Príklady z Matematiky 3

5 Piaty týµzdeµn
1. Daná je funkcia f (z) = iz 1
iz 2 +1+i : Nájdite:
i
iz 2 +(1+i) + z 2z+2i
(iz 2 +(1+i)) 2
(a) de…niµcný obor;
(b) f 0 ; f 0 (i)
h n
Cn
4p 3
2e 8 i ;
4p
2e
11
8 i oi
i
iz 2 +(1+i) + z
h
f 0 (z) = z2 +2iz 1+i
(iz 2 +1+i) 2 ; f 0 (i) = 4 + i
i
2z+2i
:
(iz 2 +(1+i)) 2
h
2. Vypoµcítajte deriváciu funkcie f (z) = 3i
2i z : D(f) = Cn f2ig = D (f 0 ) ; f 0 (z) =
V úlohách 3 - 8. pre funkciu f
(a) zistite, kde existuje derivácia,
(b) nájdite f 0 v bodoch, kde existuje,
i
3i
(2i z) 2
(c) vyšetrite, kde je f analytická (holomorfná)
2
3
a. f 0 existuje na M = fz 2 C : Im z = Re zg ;
3. f (z) = x 2 + iy 2 : 4 b. f 0 (z) = f 0 (x + iy) = 2x; 5
c. nie je analytická v µziadnom bode
2
4. f (z) = jzj : 4 a. f 3
0 neexistuje v µziadnom bode,
b. f 0 (z) @;
5
c. nie je analytická v µziadnom bode.
5. f (z) = z 3 + z:
2
4 a. f 0 existuje na C;
b. f 0 (z) = 3z 2 + 1;
3
5
c. je analytická na C:
6. f (z) = z Re z:
2
4
a. f 0 existuje len v bode z = 0;
b. f 0 (0) = 0;
3
5
c. nie je analytická v µziadnom bode
2
3
7. f (z) = f (x + iy) = (2xy + 2x 1)+i y 2 x 2 + 2y a. f 0 existuje na C;
: 4 b. f 0 (z) = f 0 (x + iy) = (2y + 2) i (2x) ; 5
c. je analytická na C:
2
3
a. f 0 neexistuje v µziadnom bode,
8. f (z) = (e x cos y) i (e x sin y) : 4
b. f 0 (z) @;
5
c. nie je analytická v µziadnom bode.
V úlohách 9 - 22 nájdite na A C analytickú (holomorfnú) funkciu
f(z) = f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y) ; ak je daná jej jedna zloµzka a
prípadne funkµcná hodnota v jednom bode:
9. u (x; y) = x 3 3xy 2 ; f (i) = 0: f (z) = f (x + iy) = x 3 3xy 2 + i 3x 2 y y 3 + 1
10. u (x; y) = x 2 y 2 +xy; f (0) = 0:
h
f (z) = f (x + iy) = x 2
y 2 + xy + i
2xy + y2
2
i
x 2
2
7