Šta je to matematika, i ko su ti matematičari? - OVDJE

Šta je to matematika, i ko su ti matematičari? 1Daniel A. RomanoOdsjek za matematiku i informatiku, Univerzitet u Banjoj Lucie-mail: bato49@hotmail.comSažetak:Namjera nam je da u ovom izlaganju skrenemo pažnju slušaoca/čitaoca na bitne ideje kojesu, po našem mišljenju, neophodne za shvatanje prirode matematike. Kroz tri grupe asocijacijaizloženi su naši pogledi na probleme sa kojima se matematičati susreću u poslednje vrijeme:1. Matematika kao društvena djelatnost. Ritualni aspekt matematike – zašto je to bitno?Složeniji matematički dokazi – da li su oni potrebni? Korištenje kompjutera u matematičkomdokazivanju. „Profesionalna“ mašinska matematika protiv „familijarne“ matematike čovjeka .2. Da li je matematika (samo) jedna od nauka, ili je njeno mjesto u sistemu naučnog znanjaposebno? Platon /Kant / Hilbert. Postoji li beskonačnost u prirodi? Formalisti i platonisti.Istočnik „nedostižne efektivnosti“ matematike – sposobnost matematičara da dobiju maksimumzaključaka iz zadanog skupa pretpostavki.3. Matematika i modeliranje. U čemu je razlika jednih matematičkih modela od drugih?Odgovor bi mogao biti: To su modeli koje ima smisla istraživati bez stvarne konekcije kamodeliranim objektima. Matematičari treba da se bave razvojem metoda izgradnje i istraživanjatakvih modela. Lijeva i desna strana mozga i dva pogleda na matematiku.Ovaj tekst je akademski otpor birokratskom nametanju Univerziteta u Banjoj Lucipotpunom razdvajanju matematike i računarskih nauka 2 a namjenjen je našoj (matematičkoj)javnosti u cilju stvaranja fronta otpora nekompetentnom i dalekosežno vrlo štetnom petljanju uprirodu matematike 3 .0. UvodU poznatom radu Briana Davisa, profesora Londonskog kraljevskog koledža, pod naslovom„Wither mathematics?“, tvrdi se da je najegzaktnija nauka od svih egzaktnih nauka na prelomukoji će principijelno promijeniti karakter dobivanja rezultata u matematici. U budućnosti, tvrdiDavis, matematika će postati još odvojenija od ostalih nauka nego što je to bila do sada.Tokom više od dva milenijuma, smatralo se da matematika otkriva neoborivost vječnihistina. Množina značajnih matematičkih tvrdnji, kao što su, na primjer, Euklidova tvrđenja,validne su i danas kao i prije 2000 godina (unutar Euklidovog aksiomatskog sistema). Tokomtog vremena matematika je prebrodila dvije duboke krize, koje su znatno promijenile statusmatematičkih istraživanja, a sada se nalazi u trećoj.1 Tekst predavanje na naučnom skupu “Nastava i nauka na univerzitetu”, Filozofski fakultet Univerzitetau Istočnom Sarajevu, Pale, 17-18 maja 2008.2 Odluka Nastavno-naučnog vijeća Univerziteta u Banjoj Luci, broj 05-1002/07, od 19.11.2007. godine3 Od oko nešto manje od 30000 matematičkih disciplina i preko 1000 oblasti, međunarodno verifikovanihu ’Mathematical Clasification 2000’, Nastavno-naučno vijeće Univerziteta je aktom neakademskognasilja nad prirodom matematike, članom 2, stav 10, alineja 6, pomenute odluke „dozvolilo“matematičarima da se bave sa samo 5 (pet) oblasti.

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?Prva od njih povezana je sa Gedelovom teoremom o nepotpunosti, koja tvrdi da uproizvoljno dovoljno bogatom aksiomatskom sistemu postoje tvrdnje koje se, unutar togaksiomatskog sistema, ne mogu ni dokazati ni oboriti. Iako ovaj teorem još uvijek nemaznačajan uticaj na praktični rad većeg broja matematičara, on je na neposredan način povezan saproblemom ontološkog statusa matematičkih objekata. Većina matematičara se intuitivnopridržava koncepcije poznate kao platonizam. Saglasno toj koncepciji, matematičke bitnosti ikonstrukcije (slično Platonovim idejama) imaju neku objektivnu egzistenciju, na primjer kaologičke mogućnosti. Ali, u objektivno egzistirajućoj realnosti, sva svojstva morala bi biti upotpunosti jednoznačno determinisana, u što se ne može uvrstiti rezultat ovog Gedelovogteorema.Druga velika kriza povezuje se sa počecima primjene kompjutera u matematici. Dokazteorema o četri boje, na primjer, izveden je uz presudnu primjenu kompjutera. To kod mnogihmatematičara podstiće sumnju u opravdanost povjerenja o pravilnosti dokaza dobijenihprimjenom kompjuterom.Kao poseban presedan u kulminaciji „košmara“ u matematici, može se navesti primjerpoznat pod imenom ’klasifikacija konačnih prostih grupa’. Za njegovo rješavanje, formiran je,1970. godine, konzorcij od oko stotinu matematičara. To je, u istoriji matematike, jedinstvenpristup u rješavanja nekog problema. Izdvojene su tri beskonačne familije grupa, i 26 posebnihslučajeva konačnih grupa čija egzistencija (jednog broja njih) je obezbijeđena upotrebomkompjutera. Potom se pojavio problem istraživanja karaktera te klasifikacije. Prilikom pokušajaobjedinjavanja rezultata raznih grupa istraživaća, pojavili su se mnogobrojni problemi. Većinunjih, matematičari su uspjeli otkloniti. Međutim, još uvijek, i poslije više od 25 godina, nijeobjelodanjem cjelokupan dokaz ove klasifikacije, iako se neprekidno publikuju tomovi knjiga ukojima se nalaze ti dokazi. Problem je u tome što ne postoji garancija o ispravnosti toggigantskog dokaza.Dakle, matematika se spotiče na problem praktično neodređene složenosti dokaza. Da li toznači - da će matematičari, ubuduće, govoriti ne o pouzdanosti znanja, nego o stepenuuvjerenosti u pouzdanost svojih rezultata. Sem toga, sada dolazi do izražaja principijelnofilozofaskiproblem predmeta matematike i do problema: Šta je to dokaz u matematici.I. Matematika je društvena djelatnostPočnimo naše razmatranje sa onim što je neosporno: posmatrajmo matematiku očimanematematičara - kao gotovo svima strano socijalno djelovanje. Šta se može (kolokvijalnogovoreći) zaključiti?(1) Postoje ljudi, od kojih većina nosi naočare, koji sebe nazivaju matematičarima.(2) Na nekim univerzitetima djeluju katedre za matematiku, i one, između ostalog, predlažunastavne programe iz matematike. Na tim univerzitetima se može steći matematičkoobrazovanje. Na nekim od takvih univerziteta, ali ne na svim, postoje i nastavni programikojima se produžava prethodno matematičko obrazovanje, te se, uz određene standardizovanerituale, može steći tutula doktora matematike.(3) Ispunjavajući zahtjeve determinisanih rituala, ponekad se može desiti da osobe koje sebenazivaju matematičarima (a ispunili su sve zahtjeve rituala iz prethodne tačke) ponekad dobijuod države finansjsku potporu za istraživanja u matematici.