3. metody rungego-kutty
3. metody rungego-kutty
3. metody rungego-kutty
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>3.</strong> METODY RUNGEGO-KUTTY 1<strong>3.</strong> METODY RUNGEGO-KUTTYMetoda Rungego- Kutty II rzęduW metodzie tej wzór na całkowanie równania różniczkowego ma postać:gdzie:yi 1 yi ( a1k1 a2k2) h(<strong>3.</strong>1)kk f ( x i, y )(<strong>3.</strong>2) )(<strong>3.</strong>3)1 i2f ( xi p1h;yi q11k1hZależności między współczynnikami są postaci:aaa122 apq1112 11212(<strong>3.</strong>4)Pokażemy teraz sposób wyznaczania współczynników a , a 1 2, p i q dla <strong>metody</strong> RK II rzędu.Wartości współczynników znajdziemy przez porównanie wyrazów w rozwinięciu funkcji w szeregTaylor’a a zależnościami (<strong>3.</strong>1-<strong>3.</strong>3).Rozwińmy funkcję f(x,y) w szereg Taylor’a. Otrzymamy:f '( xi, yi) hyi1 yi f ( xi, yi) h 2!f( xi, yi) f( xi, yi)f '( xi, yi) xyyi1 yi f ( x , yii2 0( hdydx2 f( xi, yi) f( xi, yi) dy h) h xydx 2!3) 0( h3)Dowolną ciągłą funkcję g(x,y) możemy przedstawić w postaci:ggg ( x r,y s) g(x,y) r s (<strong>3.</strong>5)xyZatem (<strong>3.</strong>3) możemy zapisać w postaci:ff2k2 f ( xi p1h;yi q11k1h) f ( xi, yi) p1h q11k1h 0( h )(<strong>3.</strong>6)xygdzie 0(h 2 ) oznacza wyrazy wyższego rzędu.Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
<strong>3.</strong> METODY RUNGEGO-KUTTY 2Zgodnie ze wzorem <strong>metody</strong> R-K (<strong>3.</strong>1) po podstawieniu (<strong>3.</strong>2) oraz (<strong>3.</strong>3) otrzymujemy:yi1 yi a q a hf ( x , y ) a hf ( x , y ) a2111h2iif3f ( xi, yi) 0( h )y2ii2p h12fx(<strong>3.</strong>7)Po pogrupowaniu odpowiednich wartości otrzymamy: ff 2 3yi 1 yi hf ( xi, yi) a1 a2 a2p1 a2q11f ( xi, yi) h 0( h )x y(<strong>3.</strong>8) Wyrażenie powyższe musi być równoważne z rozwinięciem funkcji w szereg Taylor’a:yi1 yi2ffdy hf ( xi, yi) h ( )xydx 2!Z tego wynika, że muszą zachodzić relacje:aaa122 apq1112 11212(<strong>3.</strong>9)Podobnie możemy wyprowadzić znane nam już wzory dla metod R-K:1. Metoda Heun’a z jednym korektorem: a 2 =1/2zgodnie z zależnościami (<strong>3.</strong>9) a 1 =1/2, p 1 =q 11 =11 1yi 1 yi ( k1 k2) h(<strong>3.</strong>10)2 2kk f ( x i, y )1 i2f ( xi h;yi k1h )(<strong>3.</strong>11)2. Metoda punktu środkowego (mid-point method) a 2 =1, zgodnie z zależnościami (<strong>3.</strong>9) a 1 =0,p 1 =q 11 =1/2kyi 1 yi k2h(<strong>3.</strong>12)k1 f ( x i, yi)1 1 f ( xi h;yi k12 2)(<strong>3.</strong>13)2h<strong>3.</strong> Metoda Ralstona’a (zapewnia najmniejszy błąd obcięcia dla metod R-K II-go rzędu) a 2 =2/3Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
<strong>3.</strong> METODY RUNGEGO-KUTTY 4 a k11 a k22 a k n 0 8,5 14,21875 4,21875nostatecznie otrzymujemy:błąd procentowy wynosi:y(0,5) y(0) hy(0,5) 14,21875(0,5) 3,109375 3,4%Metoda R-K rzędu IIIWzór na całkowanie równania różniczkowego ma postać:• błąd aproksymacji:E a ~ Ο(h 4 ) bład globalny:E t ~ Ο(h 3 )1yi 1 yi ( k1 4k2 k3)h(<strong>3.</strong>16)6k1 f ( x i, yi)1 1k2 f ( xi h;yi k1h)(<strong>3.</strong>17)2 2k f x h;y k h 2k)(<strong>3.</strong>18)3(i i 1 2hMetoda R-K rzędu IVMetoda ta jest najbardziej popularna wśród metod R-K (często używana w obliczeniachinżynierskich).Wzór na całkowanie równania różniczkowego ma postać:(<strong>3.</strong>19)k1 f ( x i, yi)1 1k2 f ( xi h;yi k1h)(<strong>3.</strong>20)2 21 1k3 f ( xi h,yi k2h)(<strong>3.</strong>21)2 2k4 f ( xi h;yi k3h)1(<strong>3.</strong>22) ( k1 2k2 2k3 k4)6Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
<strong>3.</strong> METODY RUNGEGO-KUTTY 5• błąd aproksymacji: E a ~ Ο(h 5 ) bład globalny: E t ~ Ο(h 4 )Kolejność olbliczania współczynników k pokazano na Rys<strong>3.</strong>1.yk 2k 4k 3k 1φhxRys. <strong>3.</strong>1 Interpretacja graficzna <strong>metody</strong> R-K IV rzęduMetody R-K rzędu V (Butcher 1964)W metodzie R-K V rzędu wzór na całkowanie ma postać:1yi 1 yi (7k1 32k3 12k4 32k5 7k6) h(<strong>3.</strong>23)90Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
Change language