55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

Слагаемое S 2 (t 1 ) в (16) непрерывно и разлагается в ряд⎡⎤∞ ⎢ z ( ) ( 1sin ) (( 1Ksin zKt π k − k−1) πt1) ⎥S2( t1)= ∑ ⎢−⎥ ,122 1K = ⎢2 21+ + χ* zK1+ + χ*π ( k−1)⎥⎢⎣ χ* χ⎥*⎦который сходится быстрее, чем (15).Преобразуем аналогичным образом и формулу (14). Ее запишем в виде⎡⎤⎢⎥z1sin( zt1 1)1τ ( 0, t)= B⎢+ T1( t1) + T2( t1)⎥ . (18)⎢⎛1 2 ⎞ χ⎥*⎢⎜1+ + χ* z1⎟cosz1⎥⎢⎣⎝ χ*⎠⎥⎦Здесь разрывным слагаемым является:∞Kχ* kπ( −1) sin( kπt1)T1( t1)= ∑ .1K = 12 21+ + χπ*kχ*Сумма этого ряда выражается в замкнутом виде [7]⎧1t1=− 1+01 ⎪ sh( bt1)T1( t1)= ⎨−при − 1+ 0< t1< 1−0(19)2 ⎪ shbt⎪1= 1−0.⎩ −1Период T 1 (t 1 ) равен 2. Поэтому с помощью (19) можно вычислить T 1 (t 1 )при любых t 1 . В точках t1= 1,3, 5,... функция T 1 (t 1 ) имеет разрывы первогорода с величиной скачка равной единице.Слагаемое T 2 (t 1 ) в (18) непрерывно и разлагается в ряд:⎡⎤k∞⎢z ( ) ( 1) ( 1) sin1(( 1Ksin zKt − π k− k−) πt⎥1)T2( t1)= ⎢⎥∑ +.⎢1K = 2 ⎛ 1 2 22 ⎞⎥⎢⎜1+ + χ1* ( 1)*zK⎟cosz+ + χπ k −Kχχ⎥⎢⎣⎝* ⎠*⎥⎦Его сходимость более быстрая, чем ряда в (14).Таким образом, проведенное преобразование предоставило возможностьопределять касательные напряжения в ударяемом теле, с учетом разрывов,порожденных распространением волн кручения.Для проведения расчетов нужно знать положительные корни уравнения(11). Чтобы упростить их вычисление, положим:zK= ( k − 1)π + εK. (20)Тогда, вычисление ε K можно проводить по итерационной формуле:152 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)