Linearno programiranje 1 i 2

PRIMJERI PRIMJENE LINEARNOG PROGRAMIRANJAUVODNamjena ovog odjeljka je pokazati kako se veliki broj realnih problema odlučivanjamože formulirati (pa i riješiti) kao problem linearnog programiranja (LP). To ćemo uraditipredstavljajući primjere primjene u područjima izbora proizvodnog asortimana (productionmix), - rasporeda rada (labor scheduling), dodjeljivanje posla (job assignment), rasporedaproizvodnje (production scheduling), marketinških istraživanja (marketing research), izboramedija (media selection), prijevoza i transporta (shipping and transportation), problemAsmjese (ingredient mix) i izborA financijskog portfelja (financial portfolio selection).Iako su većina od tih problema numerički relativno maleni, principi koji su razvijenikroz te sigurno su primjenjivi i na veće probleme. Štoviše, ta vježba u "parafraziranju"formulacije LP modela će pomoći u razvijanju uvježbanosti u primjeni tih tehnika na druge,manje uobičajene primjene.PRIMJER 1. U stanici hitne pomoći raspored dežurstava zahtijeva sljedeće brojno stanje:VremenskiintervalPotreban brojmedicinskog osobljaTroškovi dežurstvapo osobi po satu0 - 4 10 4954 - 8 6 3968 - 12 20 33012 - 16 18 33016 - 20 12 33020 - 24 16 396Stupanje na posao medicinskog osoblja je svaki dan u 0, 4, 8, 12, 16 i 20 sati, a radi se8 sati neprekidno. Kako izgleda raspored dežurstava koji zahtijeva najmanje troškove i kolikisu ti troškovi?RJEŠENJE:Označimo sa x i broj osoba koje dolaze na posao na početku i-tog intervala vremena istoje na poslu sljedećih 8 sati. tj.x 1 - broj osoba koje dolaze u 0 h i stoje do 8 h ,x 2 - broj osoba koje dolaze u 4 h i stoje do 12 h ,x 3 - broj osoba koje dolaze u 8 h i stoje do 16 h ,x 4 - broj osoba koje dolaze u 12 h i stoje do 20 h ,1

x 5 - broj osoba koje dolaze u 16 h i stoje do 24 h ,x 6 - broj osoba koje dolaze u 20 h i stoje do 4 h .Takav raspored znači da će u intervalu od 0 - 4 sata u bolnici dežurati x 1 osoba koje počinjusvoje dežurstvo i x 6 osoba koje završavaju svoje dežurstvo (počeli su ga u 20 h prethodnogdana), u intervalu od 4 - 8 u bolnici će biti x 1 osoba koje završavaju svoju smjenu i x 2 osobakoje je počinju itd. Prema tome ograničenja na brojno stanje su sljedeća:x 1 + x 2 6x 2 + x 3 20x 3 + x 4 18x 4 + x 5 12x 5 + x 6 16x 6 + x 1 10Troškovi dežurstva za x 1 osoba su 4 495 + 4 396 budući da te osobe 4 sata dežuraju urazdoblju od 0 - 4 kada je cijena sata 495 kn, a 4 sata dežuraju od 4 - 8 kada je cijena sata 396kuna. Prema tome ukupni troškovi dežurstva (koje treba minimizirati) su:z = (4 495 + 4 396) x 1 + (4 396 + 4 330) x 2 ++ (4 330 + 4 330) x 3 + (4 330 + 4 330) x 4 ++ (4 330 + 4 396) x 5 +(4 396 + 4 495) x 6 == 3564 x 1 + 2904 x 2 + 2640 x 3 + 2640 x 4 + 2904 x 5 + 3564 x 6Min z = 3564 x 1 + 2904 x 2 + 2640 x 3 + 2640 x 4 + 2904 x 5 + 3564 x 6x 1 + x 2 6x 2 + x 3 20x 3 + x 4 18x 4 + x 5 12x 5 + x 6 16x 6 + x 1 10x j 0, j = 1, 2, ....., 6Optimalno rješenje dobiveno simpleks metodom izgleda ovako:x * 1 = 6, x * 2 = 0, x * 3 = 20, x * 4 = 0, x * 5 = 12, x * 6 = 4, v * 3 = 2,i minimalni troškovi su z * = 123288.2

