Matematyka wokół nas, Klasa 4 (SP 4-6)

MATEMATYKA
PODRĘCZNIK
do szkoły podstawowej
WOKÓŁ NAS
4
KLASA

Helena Lewicka, Marianna Kowalczyk
MATEMATYKA
WOKÓŁ NAS
PODRĘCZNIK
do klasy czwartej szkoły podstawowej

Spis treści
Działania na liczbach naturalnych
Liczby naturalne. Oś liczbowa ............................... 6
Dodawanie liczb ............................................ 11
Odejmowanie liczb ......................................... 17
Mnożenie liczb ............................................. 23
Mnożenie liczb przez: 10, 100, 1000 ......................... 28
Dzielenie liczb ............................................. 31
Dzielenie liczb przez: 10, 100, 1000 ......................... 35
Porównywanie liczb ........................................ 39
Potęgowanie liczb .......................................... 45
Kolejność wykonywania działań ............................. 48
Szacowanie wyników ....................................... 53
Zadania utrwalające ........................................ 56
Sprawdź siebie ............................................. 59
Figury geometryczne, część 1
Punkt, prosta, półprosta, odcinek ........................... 61
Mierzenie odcinków ........................................ 65
Kąty. Rodzaje kątów ........................................ 70
Mierzenie kątów ............................................ 74
Proste prostopadłe i proste równoległe ...................... 78
Zadania utrwalające ........................................ 83
Sprawdź siebie ............................................. 84
Rozszerzenie zakresu liczbowego
Dziesiątkowy system pozycyjny ............................. 87
Rzymski system zapisywania liczb .......................... 92
Dodawanie liczb sposobem pisemnym ...................... 95
Odejmowanie liczb sposobem pisemnym ................... 98
Mnożenie liczb sposobem pisemnym ....................... 104
Mnożenie liczb przez liczby jednocyfrowe ............... 104
Mnożenie liczb przez liczby wielocyfrowe ................ 106
Dzielenie z resztą ........................................... 110
Dzielenie liczb sposobem pisemnym ........................ 113
Dzielenie liczb przez liczby jednocyfrowe ................ 113
Dzielenie liczb przez liczby wielocyfrowe ................ 118
Miary czasu ................................................ 121
Zadania utrwalające ........................................ 127
Sprawdź siebie ............................................. 130
Figury geometryczne, część 2
Prostokąt ................................................... 132
Obwód prostokąta .......................................... 137
Pole prostokąta ............................................ 142
Okrąg i koło ................................................ 149
Zadania utrwalające ........................................ 153
Sprawdź siebie ............................................. 154

Skala i plan. Diagramy
Powiększanie i zmniejszanie figur ........................... 157
Odczytywanie odległości z planu i z mapy ................... 162
Odczytywanie diagramów .................................. 165
Zbieranie danych i przedstawianie ich na diagramach ....... 170
Zadania utrwalające ........................................ 173
Sprawdź siebie ............................................. 176
Podzielność liczb naturalnych
Dzielniki i wielokrotności liczb ............................... 178
Cechy podzielności liczb przez: 2, 5, 10, 100 i 25 ............ 183
Cechy podzielności liczb przez 3 i 9 ......................... 187
Zadania utrwalające ........................................ 190
Sprawdź siebie ............................................. 191
Ułamki zwykłe
Ułamek jako część całości .................................. 193
Porównywanie ułamków o jednakowych licznikach
lub mianownikach ....................................... 198
Ułamek jako dzielenie ...................................... 202
Ułamki większe od jedności lub mniejsze od jedności ....... 205
Rozszerzanie i skracanie ułamków .......................... 210
Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach ......... 214
Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach ...... 217
Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną .................... 221
Zadania utrwalające ........................................ 225
Sprawdź siebie ............................................. 227
Prostopadłościany
Opis prostopadłościanu .................................... 229
Siatka prostopadłościanu ................................... 232
Pole powierzchni prostopadłościanu ........................ 235
Zadania utrwalające ........................................ 239
Sprawdź siebie ............................................. 240
Ułamki dziesiętne
Ułamki o mianowniku: 10, 100, 1000 ........................ 242
Rozszerzanie i skracanie ułamków dziesiętnych ............. 246
Porównywanie ułamków dziesiętnych ....................... 248
Wyrażenia dwumianowane ................................. 251
Dodawanie ułamków dziesiętnych .......................... 254
Odejmowanie ułamków dziesiętnych ........................ 257
Mnożenie ułamków dziesiętnych przez: 10, 100, 1000 ....... 261
Dzielenie ułamków dziesiętnych przez: 10, 100, 1000 ........ 264
Kalkulator .................................................. 267
Zadania utrwalające ........................................ 270
Sprawdź siebie ............................................. 271
Odpowiedzi do zadań ..................................... 273

Do Ucznia
Chciałybyśmy, aby ten podręcznik umożliwił Ci poznawanie matematyki.
Matematyka – to ważna nauka. Jest pomocna w wielu dziedzinach wiedzy,
np. w fizyce, przyrodzie, astronomii czy informatyce.
W klasie czwartej nauczysz się przede wszystkim sprawnie liczyć.
A ta umiejętność pomoże Ci w życiu codziennym:
dobrze gospodarować pieniędzmi,
umiejętnie kupować potrzebne produkty i materiały,
umiejętnie organizować wycieczki: zaplanować długość trasy,
przewidzieć wydatki, odczytać z mapy potrzebne dane,
poprawnie odczytać, rozumieć informacje i umieć z nich korzystać.
W podręczniku znajdziesz wiele zadań, które w różny sposób umożliwią
Ci ćwiczenie poznanych umiejętności.
Pod hasłem:
Sowa przypomina
Sowa uczy
A to ciekawe!
powtórzysz wiadomości i umiejętności poznane
w klasach młodszych;
dowiesz się o nowych zagadnieniach, które dalej
rozwijane są w rozwiązanych Przykładach;
znajdziesz interesujące wiadomości matematyczne;
Problem
zetkniesz się z zadaniami trudniejszymi, czasami
wymagającymi niestandardowego spojrzenia, lub
zadaniami nietypowymi, np. mającymi więcej niż jedną
odpowiedź;
Czy umiesz Sprawdź! znajdziesz zadania, na podstawie których sprawdzisz,
czy posiadasz już wszystkie potrzebne umiejętności
z danego tematu.
Na końcu każdego rozdziału umieszczone są zadania, które pozwolą Ci
powtórzyć, utrwalić i sprawdzić wiadomości zdobyte w danym rozdziale,
oraz przygotować się do klasówki. Są to:
Zadania utrwalające oraz Sprawdź siebie – testy, w których podano
cztery odpowiedzi, ale wśród nich tylko jedna jest poprawna. Odpowiedzi
należy zapisywać w zeszycie.
Pamiętaj, Matematyka wokół nas, jest podręcznikiem wieloletnim, dlatego
zakazane jest pisanie po nim – wszystkie rozwiązania zapisuj w zeszycie.
Życzymy Ci satysfakcji z nauki.
Autorki

