0.1 Kongruencije - OVDJE

Als 2 e een artikel, ook uit het AZB., over weigering van een advertentie, in 1930, doorhet OO. van het F.N.Z.Voogdij over Coöperatieve Zuivelfabrieken.Bron het Alg. Zuivel-en Melkhygiënisch Weekblad 31 jan 1930Voor korte tijd is verschenen een boekwerkje, getiteld: „Contróle op zuivelfabrieken ende Rentabiliteit der Melkveehouderij", door G. J. Blink 1 . In dit boekje worden dingengezegd, die van het grootste belang zijn voor de Nederlandse boeren en zuivelindustrie.Het was dus van belang dat het verspreiding vond bij boeren en zuivelfabrieker. Daaromwerd door de uitgevers besloten om in een advertentie in die bladen, welke door boerenen zuivelfabrieken gelezen worden, de aandacht der belanghebbenden op deze nieuweuitgave te vestigen. Onder anderen werd hiervoor een advertentie opgegeven voor hetOfficieel Orgaan van den F.N.Z.Dit orgaan weigerde echter de advertentie, klaarblijkelijk de inhoud van het boekje nietgeschikt achtend voor zijn lezers.Op zichzelf is deze weigering natuurlijk niet erg, want het bedoelde werkje zal ook zonderdeze advertentie wel de weg vinden tot de Nederlandse boeren en zuivelbereiders.Er ligt zelfs in die weigering een compliment opgesloten voor de schrijver van het boekje,want de leiding van het Officieel Orgaan van de F.N.Z. schijnt het zo overtuigend tevinden, dat zij er bevreesd voor is, dat het gelezen wordt.Dat wij op deze - op zichzelf dus zeer onbelangrijke - zaak hier de aandacht meenden temoeten vestigen, vindt zijn oorzaak in de diepere betekenis, welke deze weigering vaneen advertentie heeft. Want zij demonstreert, hoe de verhouding van het Officieel Orgaanvan den F.N.Z. en zijn lezers is.Het doel van het Officieel Orgaan blijkt niet te zijn, om zijn lezers voor te lichten omtrentwat er in de wereld gebeurt in verschillende kringen en groepen, desgewenst meteen nadere verklaring erbij van de leiding van dit orgaan óf en waarom men het met heteen of ander wel of niet eens is. Dit doel blijkt nu uitsluitend te zijn, om aan de lezersvoor te zetten, wat aan die leiding aangenaam of welgevallig is. En om aan die lezers teonthouden, wat de leiding niet prettig of niet juist vindt. Als men toch deze tactiek reedstoepast op de advertenties, dan behoeft men er niet aan te twijfelen, of ook het redactionelegedeelte naar dit principe wordt behandeld.De lezer van het Officieel Orgaan van de F.N.Z. bevindt zich dus in de positie niet vaneen volwassen man, die op de hoogte wenst te zijn van wat er in zijn vak omgaat, dochvan een kind, dat men - omdat het zelf nog niet oordelen kan - angstvallig een bepaaldevoor hem klaar gemaakte portie nieuws toemeet. De leiding van het Officieel Orgaanbepaalt, wat zijn lezers wèl en wat zij niet mogen lezen. Een boekje over contróle opzuivelfabrieken acht de bewuste leiding voor zijn lezers niet geschikt en daarom moetzelfs het verschijnen van zulk een boekje voor hen zoveel mogelijk geheim worden gehouden.1G.J. Blink was secretaris van de Vereeniging voor Zuivelindustrie en Melkhygiëne (V.V.Z.M.)Deze vereeniging geeft uit Het Algemeem Zuivel- en Melkhygiënisch Weekblad (A.Z.B.) waarvan G.J.Blink (Hoofd)Redacteur was.Heruitgave zuivelhistorienederland.nl 3

