E80172 Matematyka klasa 4

Nowa podstawa programowa
MATEMATYKA
4

Barbara Dubiecka-Kruk, Piotr Piskorski,
Agnieszka Gleirscher, Ewa Malicka, Ewa Pytlak
MATEMATYKA
4

Podręcznik w wersji testowej, nieprzeznaczony do sprzedaży, zgodny z treścią podręcznika przesłanego
do MEN w celu uzyskania dopuszczenia do użytku szkolnego zgodnie z ustawą z dnia
14 grudnia 2016 r. Prawo oświatowe i Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia
14 lutego 2017 r. w sprawie podstaw programowych.
EGZEMPLARZ NIE DO SPRZEDAŻY
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Warszawa 2017
Wydanie I
ISBN 978-83-02-16840-6
Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Agnieszka Gawryszczak (redaktor koordynator),
Monika Przerada (redaktor merytoryczny), Marzena Korycka (współpraca redakcyjna)
Redakcja językowa: Milena Schefs
Redakcja techniczna: Janina Soboń
Projekt okładki: Anna Wielbut
Projekt graficzny: Anna Wielbut
Opracowanie graficzne: Anna Wielbut, Paweł Pawiński
Opracowanie kartograficzne: Łukasz Król
Fotoedycja: Ignacy Składowski
Skład i łamanie: Marek Krzyczkowski
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna
00-807 Warszawa, Aleje Jerozolimskie 96
KRS: 0000595068
Tel.: 22 576 25 00
Infolinia: 801 220 555
www.wsip.pl
Druk i oprawa: DROGOWIEC-PL Sp. z o.o., Kielce
Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im
przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym.
Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie
zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.
Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki

Spis treści
Liczby naturalne 6
1. Zbieranie i prezentowanie danych __________________________________________ 8
2. Rzymski system zapisu liczb ___________________________________________________ 15
3. Obliczenia kalendarzowe _______________________________________________________ 19
4. Obliczenia zegarowe _______________________________________________________________ 26
5. Liczby wielocyfrowe _______________________________________________________________ 35
6. Porównywanie liczb _______________________________________________________________ 43
Czy już to umiem? __________________________________________________________________ 52
Potrafię więcej, umiem lepiej. ________________________________________________ 58
+
Działania na liczbach naturalnych 60
7. Kolejność wykonywania działań ____________________________________________ 62
8. Dodawanie w pamięci ____________________________________________________________ 68
9. Odejmowanie w pamięci ________________________________________________________ 76
10. Mnożenie w pamięci ______________________________________________________________ 82
11. Dzielenie w pamięci _______________________________________________________________ 87
12. Dzielenie z resztą ____________________________________________________________________ 92
13. Porównywanie liczb. Ile razy mniej? Ile razy więcej? _____________ 97
14. Porównywanie liczb. O ile, czy ile razy? _________________________________ 103
Czy już to umiem? __________________________________________________________________ 107
Potrafię więcej, umiem lepiej. ________________________________________________ 112
Proste i odcinki. Kąty. Koła i okręgi 114
15. Punkt, prosta, półprosta, odcinek __________________________________________ 116
16. Odcinki w skali _______________________________________________________________________ 122
17. Wzajemne położenie prostych _______________________________________________ 128
18. Kąty. Mierzenie kątów ____________________________________________________________ 136
19. Rodzaje kątów ________________________________________________________________________ 145
20. Koło i okrąg ____________________________________________________________________________ 151
Czy już to umiem? ___________________________________________________________________ 157
Potrafię więcej, umiem lepiej. ________________________________________________ 168

Działania pisemne na liczbach naturalnych 170
21. Dodawanie pisemne I _____________________________________________________________ 172
22. Dodawanie pisemne II ___________________________________________________________ 177
23. Odejmowanie pisemne I ________________________________________________________ 182
24. Odejmowanie pisemne II _______________________________________________________ 186
25. Mnożenie pisemne liczb przez liczby jednocyfrowe ______________ 193
26. Dzielenie pisemne liczb przez liczby jednocyfrowe _______________ 199
27. Wyrażenia arytmetyczne ________________________________________________________ 207
Czy już to umiem? __________________________________________________________________ 212
Potrafię więcej, umiem lepiej. ________________________________________________ 218
Wielokąty 220
28. Wielokąty _______________________________________________________________________________ 222
29. Kwadrat, prostokąt _________________________________________________________________ 229
30. Pole wielokąta _________________________________________________________________________ 236
31. Pole prostokąta _______________________________________________________________________ 244
Czy już to umiem? __________________________________________________________________ 249
Potrafię więcej, umiem lepiej. ________________________________________________ 260
Ułamki zwykłe 262
32. Ułamki zwykłe _______________________________________________________________________ 264
33. Obliczanie ułamka liczby naturalnej ______________________________________ 269
34. Porównywanie ułamków ________________________________________________________ 274
35. Dodawanie i odejmowanie ułamków
o jednakowych mianownikach _______________________________________________ 281
36. Liczby mieszane _____________________________________________________________________ 288
Czy już to umiem? ___________________________________________________________________ 296
Potrafię więcej, umiem lepiej. ________________________________________________ 305
Odpowiedzi ____________________________________________________________________________ 307

c d e f
b
a
● mieć jeden punkt wspólny – mówimy
wówczas, że proste się przecinają;
● nie mieć punktów wspólnych –
mówimy wówczas, że proste są
równoległe.
w punkcie K, a proste a i b
są równoległe.
do prostej b, zapisujemy
symbolicznie: a || b.
a
b
K
M
c
14 X
20 X
a )
14 – 1 = 13 – czyli 13 X
13 + 3 = 16 – czyli 16 X
2 dni
16 + 3 = 19 – czyli 19 X
b )
(20 – 14) za 6 dni
14 X 15 X 16 X 17 X 18 X 19 X 20 X
(20 – 14 + 1) 7 dni
16 X i 19 X
7
6
Wykonaj dzielenie 48 : 12 metodą dzielenia „na raty”.
Zamiast dzielić przez 12 można podzielić najpierw przez 6, a potem przez 2,
bo 6 ∙ 2 = 12.
Zamiast dzielić przez 12 można podzielić najpierw przez 2, a potem przez 6,
bo 2 ∙ 6 = 12.
wejście
A. 33
B. 3334
C. 3536
D. 3738
E. 38
XI
XV
XVIII XI
1
1 maja
3 maja
9 maja
1
31
11a
,
wyjście
O podręczniku
Pamiętaj, jest to podręcznik wieloletni, dlatego nie pisz po nim – wszystkie
rozwiązania zapisuj w zeszycie.
Liczby naturalne
Co się dzieje w naszym organizmie w ciągu doby?
2:00
10:00
Najgłębszy
Najwyższa
sen
14:30
czujność
Najlepsza
koordynacja
21:00
ruchowa
Przygotowanie się
organizmu do snu
15:30
7:30
Najszybszy
Przygotowanie się
czas reakcji
organizmu do
działania
Na podstawie poniższych informacji odpowiedz na pytania.
O której godzinie jesteśmy najbardziej czujni?
Ile razy w ciągu doby mrugamy oczami?
Ile wdechów i wydechów robimy w ciągu doby?
Ile czasu przeciętnie poświęcamy na obowiązki domowe?
W ciągu 24 godzin…
... tracimy od 80
do 100 włosów
... robimy
23 000 wdechów
i wydechów
... oczy mrugają
16 500 razy
... serce
przepompowuje
10 000 litrów
krwi
Ile czasu poświęcamy na…
...naukę?
7 godzin 30 minut
...drogę do i ze szkoły?
1 godzinę
...oglądanie telewizji?
...sen?
10 godzin
...posiłki?
1 godzinę 15 minut
...sport i zabawę?
Strona działowa
Każdy dział rozpoczyna się
od infografiki, czyli takiego
sposobu połączenia ilustracji
z objaśnieniami, który ułatwia
zapamiętywanie. Przyjrzyj
się infografice i postaraj się
zapamiętać jak najwięcej.
Odpowiedz na pytania
i zaproponuj inne.
4:30
Najniższa
temperatura
ciała
... brwi rosną
1 mm
1 godzinę 2 godziny
...obowiązki domowe? ...codzienną tolaletę?
19:00
Najwyższa
temperatura
ciała
... przez obie
nerki przepływa
1500 litrów krwi
45 minut
30 minut
6
7
Zadania wprowadzające
wadz
ając
Każdy temat rozpoczyna się
od zadań, które wprowadzą Cię
w nowe zagadnienia.
Zadania
Do każdego tematu zaproponowano zadania
(często z rozwiązanym przykładem), które pomogą
Ci wyćwiczyć nowe umiejętności.
17. Wzajemne położenie prostych
1
2
Kasia narysowała różne proste i zaznaczyła dwie figury, których boki leżą na
tych prostych.
c d e f
b
a
Podaj, ile punktów wspólnych mają proste:
a ) a i d, b ) a i b, c ) d i f.
Opisz przedstawiony na rysunku obok sposób
sprawdzania, czy istnieje punkt wspólny.
Dla prostej e wskaż prostą, która:
a ) ma z nią jeden punkt wspólny,
b ) nie ma z nią punktów wspólnych.
Na kartce w kratkę narysuj kwadrat oraz proste, na których leżą boki
tego kwadratu. Nazwij każdą z tych prostych. Wskaż pary prostych, które:
a ) mają jeden punkt wspólny,
b ) nie mają punktów wspólnych.
Na kartce w kratkę narysuj prostą k oraz prostą, która:
a ) ma z prostą k jeden punkt wspólny – nazwij ją m,
b ) nie ma z prostą k punktów wspólnych – nazwij ją n.
Czy prosta n ma punkt wspólny z prostą m?
3 Michał rysował linie wzdłuż dwóch stron linijki i narysował dwie proste.
a ) Dlaczego proste odrysowane wzdłuż
dwóch stron linijki nie mają punktów wspólnych?
b ) Wskaż na zdjęciach przedmioty, od których można odrysować
dwie proste bez punktu wspólnego.
Określ, czy proste równoległe mogą być zilustrowane przez:
a ) szyny tramwajowe,
b ) szczebelki drabiny,
c ) brzegi trójkątnej apaszki,
d ) krótszy i dłuższy brzeg kartki w twoim zeszycie,
e ) krótsze krawędzie kartki w twoim zeszycie,
f ) pięciolinię.
124 125
4
Dwie różne proste mogą:
Na przykład proste c i a przecinają się
To, że prosta a jest równoległa
11. Dzielenie w pamięci
7 Oblicz w pamięci sposobem Michała.
a ) 51 : 3 b ) 75 : 5 c ) 45 : 3 d ) 96 : 4
e ) 63 : 3 f ) 78 : 3 g ) 60 : 5 h ) 92 : 4
8 Oblicz w pamięci sposobem Mai.
a ) 72 : 4 b ) 57 : 3 c ) 92 : 4 d ) 84 : 3
e ) 51 : 3 f ) 54 : 3 g ) 95 : 5 h ) 68 : 4
9 Oblicz i wykonaj sprawdzenie.
a ) 98 : 2 b ) 96 : 6 c ) 65 : 5 d ) 63 : 3
e ) 56 : 4 f ) 39 : 3 g ) 804 : 4 h ) 510 : 3
10 Oblicz i wykonaj sprawdzenie.
a ) 420 : 2 b ) 770 : 7 c ) 6900 : 3 d ) 48 000 : 3
11 Przykład
Sposób I: 48 : 12 = 48 : 6 : 2 = 8 : 2 = 4
Sposób II: 48 : 12 = 48 : 2 : 6 = 24 : 6 = 4
Oblicz metodą dzielenia „na raty”.
a ) 90 : 6 b ) 120 : 15 c ) 150 : 6 d ) 360 : 8
12 Firma przeznaczyła 80 000 zł na premie dla 100 pracowników. Każdy pracownik
otrzymał taką samą premię. Ile złotych premii dostał każdy pracownik?
13 W wytwórni napojów rozlano 2000 litrów soku po równo do 1000 kartonów.
Ile litrów soku było w jednym kartonie?
14 W zakładzie produkcyjnym 84 żelazka zapakowano po tyle samo sztuk
do 6 kartonów. Ile żelazek było w każdym kartonie?
15 Do skrzynek zapakowano 96 butelek, po 8 sztuk do każdej skrzynki. Ile skrzynek
wykorzystano?
16 Zaproponuj trzy ilorazy równe podanej liczbie,
tak aby dzielnik w każdym z nich był większy od 100.
a ) 4 b ) 5
c ) 6 d ) 7
Dla liczby 3 takie ilorazy
to na przykład: 600 : 200,
1200 : 400.
17 Ułóż zadanie, które można rozwiązać za pomocą wyrażenia 720 : 60.
18 Oblicz i wykonaj sprawdzenie.
a ) 6200 : 2 b ) 8400 : 7 c ) 18 900 : 9 d ) 12 600 : 6
e ) 14 700 : 7 f ) 500 005 : 5 g ) 72 000 : 8 h ) 120 030 : 3
CO UMIEM?
1.
a ) b ) c ) d )
2.
a)
b)
3.
a ) b ) c ) d )
4.
CO UMIEM?
Na końcu każdego
rozdziału znajduje
się specjalny zestaw
zadań. Rozwiązując
je, sprawdzasz swoje
umiejętności.
90 91
Treść matematyczna
W granatowej ramce
wyróżniono ważne treści, które
będą przydatne
w dalszej nauce.
Zadania na medal
W każdym dziale zamieszczono
zadania, których rozwiązanie będzie
wymagało od Ciebie wyjątkowej
pomysłowości.
2
Zadania wprowadzające
Zadania ćwiczeniowe
Powtórzenie
Na końcu każdego
działu przygotowano
zestaw zadań –
Czy już to umiem?.
Rozwiązując te zadania,
przygotowujesz się
do sprawdzianu.
Znajdziesz wśród nich
zadania z rozwiązaniami
i komentarzami.
Czy już to umiem?
Kwiaty w domu Magdy trzeba podlewać co trzy dni. Mama Magdy
wyjechała na delegację 14 października, wróciła 20 października.
a ) Mama podlała kwiaty dzień przed wyjazdem.
Ile razy Magda w czasie delegacji mamy
podlewała kwiaty? Które to były dni?
Podaj ich daty.
b ) Ile dni trwała delegacja mamy Magdy?
Po ilu dniach od wyjazdu na delegację
mama wróciła do domu?
52
Wypisz dane z treści zadania.
Wyznacz daty dni,
w których Magda podlewała
kwiaty oraz ich liczbę.
Wyznacz, ile dni trwała
delegacja mamy Magdy oraz
po ilu dniach od wyjazdu
na delegację mama wróciła
do domu.
Sprawdź, czy rozwiązanie
spełnia warunki zadania,
i ułóż odpowiedź.
Potrafię więcej, umiem lepiej
Zbieranie i prezentowanie danych
1 Do klasy IVb chodzi 15 uczniów. Dziewczynek
jest więcej niż chłopców. Uczniowie z tej klasy
wypełniali ankietę. Jedno z pytań brzmiało:
Jaki masz rozmiar buta?
Odpowiedzi A nikt nie wskazał. Odpowiedź B zaznaczyło tylko dwóch chłopców,
ale to i tak więcej niż dziewczynek. Odpowiedź C wskazało tylu chłopców,
ile dziewczynek. Najwięcej chłopców zaznaczyło odpowiedź D. Ponad
połowa dziewczynek wybrała odpowiedź E. Ilu uczniów tej klasy wskazało
poszczególne odpowiedzi? Rozważ wszystkie możliwości.
Rzymski system zapisu liczb
Uzupełnij kwadrat magiczny. Wpisz liczby
za pomocą znaków rzymskich.
Za pomocą znaków rzymskich I, V, X, zapisz jak największą liczbę.
Każdego ze znaków możesz użyć:
a ) co najwyżej jeden raz,
b ) co najmniej jeden raz.
Obliczenia kalendarzowe
Przeczytaj poniższe informacje i odpowiedz na podane niżej pytania.
a ) W jakim dniu tygodnia będzie obchodzone Narodowe Święto Zwycięstwa
i Wolności w roku, w którym Narodowy Dzień Pamięci „Żołnierzy Wyklętych”
będzie obchodzony w poniedziałek?
b ) W jakim dniu tygodnia będzie obchodzony Dzień Solidarności i Wolności
w roku, w którym tylko jedno z wymienionych w wykazie świąt będzie
obchodzone w sobotę, a żadne w niedzielę?
Dodatkowo na zakończenie powtórzenia
zamieszczono zestaw zadań na medal –
Potrafię więcej, umiem lepiej.
2
3
4
58
12
Zadania na medal
Zadania z rozwiązaniem
Gra dla dwóch osób
Ciekawostka
Projekt

