Q - 경상대학교

경상대학교 물리학과 김현수11-1제 11 장 진동계의 역학평행위치주위에서진동하는계:자유도1,한개의진동수.→ 복잡한 진동계:자유도 n,ω ←일반화 좌표,Lagrange방식n11-1 위치에너지와 평형, 안정성km평형위치x=0보존계V = V122( x) = kx , F( x)x = 0 에서F( 0)= 0 :dV= −dxdV ( x)dxx= 0( x)= 0= −kxyr cosθ θ rxhs=rθxθ = 0일때V = mgrNθ∂V평형:= 0∂θV ( θ = 0)( 1−cosθ)∂V= − = −mg∂θ= −mgx= 0( r sinθ)자유도가 n 인입자계(보존계)V = V∂V∂qk( q , q ,...... q )= 0( k⎛안정:⎜⎜평형⎜⎜불안정:⎜⎜⎝중립:12n= 1, 2, L,n) : 평형상태

경상대학교 물리학과 김현수11-21.안정평형의 판단기준• 자유도가1인입자계위치에너지함수VV( q)''''''( n)( q) = V + qV + V + V + ⋅⋅⋅⋅ + Vwhere,0'0⎛= ⎜⎝q = 0 : 평형위치→VVV2q2"( q) = V + ⋅⋅⋅⋅q가 작을때첫항 : V( n)00F0( q)VV''0''02q2!dVdqi) n이짝수일때⎞⎟⎠= −VV를 q = 0 에대해Taylor전개0q=0'0dVdq> 0 : Fn⎛ d V ⎞=⎜ndq⎟⎝ ⎠( n)( n)3q3!= 0,( q)q=00take V= −qV0= 0< 0 : 불안정한 평형.ii) n이홀수일때:불안정평형−C00''0nqn!> 0 : 안정평형−A< 0 : 불안정평형−B0+ ⋅⋅⋅⋅= 복원력,안정한 평형.• 자유도가 n인계평형배위:q⎛ ∂V⎞V ' = 0 →⎜⎟⎝ ∂q1⎠1= q2= L = q= 0= 0,⎛ ∂V⎜⎝ ∂qq021= q2= L=qn=q1= q2= L=qn= 01 22( q , q , ⋅⋅⋅,q ) = ( κ q + 2κq q + κ q + ⋅⋅⋅)V1 2 n11 1 12 1 2222⎛ ⎛⎜∂ V ⎞⎛ ∂ Vκ11=,212⎜⎜⎟ κ =⎜⎝ ∂q1⎠0 ⎝ ∂q1∂qq1= q2=⋅⋅⋅= q =⎜⎝V( 0,0, ⋅⋅⋅,0)= 0제곱형이 양정치형식:안정평형κ11> 0,κκ1121κκ1222> 0,V(q)BCAoq( q) V : 상수..모든도함수 = 0,V =0중성평형n112131122232132333⎞⎟⎠> 022n 1 2 q nκκκκκκκκκ2⎞⎟⎠2q = q=⋅⋅⋅== 0= 0

경상대학교 물리학과 김현수11-3[예제11.1] 흔들의자.V = mgh = mgdVV ' = = mgdθθ = 0 에서 VV"= mgθ = 0에서VVVVa"0"0"0"0oCMb( a − b)= mg곧바로 세운 연필의 안정성.[ a − ( a − b)cosθ]( a − b)'0( a − b)( a > b)( a < b)( a = b)> 0 : 안정평형< 0 : 불안정평형= 0 : 중성= 0cosθasinθθohCMb∴θ= 0 : 평형위치11.2 안정 평형점 부근 진동 (자유도=1)T입자계의자유도가1일때1 2T = Mq&2q = 0 : 평형위치→M = ML = T −V=ddtV"0[ 예제11.2]=V = mg=1212∂L∂L−∂q&∂q계수 M = 상수 or 일반화좌표 q의함수1Mq&22= 0 →1− V2ddt"0( Mq&)( 0)"V0> 0 : 조화진동 → q&&+ q = 0M( & θ )m bM = mbq2(13)[ a − ( a − b)cosθ] = mg a − ( a − b)mgL = T −V≅예제1에서θ 가 작을때+( a − b)2212+ I122( mb + I )&2 1θ − mg( a − b)cm,IcmV& 2θ"0cm= mg⎡⎢⎣2( a − b)""+ V q = 0 → Mq&&+ V q = 00= 상수로 근사vcm2θ + 상수항 + 고차항∴ω=∴ω=≈ b & θ"V0M="V0M02 4⎛ θ θ⎜1−+⎝ 2! 4!2θcf . eq(13)mgmb⎞⎤− ⋅⋅⋅⎟⎥⎠⎦( a − b)2+ Icm