Dopunska varijabla v 3 = 2 označava da će u razdoblju od 12 - 16 sati na dežurstvu biti dvijeosobe više nego što je potrebno, tj. umjesto 18 u tom razdoblju dežurat će 20 osoba.Pored tog optimalnog rješenja postoji još jedno bazično optimalno rješenje i to je:x * 1 = 0, x * 2 = 6, x * 3 = 14, x * 4 = 6, x * 5 = 6, x * 6 = 10, v * 3 = 2.Naravno, budući da se radi o linearnom programiranju, sve konveksne kombinacije ta dvaoptimalna rješenja su također optimalna rješenja našeg problema. tj.X * = X * 1 + (1 - ) X * 2 , 0, 1 .Od tih konveksnih kombinacija nas zanimaju samo one koje rezultiraju cjelobrojnimrješenjima, budući da varijable predstavljaju broj dežurnih osoba. Takva su rješenja npr. za= 1/2, = 1/3, = 2/3 i to su redom:= 1/2 x * 1 = 3, x * 2 = 3, x * 3 = 17, x * 4 = 3, x * 5 = 9, x * 6 = 7, v * 3 = 2.= 1/3 x * 1 = 2, x * 2 = 4, x * 3 = 16, x * 4 = 4, x * 5 = 8, x * 6 = 8, v * 3 = 2.= 2/3 x * 1 = 4, x * 2 = 2, x * 3 = 18, x * 4 = 2, x * 5 = 10, x * 6 = 6, v * 3 = 2.PRIMJER 2. Autoprijevoznik ima kamion nosivosti 11 tona. Sklopio je ugovor o prijevozu 25sanduka težine 4 tone, 20 sanduka težine 3 tone i 30 sanduka težine 2.5 tona, Njegov je cilj danavedeni teret preveze u minimalnom broju tura. Postavite problem kao problem linearnogprogramiranja i riješite ga.RJEŠENJE: Budući da se prevoze samo sanduci od 4, 3 i 2.5 tona kamion od 11 tona može sepuniti na sljedeće načine:Način punjenjaNeiskorišteniprostor (tona)Varijabla1) 4 + 4 + 3 = 11 0 x 12) 4 + 3 + 3 = 10 1 x 23) 3 + 3 + 3 = 9 2 x 34) 3 + 3 + 2.5 + 2.5 = 11 0 x 45) 3 + 2.5 + 2.5 + 2.5 = 10.5 0.5 x 56) 2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.5 = 10 1 x 67) 4 + 4 + 2.5 = 10.5 0.5 x 78) 4 + 3 + 2.5 =9.5 1.5 x 89) 4 + 2.5 + 2.5 = 9 2 x 93

Označimo sa x j broj tura koje se izvode na j-ti način. Dakle, ako je x 1 = 5 to znači da ćeautoprijevoznik obaviti 5 tura puneći kamion na prvi način, tj. sa 2 sanduka od 4 tone i jednimsandukom od 3 tone.Funkcija cilja koju treba minimizirati je očito ukupan broj tura, tj.z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 .Ograničenja problema dolaze iz ugovora o količini prevezene robe. Dakle, budući da jepotrebno prevesti 25 sanduka težine 4 t (a sanduci od 4 t se prevoze po 2 u prvom i sedmomnačinu punjenja i po jedan u drugom, osmom i devetom načinu), prvo ograničenje je:2x 1 + x 2 + 2x 7 + x 8 + x 9 = 25Analogno, budući da treba prevesti 20 sanduka težine 3 tone, imamo:x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + x 5 + x 8 = 20,Treće ograničenje (30 sanduka težine 2.5 tone) je:2x 4 + 3x 5 + 4x 6 + x 7 + x 8 + 2x 9 = 30.Dakle kompletni model linearnog programiranja je:Min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 92x 1 + x 2 + 2x 7 + x 8 + x 9 = 25x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + x 5 + x 8 = 202x 4 + 3x 5 + 4x 6 + x 7 + x 8 + 2x 9 = 30x j 0, j = 1, 2, ....., 9Riješimo li problem simpleks metodom dobivamo sljedeće optimalno rješenje:;x * 1 = 12.5 , x * 2 = 0, x * 3 = 0, x * 4 = 3.75, x * 5 = 0, x * 6 = 5.625,x * 7 = 0, x * 8 = 0, x * 9 = 0 i z * = 21.875,uz mogućnost još optimalnih rješenja.Postoje još 3 bazična optimalna programa i to su:x * 1 = 12.5 , x * 2 = 0, x * 3 = 0, x * 4 = 0, x * 5 = 7.5, x * 6 = 1.875,x * 7 = 0, x * 8 = 0, x * 9 = 0 i z * = 21.875,x 1 * = 10.625 , x 2 * = 0, x 3 * = 0, x 4 * = 0, x 5 * = 9.375, x 6 * = 0,x 7 * = 1.875, x 8 * = 0, x 9 * = 0 i z * = 21.875,x 1 * = 1.25 , x 2 * = 0, x 3 * = 0, x 4 * = 9.375, x 5 * = 0, x 6 * = 0,x 7 * = 11.25, x 8 * = 0, x 9 * = 0 i z * = 21.875.4

