ij - POWERLAB - Univerza v Mariboru

UNIVERZA V MARIBORUFAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO,RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO2000 Maribor, Smetanova ul. 17mag. Miran HORVATOBRATOVANJEELEKTROENERGETSKIH OMREŽIJStabilnost v elektroenergetskih omrežjih(Samo za interno uporabo)Maribor, 30 maj 2001

K A Z A L O1. STABILNOST ELEKTROENERGETSKIH SISTEMOV...........................................................11.1 UVOD.........................................................................................................................................11.2 STATIČNA STABILNOST ..............................................................................................................21.2.1 Enačba prenosne moči..........................................................................................................41.2.1.1 Enostrojni problem.................................................................................................................... 41.2.1.2 Več strojni problem................................................................................................................... 51.2.2 Preprečitev padca iz sinhronizma v stacionarnem obratovalnem stanju .............................81.3 DINAMIČNA ALI TRANZIENTNA STABILNOST ............................................................................101.3.1 Uvod ...................................................................................................................................101.3.2 Nihajna enačba...................................................................................................................111.3.3 Ugotavljanje odklopnega kota po kriteriju enakih površin ................................................131.3.4 Določitev nihajne krivulje...................................................................................................172. LITERATURA................................................................................................................................201. VAJA................................................................................................................................................212. VAJA................................................................................................................................................223. VAJA................................................................................................................................................234. VAJA................................................................................................................................................245. VAJA................................................................................................................................................256. VAJA................................................................................................................................................277. VAJA................................................................................................................................................288. VAJA................................................................................................................................................309. VAJA................................................................................................................................................3310. VAJA...........................................................................................................................................3611. VAJA...........................................................................................................................................3712. VAJA...........................................................................................................................................3813. VAJA...........................................................................................................................................4014. VAJA...........................................................................................................................................4215. VAJA...........................................................................................................................................43

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 11. STABILNOST ELEKTROENERGETSKIH SISTEMOV1.1 UvodVsi deli elektroenergetskega sistema so elektromagnetno med seboj tako spojeni, da soobratovalna stanja v enem delu sistema odvisna od obratovalnih stanj v vseh ostalihdelih sistema. Vse elektrarne v sistemu obratujejo paralelno z natanko isto frekvenco f.Ta je povezana s številom polovih parov p in številom obratov v minuti n z odvisnostjon⋅pf = (1)60Za konstantno frekvenco mora tudi število obratov generatorja ostati konstantno.Na sliki 1 sta prikazana dva medsebojno povezana električna generatorja, ki skupajnapajata porabnika z impedanco Z. V ravnotežnem obratovanju je mehanska moč, ki jodovajamo na obeh oseh generatorjev po velikosti enaka vsoti električnih moči, ki jihgeneratorja oddajata porabniku.ZP el1P el2GE 1 E 2GP m1P m2Slika 1: Primer omrežja z dvema generatorjemaPm 1+ Pm 2= Pel1+ Pel2(2)Če se impedanca sistema poveča, pride do hitrega zmanjšanja električne moči.Pm1> P(3)el1Razlika obeh moči je moč, ki želi vrtenje generatorja pospešiti vse do tistega številavrtljajev n 1 in kota δ 1 , ko se moči izenačita.Elektroenergetski sistem je stabilen, ko vsi vanj vključeni sinhronski stroji ostanejo medseboj v sinhronem teku. Drugače povedano sistem imenujemo stabilen, če je sposobenrazviti ob zunanji motnji take sile, da te nadvladajo motnjo in ponovno vzpostavijoravnotežje.Pri paralelno delujočih generatorjih je stabilnost vsebovana lastnost sistema. Zapovečanje kota med kazalcema induciranih napetosti dveh povezanih strojev je sistemutreba dovesti energijo. Kot med dvema takima kazalcema ne bo imel tendencospontanega povečevanja. To pomeni, da električno med seboj povezana sinhronskastroja naravno čuvata svoj sinhronizem. Isto velja za poljubno število strojev v sistemu.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 2Sinhronski tek pa ne izključuje manjših oscilacij nekaterih strojev glede na os, ki se vrtis sinhronsko hitrostjo. Tako si lahko predstavljamo, da se paralelno obratujočisinhronski stroji v elektroenergetskih sistemih obnašajo podobno, kot bi bili rotorji medseboj povezani z bolj ali manj elastičnimi vzmetmi. Motnje, ki jih občuti en generator,se namreč prenašajo na vse, seveda na bližnje bolj kot na oddaljene.V razdelilnih omrežjih skoraj ne srečujemo sinhronskih strojev. Zato ta omrežjastabilnostnih problemov v pravem pomenu besede ne poznajo. Problemi stabilnosti sepojavljajo le v prenosnih oz. povezovalnih omrežjih. Pri tem je normalna posledicaizgube stabilnosti delitve sistema na več podsistemov, v katerih običajno nizagotovljeno ravnotežje med proizvodnjo in porabo. To pomeni, da se mora obratovanjeustaviti. S tem v zvezi govorimo o "razpadu" elektroenergetskega sistema. Ponovnostavljanje sistema v obratovanje je pa vedno dolgotrajno, ker ponovna sinhronizacijapodsistemov ni možna prej, preden vsak podsistem ne omeji porabe do tiste mere, da jedoseženo ravnotežje med lastno porabo in lastno proizvodnjo.Stabilnostne probleme na obliko motnje in glede na ponovno obliko vzpostavitveravnotežja delimo v dve skupini:a) problem statične stabilnostiTu pride do izgube sinhronizma s počasnim povečevanjem faznega kota napetostimočno obremenjenih strojev, dokler ta kot ne prekorači skrajne meje. Pri statičnistabilnosti je sprememba bremena zvezna in diferencialna.b) problem dinamične ali prehodne stabilnostiPri prehodni stabilnosti pride do izgube sinhronizma z udarcem v sistemu, bodisi zgrobim stikalnim manevrom pri velikem bremenu ali velikem agregatu, bodisi skratkim stikom na daljnovodu in njegovi izključitvi, kar ima za posledico velikospremembo nadomestne prenosne impedance sistema.Ločitev obeh primerov je v določitvi kriterijev doklej lahko neko spremembo šesmatramo za zvezno in od kdaj dalje za sunkovito. Elektroenergetski sistem v splošnemdobiva trajno udarce, ki so sicer manj pomembni, ki pa lahko postanejo tem boljnevarni, čim večja je trajna fazna razlika med induciranimi napetostmi strojev.1.2 Statična stabilnostjX sU zjX zU ∞GEe jδIe jϕ∞ zbiralkaSlika 2: Generator priključen na neskončno zbiralkoNeskončna zbiralka nam predstavlja neskončno močan sistem za katerega lahkosmatramo, da je napetost U neodvisna od obratovalnega stanja generatorja.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 3X zX sEδU z– nadomestna impedanca omrežja med zbiralkama– sinhronska reaktanca– notranja ali lastna napetost generatorja– kot moči– napetost zbiralke generatorjaEU zI⋅jX sδUI⋅jX zϕISlika 3: Kazalčni diagramZa notranjo napetost generatorja lahko napišemo:E = U + I ⋅jX(4)szČe skozi statorsko navitje ne teče tok, sta napetosti U z in E enaki in generator ne oddajamoči. Pri tem je kot δ = 0, kar ustreza naslednji sliki.magnetna os statorjamagnetna os rotorjaSlika 4: Primer magnetnih osi, ko generator ni obremenjenČe obesimo breme, statorsko magnetno polje zaostaja za rotorskim magnetnim poljem,kar lepo vidimo na naslednji sliki.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 4magnetna os statorjaδmagnetna os rotorjaSlika 5: Primer magnetnih osi, ko je generator obremenjenKot moči δ je v splošnem kot med kazalcema v sinhronskem stroju inducirane napetostiin kazalcem sistemske napetosti, kar je razvidno iz kazalčnega diagrama na sliki 3.1.2.1 Enačba prenosne moči1.2.1.1 Enostrojni problemjX sU zjX zUGEe jδIe jϕP el∞ zbiralkaSlika 6: Generator priključen na neskončno zbiralkoOglejmo si, kolikšno električno moč P el oddaja sinhronski generator velikemu sistemu(neskončni zbiralki), na katerega je priključen preko reaktance X z (slika 6).Generator pošilja v omrežje tokojδj0oE−U E⋅e−U⋅eE j( δ −90 ) U oj90I = =o= ⋅ e + ⋅ e = Ij901+I 2, (5)jX X ⋅eX Xki ga matematično prikažemo kot vsoto dveh tokov. Pri tem je X = X s + X z .Moč P e , ki jo generator oddaja neskončni zbiralki jePel*( E I ) Re( )= Re ⋅ = S (6)Če vstavimo naslednjo enačbo