경상대학교 물리학과 김현수11-411.3 결합 조화 진동자 : 기준좌표• 결합된 두 조화진동자자유도 : 2,x1일반화 좌표 : x , x= 0, x = + 1→x = −1,x2에너지교환,에너지보존1122= 0• 맥놀이:진폭이같고 진동수가 다른 두파동이겹치는현상.x , x1가 진폭은같고 진동수가 다른 두 조화진동자의합또는 차이라고가정Q1xx21=2=1cosω1t,2112⎡ 1+= cos⎢⎣ 21=12( Q + Q ) = ( cosωt + cosωt)( ω ω ) ( ω −ω)( Q − Q ) = ( cosωt − cosωt)⎡ 1+= sin⎢⎣ 22Q21= cosω2t2112⎤ ⎡t⎥cos⎦⎢⎣12( ω ω ) ( ω −ω)222⎤ ⎡t⎥sin⎢⎦ ⎣1112222⎤t⎥,⎦⎤t⎥,⎦22x12(0) = 1로 규격화x (0) = 0 로 규격화

경상대학교 물리학과 김현수11-5회전시킨것를는ooooo45,Q ,QQQcos 45sin 45sin 45cos 452121'2'121212121212121'2'1xxxxxxxxxx⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡( ) ( )12221121Q,21Qxxxx−=+=x 1x 2 Q 1Q 2q( )),()(),(2121QQtxtxo45( ) ( )212211 QQ21,QQ21+=−= xxxAQAQx121212121111121111121−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xxQQQQxx행렬기호를 사용하면

경상대학교 물리학과 김현수11-60)(,2 cos)(/,cos)()(0(0)2,(0)0(0)(0)1,(0)(0)2111121212121=======→====tQttQmKttxtxQQxxxxωωω운동방정식초기조건&&기준 모드 (normal mode)( ) ( )12221121Q,21Qxxxx−=+=

경상대학교 물리학과 김현수11-7ttQtQmKKttxtxQQxxxx22122122121122 cos)(0,)(') /2(,cos)()(2(0)0,(0)0(0)(0)1,(0)(0)ωωω==+=== −==→==== −운동방정식초기조건&&( ) ( )12221121Q,21Qxxxx−=+=

경상대학교 물리학과 김현수11-711-8( )( )⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≡=++−=−++=−++→=∂∂−∂∂=−−+→=∂∂−∂∂2222'122'1112'222212'11110'0'0000LagrangedtdDxmKKxmKxxmKxmKKxxxKKxmxxLxLdtdxxKKxmxxLxLdtd&&&&&&&&&&방정식( )( ) 0Q0Q'20Q0Q0Q'2Q0Q'2Q0QQ'2'20QQ111121''''0''''2222221212122212221221222221222122=+→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++=+→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++ωωDmKKDDmKDmKKDmKDmKKDmKDmKKDmKDmKKDmKDmKKDmKmKmKKDxxmKKDmKmKmKKD( )( ) 22212'21222122212'21222121212121212121212121KxxxKKxmxmxVTLKxxxKKxVmxmxT−−−−+=−=+−+=+=&&&&풀이를 얻는 방법

경상대학교 물리학과 김현수11-9[ ] [ ][ ] [ ]() ( )() ( )⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=−=∴====∴====−=−=+=+=+=−=+=−=== +=tttxtttxBABAxxxxxxBxxBxxAxxABAxBAxBAxBAxtxx212211212112212211212122112121coscos21coscos210'',210(0)(0)1,(0)0,(0)(0)(0)21'(0)(0)21(0)(0)21'(0)(0)21''(0)','(0)(0),(0)010,1.ωωωωωωωωωω&&&&&&&&초기조건일때초기조건( )( )( )( )coordinate)(normal:Q ,QQ ,Q'sincos'sincosQQ21'sincos'sincosQQ21'sincosQ'sincosQ0Q0Q21212121212221121122211122221212기준좌표의선형결합tBtBtAtAxtBtBtAtAxtbtbtataDDωωωωωωωωωωωωωω+++=+=−−+=−=+=+==+=+