Nijedno od dobivenih optimalnih bazičnih rješenja očito ne odgovara našem problemu jer nijecjelobrojno, a varijable (broj tura) po naravi problema trebaju biti cjelobrojne. Iz tog razlogaproblem bi trebalo riješiti pomoću cjelobrojnog programiranja. Ako se to provede dobiva seoptimalno rješenje koje je vrlo "blisko" gornjem rješenju (no to nije uvijek tako!!!). Naime, utom slučaju dobiva se optimalno rješenje:x * 1 = 12 , x * 2 = 1, x * 3 = 0, x * 4 = 3, x * 5 = 0, x * 6 = 6,x * 7 = 0, x * 8 = 0, x * 9 = 0 i z * = 22,odnosno autoprijevoznik treba ukupno napraviti 22 prijevozne ture i to 12 puta na prvi način(4 + 4 + 3), jednom na drugi način (4 + 3 + 3), 3 puta na četvrti način (3 + 3 + 2.5 + 2.5) i 6puta na šesti način (2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.5).Može se ustanoviti da i u tom problemu (cjelobrojnog programiranja) postoje alternativnaoptimalna rješenja. To su na primjer:x * 1 = 12 , x * 5 = 7, x * 6 = 2, x * 8 = 1, z * = 22,x * 1 = 7 , x * 2 = 1, x * 4 = 2, x * 5 = 7, x * 7 = 5, z * = 22,x * 1 = 8 , x * 2 = 1, x * 4 = 1, x * 5 = 8, x * 7 = 4, z * = 22,x * 1 = 2 , x * 2 = 1, x * 4 = 8, x * 6 = 1, x * 7 = 10, z * = 22.PRIMJER 3. Stroj za proizvodnju papira proizvodi omote papira širine 210 cm. Svi omoti suiste dužine. Kupac je naručio 30 komada omota širine 62 cm, 60 komada širine 55 cm i 60komada omota širine 40 cm.Koliko komada omota (širine 210 cm) treba raskrojiti i na kakav način treba izvršiti krojenjeda gubitak papira bude najmanji? Postavite problem linearnog programiranja i riješite ga.RJEŠENJE: Omote širine 210 cm treba raskrojiti na omote širine 62, 55 i 40 cm. To se možeuraditi na 10 različitih načina koji su prikazani u tabeli:Način krojenjaGubitak materijala(cm)Varijabla1) 62 + 62 + 62 = 186 24 x 12) 62 + 62 + 40 + 40 = 204 6 x 23) 62 + 62 + 55 = 179 31 x 34) 62 + 55 + 55 = 172 38 x 45) 62 + 55 + 40 + 40 = 197 13 x 56) 62 + 40 + 40+ 40 = 182 28 x 67) 55 + 55 + 55 + 40 = 205 5 x 75

8) 55 + 55 + 40 + 40 = 190 20 x 89) 55 + 40 + 40 + 40 = 175 35 x 910) 40 +40+ 40+ 40 +40=200 10 x 10Označimo li sa x i broj koji pokazuje koliko se puta papir reže na i-ti način gubitak materijalau cm (koji treba minimizirati) može se prikazati sljedećom funkcijom:z = 24 x 1 + 6 x 2 + 31 x 3 + 38 x 4 + 13 x 5 + 28 x 6 + 5 x 7 + 20 x 8 + + 35 x 9 + 10 x 10 .Ograničenja nam daje broj naručenih omota, pa imamo:- širina 62:3 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 30,budući da u prvom načinu ima 3 omota širine 62 cm, u drugom i trećem načinu po 2, a učetvrtom, petom i šestom načinu po 1 omot širine 62 cm.- širina 55:x 3 + 2 x 4 + x 5 + 3 x 7 + 2 x 8 + x 9 = 60,i širina 40:2 x 2 + 2 x 5 + 3 x 6 + x 7 + 2 x 8 + 3 x 9 + 5 x 10 = 60.Dakle, kompletni model linearnog programiranja je:Min z = 24 x 1 + 6 x 2 + 31 x 3 + 38 x 4 + 13 x 5 + 28 x 6 + 5 x 7 + 20 x 8 ++ 35 x 9 + 10 x 103 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 30,x 3 + 2 x 4 + x 5 + 3 x 7 + 2 x 8 + x 9 = 60,2 x 2 + 2 x 5 + 3 x 6 + x 7 + 2 x 8 + 3 x 9 + 5 x 10 = 60.x j 0, j = 1, 2, ....., 10Nakon provedene simpleks procedure dobiva se optimalno rješenje:x * 1 = 0 , x * 2 = 15, x * 3 = 0, x * 4 = 0, x * 5 = 0, x * 6 = 0,x * 7 = 20, x * 8 = 0, x * 9 = 0, x * 10 = 2 i z * = 210.odnosno omote papira treba rezati 15 puta na drugi način (62 + 62 + 40 + 40), 20 puta nasedmi način (55 + 55 + 55 + 40), te 2 puta na deseti način (40 +40 + 40 + 40 + 40).Napomenimo da je to jedino optimalno rješenje zadanog problema.6