(4) U svijetu se stalno dešavaju matematičke naučne konferencije, i uređuju se i publikujumatematički časopisi. Ponekad se može (uz dosta sreće i poznanstava, i naravno uz ispunjavanjeodređenih rituala) biti učesnik na nekim od tih naučnih konferencija, i/ili se mogu publikovatimatematički članci.Da li su ove karakteristike smislene? Zar sve druge nauke (a i psudo-nauke) nisu takođeopštedruštvene djelatnoasti! Šta je to specifično kod matematičara i matematike što ih razlikujeod drugih?1.1. Da li je matematika društveni ritual?1972. godine Filip Devis (Fillip J. Davis) (rođen 1923. godine) je prvi, po mišljenju znatnogbroja filozofa matematike, postavio pitanje - da li su mnogi “fakti” koje matematičari smatraju2Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?“nepobitnim” stvarno takvi 4 ? Zatim su Devis i Ruben Herš (Reuben Hersh) (rođen 1927.godine), razvijajući tu misao dalje, došli do zaključka da je ono čime se matematičari najvišediče „apsolutna objektivnost, tačnost i strogost matematike“- iluzija, te da je poseban društveniritual bitna i neodvojiva komponenta matematike (teza poznata pod imenom “Devis-Heršovateza). 5 Radi ilustracije, citiraću njihovo mišljenje: “U stvarnom svijetu matematike, jedanmatematički članak postiže dvije stvari: U njemu se potvrđuje da su autor i neki njegoviistomišljenici (ali najčešće - ne baš svi) - saglasni da je neki “rezultat” tačan, i prezentiradijelove nečega na čemu se ta saglasnost zasniva.”Moguće je da znatan broj ljudi smatra da matematika i nije baš takva kakvu je matematičarivole pretstavljati: ona nije “objektivna nauka“ (ma šta to značilo), već, prije svega, jedanposeban elitistički društveni ritual, posredstvom kojeg grupa ljudi traži od države značajnamaterijalna sredstva, a od društvene zajednice traži uvažavanje. Da li Devis-Heršova teza sadrživiše istine nego što matematičari to hoće priznati?1.2. Matematika na granici mogućegStvar je u tome da ritualna komponenta matematike znatno dolazi do izražaja kada trebarazmotriti složene matematičke dokaze. Zar se ne može prihvatiti teza - da se matematičari,rješavajući sve složenije matematičke probleme, približavaju granicama ljudskih sposobnosti?(Za specijaliste računarskih struka, takva je situacija već nastala.)Na primjer, kada je 23. jula 1993. godine, Endrju Vajls (Andrew John Wiles) (rođen 1953.godine), poslije sedam godina uloženog truda, objavio da ima dokaz “Velike Fermaoveteoreme“, ipak se ispostavilo da dokaz sadrži grešku. Poslije mnogih mjeseci očajničke borbe(prema njegovim riječima) 19.septembra 1994. godine, došao je na ideju kako da okončadokaz. Sasvim opravdano se postavlja pitanje: Na čemu se zasniva uvjerenost matematičara da utom, vrlo složenom dokazu, nema još grešaka?Analogna situacija u matematici se ponavlja sve češće: nije rijedak slučaj da se publikovaopogrešan rezultat, kao što su, na primjer, Rimanova hipoteza, hipoteza prostih brojeva –blizanaca, ili neka druga pogrešna rješenja nekih znamenitih nerješenih problema. U najboljemslučaju, poslije ispravljanja grešaka nastajala je situacija kao u sljedećem slučaju. U slučaju, zasada u istoriji matematike najsloženijem matematičkom dokazu, u teoremu o klasifikacijikonačnih prostih grupa, situacija je još lošija:"To my knowledge the main theorem of [AS] closes the last gap in the original proof, so(for the moment) the Classification Theorem can be regarded as a theorem. On the other hand, Ihope I have convinced you that it is important to complete the program by carefully writing outa more reliable proof in order to minimize the chance of other gaps being discovered in thefuture." 6Naravno, to ne isključuje mogućnost da, slično velikoj Fermaovoj teoremi, neki odznačajnih problema na kraju ipak bude riješen. Čime se garantuje da predloženi, vrlo složeni,matematički dokazi ne sadrže greške? Ili će zaključak opet glasiti „ritualno“: značajan brojspecijalista oblasti je usaglasio mišljenje da je „dokaz potpun i pravilan“?1.3. Problem četri boje: mašinska matematika?Trideset godina ranije, 1976, pojavio se još jedan u nizu dokaza da se „tako ne možeživjeti“. Podsjetimo se teorema o četri boje:Teorem o četri boje: Proizvoljna geografska karta može se obojiti sa četri boje, tako dasusjedne zemlje uvijek budu obojene različitim bojama.4 Davis, P. J. Fidelity in mathematical discourse: Is one and one really two? American MathematicalMonthly, 79(3)(1972), 252–263.5Philip J. Davis and Reuben Hersh: Rhetoric and mathematics. In J. S. Nelson, A. Mcgill & D. N.McCloskey (Eds.), The rhetoric of the human sciences. Madison: University of Wisconsin, 1987, 53-69.6 Michael Aschbacher. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups. Notices of the AMS,August 2004, vol. 51, N 7, pp. 736-7403Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?Kao hipoteza, ovu tvrdnju iskazao je Francis Gutri (Francis Guthrie) (1831-1899) 1852.godine, ali je matematičarima uspjelo napraviti dokaz ove tvrdnje tek 1976. godine. To suuradili Volfgang Haken i Kenet Apel (Wolfgang Haken (rođen 1928), Kennet Appel (rođen1932)), i što je vrlo interesantno – na ranije nikad viđeni način!Tokom četri godine, potrošili su 1200 sati (tadašnjeg) mašinskog vremena - da bi provjerili1476 mogućnosti koje su se pojavile u postupku utvrđivanja tačnosti Teorema o četri boje. Nijedan čovjek nije u mogućnosti da provede takvu „vruću“ analizu niti da provjeri rezultatedobijene putem kompjutera! Za proteklih 30 godina, Haken-Apelov dokaz je usavršensmanjenjem broja mogućih varijanti na 633, ali to je za čovjeka još uvijek nedostižnamogućnost. 7 2004. godine, postignut je, do sada najbolji rezultat, uključujući kompjuterskiprogram pregledavanja: dobijen je formalizovani dokaz, a njegova korektnost bila je provjerenai potvrđena univerzalnim programom Coq proof checking system. 