Działania na liczbach naturalnych
Liczby naturalne. Oś liczbowa
Sowa przypomina
Jest 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Zapisujemy nimi wszystkie
liczby.
Czasami liczby zapisujemy słowami:
5 – pięć
6 – sześć
50 – pięćdziesiąt 60 – sześćdziesiąt
500 – pięćset 600 – sześćset
9 – dziewięć
90 – dziewięćdziesiąt
900 – dziewięćset
Sowa uczy
Pięciocyfrowa liczba 12 605 zapisana jest cyframi: 1, 2, 6, 0, 5.
dziesiątki jedności
tysięcy tysięcy setki dziesiątki jedności
1 2 6 0 5
W liczbie 12 605 jest: 5 jedności, 0 dziesiątek, 6 setek, 2 tysiące
i 1 dziesiątka tysięcy. Czytamy: dwanaście tysięcy sześćset pięć.
Tymi samymi cyframi można zapisać też inne liczby pięciocyfrowe,
np. 21 605, 12 065.
Przygotuj 10 kartek jednakowej wielkości. Na każdej
z nich napisz inną cyfrę. Wylosuj 3 kartki i przekładając
je, ułóż kilka różnych liczb. Przeczytaj te liczby.
Teraz wylosuj 4 kartki. Czy potrafisz przeczytać liczby czterocyfrowe
A jakie liczby możesz ułożyć z pięciu wylosowanych kartek
Na przykład:
6

Liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … nazywają się liczbami
naturalnymi. Kropki na końcu oznaczają, że po liczbie 12 są jeszcze
inne liczby. Każda następna liczba jest o 1 większa od poprzedniej.
Nie można wypisać wszystkich liczb naturalnych, bo nie ma wśród
nich liczby największej.
Wszystkie liczby, które znasz i jeszcze poznasz, mają swoje miejsce
na osi liczbowej. Skoro dwie kolejne liczby naturalne różnią się
zawsze o 1, to odległość między nimi na osi liczbowej musi być
też jednakowa.
Przykład 1
Na taśmie krawieckiej zatarte są trzy liczby. Odgadnij je.
W czym podobna jest taśma krawiecka do osi liczbowej
Przykład 2
Jakiej liczbie odpowiada wyróżniony punkt
Nie zawsze możemy narysować tak długą oś liczbową, aby zaznaczyć
na niej duże liczby. Wówczas możemy zaznaczyć inny odcinek, który
odpowiada kilku lub kilkunastu jednostkom.
Na tej osi liczbowej każdy kolejny wyróżniony punkt oddalony jest o 3
od poprzedniego.
Odpowiedź. Wyróżniony punkt na osi liczbowej odpowiada liczbie 15.
7

Przykład 3
Jakim liczbom na osi liczbowej odpowiadają wyróżnione punkty
Od liczby 0 do liczby 30 jest 5 jednakowych odcinków, więc:
30 : 5 = 6
Punkt wyróżniony kolorem niebieskim odpowiada liczbie:
30 + 6 + 6 = 42
Odpowiedź. Punkt wyróżniony kolorem zielonym odpowiada liczbie 6,
a niebieskim liczbie 42.
Przykład 4
Pan Janek przejechał samochodem 56 km, a pan Rafał 65 km.
Który z nich przejechał więcej kilometrów
1 kilometr zapisujemy w skrócie 1 km, 1 metr – 1 m
1 kilometr to 1000 metrów
1 km = 1000 m
Liczba 65 na osi liczbowej położona jest dalej od 0 niż liczba 56.
Czy wiesz, gdzie znajduje się liczba 0 na tej osi liczbowej
Liczba 65 jest większa od liczby 56. Zapisujemy:
65 > 56, czytamy: liczba 65 jest większa od liczby 56 lub
56 < 65, czytamy: liczba 56 jest mniejsza od liczby 65.
Odpowiedź. Pan Rafał przejechał więcej kilometrów
niż pan Janek.
1
Odczytaj liczby odpowiadające wyróżnionym punktom:
8
2
Narysuj oś liczbową i przyjmij na niej odpowiednią jednostkę.
Zaznacz liczby:
a) 0, 5, 7, 12
b) 15, 25, 30
c) 200, 400, 700, 1000

Przeczytaj rozmowy uczniów klasy czwartej, wspominających wakacje, i rozwiąż
zadania 3–5.
Byłem u dziadków,
30 km od domu.
Ja byłam
300 km od
domu.
Jeździłem rowerem niedaleko
domu, ale w czasie wakacji
na pewno przejechałem
około 100 km.
Byłam
na koloniach
284 km od
domu.
Jeździliśmy z rodziną
po kraju. Przejechaliśmy
1602 km.
Ile kilometrów od
Polski mieszkałeś
Mieszkałem w USA.
Do Nowego Jorku przejechaliśmy
1340 km, stamtąd do Warszawy
przelecieliśmy 7200 km.
3
4
5
6
Przeczytaj i zapisz słownie każdą wymienioną przez dzieci liczbę.
Która z wymienionych liczb jest największa, a która najmniejsza
Wymień liczby większe od 500 spośród tych, które podały dzieci.
Liczby te uporządkuj od najmniejszej do największej (lub od
największej do najmniejszej), używając znaków < lub >.
Ułóż zadanie o wakacjach i rozwiąż je.
9

