EiM - repetitorij [2009] (2.4 MB) - Katedra - Fsb

Digitalni udžbenik
M. Essert, J. Grilec
ELEKTRICITET i MAGNETIZAM
- fizikalne osnove -
Katedra za strojarsku automatiku
Fakulteta strojarstva i brodogradnje
Zagreb, 2009.

Predgovor
Ovaj udžbenik iz područja elektrotehnike, želi pomoći studentima obnoviti srednjoškolsko
znanje elektrotehnike, koja se uči u fizici, kako bi lakše svladali predmet
ELEKTROTEHNIKA na studiju. Namijenjen je ponajprije studentima Fakulteta
strojarstva i brodogradnje, ali može korisno poslužiti i drugima.
Pojam elektrotehnika, uključuje u sebi dva pojma. Prvi je upoznavanje osnovnih
fizikalnih zakona o elektricitetu i magnetizmu, a drugi njihovu primjenu u tehničkoj
praksi. Upoznati fizikalni zakon najčešće znači opisati posljedice njegova djelovanja,
dok nam uzrok i bit zakona ostaju skriveni. Matematički aparat kojim se u
teoriji služimo i instrumenti kojima mjerimo ovise dakako o dubini naših proučavanja.
Gradivo izneseno u ovom udžbeniku koristi matematički aparat primjeren
srednjoškolskoj matematici.
Elektrotehnika i strojarstvo dva su vrlo bliska znanstvena područja, čije se discipline
znatno isprepleću, od mjeriteljstva do automatskog vo ¯denja proizvodnih
procesa. Budući da su mnoge tehnologije u strojarstvu usko vezane uz elektrotehniku,
ovaj udžbenik može poslužiti i strojarskim stručnjacima u njihovoj svakodnevnoj
praksi.
Gradivo je podijeljeno u pet poglavlja koji obuhvaćaju osnovna elektrotehnička
područja:
1. elektrostatika
2. istosmjerna struja
3. magnetizam
4. prijelazne pojave
5. izmjenične struje
Udžbenik koristi većinu gradiva obra ¯denog u rasprodanom izdanju udžbenika
M. Essert, Z. Valter: "Osnove elektrotehnike", SNL Liber 1991. god., a praktičnu orjentaciju
interaktivnim applet-ima na CD-u zahvaljuje diplomskom radu Valentine
Franković, prof. fizike. Svako poglavlje uključuje i niz zadataka s rješenjima, za
provjeru naučenog gradiva.
Kvalitetan prijenos znanja traži danas i nove alate. Oni su prisutni ponajviše
zahvaljujući računalima i različitim edukacijskim programima. Temeljna značajka
takvih programa je interaktivnost i usmjerenost na fizikalne modele. Računala i
i

PREDGOVOR
programi omogućuju da korisnik više razmišlja o tomu ’što’ i ’zašto’, nego o ’kako’.
Sam izračun - dobivanje numeričkog ili grafičkog rezultata, u takvim je metodama,
programima, manje značajan. Java applet-i su popularni programi koji nude sve
nabrojeno i danas su zahvaljujući Internetu dostupni na mnogim sveučilištima i
školama. Pisani su u besplatnom Java okruženju pa su već od samih početaka (oko
1995.) postali osnovna nastavna pomagala.
Iako postoje applet-i za mnoga područja fizike (i ne samo nje), u ovom radu
pokušalo se prikupiti najbolje uzorke za područje fizikalnih osnova elektrotehnike.
Poštujući autorska prava, svi prikupljeni applet-i prilago ¯deni su našim prilikama
(za slučaj da u nastavi nema mogućnosti korištenja Interneta i/ili da korisnici ne
znaju engleski). Direktni linkovi na pojedinačne Java applete navedeni su u dodatku,
a obra ¯deni i prilago ¯deni appleti za ovaj udžbenik mogu se dohvatiti na adresi:
http://scriptrunner4.fsb.hr/EIM.
Na istom stroju, pod Scriptrunner sustavom nalazi se i digitalni oblik ovog udžbenika.
Kako se s ovim sustavom provodi cjelokupna nastava iz nekoliko kolegija
na našem Fakultetu (od predavanja i vježbi, modeliranja, rada na daljinu, interaktivnog
čitanja nastavnog sadržaja, domaćih zadaća, preko kolokvija i ispita, do
’studentskog kartona’) zamišljeno je da ovo bude prvi od triju udžbenika iz elektrotehnike.
Iduća dva odnose se na gradivo iz kolegija "Elektrotehnika" - prvi za
predavanja, a drugi za auditorne vježbe.
Prednost ovakve realizacije je mogućnost dodavanja interaktivnog sadržaja (’živi’-
PDF udžbenici, zahvaljujući Scriptrunner-u), smanjeni troškovi objavljivanja, besplatno
dohvaćanje s web-a, ljepši višebojni izgled i na koncu, zaštita okoliša (manje
papira, više šuma). Nadamo se da će studenti biti zadovoljni ovakvim pogledam i
još više ga podupirati. To nam pak, s druge strane, omogućuje trajno poboljšavanje
objavljenog materijala, kako u ispravljanju eventualnih pogrešaka, tako i dodovanju
novog, kvalitetnijeg sadržaja.
Električne sheme i slike izradio je student Matija Kovačić i to u TikZ/PGF grafičkom
paketu koji je dio LATEX programskog alata s kojim je složen ovaj udžbenik.
Njemu, a tako ¯der i svim kolegama s Katedre za strojarsku automatiku Fakulteta
strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu, koji su pogledali i komentirali rukopis,
najsrdačnije se zahvaljujemo.
Autori
ii

Sadržaj
Predgovor
Sadržaj
Popis slika
i
iii
vii
1 ELEKTROSTATIKA 1
1.1 Struktura materije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Elementarni naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Električna svojstva tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Električno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Polarizacija i influencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Gustoća električnog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Coulombov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Električni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Električni kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Spojevi kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1 Električno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2 Test naboj u električnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Elektroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.4 Kapacitet pločastog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.5 Applet - prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 ISTOSMJERNA STRUJA 31
2.1 Električni napon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Električni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Električna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Električni otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Promjena otpora s temperaturom . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Ohm-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iii

SADRŽAJ
2.6 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.1 I. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.2 II. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Električni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.1 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.2 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8 Električna struja u ioniziranom plinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 Elektrokemijske pojave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.9.1 Faraday-evi zakoni elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9.2 Primarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9.3 Sekundarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.11 Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.12 Realni naponski izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.12.1 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . 57
2.12.2 Spojevi električnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.13 Mjerenje struje, napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.13.1 Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar . . . . 62
2.14 Rad i snaga istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.15 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.15.1 Ohmov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.15.2 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.15.3 Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu . . . . . . 69
2.15.4 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.15.5 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.15.6 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.15.7 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.16 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 MAGNETIZAM 77
3.1 Magnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1 Magnetsko polje ravnog vodiča . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Magnetske veličine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6 Djelovanje magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6.1 Sila na gibljivi naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6.2 Sila na vodič kojim teče struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.3 Sila izme ¯du dva vodiča kojima teku struje . . . . . . . . . . . 94
3.7 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7.1 Lenz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.7.2 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.8 Me ¯duindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.9 Energija magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.9.1 Izmjenično magnetiziranje željeza . . . . . . . . . . . . . . . 102
iv

3.9.2 Privlačna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.10 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.10.1 Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.10.2 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.10.3 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.10.4 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.11 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 PRIJELAZNE POJAVE 111
4.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.1 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.2 Energija na otporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.3 Nabijanje (punjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.4 Izbijanje (pražnjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.1 Energija zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.2 Ukapčanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.3 Iskapčanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.3 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 IZMJENIČNE STRUJE 125
5.1 Harmonički oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.1 Frekvencija i kružna frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.2 Srednja i efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.1.3 Faza i razlika faza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2 Predočivanje izmjeničnih veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1 Prikazivanje rotirajućim dužinama i vektorima . . . . . . . . 135
5.2.2 Fazni pomak u vektorskom prikazu . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3 Jednostavni krug izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.1 Otpor u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.2 Kapacitet u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.3 Induktivitet u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.1 Serijski RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.2 Serijski RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.3 Serijski RLC -krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4.4 Paralelni RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4.5 Paralelni RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4.6 Paralelni RLC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5 Rezonancija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
v

SADRŽAJ
5.6 Snaga i faktor snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.6.1 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.7 Trofazni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.7.1 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.7.2 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.7.3 Snaga trofaznog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.8 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.8.1 Električni elementi u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . 159
5.8.2 Složeni R, L i C strujni krugovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A WEB-adrese applet-a 165
Literatura 167
Indeks 169
vi

Popis slika
1.1 Sastav atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron) . . . . . . 3
1.3 Ionizacija atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Elektična sila u okolišu nabijenog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Električno polje jednog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Električno polje dvaju naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Homogeno električno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Polarizacija dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Električna influencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10 Sila na naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.11 Ekvipotencijalne linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.12 Električno polje i potencijal kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.13 Simboli kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.14 Serijski spoj triju kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.15 Paralelni spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.16 Mješoviti spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.17 Nabijanje kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.18 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.19 Applet - električno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.20 Test naboj u električnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.21 Elektroskop - oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.22 Model elektroskopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.23 Pločasti kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Istosmjerni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Označavanje naponskih i strujnih veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Simbol i oznaka električnog otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Ovisnost otpora i temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 I=f(V) u metalnom vodiču . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 I Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8 Paralelni spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9 (V,I) karakteristika električne struje u zraku . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.10 Proces elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
vii

POPIS SLIKA
2.11 Leclanché-ov element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.12 Element baterije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13 Olovni akumulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.14 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.15 Vanjska karakteristika realnog izvora napona . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.16 Realni jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.17 Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji električne mreže . . . 55
2.18 Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.19 Realni naponski izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.20 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.21 Serijski spoj realnih električnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.22 Paralelni spoj realnih naponskih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.23 Pojedinačno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu . . . . . . . . . . 61
2.24 Istodobno mjerenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.25 Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom . . . . . . 63
2.26 Proširenje mjernog područja voltmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.27 Proširenje mjernog područja ampermetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.28 Nadomjesna shema ommmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.29 Skala ommetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.30 Ommetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.31 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.32 Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem . . . . . . . . . . 69
2.33 Mjerenje napona, struje i snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.34 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.35 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.36 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.37 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1 Magnetsko polje oko vodiča kojim teče struja . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Primjer uz zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Magnetsko polje ravnog vodiča kroz koji teče struja . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Ovisnost H=f(r) ravnog vodiča kroz koji teče struja . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Magnetsko polje ravnog vodiča . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6 Magnetsko polje zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Magnetiziranje željeza s pomoću indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8 Magnetsko polje ravnog vodiča, prstena i okvira . . . . . . . . . . . . . . 83
3.9 Magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.10 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.11 Petlja histereze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.12 Magnetski materijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.13 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.14 Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem . . 90
3.15 Magnetsko polje naboja u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.16 Gibanje nabijene čestice u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.17 Sila na vodič kojim teče struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.18 Dijelovi galvanometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
viii

3.19 Galvanometar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.20 Sila izme ¯du dva vodiča protjecana strujom . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.21 Definicija jedinice amper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.22 Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.23 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.24 Gibanje vodiča po metalnom okviru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.25 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.26 Me ¯duinduktivna veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.27 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.28 Izmjenično magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . 103
3.29 Razmagnetiziranje jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.30 Privlačna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.31 Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.32 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.33 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.34 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1 RC krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 v=f(t) u RC krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 RL krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 i=f(t) za uključenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5 i=f(t) za isključenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6 LC oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.7 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.8 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.9 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.10 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1 Istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Izmjenična struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3 Periodičke struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4 Periodička struja sa I s r ≈ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5 Harmonička struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6 Referentni smjer struje i pripadajući polaritet napona izvora . . . . . . . 128
5.7 Shematizirani prikazi generatora izmjenične struje . . . . . . . . . . . . 128
5.8 Srednje vrijednosti struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.9 Odre ¯divanje efektivne vrijednosti struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.10 Izmjenična struja i njezina efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.11 Fazni pomaci napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.12 Dobivanje sinusoide pomoću rotirajuće dužine . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.13 Prikaz sinusoida rotirajućim dužinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.14 Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.15 Vektorski prikaz napona i struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.16 Zbroj dviju struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.17 Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu . . . . . . . . . . . . . 138
5.18 Radni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ix

POPIS SLIKA
5.19 Napon i struja kroz radni otpor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.20 Kapacitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.21 Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.22 Induktivitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.23 Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.24 Serijski RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.25 Vektorski dijagram serijskog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.26 Trokuti napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.27 Serijski RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.28 Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.29 Serijski RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.30 Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.31 Trokut otpora serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.32 Paralelni RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.33 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.34 Paralelni RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.35 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.36 Paralelni RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.37 Dijagrami paralelnog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.38 Trokuti otpora i snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.39 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.40 Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.41 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.42 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.43 Električni elementi u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.44 Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . 161
x

1
POGLAVLJE
ELEKTROSTATIKA
Elektrotehnika kao znanost i ljudska djelatnost bavi se izučavanjem i primjenom
električnih i magnetskih pojava. Dio koji se bavi izučavanjemodvo pripada prirodnim
znanostima i čini njezinu fizikalnu osnovu, a dio koji se bavi primjenom čini
nadgradnju i pripada tehničkim znanostima.
U tumačenju električnih i magnetskih pojava polazi se od poznavanja strukture
materije i njezinih električnih svojstava. Ta se svojstva pripisuju postojanju
električnih naboja u osnovnoj strukturi svake tvari. Električni naboji mogu se smatrati
svojevrsnim elementarnim česticama, djelićima materije i nosiocima njezinih
električnih svojstava. Spoznat ih se može preko njihovih vanjskih manifestacija, a
to su električne i magnetske sile. Djelovanje električnih naboja ovisi i o značajkama
prostora oko njih.
Električni naboji mogu u prostoru mirovati ili biti u pokretu. Naboji u mirovanju
nazivaju se statički naboji. Naboji u gibanju mogu imati različite smjerove, a oni u
usmjerenom gibanju čine električnu struju.
Elektrostatika opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko mirujućih
električnih naboja. Djelovanje naboja u prostoru tumači se električnim poljem,
posebnim stanjem prostora, koje svaki naboj stvara u svom okolišu.
U prostoru oko statičkih naboja zbivaju se električne pojave, pa se to stanje
prostora naziva električnim poljem. U prostoru oko naboja u gibanju odvijaju se
uz električne i magnetske pojave. U njemu se pored električnog javlja i magnetsko
polje, a zajednički se naziva elektromagnetskim poljem.
1.1 STRUKTURA MATERIJE
Poznato je da se materija sastoji od tvari u čistom stanju i od onih u obliku smjesa.
Čiste tvari mogu biti jednostavne i složene. Jednostavne se nazivaju kemijskim
elementima, jer se nikakvim kemijskim postupkom ne daju razložiti na jednostavnije.
Složene pak tvari nastaju spajanjem elemenata, imaju potpuno nova
svojstva i nazivaju se spojevi. Smjese su sastavljene od različitih elemenata i spojeva.
1

1. ELEKTROSTATIKA
Najsitnije su čestice elementa koje još predstavljaju element atomi. Danas je
poznato 105 elemenata, a time i 105 različitih vrsta atoma. Najmanji me ¯du njima
je atom vodika i može ga se zamisliti kao kuglicu promjera 2 · 10 −10 m, a najveći je
atom cezija, promjera 5,3·10 −10 m. Veličina svih ostalih atoma kreće se u spomenutim
granicama.
Svi atomi izgra ¯deni su od elementarnih čestica, a njihovu gra ¯du utvrdili su fizičari
E. Rutherford i N. Bohr. Svaki atom sastavljen je od jezgre i omotača (slika
1.1). U središtu atoma na vrlo malom prostoru zgusnute su elementarne čestice
koje čine njegovu jezgru. To su protoni, neutroni i ostale čestice. Oko jezgre atoma
kreću se velikim brzinama elektroni tako da čine omotač oko nje.
Elektroni su elementarne čestice koje posjeduju negativni električni naboj. Masa
elektrona je oko 1836 puta manja od jedinice atomske mase, odnosno mase koju
ima najmanji atom, atom vodika.
Protoni su elementarne čestice koje posjeduju naboj jednak po veličini naboju
elektrona, ali suprotnog predznaka. Masa protona približno je jednaka jedinici
atomske mase.
omotač
elektroni (+ naboj)
atom
protoni (- naboj)
jezgra
neutroni
ostale čestice
SLIKA 1.1: Sastav atoma
Količina naboja koju posjeduju elektron i proton naziva se elementarni naboj,
jer ga u prirodi nema manjeg.
Neutroni nemaju električnog naboja, a masa im je približno jednaka masi protona,
odnosno jedinici atomske mase. Ostale čestice u jezgri kao npr. pozitron,
mezon, neutrino i hiperon pojavljuju se samo povremeno i brzo se raspadaju. Pri
raspadanju pretvaraju se jedne u druge i bez značenja su za električne pojave.
U normalnim uvjetima broj elektrona u omotaču jednak je broju protona u jezgri,
što znači da svaki atom sadrži jednaku količinu pozitivnog i negativnog naboja
i promatrano izvana električki je neutralan.
Dimenzije elektrona i protona nije moguće pouzdano odrediti, jer te čestice nemaju
oštre granice. Nije ih moguće ni vidjeti, već je moguće u odre ¯denim uvjetima
vidjeti i snimiti tragove koje ostavljaju pri prolazu kroz odre ¯dena sredstva. Iz tih
tragova moguće je odrediti njihovu brzinu, energiju, masu i naboj.
Izme ¯du protona, neutrona i ostalih čestica u jezgri djeluju vrlo jake sile koje ih
drže na okupu. To su nuklearne sile. Izme ¯du protona i elektrona, me ¯dutim, postoje
električne sile koje zajedno s nuklearnim drže atom jednom cjelinom.
Gibanje elektrona u atomu ima složen karakter, jer oni pored gibanja u omotaču
istovremeno rotiraju i oko vlastite osi. Ta rotacija naziva se elektronski spin. Uz to
2

Struktura materije
se mijenja i položaj omotača u odnosu na jezgru.
Atomi različitih elemenata me ¯dusobno se razlikuju po broju protona u jezgri i
broju elektrona u omotaču. Tako atom vodika kao najjednostavniji ima jedan proton
u jezgri i jedan elektron u omotaču. Atom helija ima dva protona i dva elektrona,
litija tri protona i tri elektrona itd.
Atomi istog elementa mogu se me ¯dusobno razlikovati samo po broju neutrona.
Pritom imaju isti atomski broj jer posjeduju isti broj protona, ali se razlikuju u masi
zbog različitog broja neutrona. Takvi atomi se nazivaju izotopi. Najsloženiji atom je
izotop urana U koji ima 146 neutrona, 92 protona i 92 elektrona. Neke jednostavnije
primjere modela atoma prikazuje slika 1.2.
Jedino je jezgra atoma običnog vodika bez neutrona, dok jezgre svih ostalih
atoma pored protona sadrže i neutrone.
Svi elektroni u omotaču nemaju jednaku energiju. S obzirom na sadržaj energije
pojedinih elektrona u atomu, elektroni se mogu u omotaču raspodjeliti u 7 ljusaka
ili ovojnica.
e
e
p
L
K
p
n
p
n
e
vodik 1 1 H
helij He
litij Li
SLIKA 1.2: Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron)
Te se ljuske prema svojem redoslijedu označavaju slovima K , L, M, N , O, P i
Q, pri čemu se ljuska najbliža jezgri označava s K , a najudaljenija s Q. Elektroni u
ljuskama bližim jezgri imaju energiju manju od onih u udaljenijim ljuskama. Vanjska
ljuska sadrži najviše do 8 elektrona, a unutrašnje do 2 · n 2 , gdje je n broj ljuske
računajući od jezgre. Na slici 1.2 prva dva atoma imaju jednu, a treći dvije ljuske.
1.1.1 ELEMENTARNI NABOJ
U prirodi, dakle, postoje dvije vrste elementarnih naboja, jednima je dogovorno
pridodan naziv ’pozitivni’ (kod protona), a drugima ’negativni’ (kod elektrona).
Iako je masa protona veća od mase elektrona, njihov naboj je po apsolutnom iznosu
jednak i iznosi:
Q 0 = 1,6 · 10 −19 As
3

1. ELEKTROSTATIKA
Veličinu elementarnog naboja utvrdio je 1917. god. fizičar R. A. Millikan, a
izražava se u ampersekundama [As] ili kulonima [C ].
Proton je čvrsto vezan u jezgri i pojavljuje se slobodan samo u reakcijama me ¯du
jezgrama, nuklearnim reakcijama. U tim reakcijama dolazi do promjene sadržaja
jezgre, a traju vrlo kratko.
Elektron u normalnim uvjetima postoji i slobodan, jer se u procesu ionizacije
atoma može osloboditi veze s jezgrom. Njegovo sudjelovanje u električnim pojavama
je stoga aktivnije.
Elektroni u atomu mogu posjedovati samo odre ¯denu konačnu količinu energije
i gibati se putanjama odre ¯denim njihovom energijom. Oni nastoje zaposjesti putanje
koje odgovaraju najnižoj energetskoj razini i popunjavaju ljuske bliže atomskoj jezgri.
Takav se atom nalazi u normalnom stanju.
Dovo ¯denjem energije atomu u obliku npr. topline ili svjetlosti, postiže se njegovo
uzbu ¯deno stanje, pri čemu elektroni mogu primiti toliko energije da mogu
promijeniti ljusku i prijeći u ljuske udaljenije od atomske jezgre.
Mogu se čak i osloboditi veze s jezgrom i napustiti atom. Obratno, elektroni
mogu izvana biti ubačeni u putanje oko jezgre. Postupak koji vodi do promjene
broja elektrona naziva se ionizacijom.
Ako elektron napusti atom, narušava se nabojska ravnoteža atoma, jer ukupni
pozitivni naboj protona postane veći od ukupnog negativnog naboja preostalih
elektrona. Atom izvana više nije neutralan, a zbog prevladavanja pozitivnih naboja
postaje pozitivni ion. Ako me ¯dutim u atom u ¯de jedan elektron i time ukupni negativni
naboj elektrona postane veći od ukupnog pozitivnog naboja protona, atom
postaje negativni ion (slika 1.3).
atom
e
e
atom
pozitivni ion
negativni ion
SLIKA 1.3: Ionizacija atoma
Svaka kemijska veza temelji se na razmjeni elektrona me ¯du atomima. U skupini
atoma elektroni mogu istovremeno i u jednakoj mjeri pripadati svim atomima u
njoj. Kako i skupina atoma može biti izvrgnuta procesu ionizacije, ionima se smatraju
električki nabijeni atomi ili njihove skupine.
Dok negativni naboj u normalnim uvjetima može biti prisutan ili kao naboj
elektrona ili kao naboj negativnih iona, pozitivni naboj prisutan je samo kao naboj
pozitivnih iona.
4
1.1.2 ELEKTRIČNA SVOJSTVA TVARI

Električno polje naboja
Pokretljivost i gustoća naboja nastalih ionizacijom, utječe na osnovno električno
svojstvo tvari - električnu vodljivost.
Tvari koje se odlikuju velikom električnom vodljivošću nazivaju se vodičima. U
njih se ponajprije ubrajaju metali i njihove legure. To su tvari s kristalnom strukturom,
kojih se atomi me ¯dusobno povezuju metalnom vezom. Pri tom vezivanju
javlja se veliki broj slobodnih elektrona koji se lako stavljaju u gibanje i pritom
nailaze na razmjerno mali otpor u kristalnoj rešeci. To su kruti vodiči.
Vodičima tako ¯der pripadaju elektroliti i vodljivi plinovi. Elektroliti su soli odnosno
krute tvari kristalne strukture s ionskom vezom me ¯du atomima, te kiseline i lužine
otopljene u vodi. Pri tom otapanju javlja se odre ¯deni broj suprotno nabijenih iona.
Slično se stanje javlja i kod nekih plinova.
Elektrolite i vodljive plinove za razliku od metala odlikuje istovremena pokretljivost
i iona i elektrona. Pri gibanju iona javlja se i gibanje materije, čega pri gibanju
elektrona nema. Oni se stoga za razliku od krutih nazivaju ionskim vodičima.
Uz vodiče postoje i tvari koje se odlikuju vrlo malom ili gotovo nikakvom električnom
vodljivošću. Te se tvari nazivaju izolatorima ili dielektricima. U njih se
ubrajaju krute tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi me ¯dusobno povezuju
kovalentnom vezom. U toj vezi elektroni su čvrsto vezani uz jezgre fiksirane u
kristalnoj rešeci. Pored krutih tvari s kristalnom strukturom u izolatore se ubrajaju
i neke tvari nekristalne strukture kao npr. guma, papir, staklo, mineralna ulja,
čista voda i nevodljivi plinovi, te vakuum.
Me ¯du tvarima s kristalnom strukturom nalaze se i tvari u kojih veza me ¯du atomima
može biti bliska i kovalentnoj i ionskoj vezi. Te se tvari odlikuju znatno manjom
vodljivošću nego što je imaju vodiči, ali većom od one izolatora, pa se nazivaju
poluvodičima. Vodljivost im je jako ovisna o vanjskim fizičkim i kemijskim utjecajima.
Tu se ubrajaju npr. olovni sulfid i neki spojevi silicija, germanija i selena.
Slobodni elektroni u krutim vodičima gibaju se u prostoru izme ¯du atoma kaotično,
bez rezultatntnog smjera, što podsjeća na gibanje molekula plina. Pritom je njihov
statistički raspored takav da je vodič, izvana promatrano, električki neutralan.
Usmjereno gibanje slobodnih elektrona javlja se u vodiču tek pod vanjskim utjecajem,
kojim se elektronu dodaje usmjerena komponenta. Srednja brzina kaotičnog
gibanja elektrona u vodiču reda je veličine 10 6 m/s, a brzina njihova usmjerenog
gibanja 10 −2 m/s.
Pri prolazu struje kroz pojedine tvari mogu se ostvariti toplinski, magnetski,
kemijski, svjetlosni i fiziološki učinci. Oni se mogu vrlo uspješno koristiti i njima se
bavi tehnički dio elektrotehnike. Toplinski učinci koriste se u elektrotermiji, magnetski
kod električnih strojeva, kemijski u elektrolizi, a fiziološki u djelovanju električne
struje na žive organizme.
1.2 ELEKTRIČNO POLJE NABOJA
Proučavanje elektriciteta povijesno se bilo započelo proučavanjem sila koje se uočavaju
izme ¯du nabijenih, elektriziranih tijela. Najpoznatiji način elektriziranja (odvo-
5

1. ELEKTROSTATIKA
¯denja ili dovo ¯denja naboja nekom tijelu) bio je trenjem. Analiza uočenih sila dovela
je do zaključka da u električnim pojavama postoje dvije električne veličine: naboj i
polje. Električni naboj javlja se kao svojstvo čestica, a električno polje se zamjećuje
kao polje sila oko nabijenih čestica, oko naboja.
A. Coulomb je još 1785. godine uočio i formulirao osnovni zakon o sili izme ¯du
električki nabijenih tijela. Coulombova sila oblikom se izraza podudara s Newtonovom
gravitacijskom silom, samo što u njoj umjesto masa dolaze električni naboji,
a s obzirom da mogu biti i pozitivni i negativni, slijedi da se elektrizirana tijela mogu
i odbijati, a ne samo privlačiti.
Zakon se može eksperimentalno potvrditi samo za silu izme ¯du vrlo malih električnih
tijela, koja se mogu smatrati matematičkim točkama (tzv. točkasti naboj ili
test-naboj; eksperimentalno: nabijena kuglica). Isto tako prilike postaju jednostavne
za proučavanje i mjerenje kad se točkasti naboj na ¯de u okolišu velikog, na
primjer metalnog, nabijenog tijela (slika 1.4). Neka se pretpostavi da su i tijelo i
kuglica nabijeni pozitivnim električnim nabojem. Pokusom se opaža da je sila na
nabijenu kuglicu to veća što je veći iznos Q naboja kojim je nabijena i to u bilo kojoj
točki prostora.
P 2
+
P 3
+
+
+
+
+ +
+
P 1
+ +
SLIKA 1.4: Elektična sila u okolišu nabijenog tijela
Ako se pak, uz neizmjenjen naboj kuglice, mijenja njezin položaj oko metalnog
tijela (P 1 , P 2 , P 3 ,. . . ) sila na kuglicu imat će općenito različitu veličinu i smjer.
Sila ovisi dakle i o fizikalnoj veličini stvorenoj prisutnošću nabijenog tijela. Ta
se veličina zove električno polje nabijenog tijela i njen iznos označuje se s E. Sila na
točkasti naboj može se prema tome izraziti umnoškom dviju nezavisnih veličina:
gdje su:
Q - naboj [As]
E - jakost električnog polja [V/m]
F = Q · E [N ] (1.1)
Električno polje zamjećuje se dakle, kao polje sila oko nabijenih čestica. Kad
se u okolišu nekog naboja nalazi više drugih naboja, tada se ukupna sila na taj
6

Električno polje naboja
naboj može dobiti superpozicijom, tj. dodavanjem pojedinih sila svakog od okolnih
naboja po smjeru i po iznosu (vektorski zbroj). Električno polje je rezultat djelovanja
svih naboja koji se nalaze u nekom prostoru (unošenjem dodatnog naboja u
taj prostor mijenja se i polje).
Jakost električnog polja E, u nekoj točki jednaka je omjeru sile F na naboj (postavljen
u tu točku) i veličine naboja Q, a smjer polja jednak je smjeru koji bi imala
električna sila na pozitivni naboj postavljen u tu točku. J
Jakost polja u odre ¯denoj točki prostora može se odrediti, poznavajući silu F na
naboj Q (doveden u tu točku) s pomoću jednadžbe
E = F Q
[V /m]
Jedinica za jakost električnog polja je volt po metru (V /m).
Silnice električnog polja su linije po kojima bi se, pod djelovanjem električne
sile u polju, gibao pozitivni naboj. Silnice izlaze (izviru) iz pozitivnih naboja i usmjerene
su prema negativnim nabojima u kojima završavaju (poniru). Gustoća silnica
razmjerna je gustoći električnog polja.
Obično se pod pojmom ’električno polje’ misli na ’jakost električnog polja’, tj.
na iznos vektora. Budući da se sila u svakoj točki općenito mijenja (po smjeru i/ili
iznosu), znači da se i polje mijenja. Odredi li se polje u svakoj točki prostora, može
se izravno iz izraza (1.1) izračunati sila na bilo koji električni naboj koji se dovede u
bilo koju točku tog prostora. Odavde se razabire praktična korist električnih polja,
koja se zbog toga i grafički predočuju.
Električno polje nije rezultat samo nabijenog tijela, nego i svakog naboja posebno.
Budući da predstavlja polje sila, dakle vektorsko polje, može se predočiti linijama
polja ili silnicama. Smjer električnog polja jednak je smjeru djelovanja električne
sile na pozitivan naboj (slika 1.5), pa je u okolišu pozitivnog naboja suprotan
od onog u okolišu negativnog naboja. To se vidi po vektoru sile na test naboj koji je
doveden u njihov okoliš.
a) električno polje pozitivnog naboja b) električno polje negativnog naboja
SLIKA 1.5: Električno polje jednog naboja
7

1. ELEKTROSTATIKA
Električno polje dvaju naboja prikazuje slika 1.6. Tu je polje u svakoj točki vektorski
zbroj polja iz slike 1.5. Tangenta u svakoj točki silnice pokazuje pravac djelovanja
sile. I ovdje se ta sila zorno uočava kao vektor sile test naboja.
Dugo vremena su polja bila shvaćana kao matematičke konstrukcije kojima su
se pregledno mogle prikazati sile u okolišu električnih naboja. Realnim su smatrane
samo sile i naboji. Zahvaljujući Maxwell-u i Faraday-u, polja dobivaju realna obilježja,
ništa manje stvarna nego su vidljivi mehanički predmeti koji nas okružuju.
Dokaze o opstojanju takvih polja iznijeli su proučavanjem elektromagnetskih valova.
a) naboji suprotnog polariteta
b) naboji istog polariteta
SLIKA 1.6: Električno polje dvaju naboja
Tu naboji nemaju više svoja primarna značenja, već polje. Naboji postaju samo
mjesta u prostoru u kojima izviru ili poniru električne silnice. Za pozitivan naboj
kaže se da je izvor, a za negativan da je ponor električnog polja (slika 1.6).
Za električno polje veli se da je homogeno ako u svakoj točki ima jakost jednakog
inteziteta i smjera. Sila na dovedeni pozitivni naboj +Q u homogeno električno
polje (slika 1.7) je u smjeru polja, a sila na negativni naboj −Q suprotna je smjeru
polja. Budući da i dovedeni električni naboj stvara vlastito električno polje, redovito
se pretpostavlja da je iznos tog naboja malen, pa je njegovo djelovanje zanemarivo.
Polje oko elektroda, vodljivih tijela izoliranih od okoline, počinje na pozitivnim i
završava na negativnim nabojima smještenim na površini. Budući da se naboji kojim
je elektroda nabijena (zbog istog polariteta) me ¯dusobno odbijaju, sav se naboj
rasporedi po površini, pa u unutrašnjosti elektrode nema električnog polja. Svojstvo
električnih polja da završavaju na površinama vodiča koristi se kod zaštite tijela
od djelovanja električnih polja zastorima od metalnih limova ili metalnih mreža.
To je načelo tzv. Faraday-evog kaveza.
8
1.2.1 POLARIZACIJA I INFLUENCIJA

Električno polje naboja
+
+
F,+Q
+ +
+
⃗E
−
−
−
F,−Q
− −
+
+
−
−
SLIKA 1.7: Homogeno električno polje
Kao neposredni rezultat djelovanja sile u električnom polju uočavaju se dvije važne
pojave: polarizacija dielektrika u izolatoru i influencijski učinci u vodljivim tijelima.
Statička električna polja pri mirujućim nabojima moguća su samo u električki
nevodljivim sredstvima, tj. izolatorima. Izolatori se stoga nazivaju i dielektrici
(grčki: dia - kroz), jer kroz njih djeluju električne sile.
U njima normalno nema slobodnih naboja. Ako se dielektrici unesu u električno
polje, u njima može doći samo do odre ¯denog razmještanja naboja u atomima
i molekulama: pozitivni naboji se malo pomaknu u smjeru polja, negativni u
suprotnom, stvarajući tako dipole. Ta je pojava nazvana polarizacija (slika 1.8).
+
+
+
+
⃗E
−+ −+ −+ ... −+
−+ −+ −+ ... −+
......
−
−
−
−
+
+
−+ −+ −+ ... −+
−
−
SLIKA 1.8: Polarizacija dielektrika
S druge pak strane, djelovanje polja na vodiče, koji imaju slobodne naboje, manifestirat
će se u razdvajanju naboja suprotnog predznaka.
Ta se pojava zove influencija (slika 1.9). Količina influenciranog naboja (razdvo-
9

1. ELEKTROSTATIKA
jenog) jednaka je količini naboja koje je influenciju izazvalo (slučaj a).
+
⃗E
−
+
⃗E
−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a) pod 90 o +
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
+
+
−
−
−
−
α
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
b) pod 45 o
−
−
−
−
−
SLIKA 1.9: Električna influencija
Može se pokazati da količina influenciranog naboja ovisi i o površini na koju
je polje djelovalo. Metalne pločice postavljene u homogeno polje na slici 1.9 b)
pod kutem od 45 0 , zatim razdvojene u polju, pa izvučene iz polja, primit će svaka
otprilike 71% naboja u odnosu na pokus a).
1.2.2 GUSTOĆA ELEKTRIČNOG TOKA
Sve silnice koje izlaze iz nekog naboja Q, čine u prostoru oko naboja električni tok
Φ. Radi lakšeg proučavanja pojava u polju pri različitim dielektricima uvodi se nova
vektorska veličina D. Istog je smjera kao i jakost polja, a iznos joj je jednak plošnoj
gustoći influenciranog naboja koji bi se na vodiču u toj točki električnog polja izdvojio,
inducirao. Naziv tog vektora je gustoća električnog toka, dielektrični pomak,
ili električna indukcija.
Gustoća električnog toka D u nekoj točki prostora razmjerna je jakosti polja E:
D = ε · E (1.2)
Faktor razmjernosti ε, naziva se dielektričnost (ili dielektrična konstanta) i značajka
je tvari u kojoj se električno polje nalazi. Dielektričnost vakuma je ε 0 = 8,85 ·
10 −12 [As/V m].
Dielektričnost tvari iskazuje se pomoću dielektričnosti vakuma i relativne dielektričnosti
ε r :
ε = ε 0 · ε r
10

Električno polje naboja
Relativna dielektričnost ε r je značajka pojedine tvari koja pokazuje koliko puta
je veća gustoća električnog toka u toj tvari, nego što bi, uz istu jakost polja, bila u
vakumu. Relativna dielektričnost ε r je bezdimenzijski broj i za većinu materijala
manji je od 10 (3 za gumu, 6 za porculan, 2 − 4 za staklo), u nekim keramičkim
masama do 100, a najveće vijednosti idu čak i do 10000.
Poznavanjem naboja, geometrije tijela i materijala u prostoru električno je polje
u svakoj točki potpuno odre ¯deno.
Primjerice, uz naboj na jednoj ploči Q i površinu ploče A, za gustoću električnog
toka D u homogenom polju, prema slici 1.7 vrijedi:
D = Q A
U slučaju kugle polumjera R 0 nabijene nabojem Q površinska gustoća naboja
je iz razloga simetrije istog iznosa u svakoj točki površine:
D =
Q
4R 2 0 π
[ C
m 2 ]
(1.3)
1.2.3 COULOMBOV ZAKON
Sila F kojom električno polje jakosti E stvoreno od naboja Q djeluje na točkasti
naboj Q ′ (u točki A, slika 1.10 a) jednaka je:
1
gdje je k =
konstanta.
4π · ε 0 · ε r
F = Q ′ · E = Q ′ Q ·
4πεr 2 = k · Q ·Q′
r 2 [N ] (1.4)
Izraz (1.4) zove se Coulombov zakon, a dobiven je povezivanjem izraza (1.1),
(1.2) i (1.3).
+Q
r
+Q’
A
⃗E,⃗F
-Q 3
⃗E 3
+Q 2
+Q 1
⃗E 1
⃗ E r ez
A ⃗E 2
⃗ E 1,2
SLIKA 1.10: Sila na naboj
11

