X - LUMENS - Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu

Sveučilište u RijeciFakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvuPREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ“Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu”Temeljni predmet:STATISTIKAPREDAVANJE 4:SREDNJE VRIJEDNOSTISTATISTIČKOG NIZA

SADRŽAJ PREDAVANJA1. Numerički niz2. Srednja vrijednost (SV)3. Aritmetička sredina (AS)4. Harmonijska sredina (HS)5. Geometrijska sredina (GS)6. Medijan (M e )7. Mod (M o )

1. NUMERIČKI NIZ

NUMERIČKI NIZ (definicija)• Numeričkiobilježja.niz nastaje uređenjem vrijednosti numeričkog• Način uređivanja ovisi o broju podataka, te o tome jesu li podacivrijednosti prekidnog ili neprekidnog obilježja.• Vrste numeričkih nizova: kontinuirani i diskontinuirani.• Ako se skup podataka sastoji od malog broja članova, uređujese nizanjem članova prema veličini. Podaci se navode odnajmanjeg do najvećeg, a katkad obrnuto. Označi li senumeričko obilježje X, N njegovih uređenih vrijednosti je:x 1 , x 2 , …, x n , i=1, 2, 3, …, N.Vrijednosti numeričkog(negrupirani podaci).obilježja tu se ne grupiraju

PRIMJER: Negrupirani podaci• Podaci o navršenim godinama radnog staža zaposlenihu poduzeću X.Podaci su sljedeći: 3, 6, 5, 2, 4, 1, 7, 3, 5, 4, 8.Najmanja vrijednost numeričkog obilježja je 1, anajveća 8.• Numerički niz od 11 članova je:X i : 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6.

Formiranje i grafičko prikazivanjedistribucije frekvencija• Ako se diskontinuirano numeričko obilježje pojavljuje samo unekoliko oblika, a broj podataka je velik, uređenje se provodipostupkom grupiranja. Grupiranjem se skup jedinica raščlanjuje upodskupove prema vrijednostima numeričkog obilježja.• Frekvencija je broj jedinica s jednakom vrijednošću numeričkogobilježja.• Uređenjem vrijednosti numeričkog obilježja i pripadajućihfrekvencija dobije se distribucija frekvencija.• Distribucija frekvencija prekidnog numeričkog obilježja skup jerazličitih vrijednosti tog obilježja i pripadajućih frekvencija.Poprima li obilježje X vrijednosti x 1 , x 2 , …, x i , …, x kfrekvencijama f 1 , f 2 , …, f i , … f k , distribucija frekvencija je skupuređenih parova:(x 1 , f 1 ), (x 2 , f 2 ), … (x i , f i ), …, (x k , f k ).s

Primjer – Grupirani podaci• Prema ispisu tuzemnih telefonskih poziva za lipanj 2006. godinedobivena je sljedeća distribucija telefonskih poziva:Broj poziva (x i ) 0 1 2 3 4 5 6 7Broj dana (f i ) 10 9 3 4 1 1 1 1Prema tome, uređeni parovi (x i , f i ) su:(0; 10), (1; 9), (2; 3), (3; 4), (4; 1), (5; 1), (6; 1), (7; 1)

Primjer – distribucija frekvencija s razredimaTabela: Količina vremena provedena tjedno na Internetu(istraživanje 2005. godina)Količina vremena(u satima)Broj ispitanika(f i )0 – 2,5 372,5 – 5 255 – 7,5 127,5 - 10 13

Kumulativni niz, razredna sredina,veličina razreda (definicije)• Kumulativni niz nastaje postupnim zbrajanjem frekvencija odprve do posljednje. Prva frekvencija KN jednaka je prvojfrekvenciji polaznog niza. Posljednja frekvencija KN jednaka jezbroju svih frekvencija.Razlikujemo KN “manje od” i KN “više od”.• Razredna sredina (x si ) je poluzbroj donje i gornje granicerazreda.L 1+ Lx 2i=2• Veličina razreda (i) jednaka je razlici između gornje i donjegranice razreda.i=L 2− L 1

Kumulativni nizTablica: Sudionici prometnih nezgoda prema godinama starostiGodinestarostiBrojsudionikaKumulativninizKumulativniniz“manje od”“više od”x if i0 – 4 12 12 905 – 9 20 32 7810 – 14 28 60 5815 – 19 19 79 3020 – 24 11 90 11Ukupno 90

Korigirane frekvencije, precizne granicerazreda (definicije)• Korigirane frekvencije (f ci ) izračunavaju sedijeljenjem izvornih frekvencija (f i ) s veličinomrazreda (i). Korigiraju se samo frekvencijedistribucije nejednakih razreda.fc=fii• Distribucija frekvencija ima precizne granicerazreda, kada je donja granica tekućeg razredajednaka gornjoj granici prethodnog razreda.