7
8
9
10
11
Zapisz cyframi liczby:
a) sześćset osiem, b) jeden tysiąc trzysta dwa,
c) dziesięć tysięcy siedemset, d) osiem tysięcy osiem,
e) dziesięć tysięcy trzy, f) piętnaście tysięcy.
Zapisz cyframi i słownie liczbę, w której:
a) cyfrą setek jest 8, dziesiątek 2, a jedności 0,
b) cyfrą jedności jest 5, dziesiątek 2, setek 6, a jedności tysięcy 3,
c) cyfrą dziesiątek jest 9, setek 2, a jedności 3.
Rodziny Ani i Zosi pojechały samochodami do Grecji. Każdy
samochód przejechał po cztery tysiące osiemset pięćdziesiąt
kilometrów. Rodzina Ani wydała osiem tysięcy sześćset pięć złotych,
a rodzina Zosi 9400 zł.
a) Liczby zapisane słownie zapisz cyframi i podkreśl cyfrę setek.
b) Wydatki rodziny Zosi zapisz słownie.
c) Która rodzina wydała więcej pieniędzy: rodzina Ani czy Zosi
Zapisz to za pomocą znaku < lub >.
Przepisz i porównaj liczby. Użyj odpowiedniego znaku:
>, < lub =.
a) 688 i 886 b) 5556 i 5556 c) 10 000 i 1000
999 i 1001 8778 i 7887 9999 i 10 000
2030 i 2003 6040 i 7000 4987 i 5001
Przepisz do zeszytu wyrażenia. Zamiast napisz właściwą liczbę,
aby znak >, < , lub = był poprawnie użyty.
a) 49 < b) = 1060 c) 5002 <
100 > > 8888 10 000 >
205 = < 7006 3001 <
Czy umiesz Sprawdź!
10
1. Liczbę: dziewięć tysięcy osiemdziesiąt zapisz cyframi.
2. Przepisz do zeszytu i zamiast napisz odpowiedni znak: > lub

Czy umiesz Sprawdź!
1. Oblicz: a) 67 + 14 b) 32 + 45 c) 19 + 32 + 21
2. Przepisz i porównaj liczby lub sumy. Zamiast użyj odpowiedniego
znaku: >, < lub =.
a) 1201 1198 b) 35 + 62 40 + 62 c) 51 + 39 50 + 40
3. Podręcznik kosztuje 16 zł, zeszyt ćwiczeń 9 zł, a słownik
ortograficzny 22 zł. Czy kwota, którą trzeba zapłacić za te zakupy,
to więcej czy mniej niż 50 zł Zapisz to za pomocą znaku < lub >.
Odejmowanie liczb
Potrafimy wykonywać niektóre odejmowania na liczbach naturalnych.
Znak „–” oznaczający odejmowanie został wprowadzony w Niemczech
w 1489 r.
Sowa przypomina
23 – 7 = 16
Wynik odejmowania nazywamy różnicą.
16 – to różnica liczb 23 i 7
odjemna odjemnik różnica
Wynik odejmowania sprawdzamy za pomocą dodawania.
Odejmowanie i dodawanie to działania wzajemnie odwrotne.
35 – 18 = 17, 17 + 18 = 35
64 + 23 = 87, 87 – 23 = 64,
87 – 64 = 23
Dodawanie jest działaniem
odwrotnym do odejmowania.
Odejmowanie jest działaniem
odwrotnym do dodawania.
Różnica dwóch jednakowych liczb jest zawsze równa zeru.
24 – 24 = 0
Jeżeli od dowolnej liczby odejmiemy zero, to liczba się nie zmieni.
Wynik jest równy odjemnej.
14 – 0 = 14
17

Przykład 1
Obliczmy różnicę liczb 72 i 48.
Przyjrzyj się ilustracjom. Dane są dwie nierówne taśmy.
różnica
Jeżeli do obu taśm doszyjemy
takie same kawałki, różnica się
nie zmieni.
Jeżeli od obu taśm odetniemy po
tyle samo, różnica się nie zmieni.
różnica
różnica
Można więc ułatwić odejmowanie:
72 – 48 =
= (72 + 2) – (48 + 2) =
= 74 – 50 = 24
72 – 48 =
= (72 – 2) – (48 – 2) =
= 70 – 46 = 24
Przykład 2
W koszyku było 12 jabłek. Dzieci zjadły 6 jabłek, mama dołożyła
8 jabłek. Ile jabłek jest teraz w koszyku
wzięto 6
dołożono 8
6 + 2
8
Z rysunku widać, że liczba jabłek zwiększyła się o 2: 12 + 2 = 14
Odpowiedź. W koszyku jest teraz 14 jabłek.
18

Przykład 3
Robert kupił koszulę za 32 zł. Ile pieniędzy dał kasjerce, jeżeli
otrzymał 18 zł reszty
Rozwiązanie możemy zapisać tak:
– 32 = 18 lub a – 32 = 18 (zamiast kwadracika możemy napisać
literę)
– 32
18 + 32 = a
a = 18 + 32
a = 50
a
+ 32
Odpowiedź. Robert dał kasjerce 50 zł.
18
a Sprawdzenie. 50 – 32 = 18
Przykład 4
Basia dała kasjerce 20 zł i otrzymała 11 zł reszty. Ile kosztowały
zakupy
b
20 – b = 11
b = 20 – 11
b = 9
Odpowiedź. Zakupy kosztowały 9 zł.
Sprawdzenie. 20 – b 9 = 11
Przykład 5
Rafał miał 20 zł. Kupił owoce za 6 zł 50 gr, słodycze za 5 zł 84 gr
i masło za 3 zł 20 gr. Ile otrzymał reszty
Najpierw trzeba obliczyć, ile Rafał zapłacił za zakupy:
6 zł 50 gr + 5 zł 84 gr + 3 zł 20 gr =
= 14 zł 154 gr = 15 zł 54 gr
Ile reszty otrzymał Rafał
20 zł – 15 zł 54 gr =
= 19 zł + 100 gr – 15 zł 54 gr =
= 4 zł 46 gr
1 zł = 100 gr
154 gr = 100 gr + 54 gr = 1 zł 54 gr
14 zł 154 gr = 14 zł + 1 zł 54 gr
20 zł = 19 zł + 1 zł = 19 zł + 100 gr
Od złotówek odejmujemy złotówki,
od groszy – grosze.
Odpowiedź. Rafał otrzymał 4 zł 46 gr reszty.
19

