55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

p33= A31ε11+ A32ε22+ A33ε33+ A34ε23+ A35ε13+ A36ε12. (6)Решение системы (5) может быть представлено в виде⎛ ε11⎞ ⎛ ξ1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ε22⎟ ⎜ξ2⎟⎜ε⎟ ⎜ ⎟23= ξ4⋅ε⎜33, (7)⎜ ⎟ ⎟⎜ ε13⎟ ⎜ξ5⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ε12⎠ ⎝ξ6⎠где ξ i – константы.Напряжения p 33 (6), учитывая (7), можно представить в видеp33= ε33( A31ξ1+ A32ξ2+ A33+ A34ξ4+ A35ξ5+ A36ξ6) = φε33, (8)где φ = A 31ξ1+ A32ξ2+ A33+ A34ξ4+ A35ξ5+ A36ξ6.Для гексагональной сингонии, характерной для сапфира, число независимыхупругих постоянных в выражении (4) равно 5 [3, 9]. Для случая, когдаось L 6 параллельна оси Ox 3 , зависимость между напряжениями и деформациями(4) приобретает вид⎛ p ⎞⎛ A11A12A130 0 0 ⎞11 ⎜⎟⎛ε11⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ p ⎜ A12A11A130 0 0 ⎟22 ⎟⎜ε22⎟⎜⎜⎟p⎟ A13A13A330 0 0 ⎜ε⎟⎜33⎟⎜⎟=⎜33⎟⎜ ⎟⎜ 0 0 0 A440 0 ⎟ . (9)p23⎜ε⎟⎜ ⎟⎜⎟23⎜ ⎟⎜ p ⎟⎜ 0 0 0 0 A44013⎟⎜ ε13⎟⎜A11− A12⎟⎝ p12⎠ 0 0 0 0 0⎝ ε12⎝2 ⎠⎠Значения упругих констант сапфира: A 11 = 496 ГПа, A 12 = 164 ГПа,A 13 = 115 ГПа, A 33 = 498 ГПа, A 44 = 148 ГПа [1].Рассмотрим сапфировые стержни с двумя ориентациями кристаллографическихплоскостей (рис. 2) [1, 10]. При С-ориентации ось L 6 параллельнаоси Ox 3 , при А-ориентации – ось L 6 параллельна оси Ox 1 , а нормаль к плоскостиА параллельна оси Ox 3 (рис. 1). Для этих случаев можно получить простыеаналитические выражения для параметра φ , входящего в формулу (8):22A13при C-ориентации – φ = A33− , (10)A11+ A1222A12при А-ориентации – φ = A11− . (11)A11+ A13Значение параметра φ для более сложных случаев ориентации кристаллографическихосей проще всего получить численно, используя формулыпреобразования тензора упругости при повороте осей.174 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961)