경상대학교 물리학과 김현수11-10계가 어떤 기준 모드에 있으면 계속해서 그 모드에 있고 다른 모드로 가지 않음.두입자는에너지를주고받지않으며, 각자 자기의 에너지를 그대로 유지할 것임.한개의기준모드, 각자의 에너지 유지A =B =1212[ x (0) + x (0)] A'= [ x&(0) + x&(0)]1[ x (0) − x (0)] B'= [ x&(0) − x&(0)]22112ω112ω21221두 입자가 반대 방향으로 같은 거리만큼 당겨진 후정지상태에서 놓여진 경우두 입자가 같은 방향으로 같은 거리만큼 당겨진 후정지상태에서 놓여진 경우 x2( 0) = −x1( 0) = 1, x&1( 0) = x&2( 0)초기조건x1( 0) = x ( 0) = 1 x&( 0) = x&( 0)A = 1,x1QQ() t = x () t12() t = ( x + x )() t2B = 0,2= 0대칭모드ω=:21= cosωt111A'= B'= 02Km1=2= 02 cosωt1L초기조건:B = 1,x2QQ1() t = −x1() t() t = 0() t =22. 기준좌표계A = 0,반대칭모드2 cosωt( x x ) → L( Q , )1, 21Q2A'= B'= 0= cosωt22ω =2( K + 2K')m= 0: 엇갈린항이없는 좌표계로기술운동방정식:두개의독립적인선형2계미분방정식

경상대학교 물리학과 김현수11-1111.4 진동계의 일반이론• 자유도가운동에너지 TVTq==1=== q12121212Kn∑j,kMn∑j,k211= ⋅⋅⋅ = qqK11q&M21jkn인일반계구속조건이 움직이는 상태가 아닐때21jk좌표계의원점+ Kqj+ Mq&q&q는 일반화 속도의 등차제곱임.:kjn12k12= 0q q1q&q&21+2+1212계산한값K22Mq2222q&22+ ⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅평형배위부근 → 상수 M 들은 평형배위에서L =12평형배위지점으로이동n∑ ( Mjkq&jq&k− Kjkqjqk)j,kqLagrange운동방정식kddt∑( Mjkq&&j+ Kjkqj) = 0 ( k = 1,2, ⋅⋅⋅,n)j= a∂L∂q&kk∂L−∂qcosωtk= 0( k = 1,2, ⋅⋅⋅,n)형태의 해2∑( − Mjkω+ Kjk) Aj= 0 ( k = 1,2, ⋅⋅⋅,n)Qqkk자명하지않는 풀이가 존재하려면− M− M11212ω + K2ω + KL1121− M− M2: ω 에대한 n 차 다항식,n 개의근:기준모드 진동수의제곱( t)= a( t)=nk∑i=1cos( ω t −δ)( k = 1, 2, L,n) :akik1222cos( ω t −δ)iki2ω + K2ω + KL1222LL존재L = 0n 진동자의완전한 풀이

경상대학교 물리학과 김현수11-12[예제 11.5] 삼 원자 분자의 직선운동( ) [ ]taxtaxtaxKxmxKxxLxLdtdKxKxMxKxxLxLdtdKxKxmxxLxLdtdxxxxxxxVTLKKmMmωωωcos,cos,cos0002000Lagrange3)()(332211332333221222111122322122232222212===⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=++→ −=∂∂−∂∂=−++→ −=∂∂−∂∂=−+→=∂∂−∂∂−+−−++=−=&&&&&&&&&&&&운동방정식개의MKmKmKKmKMmMKmKmKKKMKKKmaKmKaKaaKMKaKaaKm2,0,0)2)((0020(1)0)(0)2(0)(3212222223223221212+===∴=++−+−=+−−−+−−−+−⎜⎜⎜⎜⎝⎛=+−+−=−+−+−=−+−ωωωωωωωωωωωωL00(1)032121 ===∴=−→=aaaKaKaω진동이 없이 같은 속도로 병진운동3122 ,01) :( aaa−==→ω = ω크기는 같고 방향이 반대인 반대칭 진동운동)/(2)/(2,(1)312313MmaMmaaaa−== −=→ω = ω)(21:21/23 무관에탄성계수진동수비기준KMm ⎟⎠ ⎞⎜⎝= ⎛ +ωω

