Príklady z Matematiky 3

2 Druhý týµzdeµn
Vypoµcítajte krivkové integrály
1. R C
1
x y ds; kde C je úseµcka od bodu [0; 2] po bod [4; 0] : p
5 ln 2:
2. R ,
xds; kde C je
C
µcas t paraboly y = x 2 medzi bodmi [2; 4] a [1; 1] :
3. R C x2 ds; kde C je µcas t ,
h
5
grafu y = ln x; kde 1 x 2:
p 5 2 p i
2
3
:
4. R C
p
x2 + y 2 ds; kde C je kruµznica x 2 + y 2 = x: [2:]
h
17 p 17 5 p 5
12
:
5. R C x2 + y 2 dx+ x 2 y 2 dy; kde C je µcas t ,
grafu funkcie y = 1 j1 xj ; 0
x 2; so zaµciatoµcným bodom [0; 0] : 4
3 :
6. R C x2 2xy dx + y 2 2xy dy; kde C je krivka y = x 2 ; z bodu [ 1; 1]
po bod [1; 1] : 14
15 :
7. R ,
ydx + xdy; kde C je
C
µcas t kruµznice x = a cos t; y = a sin t; t 2
0; 2 ;
kde [a; 0] je zaµciatoµcný bod. [0:]
Zistite, µci sú nasledujúce integrály závislé od integraµcnej cesty:
8. R (2x + 3y) dx + (3x 4y) dy:
C
9. R C x4 + 4xy 3 dx + 6x 2 y 2 5y 4 dy:
Pouµzitím Greenovej vety vypoµcítajte integrály:
10. R C y2 dx + xdy; ak C je hranica štvorca ohraniµcená priamkami x = 1; x =
1; y = 1; y = 1; ktorá je kladne orientovaná. [4:]
i
1
11. R C x arctg y x dx + 2 y arctg x y dy; kde C je hranica oblasti 1 x2 + y 2
4; x y p 3x; ktorá je kladne orientovaná. ln 2:
12
12. R C 3x2 cos y y 3 ; x 3 x 3 sin y ds; kde C je kladne orientovaná krivka
daná vz tahom , x 2 + y 2 = 1:
3
2 2