第一类曲面积分第四节

第 四 节
第 十 章
第 一 类 曲 面 积 分
一 、 第 一 类 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质
二 、 第 一 类 曲 面 积 分 的 计 算 法
三 、 五 类 积 分 的 统 一 表 述 及 其 共 性

一 、 第 一 类 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质
1. 问 题 引 入 非 均 匀 曲 面 形 构 件 的 质 量
采 用
M = lim
“ 分 割 , 近 似 , 求 和 ,
取 极 限 ” 的 方 法 , 可 得
n
∑
λ→0
k=
1
ρ(
ξ
k
, η
k
, ζ
k
) Δ
其 中 ρ( x,
y,
z)
表 示 连 续 的 面 密 度 ,
λ 表 示 n 小 块 曲 面 的 直 径 的 最 大
S
k
x
z
o
( ξk
, ηk
, ζ k )
∑
y
值 ( 曲 面 的 直 径 为 其 上 任 意 两 点 间 距 离 的 最 大 者 ).

2. 定 义 10.3 设 函 数 f (x, y, z) 在 分 片 光 滑
的 曲 面 ∑ 上 有 界 . 将 ∑ 任 意 分 成 n 小 块
ΔΣ i , 记 第 i 小 块 的 面 积 为 ΔS
在 第 i 小 块 曲 面 ΔΣ 上 任 取 一 点 M(ξ
η , ζ ),
作 乘 积
并 作 黎 曼 和
f ( ξ , η , ζ ) ⋅ ΔS
i
i
n
∑
i=
1
i
i
f ( ξ
i
, η
i
i
, ζ
i
) ΔS
i
i
,
( i = 1,2, L,
n),
如 果 当 各 小 块 曲 面 直 径 的 最 大 值 λ → 0 时 , 和
的 极 限 总 存 在 , 即 极 限 值 和 曲 面 ∑ 的 分 法 及 点
.
i
i , i i

M i 的 取 法 无 关 , 则 称 该 极 限 值 为 函 数 f (x, y, z)
在 曲 面 ∑ 上 的 第 一 类 曲 面 积 分 或 对 面 积 的 曲 面
积 分 , 记 作
∫∫
Σ
积
分
曲
面
被 积 函 数
被
积
表
达
式
∫∫
Σ
f ( x,
y,
z)dS,
面
积
元
素
n
∑
λ→0
i=
1
i
即
f ( x,
y,
z)dS
= lim f ( ξ , η , ζ ) ΔS
i
i
i.
积 分 和 式

注 1º 当 函 数 f (x, y, z) 在 曲 面 ∑ 上 连 续 时 ,
_
曲 面 积 分 ∫∫
Σ
f ( x,
y,
z)
dS
存 在 .
2º 曲 面 形 构 件 的 质 量 可 以 表 示 为
∫∫
Σ
μ( x,
y,
z)
dS
3º 曲 面 形 构 件 的 质 心 坐 标 可 以 表 示 为
1
1
x = xμ ( x,
y,
z)dS,
y = yμ(
x,
y,
z)dS,
M
M
_
z
∫∫
Σ
1
= zμ(
x,
y,
z)dS.
M
∫∫
Σ
_
∫∫
Σ

4º 当 被 积 函 数 为 常 数 1 时 , 曲 面 积 分
∫∫ dS
Σ
= 曲 面 Σ 的 面 积
5º 当 积 分 曲 面 为 封 闭 曲 面 时 , 曲 面 积 分 可 表 示 为
∫∫
Σ
f
( x,
y,
z)
dS

3. 性 质
(1)
=
α
线 性 性 质 : ∀ α,
β ∈
1
R
[ ]
∫∫ α f ( x,
y,
z)
±
Σ
∫∫ f ( x,
y,
z)dS
±
Σ
βg(
x,
β
∫∫
Σ
y,
z)
g(
x,
d
S
y,
z)
dS
(2)
可 加 性 : 曲 面 ∑由
∑ 1 和 ∑2
组 成
∫∫
Σ
f
( x,
y,
z)
d S =
∫∫
Σ
1
f
( x,
y,
z)d
S
+
∫∫
Σ
2
f
( x,
y,
z)dS

