Príklady z Matematiky 3

11. v (x; y) = x 2 y 2 3x+2xy; u (2; 1) = 0: u (x; y) = x 2 y 2 2xy + 3y 2
12. v (x; y) = 2e x sin y; f(0) = 1: [f (z) = f (x + iy) = (2e x cos y 1) + i (2e x sin y)]
13. v (x; y) = ln x 2 + y 2
+ x 2y: u (x; y) = 2 arctg
y
x
y 2x + k
14. u (x; y) = e x (x cos y y sin y) ; priµcom f (0) = 0: [f : C ! C; f (z) = ze z ]
15. Ukáµzte, µze u (x; y) = xy je harmonická funkcia a nájdite harmonicky
zdruµzenú funkciu.
f : R
2
! R; v (x; y) = 1 2 x2 y 2 + C
16. Ukáµzte, µze u (x; y) = x 2 y 2 +xy je harmonická funkcia a nájdite harmonicky
zdruµzenú funkciu. f : R 2 ! R; v (x; y) = 2xy
1
2 x2 y 2 + C
17. Ukáµzte, µze u (x; y) = x 3 +6x 2 y 3xy 2 2y 3 je harmonická funkcia a nájdite
harmonicky zdruµzenú funkciu. f : R 2 ! R; v (x; y) = 2x 3 + 3x 2 y + 6xy 2 y 3 + C:
18. Ukáµzte, µze u (x; y) = x 4 6x 2 y 2 +y 4 x je harmonická funkcia a nájdite harmonicky
zdruµzenú funkciu. f : R 2 ! R; v (x; y) = 4x 3 y 4xy 3 y + C
19. Ukáµzte, µze u (x; y) = x
x 2 +y
je harmonická funkcia a nájdite harmonicky
h
2
i
zdruµzenú funkciu. f : R 2 y
n f(0; 0)g ! R; v (x; y) =
x 2 +y
+ C 2
20. Ukáµzte, µze u (x; y) = xe x cos y ye x sin y je harmonická funkcia a nájdite
harmonicky zdruµzenú funkciu. f : R 2 ! R; v (x; y) = ye x cos y + xe x sin y + C
8