경상대학교 물리학과 김현수11-1311.5 일직선으로 배열된 조화 진동자계( )222212q nqqmT&L&& +++=운동에너지 [ ]21212121/212211)(2)(21)(21)(:)(21:kkkkkkkkkkkkqqdFFFqqdqqddqqdqqKqq−=Δ−=Δ+−+=−+−→−++++++llL라 하면끈의장력을가로운동세로운동위치에너지[ ][ ] )0()(21::)()(210021222121221==−−=∴⎜⎜⎜⎝⎛===+−++−+=•+=+−∑NNkkkknnnqqqqKmqLKdFKqqqqqqKV&L세로진동탄성계수가로진동간격장력계의전체위치에너지)(00)2(:):(cos)(:)()(:Lagrange101011211끈의양 끝점진폭에대한 회귀공식입자의진폭가정운동방정식==←==+−=−=−+−= −∂∂=∂∂+++−+−NNkkkkkkkkkkkkkkqqaaaaaKamkatatqqqKqqKmqqLqLdtdωω&&&

경상대학교 물리학과 김현수11-1402000020020022222=+−+−−−+−−−+−KmKmKKKmKKKmωωωωLLLLLLLLL직선상에있는입자기준모드의진폭진동계의기준모드를 표시기준진동수정수을 사용진동하는 끈의기준진동수를 구하려면) :,2,1,(1sin) :,2,1,(22sin2):(1sin01)sin(1)(0011NkNnkAaNnNnnNnnANAanNaknNNLL=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=•=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=•+=∴==+=←=+=•++ππωωπφπφπφ1)3,(4)/sin(31)2,(1)1,(4)/sin(:14sin)(33321=========⎟⎠⎞⎜⎝⎛==nkAankAankAankAaNkπππ제 모드입자일때⎟⎠⎞⎜⎝⎛==4sin1,1kπAank모드제⎟⎠⎞⎜⎝⎛==42sin2,2kπAank모드제⎟⎠⎞⎜⎝⎛==43sin3,3kπAank모드제3입자계에서의세기준모드0)(2)2( 121112=−−+→ −+−=− +−+−kkkkkkkKaamKKaaaaKamωω[ ]mKKKmkkkKAkAmkAa k ==→=−=++−−=−=00222,2sin22sin4)2cos(21)sin(2sin1)sin(sinsinωφωωφφωφφφφωφ정의로회귀공식이용하기위해진폭

경상대학교 물리학과 김현수11-15은 초기조건에서결정일반적운동 모든기준모드의선형결합한 모드에서만 진동할때 계의실제운동,)cos(1sin)()cos(1sin)cos(1nnNnnnnknnkkAtNnkAqtNnkAtaqεεωπωπω∑=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=•⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==•)2,1,(1)(/12222sin),(1)(00L==+≈==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛+

경상대학교 물리학과 김현수11-1611.6 연속체계의 진동, 파동방정식입자의 수가 무한히 많고 인접한 입자간의 거리가 무한히 작은 상태로 일직선상에 놓여 있는 경우⎡⎛qmq&&= Kd ⎢⎜⎣⎝qqk+1k + 1− qd− qdkkk + 1q−∂q⎞⎟∂x⎠k− qd− qdkdx=kd +2k −1⎛ q⎜⎝k∂q⎞⎟∂x⎠∂q⎞⎟∂x⎠− qdqkx=kdk −1⎛d: 평형상태에있을때두인접한입자사이의거리⎜⎝ x : 줄을 따라서잰거리,N : 입자수N >> 1, d

경상대학교 물리학과 김현수11-171. 파동속도의 계산μμμμμYvYdYKFvFdddFvdmdFKmKdv=∴==∴=====):(:ii))/()(::i)2222탄성율세로진동가로파동의진행속도단위길이당질량선밀도가로운동3. 정류파동antinode):(max:,45,43,4node):(0:,23,22,20,:)cos(2sin2cos2sin)(2sin21)(2sin21),(:22222배마디정류파새로운 풀이풀이의선형결합선형====⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→⇔∂∂=∂∂qxqxtxAtvxAvtxAvtxAtxqxqvtqLLλλλλλλωλπλπλπλπλπt = t 1t = t 2t = t 3마디배2. 사인곡선형 파동λπωλπλπvfvtxAtxqorvtxAtxq==⎥⎦⎤⎢⎣⎡±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±=2)(2cos),()(2sin),(λt = t 1t = t 22220),()0,(λλπλπnLornLnLtLxqtxq==→=====줄의양 끝고정→22222xqvtq∂∂=∂∂