(3) 对 称 性 :
对 面 积 的 曲 面 积 分
∫∫
Σ
f
(
x,
y,
z)
d
S,
对 称 性 的 利 用 类 似 于 三 重 积 分 .
如 : 若
则
∫∫
Σ
f
( x ,
f ( x,
y,
z)dS
y,
⎧0,
⎪
= ⎨
⎪⎩ 2
Σ1 : Σ 在 x ≥ 0的 部 分 .
z ) 在 Σ上 连 续 ,
∫∫
Σ
1
Σ关 于
yoz
面 对 称 ,
f ( −x,
y,
z)
= − f ( x,
y,
z)
f ( x,
y,
z)dS,
f ( −x,
y,
z)
= f ( x,
y,
z)

二 、 第 一 类 曲 面 积 分 的 计 算 法
基 本 思 路 :
求 曲 面 积 分
定 理 10.6 设 f ( x,
y,
z)
转 化
是 定 义 在 光 滑 曲 面
计 算 二 重 积 分
∑ 上 的 连 续 函 数 . Σ : z = z(
x,
y),
( x,
y)
∈ ,
D x y
函 数 z = z( x,
y)
在 上 具 有 连 续 的 偏 导 数 ,
∫∫
Σ
= ∫∫
D xy
f ( x,
y,
z)
dS
D x y
则 有 下 面 的 计 算 公 式
f ( x,
y,
z(
x,
y))
⋅ 2
2
1+
z ( x,
y)
+ z ( x,
y)dxd
y
x
y

∫∫
Σ
S
z
y
x
f
d
)
,
,
(
∑
=
→
Δ
=
n
i
i
i
i
i
S
f
1
0
)
,
,
(
lim
ζ
η
ξ
λ
=
Δ i
S
y
x
y
x
z
y
x
z
x y
D i
y
x
d
)d
,
(
)
,
(
1
)
(
2
2
∫∫ +
+
Δ
x y
i
i
i
y
i
i
x
z
z )
(
)
,
(
)
,
(
1
2
2
σ
η
ξ
η
ξ
Δ
⋅
′
′
+
′
′
+
=
证
如 图 所 示

=
∴∫∫
Σ
S
z
y
x
f
d
)
,
,
( ∑
=
→
n
k
k
k
k
k
λ
η
ξ
z
η
ξ
f
1
0
))
,
(
,
,
(
lim
x y
k
k
k
y
k
k
x
σ
η
ξ
z
η
ξ
z )
)(
,
(
)
,
(
1
2
2
Δ
′
′
+
′
′
+
⋅
由 连 续 性 可 知
⋅
= ∑
=
→
n
k
k
k
k
k
z
f
1
0
))
,
(
,
,
(
lim
η
ξ
η
ξ
λ
x y
k
k
k
y
k
k
x
σ
η
ξ
z
η
ξ
z )
)(
,
(
)
,
(
1
2
2
Δ
+
+
⋅
y
x
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
f
y
x
D y
x
d
)d
,
(
)
,
(
1
))
,
(
,
,
(
2
2
+
+
= ∫∫
∴∫∫
Σ
S
z
y
x
f
d
)
,
,
(

注
若 曲 面
Σ : x = x(
y,
z)
( y,
z)
∈
D
yz
, 则
∫∫
Σ
f
( x,
y,
z)
dS
=
∫∫ f ( x(
y,
z),
y,
z)
⋅ 1 + x y ( y,
z)
+
2
x
2
z
(
y,
z)d
ydz
D yz
2 o
若 曲 面
Σ : y = y(
x,
z)
( x,
z)
∈
D
xz
, 则
∫∫
Σ
f
( x,
y,
z)
d S
1 o .
=
∫∫ f [ x,
y(
x,
z),
z]
1 + yx
+
D xz
2
y
2
z
d
xd
z

例 1 计 算 曲 面 积 分
2
2
2
2
∫∫
Σ
d S
z ,
其 中 ∑ 是 球 面
x + y + z = a 被 平 面 z = h ( 0 < h < a)
截 出 的 顶 部 .
解 ∑ : z = a − x − y ,
2
2
2
D x y
2
2
2
: x + y ≤ a − h
2
=
2 2
1 + z x + z y
a
2
−
a
x
2
−
y
2

∫
=
2π
0 dθ
a .
ln
2π
h
a
a
=
∫∫
−
−
=
D x y
y
x
a
y
x
a
2
2
2
d
d
∫
−
−
2
2
0 2
2
d
h
a
a
ρ
ρ
ρ
2
2
0
2
2
)
ln(
2
1
2π
h
a
a
a
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
= ρ
,
:
2
2
2
y
x
a
z
−
−
=
∑
2
2
2
2
: h
a
y
x
D y
x
−
≤
+
y
x
y
x
a
a
S
d
d
d
2
2
2
−
−
=
∫∫
Σ
∴
z
dS

