Linearna i nelinearna reaktivna TR - LEDA

Analiza kola
Analiza kola
Analiza elektronskih kola
1. Uvod
2. Analiza linearnih kola u DC domenu
(jednosmerni režim)
3. Analiza linearnih kola u AC domenu
(frekvencijski domen)
4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu
5. Analiza linearnih kola u TR domenu
(vremenski domen)
6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu
1
Analiza elektronskih kola
1. Uvod
2. Analiza linearnih kola u DC domenu
(jednosmerni režim)
3. Analiza linearnih kola u AC domenu
(frekvencijski domen)
4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu
5. Analiza linearnih kola u TR domenu
(vremenski domen)
6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu
2
Analiza kola
Analiza kola
Ponašanje linearnih reaktivnih kola u
vremenskom domenu domenu
opisuje se sistemom linearnih
diferencijalnih jednačina
I(t)=Isin(ωt)
1
R1 2
I
1k
v 1
(t)
i L
(t)
L1
INDUCTOR
Tip kola i analize
3. Linearna reaktivna u
TR domenu
C1
1nF
v 2
(t)
v1(
t)
− v2(
t)
= i( t)
R
1
v2(
t)
− v1
( t)
dv2(
t)
+ iL
( t)
+ C1
= 0
R
dt
1
diL
( t)
v2(
t)
− L = 0
dt
Matematički model
3. Linearne
diferencijalne
jednačine
3
Matematički model
1. i 2. Linearne jednačine
(realne i kompleksne)
3. Nelinearne algebarske
jednačine
4. Linearne diferencijalne
jednačine
5. Nelinearne
diferencijalne jednačine
Način rešavanja sistema j-na
1. i 2. LU faktorizacija
(Gauss)
3. Linearizacija - Iterativno
svođenje na linearne
algebarske (Newton-
Kantorovič)
4. Numeričko integraljenje -
diskretizacija - svođenje
na linearne algebarske
(Euler)
5. Diskretizacija - svođenje na
nelinearne algebarske i
linearizacija - Iterativno 4
svođenje na linearne

5
Analiza kola
0
)
(
)
(
0
)
(
C
)
(
R
)
(
)
(
)
i(
R
)
(
)
(
2
2
1
L
1
1
2
1
2
1
=
−
=
+
+
−
=
−
dt
t
di
L
t
v
dt
t
dv
t
i
t
v
t
v
t
t
v
t
v
1 2
v 1 (t)
v 2 (t)
L1
INDUCTOR
R1
1k
C1
1nF
I
I(t)=Isin(ωt)
i L (t)
(x)
f
dt
dx
x =
=
&
h
x
x
h
)
x(t
)
x(t
t
t
)
x(t
)
x(t
)
x(t
n
1
n
n
1
n
n
1
n
n
1
n
1
n
−
=
−
=
−
−
=
+
+
+
+
+
&
Diskretizacija vremenske ose
6
Analiza kola
0
)
(
)
(
0
)
(
C
)
(
R
)
(
)
(
)
i(
R
)
(
)
(
2
2
1
L
1
1
2
1
2
1
=
−
=
+
+
−
=
−
dt
t
di
L
t
v
dt
t
dv
t
i
t
v
t
v
t
t
v
t
v
1 2
v 1 (t)
v 2 (t)
L1
INDUCTOR
R1
1k
C1
1nF
I
I(t)=Isin(ωt)
i L (t)
0
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
C
)
(
R
)
(
)
(
)
i(
R
)
(
)
(
L
1
L
1
2
2
1
2
1
1
L
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
=
−
−
=
−
+
+
−
=
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
h
t
i
t
i
L
t
v
h
t
v
t
v
t
i
t
v
t
v
t
t
v
t
v
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
7
Analiza kola
1 2
v 1 (t)
v 2 (t)
L1
INDUCTOR
R1
1k
C1
1nF
I
I(t)=Isin(ωt)
i L (t)
n
L
n
L
n
n
n
L
n
n
n
n
i
h
L
i
h
L
v
v
h
i
v
h
v
v
v
= −
−
=
+
+
+
−
=
−
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
n
1
2
1
1
1
1
C
)
C
R
1
(
R
1
i
R
1
R
1
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
=
=
=
n
L
n
L
n
n
n
n
t
i
i
t
v
v
t
v
v
8
Analiza kola
1 2
v 1 (t)
v 2 (t)
L1
INDUCTOR
R1
1k
C1
1nF
I
I(t)=Isin(ωt)
i L (t)
n
L
n
L
n
n
n
L
n
n
n
n
i
h
L
i
h
L
v
v
h
i
v
h
v
v
v
= −
−
=
+
+
+
−
=
−
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
n
1
2
1
1
1
1
C
)
C
R
1
(
R
1
i
R
1
R
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
− +
+
+
+
n
L
n
n
n
L
n
n
i
h
L
v
h
C
i
v
v
h
L
h
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1 i
1
0
1
C
R
1
R
1
0
R
1
R
1
Sistem linearnih jednačina
n
n
i
v
G
~
=
⋅
+1