2.SREDNJEVRIJEDNOSTI

Definicija srednje vrijednosti• Srednja vrijednost je konstanta kojom sepredstavlja niz varijabilnih podataka.(Šošić, I., 2004.)• SV se još nazivaju i mjerama centralne tendencije(centralna tendencija = pojava grupiranja manjihfrekvencija oko najveće vrijednosti distribucijefrekvencija).• Izbor SV ovisi o vrsti statističke varijable(obilježja) odnosno niza za koji se određuje.• U analizi numeričkog niza koriste se sve potpune ipoložajne SV. U analizi nominalnog niza koristi se mod(uz određene uvjete), a u analizi redoslijednog nizamod i medijan.

Vrste srednjih vrijednosti• SV se dijele na potpune i položajne.• Potpuna SV određuje se na temelju svihpodataka.• Položajna SV po pravilu je jedanmodalitet statističke varijable, koji seidentificira sukladno definiciji SV ili seaproksimira pomoću manjeg brojapodataka.

VRSTESREDNJIH VRIJEDNOSTIPOTPUNESREDNJE VRIJEDNOSTIPOLOŽAJNESREDNJE VRIJEDNOSTI•Aritmetička sredina•Harmonijska sredina•Geometrijska sredina•Mod•Medijan

3.ARITMETIČKASREDINA

Definicija aritmetičke sredine (AS)• AS je najvažnija i najraširenija SV. Određujese tako da se zbroje vrijednosti numeričkevarijable i podijele s njihovim brojem.• Zbroj vrijednosti numeričke varijable nazivase total, pa je AS jednaki dio totala pojedinici.

Jednostavna (neponderirana) ASAko su dane pojedinačne vrijednosti numeričkevarijable X i : x 1 , x 2 , x 3 , …, x i , …, x N , njihova jearitmetička sredina:NX=X1+X2+ ... +XN=∑i=1XiNN

Vagana (ponderirana) ASPonderi su veličine kojima se množe (važu) vrijednosti numeričkevarijable Xi. Postavljaju se pitanja:•Čime je vagana ponderirana AS? –frekvencijama•Što se važe pri izračunavanju vagane AS? – vrijednostnumeričkog obilježja (frekvencije, relativne frekvencije ili njimaproporcionalne veličine).X=k∑fxk∑Pxi ii iki= 1i=1, X = , X = ∑ pixi, X =k100∑i=1fii=1m1

Izračunavanje AS pomoćuapsolutnih frekvencijaNegrupirane jediniceGrupirane jediniceX=N∑i=1xiXk∑=i = 1kfixiN∑i = 1fi

Izračunavanje AS pomoćurelativnih frekvencijaGrupirane jedinice – Vagana (ponderirana) ASoko nulekX = ∑ p x i ii = 1∑ −Linearna transformacija ili kodiranjeoko aOko a uzb (b≠0)XX= a + p d , d = x a= a + b∑iip d 'ii,id 'i=ixi−ab

Svojstva ASPRVO SVOJSTVO: Algebarski zbroj odstupanja vrijednostinumeričkog obilježja od AS jednak je nuli.( x x ) = 0 , f ( xi − x )∑ i ∑ i=− 0DRUGO SVOJSTVO: Zbroj kvadrata odstupanja originalnihvrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednakje minimumu.( x − x)2∑ i= minTREĆE SVOJSTVO: AS se uvijek nalazi između najmanje inajveće vrijednosti numeričkog obilježja x i .X 〈 X 〈minXmax

PRIMJER: Izračunavanje jednostavneAS (negrupirani podaci)Koliko iznosi AS za navedeni numerički niz?Xi: 17 17 21 34 35 40 41 42 50 50 53 55Rješenje:XX1= ∑ x , ∑ ixi= 455N1= 455 = 37.9166712

PRIMJER:Izračunavanje vagane AS (grupirani podaci)Koliko iznosi AS za navedeni numerički niz?x i : 500 550 600 700 750 800 ∑f i : 35 78 22 15 10 4 164f i x i17500 42900 13200 10500 7500 3200 94800Rješenje:X=∑∑fifxii=94800164=578,04878