例 2
z
计 算
2
∫∫
Σ
2
x yzd
S,
= x + y (0 ≤ z
≤ 1).
其 中 Σ为 抛 物 面
z
解
抛 物 面 z
依 对 称 性 知 :
=
x
2 +
y
2
关 于 z轴 对 称 ,
xyz关 于 变 量 x和 y为 偶 函 数 ,
∴
∫∫ =
Σ
xyz dS
4
∫∫
Σ
1
xyz dS,
( 其 中 Σ1
为 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )
x
y

y
x
z
z
S
y
x
d
d
1
d
2
2
′
+
′
+
=
y
x
y
x
d
d
)
(2
)
(2
1
2
2 +
+
=
∫∫
∫∫ =
1
d
4
d
Σ
Σ
S
xyz
S
xyz
2
2
y
x
z +
=
Σ:
∫∫
=
1
d
4
Σ
S
xyz
∫∫ +
+
+
=
1
d
d
)
(2
)
(2
1
)
(
4
2
2
2
2
D
y
x
y
x
y
x
xy
0 }
0,
1,
)
,
{(
2
2
1 ≥
≥
≤
+
= y
x
y
x
y
x
其 中 D

∫∫
Σ
令 u
xyz dS
= 4∫∫
π
2
D
1
= 4∫
dθ∫
0
π
2
0
xy(
x
1
0
ρ
2
2
+
= 2∫
sin 2θ
dθ
∫
= 1 + 4ρ
2
D
y
2
)
1 +
(2x)
cosθ
sinθ
⋅ ρ
1
0
ρ
5
1 +
4ρ
2
2
2
+ (2 y)
1 +
d ρ
1 5 u − 1
u(
)
2 125 5 − 1
= ∫ du
= .
4 1 4
420
2
4ρ
dxdy
2 2
1 = {( x,
y)
x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥
2
0 }
⋅ ρ d ρ

d S
例 3 I = ∫∫
,
2 2 2
x + y + z
z = 0,
z =
Σ
H
解 ( 方 法 1)
2
其 中 ∑ 是 介 于 平 面
之 间 的 圆 柱 面 x + y = R .
Σ : x = R − y , ( y,
z)
∈
1
Σ = Σ1 + Σ 2
2
2
D yz
2
2
z
H
Σ 2
Σ : x = − R − y , ( y,
z)
∈
2
2
2
D yz
D yz
I
=
=
{( y,
z)
y ≤ R,
0 ≤ z ≤ H }.
∫∫
Σ
R
d
2
S
+
z
2
=
2
∫∫
Σ
1
R
d
2
S
+
z
2
x
o
R
Σ 1
y

y
z
O
R
H
D yz
z
y
x
x
S
z
y
d
d
1
d
2
2 +
+
=
D yz
z
y
y
R
x
∈
−
=
Σ
)
,
(
,
:
2
2
1
z
y
y
R
y
d
0d
)
(
1
2
2
2
+
−
−
+
=
z
y
y
R
R
d
d
2
2 −
=
∫∫
Σ
+
=
∴
1
2
2
d
2
z
R
S
I
z
y
y
R
R
z
R
D yz
d
d
1
2
2
2
2
2
∫∫
−
⋅
+
=

z
y
y
R
R
z
R
D yz
d
d
1
2
2
2
2
2
∫∫
−
⋅
+
=
∫
∫ +
−
⋅
=
H
R
z
z
R
y
y
R
R
0 2
2
0 2
2
d
1
d
2
2
y
z
O
R
H
D yz
H
R
R
z
R
R
y
R
0
0
arctan
1
arcsin
= 4 ⋅
.
arctan
2
R
H
π
=

分 析 以 上 将 曲 面 分 为 前 后 ( 或 左 右 ) 两 片 ,
( 方 法 2)
计 算 较 繁 .
取 曲 面 面 积 元 素
d S = 2π
Rdz
则 = ∫ H 2π Rdz
I
0 2 2
R + z
= 2πarctan
H
R
x
z
o
H
z
dz
y

注 如 果 积 分 曲 面 Σ 的 参 数 方 程 为 :
则
∫∫
Σ
f ( x,
⎧x
=
⎪
⎨ y =
⎪
⎩z
=
y,
z)
d
x(
u,
v)
y(
u,
v)
z(
u,
v)
S
( u,
v)
∈
D uv
=
∫∫
D uv
f [ x(
u,
v),
y(
u,
v),
z(
u,
v)]
⋅
∂(
y,
z)
[ ]
∂(
u,
v)
2
+
∂(
z,
x)
[ ]
∂(
u,
v)
2
+
∂(
y,
z)
[ ]
∂(
u,
v)
2
dudv.

