0.1 Kongruencije - OVDJE

0.3. RACIONALNI, REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI 11Time je prvi dio dokazan. Specijalno imamo10 p q = 10a + a 1 + a 210 + · · · a n10 n+1 + · · · ,pa se razlaganje broja 10 p q dobija iz razlaganja broja p qpomjeranjem decimalnetačke, za jedno mjesto udesno.Neka je x = a.a 1 a 2 · · · a n b 1 b 2 · · · b k periodičan decimalni broj. Tada je10 n x = aa 1 · · · a n + r, pri čemu jer = 0.b 1 b 2 . . . b k .Tada je 10 k r = b, b 1 b 2 . . . b k = b+r, pri čemu je b = b 1 10 k +b 2 10 k−1 +· · ·+b k .Dobijamo r =b , pa je r racionalan, a to povlači da je i x racionalan.10 k −1U sljedećem primjeru navešćemo decimalne izraze za recipročne vrijednostijednocifrenih brojeva.Napomenimo da tačke iznad cifara znače da će se te cifre redom ponavljati.1Primjer 0.5 Vrijedi:2 = 0.5, 13 = 0.˙3, 14 = 0.25, 15 = 0.2, 16 = 0.1˙617 = 0.˙1˙4˙2˙8˙5˙7, 1 8 = 0.125, 1 9 = 0.˙1.Ne mogu se svi racionalni brojevi predstaviti decimalnim brojevima na jedinstvennačin. Može se dokazati da dvije različite reprezentacije imaju samokonačni decimalni brojevi i to:a.a 1 a 2 · · · a n 0 · · · 0 · · · = a.a 1 a 2 · · · (a n − 1)9 · · · 9 · · · .Definicija 0.5 Neperiodične decimalne brojeve nazivamo iracionalnim brojevima.realnim brojevima nazivamo skup racionalnih i iracionalnih brojevai označavamo ga sa R.Može se dokazati da je R polje, koje sadrži polje racionalnih brojeva.Polje R se može urediti tako da se takvo ured¯enje na Q poklapa sa ranijedefinisanim ured¯enjem na Q. Pokažimo da su racionalni brojevi ,,gusto”raspored¯eni u skupu realnih brojeva.Teorema 0.12 Izmed¯u svaka dva realna broja postoji racionalan broj .Dokaz Neka su a i b realni brojevi i 0 < a < b. Ako su a i b racionalnitada je a < a+b2< b, pa je tvrdnja, u ovom slučaju tačna. Zato možemopretpostaviti da je bar jedan od brojeva a ili b iracionalan. Predstavimooba broja kao decimalne brojeve. Kako je a < b mora postojati decimalno