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 5I*oE j( δ 90 ) U= ⋅ e + ⋅eX X− − o− j90(7)v enačbo (6) dobimo za oddano električno moč P eo⎛ δ ⎛ E j( δ 90 ) UPel= Re( E⋅ I ) = Re⎜E⋅e ⋅⎜⋅ e + ⋅e⎝ ⎝ X X* j − − o− j902oEoj90 E⋅Uj( δ −90)= ⋅ e + ⋅eX XČe upoštevamo, da jePeljαe cosαj sin= + ⋅ α znaša P eEU ⋅o EU ⋅= ⋅cos( δ − 90 ) = ⋅sinδXX⎞⎞⎟⎟=⎠⎠(8)(9)To moč oddaja sinhroni generator neskončni zbiralki in jo imenujemo nazivna prenosnamoč, samo enačbo pa enačbo prenosne moči. Za konstantni vrednosti E in U je ta močpreko sinusne funkcijske odvisnosti povezana s kotom δ. Odtod tudi ime kota δ.Največjo vrednost prenosne moči imenujemo omahna moč. Delovanje generatorja je vpogojih statične stabilnosti stabilno vse dotlej, dokler je oddana moč generatorja manjšaod omahne moči, oziroma dokler je izpolnjen pogoj dP/dδ > 0.P elP elP omδδMot.Gen.Slika 7: Odvisnost prenosne moči od kota1.2.1.2 Več strojni problemParametri omrežja se v matričnih enačbah pojavljajo v obliki kvadratnih matrik. Čevzamemo 3+1 vozliščni sistem omrežja (slika 8) s šestimi admitancami vej y 01 , y 02 , y 03 ,y 12 , y 13 in y 23 , je vozliščna admitančna matrika definirana kot

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 10( ) ( )U ⋅ X −X U ⋅ X + XQ1 =− in R=2⋅X ⋅X 2⋅X ⋅X2 2z s z z s zs z s z(34)in podaja krivuljo mejne statične stabilnosti, ki je pri regulaciji ne smemo prekoračiti.QQ 1RU z 2 / X sPSlika 10: Omahna krivulja statične stabilnostiAvtomatska regulacija je navadno nastavljena strožje od omahne krivulje statičnestabilnosti, kar samo zagotavlja dodatno sigurnost obratovanja. Koliko varnosti želimopa je stvar rizika, ki smo ga pripravljeni prevzeti. Tako strožje nastavljeno krivuljoimenujemo tudi krivuljo mejnega vzbujanja. Predstavlja nam mejo pri kateri zaščitasproži ustrezne ukrepe.1.3 Dinamična ali tranzientna stabilnost1.3.1 UvodO tranzientni ali dinamični stabilnosti govorimo, kadar pride v električnem omrežju donenadne in velike motnje. Take motnje so:a) kratki stiki,b) odklopi daljnovodov, transformatorskih postaj in elektrarn,c) izpad velikih porabnikov.Posledica take motnje je neravnotežje med mehansko močjo P m , ki jo generator na osiprejema in električno močjo P el , ki jo generator oddaja omrežju. Zaradi neenakosti obehmoči dobimo presežek ali manjek dovedene mehanske moči, kar povzroči pospeševanjeali zaviranje rotorja generatorja tako dolgo, dokler ponovno ne pride do ravnotežjamoči.Pospeševanje ali zaviranje rotorja pa je povezano s časovnim spreminjanjem kotamoči δ. Nas bo pri preučevanju tranzientne stabilnosti v prvi meri zanimalo, kako se kotmoči δ v odvisnosti od časa t spreminja in kdaj zaide v nestabilno področje delovanja,

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 11to je kdaj zavzame take vrednosti, da je ponovni povratek v področje stabilnega stanjanemogoč.1.3.2 Nihajna enačbaPreden preidemo na določitev diferencialne enačbe, ki nam bo povezovala pospeševalnomoč P p = P m – P el s časovno spremembo kota moči δ in to diferencialno enačbo bomoimenovali nihajna enačba, si pokličimo v spomin vse povezave med veličinami pripremen in krožnem gibanju. Te povezave bomo v preglednici 1 podali naprej za premogibanje in nato v preglednici 2 za krožno gibanje.Preglednica 1: Premo gibanjePotHitrostPospešeks [m]dsv =dt⎡m⎤⎢⎣ s ⎥⎦2 2dvd s ⎡m⎤a = =2 ⎢ ⎥dtdt⎣ s ⎦Sila F = m⋅a [ N]Gibalna količinaG = m⋅v⎡kg ⋅m⎤⎢⎣ s ⎥⎦WMoč P = F⋅v [ ]mv ⋅2Kinetična energija E = [ J]k2Preglednica 2: Krožno gibanjeKotϑKotna hitrostdϑ⎡rad⎤ω =dt⎢⎣ s ⎥⎦Kotni pospešek2dωd ϑ ⎡rad⎤α = =2 2dtdt⎢⎣ s ⎥⎦NavorM = I ⋅ α ⎡ Js⎢⎤o⎣el.⎥⎦Vrtilna količinaΓ= I ⋅ω ⎡ s 2⎢ ⎤rad⎥⎣ ⎦P = M ⋅ ω WMoč [ ]2I ⋅ω2Kinetična energija E = [ J]kV zgornjih preglednicah sta m masa gibanega telesa in I njegov vztrajnostni moment.Med obema preglednicama je popolna analogija, če si zapomnimo ustreznosti veličin