1
2
3
4
Liczbę, od której odejmujemy nazywamy:
A. składnikiem B. różnicą C. odjemnikiem D. odjemną
Jeżeli odjemna i różnica równe są 145, to odjemnik jest równy:
A. 145 B. 0 C. 1 D. 290
Oblicz w pamięci:
a) 23 – 23 b) 34 – 19 c) 90 – 24
14 – 0 35 – 27 82 – 39
72 – 32 72 – 38 65 – 27
Oblicz w pamięci jak najprościej:
a) 50 – 16 + 16 b) 131 + 94 – 95 c) 100 – 77 + 77 – 65 + 65
82 – 12 + 10 167 – 84 + 94 60 – 48 + 50 – 38 + 40
90 – 26 + 30 75 – 10 + 12 – 2 150 – 52 + 55 – 62 + 65
Wskazówka.
62 – 27 + 30
Od taśmy długości 62 cm
odcięto 27 cm
Doszyto 30 cm
5
Jest godzina 15 00 . Ania przyszła do szkoły o godzinie 9 00 .
a) Ile godzin Ania jest w szkole
b) Za ile godzin będzie godzina 9 00 wieczorem
6
Dzieci pojechały na kolonie autokarem. Wyjechały o godzinie 8 00 ,
a do Zakopanego przyjechały o godzinie 15 00 . Kolacja była po
3 godzinach od przyjazdu. Ile godzin trwała podróż
O której godzinie była kolacja
7
Koloniści zebrali się na zbiórce
i stanęli tak, jak pokazano na rysunku.
Ilu było kolonistów Na każdy posiłek
przygotowywano 41 porcji dla wszystkich
osób: kolonistów i opiekunów. Ilu było
opiekunów
10 osób
16 osób
opiekunowie
10 osób
20

8
Robert waży 38 kg, a z plecakiem 44 kg. Ile waży plecak
9
Basia i Krysia ważą razem 63 kg 60 dag. Sama Basia
waży 28 kg 20 dag. Ile waży Krysia
10
Magda zrobiła zakupy za 31 zł 45 gr. Dała kasjerce 50 zł.
Ile reszty otrzymała
A. 29 zł 60 gr B. 18 zł 45 gr C. 18 zł 55 gr D. 9 zł
11
Marek kupił nabiał za 14 zł 30 gr, ryby za 24 zł 70 gr i owoce za 6 zł.
Ile otrzymał reszty ze 100 zł
+5 zł
– 8 zł
12
Zawartość skarbonki po wyjęciu 8 zł
i dołożeniu 5 zł będzie większa czy
mniejsza niż na początku O ile
35 zł
13
Beczka napełniona do połowy olejem ważyła 96 kg.
Gdy oleju wlano do pełna, beczka ważyła 180 kg.
Ile ważyła pusta beczka
96 kg 180 kg
14
Paulina rozwiązała zadania od numeru 10 do numeru 22. Ile zadań
rozwiązała
Wskazówka. Paulina nie rozwiązała zadań do numeru 9.
15
Asia przed snem zwykle czyta. W piątek przeczytała książkę od strony
78 do strony 132. Ile stron książki przeczytała
A. 53 B. 54 C. 55 D. 56
16
Przepisz działania. Zamiast lub litery napisz odpowiednią liczbę.
a) – 62 = 38 b) 93 – b = 38
– 30 = 102 130 – b = 70
c) 40 – a = 12
d – 37 = 58
d) 25 + c = 40
p + 47 = 82
21

A to ciekawe!
Za pomocą cyfr 1 i 8 można zapisać dwie liczby: 81 i 18. Są to
liczby lustrzane. Od większej odejmiemy mniejszą. Jeżeli różnica
będzie liczbą dwucyfrową, to tymi cyframi zapiszemy znów dwie
liczby, czyli otrzymamy nową parę liczb lustrzanych. Obliczymy ich
różnicę. Powtarzamy poprzednią czynność, aż wynik będzie liczbą
jednocyfrową.
81 – 18 Do obu liczb dodaj 2. Łatwiej obliczysz różnicę.
(81 + 2) – (18 + 2) = 63
63 – 36 Do obu liczb dodaj 4.
67 – 40 = 27
72 – 27 Do obu liczb dodaj 3.
75 – 30 = 45
54 – 45 = 9
Wybierz inną parę cyfr. Wykonaj opisane czynności. Czy też
otrzymasz jednocyfrową różnicę równą 9
Problem
Podaj przykład takiego odejmowania, aby różnica była równa:
a) 0 b) odjemnej c) odjemnikowi d) sumie tych liczb
Czy umiesz Sprawdź!
1. Oblicz:
a) 85 – 39 b) 65 – 18 c) 179 – 179 d) 26 + 14 – 15
2. Dorota kupiła bluzkę za 62 zł 50 gr i spódnicę za 77 zł 50 gr. Dała
kasjerce 150 zł. Ile zapłaciła za zakupy Ile otrzymała reszty
3. Oblicz nieznaną liczbę:
a) 14 + a = 54 b) 72 – d = 40
22

