55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

следующие формулы:Учитывая (4) в (1) и (2), определяем формулы, выражающие кривизны,усилия и моментов через T k (t), u k (ξ) и w k (ξ). Представляя эти выражения в (3)с учетом ортогональности собственных функции и оператора Вольтера, получаеминтегро-дифференциального уравнения:⎛t⎞2Tk ′ () t − w ⎜k Tk() t − ε R( t − ) Tk( ) d ⎟ = fk() t⎜ ∫ τ τ τ . (5)⎟⎝ 0⎠Здесь2 QkΦk2 2ω k = ; fk() t = q() t ; Φk= ∫ wk( ξ ) dS;Dk= ρh( ( ) ( ))D D∫ ukξ + wkξ dS ;kQk2G0h=1−ν∫Sk⎡⎛ du⎢ k⎢⎜⎣⎝ dξS2( ξ ) ⎞ 2νw ( ξ ) du ( ξ ) ⎛ w ( ξ )⎟⎠( ξ )+2R14 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)k0kdξ+ ⎜⎝kSR02⎞ ⎤⎟ ⎥dS +⎠ ⎥⎦3 2G0h⎛ ⎞⎜d wk+⎟ ; 0 = const.6( 1−) ∫dS Gν⎝ dξS ⎠Здесь предполагаем, что оператор Вольтера определяется в следующемвиде⎛t~⎞G( z) = G ⎜ ( ) − ( − ) ( ) ⎟0 z t ε⎜ ∫ R t τ z τ dτ.⎟⎝ 0⎠Начальные условия принимаем в виде:T ( 0) = T0 ; T′( 0) = T0′.(6)Значит, поставленная задача математически сводится к решению интегро-дифференциальногоуравнения (5) при условии (6).Применяя преобразование Лапласа по времени t к уравнению (5) с учетом(6) и опуская индексы для простоты записей получаем:pT0+ T0′f( )( p)T p = +. (7)2 2 22 2 2p + ω − εω R( p)p + ω − εω R( p)Здесь первый член правой части характеризует свободные колебанияоболочки. При вынужденных колебаниях добавляется второй член как этовыполнено в работе [1].⎛2( ) ⎞При ⎜εω R p⎟ < 1 формулу (7) представим в следующем виде:2 2⎝ p + ω ⎠гдеT( p)( p)( p)( p)( p)( p)2pT0 + T0′⎡ b b ⎤22 4f= ⎢1+ εω + ε ω + 2 ⎥ +, (8)2 2 2a( p)⎢⎣a a ⎥⎦p + ω − εω R( p)