Zadaci iz Osnova matematike

11. Neka su R 1 i R 2 relacije ekvivalencije na X. Dokazati:(i) R 1 ◦ R 1 = X × X ⇔ R 1 = X × X;(ii) R 1 ◦ R 2 = X × X ⇔ R 2 ◦ R 1 = X × X.12. Uz pomoć matematičke indukcije dokazati:n∑ 1(i)(3k − 2)(3k + 1) = n3n + 1(ii)(iii)(iv)(v)(vi)k=1n∑(−1) k k 2 n n(n + 1)= (−1)2k=1∣n∑ ∣ ∣∣a k ≤k=1k=1n ∑k=1|a k |, gdje su a 1 , . . . , a n ∈ R proizvoljni;n∏cos x 2 k = sin x2 n sin x , za proizvoljno x ∈ (0, π);2 nn∏ (1 + x2 k) = 1 − x2n+1, za sve x ≠ 1;1 − xk=0n∑k=11√k< 2 √ n, za n ≥ 2;( ) n,n+1(vii) n! 1.13. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat saa 1 = 1, a 2 = 1, a n = 1 2Dokazati da je 1 ≤ a n ≤ 2, za sve n ∈ N ∗ .14. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat sa(a n−1 + 2a n−2)(n ≥ 3).a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n−1 + 2a n−2 (n ≥ 3).Dokazati da je a n = 3 · 2 n−1 + 2 · (−1) n , za sve n ∈ N ∗ .15. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat sa a n = 2a n−1 + 3a n−2 (n ≥ 3). Dokazati:(i) Ako su a 1 , a 2 ∈ N neparni, onda su svi (a n ) neparni;(ii) a 1 = a 2 = 1 ⇒ a n = 1 2(3 n−1 − (−1) n) (n ∈ N ∗ ).16. Koje od sljedecih funkcija f : N ∗ × N ∗ → N ∗ je surjektivna, ako je(i) f(a, b) = a + b (ii) f(a, b) = ab (iii) f(a, b) = ab(b+1)2(iv) f(a, b) = ab(a+b)2(v) f(a, b) = 3 a−1 (3b − 1)2