Mnożenie liczb
Znaku „×” jako mnożenia użyto w Anglii w 1631 r. Znak „·” (razy)
wprowadzono w Niemczech w 1698 r. Jako ostatni wprowadzono
znak „*” około 300 lat temu.
Sowa przypomina
4 · 6 = 24
czynnik czynnik iloczyn
Wynik mnożenia nazywamy iloczynem.
24 – to iloczyn liczb 4 i 6
Dodawanie jednakowych składników można zapisać w postaci
mnożenia, a mnożenie – w postaci dodawania jednakowych liczb.
4 3
3 + 3 + 3 + 3 = 4 3
3 + 3 + 3 + 3
W mnożeniu można zmieniać kolejność czynników.
3 5 = 15 5 3 = 15
3 5 = 5 3
Kolejność mnożonych liczb
(czynników) nie ma wpływu na wynik.
3 5 5 3
Jeżeli dowolną liczbę pomnożymy przez 1, to otrzymamy wynik
równy tej liczbie.
1 7 = 7 53 1 = 53
Jeżeli w mnożeniu jeden z czynników jest równy 0, to iloczyn także
jest równy zeru.
0 4 = 0 28 0 53 = 0 0 0 = 0 4 2 0 96 = 0
23

Sowa uczy
Czasami zapisujemy symbolicznie własności liczb.
a 1 = a a 0 = 0
W miejsce litery a można wpisać dowolną liczbę, np.
a a a 4 1 = 4 21 0 = 0
1 b 36 = b 36 0 b 52 = 0
Przykład 1
Karol biegał przez 6 dni w tygodniu po 3 km dziennie. Ile kilometrów
przebiegł Karol w ciągu 4 tygodni
I dzień II dzień III dzień IV dzień V dzień VI dzień
I tydzień
II tydzień
III tydzień
IV tydzień
24
Sposób I
Obliczamy, ile kilometrów
przebiega Karol w ciągu
jednego tygodnia:
6 · 3 = 18
Obliczamy, ile kilometrów
prze biega Karol w ciągu 4 tygodni:
4 · 18 = 72,
czyli 4 · (6 · 3) = 72
Sposób II
W obu przypadkach otrzymaliśmy taki sam
wynik: 72, czyli:
4 · (6 · 3) = (4 · 6) · 3
W mnożeniu możemy dowolnie łączyć czynniki.
Obliczamy, ile dni w ciągu
4 tygodni biega Karol:
4 · 6 = 24
Obliczamy, ile kilometrów
prze biega Karol w ciągu
4 tygodni:
24 · 3 = 72,
czyli (4 · 6) · 3 = 72
Działanie w nawiasie
wykonujemy
w pierwszej kolejności.

Przykład 2
Na dyskotekę przygotowano soki w kartonach. Soki ustawiono
w czterech rzędach po 10 kartonów soku pomarańczowego
i 3 kartony soku winogronowego. Ile kartonów soku przygotowano
4 · (10 + 3)
4 · 10 4 · 3
Obliczamy, ile jest kartonów soku:
pomarańczowego 4 · 10 = 40
winogronowego 4 · 3 = 12
razem 40 + 12 = 52
Rozwiązanie możemy zapisać na dwa sposoby:
4 · 10 + 4 · 3 = 40 + 12 = 52 lub 4 · (10 + 3) = 52
Zwróćmy uwagę, że:
4 · (10 + 3) = 4 · 10 + 4 · 3 = 40 + 12 = 52
Odpowiedź. Przygotowano 52 kartony soku.
Przykład 3
Szkoła zamówiła dla swoich najmłodszych
uczniów plakietki odblaskowe na kurtki.
Zamówione plakietki przysłano w czterech
opakowaniach po 28 sztuk w każdym.
Ile przysłano razem takich plakietek
Sposób I
Liczbę 28 można zapisać
w postaci sumy 20 + 8, więc:
4 · 28 = 4 · (20 + 8) =
= 4 · 20 + 4 · 8 = 112
80 32
Sposób II
Liczbę 28 można zapisać
w postaci różnicy 30 – 2, więc:
4 · 28 = 4 · (30 – 2) =
= 4 · 30 – 4 · 2 = 112
120 8
Odpowiedź. Szkoła otrzymała 112 plakietek odblaskowych.
25

Figury geometryczne, część 2
Prostokąt
Sowa uczy
Kiedy będzie świeciło słońce, umieść zeszyt w jego promieniach.
Sprawdź, jaki kształt może mieć cień zeszytu na ścianie. Artur tak
ustawiał zeszyt, że na ścianie pojawiły się takie cienie:
Takie figury to czworokąty: mają 4 boki i 4 kąty. Znamy już dwie
z otrzymanych figur.
To jest prostokąt.
Wierzchołki oznaczamy wielkimi literami
alfabetu, np. K, L, M, N.
Długość i szerokość – to wymiary prostokąta.
Przeciwległe boki prostokąta są równoległe.
NK ML, NM KL
Sąsiednie boki prostokąta są prostopadłe.
KL KN, KL LM, NM ML, NM NK
Prostokąt o równych bokach to kwadrat.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA|
Przykład 1
Narysujmy prostokąt ABCD o różnej długości sąsiednich boków
i kwadrat KLMN. Zbadajmy własności odcinków łączących
przeciwległe wierzchołki.
132

Rysując figury, zazwyczaj nie zaznaczamy ich wnętrza.
Odcinki łączące przeciwległe wierzchołki prostokąta to przekątne.
Przekątne prostokąta to AC i BD, przekątne kwadratu to KM i LN.
Przekątne są równej długości: |AC| = |BD|, |KM| = |LN|
Punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na połowy:
|AS| = |SC| = |BS| = |SD|
|KO| = |OM| = |LO| = |ON|
Kąty między przekątnymi:

Przykład 3
Narysujmy kwadrat KLMN, którego przekątne mają 4 cm długości.
Skorzystamy z własności przekątnych kwadratu:
– punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na połowy,
– przekątne są prostopadłe.
1. Rysujemy odcinek o długości
|KM| = 4 cm i znajdujemy
jego środek O.
2. Przez punkt O prowadzimy
prostą p prostopadłą do odcinka
KM.
3. Na prostej p, od punktu O,
odmierzamy odcinki o długości
2 cm. Powstają punkty N i L.
4. Łączymy punkty K, L, M, N.
Otrzymana figura to kwadrat
KLMN.
1
Znajdź wokół siebie trzy przedmioty, które mają kształt prostokąta.
134

