериментально изучить процессы деформирования и распространенияволн при низкоскоростном продольном ударе.Рисунок 1 – Сапфировый стержень и расположение кристаллографических плоскостейПостановка теоретической задачи. Теоретическое исследование процессовдеформирования конструкций из сапфира базируется на уравненияхтеории упругости анизотропных тел.172 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рассмотрим цилиндрический стержень из однородного материала с произвольнойформой анизотропии. Один конец стержня жестко закреплен вопоре, а на второй действуют усилия, равнодействующая P которых параллельнаоси стержня. Введем начало системы координат в центре тяжести сечениязакрепленного конца стержня, ось Ox 3 направим вдоль стержня, а направлениеосей Ox 1 , Ox 2 выбираем произвольно (рис. 1).Если ввести предположение, что усилия на концах стержня распределеныравномерно, то граничное условие на незакрепленном конце стержня имеет видPp33= , (1)Sгде S – площадь сечения стержня.Если длина стержня значительно больше характерного размера поперечногосечения, а боковые поверхности свободны от нагрузок, то можносчитать, что напряжения вдоль стержня удовлетворяют условиям [3]p11= p22= p12= p13= p23= 0 . (2)Связь между напряжениями p ik и деформациями ε lm для тела общего видаанизотропии [3, 8] имеет видpik = C iklmεlm, (3)где C iklm – тензор модулей упругости 4 ранга.При повороте осей тензор преобразуется по формулам [8]Ci′ k′l′m′= αi′pαk′qαl′rαm′sCpqrs,где α ′ = cos( x′⋅ x ) – направляющие косинусы.i pipВыражение (3) можно представить в более компактном виде [3, 8]:⎛ p11⎞ ⎛ A11A12A13A14A15A16⎞⎛ε11⎞⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ p22⎟ ⎜ A12A22A23A24A25A26⎟⎜ε22 ⎟⎜p⎟ ⎜⎟⎜ε⎟⎜33A⎟ = ⎜31A32A33A34A35A36⎟⎜33⎟ , (4)⎜ p23⎟ ⎜ A41A42A43A44A45A46⎟⎜ε23⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ p13⎟ ⎜ A51A52A53A54A55A56⎟⎜ε13⎟⎝ p12⎠ ⎝ A61A62A63A64A65A66⎠⎝ε12⎠где A ij – сокращенное обозначение тензора упругости, введенное Фохтом [8].Для рассматриваемого случая продольного нагружения стержня, учитываяформулы (2) в выражении (4), получим, что деформации стержня должныудовлетворять условиям⎛ A11A12A14A15A16⎞⎛ε11⎞ ⎛ A13⎞⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ A12A22A24A25A26⎟⎜ε22 ⎟ ⎜ A23⎟⎜A41A⎟42A44A45A⎟⎜⎜46ε⎟23= − A43ε33, (5)⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ A51A52A54A55A56⎟⎜ε13⎟ ⎜ A53⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ A61A62A64A65A66⎠⎝ε12⎠ ⎝ A63⎠ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 173

p33= A31ε11+ A32ε22+ A33ε33+ A34ε23+ A35ε13+ A36ε12. (6)Решение системы (5) может быть представлено в виде⎛ ε11⎞ ⎛ ξ1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ε22⎟ ⎜ξ2⎟⎜ε⎟ ⎜ ⎟23= ξ4⋅ε⎜33, (7)⎜ ⎟ ⎟⎜ ε13⎟ ⎜ξ5⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ε12⎠ ⎝ξ6⎠где ξ i – константы.Напряжения p 33 (6), учитывая (7), можно представить в видеp33= ε33( A31ξ1+ A32ξ2+ A33+ A34ξ4+ A35ξ5+ A36ξ6) = φε33, (8)где φ = A 31ξ1+ A32ξ2+ A33+ A34ξ4+ A35ξ5+ A36ξ6.Для гексагональной сингонии, характерной для сапфира, число независимыхупругих постоянных в выражении (4) равно 5 [3, 9]. Для случая, когдаось L 6 параллельна оси Ox 3 , зависимость между напряжениями и деформациями(4) приобретает вид⎛ p ⎞⎛ A11A12A130 0 0 ⎞11 ⎜⎟⎛ε11⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ p ⎜ A12A11A130 0 0 ⎟22 ⎟⎜ε22⎟⎜⎜⎟p⎟ A13A13A330 0 0 ⎜ε⎟⎜33⎟⎜⎟=⎜33⎟⎜ ⎟⎜ 0 0 0 A440 0 ⎟ . (9)p23⎜ε⎟⎜ ⎟⎜⎟23⎜ ⎟⎜ p ⎟⎜ 0 0 0 0 A44013⎟⎜ ε13⎟⎜A11− A12⎟⎝ p12⎠ 0 0 0 0 0⎝ ε12⎝2 ⎠⎠Значения упругих констант сапфира: A 11 = 496 ГПа, A 12 = 164 ГПа,A 13 = 115 ГПа, A 33 = 498 ГПа, A 44 = 148 ГПа [1].Рассмотрим сапфировые стержни с двумя ориентациями кристаллографическихплоскостей (рис. 2) [1, 10]. При С-ориентации ось L 6 параллельнаоси Ox 3 , при А-ориентации – ось L 6 параллельна оси Ox 1 , а нормаль к плоскостиА параллельна оси Ox 3 (рис. 1). Для этих случаев можно получить простыеаналитические выражения для параметра φ , входящего в формулу (8):22A13при C-ориентации – φ = A33− , (10)A11+ A1222A12при А-ориентации – φ = A11− . (11)A11+ A13Значение параметра φ для более сложных случаев ориентации кристаллографическихосей проще всего получить численно, используя формулыпреобразования тензора упругости при повороте осей.174 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 2 – Кристаллографические плоскости сапфираУравнения движения. Уравнение движения стержня и граничные условияполучены с помощью вариационного принципа Остроградского-Гамильтона [11, 12]. Уравнение движения имеет вид22∂ w ∂ wφ − ρ = P(t), (12)2 2∂x∂t3где w = w( x 3, t)– искомая функция перемещений стержня.