MPRA

Similary, we also get
vec( ̂B
{
n ̂Σεn ̂Bn − B 0 Σ ε B 0 ) = I m ⊗ ( ̂B
}
n ̂Σεn ) + ((B 0 Σ ε ) ⊗ I m ) vec( ̂B n − B 0 )
+ (B 0 ⊗ ̂B n )D m vech( ̂Σ εn − Σ ε )
and
vec(Ĉn ̂Σ xn Ĉ ′ n − C 0 Σ x0 C ′ 0) =
{I m ⊗ (Ĉn ̂Σ
}
xn ) + ((C 0 Σ x ) ⊗ I m )M mr vec(Ĉ′ n − C ′ 0)
+ (C 0 ⊗ Ĉn)D r vech( ̂Σ xn − Σ x ).
Let
{
 ∗ n = −P m I m ⊗ (Ân ̂Σ
}
εn ) + ((A 0 Σ ε0 ) ⊗ I m )M mm ,
{
̂B ∗ n = −P m I m ⊗ ( ̂B
}
n ̂Σεn ) + (B 0 Σ ε0 ) ⊗ I m ,
{
Ĉ ∗ n = −P m I m ⊗ (Ĉn ̂Σ
}
xn ) + ((C 0 Σ x0 ) ⊗ I m )M mr ,
Ê ∗ n = P m (I m 2 − B 0 ⊗ ̂B n − A 0 ⊗ Ân)D m ,
̂X∗ n = −P m (C 0 ⊗ Ĉn)D r .
We then have
√ n(̂ωn − ω 0 ) =
(
Â∗ n
̂B ∗ n
Ĉ ∗ n
Ê ∗ n
̂X ∗ n
⎛
) √n ⎜
⎝
⎞
â n − a 0
̂bn − b 0
ĉ n − c 0
, (32)
̂γ εn − γ ε0
⎟
⎠
̂γ xn − γ x0
where â n = vec(Â′ n), ̂b n = vec( ̂B n ) and ĉ n = vec(Ĉ′ n) are the estimators of a 0 =
vec(A ′ 0), b 0 = vec(B 0 ) and c 0 = vec(C ′ 0) respectively. Note that
⎛
⎞
â n − a 0
⎛
⎞
̂bn − b 0
̂θ n − θ 0
ĉ n − c 0
= Ψ ⎜ ̂γ ⎝ εn − γ ε0
⎟
⎠ , (33)
⎜ ̂γ
⎝ εn − γ ε0
⎟ ̂γ
⎠
xn − γ x0
̂γ xn − γ x0
25