INTEGRÁCIA POZNATKOV Z MATEMATIKY A FYZIKY – ZÁKLAD ...

152
Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 2007
INTEGRÁCIA POZNATKOV Z MATEMATIKY A FYZIKY – ZÁKLAD
MEDZIPREDMETOVÝCH VZŤAHOV
Dana Országhová
Abstract
The quality of education and its measurement becomes more important task in our circumstances at each
level of education – elementary, secondary and university education. Nowadays university education has
been going through various changes. This process of transformation of education is associated with the
changes in the educational content, in the forms of education and in the ways of knowledge evaluation. In
the paper we deal with the educational content from the field of mathematics and physics which is
necessary for students of the Faculty of Agricultural Engineering of the Slovak University of Agriculture
in Nitra. The proper joint of information and communication technologies, mathematical theory and
solving of applied tasks in the teaching of mathematics and physics improves the quality of university
education and from interdisciplinary relationship point of view develops the students’ abilities to obtain
new complex knowledge.
Key words: university education, mathematics, physics, applied tasks, interdisciplinary relations
Úvod
Obsah a kvalita vzdelávania sa v súčasnosti stávajú diskutovanými otázkami spoločnosti na všetkých
stupňoch vzdelávania. Výnimkou nie je ani obsah a kvalita vysokoškolského vzdelávania, ktoré je
dôležitou súčasťou celoživotného vzdelávania. Významným faktorom tohto stavu je explózia informácií
prostredníctvom informačných technológií smerom k jedincovi - členovi informačnej spoločnosti. Pre
vzdelávaných je škola nielen jedným zo zdrojov informácií, ale prostredníctvom vzdelávajúcich
poskytuje škola vhodné nástroje (získanie zručností a ovládanie teoretických metód), ktoré študentom
pomôžu poskytované informácie efektívnym spôsobom vytriediť, spracovať a správne aplikovať.
Dôležitým cieľom výučby matematiky na všetkých fakultách Slovenskej poľnohospodárskej univerzity
(SPU) v Nitre je priblížiť študentom základné poznatky z vyššej matematiky a poukázať aj na možnosti
aplikovania matematického aparátu v ďalších vyučovaných odborných predmetoch a v praxi. Práve z
pohľadu aplikácie matematických metód majú predmety matematika a fyzika mnoho spoločných bodov.
Fyzika je vednou disciplínou, kde matematika napomáha k ucelenejšiemu pohľadu na rôzne fyzikálne
javy v prírode. Matematika a fyzika sú vedné disciplíny, ktoré majú históriu navzájom pospájanú
významnými osobnosťami a ich vedeckým bádaním. Využitie matematiky vo fyzike má korene už v
dávnej minulosti a rozvoj matematiky bol ovplyvňovaný aj riešením fyzikálnych problémov. Študent,
ktorý chce úspešne zvládnuť učivo fyziky, musí ovládať používaný matematický aparát. A naopak, pri
štúdiu matematiky je vhodnou motiváciou pre študentov zaradenie aplikácií z fyziky do výučby
matematiky.
Fyzika využíva poznatky z matematiky:
na presné vyjadrovanie fyzikálnych zákonov
na zjednodušenie formulácie a vyjadrenia fyzikálnych zákonov
na získanie predstavy o veľkosti fyzikálnych veličín
na riešenie fyzikálnych úloh
matematika poskytuje fyzike symbolický jazyk a i. [3, 5]

153
Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 2007
Na väčšine fakúlt s technickým a biologickým zameraním patrí matematika medzi predmety všeobecného
teoretického základu. Keďže ide o vysokoškolské štúdium, dôraz je kladený predovšetkým na reálnosť
a využiteľnosť získaných poznatkov v technickej praxi, kde sa častokrát stretávame s tým, že problémy
nie sú „statické“, ale „dynamické“. To sa prejavuje i v používanom matematickom aparáte. Naviac,
technické a biologické systémy sa vyznačujú určitou nehomogenitou vlastností a častými zmenami
stavov, v ktorých sa systém nachádza. Pre ich popis je preto nevyhnutné, aby študenti mali aspoň
základné vedomosti z diferenciálneho a integrálneho počtu, ktorý možno rozdeliť do dvoch konceptov.
