55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

Чтобы определить напряжения кручения у внешней поверхности валаτ(x,t) продифференцируем выражение (12) по x. Тогда∞−1Gd∂φ( xt , ) z ( 1) cos( )0Ksin zKtzKxlτ ( xt , ) = = B∑ .2 ∂x1K = 121+ + χcos( zK)*zKχ*−1Здесь B = χωdG0c.Наибольший интерес представляет вычисление напряжений в сечениях:x = 0, где закреплен вал и x = l, где происходит удар. Для этих сечений:∞zKsin( zKt1)τ ( 0, t)= B∑ . (14)K = 1 ⎛ 1 2 ⎞⎜1+ + χ*zK⎟cos( zK)⎝ χ*⎠∞zKsin( zKt1)τ ( lt , ) = B∑ . (15)1K = 121+ + χ*zKχ*Выделим в формуле (15) разрывную составляющую. С увеличением kкорни уравнения (11) z K асимптотически стремятся к числам (k – 1)π. Учитываятакую асимптотику, преобразуем (15) к виду:⎡⎤⎢ zKsin( zt11)1⎥τ ( lt , ) = B⎢+ S1( t1) + S2( t1)⎥ , (16)⎢ 1 21+ + χ **zχ⎥1⎢⎣ χ⎥*⎦∞χ* kπsin( kπt1)где S1( t1)= ∑ .1K = 12 21+ + χπ*kχ*Сумма этого ряда выражается в замкнутом виде [7]⎧1t1= + 01 ⎪sh( b( 1−t1))S1( t1)= ⎨ при + 0< t1< 2−0(17)2 ⎪⎪ shbt1= 2−0,⎩ −11+χ*причем b = .χ*Функция S 1 (t 1 ) периодическая. Ее период равен 2, то естьS 1 (t 1 + 2) = S 1 (t 1 ), а поэтому (17) позволяет вычислять S 1 (t 1 ) при любых t 1 . Вточках t1= 2,4,6,..., функция S 1 (t 1 ) имеет разрывы первого рода с высотойскачка, равной единице.ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 151