Primjeri ploha

3.2 Primjeri ploha: sfera, pravčaste plohe, rotacione plohe
Sfera
Poznato je da je implicitna jednadžba sfere dana sa:
2 2 2 2
x + y + z = r
.
Pritom se promatra sfera polumjera r > 0 sa središtem u ishodištu.
Postavlja se pitanje, da li je moguće "prijeći" sa implicitne jednadžbe sfere na vektorsku jednadžbu
sfere i kakve su te jednadžbe.
Iz implicitne jednadžbe sfere proizlaze sljedeće eksplicitne jednadžbe
z =± r 2 −x
2 −y
2 ,
y = ± − − , ± − − .
2 2 2
2 2 2
r x z x = r y z
iz kojih uz podesne supstitucije dobivamo sljedeće vektorske jednadžbe:
2 2 2 2 2 2
x uv , = ui ⋅ + v⋅ j+ r −u −v ⋅ k= uv , , r − u −v
(gornja polusfera)
1
2
( ) ( )
x uv ui v j r u v k uv r u
3
( , ) = ⋅ + ⋅ −
2
−
2
−
2
⋅ = ( , , −
2
−
2 2
v )
( , ) = ⋅ +
2
−
2
−
2
⋅ + ⋅ = ( ,
2
−
2 2
v,
v)
( , ) = ⋅ −
2
−
2
−
2
⋅ + ⋅ = ( , −
2
−
2 2
y , v)
( , ) =
2
−
2
−
2
⋅ + ⋅ + ⋅ = (
2
−
2 2
, uv , )
( , ) =−
2
−
2
−
2
⋅ + ⋅ + ⋅ = ( −
2
−
2
−
2
, u,
v )
x uv ui r u v j vk u r u
x uv ui r u v j vk u r x
4
5
− (donja polusfera)
− (desna polusfera)
− (lijeva polusfera)
x uv r u v i u j vk r u − v
(prednja polusfera)
x u v r u v i u j v k r u v
6
(stražnja polusfera)
Svaka od navedenih šest vektorskih jednadžbi predočuje po jednu otvorenu polusferu i one sve
zajedno pokrivaju sferu. Kažemo da su polusfere karte, a skup svih 6 karata se naziva atlas sfere.
95

Uobičajeno je da se sfera polumjera r > 0 sa središtem u ishodištu zadaje sljedećom vektorskom
jednadžbom:
x u, v
= rcosusin v⋅ i+ rsin usin v⋅ j+ rcos v⋅ k = rcosusin v,
rsin
usin v, rcosv
ili
x( uv , ) = r⋅(
cosusin v,sin usin v,cos
) u ∈ 0, 2π
, v ∈ 0,π .
( ) ( )
v , [ ]
Pritom je " u " kut kojeg meridijalna ravnina točke T zatvara sa
radij-vektora točke T sa vektorom k
(tj. z osi)
x uv , = r⋅
cosusin v,sin usin
,cos
‣ Za vježbu, dokažite da je ( ) ( v v ) , u [ 0, 2π
]
regularna parametrizacija sfere.
xz -ravninom, a " v " je kut
∈ , v ∈ 0, π
Torus
je ploha koja nastaje rotacijom kružnice polumjera b > 0 oko kružnice polumjera a > b.
Pritom kružnica polumjera a > 0 leži u ravnini ortogonalnoj s obzirom na kružnicu polumjera b .
Vektorska jednadžba torusa:
x u, v = a+ bcosu ⋅ cos v, a+ bcosu
⋅sin
( v, bsin
u ), uv , [ 0,2π
]
( ) ( ) ( )
∈ , a > b> 0 .
z
y
x
Pravčaste plohe
su one plohe koje možemo dobiti pomicanjem pravca duž neke krivulje.
Neka je I ⊆ , I ≠∅ neprazan interval u skupu realnih brojeva i neka je:
3
α :I→
3
regularna parametrizacija krivulje C u prostoru ,
3
β :I→
proizvoljna vektorska funkcija takva da je β ( u) ≠ 0 za svaki u ∈ I .
x uv ,
= α u
+ v⋅β
u , u ∈ I , v ∈ ,
Tada se definira regularna ploha: ( ) ( ) ( )
koja se naziva pravčasta ploha.
96