Liczby naturalne
Co się dzieje w naszym organizmie w ciągu doby?
21:00
Przygotowanie się
organizmu do snu
7:30
Przygotowanie się
organizmu do
działania
10:00
Najwyższa
czujność
2:00
Najgłębszy
sen
14:30
Najlepsza
koordynacja
ruchowa
15:30
Najszybszy
czas reakcji
19:00
Najwyższa
temperatura
ciała
4:30
Najniższa
temperatura
ciała
6

Na podstawie poniższych informacji odpowiedz na pytania.
O której godzinie jesteśmy najbardziej czujni?
Ile razy w ciągu doby mrugamy oczami?
Ile wdechów i wydechów robimy w ciągu doby?
Ile czasu przeciętnie poświęcamy na obowiązki domowe?
W ciągu 24 godzin…
Ile czasu poświęcamy na…
... tracimy od 80
do 100 włosów
...naukę?
...sen?
... robimy
23 000 wdechów
i wydechów
7 godzin 30 minut
...drogę do i ze szkoły?
10 godzin
...posiłki?
... oczy mrugają
16 500 razy
... serce
przepompowuje
10 000 litrów
krwi
1 godzinę
...oglądanie telewizji?
1 godzinę 15 minut
...sport i zabawę?
... brwi rosną
1 mm
1 godzinę
...obowiązki domowe?
2 godziny
...codzienną tolaletę?
... przez obie
nerki przepływa
1500 litrów krwi
45 minut
30 minut
7

1.
Zbieranie i prezentowanie danych
Pani Matylda chce otworzyć nową lodziarnię.
Jakie lody lubisz?
Z owocami.
Bardzo zimne.
Waniliowe!
W wafelku.
Tanie.
Nie o takie odpowiedzi mi chodziło.
Lepiej przeprowadzę ankietę
i dopytam się o to, co mnie interesuje.
Ankieta
1. Lody o jakim smaku lubisz najbardziej?
Owocowe. Waniliowe. Śmietankowe. Czekoladowe.
2. Jakie dodatki do lodów lubisz najbardziej?
Bitą śmietanę.
Owoce.
Polewę.
Lubię lody bez dodatków.
3. W czym powinny być podawane lody?
W pucharku. W plastikowym pojemniku. W wafelku.
8

a ) Dlaczego pani Matylda sporządziła ankietę?
b ) Na drugie pytanie odpowiedziało 15 osób. Pani Matylda zanotowała ich
odpowiedzi w następujący sposób:
Bita śmietana
Owoce
Polewa
Bez dodatków
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
● Ile osób lubi lody bez dodatków?
● Ile osób lubi lody jednocześnie z owocami i polewą?
● Ile osób lubi lody tylko z polewą?
● Który dodatek do lodów był najczęściej wybierany?
c ) Na trzecie pytanie ankiety także odpowiedziało 15 osób. Wyniki można
przedstawić następująco:
8
7
6
5
4
● Ile osób wskazało pucharek
do lodów?
● Którą odpowiedź wskazywano
najczęściej?
● Ile osób wybrało najpopularniejszy
sposób podawania lodów?
Diagram
– graficzne przedstawienie
pewnych informacji.
3
2
1
d ) Jak pani Matylda powinna
wykorzystać wyniki ankiety?
9

1.
Zbieranie i prezentowanie danych
Dzieci w klasie IVb przygotowywały wielki plakat Tacy jesteśmy.
Uczniowie zgłaszali propozycje pytań, dyskutowali, wybierali pytania, na które
odpowiedzi umieszczą na plakacie.
a ) Dlaczego wykreślono niektóre pytania?
b ) Wymyśl trzy inne pytania dotyczące uczniów klasy IVb. Spróbuj przewidzieć,
jakie mogłyby być odpowiedzi na te pytania.
PROPOZYCJE UCZNIÓW
c ) Przeczytaj, w jaki sposób troje uczniów klasy IVb zbierało informacje
o swojej klasie. Odpowiedz na pytania pod każdym z opisów.
Bartek wypisał nazwy wszystkich miesięcy.
Każdy uczeń podawał mu miesiąc, w którym
obchodzi imieniny, a Bartek stawiał kreskę przy
odpowiednim miesiącu. Postawił też kreskę
przy miesiącu swoich imienin. Policzył kreski
by sprawdzić, czy jest ich tyle, ile dzieci w klasie.
● W którym miesiącu najwięcej uczniów
obchodzi imieniny?
● W których miesiącach żaden uczeń
klasy IVb nie obchodzi imienin?
● Ilu uczniów jest w klasie IVb?
obchodzimy imieniny?
Styc II
I
IIIIII
I
II
III
I
IIII
II
III
10

Marysia pytała koleżanki i kolegów z klasy, co
robią w wolnym czasie, i zapisywała każdą
odpowiedź, również swoją. Na podstawie
zebranych odpowiedzi przygotowała listę zajęć
i zaznaczała kreską w odpowiednim miejscu
odpowiedź każdego ucznia.
● Ilu uczniów lubi słuchać muzyki?
● Ilu uczniów ogląda telewizję, a ilu
gra w piłkę?
● Czy w klasie IVb jest uczeń,
który nie lubi czytać książek?
Co robimy w wolnym
1
2.
3.
4.
5.
– 5
Karolina zapisała pytanie i wypisała możliwe
kolory oczu. Przyglądała się oczom kolegów
i koleżanek i stawiała kropki, po 5 kropek
w rzędzie.
● Ilu uczniów ma zielone oczy?
● Których uczniów jest więcej:
z niebieskimi czy z brązowymi oczami?
d ) Porównaj sposoby zbierania danych
przez Bartka, Marysię i Karolinę.
e ) Na potrzeby wspólnego plakatu Bartek,
Marysia i Karolina przygotowali ilustracje
zebranych przez siebie danych.
● Którą ilustrację wykonał Bartek,
którą Marysia, a którą Karolina?
● Jakie informacje umieszczono w pierwszym
wierszu tabeli B, a jakie w drugim?
● Co przedstawia ostatni słupek diagramu A?
● Co oznaczają poszczególne kolory
na diagramie C?
A.
Odp. 1
Odp. 2
Odp. 3
Odp. 4
Odp. 5
0
C.
5 10 15 20 25
B.
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
2 1 0 6 1 2 3 0 1 4 2 3
11

1.
Zbieranie i prezentowanie danych
Aby zebrać dane na dowolny temat, należy określić, jakie informacje będą
potrzebne.
Aby zebrać informacje, można sporządzić ankietę.
Zebrane informacje warto uporządkować.
Uporządkowane dane można przedstawić w różny sposób, na przykład
w tabeli lub na diagramie.
1
Mama zrobiła tabelę z obowiązkami Zuzi, Darka i Mateusza. Przyjrzyj się
tej tabeli i odpowiedz na podane niżej pytania.
a ) Jakie obowiązki ma Zuzia, jakie Darek, a jakie Mateusz?
b ) Kto zmywa naczynia w poniedziałek?
c ) W które dni tygodnia Mateusz wyrzuca śmieci?
d ) Ile razy w tygodniu Darek sprząta kuchnię? A ile razy zmywa naczynia?
e ) Czy we wszystkie dni tygodnia każde z dzieci ma jakieś obowiązki?
f ) Kto sprząta kuchnię dwa razy w tygodniu?
12

