Príklady z Matematiky 3

3 Tretí týµzdeµn
1. V úlohách 1 - 5 zistite, aká mnoµzina je urµcená daným vz , tahom. Jej obraz
naµcrtnite v komplexnej rovine.
2. jz z 0 j = r; r > 0; z 0 je pevný bod. [Kruµznica so stredom z 0 a polomerom r]
h
i
3. jz + ij + jz ij < 4: Vnútro elipsy x2
3 + y2
4 = 1
4. jz + 2j > 1: [Vonkajšok kruµznice so stredom S = ( 2; 0) a polomerom r = 1]
5. jz 2j < jzj : [Polrovina Re z > 1:]
6. Im
1
z = 2: z 6= 0; kruµznica so stredom S = 0;
1
4 a polomerom r =
1
4
7. Zistite, µci sú nasledujúce mnoµziny oblasti. (Naµcrtnite ich v komplexnej
rovine):
(a) jzj < 4; [áno]
(b) 1 jz
1j 3; [nie]
(c) 3 arg z 3 4 ; [nie]
(d) 0 < jz
(e) Re z < 2: [áno]
2j < 3; [áno]
8. Nájdite limity postupnosti fz n g 1 n=1 ; ak
(a) z n = 1 + 1 n
3n +
n+1
3n 1 i; p 3 e +
1
3 i
(b) z n = 2n sin 1 n + 4n+1
5n 1 i;
2 +
4
5 i
(c) z n = n tg 1
2n + 1 + 4 n
n
i;
1
2 + ie4
9. Zistite, µci rady P 1
n=1 z n konvergujú, alebo divergujú
(a) z n =
sin n+i cos n
n 3
; [absolútne konverguje]
(b) z n = 1
n(n+1) + tg
2
i; [absolútne konverguje]
q
n+1 h
n+1
(c) z n =
n + n 3
i; diverguje, návod rad P 1
n n=1
q
n+1
n
10. Vyjadrite reálnu a imaginárnu µcas t , funkcie:
h
i
(a) f (z) = e z2 ; Re f (z) = e x2 y 2 cos 2xy; Im f (z) = e x2 y 2 sin 2xy
i
nespĺµna nutnú podmienku konvergencie
(b) f (z) = z 2 sin z; Re f (z) = x 2 y 2 sin x cosh y 2xy cos x sinh y; Im f (z) = 2xy sin x cosh y + x
(c) f (z) = tg z; Re f (z) = x 2 y 2 sin x cosh y 2xy cos x sinh y; Im f (z) = 2xy sin x cosh y + x 2
(d) f (z) = z 2 z + 1; Re f (z) = x
2
y 2 x + 1; Im f (z) = 2xy y
(e) f (z) = 1 z ; hRe f (z) = x
x 2 +y 2 ; Im f (z) =
i
y
x 2 +y 2
3