8 No, situacija se, za nas ljude,nije bitno promjenila: dokaz Teoreme o četri boje je i dalje nedostižan. Ovdje se može postavitipitanje: Da li je prihvatljivo da kompjuterski odgovor bude na deset metara dugačkom papiru?Analogne situacije su:(1) 1989. godine, Klement Lem (Clement W.H.Lam) je, sa saradnicima, koristeći superkompjuter,završio svoj dokaz o nemogućnosti postojanja projektivne ravni reda 10;(2) 1998. godine, Tomas Hejs (Thomas C. Hales) je završio svoj dokaz Keplerove hipotere iz1911. godine.Kojem od dokaza smo dužni pokloniti više povjerenja: - „rutinskim“- mašinskim dokazima,ili znatno složenim dokazima, ispisanim rukom? Gdje su greške vjerovatnije? Da li Hakena iApela treba smatrati matematičarima? Da li je Haken-Apelov rezultat „stvarna“ matematika?1.4 Mašinska matematika protiv matematike čovjeka?Primjenom kompjutera, granice matematičkih sposobnosti čovjeka se proširuju. Kakva je tonova matematika parcijalno dostupna čovjeku?Doron Zeilberger (rođen 1950. godine) ovdje posmatra analogiju sa situacijom koja se moženaći u vezi sa šahom. U današnje vrijeme, šahisti se mogu upoređivati samo među sobom,uopšte ne nadajući se da će pobijediti neki od najboljih šahovskih programa. Tako očekujemoda će biti i u matematici ubuduće: matematičari (koji ne budu prihvatali pomoć kompjutera)biće u mogućnosti da razvijju samo ograničenu matematiku. 9Prema tome, dopadalo se to matematičarima ili ne, Devis-Herschova teza naslućijeneizbježno: složenost jednog broja matematičkih problema prevazilazi ljudske sposobnosti i akou toj situaciji matematičari odustanu od upotrebe kompjutera, taj dio matematike stvarno će setransformisati u elitni društveni ritual (u najgorem smislu riječi). I, saglasno prethodnom,insistiranje na tome da se govori o matematici koju samo ljudi proizvode je, u najmanju ruku,neumjesno. Matematiku ne rade samo ljudi. Trebalo bi da se buduće generacije studenataobrazuju da se matematika može razvijati i uz pomoć kompjutera. Istaknimo ovdje da su velikuvećinu sadašnjeg znanja iz kompjuterskih nauka čovječanstvu poklonili matematičari.II. Da li je matematika standardna grana nauke?Sada napravimo pristup sa druge strane. Pokušajmo sa izjavom da je matematika grananauke, kao što su na primjer, fizika, hemija, biologija ili istorija. U svakoj nauci postoji određeniritualni aspekt. Međutim, kod prirodnih i društvenih nauka protiv toga djeluje “nezavisni“regulator – predmet izučavanja te nauke. Tzv. „nominalna“ grana nauke zanima se svojimposebnim predmetom – nekim parcijalnim dijelom okružujućeg svemira. Zato u tim naukama7 Robin Thomas: The Four Color Theorem; Ryan Proper Mysteries of Mathematics , December 14, 1999Final Paper8 Georges Gonthier: A computer-checked proof of the Four Color Theorem; http://research.microsoft.com / ∼ gounthier /4colproof. pdf (2004)9 D.Zeilberger: Theorem for a price: Tomorrow’s semi rigorous mathematical culture, Notices of theAmer. Math. Soc. v. 40, no. 8 (Oct. 1993) 978-981. Reprinted in the Math. Intell. v. 16, no. 4 (Fall1994) 11-144Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?previše smjele fantazije obično se brzo izgube. U biologiji, na primjer, skoro da nije bilo“istraživanja” izmišljenih, nepostojećih životinja? Ili – “živih struktura” koje umjesto kiseonikakoriste flor.Da li je matematika jedna od takvih predmetno orijentisanih grana nauke? Da li matematikumožemo posmatrati kao neku posebnu društvenu djelatnost, svojstvenu samoj sebi (ortogonalnuu odnosu na “paralelne ravni ostalih nauka“)?Do pojave neeuklidskih geometrija (1820. godine), matematiku je bilo moguće posmatratikao „jednu od nauka“. Na primjer, prema Euklidovoj geometriji odnosili su se kao apsolutnobezgrešnoj „fizičkoj“ realnosti prostora.Materijalisti i marksisti pokušavaju održati tu koncepciju čak i u naše vrijeme, izjavljujućida su predmet matematike prostorne forme i količinski odnosi realnog svijeta. Da bi ovo mogloda opstane, pojam količine shvatan je maksimalno široko - kao što je to radio Hegel: količina toje „savršeno“ svojstvo. Na taj način, pod tom definicijom može se podvesti ne samo geometrijai matematička analiza nego i apstraktna algebra, topologija i sve ostale matematičke strukture.Tako je determinacija Englesa - da „čista matematika, kao svoj object, uzima prostorne forme ikoličinske odnose realnog svijeta” - bio je materijal koji je stalno citiran. Podsjetimo se - da je,svojevremeno, Kolmogorov pisao: "...в результате как внутренних потребностей М., так иновых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственныхформ, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения,существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами вфункциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числаизмерений и т. п. При таком широком понимании терминов «количественныеотношения» и “пространственные формы” приведённое в начале статьи определение М.применимо и на новом, современном этапе её развития." 102.1. Matematika je ipak “ortogonalna“ grana nauke?Po svemu sudeći, na sreću matematičara, postoji jedan broj mislilaca, koji smatra da jematematika nije nauka u uobičajenom smislu riječi.Platon je pokušao da objasni posebnost matematike, pomoću svojih koncepcija “svijetaideaja“ i „svijeta stvari“ (pri čemu je drugi svijet nesavršeno utjelovljenje prvog). Do rođenjačovjeka, njegova „duša“ obitava u „svijetu ideja“, a poslije toga, za vrijeme njegovogzemaljskog života, zanimajući se matematikom - čovjek se koristi sjećanjem na ono što jenjegova duša naučila u „svijetu ideja“. Dakle, po Platonu, matematičari ništa ne izgrađuju, oni,„po sjećanju“ istražuju gotove strukture.Po mišljenju znantnog broja matematičara, ova Platonova ideja je bila genijalna slutnja.U osamnaestom vijeku, Imanuel Kant je učinio sljedeći korak u tom pravcu - predloživšisvoju koncepciju sintetičkog apriornog. Kao i Platon, Kant je bio fasciniran egzaktnošću sakojoj je Euklidova geometrija korespondirala prostoru, koji nas okružuje. U to doba nikakvudrugačiju strukturu prostora niko nije mogao ni da predpostavi. Za raliku od Platona, Kant jepredložio, u cilju objašnjavanja tog fenomena, da se na Euklidovu geometriju gleda kao naapriornu formu, koju je stvorio čovječiji razum, a pomoću koje čovjek upoređuje svoja čuvstva.Na primjer, aritmetika prirodnih brojeva je „izgrađena“ na intuiciji vremena.To je bila još jedna genijalna slutnja.