2
Przerysuj tabelę do zeszytu. Uzupełnij ją na podstawie informacji o tym,
jakie przesyłki i ile przesyłek zostawił listonosz w skrzynkach pocztowych
w pewnym bloku.
W pierwszej klatce listonosz zostawił 2 kartki pocztowe oraz 1 list zwykły
i 1 polecony.
W drugiej klatce zostawił 5 listów zwykłych i 4 polecone.
W trzeciej klatce zostawił 2 listy zwykłe i 2 kartki.
W czwartej klatce zostawił 1 list zwykły i 1 polecony oraz 3 kartki.
Klatka List zwykły List polecony Kartka pocztowa
I
II
III
IV
3
Przedstaw w tabeli oraz na diagramie dane zebrane przez Maćka wśród jego
kolegów.
///////
Nie /
//
Przygotujcie plakat na temat: Oferta szkolnego sklepiku ze zdrową żywnością.
Podzielcie się na grupy.
Każda grupa przygotowuje ofertę wybranego rodzaju artykułów
spożywczych, np. owoców i warzyw, jogurtów i serków, soków i napojów.
Waszym zadaniem jest ustalenie pięciu artykułów danego rodzaju,
które będą najchętniej kupowane.
Ułóżcie odpowiednie pytania, które zadacie koleżankom i kolegom. Ustalcie,
w jaki sposób będziecie gromadzili dane i jak je przedstawicie na plakacie.
Przygotujcie plakat i zaprezentujcie go całej klasie.
13

1.
Zbieranie i prezentowanie danych
CO UMIEM?
Wtorek
Olek
1.
2.
3.
4.
a)
b)
c )
d)
e)
14

2.
Rzymski system zapisu liczb
Dominika ma zestaw elementów do wykonania zegara: tarczę zegara ze wskazówkami
i 3 stemple ze znakami rzymskimi: I, V oraz X.
I V X
1
a ) Których stempli Dominika użyje do odbicia godziny 7? Ile razy użyje
każdego stempla?
b ) Które godziny zaznaczy przy użyciu tylko jednego stempla?
c ) Do zapisania której godziny Dominika odbiła trzy razy stempel I ?
d ) Które godziny można zaznaczyć z wykorzystaniem jeden raz stem pla I
i jeden raz stempla X ?
e ) Dominika odbiła pewien znak, a następnie znak V . Jaki znak odbiła jako
pierwszy? Którą godzinę oznaczyła?
f ) Którego stempla Dominika użyje do wykonania tego zegara najwięcej razy,
a którego najmniej? Wykonaj tarczę zegara i sprawdź swoje przypuszczenia.
Przykład
Oto, jak zapisano liczby: 1, 2, 11 i 12.
I = 1 XI = 10 + 1 = 11
II = 2 XII = 10 + 2 = 12
Zaproponuj podobny sposób zapisu liczb: 13, 14 i 20.
a ) III = 3 = 10 + 3 = 13
b ) IV = 4 = 10 + 4 = 14
c ) X = 10 = 10 + 10 = 20
15

2.
Rzymski system zapisu liczb
Do zapisu liczb w rzymskim systemie używa się znaków (cyfr):
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
W rzymskim systemie zapisu liczb wartość liczby otrzymuje się przez:
● dodawanie wartości jej znaków (np. VI = 5 + 1 = 6, XV = 10 + 5 = 15),
● odejmowanie wartości jej znaków, np. gdy I stoi przed V lub X stoi przed C
(np. IV = 5 – 1 = 4, XC = 100 – 10 = 90).
Przykłady: DXVI = 500 + 10 + 5 + 1 = 26 DXIV = 500 + 10 + 5 – 1 = 24
Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim.
● Obok siebie nie mogą stać więcej niż trzy znaki I, X, C, M
(np. nie można zapisać VIIII, CCCC).
●Znak V, L oraz D mogą wystąpić w zapisie liczby tylko raz,
ale nie mogą poprzedzić znaku o wiekszej wartości (np. nie można
zapisać VV, VX, DD, LC).
● Znak o mniejszej wartości może poprzedzić znak o większej wartości tylko
w przypadkach: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.
2
3
4
5
6
7
Zapisz działania pozwalające obliczyć wartość danej liczby.
a ) CVIII b ) MD c ) CMXXXVII d ) CCLXXIX
Zapisz daną liczbę za pomocą cyfr arabskich.
a ) CCCXVI b ) DCCXVIII c ) MXXXVIII d ) CCXLIX
Zapisz daną liczbę za pomocą znaków rzymskich.
a ) 42 b ) 114 c ) 96 d ) 289
e ) 222 f ) 1700 g ) 934 h ) 439
Zapisz podane liczby od najmniejszej do największej.
a ) III, XVI, VII, XXXIV, XXX, XIX
b ) CCIV, CDXIX, DCXI, DCCVI, CCCIX, DCXXI
Zapisz słownie liczbę w podanym sformułowaniu.
a ) XVII wiek b ) Ludwik XVI c ) rząd XCIX d ) rok MDCC
Zapisz za pomocą znaków rzymskich liczbę w podanym sformułowaniu.
a ) czternasty wiek
b ) sto dziewiętnaste piętro
c ) czterysta siedemdziesiąta rocznica d ) dwutysięczny rok
16

8
9
W zapisie podanej daty przedstaw miesiąc za pomocą znaków rzymskich.
a ) 13 grudnia b ) 15 marca c ) 20 lipca d ) 1 maja
Na fragmencie planu widowni Teatru Polskiego w Warszawie dzieci zaznaczyły
swoje miejsca. Zapisz słownie, w którym rzędzie siedziało każde z dzieci.
10
Dominik
Franek
Zosia
3 4 5
6 7
XIX
1 2
XVII
XVI
XVIII
1 2
3 4 5
6 7 8
9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 5 6
7 8 9
10 11 12 13 14
1 2 3 4 5 6
7 8 9
10 11 12 13 14
1 2
3 4
5 6 7
8 9 10 11 12
13 14
1 2 3 4 5 6
7 8 9
10 11 12 13 14
XV
XIV
1 2 3
4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14
XIII
XII
XI
1 2 3
4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3
4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12 13 14
1 2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12 13 14
X
4 5
6 7
8 9
IX
10 11 12 13 14
4 5 6
7 8
9 10
11 12
1 2 3
13 14
1 2 3
4 5 6
7 8
9 10
11 12
VIII
VII
VI
13 14
1 2 3
4 5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
1 2 3
4 5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
V
1 2 3
4 5 6
7 8
9 10
11 12
Feliks
13 14
IV
1 2 3
1 2 3
4 5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
III
3 4 5
6 7
8 9
II
10 11 12 13 14
Bartek
1 2
I
Ania
Tomy Wielkiej Encyklopedii PWN oznaczono za pomocą cyfr arabskich.
Tom 23
Pyrzyce
•
Rozwadowski
Tom 24
Rozwadowski
•
sfyrelaton
Tom 25
Sg
•
Starmach
Tom 26
Starnawski
•
śliwy
Tom 27
śliz
•
Trastámara
Tom 28
traszki
•
Warszawska
Kotlina
Tom 29
Warszawska
Organizacja
•
Woźnicki Próg
Ela
Tom 30
Woźnicko-
-Wieluńska
Wyżyna
•
Żyznowski
Zapisz znakami rzymskimi numer tomu encyklopedii, w którym znajdziesz
hasło:
a ) szkoła, b ) różnica, c ) wiedza,
d ) tuzin, e ) składnik, f ) system.
11
Do pewnej liczby zapisanej znakami rzymskimi dopisano na końcu CC i otrzymano
liczbę tysiąc osiemset. Jaka była wyjściowa liczba?
Rozszyfruj rok powstania budynku, zapisany na jego fasadzie (fot.).
Odszukaj w twojej okolicy lub w internecie budynki, których rok
powstania został zapisany znakami rzymskimi? Odszyfruj te zapisy.
Przygotuj plakat.
17

2.
Rzymski system zapisu liczb
CO UMIEM?
1.
2.
3.
4.
a)
b)
a ) b )
c ) d )
TEATR
STARY
Parter
liczba
( miejsc )
I (13)
II (16)
III (19)
IV (22)
V (23)
VI (22)
VII (23)
VIII (22)
IX (21)
X (22)
XI (23)
XII (16)
XIII (19)
XIV (15)
XV (15)
Co przygotować?
Osiem kartoników
z zapisanymi znakami
rzymskimi:
I, I, I, V, V, X, X, X.
Jak grać?
Kartoniki należy
odwrócić tak, aby znaki
były niewidoczne.
W kolejnych rundach
każdy gracz losuje
po trzy kartoniki.
Rzymski pojedynek
Z co najmniej dwóch
wylosowanych znaków
należy ułożyć
jak największą liczbę
i porównać ją z liczbą
przeciwnika.
Punkt zdobywa gracz,
który ułożył większą
liczbę. Po każdym
ułożeniu i porównaniu
liczb kartoniki muszą
wrócić do puli.
Wygrywa ta osoba,
która pierwsza
zdobędzie
10 punktów.
O co warto zapytać?
Czy zawsze
da się wykorzystać
wszystkie trzy
wylosowane kartoniki?
Jakie kartoniki
dadzą na pewno
zwycięstwo?
18

3.
Obliczenia kalendarzowe
Na podstawie kartki z kalendarza odpowiedz na podane niżej pytania.
a ) Ile dni ma kwiecień?
b ) W które dni kwietnia 2019 roku
Kwiecień 2019
wypadną niedziele?
c ) W jakim dniu tygodnia rozpocznie się, Pn Wt Śr Cz Pt So N
a w jakim skończy się kwiecień 2019 roku?
1 2 3 4 5 6 7
d ) Ile pełnych tygodni jest w kwietniu?
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
e ) Jaki dzień tygodnia bezpośrednio
22 23 24 25 26 27 28
poprzedzi 1 kwietnia 2019 roku?
29 30
f ) Jaki miesiąc następuje bezpośrednio
po kwietniu?
g ) Który kwietnia wypada 3 dni po 1 kwietnia? A który 7 dni po 12 kwietnia?
Jak to obliczyć?
Na podstawie powyższej kartki z kalendarza i wypowiedzi dzieci odpowiedz
na ich pytania.
Michał
Dziś jest 17 kwietnia,
7 dni temu miałem imieniny.
Jaki to był dzień tygodnia?
Który to był dzień kwietnia?
Marta
Dziś jest 17 kwietnia. Za 7 dni
będę obchodziła urodziny.
Jaki to będzie dzień tygodnia?
Który to będzie dzień kwietnia?
Ewa
Począwszy od 2 kwietnia
co 7 dni dostawałam po 10 zł
kieszonkowego. W jaki
dzień tygodnia dostawałam
kieszonkowe? Które to były
dni kwietnia? Ile pieniędzy
dostałam w kwietniu?
19

Czy już to umiem?
Kwiaty w domu Magdy trzeba podlewać co trzy dni. Mama Magdy
wyjechała na delegację 14 października, wróciła 20 października.
a ) Mama podlała kwiaty dzień przed wyjazdem.
Ile razy Magda w czasie delegacji mamy
podlewała kwiaty? Które to były dni?
Podaj ich daty.
b ) Ile dni trwała delegacja mamy Magdy?
Po ilu dniach od wyjazdu na delegację
mama wróciła do domu?
14 X
20 X
a )
14 – 1 = 1313 X
13 + 3 = 1616 X
16 + 3 = 1919 X
b )
2
(20 – 14) za 6 dni
Wypisz dane z treści zadania.
Wyznacz daty dni,
w których Magda
podlewała kwiaty.
Podaj, ile było takich dni.
Wyznacz, ile dni trwała
delegacja mamy Magdy oraz
po ilu dniach od wyjazdu
na delegację mama wróciła
do domu.
14 X 15 X 16 X 17 X 18 X 19 X 20 X
(20 – 14 + 1) 7 dni
16 X i 19 X.
7
6
Sprawdź, czy rozwiązanie
spełnia warunki zadania,
i ułóż odpowiedź.
52