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 12s →ϑm→IF → MG →ΓSedaj pa predpostavimo, da generatorju na osi dovajamo mehansko moč P m , generatornaj oddaja v omrežje električno moč P el , zaradi motnje pa naj je ravnotežje obehporušeno in naj velja P m > P el . Zaradi tega neravnotežja deluje na rotor generatorjapospeševalna močPp = Pm − Pel= M ⋅ ω(35)Če vstavimo izraz za navor M in upoštevamo izraza za vrtilno količino Γ in kotnipospešek α dobimoPp2d ϑ= I⋅α⋅ ω =Γ⋅ α =Γ⋅ (36)2dtFazni kot ϑ je povezan s kotno hitrostjo ω, časom t in kotom moči δ z odvisnostjoϑ = ω⋅ t +δ (37)odtod jein2 2d ϑ d δ= (38)2dt dt 22d δPp = Pm − Pel=Γ⋅ (39)2dtDobljeno odvisnost imenujemo nihajna enačba. Podaja nam na začetku poglavjanapovedano iskano odvisnost pospeševalne moči od časovne spremembe kota moči δ.Skupno z izrazom za P el (9) in definicijama za kotno hitrost ω in kotni pospešek α izpreglednice 2 nam podaja sklop enačb, ki jih bomo morali upoštevati pri razreševanjunihajne enačbe.V dimenzioniranju sinhronih generatorjev igra važno vlogo vztrajnostna konstanta H.Ta je definirana z razmerjem med kinetično energijo rotorja pri nazivni kotni hitrosti innazivno močjo generatorja P n2EkI ⋅ωΓ⋅ωH = = =Pn2⋅Pn2⋅PnOdtod lahko vrtilno količino Γ izrazimo kot2⋅Pn⋅HΓ= (41)ω(40)

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 13Vztrajnostna konstanta H je za neko izvedbo generatorja podana vrednost. Razvojsodobnih generatorjev gre v smeri zmanjševanja H. To pa pomeni, da postajajo sinhronigeneratorji glede tranzientne stabilnosti vse bolj občutljivi (manjši Γ v nihajni enačbipomeni pri istem P p večjo spremembo kota moči δ). Manjšanje H zahteva kompenzacijopo drugi strani: hitreje delujoče vzbujalne sisteme, hitreje delujoče releje in stikala,nižje reaktance vodov in hitrejšo regulacijo turbin.1.3.3 Ugotavljanje odklopnega kota po kriteriju enakih površinPri vsaki motnji želimo v električnem omrežju ugotoviti ali je kot moči na vsehgeneratorjih omrežja ostal v področju stabilnega obratovanja. Mejni kot δ, pri katerempreide generator v nestabilno področje delovanja, imenujemo odklopni kot δ od Imeizvira iz zahteve, da je za stabilno obratovanje potrebno motnjo odstraniti prej, predenkot moči doseže vrednost odklopnega kota.Velikost odklopnega kota δ od , za vsako motnjo enostavno določimo po kriteriju, ki gaimenujemo kriterij enakih površin. Kriterij bomo razložili na najenostavnejšemprimeru na sliki 11, kjer nam en sam generator napaja neskončno zbiralko prekoreaktance X z .GjX s'jX zE'U zIUP elE'Uj⋅I(X s '+X z )ϕISlika 11: Primer za razlago kriterija enakih površinPri izračunu tranzientne stabilnosti izhajamo iz enake enačbe prenosne moči kot vprimeru statične stabilnosti, le da moramo v enačbi (9) upoštevati tranzientne vrednostiE', X s ', δ'. Prenosno moč za primer tranzientne stabilnosti zapišemo sedaj z enačboP'el'E ⋅U'= ⋅sinδX + X'sz(42)Mi pa bomo tudi v tem primeru raje uporabljali enačbo prenosne moči v obliki enačbe(9) in se bomo pri tem seveda zavedali, da so veličine E, X s in δ pač tranzientnevrednosti.

P m00Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 14Praviloma imajo vse motnje, ki so kritične za tranzientno stabilnost naslednjo skupnotočko: nenadna sprememba električne moči P el ob praktično nespremenjeni mehanskimoči P m . Mi pa si bomo za razlago kriterija enakih površin izbrali zaradi preglednostirazlage ravno obratno pot. Predpostavljali bomo, da se je ob konstantni električni močiP el nenadoma skokovito povečala mehanska moč na osi generatorja in sicer od P m0 naP m1 . Pri tem smatrajmo, da sta na neskončni zbiralki vrednost napetosti U in frekvenca fkonstantni.P m1PΑ 11 3Α 22Α 3δ 0 δ 1 δ 2 δ 3δSlika 12: Razlaga kriterija enakih površinPredpostavimo, da smo imeli v trenutku nastanka motnje stacionarno stanje z delovnotočko 0. Če v trenutku t = 0 mehanska moč hipoma naraste na P m1 , dobimopospeševalno močEU ⋅Pp = Pm 1− Pm0 = Pm 1− Pel = Pm1− ⋅ sinδ0(43)Xki bo pospeševala rotor vse do delovne točke 1, kjer bo pri kotu δ 1 spet doseženaenakost mehanske in električne moči. V tej točki se rotor neha pospeševati, mu je pakotna hitrost rahlo nad sinhronsko in ima zaradi tega tudi povečano kinetično energijo.Med pospeševanjem pridobljeni prirastek kinetične energije je po velikosti enakšrafirani površini A 1 .Zaradi višje kotne hitrosti od sinhronske, se kot δ povečuje tudi še dalje, ko se rotorzavira in se v kinetični energiji nakopičen višek dovedene mehanske energije zopetpretvarja nazaj v električno energijo. V točki 2 se je ves prirastek kinetične energijespremenil v povečano električno energijo P el2 . Ker pa je ta večja od dovedene mehanskeenergije, se rotor še nadalje zavira, kot δ se začenja zmanjševati. Če ne bi bilomehanskih in električnih izgub, bi rotor stalno nihal med točkama 0 in 2, zaradi izgubpa se postopoma izniha v delovno točko 1.Pogoj iznihanja je, da smo sposobni pretvoriti v električno energijo ves višek kinetičneenergije, ki se je v rotorju nakopičila v času pospeševanja rotorja. Ker je ob zanemaritviizgubA l = A 2morata krivulja moči P el in premica konstantne moči P m1 oklepati površino A 3 , ki morabiti večja od A 1 . Dokler bo A 3 > A 1 oziroma δ 3 > δ 2 je izpolnjen pogoj dinamične

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 15stabilnosti. Največji kot moči, ki ga dobimo pri prenihaju, ne sme biti večji od mejnegakota dinamične stabilnosti δ 3 . V kolikor generator ni v stanju vrniti v rotorjuakumulirani višek energije, nam rotor "pobegne" in stroj izpade iz sinhronizma.V primeru študije vpliva kratkih stikov na tranzientno stabilnost bomo želeli določitikoliko vrednost kota δ 1 smemo doseči v trenutku izklopa motnje, da še vedno dobimostabilno obratovanje, da torej pri prenihaju ne preseženo kota δ 3 .Največji dopustni kot δ 1 pri katerem se po odklopu motnje ponovno vrnemo v stabilnostanje, imenujemo odklopni kot δ od . Čas, v katerem naraste kot moči na vrednost δ od ,imenujemo odklopni čas t od . Če odstranimo motnjo pred potekom odklopnega časa, sesistem povrne nazaj v stacionarno stanje.Uporabo kriterija enakih površin bomo ponazorili pri določitvi odklopnega kota zaprimer, ko je omrežje preko katerega je generator vezan na neskončno zbiralko, podanona sliki 13.jx 2E' jx 1P mGCjx 3P elDjx 4UABSlika 13: Primer omrežjaPredpostavimo, da gre za tripolni kratki stik na daljnovodu 3 in je torej dovoljenaenofazna predstavitev. Zanima nas, kolika je vrednost odklopnega kota δ od , če poznamoobe napetosti E' in U, velikosti vseh reaktanc in je moč na osi generatorja P mkonstantna.V ta namen moramo določiti potek električnih prenosnih moči P el = f(δ,X) za triobratovalna stanja:a) prenosno moč P ela pred nastopom motnje,b) prenosno moč P elb med trajanjem motnje inc) prenosno moč P elc po odstranitvi motnje, to je po odklopu okvarjenega daljnovoda.Ogledali si bomo vrednosti in grafično predstavili vrednosti električnih prenosnih močiza vse tri primere.a) Pred nastopom motnje smo imeli prenosno močPela=XE⋅U⋅sinδX ⋅ X+ + X2 31 4X2 + X3Na sliki 14 je prikazan potek moči P ela .b) Po nastopu motnje generator ne oddaja neskončni zbiralki nobene električne moči.P = 0(45)elb(44)

