Príklady

Príklady z Logických systémov
RNDr. Peter Kaprálik, PhD.
Riešenie.
a = p e (q . r) { p - (q . r) { p . (q . r) { p . (q - r) { p . (q e r) = b
Príklad 7. Zistite, či relácia = (x, y); x 2 − x = y 2 − y na množine R je reflexívna, symetrická,
antisymetrická, tranzitívna.
Riešenie.
Pre každé x c R platí x 2 − x = x 2 − x, preto x x. Relácia je teda reflexívna.
Nech x y t.j. x 2 − x = y 2 − y. Potom aj y 2 − y = x 2 − x a teda y x, čo znamená, že relácia
je symetrická.
Nech x y, y z. Potom x 2 − x = y 2 − y, y 2 − y = z 2 − z, odkiaľ vyplýva x 2 − x = z 2 − z, teda
x z. To ale znamená, že je tranzitívna relácia.
Nech x y, y x t.j. x 2 − x = y 2 − y. Upravme túto rovnosť:
x 2 − y 2 + y − x = 0
(x − y)(x + y) − (x − y) = 0
(x − y)(x + y − 1) = 0
Vidíme, že táto rovnosť je splnená pre x = y ale aj pre y= 1 − x. Potom však napr. pre x= 3,
y = 1 − 3 =−2 platí (3, −2) c , (−2, 3) c , ale 3 ! −2. Preto relácia nie je antisymetrická.
Príklad 8. Na množine A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 je daný rozklad T = 2, 5, 6 , 1, 3 , 4 .
Napíšte reláciu ekvivalencie, ktorá je indukovaná rozkladom T.
Riešenie. Reláciu indukovanú rozkladom T označme . Dvojica (x, y) c A patrí do relácie
práve vtedy, keď x, y patria do tej istej triedy rozkladu. Teda
= (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2), (5, 6), (6, 5), (1, 1), (3, 3), (1, 3), (3, 1), (4, 4)
1.2. Cvičenia
Zobrazenia a operácie
1. Zistite, či dané zobrazenia sú injektívne, surjektívne alebo bijektívne.
a) h 1 : Z t Z, h 1 (x)=2x,
b) h 2 : R t R, h 2 (x)=2x,
c) h 3 : R t R, h 3 (x)=x 2 ,
d) h 4 : R + t R, h 3 (x)=x 2 ,
e) h 5 : R t R + 4 {0}, h 5 (x)=x 2 ,
f) h 6 : R + t R + , h 6 (x)=x 2
g) h 7 : R # {2} t R, h 7 (x)= 3x + 1 ,
x − 2
h) h 7 : R # {2} t R # {3}, h 7 (x)= 3x + 1 .
x − 2
2. Zistite, či dané operácie sú komutatívne, asociatívne a či majú neutrálny prvok.
a) ' : (R + ) 2 t R + , a ' b = a b ,
b) ± : N 2 t N, a ± b = b,
c) ¿ : N 2 t N, a ¿ b = a,
d) f : R 2 t R, f (x, y)=x + y + 1.
3