( 方 法 3) 2 2 2
Σ: x + y = R (0 ≤ z ≤ H )
其 参 数 方 程 为 :
( θ , z)
∈ D
⎧x
= Rcosθ
⎪
⎨ y = Rsinθ
⎪
⎩z
= z
= {( θ , z)0
≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ H }
θ z
d
S
=
∂(
y,
z)
[ ]
∂(
θ , z)
2
+
∂(
z,
x)
[ ]
∂(
θ , z)
2
+
∂(
y,
z)
[ ]
∂(
θ , z)
2
dθ
d
z
=
Rdθ
d z

∴
I
=
∫∫
Σ
R
d
2
S
+
z
2
=
D θ z
R
R
∫∫ 2
+
z
2
dθ
d
z
=
2π H 1
R∫ θ ∫ 0 2
R +
d
0 2
z
d
z
1 z
H
= 2πR
⋅ arctan = 2πarctan
.
R R
R
H
0

例 4 I = xyz + 1)d S , 其 中 Σ 是 锥 面 z = x + y ,
圆 柱 面
∫∫ (
Σ
2
的 整 个 表 面 .
解
I
∫∫
Σ
Σ = Σ
2
x + y = 2ax
( a >
1
+ Σ
Σ
2
+Σ
+
Σ
关 于 zOx 面 对 称
1
2
3
Σ
0) 及 xOy面 所 围 空 间 立 体
z
= ∫∫ xyzd
S + ∫∫ d S
Σ 1
Σ
Σ
Σ
关 于 y 奇 函 数 2
O
xyzd
S = ∫∫ xyzd
S + ∫∫ xyzd
S
x
3
2
Σ 3
2
y

∫∫
∫∫
Σ
Σ
⋅
+
=
3
0d
0
d
S
xy
S
xyz
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
Σ
Σ
Σ
Σ
+
+
=
=
3
2
1
d
d
d
d
S
S
S
S
I
∑ 的
面 积
0.
=
D xy
y
x
y
x
z
∈
+
=
Σ )
,
(
,
:
(1)
2
2
1
y
x
z
z
S
y
x
d
d
1
d
2
2 +
+
=
y
x
y
x
y
y
x
x
d
d
)
(
)
(
1
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
= y
2d xd
=
Σ 3
Σ 2 Σ 1
x
y
z
O
2a

∴
∫∫ d S
Σ 1
=
∫∫
D xy
2d xd y
=
2πa
2
y
D xy
( 2) Σ = Σ′ + Σ ′
2
2
2 ,
2
2 ,
Σ′ : y = 2ax
− x ( x,
z)
∈
D xz
O
z
2a
x
2
2 ,
Σ ′′
: y = − 2ax
− x ( x,
z)
∈
( 方 法 1) 由 对 称 性 , 得
∫∫
Σ
2
d S =
2
∫∫
Σ′
2
d S
D xz
Σ 2
Σ 1
2a
x
O
Σ 3
y

⎧z
=
⎨
2
⎩x
+
消 去 y
x
y
2
2
2
+ y
= 2ax
⎧z
⎨
⎩x
2
2
= 2ax
2
+ y =
2
2 ,
( z ≥ 0)
O
2ax
Σ′ : y = 2ax
− x ( x,
z)
∈
∴
d S
∫∫
Σ
2
D xz
z
z = 2ax
D xz
2a
Σ
1 y
2 2
a
= + y x z
1
x
+
z
d d = d xd
z
2
2ax
Σ − x
2
a
d S = 2∫∫
d S = 2 ∫∫ 2a d x Od
z y
2
Σ′
ax x
2 D
2 −
xz x
z
x
Σ 3