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 16Ta odvisnost je na sliki 15 identična z abscisno osjo. Do te ugotovitve pridemosorazmerno enostavno, če vemo, da je v primeru kratkega stika vozlišče D napotencialu 0.GE=E' jx 1Cjx 2jx 3DP elb = 0jx 4USlika 14: Primer omrežja po okvaric) Po izklopu stikal A in B je okvarjeni daljnovod izločen. Prenosna moč P elc je poodklopu kratkega stikaPelc=E⋅U⋅sinδ+ +X1 X2X 4(46)PP elaP elcΑ 2P mΑ 1δ 0 δ 1 δ 2 δ 3δP elbSlika 15: Diagrami prenosnih moči za vse tri primerePo nastanku kratkega stika se rotor pospešuje vse do trenutka odklopa okvarjenegadaljnovoda, ko doseže vrednost δ 1 . Površina A 1 je sorazmerna prirastku kinetičneenergije, ki se pri tem nakopiči v rotorju.P ( δ δ ) P ( δ )A1 p 1 0 m 1= ⋅ − = ⋅ −δ (47)0Po odklopitvi okvarjenega daljnovoda začne hitrost rotorja pojemati, kot δ pa naraščavse do točke 2, ko kotna hitrost pade na vrednost sinhronske kotne hitrosti in je vrnjenaelektrična energija enaka nakopičenemu prirastku kinetične energije.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 17δ2( P P )= ∫ − ⋅dδ(48)A2elc mδ1Obe površini A 1 in A 2 sta enaki. Odklopni kot δ od (to je največja dopustna vrednost kotaδ 1 ) dobimo tako, da postavimo δ 2 = δ 3 , kot δ 1 = δ od pa izračunamo iz pogojaδ3m⋅( δod− δ0 ) = ( Pelc −Pm) ⋅dδ1P∫ δ (49)Če pa bi želeli določiti tudi odklopnemu kotu δ od pripadajoči odklopni čas t od ,moramo razrešiti nihajno enačbo in iz dobljene odvisnosti δ(t) odčitati δ odpripadajoči čas t od .1.3.4 Določitev nihajne krivuljeGrafično predstavljeno odvisnost δ(t), ki predstavlja rešitev nihajne enačbe za danerobne pogoje (podano velikost P m , obliko motnje itd.), poznamo v stabilnostnihproblemih pod imenom nihajna krivulja. Kriterij enakih površin nam je omogočildoločitev velikosti odklopnega kota δ od , še bolj kot ta pa nas zanima velikostpripadajočega odklopnega časa t od . Stikala morajo kratek stik odklopiti pred potekomtega časa. Nihajna krivulja nam preko znane vrednosti δ od omogoča določitev tega zanastavitev stikal tako pomembnega časa t od .Čeprav je mogoče določiti odklopni čas tudi z ročnim računanjem, so vendar postopkinumerične integracije z uporabo digitalnih računalnikov naravnost predestinirani zarazreševanje teh problemov. Mi bomo to numerično integracijo nihajne enačbe prikazalipo Eulerjevi metodi, čeprav bi bila ravno metoda Runge-Kutta dosti bolj natančna inmanj občutljiva za velikost časovnega intervala t. Za Eulerjevo metodo morajo bitiizbrani časovni intervali dovolj majhni (0,05 s ali manj).Uporabo Eulerjeve metode bomo prikazali na izračunu nihajne krivulje za generator, kije priključen na neskončno zbiralko po sliki 10. Nenadna motnja naj je znižala prenosnomoč P el (velikost X z je porasla). Pri izračunih predpostavljamo, da sta pospeševalna močP p in s tem tudi kotni pospešek α konstantna od sredine prejšnjega do sredinenaslednjega intervala. V vsakem intervalu pa računamo s srednjo vrednostjo kotnehitrosti ω.Postopek izračuna opravimo po naslednjem vrstnem redu:a) Izračunamo pospeševalno moč P p ob nastanku motnje( )EU ⋅ ⋅ sinδ+ 0Pp( + 0) = Pm − Pel( + 0)= Pm− (50)Xb) Iz nihajne enačbeP p2d δ=Γ⋅ =Γ⋅ α(51)2dtizračunamo sedaj začetni kotni pospešek

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 18( 0)α + =P p( + 0)Γ(52)c) Sprememba kotne hitrosti v polovici prvega intervala je∆t∆ ω1 = α( + 0)⋅ (53)2Sedaj smemo v prvem intervalu računati s povprečno kotno hitrostjoω = ω +∆ω (54)1 0 1d) Sprememba kota moči v prvem časovnem intervalu je enaka∆ δ = ⋅∆ (55)1ω1 tin velikost kota moči po prvem intervalu∆ δ = δ +∆δ (56)1 0 1Izračunano vrednost δ 1 sedaj uporabimo za izračun pospeševalne moči P p (1) vnaslednjem intervalu. Vrednosti enačb (50) do (56) se v drugem intervalu spremeni le vtoliko, da moramo za spremembo kotne hitrosti od tu dalje uporabiti velikost celotnegačasovnega intervala in ne le polovičko. Splošno bi v nekem k-tem intervalu računali poenačbah( k )EU ⋅ ⋅sinδ−1Pp( k− 1)= Pm− (57)X( k 1)Pp−ωkωk− 1= + ⋅∆tΓ(58)δ = δ + ω ⋅∆ (59)k k−1ktOpisani računski postopek nas direktno sili v računalniško določitev nihajne krivulje.Tu lahko vzamemo časovni interval ∆t dovolj majhen, poleg tega pa odvisnost δ(t)lahko podamo tabelarično (izpis) ali grafično.Sedaj pa si še oglejmo diagram poteka za računalniški izračun nihajne krivulje pometodi korak po korak.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 19ČitanjeP m , E, U, Γ, X, ω 0 , t, t max , δ maxP ⋅ Xδ0= arcsin mEU ⋅Določitev začetnega kota močik = 1Nastavitev števca intervalaEU ⋅PpmXPp( 0)∆tω1 = ω0+ ⋅Γ 2( 0) = P − ⋅sinδ( 0)Izračun P p in ω za prvi intervalδ δ ωk=k−1+k⋅∆tδ k < δ maxNeDaIzpis ali izris δ(t)k⋅∆t < t maxNeDak = k + 1EUP k P kXP k ⋅∆t( − 1) = − ⋅sinδ( −1)⋅pmpωk= ωk− 1+( −1)ΓSlika 16: Diagram poteka za določitev nihajne krivuljeSeveda obstajajo tudi kompleksni računalniški programi za reševanje problemovtranzientne stabilnosti v sistemu z več generatorji in več mest napajanja, Vendar topresega naš namen, ki je bil v prvi vrsti podati pregleden in jasen pregled problemov stega področja.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 202. LITERATURA[1] Marjan Plaper, Elektroenergetska omrežja II. del, Ljubljana 1975[2] Tine Zorič, Jože Voršič, Izračun obratovalnih stanj v elektroenergetskih omrežjih,Visoka tehniška šola Maribor, 1980[3] Mohamed E. El-Hawary, Electrical Power Systems, Design and Analysis, IEEEPress[4] Glenn W. Stagg – Ahmed H. El. Abiad; Computer Methods in Power SystemAnalysis[5] Darko Požar, Dinamična stabilnost električnega omrežja z več generatorji –diplomsko delo, Visoka tehniška šola Maribor, 1980