На концах стержня должны быть заданы значения перемещений w илипродольных деформаций ∂ w ∂z.Кроме того, уравнения движения необходимо дополнить начальнымиусловиямиt = 0 , w = w0, w = w0.Теоретическое значение скорости волны деформаций. Из уравнения (12)следует, что скорость волны деформаций равнаV = φ ρ . (13)Подставив выражения (10), (11) в зависимость (13), получим значенияскоростей волн деформаций для рассматриваемых случаев:22A13A33−φ A11+ A12С-ориентация – V = =≈ 10724 м/с; (14)ρ ρ22A12A11−φ A11+ A13А-ориентация – V = =≈ 10124 м/с. (15)ρ ρISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 175

Эксперимент. Целью экспериментальных исследований было зафиксироватьскорость волны деформаций в сапфировом стержне. Экспериментальныеисследования процесса распространения волн в сапфире при ударе проведенына базе метода динамического широкополосного тензометрирования[12]. На стержень вблизи концов стержня наклеивались тензодатчики дляфиксации деформаций в продольном направлении (рис. 3). При ударе по концустержня возникает волна деформаций, которая распространяется вдольстержня и вызывает его деформацию, которая и фиксируется тензодатчиками.Отличие времени начала деформаций на различных датчиках и известноерасстояние между ними позволяет установить скорость волны.Рисунок 3 – Стержень с тензодатчикамиИзмерение деформаций проводится по мостовой схеме. Четверть мостанаходится в измерительной части, четверть – в калибровочной, а оставшаясяполовина – в тензоусилителе. Тензоусилитель работает по принципу амплитудноймодуляции с несущей частотой 1000 кГц. Для минимизации тока визмерительной диагонали мост подстраивается по активной и реактивнойсоставляющим сопротивления. Непосредственно перед испытанием, послебалансировки канала усиления, проводится его градуировка, то есть устанавливаетсязависимость ε = ε(U), где U – электрическое напряжение сигнала,регистрируемого аналого-цифровым преобразователем (АЦП).Сигналы с тензодатчиков, наклеенных на образец, поступают на тензометрическийусилитель, а затем на АЦП, где проводится оцифровка регистрируемогосигнала с заданной частотой, после чего сигнал записывается накомпьютер. В качестве АЦП использовались четырехканальные преобразователиЕ-2010.Стержень устанавливался вертикально на стенде. Один конец стержняжестко закреплялся в специальной сборной пятке из органического стекла.Нагружение осуществлялось путем сбрасывания на образец с высоты 1,5 мстального цилиндрического ударника с закругленным сферическим концом.Параметры ударника: масса – 76,78 г, длина – 47 мм, диаметр 16 мм.Сапфировые стержни. В экспериментальных исследованиях использовалисьсапфировые стержни А- и С-ориентации оптического качества диаметром19 мм. Стержень А-ориентации имел длину 560 мм, а С-ориентации –550 мм. Стержни были выращены методом Степанова из чистой (99,995 %основного вещества) шихты фирмы RSA (Франция) на ростовых установках«Кристалл-606» в среде особо чистого аргона [13]. После выращивания176 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

стержни отжигались в вакууме в изотермических условиях при 1950 °С дляразрушения рассеивающих центров в объеме кристалла.Результаты и анализ экспериментальных исследований. Результатыэкспериментальных исследований скорости волны деформаций в стержне А-ориентации приведены в табл. 1. В таблице указано время t 1 , t 2 , которое соответствуетвремени прихода волны деформаций на тензодатчики № 1 и № 2(время указано от начала записи данных эксперимента и не связано с началомудара). Расстояние l = 0,435 м волна деформаций проходит за времяΔt = t 2 − t 1 . Поэтому скорость волны деформаций может быть определено поlформуле V е = .