Prvým z konceptov je diferenciálny počet, ktorý študuje rýchlosť zmeny, ktorá je zvyčajne vyjadrená
smernicou krivky a umožňuje hľadanie okamžitej rýchlosti zmeny jednej veličiny vzhľadom na inú.
Druhým konceptom je integrálny počet, ktorý študuje akumuláciu veličín, napr. plochy pod krivkou,
prejdenú lineárnu vzdialenosť a pod. [1].
Materiál a metódy
Katedra matematiky SPU v Nitre sa vo svojej výskumnej činnosti orientuje aj na problematiku teórie
vyučovania matematiky. Konkrétne sa venujeme uplatňovaniu informačných a komunikačných
technológií (IKT) vo vyučovaní matematiky a zaoberáme sa aplikáciami matematických metód v ďalších
predmetoch, vyučovaných odbornými katedrami. Možnosti využitia IKT v kontaktnej výučbe, na
cvičeniach, v samostatnom štúdiu a na hodnotenie vedomostí študentov sú širokospektrálne. Môžeme
uviesť v súčasnosti riešený inštitucionálny projekt Katedry matematiky Inovácia modelu vyučovania
matematických predmetov na SPU v Nitre (int. č. č. FEM/12/06, riešenie v r. 2006-2008). V príspevku je
použitý materiál, ktorý sme získali pri riešení výskumných projektov Katedry matematiky a vychádzame
aj zo skúseností získaných vo výučbe povinných matematických predmetov v 1. ročníku na SPU v Nitre.
Na Mechanizačnej fakulte SPU v Nitre je matematika zaradená do všetkých akreditovaných študijných
programov ako povinný predmet v 1. ročníku štúdia. Prehľad študijných programov bakalárskeho štúdia
je uvedený v tab. č. 1.
PREHĽAD ŠTUDIJNÝCH PROGRAMOV BAKALÁRSKEHO ŠTÚDIA*
MECHANIZAČNEJ FAKULTY SPU V NITRE
Manažérstvo kvality produkcie
Poľnohospodárska technika
Technológia a technika spracovania
poľnohospodárskych produktov
Prevádzková bezpečnosť techniky
Poľnohospodárska technika a komerčné
činnosti
Prevádzka dopravných a manipulačných
strojov
Technika pre potravinársku výrobu
* 1. stupeň vysokoškolského štúdia – 6 semestrov
Tab. 1: Študijné programy bakalárskeho štúdia na Mechanizačnej fakulte SPU v Nitre
Výsledky a diskusia
Vplyv IKT vo výučbe matematických predmetov sa prejavuje v týchto oblastiach:
kontaktná výučba (prednášky, cvičenia, tutoriály)
individuálne štúdium (seminárne práce, projekty)

154
Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 2007
príprava učebných a študijných materiálov
racionalizácia výpočtov, grafická interpretácia matematických úloh
nové metódy hodnotenia vedomostí
priama a nepriama komunikácia medzi pedagógom a študentom
Systém preverovania a hodnotenia vedomostí
Preverovanie a hodnotenie vedomostí je dôležitou fázou vzdelávacieho procesu. Zisťovanie úrovne
vedomostí formou testu je nielen výsledkom, ale aj prostriedkom poznania. Pri samotnom procese
hodnotenia sa študent dozvie, kde urobil chyby, prípadne, ktorým témam sa má venovať naďalej. Snahou
je, aby študenti boli na skúšku z matematiky čo najlepšie pripravení.
Študenti Mechanizačnej fakulty majú matematické predmety z matematiky v prvom ročníku štúdia, ktorý
je dôležitý aj z pohľadu adaptácie študentov na nový – vysokoškolský systém štúdia. V prvom semestri
majú predmet Matematika I a v druhom semestri predmet Matematika II. Obidva predmety majú rovnakú
týždennú výmeru hodín: 2 hodiny prednášok a 2 hodiny cvičení a končia sa skúškou. V každom semestri
píšu študenti v rámci cvičení dve kontrolné písomné práce, každá z nich je hodnotená 15 bodmi. Počas
semestra dostanú študenti aj seminárnu prácu a za jej bezchybné vypracovanie môžu získať 10 bodov.