1. ELEKTROSTATIKA
Budući da je ε u nazivniku izraza (1.4), očevidno je da se sila izme ¯du dvaju
naboja smanjuje, ako se izolator zamijeni s nekim veće dielektričnosti. Ovisnost
električnih sila o prisutnosti materije jedan je od osnovnih utjecaja materije izolatora
na prilike u električnom polju.
Ako se u prostoru nalazi više točkastih naboja, kao na primjer +Q 1 , +Q 2 i −Q 3
na slici 1.10, jakost polja u nekoj točki A odre ¯duje se vektorskom superpozicijom
jakosti polja svakog pojedinog naboja. Sila na neki naboj Q A u točki A imala bi
iznos i smjer prema (1.4) jednak F = Q A · E r ez .
1.3 ELEKTRIČNI POTENCIJAL
Odre ¯divanje jakosti polja u nekoj točki kao rezultat djelovanja više polja pojedinačnih
naboja, na primjer naboja na elektrodama, zahtijeva duži račun zbog vektorske
prirode polja. Očevidna je potreba za jednostavnijom, lako mjerljivom skalarnom
veličinom, koja bi ipak pružala bitne informacije o prilikama u električnom
polju. Tu potrebu, osobito u pogledu energetskih odnosa, zadovoljava električni
potencijal.
Kad se naboj na ¯de u električnom polju jakosti E, na njega djeluje sila F prema
(1.1). Ako se naboj giba po putanji s, sila će na putu d s obavljati rad:
dW = F · d s · cos(α) = Q · E · d s · cos(α) (1.5)
gdje je α kut izme ¯du putanje naboja i smjera polja (silnice) u promatranoj točki.
Ako se naboj giba po silnici, kut α = 0. Naboj se giba dok na njega djeluje sila, tj.
dok se nalazi pod djelovanjem polja. Sila iščezava i naboj se prestaje gibati tek u ∞,
gdje i polje poprima iznos 0. Ukupni rad kojeg naboj obavi gibajući se iz neke točke
polja A do ∞ iznosi:
W =
∫ ∞
0
Q · E · d s · cos(α)
Rad koji naboj Q može obaviti krećući se do ∞ očevidno je važna značajka te
točke. Ako se taj rad podijeli s nabojem Q, dobiveni omjer ne ovisi o naboju, nego
predstavlja energetski potencijal neke točke polja i naziva se električni potencijal.
ϕ = W ∫ ∞
Q = E · d s · cos(α) = −
A
∫ A
∞
∫
E · d s · cos(α) =
Granice integracije ispuštaju se, jer A može biti bilo koja točka.
Jedinica za potencijal je volt [V ], a važne značajke potencijala su:
E · d s · cos(α) (1.6)
• dvije su točke na istom potencijalu ako izraz (1.5) daje za svaku isti iznos.
Takve točke zovu se ekvipotencijalne točke.
• oblik putanje s od točke polja A do ∞ ne utječe na iznos (1.6) potencijala
12

Električni potencijal
• ako putanja ima istu početnu i završnu točku, onda je obavljeni rad jednak
nuli, tj.
∮
E · d s = 0
,
• rad potreban za gibanje naboja po točkama istog potencijala jednak je nuli
(α = 90 0 ) (slika 1.11),
• linije (plohe) koje čine točke istog potencijala okomite su na silnice (smjer
polja),
• potencijalna energija koju ima naboj u nekoj točki polja iz (1.6) iznosi jednostavno
W = Q · ϕ = 0
• poznavajući potencijale bliskih točaka moguće je iz (1.6) izračunati jakost
polja:
dϕ
E = −
d s · cos(α) = − dϕ
dl
gdje je dl element silnica u smjeru polja
• polje je uvijek usmjereno od točke višeg potencijala prema točki nižeg potencijala.
Analogne prilike postoje i u mehanici. Tijelima na istoj razini pripisuje se jednaka
"potencijalna energija". Ako se tijelo spusti pod utjecajem gravitacijske sile,
na novoj razini pripisuje mu se energija niža za onoliko koliko se rada dobije kod
tog spuštanja. Pomaci tijela po putu okomitom na smjer djelovanja sile ne mijenjaju
razinu i ne daju rad.
Slično se i naboju u električnom polju, a i samim točkama u kojima se naboj
može naći, mogu pripisati različite potencijalne energije, odnosno energetske razine.
Opravdano je početni nivo potencijalne energije uzeti u beskonačnosti. Tamo je
jakost električnog polja E jednaka 0 i nema sile na naboj, pa niti promjene energije
pri pomicanju. Ako se pozitivni naboj Q dovede iz beskonačnosti u neku točku
električnog polja izvršeni rad jednak je elektrostatskoj potencijalnoj energiji u toj
točki. Rad je pritom jednak nuli za elementarne pomake okomite na smjer polja.
Ako bi pak pozitivan naboj pod utjecajem polja bio odveden u beskonačnost, na
tom putu bi se dobio (a ne utrošio) rad. Omjer izme ¯du rada potrebnog da se naboj
Q iz bskonačnosti dovede u neku točku polja i naboja Q na kome je rad izvršen zove
se električni potencijal te točke.
ϕ = W Q = ∫ ∞
A
Q · E · cos(α) · d s = − −Q ∫ ∞
A
E · cos(α) · d s ∫
= −
Q
E · cos(α) · d s (1.7)
Potencijalna energija naboja Q u nekoj točki električnog polja lako se izražava
pomoću potencijala ϕ te točke i iznosa naboja:
W = Q · ϕ
[J]
13

1. ELEKTROSTATIKA
Prema tomu, ako se kod pomaka dl u smjeru djelovanja polja od bilo koje točke
potencijala ϕ do bilo koje točke potencijala ϕ 1 , potencijal promijeni za
ϕ 1 − ϕ = −dϕ = E · dl (1.8)
onda iz gornjih izraza (1.7) i (1.8) slijedi i osnovni izraz za jakost polja izražen s
pomoću potencijala:
E = − dϕ
dl
(1.9)
Razlika potencijala dviju točaka u električnom polju zove se napon i označuje se
s V (američka varijanta) ili s U (njemačka varijanta). Napon je jedan od najvažnijih
pojmova u elektrotehnici i za razliku od E lako se mjeri.
Treba uočiti da bi rad izme ¯du dviju točaka u električnom polju E bio isti bez
obzira na krivulju s po kojoj bi se naboj gibao. Drugim riječima, to znači da rad
ovisi samo o razlici potencijala, tj. naponu:
∫ ∫
E s · d s = E s · d s = ... = ϕ − ϕ 1 = V
(s)
(s 1 )
U posebnom slučaju, kad su izvorišna i odredišna točka iste, tj. kad je krivulja
puta zatvorena, krivuljni integral vektora E po bilo kakvoj zatvorenoj krivulji imat
će vrijednost nula:
∮
E s · d s = 0 (1.10)
Isto tako, ako se gibanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika potencijala
izme ¯du dviju točaka jednaka nuli), ne troši se (niti dobiva) rad. Linije istog
potencijala prema latinskom zovu se ekvipotencijalne linije,(slika 1.11).
a) jedan naboj b) dva istovrsna naboja c) dva različita naboja
SLIKA 1.11: Ekvipotencijalne linije
S obzirom da je u realnosti prostiranje električnog polja trodimenzionalano,
govori se o ekvipotencijalnim plohama. Budući da za gibanje naboja po ekvipoten-
14

Električni kapacitet
cijalnoj plohi nije potreban rad, vektori jakosti električnog polja (električne silnice)
okomiti su na ekvipotencijalne plohe.
Ako primjerice u električnom polju, zbog jednostavnosti homogenom, točka A
ima potencijal ϕ A , a točka B potenijal ϕ B i neka je ϕ A > ϕ B , polje E bit će u smjeru
A → B. Razlika potencijala iznosi
ϕ A − ϕ B = −
= −
= −
∫ A
∞
∫ B
∞
∫ A
B
E · dl +
E · dl −
E · dl
= V AB [V ]
∫ B
∞
∫ A
B
E · dl
E · dl +
∫ B
∞
E · dl
Napon V AB je potencijal točke A u odnosu na referentnu točku B, a V B A je potencijal
točke B u odnosu na referentnu točku A. Očevidno vrijedi:
V B A = −V AB
Pozitivni naboj Q koji prolazi razliku potencijala V AB krećući se od A prema B
obavlja rad
W = Q ·V AB (1.11)
Ako se naboj kreće od točke B prema A, giba se nasuprot polju i rad se treba
uložiti.
Napon se kao razlika potencijala dostupnih točaka mnogo koristi i lako se mjeri
voltmetrima.
1.4 ELEKTRIČNI KAPACITET
Priključe li se pločaste elektrode na električki izvor (npr. na bateriju ili akumulator),
na njima će se pod utjecajem napona izvora V razdvojiti jednake količine
naboja suprotnog predznaka Q, koji će u dielektriku me ¯du pločama stvoriti električno
polje stalne jakosti E (slika 1.12).
Ako se za referentnu točku izabere negativna elektroda s potencijalom 0, točka
udaljena l od referentne imat će potencijal
∫
ϕ = −
∫
E · dl = − (−E) · dl = E · l (1.12)
dakle, potencijal linearno raste. Za l = d razlika potencijala jednaka je priključenom
naponu ϕ = V , te slijedi
V = E · d i l i E = V d
15

1. ELEKTROSTATIKA
Izraz (1.12) je u suglasju s (1.9) i omogućuje lako nalaženje iznosa polja E.
U homogenom polju homogena je i električna influencija D = εE s iznosom
jednakim plošnoj gustoći naboja D = Q A
. Naboj Q koji se izdvojio na elektrodama
jednak je
Q = A · D = A · εE = Aε · V
d = εA ·V = C ·V
d
Faktor C sadrži značajke materijalaa i geometrije izme ¯du ploča i naziva se kapacitet.
Kapacitet pokazuje sposobnost sustava elektroda da kod priključenog naboja
pohranjuje naboj. Ako se djelovanjem napona u nekom sustavu pohranjuje razmjeran
naboj, onda taj sustav posjeduje kapacitet
C = Q V
(1.13)
Oznaka za kapacitet je C , a jedinica farad (F ).
Vrijedi uočiti da se nabijene elektrode mogu i odvojiti od izvora, a da se ništa
ne mijenja: ostaje naboj na elektrodama i napon me ¯du njima, te električno polje u
dielektriku.
Ovdje se može pokazati korist potencijala pri računanju energije (rada). Ako
se (slika 1.12) pozitivni naboj Q pomiče iz točke M 1 u točku M 2 , utrošit će se rad
jednak razlici potencijalnih energija
W = Q · ϕ 1 −Q · ϕ 2 = Q(ϕ 1 − ϕ 2 ) = Q ·V 12
Kako je ϕ 1 < ϕ 2 , tj. V 12 < 0 i rad je negativan, jer je utrošen na pomicanje naboja
suprotno silama polja.
1.5 KONDENZATOR
Električni element koji e namijenjen ostvarivanju kapaciteta i kome je glavno svojstvo
kapacitet naziva se kondenzator. Tvore ga pločaste elektrode izme ¯du kojih se
nalazi dielektrik. Izvedbe kondenzatora razlikuju se s obzirom na oblik elektroda
(pločasti, cilindrični, kuglasti...) i vrstu izolatora (zračni, keramički, elektrolitski,
. . . ).
Ako se nabijeni kondenzator priključi na izvor napona V , naboj iz izvora strujat
će prema elektrodama dok se izme ¯du njih ne uspostavi isti napon. Taj proces
naziva se nabijanje kondenzatora. Na svakoj elektrodi naći će se jednaka količina
naboja, samo suprotnog predznaka. Izolator izme ¯du elektroda spriječava da se
naboji ponište.
Kapacitet se mjeri u faradima F [As/V], a realne izvedbe kondenzatora imaju
kapacitete u iznosima µ F (10 −6 F), nF (10 −9 F) i pF (10 −12 F).
S obzirom na stalnost kapaciteta razlikuju se nepromjenljivi i promjenljivi kondenzatori.
Simboli kondenzatora prikazani su na slici (1.13).
Osnovna obilježja kondenzatora su:
16

Kondenzator
−
−
d
⃗E
+
+
−
+
Q
−Q +
+Q
−
+
−
−
+
+
V
V 2
V 1
M 1
M 2
l
SLIKA 1.12: Električno polje i potencijal kondenzatora
a) stalnog kapaciteta b) promjenljivog kapaciteta c) elektrolitski
SLIKA 1.13: Simboli kondenzatora
• nazivni kapacitet C n u [F ],
• tolerancija (dopušteno odstupanje od C n ) u postocima,
• dopušteno temperaturno područje u 0 C ,
• nazivni radni napon [V ] i napon proboja
Vrijednosti kapaciteta standardizirane su u nizove.
Napon proboja proizlazi iz najvećeg iznosa jakosti polja koji dielektrik može
podnijeti. Kod previsokih iznosa polja dolazi u dielektriku do lavinske ionizacije
popraćene lokalno ekstremnim temperaturama. Pojava traje kratke i zbog prom-
17

1. ELEKTROSTATIKA
jena u dielektriku redovito dovodi do neupotrebljivosti kondenzatora. Kvalitetniji
dielektrici posjeduju više iznose probojnih polja.
1.5.1 SPOJEVI KONDENZATORA
Ako su u praksi potrebni kapaciteti čija vrijednost se ne nalazi u nizu raspoloživih,
moguće je različitim spajanjem više kondenzatora postići željenu vrijednost kapaciteta.
Spajanje dvaju kondenzatora moguće je na dva osnovna načina: serijski i
paralelno. Složeni ili mješoviti spojevi dobiju se kombinacijom osnovnih načina s
tri i više kondenzatora.
Serijski spoj postiže se spajanjem kondenztora u niz, tako da je svaki kondenzator
povezan sa susjednim s pomoću jedne svoje elektrode. Početna elektroda prvog
i završna zadnjeg serijski spojenog kondenzatora nemaju susjedni konedenzator i
predstavljaju izvode serijskog spoja.
U paralelnom spoju jedna elektroda svakog kondenzatora spaja se u jednu zajedničku
točku, a druga u drugu zajedničku točku. Zajedničke točke predstavljaju
izvode paralelnog spoja.
1.5.1.1 Serijski spoj
Priključi li se serijski spoj triju kondenzatora na izvor napona V (slika 1.14), lijeva
ploča kondenzatora C 1 i desna ploča kondenzatora C 3 nabit će se u kratkom vremenu
nabojima istog iznosa i suprotnog predznaka.
Influencijom će se i na desnoj ploči kondenzatora C 1 , kao i na lijevoj ploči kondenzatora
C 3 , pojaviti jednak naboj, dakako suprotnog predznaka. Lijeva ploča
kondenzatora C 2 osiromašena odlaskom negativnog naboja na desnu ploču C 1 postaje
pozitivna, a njegova druga ploča s istog razloga negativna. Tako se nakon nabijanja
(prijelaznog procesa strujanja naboja) na svakom kondenzatoru nalazi jednak
iznos naboja, i to je ujedno ukupni naboj Q s serijskog spoja doveden iz izvora
napona V :
C 1−
V 2
+
C 2− 3−
+
+C
V 3
V 1
+ −
V
SLIKA 1.14: Serijski spoj triju kondenzatora
Q 1 = Q 2 = Q 3 = Q s (1.14)
18

Kondenzator
Onaj ekvivalentni C s koji bi pod djelovanjem istog napona V s pohranio isti naboj
Q s je:
V = V s = Q s
C s
(1.15)
očevidno je identičan u nabojskom pogledu serijskom spoju. C s se naziva kapacitet
serijskog spoja kondenzatora.
Ukupna razlika potencijala jednaka je zbroju pojedinačnih:
Iz (1.14) mora i za svaki kondenzator vrijediti:
V = V 1 = V 1 +V 2 +V 3 (1.16)
V 1 = Q 1
C 1
V 2 = Q 2
C 2
V 3 = Q 3
C 3
što zajedno s (1.15) i (1.16) daje za spoj na slici (1.14):
odnosno općenito:
1
= 1 + 1 + 1
C s C 1 C 2 C 3
1
C s
= ∑ n
1
C n
(1.17)
Kapacitet serijskog spoja dva kondenzatora prema (1.17) iznosi tako:
a za n jednakih kondenzatora C 1 :
C s = C 1 ·C 2
C 1 +C 2
C s = C 1
n
Kapacitet serijskog spoja C s manji je od najmanjeg kapaciteta serijsko spojenih
kondenzatora. Serijski se spoj često primjenjuje tamo gdje je dopušteni napon
jednog kondenzatora manji od napona izvora V s .
1.5.1.2 Paralelni spoj
Priključe li se dva ili više kondenzatora paralelno spojena na izvor napona V , kao
na slici (1.15), na svakom će od njih postojati isti napon:
V = V 1 = V 1 = V 2 = V 3 (1.18)
a naboj na pojedinom kondenzatoru ovisit će od veličine njegova kapaciteta. Za
pojedine kondenzatore vrijedi:
Q 1 = C 1 ·V 1 Q 2 = C 2 ·V 2 Q 3 = C 3 ·V 3 (1.19)
19

1. ELEKTROSTATIKA
V
+
−
+
C 1
+
C 2
+
C 3
SLIKA 1.15: Paralelni spoj kondenzatora
Paralelni spoj kondenzatora bit će nabojski ekvivalentan kondenzatoru kapaciteta
C p ako vrijedi:
gdje je:
Q p = C p ·V (1.20)
Q p = Q 1 +Q 2 +Q 3
Iz izraza (1.18), (1.19) i (1.20) slijedi da ekvivalentni kapacitet C p paralelno spojenih
kondenzatora jednak:
odnosno općenito:
C p = C 1 +C 2 +C 3
C p = ∑ n
C n
je:
Za paralelni spoj n kondenzatora jednakog kapaciteta C, ekvivalentni Cp jednak
C p = n ·C n
Kondenzatori se spajaju paralelno kad je kapacitet pojedinačnog nedostatan.
Kapacitet paralelnog spoja veći je od kapaciteta najvećeg paralelnog kondenzatora.
1.5.1.3 Mješoviti spoj
Paralelnim spajanjem povećava se ukupni kapacitet spoja, a serijskim smanjuje.
Kod serijskog spoja ukupni priključeni napon dijeli se na pojedine kondenzatore, a
kod paralelnog spoja je napon na svim kondenzatorima isti. Ponekad je potrebno
realizirati kapacitet čija vrijednost nije u standardiziranom nizu. U tu svrhu koriste
se različiti mješoviti spojevi, od kojih jedan prikazuje slika (1.16).
Mogu se ostvariti različite kombinacije. Ukupni kapacitet mješovitog spoja izračunava
se postupnim odre ¯divanjem kapaciteta pojedinih paralelnih i serijskih grupa.
On može biti manji ili veći od kapaciteta pojedinog kondenzatora ili pojedine skupine
kondenzatora, već prema tome da li prevladava utjecaj serijskih ili paralelnih skupina.
20

Kondenzator
C 1
C 2 C 3
C 4 C 5
+−
V
C 23 = C 2 C 3
C 2 +C 3
C 1
C 23
C 45
+ −
V
C 45 = C 4 C 5
C 4 +C 5
C 1
C P
C
+−
V
+−
V
C p = C 23 +C 45
C = C 1 C p
C 1 +C p
SLIKA 1.16: Mješoviti spoj kondenzatora
1.5.2 ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA
Kad se prazan kondenzator priključi na izvor napona V , kao na slici (1.17), kondenzatoru
se dovodi naboj i time povećava razlika potencijala V me ¯du pločama. Nakon
odre ¯denog kratkog vremena kondenzator se nabije nabojem Q = C · V i poprimi
napon izvora V .
Tijekom nabijanja kondenzatora porast naboja za d q uzrokuje porast napona
za d v, prema:
d q = C · d v
Malim slovima označuju se trenutne vrijednosti pojedinih veličina. Kod gibanja
naboja d q, električno polje prema izrazu (1.11) obavlja rad:
dW = v · d q = v ·C d v = C · v · d v
21

1. ELEKTROSTATIKA
i
Q C
+ −
+ −
V
SLIKA 1.17: Nabijanje kondenzatora
Ovaj je rad utrošen u stvaranje polja u dielektriku i povećanju energije kondenzatora.
Kondenzator se nabija na napon V , te je pohranjena energija:
∫ V
dW = C v · d v = C ·V 2
0
2
S pomoću izraza (1.13) slijede još dva ekvivalentna izraza za energiju nabijenog
kondenzatora:
W = C ·V 2
2
= Q ·V
2
= Q2
2 ·C
[J]
(1.21)
Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izme ¯du ploča (elektroda),
kao energija električnog polja. Kod izbijanja kondenzatora, električno polje
u izolatoru se razgra ¯duje. Ta se energija osloba ¯da i može se pretvoriti u neki drugi
oblik energije: toplinsku, svjetlosnu ili opet u električnu. Pritom se nabijeni kondenzator
može izbiti u dužem ili kraćem vremenu. Srednja snaga kod izbijanja,
ako se odvija u kratkom vremenu, može biti velika. To se koristi kod elektronskih
bljeskalica, za paljenje stroboskopskih cijevi i sl. Kod pražnjenja u zraku ili izolacijskoj
tekućini mogu nastati iskre, pa se na tome zasniva i načelo elektroerozijske
obrade metala.
Da je energija u kondenzatoru lokalizirana u izolatoru kao energija električnog
polja, lako se vidi povezujući izraze (1.21) i (1.11):
W = C ·V 2 A
= ε ·
2 2 · d ·V 2 A
= ε ·
2 · d · E 2 · d 2 = ε · E 2
· A · d = ε · E 2
2
2
gdje je:
V ol - volumen kondenzatora.
·V ol
1.5.3 PRIRODNI KONDENZATOR
Oblaci i zemlja se mogu usporediti s velikim kondenzatorom. Proces isparavanja i
kondenziranja vode u unutrašnjosti oblaka uzrokuje sudare izme ¯du kapljica vode i
22

Appleti
različitih čestica u oblacima (prašina, ioni, fotoni). U tim sudarima elektroni izbijeni
iz čestica čine negativan naboj, koji se nakuplja u podnožju oblaka. Tako se
podnožje oblaka može usporediti s negativnom pločom kondenzatora. Taj naboj
uzrokuje nakupljanje pozitivnog naboja na zemlji, koja se zbog toga može usporediti
s pozitivnom pločom kondenzatora.
SLIKA 1.18: Prirodni kondenzator
Zrak izme ¯du oblaka i zemlje postaje dielektrik prirodnog kondenzatora. Električno
polje izme ¯du oblaka i zemlje može proizvesti ione i slobodne elektrone u
zraku. Razlika potencijala izme ¯du oblaka i zemlje može postati tako velika i polje
tako jako da se ostvari ionizacija u lavinskom obliku; kaže se da je došlo do proboja
zračnog dielektrika. Ioni i slobodni elektroni ostvaruju svojim gibanjem struju izme-
¯du oblaka i zemlje, što je popraćeno optičkom i akustičnom pojavom (munja, grom).
Pritom se nastali prirodni kondenzator ispraznio (atmosfersko pražnjenje).
1.6 APPLETI
1.6.1 ELEKTRIČNO POLJE NABOJA
Ovaj applet omogućuje promatranje električnog polja dobivenog različitim kombinacijama
pozitivnih i negativnih naboja. Žuti krug predstavlja pozitivni naboj, a
plavi krug negativni naboj. Bijele krivulje oko njih su ekvipotencijalne linije (linije
istog potencijala). Zelene strelice pokazuju vektore električnog polja. Naboje
možemo pomicati po ekranu pomoću miša.
Slijedi opis padajućeg izbornika:
SETUP - pruža mnogo mogućnosti, od kojih je ovog časa zanimljivo samo električno
polje naboja (pozitivnih i negativnih):
• SINGLE CHARGE - jedan pozitivan naboj
23

1. ELEKTROSTATIKA
SLIKA 1.19: Applet - električno polje naboja
• DOUBLE CHARGE - dva pozitivna naboja
• DIPOLE CHARGE - jedan pozitivan i jedan negativan naboj
MOUSE - odre ¯duje što će se doga ¯dati lijevim click-om miša:
• MOVE OBJECT - vuku se objekti po zaslonu
• DELETE OBJECT - brišu se objekti po zaslonu
• ADD + DRAGGABLE CHARGE - dodaju se pozitivni naboji na zaslon
• ADD − DRAGGABLE CHARGE - dodaju se negativni naboji na zaslon
• CLEAR SQUARE - brišemo pozadinu
SHOW - odre ¯duje što će biti prikazano na ekranu:
• SHOW ELECTRIC FIELD (E) - bit će prikazano električno polje pomoću strelica.
Strelice idu od tamno zelenih do svijetlozelenih, zatim postaju bijele,
kako polje postaje jače.
• SHOW E LINES - bit će prikazane linije električnog polja. Boja linija ide od
tamno zelene do svijetlo zelene, zatim postaje bijela kako polje postaje jače.
Gustoća linija se skoro ne mijenja, pa ako nas zanima jačina polja trebamo
gledati boju linija, a ne njihovu gustoću.
• ACCURACY - odre ¯duje se točnost prikazivanja polja
Lijevim click-om na gumb CLEAR ALL briše se cijeli zaslon.
• STOP CALCULATION - zaustavlja se izračun polja
24

Appleti
• ENABLE CURRENT - prikazuje se tok struje
• DRAW EQUIPOTENTIALS - prikazuju se ekvipotencijalne linije
S pomoću klizača:
• RESOLUTION - namješta se rezolucija
• BRIGHTNESS - namješta se osvjetljenje
• EQUIPOTENTIAL COUNT - namješta se broj ekvipotencijalnih linija bez obzira
na osvjetljenje
1.6.2 TEST NABOJ U ELEKTRIČNOM POLJU
Ovaj applet na slici 1.20 omogućuje promatranje djelovanja električnog polja na
test naboj. Električno polja može se stvoriti s jedinim ili dva naboja u različitim
kombinacijama polariteta i iznosa. Mogu se prikazati ekvipotencijalne plohe, silnice
i vektori polja. Click-om na restart/play započinje djelovanje polja, animacija,
na test naboj. Naboji se tako ¯der mogu pomicati po ravnini.
SLIKA 1.20: Test naboj u električnom polju
1.6.3 ELEKTROSKOP
Za model elektroskopa (1.22) sastavljenog od dvije kuglice jednakih masa m i naboja
q, obješenih na klatno duljine L vrijede jednadžbe:
25

1. ELEKTROSTATIKA
L
Θ
T
m, q
mg
SLIKA 1.21: Elektroskop - oznake
T · cos(θ) = m · g
T · si n(θ) = F e = k · q2
r 2
r = 2L · si n(θ)
točno:
t an(θ) · si n 2 (θ) =
k · q2
4m · g · L 2
ili približno:
θ 3 =
k · q2
4m · g · L 2
Ovaj applet (slika 1.22) omogućuje animaciju elektroskopa za različite m, q i L.
1.6.4 KAPACITET PLOČASTOG KONDENZATORA
• DIELECTRIC (dielektrik) - bira se dielektrik izme ¯du ploča kondenzatora
• PLATE AREA (površina ploča) - bira se površina ploča
• DISTANCE (udaljenost) - bira se udaljenost izme ¯du ploča
Za odabrane vrijednosti ε (dielektričnost), A (površina ploča) i d (udaljenost
ploča), izračunava se vrijednost kapaciteta kondenzatora (engl. capacitance).
Može se zaključiti sljedeće:
• povećanjem površine ploča, povećava se i kapacitet,
• ako se poveća udaljenost me ¯du pločama, kapacitet se smanjuje,
26

Appleti
SLIKA 1.22: Model elektroskopa
SLIKA 1.23: Pločasti kondenzator
• dielektrik veće dielektričnosti uzrokovat će i veći kapacitet.
To znači da je kapacitet proporcionalan dielektričnosti i površini ploča, a obrnuto
proporcionalan razmaku izme ¯du ploča.
1.6.5 APPLET - PRIRODNI KONDENZATOR
Skupljanjem (gomilanjem) pozitivnog naboja na zemlji i negativnog u oblacima
(atmosferi) dolazi do prirodnog izbijanja naboja (munje), što se može vidjeti u prirodi
ili na applet-u, slika 1.18.
27

1. ELEKTROSTATIKA
1.7 ZADACI
1.1 Dvije kuglice jednakih masa i polumjera obješene su na nitima tako da im
se površine dodiruju. Pošto smo ih nabili nabojem 5·10 −9 C, one su se otklonile tako
da me ¯dusobno zatvaraju kut 40 0 . Kolika je masa svake kuglice ako je udaljenost od
mjesta gdje je nit obješena do središta kuglice 20 cm?
Rješenje: 3,364 · 10 −6 kg
1.2 Atom vodika ima jedan proton u jezgri i jedan elektron koji kruži oko jezgre.
Uz pretpostavku daje staza elektrona kružna, na ¯dite:
a) silu kojom me ¯dusobno djeluju proton i elektron ako je razmak izme ¯du
tih dviju čestica 5,3 · 10 −11 m,
b) linearnu brzinu elektrona.
Rješenje: a) 8,202 · 10 −8 N
b) 2,1844 · 10 6 m/s
1.3 Koliki rad moramo utrošiti da u električnom polju premjestimo naboj 10 −9
C iz jedne točke polja u drugu ako je razlika potencijala izme ¯du tih točaka 200 V?
Rješenje: 2 · 10 −7 J
1.4 Dva naboja Q 1 = 1,5 · 10 −9 C i Q 2 = 6 · 10 −8 C nalaze se u zraku i udaljeni su
me ¯dusobno za r = 70 cm. Kolika je jakost električnog polja u sredini izme ¯du njih?
Rješenje: 4298 N/C
1.5 Dvije paralelne nabijene ploče svaka s površinom 1 m 2 nalaze se u vakumu
udaljene 2 cm. Izme ¯du točaka A i B postoji razlika potencijala 5 V.
a) koliki je napon izme ¯du ploča
b) koliki je iznos plošne gustoće na pločama
c) koliki je iznos vektora električne indukcije u točki A, a koliki u točki B i
kojeg je smjera
d) koliki je iznos energije po jedinici volumena me ¯du pločama
e) ako naboj negativne ploče čine elektroni, a naboj pozitivne se sastoji u
manjku elektrona, kolika je razlika u broju elektrona na pločama.
Rješenje: a) 10 V b) 4,427 · 10 −9 C/m 2 c) D je neovisan o točki, iznosa D, smjer
A → B d) 1,101 · 10 −6 J/m 3 e) 5,534 · 10 10 [elektrona]
28

Zadaci
1.6 U homogeno električno polje jakosti 4000 V/m uleti okomito na silnice
polja elektron brzinom 5,7 · 10 3 km/s.
a) Koliko će elektron skrenuti od svojega početnog smjera pošto u polju prije
¯de put od 8 cm?
b) Kakav oblik imastaza elektrona?
Rješenje: a) 6.88 cm
b) parabola (horizontalni hitac)
1.7 Na istosmjerni izvor stalnog napona E serijski su spojeni kondenzatori C 1 =
1 F i C 2 = 3 F.
a) koliki je napon na C 1 ako je na C 2 napon V 2 = 50 V,
b) koliki je napon izvora E,
c) kolika je energija pohranjena u spoju,
d) ako se paralelno kondenzatoru C 1 doda još jedan istog kapaciteta, koliki
će napon biti na njemu,
e) koliki naboj sadrži tada C 1 ?
Rješenje: a)150 V b) 200 V c) 15 mJ d) 120 V e) 1,2 · 10 −4 C
1.8 Kondenzator kapaciteta C 1 = 0,6 µF nabijemo na napon 200 V i zatim ga
isključimo s izvora napona. Zatim paralelno kondenzatoru priključimo drugi kondenzator
kapaciteta C 2 = 0,4 uF. Odredite toplinske gubitke koji nastaju (energiju
iskre koja preskoči pri spajanju kondenzatora).
Rješenje: 4,8 mJ
29

2
POGLAVLJE
ISTOSMJERNA STRUJA
Električnom strujom naziva se usmjereno gibanje električnih naboja. Da bi gibanje
bilo moguće, nužna su dva uvjeta: postojanje slobodnog (pokretnog) naboja i postojanje
električnog polja.
Slobodan naboj je za različite tvari različit: u metalima i njihovim legurama slobodni
naboj čine elektroni, u elektrolitskim otopinama to su pozitivni i negativni
ioni, kod poluvodiča elektroni i šupljine, a kod plinova elektroni i ioni. Zbog jednostavnosti
prikaza i tumačenja promatrat će se u nastavku djelovanje električnog
polja na metalne vodiče, a struji u elektrolitskim otopinama i plinovima posvetit će
se posebna potpoglavlja.
Električno polje je vektor, pa osim inteziteta (sile na naboj) ima i smjer. Ako se
smjer električnog polja ne mijenja, ne mijenja se ni smjer gibanja naboja u vodiču,
pa odatle naziv istosmjerna struja. Ako se uz to ni jakost polja ne mijenja, onda je
struja stalna ili konstantna istosmjerna struja.
U praktičnoj primjeni izvori konstantnog električnog polja najčešće su elektrokemijski
izvori (ili galvanski elementi), tj. različite vrste baterija i akumulatora.
Takvi izvori pretvaraju kemijsku energiju u električnu i pritom na svojim stezaljkama
osiguravaju stalnu razliku potencijala. Svi slobodni elektroni unutar metalnog vodiča
konstantnog presjeka spojenog na takav izvor bit će izloženi djelovanju sile
iste jakosti i smjera, pa će kroz sve paralelne presjeke vodiča istodobno prolaziti
isti broj elektrona. Brzina gibanja pojedinačnog naboja mnogo je manja od brzine
širenja električnog efekta: iako žarulja u New Yorku spojena preko transatlanskog
kabela zasvijetli gotovo istodobno s uključenjem izvora u Zagrebu, elektroni kroz
to vrijeme pro ¯du neznatan put.
Smjer istosmjerne struje jednak je smjeru električnog polja, dakle suprotan je
smjeru gibanja elektrona.
Gibanje naboja ima za posljedicu nekoliko različitih učinaka: zagrijavanje vodiča
(Jouleov efekt), stvaranje magnetskog polja u njegovu okolišu, prijenos tvari u elektrolitičkim
otopinama, te emitiranje zračenja pri vo ¯denju u plinu. Ponekad štetne,
sve te pojave praktično se koriste u velikom broju trošila, ure ¯daja i procesa.
2.1 ELEKTRIČNI NAPON 31

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Energija koju naboj ima u električnom polju naziva se električna potencijalna energija
[W ]. Omjer te energije i veličine naboja u nekoj točki je stalan i predstavlja
svojstvo pojedine točke električnog polja, koje se zove električni potencijal.
Električni potencijal (prema izrazu (2.1)) označuje se sa ϕ, a jedinica mu je volt
[V ].
ϕ = W Q
(2.1)
Razlika potencijala izme ¯du dvije točke naziva se napon. Napon izme ¯du točaka
B i A, V B A , je pozitivan ako je točka B na većem potencijalu od točke A, a negativan
je ako je obrnuto. Za uspostavljanje električnog napona treba razdvojiti
raznoimene naboje, a za to je potrebno uložiti rad, tj. utrošiti energiju.
Pozitivni i negativni naboji razdvajaju se u izvorima električnog napona na račun
neke uložene energije (kemijske, mehaničke, . . . ). Zbog toga se priključnice izvora
označuju sa ’+’ i ’−’ i nazivaju se polovi naponskog izvora. Instrument za mjerenje
napona zove se voltmetar.
Postoje istosmjerni i izmjenični naponi. Istosmjerni napon stalnog je polariteta,
a kod izmjeničnog, polaritet se izmjenično mijenja.
2.2 ELEKTRIČNI IZVORI
Električni izvor je ure ¯daj koji na svojim stezaljkama trajno održava razliku potencijala
kako bi mogao davati struju priključenom trošilu.!
Trošilo će u načelu obavljati neki koristan rad. Izvor ima zadatak pretvoriti
jedan oblik energije (mehaničku, kemijsku, toplinsku i sl.) u električnu, dok trošilo
radi obrnut postupak. S obzirom na vrstu i način pretvorbe jednog oblika energije
u drugi, najvažniji tipovi električnih izvora su :
Kemijski električni izvori: pretvaraju kemijsku energiju u električnu. Takav izvor
se (nazvan galvanski element u čast L. Galvaniu) sastoji unačelu od dviju
elektroda i elektrolita. Na elektrodama se pojavljuje napon kao posljedica
kemijskog procesa u kojem sudjeluju tvari od kojih su elektrode napravljene
i elektrolitska otopina u koju su uronjene. Razlikuju se primarni i sekundarni
elementi. Za razliku od primarnih, u sekundarnima je kemijski proces reverzibilan,
što znači da se električna energija dovedena iz drugog izvora može u
izvoru koji je "ispražnjen" opet povratiti u kemijsku. Kemijski izvori su uvijek
istosmjerni.
Fotonaponski elementi: izvori koji djelovanjem vidljivog svjetla stvaraju električni
napon. Na temelju ponašanja poluvodiča kao osnovni materijal koristi se
silicij i galijev arsenid. Vrlo efikasnim smatraju se silicijevi fotonaponski elementi,
koji danas pretvaraju do 20% dobivene svjetlosne energije u električnu.
Napon takvog fotoelementa iznosi do 0,6 V, a maksimalna postiziva
struja ovisi o materijalu, površini i tehnologiji. Solarni silicijevi elementi daju
i do 180 W/m 2 ovisno o svjetlosnom zračenju.
32

Električni izvori
Termoelementi: izvori koji daju napon pretvorbom toplinske energije. U načelu
se za tu svrhu uzmu dvije žice različitog materijala i na jednom kraju me ¯dusobno
spoje. Ako se spojno mjesto izloži višoj temperaturi, onda se na hladnijim
krajevima javlja istosmjerni napon. Veličina tog napona ovisi o razlici
temperatura i vrsti upotrijebljenih materijala. Primjerice, kod para željezokonstantan
dobiva se prosječno 52µV/ 0 C.
Generatori: strojevi koji mehaničku energiju (rotacija rotora) magnetskim putem
(indukcija) pretvaraju u (izmjenični) napon. Daleko najveći dio u svijetu korištene
električne energije dobiva se danas putem generatora. Istosmjerni se
napon lako dobiva iz izmjeničnog s pomoću ispravljača.
Nuklearni izvori: atomska se energija složenim postupkom preko toplinske i mehaničke
putem generatora (atomske centrale) pretvara u električnu energiju.
Ekonomični i neopasni izvori s izravnim pretvaranjem nuklearne energije u
električnu još se očekuju.
Električni izvori dijele se na naponske i strujne. Zadatak naponskog izvora je da
na svojim stezaljkama (vanjskim priključnicama) daje konstantan napon, a strujnog
izvora da daje konstantnu struju, neovisno o opterećenju. Zbog uobičajene
upotrebe ovdje se promatra samo ponašanje realnog naponskog izvora.
Istosmjerni naponski i strujni izvori u električnim shemama obilježavaju se simbolom
kao na slici (2.1. Elektroda na višem potencijalu označuje se oznakom ’+’.
E +
I
+
a) naponski
b) strujni
SLIKA 2.1: Istosmjerni izvori
Označi li se u spojnoj električnoj shemi, prema slici (2.2), jedna točka s oznakom
’a’, a druga s oznakom ’b’ (to mogu biti i elektrode, tzv. stezaljke izvora), onda je
napon izme ¯du točaka ’a’ i ’b’ jednak razlici potencijala ’a’ i ’b’, pa se dogovorno
označuje indeksima:
V ab = V a −V b
Ako je algebarski iznos V ab pozitivan, onda je točka koja odgovara prvom indeksu
’a’ pozitivna, odnosno, nalazi se na višem potencijalu od točke drugog indeksa
’b’. Za slučaj negativnog iznosa V točka ’b’ ima viši potencijal od točke ’a’.
Dobro je uočiti da je V ab = −V ba .
Uvedenim označivanjem potencijala odre ¯den je i smjer struje koja u strujnom
krugu s takvim izvorom teče izvan izvora. Smjer struje izvan izvora poklapa se s
33