1
2
3
4
5
Dorota co dwa dni musi zażywać jedną tabletkę witamin. 3 listopada wyjeżdża
na tydzień na turniej tańca. Połknęła tabletkę w dniu wyjazdu. Ile tabletek
musi ze sobą zabrać? Podaj, w które dni listopada Dorota powinna w trakcie
wyjazdu zażywać witaminy.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Wypisz dane z treści zadania.
Oblicz, którego dnia Dorota wraca z turnieju.
Wyznacz daty dni, w których Dorota powinna zażywać tabletkę.
Oblicz, ile było takich dni podczas wyjazdu.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
W każdą środę listopada Beata chodziła na zajęcia plastyczne. Pierwszy
listopada wypadł w poniedziałek.
a ) W które dni listopada Beata chodziła na zajęcia plastyczne?
b ) Ile razy była na zajęciach w listopadzie?
Obóz żeglarski Jacka trwał od 4 do 24 lipca.
a ) Ile dni trwał ten obóz?
b ) Po ilu dniach od przyjazdu na obóz Jacek wyjechał do domu?
Zosia i Karolina robiły wspólną makietę osiedla mieszkaniowego na zajęcia
techniczne. Zaplanowały pracę w następujący sposób: 2 dni na przygotowanie
projektu, 4 dni na wykonanie budynków, 1 dzień na malowanie planszy,
3 dni na wykonanie drzew, krzewów i trawników, 5 dni na lepienie postaci.
Którego dnia najpóźniej muszą zacząć pracę, jeśli chcą skończyć pracę nad
makietą 14 grudnia?
W grze komputerowej program wyświetla pięć najlepszych wyników oraz daty
ich uzyskania. Oto fragment informacji o wynikach Edyty.
25 V 3 VI 10 V 16 V 7 VI
437 449
a ) Jaki wynik Edyta uzyskała najwcześniej? Zapisz go w systemie rzymskim.
b ) Jaki wynik uzyskała Edyta 16 maja? Zapisz go w systemie rzymskim.
c ) Ile dni po najniższym z wyników Edyta uzyskała wynik najwyższy?
d ) Ile co najmniej dni Edyta grała w tę grę?
53

Bartek o 10.17 wyszedł do kolegi. Wrócił od niego o trzeciej po południu,
a następnie przez 2 godziny i 15 minut, aż do powrotu mamy, sprzątał.
Ile czasu upłynęło między wyjściem Bartka do kolegi a powrotem mamy?
10.17
15.00
2 h 15
Sposób I
15.00
10.17
2 h
6 h 58
7 h
17.00
2 h 15
15
17.15
17.15 17.17
2
Wypisz dane
z treści zadania.
Czasami dobrze jest
przedstawić dane
graficznie.
Oblicz, o której
godzinie mama
wróciła do domu.
Oblicz, ile czasu
upłynęło między
wyjściem Bartka
do kolegi a powrotem
mamy.
Sposób II
4 h
43
Oblicz, ile trwała
wizyta Bartka u kolegi.
10.17
4 h 43
14.17
15.00
Oblicz, ile trwały
razem wizyta
i sprzątanie.
4 h 43
2 h 15
4 h 432 h 156 h 58
658
Sprawdź, czy
rozwiązanie spełnia
warunki zadania,
i ułóż odpowiedź.
54

6
7
8
9
Turniej tenisa stołowego rozpoczął się o pierwszej po południu. Przed turniejem
w hali odbywała się półtoragodzinna rozgrzewka. Ostatni mecz turniejowy
zakończył się o 16.27. Ile trwał turniej z rozgrzewką?
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Wypisz dane z treści zadania.
Oblicz, o której godzinie rozpoczęła się rozgrzewka.
Oblicz, ile czasu upłynęło od rozpoczęcia rozgrzewki do zakończenia
turnieju.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
Magda rozpoczęła lekcje o 10.00. Przerwy między lekcjami trwają po 10 minut.
O której godzinie skończyła trzecią lekcję?
Karol oglądał program przyrodniczy trwający 1 godzinę i 15 minut. Kolację
zjadł o 19.20, czyli 2 godziny i 25 minut po zakończeniu programu. O której
godzinie rozpoczął się program? A o której się zakończył?
W szkole rozegrano turniej sportowy. Zawody zaczęły się o 10.30, a skończyły
o 16.00. Wzięło w nich udział 30 zawodników, którzy kolejno pokonywali tor
przeszkód i zdobywali punkty. W tabeli zapisano wyniki najlepszych czterech
zawodników.
Wynik
XXIV 14.20 14.31 92 786
XXVI 14.52 15.09 83 487
XIX 12.27 12.43 109 207
XXI 13.46 14.01 109 201
a ) Który zawodnik uzyskał najwięcej punktów? Zapisz słownie jego wynik.
b ) Który zawodnik najszybciej pokonał tor przeszkód? W ile minut?
c ) Ile minut po rozpoczęciu zawodów rozpoczął pokonywanie toru przeszkód
zawodnik z numerem 21?
d ) Ile minut przed zakończeniem zawodów zakończył pokonywanie toru
zawodnik z numerem dwadzieścia sześć?
e ) Przedstaw na diagramie słupkowym, ile minut potrzebował każdy z tych
czterech zawodników na pokonanie toru przeszkód.
55

10
W czterech szkołach podstawowych w klasach IV–VI zorganizowano akcję
ekologiczną Zbieramy zużyte baterie.
a ) W tabeli przedstawiono liczbę zebranych baterii w jednej ze szkół.
Klasy
IV
V
VI
Liczba zebranych baterii
tysiąc sześćset
tysiąc czterysta czterdzieści
tysiąc siedemset sześćdziesiąt
• Odczytaj z tabeli, które klasy zebrały najwięcej baterii, a które najmniej.
• Zapisz cyframi arabskimi i za pomocą znaków rzymskich liczbę zebranych
baterii przez poszczególne klasy.
• Zaznacz na osi liczbowej punkty odpowiadające liczbie zebranych baterii
przez poszczególne klasy.
• Przedstaw dane z tabeli za pomocą diagramu.
b ) Organizator akcji po jej zakończeniu przesłał do szkół plakat.
11 728 baterii
1667
4800
2498
SP nr 29
SP nr 13
2763
SP nr 35
SP nr 4
• Zapisz słownie liczbę wszystkich zebranych baterii.
• Odczytaj, która szkoła zebrała najwięcej baterii, i zapisz słownie tę liczbę.
• Odczytaj, która szkoła zebrała najmniej baterii, i zapisz słownie tę liczbę.
• Przedstaw dane z diagramu w tabeli. Numery szkół zapisz za pomocą
znaków rzymskich.
56

11
Każda paczka na poczcie ma swój numer nadawczy.
a ) Na podstawie informacji o numerach nadawczych określ, w której paczce
kryją się wyróżnione poniżej przedmioty.
Książki o robotach znajdują się w paczce,
której numer nadawczy ma w rzędzie jedności
i w rzędzie setek taką samą cyfrę.
Telefon komórkowy znajduje się w paczce
o takim numerze nadawczym, którego suma
cyfr: jedności, dziesiątek i setek wynosi 7.
Farby znajdują się w paczce, której numer
nadawczy składa się z cyfr ułożonych rosnąco,
od cyfry setek do cyfry jedności.
Klocki znajdują się w paczce, której numer
nadawczy ma w rzędach dziesiątek i setek
taką samą cyfrę.
nr nadawczy
168
nr nadawczy
343
nr nadawczy
336
nr nadawczy
241
b ) Zapisz numer każdej z paczek z podpunktu a za pomocą znaków
rzymskich.
c ) Paczki w sortowni układane są na półkach oznaczonych liczbami
zapisanymi znakami rzymskimi. Jedna półka przeznaczona jest na
dziesięć paczek z kolejnymi numerami nadawczymi.
Opis półki II III XVII XXII XXV XXXV XXXVIII
Numery
nadawcze
010–019 020–029 160–169 210–219 240–249 340–349 370–379
• Podaj numer półki, na której znajduje się każda z paczek z podpunktu a.
• Paczki o jakich numerach nadawczych będą znajdowały się na półce
o numerze XXIX?
• Jak opisana będzie półka z paczkami o numerach 220–229? A o numerach
190–199?
57

Potrafię więcej, umiem lepiej
1
2
3
4
Zbieranie i prezentowanie danych
Do klasy IVb chodzi 15 uczniów. Dziewczynek
jest więcej niż chłopców. Uczniowie z tej klasy
wypełniali ankietę. Jedno z pytań brzmiało:
Jaki masz rozmiar buta?
Odpowiedzi A nikt nie wskazał. Odpowiedź B zaznaczyło tylko dwóch chłopców,
ale to i tak więcej niż dziewczynek. Odpowiedź C wskazało tylu chłopców,
ile dziewczynek. Najwięcej chłopców zaznaczyło odpowiedź D. Ponad
połowa dziewczynek wybrała odpowiedź E. Ilu uczniów tej klasy wskazało
poszczególne odpowiedzi? Rozważ wszystkie możliwości.
Rzymski system zapisu liczb
Przerysuj kwadrat magiczny do zeszytu
i uzupełnij go. Wpisz liczby za pomocą
znaków rzymskich.
XVIII
Za pomocą znaków rzymskich I, V, X, C wzapisz jak największą liczbę.
Każdego ze znaków możesz użyć:
a ) co najwyżej jeden raz,
b ) co najmniej jeden raz.
Obliczenia kalendarzowe
A. 33
B. 3334
C. 3536
D. 3738
E. 38
Przeczytaj poniższe informacje i odpowiedz na podane niżej pytania.
XV
XI
XI
1
1
3
9
1
31
11
a ) W jakim dniu tygodnia będzie obchodzone Narodowe Święto Zwycięstwa
i Wolności w roku, w którym Narodowy Dzień Pamięci „Żołnierzy Wyklętych”
będzie obchodzony w poniedziałek?
b ) W jakim dniu tygodnia będzie obchodzony Dzień Solidarności i Wolności
w roku, w którym tylko jedno z wymienionych w wykazie świąt będzie
obchodzone w sobotę, a żadne w niedzielę?
58

5
6
7
8
9
10
11
12
W pewnym miesiącu trzy piątki wypadły w dni parzyste, czyli takie dni,
w których w zapisie daty dzień jest liczbą parzystą. Jaki dzień tygodnia wypadł
trzynastego w tym miesiącu? Ile rozwiązań ma to zadanie?
W pewnym miesiącu trzy czwartki wypadły w dni nieparzyste, czyli takie
dni, w których w zapisie daty dzień jest liczbą nieparzystą. Jaki dzień tygodnia
wypadł trzynastego w tym miesiącu? Ile rozwiązań ma to zadanie?
Obliczenia zegarowe
Pewien zegar działał 80 godzin od chwili uruchomienia. Zegar ten zatrzymał się 18
października o godz. 15.09. Podaj dokładną datę i godzinę uruchomienia zegara.
Stary zegar ścienny spieszy się 3 minuty w ciągu godziny. Dziadek ustawił
go dokładnie o godz. 7.00. Po jakim czasie zegar będzie spieszył się godzinę?
Liczby wielocyfrowe
Ile jest liczb czterocyfrowych, które spełniają podany warunek?
a ) W rzędzie tysięcy, setek i dziesiątek mają cyfrę 2.
b ) W rzędzie setek i dziesiątek mają cyfrę 2.
c ) W rzędzie dziesiątek mają cyfrę 2.
Przyjrzyj się, jak Julia i Lena wyznaczały wszystkie liczby trzycyfrowe, których
suma cyfr jest równa 4.
Lena
400 310 220 130
400 310 220 211
301 202 121 301 202 121
Julia
211 112 130 112
103 103
Ile jest liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa 5? Możesz skorzystać
z rozwiązania Leny lub Julii.
Ze wszystkich cyfr od 1 do 6 utwórz trzy liczby dwucyfrowe, których:
a ) suma cyfr będzie największa, b ) suma cyfr będzie najmniejsza.
Każda cyfra może być użyta tylko jeden raz.
Porównywanie liczb
Trzy liczby naturalne mają taką własność, że dwie z nich znajdują się na osi
w tej samej odległości od trzeciej. Każda z tych liczb jest mniejsza od 9. Ile
jest takich zestawów liczb?
59