Teda celkovo môže študent získať počas semestra až 40 bodov. Na skúške študenti píšu písomnú prácu,
ktorá obsahuje príklady na výpočet a jednu teoretickú úlohu, ktorou môže byť napríklad: napísať
definíciu alebo vetu, prípadne odvodiť vzťah alebo niektorý vzorec, ktoré boli uvedené na prednáškach.
Z tejto písomnej práce môžu študenti získať až 60 bodov. K týmto bodom sa pripočítajú body získané
počas semestra, takže maximálny súčet bodov je 100, za ktoré získa študent známku podľa platnej
klasifikačnej stupnice ECTS. Informácie o tomto systéme preverovania a hodnotenia vedomostí dostanú
študenti na začiatku každého semestra. Študenti teda vedia, že systematické získavanie vedomostí
z matematiky počas celého semestra je predpokladom pre úspešné hodnotenie na skúške [6].
Jednou z možností, ako podporiť aktivitu študentov v príprave na písomné práce, je voľný prístup
k testovacej databáze, ktorá bola vytvorená pre študentov SPU a je prístupná na www stránke
https: //testy.uniag.sk/matematika. Každému študentovi sa z databázy vygeneruje test, ktorý obsahuje 10
otázok, pričom za každú správnu odpoveď je možné získať dva body. Testy boli vyvážené z hľadiska
obtiažnosti, otázky boli vybrané z učiva, ktoré bolo predmetom výučby v zimnom semestri. Úlohou testu
bolo preveriť základné teoretické poznatky z matematiky a riešenie jednoduchých príkladov. Úlohy v
teste boli vyberané z nasledujúcich tematických okruhov:
okruh č.1 – Lineárny vektorový priestor, matice, determinanty, sústavy rovníc
okruh č.2 – Limita funkcie
okruh č.3 – Postupnosti, funkcia jednej reálnej premennej
okruh č.3 – Derivácia funkcie, aplikácie derivácií
okruh č.4 – Neurčitý integrál, funkcia dvoch premenných [4]
Matematika a fyzika v univerzitnom vzdelávaní - vzťahy
Súčasná výmera výučby uvedených predmetov v rozsahu 2/2 (prednáška/cvičenie) je výsledkom trendu
znižovať rozsah kontaktnej výučby na všetkých fakultách a presunúť aktivitu v samostatnom štúdiu na
stranu študentov. Znižovanie výmery hodín spôsobuje, že nie je dostatok vyučovacieho času na teoretické
zdôvodnenie matematických metód najmä tam, kde sa následne vyžadujú aplikácie. Samostatné štúdium
matematiky je náročné, prejavujú sa určité problémy najmä u študentov 1. ročníka, často prichádza k

155
Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 2007
formálnemu získavaniu vedomostí bez schopnosti aplikovať matematické poznatky. Zaradením
aplikovaných úloh do vyučovania môžeme zvýšiť záujem študentov o štúdium matematických metód.
Štúdium matematických predmetov má nezastupiteľné miesto aj v príprave študentov Mechanizačnej
fakulty SPU v Nitre, ktorí nájdu svoje uplatnenie v technickom zabezpečení poľnohospodárskej výroby,
prípadne v iných príbuzných oblastiach. V tabuľke č. 2 je stručne uvedený prehľad matematického
aparátu, ktorý má uplatnenie vo výučbe ďalších predmetov na MF SPU.