(Naravno, u ovom promišljanju iskorišteni su modeli, umjesto Platonovih i Kantovih „izvornihmišljenja“.)Sada je prihvaćen stav da to nisu više moderne ideje. No, po mišljenju jednog brojamatematičkih mislilaca, trebalo bi ove ideje pokušati razviti do kraja.2.2. O aksiomama, teoremama i dokazimaRazmatranja u ovom segmentu počnimo sa jednom od prvih teorema iz VI vijeka prije našeere:Teorem Posle svakog prostog broja nalazi se bar još jedan prost broj.10 http://www.kolmogorov.pms.ru/bse-mathimatic.html5Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?Potpuna empirijska provjera ove tvrdnje je nemoguća, jer, kao što znamo, prirodnih brojevaima beskonačno mnogo. Sasvim je opravdano postaviti pitanje: Kako su matematičari ubijedilisami sebe da je iskaz ovog teorema tačan?Dokaz: Dokaz se izvodi korištenjem kontrapozicije: Predpostavimo da tvrdnja teorema nijetačna, tj. da prostih brojeva ima samo konačno mnogo, recimo k. Neka su to brojevi: p 1 , p 2 , ...,p k . Tada, lako se vidi, broj p 1 p 2 ...p k +1 nije djeljiv ni sa jednim prostim brojem, a razlikuje seod svakog od njih. Prema tome, to je takođe prost broj. Dobili smo kontradikciju da prostihbrojeva ima veše od k. Dakle, treba odbaciti hipotezu da prostih brojeva ima samo konačnomnogo. Q.E.D.Zašto matematičari prihvataju prethodno kao dokaz iskaza gornje tvrdnje? Zar nas bilo kojidokaz ne dovodi do potrebe da dokažemo neko prethodno tvrđenje? Šta se nalazi na početkuovog lanca? Da bi se izbjegla dubioza vrćenja u krug i/ili u beskonačnu regresiju, dokazivanjemora odnekud početi, sa nekim tvrdnjama sa kojima su svi saglasni. Te polazne tvrdnjenazivamo aksiomama. Tako su stari Grci prešli ka ideji aksiomatizacije. To je bila genijalnaideja, ali je, nažalost, stagnirala preko 2000 godina. Potom su tu ideju, u XIX vijeku, FridrihGotlab Frege (Fridrich Ludwig Gottlob Frege) (1848-1925) i Čarls Pirs (Charles SandersPierce) (1839-1914) doveli do pojma formalizacije.Konačno je, krajem XIX vijeka, David Hilbert (1862-1943) postavio pitanje: Da li jemoguće izabrati konačan i potpun spisak aksioma iz kojeg je onda moguće, uz primjenukonačno mnogo pravila zaključivanja, dobiti sve matematičke teoreme? (Ovo pitanje je jošjedna genijalna slutnja.). Ono je ravnopravno pitanju: Mogu li se pomoću aksioma determinisatiosnovne matematičke stukture, kao što su skupovi, brojevi i slično? Ili, pak, te strukture postojenezavisno, a pomoću aksioma možemo samo pokušati da ih, što je bolje moguće, opišemo?Upravo ovdje je mjesto kada treba podsjetiti da matematičari znaju dokaz samo unutarnekog aksiomatskog sistema baziranom na nekoj unaprijed izabranoj logici sa pravilimazaključivanja, te da pouzdanost (skoro) poistovjećuju sa izvodljivošću unutar tog sistema. Usistemima oslonjenim na Klasičnu dvovalentnu logiku prihvata se postojanje direktnog iindirektnog dokaza jer je, u ovom slučaju, kontrapozicija, validna. U sistemima oslonjenim, naprimjer na Intuicionističku logiku, indirektni dokaz nije prihvatljiv.2.3. Problem postojanja matematičkih strukturaMisao o nezavisnosti postojanja matematičkih struktura, kod ljudi pojavila se relativno brzo– već pri učenju matematike u školi. Radi ilustracije izvedimo jedan test.Posmatrajmo niz prostih brojeva - blizanaca:(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73),(101, 103), (107,109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),..., (1787, 1789), ..., (1871, 1873), ...,(1931, 1933), (1949, 1951), (1997, 1999), (2027, 2029), ...1849. godine Alfonso d’Polinjak (Alphonse de Polignac) (1817 – 1890) izrekao je tvrdnju da jeovaj niz beskonačan. Ta hipoteza do sada nije dokazana, niti oborena. Moguće je postavitipitanje: Da li je tačna jedna ili druga tvrdnja?(a) Niz prostih brojeva – blizanaca je beskonačan.(b) Niz prostih brojeva-blizanaca prekida se na poslednjem paru.Budući da do sada ova hipoteza nije niti oborena (tvrdnja (b)), niti dokazana (tvrdnja (a))prirodno se postavlja pitanje: Da li postoji mogućnost da ne postoji odgovor na gore postavljenapitanja? Naravno, ovo je jeretičko pitanje, i u potpunoj je nesaglasnosti sa gotovo svudaprihvatljivim logičkim principom isključenja trećeg:P ∨ ¬P,gdje je P bilo koja tvrdnja. Dakle, ako matematičar uvažava ovaj princip kao logički princip,onda ne može sebi postaviti pitanje o postojanju treće mogućnosti. Da bi treće pitanje dobilolegitimitet neophodno je promijeniti logiku, što je za većinu matematičara „smrtni grijeh“. Kosmije postaviti pitanje o trećoj mogućnosti? Ko to pitanje nikako ne može postaviti? Kakva jesličnost i/ili razlika među njima? Na primjer, u Intuicionističkoj logici ovaj princip nije validanlogički princip.6Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?Na gornje pitanje - da li u prirodi postoje beskonačne strukture, odgovor može biti samojedan: ne postoje! (Sasvim drugo, iako ne manje važno pitanje je - kako mi to možemo saznati?)Ovo je, u stvari, dovoljno složen problem.Kao i ranije, naša artimetička znanja nas provociraju da zamislimo „broj“ ne samo čestica uprirodi, nego i skupova čestica , „skupova skupova“ i tome slično. Ako se od N čestica dobijaskup od 2 N skupova čestica, na taj način, počevši čak i od praznog skupa čestica, možemo„dobiti“ proizvoljno veliku količinu „objekata“!Međutim, sa fizikalne tačke gledišta, ova aktivnost mora biti okončana iz sljedećih razloga:(а) spontanosti transformacija elementarnih čestica;(б) konačnosti brzina svijeta;(в) konačnosti vremena postojanja Svemira; itome slično.Čini se da dosta svijetla na ovaj problem baca tvrdnja Seta Lojda (Seth Lloyd) (rođenog1960. godine) sa MIT-a: “The Universe can have performed 10 120 ops on 10 90 bits (10 120 bitsincluding gravitational degrees of freedom).” 14Tako, čini se da za vrijeme postojanja Svemir ne može učiniti baš mnogo.Kako bilo, iako je beskonačni niz prirodnih brojeva proizašao iz ljudske prakse kaoapstrakcija realnih procesa svijeta, on ipak nije proizašao kao pravi odraz bilo kakve strukturerelanog svijeta. I da li je zato beskonačnost tog niza samo plod ljudske fantazije?Tako je A.N Kolmogorov (А. Н. Колмогоров) (1903-1987) pokušao da objasni kako ječovjek, iako obitavajući u konačnom svijetu, ipak došao do ideje beskonačnosti. O tome semože naći u djelu „Savremeni pogledi na prirodu matematike“, na stranicama 232-233, njegovepoznate knjige „Matematika – nauka i profesija“. 152.8. FormalizamAko beskonačan niz cijelih brojeva nije “prirodna struktura“, šta su onda objekti tog niza?U kom smislu onda taj niz postoji? I u kom smislu tada postoje složenije matematičke structure:realni brojevi, funkcionalni prostori, algebra, topologije, neprebrojivo beskonačni skupovi,veliki kardinali, kategorije i tome slično? One su, tim prije, takođe ne – “prirodne structure”!Jednostavniji odgovor na ova pitanja bi mogao biti: matematičke structure, same po sebi, nepostoje, postoje samo sistemi aksioma, kojima su determinisani.