2. ISTOSMJERNA STRUJA
a, +
a
V ab > 0
I
V ab < 0
I
b
b, +
SLIKA 2.2: Označavanje naponskih i strujnih veličina
orijentacijom od točke višeg prema točki nižeg potencijala i u spojnim shemama
najčešće se označuje strelicom (slika 2.2).
2.3 ELEKTRIČNA STRUJA
Me ¯du raznoimenim nabojima, razdvojenim na priključnicama izvora, vlada privlačna
sila. Ako se priključnice izvora vodljivo spoje, izme ¯du naboja se uspostavi
vodljivi put, kroz koji nastaje usmjereno gibanje naboja, koje se zove električna
struja.
Uzrok struje je električno polje, a smjer struje jednak je smjeru polja, dakle
smjeru kojim bi se gibali pozitivni naboji. Glavna značajka električne struje je njena
jakost. Jakost struje jednaka je omjeru količine naboja koja pro ¯de presjekom vodiča
u nekom vremenu i tog vremena.
i = dQ
d t
(2.2)
gdje je dQ diferencijal (djelić) naboja, a d t diferencijal vremena. Mjerna jedinica
jakosti struje je amper [A]. Za stalnu istosmjernu struju izraz (2.2) postaje:
I = Q t
Instrument za mjerenje jakosti struje zove se ampermetar. Kao i naponi, struje
mogu biti istosmjerne i izmjenične. Istosmjerna struja teče stalno istim smjerom,
dok se kod izmjenične struje smjer s vremenom mijenja.
Gustoća struje definirana je kao kvocijent iznosa struje i površine okomitog presjeka
kroz koji teče:
J = I A
[A/m 2 ]
2.4 ELEKTRIČNI OTPOR
34

Električni otpor
Pri toku struje kroz metalnu žicu (vodič) slobodni elektroni nailaze na atome, koji
zbog topline titraju oko svojih ravnotežnih položaja u kristalnoj rešetki metala. Može
se zamisliti da atomi tako priječe slobodni put elektronima, što se očituje kao opiranje
tvari protoku električne struje.
Općenito, naboji pri strujanju nailaze na otporna djelovanja, koja se nazivaju
električni radni otpor (kraće električni otpor ili samo otpor). Oznaka za električni
otpor je R, a jedinica Ω.
Otpor vodiča razmjeran je duljini vodiča l , a obrnuto razmjeran njegovu presjeku
A. Faktor razmjernosti različit je za pojedini materijal i naziva se otpornost (ili
specifični otpor) i označava sa ϱ .
Prema tomu, otpor vodiča računa se prema:
R = ϱ l A
(2.3)
Recipročna vrijednost otpora zove se vodljivost i označuje s G:
gdje je specifična vodljivost:
G = 1 R = 1 ϱ · A
l = γ · A
l
(2.4)
γ = 1 ϱ
[S/m]
Specifični otpor ϱ ima jedinicu Ωm, a zbog čestog izražavanja presjeka vodiča u
mm 2 i duljine u m koristi se i Ωmm 2 /m.
Jedinica električnog otpora je om (Ω), a električne vodljivosti simens (S). Simbol
i oznaka električnog otpora prikazuje slika (2.3).
R
SLIKA 2.3: Simbol i oznaka električnog otpora
2.4.1 PROMJENA OTPORA S TEMPERATUROM
Povećanje temperature metalnih vodiča izaziva veću amplitudu titranja kristalne
rešetke. To uvjetuje povećanje broja sudara slobodnih elektrona, smanjenje njihove
rezultantne brzine i smanjenje gustoće struje. Pad jakosti struje uz isti napon
odgovara povećanju otpora . Dakle, otpor vodiča se kod većine materijala povećanjem
temperature povećava:
gdje su:
R ϑ = R 20 + ∆R (2.5)
35

2. ISTOSMJERNA STRUJA
R 20
- vrijednost otpora kod sobne temperature (20 ◦ C),
∆R - povećanje otpora s porastom temperature,
R ϑ - vrijednost otpora na temperaturi ϑ.
Prirast otpora ovisi o materijalu (temperaturni koeficijent otpora α [1/ 0 C], prirastu
temperature (∆ϑ = ϑ − 20 ◦ C) i početnoj vrijednosti otpora R 20 :
∆R = α · ∆ϑ · R 20 (2.6)
Uvrsti li se izraz (2.6) u izraz (2.5) dobiva se linarni model:
R ϑ = R 20 (1 + α · ∆ϑ) = ϱ · l
A
· [1 + α(ϑ − 20)] (2.7)
Lako se iz ovog izraza vidi da se kod pozitivnog a smanjivanjem temerature kod
istog materijala smanjuje i njegov otpor, tj. da je za temperature manje od 20 ◦ C
otpor R manji od R 20 .
TABLICA 2.1: Električna svojstva metalnih vodiča
Naziv Oznaka ϱ[Ωmm 2 /m] γ[Sm/mm 2 ] α[1/ 0 C ]
Aluminij Al 0,0270 37 0,0040
Bakar (mek) Cu 0,0172 58 0,0039
Bronca Bc 0,0278 35,8 0,004
Kositar Sn 0,115 8,6 0,0042
Mjed Mj 0,075 13,3 0,0016
Nikal Ni 0,09 11 0,006
Olovo Pb 0,208 4,8 0,0043
Srebro Ag 0,0163 61,4 0,0041
Željezo Fe 0,098 10,1 0,0065
Živa Hg 0,958 1,04 0,0009
Cekas 1,11 0,93 0,00019
Kanthal 1,45 0,7 0,000032
Manganin 0,48 2,14 0,000015
Konstantan 0,49 2,1 0,00005
Tablica 2.1 pokazuje metale i metalne legure s njihovim specifičnim otporom,
specifičnom vodljivosti i temperaturnim koeficijentima. Treba napomenuti da je
temperaturni koeficijent α konstantan samo za uski temperaturni opseg. Za točniju
temperaturnu ovisnost linearni model nije dovoljan, pa se proširuje s kvadratičnim
koeficijetnom β i početak izraza (2.7) postaje:
R ϑ = R 20 (1 + α · ∆ϑ + β · [∆ϑ] 2 )
Zanimljivo bi bilo izračunati kod koje temperature otpor vodiča postaje jednak
nuli. Iz izraza (2.7) uz pretpostavku konstantnog α slijedi:
36

Ohm-ov zakon
pa je
R ϑ = R 20 · [1 + α(ϑ − 20)] = 0
( ) 1
ϑ = −
α − 20
(2.8)
Primjer: Za bakar (α = 0,00392) iz izraza (2.8) slijedi ϑ = −235,14 0 C . Me ¯dutim,
mjerenja pokazuju da bezotporno stanje, tzv. supravodljivost, nastaje tek na temperaturama
oko apsolutne nule (0K = −273,15 0 C ). To ujedno potvr ¯duje da ovisnost
R = f (ϑ) nije linearna.
Veza otpora i temperature može se prikazati dijagramom prema slici 2.4. Pri
stanovitoj kritičnoj temperaturi ϑ K (koja je, na primjer, za živu 4,12K , aluminij
1,14K , cink 0,79K ) otpor naglo pada i približno je jednak nuli.
R
θ K
θ
SLIKA 2.4: Ovisnost otpora i temperature
Pojava supravodljivosti za buduću elektrotehniku je od izuzetnog značenja. Usmjereno
gibanje naboja u takvoj okolini ne nailazi na prepreke, pa nema toplinskih
gubitaka.
2.5 OHM-OV ZAKON
Jakost struje kroz vodič ovisi samo o naponu na vodiču i otporu vodiča: raste s porastom
napona V, a opada s porastom otpora R. To je Ohm-ov zakon , koji napisan
u obliku jednadžbe izgleda ovako:
I = V R
(2.9)
Iz grafičkog prikaza tog zakona (slika 2.5) predočena linearnost izme ¯du napona,
kao uzroka pojave, i njegove posljedice, električne struje znači da je otpor R konstantan.
Električni otpor R predočuje kut α nacrtanog pravca i jednak je kotangensu
tog kuta. Za veći otpor (pravac b) uz isti napon teče manja struja (I 2 < I 1 ). Otpor
vodiča može se povećati izraz (2.3) smanjenjem presjeka, povećanjem duljine
37

2. ISTOSMJERNA STRUJA
I
a
I 1
I 2
α
b
−V
V
−I
SLIKA 2.5: I=f(V) u metalnom vodiču
vodiča ili uporabom materijala većeg specifičnog otpora. Jednakovrijedan grafički
prikaz dobiva se me ¯dusobnom zamjenom koordinatnih osi.
Ohmov zakon nije ograničen materijalom. S obzirom na njihov specifični otpor,
materijale dijelimo na vodiče (srebro, bakar, aluminij, željezo, konstantan i dr.),
poluvodiče (germanij, silicij) i izolatore (staklo, teflon, kvarc i dr.).
2.6 KIRCHHOFF-OVI ZAKONI
Spajanjem dvaju ili više električnih elemenata dobiva se električna mreža. Teorijsko
proučavanje električnih mreža temelji se na teoriji grafova, jer se svaka realna
električna mreža može predočiti grafom. Osnovni elementi grafa su grane i čvorišta.
Svaka grana ima dva čvorišta. Realni električni elementi koji se ovdje spominju (otpornik,
kondenzator, zavojnica, izvor) imaju po dvije stezaljke ili priključnice. Realnim
stezaljkama odgovaraju apstraktna čvorišta grafa, a realni elementi označuju
se odgovarajućim simbolima u granama (teorijski: oznakom grane).
Jednostavni strujni krug, npr. kondenzator spojen na naponski izvor, je tako ¯der
električna mreža, i to s dvije grane i dva čvorišta. U jednoj grani je simbol naponskog
izvora, a u drugoj, paralelno spojenoj, simbol kondenzatora.
U električnim mrežama vrijede tri temeljna zakona. Prva dva su Kirchhoff -ovi
zakoni i izriču strujno-naponske prilike u mreži. Pritom je bitno samo kako su
elementi me ¯dusobno spojeni (topologija mreže), a nije bitan karakter (vrsta) elemenata.
Treći zakon definira odnos struje i napona u pojedinoj grani, što dakako
ovisi o vrsti realnog elementa koji predstavlja tu granu. Za otpor, predstavljen otpornikom,
ovaj je odnos već izrečen u obliku Ohm-ova zakona.
2.6.1 I. KIRCHHOFF-OV ZAKON
38

Kirchhoff-ovi zakoni
Budući da je električna mreža izoliran sustav, iz zakona o očuvanju materije može
se zaključiti, a eksperimentalno potvrditi, da je zbroj jakosti struja koji u bilo koje
čvorište ulaze jednak zbroju jakosti struja koje iz tog čvorišta izlaze. Struje koje
ulaze u čvorište imaju suprotan predznak od onih koje izlaze iz čvorišta. Prvi Kirchhoff
-ov zakon govori kako u električnoj mreži ne postoji čvorište u kojem bi se
naboj gomilao, stvarao ili nestajao.
Općenito vrijedi: zbroj struja koje ulaze u čvorište mreže jednak je zbroju struja
koje iz te točke (čvorišta) izlaze.
Prvi Kirchhoff -ov zakon izražen jednadžbom, za bilo koje čvorište mreže, dakle
glasi:
n∑
I i = 0 (2.10)
i=1
gdje je n broj grana spojenih u promatrano čvorište.
Ako postoji neko čvorište u koje ulazi struja I , a iz tog čvorišta izlaze struje I 1 , I 2
i I 3 , onda vrijedi:
I = I 1 + I 2 + I 3
Prebace li sve struje na lijevu stranu gornje jednadžbe, dobiva se sljedeći izraz:
I − I 1 − I 2 − I 3 = 0
S lijeva strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) sve struje iz promatranog
čvorišta. Pozitivan predznak pritom imaju struje koje ulaze u čvorište, a
negativan predznak koje iz čvorišta izlaze.
To vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati bilo
koje čvorište s bilo kojim brojem grana. Kad se algebarski zbroje pojedine struje I i
u svim granama promatranog čvorišta (ulazne s pozitivnim, a izlazne s negativnim
predznakom, ili obratno), rezultat mora biti nula.
Ovo je lako objasniti imajući u vidu da električna struja pretstavlja protok naboja
u vremenu. Koliko naboja u ¯de u neku točku, toliko mora iz nje i izaći.
Primjer:
Za čvor na slici 2.6. po I. Kirchhoff -ovom zakonu vrijedi:
I 1 + I 2 + I 3 = I 4 + I 5
I 1 + I 2 + I 3 − I 4 − I 5 = 0
Ako je mjerenjem utvr ¯deno da su I 1 = I 2 = I 3 = 2A, a I 4 = 1A, onda se sigurno
zna (nesigurni neka provjere :), da je I 5 = 5A.
Ako je uz iste vrijednosti struja I 1 , I 2 i I 3 izmjereno I 4 = 10A, znači da je I 5 = 4A,
ali ovog puta suprotnog smjera (struja I 5 utječe u čvorište).
39

2. ISTOSMJERNA STRUJA
I 4
I 2
I 1
I 3
I 5
SLIKA 2.6: I Kirchhoff-ov zakon
2.6.2 II. KIRCHHOFF-OV ZAKON
Drugi Kirchhoff -ov zakon odnosi se na naponske prilike u mreži. Put po mreži
kojim se iz bilo kojeg čvorišta, idući po uvijek novim granama mreže, do ¯de u isto
čvorište, zove se petlja.
Drugi Kirchhoff -ov zakon izriče da je zbroj napona u bilo kojoj petlji u električnoj
mreži jednak nuli. Budući da je napon u svakoj grani mreže razlika potencijala
dvaju njezinih čvorišta, taj zakon primjenjuje poznati izraz (1.10) iz elektrostatike
na prilike u električnoj mreži. Zakon se obično formulira u sljedećem obliku:
gdje je:
n∑ m∑
E i = I i · R i (2.11)
i=1 i=1
n - broj električnih izvora u promatranoj petlji
m - broj otpora u ostalim granama iste petlje
Primjerice, ako se mreža sastoji od izvora napona E i dva serijski spojena otpora
na kojima postoje naponi V 1 i V 2 , za obilazak petlje po II. Kirchhoff -ovom zakonu
vrijedi:
E = V 1 +V 2 (2.12)
Prebace li se svi naponi na jednu stranu jednadžbe (2.12), dobiva se:
E −V 1 −V 2 = 0
S lijeve strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) svi naponi iz promatrane
petlje, što potvr ¯duje opći oblik da je algebarski zbroj napona uzduž (zatvorene)
petlje električnog kruga jednak nuli, tj.
40

Električni otpor u strujnom krugu
n∑ m∑
E i − V i = 0
i=1
i=1
Ovo vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati bilo
koju zatvorenu putanju (petlju) i obići je zbrajajući algebarski pojedine napone V i
svakog električnog elementa na tom putu. Rezultat uvijek mora biti nula.
To je lako objasniti gleda li se napon kao razlika potencijala: iz koje god točke
kruga započeli obilazak, na kraju se vratimo na istu točku, a to znači na isti potencijal.
2.7 ELEKTRIČNI OTPOR U STRUJNOM KRUGU
U bilo kojem dijelu strujnog kruga dva otpornika mogu biti me ¯dusobno spojena
na dva načina: serijski ili paralelno. Kombinacijom tih načina dobivaju se različite
složene sheme. Pri rješavanju odnosa u strujnim krugovima česta je potreba da se
spoj s više otpora zamijeni ili izrazi ekvivalentnim otporom. Sljedeći primjeri, osim
rješavanja tog zadatka, pokazuju i tehniku rješavanja električnih mreža, koristeći
Ohm-ov zakon i Kirchhoff -ove zakone.
2.7.1 SERIJSKI SPOJ OTPORNIKA
Neka se spoje serijski dva otpornika u strujni krug, kao što prikazuje slika 2.7. Po I
Kirchhoff-ovom zakonu vrijedi da je struja kroz oba otpora ista (slika 2.7 a):
I + R 1
1 I2
R 2 +
I
+ R S
I
+
−
+
−
V
a) dva serijski spojena otpornika
V
b) ekvivalentan spoj
SLIKA 2.7: Serijski spoj otpornika
a po II. Kirchhoff-ovom i Ohm-ovom zakonu da je:
I 1 = I 2 = I (2.13)
V = V 1 +V 2 = I 1 · R 1 + I 2 · R 2 (2.14)
41

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Za ekvivalentni strujni krug (slika 2.7 b) u kojem pod djelovanjem istog napona
teče ista struja I kao u a) slučaju, vrijedi:
Povežu li se sva tri izraza: (2.13), (2.14) i (2.15) dobiva se:
V = I · R s (2.15)
odnosno:
I · R s = I · R 1 + I · R 2
R s = R 1 + R 2
Za više serijski spojenih otpora, razmatranje bi bilo analogno, pa se može zaključiti:
ekvivalentni otpor serijski spojenih otpora jednak je njihovu zbroju:
R s =
n∑
R i (2.16)
i=1
Kroz serijski spojene elemente teče ista struja. Zbog toga se intrument za mjerenje
struje - ampermetar, uvijek spaja serijski. Općenito, za serijski spoj raznih otpora iz
uvjeta jednakosti struja dobiva se omjer napona:
I = I 1 = I 2
iz čega proizlazi:
V 1
R 1
= V 2
R 2
V 1
V 2
= R 1
R 2
(2.17)
Na serijskom spoju otpora napon se dijeli u omjeru veličina otpora.
Ako se mijenjaju serijski spojeni otpori u strujnom krugu, zbroj napona na otporima
ne mijenja se i bit će uvijek jednak ukupnom naponu izvora.
Kod serijskog spoja n jednakih otpora, ukupni otpor je n puta veći od pojedinog
otpora. Priključak serijskog spoja otpora na izvor opterećuje izvor isto kao jedan
otpor jednak ukupnom otporu tog serijskog spoja.
2.7.2 PARALELNI SPOJ OTPORA
Paralelno spojeni otpori imaju isti napon, jer imaju zajednička čvorišta.
Ako su u strujnom krugu paralelno spojeni otpori R 1 i R 2 , naponi na njima V 1 i
V 2 , bit će jednaki
V 1 = V 2
42

Električni otpor u strujnom krugu
I
I
V +
I 1 I 2
+
+
R 1 R 2
V
+
+
R p
a) dva paralelno spojena otpornika
b) ekvivalentan spoj
SLIKA 2.8: Paralelni spoj otpornika
Nakon primjene Ohm-ovog zakona (2.9)slijedi:
I 1 · R 1 = I 2 · R 2
Iz ovoga proizlazi sljedeći odnos struja kroz paralelno spojene otpore:
I 1
I 2
= R 2
R 1
= G 1
G 2
gdje su G 1 i G 2 vodljivosti.
Struja se dijeli na paralelne grane električnog kruga tako da se jakosti struja u
granama odnose obrnuto razmjerno otporima grana, a upravo razmjerno vodljivostima
grana.
Ovo znači da u paralelnom spoju otpora jača struja teče kroz manji otpor.
U krajnjem slučaju, ako bi u jednoj paralelnoj grani otpor bio jednak nuli, onda
bi sva struja paralelnog spoja tekla kroz kratki spoj.
Ako se strujni krug sastoji od izvora napona V i dva paralelno spojena otpora R 1
i R 2 , vrijedi Kirchhoff-ova jednadžba za struje (2.10):
I = I 1 + I 2
Dijeljenjem obje strane jednadžbe s naponom izvora dobiva se:
I 1
V = I 1
V + I 2
V
Omjer struje i napona jednak je recipročnoj vrijednosti otpora ili električnoj
vodljivosti G.
Na desnoj strani jednadžbe su vodljivosti pojedinih paralelnih grana, dok lijeva
strana (omjer struje i napona izvora) pretstavlja ukupnu vodljivost kruga, što se
može napisati kao:
G p = G 1 +G 2
Ukupna vodljivost paralelnog spoja otpora jednaka je zbroju vodljivosti paralelnih
grana.
43

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Za više paralelno spojenih otpora razmatranje bi bilo analogno, pa se može zaključiti:
ekvivalentna vodljivost (vidi (2.4)) paralelno spojenih otpornika jednaka je
zbroju njihovih pojedinačnih vodljivosti:
odnosno
n∑
G p = G i (2.18)
i=1
ili:
i=1
1 n∑ 1
=
R p
i=1
R i
(
1 n∑ 1
= + 1 + ... + 1 )
R p R 1 R 2 R n
(2.19)
Na temelju ove jednadžbe (2.19), otpor dvaju paralelno spojenih otpora R 1 i R 2
iznosi:
R p = R 1 · R 2
R 1 + R 2
Iz jednadžbe za vodljivost (2.18) vidi se da povećanjem broja paralelno spojenih
otpora raste ukupna vodljivost, tj. smanjuje se ukupni otpor spoja R p .
Otpor paralelnog spoja n jednakih otpora R, n puta je manji od pojedinog otpora,
tj.
R p = R n
2.8 ELEKTRIČNA STRUJA U IONIZIRANOM PLINU
Dok je u metalnim vodičima struja moguća pod djelovanjem polja zahvaljujući
utvr ¯denom postojanju slobodnih elektrona, unaprijed nije sigurno ima li u plinovima
slobodnih naboja. Na prvi pogled nisu jasne okolnosti pod kojima struja nastaje
i održava se u plinu. Tako ¯der je problematično da li struja može teći u vakuumu
(plinu pri tlaku 0) ili ne. Intenzivno eksperimentiranje strujom u plinu, već od sredine
19. stoljeća, dovelo je do spoznaja koje se mogu sažeti u nekoliko točaka:
1. Struja u plinu znači naboj u gibanju, za što su neophodni dakako naboji i
polje. Polje se održava vanjskim izvorom priključenim na granice prostora s
plinom (elektrode).
2. Naboji mogu biti različitog porijekla. U prvom slučaju jedna od elektroda
(katoda) žarenjem isijava elektrone u plin (katodne zrake), a druga elektroda
(anoda) ih skuplja, a u drugom slučaju (hladna katoda), naboj se stvara ionizacijom
atoma plina pomoću stranog zračenja i/ili djelovanjem polja.
44

Električna struja u ioniziranom plinu
3. Na jakost struje u plinu, osim jakosti električnog polja utječe i vrsta korištenog
plina (helij, neon, argon, živine i litijeve pare itd.) i njegov tlak. Plin vodi
struju kod normalnog tlaka (oko 100kPa), pri razrije ¯denom plinu (izme ¯du
100 i 1000Pa), te uz tehnički vakuum (izme ¯du 1 i 100mPa). Idealni vakuum
predstavlja savršen izolator, koji to prestaje biti kada se u njega ubace naboji,
na primjer, elektroni.
4. Povećanjem napona izme ¯du elektroda raste brzina slobodnih naboja u plinu.
Oni sudarom s drugim česticama plina generiraju nove slobodne ione i taj se
učinak može razviti poput lavine.
Na slici 2.9 prikazana je (V, I ) karakteristika zraka za normalni tlak uz razmak
elektroda od 1 mm. Pojedina su područja:
0 - A : vrijedi približno Ohmov zakon - povećanjem napona struja raste, premda
izuzetno male jakosti. Me ¯du 27 · 10 18 molekula po cm 3 zraka postoji samo
100 do 1000 ioniziranih.
A - B : područje zasićenja. Kinetička energija slobodnih elektrona tako je mala da
se poništava prilikom sudara s molekulama plina, pa porastom napona ne
raste jakost struje. Proteže se na naponima od nekoliko volta do nekoliko
desetaka volta.
B - C : udarna ionizacija. Povećanjem napona elektroni dobivaju dovoljnu energiju
za ionizaciju plina, uslijed čega se broj nosilaca naboja (ioni i elektroni) povećava.
U točki C pojavljuje se tinjavi izboj - pojava svjetla izme ¯du katode i
anode.
C - D : daljnjim povećanjem napona gustoća struje na katodi raste, svjetlosni učinak
se pojačava i u točki D dolazi do lučnog izboja. Za lučni izboj karakteristične
su velike gustoće struje (od 10 2 do 10 4 A/cm 2 ) i smanjenje napona na
samo 15 do 55 V.
I [A]
10 −3 1
D
10 −6
10 −9
10 −12
10 −15
A
B
C
10 10 2 10 3
V [V ]
SLIKA 2.9: (V,I) karakteristika električne struje u zraku
45

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Premda pojedini slučaji struje u plinu imaju štetan karakter, kao na primjer
iskrenje na kontaktima ili pojava korone na dalekovodima visokog napona, ipak
električna struja u plinu ima brojne primjene: različite svijetleće cijevi (područje
C-D), zavarivanje (iznad točke D), elektrofilter, elektrostatsko lakiranje i slično.
2.9 ELEKTROKEMIJSKE POJAVE
Kad se u vodi ili nekom otapalu otope molekule soli, kiseline ili lužine, dolazi do dijeljenja
neutralnih molekula na pozitivno i negativno nabijene ione. Atomi vodika i
metala predaju svoje valentne elektrone ostalom dijelu molekule koja tako postaje
negativni ion. Urone li se elektrode u takvu otopinu (elektrolit) i na njih priključi
istosmjerni napon dolazi do elektrolize. Pozitivna elektroda (anoda) privlači negativne
ione, dok negativna elektroda (katoda) privlači pozitivne ione. Gibanje iona -
molekula i/ili dijelova molekule znači prijenos tvari prema elektrodama, na kojima
su moguće i naknadne, sekundarne kemijske reakcije. Kao primjer može se promotriti
proces elektrolize u vodenoj otopini srebrnog nitrata Ag NO 3 . Kao anoda
koristi se srebrena pločica, a kao katoda neki metalni predmet, na primjer od bakra
(slika 2.10).
+A
-K
Ag
Ag
Cu
AgNO 3
−
V
SLIKA 2.10: Proces elektrolize
Ioni srebra koji su predali svoje valentne elektrone kiselinskom ostatku NO 3
postaju pozitivni, pa se talože na bakrenoj katodi, dok se NO 3 lako spaja sa srebrom
anode, dajući opet AgNO 3 u otopinu. Koncentracija soli AgNO 3 ostaje tako
46

Elektrokemijske pojave
u otopini nepromijenjena i konačni rezultat je da se srebro s ploče, posredstvom
elektrolita i električne struje, prenosi na katodu. To je jedan od brojnih postupaka
u galvanostegiji, gdje se na predmete zbog zaštite od korozije ili zbog estetskih razloga
električnim putem nanosi sloj metala.
2.9.1 FARADAY-EVI ZAKONI ELEKTROLIZE
Proučavajući elektrolitičke reakcije Faraday je uočio i formulirao dva zakona. Prvi
izriče da je količina izlučenih čestica materije na elektrodama ovisna o vrsti tvari
koja se izlučuje i količini protjecanog elektriciteta koji u elektrolizi djeluje. Ako se
sa m označi masa izlučene tvari, a s Q količina elektriciteta, onda vrijedi:
m = a ·Q (2.20)
Faktor razmjernosti a naziva se elektrokemijski ekvivalent i razlikuje se za pojedine
tvari. To znači da će za istu količinu elektriciteta količina izlučene tvari za
različite tvari biti različita. Kako je Q = I · t, isti se izraz može napisati i kao:
m = a · I · t
Količina izlučene tvari na elektrodama razmjerna je ukupnoj količini elektriciteta
koja je prošla kroz elektrolit. Pritom svaki ion u elektrolitu u sebi nosi odre ¯denu
količinu naboja (koja je za različite tvari različita, a za iste ista).
Drugi Faraday-ev zakon opisuje elektrokemijski ekvivalent elementa s obzirom
na njegovu atomsku strukturu, te me ¯dusobne odnose elektrokemijskih ekvivalenata
različitih kemijskih elemenata.
Ako se s A označi atomska masa, a s v valencija, onda za dva kemijska elementa
vrijedi:
a 1 : a 2 = A 1
v 1
: A 2
v 2
(2.21)
To znači da se elektrokemijski ekvivalenti dvaju elemenata odnose kao njihove
ekvivalentne mase (omjer atomske mase i valencije). Drugim riječima: ioni elemenata
kojih je valencija dva, tri, četiri, ... puta veća u odnosu na vodik, prenose
dvostruku, trostruku, četverostruku, ... količinu naboja.
Iz izraza (2.21) slijedi još jedan zanimljiv rezultat:
A 1
= A 2
= ... =
A
a 1 · v 1 a 2 · v 2 a · v = Q F (2.22)
gdje je Q F = 96,48910 6 As/kg (Faraday-eva konstanta).
Elektrokemijski ekvivalent nije neka empirijska konstanta razmjernosti, kako bi
se to iz izraza (2.20) moglo pomisliti, nego egzaktna veličina koja se za svaki element
može unaprijed izračunati (a = A/Q F · v). Tako se povezujući oba izraza (I.
47

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Faraday-ev zakon (2.20) i II. Faraday-ev zakon (2.22)) za masu izlučene tvari kao
rezultat elektrolize dobije:
m = A v · 1
1
· I · t =
Q F 96,48910 6 · A ·Q [kg ]
v
i time elektrolitički odnosi postaju potpuno odre ¯deni.
2.9.2 PRIMARNI ELEMENTI
Do sada je bilo opisano ponašanje elektrolita pod djelovanjem električnog napona
priključenog na elektrode uronjene u elektrolit. Druga zanimljiva pojava vezana je
uz elektrolitsku polarizaciju koja se doga ¯da kad se u elektrolit urone dvije elektrode
različitog kemijskog sastava. Izme ¯du takvih dviju elektroda, bez vanjskog djelovanja,
pojavit će se napon. Iznos napona osim o kemijskom sastavu elektroda ovisi
tako ¯der i o elektrolitu. Tako su dobiveni prvi električni izvori, nazvani galvanski
elementi. Na istim načelima, uz stanovita poboljšanja u veličini napona i vijeku
trajanja, ti elementi nalaze svoju široku primjenu gotovo već dva stoljeća. (Prvi element
konstruirao je A.Volta 1800. godine.) Ne ulazeći u kemijske promjene koje se
pritom doga ¯daju vrijedno je napomenuti da se izmjenom kemijskog sastava (kako
elektroda tako i elektrolita) mijenja i potencijal pojedine elektrode. To se doga ¯da
čak i kad je elektroda uronjena u otopinu vlastitih iona. Budući da se ne može
mjeriti apsolutni potencijal jedne elektrode, već samo razlika potencijala izme ¯du
dviju elektroda, dogovorno je utvr ¯deno da se svi potencijali uspore ¯duju s potencijalom
vodikove elektrode. Drugim riječima, dogovorno je proglašen njezin potencijal
jednakim nuli. Kemijski elementi poredani po veličini njihova potencijala
prema vodikovoj elektrodi tvore elektrokemijski naponski niz. U tablici 2.11 navedeni
su potencijali nekih elemenata s obzirom na vodikovu elektrodu u elektrolitskoj
otopini vodikovih iona.
Spoji li se galvanski element kao izvor napona u zatvoreni strujni krug, on će,
ovisno o trošilu i naponu izme ¯du svojih elektroda, davati električnu struju.
TABLICA 2.2: Elektrokemijski naponski niz
Elektroda
Li -3,02
K -2,92
Ca -2,87
Mn -1,05
Potencijal [V]
48

Elektrokemijske pojave
Elektroda
Zn -0,76
Pb -0,13
Cu +0,52
Ag +0,79
Potencijal [V]
Ona će dakako, osim u vanjskom krugu, teći i u samom izvoru: od katode preko
elektrolita do anode. Pritom će se zbog elektrokemijskih procesa neutralizacije
iona elektrolita s molekulama elektroda doga ¯dati promjene u kemijskom sastavu
elektroda, što će smanjivati prvotni napon izme ¯du njh.
Na primjer, ako se na anodi Voltina elementa Cu/H 2 SO 4 /Zn (prva elektroda-
/elektrolit/druga elektroda) vodik razvija brže nego što se može ukloniti, dobiva se
novi element H 2 /H 2 SO 4 /Zn kojem je napon izme ¯du elektroda puno manji nego prvotnom.
To smanjenje napona zbog promjena na elektrodama zove se polarizacija.
Taj nepoželjni efekt nastojali su mnogi znanstvenici u prošlom stoljeću (Daniel,
Meidinger, Bunsen, Leclanché) poništiti korištenjem takozvanih depolarizatora. Depolarizatori
služe da bi se najčešće oksidacijom uklonio vodik s pozitivnog pola. U
Leclanché-ovom elementu (slika 2.11) iz kojeg se razvio najveći broj današnjih baterija
(slika 2.12) kao depolarizator služi MnO 2 kojim je obložena ugljikova anoda.
+ -
C
Zn
MnO 2
NH 4 Cl
SLIKA 2.11: Leclanché-ov element
Takve baterije koriste cinkovu limenu posudu kao negativnu elektrodu, dok je
ugljeni štapić pozitivna elektroda obložena praškastim manganovim superoksidom.
Napon jednog elementa je 1,5 V, a serijskim spojem takvih elemenata dobivene su
plosnate baterije od 4,5 V, četvrtaste od 9 V i sl.
Spomenuta izvedba pripada baterijama s tekućim elektrolitom koji je pogodnim
dodacima zgusnut (suhe baterije). U klasu suhih baterija ubrajaju se i živine
baterije (održavaju razmjerno konstantan napon do potpunog iskorištenja), srebrno-kloridne
(nizak napon i dug vijek trajanja), vanadijeve i druge.
Danas su sve više u uporabi živine (živin oksid - cink), srebrene (srebrni oksid -
cink), magnezijeve i litijeve baterije, koje se odlikuju stabilnim naponom (od 1,3V
49

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Zn
-
+
C
MnO 2
SLIKA 2.12: Element baterije
do 3V), širokim područjem radnih temperatura, mehaničkom čvrstoćom i dugim
vijekom skladištenja.
Postoje i baterije s krutim elektrolitom (malih dimenzija i naponom vrlo duga
vijeka, čak do 20 godina), zatim baterije koje se aktiviraju tekućinom (nalivne baterije),
plinom ili grijanjem (termalne baterije). Sve one uglavnom služe za posebne
(vojne) svrhe.
Regeneracija, obnova primarnih elemenata nije moguća, pa su istrošene baterije
neupotrebljive. Zahtjev za regeneracijom ostvaruje se kod akumulatora.
2.9.3 SEKUNDARNI ELEMENTI
Osnovno svojstvo akumulatora kao električnog izvora u kojem se kemijska energija
pretvara u električnu je njegova mogućnost regeneracije. S obzirom da se radi o
reverzibilnom kemijskom procesu, regeneracija se ostvaruje strujom iz stranog električnog
izvora koji se na elektrode akumulatora priključuje tako da struja u elektrolitu
teče u suprotnom smjeru od onog kojim je tekla kad je akumulator davao
struju priključenom trošilu ostvarujući suprotni kemijski proces. Prvi olovni akumulator
načinio je G. Plant’e 1859. godine. Iako danas postoji više različitih vrsta
akumulatora, osnovna načela izvedbe i rada u nastavku se prikazuju na olovnom
akumulatoru. Napon jedne ćelije olovnog akumulatora je oko 2 V, i obično se 6 ili
12 ćelija povezuje serijski, pa daju ukupni napon od 12 V, odnosno 24 V.
Jednu ćeliju akumulatora prikazuje slika 2.13. Elektrolit je razrije ¯dena sumporna
kiselina, anoda je olovni superoksid, a katoda čisto olovo. Priključi li se trošilo na
stezaljke napunjenog akumulatora, poteći će struja, koja će u elektrolitu potaknuti
sljedeću kemijsku reakciju:
PbO + 2 + Pb− + 2H 2 SO 4 → PbSO + 4 + PbSO− 4 + 2H 2O (2.23)
50

Elektrokemijske pojave
trošilo
I
+,A
−,K
PbO 2
Pb
H 2 SO 4
SLIKA 2.13: Olovni akumulator
To znači da se obje elektrode postupno kemijski izjednačuju i pretvaraju u olovni
sulfat, što će dakako smanjivati njihovu me ¯dusobnu razliku potencijala. Iz kemijske
reakcije (2.23) vidljivo je još nešto: u elektrolitu se kiselina sve više razrje ¯duje
vodom, pa nam uz naponske promjene i gustoća kiseline može poslužiti kao kazalo
da li je akumulator pun ili prazan. Posebno izgra ¯deni areometri za mjerenje gustoće
kiseline koriste se za takva mjerenja. Kad napon akumulatora padne ispod
90% nazivnog, potrebno je akumulator "napuniti". Izvor istosmjerne struje za regeneraciju
akumulatora treba sada spojiti tako da na anodu do ¯de ’+’ pol, a na katodu
’-’ pol izvora. To će rezultirati odvijanjem suprotnog kemijskog procesa:
PbSO + 4 + PbSO− 4 + 2H 2O → PbO + 2 + Pb− + 2H 2 SO 4 (2.24)
Za vrijeme punjenja, dakle, elektrode i elektrolit vraćaju se po svom kemijskom
sastavu u prvotno stanje, koje osigurava i prvotne naponske prilike (usporedite
kemijske jednadžbe (2.23) i (2.24)).
Postoje još tri pojma koja je korisno poznavati u radu s akumulatorima: kapacitet
akumulatora, dobrota i korisnost.
Kapacitet akumulatora je umnožak struje i vremena u kojem tu struju akumulator
može davati. Označen je na izvedenim akumulatorima za nazivnu struju,
što znači da se akumulator kapaciteta 90 Ah i nazivne struje 10 A, može njome
opteretiti 9 sati.
Kapacitet ipak nije konstanta akumulatora nego ovisi o uvjetima eksploatacije.
Za struje manje od nazivnih, za intermitirajući pogon, te pri višim temperaturama
kapacitet je veći. Za gornji primjer: strujom od 15 A isti akumulator ne bismo mogli
opteretiti 6 sati, nego manje. Omjer
ζ = Ah pr ažn j en j a
Ah pun j en j a
51

2. ISTOSMJERNA STRUJA
zove se dobrota akumulatora. Punjenje će trebati više ampersati nego što se
dobiva pri pražnjenju, pa je kod olovnih akumulatora dobrota oko 0,95.
S obzirom da se prilikom punjenja privodi viši napon na stezaljke akumulatora
nego što je napon pražnjenja, energetski omjer koji se zove korisnost
η = ζ · Vpr ažn j en j a
V pun j en j a
= W h pr ažn j en j a
W h pun j en j a
bit će manji od ζ, te za olovne akumulatore iznosi oko 0,80. Osim olovnih postoje
i ’alkalijski’ željezno-nikaljni (otporni na električne i mehaničke udarce), nikaljno-kadmijevi
(najveća brzina punjenja), srebreno-cinčani (mala težina i volumen)
i drugi akumulatori.
2.10 JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG
Električni strujni krug nastaje povezivanjem električnog izvora s trošilom. Vodljiva
veza izvora s trošilom u elektroenergetici se naziva vod. Trošilo će primljenu energiju
izvora u načelu pretvarati u koristan rad. Jednostavni strujni krug sastoji se
dakle od tri osnovna dijela: električnog izvora, trošila i dvožičnog voda (slika 2.14).
U električnom se izvoru djelovanjem neelektrične sile razdvajaju raznoimeni
naboji i povećava njihova potencijalna energija. To rezultira naponom na polovima
(stezaljkama) izvora čiji se najveći mogući iznos zove elektromotorna sila izvora i
najčešće se označuje s E ili E MS.
I
I
A
+
E + a) bez instrumenata
R T
+
R T
V
E + b) s mjernim instrumentima
SLIKA 2.14: Jednostavni strujni krug
Ako se negativnoj stezaljki izvora pridjeli referentni potencijal iznosa 0, najveći
potencijal bit će na pozitivnom (’+’) polu, a onda će u smjeru struje potencijal opadati.
Iz elektrostatike je poznato (poglavlje 1, izraz 1.11) da gibanje naboja u prostoru
u kojem se električni potencijal tog naboja mijenja predstavlja rad (W = Q·V ). Neka
se pretpostavi da su svi otpori strujnog kruga izraženi otporom R. Dakako, na njemu
vrijedi Ohm-ov zakon: struja će uz isti napon biti manja ako je otpor veći, i obratno.
52