PRIMJER: Izračunavanje ASdistribucije frekvencija s razredimaRazredi f i X si f i x i0 – 5 123 2,5 307,55 – 10 157 7,5 1177,510 – 15 20 12,5 250,015 – 20 10 17,5 175,0Ukupno 310 - 1910l+2li1 i 2xsi=

Rješenje:Vagana AS distribucije frekvencija iznosi:X=∑∑fixi=( 123×2,5 + ... + 10×17,5 )fi310X=1910=3106, 1612903

4.HARMONIJSKASREDINA

Definicija harmonijske sredineHS je recipročna vrijednost AS njezinih recipročnihvrijednosti.Uporaba HS (rjeđa od AS):- za izračunavanje prosječnog vremena za izradujedinice proizvoda,- srednjeg vremena obrtaja kapitala,- prosječnog vremena prijeđene jedinice puta i sl.,- izračunavanje sredine relativnih brojeva s istimbrojnicima.

Izračunavanje HSJednostavnaHS(negrupiranipodaci)HN= N∑i=11xiVaganaHS(grupiranipodaci)Hk∑i=1= k∑i=1ffxiii

PRIMJER: Jednostavna HSNa 5 strojeva različite starosti izrađuje se isti proizvod,odnosno strojevi su različito produktivni. U 8-satnom radnomvremenu utvrđen je prosječan utrošak vremena po jediniciproizvoda u minutama, te je prikazan u tabeli.Stroj A B C D EUtrošeno vrijeme po jediniciproizvoda (min.)0.8 1.0 1.2 1.2 1.5• Kolika je prosječna produktivnost strojeva izražena utroškomvremena po proizvodu?• Koliko je proizvoda proizvedeno na svim strojevima?

Utrošak vremena po jedinici proizvoda je omjerni broj kojemu jeu brojniku utrošeno vrijeme. Kako svaki stroj radi 8 sati, to suutrošena radna vremena strojeva po jedinici proizvoda relativnibrojevi (razlomci) istih brojnika. U tom slučaju za izračunavanjeHS koristiti će se jednostavna HS:HH=∑=N1x54.58333i=10.8=+11+1.090951+1.2min .11.2+11.5Prosječni utrošak po jedinici proizvoda za sve strojevezajedno iznosi 1.09 minuta.

Prosječni utrošak vremena po jedinici proizvoda je omjerni broj. Unjegovu je brojniku ukupno utrošeno vrijeme, a u nazivniku brojproizvoda.Prosječno utrošeno vrijeme po jedinici proizvoda iznosi 1.0909minuta, a ukupno vrijeme svih strojeva (8 sati svaki):5 x 8 x 60 = 2400 minuta.Prema tome, proizvodnja na svim strojevima (nazivnik omjernogbroja) iznosi 2400 : 1.0909 = 2200 komada.

PRIMJER: Vagana HSProsječna prodajna cijena proizvoda 2002. godine, te strukturavrijednosti prodaje prema prodajnim područjima:PodručjeProsječna prodajna cijenau kunamaStrukturavrijednosti prodajeu %Sjever 490 35.0Središnjaregija500 40.0Jug 494 25.0Odredite kolika je prosječna prodajna cijena za sva tri područjazajedno.

Rješenje:H=∑∑fi=35+40+25fi35+40+25xi490500494100H==494.96150.2020359Prosječna prodajna cijena za sva tri područja zajedno iznosi(zaokruženo) 495 kuna.

5.GEOMETRIJSKASREDINA

Definicija geometrijske sredine• Geometrijska sredina je potpuna sredinavrijednosti numeričke varijable.• Izračunava se za niz pojedinačnih vrijednosti(jednostavna) i za grupirane podatke (vagana).• Koristi se u analizi vremenskih nizova, zaizračunavanje prosječne stope promjenepojave.

Izračunavanje GSJednostavna GSVagana GS∑===k1iiiNfkkfii2f21f1xlogfN1log G,...,x,...,xxxG∑===N1iiNNi21XlogN1log G,...x,...xxxG

PRIMJER: Jednostavna GSZadane su pojedinačne vrijednosti numeričke varijable:X i : 115 120 98 117 134 100 101 95 125 130 116Kolika je geometrijska sredina? Odredite i aritmetičku sredinu.G =11115× 120×98×... × 130× 116G=112.997X=113.727

PRIMJER: Vagana GSDistribucija anketiranih prema broju članova je:x i : 1 2 3 4 5 6f i : 3 6 26 15 6 4Odredite vrijednost geometrijske i aritmetičke sredine.G=Nx1f1x2f2,...,xkfkGG==1×3.2302×360 3 6 36 15 6 4×4×5×6Aritmetička sredina distribucije je 3.45 članova.