Analiza kola
Analiza kola
vremenska petlja
Linearne diferencijalne jednačine
Diskretizacija
Linearne algebarske jednačine
Diskretizacija vremenske ose.
Da bi se našlo rešenje u trenutku t=t n+1 , potrebno
je da se zna rešenje za trenutak t=t n .
Potrebno je definisati granične uslove za t=0.
Za analizu kola u intervalu do 50ms sa korakom
5µs potrebno je formirati i rešiti sistem linearnih
algebarskih jednačina 10 000 puta!
9
10
Analiza kola
Analiza kola
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu
i
i
i
i
C
dv
= C
dt
n+
1
C
n+
1
C
n+
1
C
C
(v
= C
C
= (v
h
C
= v
h
n+
1
C
n+
1
C
n+
1
C
− v
h
− v
+
C
h
n
C
n
C
v
)
)
n
C
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu
i
i
i
i
C
dv
= C
dt
n+
1
C
n+
1
C
n+
1
C
C
(v
= C
C
= (v
h
C
= v
h
n+
1
C
n+
1
C
n+
1
C
− v
h
− v
+
C
h
n
C
n
C
v
)
)
n
C
11
12

Analiza kola
Analiza kola
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu
i
n+
1
C
=
C
h
v
n+
1
C
−
C
h
v
n
C
j / v
V i
n+1
v j
n+1
SV
Struja iC(tn+1) ima dve komponente:
Jedna zavisi od napona vC (tn+1) a druga od vC(tn)
n+
1
i (t)
i C
C
i
C
h
C
−
h
C
(v
h
n
i
− v
n
j
)
v C (t)
n+
1
v C
C
G C =
h
n
i C
C n
= vC
h
j
C
−
h
C
h
C n n
− (v − v )
h i j
13
14
Analiza kola
Analiza kola
Primena Eulerove formule na induktivnu granu
v
v
v
v
L
di
= L
dt
n+
1
L
n+
1
L
n+
1
L
L
(i
= L
n
i C
+ 1
L
= (i
h
L
= i
h
n+
1
L
n+
1
L
n+
1
L
h
− i
− i
−
L
h
n
L
n
L
i
)
)
n
L
Primena Eulerove formule na induktivnu granu
v
n+
1
L
=
L
h
n+
1
L
L
h
n
L
Napon vL(tn+1) ima dve komponente:
Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)
(t) i L
(t) v L
i
−
n+
1
vL
i
n+
1
i L
L
R L =
h
n L
v
Ls
= i
h
n
L
15
16

Analiza kola
Analiza kola
Primena Eulerove formule na induktivnu granu
n+
1 n+
1 n+
1 L n+
1 L n
n+
1
v
L
= vi
− v
j
= iL
− iL
= RLiL
+ v
h h
i
n+
1
j
n+
1
L
L
n+
1
v − v − R i = v
Ls
n
Ls
n
Primena Eulerove formule na induktivnu granu
Iz čvora i ističe struja i
n+1
L 1 i
n+1
L
U čvor j utiče struja i
n+1
L -1 i
n+1
L
Nova jednačina
j / v
v
n+1
v
n+1
i
n+1
i j L
i
1
i
n+
1
SV
j
n+
1
L
L
n+
1
1v −1v
− R i = v
Ls
n
j
-1
NJ L 1 -1 -R L
n
vLs
17
18
Analiza kola
Analiza kola
Primena Eulerove formule na induktivnu granu
n+
1 h n+
1
i L = vL
+ i
L
n
L
Primena Eulerove formule na induktivnu granu
n+
1 h n+
1
i L = vL
+ i
L
n
L
Napon vL(tn+1) ima dve komponente:
Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)
n+
1
(t)
i L
i L
(t)
n+
1
vL
h
G L =
L
v L
20
n
i L
j / v
v
n+1
v
n+1
i
n+1
i j L
i
1
j
-1
NJ L h/L -h/L -1
SV
n
− iL
19

