55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

Подставив (6) в (4), получаем изображение прогиба тела, подвергнутогоудару:2 2αM ( g+pυ) G2 2( ξ, ξ1, η, η1,β p )Y( ξξ ,1, ηη ,1,β p ) =. (7)2 2 21 + αMp G( ξ1, ξ1, η1, η1,β p )Переход от изображения (7) к оригиналу осуществляется с помощьювторой теоремы разложения, что приводит к формуле прогибов тонкостенноготела:y ξξ , , ηη , , t = αM gG ξξ , , η,0+( ) ( )1 1 12 2( + ) ( ,1, ,1,)4 2 2′2 ( ξ ξ η η β p ) −∞1 αM g υpK G ξ ξ η η β pK pKt+ ∑ ⋅e. (8)2 K=1 αMpKG1, 1, 1, 1, K1pKЗдесь через p K обозначены корни трансцендентного уравнения:2 2 21 + αMp Gξ , ξ , η , η , β p = 0; (9)K ( 1 1 1 1 K)штрих обозначает частную производную G( 2 21, 1, 1, 1, pK)2pK; t – время.ξ ξ η η β по2 2 2Если ввести обозначение β pK= − sK, то уравнение (9) примет вид:22 2 βsKG( ξ1, ξ1, η1, η1,− sK)= . (10)α MВместо (8), получаем выражение:⎛ sKt υsK sKt⎞α M gcossin∞ ⎜ −β β β⎟y( ξξ ,1, ηη ,1,t)= yCT−⎝⎠∑×−2 4 2αMβ s G′ ξ , ξ , η , η , − s + 12 ( )sK( ξξ , 21, ηη ,1, sK)K = 1 K 1 1 1 1 KПри записи (11) учли, что Mg G ( , , , ,0)× G − . (11)1 1α ξ ξ η η равно статическому прогибуударяемого тела y CT под действием веса Mg ударяющего тела.Формула (11) заметно упрощается, когда ξ = ξ 1 , η = η 1 . В этом частотномслучае прогиб пластины под грузом равен:2 ⎛ stKυsK stK⎞β g cos sin∞ ⎜ −β β β⎟y( ξ1, ξ1, η1, η1,t)= yCT−⎝⎠∑ . (12)2 −2 4 2K = 1 s ⎡KαMβ sK G′ 2 ( ξ1, ξ1, η1, η1, − sK)+ 1⎤⎣sK⎦Штрих в (11) и (12) означает частную производную функции( 22G ξ1, ξ1, η1, η1, − sK) по sK.Конкретизируем общие решения для отдельных тел.140 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)