ΔtТаблица 1 – Скорость волны деформаций в стержне А-ориентации№ экспериментаt 1 , мкс t 2 , мкс Δt, мкс V e , м/с1 33,9 75,6 42,7 101872 18,8 59,8 41,0 106093 34,0 76,4 42,4 102594 41,6 85,6 44,0 98865 21,2 62,0 40,8 106616 73,6 113,6 40,0 108757 977,6 1019,9 41,6 10457Средняя скорость волны деформаций в экспериментах составила1 7 1eeVср= ∑Vi≈ 10419 м/с.7 i=Теоретическое значение скорости (15) для исследуемого случая равноV ≈ 10124 м/с. Отличие между экспериментальными и теоретическими значениямисоставляет около 3 %V eср−V10419 −10124ε = ⋅100 =⋅100≈ 3 %.V10124Аналогичные экспериментальные данные для стержня С-ориентацииприведены в табл. 2.eСредняя скорость волны деформаций составила Vср≈ 10751, 6 м/с. Теоретическоезначение скорости волны деформаций для исследуемой ориентациисоставляет (14) V ≈ 10724 м/с. Таким образом, для С-ориентации экспериментальныеи теоретические данные отличаются на 0,3%Выводы и перспективы дальнейших исследований. В работе теоретическии экспериментально исследован процесс распространения волн встержнях из сапфира с различной ориентацией кристаллографических осей.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 177

Таблица 2 – Скорость волны деформаций в стержне С-ориентации№ экспериментаt 1 , мкс t 2 , мкс Δt, мкс V e , м/с1 65,6 106,8 41,2 105582 65,2 104,4 39,2 110963 38,8 79,6 40,8 106614 65,6 107,2 41,6 104565 66,0 105,6 39,6 109846 61,6 102,0 40,4 107677 57,2 96,8 39,6 109848 69,2 108,8 39,6 109849 50,8 92,4 41,6 1045610 82,0 122,8 40,8 1066111 48,0 88,8 40,8 10661Для задачи о продольном ударе по стержню аналитически определеныскорости распространения волн в сапфире при различной ориентации кристаллографическихосей в стержне. Теоретические результаты сопоставленыс данными экспериментальных исследований процесса распространенияволн, проведенными с помощью метода динамического широкополосноготензометрирования. Получено хорошее совпадение результатов теоретическихрасчетов с данными эксперимента для рассмотренных случаев А- и С-ориентации кристаллографических осей сапфира в стержне.Дальнейшее исследование должно быть направлено на изучение процессараспространения волн для других случаев ориентации кристаллографическихосей сапфира в стержнях, а также на изучение процесса распространенияволн в сапфировых пластинах.Работа выполнена в рамках гранта УНТЦ № 5287 «Исследования волновыхпроцессов в сапфире при ударном нагружении».Список литературы: 1. Dobrovinskaya E. Sapphire in science and engineering / E. Dobrovinskaya,L. Lytvynov, V. Pischik. – Kharkiv: STC «Institute for Single Crystals», 2007. – 480 p. 2. Каннель Г. И.Поведение сапфира при упругом сжатии в различных кристаллографических направлениях /Г. И. Каннель, А. С. Савиных, С. В. Разоренов, В. Е. Фортов // Успехи механики сплошных сред.– 2009. – С. 257-271. 3. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехницкий.– М.-Л.: Гостехиздат, 1950. – 300 с. 4. Nowak R. Peculiar surface deformation of sapphire: Numericalsimulation of nanoindentation / R. Nowak, T. Manninen, K. Heiskanen [at all] // Appl. Phys. Lett. –2003. – V. 83, № 25. – P. 5214-5216. 5. Voloshyn O. V. Potentialities for sapphire strength enhancement/ O. V. Voloshyn, L. A.Lytvynov, E. V. Slyunin // Funct. Mater. – 2007. – Т. 14, № 4. – С. 569-572.6. Синани А. Б. Сопротивление упругих тел высокоскоростному внедрению на начальной стадиисоударения / А. Б. Синани, А. А. Кожушко , Е. Л. Зильбербранд // Письма в ЖТФ. – 2008. – Т. 34,вып. 3. – С. 27-31. 7. Wang Y. Shock deformation of sapphire single crystals / Y. Wang, D. E. Mikkola// Materials Science and Engineering. – V. 148, № 1 – P. 25-32. 8. Акивис М. А. Тензорное исчисление/ М. А. Акивис, В. В. Гольдберг. – М. : Физматгиз, 2003. – 304 с. 9. Федоров Ф. И. Теорияупругих волн в кристаллах / Ф. И. Федоров. – М. : Наука, 1965. – 386 с. 10. Попов Г. М. Кристаллография/ Г. М. Попов, И. И. Шафрановский. – М. : Высш. шк., 1964. – 370 с. 11. Васидзу К.Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. – М. : Мир, 1987. – 542178 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