PRIMJER 4:PRIMJENE U MARKETINGU (Izbor medija za oglašavanje)Modeli LP upotrebljavaju se u polju oglašavanja kao pomoć u odlučivanju pri izboruprikladne kombinacije medija za oglašavanje. Katkad se te tehnike mogu koristiti zaraspodjelu fiksnog ili ograničenog budžeta kroz različite medije, koji mogu uključivati radioili TV reklame, novinske oglase, direktnu poštu, oglase u magazinima (tjednicima), itd.Druga mogućnost je odrediti korištenje reklamnog prostora (i vrstu oglašavanja) natemelju što većeg broja potencijalnih korisnika do kojih može doprijeti ta reklama.Ograničenja na raspoložive medije mogu nastati zbog zahtjeva ugovora, ograničeneraspoloživosti medijskog prostora (ne može se TV program iskoristiti za reklame 24 satadnevno, ili se ne može kupiti cijela novina za reklame), ili zbog politike firme koja sereklamira. Razmotrimo sljedeći primjer:Kockarnica - Win Big Gambling Club odlučila je promovirati kockarsku zabavuputem lokalnih i regionalnih medija. Menadžeri kluba odlučili su za promociju trošiti 8000 $tjedno i to kroz četiri promotivna medija: TV spotovi, novinski oglasi i dvije vrste radijskihoglasa.Cilj kluba (kockarnice) je raznim vrstama oglasa doprijeti do što je više mogućepotencijalnih korisnika njihovih usluga. Sljedeća tabela pokazuje broj potencijalnih korisnikausluga kockarnice do kojih dospijeva reklamni oglas korištenjem pojedine vrste medija. Utabeli su također i troškovi po objavljenom oglasu ili reklami (spotu) i maksimalan broj oglasakoji se mogu naručiti u jednom tjednu.Tablica 1.Broj ljudi do kojihMaksimalan brojVrsta medijaTrošak po oglasudopire oglasoglasa po tjednuTV spot (1 min) 5000 800 12Dnevne novine(oglas - cijelastranica)Radio spot (1/2minute, udarnovrijeme)Radio spot (1 min,poslijepodne)8500 925 52400 290 252800 380 207

Ugovorni aranžmani kladionice zahtijevaju da se barem 5 radio spotova objavi svaki tjedan.Da bi osigurali široku promocijsku kampanju management inzistira da se ne potroši više od1800 $ na radio oglašavanje svaki tjedan.RJEŠENJE: Problem se može matematički postaviti na sljedeći način:Neka jeX 1 = broj jednominutnih TV spotova koji idu svaki tjedanX 2 = broj oglasa od pune stranice koji idu u dnevne novine svaki tjedanX 3 = broj radio spotova tjedno od 1/2 minute u udarnom vremenuX 4 = broj radio spotova tjedno od 1 minute u popodnevnom terminuFunkcija cilja koju treba maksimizirati je pokrivenost slušateljima, čitaocima i gledaocima, ito jeMax (5000 X 1 + 8500 X 2 + 2400 X 3 + 2800 X 4 )p.o.X 1X 2X 3X 412 (maksimalan broj TV spotova tjedno)5 (maksimalan broj novinskih oglasa tjedno)25 (maksimalan broj radio spotova od 1/2 min. tjedno)20 (maksimalan broj radio spotova od 1 min. tjedno)800 X 1 + 925 X 2 + 290 X 3 + 380 X 4- 8000 (tjedni raspoloživi budžet za oglašavanje)X 3 + X 4 5 (minimalan broj ugovorenih radio spotova)290 X 3 + 380 X 4- 1800 (maksimalni budžet koji se smije potrošiti na radio spotove)Ulazni podaci u programu WINQSB izgledaju ovako:Tablica 2.8

tabeli:Tablica 3.Optimalno rješenje tog problema dobiveno tim programom prikazano je u sljedećojDakle, optimalno rješenje jeX 1 * = 1.9688, X 2 * = 5, X 3 * = 6.2069, X 4 * = 0uz maksimalni broj pokrivenosti (ljudi koji će primijetiti dati oglas) od 67 240.3.Ukoliko želimo da broj oglasa bude cjelobrojan (što je logična pretpostavka) u retku"Variable Type" u tablici 2. zahtijevamo da sve varijable budu cjelobrojne - Integer (što selako promijeni dvostrukim kliktanjem u tom polju), pa će naša tabela izgledati ovako:Tablica 4.Optimalno rješenje tog cjelobrojnog problema prikazano je u sljedećoj tabeli:9