∫∫ d S
Σ 2
=
2
∫∫
D xz
a
2ax
−
x
2
d
x
d
z
z
z = 2ax
=
2
∫
2a
0
d
x
∫
2ax
a
0 2
2ax
−
x
d
z
O
D xz
2a
x
=
a ax
a∫
2 2
2 x
0
2
2ax
− x
d
2
= (2a)
∫
2a
0
1
1
−
x
2a
d(
x
2a
)
=
4a
2
⋅
( −2
1
−
x
2a
2a
0
)
=
8a
2

( 方 法 2)
由 第 一 类 曲 线 积 分 的
几 何 意 义 , 知
z
∫∫
d S = ∫ x +
Σ 2
= ∫
2π
0
= 2a
∴I
=
2
∫
L
2
y
2
d s
Σ 2
Σ 1
2a
1 + cosθ ⋅ adθ
2a
O y
x Σ
θ 3
dθ
2
cos = 8a L: ⎧x
− a = acosθ
2
⎨
,
⎩ y = asinθ
2 2 0 ≤ θ2
d S + d S + d S = 2πa
+ 8a + πa
≤
.
2π
2π
0
∫∫
Σ
1
∫∫
Σ
2
∫∫
Σ
3

三 、 五 类 积 分 的 统 一 表 述 及 其 共 性
定 积 分 :
二 重 积 分 :
三 重 积 分 :
∫ b a
∫∫
D
∫∫∫
Ω
第 一 类 曲 线 积 分 :
第 一 类 曲 面 积 分 :
f ( x)
d x
f ( x,
f ( x,
∫
L
∫∫
Σ
y)dσ
y,
z)
dv
f ( x,
f ( x,
y)
d s
y,
z)
d
S
背 景
直 杆 构 件 质 量
有 共 同 的
物 理 意 义
平 面 薄 板 质 量
空 间 物 体 质 量
曲 线 构 件 质 量
曲 面 构 件 质 量
当
被
积
函
数
非
负
时

这 五 类 积 分 的 共 性 :
(1) 对 数 量 值 函 数 的 积 分 ;
(2) 数 量 值 函 数 均 定 义 在 有 界 的 几 何 形 体 上 ;
(3) 定 义 积 分 步 骤 相 同 :
分 割 、 近 似 、 求 和 、 取 极 限 ;
(4) 均 为 黎 曼 和 的 极 限 .
因 此 可 以 给 出 上 述 五 种 积 分 定 义 的 统 一 表 述 式 .

定 义 10.4 设 I 是 中 的 一 个 有 界 的 几 何 形 体 ( 直 线 段 、
R n
平 面 闭 区 域 、 空 间 闭 区 域 、 曲 线 段 或 曲 面 ), f (x) 是 在
在 I 上 有 定 义 并 且 有 界 的 数 量 值 函 数 。 将 I 任 意 划 分 为
n 个 “ 子 块 ”: ΔI1 , ΔI2 , L,
ΔI n , 并 将 ΔIi 的 度 量 ( 长 度 , 面 积 ,
体 积 ) 记 作 Δv(
i = 1,, 2 L,
n) , 记 λ = max{ ΔI
的 直 径 }。
i
1≤i≤n
几 何 形 体 的 直 径 可 统 一 定 义 为 该 几 何 形 体 中 两 点 之 间
距 离 的 最 大 值 ). 在 每 个 Δ I 上 任 取 一 点 ,
f ( x ) ⋅ Δv( i = 1,, 2 L,
n)
,
i
i
n
∑
i=
1
f ( x i ) Δv i
i x i
并 作 黎 曼 和
i
作 乘 积

如 果 当 λ → 0 时 , 黎 曼 和 的 极 限 总 存 在 , 即 极 限 值 与 I
的 划 分 方 法 及 点 x i 的 取 法 无 关 , 则 称 此 极 限 为 函 数
f ( x)
在 几 何 形 体 I 上 的 积 分 , 记 作 f ( x)dv,
即
被 积 函 数
积 分 区 域
∫
I
n
∑
f ( x)dv
= lim f ( x ) Δv
被 积 表 达 式
λ→0
i=
1
当 被 积 函 数 为 密 度 函 数 时 , 五 种 积 分 表 示 几 何 形 体
I 的 质 量 .
i
∫
I
i