Jednostavni strujni krug
Općenito, u prirodi postoje dva temeljna zakona: zakon o očuvanju energije i
zakon o očuvanju materije (moglo bi se u načelu govoriti o istom zakonu). Prvi
zakon izriče da je energija u izoliranom sustavu (nezavisnom od svoje okolice) uvijek
konstantna. To znači da je u idealnom slučaju energija koju daje izvor jednaka
energiji koja se dobiva u trošilu:
E ·Q i = V T ·Q T (2.25)
Prema drugom zakonu količina je naboja (materije) u izoliranom sustavu tako ¯der
konstantna, a to znači da je količina naboja koja iz izvora ode jednaka količini
naboja koja kroz trošilo pro ¯de i natrag se u izvor vrati (Q i = Q T ). Budući da na
otporu trošila vrijedi Ohm-ov zakon (V T = I · R T ), gornji izraz (2.25) sad izgleda:
E = I · R T
Iz dobivenog rezultata može se zaključiti sljedeće:
1. Napon V T na R (tzv. pad napona na trošilu), jednak je elektromotornoj sili
izvora:
E = V T
2. Struja koja u jednostavnom strujnom krugu teče ovisi o naponu izvora i otporu
kruga:
I = E R T
(2.26)
3. Jakost struje jednaka je u svakom dijelu jednostavnog strujnog kruga, samo
je smjer s obzirom na stezaljke u izvoru od ’-’ prema ’+’ polu, a kroz vanjski
strujni krug od ’+’ pola prema ’-’ polu.
Svi navedeni zaključci mogu se provjeriti spajanjem mjernih instrumenata (slika
2.14 b).
Jakost struje mjeri se ampermetrom. Ampermetar se u strujni krug priključuje
serijski (prekidom vodiča i spajanjem instrumenta na prekinute priključke). Da bi
što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što manji.
Iznos napona mjeri se voltmetrom. Voltmetar mjeri razliku potencijala izme ¯du
dviju točaka. Zato se priključuje paralelno izvoru ili trošilu čiji napon želimo mjeriti.
Da bi što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što
veći. Veliki otpor instrumenta paralelno spojenog manjem otporu trošila ne mijenja
značajno ukupni otpor paralelnog spoja.
U realnom strujnom krugu pojave su nešto složenije u odnosu na opisani. Prije
svega električni izvor ima svoje gubitke, pa dovedena energija (mehanička, kemijska,
magnetska i sl.) nije jednaka odvedenoj električnoj energiji. Nadalje, realni
izvor nema na svojim stezaljkama isti napon kad mu se priključi trošilo i kad je
neopterećen. Realno ponašanje takva izvora može se prikazati dijagramom kao na
slici 2.15.
Da bi se takvo ponašanje uzelo u obzir, pretpostavlja se da u svakom realnom
izvoru postoji stanoviti otpor R u na kojem dolazi do pada napona, pa se u slučaju
53

2. ISTOSMJERNA STRUJA
V
SLIKA 2.15: Vanjska karakteristika realnog izvora napona
I
priključenog trošila na vanjskim stezaljkama izvora pojavljuje napon jednak elektromotornoj
sili umanjenoj za taj pad napona. Zato se u realnom izvoru uz simbol
elektromotorne sile E crta i otpor R u , koji se zove unutarnji ili nutarnji otpor izvora
(slika 2.16).
Nadalje, vod ima svoj električni otpor (označuje se najčešće s R v ), koji treba
uzeti u obzir, ako nije zanemariv prema otporu trošila.
U novim okolnostima struja I više neće zadovoljavati izraz (2.26) već će biti
manja (zbog dodanih otpora izvora i otpora voda). Zbog manje struje je i napon
na trošilu V T tako ¯der manji od napona izvora E.
I
1
2 R V
R u
E + +
+
R T
1
2 R V
SLIKA 2.16: Realni jednostavni strujni krug
Dakako, u praksi se ni trošilu dovedena električna energija ne pretvara potpuno
u koristan rad. Sve tehničke tvorevine rade s nekim stupnjem iskorištenja, tj. korisni,
dobiveni učinak manji je od uložene energije.
2.11 SLOŽENI STRUJNI KRUG
Zadatak rješavanja električne mreže je potpuno odrediti struje u svim granama (po
veličini i smjeru) i razlike potencijala izme ¯du čvorova. Svaki električni element (otpornik,
kondenzator, izvor,. . . ) predočen je u električkoj mreži s vlastitom granom
54

Složeni strujni krug
i to obično sa svojim simbolom, oznakom i iznosom fizikalne veličine koju predstavlja.
Za rješavanje električne mreže razvijene su brojne metode (metoda napona
čvorova, metoda konturnih struja, metoda superpozicije, različite transfiguracije i
slično), te izvedeni brojni teoremi koji pomažu u analizi električnih mreža (Thevenen-ov
teorem, Norton-ov teorem, Millman-ov teorem i drugi). Treba naglasiti da
sve metode i teoremi samo doprinose brzini i lakoći rješavanja naponsko-strujnih
prilika u mreži, a da se temelji rješavanja uvijek nalaze u Ohm-ovu zakonu i Kirchhoff
-ovim zakonima.
U postupku rješvanja mreže treba najprije utvrditi što je zadano, a koje se nepoznanice
traže, te postaviti primjenom I. i II. Kirchhoff-ova zakona, toliko nezavisnih
jednadžbi koliko ima nepoznanica. Primjena I. Kirchoff-ova zakona na čvorove,
razmjerno je jednostavna, ako se na početku definiraju smjerovi struja po granama.
U primjeni II. Kirchhoff-ova zakona treba biti pozorniji jer treba posebno voditi
računa o strujama koje teku kroz iste grane koje pripadajaju različitim petljama.
Tako na primjer za izdvojenu petlju u nekoj složenoj mreži, kao na slici 2.17 da
bi se primijenio II. Kirchhoff-ov zakon potrebno je:
1. Definirati smjer obilaženja petlje. Po volji možemo odabrati u smjeru (kao na
slici, crtkano) ili suprotno od smjera kazaljke na satu.
2. Uočiti smjer djelovanja izvora elektromotorne sile. Smjer je onaj koji se dobiva
kretanjem kroz izvor od negativne prema pozitivnoj stezaljki.
3. Po volji odabrati smjerove struja u pojedinoj grani.
4. Primijeniti II. Kirchhoff-ov zakon.
I 3
R 3
E 2
E 1
I 2
I 1
R 2
R 1
SLIKA 2.17: Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji električne mreže
Ako se smjer djelovanja E MS podudara sa smjerom obilaženja, onda se ta E MS
u jednadžbi uzima s pozitivnim predznakom. Ako se smjer struje I kroz otpornik
R podudara sa smjerom obilaženja, onda se pad napona I · R uzima s pozitivnim
predznakom. Za shemu na slici 2.17 vrijedi:
E 1 − E 2 = I 1 R 1 − I 2 R 2 + I 3 R 3
55

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Na koncu treba osmisliti predznake dobivenih rezultata. Naime, ukoliko je numerički
rezultat za pojedinu struju negativan, znači da joj je stvaran smjer suprotan
pretpostavljenom.
Primjer:
Na slici 2.18 prikazan je jedan složen strujni krug:
I
R 1
I 1
R 2
I 2
R 3
+
E 1
+
E 2
+
SLIKA 2.18: Složeni strujni krug
Zadane su vrijednosti otpora R 1 , R 2 i R, te naponskih izvora E 1 i E 2 .
izračunati struje po granama.
Treba
Prvo se ucrtaju i označe struje po granama (proizvoljnog smjera). Zatim treba
postaviti 3 nezavisne jednadžbe (3 nepoznanice) koristeći Kirchhoff-ove zakone.
Iako postoje 2 čvora, I. Kirchhoff-ov zakon primjenjuje se na samo jednom, jer je za
drugi čvor jednadžba ista. Od 3 moguće petlje za primjenu II. Kirchhoff-ova zakona
jedna je zavisna, dakle treba postaviit jednadžbe za dvije petlje.
Vodeći računa o prethodnom naputku mogu se napisati tri jednadžbe:
I 1 + I 2 − I = 0
I 1 R 1 − I 2 R 2 = E 1 − E 2
I 2 R 2 + I R = E 2
Jednadžbe su napisane tako da se uoči mogućnost matričnog rješavanja. Te
jednadžbe za poznate vrijednosti otpora R, R 1 i R 2 , te naponskih izvora E 1 i E 2 ,
daju rješenja za struje I , I 1 i I 2 .
2.12 REALNI NAPONSKI IZVORI
Kako je već opisano, realni naponski izvor predočuje se (slika 2.19) serijskim spojem
idealnog naponskog izvora elektromotorne sile E i nutarnjeg otpora Ru.
56

Realni naponski izvori
IZVOR
R u
R T
E
SLIKA 2.19: Realni naponski izvor
Priključi li se na izvor trošilo otpora R T , strujnim krugom će poteći struja I čija
jakost iznosi (uz zanemarenje otpora voda, tj. uz pretpostavku R v = 0):
I =
E
R u + R T
(2.27)
(Ekvivalentna pretpostavka bila bi da su svi otpori izvan izvora obuhvaćeni s R T ).
Odavde je:
E = I · R u + I · R T (2.28)
Napon V (V = I · R T ) koji se može mjeriti na stezaljkama izvora je prema gornjem
izrazu (2.28) jednak:
V = E − I · R u (2.29)
dakle, napon idealnog izvora elektromotorne sile E umanjen za pad napona na
nutarnjem otporu.
2.12.1 VANJSKA KARAKTERISTIKA REALNIH IZVORA
Izraz (2.29) vrlo je značajan i u obliku V = f (I ). Njegov grafički prikaz već je dan
slikom 2.15, a ovdje se daje detaljnija analiza. Prva važna točka vanjske karakteristike
nalazi se pri I = 0, dakle otvorenom strujnom krugu (što odgovaa slučaju
R T = ∞. Iz (2.29) slijedi da je napon na stezaljkama V jednak E. Takvo stanje kruga
i izvora naziva se prazni hod. U grafičkom prikazu točka praznog hoda je na osi V
u vrijednosti E.
Druga ekstremna točka vanjske karakteristike nastupa za R T = 0 i naziva se
kratki spoj izvora, jer se postiže kad se stezaljke izvora spoje bez otpora.
Ako je R T = 0, iz izraza (2.27) slijedi
I = E R u
= I k
57

2. ISTOSMJERNA STRUJA
koja se naziva struja kratkog spoja.
Struja I k redovito je mnogo puta veća od nazivne, pa je kratki spoj izvora nepoželjan
za izvor i vodiče, jer ih može oštetiti. U grafičkom prikazu točka kratkog spoja
je na sjecištu karakteristike s osi I u vrijednosti I k . Grafički prikaz vanjske karakteristike
daje slika 2.15. Vrijedi uočiti kako je izraz (2.29) linearna funkcija V = f (I ):
V = −R u I + E
što grafički predstavlja pravac s odsječkom E na ordinati i nagibom −R u .
Karakteristika jasno predočuje da povećanjem struje iz izvora I opada napon
stezaljki V . Primjerice, za radnu točku P pri struji I , napon na stezaljkama izvora
je V , a pad napona na nutarnjem otporu I · R u . Zbroj napona V i pada napona na
nutarnjem otporu uvijek mora biti jednako E. Strmina vanjske karakteristike ovisi
o kutu β čiji je tangens jednak R u .
V [V ]
R ′ T > R T
V [V ]
R T
R T
E
V ′
V
β
P ′
P
E
E
V
V ′
β
β ′
P ′
P
E
α
I ′
I
I K
I [A]
α
I ′
I
I ′ K
I K
I [A]
SLIKA 2.20: Vanjska karakteristika realnih izvora
U isti koordinatni sustav V − I može se ucrtati i V − I karakteristika otpora R T
(V = R T · I ). Otpor R T jednak je tangensu kuta α. Radna točka P (par vrijednosti
V, I ) bit će u sjecištu karakteristika. Lako se prate promjene: kad raste R T povećava
se kut α, kad raste R u povećava se kut β. Kad se mijenja E, vanjska karakteristika
pomiče se paralelno samoj sebi.
U idealnom naponskom izvoru, u kojem bi bio R u = 0 vanjska karakteristika bio
bi horizontalan pravac u točki E (β = 0), pa bi napon V bio stalan za sva opterećenja
(V = E), a struja kratkog spoja bila bi I k = ∞.
2.12.2 SPOJEVI ELEKTRIČNIH IZVORA
U slučaju da jedan izvor nema dovoljan napon ili ne može dati dovoljnu struju
trošilu, koriste se različiti spojevi više električnih izvora.
58

Realni naponski izvori
Serijski spoj dvaju ili više izvora ostvaruje se nizom izvora tako da stezaljku
jednog izvora spojimo sa stezaljkom drugog, pa slobodne stezaljke krajnjih izvora
postaju stezaljke novodobivenog izvora. Kod ovakvog spajanja imamo dakako dvije
mogućnosti, što je za dva izvora prikazano na slici 2.21.
A +E 1
R u1
+E 2
R u2 B
A +E 1
R u1
E 2
+
R u2
B
SLIKA 2.21: Serijski spoj realnih električnih izvora
U prvom slučaju (slika 2.21 a) ukupni napon E AB = E 1 + E 2 , a u drugom, tzv.
protuspoju (slika 2.21 b) E AB = E 1 − E 2 . Spoji li se novi izvor u strujni krug, kroz
njega će poteći ista struja kao kroz priključeno trošilo. Stoga treba voditi računa o
nazivnim (pretpostavljenim) strujama pojedinih izvora od kojih je novi izvor sastavljen,
te spoj izvora koristiti samo za takva trošila koja neće uzimati struju veću
od najmanje pojedinačne nazivne struje. Poopćenje na više serijski spojenih izvora
analogno je prije opisanom spoju. Ukupni napon E bit će jednak zbroju napona pojedinačnih
izvora uz odgovarajući polaritet (negativan za protuspoj), a struja kroz
svaki izvor bit će ista:
E =
n∑
E i
i=1
I 1 = I 2 = ... = I
Novodobiveni izvor ima ekvivalentan nutarnji otpor R u = ∑ n
i=1 R u i
.
Ako se trošilo otpora R T priključi u krug s više serijski spojenih izvora, onda će
struja I teći kroz otpor i sve izvore u iznosu:
I =
E 1 + E 2 + ... + E n
R 1 + R 2 + ... + R n + R T
(2.30)
s odgovarajućim predznakom elektromotorne sile svakog pojedinačnog izvora.
Spojimo li izvore jednakih elektromotornih sila E i nutarnjeg otpora R u gornja
jednadžba (2.30) postaje:
n · E
I =
n · R u + R T
Kod paralelnog spoja dvaju izvora imamo tako ¯der dvije mogućnosti, kako je
prikazano slikom 2.22.
Iz praktičnih se razloga nikad ne koristi protuspoj (slika 2.22 b)), osim pogreškom,
jer donosi nepotreban gubitak energije.
59

2. ISTOSMJERNA STRUJA
+E 1
R u1 +
E 1
+
+ R u1
A
E
I
B
+
u2
A
E 2
+
I
R u2 +
B
E 1
R u1
+
+
+
E 2
+
R u2
I
+
R T
SLIKA 2.22: Paralelni spoj realnih naponskih izvora
Izvor će u praznom hodu za slučaj na slici 2.22 a) na svojim stezaljkama imati
napon E jednak:
pa kako je:
E AB = E 1 − I · R u1
slijedi:
I = E 1 − E 2
R u1 + R u2
E AB = E 1 − (E 1 − E 2 ) · R u1
R u1 + R u2
(2.31)
Ako su E 1 i E 2 jednaki, iz izraza (2.31) slijedi E AB = E 1 = E 2 , što se u načelu od
takva izvora i traži. Ako naponi nisu jednaki, onda u samim izvorima teče stalna
struja, koja može biti i veća od nominalne pojedinog izvora, pa tako uništiti sam
izvor.
Razlog uporabe paralelnog spoja dvaju ili više izvora je u struji koju taj izvor
može dati trošilu. S obzirom da se radi o dvije ili više grana spojenih u jednu točku,
po I. Kirchhoff-ovu zakonu slijedi da će takav izvor dati ukupnu struju jednaku
zbroju svih struja pojedinih grana u toj točki (slika 2.22 c). Treba uočiti da na jakost
struje pojedine grane u slučaju istih elektromotornih sila presudnu ulogu ima nutarnji
otpor pojedinog izvora.
Paralelni spoj izvora omogućuje dakle, uz isti napon, veću struju za trošilo:
60

Mjerenje struje, napona i otpora
E =
n∑
I i
i=1
E 1 = E 2 = ... = E
Pri paralelnom spajanju n jednakih izvora, jednake elektromotorne sile E i jednakih
nutarnjih otpora R u struja kroz trošilo bit će jednaka:
I =
E
R u
n + R T
2.13 MJERENJE STRUJE, NAPONA I OTPORA
Mjerni se instrumenti spajaju u strujni krug radi mjerenja željenih veličina: struje,
napona, otpora, snage. Spajanje bilo kojeg realnog instrumenta (ima konačni otpor)
u strujni krug mijenja prilike u krugu. Tako će ampermetar sa svojim otporom
R i A utjecati da se, na primjer, struja u jednostavnom strujnom krugu (slika 2.23 a)
smanji, jer se ukupni otpor zbog instrumenta povećava (serijski spoj otpornika).
I
+
A
I
R u
E + +
R i A
+
R T
R u
E + +
+
V R iV
I − I i
R T
SLIKA 2.23: Pojedinačno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu
Dakako, pritom će na ampermetru postojati pad napona (I · R i A ), pa će i napon
na trošilu biti manji s obzirom na prilike bez ampermetra. To je identično razmatranju
da je uz manji I i pad napona na trošilu (I · R T ) tako ¯der manji. Zato se zahtijeva
da otpor ampermetra bude što manji (idealno: jednak nuli) u odnosu na otpor
trošila.
Slično razmatranje vrijedi i za voltmetar (slika 2.23 b), za koji se s obzirom na
njegovo paralelno spajanje traži da otpor bude jako velik (idealno: beskonačan).
Samo beskonačno velik otpor spojen paralelno trošilu ne mijenja prilike.
Ukoliko se mjerenja više električnih veličina izvode istodobno, potrebno je primijeniti
takve načine spajanja, pri kojima se pogreške zbog instrumenata mogu zanemariti.
Ako je pogreška ipak prevelika, onda je potrebna analitička korekcija. Odabir
ispravnog spoja ovisi o zahtjevu koji se na mjerenje postavlja.
Neka se ampermetar i voltmetar spoje u strujni krug kao na slici 2.24. Prvi način
spajanja (slika 2.24 a) koristi se za mjerenje napona izvora i struje koja teče kroz
61

2. ISTOSMJERNA STRUJA
trošilo. (Struja kroz trošilo jednaka je struji izvora umanjenoj za iznos struje koja
teče kroz voltmetar).
R i A
+
E + +
I
R u
a) struje trošila i napona izvora
V
+
+
R iV
A
R T
E + +
R i A
A
V
+
R u
b) struje izvora i napona trošila
R iV
+R T
SLIKA 2.24: Istodobno mjerenje
Ovim se spojem ne bi mogao točno mjeriti napon na trošilu, jer voltmetar istodobno
mjeri i pad napona na trošilu i pad napona na ampermetru. Zato se za
mjerenje napona na trošilu koristi spoj prikazan na slici 2.24 b). U tom pak slučaju
ampermetar mjeri struju koju daje izvor, a koja (zbog konačnog otpora voltmetra)
ne teče čitava kroz trošilo.
Za mjerenje otpora najčešće se koriste tri načina: V/I metoda, ommetar i Wheatstone-ov
most. Prvi način, temeljen na Ohm-ovu zakonu, sasvim je jednostavan:
nepoznati otpor jednak je kvocijentu izmjerenog napona i struje.
2.13.1 MJERNI INSTRUMENTI: VOLTMETAR, AMPERMETAR, OMMETAR
Postoje različite izvedbe mjernih instrumenata, temeljene na različitim fizikalnim
efektima, a ovdje se prikazuje samo izvedba vrlo poznatog i često korištenog instrumenta
s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom.
Ako kroz svitak smješten unutar polova permanentnog magneta (kao na slici
2.25) prolazi struja, na svitak djeluje moment (u poglavlju o magnetizmu bit će
to objašnjeno) koji uzrokuje otklon kazaljke instrumenta. Veća jakost struje daje
veći moment, a veći moment veći otklon. Protumoment djelovanju električnog
momenta ostvaruje se s pomoću spiralne mehaničke opruge. Ovakvi instrumenti,
dakle, mjerila su jakosti istosmjerne struje (ampermetar). Me ¯dutim, posredno ih
koristimo i za mjerenje napona (voltmetar) i za mjerenje otpora (ommetar).
Uz otpor instrumenta R i A (to je otpor žice svitka), još je važno poznavati jakost
struje I i kod koje kazaljka pokazuje puni otklon. Ako je na primjer otpor instrumenta
R i A = 50Ω , a I i = 2 mA, to znači da instrument može mjeriti struju do 2 mA,
a napon do V i = R i A · I i = 0,1 V.
62

Mjerenje struje, napona i otpora
Kako mjeriti veće napone i struje? Proširenje mjernog područja instrumenta ostvaruje
se prikladnim dodavanjem otpornika. Za mjerenje viših napona otpornike
treba spajati serijski sa Ri v, a za mjerenje većih struja - paralelno.
0
1
2 3 4
5
6
N
S
SLIKA 2.25: Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom
Slika 2.26 prikazuje proširenje mjernog područja voltmetra dodavanjem serijskog
otpora R s .
Napon koji voltmetar mjeri pri punom otklonu je:
V = I i · (R i v + R s ) (2.32)
Potrebno je, dakle, prema izrazu 2.32, otpornik R s dimenzionirati kao:
R s = V − I i · R i v
I i
= V −V i
I i
(2.33)
VOLTMETAR
+
R iV
V
+ R S
I i
+
−
SLIKA 2.26: Proširenje mjernog područja voltmetra
Iz izraza (2.33) uz V ≫ V i (V puno veće od V i ) slijedi:
63

2. ISTOSMJERNA STRUJA
R s
∼ =
V
I i
Za mjerenje većih struja od I i (proširenje mjernog područja ampermetra) svitku
treba paralelno spojiti otpornik R p (slika 2.27), koji se naziva shunt (čitaj: šent), pa
vrijedi:
odnosno:
Uz I ≫ I i gornji izraz (2.34) postaje:
(I − I i ) · R p = I i · R i A
R p = I i · R i A
I − I i
= V i
I − I i
(2.34)
R p
∼ =
V i
I
Dok je kod mjerenja napona V bilo nužno da otpornik R s ima veću vrijednost
od R i v približno onoliko puta koliko puta je V veće od V i , kako bi na sebe preuzeo
veći dio mjerenog napona,
AMPERMETAR
I
I i
R i A
I − I i
+
RP
A
+
−
SLIKA 2.27: Proširenje mjernog područja ampermetra
kod mjerenja struje (paralelnog spoja) R p je toliko puta manji od R i A koliko je
približno željena struja I puta veća od struje instrumenta I i (R p /R i A ≈ I i /I ).
Ampermetar se može upotrijebiti i za mjerenje električnih otpora, uz stanovite
prilagodbe, kako je to prikazano na slici 2.28, čime se dobiva ommetar. Priključi
li se na stezaljke A i B otpornik nepoznatog otpora R x struja koju će ampermetar
pokazivati bit će odre ¯dena izrazom:
64
E
I =
R u + R i A + R r eg + R x

Mjerenje struje, napona i otpora
a nepoznata vrijednost otpornika R x je:
R x = E I − (R u + R i A + R r eg )
I
A +
R x B
+
R i A
+
A
R r eg
+
R u
+
SLIKA 2.28: Nadomjesna shema ommmetra
Struja ima najveću vrijednost (kazaljka pokazuje maksimalni otklon), kad su
stezaljke ommetra AB kratko spojene (R x = 0). Za prekid izme ¯du stezaljki (R x = ∞)
struja u strujnom krugu ne teče, pa je otklon kazaljke nula. Za vrijednosti otpora
R x izme ¯du tih krajnjih vrijednosti i otklon kazaljke bit će odgovarajući. To znači
da je skala ommetra označena tako da za otklon pri struji 0 ima oznaku ∞Ω, a za
struju punog otklona oznaku Ω0. Izme ¯du tih dviju oznaka raspodijeljene su ostale
vrijednosti (slika 2.13.1).
100 20 10 5 3 2
∞ 1000
Ω
1
0
SLIKA 2.29: Skala ommetra
Umjeravanje (baždarenje) ommetra prije svakog mjerenja izvodi se tako da se
stezaljke AB kratko spoje, a sa R r eg namjesti se otklon kazaljke na oznaku 0 (R AB =
0). Takvim načinom eliminira se utjecaj promjene napona izvora na mjerni rezultat
(npr. zbog starenja baterije).
2.14 RAD I SNAGA ISTOSMJERNE STRUJE
65

2. ISTOSMJERNA STRUJA
O energiji naboja u gibanju već je bilo govora u elektrostatici (poglavlje 1.) i jednostavnom
strujnom krugu (potpoglavlje 2.10). S obzirom da je struja naboj koji se u
vremenu giba (Q = I ·), izraz za rad tj. energiju naboja: W = Q ·V može se pisati kao:
W = V · I · t [J] (2.35)
Jedinica za rad je J (joul). Izražena pomoću osnovnih jedinica veličina s desne
strane izraza (2.35) ona je jednaka. V As (volt - amper- sekunda) ili W s (vatsekunda).
Primjenjen na otpor R uz korištenje Ohm-ovog zakona, izraz (2.35) može se
pisati na još dva načina:
i
W = I 2 · R · t
W = V 2
R · t
Isti se rad može obaviti u dužem ili kraćem vremenu, što ovisi o snazi P koja se
definira kao :
P = W t
[W ] (2.36)
Iz izraza (2.35) i (2.36) proizlazi da je jedinica za snagu V A (volt-amper). Ona se
kraće zove vat i označuje sa W . Preko navedenih izraza (2.35) - (2.36) slijedi da je
snaga na otporniku:
P = V · I = I 2 · R = V 2
Nazivna snaga trošila (obično označena na električnim trošilima, na primjer 100
W žarulja) je snaga za koju je trošilo gra ¯deno i koja se ostvaruje pri naponu za koji je
priključak trošila predvi ¯den (nazivni napon). Treba uočiti da stvarnu (trenutnu) vrijednost
snage odre ¯duje otpor tog trošila i trenutna vrijednost priključenog napona
ili struje koja kroz njega teče. Ono što trošilo obično trajno posjeduje jest njegov
otpor (premda je u praksi uslijed vanjskih utjecaja: starenja, temperature, vlage,
nečistoće i sl., ipak promjenjiv).
Osim nazivne snage, za električne ure ¯daje zanimljiva je i njihova korisnost ili
stupanj djelovanja. Ukupna privedena energija W u nije u trošilu u potpunosti iskorištena.
Ako je W g gubitak energije, a W korisna energija, onda se korisnost nekog
ure ¯daja definira kao:
R
η = W W
=
W u W +W g
Korisnost se za slučaj istog vremena t može izraziti i s pomoću omjera snaga (uz
iste oznake indeksa):
66
η =
P
P + P g

Appleti
Snaga se može odrediti tako da se ampermetrom izmjeri struja, a voltmetrom
napon željenog dijela strujnog kruga. Umnožak izmjerenih veličina daje snagu
izraženu u vatima. Po tom načelu napravljeni su instrumenti, nazvani vatmetri, kojima
je skala označena razmjerno umnošku mjerene struje i napona. Prilikom spajanja
vatmetra potrebno je osobitu pozornost obratiti na ispravno spajanje strujnih
i naponskih stezaljki. Naponske stezaljke spajaju se paralelno mjerenom objektu
(kao voltmetar), a strujne serijski (kao ampermetar).
Za mjerenje električne energije koriste se električna brojila. Električna energija
je W = P · t (iz izraza (2.36), pa su ti instrumenti zapravo modificirani vatmetri.
Faktor vremena t uzima se u obzir time što će moment koji bi u vatmetru djelovao
na otklon kazaljke instrumenta ovdje okretati okruglu pločicu spojenu na brojčanik
instrumenta. Uz istu snagu, kroz duže vrijeme, instrument će registrirati
veći broj okretaja (više će se puta pločica okrenuti), a za veću snagu, u istom vremenu,
tako ¯der će se registrirati veći broj okretaja (jer će se pločica brže okretati).
S obzirom da je jedinica vremena u tim ure ¯dajima sat, a jedinica snage kilovat
(1kW = 1000W ), ti se instrumenti još zovu kilovatsatna brojila.
2.15 APPLETI
2.15.1 OHMOV ZAKON
SLIKA 2.30: Ommetar
Pomoću klizača mijenjamo :
• RESISTANCE - vrijednost otpora od 2 do 10Ω
• VOLTAGE - vrijednost napona od 5 do 20 V
67

2. ISTOSMJERNA STRUJA
Ampermetar je priključen u strujni krug serijski sa otporom i mjeri struju koja
teče krugom. Ako povećavamo napon, povećavat će se i struja, a smanjenjem napona,
smanjit će se i struja. Povećanjem otpora, uz isti napon, struja se smanjuje, a smanjenjem
otpora struja se povećava. Struja je razmjerna naponu i obrnuto razmjerna
otporu prema (2.9).
Neka se provjeri ova jednadžba (Ohmov zakon) za R = 8Ω , V = 16V. Koliko je
I =?
I = V R = 16V
8Ω = 2A
2.15.2 JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG
SLIKA 2.31: Jednostavni strujni krug
Strujni krug se sastoji od četiri dijela:
• Baterija - click-om na bateriju željenog napona, možemo je "dovući" u strujni
krug,
• Otpor - click-om možemo "dovući" različite kombinacije otpornika u strujni
krug,
• Sklopka - click-om na sklopku uključujemo i isključujemo strujni krug,
• Žarulja - promatramo što se s njom doga ¯da za različite kombinacije napona
i ukupnog otpora, kada uključimo strujni krug.
Zaključak:
Ako je otpor prevelik, kroz žarulju teče premala struja, pa ona ne svijetli. Ako
je otpor premali, žaruljom će poteći prevelika struja, pa će žarulja pregorjeti (uz
uključene zvučnike, na računalu se čuje prasak).
Žarulja svijetli samo kada je iznos otpora dvostruko manji od iznosa napona. To
znači da je jakost struje potrebna da žarulja svijetli 2A.
Moguće je pozvati applet tako da je jakost struje potrebna da žarulje svijetli jednaka
3A.
68

Appleti
SLIKA 2.32: Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem
Zadatak je složiti strujni krug tako da žarulja svijetli. Žarulja će svijetliti ako je
iznos napona tri puta veći od iznosa ekvivalentnog otpora.
2.15.3 MJERENJE NAPONA, STRUJE I SNAGE U STRUJNOM KRUGU
SLIKA 2.33: Mjerenje napona, struje i snage
Pomoću klizača R mijenja se otpor u strujnom krugu s naponskim i strujnim
izvorom. Applet pokazuje serijsko uključivanje ampermetra i paralelno priključivanje
voltmetra u strujni krug, te očitavanje mjernog rezultata na zaslonu instrumenta.
Kod toga je važno uočiti i odrediti polaritet napona i struje.
Umnožak napona i struje odre ¯duje snagu, a snaga u vremenu električku energiju.
2.15.4 MULTIMETAR
69

2. ISTOSMJERNA STRUJA
SLIKA 2.34: Multimetar
S pomoću ovog applet-a moguće je razumjeti i naučiti (virtualno) mjerenje osnovnih
električnih veličina (napon, struja, otpor) s idealnim i realnim instrumentom
(R m - realni otpor instrumenta). Applet pokazuje nutarnju strukturu galvanometra
i dodavanje odgovarajućih (engl. shunt) otpornika za proširivanje mjernog područja.
2.15.5 SERIJSKI SPOJ OTPORA
Pomoću klizača R 1 , R 2 i V s podešavamo vrijednosti otpora serijski spojenih otpornika
R 1 i R 2 (od 2 do 49Ω ) i napon naponskog izvora V s (od 1 do 49 V ).
U krugu teče struja I , koja je proporcionalna naponu izvora V s . Struju mjeri
ampermetar koji spojen serijski sa otporima R 1 i R 2 .
Prema (2.16) vrijednost ekvivalentnog (ukupnog) otpora jednaka je zbroju otpora
R 1 i R 2 .
R uk = R 1 + R 2
2.15.6 PARALELNI SPOJ OTPORA
70

Appleti
SLIKA 2.35: Serijski spoj otpora
SLIKA 2.36: Paralelni spoj otpora
Pomoću klizača R 1 , R 2 i I s pdešavamo vrijednosti otpora paralelno spojenih otpornika
(od 2 do 99Ω) i jakost struje strujnog izvora (od 1 do 19 A).
Voltmetar, koji je spojen paralelno strujnom izvoru (a time i otpornicima R 1 i
R 2 ) mjeri napon na strujnom izvoru i na otpornicima.
Ekvivalentni (ukupni otpor) računamo prema jednadžbi (2.19)
71

2. ISTOSMJERNA STRUJA
R uk = R 1 · R 2
R 1 + R 2
i V = I · R uk = I · R1 · R 2
R 1 + R 2
2.15.7 KIRCHHOFF-OVI ZAKONI
SLIKA 2.37: Kirchhoff-ovi zakoni
Pored izvora napona i otpornika u strujnom krugu napisane su njihove vrijednosti
u voltima odnosno ohmima.
Click-om miša (lijevi click) ispod ili iznad napisane vrijednosti, smanjujemo ili
povećavamo te vrijednosti. Napon izvora možemo mijenjati od −10 do 10V, a otpore
na otpornicima od 1 do 10Ω.
Moguće je s pomoću miša dovući vodič ili otpornik u strujni krug (prikazani su
s lijeve strane strujnog kruga) i smjestiti ih izme ¯du točaka A i C , B i D, C i E ili D i
F . Isto tako mogu se maknuti (izbrisati) iz strujnog kruga s pomoću brisala (engl.
eraser).
Iznad izvora strujnog kruga (u elipsi) upisana je jakost struje koju daje izvor.
U pravokutnicima mogu se očitati vrijednosti napona izme ¯du pojedinih točaka
(V AC = V BD i V C E = V DF ).
72

Zadaci
2.16 ZADACI
2.1 Odredite jakost električnog polja u bakrenom vodiču promjera 0,5 mm kad
njime teče struja jakosti 0,3 A.
Rješenje: 26,7 mV/m
2.2 Pri elektrolizi neke srebrne otopine izlučilo se za 3 sata 4,55 g srebra. Kolika
je bila jakost struje pri elektrolizi?
Rješenje: 0.377 A
2.3 Baterija od 6 jednakih paralelno spojenih članaka od kojih svaka ima elektromotornu
silu E = 1,5V, daje struju od 4 A trošilu čiji otpor iznosi 0,25Ω.
a) nacrtajte električku shemu spoja,
b) koliki napon vlada na trošilu,
c) koliki je unutrašnji otpor svakog članka,
d) za koju snagu mora biti gra ¯deno trošilo,
e) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije, a koliki pojedinog članka?
Rješenje: b) 1 V c) 0,75Ω d) 4 W e) 12 A, 2 A
2.4 Četiri jednaka istosmjerna izvora, spojena serijski imaju struju kratkog
spoja 1 A, a paralelno spojeni imaju napon praznog hoda 1 V.
a) nacrtajte shemu serijskog i paralelnog spoja i označite elemente,
b) koliki je napon praznog hoda E svakog pojedinačnog izvora,
c) koliki je unutarnji otpor serijski spojenih izvora,
d) koliki je unutarnji otpor svakog pojedinačnog izvora,
e) koliki je napon na stezaljkama serijski spojenih izvora ako je otpor tereta
2Ω?
Rješenje: a) - b) 1 V c) 4Ω d) 1Ω e) 1,333 V
2.5 Struja kratkog spoja izvora iznosi 120 A, a napon praznog hoda 2 V.
a) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije sastavljene od 6 serijski spojenih
izvora,
73

2. ISTOSMJERNA STRUJA
b) koliko će iznositi struja kratkog spoja baterije sastavljene od 6 paralelno
spojenih izvora,
c) koliku snagu ima trošilo otpora 2Ω priključeno na bateriju iz a)
d) koliki je faktor iskoristivosti spoja iz c),
e) koliku električnu energiju mora razviti baterija iz c) za 1 sat?
Rješenje: a) 120 A b) 720 A c) 65,3 W d) 0,9523 e) 0,0653 kWh
2.6 Izvoru s E = 36 V i nutarnjim otporom 2Ω priključi se trošilo s oznakama 24
V, 15 W.
a) kolika struja teče trošilom,
b) kolika se energija troši za 24 sata na trošilu,
c) kolika je korisnost spoja η(otpor vodova se zanemaruje),
d) kako se promijeni korisnost ako se unutrašnji otpor udvostruči,
e) kolika je u slučaju d)struja kratkog spoja izvora?
Rješenje: a) 0,891 A b) 731,8 Wh c) 0,95 d) 0,906 e) 9 A
2.7 Na naponski izvor unutarnjeg otpora R u = 3Ω spojeno je naponsko djelilo
(potenciometar)otpora R = 100Ω. Na izlaze treba spojiti žarulju s oznakama 12 V,
36 W tako da svijetli punim sjajem.
a) nacrtajte električnu shemu spoja,
b) kolika struja teče kroz žarulju,
c) kako je podešen klizni kontakt djelitelja napona, ako izvor daje struju
jakosti 3,3 A,
d) kolika je elektromotorna sila izvora,
e) hoće li se struja iz izvora promijeniti ako žarulju odspojimo i zašto?
Rješenje: a) - b) 3 A c) 60Ω/40Ω d) 219,9 V e) da, struja smanjuje zbog
porasta ukupnog otpora
2.8 Sklop prema slici spojen je na izvor 12 V.
a) označite polaritete napona i smjerove struja,
b) koliku struju pokazuje idealni ampermetar, a koliki napon idealni voltmetar
prema shemi,
c) na koju vrijednost se promijeni pokazivanje voltmetra, ako se R 2 odspoji?
74

Zadaci
Rješenje: a) - b) 0,04 A, 8 V c) 6 V
2.9 Deset galvanskih članaka elektromotornog napona 2 V spojeno je u dvije
paralelne grane s po pet serijski spojenih članaka. Vanjski otpor kruga je 4Ω, a krugom
teče struja 1,5 A. Koliki je nutarnji otpor svakog članka? Nacrtajte shemu strujnog
kruga.
Rješenje: 1,067Ω
2.10 Koliku jakost ima struja koja teče tramvajskim motorom ako se kola mase
10 tona pokrenu iz stanja mirovanja i nakon 20 s postignu brzinu 36 km/h? Motor
je priključen na napon 600 V. Faktor trenja je 0,02.
Rješenje: 58 A
75