Wielokąty
TANGRAM
Jest to łamigłówka pochodząca z Chin, znana od około 3000 lat. Ma kształt
kwadratu podzielonego na siedem kawałków, nazywanych tanami: pięć trójkątów
oraz dwa czworokąty. Celem gry jest ułożenie obrazka według wzoru. Do ułożenia
figury należy wykorzystać wszystkie części. Elementy muszą do siebie nawzajem
przylegać, ale nie mogą na siebie nawzajem nachodzić. Każdy z tanów można
dowolnie obracać i odwracać na drugą stronę.
220

Na podstawie poniższych informacji odpowiedz na pytania.
Ile tanów ma co najmniej jeden kąt prosty?
Ile tanów ma dwa kąty ostre?
Ile tanów ma co najmniej dwa boki tej samej długości?
Z ilu łącznie kwadratów składają się wszystkie klocki pentomina?
Czy potrafisz ułożyć? Spróbuj!
PENTOMINO
Jest to układanka logiczna z 12 klocków.
Każdy złożony jest z 5 przylegających kwadratów.
Zabawa polega na wypełnianiu rozmaitych figur
klockami. Klocki można dowolnie obracać
i odwracać na drugą stronę.
Prostokąty
ułożone
z 12 klocków
pentomina
4 × 15
3 × 20
5 × 12
O P Q R S
T U V W
X
Y
Z
221

28.
Wielokąty
Na podstawie rysunków odpowiedz na poniższe pytania.
a ) Ile trójkątów widzisz na rysunku I?
b ) Czy widzisz jeszcze inne figury na rysunku I?
Na tym rysunku można dostrzec figury
z czterema bokami, np.
I
taką:
lub taką:
II
c ) Ile trójkątów widzisz na rysunku II?
d ) Czy na rysunku II widzisz figury
z czterema bokami? A z sześcioma bokami?
Na rysunku przedstawione są figury.
A
B
C
D
F
G
E
H
I
J
a ) Wskaż trójkąty.
b ) Które z tych figur można zaliczyć do czworokątów?
c ) Jak można nazwać zbiór figur, do którego należy figura C?
d ) Jak można nazwać zbiór figur, do którego należy figura J?
222

trójkąt
czworokąt
pięciokąt
sześciokąt
wierzchołek
A
bok
C
B
H
E
G
F
J
N
K
M
L
T
Z
S
U
X
W
● trzy kąty
● trzy boki
●trzy
wierzchołki
● cztery kąty
● cztery boki
● cztery
wierzchołki
● pięć kątów
● pięć boków
●pięć
wierzchołków
● sześć kątów
● sześć boków
●sześć
wierzchołków
Trójkąty, czworokąty, pięciokąty, sześciokąty,... to wielokąty.
Nazwę wielokąta tworzymy przez podanie kolejno wszystkich jego
wierzchołków.
D
E
C
Pięciokąt
A
B
możemy nazwać: ABCDE lub CDEAB lub EDCBA,...
1
Przykład
Nazwij narysowany wielokąt i podaj jego wierzchołki, boki i kąty.
M
Pięciokąt GKYMW.
W
Wierzchołki: G, K, Y, M, W
Boki: GK, KY, YM, MW, WG
K Y
G
Kąty: GKY, KYM, YMW, MWG, WGK
Nazwij narysowany wielokąt i podaj jego wierzchołki, boki i kąty.
a ) b ) c ) d )
Z
M
J M J
S
R
H
J
Y
Z
P
N
Z
Y
T
U
O
P
223

28.
Wielokąty
2
3
Na rysunku obok znajdź podane figury i utwórz
ich nazwy:
a ) trzy trójkąty,
b ) czworokąt,
c ) pięciokąt.
W wielokącie:
● wszystkie boki są odcinkami,
● koniec jednego boku jest początkiem kolejnego,
● sąsiednie boki nie należą do jednej prostej,
● tylko dwa kolejne boki mają punkt wspólny.
Na podstawie powyższego opisu wskaż te figury, które nie są wielokątami.
a ) b ) c ) d )
D
A
S
C
B
e ) f ) g ) h )
4
5
Na rysunku obok znajdź podane figury i utwórz
D
ich nazwy:
H
G
a ) dwa kwadraty,
b ) cztery trójkąty,
A
C
c ) dwa pięciokąty,
E
F
d ) dwa sześciokąty.
B
Wśród narysowanych wielokątów wskaż takie, które spełniają podany warunek.
a ) Ma dwa kąty proste. b ) Ma jedną parę boków równoległych.
c ) Ma dwa kąty rozwarte. d ) Ma dwie pary boków równoległych.
e ) Ma dwa kąty ostre. f ) Ma dwie pary boków prostopadłych.
I II III IV V
224

6
7
8
9
10
Narysuj w zeszycie w kratkę kilka układów kropek (punktów), tak jak na
rysunku. Łączenie kropek pozwala na utworzenie różnych wielokątów
o wierzchołkach w tych punktach. Narysuj w ten sposób:
a ) kilka czworokątów,
b ) trójkąt o kącie rozwartym,
c ) pięciokąt o jednym kącie prostym.
Narysuj:
a ) czworokąt o jednym kącie prostym,
b ) czworokąt o dwóch kątach rozwartych,
c ) wielokąt o pięciu wierzchołkach i trzech kątach rozwartych.
Narysuj:
a ) czworokąt o tylko jednej parze boków równoległych,
b ) czworokąt o tylko jednej parze boków prostopadłych,
c ) wielokąt o pięciu wierzchołkach i dwóch parach boków równoległych,
d ) wielokąt o sześciu bokach, którego trzy wierzchołki leżą na jednej prostej.
W „pokratkowanym kwadracie”, takim jak obok, można budować wielokąty,
których boki będą rysowane tylko wzdłuż linii.
a ) Narysuj w zeszycie kilka takich wielokątów.
b ) Jaką własność mają boki wszystkich takich wielokątów?
c ) Czy można w ten sposób narysować wielokąt o dowolnej
liczbie wierzchołków?
Na podstawie poniższej informacji odpowiedz na pytania.
Wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty
o takiej samej rozwartości, nazywamy wielokątem foremnym.
a ) Jak nazywa się czworokąt, który jest wielokątem foremnym?
b ) Dlaczego narysowane wielokąty nie są wielokątami foremnymi?
225

28.
Wielokąty
Drużyna harcerska była
na wycieczce w Złotym Potoku.
Harcerze narysowali trasę pieszej
wędrówki po okolicy.
Ile kilometrów przeszli harcerze
podczas tej wędrówki?
Dworek Krasińskich
2 km 3 km
Grota
Niedźwiedzia
4 km
Brama
Twardowskiego
Obwód wielokąta jest sumą długości
wszystkich jego boków.
Obwód narysowanego sześciokąta jest równy:
3 cm + 10 cm + 7 cm + 4 cm + 6 cm + 7 cm = 37 cm.
3 cm
7 cm
6 cm
4 cm
10 cm
7 cm
11
Oblicz obwód narysowanego wielokąta.
a )
6 cm
b ) 5 cm 5 cm
12
13
14
15
9 cm 9 cm
5 cm
3 cm
6 cm
7 cm
c ) d ) 1 cm
3 cm 1 cm
3 cm
3 cm 1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
6 cm
1 cm
1 cm
1 cm
Bok kwadratu ma długość 15 cm. Oblicz obwód tego kwadratu.
Bok pięciokąta foremnego ma długość 5 cm. Oblicz obwód tego pięciokąta.
Jeden bok prostokąta ma długość 4 cm, a drugi jest o 3 cm dłuższy. Oblicz
obwód tego prostokąta.
Jeden bok prostokąta ma długość 12 dm, a drugi jest 4 razy krótszy. Oblicz
obwód tego prostokąta.
1 cm
226

16
17
18
Obwód trójkąta jest równy 37 cm. Jeden z jego boków ma długość 11 cm,
a drugi 12 cm. Jaka jest długość trzeciego boku tego trójkąta?
Biurko Kasi ma prostokątny blat o długości 120 cm i szerokości 70 cm. Oblicz,
ile taśmy potrzebuje Kasia, aby okleić brzeg blatu biurka.
Na planie zaznaczono kolejne etapy wycieczki rowerowej. Odcinki I i III są
tej samej długości, a cała trasa ma 28 km długości. Jaką długość ma I etap?
Paśnik dla zwierząt
I
V
6 km
Wieża widokowa
9 km
II
Ostoja żubrów
Żeremie bobrowe
III
IV
7 km
Pomnik przyrody
19
Prostokąt o wymiarach 3 m4 m
(czytaj: 3 metry na 4 metry) ma dwa boki
długości 3 m i dwa boki długości 4 m.
Wykładzina do pokoju Bartka ma wymiary 3 m × 4 m.
Ile metrów taśmy potrzeba do obszycia tej wykładziny?
Ile Bartek zapłaci za taśmę, jeśli jej 1 m kosztuje 7 zł?
Działkę, której kształt i wymiary pokazano
10 m
20
na rysunku, ogrodzono siatką. Na zamontowanie
bramy zostawiono 3 m.
18 m
10 m
6 m
a ) Ile metrów ma obwód tej działki?
b ) Ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie tej działki?
c ) Ile będzie kosztować siatka na ogrodzenie tej działki, jeśli 1 m siatki kosztuje
23 zł? Możesz skorzystać z kalkulatora.
21
Trzy takie same prostokątne działki mają wymiary 30 m × 60 m. Każda działka
przylega do następnej co najmniej jednym bokiem tak, że wszystkie działki
tworzą jedną prostokątną parcelę. Parcelę otoczono murem. Ile metrów długości
ma ten mur? Rozważ wszystkie przypadki.
227

28.
22
Wielokąty
Na rysunku przedstawiono kształt i wymiary stołu konferencyjnego.
60 cm
80 cm
80 cm
140 cm
Stoły zestawiono tak, że blaty stykały się jednym z boków tej samej długości.
a ) Jaki kształt może mieć wspólny blat dwóch połączonych stołów?
b ) Jaki może być najmniejszy, a jaki największy obwód wspólnego blatu połączonych
dwóch stołów?
c ) Jaki kształt może mieć wspólny blat połączonych trzech stołów?
d ) Jaki może być najmniejszy, a jaki największy obwód wspólnego blatu połączonych
trzech stołów?
CO UMIEM?
1.
a ) b ) c )
2.
3.
4.
228

29.
Kwadrat, prostokąt
Krysia i Tomek grają w grę Zgadnij, jaki to wielokąt. Gra polega na wskazaniu
wielokątów z zestawu figur pasujących do opisu podanego przez przeciwnika.
Wielokąty, o których myślę, mają
dwie pary boków równoległych.
Mają więcej niż dwa kąty proste.
Mają dwie pary boków
równej długości.
A
B
D
C
F
E
Wielokąty, o których
ja myślę, są czworokątami
i mają wszystkie kąty proste.
a ) Które wielokąty pasują do opisu podanego przez Krysię?
b ) Które wielokąty pasują do opisu podanego przez Tomka?
c ) Jaki warunek powinna dodać Krysia, aby opisać te same figury co Tomek?
d ) Jaki warunek powinien dodać Tomek, aby opisać tylko figurę A?
e ) Którą własność opisaną przez Krysię spełniają wielokąty: A, C, D, F?
229

