Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike1. Dokazati da za sve skupove A, B, C ⊂ X vrijedi:(i) A\(A\B) = A ∩ B (ii) (A ∪ B)\C = (A\C) ∪ (B\C)(iii) (A\B)\C = (A\C)\(B\C)(iv) A ∪ B = A∆B ∪ (A ∩ B) (v) A ∪ B = A∆B∆(A ∩ B)(vi) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B), gdje je P oznaka za partitivni skup.(vii) (A\B) × C = (A × C)\(B × C) (viii) A × (B\C) = (A × B)\(A × C)(ix) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) (x) f −1 (A) ∩ f −1 (B) = f −1 (A ∩ B)(x) f(A) ∩ B = f(A ∩ f −1 (B))2. Za kakve skupove A, B, C sljedeći sistemi imaju rješenje(i) A ∪ X = B ∩ X, A ∩ X = C ∪ X,(ii) A\X = X\B, X\A = C\X?Šta je rješenje sistema?3. Odrediti relacije R −1 , R ◦ R, R ◦ R −1 , ako je(i) R = {(x, y) : x, y ∈ N ∗ , x|y} ⊂ N ∗ × N ∗(ii) R = {(x, y) : x, y ∈ R, x + y ≤ 0} ⊂ R × R(iii) R = {(x, y) : x, y ∈ R, 2x ≥ 3y} ⊂ R × R4. Ako su R, R 1 , R 2 ⊂ A × B relacije iz A u B, dokazati da je onda:(i) (R 1 ∪ R 2 ) −1 = R −11 ∪ R −12 (ii) (R c ) −1 = (R −1 ) c .5. Dokazati da je relacija ”biti djelitelj” relacija poretka na N ∗ .6. Dokazati da ako je R relacija poretka da je onda i R −1 relacija poretka.7. Dokazati da ako su R 1 i R 2 simetrične relacije da su onda i R 1 ∪ R 2 , R 1 ∩R 2 , R −11 simetrične.8. Neka su R 1 i R 2 simetrične relacije. Dokazati da je R 1 ◦R 2 simetrična akoi samo ako je R 1 ◦ R 2 = R 2 ◦ R 1 .9. Navesti primjer relacije koja je:(i) refleksivna, simetrična i netranzitivna(ii) refleksivna, antisimetrična i netranzitivna.10. Koja od sljedećih relacija je relacija ekvivalencije na S,(i) S = N\{0, 1}, x ∼ y ⇔ nzd(x, y) > 1, gdje je nzd najveći zajedničkidjelilac;(ii) S = R, x ∼ y ⇔ (∃n ∈ Z) x = 2 n y?1

11. Neka su R 1 i R 2 relacije ekvivalencije na X. Dokazati:(i) R 1 ◦ R 1 = X × X ⇔ R 1 = X × X;(ii) R 1 ◦ R 2 = X × X ⇔ R 2 ◦ R 1 = X × X.12. Uz pomoć matematičke indukcije dokazati:n∑ 1(i)(3k − 2)(3k + 1) = n3n + 1(ii)(iii)(iv)(v)(vi)k=1n∑(−1) k k 2 n n(n + 1)= (−1)2k=1∣n∑ ∣ ∣∣a k ≤k=1k=1n ∑k=1|a k |, gdje su a 1 , . . . , a n ∈ R proizvoljni;n∏cos x 2 k = sin x2 n sin x , za proizvoljno x ∈ (0, π);2 nn∏ (1 + x2 k) = 1 − x2n+1, za sve x ≠ 1;1 − xk=0n∑k=11√k< 2 √ n, za n ≥ 2;( ) n,n+1(vii) n! 1.13. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat saa 1 = 1, a 2 = 1, a n = 1 2Dokazati da je 1 ≤ a n ≤ 2, za sve n ∈ N ∗ .14. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat sa(a n−1 + 2a n−2)(n ≥ 3).a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n−1 + 2a n−2 (n ≥ 3).Dokazati da je a n = 3 · 2 n−1 + 2 · (−1) n , za sve n ∈ N ∗ .15. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat sa a n = 2a n−1 + 3a n−2 (n ≥ 3). Dokazati:(i) Ako su a 1 , a 2 ∈ N neparni, onda su svi (a n ) neparni;(ii) a 1 = a 2 = 1 ⇒ a n = 1 2(3 n−1 − (−1) n) (n ∈ N ∗ ).16. Koje od sljedecih funkcija f : N ∗ × N ∗ → N ∗ je surjektivna, ako je(i) f(a, b) = a + b (ii) f(a, b) = ab (iii) f(a, b) = ab(b+1)2(iv) f(a, b) = ab(a+b)2(v) f(a, b) = 3 a−1 (3b − 1)2