3
POGLAVLJE
MAGNETIZAM
Magnetizam opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko trajnih magneta
i gibljivih električnih naboja. Djelovanje gibljivog naboja u prostoru tumači se
magnetskim poljem koje svaki gibljivi naboj stvara u svom okolišu.
3.1 MAGNETSKO POLJE
Proučavanje magnetizma povijesno je prethodilo proučavanju električnih pojava
i temeljilo se na uočavanju i mjerenju sila uzrokovanih permanentnim (trajnim)
magnetima koji se u prirodi nalaze najčešće u rudama željeza, nikla i kobalta. Magnetizam
je i dobio ime od minerala željeznog oksida - magnetita.
Magnetsko djelovanje koncentrirano je na suprotnim krajevima magneta, koji
se nazivaju sjeverni i južni pol. Istoimeni polovi me ¯dusobno se odbijaju, a raznoimeni
privlače. Njihova imena preuzeta su iz zemljovidne orijentacije. Naime, zemaljska
kugla, kao veliki prirodni magnet usmjerava sobodne magnetizirane igle u pravcu
sjever-jug, jer tako ¯der ima svoje magnetske polove nedaleko geografskih polova.
Pol magnetske igle usmjeren na sjeverni geografski pol nazvan je sjevernim polom
magneta (N), a suprotan južnim polom (S).
Djelovanje bilo kojeg pola magneta na sitne čestice željezne piljevine stvara geometrijske
oblike slične silnicama električnog polja. Sve to vodi na izravnu povezanost
magnetizma i elektriciteta, no postoje i bitne razlike.
Činjenica je da se pol magneta nikad ne pojavljuje samostalno. Ako se magnetski
štap presiječe na polovici, ne dobiva se na jednoj polovici sjeverni, a na drugoj
južni pol,već svaka polovica postaje magnet koji sadrži oba svoja na svojim završecima.
To temeljno iskustvo ukazuje da ne postoji neki "magnetski naboj", već je pojava
magneta prouzrokovana na drugi način.
Godine 1820. H.C. Örsted je otkrio da se u okolišu vodiča kroz koji teče električna
struja stvara magnetsko polje. Tako je na ¯dena veza izme ¯du magnetizma
i elektriciteta, postavljena je hipoteza o elementarnim strujama u molekulama i
atomima po kojoj se objašnjava postojanje permanentnog magneta. Zbog mogućnosti
stvaranja magnetskih polja s pomoću električne struje i dodatnih elektromag-
77

3. MAGNETIZAM
netskih pojava nastalih njihovom promjenom, to je otkriće dobilo veliku vrijednost
u praksi.
Električna struja proizvodi dakle oko sebe magnetsko polje. Njegovo postojanje
može se ustvrditi uočavanjem i mjerenjem sile na (male) magnete u blizini vodiča
kojim električna struja teče (slika 3.1 a). Magnetsko polje je polje sila, pa se slično
kao električno, može prikazati linijama polja ili silnicama. Čestice željezne piljevine
u ravnini okomitoj na vodič poredat će se upravo po takvim linijama (slika 3.1 b).
I
I
a)
b)
SLIKA 3.1: Magnetsko polje oko vodiča kojim teče struja
Povezanost magnetskog polja i električne struje nudi zgodnu mogućnost da se
osnovne veličine magnetskog polja upoznaju upravo na primjeru najjednostavnijeg
polja koje u svojem okolišu stvara ravni, strujom protjecani, vodič. U korištenju
efekata magnetskih polja u praksi, polja koja su nastala protjecanjem struje daleko
su važnija i češća od onih koja su nastala djelovanjem trajnih magneta.
Smjer magnetskog polja dogovorno je definiran smjerom sjevernog pola magnetske
igle. Smjer odgovara smjeru vrtnje desnog vijka, ako je smjer struje u pravcu
pomicanja vijka duž njegove osi. Promjenom smjera struje mijenja se i smjer magnetskog
polja. Jakost magnetskog polja koja se označava s H veća je što je struja
veća (npr. dvaput jača struja daje dvaput jače magnetsko polje). Nadalje, jakost
polja pada s udaljenosti od vodiča (npr. u dvostrukoj udaljenosti je polje dvostruko
slabije). Tako su se potpuno neočekivano povezala dva dotada potpuno odijeljena
područja: magnetizam i optika. Kasnije se ta veza teorijski i eksperimentalno
dokazala (Maxwell, Herz).
3.2 ZAKON PROTJECANJA
Temeljni zakon odnosa magnetskih polja i struja koje proizvode polje dan je s relacijom:
∮
−→ −→ ∑
H · dl = I (3.1)
78
l

Zakon protjecanja
koja se naziva zakon protjecanja ili Amperov zakon. Po tom zakonu integral sklarnih
umnožaka jakosti polja koje na djeliću puta djeluje i infinitezimalne duljine tog
djelića puta po zatvorenoj krivulji l jednak je zbroju struja koje krivulja obuhvaća.
I 1
I 2
I 3 I 4
I 5
l 1
l 2
l 3
H l
t
a
b
SLIKA 3.2: Primjer uz zakon protjecanja
Za slučaj na slici 3.2 primjena zakona protjecanja daje:
- za krivulju l 1 : ∑ I = I 1 − I 2 − I 3 + I 4
- za krivulju l 2 : ∑ I = −I 3 + I 4
- za krivulju l 3 : ∑ I = 0
Dobro je uočiti da će u slučaju istih jakosti struja I 3 i I 4 za krivulju l 2 rezultat
biti jednak nuli. Magnetski učinak koji je stalan pratilac električne struje ne može
se izbjeći, ali se dakle, može poništiti.
Struja I 5 koja nije obuhvaćena krivuljama ne utječe na vrijednost linijskog integrala
u navedenim slučajima.
Po analogiji s elektrostatikom, umnožak H · l odgovarao bi ’magnetskom potencijalu’
V m .
3.2.1 MAGNETSKO POLJE RAVNOG VODIČA
Primijeni li se zakon protjecanja (3.1) na ravni vodič kojim teče struja jakosti I , za
magnetsko polje na koncentričnim kružnicama (silnicama) oko vodiča (slika 3.2.1)
vrijedi:
∮
−→ −→ H · dl = I (3.2)
l
Razložno je pretpostaviti da je na svim točkama koncentrične kružnice s polumjerom
r jakost polja H jednakog iznosa, pa uz:
∮
dl = l = 2π · r
79

3. MAGNETIZAM
slijedi:
H = I l = I
2π · r
[A/m] (3.3)
Jakost magnetskog polja opada dakle, obrnuto razmjerno s udaljenošću od osi
vodiča.
I
r
H
SLIKA 3.3: Magnetsko polje ravnog vodiča kroz koji teče struja
Magnetsko polje ne nastaje samo u okolišu vodiča protjecanog strujom I , nego
i u njemu samome. Nakon primjene zakona protjecanja na koncentričnoj kružnici
polumjera r unutar vodiča (u kojoj teče struja jakosti I ′ , što je dio ukupne jakosti
I ), slijedi da je jakost magnetskog polja u vodiču kružnog presjeka i polumjera R za
r ≤ R jednaka:
H = I ′
2π · r = I
2π · R 2 · r
Kako promjena jakosti polja H ovisi o udaljenosti r od osi vodiča prikazuje slika
3.4 za nekoliko vrijednosti jakosti struja.
Ako se od vodiča kroz koji teče struja načini zatvorena petlja (ili zavoj), onda će
sve silnice prolaziti kroz površinu koju zavoj okružuje (slika 3.2.1 a) i b) ).
Dobiveno magnetsko polje potpuno se podudara s magnetskim poljem kratkog
magneta u obliku valjka (slika 3.2.1 c). Nizanjem više magnetskih valjaka s istim
smjerom polja dobio bi se snažniji magnet (slika 3.2.1 a)), što je ekvivalentno povezivanju
više zavoja u tzv. svitak ili zavojnicu (slika 3.2.1 b)). Budući da je magnetsko
polje i ovdje identično, svitak protjecan strujom se zove još i elektromagnet.
Umnožak broja zavoja i struje koja kroz njih teče zove se magnetska uzbuda ili
magnetomotorna sila (M MS) i često se izražava u Az (amper-zavojima) kako bi se
istaknulo značenje broja zavoja (a ne samo jakosti struje) u stvaranju magnetskog
polja.
3.3 MAGNETSKE VELIČINE
Magnetske silnice (silnica = linija sile) koje se prikazuju linijama koje izlaze iz sjevernog
pola (slika 3.2.1) (elektro)magneta i završavaju na južnom, uvijek se nasta-
80

Magnetske veličine
SLIKA 3.4: Ovisnost H=f(r) ravnog vodiča kroz koji teče struja
N
S
SLIKA 3.5: Magnetsko polje ravnog vodiča
vljaju kroz tijelo (elektro)magneta od južnog do sjevernog pola. Magnetske silnice
su dakle zatvorene linije. Skup svih silnica naziva se magnetski tok i označuje simbolom
φ . Jače magnetsko polje ima veći tok nego slabije polje. Jedinica magnetskog
toka mjeri se u W b (Weber).
Gustoća toka B izražava broj magnetskih silnica po jedinici površine A okomite
na smjer magnetskog toka:
B = Φ A
[T ] (3.4)
Jedinica gustoće toka je T (Tesla).
Elektromagnetski utjecaj jednog tijela na drugo bez njihova fizičkog dodira, u
smislu promjene električnog ili magnetskog stanja tijela na koji se djeluje, zove se
81

3. MAGNETIZAM
N
S
SLIKA 3.6: Magnetsko polje zavojnice
indukcija. Na primjer, permanentni magnet inducira nemagnetizirano željezo da i
ono postane magnet (slika 3.3).
Naime, molekularni magneti (tzv. magnetske domene ili magnetski dipoli) u
željeznom uzorku djelovanjem magnetskog polja permanentnog magneta usmjeravaaju
se iz svog dotad slučajnog rasporeda tako, da sjeverni pol permanentnog
magneta privuče južni pol molekularnih magneta uzorka.
S
N
S
N
Permanentni
magnet
željezni uzorak
SLIKA 3.7: Magnetiziranje željeza s pomoću indukcije
Nemagnetizirano željezo postaje magnet, pol tog magneta bit će suprotan polu
koji ga je inducirao i željezo - novi magnet bit će privučeno. Treba uočiti da je inducirani
pol uvijek suprotnog polariteta od pola koji ga je inducirao. To objašnjava
činjenicu zašto bilo koji pol magneta privlači magnetski materijal.
Magnetski materijali me ¯dusobno se razlikuju s obzirom na indukciju. Sposobnost
koncentriranja magnetskog toka zove se permeabilnost i označuje se s µ. Svaki
materijal koji se lako magnetizira ima veliku permeabilnost i naziva se feromagnetski.
Što je permeabilnost materijala veća, to je uz istu jakost magnetskog polja gustoća
silnica B u induciranom materijalu veća. Zato se gustoća silnica naziva još i
magnetska indukcija.
Jakost magnetskog polja H povezana je dakle, preko permabilnosti materijala,
s magnetskom indukcijom B pa vrijedi:
B = µ · H [T ] (3.5)
Veća indukcija postiže se ili većom jakosti polja ili/i korištenjem materijala veće
82

Magnetske veličine
permeabilnosti. Najčešće se permeabilnost materijala µ izražava u relativnim jedinicama
µ r u odnosu na permeabilnost vakuuma µ 0 , tako da je permeabilnost
µ = µ 0 · µ r (3.6)
a permeabilnost vakuuma potvr ¯dena eksperimentalno iznosi:
µ 0 = 4π · 10 −7 [V s/Am]
Vrijednosti relativne permeabilnosti µ r za feromagnetske materijale kreću se
izme ¯du 100 i 190.000.
Budući da je H vektor, a µ skalar, magnetska indukcija B može se tako ¯der smatrati
vektorom. Magnetsko polje je homogeno ako je veličina indukcije u svakoj
točki promatranog prostora jednaka.
Zbog visoke permeabilnosti feromagnetski materijali koriste se kao jezgre elektomagneta.
Ista magnetska uzbuda u zatvorenoj će jezgri stvoriti µ r puta veću gustoću
silnica nego u slučaju kad jezgre nema. To slijedi izravno iz izraza (3.5) i (3.6):
B = µ 0 · H = µ r · µ 0 · H
Polje unutar jezgre (slika 3.8 a) približno je homogeno, a nije homogeno na krajevima
jezgre i izvan nje. Približno homogeno polje duž čitave jezgre postiže se
izvedbom feromagnetske jezgre u obliku prstena (slika 3.8 b) ili okvira (slika 3.8 c).
I
φ
a)
I
φ
I
φ
b)
c)
SLIKA 3.8: Magnetsko polje ravnog vodiča, prstena i okvira
Jezgre od neferomagnetskih materijala ponašaju se slično kao vakuum: njihova
relativna permeabilnost približno je jednaka jedinici. Ipak, preciznija mjerenja
pokazuju da je za jednu grupu materijala tzv. diamagnetske materijale µ r < 1, dok
83

3. MAGNETIZAM
je za drugu grupu, tzv. paramagnetske materijale µ r > 1. U tablici 3.1 napisane su
vrijednosti relativnih permeabilnosti nekih neferomagnetskih materijala.
TABLICA 3.1: Neferomagnetski materijali
Materijal
bizmut 0,99984
Diamagnetici srebro 0,9999736
voda 0,999991
vodik 0,9999999979
platina 1,00027
Paramagnetici aluminij 1,0000196
kisik 1,000000181
zrak 1,00000036
Permeabilnost vakuuma je konstantna veličina i naziva se kao apsolutna permeabilnost.
Permeabilnost feromagnetskih materijala nije pak konstantna veličina,
već ovisi o prethodnom magnetiziranju materijala, iznosu polja H i temperaturi.
Slika 3.9 a) prikazuje krivulju magnetiziranja nekog feromagnetskog materijala.
Povećanjem struje magnetiziranja raste polje H, a s poljem i indukcija B, gotovo
linearno u početnom dijelu karakteristike.
Me ¯dutim, nakon linearnog dijela, povećanjem uzbude krivulja postupno ulazi
u zasićenje. Ta se pojava objašnjava postavljanjem gotovo svih magnetskih dipola u
smjeru djelujućeg polja, pa novi prirast uzbude više ne doprinosi porastu indukcije.
B[T ]
0.5
µ r
0.4
0.3
0.2
0.1
I
V + N
R
l
b)
1000 2000 3000 4000 5000
H[Az/m]
a)
SLIKA 3.9: Magnetiziranje feromagnetskog materijala
Primjer: Uz pretpostavku promjene napona od 20 V do 100 V, otpora zavojnice
od 10Ω, te željezne jezgre duge l = 0,2 m u zavojnici s N = 100 zavoja (slika 3.9 b)
84

Magnetska histereza
sljedeća tablica 3.2 (uz mjereni B) pokazuje ponašanje feromagnetskog materijala
čija je krivulja magnetiziranja prikazana slikom 3.9 a).
TABLICA 3.2: Magnetiziranje željezne jezgre
V [V] I [A] N I [Az]
H
[Az/m]
B [T] µ r
20 2 200 1000 0,126 100
40 4 400 2000 0,252 100
60 6 600 3000 0,378 100
80 8 800 4000 0,428 85
100 10 1000 5000 0,441 70
Iz krivulje magnetiziranja kao i izračunatih vrijednosti iz tablice 3.2 u primjeru
podvr ¯duje se da relativna permeabilnost nije konstantna veličina. U zasićenju µ r
približuje se vrijednosti 1, što je µ r za vakuum.
Sa slike 3.2 a) nije vidljivo kolika je magnetska indukcija uzorka kad je uzbuda
jednaka nuli. Ta veličina ovisi o njegovoj dotadanjoj magnetiziranosti. Ako se pokus
magnetiziranja načini s potpuno razmagnetiziranim feromagnetskim materijalom
(B = 0 za H = 0), onda se dobivena krivulja naziva krivulja prvog magnetiziranja.
Feromagnetici gube svoja magnetska svojstva kad im temperatura prije ¯de stanovitu
vrijednost (Curie-eva točka), koja je za željezo na 760 0 C, za nikal 360 0 C, a za
kobalt 1120 0 C.
3.4 MAGNETSKA HISTEREZA
Magnetska indukcija B mijenja se u magnetskom materijalu promjenom magnetske
uzbude. Ako magnetski materijal nije magnetičan, onda se povećanjem uzbude od
vrijednosti nula na više dobiva se krivulja prvog magnetiziranja. Zanimljiva pojava
nastaje ako se kod neke maksimalne uzbude +H max (i postignute gustoće +B max )
uzbuda počne smanjivati. Magnetska gustoća odupirat će se promjeni - nastojat će
zadržati prijašnje stanje magnetičnosti (slika 3.4 a). To se očituje u indukciji koja
pri opadanju uzbude ima veće vrijednosti od onih kad je uzbuda rasla. Kad uzbuda
padne na nulu, materijal će još zadržati stanovitu vrijednost indukcije, tzv. remanentni
magnetizam B r ili remanenciju. Remanentni magnetizam je glavno svojstvo
permanentnih magneta.
Taj se magnetizam može poništiti samo uzbudnom strujom suprotnog predznaka.
Vrijednost uzbude kod koje se to postiže zove se koercitivnost ili koercitivna
sila H c (slika 3.4 b)).
Nastavi li se povećanje uzbude suprotnog smjera, stvara se magnetski tok i gustoća
suprotnog predznaka (promjena magnetskih polova uzorka). Porast takve uzbude
tako ¯der vodi do magnetskog zasićenja −B max uz −H max . Sličnim postupkom
(smanjivanje uzbude, tj. struje do nule i povećanjem do +H max ) zatvara se ciklus,
a nastala krivulja zove se petlja histereze (slika 3.4).
85

3. MAGNETIZAM
+B [T]
1.0
+B [T]
1.0
0.8
0.8
0.6
B r
0.6
B r
0.4
0.4
0.2
0.2
-H -400 -200
-0.2
200 400 600 800 +H [Az/m]
-H
H c
-600 -400 -200
-0.2
200 400 600 800+H [Az/m]
-0.4
-B
-0.4
-B
SLIKA 3.10: Magnetska histereza
+B [T]
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-H -800 -600 -400 -200 200 400 600 800
-0.2
+H [Az/m]
-0.4
-H c
-B r
-0.6
-0.8
-1.0
-B
SLIKA 3.11: Petlja histereze
Magnetski materijali dijele se s obzirom na koercitivnost na meke i tvrde materijale.
Meki materijali (slika 3.4 a) imaju malu koercitivnost, dakle usku petlju
histereze, i veliku relativnu permeabilnost. Takvo je na primjer čisto željezo sa najvećim
µ r = 180.000, legirani limovi sa 2 do 4% silicija, feriti i drugi. Treba istaknuti i
leguru permaloj (78,5% Ni + 21,5% Fe) sa najvećim µ r = 85.000. Ti materijali koriste
se za jezgre transformatora, statore i rotore električnih strojeva, releje i sl.
Tvrdi magnetski materijali imaju veliku koercitivnost i veliku remanenciju, dakle
veliku petlju histereze (slika 3.4 b). Služe za izradu trajnih magneta, a proizvode se
od legura čelika s dodatkom volframa, kobalta, nikla, aluminija i titana. Ugljični
kaljeni čelik ima na primjer H c = 5.000 A/m i B r = 0,9 T.
3.5 MAGNETSKI KRUG
86

Magnetski krug
B
B
B r
B r
H c
H
H c
H
SLIKA 3.12: Magnetski materijali
Koristeći opisane magnetske veličine moguće je, po analogiji s električnim krugom,
govoriti o magnetskom krugu. U električnom krugu struja je veličina koja zatvara
krug, u magnetskom krugu je to magnetski tok. Usmjeravanje magnetskog toka
ostvaruje se s pomoću feromagnetskog materijala kruga. Rasipanje magnetskih
silnica u prostor oko takva kruga se zanemaruje - velika permeabilnost feromagnetskog
materijala čini da glavnina silnica prolazi kroz materijal (osim u slučaju
zračnih raspora). Za jednostavni magnetski krug prikazan slikom 3.13 magnetski
tok jednak je:
φ = B · A = µ · H · A = µ N · I
l
· A = N · I
1
µ · l = M MS [W b] (3.7)
R m
A
gdje su R m tzv. "magnetski otpor", a M MS "magnetomotorna sila". Dobiveni izraz
sličan je izrazu za Ohm-ov zakon:
I =
E
1
γ · l = E MS
R
A
(3.8)
pa se stoga izraz (3.8) naziva Ohm-ov zakon za magnetske krugove.
Tok φ odgovara električnoj struji I , a magnetomotorna sila M MS elektromotornoj
sili E MS. Permeabilnost magnetskog materijala odgovara specifičnoj vodljivosti
metalnog vodiča, pa se uz sličnost odnosa duljine i presjeka, govori o magnetskom
otporu R m , analogno električnom otporu R.
U slučaju složenog magnetskog kruga, dobivenog na primjer zračnim rasporom
(slika 3.13 b)) u jednostavnom magnetskom krugu, prilike se mijenjaju. Magnetski
otpor zračnog raspora razlikuje se od magnetskog otpora feromagnetskog materijala.
S obzirom da je ukupni otpor povećan, slijedi da se magnetski tok smanjio (uz
konstantnu struju).
87

3. MAGNETIZAM
I
φ
l
I
φ
B 1 ,µ 1
N
N
l 2
B 2 ,µ 2
µ
B
a) jednostavan
b) složen
SLIKA 3.13: Magnetski krug
N · I
φ =
1
· l1 + 1 =
M MS
· l2 R m1 + R m2
µ 1 A 1 µ 2 A 2
Ako bi se htjela održati indukcija kao u slučaju bez zračnog raspora, potrebno je
više amper-zavoja uzbude. Dobro je uočiti da se i ovdje magnetski otpor serijskog
spoja magnetskih otpora dobiva njihovim zbrajanjem (kao što bi se magnetski otpor
njihovog paralelnog spoja dobio kao recipročna vrijednost zbroja pojedinačnih
recipročnih vrijednosti). Iz izraza (3.13) slijedi:
odakle je:
φ
A 1
· l1
µ 1
+ φ A 2
· l2
µ 2
= N · I
odnosno:
B 1 · l1
µ 1
+ B 2 · l2
µ 2
= N · I
H 1 · l 1 + H 2 · l 2 = N · I (3.9)
što je u skladu s već dobro poznatim zakonom protjecanja (3.1). U magnetskim
krugovima dakle zakon protjecanja odgovara drugom Kirchhoff-ovu zakonu u električnim
krugovima.
Najopćenitije gledajući zakon protjecanja može se prikazati u obliku diskretnog
(pojedinačnog) zbroja:
88
∑
H i · l i = N · I = ∑ I (3.10)
i

Djelovanje magnetskog polja
gdje se svaki pojedinačni element magnetskog kruga može razlikovati po bilo
kojoj magnetskoj ili geometrijskoj veličini:
Ako se povežu izrazi (3.10) i (3.11) slijedi:
H i = B i
µ i
= φ i
A i · µ i
(3.11)
N · I = φ i · l i
A i · µ i
što za zatvoreni krug (bez grananja i rasipanja, dakle uz konstantni tok φ) daje
ekvivalent II. Kirchhoff-ovog zakona za magnetski krug :
φ =
∑
i
N · I
1
µ i
· li
A i
3.6 DJELOVANJE MAGNETSKOG POLJA
Već je u uvodu o magnetizmu konstatirano da svaki gibljivi naboj stvara magnetsko
polje. Isto tako rečeno je da je magnetsko polje karakterizirano silom kojom se dva
pola magneta (ovisno o polaritetu) privlače ili odbijaju. To znači da će i na gibljivi
naboj u magnetskom polju djelovati sila.
Sila će djelovati i na struju koja teče kroz vodič, ako se ovaj na ¯de u magnetskom
polju, jer struja nije ništa drugo nego niz naboja u gibanju. Pritom nije važno kako
nastaje magnetsko polje koje djeluje silom - je li to magnetsko polje permanentnog
magneta, elektromagneta ili jednostavno žice kojom struja teče. To navodi na zaključak
da postoji sila i me ¯du vodičima kojima teku struje.
Svaki od tih slučaja razmatrat će se posebno.
3.6.1 SILA NA GIBLJIVI NABOJ
Ako se naboj kreće u magnetskom polju, na njega djeluje sila. Pokazuje se da je sila
razmjerna iznosu naboja, njegovoj brzini i indukciji magnetskog polja, a budući da
su sila, brzina i indukcija vektorske veličine, slijedi:
−→ F = Q · (
−→ v ×
−→ B ) (3.12)
Izraz u zagradi predočuje vanjski umnožak ("ex-produkt") vektora −→ v i −→ B . Sila
je okomita istodobno i na vektor brzine i na vektor indukcije, dakle na ravninu koju
odre ¯duju vektori brzine i indukcije (slika 3.6.1). Iznos vektora ( −→ v × −→ B ) izračunava
se prema:
89

3. MAGNETIZAM
F=QvB
F=QvB· sinα
B
v
+Q +
B
Q
α
+
α
v· sinα
SLIKA 3.14: Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem
a) a = 90 b) a < 90
F = Q · v · B · sin(α) (3.13)
gdje je α kut izme ¯du vektora brzine i indukcije. Smjer vektora ima smjer napredovanja
vijka s desnim navojem kad rotira preko manjeg kuta od v u B (slika 3.6.1
b.
Djelovanje sile na gibljivi naboj objašnjava se promjenama nastalim u magnetskom
polju u kojem se naboj kreće. Kako se vidi na slici 3.6.1 a), silnice magnetskog
polja B v stvorenog gibanjem pozitivnog naboja u području −1− podudaraju
se sa smjerom polja B m u kojem se naboj kreće, dok im je u području −2− smjer
suprotan. Rezultantno polje prikazano je na slici 3.6.1 b) sa smjerom sile od područja
s gušćim tokom, prema području s manjom gustoćom toka. Kaže se da se
naboj ’istiskuje’ prema polju manje gustoće. Okomit smjer od oka promatrača na
površinu označuje se s križićem ⊗, a suprotan smjer s točkom ⊙.
Treba naglasiti da je smjer djelovanja sile za negativan naboj suprotan smjeru
sile na pozitivan naboj:
−→ F −Q = −Q · ( −→ v × −→ B ) = − −→ F +Q (3.14)
a) zajedno sa poljem u kojem se naboj giba b) rezultantno polje
Primjer: Uleti li nabijena čestica u homogeno magnetsko polje indukcije B s
brzinom v okomitom na polje (slika 3.16), sila F jednaka (Q · v · B) djelovat će na
česticu u svakoj točki.
Budući da je sila okomita na brzinu neće se mijenjati iznos te brzine, već samo
njezin smjer. Na slici 3.16 prikazani su vektori brzine i sile. Čestica se dakle kreće
pod djelovanjem sile koje je iznos konstantan, ali smjer je uvijek pod pravim kutem
na brzinu čestice.
90

Djelovanje magnetskog polja
2 1
F
B v
B m
SLIKA 3.15: Magnetsko polje naboja u gibanju
B
v
x x x x x x x x x
Q
x x x x x x x x x
B
x x x x x x x x x
R
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
F
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Q
x x x x x x x x x
F
F
v
Q
v
v
F
+Q
SLIKA 3.16: Gibanje nabijene čestice u magnetskom polju
Iz toga slijedi da je putanja čestice kružnica, opisana s konstantnom tangencijalnom
brzinom v, a sila F je centripetalna sila. Budući da je centripetalna akceleracija
jednaka v 2
r
, iz drugog Newton-ova zakona slijedi:
Q · v · B = m · v 2
pa je polumjer kružne putanje nabijene čestice jednak:
r
r = m · v
Q · B
(3.15)
Ako je poznata masa čestice m i njezin naboj Q, kao i indukcija B u kojoj se čestica
kreće, može se, koristeći izraz (3.15), odrediti vrijeme jednog obilaska, odnosno
frekvencija kruženja čestice:
T = 1 f = l v = 2π · r
v
= 2π · m
Q · B
91

3. MAGNETIZAM
Dobro je uočiti da frekvencija ne ovisi o polumjeru kružne staze i da se povećanjem
indukcije povećava. Opisani primjer temelj je rada akceleratora čestica (ciklotrona)
koji se koriste u nuklearnoj fizici.
3.6.2 SILA NA VODIČ KOJIM TEČE STRUJA
Magnetska sila na vodič kojim teče električna struja posljedica je sile na svaki pojedini
naboj koji se kreće u magnetskom polju. Korištenjem izraza (3.12) za magnetsku
silu na naboj dobiva se izraz za silu na vodič kojim teče struja (gibanje diferencijala
naboja brzinom v), a vodič je postavljen okomito na magnetske silnice.
dF = B · dQ · v = B · dQ · dl
d t = B · dQ · dl = B · I · dl (3.16)
d t
pa je na duljini l ukupna sila prema gornjem izrazu (3.16)jednaka:
F = B · I · l (3.17)
Ako vodič zatvara kut s magnetskom indukcijom, izraz (3.17) postaje:
F = B · I · l · sin(α)
što je prikazano na slici 3.17.
ili vektorski
−→ F = I · (
−→ l ×
−→ B )
x x x x x x x x x x x x x
B
x x x x x x x x x x x x x
F
x x x x x x x x x x x x x
B
x x x x x x x x x x x x x
I
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
I
x x x x x x x x x x x x x
l
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
SLIKA 3.17: Sila na vodič kojim teče struja
Primjer: Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom, nazvan
galvanometar, radi na načelu sile koja se javlja na vodič kroz koji teče struja u
magnetskom polju. Protumoment ovoj sili drži mehanička spirala (slika 3.18 a). Na
svitak je namotano N zavoja tanke žice promjera zavoja d i duljine zavoja l (slika
3.18 b). Svitak je postavljen unutar polova permanentnog magneta. Zbog preglednosti
je nacrtan samo jedan zavoj.
92

Djelovanje magnetskog polja
N
+
-
d
l
a) b)
SLIKA 3.18: Dijelovi galvanometra
Kad kroz svitak poteče struja, javlja se sila na svakoj strani svitka, kako se vidi na
slici 3.19. Električni moment jednak je:
a mehanički protumoment
M el = B · I · l · N · d = k e · I (3.18)
M meh = k m · α (3.19)
gdje su k e i k m električna i mehanička konstanta razmjernosti, a α otklon kazaljke
pričvršćene na osovini svitka. Povezujući oba izraza (3.18) i (3.19) slijedi:
α = k e
k m
· I = k · I
Otklon je dakle razmjeran jakosti struje koja teče svitkom, pa se galvanometar
ponajprije koristi za mjerenje struje (ampermetar), a posredno i kao voltmetar i
ommetar. Polovi magneta lučno se profiliraju kako bi se vodiči i pri zakrenutom
svitku (i kazaljci) uvijek nalazili pod djelovanjem istog iznosa indukcije.
B
F
d
F
SLIKA 3.19: Galvanometar
3.6.3 SILA IZMEÐU DVA VODIČA KOJIMA TEKU STRUJE
93

3. MAGNETIZAM
Izme ¯du dva vodiča kroz koje teku struje javlja se sila. Zbog jednostavnosti izvoda
pretpostavlja se da su vodiči ravni, dugi i me ¯dusobno paralelni na udaljenosti d.
Iz slike 3.20 vidi se da će sila F 1 , kojom magnetsko polje H 1 (nastalo strujom I 1 )
privlači vodič kroz koji teče struja I 2 , biti jednaka:
a jakost magnetskog polja:
F 1 = B·I 2 · l = µ 0 · H 1 · I 2 · l (3.20)
H 1 = I 1
2π · d
Povezujući izraze (3.20) i (3.21) dobiva se:
F 1 = µ 0 · I 1 · I 2 · l
2π · d
(3.21)
[N ] (3.22)
I 1 I 2
F 2 F 1
H 2 H 2
l
d
SLIKA 3.20: Sila izme ¯du dva vodiča protjecana strujom
Treba uočiti da i magnetsko polje struje I 2 djeluje istom silom na vodič kojim
teče struja I 1 . Takvo djelovanje dviju struja naziva se elektrodinamičko djelovanje.
Koristeći pravilo za smjer sile, izraz (3.13), lako je zaključiti da će se dva paralelna
vodiča u kojima teku struje u istom smjeru me ¯dusobno privlačiti, dok će se
u paralelnim vodičima u kojima teku struje u različitom smjeru me ¯dusobno odbijati.
Razmatranja gustoće silnica potvr ¯duje ovaj zaključak: u području izvan vodiča,
polje je jače, jer se magnetska djelovanja oba vodiča potpomažu, a izme ¯du vodiča
polja djeluju suprotno. Sile nastoje istisnuti vodiče prema području sa slabijom
gustoćom polja. Kod struja različitih smjerova vodiči se privlače.
U SI sustavu jedinica definiran je amper (A) na temelju predočenog elektrodinamičkog
djelovanja:
Električna struja ima jakost jedan amper (A) ako prolazeći kroz jako dugi i jako
tanki vodič djeluje u vakuumu na isto takvu paralelnu struju u udaljenosti od jednog
metra silom 2 · 10 −7 njutna po jednom metru duljine vodiča (slika 3.21).
Iznos sile slijedi iz izravnog uvrštavanja vrijednosti d = 1 m, I 1 = I 2 = 1 A, u izraz
(3.22), pa je:
94
F 1 = µ 0 · 1 · 1 · 1
2π · 1
4π · 10−7
= = 2 · 10 −7 N
2π

Elektromagnetska indukcija
1 A 1 A
F = 2 · 10 −7 N
1m
1m
SLIKA 3.21: Definicija jedinice amper
3.7 ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Neposredno pretvaranje mehaničke energije u električnu je moguće. Do tog izuzetnog
otkrića došla su 1831. godine nezavisno i istodobno dva znanstvenika: M. Faraday
u Velikoj Britaniji i J. Henry u Americi. Današnja proizvodnja, prijenos i potrošnja
električne energije nezamislive su bez tog otkrića.
Svaka promjena, svako djelovanje u prirodi ima svoju posljedicu. Tako na primjer
gibanje naboja stvara magnetsko polje, koje prema (3.3) nestaje tek u beskonačnosti.
Gibanje naboja u magnetskom polju ne ostaje nazapaženo - na njega
djeluje sila. Postavlja se pitanje: može li možda magnetsko polje pokretati električni
naboj, uzrokovati struju? Odgovor je: Može, ako se polje mijenja!
Faraday je u okoliš magneta donio žičani zavoj (slika 3.7). Onda je naglo udaljio
magnet (ili zavoj, svejedno): u žici je potekla električna struja!
+B [T]
1.0
+B [T]
1.0
0.8
0.8
0.6
B r
0.6
B r
0.4
0.4
0.2
0.2
-H -400 -200
-0.2
200 400 600 800 +H [Az/m]
-H
H c
-600 -400 -200
-0.2
200 400 600 800+H [Az/m]
-0.4
-B
-0.4
-B
SLIKA 3.22: Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije
Magnetski se zavoj nije nalazio u polju iste jakosti prije i poslije udaljavanja
95

3. MAGNETIZAM
(jakost polja i broj silnica koje kroz zavoj prolaze opada s udaljenošću). Uzrok je
dakle promjena magnetskog toka. A posljedica svakako je električno polje, jer bez
njega nema ni struje.
Opisanu pojavu vrijedno je pobliže razmotriti. Ako se vodič duljine l kreće
u magnetskom polju brzinom v okomito na polje (prema slici 3.7 a) magnetske
silnice idu od oka promatrača okomito na površinu), onda na svaki naboj u tom
vodiču djeluje sila F = Q · v · B, prema (3.12). No kako ta sila prema (3.14) ima
suprotan smjer za naboje različitog polariteta, slijedi da će se slobodan, negativan
naboj vodiča pomaknuti na jednu, a pozitivan naboj na drugu stranu. Pokusom se
to može provjeriti tako da se vodič prilikom gibanja prepolovi. Svaka polovica bit
će nabijena, i to nabojem suprotnog polariteta.
B
a
B
+
v
v
b
-
a) b)
SLIKA 3.23: Elektromagnetska indukcija
Na slici 3.7 b) prikazane su i silnice električnog polja koje nastaje zbog prisutnosti
nabijenih krajeva vodiča. Ta se pojava naziva elektromagnetska indukcija,
dobiveni naboj inducirani naboj, a dobivena razlika potencijala inducirani napon.
Ako se to kretanje vodiča ostvari na vodljivom okviru (slika 3.24), onda će inducirani
naboj poteći okvirom i struja će teći sve dok se vodič po okviru giba. Ta se
struja naziva inducirana struja. Izraz za iznos induciranog naboja najlakše se dobiva
preko energetskih odnosa. Naime, pomak naboja Q od točke a do b znači rad
ostvaren silom F na putu l . Iznos sile je poznat (3.12), pa slijedi:
No kako je prema (1.10)
W = F · l = Q · l · v · B [J] (3.23)
e = W Q
(3.24)
iz (3.23) i (3.24) slijedi:
e = l · v · B (3.25)
96

Elektromagnetska indukcija
Inducirani napon ovisi dakle o duljini i brzini vodiča koji se kreće u magnetskom
polju i iznosu magnetske indukcije tog vektora v i B.
Inducirani napon može se promotriti i s druge točke gledišta. Za infinitezimalni
pomak vodiča u gibanju, površina okvira abcd se poveća (ako je pomak u desno, ili
smanji ako je pomak u lijevo), prema slici 3.24, za iznos:
d A = l · d s
Budući da magnetski tok φ ovisi o površini A, slijedi da će se i on promijeniti:
dφ = B · d A = B · l · d s (3.26)
Taj se pomak dogodio u infinitezimalnom vremenu d t, pa (3.26) postaje:
dφ
d t = l · B · d s
d t = l · B · v (3.27)
d s
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
l
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
SLIKA 3.24: Gibanje vodiča po metalnom okviru
Budući da je (l ·B · v) jednako induciranom naponu slijedi da je trenutna vrijednost
napona numerički jednaka brzini promjene magnetskog toka, pa se iz (3.25) i
(3.27) dobiva:
e = − dφ
d t
(3.28)
Negativan predznak govori o smjeru induciranog napona koji je takav da izaziva
posljedice koje će se suprostavljati promjeni polja. Izraz (3.28) poznat je kao Faradayev
zakon elektromagnetske indukcije.
Faraday-ev zakon sadrži mnogo više nego što je bilo pokazano. Svejedno je
pomiče li se magnet ili zavoj: napon se inducira ako se tok mijenja. Štoviše, ima
slučaja kad je i vodič i polje (magnet) u mirovanju, a postoji vremenska promjena
polja - i onda se u vodiču izloženom tim promjenama inducira napon. Vremenska
promjena toka dφ obično se ostvaruje ili promjenom efektivne površine u stalnoj
magnetskoj indukciji B (npr. okretanjem ili pomakom zavoja) ili izmjeničnom strujom
koja stvara izmjenični tok.
97

3. MAGNETIZAM
3.7.1 LENZ-OVO PRAVILO
Njemačkom znanstveniku F. E. Lenz-u pripisuje se sljedeće korisno pravilo za predvi
¯danje smjera inducirane struje. Ono glasi: Djelovanje induciranih veličina uvijek
se suprotstavlja ili opire uzroku induciranja.
Neka se u razmatranje uzme već opisani primjer sa slike 3.24. Inducirana struja
će tako ¯der, prema (3.3), stvarati oko gibanog vodiča koncentrično magnetsko polje,
koje se unutar okvira suprotstavlja polju u kojem se vodič kreće. Na slici 3.24 površina
se povećava, a s njom i magnetski tok i to je uzrok induciranja. Inducirana struja
pak smanjuje iznos toka (jer generira drugi tok suprotnog smjera).
Kad bi se vodič kretao u suprotnom smjeru, i struja bi imala suprotan smjer od
prikazanog. U tom bi slučaju polje opadalo, a inducirana struja bi ga podržavala
(uvećavala). Lezov se zakon očituje i u tomu što sila na vodič protjecan strujom u
magnetskom polju indukcije B ima smjer suprotan smjeru brzine vodiča, što zanči
da treba svladavti silu, tj. ulagati enegiju da bi se došlo do inducirane struje.
Lenzov zakon ima sličnosti s mehaničkim načelom inercije. Kad god pokušamo
promijeniti status quo prirodnog sustava, sustav će učiniti sve moguće da nas u
tome spriječi. U ovom smislu negativan predznak Faraday-eva zakona (3.28) postaje
jasniji.
3.7.2 SAMOINDUKCIJA
Istosmjerna struja stvara stalni (konstantni) magnetski tok, a izmjenična izmjenični.
Svaki promjenljivi tok, a to znači i izmjenični, inducira napon. U zavojnici kojom
teče izmjenična struja inducirat će se dakle napon zbog promjena toka vlastite
struje (koja mijenja magnetski tok). Dakako, napon će se inducirati, prema Faradayevu
zakonu (3.28) kako god se tok mijenja. Ta se pojava induciranja napona proizvedenog
od vlastitog promjenljivog toka zove samoindukcija.
Neka je idealna zavojnica s N zavoja smještena na jezgru torusnog oblika kao
na slici 3.25.
i
d φ
d t
e s
N
SLIKA 3.25: Samoindukcija
Napon samoindukcije e s ovisi o broju zavoja i brzini promjene toka, prema
98