PREHĽAD MATEMATICKÉHO APARÁTU VYUŽÍVANÉHO VO
VYUČOVANÍ FYZIKY A TECHNICKY ZAMERANÝCH PREDMETOCH
NA SPU V NITRE
Mechanizačná fakulta
diferenciálny počet (derivácia, parciálna
derivácia, derivácie vyšších rádov,
fyzikálny význam derivácie, diferenciál)
diferenciálne rovnice (1. a 2. rádu )
integrálny počet (neurčitý integrál,
určitý integrál, fyzikálny význam
integrálu, dvojný a trojný integrál)
vektorový počet (pojem vektora,
operácie s vektormi, použitie operátorov
vektorového počtu)
komplexné aplikácie (súhrnné
používanie diferenciálneho,
integrálneho a vektorového počtu)
FAPZ, FBP, FEŠRR, FZKI
derivácia, parciálna derivácia, fyzikálny
význam derivácie
určitý a neurčitý integrál
vektorový počet
komplexné aplikácie
FAPZ - Fakulta agrobiológie a potravinových zdrojov, FBP - Fakulta biotechnológie a potravinárstva,
FEŠRR - Fakulta európskych štúdií a regionálneho rozvoja, FZKI - Fakulta záhradného a krajinného
inžinierstva
Tab. 2: Prehľad použitia matematického aparátu na jednotlivých fakultách SPU v Nitre [1]
Ukážky použitia určitého integrálu a nevlastného integrálu
V nasledujúcej časti uvedieme ukážky aplikovaných úloh k základným preberaným tematickým celkom:
určitý integrál
nevlastný integrál
Úloha 1. Vypočítajme dĺžku oblúka asteroidy, ktorá je daná parametrickými rovnicami
3
ψ ( t) : y = asin
t , a 0,
t ∈< 0, > .
Riešenie:
Vypočítame derivácie
ϕ′ ( t)
= ( a cos
3
>
π
2
t)
′ = −3a
⋅cos
2
t ⋅sin
t
3
ϕ ( t) : x = a cos t ,

156
Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 2007
ψ′ ( t)
= ( asin
3
t)
′ = 3a
⋅sin
2
t ⋅cost
Derivácie ϕ′ ( t),
ψ′ ( t)
sú spojité na intervale < 0 ,
π
> , teda na výpočet dĺžky l oblúka asteroidy
2
použijeme vzťah
l =
l =
β
∫
α
π
2
∫
0
[ ϕ′ ( t)]
2
+ [ ψ′ ( t)]
2
2
2
dt
2
2
[ −3a
cos t ⋅sin
t]
+ [3a
sin t ⋅cost]
dt = 3 cos t ⋅sin
+ sin t ⋅cos
tdt
=
π
π
2
2
3a = 3 a∫ cost
⋅sin
t dt = ∫ sin 2t
dt =
2
0
0
⎡
⎢ −
⎣
π
2
a∫
0
3a
⎤
cos(2 t )
4 ⎥
⎦
π
2
0
4
3a
= 2
2
4
2
Úloha 2. Pre prúd i v elektrickom obvode platí
vznikne v obvode počas jedného impulzu.
Riešenie:
Máme vypočítať nevlastný integrál
Q =
=
∞
∫
0
−t
−t
4t
⋅ e dt = lim ∫ 4t
⋅e
dt =
b→∞
b
b→∞
0
−t
−t
b
t ⋅e
− 4e
] 0
b→∞
v′
= e
i
−t
∞
−t
= 4 t ⋅e
. Vypočítajme celkový náboj Q = ∫
0
u = 4t
⇒ u′
= 4
⇒ v = −e
−b
−t
−b
=
−0 −0
lim ([ − 4
) = lim ([ −4⋅b
⋅e
− 4⋅e
] −[4⋅0⋅e
− 4⋅e
]) = 4
i dt , ktorý
Ukážky úloh sú použité zo študijnej literatúry pre študentov pripravujúcich sa v technicky zameraných
odboroch [2].