Tablica 5.Cjelobrojno rješenje našeg problema (primijetimo da je vrlo "blisko" necjelobrojnom) je:X 1 * = 2 (broj TV spotova), X 2 * = 5 (broj novinskih oglasa),X 3 * = 6 (broj radio spotova od 1/2 minute), X 4 * = 0 (broj spotova od 1 minute),uz maksimalni broj pokrivenosti (ljudi koji će primijetiti dati oglas) od 66900, što je neznatnomanje nego u necjelobrojnom rješenju (67 240.3).Primijetimo, također, da je u necjelobrojnom rješenju kompletan budžet od 8000 $ potrošen, atakođer je potrošeno i točno 1800 $ za radio spotove. Međutim, u cjelobrojnom rješenju ostaje35 $ nepotrošenog ukupnog budžeta (potrošeno je ukupno 7965 $), i 60 $ manje je potrošenoza radio spotove nego što je dopušteno (1740 - 1800).PRIMJER 5:LP se može primijeniti u problemima marketinškog istraživanja i u područjuistraživanja potrošača. Sljedeći primjer ilustrira kako voditelji statističkih anketa moguodrediti strategiju odlučivanja (koga anketirati - područje obuhvata) primjenom LP.MSA (Management Sciences Associates) iz Washingtona je firma za marketinško ikompjutersko istraživanje koja, između ostalog, provodi istraživanje potrošača za svojeklijente. Jedan od klijenata je nacionalna izdavačka kuća koja periodično provodi političkeankete o pitanjima od općeg interesa. U namjeri da dobiju statistički pouzdane rezultate oosjetljivom pitanju novog U. S. zakona o imigraciji, MSA određuje da anketa o tom pitanjumora zadovoljavati sljedeće zahtjeve:10

1. Treba ispitati ukupno barem 2300 domaćinstava.2. Potrebno je ispitati barem 1000 domaćinstava u kojima je "glava familije" stara do 30godina.3. Potrebno je ispitati barem 600 domaćinstava u kojima je "glava familije" stara od 31do 50 godina.4. Potrebno je osigurati da barem 15% ispitanika žive u državama koje graniče sMeksikom.5. Potrebno je osigurati da od svih ispitanika koji su stariji od 51 godine ne bude više od20% onih koji žive u državama koje graniče s MeksikomMSA je odlučila da se anketa provodi osobno, te procjenjuje da su troškovi provođenjaankete, tj. troškovi dolaska do osoba u određenoj dobi i regiji sljedeći:Tablica 6.Troškovi po ispitaniku (domaćinstvu)Regija Dob 30 godina Dob 31 - 50 Dob 51Države koje graniče sMeksikomDržave koje negraniče s Meksikom7.50 6.80 5.506.90 7.25 6.10Cilj MSA agencije je odredi broj ispitanika u svakoj kategoriji (po dobi i regiji), te dazadovolji svih 5 postavljenih zahtjeva uz najniže moguće troškove.Neka je:X 1 = broj ispitanika koji imaju 30 ili manje godina i žive u graničnoj državiX 2 = broj ispitanika koji imaju od 31 - 50 godina i žive u graničnoj državiX 3 = broj ispitanika koji imaju 51 ili više godina i žive u graničnoj državiX 4 = broj ispitanika koji imaju 30 ili manje godina i ne žive u graničnoj državiX 5 = broj ispitanika koji imaju od 31 - 50 godina i ne žive u graničnoj državiX 6 = broj ispitanika koji imaju 51 ili više godina i ne žive u graničnoj državiFunkcija cilja (minimalni troškovi intervjua) jeMin (7.50 X 1 + 6.80 X 2 + 5.50 X 3 + 6.90 X 4 + 7.25 X 5 + 6.10 X 6 )Ograničenja su:X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 2300 (ukupan broj ispitanih domaćinstava)X 1 + X 4 1000 (domaćinstva do 30 godina)11

X 2 + X 5 600 (domaćinstva od 31 do 50 godina)X 1 + X 2 + X 3 0.15 (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) (granične države)X 30.20 (X 3 + X 6 ) (ograničenje za starije od 51 godine koji žive ugraničnim državama)X j 0, j = 1, ...,6Posljednja dva ograničenja treba preurediti da sve varijable budu na lijevoj straninejednadžbe, odnosno:0.85X 1 + 0.85X 2 + 0.85X 3 - 0.15X 4 - 0.15X 5 - 0.15X 6 00.8X 3 - 0.2X 6 0pa se problem može riješiti simpleks metodom kao što je prikazano u tablicama 5. i 6. kojepredstavljaju ulaznu i izlaznu tabelu iz programa WINQSB.Tablica 7.Tablica 8.12