0.2. TRI FUNDAMENTALNE TEOREME 5znači da je U x ⊆ U y . Na isti način se dokazauje i obrnuta inkluzija, pa imamoU x = U y .Sa druge strane, preslikavanje [x][a] i = [y][a] i je, očgledno bijekcija,skupa U x na skup U y , Pa svaki skup U x ima tačno k elemenata. Takosmo dokazali da je ϕ(n) = km, th. da k|ϕ(n).Teorema 0.5 (Ojlerova teorema) Ako je (a, n) = 1 tada jea ϕ(n) ≡ 1 mod n.Dokaz. Iz prethodnog slijedi da postoji prirodan broj k sa a k ≡ 1 mod n ik|ϕ(n), pa je, prema tome, i a ϕ(n) ≡ 1 mod n i k|ϕ(n).Teorema 0.6 (Mala Fermaova teorema) Ako je p prost broj, a cio broji p ̸ |a tada jea p−1 ≡ 1 mod p.Dokaz. Dokaz slijedi iz prethodne teoreme, jer je za prost broj p očiglednoϕ(p) = p − 1.Primjer 0.3 Odrediti one proste brojeve p za koje je 2p−1 −1ppotpun kvadrat.Broj 2 nema navedenu osobinu.p ̸ |2, na osnovu male Fermaove teoreme slijedi da je 2p−1 −1pKako za ostale proste brojeve p vrijedicio broj. Pretpostavimoda postoji n za koje je 2p−1 −1p= n 2 . Tada je 2 p−1 − 1 = pn 2 .Slijedi da je n neparan broj, Kako je i p neparan, recimo, p = 2k + 1 to je(2 k − 1)(2 k + 1) = pn 2 . Brojevi 2 k − 1 i 2 k + 1 su relativno prosti pa barjedan od njih mora biti potpun kvadrat.Ako je 2 k − 1 = r 2 tada je 2 k = r 2 + 1, pa je 2 p−1 = (r 2 + 1) 2 . Slijedi dar mora biti neparan, pa ako je r = 2s + 1 to je 2 p−1 = 4(2s 2 + 2s + 1), a ovoje moguće samo za s = 0 i onda slijedi da je p = 3.Ako je 2 k + 1 = r 2 onda je 2 k = r 2 − 1, pa je 2 p−1 = (r 2 − 1) 2 . Opet rmora biti neparan, pa ako je r = 2s + 1 tada je 2 p−1 = 16(s 2 + s) 2 , a ovo jemoguće samo za s = 1, pa je sada p = 7.Uz pomoć Ojlerove teoreme jednostavno se može riješiti linearna rekurzija,Teorema 0.7 Neka je (a, n) = 1. tada rekurzija ax ≡ b mod n ima rješenjex = a ϕ(n)−1 b mod n.

6Dokaz. Znamo od ranije da u ovom slučaju jednačina ima jedinstvenorješenje. Sa druge strane jeax ≡ a ϕ(n) b ≡ b mod n.Evo jedne zanimljive primjene Ojlerove teoreme na miješanje karata.Kao primjer Wilsonove teoreme navodimoTeorema 0.8 Neka je p neparan prost broj. Tada kvadratna kongruencijax 2 + 1 ≡ 0 mod p,ima rješenje ako i samo ako je p ≡ 1 mod 4.Dokaz. Neka je a rješenje date kongruencije. Tada p ̸ |a. Na osnovu maleFermaove teoreme vrijedi1 ≡ a p−1 = ( p−1a2) 2= (−1) p−12 mod p.Kako je p neparan prost broj to je p = 4k + 3 ili p = 4k + 1. Prvi slučajotpada je tada p−12= 2k + 1 pa imamo 1 ≡ −1 mod p iz čega slijedi p|2,što je nemoguće. Prema tome p mora biti oblika p = 4k + 1.Obrnuto, neka je p = 4k + 1. Očigledne su kongruencijep − 1 ≡ −1 mod p,p − 2 ≡ −2 mod p.p − p−12≡ − p−12mod pp − p+12≡ p−12mod p,.p − (p − 1) ≡ 1 mod p,,pa je(p − 1)! ≡ (−1) p−12( p − 1) 2 1 · 2 · · · mod p.2Sa druge strane, na osnovu Wilsonove teoreme je (p − 1)! ≡ −1 mod p ičinjenice da je p−12paran vrijedi[ ) ( p − 1 2−1 ≡ !]mod p,2pa je, dakle ( p−1) 2 ! rješenje kongruencije.

