Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

Apuntes de Ecuaciones diferenciales
Badajoz, 8 de abril de 2013
D = ∂
∂x1
Dpto. de Matemáticas. Univ. de Extremadura

Índice general
I Ecuaciones diferenciales ordinarias XVII
1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial 1
1.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El haz de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3. Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . . . . 24
1.5. Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1. Interpretación geométrica de la diferencial. . . . . 26
1.5.2. Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1. Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.1. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.2. Ecuaciones diferenciales no autónomas. . . . . . . 38
1.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . 39
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 40
1.9.1. Problemas Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.9.2. Problemas Químicos. Desintegración. . . . . . . . . 41
1.9.3. Problemas Biológicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9.4. Problemas Físicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.5. Problemas Arquitectónicos. La catenaria. . . . . . 54
1.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.11. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
i

ii ÍNDICE GENERAL
2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 71
2.1. Grupo uniparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2. Existencia de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4. Unicidad de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5. Grupo Uniparamétrico de un campo . . . . . . . . . . . . 84
2.6. Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.7. Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7.1. Clasificación local de campos no singulares. . . . . 96
2.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.9. Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 103
2.10. Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 104
2.11. Método de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.12. Apéndice. La tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.14. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3. Campos tensoriales en un espacio vectorial 143
3.1. Tensores en un módulo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.2. Campos tensoriales en R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 148
3.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.6. El Lema de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.7. Aplicación. Factores de integración . . . . . . . . . . . . . 166
3.8. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.8.1. Tensor métrico del espacio euclídeo. . . . . . . . . 170
3.8.2. Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 172
3.8.3. Interpretación geométrica del rotacional. . . . . . . 174
3.8.4. Tensores de torsión y de curvatura. . . . . . . . . . 177
3.8.5. Tensores de una variedad Riemanniana. . . . . . . 178
3.8.6. El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.8.7. Movimiento de un sólido rígido. . . . . . . . . . . . 183
3.8.8. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.8.9. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.8.10. El tensor de deformación. . . . . . . . . . . . . . . 191
3.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.10. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

ÍNDICE GENERAL iii
4. Campos tangentes lineales 205
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.2. Existencia y unicidad de solución . . . . . . . . . . . . . . 209
4.3. Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.3.1. El sistema homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.3.2. El sistema no homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . 219
4.4. Reducción de una EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.6. EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.7. Clasificación de campos lineales . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.8. EDL con coeficientes periódicos . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . 233
4.9.1. Caso homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.9.2. Caso no homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.10. EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.10.1. Ecuación de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.11. EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.11.1. Ecuación de Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.12. Otros métodos para resolver EDL . . . . . . . . . . . . . . 245
4.12.1. Método de las potencias. . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.12.2. Método de Frobenius de las potencias. . . . . . . . 246
4.12.3. Método de la transformada de Laplace. . . . . . . 247
4.13. La Ecuación de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.14. Algunas EDL de la Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.14.1. Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.14.2. Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.14.3. Problemas de circuitos eléctricos. . . . . . . . . . . 262
4.14.4. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.15. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
4.16. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
5. Estabilidad 277
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.2. Linealización en un punto singular . . . . . . . . . . . . . 278
5.3. Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 280
5.4. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.5.1. Sistemas tipo “depredador–presa”. . . . . . . . . . 291
5.5.2. Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 294
5.5.3. Aplicación en Mecánica clásica. . . . . . . . . . . . 294

iv ÍNDICE GENERAL
5.6. Clasificación topol. de las ED lineales . . . . . . . . . . . 297
5.7. Teorema de resonancia de Poincaré . . . . . . . . . . . . . 303
5.8. Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.9. La aplicación de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.10. Estabilidad de órbitas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 316
5.11. El Teorema de Poincaré–Bendixson . . . . . . . . . . . . . 320
5.12. Estabilidad de órbitas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 324
5.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.14. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
II Ecuaciones en derivadas parciales 335
6. Sistemas de Pfaff 337
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 341
6.2.1. Sistemas de Pfaff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.2.2. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6.3. El sistema característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.4. El Teorema de la Proyección . . . . . . . . . . . . . . . . 349
6.4.1. Campos tangentes verticales . . . . . . . . . . . . . 349
6.4.2. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 349
6.5. El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.5.1. Método de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.5.2. 1–formas homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.6. Aplicación: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 369
6.6.1. Funciones especiales del fibrado tangente. . . . . . 369
6.6.2. Variedad con conexión. Distribución asociada. . . . 370
6.7. Aplicación: Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
6.8. Aplicación: Clasificación de formas . . . . . . . . . . . . . 382
6.8.1. Clasificación de 1–formas . . . . . . . . . . . . . . 382
6.8.2. Clasificación de 2–formas. . . . . . . . . . . . . . . 389
6.9. Variedades simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.9.1. Campos Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.9.2. El Fibrado Cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . . . . 397
6.9.4. Fibrado tangente de una var.Riemanniana. . . . . 398
6.9.5. Mecánica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.10. Apéndice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . 412
6.10.1. Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . 414