I 是 闭 区 间 [a, b]→
I 是 平 面 闭 区 域 D→
I 是 空 间 闭 区 域 Ω→
I 是 曲 线 Γ →
I 是 曲 线 Σ
→
∫
Γ
∫∫
Σ
∫ b a
∫∫
D
∫∫∫
Ω
f ( x,
f ( x,
f ( x)
dx
f ( x,
f ( x,
y,
z)
ds
y)dσ
y,
z)
dS
y,
z)
dv
被
积 →[a, b] 的 长 度
函
数
为 →D 的 面 积
常
数
→Ω 的 体 积
1 时
的
几 →Γ 的 弧 长
何
含
义 →Σ 的 面 积

内 容 小 结
1. 定 义 : ∫∫
Σ
f ( x,
y,
z)
dS
lim
∑ f ( ξi
, ηi
, ζ i ) ΔSi
→0
=
λ
2. 计 算 : Σ z = z(
x,
y),(
x,
y)
∈ , 则
: D x y
n
i=
1
∫∫
Σ
f
( x,
y,
z)
dS
=
∫∫
f ( x,
y,
z ( x,
y)
) 2 2
+ z + z d xd y
1 x y
D x y
注 意 : 利 用 球 面 坐 标 、 柱 面 坐 标 、 对 称 性 、 重 心 公 式
简 化 计 算 的 技 巧 .

思 考 题
求 F(
t)
= f ( x,
y,
z)dS,
其 中
∫∫
x
2
+ y
2
+ z
2
= t
2
f
解
(
x,
y,
z)
2
=
2
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
2
0,
2
将 x + y + z =
+
t
y
2
, 当 z≥
2
当 z<
分 成
x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
.
,
z
2 2 2
x + y + z =
2
t
∴
∑2 : z < x + y
∫∫
∑2
2
∑ 1 : z ≥ x + y
2
2
2
f ( x,
y,
z)dS
=
和
.
0.
x
O
2 2
z = x + y
y

;
2
2
2
2
1
t
y
x
D
xOy
≤
+
Σ
为
面 上 的 投 影 区 域
在
,
2
2
2
y
x
t
z
−
−
=
y
x
z
z
S
y
x
d
d
1
d
2
2 +
+
=
∫∫
−
−
+
=
D
y
x
y
x
t
t
y
x
t
F
d
d
)
(
)
(
2
2
2
2
2
因 此
ρ
ρ
ρ
θ
d
d 2
0 2
2
3
2π
0 ∫
∫
−
=
t
t
t
,
,
2
2
2
2
2
2
y
x
t
y
z
y
x
t
x
z
y
x
−
−
−
=
−
−
−
=
.
d
d
2
2
2
y
x
y
x
t
t
−
−
=
.
)π
6
2
5
3
4
(
4
t
−
=

备 用 题
例 1-1 计 算 ( z)dS,
其 中 ∑ 为 平 面 y + z = 5
被 柱 面 x
2
∫∫ x + y +
Σ
+ y
2
= 25 所 截 得 的 部 分 .
解
积 分 曲 面 Σ: z =
5 − y,
投 影 域 :D xy
2
= {( x,
y)
x + y
2
≤
25}
dS
=
1 +
z′
2
x
+
z′
2
y
dxdy
=
1 +
0
+
( −1)
2
dxdy
=
2dxdy

故
∫∫ ( x + y +
Σ
z)
dS
=
2
∫∫
( x
+
y
+
5
−
y)dxdy
D xy
=
2
∫∫ (5 +
x
)dxdy
=
D xy
2π 5
∫ 0 0
2∫ dθ
(5 +
ρ cosθ
) ρ dρ
= 125
2π.

例 1-2 计 算 曲 面 积 分
解
在 xOy 面 上 方 部 分 .
∫∫
Σ
∑在 xOy 面 上 投 影 是
1 2 2
z d S, Σ是 曲 面 z = 1−
( x + y )
2
z
1 2
z = 1 − ( x +
2
y
2
)
圆 域 D :
dS
= 1 +
x
z
2
2 x +
+ y
z
2
2
y
≤ 2;
dxdy
=
1 +
2
x +
y
2
x
dxdy,
o
y
故
∫∫
Σ
zdS
=
+
2
∫∫ (1 − ) 1 + x +
D
x
2
y
2
2
y
2
dxdy

∫∫
Σ
x + y
zdS
∫∫
2
= (1 − ) 1 + x +
2
D
2
2
y
2
dxdy
=
∫
2π
0 dθ
∫
0
2
⎡ 1
ρ 1 ρ
2 ⎤
1 + ρ
2
⎢ −
⎣ 2 ⎥⎦
d ρ
2
= π∫
(2ρ
− ρ ) 1 ρ
2
0
3
+
dρ
=
2
5
(3
3
−
2)π.