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 211. VajaKolikšna je meja statične stabilnosti prenosa električne energije z daljnovodomDravograd – Pekre, nazivne napetosti 110 kV, ki ima:R = 9.34 ΩX = j31.51 ΩB/2 = j1.147⋅10 –6 SPredpostavimo, da je napetost na zbiralkah HE Dravograd reguliramo (1.05·U n ) in da sozbiralke v Pekrah toga mreža. Kot osnovno moč izberemo S osn = 100 MVA in osnovnonapetost izberemo enako nazivni U osn = 110 kV. Izračunamo osnovno impedanco:Zosn3( 110⋅10) 22Uosn= = = 121Ω6S 100⋅10osnReaktanca daljnovoda, reducirana na osnovno impedanco je:X 31.51x = = = 0.2604Z 121osnNadomestna vezava:Gj0.26041.05 1.0Največja električna moč, ki jo lahko še prenesemo je pri kolesnem kotu δ = 90º(sinδ = 1):pmeu ⋅ 1.05⋅1= = = 4.0321x 0.2604V realnem prostoru je to:Pm = pm⋅ Sosn= 4.0321⋅ 100 = 403.21 MW

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 222. VajaKolikšna je meja statične stabilnosti prenosa električne energije z daljnovodomCirkovce – Podlog nazivne napetosti 220 kV, ki ima:R = 3.012 ΩX = j20.97 ΩB/2 = j71.406⋅10 –6 SPredpostavimo, da je regulirana napetost na zbiralkah v Podlogu in da so zbiralke vCirkovcih toge. Osnovno moč izberemo S osn = 100 MVA, osnovno napetost paU osn = 220 kV.Zosn3( 220⋅10) 22Uosn= = = 484 Ω6S 100⋅10osnReaktanca daljnovoda, reducirana na osnovno impedanco je:X 20.97x = = = 0.0433Z 484osnNadomestna vezava:Gj0.04331.05 1.0Največja električna moč, ki jo lahko še prenesemo je pri kolesnem kotu δ = 90º(sinδ = 1). Meja statične stabilnosti je pri:pmeu ⋅ 1.05⋅1= = = 24.2346x 0.0433V realnem prostoru je to:Pm = pm⋅ Sosn= 24.2346⋅ 100 = 2423.46 MW

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 233. VajaIzračunajte mejo statične stabilnosti prenosa električne energije za daljnovodMaribor – Krško nazivne napetosti 400 kV, ki ima:R = 2.38 ΩX = j24.528 ΩB/2 = j6.786⋅10 –6 SPredpostavimo, da je regulirana napetost na zbiralkah v Mariboru in da so zbiralke vKrškem toge. Osnovno moč izberemo S osn = 100 MVA, osnovno napetost paU osn = 400 kV.Zosn3( 400⋅10) 22Uosn= = = 1600 Ω6S 100⋅10osnReaktanca daljnovoda, reducirana na osnovno impedanco je:X 24.528x = = = 0.0153Z 1600osnNadomestna vezava:Gj0.01531.05 1.0Največja električna moč, ki jo lahko še prenesemo je pri kolesnem kotu δ = 90º(sinδ = 1). Meja statične stabilnosti je pri:pmeu ⋅ 1.05⋅1= = = 68.4932x 0.0153V realnem prostoru je to:Pm = pm⋅ Sosn= 68.4932⋅ 100 = 6849.32 MW

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 244. VajaKako visoko leži meja statične stabilnosti prenosa električne energije zdvosistemskim daljnovodom 110 kV, dolžine 200 km ob regulirani napetostigeneratorjev na vhodu in zelo velikem omrežju na izhodu.u = 1.05u = 1.0S T = 2×40 MVAu k = 10.5 %x = 0.4 Ω/kmIzberemo osnovno moč S osn = 100 MVA in osnovno napetost pa U osn = 110 kV.Osnovna impedanca je:Zosn3( 110⋅10) 22Uosn= = = 121Ω6S 100⋅10osnReaktanca daljnovoda v enotinih vrednostih je:xDVxl ⋅ 1 0.4⋅200 1= ⋅ = ⋅ = j0.33062 Z 2 121osnReaktanca transformatorja v enotinih vrednostih je:xTSosn100= uk⋅ = 0.105⋅ = j0.13125S 240 ⋅Nadomestna vezava:TG j0.13125 j0.33061.05x Tx DV1.0Meja statične stabilnosti je pri:pmeu ⋅ eu ⋅ 1.05⋅1= = = = 2.2735x x + x 0.13125 + 0.3306TDVV realnem prostoru je to:Pm = pm⋅ Sosn= 2.2735⋅ 100 = 227.35 MW

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 255. VajaKako visoko leži meja statične stabilnosti prenosa električne energije zdvosistemskim daljnovodom 110 kV, dolžine 200 km ob regulirani napetostigeneratorjev na vhodu in zelo velikem omrežju na izhodu, če upoštevamo šekapacitivnost voda.u = 1.05u = 1.0S T = 2×40 MVAu k = 10.5 %x = 0.4 Ω/kmb/2 = 1.3⋅10 –6 S/kmIzberemo osnovno moč S osn = 100 MVA in osnovno napetost pa U osn = 110 kV.Osnovna impedanca je:Zosn3( 110⋅10) 22Uosn= = = 121Ω6S 100⋅10osnDaljnovod simuliramo s π-nadomestno vezavo. Reaktanca daljnovoda v enotinihvrednostih je:inxxDVxl ⋅ 1 0.4⋅200 1= ⋅ = ⋅ = j0.33062 Z 2 121osn1 1 1 1= ⋅ = ⋅ =−j15.89322⋅ 2⋅ 2⋅j1.3⋅10 ⋅200 121C −6b l ZosnReaktanca transformatorja v enotinih vrednostih je:xTSosn100= uk⋅ = 0.105⋅ = j0.13125S 240 ⋅Nadomestna vezava:TG 1.05 j0.13125 j0.3306 1.0x T–j15.8932x DVx C–j15.8932Vzdolžno reaktanco, ki vpliva na mejo statične stabilnosti dobimo s pretvorbo zvezde vtrikot:

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 26x⋅ xj0.13125 + j0.3306j0.13125 j0.3306 j0.4591T DV=T+DV+ = + + =xC−j15.8932x x xTako dobimo novo nadomestno vezavo:Gj0.45911.05x1.0Meja statične stabilnosti je:pmeu ⋅ 1.05⋅1= = = 2.2871x 0.4591V realnem prostoru je to:Pm = pm⋅ Sosn= 2.2871⋅ 100 = 228.71 MWKapacitivnost daljnovoda torej le neznatno dvigne mejo statične stabilnosti.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 276. VajaZa koliko se zviša meja statične stabilnosti prenosa električne energije zdvosistemskim daljnovodom 110 kV, dolžine 200 km ob regulirani napetostigeneratorjev na vhodu in zelo velikem omrežju na izhodu, če ga priključimo na220 kV.u = 1.05u = 1.0S T = 2×40 MVAu k = 10.5 %x = 0.4 Ω/kmPrenosna moč je sorazmerna kvadratu napetosti.pel'uu∝ u= 22Ker zvišamo napetost za dvakrat, je prenosna moč štirikrat večja.Drugi način:a) S osn = 100 MVA in U osn = 110 kV b) S osn = 100 MVA in U osn = 220 kVZosn3( 110⋅10) 22Uosn= = = 121 Ω6S 100⋅10osnZosn3( 220⋅10) 22Uosn= = = 484 Ω6S 100⋅10osnxDVxl ⋅ 1= ⋅ =2 Zosn0.4⋅200 1= ⋅ = j0.33062 121xDVxl ⋅ 1 0.4⋅200 1= ⋅ = ⋅ = j0.08262 Z 2 484osnxTSosn100= uk⋅ = 0.105⋅ = j0.13125S 240 ⋅Tx= ⋅ S⋅ U= 100 1100.105 ⋅ ⋅ = j0.03282 2Tosn 110uk2ST U22022⋅40 220pmeu ⋅ eu ⋅= = =x x + xTDV1.05⋅1= = 2.27350.13125 + 0.3306pmeu ⋅ eu ⋅= = =x x + xTDV1.05⋅1= = 9.09880.0826 + 0.0328Pm = pm ⋅ Sosn= 2.2735⋅ 100 = 227.35 MW Pm = pm ⋅ Sosn= 9.0988⋅ 100 = 909.88 MWPrimerjava obeh prenosnih moči:ppm(220)m(110)= 4

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 287. VajaS pomočjo kriterija enakih površin ugotovite ali bo sistem na sliki po nenadnispremembi moči turbine s 50% na 110% ostal stabilen.j0.5Ge = 1.25e jδj0.23x T1x DV1x DV2j0.6j0.07x T2u ∝ = 1.0e j0Povezovalna reaktanca znašax ⋅ x0.5⋅0.6= + + = 0.23+ + 0.07 = 0.5727+ 0.5 + 0.6DV1 DV2xpxT1xT2xDV1xDV2Prenosna električna moč:peleu ⋅ 1.25⋅1.0= ⋅ sinδ = sinδ = 2.1825sinδx 0.5727Kot pred spremembo1pp = 0.5 = p = 2.1825sinδmehelδ = = o' ''13.2438 13 1437Kot po spremembip = 1.1 = p = 2.1825sinδmeh2elδ = =o ' ''30.2656 30 1556Največji dopustni kotδ°o ' ''3= 180 − δ2= 149.7344 = 149 44 412Površina A 1 je sorazmerna kinetični energiji, ki je rotor pospeševala.1δ∫2 2( P P ) ( )A = − dδ = 1.1− 2.1825sinδ dδ=δmehel1 1δδ( δ2 δ1) ( δ2 δ1)⎛( 30.2656 −13.2438)⋅π⎞= 1.1 − + 2.1825 cos − cos =∫° °( )= 1.1⋅ ⎜⎟+ 2.1825 cos30.2656 −cos13.2438⎝ 180 ⎠= 0.0874=

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 29P2.18Α 1Α 31.1Α 20.5δ 1 δ 2 δ m δ 3δPovršina A 3 je sorazmerna kinetični energiji, ki jo lahko sistem pošlje v omrežje kotelektrično energijo.3δ∫3 3( P P ) ( )A = − dδ = 2.1825sinδ − 1.1 dδ=δelmeh2 2δ∫δ( δ δ ) ( δ δ )= 2.1825 − cos + cos −1.1− =3 2 3 2( − )° °⎛ 149.7344 30.2656 ⋅π⎞= 2.1825( − cos149.7344 + cos30.2656 ) −1.1⋅⎜ ⎟=⎝ 180 ⎠= 1.4764Ker je A 3 > A 1 , ostane sistem stabilen.Izračunajmo še kot δ m , do katerega zaniha rotor:A = − dδ = 2.1825sinδ −1.1 dδ2δ mδmδm∫ ( PelPmeh) ∫ ( ) =δ2 δ2( ) (=−2.1825⋅ cosδ −cosδ −1.1⋅ δ − δ == 2.4643−2.1825cosδ−1.1⋅δmm2 m 2Iz pogoja, da sta površini A 1 in A 2 enaki, dobimo° ° '= 0.847794 rad =48.575045 = 48 3430m'')

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 308. VajaPoiščite kritični kot δ k za tripolni kratki stik v podanem modelu omrežja. Prednapako je mehanska moč enaka električni moči, ki jo oddaja generator(P m = P el = 1.0).j0.5Ge = 1.25j0.23x T1x DV1x DV2j0.6j0.05x T2u ∝ = 1.0Do tripolnega kratkega stika pride na koncu enega od vzporednih daljnovodov. Kerpade s tem napetost zbiralk na nič, pade tudi električna moč, ki jo oddaja generatorneskončnim zbiralkam na nič. Po določenem času odklopnika na koncih daljnovoda znapako osamita napako (izklopita daljnovod). S tem dobi povezovalna reaktanca medgeneratorjem in togo mrežo višjo vrednost – meja statične stabilnosti prenosa električneenergije se zmanjša. Imamo torej zaporedje treh stanj.a) Normalno obratovanje z obema daljnovodomaPovezovalna reaktanca je:x ⋅ x0.5⋅0.6= + + = 0.23+ + 0.05 = 0.5527+ 0.5 + 0.6DV1 DV2xpaxT1xT2xDV1xDV2Električna prenosna moč modela je:Pelaeu ⋅= ⋅ sinδ= 2.2615sinδxpab) Električna prenosna moč pade na ničc) Okvarjeni daljnovod je izklopljen (daljnovod 2)Nova povezovalna reaktanca znaša:xpc= xT1 + xDV1 + xT2 = 0.23+ 0.5 + 0.05 = 0.78Ustrezna prenosna električna moč je:Pelceu ⋅= ⋅ sinδ= 1.6026sinδxpcNarišimo odvisnost električne prenosne moči od kota za vsa tri obratovalna stanja.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 31PP elaP m = 1.0Α 2Α 1P elcδ 0δ 3 δ 1 δ 2δ mδP elbZačetni kot δ 0 izračunamo iz razmerja, ko sta električna in mehanska moč enaki.P = 1.0 = P = 2.2615sinδmehKot jeela° ° ' ''δ 0= 26.243337 = 26 1436 = 0.4580 rad0V trenutku ko nastopi kratek stik, pade električna prenosna moč na nič. Presežekmehanske moči pospeši motor, ki doseže v trenutku odklopa poškodovanega daljnovodakot δ 1 . Po izklopu daljnovoda motor prekorači kot δ 1 , sicer s pojemanjem, toda kot se lepoveča na δ 2 , ko je dosežena zopet sinhrona hitrost.V času pospeševanja, se poveča kinetična energija rotorja:∫ ∫ ∫ ∫ A∆ E = P ⋅ dt = M ⋅ω⋅ dt = M ⋅ dδ = k⋅ P ⋅ dδ= k⋅K1 pp1Za oceno stabilnosti nam torej zadošča, da primerjamo površino A 1 , ki je sorazmernapovečanju kinetične energije med pospeševanjem, s površino A 2 , ki je sorazmernazmanjšanju kinetične energije med zaviranjem.Ker iščemo kritični kot (δ 1 = δ k ), ko je treba okvarjeni daljnovod odklopit, da ostanesistem še stabilen, premaknemo δ 2 do presečišča krivulje P elc s črto P meh =konstanta. δ 2je tedaj največji dopustni kot δ m . To je komplementarni kot kota δ 3 , v katerem se motorustavi po prehodnem pojavu:P = P = 1.6026sinδmehelc° ° ' ''δ 3= 38.6078 = 38 36 28 = 0.6738 rad3δ m= − = = =° ° ° ° ' ''180 38.6078 141.3922 141 2332 2.4678 rad