Analiza kola
Analiza kola
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti
21
22
Analiza kola
Analiza kola
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti
v
v
n+
1
1
n+
1
2
L
=
1
i
h
M
= i
h
n+
1
1
n+
1
1
L
−
1
i
h
M
− i
h
n
1
n
1
M
+ i
h
L
+
2
i
h
n+
1
2
n+
1
2
M
− i
h
L
−
2
i
h
n
2
n
2
v
v
n+
1
1
n+
1
2
= R
= R
n+
1
11i1
n+
1
21i1
+ R
+ R
n+
1
12i2
n+
1
22i2
+ v
+ v
n
MS1
n
MS2
v
n+
1
1
= R
n+
1
11i1
+ R
n+
1
12i2
− R
n
11i1
− R
n
12i2
v
n+
1
2
= R
n+
1
21i1
− R
n
21i1
+ R
n+
1
22i2
− R
n
22i2
23
24

Analiza kola
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti
v
v
n+
1
1
n+
1
2
= R
= R
n+
1
11i1
n+
1
21i1
+ R
+ R
n+
1
12i2
n+
1
22i2
+ v
+ v
n
MS1
n
MS2
Analiza kola
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti
j / v
v
n+1
v
n+1
v
n+1
v
n+1
i
n+1
i
n+1
i j p q 1 2
i
1
j
-1
SV
p
1
q
-1
NJ1
1
-1
-R 11
-R 12
v ms1
n
NJ2
1
-1
-R 21
-R 22
v ms2
n
25
26
Analiza kola
Algoritam
Analiza kola
Zadavanje graničnih uslova, t=0,
n=0
V in =V i0 , i=1,…,N
t=t+h, n = n +1
V in =V i
n+1
,
i=1,…,N
Formulacija sistema linearnih
algebarskih jednačina
Rešavanje sistema linearnih
jednačina, V i
n+1
, i=1,…,N
Štampanje V i
n+1
ne
t>T kraj
27
da
kraj
28

Analiza kola
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
Intuitivno je jasno (a znanja iz numeričke matematike
to potvrđuje) da diskretizacija unesi određenu grešku,
i da može da se očekuje da greška bude manja ako je
korak diskretizacije manji i ako je promena sporija.
Želimo da utvrdimo
-koliko iznosi greška i
-od čega zavisi.
Analiza greške diskretizacije
Neka je x(t n+1 ) tačna vrednost
a x n+1 izračunata vrednost pomenljive x.
Tada je lokalna greška zaokruživanja
(Local trncation Error, LTE)
ε Tx = x(t n+1 ) - x n+1
29
30
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
Razvojem funkcije x(t) u Tajlorov red u okolini
tačke t=t n+1 dobija se
x(t) = x(t
za t = t
x(t ) = x(t
h = t
x(t ) = x(t
x(t
n
n
n+
1
n
n+
1
n+
1
n
) + (t − t
n+
1
− t ,
n+
1
) + (t
) − hx&
) = x(t ) + hx&
n
n
n+
1
− t
t=
t
t=
t
)x&
n+
1
n+
1
n+
1
+
t=
t
)x&
−
n+
1
t=
t
1
h
2
1
h
2
n+
1
2
2
+
&& x
&& x
1
(t
2
+
t=
t
t=
t
− t
1
(t
2
n+
1
n+
1
n+
1
n
− t
+ ...
− ...
2
) && x
n+
1
t=
t
n+
1
2
) && x
+ ...
t=
t
n+
1
+ ...
31
x(t &
Na osnovu
n+
1
x(t
) =
t
x
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
n+
1
n+
1
) − x(t
− t
n
n
sledi da je približna vrednost promenljive x u trenutku t=t n+1
n+
1 n
= x + hx&
ε
Tx
) x(t
=
t=
t n + 1
n+
1
n+
1
n+ 1)
− x = −
) − x(t
h
= x(t
h 2
& x
t=
n
t n + 1
) x
=
n+
1
− x
h
Ako se pretpostavi da je u t=t n , poznato tačno rešenje i da je
x(t n )=x n , tada je
n
32