0.3. RACIONALNI, REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI 70.3 Racionalni, realni i kompleksni brojeviPrsten cijelih brojeva je dobijen kao minimalan prsten koji sadrži skupprirodnih brojeva. Postavlja se pitanje? Da li se prsten cijelih brojeva možeproširiti do polja. Drugim riječima, postoji li polje koje sasži prsten cijelihbrojeva tako da se operacije sabiranja i množenja sa cijelim brojevima utom polju poklapaju sa operacijama u Z. Vidjećemo da je to moguće. Možese pomisliti da je to moguće za svaki komutativan prsten sa jediničnim elementom,ali nije. Ako prsten ima djelitelja nule, onda je to nemoguće štopokazuje sljedećaTeorema 0.9 Svako polje je oblast cijelih.Dokaz. Ako su a, b iz nekog polja i ab = 0 i a ≠ 0, tada je b = (a −1 a)b =a −1 (ab) = a −1 · 0 = 0.Može se pokazati da se svaka oblast može proširiti do polja. Mi ćemo topokazati na oblasti cijelih brojeva. Postupićemo slično kao kod formiranjacijelih brojeva.Definicija 0.1 Poljem racionalnih brojeva nazivamo presjek polja koja sadržeprsten cijelih brojeva i kod kojih se operacije sa cijelim brojevima poklapajusa istim operacijama u Z.Postupićemo malo drukčije nego kod formiranja prstena cijelih brojeva.Naime konstruisaćemo to polje direktno iz prstena Z.Posmatrajmo skup X = {(a, c) : a, c ∈ Z, c ≠ 0}. Definišimo na skupuX relaciju ∼ sa(a, c) ∼ (b, d) ⇔ ad = bc.Ovo je relacija ekvivalencije. Zaista,• (a, c) ∼ (a, c) jer je ac = ac.• (a, c) ∼ (b, d) ⇒ ad = bc ⇒ (b, d) ∼ (a, c).• (a, c) ∼ (b, d), (b, d) ∼ (e, f) ⇒ ad = bc, bf = ed, slijedi adf = bcf =ecd, pa je af = ed, što znači da je (a, c) ∼ (e, f).Klasu ekvivalencije elementa (a, c) označićemo sa a c, a skup svih klasaekvivalencije označićemo sa Q.Vrijedi, prije svega, sljedeće:ab = c ⇔ ad = bcd

8Iz ove aksiome neposredno slijedi da za svako c ≠ 0 vrijedi:ab = acbc ,što je poznato pravilo za ,,kraćenja” (odnosno ,,proširivanje”) razlomaka.Teorema 0.10 Skup Q u kome su sabiranje i množenje definisani na sljedećinačin:ac + b ad + bc= ,d cdac · bd = abcdje polje, koje sadrži prsten cijelih brojeva.Dokaz. Treba, prije svega, dokazazati da su operacije korektno definisane.Prvo trebamo dokazati da iz a b = a′bi c ′ d = c′dslijedi:′ad + bcbd= a′ d ′ + b ′ c ′b ′ d ′ .Prelazeći sa ovih jednakosti na jednakosti u skupu cijelih brojeva trebadokazati da iz jednakosti ab ′ = a ′ b, cd ′ = c ′ d slijedi jednakost (ad+bc)b ′ d ′ =(a ′ d ′ + b ′ c ′ )bd, što se lako izvodi.Takod¯e se lako provjerava da je sabiranje razlomaka asocijativno, komutativno,da ima neutralni element 0 1 , te da svaki razlomak a bima suprotan− a b = −ab .Jednostavno se provjerava da je i množenje korektno definisano. Sadase lako provjerava da je Q komutativan prsten sa jediničnim elementom 1 1 .Ako je a ≠ 0 tada je a c ≠ 0 i očigledno vrijedi: ac · ca = 1 1, a to znači daje Q polje.Treba još objasniti kako polje Q sadrži prsten cijelih brojeva. To možedjelovati zbunjujuće, jer su elementi iz Q klase ekvivalencije, a ne cijelibrojevi. Ako su a i b cijeli brojevi tada jea1 + b 1 = a + b1 , a 1 · b1 = ab1 .Vidimo da se operacije sa klasama a 1 , b 1operiše isto kao sa a i b pa se cijelibroj a može identifikovati sa klasom a 1. Uz tu identifikaciju polje Q sadržiprsten Z.Definicija 0.2 Polje Q se naziva poljem racionalnih brojeva, a klase ekvivalencijea cse nazivaju razlomcima.