(a) Aksiome stvarno postoje;(b) Matematičari se ’dobrovoljno’ zanimaju izvođenjem posljedica iz bilo kojih„interesantnih“ aksioma, čak i kad im nije poznato šta te aksiome ’pokrivaju’.Poznato je da je Lobačevski počeo upravo tako.U filozofiji matematike takav pristup se naziva formalizam. Formalisti osporavaju pravomatematičarima da istražuju proizvoljne sisteme aksioma. Po njima, sisteme aksioma kojiegzaktno ‘pokrivaju’ određene objekte ima smisla istraživati. Ovdje treba uputitislušaoca/čitaoca na Podnieks’ovo upozorenje 16 : „Ne brkati ovu ozbiljnu principijelno-filozofskuopciju sa široko prihvaćenim karikaturom da je matematički formalizam besmislena igra sasimbolima. Prihvatanje te karikature je znak matematičke inferiornosti.“Razumije se, početni osnov matematičkih aksioma jeste praktično, tehničko i naučnoiskustvo čovječanstva, no aksiome daju značajno više od tog iskustva: one se ekstrapoliraju,uglađuju, idealizuju i tome slično. Kao rezultat se dobijaju „strukture“ čijih analoga u prirodinema.S te tačke gledišta, aksime aritmetike i/ili aksiome teorije skupova ne opisuju stvarne realnebrojeve, već se njima determiniše jedan model realnih brojeva. I ako ti askiomi, moguće, nisu umogućnosti da razrješe problem brojeva-blizanaca, to se sa tim treba pomiriti, ili postaviti sebipitanja o mogućnostima dopunjavanja ili izmjene te grupe aksioma.14 Sеth Lloyd: Computational capacity of the universe; Physical Review Letters, 88(23)(2002), 237901, 4pp15 А. Н. Колмогоров: Математика – наука и профессия. Выпуск 64 серии "Библиотечка квант",Москва, Наука, 198816 Karlis Podnieks : The nature of mathematics (Talk on Sankt-Peterburg University, June 22, 2006)8Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?Sa aspekta formalista, Gedelov teorem o nepotpunosti aksiomatskih sistema govori oneizbježnoj dijalektici razvoja matematike – o tome da, koliko god su ti sistemi aksioma dobroizgrađeni, neizbježna je jedna od sljedećih opcija:(a) taj aksiomatski sistem dovodi do protivrječnosti (kada se moraju usavršavati); ili(b) taj aksiomatski sistem je nedovoljan za rješavanje mnogih problema u oblasti svojekompetencije (kada se, oper, moraju usavršavati).Prema tome, može se izreći mišljenje da je svaki konzervirani aksiomatski sistemnesavršen (upravo zbog svog skamenjenog karaktera), i zato se mora podvrgnuti usavršavanju.2.9. Platonizam?Sem rješenja koje su predlagali formalisti, problem postojanja matematičkih struktura možese pokušati riješti i na neki drugi način. Budući da (kako smo vidjeli) matematičke structure nepostoje u prirodi, ali “moraju postojati nezavisno od nas, ljudi”, to one postoje u posebnoj„trećoj realnosti“, u koji čovjećiji razum ima dostup samo pomoću intuicije. Takav pristup se, ufilozofiji matematike, naziva platonizam. Platonisti istrajavaju na tome da su matematičariobavezni baviti se posljedicama tih jedinstvenih varijanti matematičkih struktura koje postoje u„trećoj realnosti“. S te tačke gledišta, beskonačni niz cijelih brojeva jeste „treća realnost“ pokojem Polignakova hipoteza može biti samo istinita ili samo neitinita (teće mogućnosti nema:niz parova-blizanaca se okončava, ili se ne okončava). Pri tome, Gedelov teorem o nepotpunostipokazuje da nikakav fiksirani sistem aksioma ne može dati iscrpljujući opis beskonačnog nizacijelih brojeva.Situacija u teoriji velikih kardinala 17 , čini se, podržava tu iluziju.Napravimo za trenutak digresiju i podsjetimo se aksiomatizacija Euklidove geometrije,geometrije Lobačevskog i Rimanove geometrije. Svaki sistem imaja 20 aksioma: EG = [A 1 ,...,A 19 ]+A 20 i GL = [A 1 , ...,A 19 ]+A’ 20 RG = [A 1 , ...,A 19 ]+A” 20 pri čemu aksiome A 20 i A’ 20 i A” 20u parovima (a i sve tri) zajedno proizvode kontradikciju. Prvih devetnaest aksioma su imzajedničke. To čini tzv. ’Apsolutnu geometriju’. Razlike nastaju primjenom dvadesetogaksioma. Govoreći kolokvijalnim rječnikom, kako je moguće da nekompatiblini askiomatskisistemi opisuju istu realnost? Ako matematičar prihvata logički princip isključenja trećeg i akoprihvata bilo koji aksiomatski sistem geometrije kao nešto što ’dobro’ pokriva realnost, kakotada razumjeva, na primjer, sljedeća tvrđenja, koje bi za njega trebalo da su tačna:⎪− A 20 ∨ ¬A 20 , ⎪− ¬A 20 ⇒ A’ 20 ∨ A’’ 20 .2.10. Pozitivna uloga platonizma u matematiciPlatonistički odnos prema matematičkim strukturama - karakteriše veliku većinumatematičara (koji se, u pravilu, ne zanimaju o smislu svojih aktivnosti). U prvom, onipredpostavljaju da predmet njihovih istraživanja „postoji“ nezavisno od njih samih (i, uopšte, odljudi). U drugom, oni prenose bez udubljavanja u problematiku, po analogiji, u svoju „trećurealnost“ mnoga privlačna svojstva fizičke realnosti (na primjer, kao što je to slučaj sa zakonomisključenja trećeg). Čini se, po njima, da je za nas ljude - platonizam najbolji efektivni načinrada sa imaginarnim strukturama. Na primjer, oni sebi predstavljaju nizove cijelih brojevagotovo fizički – kao „put u beskonačnost“, i da su u mogućnosti po tom putu tražiti poslednjipar brojeva-blizanaca, bez obzira da li taj par na tam putu postoji, ili ne. Matematičari živegodinama u svojim strukturama, kao u ličnom svijetu, a da se skoro nikad ne zapitaju o značenjutih stuktura (ako one, uopšte uzev, znače bilo šta).Radeći na takav način, matematičari su naučili da dobijaju maksimum zaključaka iz datogbroja pretpostavki. Tako, znatan broj matematičara tumači “nedostižnu efektivnost” matematikeu odnosu na druge nauke.2.11. Platonizam kao filozofija17 http://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal_property9Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?Platonizam nije loš metod. Zapravo, kao metod, razmatrao ga je sam autor termina„matematički platonizam“, Pol Bernajs (Paul Isaac Bernays) (1888-1977) 18 . Bernajs jeupozoravao da platoniostički metod treba podvrgnuti pažljivom preispitivanju:"... It is also this transcendent character which requires us to take certain precautions in regard toeach platonistic assumption."Kako bi trebalo procjenjivati platoniastičku ideju o postojanju „treće