Me ¯duindukcija
(3.28) :
e = −N · dφ
(3.29)
d t
Prema (3.7) za jednostavni magnetski krug vrijedi razmjernost promjene toka i
promjene struje:
dφ = µ · N · A
l
Uvrštenjem (3.30) u (3.29) dobiva se:
· di (3.30)
odakle slijedi:
µ · N · A
· di
e s = −N ·
l
d t
e s = −N · µ · N · A
l
· di
d t = − µ · N 2 · A
· di
l d t
Koeficijent µ · N 2 · A
naziva se koeficijent samoindukcije ili induktivitet zavojnice
i označuje se s L. Jedinica mu je henri
l
(H).
e s = −L · di
d t
Henri je složena jedinica koja se može izraziti preko drugih jedinica:
[ ] [ ]
V s W b
[H] = =
A A
Prema II. Kirchhoff-ovu zakonu mora vrijediti : e s + e = 0.
(3.31)
3.8 MEÐUINDUKCIJA
Zanimljivo je promotriti utjecaj promjenljivog toka jednog svitka (zavojnice) na
drugi svitak koji obuhvaća čitav ili dio promjenljivog toka. Neka se na istu jezgru
sa slike 3.25 namota nova zavojnica s N 2 zavoja, kako je prikazano na 3.26. Promjenljiva
struja u prvoj zavojnici stvara promjenljivi magnetski tok φ u jezgri. Zbog
samoindukcije u prvoj se zavojnici inducira napon:
e 1 = −N 1 · dφ 1
(3.32)
d t
Me ¯dutim i druga zavojnica obuhvaća isti promjenljivi tok. Zato će se i u njoj
inducirati napon, ovisno o broju njezinih zavoja:
e 2 = −N 2 · dφ 1
d t
(3.33)
99

3. MAGNETIZAM
i 1
d φ
d t
e 1 ,e s N 1 N 2 e 2
SLIKA 3.26: Me ¯duinduktivna veza
Treba još pogledati o čemu ovisi promjenljivi tok φ 1 , napisati uzrok njegove
promjene. Slično kao kod samindukcije iz (3.4), (3.5) i (3.7) slijedi:
Uvrštenjem u (3.33) dobiva se:
φ 1 = B · A = µ · H 1 · A = µ · N1 · i 1
l
· A
e 2 = − µ · N 1 · N 2 · A
l
· di 1
d t = −M · di 1
d t
(3.34)
Koeficijent M naziva se me ¯duinduktivitet i ima istu jedinicu henri (H) kao i induktivitet.
Me ¯duinduktivitet se može izraziti i preko induktiviteta pojedinih svitaka.
Budući da oba svitka obuhvaćaju istu jezgru, prema slici 3.26, za L 1 slijedi:
i potpuno analogno za L 2 :
L 1 = − µ · N 2 1 · A
l
= N 1
2
1
µ · l = N 1
2 (3.35)
R m
A
L 2 = − µ · N 2 2 · A
l
Povezujući (3.32) sa (3.33) i (3.34) dobiva se:
= N 2
2
1
µ · l = N 2
2
R m
A
M = − N
1 · N 2 L1 · R m ·L
2 · R m
=
= √ L 1 · L 2
R m R m
Ta je veza dobivena za slučaj potpunog magnetskog vezanja - sav tok od prve
zavojnice prolazi kroz drugu zavojnicu. Ako to nije slučaj, u proračun me ¯duinduktiviteta
treba uzeti i dodatni faktor k magnetskog vezanja.
M = k ·√L
1 · L 2
100

Energija magnetskog polja
Primjer: Zanimljivo je pokazati vezu induciranog napona u drugoj zavojnici
(sekundar) s naponom prve zavojnice (primar). Ako se izraz (3.32) podijeli s izrazom
(3.33) dobiva se:
iz čega slijedi napon sekundara:
e 1
e 2
= N 1
N 2
(3.36)
e 2 = N 2
N 1
· e 1 (3.37)
Iz (3.36) vidi se da se naponi primara i sekundara odnose kao omjeri njihovih
brojeva zavoja. Izlazni napon može se mijenjati promjenom omjera broja zavoja,
izraz (3.37). Na tom načelu radi transformator (slika 3.27).
i 1
e 1 N 1 N 2
e 2
SLIKA 3.27: Transformator
Treba imati na umu da je inducirani napon posljedica promjene toka, te je stoga
uvijek promjenljiv. U praksi se izmjenični napon primara transformira u izmjenični
napon željenog iznosa na sekundaru.
Kod idealnog transformatora (bez gubitaka), snage na primarnoj i sekundarnoj
strani jednake su, što znači da je pri višem sekundarnom naponu (veći broj zavoja
sekundara), sekundarna struja manja. Dobiti veći napon na sekundarnoj strani
(povećanjem broja zavoja) moguće je samo uz smanjenje sekundarne struje.
Transformatori tako i služe pri prijenosu energije na velike udaljenosti. Visokonaponski
dalekovodi imaju vrlo visok napon, uz malu struju, čime se minimiziraju
gubici zbog zagrijavanja vodiča (voda).
3.9 ENERGIJA MAGNETSKOG POLJA
Magnetsko polje, kao i električno, posjeduje energiju. Iznos energije W pohranjene
u zavojnici induktiviteta L jednak je radu koji se obavi pomicanjem naboja
protiv napona samoindukcije e s . U početku t = 0, neka je i = 0, a nakon toga neka
101

3. MAGNETIZAM
struja raste s prirastom di /d t. U vremenskom intervalu d t naboj koji kroz zavojnicu
pro ¯de je prema (2.2):
dQ = i · d t
a samoinducirani napon koji sprečava gibanje naboja je prema izrazu (3.31) jednak:
Iz toga slijedi da je učinjeni rad:
e s = −L · di
d t
dW = −e s · dQ = L · di
d t · i · d t = L · i · di
Ukupan rad W potreban za povećanje struje od nule do i je prema tomu:
W = 1 2 L · i 2 (3.38)
Dok teče struja zavojnica induktiviteta L posjeduje energiju sadržanuu magnetskom
polju.
Ako napon na zavojnici koji je struju prouzrokovao trenutačno nestane, onda
će ta energija sprečavati trenutni pad struje na nulu.
Zanimljivo je pogledati gdje je ova energija uskladištena (u električnom polju
kondenzatora bila je u dielektriku izme ¯du ploča). Ako se u (3.38) uvrsti L iz (3.35) i
I iz (3.9) slijedi:
W = 1 2 L · i 2 = 1 2 · µ · N 2 · A
l
( ) H · l 2
= µ · H 2
· A · l
N 2
Budući da je A ·l = V ol može se zaključiti da je energija pohranjena u volumenu
V ol magnetskog polja koji zavojnica obuhvaća (npr. volumenu torusa kod torusne
zavojnice) i da ovisi o kvadratu jakosti magnetskog polja, odnosno indukcije koja
tu postoji.
W = µ · H 2
·V ol = B 2
2 2µ ·V ol = B · H
2
·V ol
3.9.1 IZMJENIČNO MAGNETIZIRANJE ŽELJEZA
Ako se feromagnetski materijal nalazi u magnetskom polju kojem se neprestano
mijenja smjer (na primjer, polje koje stvara izmjenična struja), onda će promjena
jakosti polja mijenjati indukciju na način opisan u potpoglavlju 3.4.
Jednim periodom izmjenične struje opisat će se jedna petlja histereze, a okretanjem
smjera magnetskih dipola u feromagnetskom materijalu razvijat će se toplina.
Može se zamisliti stanovito ’unutrašnje trenje’ prilikom njihova okretanja.
102

Energija magnetskog polja
Diferencijal utrošene energije za porast struje i u vremenu d t koja uzrokuje
promjenu jakosti polja, a s njim i promjenu indukcije dB jednak je:
dW = e · i · d t = N · dφ
d t · H · l · d t = d(B · A) · H · l = H · A · l · dB (3.39)
N
odakle slijedi uz V ol = A · l
dW = H ·V ol · dB
Ukupna energija dovedena u jednom periodu bit će:
∫
W =
dW = V ol
∫
H · dB (3.40)
gdje je V ol - volumen koji zavojnica, odnosno torusna jezgra unutar zavojnice ima.
Integraciju treba dakle obaviti po zatvorenoj krivulji histereze, kao što je to prikazano
na slici 3.28. Poteškoća je me ¯dutim što H nije moguće izraziti kao jednostavnu
funkciju od B, pa se integral u izrazu (3.40) ne može izračunati analitički.
B
dB
H
H
SLIKA 3.28: Izmjenično magnetiziranje feromagnetskog materijala
Integracija po zatvorenoj krivulji rezultira površinom koju zatvara, pa kao neposredni
zaključak slijedi da je utrošena energija to veća što je površina histereze veća. To
isto slijedi i za razvijenu toplinu, pa se toplinski gubici prilikom magnetiziranja i
zovu gubici petlje histereze. Da bi se gubici energije zbog histereze smanjili, poželjno
je da njezina površina bude što manja.
Osim gubitaka zbog histereze u jezgri postoje i gubici zbog tzv. vrtložnih struja.
Promjenljivo magnetsko polje ima za posljedicu ne samo induciranje napona u zavojnici
oko jezgre nego i u feromagnetskoj jezgri kao vodiču. Posljedica pak induciranog
napona u masivnom vodiču su vrtložne struje. Toplinski gubici zbog
vrtložnih struja nisu zanemarivi. Zbog toga se dijelovi električkih strojeva izloženi
izmjeničnom magnetiziranju izra ¯duju od me ¯dusobno izoliranih limova kako bi se
vrtložne struje smanjile.
103

3. MAGNETIZAM
Ako se iznos izmjenične struje nakon svakog perioda smanji za odgovarajući
iznos, onda se i petlja histereze smanjuje, kako se vidi na slici 3.29 Nakon smanjivanja
iznosa struje na nulu jezgra više nema magnetska svojstva (B = 0 uz H = 0).
Taj se postupak zove razmagnetiziranje jezgre.
B
H
SLIKA 3.29: Razmagnetiziranje jezgre
3.9.2 PRIVLAČNA SILA MAGNETA
Poznavajući energiju koju (elektro)magnet ima nije teško odrediti silu kojom magnet
privlači ili nosi feromagnetski uzorak. S obzirom da je energija, odnosno rad,
jednak sili na odre ¯denom putu, prema slici 3.30 i izrazu (3.39) može se pisati :
i
dW = B 2
2µ 0
· dV = B 2
2µ 0
· A · dl (3.41)
dW = F · dl (3.42)
pa je iz (3.42) i (3.41):
F = B 2
2µ 0
· A
Nosiva, odnosno privlačna sila magneta razmjerna je kvadratu magnetske indukcije
i efektivnoj (zajedničkoj) površini predmeta i magneta na kojoj ta indukcija
djeluje.
3.10 APPLETI
104

Appleti
SLIKA 3.30: Privlačna sila magneta
N
dl
A
B
F
3.10.1 NABOJ U MAGNETSKOM POLJU
SLIKA 3.31: Naboj u magnetskom polju
Pomoću klizača namješta se:
• B (UPPER) - gustoću magnetskog toka u gornjoj polovici prozora
105

3. MAGNETIZAM
• B (LOWER) - gustoću magnetskog toka u donjoj polovici prozora
• MASS - masu naboja koji ulijeće u magnetsko polje
• VELOCITY - brzinu s kojom naboj ulijeće u magnetsko polje
• ANGLE - kut ulijetanja naboja click-om na gumb RESET vraćamo simulaciju
na početak.
3.10.2 LORENTZ-OVA SILA
SLIKA 3.32: Lorentz-ova sila
Click-om na gumb:
• ON/OFF - uključuje se i isključuje struja,
• REVERSE CURRENT - mijenja se smjer struje,
• TURN MAGNET - mijenja se smjer magnetskog polja.
Tri izborne ponude ispod posljednjeg gumba odre ¯duju hoće li se vidjeti smjer:
• Struje - crvene strelice
• Magnetskog polja - plave strelice
• Lorentzove sile - crne strelice
106

Appleti
Oko vodiča kojim teče struja postoji magnetsko polje. Ako se taj vodič nalazi u
vanjskom magnetskom polju, na njega će djelovati sila, tako da će ga gurati u područje
manje gustoće silnica ukupnog magnetskog polja, koje se dobiva zbrajanjem
magnetskog polja vodiča i vanjskog magnetskog polja. Ova sila zove se Lorentzova
sila. Prema (3.2) Iznos Lorenzove sile je
gdje su:
• F - sila na vodič
• B - gustoća magnetskog toka
• l - duljina vodiča
F = B · I · l
3.10.3 FARADAY-EV ZAKON
SLIKA 3.33: Faraday-ev zakon
Click-om na gumb:
• START - pokreće se simulacija,
• STOP - zaustavlja se simulacija.
S pomoću izbornih ponuda bira se da li će se vidjeti smjer (strelice) za:
• magnetsku silu,
• magnetsko polje.
107

3. MAGNETIZAM
Klizači služe za namještanje brzine promjene toka (engl. vary speed) i jakosti
magnetskog polja (engl. vary field strenght).
Vertikalni štap se giba uzduž dva horizontalna vodiča i zatvara strujni krug. U
krug je priključen ampermetar koji mjeri struju koja se inducira. Budući da je
inducirana struja proporcionalna induciranom naponu v i = B · l · v, povećanjem
brzine gibanja štapa i jakosti magnetskog toka struja će rasti. Vertikalni štap može
se vući s pomoću miša lijevo i desno. Očevidno je kako smjer i brzina povlačenja
utječu na induciranu struju, čiju jakost pokazuje ampermetar.
3.10.4 LENNZ-OVO PRAVILO
Povlačenjem miša uz pritisnutu lijevu tipku miša moguće je približavati i udaljavati
magnet od vodiča (prstena).
SLIKA 3.34: Lennz-ovo pravilo
Kada se magnet približava vodiču (prstenu), tok magnetskog polja kroz prsten
se povećava. U prstenu se inducira napon i teče struja. Smjer struje je takav da se
magnetsko polje oko vodiča suprotstavlja povećanju magnetskog toka.
Kada se magnet udaljava, inducirana struja i magnetsko polje oko vodiča ima
suprotan smjer od onog kad se magnet približava. U ovom se slučaju magnetsko
polje oko vodiča suprotstavlja smanjenju magnetskog toka.
Lenzovo pravilo: Inducirani napon stvara struju takvog smjera da se ona svojim
djelovanjem suprotstavlja promjeni (magnetskog toka) koja ga je izazvala.
108

Zadaci
3.11 ZADACI
3.1 Na polovici radiusa jednog vodiča kružnog presjeka kroz koji teče struja
konstantne gustoće J postoji magnetsko polje H 1 .
a) koliki je iznos magnetskog polja na površini vodiča (izrazite ga pomoću
H 1 ),
b) označite na presjeku vodiča smjer magnetskog polja na površini vodiča
uz slobodno izabran smjer struje,
c) kako se mijenja iznos magnetskog polja od osi vodiča prema površini,
prikažite grafički,
d) izvedite ovisnost c).
Rješenje: a) 2H 1 b) 0,75Ω d) 4 W d) 12 A, 2 A
3.2 Ravan vodič duljine 1m, mase 0,00784 kg, smješten je u zraku okomito na
horizontalno magnetsko polje jakosti 6,34 · 10 3 A/m. Na ¯dite potrebnu jakost struje
da vodič miruje u magnetskom polju .
Rješenje: 9,65 [A]
3.3 Elektron ubrzan razlikom potencijala 300V giba se usporedno s ravnini
vodičem od njega udaljenim 4 mm. Kolika sila djeluje na elektron ako vodičem
prolazi struja jakosti 5 A?
Rješenje: b) 4,12 · 10 −16 N
3.4 Nabijena čestica uleti u homogeno magnetsko polje magnetske indukcije
0,52 T brzinom 2 · 10 6 m/s. Koliki je specifični naboj čestice ako je ona u polju
opisala luk polumjera 4 cm? Koja je to čestica?
Rješenje: 0,961 · 10 8 ,
proton
3.5 Na zatvorenu željeznu jezgru srednje duljine 0,6 m i presjeka 5 cm 2 namotano
je 450 zavoja kroz koje teče struja 8,8 A i stvara magnetski tok 700 Wb.
a) kolika je indukcija,
b) koliki je iznos jakosti magnetskog polja,
c) koji je iznos relativne permeabilnosti željeza,
d) koliki otpor ima zavojnica ako je na nju priključen napon 10 V,
e) uz kvadratični profil presjeka jezgre i jednoslojan namot, koliki je iznos
presjeka bakrene žice namotaja?
109

3. MAGNETIZAM
Rješenje: a) 1,4 T b) 6600 A/m c) 168,8 Vs/Am d) 1,136Ω e) 0,623 mm 2
3.6 Kroz dva ravna usporedna vodiča teku struje 5 A i 10 A. Kolika sila djeluje
me ¯du vodičima na duljinu 1m ako su oni me ¯dusobno udaljeni 10 cm?
Rješenje: 0,0001 N
3.7 U homogeno magnetsko polje magnetske indukcije 2·10 4 smješten je dugi
ravni vodič okomito na silnice. Vodičem teče struja jakosti 50 A. Na ¯di geometrijsko
mjesto točaka u kojima je magnetska indukcija jednaka nuli.
Rješenje: 5 cm
3.8 Kroz 800 zavoja namotanih na nemagnetično tijelo oblika torusa srednje
dužine 0,2π m i presjeka 50 cm 2 teče struja I = 10 A.
a) koliki je iznos jakosti magnetskog polja u zavojnici,
b) koliki je induktivitet zavojnice,
c) koliku magnetsku energiju sadrži zavojnica?
Rješenje: a) 12734 A/m b) 6.4 mH c) 0,32 J
3.9 Koji se napon inducira u zavojnici sa 10 zavoja površine 5 cm 2 ako tu zavojnicu
za 0,005 s unesemo u magnetsko polje jakosti 8·10 4 A/m? Površina zavojnice
okomita je na silnice.
Rješenje: 0,1 [V]
3.10 U zavojnici se za vrijeme 0,2 s promijeni jakost struje od 15 A na 10 A.
Pritom se inducira napon 2 V. Koliki je induktivitet zavojnice?
Rješenje: 0,08 H
110

4
POGLAVLJE
PRIJELAZNE POJAVE
Električki elementi koji mogu uskladištiti energiju električnog (kondenzator) i magnetskog
(zavojnica) polja, mogu se nalaziti u dva stacionarna stanja: sa i bez energije.
Od interesa je upoznati pojave koje nastaju pri prijelazu iz jednog u drugo
stacionarno stanje, jer se njima obuhvaća preraspodjela energije u strujnim krugovima,
što je čest slučaj u praksi. Skup svih doga ¯daja pri tom prijelazu obuhvaća
naziv ’prijelazne pojave’. Glavno pitanje koje se u sljedećim točkama rješava jest:
kako se mijenja napon i struja na kondenzatoru i zavojnici izme ¯du dva stacionarna
stanja.
4.1 RC-KRUG
4.1.1 ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA
Kad se prazan kondenzator priključi na izvor napona V , kondenzatoru se dovodi
naboj i time povećava razlika potencijala v, izme ¯du ploča. Nakon dovoljno dugo
vremena kondenzator se nabije nabojem Q = C · V , izraz 1.13, i poprimi napon
izvora V . Tijekom nabijanja, porastu napona kondenzatora v, za vrijednost d v,
uzrok je porast naboja d q:
dQ = C · d v
Malim slovima označuju se trenutačne vrijednosti pojedinih veličina. Kod gibanja
naboja d q , električno polje obavlja rad (izraz 1.11):
dW = d q · v
Ukupna energija koju do kraja nabijanja pohrani kondenzator, prema izrazu
1.21, iznosi:
∫ V
W = C v · d v = C ·V 2
= Q ·V
0
2 2
111
= Q2
2 ·C

4. PRIJELAZNE POJAVE
Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izme ¯du ploča (elektroda),
kao energija električnog polja.
Kod izbijanja kondenzatora, električno polje u izolatoru se razgra ¯duje. Ta se energija
osloba ¯da i može se pretvoriti u neki drugi oblik energije (toplinsku, svjetlosnu
ili opet u električnu).
4.1.2 ENERGIJA NA OTPORU
Može se dokazati da kod nabijanja kondenzator dobije samo polovicu energije koju
daje izvor. Druga polovica energije izvora potroši se na otporu kruga R.
W R = W i −W C = Q ·V −Q · V
2 = Q · V
2 = W C
Na otporu kruga potroši se do kraja nabijanja toliko energije koliko je dobije
kondenzator.
4.1.3 NABIJANJE (PUNJENJE) KONDENZATORA
Uključenjem početno praznog kondenzatora u strujni krug s otporom R koji zamjenjuje
sve otpore kruga (radni otpor, otpor voda, nutarnji otpor izvora) (slika 4.1)
doga ¯da se prijelazna pojava nabijanja kondenzatora dok mu napon ne poprimi vrijednost
napona izvora. Struja nabijanja kondenzatora u početku je velika, a kako
naboj na pločama raste, tako njezin iznos pada.
1
S
0
2
C
V
+
−
R
SLIKA 4.1: RC krug
Struja I u trenutku priključenja odre ¯dena je samo naponom V i otporom kruga
R, tj. Ohm-ovim zakonom (I = V /R).
Kako nakon priključenja napon kondenzatora v C nabijanjem postupno raste,
tako se smanjuje napon na otporu v R (v R = V · v C ), a s njime i jakost struje u krugu
i (i = v R /R ).
112

RC-krug
Naponi se na početku nabijanja mijenjaju brže, a prema završetku nabijanja sve
sporije. Trajanje nabijanja je dulje što su veći kapacitet C i otpor kruga R. Umnožak
vrijednosti kapaciteta i otpora tako ¯der ima dimenziju vremena i zove se vremenska
konstanta:
τ = R ·C (4.1)
Nakon isteka jedne vremenske konstante kondenzator se nabije na 63% konačnog
napona.
Napon kondenzatora raste sve sporije prema konačnoj vrijednosti (napona izvora
V , a uzima se da je kondenzator nabijen nakon vremena t = 5τ (tj. pet vremenskih
konstanti). Struja tada praktički više ne teče iz izvora, pa se kaže da je kondenzator
nabijen.
4.1.4 IZBIJANJE (PRAŽNJENJE) KONDENZATORA
Nabijeni kondenzator odspojen od izvora sadrži električnu energiju. Vodljivim spajanjem
njegovih elektroda višak elektrona s negativne elektrode odlazi na pozitivnu
tvoreći tako struju kroz vodljivi spoj izme ¯du elektroda.
Strujom kondenzator predaje energiju otporu, preko kojeg su elektrode vodljivo
spojene. Ovo predavanje energije popraćeno smanjenjem naboja i napona naziva
se izbijanje (ili pražnjenje) kondenzatora.
Kod izbijanja, kondenzator se ponaša kao izvor kome se napon postupno smanjuje.
Početna struja izbijanja I odre ¯dena je naponom nabijenog kondenzatora V C i
otporom R vodljivog spoja izme ¯du priključnica kondenzatora:
I = V C
R
Izbijanjem se smanjuje naboj, napon kondenzatora i struja. Proces je u početku
brz, a prema završetku izbijanja sve sporiji. U svakom trenutku vrijedi Kirchhoff-ov
zakon za napone:
v R = v C
U svakom trenutku napon na otporu v R jednak je naponu kondenzatora v C ,
pa je time preko Ohm-ovog zakona u svakom trunutku odre ¯dena i veza izme ¯du
napona kondenzatora v C i struje izbijanja i jednaka:
i · R = v R
Na slici 4.2 prikazana je naponska funkcija nabijanja i izbijanja kondenzatora
v = f (t).
4.2 RL-KRUG
113

4. PRIJELAZNE POJAVE
v
V
nabijanje
τ 2τ 3τ 4τ 5τ
izbijanje
t
SLIKA 4.2: v=f(t) u RC krugu
4.2.1 ENERGIJA ZAVOJNICE
Porastom struje zavojnice od nule do neke vrijednosti I u svitku se stvara magnetsko
polje. Energija tog polja pohranjuje se u svitku. Smanjenjem struje magnetsko
polje se razgra ¯duje i svitak putem induciranog napona energiju vraća natrag u krug.
Snaga na zavojnici odre ¯dena je u svakom trenutku umnoškom struje i i induciranog
napona v L :
p L = i · v L = i · L · ∆i
∆t
Energija svitka jednaka je umnošku snage i promjene vremena:
∆W L = p L · ∆t = i · u L · ∆t = i · L · ∆i · ∆t = i · L · ∆i (4.2)
∆t
Ukupna energija svitka jednaka je zbroju svih diskretnih porasta energije ∆W L
pri porastu struje od 0 do I , pa se ukupna energija svitka dobije zbrajanjem, odnosno
integriranjem jednadžbe (4.2):
gdje je:
W =
l∑
i · L · ∆i = L · I 2
0
2
• W L - energija pohranjena u svitku
• L - induktivitet svitka
• I - struja svitka
što je identično već izvedenom izrazu u (3.38).
Energija svitka (stalnog induktiviteta) odre ¯dena je njegovim induktivitetom i
jakošću struje. Promjena struje svitka znači promjenu njegove energije. Kako nije
moguća trenutačna promjena energije, tako nije moguća ni trenutačna promjena
struje svitka i on se tome opire svojim induciranim naponom.
Kod ukapčanja i iskapčanja strujnog kruga sa svitkom (RL - krug), stacionarno
stanje se zbog toga ne uspostavlja trenutačno, nego se javlja prijelazno stanje u
kojem se postupno uspostavljaju konačne veličine struje i napona.
114

RL-krug
4.2.2 UKAPČANJE RL - KRUGA
Svaka se realna zavojnica može predočiti kao spoj radnog otpora R i induktiviteta
L. Dovede li se napon u strujni krug u koji je spojena realna zavojnica (spajanje
preklopke u položaj 0 − 1 na slici 4.3) struja će od početne vrijednosti i = 0 do svoje
stacionarne vrijednosti i = V /R s vremenom mijenjati svoj iznos. Promjena struje
inducirat će prema (3.31) napon samoindukcije, koji će se po Lenz-ovu zakonu
suprotstavljati promjeni struje, tj. usporavat će njezin porast.
1
S
0
2
L
V
+
−
R
SLIKA 4.3: RL krug
Jakost struje raste u zavojnici po eksponencijalnom zakonu. Za vrijeme jedne
vremenske konstante (t = τ) struja postigne 63,2% svoje konačne vrijednosti. Vrijednost
stacionarnog stanja praktički se postiže već nakon vremena od 4 do 5 vremenskih
konstanti. To se osobito zorno vidi na slici 4.4.
i
I
0.632 I
τ 2τ 3τ 4τ 5τ
t
SLIKA 4.4: i=f(t) za uključenje RL kruga
Suprotstavljajući se trenutačnoj promjeni struje, na svitku se nakon ukapčanja
javlja inducirani napon iznossa jednakog iznosu izvora.
Da bi struja neposredno nakon ukapčanja bila ista kao u času neposredno prije
toga, to jest nula, inducirani napon na svitku u trenutku ukapčanja mora poništiti
napon izvora. Stoga, neposredno nakon ukapčanja, inducirani napon na induktivitetu
po iznosu je jednak naponu izvora.
115

4. PRIJELAZNE POJAVE
Inducirani napon najveći je u trenutku ukapčanja, jer je tad najveća promjena
magnetskog toka. Potom, kako se u svitku postepeno uspostavlja magnetski tok,
smanjuje se brzina njegove promjene. Time se postupno smanjuje i inducirani
napon v L .
Napon na otporu v R u svakom je času jednak razlici napona izvora V i napona
na induktivitetu v L :
v R = V − v L
Kako se smanjuje napon v L tako raste napon na otporu v R , a isto tako postupno
raste struja:
i = v R
R = V R − v L
R
Struja raste od nule do konačne vrijednosti:
i = V R
koja je odre ¯dena samo naponom izvora i otporom kruga. To je veličina struje u
stacionarnom stanju.
Porast struje je sporiji i prijelazno stanje traje dulje, što je veći omjer induktiviteta
i otpora kruga. Analogno slučaju kondenzatora, izraz 4.1, ovaj omjer označava
se s τ i naziva vremenska konstanta RL-kruga.
τ = L R
Jedinica za vremensku konstantu je sekunda.
Vremenska konstanta τ je vrijeme nakon ukapčanja svitka, u kojem struja RL -
kruga poraste na 63% svoje konačne vrijednosti. U istom vremenu napon na induktivitetu
padne na 37% svoje početne vrijednosti.
Struja se sve sporije približava svojoj konačnoj vrijednosti I , a uzima se da je
realno doseže (te nastupa stacionarno stanje) nakon vremena:
T uk = 5 · τ
4.2.3 ISKAPČANJE RL - KRUGA
Drugi slučaj prijelazne pojave u RL-krugu jest prekidanje toka stacionarne struje
I , na primjer spajanjem preklopke u položaj 0 − 2 u shemi na slici 4.3. U strujnom
krugu bez izvora struja mora pasti na nulu (utrnuti). Promjene struje neizbježne pri
smanjivanju stacionarne vrijednosti I na stacionarnu vrijednost i = 0 uzrokom su
napona samoindukcije, čiji je smjer po Lenz-ovom zakonu takav da se suprotstavlja
promjeni, tj. nastoji održati dotadašnju struju.
116

Elektromagnetski oscilirajući krug
i
I
τ 2τ 3τ 4τ 5τ
t
SLIKA 4.5: i=f(t) za isključenje RL kruga
Struja dakle eksponencijalno trne u beskonačnosti (praktički nakon 4−5τ). Brzina
pada opet ovisi o vremenskoj konstanti. Vidi se (slika 4.5) da zbog prisutnosti
induktiviteta L strujni krug pokazuje stanovitu tromost pri promjeni struje.
Kod iskapčanja, suprostavljajući se padu struje, svitak djeluje kao naponski izvor
koji nastoji i dalje tjerati struju u istom smjeru.
U trenutku prekida struje otvaranjem sklopke, na induktivitetu se javlja inducirani
napon vrlo velikog iznosa (može biti i nekoliko kilovolti). Veličina induciranog
napona, može se ograničiti tako da se svitak pritom kratko spoji.
Polaritet induciranog napona v L je takav da on djeluje kao izvor, nastojeći održati
struju kroz svitak i nakon odspajaanja izvora. Da bi struja u času neposredno nakon
iskapčanja bila jednaka I kao prije iskapčanja, iznos induciranog napona u tom
času jednak je umnošku veličine struje prije iskapčanja i otpora preko kojeg se svitak
kratko spaja. To je i najveća vrijednost induciranog napona, koji potom postupno
pada prema nuli.
Struja je kod iskapčanja jednaka omjeru induciranog napona i otpora preko kojeg
je svitak kratko spojen. Ona, slično kao napon v L , s vremenom postupno pada
od početne vrijednosti I do nule. Pritom se potpuno razgradi magnetsko polje
svitka i potroši njegova energija.
Brzinu smanjivanja struje svitka, kao i trajanje prijelaznog stanja pri iskapčanju
svitka, odre ¯duje vremenska konstanta τ, koja je jednaka omjeru induktiviteta i otpora
iskapčanja.
Struja, kao i napon v L , nakon jedne vremenske konstante padne na 37% početne
vrijednosti, a nakon pet vremenskih konstanti praktično padne na nulu (t i s = 5 · τ).
4.3 ELEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJUĆI KRUG
Zanimljive pojave nastaju, ako se nabijeni kondenzator spoji u strujni krug sa zavojnicom.
Kondenzator se nabije u strujnom krugu koji ima izvor istosmjernog
napona. Zatim se, pomoću prikladne sklopke, zatvori krug u kojem se nalaze samo
kondenzator i zavojnica. Početno je zavojnica bez struje, dakle i bez energije, dok
je u kondenzatoru pohranjena energija Q 2 /2 ·C .
Tada se kondenzator počinje izbijati preko zavojnice. Promjena toka naboja u
117

4. PRIJELAZNE POJAVE
zavojnici inducira napon i energija magnetskog polja raste, a električno polje u konenzatoru
pada. Nakon prijelaznog procesa, kondenzator je cijelu svoju potencijalnu
energiju Q 2 /2 ·C predao zavojnici, koja tako dobiva najveću energiju L · I 2 /2.
Ako nema gubitaka (npr. na otporu), ta energija jednaka je prvotnoj električnoj.
Nakon toga slijedi ponovno nabijanje kondenzatora na račun magnetske energije
zavojnice. Može se primjetiti da je polaritet suprotan prvotnom polaritetu.
Budući da se proces ponavlja, a struja, naboj i napon su harmoničkog oblika,
govori se o električnim oscilacijama. Ako je početna energija kruga bila Q 2 /2 · C ,
ukupna energija u bilo kojem vremenu izračuna se iz:
q 2
2 ·C + L · i 2 2 = Q2
2 ·C
gdje su q i i trenutne vrijednosti naboja, odnosno struje.
Rješenjem te jednadžbe slijedi da je frekvencija oscilacija f jednaka:
f = 1 T = 1
2 · π L ·C
iz čega se vidi da je frekvencija (brzina promjene) to veća što su induktivitet i kapacitet
manji.
Vm
Vm
a
+
+
+
+
+
+
C
b
a
b
a
−
−−−−−
b
S
Im
I m
L
a
b
a
b
a
b
SLIKA 4.6: LC oscilator
Ono što je pritom zadivljujuće jest povezanost sa sličnim fizikalnim veličinama
mehaničkih oscilacija. Povezanost izme ¯du električnih i mehaničkih sustava je toliko
velika da je moguće riješiti složene mehaničke ili akustičke probleme postavljanjem
analognih električnih krugova i mjerenjem na lak način napona i struja koje
odgovaraju mehaničkim i akustičkim ’nepoznanicama’. Ako je m masa tijela obješenog
na spiralnoj opruzi krutosti k, onda će kružna frekvencija ω toga sustava
biti
118
√
k
ω =
m

Elektromagnetski valovi
što odgovara električnim oscilacijama:
√
1
ω =
L ·C
Budući da je sustav zatvoren, zbroj kinetičke i potecijalne (elastične) energije
je konstantan i jednak potencijalnoj energiji koju tijelo ima na maksimalnoj udaljenosti
x m .
Usporedba nekih izraza koji vrijede za oba oscilacijska kruga, mehaničkog i
električnog dana je u tablici 4.1.
Utjecaj otpora u oscilatorima je potrošak energije u vidu topline. To odgovara
trenju u mehaničkom sustavu. Gubitak energije ima za posljedicu smanjenje amplituda
oscilacija ili ga je potrebno nadokna ¯divati iz stranog izvora energije.
Hertz je 1888. godine pokazao da oscilacijski krugovi (odašiljači) mogu poslati
energiju kroz prostor do sličnog kruga (prijemnika). Osim potvrde poznatih zakona
iz optike, Hertz-ovi pokusi dokazali su i Maxwell-ovu teoriju elektromagnetskih valova,
koja je sigurno jedan od najvećih uspjeha znanosti 19. stoljeća.
TABLICA 4.1: Usporedba mehaničkih i električkih oscilacija
Masa na elastičnoj opruzi
m·v 2
2
+ k·x2
2
= m·x2 m
√
2
k
LC krug
L·i 2
2 + q2
2·C = Q2
2·C
√
v =
m · (x2 m − x 2 1
) i =
L·C · (Q2 − q 2 )
v = d x
d t
i = d q
d t
x = x m · si nωt
q = Q · si nωt
4.4 ELEKTROMAGNETSKI VALOVI
Elektricitet i magnetizam početno su promatrani i proučavani kao različita područja.
Me ¯dutim, elektromagnetska indukcija pokazala je da gdje god postoji promjena u
magnetskom polju, da se tu stvara i električno polje (3.28). Isto tako gibanje naboja,
tj. postojanje i promjena električnog polja, stvara magnetsko polje kako je objašnjeno
u poglavlju 3. Očevidno, nemoguće je postojanje jednog efekta bez pojave
drugog. Na tome je Maxwell gradio svoju teoriju o nerazdvojivosti električkog i
magnetskog polja, te njihova širenja kroz prostor.
Godine 1864. uspio je postaviti zakone u općem matematičkom obliku. Ti zakoni
zajedno daju diferencijalne jednadžbe širenja elektromagnetskih valova, elektromagnetskih
- zbog električne (E) i magnetske (B) veličine od koje su sastavljeni,
a valova - zbog njihove formalne podudarnosti s jednadžbama širenja mehaničkih
valova.
Otkrivena veza električnog i magnetskog polja može se sažeti u nekoliko važnih
činjenica:
119

Ovo nije baš dobra slika, ali se sjećam da je Stanković jednom crtao
identičnu pa bi to trebalo pronaći
4. PRIJELAZNE POJAVE
SLIKA 4.7: Elektromagnetski valovi
a) Sve promjene se istodobno doga ¯daju u oba polja (električnom i magnetskom),
koje svoje minimalne i maksimalne vrijednosti imaju na istom
mjestu i u isto vrijeme.
b) Jakosti električnog polja B i indukcije magnetskog polja E me ¯dusobno su
okomiti vektori, istodobno okomiti na smjer širenja vala (slika 4.4).
c) Iznosi tih dvaju vektora povezani su s konstantom c:
E = c · B
d) Elektromagnetski valovi nose energiju i njihovo širenje je tok energije
električne gustoće ( ε 0·E 2
2
) i magnetske gustoće ( B 2
2·µ 0
).
e) Brzina širenja elektromagnetskih valova u vakuumu je:
c = 1
µ 0 · ε 0
= 3 · 10 8 m/s
Elektromagnetski valovi šire se, dakle, u vakuumu brzinom svjetlosti!
Izražena u strogom matematičkom obliku Maxwell-ova teorija dovela je do zaključka
da je svjetlost elektromagnetski val. Hertz-ovi pokusi, kako je već rečeno,
potvrdili su ispravnost te teorije.
4.5 APPLETI
4.5.1 RC-KRUG
120

