55'2012 - Науково-Ñ‚ÐµÑ Ð½Ñ–Ñ‡Ð½Ð° бібліотека НТУ "ХПІ" - Національний ...

Рассмотрим цилиндрический стержень из однородного материала с произвольнойформой анизотропии. Один конец стержня жестко закреплен вопоре, а на второй действуют усилия, равнодействующая P которых параллельнаоси стержня. Введем начало системы координат в центре тяжести сечениязакрепленного конца стержня, ось Ox 3 направим вдоль стержня, а направлениеосей Ox 1 , Ox 2 выбираем произвольно (рис. 1).Если ввести предположение, что усилия на концах стержня распределеныравномерно, то граничное условие на незакрепленном конце стержня имеет видPp33= , (1)Sгде S – площадь сечения стержня.Если длина стержня значительно больше характерного размера поперечногосечения, а боковые поверхности свободны от нагрузок, то можносчитать, что напряжения вдоль стержня удовлетворяют условиям [3]p11= p22= p12= p13= p23= 0 . (2)Связь между напряжениями p ik и деформациями ε lm для тела общего видаанизотропии [3, 8] имеет видpik = C iklmεlm, (3)где C iklm – тензор модулей упругости 4 ранга.При повороте осей тензор преобразуется по формулам [8]Ci′ k′l′m′= αi′pαk′qαl′rαm′sCpqrs,где α ′ = cos( x′⋅ x ) – направляющие косинусы.i pipВыражение (3) можно представить в более компактном виде [3, 8]:⎛ p11⎞ ⎛ A11A12A13A14A15A16⎞⎛ε11⎞⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ p22⎟ ⎜ A12A22A23A24A25A26⎟⎜ε22 ⎟⎜p⎟ ⎜⎟⎜ε⎟⎜33A⎟ = ⎜31A32A33A34A35A36⎟⎜33⎟ , (4)⎜ p23⎟ ⎜ A41A42A43A44A45A46⎟⎜ε23⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ p13⎟ ⎜ A51A52A53A54A55A56⎟⎜ε13⎟⎝ p12⎠ ⎝ A61A62A63A64A65A66⎠⎝ε12⎠где A ij – сокращенное обозначение тензора упругости, введенное Фохтом [8].Для рассматриваемого случая продольного нагружения стержня, учитываяформулы (2) в выражении (4), получим, что деформации стержня должныудовлетворять условиям⎛ A11A12A14A15A16⎞⎛ε11⎞ ⎛ A13⎞⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ A12A22A24A25A26⎟⎜ε22 ⎟ ⎜ A23⎟⎜A41A⎟42A44A45A⎟⎜⎜46ε⎟23= − A43ε33, (5)⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ A51A52A54A55A56⎟⎜ε13⎟ ⎜ A53⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ A61A62A64A65A66⎠⎝ε12⎠ ⎝ A63⎠ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2012. № 55 (961) 173