例 1-3
设 一 半 球 面
的 面 密 度 与 该 点 到 Oz轴 的 距 离 平 方 成 正 比 .
其 质 心 和 绕 Oz轴 的 转 动 惯 量 .
解
m
设 比 例 常 数 为 k , 则 μ = k(
x +
∫∫
Σ
2
2
z
=
= k ( x + y ) d S = ka
a
2
−
x
2
−
2
y
2 ,
y
其 上 一 点
2
).
2π a ρ
3
dθ
0 2 2
∫ ∫ 0
a
求
dρ
− ρ
=
4 4
πka
3
.
由 对 称 性 知 , x = y = 0.

对 xOy 面 的 静 矩
M xy
故
z
= k ( x + y ) d S=
=
M
∫∫
Σ
M
xy
转 动 惯 量 :
I z
= k ( x + y ) d S =
= 2πka
∫∫
Σ
6
4
5
⋅
2
2
3
=
2
2
2
2
1 ⋅ πka
2
4 ⋅ πka
3
5
4
=
16 πka
6 .
15
k
2π a
d
3
0
ka θ ρ dρ
=
1 ka ,
=
∫ 0 ∫
3 a ,
8
π 5
2
3
质 心 为 ( 0,0, a).
8
2π a aρ
5
dθ
0 2 2
∫ ∫ 0
a
dρ
− ρ

例 2-1 计 算
2
2
∫∫
Σ
2
( x
2
+
2
y
2
+
z
2
) dS
, 其 中 Σ 为 内 接 于 球 面
x + y + z = a 的 八 面 体 | x | + | y | + | z | = a表 面 .
解
被 积 函 数 f ( x,
y,
z)
=
2 2 2
x + y + z ,
关 于 坐 标 面
和 原 点 均 对 称 , 积 分 曲 面 Σ 也 具 有 对 称 性 ,
故 原 积 分
Σ 1:
∫∫
Σ
=
8 ,
∫∫
Σ
1
x + y + z = a, 即 z = a − x − y
( 其 中 Σ 1表 示 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )
dS
=
1 +
z′
2
x
+
z′
2
y
dxdy
=
3dxdy

S
z
y
x
d
)
(
2
2
2
+
+
∫∫
Σ
∫∫
Σ
+
+
=
1
)d
(
8
2
2
2
S
z
y
x
y
x
y
x
a
y
x
D xy
d
3d
]
)
(
[
8
2
2
2
∫∫
−
−
+
+
=
.
3
2
4
a
=

例 2-2 计 算 曲 面 积 分
其 中 ∑ 是 球 面
2
∫∫
Σ
2
( x
2
2
+
x + y + z =
1
2
a
y
2
.
2
+
1
4
z
2
)
dS,
2
解 由 对 称 性 知 : x dS
= y dS
= z dS,
故
∫∫
( x
2
∫∫
Σ
∫∫
Σ
1 1 1 2 2 2
Σ
2
Σ
∫∫
1 2 1 2 1 1
+ y + z S = + + ∫∫
2
) d ( 1 ) x dS
2 4
2 4
= ( 1 + + ) ∫∫ ( x + y
3 2 4
Σ
1 1 4 4 7
= ( 1 + + ) πa = πa
2 4 3 3
4
+
z
) dS
Σ
2

例 3-1 计 算 曲 面 积 分 z d S,
∑ 是 柱 面 x
2
+
y
2
∫∫
Σ
= 4介 于 0 ≤ z
≤
6的 部 分 .
解 应 当 将 柱 面 ∑ 投 影 到 yOz或
xOz平 面 上 。 由 对 称 性 ,
只 需 算 柱 面 在 第 一 卦 限 部 分 的 4倍 。
∑ 1 在 yOz 面 上 的 投 影
D : 0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ 6.
2
1 x = 4 − y
∑ 方 程
− y
则 x y = , x = 0 得
2 x
4 − y
,
∑ 1
o
x
z
H
∑ 1
R
y

z
y
x
x
S
z
y
d
d
1
d
2
2 +
+
=
∫∫
Σ
z dS
2
故
∫
∫
=
2
0 2
6
0
2
y
4 -
d
d
8
y
z
z
,
4
d
2d
2
y
z
y
−
=
∫∫
−
=
D
z
y
y
z
d
d
4
2
4
2
2
= 288π.
0
,
4
2
=
−
−
= x
y
x
y
y
x