с. 12. Шупиков А. Н. Нестационарные колебания многослойных пластин и оболочек и их оптимизация/ А. Н. Шупиков , Я. П. Бузько , Н. В. Сметанкина , С. В. Угримов. – Х.: ИД «ИНЖЭК»,2004. – 252 с. 13. Konevskiy P. Specific growing features of variable section sapphire articles by Stepanovtechnique / P. Konevskiy, E. Andreev, L. Lytvynov // Functional materials. – 2008. – V. 15, № 2.– С. 283-286.Поступила в редколлегию 18.10.2012.УДК 539.3Н. Г. ШУЛЬЖЕНКО, д-р техн. наук, зав. отделом, ИПМаш НАНУкраины, Харьков;П. П. ГОНТАРОВСКИЙ, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., ИПМаш НАНУкраины, Харьков;Т. В. ПРОТАСОВА, вед. инженер, ИПМаш НАН Украины, ХарьковНЕОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ВЫСОКОТЕМ-ПЕРАТУРНЫХ РОТОРОВ ПАРОВЫХ ТУРБИН ПРИ ОКРУЖНОЙНЕОДНОРОДНОСТИ СВОЙСТВ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛАРозглядаються питання викривлення високотемпературних роторів парових турбін внаслідокнерівномірності їхньої повзучості в окружному напрямку. Приводяться результати розрахунківнеосесиметричного деформування ротора циліндра середнього тиску турбіни К-300-240 з використаннямекспериментальних даних про окружну неоднорідність механічних властивостейматеріалу, а також ротора турбіни Т-250/300 для заданих характеристик неоднорідності матеріалу.Результати порівнюються з даними натурних досліджень викривлень роторів різних турбін.Ключові слова: високотемпературні ротори, повзучість, неосесиметричне деформування.Рассматриваются вопросы искривления высокотемпературных роторов паровых турбин вследствиенеравномерности их ползучести в окружном направлении. Приводятся результаты расчетовнеосесимметричного деформирования ротора цилиндра среднего давления турбины К-300-240 сиспользованием экспериментальных данных об окружной неоднородности механическихсвойств материала, а также ротора турбины Т-250/300 для заданных характеристик неоднородностиматериала. Результаты сопоставляются с данными натурных исследований искривленияроторов различных турбин.Ключевые слова: соединение с натягом, температура, профильные соединения.Bending problems of high-temperature rotors of steam turbines as a result of circumferential nonuniformityof creep are considered. Results of calculations of nonaxisymmetric straining of intermediatepressurerotor of turbine K-300-240 with use of experimental data about the circumferential nonuniformityof mechanical properties of a material, and of rotor of turbine T-250/300 are presented for thepreset magnitude of nonuniformity of material properties. Results are compared with experimental dataof bending of various turbine rotors.Keywords: high-temperature rotors, creep, nonaxisymmetric straining.© Н. Г. Шульженко, П. П. Гонтаровский, Т. В. Протасова, 2012ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 179

Результаты ремонтных обследований прогибов роторов паровыхтурбин. На практике при эксплуатации паровых турбин наблюдались такназываемые прогрессирующие прогибы конструктивно осесимметричныхроторов, работающих в условиях высоких температур и постоянно (или переменно)действующих напряжений. Опыт длительной эксплуатации однотипныхпо конструкции турбоагрегатов на одной и той же электростанциипоказал, что время появления прогибов роторов и скорость нарастания деформациимогут быть существенно различны [1].Результаты обследований роторов цилиндров среднего давления турбинмощностью 200–800 МВт при их ремонте подтверждают явления прогрессирующихпрогибов роторов [2 – 4]. Приведенные в [2] данные из опыта длительнойэксплуатации трех турбин К-800-240-3 Запорожской ГРЭС свидетельствуюто том, что указанный прогиб ротора может превышать 0,2 мм.Результаты обследования роторов ЦСД-1 трех турбин Т-250/300-240 ПО ТМЗна ТЭЦ-22 Мосэнерго в течение длительного времени показывают, что дажедля сравнительно новых роторов через 8–10 лет эксплуатации прогибы в несколькораз превосходят допустимые значения [2]. Данные ремонтных обследованийРВД и РСД турбины К-1200-240-3 свидетельствуют, что за 15 летэксплуатации (с 1980 по 1996 гг.) прогибы выросли с 0,03 мм до 0,11 мм уРВД и до 0,12 мм у РСД [3]. На появление прогибов указывают и приведенныев [4] результаты ремонтных обследований роторов турбин К-210-130ЛМЗ некоторых ТЭЦ в Болгарии. После наработки чуть более 90 тыс. часовпрогибы РСД превышают 0,2 мм, прогибы РВД развиваются несколько медленнее.На рис. 1 отмечены экспериментальные данные о прогибах роторов вовремя эксплуатации, приведенные в работах [2–4]. Точками обозначены прогибыРСД-1 турбины Т-250/300-240 ТЭЦ-22 Мосэнерго из [2]: – ст. № 9,– ст. № 10, – ст. № 11; ромбами – прогибы роторов турбины К-1200-240-3[3]: – РСД, – ЦВД; квадратами – роторов турбин К–210–130: – РСД(ТЭЦ Варна, ст. № 6), – РСД (ТЭЦ «Марица Восток-2», ст. № 6); – РСД(ТЭЦ «Марица Восток-2», ст. № 5) и треугольником – ЦВД турбины К–210–130 (ТЭЦ «Марица Восток-2», ст. № 5) [4].