2
Ile prostokątów jest na tym rysunku
Wypisz ich nazwy. Czy są wśród nich
kwadraty
Korzystając z rysunków, rozwiąż zadania 3 – 5.
3
4
5
6
7
Przekątna prostokąta KORA to odcinek:
A. KO B. OR C. RK D. AS
Fałszywe zdanie to:
A. Przekątne prostokąta są równe.
B. LN UA
C. Kąt LOU jest kątem ostrym.
D. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy.
Wymień 3 pary odcinków równoległych i 4 pary odcinków
prostopadłych.
Narysuj prostokąt WILK, którego jeden bok ma 2 cm, a drugi jest
3 razy dłuższy. Zaznacz kolorem boki równoległe, każdą parę innym.
Narysuj prostokąt ZNAK, którego jeden bok ma 6 cm, a drugi jest
o 2 cm dłuższy.
a) Narysuj i zmierz przekątne prostokąta.
b) Podaj nazwę jednego kąta ostrego, jednego prostego i jednego
rozwartego.
c) Zaznacz kolorem jedną parę boków prostopadłych.
135

8
9
10
11
Narysuj kwadrat o boku 5 cm i jego przekątne. Jakie kąty tworzą
przekątne
Narysuj kwadrat, którego przekątna ma 6 cm.
Narysuj prostokąt, którego przekątne mają po 4 cm, a kąt ostry
między przekątnymi ma miarę 60°.
Narysuj dwie przecinające się proste, a następnie narysuj taki
prostokąt, żeby jego przekątne leżały na narysowanych prostych.
Ile takich prostokątów możesz narysować Narysuj prostokąt,
w którym jedna z przekątnych jest równa 8 cm. Ile możesz
narysować takich prostokątów Odpowiedź uzasadnij.
Problem
Weź 12 jednakowych patyczków i ułóż z nich
figurę jak na rysunku.
a) Ile jest kwadratów Wskaż te kwadraty.
b) Które 2 patyczki trzeba zdjąć, aby otrzymać
2 kwadraty, a które, aby otrzymać 3 kwadraty
c) Czy można usunąć 1 patyczek, aby otrzymać
3 kwadraty
Czy umiesz Sprawdź!
1. Narysuj prostokąt, którego jeden bok ma 6 cm, a drugi jest 2 razy
krótszy.
2. Narysuj prostokąt, którego przekątne są prostopadłe. Co to za
prostokąt Napisz jedno zdanie na temat tego prostokąta.
3. Prawdziwe zdanie to:
A. Każdy prostokąt jest kwadratem.
B. Prostokąt ma dwie pary boków równoległych.
C. Przekątne kwadratu są różnej długości.
D. Sąsiednie boki prostokąta są równoległe.
136

Obwód prostokąta
Sowa przypomina
Obwodem wielokąta nazywamy sumę długości wszystkich jej boków.
Obliczanie obwodu prostokąta
Sposób I
Obwód = 3 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm = 10 cm
Sposób II
Obwód = 2 · (3 cm + 2 cm) = 10 cm
Sposób III
Obwód = 2 · 3 cm + 2 · 2 cm = 10 cm
Obliczanie obwodu kwadratu
Sposób I
Obwód = 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 8 cm
Sposób II
Obwód = 4 · 2 cm = 8 cm
Przykład 1
Michał reperował stolik na działkę. Blat stolika miał kształt kwadratu.
Michał wymienił taśmę, którą oklejone były jego brzegi. Zużył 2 m
taśmy. Jaką długość miał bok stolika
Kwadrat ma wszystkie boki równe, więc bok kwadratu jest 4 razy
krótszy od obwodu.
2 m = 200 cm
Można zapisać: 4 · = 200 cm
Aby znaleźć liczbę, którą należy wpisać w okienko, wykonujemy
dzielenie:
200 cm : 4 = 50 cm
Odpowiedź. Bok stolika ma 50 cm.
137

Pole prostokąta
Sowa uczy
Przyjrzyjmy się figurom:
Każda figura składa się z takich samych
części, ułożonych w inny sposób.
Mówimy, że te figury mają równe pola.
A może potrafisz ułożyć jeszcze inne figury
o takim samym polu jak prostokąt ABCD
Przykład 1
Dla klas czwartych zorganizowano spotkanie w stołówce. Uczniowie
ustawili stoliki w różny sposób:
142
W zależności od ustawienia stolików mogło usiąść przy nich więcej
lub mniej uczniów, czyli prostokąty utworzone ze stolików miały różne
obwody. Zauważmy jednak, że wszystkie duże prostokąty zostały
ustawione z tej samej liczby stolików. To znaczy, że w każdym dużym
prostokącie mieści się 8 małych prostokątów (stolików).
Mówimy, że pola tych trzech prostokątów są równe.
W jaki jeszcze inny sposób można byłoby ustawić 8 stolików
Wytnij 8 jedna kowych prostokątów z papieru. Ułóż z nich prostokąty
o różnych wymiarach.