0.3. RACIONALNI, REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI 9Zbog mogućnosti proširivanja svaki se razlomak može napisati u obliku, (c > 0). Sada se poredak definiše na sljedeči načinacac < b ⇔ ad < bc.dNeka je a 0 cio broj, a a i ∈ {0, 1, . . . , 9}, (i = 1, 2, . . .). Može se pokazatida izrazD = a 0 + a 110 + a 210 2 + · · · + a n10 n + · · ·predstavlja jedinstven objekt.Definicija 0.3 Prethodni objekt se označava sa a 0 .a 1 a 2 . . . a n . . . i naziva sedecimalnim brojem. Decimalni broj oblika a 0 .a 1 a 2 . . . a n 0 . . . 0 . . . označavase kraće sa a 0 .a 1 a 2 . . . a n i naziva se konačnim decimalnim brojem.Vidjećemo da decimalni brojevi predstavljaju svakako najvažniju klasu brojevau matematici, a to su realni brojevi. Teorija realnih brojeva je stvorenau 19 vijeku. To je, dakle, stvar savremene matematike, a izazvala je brojnepolemike med¯u vrhunskim matematičarima toga vremena. Suština je štose u prethodnom izrazu može sabirati do u beskonačno, pa se odmah možepostaviti ima li to smisla. Stari grci, koji su svakako začetnici savremenematematike su takav proces smatrali logički apsurdnim. Taj je problemsuština Zeno-ovog paradoksa. Zeno je, pod uslovom da se prostor možedijeliti do u beskraj smislio čuveni paradoks o trci Ahila sa kornjačom.Primjer 0.4 (Zenoov paradoks) Ahil je 10 puta brži od kornjače. Kornjačase nalazi na, recimo, 100 metara od Ahila. Dok Ahil pretrči 100metara, kornjača je prešla 10 metara. Dok Ahil pretrči tih 10 metara kornjačaje prešla 1 metar. Dok Ahil pred¯e 1 metar kornjača je prešla ...., isve tako do u beskraj. Prema tome, Ahil nikada ne može stići kornjaču.Rješenje Posmatrajmo ,,broj”x = 10 + 1 + 1 10 + 1100 + · · · .Dok kornjača pred¯e put x Ahil pred¯e put 100 + x. Neka kornjači za to trebat k = x v kvremena. Ahilu za prelazak puta dužine 100 + x trebat A = 100 + xv A= 100 + x10v k= 10 + x 10v k.

0.3. RACIONALNI, REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI 11Time je prvi dio dokazan. Specijalno imamo10 p q = 10a + a 1 + a 210 + · · · a n10 n+1 + · · · ,pa se razlaganje broja 10 p q dobija iz razlaganja broja p qpomjeranjem decimalnetačke, za jedno mjesto udesno.Neka je x = a.a 1 a 2 · · · a n b 1 b 2 · · · b k periodičan decimalni broj. Tada je10 n x = aa 1 · · · a n + r, pri čemu jer = 0.b 1 b 2 . . . b k .Tada je 10 k r = b, b 1 b 2 . . . b k = b+r, pri čemu je b = b 1 10 k +b 2 10 k−1 +· · ·+b k .Dobijamo r =b , pa je r racionalan, a to povlači da je i x racionalan.10 k −1U sljedećem primjeru navešćemo decimalne izraze za recipročne vrijednostijednocifrenih brojeva.Napomenimo da tačke iznad cifara znače da će se te cifre redom ponavljati.1Primjer 0.5 Vrijedi:2 = 0.5, 13 = 0.˙3, 14 = 0.25, 15 = 0.2, 16 = 0.1˙617 = 0.˙1˙4˙2˙8˙5˙7, 1 8 = 0.125, 1 9 = 0.˙1.Ne mogu se svi racionalni brojevi predstaviti decimalnim brojevima na jedinstvennačin. Može se dokazati da dvije različite reprezentacije imaju samokonačni decimalni brojevi i to:a.a 1 a 2 · · · a n 0 · · · 0 · · · = a.a 1 a 2 · · · (a n − 1)9 · · · 9 · · · .Definicija 0.5 Neperiodične decimalne brojeve nazivamo iracionalnim brojevima.realnim brojevima nazivamo skup racionalnih i iracionalnih brojevai označavamo ga sa R.Može se dokazati da je R polje, koje sadrži polje racionalnih brojeva.Polje R se može urediti tako da se takvo ured¯enje na Q poklapa sa ranijedefinisanim ured¯enjem na Q. Pokažimo da su racionalni brojevi ,,gusto”raspored¯eni u skupu realnih brojeva.Teorema 0.12 Izmed¯u svaka dva realna broja postoji racionalan broj .Dokaz Neka su a i b realni brojevi i 0 < a < b. Ako su a i b racionalnitada je a < a+b2< b, pa je tvrdnja, u ovom slučaju tačna. Zato možemopretpostaviti da je bar jedan od brojeva a ili b iracionalan. Predstavimooba broja kao decimalne brojeve. Kako je a < b mora postojati decimalno