Таким образом, из опубликованных результатов обследований конкретныхроторов следует, что их прогибы значительно превышают допустимоезначение 0,02–0,03 мм, отмеченное на рисунке пунктирной линией. Это свидетельствуюто практической важности решения вопроса установления причинтакого деформирования роторов и возможности его снижения до допустимыхзначений.Причинами появления прогрессирующего прогиба ротора могут являться:– попадание на горячий ротор воды из системы парораспределения илииз трубопроводов теплообменников;– задевание ротора об элементы статора, вызывающее местные перегревыего поверхности;180 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

– неравномерность ползучести стали в окружном направлении в зоневысоких температур ротора (прежде всего зона регулирующей ступени и первыхступеней РВД и РСД) [2].Рисунок 1 – Прогибы роторов эксплуатировавшихся турбинПоследнее предположение основывается на неравномерности физических,механических свойств и химического состава поковки ротора [5]. Условияизготовления роторов (или поковок) не позволяют обеспечить абсолютнуюравномерность их физических и механических свойств; допустимая неравномерностьсвойств оговаривается техническими условиями [2].У высококачественных роторов японских турбостроительных фирм неравномерностьмеханических свойств металла, характеризующих упругопластическоедеформирование, достигает 2-3 % [6]. Очевидно, что в отношениисвойств ползучести эта неравномерность может быть больше.Расчеты прогиба РСД турбин К-800-240 и К-1200-240-3 ЛМЗ при условии,что скорость ползучести роторов на среднем участке составляет 1 % за100 тысяч часов и при этом скорости ползучести по образующим вала отличаютсямежду собой на 1 %, показали, что через 100 тысяч часов работыможно ожидать прогиб, близкий к 0,2 мм [3].Оценка искривления ротора ЦСД турбины К-300-240 на основе экспериментальныхданных об окружной неоднородности механическихсвойств материала. Покажем, что неравномерность ползучести стали в окружномнаправлении в зоне высоких температур может быть причиной про-ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 181

гибов роторов при эксплуатации паровых турбин. Проведем расчетную оценкунеосесимметричного деформирования РСД турбины К-300-240 на основеэкспериментальных данных об окружной неоднородности механическихсвойств материала.Окружную неоднородность механических свойств материала можнооценить по типичным данным для роторных сталей, полученным при контрольно-приемочныхиспытаниях периферии дисков первой ступени. Максимальноеотличие пределов текучести для двух диаметрально противоположныхобразцов может достигать 20 МПа, а в некоторых случаях и 30 МПа.Указанная неоднородность материала с достаточной степенью точности можетбыть распространена на весь объем поковки в области первой ступени.Существует зависимость между величиной предела текучести, полученнойв результате термообработки стали, и сопротивлением ползучести привысоких температурах. На основании данных о пределах текучести и кривыхползучести стали 20Х3МВФ на базе испытаний 2 тыс. часов в [7] приводятсязначения скорости ползучести при температуре 500-550 °С и напряженияхσ = 120-150 МПа (табл. 1). При этом разность скоростей ползучести приΔσ 02 = 100 МПа и T = 500 °C составляет (0,018 - 0,024) ·10 -3 %/ч; с возрастаниемтемпературы выше 500 °С это различие уменьшается. При установившейсяползучести разброс скоростей ползучести уменьшается и составляет(0,008 - 0,023) · 10 -3 %/ч при Δσ 02 = 175 МПа и T = 500 °C.Таблица 1 – Скорости ползучести εijи разности скоростей ползучести Δ ε ijстали 20Х3МВФпо кривым ползучести от 1 до 2 тыс. часовТемператураT, °C500550ТемператураT, °C500Напряжениеεij· 10 3 , %/чΔ ε ij(Δσ 02 =100 МПа) ·σ, МПа σ 02 =750 МПа σ 02 =650 МПа · 10 3 , %/ч120 0,0050 0,0230 0,018150 0,0060 0,0300 0,024120 0,0163 0,0170 0,007150 0,0230 0,0230 0по графикам скоростей установившейся ползучестиεij· 10 3 Δ ε, %/чij(Δσ 02 =175 МПа) ·Напряжениеσ, МПа· 10 3 , %/чσ 02 =800 МПа σ 02 =625 МПа120 0,005 0,013 0,008150 0,007 0,030 0,023На основе использования указанных данных об окружной неравномерностиползучести роторных сталей выполнены расчеты искривления роторатурбины К-300-240 по трехмерной модели с применением созданного ранееметодического обеспечения [8].182 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Меридиональное сечение ротора с разбивкой на конечные элементыприводится на рис. 2.