Optimalno rješenje (broj ispitanika pojedine kategorije stanovništva) je:X 1 * = 0 (broj ispitanika koji imaju 30 ili manje godina i žive u graničnoj državi)X 2 * = 600 (imaju od 31 - 50 godina i žive u graničnoj državi)X 3 * = 140 (imaju 51 ili više godina i žive u graničnoj državi)X 4 * = 1000 (imaju 30 ili manje godina i ne žive u graničnoj državi)X 5 * = 0 (imaju od 31 - 50 godina i ne žive u graničnoj državi)X 6 * = 560 (imaju 51 ili više godina i ne žive u graničnoj državi)Minimalni troškovi anketiranja iznose 15166 $.PRIMJER 6:PRIMJENE U PROIZVODNJI - PROIZVODNI ASORTIMAN (Production Mix)Plodno polje za upotrebu LP je planiranje optimalnog asortimana proizvoda u nekojproizvodnji. Poduzeće treba razmatrati veliki broj ograničenja, i to financijskih, ograničenjapotražnje za proizvodima, ugovorenih količina proizvoda, ugovore sa sindikatima itd.Osnovni cilj firme je generirati maksimalni mogući profit uz zadovoljenje danih ograničenja.Fifth Avenue Industries je poznata firma za proizvodnju muške odjeće i ona proizvodi4 tipa kravata. Jedna je skupa, potpuno svilena kravata, druga je kravata od poliestera, apreostala dva tipa kravata se prave od mješavine poliestera i pamuka. U sljedećoj tabliciprikazani su troškovi i raspoloživost tri vrste materijala (planirane za mjesečni periodproizvodnje) koje se koriste u proizvodnom procesu.Tablica 9.Troškovi po Raspoloživi materijal zaMaterijalyardu 1 mjesec (yard)Svila 21 800Poliester 6 2000Pamuk 9 1200Firma ima fiksne ugovore sa nekoliko velikih lanaca robnih kuća koje mora opskrbljivatikravatama. Ugovori zahtijevaju da firma ponudi minimalne količine svake vrste kravate, aliuzima u obzir mogućnost veće potražnje ako firma Fifth Avenue želi ponuditi nešto većukoličinu. U sljedećoj tablici sumirani su ugovori o potražnji za svaki od četiri tipa kravata,prodajna cijena po kravati i tvornički zahtjevi za svaku varijantu.13

Tablica 10.MjesečniMaterijal PotrebnaVrsta Prodajna cijenaMjesečnaugovorenipotreban za vrstakravate po kravati ($)potražnjaminimumkravatu (yard) materijalaSvilena 6.70 6000 7000 0.125 100% svilaPoliester 3.55 10000 14000 0.08 100% poliest.Poly-cottontip 1Poly-cottontip 24.31 13000 16000 0.104.81 6000 8500 0.1050% pol. +50% pamuk30% pol. +70% pamukCilj firme Fifth Avenue je maksimizirati mjesečni profit i ona mora odlučiti o asortimanuproizvodnje (koliko kojeg tipa kravate će proizvoditi). Uvedimo sljedeće oznake:X 1 = broj potpuno svilenih kravata proizvedenih u jednom mjesecuX 2 = broj kravata od poliesteraX 3 = broj kravata poly-cotton (poliester i pamuk) tip 1X 4 = broj kravata poly-cotton tip 2Potrebno je odrediti profit za svaki tip kravate, pa imamo:1. Za svilene kravate (X 1 ) potrebno je 0.125 yardi svile po cijeni od 21 $ po yardu.Prema tome trošak po kravati je 2.62 $. Prodajna cijena te vrste kravate je 6.70 $ štoostavlja neto profit od 4.08 $ po jedinici od X 1 (marža robne kuće je zanemarena, alise lako može ukalkulirati i mijenjat će jedino funkciju cilja, recimo 10% prodajnecijene).2. Za kravate od poliestera (X 2 ) potrebno je 0.08 yardi poliestera po cijeni od 6 $ poyardu. Prema tome trošak po kravati je 0.48 $. Prodajna cijena te vrste kravate je 3.55$što rezultira neto profitom od 3.07 $ po jedinici od X 2 .3. Za poliester pamučnu kravatu tipa 1 (X 3 ) potrebno je 0.05 yardi poliestera po cijeni od6 $ po yardu i 0.05 yardi pamuka po cijeni od 9 $ po yardu što znači da je trošakproizvodnje takve kravate jednak 0.05 6 + 0.05 9 = 0.75 $ po kravati. Profit pojednoj kravati je dakle 4.31 - 0.75 = 3.56 $.4. Za poliester pamučnu kravatu tipa 2 (X 4 ) potrebno je 0.03 yardi poliestera po cijeni od6 $ po yardu i 0.07 yardi pamuka po cijeni od 9 $ po yardu što znači da je trošakproizvodnje takve kravate jednak 0.03 6 + 0.07 9 = 0.81 $ po kravati. Profit pojednoj kravati tipa 2 je dakle 4.81 - 0.81 = 4 $.14

Funkcija cilja može se postaviti kao:Maksimizirati profit = 4.08 X 1 + 3.07 X 2 + 3.56 X 3 + 4.00 X 4pri ograničenjima:0.125 X 1 800 (yardi svile)0.08 X 2 + 0.05 X 3 + 0.03 X 4 2000 (yardi poliestera)0.05 X 3 + 0.07 X 4 1200 (yardi pamuka)6000 X 1 7000 (ugovoreni minimum i maksimum za svilene kravate)10000 X 2 14000 (ugovoreni minimum i maksimum za poliester kravate)13000 X 3 16000 (ugovoreni minimum i maksimum za miješane kravate tipa 1)6000 X 1 8500 (ugovoreni minimum i maksimum za miješane kravate tipa 2)X 1 , X 2 , X 3 , X 4 0Prvo ograničenje se dijeljenjem sa 0.125 (množenjem sa 8) može transformirati uX 1 6400,što mijenja maksimalnu moguću količinu proizvodnje svilenih kravata (ne 7000 nego 6400).Problem riješen ponovo programom WINQSB (uz opciju cjelobrojnosti - broj kravata)prikazan je sljedećim tabelama (ulazni podaci - tablica 11 i rezultati - tablica 12).Tablica 11.Tablica 12.15

