55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

R( t)= c ⋅ wC( xC, yC, t),где c – коэффициент жесткости, Н/м.Рисунок 1 – Схема нагруженияНа пластину в некоторой точке воздействует поперечная импульсная нагрузкаP(t), вызывающая нестационарные колебания пластины с подпоркой.Требуется определить компоненты перемещения во времени точек пластины(прогибы и углы поворота нормали).При решении задачи предполагалось, что координаты точек приложениянагрузки и координаты установки дополнительной опоры произвольны (любыеточки, принадлежащие пластине и не лежащие на ее границе). Такжесчиталась известной величина коэффициента жесткости подпорки.Решение задачи. В рамках теории пластин С. П. Тимошенко системадифференциальных уравнений [3], которая с учетом соответствующих начальныхи граничных условий определяет решение, описывающее нестационарныедеформационные процессы в пластине с подпоркой, имеет вид:2⎧ 2∂ w⎪G'h(∇ w+ ψ xy ) = ρh− P(x,y,t)+ R(t)δ(x − x ) δ(− );2C y yC⎪∂t⎪222∂ ψ xy⎪ D∇ψ xy −G'h(ψ xy + ∇ w)= ρ⋅ I ;2⎨∂t(1)⎪2⎪D222∂ ϕxy[(1− ν)∇ ϕ + (1 + ν)∇ ψ ] − ' ( ϕ + ∇ ) = ρ⋅ ;⎪xy1 xy G h xy 1 w I22∂t⎪⎩w( xC, yC, t)= R(t)/c,где h – толщина пластины; G' = k'G; k' – коэффициент сдвига; I = h 3 /12; w –прогиб срединной плоскости пластины; ψ x , ψ y – углы поворота; ρ, E, ν – упругиепостоянные материала пластины; t – время,EhD = ;212 (1 − ν )32 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)3