Проведены расчетные исследования кинетики напряженно-деформированногосостояния ротора для 300 тысяч часов эксплуатации турбины. В случае,когда разность пределов текучести Δσ 02 на диаметрально противоположныхсторонах ротора составляет 20 МПа, окружная неравномерность скоростиползучести в районе первой ступени при стационарном режиме работытурбины (T = 500 °C, σ = 150 МПа) достигает значения ε max ij/ ε min ij= 1,153.Рассматривались также и несколько других вариантов окружной неравномерностисвойств материала (табл. 2).Рисунок 2 – Расчетная схема ротораТаблица 2 – Варианты расчета ротораВариант Δσ 02 , МПа k ε max ij/ij1 20 0,071 1,1532 10 0,036 1,0753 5 0,018 1,037ε minРисунок 3 – Расчетные значения максимальных прогибов РСД и РВДтурбины К-300-240ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 183

Изменение максимального прогиба ротора со временем приводится нарис. 3. Сплошными линиями обозначается прогиб рассматриваемого ротора врайоне расточки между первой и второй ступенью.Даже при незначительной окружной неравномерности ползучести, вызваннойразличием пределов текучести Δσ 02 = 5 МПа, прогиб ротора за 150тыс. часов эксплуатации турбины может достичь 0,032 мм и превысить допустимоезначение (обозначенное на графиках пунктирной горизонтальнойлинией u доп ). При большей окружной неравномерности недопустимый прогибдостигается раньше.Здесь же штрихпунктирными линиями приводятся максимальные прогибыРВД этой турбины на расточке в районе регулирующей ступени длярассматриваемых реальных значений окружной неравномерности ползучестиматериала, выполненные по предложенной в работе [9] расчетной схеме.Прогибы РВД развиваются несколько медленнее, чем искривления РСД, ночерез 150 - 200 тыс. часов также превышают допустимые значения.Следует отметить, что результаты, полученные с предполагаемыми [9](Δσ 02 = 6, 14, 28 МПа) и реальными (Δσ 02 = 5, 10, 20 МПа) значениями окружнойнеравномерности ползучести материала качественно совпадают; приэтом стрела прогрессирующего искривления ротора пропорциональна величинеокружной неравномерности ползучести материала.Сравнение результатов численного анализа и обследований прогибовроторов. На рис. 4 сплошными линиями приводятся результаты выполненныхранее численных исследований прогибов РСД турбины Т-250/300-240 с предполагаемымизначениями окружной неравномерности ползучести материала. Онисоответствуют пределам текучести, отличающимся на противоположных сторонахротора на 6, 14, 28 МПа [10]. За 150 тыс. часов работы турбоагрегата прогибыротора достигают 0,07 мм (при Δσ 02 = 6 МПа), 0,18 мм (при Δσ 02 = 14 МПа) и0,35 мм (при Δσ 02 = 28 МПа) и превосходят допустимое значение.На этом же рисунке точками показаны значения прогибов РСД-1 (данныеобследований во время ремонтов) эксплуатировавшихся турбин Т-250/300-240 ТЭЦ-22 Мосэнерго [2]. Значения прогибов роторов после их длительнойэксплуатации соответствуют расчетным значениям при окружнойнеравномерности предела текучести 6 – 14 МПа.Таким образом, проведенные численные исследования искривления РСДи РВД паровых турбин на основе экспериментальных данных об окружнойнеоднородности механических свойств роторных сталей показали, что неравномерностьползучести стали в окружном направлении в зоне высоких температурвносит существенный вклад в неосесимметричное деформированиеэксплуатирующихся роторов паровых турбин.Для однотипных роторов полученные расчетные значения прогибов сучетом окружной неоднородности свойств ползучести согласуются с результатамиобследований работавших роторов.184 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