Dakle, potrebno je proizvesti 6400 svilenih (X 1 ), 13928 kravati od poliestera (X 2 ), zatim13000 miješanih kravata poliester - pamuk tip 1 (X 3 ) i 7857 miješanih kravata poliesterpamuk tip 2 (X 4 ). Pri tome je potrošen sav raspoloživi materijal (ostaje 0.05 yardi poliestera i0.01 yardi pamuka).Optimalna vrijednost funkcije cilja (maksimalni profit) iznosi 146 579 $.PRIMJER 7:FORMIRANJE REDOSLIJEDA PROIZVODNJE (PRODUCTION SCHEDULING)Određivanje što jeftinijeg redoslijeda proizvodnje kroz niz tjedana ili mjeseci je težak ivrlo važan problem kod većine tvornica. Proizvodni manager mora razmotriti niz faktora:kapacitet radne snage, troškove zaliha i skladištenja, prostorna ograničenja, potražnju zaproizvodima, odnose sa sindikatima itd. Budući da većina firmi proizvodi više od jednogproizvoda, proces redoslijeda proizvodnje često je vrlo kompleksan.U osnovi taj problem je sličan modelu izbora proizvoda koji će se proizvoditi (productmix problem) za svaki period u budućnosti. Funkcija cilja je ili maksimizirati profit iliminimizirati ukupne troškove (proizvodnje plus zaliha) u provedbi danog zadatka.Redoslijed proizvodnje je problem koji se može prilagoditi rješavanju pomoću LP.Jednom kad su funkcija cilja i ograničenja postavljeni, inputi se mogu lako promijeniti zasvaki period vremena da bi se odredio ažurirani raspored proizvodnje.Firma Greenberg Motors, Inc., proizvodi 2 različita elektromotora za prodaju i to podugovorom sa Drexel Corporation, poznatim proizvođačem malih električnih kuhinjskihaparata. Njihov model GM3A ugrađen je u mnogim Drexelovim food-processorima(višenamjenski kuhinjski aparat), a njihov model GM3B koristi se kod niza različitih miksera.Tri puta godišnje manager nabave Drexela kontaktira rukovodstvo Greenberg Motorsada bi dogovorili mjesečne narudžbe za svaki od sljedeća četiri mjeseca. Drexelova potražnjaza motorima varira svaki mjesec ovisno o njihovim prognozama prodaje, proizvodnimkapacitetima i financijskoj situaciji. Greenberg je upravo primio narudžbu za prva 4 mjesecatekuće godine (Siječanj - travanj) i mora temeljem toga odrediti svoj 4-mjesečni planproizvodnje. Potražnja za pojedinim vrstama motora prikazana je u sljedećoj tablici:16

Svaki GM3A motor koji ostane na zalihama košta 0.18 $ mjesečno, dok GM3B motor imatroškove zaliha 0.13 $ mjesečno (za 1 motor). Greenbergovo računovodstvo proračunava(uzima u obzir) zalihe na kraju mjeseca kao prosječnu vrijednost nivoa zaliha tokom mjeseca.Dakle, dio funkcije cilja koji se odnosi na troškove zaliha je:Troškovi zaliha:TZ = 0.18 I A1 +0.18 I A2 + 0.18 I A3 + 0.18 I A4 + 0.13 I B1 + 0.13 I B2 + 0.13 I B3 + 0.13 I B4Prema tome ukupna funkcija cilja je (minimiziranje ukupnih troškova)T = 10 X A1 +10 X A2 + 11 X A3 + 11 X A4 + 6 X B1 + 6 X B2 + 6.6 X B3 + 6.6 X B4 + 0.18 I A1 ++ 0.18 I A2 + 0.18 I A3 + 0.18 I A4 + 0.13 I B1 + 0.13 I B2 + 0.13 I B3 + 0.13 I B4Kod postavljanja ograničenja potrebno je prepoznati veze koje postoje između zaliha na krajuprethodnog mjeseca, tekuće mjesečne proizvodnje i mjesečne prodaje firmi Drexel u tekućemmjesecu. Zalihe na kraju mjeseca su:ZalihenaZalihe nakrajuProizvodnjauProdaja Drexelukrajumjesecaprethodnogmjesecatekucem mjesecuovajmjesecPretpostavimo da Greenberg započinje novi 4-mjesečni proizvodni ciklus s promjenom udizajnu tako da ne ostavlja nikakve stare motore na zalihama na početku godine (1. siječnja).Zato, prema tablici 13, imamo da je potražnja u mjesecu siječnju za GM3A 800 komada a zaGM3B 1000 komada, i možemo pisati:I A1 = 0 + X A1 - 800Naime, zalihe na kraju prvog mjeseca su jednake starim zalihama uvećanim za proizvodnju uprvom mjesecu i umanjene za potražnju u prvom mjesecu. Analogno,I B1 = 0 + X B1 - 1000Prebacujući sve nepoznanice na lijevu stranu i množeći s (-1) ograničenja za prvi mjesecmogu se napisati u sljedećem obliku:X A1 - I A1 = 800 (1)X B1 - I B1 = 1000 (2)Na isti način dobivamo ograničenja potražnje za veljaču, ožujak i travanj:X A2 + I A1 - I A2 = 700 (GM3A - potražnja veljača) (3)X B2 + I B1 - I B2 = 1200 (GM3B - potražnja veljača) (4)X A3 + I A2 - I A3 = 1000 (GM3A - potražnja ožujak) (5)X B3 + I B2 - I B3 = 1400 (GM3B - potražnja ožujak) (6)18