Riešením aplikovaných úloh:
zvyšujeme motiváciu študentov študovať aj teoretické metódy z matematiky
podporujeme a rozvíjame tvorivosť študentov
demonštrujeme spojenie teórie a jej praktického použitia
posilňujeme trvácnosť vedomostí
rozvíjame a upevňujeme medzipredmetové vzťahy
vytvárame podmienky pre zvyšovanie kvality vzdelávania
Záver
Kvalita vysokoškolského vzdelávania je v súčasnom období často diskutovanou témou. Vzdelávanie
prechádza významnými zmenami, ktoré odrážajú vplyv informačných technológií v celom systéme
vzdelávania. Výnimkou nie sú ani prírodovedné predmety – fyzika a matematika. Obsah výučby týchto
predmetov sa aktualizuje tak, aby bol splnený hlavný cieľ štúdia – reálnosť a využiteľnosť získaných
vedomostí v praxi. Trvácnosť získaných vedomostí je ovplyvnená rôznymi faktormi a za istým
podmienok môže byť predĺžená. „Trvalým majetkom“ študenta sa môžu stať len tie informácie, ktoré

157
Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 2007
predtým študent dostatočne pochopil a spracoval vo svojom vedomí. Dôležitým predpokladom trvalosti
je, aby sa študent učil hĺbkovo, s pochopením zmyslu a logiky problematiky.
V príspevku sme sa zamerali na obsah matematického vzdelávania, ktoré sa v aplikovanej forme používa
vo vyučovaní fyzikálnych a technických predmetov na Mechanizačnej fakulte SPU v Nitre. Vhodným
spojením tradičných a moderných vzdelávacích metód môžeme stimulovať záujem študentov o štúdium
matematiky a fyziky, vytvárať podmienky pre rozvoj medzipredmetových vzťahov a pre zvyšovanie
kvality vysokoškolského vzdelávania. Medzipredmetové vzťahy fyziky a matematiky v plnej miere
vyššie uvedené požiadavky spĺňajú.
Literatúra
1. BOŽIKOVÁ, M. 2006. Využitie on-line prezentácií diferenciálneho a integrálneho počtu vo
vyučovaní matematiky. In: Zborník príspevkov z vedeckého seminára s medzinárodnou účasťou
Matematika a jej aplikácie v inžinierskom vzdelávaní 2006 (CD-nosič). Nitra: SPU, s. 26-31, 2006.
ISBN 80-8069-708-6
2. ELIAŠ, J. – HORVÁTH, J. – KAJAN, J. 1986. Zbierka úloh z vyššej matematiky, 2. časť.
Vydavateľstvo Alfa, Bratislava, 1986, 6. prepracované vydanie, 320 s.
3. GREGÁŇOVÁ, R. 2005. Formy prezentácie aplikácií matematiky vo fyzike. In: Research and
teaching of physics in the context of university education. Nitra: SPU, 2005, s. 158-161. ISBN 80-
8069-528-8
4. MATUŠEK, V. 2006. E-testovanie ako jedna z možností overovania vedomostí. In: Zborník (CD)
z XI. ročníka medzinárodného vedeckého seminára Aktuálne problémy riešené v agrokomplexe.
Nitra: SPU, s. 456-460, 2006. ISBN 80-8069-799-X
5. ORSZÁGHOVÁ, D. – GREGÁŇOVÁ, R. 2001. Pohľad do dejín matematiky a fyziky. In: Zborník z
medzinárodnej vedeckej konferencie “Výskum a vyučovanie na katedrách fyziky v kontexte
univerzitného vzdelávania”. Nitra: SPU, 2001, s. 172–176. ISBN 80-7137-889-5
6. PECHOČIAK, T. 2006. Preverovanie vedomostí študentov Mechanizačnej fakulty SPU v Nitre. In:
Zborník príspevkov z vedeckého seminára s medzinárodnou účasťou Matematika a jej aplikácie v
inžinierskom vzdelávaní 2006, (CD-nosič). Nitra: SPU, 2006, s. 100-103. ISBN 80-8069-708-6
Poznámka: Príspevok vznikol v rámci riešenia inštitucionálneho projektu Inovácia modelu vyučovania
matematických predmetov na SPU v Nitre (int. č. FEM/12/06, riešenie v r. 2006-2008).
Adresa
Doc. RNDr. Dana Országhová, CSc., Katedra matematiky, Fakulta ekonomiky a manažmentu, SPU, 949
76 Nitra, tel.: 037/6508181, e-mail: Dana.Orszaghova@fem.uniag.sk