55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

∂ψ ∂ψx y ∂ψ ∂ψψ xy = + ;x y 2 ∂ ∂ 2 ∂ ∂ϕ xy = − ; ∇ = + ; ∇∂x∂y∂x∂y2 2 1 = − . Укажем,что P(x, y, t) и R(t) – возмущающая нагрузка (сосредоточенная или рас-2 2∂x ∂y ∂x ∂yпределенная) и реакция взаимодействия между пластиной и упругой подпоркойсоответственно.Методика решения задач для прямоугольных пластин, на которые воздействуетсистема нескольких независимых нестационарных нагрузок, описана,например, в [4]. В результате решения системы дифференциальныхуравнений (1) для прогиба пластины получается следующее аналитическоевыражение:tWWw( x,y,t) = ∫ P( τ) Ki( x,y,t − τ) dτ −∫R( τ) Ki( x,y,t − τ) dτ, (2)00где K i ( x, y,t)– соответствующие ядра интегралов Дюамеля (сверток):∞ ∞2WC π⋅ π⋅( , , ) = ikn k x n yK i x y t ∑∑ ⋅sinsin ⋅∑Ωpkn ⋅sinω pknt.Δk=1 n= 1kn l mp=1Аналитические выражения для определения собственных частот имеютвид:22ω 1kn= 0.5 [(λkn(a + d)+ b)+ Δkn]; ω 2 kn = 0.5 [(λkn(a + d)+ b)− Δkn] .В приведенных соотношениях использованы следующие обозначения:= G'G'h D ka ; b = ; d = ; λ * nk = π ; μ * ⎛2 2⎞2 2n = π ; ⎜k nλ⎟kn = π + ;ρ ρ ⋅ J ρ ⋅ J l m2 2⎝ l m ⎠4 1 kπ ⋅ x n yCi π ⋅ i224ikn = ⋅ ⋅sin⋅sin; Δ kn = ( λkn(a + d)+ b)− 4⋅a⋅d⋅λkn;l ⋅ m ρ ⋅ h l m2d ⋅λkn+ bΩ 1kn= ω1kn− ;ω1knd ⋅λ + bΩ 2kn= −ω2kn+ .ω2knПроблема заключается в идентификации закона изменения во временинеизвестной реакции R(t), для определения которой выражение (2) для точкикрепления подпорки к пластине ( xC, yC) может быть сведено к интегральномууравнению Вольтерра II рода относительно неизвестной R(τ):tISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 33t222knc∫ P(τ)K P ( t − τ)dτ = c∫R(τ)K R ( t − τ)dτ+ R(t).(3)0Решение уравнения (3) осуществляется с использованием метода регуляризацииА. Н. Тихонова [5]. В результате решения находится сила взаимодействиямежду подпоркой и пластиной R(t), что позволяет определять компонентыперемещения во времени во всех точках пластины.t022