例 4-1 计 算
∫∫
Σ
x + y + z
x yzd
S,
= 1
其 中 ∑ 是 由 平 面
与 坐 标 面 所 围 成 的 四 面 体 的 表 面 .
解 设
∑
1 ∑2,
∑3,
, ∑
4
分 别 表 示 ∑ 在 平 面
x
= 0 , y = 0, z =
0,
x
+ y + z
= 1 上 的 部 分 , 则

⎛
⎜
原 式 = ⎜
⎝
=
=
∫∫
Σ
4
x yz d S
∫
1
3 x dx
0
∫∫
Σ
1
+ ∫∫ + ∫∫ + ∫∫
Σ
2
1
∫ − x
0
Σ
3
Σ
y(1
− x −
4
y)dy
⎞
⎟
xyzdS
⎟
⎠
∑
D x y
:
1 −
4 z = x − y
⎧0
≤
: ⎨
⎩ 0
≤
≤
,
y ≤ 1 − x
x
1
=
3
120

例 4-2 计 算 ∫∫
2 2
xd S , 其 中 Σ 是 圆 柱 面 + y = 1
Σ
平 面 z = x + 2及 z = 0所 围 成 的 空 间 立 体 的 表 面 .
x ,
解
∫∫
Σ
=
∫∫
Σ
1
+
∫∫
Σ
2
+
∫∫
Σ
3

其 中 Σ 1: z = 0, Σ 2: = x + 2
2 2
投 影 域 D 1: x + y ≤ 1
显 然 dS
xdxdy
= 0
∫∫
Σ1
∫∫
Σ2
x ,
xdS
( 注 意 :
∫∫
Σ 3
= ∫∫
D1
= ∫∫
y
D1
x
1 +
z , 3
1dxdy
2
=
Σ 投 影 域 选 在 xoz 面 上 .
将 3
xdS
=
∫∫
Σ31
2 2
Σ : + y = 1
0,
x .
= ± 1 − x 分 为 左 、 右 两 片 )
xdS
+
∫∫
Σ32
x dS

∫∫ ′
+
′
+
=
D xz
z
x
xdz
y
y
x
d
1
2
2
2
∫∫
Σ 3
dS
x
∫∫
Σ
=
31
dS
x
∫∫
Σ
+
32
dS
x
∫∫
−
+
=
D xz
z
x
x
x
x
d
d
1
1
2
2
2
∫
∫
−
+
−
=
1
1
2
0
2
d
d
1
2
x
z
x
x
x
π,
=
∫∫
Σ
∴
S
xd
π
π
0
0 =
+
+
= .

例 4-3
计 算 曲 面 积 分
∫∫
Σ
( x
2
+
y
2
+
z
2
)
dS,
∑ 是 曲 面 z
2
=
x
2
+
y
2
介 于
−
1
≤
z
≤
2的 部 分 .
解 设 ∑ 位 于 xOy平 面 下 面 部 分 为 ∑1,
∑1 在 xOy 面 上 投 影 是 圆 域 D 1
2
2
D 1 : x + y ≤ 1, z = − x + y
2
2
,
即 − 1 ≤ z ≤ 0。
dS
=
1 +
2
2
zx + z y dxdy
=
2dxdy;
位 于 xOy 平 面 上 面 部 分 为 ∑2
即 0 ≤ z ≤ 2.
,

∑2 在 xOy 面 上 投 影 是 圆 域 D 2
2
2
D 2 : x + y ≤ 4, z = x + y
2
2
,
dS
=
1 +
2
2
zx + z y dxdy
=
2dxdy;
∫∫
Σ
( x
2
+
y
2
+
z
2
) dS
= ( x + y + z ) dS
+ ( x + y + z ) dS
∫∫
Σ1
2
2
2
∫∫
Σ2
= 2( x y ) dxdy
+ ∫∫ 2( x + y ) dxdy
D1
2
∫∫ +
2
D2
2
2
2
2
2

= 2( x y ) dxdy
+ ∫∫ 2( x + y ) dxdy
D1
2
∫∫ +
2
D2
2
2
=
∫
2π
0
∫
1
0
3
2 dθ
ρ dρ
+
∫
2π
0
∫
2
0
3
2 dθ
ρ dρ
1 1
= 4π⋅
+ 4π⋅
⋅16
4 4
= 17π.