Appleti
SLIKA 4.8: RC-krug
Pomoću tri padajuća izbornika biraju se vrijednosti otpora, kapaciteta i napona.
Nakon svakog odabira mora se click-nuti na gumb UPDATE, da bi se odabrane vrijednosti
upisale pored odgovarajućih elemenata u strujnom krugu.
Napon se još može mijenjati clickom iznad baterije i povlačenjem gore ili dolje
naponskog stupca s pomoću miša (pritisnuta lijeva tipka miša). Taj stupac prikazuje
iznos napona baterije.
Click-om na crveni prekidač pokreće se simulacija. Trenutne vrijednosti napona
na kondenzatoru i otporniku prikazane su pored tih elemenata. Crvena krivulja
prikazuje napon kao funkciju vremena, a plava struju, tako ¯der kao funkciju vremena.
Click-om na gumb RESET vraća se vrijeme na nulu. Click-om na crveni prekidač
mijenja se njegov položaj, tj. zatvara se veći ili manji strujni krug.
U većem krugu postoji izvor napona (baterija), pa se zatvaranjem tog kruga kondenzator
puni. Ako se, nakon punjenja kondenzatora, zatvori manji strujni krug,
kondenzator će se prazniti preko otpora R.
Simulacija se možemo zaustaviti držanjem pritisnute lijeve tipke miša, a kod
otpuštanja simulacija se nastavlja.
4.5.2 RL-KRUG
Click-om miša (lijevi click) na prekidač na appletu uključuje se, odnosno isključuje
strujni krug. S pomoću klizača namješta se otpor na reostatu (0−10Ω) i induktivitet
121

4. PRIJELAZNE POJAVE
SLIKA 4.9: RL-krug
na zavojnici (0 − 2H).
Nakon zatvaranja strujnog kruga, iznad zavojnice se pojavljuju dvije strelice:
plava pokazuje smjer struje koja teče krugom, a crvena pokazuje smjer inducirane
struje u zavojnici. Ako se želi da na ekranu osciloskopa napon bude prikazan
krivuljom, treba se click-nuti na oznaku ’curve’ (hrv. krivulja).
4.5.3 ELEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJUĆI KRUG
SLIKA 4.10: Elektromagnetski oscilirajući krug
Click-om na gumb:
122

Appleti
a) RESET - kondenzator će se spojiti na izvor napona, pa će se na njemu
razdvojiti naboji. Gornja ploča bit će pozitivna, a donja negativna.
b) START - prekidač će doći u drugi položaj i oscilacije će započeti. Nakon
toga isti gumb omogućuje prekidanje (PAUSE) i nastavljanje simulacije
(RESUME).
c) Opcije SLOW MOTION omogućuju 10 ili 100 puta sporiji prikaz oscilacija
od realnih.
U tekstovna polja upisuju se vrijednosti kapaciteta (CAPACITY : 100 − 1000µ F),
induktiviteta (INDUCTIVITY : 1 − 10 H), otpora (RESISTANCE: 0 − 1000Ω) i napona
na izvoru (MAX. VOLTAGE).
Na lijevoj strani appleta piše vrijeme proteklo od početka oscilacija, a ispod piše
period oscilacija.
Mogu se odabrati jednu od dvije opcije u donjem desnom kutu:
a) VOLTAGE, AMPERAGE - u dijagramu će biti prikazani napon V (plavo) i
jakost struje I (crveno) kao funkcije vremena.
b) ENERGY - grafički će biti prikazana transformacija energije (energija električnog
polja kondenzatora - crveno, energija magnetskog polja zavojnice
- plavo i energija potrošena na otporniku - crno)
123

4. PRIJELAZNE POJAVE
4.6 ZADACI
4.1 Kondenzator je sastavljen od dviju paralelnih ploča od površine 60 cm 2
koje su jedna od druge udaljene 3 mm. Me ¯du njima je bakelit, kojemu je relativna
dielektričnost 4. Kondenzator ima napon od 500 V. Kolika se energija oslobodi izbijanjem
tog kondenzatora?
Rješenje: 8,85µ J
4.2 Zavojnica ima otpor 5Ω i induktivitet 100 mH. U jednom specifičnom trenutku
nakon uključivanja baterije, poteče struja u zavojnici iznosa 2 A i promjene Λi
∆t = 20
A/s. Odredite:
a) napon baterije,
b) vremenska konstanta kruga,
c) konačnu vrijednost struje?
d) konačnu vrijednost energije kondenzatora?
Rješenje: a) 12 V b) 0,02 s c) 2,4 A c) 0,288 J
4.3 Kondenzator ima kapacitet 15µF, otpornik ima otpor 8MΩ, a baterija napon
800 V. U jednom specifičnom trenutku nakon uključivanja baterije teče struja koja
puni kondenzator, a napon na njemu je 350 V. Kondenzator je u početku prazan.
Odredite:
a) brzina promjene napona na kondenzatoru u odabranom trenutku nakon
uključivanja,
b) vremensku konstanta kruga,
c) konačnu vrijednost struje?
d) konačnu vrijednost energije kondenzatora?
Rješenje: a) 0,375 V/s b) 120 s c) 0 A d) 4,8 J
124

5
POGLAVLJE
IZMJENIČNE STRUJE
Već pri prijelaznim pojavama u strujnom krugu uočene su električne veličine (struje,
naponi, elektromotorne sile) koje nisu vremenski konstantne. Njihove vrijednosti
poprimaju u svakom trenutku drugi iznos.
Općenito se trenutna vrijednost, uzmimo struje, može iskazati izrazom:
i = f (t) (5.1)
Konstantna struja, istosmjerna bez promjene iznosa, kakva je prikazana na slici
5.1, gdje je i = I , tek je poseban slučaj gornjeg izraza. Ako struja i = f (t) mijenja
samo iznos, a ne i predznak, ostaje istosmjerna (slika 5.1 b.).
i
i
a)
t
b)
t
SLIKA 5.1: Istosmjerne struje
Ako struja i = f (t) uz iznos mijenja i predznak, naziva se izmjenična (slika 5.2).
Fizikalno to znači da ima vremenskih odsječaka u kojima se nosioci naboja gibaju
i u suprotnom smjeru. Obično se smjer gibanja pozitivnog naboja pridružuje pozitivnim
iznosima u izrazu i = f (t), a smjer negativnog naboja negativnim.
Promjena struje može biti periodička, što znači da se u izrazu i = f (t) u konstantnim
vremenskim razmacima ponavljaju iste vrijednosti s istom derivacijom i
da to vrijedi za bilo koji trenutak. Minimalni vremenski razmak takvih točaka zove
se period T . Dva primjera periodički promjenljivih struja prikazuje slika 5.3. Na
slici 5.3 a. je istosmjerna, a na slici 5.3 b. izmjenična periodička struja.
Periodička struja prema tome zadovoljava izraz:
i (t) = f (t + k · T )
125

5. IZMJENIČNE STRUJE
i
t
SLIKA 5.2: Izmjenična struja
i
i
T
t
T
t
a)
b)
SLIKA 5.3: Periodičke struje
gdje je k = 0,1,2,3,... Ako je srednja vrijednost periodičke struje i (t), definirana
izrazom:
I sr = 1 T
∫ T
jednaka nuli, struja i (t) je čista izmjenična.
0
i (t) · d t
5.1 HARMONIČKI OBLIK
Ako je dobivena srednja vrijednost I sr različita od nule, tada je ta periodička struja
sastavljena od dvije komponente: od konstantne istosmjerne iznosa I sr i čiste izmjenične,
kako je za jedan slučaj prikazano na slici 5.4. Struja u lijevom dijagramu
jednaka je zbroju komponenata prikazanih na preostala dva dijagrama.
Me ¯du čistim izmjeničnim strujama neki se oblici pojavljuju češće. Tako su češći
oblici u kojih je negativni dio iznosima jednak pozitivnom, a me ¯du takvima najzastupljeniji
je harmonički oblik (slika 5.5).
126

Harmonički oblik
i
i
i
I SR
=
I SR
+
t
t
t
SLIKA 5.4: Periodička struja sa I s r ≈ 0
Mnoge prirodne pojave često se odvijaju po harmoničkoj promjeni. Važno je
njezino svojstvo da joj derivacija i integral ostaju harmonički uz vremenski pomak.
i
t
SLIKA 5.5: Harmonička struja
Najjednostavniji matematički opis harmoničkog oblika je onaj pri kojem je u
vremenu t = 0 iznos funkcije nula, uz pozitivnu derivaciju. Za struju to je izraz:
i (t) = I m · sin(ωt)
gdje je I m - amplituda, ω - konstanta, a ωt - kut.
Često se takav oblik jednostavno zove sinusnim ili sinusoidalnim.
Neharmonički periodički oblici mogu se primjenom Fourier-ove analize predočiti
kao zbroj harmoničkih komponenata i jedne konstantne.
U nastavku se pod pojmom izmjenične struje podrazumijeva struja harmoničkog
oblika, jednostavno zvana sinusoidalnom strujom. Nju daje izvor napona istog oblika.
Uobičajeno je da se fizički smjer struje u vodiču kome pripadaju pozitivni iznosi
u izrazu i (t) utvr ¯duje kao referentni i označuje strelicom u shemama strujnih krugova
(slika 5.6). Njemu pripada referentni polaritet napona izvora koji se može označiti
oznakama ’+’ i ’−’. Pri negativnim trenutnim vrijednostima i (t) i v(t) smjer
struje i polaritet napona su suprotni od naznačenog.
5.1.1 FREKVENCIJA I KRUŽNA FREKVENCIJA
127

5. IZMJENIČNE STRUJE
i
V
+
−
SLIKA 5.6: Referentni smjer struje i pripadajući polaritet napona izvora
U vremenu perioda T izmjenična struja izvrši jedan potpuni titraj. Broj titraja N u
vremenu ∆t naziva se frekvencijom:
br o j ti tr a j a N
f r ekvenci j a f =
vr i j eme ∆ t
[ 1 ] = [H z]
s
Jedinica frekvencije je H z (Herc). Ako se vrijeme promatranja iste pojave svede
na period ∆t = T , broj titraja N je jedan, a frekvencija iznosi:
f = 1 t
[H z]
Vrijeme trajanja jednog titraja ili period T recipročno je vrijednosti frekvencije.
Frekvencija izmjenične struje korištene u elektroenergetskim sustavima ovisi o
brzini vrtnje i o broju magnetskih polova generatora u kojem se proizvodi, što se
može prikazati slikom 5.7. Tu se nalaze shematizirani presjeci dvaju generatora s
jednim namotom na statoru i s magnetskim polovima na rotoru. Rotor na slici 5.7
a) ima dva, a na slici 5.7 b) četiri magnetska pola. Broj pari polova p u prvom slučaju
je jedan, a u drugome dva.
N
N
S
S
S
N
p = 1
p = 2
a)
b)
SLIKA 5.7: Shematizirani prikazi generatora izmjenične struje
128

Harmonički oblik
Rotacijom magnetskih polova u statorskom namotu inducira se izmjenični napon.
U jednom okretaju rotora na slici 5.7 a) inducira se jedan titraj, a u jednom okretaju
rotora na slici 5.7 b) induciraju se dva titraja. Kod p pari polova u jednom okretaju
inducirat će se p titraja.
Kod n broja okretaja u generatoru na slici 5.7 a) inducira se n titraja, u generatoru
na slici 5.7 b) n · 2 titraja, a u generatoru s p pari polova n · p titraja. U jednoj
sekundi inducirat će se općenito:
f = n · p [H z]
titraja, ako je n broj okretaja u sekundi, ili:
f = n · p [H z]
60
ako je n broj okretaja u minuti.
Jednom titraju induciranog napona pripada kut α el = 2π. U istom vremenu
rotor generatora na slici 5.7 a) prije ¯de kut α g eom = 2π , a rotor na slici 5.7 b) kut
α g eom = 2π/2. Rotor s p pari polova prijeći će u istom vremenu kut α g eom = 2π/p.
Električkom kutu odgovara p puta manji geometrijski kut, pa je:
α g eom = α el
p
Uz konstantnu kutnu brzinu vrtnje rotora ω g eom vrijedi:
a uz konstantnu frekvenciju:
α g eom = ω g eom · t
α el = ω · t
gdje se ω naziva kružnom frekvencijom.
Za α el = 2π, t = T , pa je:
i
2 · π = ω · T
ω = 2 · π [H z]
T
Kružna frekvencija jednaka je kutnoj brzini generatora samo ako ovaj ima jedan
par polova, jer je tada električki kut jednak geometrijskom. Uz f = 1/T slijedi
povezanost frekvencije i kružne frekvencije:
ω = 2 · π · f
Primjer: Struja javne električne mreže ima frekvenciju 50 Hz, pa trajanje jednog
perioda kod nje iznosi:
T = 1 f = 1
50 = 0,02s = 20ms 129

5. IZMJENIČNE STRUJE
a kružna frekvencija:
ω = 2 · π · 50 = 314s −1
Ako se ona proizvodi npr. u generatorima s brojem pari polova p = 2, oni se
moraju vrtjeti brzinom:
n = 60 · f
p
60 · 50
= = 1.500mi n −1
2
Izmjenične struje niskih frekvencija koriste se u prijenosu energije, a one srednjih
i visokih frekvencija u prijenosu informacija. U elektroenergetskim sustavima
pored frekvencije od 50 Hz u nekim se zemljama susreću i frekvencije od 60 Hz. U
prijenosu informacija koriste se frekvencije u vrlo širokom rasponu, od praga čujnosti
u iznosu od oko 15 Hz pa do nekoliko GHz (gigaherca).
5.1.2 SREDNJA I EFEKTIVNA VRIJEDNOST
Srednja i efektivna vrijednost statističke su veličine, a služe za skraćeno i efikasno
opisivanje neke promjenjive veličine koje se trenutne vrijednosti mijenjaju s vremenom.
Srednja vrijednost je očekivanje trenutnih vrijednosti, a efektivna njihovo
standardno odstupanje. U elektrotehnici se obje vrijednosti naširoko koriste, efektivna
osobito za struje i napone, a srednja i za snage. Srednja vrijednost struje zanimljiva
je sa stanovišta pretvorbe električne u kemijsku ili mehaničku energiju kod
istosmjernih trošila, a njezina efektivna vrijednost sa stanovišta pretvorbe u toplinsku
energiju i kod istosmjernih i kod izmjeničnih trošila.
Iz definicije srednje vrijednosti za kontinuirane varijable s periodom T :
F sr = 1 T
∫ T
0
f (t) · d t
slijedi srednja vrijednost I s r struje i (t) u periodu T :
I sr = 1 T
∫ T
0
f (t) · d t
Integral odre ¯duje površinu ome ¯denu krivuljom i (t) i apscisom t i predstavlja
količinu električnog naboja koji protekne u vremenu T . Dijeljenje s iznosom tog
vremena daje vrijednost konstantne istosmjerne struje po kojoj bi u istom vremenu
T protekla ista količina naboja.
Srednja vrijednost harmoničke izmjenične struje:
130
i = I m · sin(ωt)
u vremenskom intervalu struje perioda T , jednaka je nuli:
I sr = 1 T
∫ T
0
sin(ωt) · d t = 0

Harmonički oblik
jer je jednak nuli njezin integral (slika 5.8 a).
Vrijednost I m je maksimalna, vršna ili tjemena vrijednost koju struja poprima u
odre ¯denom trenutku (T /4, 3T /4 itd), a ω kružnu frekvenciju.
Srednja vrijednost struje zadržava isti iznos ako je vremenski interval u kojem se
odre ¯duje višekratnik perioda T . Na isti način mogu se odrediti srednje vrijednosti
struja i napona sličnih matematičkih opisa. Tako npr. za struju prema slici 5.8 b),
koja se javlja kod poluvalnog ispravljanja i (t) iznosi:
i
i
I SR = 0.318 I m
I SR = 0
T
4
T
2
3T
2
T
t
T
4
T
2
3T
2
T
t
a)
b)
SLIKA 5.8: Srednje vrijednosti struja
i = I m sin(ωt) za 0 < t < T 2
(5.2)
T
i = 0 za
2 < t < T
a njezina srednja vrijednost u periodu ponavljanja T , jednaka je:
I s r = 1 T
∫ T
0
i · d t = 1 T [ ∫ T
2
0
∫ T
I m · sin(ωt) + 0 · d t] = I m
T π = 0,318I m
2
Efektivna vrijednost I struje i (t) odre ¯duje se usporedbom toplinskog učinka
struje i (t) i konstantne istosmjerne struje na jednakom otporu R u istom vremenskom
intervalu T . Efektivna vrijednost izmjenične struje jednaka je onoj vrijednosti
konstantne istosmjerne struje I koja u otporu R za vrijeme perioda T proizvede istu
količinu topline Q kao i i (t) u istom vremenu (slika 5.9):
pa slijedi:
∫ T
Q 1 = I 2 · R · T = Q 2 = i 2 (t) · R · d t
0
√ ∫ T
I =
0
i 2 (t) · R · d t
131

5. IZMJENIČNE STRUJE
Efektivna vrijednost označuje se kao istosmjerna struja, slovom I . Kod periodičkog
oblika i (t) vremenski interval T mora biti period ili njegov višekratnik.
=
R
R
I
Q 1
i
Q 2
Q 1 = Q 2
SLIKA 5.9: Odre ¯divanje efektivne vrijednosti struje
Efektivna vrijednost harmoničke struje:
jednaka je:
√
1
I =
T
i = I m · I m sin(ωt)
∫ T
0
I 2 m · sin 2 (ωt) · d t
Zamjenom kvadrata sinusa poznatim izrazom iz trigonometrije:
sin 2 (ωt) = 1 2 (1 − cos(2ωt)) = 1 4π
(1 − cos
2 T t)
te integriranjem i uvrštavanjem granica integrala slijedi:
I = I m
2 = 0,707 · I m
Efektivna vrijednost struje ucrtana je u slici 5.10.
i
I = 0.707 I m
T
2
T
t
SLIKA 5.10: Izmjenična struja i njezina efektivna vrijednost
Na isti se način mogu odrediti efektivne vrijednosti struja i napona sličnih matematičkih
opisa.
132

Harmonički oblik
Izmjenične veličine vrlo se često izražavaju u svojim efektivnim vrijednostima,
pa se u njima najčešće označavaju i skale instrumenata namijenjenih mjerenju
struja i napona.
5.1.3 FAZA I RAZLIKA FAZA
Pojmovi faza i razlika faza javljaju se kod harmoničkih oblika. Fazom ili faznim
kutom naziva se kut u matematičkom izrazu harmoničke izmjenične veličine. Tako
je u izrazu za napon:
to kut ωt, a u izrazu za struju:
v = V m · sin(ωt)
i = I m · sin(ωt − ϕ)
kut (ωt − ϕ). Razlikom faza ili faznim pomakom naziva se razlika kutova dviju
izmjeničnih veličina. Može se slično kao i faza izražavati u radijanima ili stupnjevima.
Za gore navedene napon i struju fazni pomak je:
ωt − (ωt − ϕ) = ϕ
Istofazne su veličine s ϕ = 0, a protufazne s faznim pomakom π. Razlici faza ϕ
pripada vremenski pomak najbližih istovrsnih točaka (primjerice prolaz kroz nulu
s pozitivnom derivacijom ili pozitivno tjeme):
∆t = ϕ ω
Za odnos u pomaku kaže se da prethodi ona veličina koja pri manjim iznosima
kuta ili vremena prolazi kroz istovrsnu točku. Veličina koja ima veći kut ili vrijeme
u takvoj točki uspore ¯divanja zaostaje.
Razlika faza može odre ¯divati i odnos izme ¯du dvaju napona ili dviju struja.
Zornija predodžba faze i razlike faza dobije se prikazom izmjeničnih veličina u
vremenskom dijagramu, pri čemu se na vremensku os mogu nanositi vrijednosti
ili vremena ili faze. Ako za vrijeme trajanja perioda vrijeme t raste od 0 do T ,
faza ωt rast će linearno s vremenom od 0 do 2π postižući u vremenima T , 2T , 3T ,
. . . vrijednosti 2π , 4π, 6π, . . .
Uz izbor bilo kojeg referentnog trenutka napon v = V m sin(ωt) (slika 5.11 a) i
struja i = I 1m sin(ωt − ϕ 1 ) dali bi grafički prikaz na slici 5.11 b) Struja i 1 nema vrijednost
nula s pozitivnom derivacijom u trenutku t = 0, kao što to ima napon, nego
kada je njezina faza jednaka nuli (ωt − ϕ 1 ) = 0, pa je ωt = ϕ 1 .
Izme ¯du napona v i struje i 1 postoji razlika faza ϕ 1 , a struja zaostaje za naponom
za fazni kut ϕ 1 , odnosno za vremenski pomak:
∆t 1 = ϕ 1
ω
133

5. IZMJENIČNE STRUJE
V,i
T
2 T
π
2π
ωt
V,i
V
∆t 1
ϕ 1
i 1
b)
T
2 T
π
2π
ωt
a)
V,i
V
V,i
V
i 2
T
2 T
π
2π
ωt
i 3
d)
T
2 T
π
2π
ωt
∆t 2
ϕ 2
c)
SLIKA 5.11: Fazni pomaci napona i struje
Za neku drugu struju, na primjer i 2 = I 2m sin(ωt + ϕ 2 ), faza će biti ωt + ϕ 2 ), a
fazni pomak prema naponu ϕ 2 . Struja i 2 prethodi naponu za fazni kut ϕ2, a ima
vrijednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku kada je njezina faza jednaka
nuli ωt +ϕ 2 ) = 0, pa je ωt = −ϕ 2 (slika 5.11 c). Struja prethodi naponu za ∆t 2 = ϕ 2 /ω
.
Struja i 3 = I 3m sin(ωt) i napon 5.11 imaju istu fazu i me ¯du njima je fazni pomak
jednak nuli.
5.2 PREDOČIVANJE IZMJENIČNIH VELIČINA
Izmjenične veličine do sada su prikazivane ili algebarskim izrazima ili vremenskim
dijagramima. Radi jednostavnijeg računanja, crtanja i tumačenja odnosa u stru-
134

Predočivanje izmjeničnih veličina
jnim krugovima one se mogu prikazivati i rotirajućim dužinama, a s njima se može
računati i u Gauss-ovoj ravnini.
Ove metode prikazivanja i računanja nazivaju se simboličkim metodama.
5.2.1 PRIKAZIVANJE ROTIRAJUĆIM DUŽINAMA I VEKTORIMA
Prikazivanje izmjeničnih veličina rotirajućim dužinama zasniva se na grafičkoj konstrukciji
sinusoide pomoću dužine koja rotira jednoličnom kutnom brzinom iz početnog
horizontalnog položaja. Tako se na primjer sinusoida napona v = V m sin(ωt) može
dobiti projekcijom rotirajuće dužine V m , kutne brzine ω = 2π · f , na vertikalnu os
(slika 5.12).
y
V, I
ω
I (α)
α
x
ωt
α
SLIKA 5.12: Dobivanje sinusoide pomoću rotirajuće dužine
Projekcija rotirajuće dužine V m na vertikalnu os za bilo koji kut α = ωt jednaka
je trenutnoj vrijednosti napona v = V m sin(ωt). Kada rotirajuća dužina opiše puni
kut α = 2π, sinusoida opiše puni titraj.
Prikaz sinusoida napona v = V m sin(ωt) i struje i = I m sin(ωt−ϕ) odgovarajućim
rotirajućim dužinama daje slika 5.13.
Obje rotiraju istom kutnom brzinom jer su istih frekvencija, a razlika faza ϕ
očituje se kao geometrijski kut. Dužine su prikazane u položaju koji zauzimaju u
trenutku t 1 . Izbor tog trenutka je slobodan, ali se u praksi najčešće poklapa s prolazom
kroz nulu ili π/2 veličine koja se smatra referentnom.
Prikazivanje istofrekvencijskih izmjeničnih veličina rotirajućim dužinama omogućava
jednostavnije računanje s njima, jer se grafičko zbrajanje i oduzimanje rotirajućih
dužina može izvesti na isti način kao zbrajanje i oduzimanje planarnih vektora. To
opravdava postupak da se rotirajuće dužine zamijene mirujućim vektorima, čije
dužine odgovaraju efektivnim vrijednostima prikazanih veličina, a razlika faza očituje
se kao kut me ¯du njima.
Uobičajeno je da se pri crtanju više vektora jedan uzima kao referentni i postavlja
u pozitivni smjer osi apscisa ili ordinata, a ostali se, s odgovarajućim faznim po-
135

5. IZMJENIČNE STRUJE
y
V,i
V
ω
i
ϕ
x
ωt
ϕ
SLIKA 5.13: Prikaz sinusoida rotirajućim dužinama
macima, crtaju prema njemu. Oni s pozitivnim kutovima prema referentnome
prethode mu, a oni s negativnim zaostaju.
y
V, I
ω
t = 0
α
α 0
x
α 0
α
ωt
SLIKA 5.14: Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu
Vektor koji predstavlja napon, odnosno struju, rotira u koordinatnom sustavu
(sl. 5.14) stalnom kutnom brzinom ω, pa kut vektora α stalno raste s vremenom.
Ako je početna vrijednost kuta α = 0 za t = 0, kut je α = ωt. Projekcija vektora na os
y mijenja se u vremenu po sinusnoj funkciji:
Y (A) = A · sin(ωt)
Y (A) - uspravna koordinata vektora
A - vektor koji rotira
Vektor može započeti vrtnju iz početnog položaja α = 0 ili iz bilo kojeg drugog
položaja odre ¯denog nekim početnim kutem α 0 (sl. 5.14 b). U tom drugom slučaju
vremenska promjena kuta vektora α izražena je jednadžbom:
α = (ωt + α 0 )
136

Predočivanje izmjeničnih veličina
pa vremenska promjena uspravne koordinate vektora ima oblik opće sinusne
funkcije:
Y (A) = A · sin(ωt + α 0 )
Sinusoida se na ovaj način može predstaviti rotirajućim vektorom, pri čemu je
duljina vektora jednaka vršnoj vrijednosti sinusoide, kutna brzina vrtnje vektora
jednaka je kružnoj frekvenciji sinusoide, a početni kut vektora jednak je početnom
kutu sinusoide.
Vektori izmjeničnih veličina mogu se nacrtati tako da se napon V uzme kao referentna
veličina i postavi u pozitivni smjer osi apscisa, a struje se crtaju pomaknute
prema njemu (slika 5.14).
ϕ 1
I 2
I 3
I 1
ϕ 2
V
SLIKA 5.15: Vektorski prikaz napona i struja
Dužine tih vektora odgovaraju, u odre ¯denom mjerilu, tjemenim, a posredno i
efektivnim vrijednostima prikazanih veličina, a kutovi ϕ 1 i ϕ 2 faznim pomacima
prema naponu kao referentnoj veličini. Vektor I 2 prethodi naponu za kut ϕ 2 , vektor
I 3 je s njime u fazi, a vektor I 1 zaostaje za njim za kut ϕ 1 .
Trebaju li se zbrojiti dvije izmjenične veličine, npr. struje I 1 i I 2 iz slike 5.16, čije
su trenutne vrijednosti:
i
i 1 = I 1m · sin(ωt − ϕ 1 )
i 2 = I 2m · sin(ωt − ϕ 2 )
može se to načiniti grafički (slika 5.16). Rezultat je novi vektor I koji predstavlja
efektivnu vrijednost zbroja struja i = i 1 + i 2 . Njegova faza ϕ je kut koji on zatvara s
vektorom napona, pa je:
i = i 1 + i 2 = I m · sin(ωt − ϕ)
Izmjenične veličine nemaju svojstva vektora i nisu vektori, pa njihov vektorski
prikaz ima simboličko značenje i služi samo za grafičko predočavanje i jednostavnije
grafičke operacije zbrajanja i oduzimanja. Pritom se zbrajati i oduzimati
mogu samo iste fizikalne veličine.
137

5. IZMJENIČNE STRUJE
I 2
I 1
I
ϕ 2
ϕ 1
ϕ
V
SLIKA 5.16: Zbroj dviju struja
5.2.2 FAZNI POMAK U VEKTORSKOM PRIKAZU
Početni kut sinusode α 0 , koji pokazuje pomak nultočke sinusoide od ishodišta,
odre ¯den je vremenom t 0 za koje je nultočka sinusoide pomaknuta od trenutka t =
0, tako da vrijedi α 0 = t 0 (slika 5.17).
Ovaj pomak sinusoide od ishodišta naziva se još i fazni pomak.
y
V m
V,i
α 0
V m
t 0
x
α 0
ωt
−V m
SLIKA 5.17: Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu
U vektorskom prikazu fazni pomak odre ¯den je početnim kutem koji vektor sinusne
veličine zatvara s pozitivnim dijelom osi x. Pozitivni početni kut pokazuje
pomak nultočke sinusne funkcije ulijevo od ishodišta, što vremenski znači pretho ¯denje
nultočke trenutku t = 0. Negativni početni kut pokazuje pomak nultočke sinusne
funkcije udesno od ishodišta, a vremenski označava kašnjenje nultočke iza trenutka
t = 0.
U vektorskom prikazu pozitivni fazni pomak (pretho ¯denje) znači zakret vektora
od osi +x u smjeru suprotnom okretanju kazaljki sata, dok negativni fazni pomak
(kašnjenje) znači zakret vektora u suprotnom smjeru.
Fazni pomak može se odrediti samo izme ¯du harmonijskih veličina jednakih
frekvencija. Fazni pomak izme ¯du dviju sinusoida jednak je razlici njihovih počet-
138

Jednostavni krug izmjenične struje
nih kuteva. U vektorskom prikazu fazni pomak jednak je kutu izme ¯du vektora dviju
veličina. Kao fazni pomak uzima se manji (nutarnji) kut.
5.3 JEDNOSTAVNI KRUG IZMJENIČNE STRUJE
U istosmjernim krugovima konstantnih struja odnose izme ¯du struja i napona odre ¯divali
su Ohm-ov i Kirchhoff-ovi zakoni. Kod prijelaznih pojava Kirchhoff-ovi zakoni
su vrijedili i dalje, dok je Ohm-ov zakon ostao mjerodavan samo za trenutne iznose
struja i napona na otporu R, ali ne i na induktivitetu L i kapacitetu C .
Slično vrijedi i kod izmjeničnih struja. Prijelazne pojave iskazivane su trenutnim
vrijednostima napona i struja. Isti tretman mora vrijediti i kod harmoničkih
oblika. I tu moraju vrijediti oba Kirchhoff-ova zakona, a Ohm-ov samo za odnose
na otporu R. Kako je s trenutnim vrijednostima teško i analitički i grafički manipulirati,
pogodnije je to činiti s efektivnim, jer se na njih mogu primijeniti ranije navedeni
načini izražavanja i računanja.
Postavlja se pitanje kako se kod efektivnih veličina mogu primijeniti Ohm-ov i
Kirchhoff-ovi zakoni, ako su one fazno pomaknute. Najprije se to može pogledati
na pojedinim elementima, a zatim dobivene odnose primijeniti u složenim strujnim
krugovima.
5.3.1 OTPOR U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE
Kao i u krugu istosmjerne struje, tako su i u krugu izmjenične struje, struja i napon
na otporu povezani preko Ohm-ovog zakona (2.9).
i
+
V
−
V R
R
SLIKA 5.18: Radni otpor u strujnom krugu
Trenutna vrijednost napona v(t) na otporu R, kroz koji teče izmjenična struja
oblika:
i (t) = I m · sin(ωt)
jednaka je u svakom trenutku umnošku otpora i trenutne vrijednosti struje:
v(t) = R · i (t) = R · I m · sin(ωt)
139

i R
ϕ = 0
5. IZMJENIČNE STRUJE
To znači da sinusoida napona na otporu ima nule i maksimume istodobno kad
i sinusoida struje, tj. izme ¯du struje i napona na otporu nema faznog pomaka: na
otporu su struja i napon u fazi.
V
V R
π 2π ωt
i R
V R
SLIKA 5.19: Napon i struja kroz radni otpor R
U grafičkom prikazu odre ¯denog mjerila, sinusoide struje i napona na otporu
razlikuju se samo po vršnoj ili tjemenoj vrijednosti, pri čemu je vršna vrijednost
napona jednaka umnošku otpora i vršne vrijednosti struje:
V m = R · I m
Omjer vršnih (a time i efektivnih) vrijednosti vrijednosti napona i struje jednak
je otporu R:
V m
I m
= V I = R
5.3.2 KAPACITET U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE
Dovede li se na kondenzator kapaciteta C izmjenični napon, zbog stalne promjene
polariteta napona, kondenzator se naizmjence nabija i izbija. Za trenutne vrijednosti
napona i struje prema slici 5.20 mora vrijediti:
i = i C i v = v C
pri čemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovu
zakonu. Iz odnosa koji vrijede za kondenzator, gdje je:
140
slijedi struja kondenzatora:
dQ = C · d v C i i C = d q
d t
i C = C · d v C
d t

Jednostavni krug izmjenične struje
i
+
V
−
V C
C
SLIKA 5.20: Kapacitet u strujnom krugu
Uz v = v C = V m·si n(ωt), trenutna vrijednost struje kroz kondenzator kapaciteta
C slijedi iz:
i iznosi:
i C = C · d
d t (V m · sin(ωt))
i C = V m · ω ·C · cos(ωt) = I C m · sin(ωt + π/2) (5.3)
Iz gornjeg izraza (5.3) vidljivo je da je vršna vrijednos I C m jednaka:
I C m = V m · ω ·C (5.4)
a prema (5.4) to vrijedi i za efektivne vrijednosti:
I C = V · ω ·C = V 1
(5.5)
ω ·C
Ova relacija izražava Ohm-ov zakon za efektivne vrijednosti harmoničkih napona
i struja na kondenzatoru kapaciteta C, a njezin se nazivnik naziva kapacitivni jalovi
otpor i označava se s X C . Uz:
izraz (5.5) može se pisati kao:
X C = 1
ω ·C = 1
2π · f ·C
[Ω]
I C = V X C
što ukazuje da na kondenzatoru postoji čvrst odnos izme ¯du efektivnih vrijednosti
napona i struje ovisan o kapacitetu C i frekvenciji f .
Za strujnu frekvenciju ω = 0 (istosmjerna struja) kapacitet predstavlja beskonačni
otpor. S porastom frekvencije kapacitivni se otpor smanjuje jer je obrnuto
razmjeran frekvenciji.
Kod nabijanja kondenzatora struja kondenzatora je najveća u trenutku kad je
napon kondenzatora jednak nuli (kondenzator prazan), a jednaka je nuli kad je
napon najveći (kondenzator nabijen). Slično tomu i sinusoida struje kroz kapacitet
ima maksimum kad je sinusoida napona na nuli, a jednaka je nuli kad sinusoida
141

5. IZMJENIČNE STRUJE
V,i
V C
i C
i C
ϕ = 90 o
− π 2
π
2
π
3π
2
2π
ωt
V C
SLIKA 5.21: Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C
napona ima maksimum. Ovakav odnos sinusoida ukazuje na njihov fazni pomak
koji se može prikazati i vektorski.
Struja i napon na kapacitetu nisu u fazi, nego su fazno pomaknuti za kut ϕ =
π/2 = 90 0 , što znači da struja na kapacitetu prethodi naponu za 90 0 .
5.3.3 INDUKTIVITET U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE
Teče li kroz svitak induktiviteta L izmjenična struja, zbog njenog vremenskog mijenjanja
na induktivitetu se javlja napon samoindukcije.
Ako se na izvor izmjeničnog napona v = V m · sin(ωt) priključi samo zavojnica
induktiviteta L zanemarivog radnog otpora R, energija koju daje izvor pretvara se
u njoj u magnetsku. Za trenutne vrijednosti napona i struje prema slici 5.22 mora
vrijediti :
i = i L i v = v L
pri čemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovu
zakonu.
i
+
V
−
V L
L
SLIKA 5.22: Induktivitet u strujnom krugu
Iz zakona o samoindukciji (3.31)):
142

Jednostavni krug izmjenične struje
e = −L di
d t
slijedi odnos izme ¯du napona i struje na induktivitetu:
pa je:
v L = −e = L di
d t
odnosno:
v L = L di L
d t
di L = 1 L · v L · d t
L:
Uz v = V m ·sin(ωt) slijedi trenutna vrijednost struje kroz zavojnicu induktiviteta
∫ 1
i L =
L ·V m · sin(ωt) · d t = V m
ω · L (−cos(ωt)) = I Lm · sin(ωt − π 2 )
Ono što vrijedi za tjemene vrijednosti:
vrijedi i za efektivne:
I Lm = V m
ω · L
I L =
V
ω · L
Kako ovaj izraz s efektivnim vrijednostima napona i struje strukturom podsjeća
na Ohm-ov zakon, umnožak ωL mora imati jedinicu koja vrijedi i za otpore (Ω =
V /A), označava se s X L i naziva se induktivni jalovi otpor. Uz:
X L = ω · L = 2π · f · L
[Ω]
je:
I L = V X L
što ukazuje da na zavojnici induktiviteta L pri frekvenciji f postoji čvrst odnos
izme ¯du efektivnih vrijednosti napona i struje. Struja i L = I Lm ·sin(ωt −π/2) zaostaje
za naponom v = V m · sin(ωt) za kut π/2 (slika 5.23).
Za frekvenciju jednaku nuli i induktivni otpor jednak je nuli, što znači da za
istosmjernu struju induktivitet predstavlja kratki spoj. S porastom frekvencije raste
i induktivni otpor X L , tj. induktivni otpor je razmjeran frekvenciji.
Porast induktivnog otpora može se pojasniti s pomoću svojstva svitka da se
opire promjeni struje (koja znači promjenu energije magnetskog polja svitka). S
143

5. IZMJENIČNE STRUJE
V,i
V L
i L
ϕ = −90 o
V L
π
2
π
3π
2
2π
ωt
i L
SLIKA 5.23: Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L
porastom frekvencije raste brzina promjene struje (a toj promjeni se induktivitet
opire), pa se stoga povećava (induktivni) otpor svitka.
Napon samoindukcije razmjeran je brzini promjene struje u vremenu (∆i /∆t),
koja je odre ¯dena strminom sinusoide. Strmina sinusoide struje najveća je u času
kad je struja jednaka nuli. U tom času inducirani napon ima najveći iznos. U
trenutku kada struja dosegne najveći iznos, tada prestaje rasti i u tom času je inducirani
napon jednak nuli.
Slično kao kod kapaciteta, izme ¯du struje i napona postoji fazni pomak ϕ = π/2 =
90 0 . Za razliku od kapaciteta, na induktivitetu napon prethodi struji za 90 0 .
5.4 SPOJEVI R, L I C U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE
Elementi obra ¯deni u jednostavnim strujnim krugovima mogu u složenim krugovima
biti spojeni serijski, paralelno i mješovito. Na svakom elementu vrijede upravo
izvedeni odnosi izme ¯du napona i struje, a odnos izme ¯du napona i struje izvora ovisi
o broju i načinu spajanja elemenata u složenom spoju.
Ako izvor napona trenutne vrijednosti v i efektivne V napaja složeni strujni
krug, teče iz njega struja trenutnog iznosa i i efektivnog I . Fazni pomak me ¯du njima
ovisi o karakteru složenog strujnog kruga. Za vremenski nepromjenjive parametre
u krugu efektivni iznosi napona V i struje I moraju biti razmjerni:
V = I · Z (5.6)
Ovaj izraz ima strukturu Ohm-ova zakona, pa se Z izražava u Ω i predstavlja
’ekvivalentni otpor’ složenog strujnog kruga, a naziva se prividni otpor ili impedancija.
Njegov iznos odre ¯duje se iz iznosa pojedinih radnih i jalovih otpora ovisno o
načinu njihova spajanja. Recipročna vrijednost prividnog otpora je vodljiva vrijednost
ili admitancija:
144

Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje
Y [S] = 1 Z [ 1 Ω ]
s kojom se može jednostavnije računati kod paralelnih i mješovitih spojeva.
5.4.1 SERIJSKI RL - KRUG
+ V R − + VL −
R L, X L
I
+
−
V
SLIKA 5.24: Serijski RL-krug
Kod serijskog spoja (slika 5.24) raznih vrsta otpora (ovdje su to radni otpor R i induktivni
otpor X L ), naponi su me ¯dusobno pomaknuti u fazi, pa se ne može jednostavno
zbrojiti njihove efektivne vrijednosti, nego treba uzeti u obzir i njihov fazni
pomak. U tu svrhu se crta vektorski prikaz napona (vektorski dijagram), i naponi se
zbrajaju vektorski.
Vektorski dijagram (slika 5.25) započinje se crtati sa zajedničkom veličinom, a
to je u serijskom spoju struja. Vektor struje I uzima se s početnim kutem 0, pa se
prema njemu postavljaju vektori napona na induktivitetu V L i napona na otporu
V R .
V L
V
ϕ 2
I
V R
SLIKA 5.25: Vektorski dijagram serijskog RL-kruga
Napon na otporu V R u fazi je sa strujom I , dok napon na induktivitetu V L prethodi
struji za 90 0 . Vektor napona izvora V jednak je vektorskom zbroju napona na otporu
V R i induktivitetu V L . Ova tri napona čine pravokutni trokut, pa vrijedi:
V 2 = V 2 R +V 2 L
Kut napona V prema struji je pozitivan, tj. ukupni napon prethodi struji za neki
kut ϕ (0 < ϕ < 90 0 ).
145

5. IZMJENIČNE STRUJE
Dijeljenjem svake stranice trokuta napona (slika 5.26 a) s I , dobiva se sličan pravokutni
trokut s katetama jednakim radnom otporu R i induktivnom otporu X L . On
se naziva trokut otpora (slika 5.26 b).
Z = V I
ϕ
V
V L
ϕ
X L = V L
I
V R
a)
R = V R
I
b)
SLIKA 5.26: Trokuti napona i otpora
Hipotenuza ovog trokuta jednaka je omjeru ukupnog napona V i struje I spojašto
je jednako impedanciji Z iz izraza (5.6). Hipotenuza trokuta izražena njegovim
katetama jednaka je:
Z 2 = R 2 + X 2 L
Kut ϕ (izme ¯du R i Z ) naziva se kut impedancije i identičan je kutu izme ¯du
napona V R i V .
5.4.2 SERIJSKI RC - KRUG
+ V R −
V C−
+
R C , X C
I
+
−
V
SLIKA 5.27: Serijski RC-krug
U vektorskom dijagramu za serijski RC-spoj vektor struje I uzima se referentnim
(s početnim kutem 0 0 ). Napon na otporu V R u fazi je sa strujom, a napon na
kapacitetu V C zaostaje u fazi iza struje za 90 0 . Vektorski zbroj napona na otporu V R
i napona na kapacitetu V C daje napon izvora V . Ovi naponi čine pravokutni trokut
iz kojeg proizlazi da je:
146

Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje
V 2 = V 2 R +V 2 C
Ovdje je kut napona V prema struji negativan (slika 5.28 a), tj. napon V zaostaje
iza struje za kut ϕ(−90 0 < ϕ < 0 0 ).
ϕ
V R
ϕ
R
V
V C
X C
Z
a)
b)
SLIKA 5.28: Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga
U trokutu otpora (5.28 b), dobivenom iz trokuta napona, zbog negativnog kuta
ϕ kapacitivni otpor X C je ispod radnog otpora R (nasuprot induktivnog otpora X L
u trokutu otpora RL-kruga). Prividni, radni i reaktivni (kapacitivni) otpor povezani
su i ovdje Pitagorinim poučkom:
Z 2 = R 2 + X 2 C
5.4.3 SERIJSKI RLC -KRUG
+ V R − + VL −
R L, X L
V C−
+
C , X C
I
+
−
V
SLIKA 5.29: Serijski RLC-krug
U serijskom RLC -krugu uz radni otpor R su induktivni otpor X L i kapacitivni
otpor X C (slika 5.29).
U vektorskom dijagramu (slika 5.30), vektor napona na otporu V R u fazi je s
vektorom struje I , koja se uzima kao referentna (s početnim kutem 0 0 ). Napon na
147

5. IZMJENIČNE STRUJE
induktivitetu V L prethodi struji za 90 0 , a napon na kapacitetu V C istodobno zaostaje
za strujom za 90 0 , pa je kut izme ¯du ovih napona 180 0 .
U serijskom spoju, vektori napona na induktivitetu i kapacitetu suprotnog su
smjera. To znači da su ovi naponi u svakom času suprotnih polariteta (kaže se da
su naponi u protufazi).
V L
V C
|V L | − |V C |
ϕ
V
I
V C
V R
SLIKA 5.30: Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga
Napon na serijskom spoju induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednak razlici
napona V L i V C , a ima smjer većeg od ovih napona. Kad je V L = V C , tada je napon
na LC - spoju jednak nuli i sav napon izvora je na otporu R. U tom slučaju kažemo
da je u serijskom RLC - krugu došlo do rezonancije. Vektor ukupnog napona V jest
vektorski zbroj napona na otporu, induktivitetu i kapacitetu.
U slučaju prikazanom na slici 5.30 napon V L veći je od napona V C , pa ukupni
napon V prethodi struji za kut ϕ. U slučaju kad je V C veći od V L tad ukupni napon
zaostaje u fazi iza struje (ϕ < 0 0 ). U rezonanciji napon V je u fazi sa strujom (ϕ = 0).
Iz trokuta napona proizlazi jednadžba:
V 2 = V 2 R + (V L −V C ) 2
Dijeljenjem ove jednadžbe s I dobiva se izraz
( V I )2 = ( V R
I )2 + ( V L
− V C
I I )2
(5.7)
Z 2 = R 2 + (X L − X C ) 2 = R 2 + X 2
Ova jednadžba opisuje trokut otpora (slika 5.31) gdje je ukupni jalovi, reaktivni
otpor X jednak razlici induktivnog i kapacitivnog otpora (X = X L − X C ).
ϕ
Z
R
X = X L − X C
SLIKA 5.31: Trokut otpora serijskog RLC-kruga
148

Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje
U rezonanciji je ukupni jalovi otpor X jednak nuli, pa je prividni otpor jednak
radnom (Z = R).
5.4.4 PARALELNI RL - KRUG
V
+
−
R
I R I L
G L, X L B L
SLIKA 5.32: Paralelni RL-krug
Kod paralelnog spoja otpora R i induktiviteta L (slika 5.32), napon je isti na oba
elementa, a ukupna struja je zbroj struja pojedinih elemenata. Pri zbrajanju treba
uzeti u obzir fazni pomak izme ¯du struja.
U vektorskom prikazu vektor napona V (slika 5.33 a), zajednički za oba elementa,
uzima se kao referentan i crta s kutem jednakim nuli. Struja kroz otpor I R u
fazi je s naponom, a struja kroz induktivitet I L zaostaje za naponom za 90 0 . Vektor
struje I je zbroj vektora struja I R i I L . Ova tri vektora čine pravokutan trokut gdje je:
I 2 = I 2 R + I 2 L
Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V , dobiva se sličan pravokutni
trokut, čije su katete jednake recipročnim vrijednostima radnog i induktivnog otpora,
tj. vodljivostima elemenata. Ove vodljivosti označuju se s G = I R
V
= 1 R (radna
vodljivost) i B L = I L
V
= 1
X
= 1
L ω·L
(induktivna vodljivost), a taj trokut naziva se trokut
vodljivosti (slika 5.33).
V
I R
G = I R
V
I L
ϕ Y
I
a)
I L
B L = I L
V
ϕ Y
Y = I V
b)
SLIKA 5.33: Dijagrami paralelnog RL-kruga
149

5. IZMJENIČNE STRUJE
Hipotenuza ovog trokuta, jednaka omjeru ukupne struje i napona (I /V ) naziva
se prividna vodljivost (ili admitancija) i označava s Y . Pritom vrijedi:
Y 2 = G 2 + B 2 L
Admitancija Y je vodljivost cijelog spoja i jednaka je recipročnoj vrijednosti
impedancije Z paralelnog RL-spoja (Y = 1/Z ).
Kut ukupne struje I prema naponu V naziva se kut admitancije i označuje s ϕ Y .
On je po iznosu jednak, a predznakom suprotan kutu impedancije:
ϕ Y = −ϕ
Ukupna struja I ovdje zaostaje iza napona, pa je kut admitancije negativan
(−90 0 < ϕ Y < 0 0 ). To znači da je kut impedancije ϕ pozitivan, što znači da napon V
prethodi struji I (to je opće svojstvo induktivnog spoja).
5.4.5 PARALELNI RC - KRUG
V
+
−
R
I R
I C
G C , X C B C
SLIKA 5.34: Paralelni RC-krug
Kod paralelnog spoja otpora R i kapaciteta C (sl. 5.34), napon V isti je na oba
elementa.
Struja kroz otpor I R u fazi je s naponom V , a struja kroz kapacitet I C prethodi
naponu za 90 0 . Vektor struje I je zbroj vektora struja I R i I C . Ova tri vektora čine
pravokutni trokut (slika 5.35 a), gdje je:
I 2 = I 2 R + I 2 C
Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V dobiva se sličan trokut nazvan
trokut vodljivosti (slika 5.35 b). Katete ovog trokuta jednake su radnoj vodljivosti
G (G = I R
V
= 1 R ) i kapacitivnoj vodljivosti (B C = I C
V
= 1
X
= ω · C ), a hipotenuza je
C
jednaka prividnoj vodljivosti spoja Y , gdje je
Y 2 = G 2 + B 2 C
Ukupna struja I ovdje prethodi naponu V , pa je kut admitancije pozitivan (0 0 <
ϕ Y < 90 0 ). To znači da je kut impedancije ϕ negativan, što znači da napon zaostaje
za strujom (to je opće svojstvo kapacitivnog spoja).
150

Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje
Y = I V
I C
I
I C
ϕ Y
a)
ϕ Y
b)
B C = I C
V
V
I R
G = I R
V
SLIKA 5.35: Dijagrami paralelnog RL-kruga
5.4.6 PARALELNI RLC - KRUG
+
V
−
R
I R I L
I C
G L, X L B L C , X C B C
SLIKA 5.36: Paralelni RLC-krug
U paralelnom RLC -krugu (slika 5.36) uz radni otpor R paralelno su spojena i
oba tipa jalovih otpora, induktivni otpor X L i kapacitivni otpor X C .
U vektorskom dijagramu (slika 5.37 a), vektor struje kroz otpor I R u fazi je s
vektorom napona V , koji se uzima kao referentan (s početnim kutem 0 0 ). Struja
kroz induktivitet I L prethodi naponu za 90 0 , dok struja kroz kapacitet I C zaostaje
iza napona za 90 0 , pa je kut izme ¯du ovih struja 180 0 .
U paralelnom spoju, vektori struja kroz induktivitet i kapacitet suprotnog su
smjera.
Struja paralelnog spoja induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednaka razlici struja
I C i I L , a ima smjer veće od tih struja. Kad je I C = I L , tad je ukupna struja LC -spoja
jednaka nuli i sva struja izvora teče kroz otpor R. Tada se kaže da je nastupila rezonancija.
Vektor ukupne struje I jednak je vektorskom zbroju struja kroz otpor, induktivitet
i kapacitet. U slučaju prikazanom na slici 5.37 struja I C veća je od struje I L ,
pa ukupna struja I prethodi naponu V za kut ϕ Y . U slučaju kad je I L veća od I C
tada ukupna struja zaostaje u fazi za naponom (ϕ Y < 0 0 ). U rezonanciji struja I je
u fazi s naponom (ϕ Y = 0 0 ). Iznosi struja me ¯dusobno su povezani jednadžbom:
I 2 = I 2 R + (I C − I L ) 2 151

5. IZMJENIČNE STRUJE
I C
I L
|I C | − |I L |
ϕ Y
I
V
Y = I V
ϕ Y
B
I L
I R
G = I R
V
B = I C −I L
V
= B C − B L
a)
b)
SLIKA 5.37: Dijagrami paralelnog RLC-kruga
Dijeljenjem ove jednadžbe sa V dobiva se izraz:
( I V )2 = ( I R
V )2 + ( I C
V − I L
V )2
Y 2 = G 2 + (B C − B L ) 2
Ovaj izraz opisuje trokut vodljivosti (slika 5.37 b). Ukupna reaktivna vodljivost
B jednaka je razlici kapacitivne i induktivne vodljivosti (B = B C − B L ).
U rezonanciji je ukupna reaktivna vodljivost B = 0 (otpor paralelnog spoja L i C
je beskonačan), pa je prividna vodljivost jednaka radnoj (Y = G).
5.5 REZONANCIJA
Rezonancija je pojava koja se javlja u strujnom krugu kada je induktivni jalovi otpor
jednak kapacitivnom:
X L = X C
Ako su ovi otpori spojeni u seriju rezonancija se naziva serijskom ili naponskom,
a ako su spojeni paralelno naziva se paralelnom ili strujnom.
Za prividni otpor u serijskom RLC spoju vrijedi:
√
Z = R 2 + (X L − X C ) 2
pa je pri rezonanciji uz X L = X C on minimalan i jednak radnom:
Z = R
Struja izvora je maksimalna, jer je ovisna samo o radnom otporu:
152

Rezonancija
I = V Z = V R
i u fazi je s naponom. Jednake su i efektivne vrijednosti napona na zavojnici i
kondenzatoru:
jer je:
V L = V C
V L = X L · I i V C = X C · I
a me ¯du njima je fazni pomak π.
Kako je pri serijskoj rezonanciji struja izvora maksimalna, naponi na zavojnici i
kondenzatoru mogu biti znatno veći od napona izvora, što može dovesti do njihova
proboja i oštećenja.
Za prividni otpor u paralelnom RLC spoju vrijedi:
1
Z = √
( 1 R )2 + ( 1
X
− 1
L X
) 2
C
pa je pri rezonanciji uz X L = X C on maksimalan i jednak radnom:
Z = R
Struja izvora je stoga minimalna i jednaka:
I = V Z = V R
i u fazi je s naponom.
Jednake su i efektivne vrijednosti struja kroz zavojnicu i kondenzator:
jer je:
I L = I C
I L = V X L
i I C = V X C
a me ¯du njima je fazni pomak π.
Kako je pri paralelnoj rezonanciji struja izvora minimalna i jednaka struji kroz
radni otpor, struje kroz zavojnicu i kondenzator mogu biti znatno veće od struje
koju daje izvor, što može dovesti do njihova oštećenja i razaranja.
Pri rezonanciji je X L = X C pa slijedi:
iz čega proizlazi:
ω · L = 1
ω ·C
153

5. IZMJENIČNE STRUJE
ω = 1
L ·C
Uz povezanost frekvencije i kružne frekvencije:
f = ω 2π
slijedi da pri rezonanciji iznosi induktiviteta i kapaciteta odre ¯duju rezonantnu
ili vlastitu frekvenciju po izrazu:
1
f =
2π · L
·C
[H z]
To istodobno znači da će rezonancija nastupiti u strujnom krugu s L i C i u
slučaju ako izvor struje ima frekvenciju jednaku vlastitoj frekvenciji toga kruga.
Rezonancija ima široku primjenu u radio-tehnici i komunikacijama, gdje se izmjenom
magnetske energije zavojnice i električne energije kondenzatora mogu emitirati
elektromagnetski valovi u okolni prostor. Oni se mogu iz okolnog prostora i
primati. Strujni krugovi koji sadrže L i C te imaju tu funkciju nazivaju se antenski
krugovi. Prijem elektromagnetskih valova odre ¯dene frekvencije odvija se tako da se
u prijemnom antenskom krugu, podešavanjem iznosa L ili C , vlastita frekvencija
strujnog kruga izjednači s frekvencijom tih valova.
5.6 SNAGA I FAKTOR SNAGE
Pri odre ¯divanju snage i rada konstantne istosmjerne struje utvr ¯deno je da je snaga
jednaka umnošku napona i struje, a rad umnošku napona, struje i vremena:
P = V · I i W = P · t = V · I · t
Za izmjeničnu struju harmoničkog oblika, s pomakom ϕ u fazi izme ¯du napona
i struje, srednja snaga P, razvijena u vremenskom intervalu T , iznosi:
P = 1 T
∫ T
0
p(t) · d t = 1 T
∫ T
0
v · i · d t = 1 T
∫ T
0
[V · I · cos(ϕ) −V · I · cos(2ω · t − ϕ)]d t
Budući da je integral drugog dijela izraza jednak nuli, slijedi:
P = V · I · cos(ϕ) [W ]
a rad se računa kao:
W = P · T = V · I · cos(ϕ) · T
[J]
Srednja snaga jednaka je umnošku efektivnih vrijednosti napona i struje i kosinusa
njihova faznog pomaka. Izraz cos(ϕ) stoga se naziva faktorom snage. Kako
154

Snaga i faktor snage
fazni pomak ϕ može pri trošenju energije poprimiti vrijednosti −π/2 ≤ ϕ Y ≤ π/2,
faktor snage kreće se izme ¯du 1 i 0 (0 0 ≤ cos(ϕ) ≤ 1).
Ako je fazni pomak struje prema naponu −π/2, kao na induktivitetu L srednja
snaga je:
P = V · I · cos(− π 2 ) = 0
Ako je fazni pomak struje prema naponu π/2, kao na kapacitetu C , srednja
snaga je:
P = V · I · cos π 2 = 0
5.6.1 TROKUT SNAGA
Izraz za srednju snagu P = V ·I ·cos(ϕ) navodi na predodžbu trokuta s hipotenuzom
V · I i katetom V · I ·cos(ϕ). Druga kateta odgovarala bi umnošku V · I ·sin(ϕ). Time
su dobivene tri komponente snage koje grafički tvore trokut.
Za svaki dio strujnog kruga koji se dade predočiti trokutom otpora moguće je
postaviti i trokut snaga. Radnom otporu pri tom odgovara radna ili srednja snaga,
jalovom jalova i prividnom prividna snaga (slika 5.38).
Z
X
V I
V I sinϕ
ϕ
ϕ
R
V I cosϕ
a)
b)
SLIKA 5.38: Trokuti otpora i snaga
Radna energija predstavlja korisno upotrebljivu energiju u trošilu, jalova služi
za izgradnju magnetskog polja u zavojnici i električnog u kondenzatoru, a prividna
je mjerodavna za dimenzioniranje izvora struje koji treba podmiriti potrebu za radnom
i jalovom.
Za svaku komponentu snage (energije u vremenu) koristi se uz drugu oznaku i
druga mjerna jedinica, pa je:
• radna ili srednja snaga P = V · I · cos(ϕ) [W ]
• jalova snaga P Q = V · I · sin(ϕ) [V Ar ]
• prividna snaga P S = V · I [V A]
155

5. IZMJENIČNE STRUJE
Jedinica V Ar čita se ’reaktivni voltamper’. Za me ¯dusobni odnos komponenata
snage vrijedi:
gdje su:
√
P S = P 2 + P 2 Q
P = P S · cos(ϕ) i P Q = P S · sin(ϕ)
Za fazni pomak napona i struje jednak nuli je cos(ϕ) = 1, a radna snaga jednaka
je prividnoj.
Ako za neki dio strujnog kruga vrijedi da je X L > X C , onda u trokutu snaga za taj
dio prevladava induktivna jalova komponenta, pa trokut snage izgleda kao na slici
5.39 a). Ako pak vrijedi da je X L < X C , onda prevladava kapacitivna jalova komponenta,
pa trokut snage izgleda kao na slici 5.39 b). U prvom slučaju kaže dse a je
fazni pomak induktivan, a u drugom kapacitivan.
P
ϕ
ϕ
P S
P Q
P S
P Q
P
ϕ − i ndukti van
ϕ − kapaci ti van
a)
b)
SLIKA 5.39: Trokut snaga
Za složene strujne krugove trokuti snaga se mogu zbrajati. Zbrajanje se obavlja
tako da se algebarski zbroje radne i istoimene jalove (npr. induktivna i induktivna ili
kapacitivna i kapacitivna) komponente, a grafički, povezivanjem njihovih vrhova,
dobije se rezultantna prividna snaga. Kod raznoimenih jalovih komponenata njihovi
iznosi se oduzimaju.
Ako je jalova snaga P Q na slici 5.39 a) jednaka:
P Q = P QL = V L · I L
onda može jalova snaga P Q na slici 5.39 b) biti jednaka:
P Q = P QC = V C · I C
Ukupna jalova snaga npr. u serijskom spoju je onda:
P Q = P QL − P QC
156

Trofazni sustav
5.7 TROFAZNI SUSTAV
Ako se umjesto jednoga u statoru generatora nalaze tri me ¯dusobno odvojena namota,
onda će se pri rotaciji magnetskog polja permanentnog magneta u njima inducirati
naponi pomaknuti u fazi. Kako je geometrijski raspored namota kod trofaznog
sustava simetričan, bit će simetrični i inducirani naponi, jer su iznosom jednaki i
me ¯dusobno jednako fazno pomaknuti za 2π/3. Trenutne vrijednosti napona trofaznog
sustava su:
v 1 = V m · sin(ωt)
v 1 = V m · sin(ωt − 2π 3 )
v 1 = V m · sin(ωt − 4π 3 )
Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz efektivnih vrijednosti napona
prikazani su na slici 5.40.
V
V 1 V 2 V 3
2π
3
2π
3
2π
3
4π
3
2π
ωt
V 3
V 1
V 2
2π
3
SLIKA 5.40: Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz
Neovisno o načinu spajanja kod trofaznog sustava, razlikuju se dvije vrste veličina:
fazne i linijske. Fazne se odnose na jednu fazu izvora ili trošila, a linijske na vodiče
linija koji spajaju izvor s trošilom, te na priključke izvora i trošila. Osnovne mogućnosti
spoja izvora i trošila su spoj u zvijezdu i spoj u trokut.
5.7.1 NAPONI I STRUJE U SPOJU ZVIJEZDA
Kod spoja u zvijezdu krajevi namota spajaju se u zajedničku točku koja se naziva
zvjezdište ili nul-točka. Vodič koji izlazi iz zvjezdišta naziva se nul-vodič, a ostali
krajevi namota su slobodni i služe za priključak na mrežu.
157

5. IZMJENIČNE STRUJE
V
V 1 V 2 V 3
2π
3
2π
3
2π
3
4π
3
2π
ωt
V 3
V 1
V 2
2π
3
SLIKA 5.41: Naponi i struje u spoju zvijezda
Kod spoja u zvijezdu postoji razlika izme ¯du faznih i linijskih napona, a kako su
struje faza istovremeno struje koje teku kroz vodiče izme ¯du izvora i trošila, fazne i
linijske struje su jednake, za sve tri faze. Stoga u zvijezda spoju vrijede izrazi:
I = I f
V = 3 ·V f
5.7.2 NAPONI I STRUJE U SPOJU TROKUT
Kod spoja u trokut spaja se kraj jednog namota s početkom susjednog, čime se dobiju
tri spojne točke.
i u
I 1
I U = I
I W
−I 3
i 1
i v
i w
V UV
V 1 = V f
Z 1 Z 3
V W U
I 3
Z 2
i 3
i
V 2 V W V 3
I 2 V 2
I V
SLIKA 5.42: Naponi i struje u spoju trokut
Fazni i linijski naponi su jednaki, jer je napon jedne faze istovremeno i napon
158

Appleti
izme ¯du dva vodiča mreže. Fazne i linijske struje me ¯dusobno se razlikuju, pa u spoju
trokut vrijede izrazi:
V = V f
I = 3 · I f
5.7.3 SNAGA TROFAZNOG SUSTAVA
Ukupna snaga simetričnoga trofaznog sustava jednaka je zbroju snaga pojedinih
faza:
P = 3 ·V f · I f · cos(ϕ) [W ]
Kada se naponi i struje izraze preko linijskih vrijednosti, tada je srednja snaga
za spoj trokut i spoj zvijezda opisana istim izrazom:
P = 3 ·V l · I l · cos(ϕ) [W ]
Pored srednje (radne) snage, postoje još kao i u jednofaznom sustavu: - jalova
snaga:
- prividna snaga:
P Q = 3 ·V · I · sin(ϕ) [V Ar ]
P S = 3 ·V · I [V A]
5.8 APPLETI
5.8.1 ELEKTRIČNI ELEMENTI U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE
Ovaj applet prikazuje jednostavni krug izmjenične struje sa jednim elementom (otpor,
kondenzator ili zavojnica).
U krug su uključeni ampermetar i voltmetar koji mjere jakost struje i napon.
Ispod strujnog kruga prikazane su oscilacije napona i struje, pomoću vektora
(fazora) i sinusoida. Napon je prikazan plavom bojom, a struja crvenom.
Pomoću prve tri mogućnosti (desni gornji kut), odabiremo osnovni element
strujnog kruga (otpor, kondenzator ili zavojnica).
Lijevim click-om na gumb:
• RESET - krug se vraća u početni položaj,
159

5. IZMJENIČNE STRUJE
SLIKA 5.43: Električni elementi u krugu izmjenične struje
• START/PAUSE/RESUME - pokreće se, zaustavlja i nastavlja simulacija,
• SLOW MOTION - simulacija se može usporiti pet puta.
Tri tekstovna polja u koja se upisuju željene vrijednosti omogućuju promjenu
frekvencije, tjemene vrijednosti ulaznog napona, te vrijenosti otpora, kapaciteta ili
induktiviteta. Za zadane vrijednosti u simulaciji se može očitati tjemena vrijednost
struje i promatrati vremenski i vektorski V, I dijagram.
5.8.2 SLOŽENI R, L I C STRUJNI KRUGOVI
U prva dva tekstovna polja upisuje se iznos napona na izvoru (VOLTAGE) i frekvancija
(FREQUENCY). Pomoću padajućeg izbornika izabire se element strujnog
kruga: otpornik (resistor), kondenzator (capacitor) ili zavojnica (inductor).
U iduće tekstovno polje upisuje se iznos otpora (resistance), kapaciteta (capacitance)
ili induktiviteta (inductivity), ovisno o tome koji je element odabran.
Lijevim click-om miša na gumb:
• REPLACE - zamjenjuje se označeni (narančastim pravokutnikom) element
(ili dio) strujnog kruga sa elementom koji je odabran iz padajućeg izbornika,
• ADD (IN SERIES) - dodaje se odabrani element u seriju s označenim elementom
(dijelom) strujnog kruga,
• ADD (IN PARALLEL) - dodaje se odabrani element u paralelu označenom elementu
(dijelu) strujnog kruga,
160

Appleti
SLIKA 5.44: Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje
• REMOVE - vraća se zadnje stanje strujnog kruga (briše se dodani element)
Lijevim click-om miša označuju se elementi u strujnom krugu, kako bi se dodavali
novi ili brisali postojeći.
Izborom:
• VOLTAGE - priključuje se voltmetar, koji će mjeriti napon na označenom elementu
(dijelu),
• AMPERAGE - priključuje se ampermetar, koji će mjeriti jakost struje kroz označeni
element (dio) strujnog kruga.
Ispod strujnog kruga mogu se očitati vrijednosti napona (VOLTAGE), jakosti
struje (AMPERAGE), impedancije (IMPEDANCE) i faznog kuta (PHASE ANGLE), koje
se odnose na označeni (markirani) dio (ili element) strujnog kruga.
161

5. IZMJENIČNE STRUJE
5.9 ZADACI
5.1 Odredite:
a) Ako je period neke pojave 2/3 sekunde, kolika je njena frekvencija,
b) kolika joj je kružna frekvencija ako je pojava harmonička,
c) izrazite pojavu analitički ako joj amplituda iznosi 1 volt, a u početku promatranja
ima pozitivni maksimum,
d) izrazite analitički napon iste amplitude i frekvencije koji onome iz c)
prethodi za π/2,
e) kolika je efektivna vrijednost oba napona, a kolika im je srednja vrijednost?
Rješenje: a) 1,5 Hz b) 3π rad/s c) cos(3πt) d) −sin(3πt) e) v e f = 1/ 2 V ,
v sr = 0 V
5.2 100 · sin(200 · t) V je analitički izražen napon. Odredite:
a) kolika je efektivna vrijednost napona,
b) kolika mu je frekvencija,
c) koliko milisekundi mu traje period,
d) izrazite analitički struju koja teče kroz kondenzator od 1µ F na koji je
priključen na ovaj napon.
Rješenje: a) 70,71 V b) 31,83 Hz c) 31,4 ms d) 0,02 · sin(200t + π/2) A
5.3 Na napon v = 220 2sin(100t) V spojena je preko voda otpora 6Ω žarulja s
oznakom 150 W, 220 V. Odredite:
a) kolika efektivna struja teče kroz trošilo,
b) kolika je snaga na trošilu,
c) koliki je gubitak snage na vodu,
d) koliki je stupanj djelovanja (korisnost) spoja,
e) kolika bi struja potekla da se žarulja kratko spoji?
Rješenje: a) 0,67 A b) 144,86 W c) 2,693 W d) 0,982 e) 36,67 A
5.4 Kroz kondenzator priključen na linijski napon mreže 220/380 V, 50 Hz teče
struja 1 A. Odredite:
162

Zadaci
a) kolika je vrijednost kapaciteta kondenzatora,
b) kolika je jalova snaga na kondenzatoru,
c) skicirajte vektorski dijagram napona i struje,
d) nacrtajte i=f(t) i u=f(t) na istoj apscisi za vrijeme 0 t 0,04 s s potrebnim
oznakama,
e) koja veličina prethodi.
Rješenje: a) 8,38µ F b) 380 VAr e) struja prethodi naponu za 90 0
5.5 Zavojnica s omskim otporom ima radnu snagu 40 W, a prividnu 50 VA kad
je priključena na 220 V / 50 Hz. Odredite:
a) kolika struja teče krugom,
b) koliki je omski otpor,
c) koliki je induktivitet zavojnice,
d) koliki je faktor snage,
e) kolika je snaga ako se priključi istosmjerni napon 220 V.
Rješenje: a) 0,2273 A b) 774,2Ω c) 1,849 H d) 0,8 e) 62.5 W
5.6 Kad se realna zavojnica priključi na istosmjernih 12 V, teče struja 0,2 A. Ako
li se priključi na 220 V / 50 Hz, uzima struju 1,4 A. Odredite:
a) koliki je induktivitet zavojnice,
b) koliki je faktor snage zavojnice,
c) kolika je njezina prividna snaga,
d) skicirajte u približnom mjerilu trokut impedancije,
e) skicirajte pripadni vektorski dijagram.
Rješenje: a) 0,4623 H b) 0,38 s c) 308 VA
5.7 Paralelni spoj otpora R i induktiviteta L priključen je na napon 120 V. Odredite:
a) ako je I R = 15 A, I L = 8 A i f = 1 kHz koliki su R i L,
b) kolike će biti struje u granama ako se frekvencija poveća dvostruko,
c) vektorski skicirajte odnose pri a) i b),
d) da li ukupna struja prethodi ili zaostaje za naponom,
163

5. IZMJENIČNE STRUJE
e) pri kojoj frekvenciji će struje u granama biti jednakog iznosa?
Rješenje: a) 8Ω , 2,39 mH b) I L = 4[A], I R = 15 A d) zaostaje e) 533 Hz
5.8 Serijski spoj omskog i jalovog otpora priključi se na napon v = 220 2sin(100πt)
V . Krugom teče struja i = 2sin(100πt − π/3) A. Odredite:
a) koliku efektivnu vrijednost ima struja,
b) nacrtajte električnu shemu spoja i vektorski prikaz napona i struje,
c) odredite faktor snage,
d) kolike su vrijednosti elemenata,
e) kolika se energija pretvara u toplinu za 1 minutu?
Rješenje: a) 1 A c) 0,5 d) R = 4,5mΩ , L = 0,6065 H e) 6600 J
5.9 Ukupna struja paralelnog spoja dva elementa priključenog na 220 V / 50 Hz
iznosi 10 A i zaostaje sa naponom 30 0 . Odredite:
a) o kojim je elementima riječ, skicirajte spoj,
b) nacrtajte pripadni vektorski dijagram,
c) izračunajte impedanciju spoja,
d) izračunajte radnu i jalovu snagu spoja,
e) koji element i kojeg iznosa treba dodati paralelno da ukupna struja do ¯de
u fazu s naponom?
Rješenje: a) otpornik, zavojnica c) 22Ω d) 1,9 kW , 1,1 kVAr e) kondenzator,
72,3µF
5.10 Kolike su fazna struja i snaga peći koja ima tri grijača tijela od po 25Ω
spojena u zvijezdu i priključena na napon 380/220 V ?
Rješenje: 8,8 A ,
5,81 kW
164

WEB-ADRESE APPLET-A
ADODATAK
1. Elektrostatika
1. Električno polje naboja: http://www.falstad.com/emstatic/
2. Kapacitet pločastog kondenzatora: http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/
java/capacitance/index.html
3. Prirodni kondenzator: http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/
lightning/index.html
2. Istosmjerna struja
1. Ohmov zakon: http://www.zaz.com.br/fisicanet/simulacoes/simulacoes/
lei_de_ohm.html
2. Jednostavni strujni krug: http://jersey.uoregon.edu/vlab/Voltage/index.
html
3. Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu: http://people.clarkson.
edu/~svoboda/eta/ClickDevice/refdir.html
4. Serijski spoj otpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/
SeriesRDesign.html
5. Paralelni spoj otpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/
ParallelRDesign.html
6. Kirchhoff–ovi zakoni: http://webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/
ipmj/java/resist4/index.html
3. Magnetizam
1. Naboj u magnetskom polju: http://surendranath.tripod.com/Applets/
Electricity/MovChgMag/MovChgMagApplet.html
2. Lorenz-ova sila http://www.walter-fendt.de/ph11e/lorentzforce.htm
165

A. WEB-ADRESE APPLET-A
3. Faraday-ev zakon: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Induction.
htm
4. Lennz-ov zakon http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lenzlaw/
index.html
4. Prijelazne pojave
1. RC-krug: http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/rc/rc.html
2. RL-krug: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/RL.htm
3. Elektromagnetski oscilirajući krug: http://www.walter-fendt.de/ph14e/
osccirc.htm
5. Izmjenična struja
1. Električni elementi u krugu izmjenične struje: http://www.walter-fendt.
de/ph14e/accircuit.htm
2. Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje: http://www.walter-fendt.
de/ph14e/combrlc.htm
166

LITERATURA
[1] Mario Essert; Zdravko Valter, Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1991.
[2] H. Linse, Elektrotechnik f ur Maschinenbauer, B.G. Teubner, Stuttgart 1972.
[3] Josip Lončar, Osnovi elektrotehnike, knjiga prva i druga, Tehnička knjiga Zagreb,
1958.
[4] Antun Maletić, Osnove elektrotehnike za studente strojarstva, Sveučilište u
Splitu - FESB, Split 1987.
[5] Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 1. dio, Element Zagreb, 1997.
[6] Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 2. dio, Element Zagreb, 1997.
[7] Vladimir Pinter, Osnove elektrotehnike, knjiga prva i druga, Tehnička knjiga Zagreb,
1975.
[8] Edward M. Purcell, Elektricitet i magnetizam, Tehnička knjiga Zagreb, 1988.
[9] J. A. Richards; F. W. Sears; M. R. Wehr; M. W. Zemansky, Modern University
Physics, Addison-Wesley, Massachusetts, USA, 1960.
[10] F. W. Sears, Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Massachusetts, USA,
1951.
[11] R. L. Sproull, Modern Physics, J. Wiley & Sons, New York, 1963.
[12] Ivan Supek, Nova fizika, Školska knjiga Zagreb, 1966.
167

INDEKS
akumulator
dobrota, 52
kapacitet, 51
korisnost, 51
akumulatori - sekundarni elementi, 50
amper, [A], 94
ampermetar
proširenje mjernog područja, 64
atom, 2
ljuska, 3
neutron, 2
proton, 2
baterije - primarni elementi, 48
depolarizator, 49
efektivna vrijednost, 131
ekvipotencijalne točke, 12
električna
energija, 67
snaga, 66
vodljivost, 5, 35
električna struja, 34
- u otopinama, 46
- u plinu, 44
smjer, 31
električni
generator, 129
izvori, 32
fotonaponski, 32
generator, 33
kemijski, 32
termoelementi, 33
kapacitet, 16
naboj, 3
napon, 32
otpor vodiča, 35
potencijal, 12
rad, 15, 66
električni izvor
elektromotorna sila izvora, 52
nutarnji otpor, 54
vanjska karakteristika, 53
električno
brojilo, 67
električno polje, 6
homogeno, 8
jakost, 7
električna struja, 31
elektrode
anoda, 46
katoda, 46
elektrodinamičko djelovanje, 94
elektrokemijski
elementi, 48
naponski niz, 48
elektroliza, 46
elektromagnetski valovi, 120
energija
nabijenog kondenzatora, 22, 111
potencijalna, 13
zavojnice, 114
Faraday
zakon elektromagnetske indukcije,
96
Faraday-evi zakoni elektrolize, 47
fazna razlika, 133
frekvencija, 128
kružna, 129
169

INDEKS
galvanometar, 92
histereza, 85
indukcija
(elektro)magnetska, 82
influencija
dielektrična, 9
instrumenti, 62
ampermetar, 34, 53
voltmetar, 32, 53
ion, 5
izmjenična struja
jalova snaga, 155
kondenzator, 140
otpor, 139
Paralelni RC - krug, 150
Paralelni RL - krug, 149
Paralelni RLC - krug, 151
prividna snaga, 156
radna snaga, 156
RC krug, 146
rezonancija, 148
RL krug, 145
RLC spoj, 144
Serijski RLC -krug, 147
snaga, 154
srednja snaga, 155
strujni krug, 139
trokut snaga, 155
zavojnica, 142
Kirchhoff-ovi zakoni, 39
kondenzator, 16
izbijanje, 113
nabijanje, 112
napon proboja, 17
prirodni, 23
spojevi, 18
krivulja magnetiziranja, 85
LC spoj - oscilator, 118
Lenzovo pravilo (zakon), 98
magnetizam
remanentni, 85
magnetomotorna sila, 87
magnetska
energija, 102
histereza, 102
me ¯duindukcija, 99
permeabilnost, 82
privlačna sila, 104
samoindukcija, 98
magnetske
domene, 82
magnetski
akcelerator, 92
krug, 87
otpor, 87
tok, 81
magnetsko
razmagentiziranje jezgre, 103
magnetsko polje, 78
homogeno, 83
izvan vodiča, 80
ravnog vodiča, 80
sila, 89
sila na naboj u gibanju, 89
zavojnice, 80
materijali
feromagnetski, 84
magnetski, tvrdi i meki, 86
neferomagnetski, 84
napon, 14
naponski izvor
realni, 56
Ohm-ov zakon, 37
olovni akumulator, 50
oscilacijski, titrajni krug, 119
otpor
temperaturni koeficijent, 36
polarizacija dialektrika, 9
RC krug, 112
rezonancija, 152
RL krug, 117
RL spoj, 114
sila na vodič protjecan strujom, 92
spojevi
170

s otpornicima, 41
paraleleno, 42
serijski, 41
srednja vrijednost, 130
struja
istosmjerna, 125
izmjenična, 125
periodička, 126
sinusoidalna, 127
strujni krug
jednostavni, 52
složeni, 55
supravodljivost, 37
transformator, 101
trofazni sustav, 157
snaga, 159
trokut spoj, 158
zvijezda spoj, 157
vektorski prikaz, 137
vodič, 5
volt, 12
voltmetar
proširenje mjernog područja, 64
vremenska konstanta, 113
zavojnica
iskapčanje, 116
ukapčanje, 115
171