Przykład 2
Podłogę łazienki trzeba wyłożyć kwadratowymi płytkami terakoty.
Ułożono już płytki wzdłuż dwóch boków podłogi. Ile takich płytek
trzeba zużyć na wyłożenie całej podłogi
Wykonajmy rysunek
pomocniczy:
W długości łazienki mieści się 8 płytek, a w szerokości 6. Będzie więc
6 rzędów po 8 płytek w każdym, czyli 8 · 6 = 48 lub 6 · 8 = 48.
Liczba kwadratów jest polem podłogi.
Pole podłogi, wyrażone za pomocą podłogowych płytek kwadratowych,
jest równe 48.
Odpowiedź. Na wyłożenie podłogi potrzeba 48 płytek.
Przykład 3
Zuzia wycięła z kartonu kwadrat o boku 4 cm.
Narysowała na nim ulubionego misia. Pocięła go na
kwadraty o boku 1 cm i zrobiła puzzle. Jakie jest pole
kartonu, z którego Zuzia zrobiła puzzle
Zuzia pocięła karton na kwadraty o boku 1 cm.
Pole kartonu zmierzymy więc kwadratem o boku 1 cm.
Wzdłuż jednego boku kwadratu można ułożyć 4 kwadraty o boku 1 cm,
wzdłuż drugiego też 4. Wszystkich kwadratów jest 4 · 4 = 4 2 = 16.
Puzzle składają się z 16 kwadratów o boku 1 cm.
Pole kwadratu o boku 1 cm jest równe 1 cm 2 .
1 cm 2 czytamy: 1 centymetr kwadratowy
1 cm 2 jest jednostką do mierzenia pola.
Odpowiedź. Pole kartonu jest równe 16 cm 2 .
143

Przykład 4
Poznajmy jednostki pola.
Aby zmierzyć pole, trzeba wybrać odpowiednią jednostkę
w zależności od wielkości obiektu.
Pole kwadratu o boku 1 cm jest równe 1 cm 2 .
Kwadrat o boku 1 mm ma pole 1 mm 2 .
1 cm 2 = 10 · 10 mm 2 = 100 mm 2
Większą jednostką pola jest 1 dm 2 :
Kwadrat o boku 1 dm ma pole 1 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2
W życiu posługujemy się też większymi jednostkami:
1 m 2 pole kwadratu o boku 1 m
1 ar (1 a) pole kwadratu o boku 10 m
1 hektar (1 ha) pole kwadratu o boku 100 m
1 km 2 pole kwadratu o boku 1000 m
144
W zeszycie nie można narysować takich kwadratów. Na podłodze
w klasie możesz narysować 1 m 2 . Spróbuj z kolegami wyznaczyć
na boisku prostokąt o polu 1 a.

Na rysunkach pomocniczych przedstawione są zależności między
jednostkami pola. Zwróć uwagę, że w rzeczywistości długość boku
kolejnego kwadratu jest 10 razy dłuższa niż bok poprzedniego
kwadratu.
1 km 2 = 100 ha =
= 10 000 a =
1 ha = 100 a =
1 a = 100 m 2 =10 000 m 2 =1 000 000 m 2
1 m 2 Jednostki długości Jednostki pola
1 a
1 ha
1 cm = 10 mm
1 dm = 10 cm
1 dm = 100 mm
1 m = 10 dm
1 m = 100 cm
1 cm 2 = 10 · 10 mm 2 = 100 mm 2
1 dm 2 = 10 · 10 cm 2 = 100 cm 2
1 dm 2 = 100 · 100 mm 2 = 10 000 mm 2
1 m 2 = 10 · 10 dm 2 = 100 dm 2
1 m 2 = 100 · 100 cm 2 = 10 000 cm 2
Przykład 5
Pan Bogdan chce zasiać trawę przed domem. Plac
przed domem ma kształt prostokąta o wymiarach 12 m
i 6 m. Jakie jest pole terenu przeznaczonego na trawnik
Podzielmy teren przed domem na kwadraty o boku 1 m. Kwadrat
o boku 1 m jest w tym przypadku kwadratem jednostkowym. Jego
pole jest równe 1 m 2 .
Uwaga. Literą P zastąpimy wyraz „pole”.
Otrzymamy 6 rzędów po 12 kwadratów jednostkowych w każdym
rzędzie: P = 6 · 12 = 72,
lub otrzymamy 12 rzędów po 6 kwadratów jednostkowych w każdym
rzędzie: P = 12 · 6 = 72.
Odpowiedź. Trawnik zajmie 72 m 2 .
Pole prostokąta obliczamy, mnożąc długość prostokąta przez jego
szerokość.
145

Przykład 6
Podłoga ma wymiary 3 m i 4 m. Ile trzeba zapłacić za wykładzinę
pokrywającą całą podłogę, jeżeli 1 m 2 kosztuje 30 zł
Trzeba obliczyć, ile metrów kwadratowych ma podłoga:
Sposób I
Sposób II
P = 3 · 4 m 2 = 12 m 2 P = 4 · 3 m 2 = 12 m 2
Koszt wykładziny to: 12 · 30 zł = 360 zł
Odpowiedź. Za wykładzinę trzeba zapłacić 360 zł.
1
Ile kwadratów jednostkowych (kratek) zasłaniają prostokąty
a)
b) c) d)
e)
f) g)
2
3
4
146
Narysuj prostokąty o podanych wymiarach i oblicz ich pola:
a) 5 cm i 3 cm b) 6 cm i 6 cm c) 4 cm i 8 cm
Plac zabaw dla dzieci ma kształt kwadratu o boku 25 m. Jakie jest
pole tego placu Czy to jest mniej, czy więcej niż 6 arów
Boisko szkolne ma wymiary 100 m i 40 m. Ile metrów kwadratowych
zajmuje to boisko Ile to arów

5
6
Państwo Śliwińscy kupili mieszkanie,
którego plan przedstawiono na rysunku.
Które zdanie jest fałszywe
A. W pomieszczeniach 1 i 3 podłogi mają
takie same pola.
B. Najmniejsze pole ma podłoga
w pomieszczeniu 1.
C. Największe pole ma podłoga
w pomieszczeniu 5.
D. Takie same pola mają podłogi w pomieszczeniach 3 i 4 .
Korytarz ma 12 m długości, a szerokość jest 4 razy krótsza.
Ile m 2 wykładziny potrzeba do jego wyłożenia
Korzystając z poniższego ogłoszenia, rozwiąż zadania 7– 9.
Sprzedam 4 działki. Każda ma kształt prostokąta. Wymiary działek:
I – 30 m i 35 m, II – 65 m i 35 m, III – 35 m i 35 m, IV – 100 m i 35 m.
Działki powyżej 20 arów są po 65 zł za 1 m 2 , a pozostałe
po 100 zł za 1 m 2 .
7
8
9
10
11
Oblicz powierzchnię każdej działki.
Działki o powierzchni większej niż 2000 m 2 to działki:
A. I i III B. II i IV C. tylko IV D. I i IV
Za którą działkę trzeba zapłacić więcej – za drugą czy trzecią
i o ile więcej
Pokój ma wymiary 4 m i 3 m. Ile trzeba zapłacić za ułożenie parkietu
w tym pokoju, jeżeli 1 m 2 klepki podłogowej kosztuje 52 zł, a ułożenie
1 m 2 podłogi kosztuje 18 zł
Zamień na:
a) metry kwadratowe: 2 a, 3 ha b) ary: 500 m 2 , 2 ha
147

