55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

2( x,t)∂ uu( x,t)= 0, = 0 при x = 0;2∂x2∂ u( )( x,t)u x,t = 0, = 0 при x = l.2∂x(2)Начальные условия принимаем в виде:∂u( )( x,t)u x, t = ϑ 0 , = ϑ0′∂tпри t = 0, . (3)где ϑ 0 и ϑ′0 постоянные.Решение уравнения (1) будем искать в виде суммы по собственнымфункциямun( x, t) = ∑ k ( t) ϕk( x)k = 1ϑ . (4)Применяя процедуру Бубнова-Галеркина к уравнению (1) и переходя кбезразмерным величинамx u t ml; ; ; R() t .l l ml EIEIСохраняя для этих величин прежнее обозначения при f(t,x) = 0; P(t) = 0,получаем следующие дифференциальные уравнения:IVϕ x −ω′′ϕ x = 0 , k = 1,2(5)k( ) ( ) ,...kk ⎡t⎤4ϑ k () t + ωk⎢ϑk() t − ε∫R( t −τ) ϑk( τ ) dτ⎥ = 0 . (6)⎢⎣0⎥⎦Решая первое уравнение с соответствующими граничными условиями,находим собственные функции {φ k (x)} и собственные значения {ω k } рассматриваемойкраевой задачи. В частности в данном случае имеем граничныеусловия (2). При этом для существования ненулевого решения находим:sin ω l = 0; ωl= πk,k = 1,2,3,...Это уравнение частот. Отсюда находим собственные частоты2 π 2k Elp k = .2l mТогда собственные функции будут иметь вид:πkxϕk( x)= Bksin .lИз выше изложенного выходит, что решение поставленной задачисводится к решению интегро-дифференциального уравнения (6) при условииISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 874