realnosti“, kaoopštefilozofske ideje? Treba li toj ideji dati bilo kakvo preimućstvo? Mogli bi, na primjer, nanasljedeći način:1. Stoprocentni platonizam je teorijsko skupovni platonizam (vjera u jedinstvenost“originalnog svijeta skupova“), pa i u aksiom velikih kardinala;2. Pedesetprocentni platonizam je platonizam u gledanju na cijele brojeve (sumnja uteoriju skupova, i vjera samo u jedinstvenost niza cijelih brojeva).Ideju „treće realnosti“ osmislio je još Platon (njegov apsolutno savršeni „svijet ideja“). Noskeptični Kant (1727-1804) ne našavši osnove za uvođenje “treće realnosti”, on je matematičkestrukture pripisao „drugoj realnosti“, tj. objasnio ih je osobenostima čovjekovog razuma.Ideja o prihvatljivosti 50% platonizma dolazi od Luisa Brauera (Luitzen Egbertus JanBrouwer) (1881-1966) 19 , koji je predložio sačuvavanje 50% kantovskog sintetičkog apriornogkoji se može smatrati „svojstvima čovječijeg razuma“, ali koji se ne odnosi na čitavumatematiku, već samo na ideju niza cijelih brojeva. 50% platonisti propagiraju tu iliziju da suKant i intuicionisti pripisali svojstva matematičke strukture cijelih brojeva ne u „drugu realnost“već u „treću realnost“.Mišljenje neurofiziologa bi možda moglo biti interesantno. 20 Takvo mišljenje podržava iizrealski didaktičar matematike Ure Leron 21 .Mišljenja sam da ovdje treba istaći da konzervativizam platonista još uvijek ne prihvatamogućnost postojanja logika osim dvovalentnih logika. Proteklo je preko 40 godina od otkrićafazi skupova (i fazi logike) 22 i preko dvadeset godina of otkrića Intuicionaističke teorije faziskupova 23 čija je logika - Intuicionistička logika. Dakle, logika sa beskonačno prebrojivo mnogoistinitisnih vrijednosti.I na kraju ovog dijela, može se postaviti pitanje: Kako bi trebalo da se odnose prema ideji“Treće realnosti“ naši kompjuteri, koji učestvuju u razvoju matematike?III. Matematika – to je matematičko modeliranje?Georg E.P.Box: All models are wrong, but some are useful. 24Treći pokušaj pristupa matematici je zasnovan na pojmu modela. Opšte je prihvaćeno damodeliranje igra značajnu ulogu u nauci. Parafrazirajući Kanta 25 , moglo bi se reći da u nekojnauci ima onoliko nauke koliko se ona zanima modelitanjem. Neke nauke pokušavajumodelirati sam proces modeliranja (kao na primjer, filozofija). Međutim, pokazalo se damatematika komunicira sa modeliranjem na poseban način. Model – to je “object” koji se koristi18 P. Bernays: Sur le platonisme dans les mathematiques; L'enseignement mathematique, 34 (1935), 52-69.19 L.E.J.Brauwer: Intuitionism and Formalism, Talk on the occasion of his election to the Royal Academyof Sciences in 1912.20 Patricia S. Churchland and Paul Churchland: Neural worlds and real worlds. Nature ReviewsNeuroscience, No. 3(11)(2002), 903-907.21 D.A.Romano: Some Remarks on Uri Leron’s Origin of Mathematical Thinking; In: The 17 th AnnualConference Communication Course and Conference “Communication and Education”, August 29 th –September 3 th , 2005. Inter-University Center, Dubrovnik, Croatia, 1-10 pp.22 Fazi skupova u matematiku uveo je Lotfi Asker Zadeh (rođen 1921. godine) još 1965. godine.23 Intuicionističku teoriju fazi skupova u matematiku je uveo Krešimir Atanasov (rođen 1954. godine) još1983. godine u svom izlaganju: Intuitionistic fuzzy sets; VII ITKR’s Session, Sofia, 1983.24 Box, G. E. P: Robustness in the strategy of scientific model building; In: R. L. Launer, & G. N.Wilkinson (Eds.), Robustness in statistics. New York: Academic Press. 1979, 201-23625 Ich behaupte, dass, in jeder besonderen Naturwissenschaft, nur soviel eigentliche Wissenschaftangetroffen werden kann, als darin Mathematik enthalten ist.10Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?umjesto drugog objekta (“originala”) u cilju utvrđivanja svojstava ovog drugog i prognoziranjanjegovog ponašanja.Smatra se da je sa idejama modeliranja bio upoznat i N.I.Lobačevski (Н. И. Лобачевский)(1792-1856), kada je pokušao identifikovati realnu geometriju fizičkog prostora koristeći seastronomskim mjerenjima. Stvar je u tome šтo je,za razliku od Kanta, njemu bila poznata - nejedna moguća geometrija već dvije (pri čemu ova druga sa određenim parametrom krivine). I,čini se, da je sasvim prirodno što se kod njega pojavilo pitanje: Koja od geometrija bolje opisujefizičku realnost?U biologiji, na primjer, model žive stanice se postepeno razvijao obuhvatajući sve višenovih eksperimentalno dobijenih informacija. Da li se može, ako taj potok novih informacijabude okončan iznijeti tvrdnja da će se, odsada, istraživati taj model takav kakav jeste (negledajući na to da je, možda, neprecizan), i izučavati ga sljedećih nekoliko godina? Oprezninaučnik će kazati da, od tog momenta, taj model postaje matematički model.3.1. Razlikovna karakteristika – konzervirani karakter i samodopadnostMnogi će još uvijek kazati da je matematički model - model izgrađen sredstvimamatematičkih struktura, pri tome misleći na brojeve, prostore, funkcije i slično. Međutim, pomišljenju znatnog broja specijalista, najtačniji razlikovni znak matematičkih modela sastoji se utome što su modeli odvojeni od svojih “originala”. Njih možemo istraživati godinama a da se pritome nikad, ili gotovo nikad, ne upustimo u istraživanje “originala” povezujući dobijenasvojstva modela sa realnim svojstvima “originala. Matematičatri su saglasni da je to glavnakarakteristika matematičkih modela od ne-matematičkih modela. Na taj način, specifičnost kojapravi razliku između matematike i drugih nauka je specifičnost metoda – izgradnja i istraživanjemodela koji su u potpunosti odvojeni od modeliranih objekata. “Više nego išta drugo,matematika je modeliranje.“ 26 . Ili, (Polinije Hamletu) možda je to i bezumlje, ali u njemu imanekog sistema. 27 Na ovu „matematičku ekskurziju“ V.