29.
Kwadrat, prostokąt
Każde z dzieci – Kasia, Magda, Olek oraz Robert – zaznaczyło wielokąty
spełniające jedną z własności I, II, III lub IV. Które dziecko zaznaczyło wielokąty
spełniające własność I, które – własność II, które – własność III, a które
– własność IV?
I Wszystkie boki równej długości.
II Cztery kąty.
III Dwie pary boków równoległych.
IV Cztery kąty proste.
Kasia
Magda
Olek
Robert
A
B
C
D
E
F
G
H
Z sześciu jednakowych patyczków ułóż wielokąt spełniający podany warunek.
a ) Jedna para boków równoległych.
b ) Jeden kąt prosty.
c ) Dwa kąty proste.
230

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.
N
M
K
Prostokąt ma:
● dwie pary boków równoległych, np. w prostokącie KLMN
KN || ML oraz KL || NM,
● cztery pary boków prostopadłych, np. w prostokącie KLMN
KL LM, LM MN, MN NK oraz NK KL,
● dwie pary boków równej długości, np. w prostokącie KLMN
KN i ML oraz KL i NM
Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.
D
C
L
A
Kwadrat jest wielokątem foremnym.
B
1
Które z przedstawionych przedmiotów mają kształt prostokąta? Które mają
kształt kwadratu?
231

29.
2
Kwadrat, prostokąt
Wśród narysowanych wielokątów wskaż prostokąty oraz zapisz ich nazwy.
Podkreśl nazwy kwadratów.
J
S
T
A
B
I
K
R
U
N
W
Z
E
F L
M
O
D
C
3
H
Zmierz boki narysowanego prostokąta.
a ) b )
G
P
X
Y
4
Opisz przedstawiony poniżej sposób rysowania kwadratu za pomocą ekierki.
I II III
5
6
Narysuj kwadrat o boku podanej długości.
a ) 6 cm b ) 45 mm c ) 3 cm 8 mm d ) 1 dm 2 cm
Narysuj prostokąt o podanych wymiarach.
a ) 5 cm × 3 cm
b ) 25 mm × 45 mm
c ) 9 cm × 11 cm
d ) 1 dm × 5 cm
232

20 cm
Uczniowie podzieleni na grupy mieli przygotować smoka z prostokątnych
kawałków papieru. Plan wykonania smoka przez jedną z grup przedstawia
rysunek.
75 cm
30 cm
55 cm
50 cm
80 cm
60 cm
40 cm
40 cm 40 cm
Boki każdego prostokątnego elementu smoczego ciała uczniowie postanowili
okleić złotą tasiemką. Obliczali, ile tasiemki potrzeba na oklejenie wybranego
elementu smoka.
Obliczenia Asi:
30 cm + 75 cm + 30 cm + 75 cm = 210 cm
Obliczenia Magdy: 2 ∙ 60 cm + 2 ∙ 40 cm = 120 cm + 80 cm = 200 cm
Obliczenia Karola: 2 ∙ (50 cm + 55 cm) = 2 ∙ 105 cm = 210 cm
a ) Obwód którego elementu smoka obliczała Asia, którego – Magda, a którego
– Karol?
b ) Ile cm tasiemki potrzeba na oklejenie ogona? Oblicz to sposobem: Asi,
Magdy i Karola.
c ) Oblicz różnymi sposobami długość tasiemki potrzebnej na oklejenie głowy
smoka.
Obwód prostokąta możemy opisać wzorami:
O
= a + b + a + b
lub O
= 2 · a + 2 · b
lub O
= 2 · (a + b).
Obwód prostokąta o wymiarach 1 cm × 3 cm jest równy 8 cm,
ponieważ O
= 2 · 1 cm + 2 · 3 cm = 2 cm + 6 cm = 8 cm.
Obwód kwadratu możemy opisać wzorami:
O
= a + a + a + a
lub O
= 4 · a.
Obwód kwadratu o boku długości 2 cm jest równy 8 cm,
ponieważ O
= 4 · 2 cm = 8 cm.
b
a
a
a
a
a
b
a
233

29.
Kwadrat, prostokąt
7
8
9
Oblicz obwód prostokąta o podanych wymiarach.
a ) 4 cm × 6 cm b ) 3 dm × 7 dm c ) 2 cm × 8 cm d ) 10 mm × 25 mm
Jeden bok prostokąta ma długość 6 cm, drugi jest o 4 cm dłuższy. Oblicz
obwód tego prostokąta.
Obwód prostokąta wynosi 30 cm. Korzystając z rysunku, wyznacz wymiary
tego prostokąta, jeżeli jeden z jego boków ma długość:
a ) 3 cm, b ) 4 cm, c ) 5 cm, d ) 1 dm.
O = 30 cm
a
30 cm
b
a
b
15 cm = 30 cm : 2
10
11
12
13
14
15
Oblicz obwód kwadratu o boku podanej długości.
a ) 4 cm b ) 7 cm c ) 15 mm d ) 3 dm
Oblicz długość boku kwadratu o podanym obwodzie.
a ) 12 cm b ) 24 cm c ) 32 mm d ) 56 dm
Narysowane są kwadrat i prostokąt. Obwód kwadratu jest równy 24 cm. Krótszy
bok prostokąta ma długość równą połowie długości boku tego kwadratu.
Dłuższy bok prostokąta ma długość dwa razy większą od długości boku tego
kwadratu. Oblicz obwód tego prostokąta.
Podłoga pokoju Bartka ma wymiary 3 m × 4 m. Czy uda mu się ustawić wzdłuż
jednej ściany tapczan o długości 2 m i biurko o długości 150 cm?
Kasia wkładała do albumu zdjęcia z wycieczki. Każda strona w albumie ma
wymiary 25 cm × 40 cm. Zaproponuj kilka sposobów rozmieszczenia zdjęć
w formacie 9 cm × 13 cm. Ile najwięcej takich zdjęć zmieści się na jednej
stronie albumu?
Obok przedstawiono ceny obszycia
trzech obrusów. Oblicz, w którym
przypadku obszycie kosztowało więcej
niż 1 zł za 10 cm obwodu obrusu.
I. Cena 50,00 PLN
rozmiar: 110 cm x 160 cm
II. Cena 75,00 PLN
rozmiar: 150 cm x 220 cm
III. Cena 35,00 PLN
rozmiar: 80 cm x 80 cm
234

16
17
18
19
Jaką szerokość ma prostokątny blat stołu kuchennego, jeśli jego obwód wynosi
5 m, a dłuższy bok ma długość 140 cm?
Podłoga pokoju Łukasza ma kształt prostokąta o obwodzie 16 m. Podłoga
pokoju Ani ma kształt kwadratu o takim samym obwodzie. Jakie wymiary
mają podłogi tych pokoi, jeśli wiadomo, że jeden bok podłogi pokoju Łukasza
jest o 1 m dłuższy od boku podłogi pokoju Ani?
Babcia Darii ma ogródek w kształcie prostokąta o wymiarach 25 m × 40 m.
Jeden metr płotu kosztuje 20 zł. Ile zapłaci babcia Darii za ogrodzenie działki,
jeśli planuje kupić jeszcze bramę wjazdową o szerokości 3 m za 820 zł?
Uczniowie klasy czwartej namalowali trzy pejzaże o wymiarach 20 cm × 20 cm
i cztery pejzaże o wymiarach 30 cm × 25 cm. Następnie postanowili oprawić je
w samodzielnie wykonane ramki. Na oprawę każdego obrazka trzeba doliczyć
do obwodu obrazu dodatkowych 10 cm. Ile centymetrów listewki potrzeba na
oprawę wszystkich pejzaży?
CO UMIEM?
1.
a ) c )
2.
3.
4.
235

30.
Pole wielokąta
Napis: POLE zbudowano
z jednakowych kwadratów.
a ) Policz, z ilu kwadratów
zbudowana jest każda litera.
b ) Ania chce pomalować
każdą z liter. Na którą literę
zużyje najmniej farby?
Dlaczego?
Na papierze w trójkąty narysowano kilka figur.
a ) Policz, z ilu trójkątów zbudowana jest każda figura.
b ) Która figura zajmuje najwięcej miejsca?
Spójrz na rysunek i odpowiedz na pytania. Możesz skorzystać z wyciętych figur.
a ) Ile zielonych kwadratów zmieści się w żółtym kwadracie?
b ) Ile niebieskich trójkątów zmieści się w żółtym kwadracie?
236

Aby obliczyć pole wielokąta:
● ustalamy, jaka figura będzie jednostką pola,
● sprawdzamy, ile razy ta figura (jednostka pola) mieści się w wielokącie.
Przykłady
Jeżeli za jednostkę pola przyjmiemy
będzie równe 4 jednostki.
Jeżeli za jednostkę pola przyjmiemy
będzie równe 8 jednostek.
, to pole ośmiokąta
, to pole ośmiokąta
1
Oblicz pole zielonego wielokąta. Przyjmij żółty wielokąt za jednostkę pola.
a ) b ) c )
2
Przyjmij za jednostkę pola i oblicz pole wielokątów przedstawionych na
rysunkach.
a ) b ) c )
3
4
5
Przyjmij (kratkę) za jednostkę pola. Narysuj w zeszycie trzy różne wielokąty,
każdy o polu równym 8 jednostkom.
Przyjmij za jednostkę pola. Narysuj w zeszycie trzy różne wielokąty, każdy
o polu równym 6 jednostkom.
Która figura A czy B ma większe pole?
a ) b )
A
A
c )
A
B
B
B
237

30.
6
Pole wielokąta
Przyjęto za jednostkę pola. Wiktoria wykonała rysunek, aby opisać swój
sposób obliczania pola wielokąta A. Na czym polega sposób Wiktorii?
A
32 •
a ) Ile jest równe pole wielokąta ?
b ) Ile jest równe pole wielokąta ?
Państwo Kowalscy przygotowują projekt łazienki. Mają do wyboru dwie wielkości
płytek podłogowych.
Plan podłogi łazienki
a ) Ile dużych płytek potrzeba, żeby wyłożyć podłogę łazienki?
b ) Ile małych płytek potrzeba, żeby wyłożyć podłogę łazienki?
Narysuj w zeszycie kwadrat o boku długości 7 cm. Podziel go, na mniejsze
kwadraty o boku długości 1 cm, odcinkami równoległymi do boków.
a ) Ile powstało kwadratów o boku długości 1 cm w każdym rzędzie?
b ) Ile powstało rzędów w wyniku tego podziału?
c ) Ile kwadratów o boku długości 1 cm powstało w całej figurze?
238

Najczęściej używanymi jednostkami pola są:
● 1 mm 2 (czytaj: milimetr kwadratowy) to kwadrat o boku długości 1 mm,
● 1 cm 2 (czytaj: centymetr kwadratowy) to kwadrat o boku długości 1 cm,
● 1 dm 2 (czytaj: decymetr kwadratowy) to kwadrat o boku długości 1 dm,
● 1 m 2 (czytaj: metr kwadratowy) to kwadrat o boku długości 1 m.
1 mm 2 1 dm 2
1 cm 2
Pole kwadratu o boku długości 3 cm jest równe 9 cm 2 , ponieważ można
wypełnić go 9 kwadratami o boku długości 1 cm.
3
po 3 kwadraty
3
3 rzędy
3 cm ∙ 3 cm = 9 cm 2
Pole kwadratu o boku długości 10 m jest równe 100 m 2 ,
ponieważ 10 m ∙ 10 m = 100 m 2 .
239

30.
Pole wielokąta
7
Oblicz pole figury. Przyjmij, że jednostką jest 1 cm 2 .
a ) b )
c ) d )
8
9
10
11
12
Podaj jednostki, którymi możesz najwygodniej opisać pole powierzchni:
a ) okładki zeszytu,
b ) biletu,
c ) blatu ławki,
d ) podłogi sali lekcyjnej.
Oblicz pole kwadratu o boku podanej długości.
a ) 3 mm b ) 5 cm c ) 8 m d ) 9 dm
Podaj długość boku kwadratu o podanym polu.
a ) 1 cm 2 b ) 100 mm 2 c ) 36 m 2 d ) 81 dm 2
e ) 4 m 2 f ) 16 dm 2 g ) 25 mm 2 h ) 49 cm 2
Obwód kwadratu jest równy 36 cm. Oblicz długość boku i pole tego kwadratu.
Oblicz pole kwadratu o podanym obwodzie.
a ) 4 cm b ) 8 m c ) 24 dm d ) 36 mm
Pamiętaj, że przy obliczaniu
pola figury długości boków
muszą być wyrażone w tych
samych jednostkach!
240