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 32Primerjajmo sedaj površine( ) ( ) ( )A = P ⋅ δ − δ = P −P⋅ δ − δ = δ − 0.45801 p k 0 meh elb k 0 k2δm2.4678( P P ) ( )∫ ∫ δA = − ⋅ dδ = 1.6026sinδ −1 ⋅ dδ =− 1.2154 + 1.6026cosδ+δkelc meh k kδmKer morata biti površini enaki, slediA = A = δ − 0.4580 =− 1.2154 + 1.6026cosδ + δ1 2cosδ= 0.4726kkkδ = = =° ° ' ''61.7968 61 47 48 1.07856 radkk

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 339. VajaPoiščite kritični kot δ k za tripolni kratki stik v podanem modelu omrežja. Prednapako je mehanska moč enaka električni moči, ki jo oddaja generator(P m = P el = 1.0).j0.5Ge = 1.25j0.23x T1x DV2j0.3x DV1x DV3j0.3j0.05x T2u ∝ = 1.0Imamo zaporedje treh obratovalnih stanj:a) Normalno obratovalno stanje pred okvaroPovezovalna reaktanca je( ) 0.5 ( 0.3 03)x ⋅ x + x⋅ += + + = 0.23+ + 0.05 = 0.5527+ + 0.5 + 0.3+0.3DV1 DV2 DV3xpaxT1xT2xDV1 xDV2 xDV3Električna prenosna moč je:Pelaeu ⋅= ⋅ sinδ= 2.2615sinδxpab) Obratovalno stanje v času okvarePovezovalno reaktanco dobimo s pretvorbo trikot–zvezda, prištejemo reaktancitransformatorjev in pretvorimo tako dobljeno zvezdo v trikot:j0.23 j0.5 j0.05j0.3j0.3j0.23 j0.1364 j0.1364 j0.05j0.0818

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 34j0.3664 j0.1864j1.3877j0.0818j0.6090 j0.3098Povezovalna reaktanca jex = 1.3877pbElektrična prenosna moč je:Pelbeu ⋅= ⋅ sinδ= 0.9008sinδxpbc) Daljnovod v okvari je izklopljenPovezovalna reaktanca jex = 0.78pbElektrična prenosna moč je:Pelceu ⋅= ⋅ sinδ= 1.6026sinδxpcNarišimo odvisnost električne prenosne moči od kota za vsa tri obratovalna stanja.PP elaΑ 2P m = 1.0P elcΑ 1P elbδ 0δ κδ mδIzračunajmo začetni kot δ 0 in največji kot δ mP = 1.0 = P = 2.2615sinδmehela0

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 35° ° ' ''δ 0= 26.243337 = 26 1436 = 0.4580 rad°( )P = 1.0 = P = 1.6026sin 180 − δδ mmeh elc m= = =° ° ' ''141.3922 141 2332 2.4678 radIzračunajmo površini A 1 in A 2 , ki sta sorazmerni porastu oziroma zmanjšanju kinetičneenergije:1δk0δ( P P ) ( )∫ ∫kA = − ⋅ dδ = 1−0.9008sinδ ⋅ dδ = δ + 0.9008cosδ−1.26602δδmmeh elb k k0.45802.4678( P P ) ( )∫ ∫A = − ⋅ dδ = 1.6026sinδ −1 ⋅ dδ = δ + 1.6026cosδ−1.2154δkelc meh k kδkPovršini izenačimo in izračunamo kritični kot odklopa:A= A1 2δ + 0.9008cosδ − 1.2660 = δ + 1.6026cosδ−1.2154k k k kcosδ=−0.0721δ kk= = =° ° ' ''94.1346 94 85 1.6430 rad

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 3610. VajaŠtiripolni generator moči S = 10 MVA ima vztrajnostno konstanto H = 2 s.Izračunajte vrtilno količino in kinetično energijo rotorja pri sinhronski hitrostivrtenja.Vztrajnostna konstanta je definirana kot razmerje kinetične energije rotorja in nazivnemoči:2I ⋅ωH 2 Γ⋅ϖ= =S 2 ⋅ S"Mehanska" kotna hitrost je odvisna od števila polovih parov:2π⋅ fω =pTako dobimo vrtilno količino:2 ⋅H ⋅SΓ= = ⋅ = ⋅ω6 2 6 21.27 10 MVAs / el.st. 2.55 10 MVAs /stKinetična energija rotorja pri sinhronski hitrosti:2I ⋅ωΓ⋅ωEk= = = ⋅2 26200 10 VAs

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 3711. VajaIzračunaj kot rotorja po 0.15 s za primer trajne napake v podanem modeluomrežja:δ = 26°14′ 36′′0Γ= ⋅−4 23.7 10 s /stj0.5Ge = 1.25j0.23x T1x DV1x DV2j0.6j0.05x T2u ∝ = 1.0Nihajna enačba se glasi:2d δPp = Pm − Pel=Γ⋅2dta) Ker je električna prenosna moč v času trajanja napake enaka nič, lahko izračunamokot po preteku želenega časa analitično:2d δPp= Pm=Γ⋅2dt2d δdδ= k= k2dtdt2k1⋅ tδ () t = + k2⋅ t + k321 1⋅ t + k 2Iz danih robnih pogojev določimo konstanteP m2k1= = α = 2702.7027 st/sΓk = ω = 0k2 0= δ = 26.2433 st3 0Kolesni kot po 0.15s je:2α ⋅ tδ(0.15) = + ω⋅ t + δ0= 56.6487 st2

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 3812. VajaNarišite nihajno krivuljo za primer trajne napake v podanem modelu omrežja.δ = 26°14′ 36′′0Γ= ⋅−4 23.7 10 s /stj0.5Ge = 1.25j0.23x T1x DV1x DV2j0.6j0.05x T2u ∝ = 1.0Za določitev nihajne krivulje uporabimo metodo korak po korak. Izberemo časovniinterval ∆t=0.05s.αα 1α 2α 3α kωinterval 1 interval 2α k+1interval kω kω 2ω 1tδtδ kδ k-1δ 0δ 1δ 2∆t∆tt