Šekspira skrenuta je pažnja(matematičkoj) javnosti, u knjizi Stanislava Lema „Suma tehnologije“. Matematičar možeproizvoljno modifikovati svoj model, odaljiti ga od orginala po volji, pa čak i urušiti ga (tj.snadbjeti ga nekom kontradikcijom) i baviti se izučavanjem takvog modela godinama. Pomišljenju jednog broja matematičara-filozofa, u matematici su omogućena takvaeksperimentisanja „po definiciji“ - zbog odvojenosti modela od „originala“. Drugim riječima,zbog konzervativnog i samodopadnog kataktera matematičkih modela.3.2. Baze podataka – matematički modeli?Baze podazaka nekog preduzeća su, bez sumnje, model tog preduzeća. Što su bazepodataka potpunije, tim se one lakše mogu iskoristiti kao zamjena samog preduzeća, na primjer,za obradu statističkih podataka, ili za finansijsku kontrolu. U odgovarajućim determinisanjusloženijih privrednih subjekata, matematički model odvajamo od samih privrednih subjekata, ibavimo se tim modelom samostalno. Takvu odvojenost baze podataka od “subjekta“ lakomodeliramo prema različitim ciljevima. Čak, možemo napraviti bazu podataka koja sa polaznim„originalom“ skoro da nema ništa zajedničko. Gotovo sasvim kao u matematici. Takve bazepodataka su, na primjer, podaci koji se po nečemu razlikuje od modela kretanja planetasunčevog sistema, a koji je, kao model, opšte prihvaćen.3.3. Formalni modeli ili matematizirani modeli?Nevjerovatno je, ali istinito (gotovo su svi saglasni) da modeli, odvojeni od svojih„originala“ (tj. konzervirani i samodopadni modeli), obrazuju važnu klasu modela. Bilo biadekvatnije njih nazivati formalizovani modeli, a odgovarajuće baze podataka koje višeodgovaraju prirodi nazivati matematički modeli. Baze podataka preduzeća, nesumnjivo,predstavljaju formalni model, ili specifičnu klasu formalnih modela. Da li istraživanje tih26 Morris Kline: More than anything else mathematics is a method.27 Though this be madness, yet there is method in't.11Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?modela još uvijek ne spada u matematiku? No, kako bi u tom slučaju trebao nazvati nauku kojase bavi istraživanjem ne nekog posebnog formalnog modela ili klasom takvih modela većistraživanjem modela kao takvog? Na ovo piotanje odgovor je ponudio Viktor MihajlovičGluškov (Виктор Михайлович Глушков) (1923-1982): “Ako smatrate da matematika moraimati svijetliju budućnost, tada se, vjerovatno, treba saglasiti - da gorepomenute metode takođespadaju u matematiku. U suprotnom, matematika ide ka konzerviranju, a umjesto nje, pojavićese nešta novo.“ 28Zato bi se trebalo saglasiti sa konstatacijom da - konzervativnost i samodopadnost jesteautentična razlikovna karakteristika, zapravo, samo matematičkih modela. Tako, u skladu saovom tezom, mi se bar malo približavamo razumijevanju „ortogonalne prirode“ matematike kaonauke. Matematika može izučavati proizvoljne objekte, procese, sisteme, i tome slično, bez bilokakvih ograničenosti. Specifikum je samo metod pristupa tom izučavanju – izgradnja modelajeste smisao istraživanja, bez obraćanja ka „nekom originalu“. Matematika treba da se bavirazvojem metoda izgradnje i istraživanja takvih metoda.Sistem cijelih brojeva je model procesa računanja, a sistem realnih brojeva je modelprocesa mjerenja. Ove dvije strukture se najčešće koriste pri izgradnji matematičkih modela.Nije jasno zašto se „brojevno modeliranje“ najčešće poistovječuje sa matematičkimmodeliranjem uopšte. Već odavno nije više tako.U informatici se uveliko koristi tzv. jezik prvog reda (i/ili neki njegove analogije) da bi semodelirala ontologija. Zato se, u informatici, sada može govoriti o ontologijama u množini.3.4. Aspekt negacijeOdvojenost matematičkih modela od „originala“ otvara mogućnost mogućim istraživanjimau nekorisnim pravcima kada se model istražuje sam po sebi, i koji se nikada neće primjenjivatiza modeliranje bilo čega korisnog. Ali, smatra jedna broj matematičara, da su to ipak važnaistraživanja, jer je važno saznati šta ti aspekti pojavnosti modela nude. To je u vrlo bliskoj vezisa osnovnim principom – mogućnost odvojenosti modela od njegovog „originala“ i negovoizučavanje bez komunikacije sa modelom, i, na kraju, mogućnost da se model izmijeni na takavnačin da on ne odgovara više nikakvom „originalu“. Da li je ovo neozbiljno i/ili smiješno? No,bez ovoga nema matematike.3.5. Zašto svi nisu saglasni?Zašto značajan broj matematičara nije saglasan da razlikovni karakter matematičkih teorijaupravo i jeste njihov konzervatizam i samodopadnost? Svjatoslav Sergejevič Lavrov(Святослав Сергеевич Лавров) (1923-2004), u pismu Karlisu Podnieksu (oktobra 1988), iznioo tome svoje mišljenje:„... Drugo, unutar proizvoljne teorije, njene se teoreme sastoje, u pravilu, iz dva dijela:uslova i zaključaka. Zaključci teorema su, prema tome, posljedice ne samo fiksiranih aksiomanego i nekih konkretnih uslova iskazanih u teoremu. A šta su ti uslovi ako ne proširenjefiksiranih principa sistema? Treće, proizvoljna matematička teorija je otvorena za dopunjavanjenovim pojmovima. Tako, u analizi, slijedeći pojam neprekidnosti funkcije, uvode se pojamovi:tačka prekida, klasifikacija takvih tačaka, pojam funkcije neprekidan na segmentu kao i nadrugim skupovima, ravnomjerna neprekidnost, Lipšicov uslov, i tome slično. Istraživanjasvojstva svakog novog pojma, kao i njihovih svojstava, postepeno potiskuju u drugi planpolazni aksiomatski sistem. ...“ 29Ovo uopšte ne protivriječi tezi o nezavisnosti neizmjenjenosti polaznog sistema principa(aksioma i pravila zaključivanja), ali sprječava percepciju matematičkih teorija kao„konzerviranih stvari“ na kojima rade ’radni’ matematičari.28 В. М. Глушков: Гносеологические основы математизации наук; Препринт семинара Институтакибернетики АН УССР “Методологические вопросы кибернетики”, Киев, 1965.29 Karlis Podnieks : The nature of mathematics (Talk on Sankt-Peterburg University, June 22, 2006)12Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?Rasvjetljavanje konzerviranog i samodopadnog karaktera matematičkih modela je samoprvi korak u shvatanju prirode matematike. Ali je zato, bez tog koraka, nemoguće pravilnoshvatiti ni poseban položaj matematike među drugim naukama, ni kako matematika djeluje.3.7. Dva načina gledanja na matematiku!Kao što je poznato, postoje dva mehanizma misaonih djelatnosti čovjeka:(a) Lijeva strana mozga je „kompjuter, koji raspolaže sposobnostima efektivnihalgoritamskih djelatnosti, i koja umije dobro da djeluje u granicama zadanih pravila (a da pritome ne postavlja pitanje „zašto“).