ε
Tx
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
= x(t
h 2
& x
n+
1
n+ 1)
− x = −
t=
t n + 1
Lokalna greška zaokruživanja (local truncation error LTE)
proporcionalna je kvadratu veličine koraka h i
brzini promene signala
Vremenski korak h
Brzina odziva
LTE
33
x(t) = x(t
za t = t
x(t ) = x(t
h = t
x&
n
t=
t
n+
1
n+
1
n
n+
1
n
= x(t &
) + (t − t
n+
1
− t ,
n+
1
) + (t
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
Tokom izračunavanja izvod pravi se, takođe, lokalna greška
zaokruživanja izvoda
ε
Td
= x(t & x&
n+ 1)
−
n
− t
x(t
) =
n+
1
n+
1
n+
1
)x&
n+
1
t=
t
)x&
n+
1
t=
t
) − x(t
h
+
n+
1
n
1
(t
2
+
− t
1
(t
2
n
) 1
+ hx &&
2
n+
1
− t
t=
t
2
) && x
n+
1
n+
1
t=
t
2
) && x
+ ...
n+
1
+ ...
t=
t
n+
1
+ ...
34
Znajući da je
sledi
ε
ε
ε
ε
Td
Td
Td
Td
= x(t &
x(t
=
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
x&
n+
1
n+
1
1
= hx &&
2
1
≈ hx &&
2
) − x&
) − x(t
h
t=
t
t=
t
n+
1
n+
1
x(t
n+
1 n+
1
=
n+
1
n
+ ...
) − x(tn
)
h
) 1
+ hx &&
2
t=
t
n+
1
x(t
+ ... −
n+
1
) − x(tn
)
h
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
Lokalna greška zaokruživanja izvoda (LTE izvoda)
proporcionalna je veličini koraka h i
brzini promene signala
Vremenski korak h
Brzina odziva
LTE izvoda
35
36

ε
ε
Tx
Analiza kola
Analiza greške diskretizacije
= x(t
h
2 & x
1
= h&
2
Td
x t =
n+
1
n+ 1)
− x = −
t n + 1
t=
t n + 1
Greška je manja za monotone odzive jer
se izvod aproksimira pravom linijom
Analiza kola
Izbor koraka diskretizacije
Izbor koraka diskretizacije
Kako izabrati pravu veličinu koraka
Korak se bira na osnovu elemenata kola i/ili na
osnovu brzine promene signala pobude.
37
38
Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
Analiza greške diskretizacije
Brzina promene signala u kolu zavisi od vrednosti
vremenskih konstanti u kolu.
Dobra je praksa da se izabere korak h < τ/100 gde
je τ lokalna vremenska konstanta.
Bira se najmanji korak
Primer
RC kolo τ=1ms
Naravno, ako je ograničavajuća promena u kolu
diktirana brzinom pobude tada se izabere korak
koji je u stanju da prati pobudu.
39
40

Primer
Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
RC kolo τ=1ms
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
Odziv RC kola τ=1ms
t
tačno
h=0.01ms
h=0.1ms
h=1ms
0
0
0
0
0
1E-5
9.900498
9.0099
1E-4
9.04837
9.05287
9.09091
1E-3
3.67879
3.69711
3.85543
5.0000
41
42
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
apsolutna greška
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
relativna greška
h=10 -3
h=10 -4
43
44

•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
Analiza greške diskretizacije
Greška je proporcionalna veličini koraka h i
brzini promene & x& signala
Da bi se zadržala konstantna greška, treba smanjiti
korak tamo gde je brzina promene signala veća i
obrnuto.
Ovo je iskorišćeno u algoritmima za automatsku
kontrolu koraka (Spice)
45
Primer:
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
Analiza greške diskretizacije
Neka je odziv sinusna funkcija sa amplitudom V=4V i
periodom T=5ms. Odrediti minimalni korak da bi
maksimalna LTE bila ε Tx = 10 -4 V dobija se:
2ε
h
Tx
min =
&& x
2
⎛ 2π ⎞
&& x = 4⎜
⎟
⎝ T ⎠
2π
6
sin t = 6,3 ⋅10
V/s
T
N =
T
h
=
5ms
5,6µ,
2
≈ 892
Za jednu periodu !!!
⇒
h
min
= 5,6µ,
46
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
Analiza greške diskretizacije
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
Višekoračna integraciona pravila
k - broj koraka
Greška može da se nagomilava
Ukoliko se ne povećava greška kaže se da je rešenje
stabilno
47
Bolja tačnost, manje LTEza dati korak postiže se boljom
aproksimacijom izvoda
48