A to ciekawe!
Bardzo ciekawą grą jest układanka chińska. Kwadrat rozcina się na
7 części, a następnie układa się z nich różne figury, wykorzystując
za każdym razem wszystkie części. Na przykład mogą to być takie
figury:
Narysuj kwadrat dowolnej wielkości na osobnej kartce i go wytnij.
Podziel go na wyznaczone figury i ułóż inne figury o tym samym polu.
Czy umiesz Sprawdź!
1. Narysuj prostokąt o bokach 2 cm i 6 cm. Oblicz pole tego
prostokąta.
2. Pani Danuta przygotowała pod uprawę lawendy pole w kształcie
kwadratu o boku 26 m. Ile m 2 ma pole, na którym pani Danuta
posadzi lawendę
148
3. Co jest większe i o ile: 250 m 2 czy 25 a

Zadania utrwalające
1
2
Narysuj prostokąt o bokach równych 12 cm i 5 cm. Oblicz jego
obwód. Następnie narysuj przekątne tego prostokąta i zmierz ich
długości.
Wypisz nazwy trzech promieni, trzech cięciw
i dwóch średnic.
3
Ile prostokątów widzisz na rysunku Czy są
wśród nich kwadraty Wymień nazwy
prostokątów.
4
5
6
7
8
9
Bok kwadratowej działki ma długość 20 m. Jakie jest pole tej działki
Jedna działka ma kształt kwadratu o boku 34 m, a druga ma kształt
prostokąta o bokach 25 m i 42 m. Na ogrodzenie której działki
potrzeba więcej metrów bieżących siatki i o ile więcej
Obwód prostokąta ma 30 dm. Oblicz
długości boków tego prostokąta, jeśli wiesz,
że jeden bok jest 4 razy krótszy od drugiego.
Basen ma kształt prostokąta. Jeden z jego boków ma 12 m. Obwód
basenu wynosi 74 m. Podaj drugi wymiar basenu.
Obwód jednego kwadratu jest równy 348 cm, a obwód drugiego
kwadratu jest 3 razy mniejszy. Oblicz długości boków obu kwadratów
i ich pola.
Kartka zeszytu ma wymiary 14 cm i 21 cm. Ile cm 2 zająłby prostokąt
ułożony ze wszystkich kartek zeszytu 32-kartkowego
153

10
11
12
Zamień na:
a) centymetry kwadratowe (cm 2 ): 600 mm 2 , 2 dm 2 , 4 m 2 , 1 m 2 12 cm 2
b) metry kwadratowe (m 2 ): 500 dm 2 , 2 a, 4 ha, 30 000 cm 2
c) hektary (ha): 7 km 2 , 800 a, 50 000 m 2 , 2 km 2 4 ha
Rodzice Karoliny kupili 4 m wykładziny podłogowej o szerokości 2 m,
płacąc 24 zł za 1 m 2 . Rodzice Julii kupili 3 m wykładziny o szerokości
3 m po 45 zł za 1 m 2 . Kto zapłacił więcej za wykładzinę i o ile więcej
Mały obrazek ma wymiary 2 dm i 30 cm, a duży obraz ma długość
i szerokość 3 razy większą. Oblicz, ile trzeba zapłacić za szkło do tych
dwóch obrazów, jeżeli 1 dm 2 szkła kosztuje 30 gr.
Sprawdź siebie
1
Nieprawdziwa informacja jest napisana pod rysunkiem:
A. B. C. D.
AC – to przekątna
prostokąta
A, B, C, D – to
wierzchołki
prostokąta

4
5
6
Długość prostokąta jest równa 3 dm, a szerokość jest 5 razy mniejsza.
Pole tego prostokąta jest równe:
A. 15 dm 2 B. 180 cm 2 C. 150 cm 2 D. 18 dm 2
Fałszywe zdanie to:
A. Jeżeli boki prostokąta mają długość 8 cm i 6 cm, to jego pole jest równe
48 cm 2 , a obwód 28 cm.
B. Jeżeli pole prostokąta jest równe 28 cm 2 , a jego długość 7 cm,
to szerokość tego prostokąta ma długość 4 cm.
C. Jeżeli boki prostokąta mają długości 5 dm i 3 cm, to jego pole jest równe
150 cm 2 .
D. Obwód prostokąta o bokach 2 m i 7 dm jest równy 54 m.
Nieprawdziwa informacja to:
A. Koło o środ ku S i promieniu 1 cm. B. Okrąg o środku O i średnicy
20 mm.
C. Najdłuższa cięciwa tego okręgu
ma długość 1 cm.
D. W kole zazna czono środek,
promień, cięci wę i średnicę.
7
Który z okręgów ma promień równy 15 mm
A. B. C. D.
155

8
Fałszywe zdanie to:
A. To jest okrąg. B. Odcinek AB jest promieniem
koła o środku w punkcie A.
C. Średnica jest najdłuższą cięciwą.
Przechodzi ona przez środek
koła.
D. Cięciwa AB jest średnicą koła
o środku w punkcie O.
9
Jaką długość ma przekątna kwadratu
A. 3 cm
B. 6 cm
C. 24 cm
D. nie można tego obliczyć
|SA| = 15 mm
10
Patrząc na rysunek, określ, które zdanie
jest prawdziwe.
A. BD jest średnicą okręgu.
B. DC jest promieniem okręgu.
C. Najdłuższą cięciwą jest AC.
D. SC i SD to odcinki różnej długości.
156