55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

( t)∂ϑk1ϑ k () t = ϑ0 , = ϑ0при t = 0 . (7)∂tПрименяя интегральное преобразование Лапласа по времени t к интегро-дифференциальномууравнению (6) и учитывая условие (7), получаем:pϑ0+ ϑ0ϑk ( p)= . (8)2 4 4p + ω − εω R( p)Здесь чертой сверху обозначено преобразование Лапласа одноименныхфункций с параметром p∞− ptf ( p) = ∫ f ( t) e dp;Re p > 0 .0Здесь при малых значениях времени параметр p является достаточно большим,и в рассматриваемом материале с мгновенной упругостью, изображениеядра релаксации R ( p)с увеличением p стремится к нулю. С другой стороны ужестких полимеров и композиционных материалов вязкое сопротивление малопо сравнению с упругими. Значит, на основании свойств интегральное преобразованиеЛапласа в указанных интервалах величина ε R( p)будет мала.Из этих соображений выходит что, неравенство4εω R( p)< 12 4p + ωбудет верным для любого времени t.Тогда формулу (8) можем представить в следующем виде:1( )( )∑ ∞ n⎛4pϑ⎞0 + ϑ0=⎜εω R pϑ ⎟k p. (9)2 4+2 4p ωn=0⎝p + ω ⎠Применяя процедуру, выполненных в работе [5] получаем:122pϑ0+ ϑ0⎛ 1 2 ⎞ 4⎛ 1 ⎞ϑk ( p)= ; a( p)= ⎜ p + ε R 1 ⎟4⎟ + ⎜ −a( p) − εω b( p)s ω ω εRc;⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠p ε 2 2b ( p) = R( p) + Rs+ R ( )2 c + Rs+ Rc;ω 4Rst= ∫0R2() τ sinωτdτ; R R()88 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)c1t= ∫02τ cosωτdτ.Аналогично вышеприведенному, при тех же значениях параметра p иследовательно времени t, можно доказать справедливость неравенстваεω4b( p)( p)a< 1.