Pritom se vektorska funkcija u ≠
β naziva izvodnica, a krivulja C , kojoj je α = α u
( ) 0
u ∈ I vektorska jednadžba, se naziva ravnalica (ili direktrisa) pravčaste plohe.
Primijetimo da iz uvjeta regularnosti krivulje C ... α = α( u)
proizlazi:
α ' u ≠ 0 za svaki u ∈ I .
( )
S druge strane, pravčasta ploha, zadana sa: x( uv , ) = α( u) + v⋅β( u)
je regularna ploha ako je xu× xv
≠0
xu
uv , = α'
u + v β'
u
, u ∈ I , v ∈
za svaki u ∈ I , v ∈ , stoga iz:
xv
uv , = β u
( ) ( ) ⋅ ( ) i ( ) ( )
dobivamo:
⎛ ⎞ x
( ) ( u) ⎟ × β( u)
u x 0
⎜
⎜α v
za svaki u I
' u v
× = + ⋅ β'
≠ ∈ , v ∈ ,
⎟
⎝ ≠0 ⎠ ≠0
što potvrđuje da su pravčaste plohe regularne plohe.
( )
za svaki
Primjeri pravčastih ploha:
(1) Cilindrične (ili valjkaste plohe)
nastaju paralelnim pomakom pravca (izvodnice) duž neke krivulje C (ravnalice).
ravnalica
Najjednostavniji primjer cilindrične plohe je cilindar, koji je zadan vektorskom jednadžbom:
x uv , = cos ,sin uv , , u ∈ 0, 2π
, v ∈ .
-1 0.5 1 -0.5 0 0
0.5
1
-0.5
-1
3
( ) ( u ) [ ]
2
1
0
x u v u u v u u + v⋅( 0,0,1)
.
Primijetimo sljedeće: ( , ) = ( cos ,sin , ) = ( cos ,sin ,0)
α( u)
β( u)
97

Time dobivamo da je jednadžba ravnalice cilindara dana sa: α ( u) = ( cos u,sin u,0)
, u [ 0, 2π
]
što je ujedno vektorska jednadžba kružnice (u xy - ravnini).
Nadalje, iz β ( u) = ( 0,0,1)
β ( u)
(jedinični vektor ), stoga je v⋅ β ( u) = v⋅ ( 0,0,1) = ( 0,0,v)
v
(paralelnog sa osi z).
∈ ,
k zaključujemo da je vektorska funkcija konstantan vektor
, ∈ vektorska jednadžba pravca
= β .
Dakle, imamo da je izvodnica cilindra konstantan vektor i pišemo: β ( u)
Na osnovu rečenog, imamo da se vektorska jednadžba cilindra može pisati u obliku:
, = α u + v⋅β
, u ∈ [ 0, 2π
, v ∈ , gdje je
β konstantan vektor.
Pritom je:
x( u v ) ( )
⎛ ⎞
xu× xv
= ⎜α'
( u)
+ v⋅
β'
⎟×
=
⎜
⎟
⎝ ≠0
= 0 ⎠ ≠0
]
β α' ( u)
β 0 za svaki u ∈[
× ≠ 0, 2π
] , v ∈ .
(2) Čunjaste plohe
proizvodi pravac (izvodnica), koji prolazi nekom fiksiranom točkom i pomiče se
duž krivulje C (ravnalice).
ravnalica
ravnalica (zatvorena krivulja)
Primjer čunjaste plohe je konus, koji je dan sa: x uv v u , v ≠ 1.
Pritom je: ( u)=−
( u)
, α u
( , ) = ( 1− ) ⋅α ( )
× = 1 − ' × ' ≠0
β α ( ) ×
α' ( u)
≠0
te je: xu xv ( v) α ( u) α ( u)
98

Napomenimo da je helikloid također pravčasta ploha.
x uv , = u⋅cos vu , ⋅sin vbv , ⋅ , u ≥ 0 , v ∈ , b = konst.
Vektorska jednadžba helikloida je: ( ) ( )
Lako se vidi da je helikloid regularna ploha, jer je:
xu× xv
= ⋅sin , − ⋅cos , ≠0
.
( b v b v u)
Rotacione plohe
( )
nastaju rotacijom neke regularne krivulje C ... α = α( u) = 0, f ( u) , g( u)
neprazan interval u skupu realnih brojeva te je f ( u ) > 0
Parametrizacija rotacione plohe je dana sa:
x uv , = f u ⋅cos v, f u ⋅sin vg , u
) oko z osi.
( ) ( ( ) ( ) ( )), u ∈ I , v [ 0, 2π
]
∈ .
, u ∈ I (gdje je I
Imamo:
pa je:
xu
( uv , ) = f' ( u)
⋅cos v, f' u ⋅sin vg , ' u
xv
uv , = −f u ⋅sin v, f u ⋅cos v,0
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ( ) )
xu× xv
= f u ⋅ −g' u ⋅cos v, −g' u ⋅sin v, f ' u ≠0,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
što se interpretira da su rotacione plohe regularne plohe.
99