55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

Общие соотношения для неупругого удара. В первых публикациях попроблеме удара он решал задачи в постановке Сен-Венана. По Сен-Венану,ударяющее тело сообщает свою скорость элементу конструкции, там где оновступает в соприкосновение, а затем движется вместе с этим элементом. Такойудар называют неупругим [1]. В указанной постановке А.П. Филипповрешил задачи удара падающего массивного тела по балке, с учетом затуханияколебаний, а также удара по прямоугольной и круглой пластинам, подкрепленнымупругим основанием [2,3,4].Общая схема решения задач включает следующие действия. Записываетсяуравнение движения ударяемого тела (балки или пластины) под действиемединичной сосредоточенной силы, в пространстве изображений по Карсону,которому отдано предпочтение вместо преобразования Лапласа. Длядвумерного случая такое уравнение имеет вид:2 2DGp ( ξηβ , , p ) = αδ ( ξ −ξ1) δ ( η− η1). (1)Здесь D p – дифференциальный оператор изгиба пластины; p – параметринтегрального преобразования Карсона; ξ, η – безразмерные пространственныепеременные; ξ 1 , η 1 – безразмерные координаты точки приложения ударнойсилы; δ ( ξ − ξ 1 ) , δ( η−η 1 ) − функции Дирака; α – постоянный множитель,зависящий от изгибной жесткости пластины; β – постоянный множитель,зависящий от массы тонкостенного тела.Решив уравнение (1) и удовлетворив заданным граничным условиям наконтуре пластины (или на краях балки), получают выражение функции Грина:2 2αG( ξ , ξ , , , 1η η1β p ) . (2)Изображение силы ударного взаимодействия F(p) находят из уравнениявертикального движения падающего груза, записав его в пространстве изображений:2F( p)= Mg− Mp W + pMυ . (3)Здесь M − масса тела, которое с относительной скоростью υ ударяет побалке или пластине; g – ускорение свободного падения; W = W(p) – изображениеперемещения ударяющего тела.Согласно (2) и (3) изображение прогиба тела, подвергнутого удару,представляется произведением:Y( ξξ , 2 2 ) ( 2 ) ( 2 21, ηη ,1, β p = αM g− p W + pυ G ξξ ,1, ηη ,1,β p ) . (4)По гипотезе Сен-Венан:2 2W = W( p) = Y( ξ1, ξ1, η1, η1,β p ) . (5)Поэтому из (4) и (5) следует, что2 2αM ( g+pυ) G ( ξ1, ξ1, η1, η1,β p )W =. (6)2 2 21 + αMp G ξ , ξ , η , η , β p( 1 1 1 1 )ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 139