13
Oblicz pole kwadratu. Każdy wynik wyraź w cm 2 oraz w mm 2 .
a ) b ) c )
20 mm 4 cm
5 cm
14
15
16
Wykonaj obliczenia i odpowiedz na poniższe pytania.
a ) Kwadrat ma bok długości 10 mm.
● Ile mm 2 ma pole tego kwadratu?
● Ile cm długości ma bok tego kwadratu? Ile cm 2 ma pole tego kwadratu?
● Jaką liczbę należy wstawić w miejsce ?
1 cm 2 = mm 2
b ) Kwadrat ma bok długości 100 cm.
● Ile cm 2 ma pole tego kwadratu?
● Ile m długości ma bok tego kwadratu? Ile m 2 ma pole tego kwadratu?
● Jaką liczbę należy wstawić w miejsce ?
1 m 2 = cm 2
Ogród ma kształt kwadratu o boku długości 12 m. Oblicz powierzchnię tego
ogrodu.
Do trzech sal hotelowych zakupiono trzy kwadratowe dywany: jeden o powierzchni
4 m 2 , drugi o powierzchni 36 m 2 , a trzeci o powierzchni 9 m 2 .
Dopasuj dywany do sal.
3 m
9 m
6 m
Sala1
Sala 3
9 m
2 m
Sala2
241

30.
Pole wielokąta
17
18
19
20
21
Pranie dywanu kosztuje 6 zł za 1 m 2 . Oblicz koszt prania kwadratowego dywanu
o boku długości:
a ) 2 m, b ) 3 m.
Oblicz koszt tafli szkła na lustro
w kształcie kwadratu o boku długości:
a ) 20 cm, b ) 30 cm.
2 .
Pomalowanie kwadratowej ściany o wymiarach 3 m × 3 m kosztowało 360 zł.
Ile kosztowało pomalowanie 1 m 2 ściany?
Opakowanie nasion trawy wystarcza na obsianie 50 m 2 trawnika. Ile potrzeba
takich opakowań na obsianie trawą działki o wymiarach 20 m × 20 m?
Podziel kwadrat o boku długości 3 cm na sześć mniejszych kwadratów. Oblicz
pola tych kwadratów.
Powierzchnię państw, miast, oceanów podajemy najczęściej w km 2 (kilometrach
kwadratowych), czyli jednostkach, które są kwadratami o boku długości 1 km.
312 685 km 2
W rolnictwie, geodezji i leśnictwie używamy najczęściej jednostek ar (a)
i hektar (ha).
1 ar (100 m 2 ) to kwadrat o boku długości 10 m.
1 hektar (10 000 m 2 ) to kwadrat o boku długości 100 m.
242

Gdy pokryjemy szczelnie wielokątami foremnymi pewną płaszczyznę, to
otrzymamy parkietaż. Parkietaże uzyskane z jednego typu wielokąta foremnego
nazywamy foremnymi, a uzyskane z różnych wielokątów foremnych nazywamy
półforemnymi.
Przykłady
Parkietaże foremne
Zaprojektuj parkietaż foremny lub półforemny.
Parkietaże półforemne
CO UMIEM?
1.
a)
b)
2.
3.
4.
243

31.
Pole prostokąta
Magda układa obrazek z puzzli.
a ) Jaki kształt ma jeden element układanki Magdy? A jaki cały obrazek?
b ) Z ilu rzędów składa się obrazek? Ile puzzli będzie w każdym z nich?
c ) Z ilu puzzli składa się cały obrazek?
d ) Ile puzzli wykorzystała już Magda?
e ) Ilu elementów brakuje w każdym prostokątnym, nieułożonym fragmencie
obrazka?
Przerysuj do zeszytu tabelę i ją uzupełnij.
I
II III IV
1 cm
Prostokąt
Długość krótszego
boku
Długość dłuższego
boku
Pole w cm 2
I 2 cm 3 cm
II
III
IV
244

Na każdym rysunku zasłonięto część prostokąta. Oblicz jego pole w cm 2 .
a )
1 cm
b ) c )
Pole prostokąta obliczamy przez pomnożenie długości jednego boku
tego prostokąta przez długość sąsiedniego boku.
Pole prostokąta możemy opisać wzorem:
P
= a · b
b
a
Przykłady
Pole prostokąta o bokach długości 5 cm i 2 cm jest równe 10 cm 2 , ponieważ:
P
= 5 cm · 2 cm = 10 cm 2 .
5
po 5 kwadratów
2
2 rzędy
Pole prostokąta o wymiarach 8 cm × 9 cm wynosi 72 cm 2 , ponieważ
P
= 8 cm · 9 cm = 72 cm 2 .
1
Oblicz pole każdego prostokąta. Jego wymiary odczytaj z rysunku.
a ) b ) c )
3 cm 4 cm
8 cm
12 cm
50 m
150 m
245

31.
Pole prostokąta
2
3
4
Oblicz pole prostokąta o podanych wymiarach.
a ) 4 mm × 7 mm b ) 8 cm × 9 cm c ) 20 cm × 30 cm
d ) 25 dm × 4 dm e ) 5 m × 15 m f ) 13 m × 30 m
Oblicz pole prostokąta o podanych wymiarach.
a ) 20 mm × 5 cm b ) 7 cm × 40 mm c ) 50 cm × 1 m
d ) 22 mm × 2 cm e ) 84 cm × 2 m f ) 90 mm × 125 cm
Uporządkuj prostokąty według wielkości pola, od najmniejszego do największego.
8 cm
10 cm
I
II
5 cm
7 cm
III
6 cm
IV
16 cm
4 cm
2 cm
5
6
7
8
9
Pole prostokąta jest równe 80 m 2 . Oblicz długość jego krótszego boku, jeżeli
dłuższy bok ma długość:
a ) 10 m, b ) 20 m, c ) 40 m, d ) 16 m.
Oblicz długość drugiego boku prostokąta, którego jeden bok ma długość
3 cm, a pole jest równe:
a ) 9 cm 2 , b ) 15 cm 2 , c ) 27 cm 2 , d ) 42 cm 2 .
Pole prostokąta wynosi 70 dm 2 . Krótszy bok ma 70 cm długości.
a ) Ile decymetrów długości ma krótszy bok prostokąta?
b ) Ile decymetrów długości ma dłuższy bok prostokąta?
Pole prostokąta wynosi 600 cm 2 . Jeden z jego boków ma długość 2 dm. Oblicz
długość drugiego boku.
Jeden z boków prostokąta ma długość 7 cm, a drugi jest od niego krótszy
o 2 cm. Oblicz obwód i pole prostokąta.
246

10
11
12
13
14
Jeden z boków prostokąta ma długość 20 cm, a drugi jest 3 razy dłuższy. Oblicz
obwód i pole prostokąta.
Obwód prostokąta wynosi 40 cm. Jego krótszy bok ma 5 cm długości. Oblicz
długość drugiego boku prostokąta, a następnie pole prostokąta.
Zbuduj z patyczków jednakowej długości kilka różnych prostokątów tak, aby
brzeg każdego składał się z 20 patyczków. Oblicz pole każdego z tych prostokątów.
Czy prostokąty o równych obwodach mają zawsze równe pola?
Narysuj kilka prostokątów o polu 36 cm 2 i oblicz obwód każdego z nich. Czy
prostokąty o równych polach mają zawsze równe obwody?
Boisko piłkarskie ma 110 m długości i 45 m szerokości. Oblicz powierzchnię
tego boiska. Możesz skorzystać z kalkulatora.
15
Dziecięcy basen, którego dno ma kształt prostokąta,
otoczono piaskową ścieżką, jak na rysunku obok.
a ) Jakie wymiary ma teren, na którym mieści się
basen wraz z otaczającą go ścieżką? Jakie jest
pole powierzchni tego terenu?
b ) Ile jest równe pole powierzchni dna basenu?
c ) Ile jest równe pole powierzchni ścieżki?
1 m
2 m
1 m
3 m
16
Podłogę sali lekcyjnej w kształcie prostokąta o wymiarach 12 m × 6 m należy
pokryć wykładziną. Ile będzie kosztować ta wykładzina jeśli zapłacimy za nią za
metr bieżący, a ile, jeśli za metr kwadratowy? Możesz skorzystać z kalkulatora.
3 m
511
lub
171 m 2
17
Ile płytek o wymiarach 30 cm × 60 cm użyto do wyłożenia balkonu o wymiarach
180 cm × 120 cm?
247

31.
Pole prostokąta
18
19
Podaj, ile płytek o wymiarach 20 cm × 20 cm pokryje fragment ściany w kształcie
prostokąta o wymiarach:
a ) 1 m × 1 m, b ) 1 m × 2 m, c ) 2 m × 2 m, d ) 2 m × 3 m.
Parkingi w kształcie i o wymiarach podanych na rysunku wyłożono kwadratowymi,
betonowymi płytami o boku długości 1 m. Ile płyt zużyto?
Sąsiednie boki parkingu są prostopadłe.
a )
b )
15 m
40 m
50 m
50 m
15 m
25 m
20 m
80 m
20 m
CO UMIEM?
1.
2.
a ) b )
3.
4.
linia boczna
linia ia końcowa
248

Czy już to umiem?
Na rysunku przedstawiono kształt i wymiary powierzchni lasu. Oblicz
długość granicy tego lasu.
200 m
800 m
1 km
500 m
1 km = 1000 m
2 km = 2000 m
2 km
Odczytaj z rysunku dane.
Zapisz wszystkie długości
w takich samych jednostkach.
Oblicz obwód wielokąta, czyli
długość granicy lasu.
800 m + 200 m + 1000 m + 2000 m + 500 m = 4500 m
4500 m.
Sformułuj odpowiedź.
1
Oblicz obwód narysowanej figury.
a ) 1 cm
b ) c )
25 mm 25 mm
1 dm
2 cm
28 cm 56 mm
25 mm 25 mm
25 cm
53 mm
1 cm
1 cm 2 dm
25 mm 25 mm
25 cm
20 mm 28 mm 10 mm
28 cm
25 mm 25 mm
1 dm
56 mm
2 cm
1 cm
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Odczytaj z rysunku dane. Zapisz wszystkie długości w takich samych
jednostkach.
Oblicz obwód wielokąta.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
249

2
Oblicz obwody narysowanych figur.
a ) b ) c )
14 mm
1 cm
28 mm
1 cm
5 cm
4 cm
1 cm 1 cm
3
Kasia zaplanowała spacer po rynku w Poznaniu. Na mapie zaznaczyła trasę
tego spaceru. Jaka jest jej długość?
1 cm
239 m
79 m
140 m
67 m
100 m
135 m
4
Na rysunku przedstawiono kształt i wymiary działki. Jaka jest długość ogrodzenia
tej działki wraz z furtką i bramą wjazdową?
20 m 30 m
30 m
50 m
furtka 120 cm i brama 380 cm
51 m
250

Wyznacz pole narysowanego
kwadratu. Dobierz odpowiednią
jednostkę.
Przerysuj rysunek do zeszytu w kratkę.
Podziel kwadrat tak, aby z utworzonych
części można było złożyć figurę
pokrywającą się z liniami kratki.
jednostka
Oblicz pole powstałej figury – będzie
ono równe polu kwadratu.
9 + 2 + 2 + 2 + 2 = 17
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia
warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
17
5
Wyznacz pole każdej narysowanej figury.
a ) b ) c )
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Przerysuj rysunek do zeszytu w kratkę. Podziel figurę tak, aby z utworzonych
części można było złożyć figurę pokrywającą się z liniami kratki.
Oblicz pole powstałej figury.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
251