6. MEDIJAN

Definicija medijana• Medijan je položajna SV koja numerički niz uređenpo veličini dijeli na dva jednaka dijela.• U jednom se dijelu numeričkog niza nalaze elementikoji imaju vrijednost numeričkog obilježja jednaku ilimanju od medijana, dok se u drugom dijelu nalaze onielementi koji imaju vrijednost numeričkog obilježjajednaku ili veću od medijana.XminN/2 Xmax50% jedinica 50% jedinicaMe

Izračunavanje medijanaNUMERIČKI NIZNegrupiraniGrupiraniPARNIbrojčlanovaNEPARNIbrojčlanovaDiskontinuiraniKontinuirani

Medijan za negrupiranestatističke nizoveAko je broj podataka neparan, medijan je vrijednostvarijable središnjeg člana niza uređenog po veličini.Ako niz ima parni broj članova, medijan je jednakpoluzbroju vrijednosti varijable središnjih dvajučlanova uređenog niza.Me=⎧X⎪⎨ X⎪⎩rr+2Xr+1

PRIMJER: Izračunavanje Me zaNEPARNI broj podatakaX i : 2 12 3 4 2 5 2 7 8Koliko iznosi medijan?Uređeni podaci su:2 2 2 3 4 5 7 8 124N = 9, Xr = 5, Me = 4Medijan je 4, što znači da 50% elemenata niza ima vrijednostnumeričkog obilježja 4 i manju od 4, a 50% elemenata niza imavrijednost 4 i veću od 4.

PRIMJER: Izračunavanje Me zaPARNI broj podatakaXi: 2 12 3 4 2 5 2 7 8 2 9 2Koliko iznosi medijan?Uređeni niz podataka:2 2 2 2 2 3 4 5 7 8 9 123 4Xr + Xr+1 / 2, 3+4/2 = 3,5, Me = 3,5Medijan je 3.5, što znači da 50% elemenata niza imavrijednost numeričkog obilježja 3.5 i manju, a 50% elemenataniza ima vrijednost obilježja 3.5 i veću od 3.5.

MEDIJAN za grupiranestatističke nizove u razredeNMe=L1+2−∑fmedf1iN – broj frekvencija (apsolutnih ili relativnih); f med – frekvencijamedijalnog razreda; i – veličina medijalnog razreda; L 1 – donjagranica medijalnog razreda; ∑f 1 – frekvencija kumulativnog niza“manje od” ispred medijalnog razreda

PRIMJER: Izračunavanje Me zadistribuciju frekvencija s razredimaOsobe prijavljene u Hrvatskom zavodu za zapošljavanje, stanjepotkraj 1999. godine:Godine života Broj osoba Kumulativni nizVeličinarazredafi “manje od” i15 – 20 67170 67170 520 – 25 48482 115652 525 –30 119819 235471 5 i30 – 40 82263 317734 1040 – 50 10604 328338 1050 – (65) 13392 341730 (15)ukupno 341730 - -

Rješenje:170865−115652Me=25+5119819Me=27.304402Medijan iznosi (zaokruženo) 27 godina. Prema njemu, dob prvepolovice osoba koje su bile prijavljene u zavodu zazapošljavanje iznosila je 27 i manje godina, a druga polovicaosoba je starija od 27 godina.

PRIMJER: Izračunavanje Me zadiskontinuirani numerički nizTest sadrži pet zadataka. Broj riješenih zadataka 43 studenta bioje ovakav:Broj riješenihzadatakaBroj studenataKumulativni nizx i f i “manje od”0 3 31 7 102 12 223 16 384 3 415 2 43ukupno 43 -Koliki je medijalni broj riješenih zadataka?

Rješenje:Ovdje je broj podataka 43 (neparni broj). Medijan je brojriješenih zadataka s rednim brojem r = N/2 + 1.Dakle, r = 22, pa je medijalni broj zadataka 2.Pri određivanju medijana grupiranih podataka koristi se iempirijska funkcija distribucije (kumulativni niz manje od).Student pod rednim brojem 22 nalazi se u kumulativnojfrekvenciji Sx(2) = 22, pa je medijan jednak 2 riješena zadatka.