•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu
Analiza kola
Primer Oscilator
Analiza nelinearnih kola
u vremenskom domenu
49
50
Analiza kola
Analiza elektronskih kola
1. Uvod
2. Analiza linearnih kola u DC domenu
(jednosmerni režim)
3. Analiza linearnih kola u AC domenu
(frekvencijski domen)
4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu
5. Analiza linearnih kola u TR domenu
(vremenski domen)
6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu
51
Analiza kola
Ponašanje nelinearnih reaktivnih kola
u vremenskom domenu domenu
opisuje se sistemom nelinearnih
diferencijalnih jednačina
1 2
R1
V 1
1k
i d
DIODE PIN
i(t)=510 -3 cos(2πft+ϕ)
C1
V 2
1nF
Tip kola i analize
5. Neinearna reaktivna
u TR domenu
D1
v1(
t)
− v2(
t)
= i( t)
R
1
v2(
t)
− v1(
t)
+ Is(e
R
1
v2
( t)
VT
∂v2(
t)
−1)
+ C = 0
∂t
Matematički model
5. Nelinearne
diferencijalne
jednačine
52

Analiza kola
Analiza kola
Tipovi kola i analize
1. Linearna otporna DC
domen
2. Linearna reaktivna AC
domen
3. Linearna reaktivna TR
domen
4. Nelinearna otporna
DC domen
5. Nelinearna reaktivna
TR domen
Matematički model
1. Linearne algebarske
jednačine
2. Linearne algebarske
jednačine (kompleksne)
3. Linearne diferencijalne
jednačine
4. Nelinearne algebarske
jednačine
5. Nelinearne diferencijalne
jednačine
53
Matematički model
1. i 2. Linearne jednačine
(realne i kompleksne)
3. Linearne diferencijalne
jednačine
4. Nelinearne algebarske
jednačine
5. Nelinearne
diferencijalne jednačine
Način rešavanja sistema j-na
1. i 2. LU faktorizacija (Gauss)
3. Numeričko integraljenje -
diskretizacija - svođenje
na linearne algebarske
(Euler)
4. Linearizacija - Iterativno
svođenje na linearne
algebarske (Newton-
Kantorovič)
5. Diskretizacija - svođenje na
nelinearne algebarske i
linearizacija - Iterativno
svođenje na linearne
algebarske
54
vremenska petlja
iterativna petlja
Analiza kola
Nelinearne diferencijalne jednačine
Linearizacija Diskretizacija
Nelinearne algebarske jednačine
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Algoritam
Linearne algebarske jednačine
55
56

Analiza kola
Izračunavanje graničnih uslova, t=0, n=0
V in =V i0 , i=1,…,N
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna kapacitivna grana
t=t+h, n = n +1, m = 0
m = m +1
V in =V i
n+1,m+1
,
i=1,…,N
Formulacija i rešavanje sistema linearnih
algeb.jednačina, V i
n+1,m+1
, i=1,…,N
ne
Izračunavanje greške
δ=| V i
n+1,m+1
/V i
n+1,m
-1|
δ < ε
Štampanje V i
n+1,m+1
t>T kraj
da
kraj
da
ne
V i
n+1,m
=V i
n+1,m+1
,
i=1,…,N
57
58
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna kapacitivna grana
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna kapacitivna grana
59
60

Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna kapacitivna grana
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna kapacitivna grana
61
62
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna induktivna grana
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna induktivna grana
63
64

Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Nelinearna induktivna grana
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Problemi primene
1. Početak analize
Krene se sa jednokoračnim pravilom sa h/8
h/8
h/4
h/2
h
2h
3h
65
66
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Problemi primene
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu
Problemi primene
2. h može da se izračuna za naredni korak, ali ta
vrednost ne mora da bude prihvatljiva
• suviše veliko h – nestabilno
• suviše malo h, dugo traje analiza ali i C/h
može da postane suviše veliko
Zato se u algoritmima ograničava
3. Iterativni postupak u trenutku t=t n+1 počinje
sa rešenjem dobijenim u t=t n (prediktor); ovo
ne mora da bude dobro ako je korak veliki.
4. Skokovita promena pobude
• korekcija, polovi se korak, ako to ne
pomogne, modifikuje se kolo G prema
masi (poveća se vrednost lokalnih
vremenskih konstanti)
h o /100 < h < 100 h o
5. Uštede u formiranju matrice (unutar
algoritma)
67
68

Sledeće nedelje:
Optimizacija elektronskih kola 1
-Izračunavanje koeficijenata osetljivosti
-Telegenova teorema
69