Рисунок 4 – Расчетные и экспериментальные значения прогибов РСД-1турбины Т-250/300-240Отметим, что устранение указанных прогибов роторов возможно с помощьютермообработки в заводских условиях, а используемая в работе расчетнаяметодика может использоваться при этом для оценки ползучести ротораот собственного веса при отпуске.Для продления срока эксплуатации погнутых роторов в [1] было предложеноснизить температуру металла ротора путем уменьшения температурыострого пара или внедрением системы принудительного охлаждения их высокотемпературныхэлементов. Созданными НПО ЦКТИ системами оснащенысвыше 40 турбоагрегатов мощностью от 200 до 800 МВт как в странахСНГ, так и за рубежом. Опыт их эксплуатации показывает, что таким образомудается снизить темп развития прогиба в 4 - 5 раз [1]. Как указывается в[11], остановить дальнейший рост прогиба роторов во время эксплуатацииможно с помощью установки балансировочных грузов на основе примененияспециальной опытно-расчетной методики ЛМЗ [11]. Положительные результатыдостигаются при этом для роторов со сроком эксплуатации более 10 лет(после двух капремонтов). Однако, имеются экспериментальные и расчетныеисследования, показывающие, что установкой даже значительных по массебалансировочных грузов невозможно остановить процесс неравномернойползучести роторов, потому что роторы ЦВД и ЦСД мощных паровых турбинработают далеко за первой критической частотой вращения (1450 –1600 об./мин.), и балансировочные грузы, установленные по первой собственнойформе, не могут вызвать ни больших вибросмещений, ни существенныхнапряжений в роторе [1].Обобщая результаты расчетных и натурных исследований прогибов роторов,можно отметить следующее. Важное значение при изготовлении высокотемпературныхроторов паровых турбин имеют вопросы контроля иобеспечения однородности физико-механических свойств их материала вISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 185

окружном направлении. Этим можно добиваться уменьшения или практическогоисключения значительных термических прогибов длительно эксплуатирующихсяроторов. По разработанной методике [8] могут прогнозироватьсяуказанные прогибы роторов. Методика может быть также применена длянормирования уровня неоднородности свойств материала в зависимости отвида роторов и условий их эксплуатации.Список литературы: 1. Проблема прогибов роторов паровых турбин и пути ее решения /И.А. Ковалев, Л.А. Хоменок, Д.В. Елькин // Теплоэнергетика. – № 2. – 2003. – С. 64-67. 2. Повышениетехнического уровня паровых турбин при внедрении систем принудительного паровогоохлаждения роторов / В.С. Шаргородский, Л.А. Хоменок, С.Ш. Розенберг, А.Н. Коваленко //Электрические станции. – 1999. – № 1. – С. 30-36. 3. Повышение ремонтопригодности, ресурса инадежности РСД мощных паровых турбин / В.С. Шаргородский, Л.А. Хоменок, С.Ш. Розенберг,И.С. Козлов, А.Н. Ремезов // Труды ЦКТИ. – 2002.– Вып. 283. – С. 151-158. 4. Повышение надежностии продление срока службы роторов ВД и СД турбин К–210–130 ЛМЗ на ТЭЦ Болгарии /Л.А. Хоменок, В.С. Шаргородский, С.Ш. Розенберг и др. // Электрические станции. – 2001. – № 9.– С. 63-66. 5. Приближенный анализ искривления вращающихся валов, обусловленного ползучестью/ В.И. Розенблюм // Сб. ЛГУ. – 1971. – № 8. – С. 30-36. 6. Опыт определения остаточногоресурса высокотемпературных роторов паровых турбин: в 2 т. Т. 2. Продление ресурса ТЭС /Дж. Болтон. – М.: ВТИ, 1994. – С. 1-15. 7. Свойства сталей и сплавов, применяемых в котлотурбостроении:руководящие указания. Ч. 1 / ЦКТИ. – Ленинград, 1966. – Вып. 16. – 220 с.8. Применение полуаналитического метода конечных элементов для решения трехмерных задачтермомеханики в цилиндрических координатах / Н.Г. Шульженко, П.П. Гонтаровский, Т. В.Протасова // Вісник НТУ «ХПІ»: зб. наук. праць. Тем. випуск: Динаміка і міцність машин. – Х.:2004. – № 20. – С. 151-160. 9. Искривление роторов турбомашин при окружной неоднородностисвойств материала / Н.Г. Шульженко, П.П. Гонтаровский, Т.В. Протасова // Надежность и долговечностьмашин и сооружений: международный научно-технический сборник. – К.: Институтпроблем прочности НАН Украины, 2008. – № 31 – С. 170-177. 10. Оценка прогрессирующегоискривления высокотемпературных роторов при окружной неоднородности их свойств / Н. Г.Шульженко, П.П. Гонтаровский, Ю.И. Матюхин, Т.В. Протасова // Авиационно-космическаятехника и технология. – 2005. – № 9 (25). – С. 73-77. 11. Опыт восстановления работоспособностироторов с остаточным погибом / М.И. Шкляров, Н.П. Суханов, Н.С. Лебедько, Н.П. Егоров,А.И. Куменко // Электрические станции. – 2005. – № 10. – С. 67-69.Поступила в редколлегию 06.06.2012186 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