X A4 + I A3 - I A4 = 1100 (GM3A - potražnja travanj) (7)X B4 + I B3 - I B4 = 1400 (GM3B - potražnja travanj) (8)Ukoliko Greenberg želi imati na zalihama krajem travnja određene količine jednog i drugogmotora, recimo 450 komada GM3A i 300 komada GM3B, uvodimo dodatna ograničenja:I A4 = 450 (9)I B4 = 300. (10)Dosada razmatran ograničenja odnose se na potražnju, ona međutim ne uzimaju u obzirskladišni prostor niti zahtjeve za radnom snagom. Neka je skladišni prostor GreenbergMotorsa toliko velik da može u isto vrijeme primiti maksimalno 3300 motora bilo kojeg tipa(jednaki su po veličini). Dakle, mora vrijediti:I A1 + I B1 3300 (11)I A2 + I B2 3300 (12)I A3 + I B3 3300 (13)I A4 + I B4 3300 (14)Na kraju potrebno je razmotriti ograničenja radne snage. Budući da se nijedan radnik neotpušta razmatramo postojeći fond radnih sati koji iznosi 2240 mjesečno (za ukupno 14radnika, 8h, 20 radnih dana u mjesecu). U periodu kad je potrebno angažirati više radne snagena raspolaganju su dva radnika (koji znaju raditi taj posao, a trenutno su u mirovini) pa semože povećati kapacitet radne snage na 2560 radnih sati mjesečno. Svaki GM3A motorzahtijeva 1.3 sata rada, dok svaki GM3B motor zahtijeva 0.9 sati rada po jednom komadu.Dakle, ograničenja radnih sati su:1.3 X A1 + 0.9 X B1 2240 (siječanj - minimalan broj radnih sati mj.) (15)1.3 X A1 + 0.9 X B1 2560 (siječanj - maksimalan broj radnih sati) (16)1.3 X A2 + 0.9 X B2 2240 (veljača - minimalan broj radnih sati) (17)1.3 X A2 + 0.9 X B2 2560 (veljača - maksimalan broj radnih sati) (18)1.3 X A3 + 0.9 X B3 2240 (ožujak - minimalan broj radnih sati) (19)1.3 X A3 + 0.9 X B3 2560 (ožujak - maksimalan broj radnih sati) (20)1.3 X A4 + 0.9 X B4 2240 (travanj - minimalan broj radnih sati) (21)1.3 X A4 + 0.9 X B4 2560 (travanj - maksimalan broj radnih sati) (22)Ovaj primjer predstavlja relativno jednostavan problem planiranja redoslijeda proizvodnjegdje se razmatraju samo dva proizvoda. Usprkos toga on ima 16 varijabli i 22 ograničenja i ni19

u kom slučaju nije trivijalan za rješavanje. Na sličan način problem se može postaviti i akopostoji više proizvoda i još puno veći broj ograničenja. Optimalno rješenje problemaprikazano su u sljedeće dvije tabele (tablica 14 necjelobrojno i tab. 15 cjelobrojno rješenje),dok su u tablici 16. prikazani ulazni podaci za program WINQSB.Tablica 14:20

Tablica 15:21

Tablica 16:22

Prvih 8 varijabli (XA1, XA2, XA3, XA4, XB1, XB2, XB3 i XB4) pokazuju koliko trebaproizvoditi motora pojedinog tipa u svakom od prva 4 mjeseca tekuće godine. Ostalih 8varijabli (IA i IB) pokazuju stanje na zalihama pojedine vrste motora na kraju svakogmjeseca, dok je optimalna vrijednost funkcije cilja (minimalni ukupni troškovi proizvodnje izaliha) jednaka T* = 76301.87 $.Pored toga vidljivo je da skladišnog prostora ima sasvim dovoljno (ograničenja C11 - C14), tj.ostaje u svakom mjesecu više od 2000 slobodnih mjesta za motore. Korištenje radnih sati(ograničenja C15 - C22) je u okviru dozvoljenih minimalnih i maksimalnih granica.23