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 39Če začnemo šteti v trenutku nastanka kratkega stika. V začetku intervala računamopospešek, v sredini krožno hitrost in na koncu intervala kot in čas. Ker je v času t=-0 sše ustaljeno stanje, se izračun za prvi interval razlikuje od ostalih intervalov, – rečemo,da se rotor pospešuje le polovico časa.1. interval(1) Pmeh− Pel2α = = 2702.7027 st/sΓ(1) (0) (1) ∆tω = ω + α ⋅ = 67.5676 st/s2(1) (0) (1)δ = δ + ω ⋅ t = 29.6217 st2. interval∆(2) Pmeh− Pel2α = = 2702.7027 st/sΓ(2) (1) (2)ω = ω + α ⋅∆ t = 202.7027 st/s(2) (1) (2)δ = δ + ω ⋅∆ t = 39.7568 stNadaljnji izračun je podan v tabeli:n t α ω δ0 0.0 0 0 26.241 0.05 2702.70 67.57 29.622 0.10 2702.70 202.70 39.763 0.15 2702.70 337.84 56.654 0.20 2702.70 472.97 80.305 0.25 2702.70 608.11 110.706 0.30 2702.70 743.24 147.867 0.35 2702.70 878.38 191.78

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 4013. VajaNarišite nihajno krivuljo za podan primer, ko napako izklopimo po 0.15 s.δ = 26°14′ 36′′0Γ= ⋅−4 23.7 10 s /stj0.5Ge = 1.25j0.23x T1x DV1x DV2j0.6j0.05x T2u ∝ = 1.0Začetni izračun se ne razlikuje od izračuna v prejšnjem primeru. Do razlike pride obizklopu. Poglejmo si to podrobneje. Pospeševalna moč v času t=0.15s skoči z vrednosti−P ( t = 0.15 ) = P − 0.0 = 1.0pna vrednostP t P δm+(15)p( = 0.15 ) =m−1.6026 ⋅ sin =− 0.3387V četrtem intervalu moramo torej izračunati kotni pospešek kot srednjo vrednost, ki jodobimo z obema pospeševalnima močema:−α( t = 0.15 ) = 2702,7027 st/s+α( t = 0.15 ) =−915.3150 st/sα= 893.6939 st/s(4) 2(4) (3) (4)ω = ω + α ⋅∆ t = 382.5247 st/s(4) (3) (4)δ = δ + ω ⋅∆ t = 75.776222Sestavimo zopet tabelo:n t α ω δ0 0.0 0.0 0.0 26.241 0.05 2702.70 67.57 29.622 0.10 2702.70 202.70 39.763 0.15 2702.70 337.84 56.654 0.20 893.69 382.52 75.785 0.25 -1495.86 307.73 91.166 0.30 -1627.76 226.34 102.487 0.35 -1526.31 150.03 109.988 0.40 -1367.92 81.63 114.069 0.45 -1252.24 19.02 115.0110 0.50 -1222.39 -42.10 112.9111 0.55 -1287.01 -106.45 107.59

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 41n t α ω δ12 0.60 -1426.21 -177.76 98.7013 0.65 -1578.83 -256.70 85.8614 0.70 -1617.37 -337.57 68.9915 0.75 -1340.56 -404.60 48.7616 0.80 -554.04 -432.30 27.1417 0.85 726.87 -395.96 7.3418 0.90 2149.16 -288.50 -7.0819 0.95 3236.75 -126.66 -13.4220 1.00 3707.62 58.72 -10.4821 1.05 3490.50 233.25 1.1822 1.10 2613.29 363.91 19.3823 1.15 1265.54 427.19 40.7424 1.20 -123.93 420.99 61.7925 1.25 -1114.08 365.29 80.0526 1.30 -1563.52 387.11 94.4127 1.35 -1615.84 206.32 104.7228 1.40 -1486.43 132.00 111.3229 1.45 -1332.15 65.39 114.5930 1.50 -1235.76 3.60 114.77Ker nismo upoštevali v naših izračunih dušenja, niha rotor okoli novega ravnovesnegastanja nedušeno s frekvenco približno 1Hz.

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 4214. VajaDoločite pri katerem času moramo najkasneje izklopiti napako za podani modelomrežja.j0.5Ge = 1.25j0.23x T1x DV2j0.3x DV1x DV3j0.3j0.05x T2u ∝ = 1.0δ = 26°14′ 36′′0δ = 94°7′ 53′′kΓ= ⋅−4 23.7 10 s /stZ metodo korak po korak razrešimo nihajno enačbo za primer trajne napake inpogledamo, pri katerem času dosežemo kritični kot. Časovni interval izberemo 0.025s.−0.9008⋅sinδα = = 1626.16 st/sΓ(1) (0) (1) ∆tω = ω + α ⋅ = 20.33 st/s2(1) (0) (1)δ = δ + ω ⋅∆ t = 26.75(1) P meh2n t α ω δ0 0.0 0.0 0.0 26.241 0.025 1626.16 20.33 26.752 0.050 1606.84 60.50 28.263 0.075 1549.84 99.25 30.754 0.100 1458.09 135.70 34.145 0.125 1336.45 169.11 38.376 0.150 1191.61 198.90 43.367 0.175 1031.84 224.70 48.968 0.200 866.54 246.36 55.119 0.225 705.62 264.00 61.7110 0.250 558.81 277.97 68.6611 0.275 434.97 288.84 77.8812 0.300 341.62 297.39 83.3213 0.325 284.64 304.50 90.9314 0.350 268.43 311.21 98.7115 0.375 296.20 318.62 106.6816 0.400 370.52 327.88 114.8717 0.425 493.96 340.23 123.3818 0.450 669.73 356.97 132.3019 0.475 902.13 379.53 141.7920 0.500 1196.89 409.45 152.03

Obratovanje elektroenergetskih omrežij - stabilnost stran 4315. VajaSinhronski generator proizvaja 208 MVA. Napetost neskončne zbiralke q je220 kV, reaktanca voda je 24.8 Ω, nadomestna prehodna reaktanca generatorjain transformatorja je 96.8 Ω, vrtilna količina generatorja je 2.18·10 6 Js/rad,kolesni kot med generatorjem in neskončnimi zbiralkami pa znaša 30º.Izračunajte kolesni kot ob izklopu tripolnega kratkega stika na zbiralkah p počasu t izk = 0.1s.GpqUporabimo metodo korak za korakom in časovni interval 0.02s.(1) P2α = = 95,4128 rad/sΓ(1) (0) (1) ∆tω = ω + α ⋅ = 0,4771 rad/s2(1) (0) (1) 0δ = δ + ω ⋅∆ t = 30 32′ 48″Sestavimo sedaj tabelo:n t α ω δ0 0 0 0 30 01 0,02 95,41 0,95 31 0 05′36″2 0,04 95,41 2,86 34 0 22′24″3 0,06 95,41 4,77 39 0 50′24″4 0,08 95,41 6,68 47 0 29′37″5 0,10 95,41 8,59 57 0 20′01″Druga možnost je, kot po 0.1s analitično, saj poznamo robne pogoje:2d δPp = Pmeh − Pel = Pmeh=Γ⋅2dt2d δ= k2 1dtdδ= k1⋅ t + k2dt2k1⋅ t0δ ( t) = + k2⋅ t + k3= 57 20′ 02″2kkk123P m= Γ( t )= ω = 0 = 0, 0( t 0)= δ =