ЗМІСТКедровская О. В., Ларин А. А., Львов Г.И. Жизненный и творческийпуть Сергея Ивановича Богомолова . . . . . . . . . . . . . . . . 3Бабаджанова В. Г. Вынужденные осесимметричные колебания вязкоупругойцилиндрической оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . 12Божко А. Е., Иванов Е. М., Иванова З. А. Электромагнитный поршневойдвигатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Бреславский Д. В., Татаринова О. А., Корытко Ю. Н. Ползучесть оболочеквращения в условиях совместного действия периодически изменяющихсятемператур и напряжений . . . . . . . . . . . . . . . 23Воропай А. В. Нестационарные колебания прямоугольной пластины супругой подпоркой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Данилов Д. В., Андреев А. Г. Сравнительный анализ профильных соединенийс натягом под действием температур . . . . . . . . . . . 38Дарязаде С., Львов Г. И. Микро- и макро-концентрация напряженийвокруг отверстий в композитных пластинах . . . . . . . . . . . . 53Деев В. М., Машина И. В. Новая трактовка теории определителей . . 64Демидов П. Н., Кипоренко А. С., Полищук С. М., Трубаев А. И., ЧижиковаВ. М. Оценка вибрационного состояния трубопроводов АЭС иобеспечение их безопасной эксплуатации . . . . . . . . . . . . . 66Исаков С. Н. Исследование динамических нелинейных процессов ультразвуковыхтехнологических инструментов . . . . . . . . . . . . 73Красников С. В. Моделирование напряженно-деформированного состоянияфундамента при гидроиспытаниях турбоагрегата . . . . . . 81Курбанов Н. Т., Алиева У. С. Исследование динамической устойчивостивязкоупругих стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Ларін О. О., Водка О. О., Соколовський С. А. Експериментальні дорожнідослідження плавності ходу спеціалізованого транспортного засобу знелінійним підресоренням . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Львов Г. И., Лысенко С. В., Перин Р. П. Длительная прочность регулирующегоклапана шиберного типа с учетом неоднородного распределениятемпературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Львов Г. И., Окороков В. А. Влияние повреждаемости материала на автофретированиетолстостенных цилиндров . . . . . . . . . . . . 108ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 187

Мартыненко Г. Ю., Мякинников С. С. Интегрированное программноесредство для численного анализа динамики роторов на различных опорах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Мягкохлеб К. Б. Принципы построения системы электромагнитныхвибровозбудителей для воспроизведения трехкоординатной нагрузки . 132Ольшанский В. П. Об исследованиях А.П. Филиппова в теории неупругогоудара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Ольшанский В. П., Ольшанский С. В. Об ударном кручении цилиндрическоговала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Остерник Э. С. О параметрах для оценки надежности проводниковоймеди турбогенераторов с жидкостным охлаждением . . . . . . . . 158Сотрихин С. Ю., Ярещенко В. Г. Влияние структурного состояния металлана его деформационные характеристики . . . . . . . . . . . 163Степук А. В., Бондарь С. В., Автономова Л. В., Погорелов С. Ю. Особенностидеформирования составной матрицы . . . . . . . . . . . 167Шупиков А. Н., Литвинов Л. А., Угримов С. В., Сотрихин С. Ю., ЯрещенкоС. Ю., Андреев Е. П. Исследование волновых процессов в сапфировыхстержнях при ударном нагружении . . . . . . . . . . . . 171Шульженко Н. Г., Гонтаровский П. П., Протасова Т. В. Неосесимметричноедеформирование высокотемпературных роторов паровыхтурбин при окружной неоднородности свойств ползучести материала . 179188 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)

НАУКОВЕ ВИДАННЯВІСНИКНАЦІОНАЛЬНОГО ТЕХНІЧНОГО УНІВЕРСИТЕТУ «ХПІ»Збірник наукових працьСерія:Динаміка і міцність машин№ 55 (961)Науковий редактор: д-р техн. наук, проф. О. К. МорачковськийТехнічний редактор: О. В. ЩепкінВідповідальний за випуск: канд. техн. наук Г. Б. ОбуховаАДРЕСА РЕДКОЛЕГІЇ: 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21,НТУ «ХПІ». Каф. ДММТел. (057) 707-68-79. E-mail: andreev@kpi.kharkov.uaОбл.-вид № 168-12.Підп. до друку 26.11.2012 р. Формат 60×84 1/16. Папір офсетний.Друк офсетний. Гарнітура Таймс. Умов. друк. арк. 9,75. Облік.-вид. арк. 10.Тираж 100 пр. Зам. № 23. Ціна договірна.Видавничий центр НТУ «ХПІ». Свідоцтво про державну реєстраціюсуб’єкта видавничої справи ДК № 3657 від 24.12.2009 р.61002, Харків, віл Фрунзе, 21Цифрова друкарня «Zебра»Свідоцтво про Державну реєстрацію 24800000000115022 від 01.01.2011 р.Адреса: 61002, м. Харків, вул. Чернишевська, 28-А.