(b) Desna strana mozga je tvorac, sposoban prevazilaziti granice određene datim pravilima(to i jeste sposobnost sinteze i stvaranja).Sergej Jurjevič Maslov (Сергей Юрьевич Маслов) (1939-1982) ovdje je vidio analogiju sa30, 31„nekim apsektima razvoja matematike“.K. Podnieks je mišljenja da bi trebalo, bez pretjerivanja u strogosti, proširiti ovu analogijune samo na ‘neke aspekte razvoja matematike’ nego i na svu matematiku uopšte.Dakle, u svijetu matematičkih modela, ljudi se zanimaju dvijema aktivnostima:(a) Istraživanjem fiksiranih modela, fiksiranih matematičkih struktura ili sistemimaaksioma. To ’odgovara’ profilu lijeve polupopte – sposobnost ekfektivnog djelovanja ugranicama zadanih pravila (bez postavljanja pitanja „zašto“);(b) Izmjenama postojećih modela, matematičkih struktura ili skupa aksioma kao iizgradnja novih. To ’odgovara’ desnoj polulopti – sposobnost prelaženja granicadopuštenog, potreba za novim.Tako dobijamo da matematika djeluje, moglo bi se reći, u dvije dimenzije. Veći dio radnogvremena matematičari provode u smjerovima prve dimenzije - radeći u konzervativnimteorijama (nad fiksiranim matematičkim strukturama). Zapravo, ovo je suština i izvor tzv.nedostižne efektivnosti matematike (kako je vide drugi) – sposobnost matematičara do dobijumaksimalan broj zaključaka iz zadanog broja predpostavki. No, s vremena na vrijeme, oni suprisiljeni i kretati duž druge dimenzije – mijenjajući svoje teorije (i strukture), ili izgrađujućinove.3.8. O drugačinem pristupuPrvo determinisanje ne iscrpljuje svu suštinu matematike. Zar matematika nije „hrpa“, naprvi pogled, nepovezanih (iako možda fiksiranih i samodopadnih) struktura? Naravno da nije!Matematika je sistem takvih struktura. Zato istraživanje zakonomjernosti tog sistema trebalo daje važna zadaća filozofije matematike. S te tačke gledišta, bi, gledajući poznati višetomniproject ‘Nikole Burbakija’ 32 - “Elementi matematike” to trebalo prihvatiti kao pokušajsistematskog razmatranja drugog determinisanja matematike.U oktobru 2004. godine Matematičko kraljevsko društvo organizovalo je dvodnevnudiskusiju na temu „Priroda matematičkog dokaza“ 33 , posvećenu mogućnostima izlaska iznajnovije krize. U diskusiji se pojavio širok spektar mišljenja u vezi sa tim, a ni jednomprihvatljivo rješenje. Tema razgovora je bio unutar matematike: problem odnosa međumatematičarima koji se bave teorijskom i primjenjenom matematikom i onih koji se baveprimjenama u računarskim oblastima matematike.IV Zaključak30 С. Ю. Маслов. Асимметрия познавательных механизмов и ее следствия; Семиотика иинформатика, вып. 20, АН СССР, ВИНИТИ, Москва, 1983, 3-31.31 С. Ю. Маслов. Теория дедуктивных систем и ее применения; Радио и связь, Москва, 1986.32 Nicolas Bourbaki je speudonim za udruženje matematičara osnovano 1935. godine od strane francuskihmatematičara Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, CharlesEhresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt, André Weil.33 A. Bundy, D. MacKenzie, M. Atiyah and A. MacIntyre, eds., The nature of mathematical proof,Proceedings of a Royal Society discussion meeting, Phil. Trans. R. Soc. A, 363(1935) (2005), 2461.13Draft

Daniel A. Romano: Šta je to matematika i ko su ti matematičari?U zaključku postavimo pitanje: Kakve se još krize mogu očekivati u daljem razvojumatematike? Jedna od mogućnosti može biti u nekom zatvorenoj unutrašnjoj protivrječnostivisoke složenosti (unutar matematičkih razmatranja) o kojoj sada niko ni ne razmišlja. Možemopokušati sebi predstaviti neke protivrječnosti kao posledice nekih grešaka na novoima dubljihod sadašnje mogućnosti ljudskih poimanja i/ili koji prevazilaze mogućnosti današnjihkompjutera.Da li će se realizovati ove prognoze, ili ne, sigurno je da će se budućnost čiste matematikebitno razlikovati od njene prošlosti. Krajem XIX vijeka gotovo svaki matematičar bio je umogućnosti da u potpunosti ’uvidi’ ispravnost svih tada postojećih teorema u dosta kratkovrijeme. 100 godina poslije, recimo 1976, poslije dokaza teorema o četri boje, o tome ne možebiti ni riječi, ali pojedini matematičari još uvijek teorijski mogli razabrati šta se dešava udokazima bilo kojeg teorema. Procjenjuje se da će situacija 100 godina poslije, recimo 2075.godine, biti znatno složnjena nego što je to sada. Mnoge oblasti čiste matematičke bićeizgrađene uz korištenje teorema čiji dokaze u potpunosti neće moći shvatiti ni jedan živućimatematičar toga doba – ni kao pojedinac ni kolektivnim naporima. Naravno, da će većinamatematičara i dalje dokazivati teoreme tradicionalnim metodama. Moguće je, takođe, da će se,u to vrijeme, oblasti unutar matematike znatno razdvojiti i, sem toga, da će se veza izmeđumatematike i drugih nauka znanto utanjiti te da će principijelo-filozofsko pitanje o jedinstvenompredmetu matematike postati anahronizam.V Literaturakorištena pri pisanju ovog teksta[1] M.Balaguer: Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford Univ. Press, Oxford, 1998.[2] Г.Д.Глезер и Н.Х.Резов: 8-и медународнии конгрес по математическом образованију; Theteachnig mathematics, 1(1998), 59-68.[3] E. B. Davies, Science in the Looking Glass, Oxford Univ. Press, 2003.[4] Brian Davies: Whither Mathematics? Notice of the AMS, 52(11)(2005), 1350-1356[5] Morris Kline: Mathematics and the Search for Knowledge; Oxford University Press, 1985.[6] Karlis Podnieks : The nature of mathematics (Talk on Sankt-Peterburg University, June 22, 2006)[7] Michael D. Resnik. Mathematics as a Science of Patterns, 1999[8] Daniel A.Romano: Da li postoje perspective za nova istraživanja starih problema filozofijematematike? Mat-Kol (Banja Luka), XIII(1)(2007), 17-29.[9] Daniel A.Romano: Osnove matematike, II Dio: Teorija skupova, Knjiga 2: Zermelo-Fraenkelovaaksiomatska teorija skupova; MAT-KOL (Banja Luka), posebna izdanja, broj 5(2007)[10] Daniel A.Romano: Matematička logika, knjiga 1; MAT-KOL (Banja Luka), posebna izdanja, broj7(2008)[11] John F. Sowa, Arun K. Majumdar. Analogical Reasoning; In: Conceptual Structures for KnowledgeCreation and Communication, Proceedings of ICCS 2003, LNAI 2746, Springer-Verlag, Berlin,2003, 16-36.[12] Thomas Tymoczko (ed.): New Directions in the Philosophy of Mathematics; Prinston UniversityPress, 1986. Revised edition, 1998[13] Mathematical Subject Classification (2000), http://www.ams.org/msc/Autor se zahvaljuje Emilu Vlajkiju, profesoru Filozofskog fakulteta Univerziteta uIstočnom Sarajevu, i Siniši Crvenkoviću, profesoru Prirodno-matematičkog fakultetaUniverziteta u Novom Sadu, čije sam sugestije inkorporirao u ovaj tekst kao i Ani Krndija –Romano, lektoru gradske skupštine Banja Luka, na nastojanju da ovaj tekst ima što je mogućemanje jezičkih nedoumica.14Draft