6
Wyznacz pola figur I i II. Porównaj te pola.
a ) b )
I II I
II
1 cm
1 cm
c ) d )
I II I
II
1 cm
1 cm
7
Wyznacz pole każdej narysowanej figury.
a ) b ) c )
1 cm 1 cm
1 cm
d ) e ) f )
1 cm
1 cm
1 cm
252

Prostokątny dywan o długości 3 m i szerokości 180 cm obszyto taśmą. Oblicz
długość taśmy potrzebnej na obszycie tego dywanu.
3 m = 300
Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz
na nim dane z zadania. Zapisz wszystkie
długości w takich samych jednostkach.
180
0
= 2a + 2b
0
= 2 · 300 cm + 2 · 180 cm
0
= 960 cm
960
Zapisz wzór na obwód prostokąta,
a następnie wykonaj obliczenia.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia
warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
8
9
10
11
Oblicz obwód prostokąta o bokach długości 80 cm i 1 m.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim dane z zadania.
Zapisz wszystkie długości w takich samych jednostkach.
Oblicz obwód prostokąta.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
Oblicz obwód prostokąta o podanych wymiarach.
a ) 20 cm × 40 cm b ) 18 cm × 7 cm c ) 14 cm × 26 cm
d ) 2 dm × 25 cm e ) 2 m × 20 dm f ) 2 m × 800 cm
Pani Klaudia kupiła prostokątną działkę o wymiarach 30 m × 45 m. Jaki obwód
ma działka?
Podłoga pokoju ma kształt prostokąta o wymiarach
takich, jak na rysunku. Drzwi mają szerokość 90 cm.
a ) Jaki obwód ma podłoga?
b ) Listwa przypodłogowa jest ułożona w miejscu
połączenia podłogi ze ścianą. Jaką łączną długość
ma listwa przypodłogowa w tym pokoju?
3 m
4 m
253

Prostokąt ma obwód równy 38 cm. Krótszy bok ma długość 7 cm. Oblicz
długość dłuższego boku.
Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz
na nim dane z zadania.
7
0
= 38 cm 7
0
= 2a + 2b = 38 cm
Oblicz łączną długość krótszych boków.
2 · 7 cm = 14 cm
Oblicz łączną długość dłuższych boków.
38 cm – 14 cm = 24 cm
Oblicz długość dłuższego boku.
24 cm : 2 = 12 cm
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia
warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
0
= 2 · 7 cm + 2 · 12 cm = 14 cm + 24 cm = 38 cm
12
12
Obwód prostokąta wynosi 300 cm, a jego dłuższy bok ma długość 10 dm. Jaką
długość ma krótszy bok?
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim dane z zadania. Zapisz
wszystkie długości w takich samych jednostkach.
Oblicz sumę długości dłuższych boków.
Oblicz sumę długości krótszych boków.
Oblicz długość krótszego boku.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
254

13
14
Jeden z boków prostokąta ma 20 cm długości, a obwód prostokąta wynosi
50 cm. Oblicz długość drugiego boku prostokąta.
Do obszycia prostokątnego dywanu zużyto 22 m taśmy. Jedna z krawędzi
dywanu ma 5 m. Jaką długość ma druga krawędź, jeśli długość zużytej taśmy
jest równa obwodowi dywanu?
Obwód prostokąta jest równy 14 cm, a krótszy bok ma długość 3 cm. Oblicz
pole tego prostokąta.
Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz
na nim dane z zadania.
0
= 14
3
2 ∙ 3 cm = 6 cm
Oblicz długość dłuższego boku.
14 cm – 6 cm = 8 cm
8 cm : 2 = 4 cm
P
= a · b
P
= 3 cm · 4 cm = 12 cm 2
Zapisz wzór na pole prostokąta i oblicz
jego pole.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia
warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
0
= 2 · 3 cm + 2 · 4 cm = 6 cm + 8 cm = 14 cm
12 cm 2 .
15
Obwód prostokąta wynosi 20 cm, a jeden z jego boków ma długość 4 cm.
Oblicz pole tego prostokąta.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim dane z zadania.
Oblicz długość drugiego boku prostokąta.
Oblicz pole prostokąta.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
255

16
17
18
Oblicz pole prostokąta o podanych wymiarach. Pamiętaj o zamianie jednostek.
a ) 50 cm × 70 cm b ) 18 cm × 7 dm c ) 4 m × 50 dm
d ) 4 dm × 15 cm e ) 2 m × 800 cm f ) 200 m × 3 km
Z dwóch kwadratów o boku długości 8 cm utworzono prostokąt. Jaką długość
mają boki tego prostokąta? Oblicz pole tego prostokąta.
Łóżko ma wymiary 150 cm × 200 cm. Narzuta na to łóżko składa się z dziesięciu
prostokątnych kawałków materiału o wymiarach 50 cm × 1 m. Jakie
wymiary ma ta narzuta, jeżeli przykrywa całą powierzchnię łóżka? Oblicz
powierzchnię tej narzuty.
Pole prostokąta jest równe 180 cm 2 , a jeden z jego boków ma długość 2 dm.
Oblicz długość drugiego boku.
P
= 180 2
Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz
na nim dane z zadania.
2 dm
Długość boku wyraź w cm, a pole w cm 2 .
a = 2 dm = 20 cm
P
= 180 cm 2
P
= a · b
180 2 = 20 cm · b
180 2 : 20 = 9 cm
Zapisz wzór na pole prostokąta, podstaw
do wzoru dane wielkości i wyznacz
długość drugiego boku.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia
warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
9 cm · 20 cm = 180 cm 2
9
256

19
20
21
22
23
24
25
26
Pole prostokąta jest równe 24 dm 2 . Jeden z jego boków ma długość 40 cm.
Oblicz długość drugiego boku.
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.
Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim dane z zadania.
Długość boku wyraź w cm lub dm, a pole w cm 2 lub dm 2 .
Zapisz wzór na pole prostokąta, podstaw do wzoru dane wielkości i wyznacz
długość drugiego boku.
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.
Pole prostokąta wynosi 72 cm 2 , a jeden jego bok ma 8 cm. Oblicz długość
drugiego boku. Oblicz obwód tego prostokąta.
Pole powierzchni działki jest równe 1200 m 2 . Jeden z jej boków ma długość
40 m. Ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie tej działki?
Prostokąt ma pole równe 36 cm 2 . Znajdź trzy prostokąty o takim polu. Oblicz
ich obwody.
Pole kwadratu wynosi 25 cm 2 . Oblicz jego obwód.
Jacek wyciął z papieru dwa prostokąty: jeden o bokach długości 8 cm i 10 cm,
a drugi o bokach, z których każdy jest 2 razy dłuższy od boków pierwszego
prostokąta.
a ) O ile dłuższy jest obwód drugiego prostokąta?
b ) Ile razy dłuższy jest obwód drugiego prostokąta?
c ) Ile razy większe jest pole drugiego prostokąta?
Poniżej podano cenę zakupu okna z montażem.
Oblicz koszt zakupu okna o podanych
wymiarach wraz z montażem.
a ) 2 m × 2 m
b ) 2 m × 3 m
c ) 1 m × 4 m
1 m 2 140
1
80
Książka o wymiarach 20 cm × 15 cm ma 256 stron. Ilustracje umieszczono na
wszystkich parzystych stronach tej książki. Jaka jest powierzchnia wszystkich
stron z ilustracjami? Możesz skorzystać z kalkulatora.
257

27
28
29
W prostokątnej łazience stoi wanna
o wymiarach 2 m × 1 m. Ile płytek
terakoty o wymiarach 25 cm × 25 cm
potrzeba do wyłożenia pozostałej
części podłogi płytkami? Ile ozdobnych
płytek przypodłogowych o długości
25 cm trzeba kupić, aby wystarczyło
ich na wykończenie podłogi wzdłuż
zaznaczonej na planie różowej linii?
W hotelu jest 280 pokoi. W każdym z nich są dwa okna o wymiarach 2 m × 2 m.
Przed zimą trzeba uszczelnić wszystkie okna w pokojach. Uszczelka do okien
sprzedawana jest w opakowaniach po 200 m za 356 zł.
a ) Ile metrów uszczelki potrzeba, aby uszczelnić wszystkie okna?
b ) Na ile okien o tych wymiarach wystarczy jedno opakowanie uszczelki?
c ) Ile opakowań uszczelki trzeba kupić? Ile będzie kosztować ta uszczelka?
Możliwe wymiary boiska do piłki nożnej przedstawiono na rysunku.
Spójrz na ten rysunek i odpowiedz na pytania.
a ) Jakie są wymiary najmniejszego boiska
do gry w piłkę nożną?
Jaka jest jego powierzchnia?
A jaki jest jego obwód?
b ) Jakie są wymiary największego boiska
do gry w piłkę nożną?
Jaka jest jego powierzchnia,
jaki jest jego obwód?
c ) Jaka jest różnica między powierzchnią
największego a powierzchnią
najmniejszego boiska piłkarskiego?
d ) Czy największe boisko ma
powierzchnię ponad 2 razy większą niż
najmniejsze?
e ) Jaka zależność zachodzi między
obwodem najmniejszego a obwodem
45 m – 90 m
największego boiska piłkarskiego?
3 m
2 m
4 m
1 m
90 m – 120 m
1 m
258

30
31
32
W celu ochrony 1 hektara (10 000 m 2 ) pola trzeba rozpylić około 120 kg środka
owadobójczego. Ile kilogramów tego środka trzeba zużyć do ochrony pola
w kształcie prostokąta o wymiarach 3 km × 4 km?
Dane są dwa prostokąty. Każdy bok większego prostokąta jest trzy razy dłuższy
od odpowiedniego boku mniejszego prostokąta.
a ) Ile razy większy jest obwód pierwszego prostokąta od drugiego?
b ) Ile razy większe jest pole pierwszego prostokąta od drugiego?
Na rysunku przedstawiono plany dwóch placów zabaw w podanych skalach.
Który z placów ma większą powierzchnię?
I
Skala 1 : 30
II
Skala 1 : 25
259

Potrafię więcej, umiem lepiej
1
Wielokąty
Jak rozciąć trójkąt dwoma cięciami na trzy części, aby można było z nich
ułożyć prostokąt?
2
Kwadrat, prostokąt
Jak podzielić figurę na cztery takie same części? Sąsiednie boki figury są
prostopadłe.
a ) b )
3
Monika z zapałek zbudowała kolejne figury według pewnej zasady. Na rysunku
przedstawiono pierwsze trzy figury. Z ilu zapałek składa się każda z narysowanych
figur? Z ilu zapałek składa się czwarta figura? A piąta? A dziesiąta?
a ) b )
II III
I II III I
c ) d )
III
I
II
I
II
III
260

4
Pole powierzchni
Daniel z zapałek zbudował kolejne figury według pewnej zasady. Na rysunku
przedstawiono trzy pierwsze figury. Daniel zaznaczył, o ile powiększa się pole
kolejnej figury. Pierwsza figura ma pole 1. Jakie pole ma część zaznaczona przez
Daniela w drugiej figurze? A w trzeciej figurze? Jakie pole ma zaznaczona
część w piątej figurze? A w dziesiątej figurze?
I
II
III
5
Z kwadratów o polu 1 zbudowano kolejne figury według pewnej zasady.
IV
III
II
I
a ) Narysuj piątą figurę. Wyznacz jej pole.
b ) Jakie pole będzie mieć szósta figura? Narysuj ją i sprawdź swoje przypuszczenia.
c ) Jakie pole będzie mieć dziesiąta figura?
6
Pole prostokąta
Na rysunku przedstawiono wymiary flagi Finlandii.
a ) Jaka jest powierzchnia
białych pól tej flagi?
b ) Jaka jest powierzchnia
niebieskiej części flagi?
c ) Jaka jest powierzchnia
tej flagi?
4 dm
3 dm
4 dm
5 dm
3 dm
10 dm
261

MATEMATYKA
MATEMATYKA
MATEMATYKA
4
4
4
Zagadki
matematyczne
Matematyka
4-6
4
NA DOBRY START
PORADNIK
NAUCZYCIELA
MATEMATYKA
4
MATEMATYKA
4