Oblici distribucije podataka• Aritmetička sredina > Medijan: pozitivnoasimetrična distribucija (ili desna asimetrija)• Aritmetička sredina = Medijan: simetričnadistribucija (ili 0 asimetrija)• Aritmetička sredina < Medijan: negativnoasimetrična distribucija (ili lijeva asimetrija)

7. MOD

Definicija moda• Mod je položajna SV.• To je vrijednost ili modalitet varijable koji senajčešće pojavljuje u nizu. Mod postoji ako suu nizu bar dva jednaka podatka.• Prema tome, mod je modalitet nominalnevarijable, rang-varijable ili numeričkevarijable s najvećom frekvencijom.• Mod dijeli distribuciju na rastuću i padajućustranu.

Izračunavanje moda distribucijefrekvencija s razredimaM = Lo 1+( b − a)( b − a) + ( b − c) ib –najveća (korigirana) frekvencija; a – frekvencija ispred nje; c –frekvencija iza najveće korigirane frekvencije; L 1 – donja granicamodalnog razreda; i –veličina modalnog razredaKada su razredi jednakih veličina koristiti će se originalnefrekvencije. Ako su razredi nejednakih veličina, vrši se“korigiranje frekvencija” (f ci =f i /i).Modalni je razred onaj s najvećom frekvencijom.

PRIMJER: Izračunavanje moda zaniz negrupiranih podatakaZa numerički niz:X i : 2 12 3 4 2 5 2 7 8 2 9 2Odredite koliko iznosi mod za navedeni niz podataka.Rješenje:Na temelju podataka iz tabele, može se zaključiti daje najčešća vrijednost 2. Prema tome, mod je 2.

PRIMJER: Izračunavanje moda za nizkvalitativnih podatakaRezultati prvog kolokvija iz Statistike, održanog u zimskomsemestru 2006. godine na FTHM Opatija (grupa zadataka B),prikazani su u tabeli:OcjenaBrojstudenataIzvrstanVrlodobarDobar Dovoljan Nedovoljan2 9 20 23 57Odredite mod za niz podataka u tabeli.Varijabla ocjena je kvalitativna (rang-varijabla). Mod je ocjenakoju je postigao najveći broj studenata.U primjeru je modalna ocjena nedovoljan.

PRIMJER: Izračunavanje modadistribucije frekvencija s razredimaBroj prometnih nezgoda prema godinama starosti:GodinestarostiBrojsudionika uprometnimnezgodamaPreciznegranicerazredaRazrednasredinaVeličinarazredafi x si i0 – 4 12 0 – 5 2,5 55 – 9 20 a 5 – 10 7,5 510 –14 28 b 10 – 15 12,5 515 – 19 19 c 15 – 20 17,5 520 – 24 11 20 – 25 22,5 5ukupno 90 - - -

Rješenje:Mo=10+28−20( 28−20) + ( 28−19)5Mo=12,35godinaDakle, dobna skupina, koja najčešće stradava u prometnimnezgodama je stara 12,35 godina.

Poligon frekvencijabroj sudionika prometnih nezgoda3025201510500-5 5-10 10-15 15-20 20-25godine starostiMo = 12,35

ZAKLJUČAK• Praktična uporaba SV u statisticipodrazumijeva određivanje načinaizračunavanja SV, koja će okarakteriziraticentralnu tendenciju neke pojave.• Svaka SV ima točno određeno računskopravilo po kojemu se određuje, a samim tim ispecifična svojstva. Upravo specifičnasvojstva SV određuju koja će se SV u danomslučaju uporabiti.

Primjer 1. – negrupirani podaciZadan je sljedeći numerički niz:202 206 190 196 198 208Izračunajte:a) aritmetičku sredinu,b) harmonijsku sredinu,c) geometrijsku sredinu,d) mod,e) medijan.

Primjer 1 - Rješenjex i 1/x i logx i r x202 0,0050 2,3054 190206 0,0049 2,3139 196190 0,0053 2,2788 198196 0,0051 2,2923 202198 0,0051 2,2967 206208 0,0048 2,3181 208Σ1 200 0,03 13,8052 -

Primjer 1 - Rješenje• Aritmetička sredinaX∑ Xi =N1200 = =6200• Harmonijska sredinaH=∑N1=60,03=200x i

Primjer 1 - Rješenje• Geometrijska sredina (1. način)logGlogGlogGG = 199,921= ⋅∑logxN1= ⋅13,80526= 2,3009i

Primjer 1 - Rješenje• Geometrijska sredina (2. način)G== N x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x61202 ⋅ 206 ⋅190⋅196⋅198= 199 ,9123456⋅=208=

Primjer 1 - Rješenje• ModMod ne postoji, jer u nizu nema barem dva jednaka podatka(obilježja).• MedijanOdređivanje rednog broja:r= N =2621=3r2 = r1+ 1 = 3+1=4Izračunavanje medijana:Mex r+ x2=r198+202=21 2=200

Primjer 2. – grupirani podaci bez razredaNa kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo jesljedeće rezultate:Ocjena 1 2 3 4 5Brojstudenata3 4 9 10 4Izračunajte:a) aritmetičku sredinu,b) harmonijsku sredinu,c) geometrijsku sredinu,d) mod,e) medijan.