12mjesto na kome je odgovarajuća decimala broja a manja od odgovarajućedecimale broja b. Neka su to decimale a n i b n . Ako je a iracionalan ondacifru prvo cifru a n povečavamo za 1, pa ostavimo sve cifre do prve koja jerazličita od 9, a sve preostale zamijenimo sa 9 dobijemo traženi racionalnibroj.Ako je b iracionalan onda cifru b n smanjimo za 1, ostavimo prvu sljedećucifru koja nije nula, a sve ostale zamijenimo sa nulom i dobijemo traženi broj.U smislu aksioma realni brojevi zadovoljavaju jednu aksiomu više. To jetzv. aksiom potpunosti ili neprekidnosti.Definicija 0.6 Za podskup A ⊂ R kažemo da jeograničen sa gornje straneako postoji realan broj M, takav da je a ≤ M, za svaki a ∈ A.Jedan od načina iskazivanja aksioma potpunosti je i sljedeći:Teorema 0.13 (Aksiom o gornjoj granici) Ako je A ⊂ R ograničen sagornje strane, tada med¯u svim gornjim granicama postoji najmanja.Teorema 0.14 Jednačina x 2 = 2 ima rješenje u skupu realnih brojeva.Dokaz. Formirajmo decimalan broj na sljedeći način. Uzmimo a 0 = 1. Sadasegment [1, 2] podijelimo na deset dijelova i izaberemo segment [ 1 + i10 , i+1 ]10za koji je ( )i 2 (10 < 2, 1 +i 210)> 2. jasno je i = 4, pa je a1 = 4, Sada ovajsegment podijelimo na deset jednakih dijelova i biramo onaj segment za kojije ( 1 + 410 + k ) 2 (100 < 2, 1 +510 + k+1 ) 2100 > 2. Dobijamo a2 = 1 itd.Može se dokazati da nizovi konačnih decimalnih brojeva koji se pojavljujuu ovim nejednakostima proizvode isti decimalni broj r, za koji vrijedi2 ≤ r 2 ≤ 2, što znači da je r 2 = 2.Mi ćemo pokazati, jednim primjerom, da racionalni brojevi ne zadovoljavajuaksiom u neprekidnosti.Primjer 0.6 Neka je A skup svih racionalnih brojeva čiji su kvadrati manjiod 2. Pokazati da u skupu racionalnih brojeva skup A nema najmanje gornjegranice.Rješenje. Tvrdnja će biti dokazana ako za svaku gornju granicu M skupa Au skupu Q odredimo manju. Neka je M gornja granica skupa A u Q. Vrijedi,prije svega, M ≠ √ 2, jer znamo da √ 2 nije racionalan broj. Ako bi biloM < √ 2, tada bi na osnovu prethodne teoreme postojao racionalan broj rtakav da je M < r < √ 2. To je nemoguće, jer bi tada bilo r ∈ A, a M je gornjagranica skupa A. Zbog toga mora biti √ 2 < M. Na osnovu prethodneteoreme postoji takav racionalan broj N, za koji vrijedi √ 2 < N < M, paje N gornja granica skupa A, koja je manja od M.

0.3. RACIONALNI, REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI 13Definicija 0.7 Za skup A koji je ograničen sa gornje strane najmanju gornjugranicu nazivamo supremum skupa A i označava sa sup A. Ako A imanajveći element, onda je taj element supremum i naziva se maksimalni element.Supremum skupa (koji nije maksimum) ima sljedeću osobinu: Ako jeM = sup A i ε > 0 proizvoljno, postoji a ∈ A, takav da vrijediM − ε < a < M.Drugim riječima, postoji element a ∈ A ,,proizvoljno” blizu sup A.Analogno se pokazuje da svaki skup B ograničen sa donje strane imanajveću donju granicu. Ona se naziva ili skupa B i označava sa inf B.Infimum, analogno supremumu, ima sljedeću osobimu: Ako je m = inf B, aε > 0 proizvoljan, postoji b ∈ B takav da jem < b < m + ε.Ovo znači da postoji element skupa B proizvoljno blizu m.Postoje vrlo jednostavne formule koje omogućuju da se infimum skuparačuna preko supremuma ili obrnuto. One glase:sup A = − inf{−A}, inf A = − sup{−A},pri čemu je sa −A označen skup koji se sastoji od elemenata −a (a ∈ A).Ukoliko skup A nije ograničen sa gornje strane, stavićemo sup A = +∞.Isto tako ćemo za skup B, koji nije ograničen sa donje strane, staviti inf B =−∞. Simboli +∞ i −∞ ne pripadaju skupu realnih brojeva. Oni se dodajuskupu realnih brojeva i imaju sljedeće osobine:dok izrazi−∞ < a < +∞, za svaki realan broj a,a + (+∞) = +∞ + a = +∞, za svaki realan broj a,−∞ + a = a + (−∞) = −∞, za svaki realan broj a,+∞ + (+∞) = +∞, −∞ + (−∞) = −∞,a · ∞ = ∞,a∞= 0, za svaki realan broj a,∞ · ∞ = ∞,∞ − ∞, 0 · ∞, 1 ∞ , 0 ∞nisu definisani.Skup R = R ∪ {−∞, +∞}, nastao dodavanjem skupu R simbola +∞ i−∞ naziva se proširenim skupom realnih brojeva.

163) |z + w| ≤ |z| + |w| (nejednakost trougla).Dokaz. Nejednakosti iz 1) slijede neposredno iz jednakosti|z| 2 = (Rez) 2 + (Imz) 2 .Za 2) imamo |zw| 2 = zwzw = zwzw = zzww = |z| 2 |w| 2 .Dokaz za 3) slijedi iz sljedećih razmatranja.|z + w| 2 = (z + w)(z + w) = |z| 2 + zw + zw + |w| 2 = |z| 2 + 2Re(zw) + |w| 2 .Na osnovu 1) odavde dobijamojer je očigledno |w| = |w|.|z + w| 2 ≤ |z| 2 + 2|z||w| + |w| 2 = (|z| + |w|) 2 ,Primjer 0.7 (Lagranžov identitet) Neka su x, y, u, v ∈ mathbbR. tadavrijedi(xu − yv) 2 + (xv + yu) 2 = (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ).Dokaz. Jednakost predstavlja jednakost 2) za z = x+iy, w = u+iv napisanuna drugi način. Identitet se, naravno, može dobiti i direktim računom.Primjedba 0.2 Lagranžov identitet pokazuje da se proizvod sume kvadratacijelih brojeva uvijek može dobiti ponovo kao suma kvadrata.Sada ćemo dati geometrijsku interpretaciju kompleksnih brojeva i na osnovunje izvesti Moavrovu formulu koja je jedna od najznačajnijih formula umatematici. Svaki je kompleksan broj odred¯en svojim realnim i imaginarnimdijelom, dakle, parom realnih brojeva. Kako se parovi realnih brojeva mogupredstavljati tačkama ravni, tako ćemo i kompleksne brojeve predstavljatitačkama ravni, koju ćemo nazivati kompleksna ravan. Broj z = a + ib bićepredstavljen tačkom čije su koordinate a = Rez i b = Imz. Na taj ćenačin svi realni brojevi biti predstavljeni tačkama x-ose, pa se zato x-osa, ukompleksnoj ravni, naziva realna osa.Kako je svaka tačka ravni jednoznačno odred¯ena svojim radijus vektorom,i kompleksan broj z možemo predstavljati radijus vektorima tačke(Re z, Im z). Zanimljivo je da se, na taj način, kompleksni brojevi mogusabirati i oduzimati ,,geometrijski”, kao vektori.Ako u ravni uvedemo polarne koordinate ρ i ϕ jednakostimax = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,

184. Pokazati da su sljedeći brojevi iracionalnia) √ 5b) 3√ 6c) √ 2 √ 5 + 1d) √ 2 + √ 3e) log 2 55. Da li je broj A racionalan ili iracionalan√A = 7 + 4 √ √3 + 7 − 4 √ 36. Ako su cjelobrojne tačke (a, b), (c, d) podjednako udaljenje od tačke( √ 2, 1/3), onda je (a, b) = (c, d)7. Postoje li iracionalni brojevi a, b takvi da je a b racionalan broj?8. Odrediti supremume i infimume, te po jednu majorantu i minorantusljedećih skupovaa) {1/n| n ∈ N} u skupu Rb) {x ∈ Q| x 2 < 3} u skupu Qc) {x ∈ Q| x 2 < 3} u skupu Rd) {(n + 2)/(2n − 3)| n ∈ N} u skupu R9. Korišćenjem Moavrovog obrasca izvesti formule zaa) sin 2α, cos 2αb) sin 3α, cos 3αc) sin 5α, cos 5α