Primjer 2 - Rješenjex i f i x i f i f i / x i log x i f i log x i Kum.niz1 3 3 3,00 0 0 32 4 8 2,00 0,3010 1,2040 73 9 27 3,00 0,4771 4,2939 164 10 40 2,50 0,6021 6,0210 265 4 20 0,80 0,6989 2,7956 30Σ 30 98 11,30 2,0791 14,3145 -

Primjer 2 - Rješenje• Aritmetička sredinaX∑xi=∑⋅fifi98 = =303,27• Harmonijska sredinaH∑ =∑ffxiii=30 =11,302,65

Primjer 2 - Rješenje• Geometrijska sredina (1. način)log G1fi∑= 3145∑⋅filogxilogG=130⋅14,log G =0 ,47715G=3,00

Primjer 2 - Rješenje• Geometrijska sredina (2. način)G1234= N f f f f fx1⋅ x2⋅ x3⋅ x4⋅ x55==1⋅2⋅34530 3 4 9 10 4⋅⋅==301⋅16⋅19683⋅1048576⋅625==3,00

Primjer 2. - Rješenje• ModMo=4• MedijanMe= N2=302=15Me=3

Primjer 3. – grupirani podaci s razredimaZadan je sljedeći numerički niz:Starost u godinamaBroj zaposlenih21 – 30 3231 – 40 16241 – 50 40451 – (65) 142Ukupno 740Izračunajte:a) aritmetičku, harmonijsku i geometrijsku sredinu,b) mod i medijan.

Primjer 3 - RješenjeStarostBr.zap.Preciznegranice x i i f c x i f i f i /x if i21 – 30 32 21 – 31 26 10 3,2 832 1,2331 – 40 162 31 – 41 36 10 16,2 5 832 4,5041 – 50 404 41 – 51 46 10 40,4 18 584 8,7851 –(65) 142 51 – 65 58 14 10,1 8 236 2,45Σ 740 - - - - 33 484 16,96

Primjer 3 - Rješenje(nastavak tablice)logx i f i logx i Kumulativni niz“manje od”1,4149 45,2768 321,5563 252,1206 1941,6627 671,7712 5981,7634 250,4028 740- 1 219,5714 -

Primjer 3 - Rješenje• Sredina razredaL 1+ Lx 2i=2• Veličina razredai=L 2− L 1• Korigirane frekvencijefc=fii

Primjer 3 - Rješenje• Aritmetička sredinaX∑xi=∑⋅fifi33484 = =74045,25• Harmonijska sredinaH∑ =∑ffxiii=740 =16,9643,63

Primjer 3 - Rješenje• Geometrijska sredinalogG1f= 5714∑i⋅∑filog xilogG =1740⋅1219,log G =1,6481G = 44,47

Primjer 3 - Rješenje• Modb − aMo = L +⋅i1( b − a) + ( b − c)40,4 −16,2= 41+(40,4 −16,2)+ (40,4 −10,1)= 45,44=⋅10=

Primjer 3 - Rješenje• MedijanMe=L1+N−∑ f12 N 740⋅i= = 370f2 2medMe =370−19441 + ⋅10=40445,36

LITERATURA Šošić, I, Serdar, V.: “Uvod u statistiku”, Školska knjiga, Zagreb,2000., str. 19-26 Šošić, I.: “Primijenjena statistika”, Školska knjiga, Zagreb,2004. (str. 1-32) Šošić, I.: “Statistika”, udžbenik za srednje škole, Školskaknjiga, Zagreb, 1999. (str. 1-63) Čaval, J.: “Statističke metode u privrednim i društvenimistraživanjima”, Sveučilište u Rijeci, Rijeka, 1992. (str. 37-52) Rozga, A., Grčić, B.: “Poslovna statistika”, Veleučilište u Splitu,Split, 1999., str. 16-53