ÍNDICE GENERAL v
6.10.2. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 417
6.10.3. Variedades integrales máximas . . . . . . . . . . . 418
6.10.4. Otra demostración del Teorema de Frobenius . . . 422
6.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.12. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 435
7.1. Definición clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
7.2. El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
7.3. EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.3.1. Ejemplo: Tráfico en una autopista. . . . . . . . . . 442
7.3.2. Ejemplo: Central telefónica. . . . . . . . . . . . . . 443
7.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 445
7.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 446
7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP . . . . . . . . . . . . 449
7.4.1. Campo característico. . . . . . . . . . . . . . . . . 449
7.5. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 452
7.5.1. Dimensión de una subvariedad solución. . . . . . . 453
7.5.2. Existencia de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . 455
7.5.3. El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 457
7.6. Métodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . . . . 460
7.6.1. Método de las características de Cauchy . . . . . . 460
7.6.2. Método de la Proyección. Integral completa . . . . 462
7.6.3. Método de Lagrange–Charpit. . . . . . . . . . . . . 465
7.7. Método de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
7.7.1. Envolvente de una familia de superficies. . . . . . . 466
7.7.2. Envolvente de una familia de hipersuperficies. . . . 470
7.7.3. Método de la envolvente. . . . . . . . . . . . . . . 472
7.7.4. Solución singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7.8. Definición intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.9.1. Método de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7.9.2. Ecuación de Hamilton–Jacobi. . . . . . . . . . . . 483
7.9.3. Geodésicas de una variedad Riemanniana. . . . . . 486
7.10. Introducción al cálculo de variaciones . . . . . . . . . . . . 496
7.10.1. Ecuaciones de Euler–Lagrange. . . . . . . . . . . . 497
7.10.2. Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton. . . . . 508
7.10.3. Apéndice. La ecuación de Schrödinger . . . . . . . 512
7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther . . . . . . . . . . . . . 513
7.11.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 513

vi ÍNDICE GENERAL
7.11.2. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud . . . . . . . . 519
7.11.3. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.11.4. Curvas de mínima acción y geodésicas . . . . . . . 523
7.11.5. El Teorema de Noëther. . . . . . . . . . . . . . . . 525
7.12. Cálculo de variaciones en Jets . . . . . . . . . . . . . . . . 532
7.12.1. Jets de aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . 532
7.12.2. Distribución canónica . . . . . . . . . . . . . . . . 533
7.13. Apéndice. El Campo geodésico . . . . . . . . . . . . . . . 541
7.13.1. Subidas canónicas de un campo tangente. . . . . . 541
7.13.2. Variedad con conexión. Campo geodésico. . . . . . 544
7.13.3. Campo geodésico en una variedad Riemanniana. . 546
7.13.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
7.14. Apéndice. Teoría de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . 551
7.15. Apéndice. Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 553
7.15.1. Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
7.15.2. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
7.15.3. Óvalo de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
7.15.4. Propiedad de refracción de las elipses . . . . . . . 556
7.15.5. Propiedades de reflexión de las elipses . . . . . . . 558
7.15.6. Trayectoria en un medio de índice variable . . . . . 558
7.16. Apéndice. Envolventes y cáusticas . . . . . . . . . . . . . 560
7.17. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
7.18. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
8. EDP de orden superior. Clasificación 597
8.1. Definición clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
8.2. Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . 601
8.2.1. Corchete de Lie de operadores lineales. . . . . . . . 601
8.2.2. Restricción de un ODL. . . . . . . . . . . . . . . . 603
8.2.3. Expresión en coordenadas de un ODL. . . . . . . . 604
8.2.4. Caracterización del Operador de LaPlace . . . . . 609
8.2.5. Derivada de Lie de un ODL . . . . . . . . . . . . . 611
8.3. El símbolo de un ODL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación . . . . . . . . . . . . 615
8.4.1. Operadores diferenciales lineales hiperbólicos. . . . 616
8.4.2. Operadores diferenciales lineales parabólicos. . . . 617
8.4.3. Campos y 1–formas complejas. . . . . . . . . . . . 619
8.4.4. Operadores diferenciales lineales elípticos. . . . . . 622
8.5. ODL de orden 2 en R n . Clasificación . . . . . . . . . . . . 627
8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación . . . . . . . . . . . . 630

ÍNDICE GENERAL vii
8.6.1. ODL asociado a una solución de una EDP. . . . . 630
8.6.2. Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico de
una EDP cuasi–lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . 633
8.6.3. Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico de
una EDP de tipo general. . . . . . . . . . . . . . . 638
8.6.4. Reducción a forma canónica. Caso elíptico. . . . . 644
8.7. Clasificación de sistemas de EDP . . . . . . . . . . . . . . 648
8.7.1. Reducción a forma diagonal de sistemas lineales
hiperbólicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
8.7.2. Reducción a forma diagonal de sistemas cuasi–
lineales hiperbólicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
8.8. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
8.8.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 653
8.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
8.10. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
9. El problema de Cauchy 667
9.1. Sistemas de EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . 667
9.2. Curvas características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
9.2.1. Propagación de singularidades. . . . . . . . . . . . 673
9.3. Funciones analíticas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
9.3.1. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
9.3.2. Series múltiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
9.3.3. Series múltiples de funciones. . . . . . . . . . . . . 678
9.4. Funciones analíticas complejas . . . . . . . . . . . . . . . 686
9.4.1. Las ecuaciones de Cauchy–Riemann. . . . . . . . . 686
9.4.2. Fórmula integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . 689
9.4.3. Funciones analíticas n–dimensionales. . . . . . . . 692
9.5. El Teorema de Cauchy–Kowalewski . . . . . . . . . . . . . 692
9.6. EDP de tipo hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
9.7. Método de las aprox. sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . 701
9.7.1. Existencia de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . 702
9.7.2. Unicidad de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . 706
9.7.3. Dependencia de las condiciones iniciales. . . . . . . 708
9.7.4. El problema de Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . 711
9.7.5. El problema de valor inicial característico. . . . . . 712
9.8. Sistemas hiperbólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
9.9. La función de Riemann–Green . . . . . . . . . . . . . . . 720
9.9.1. Operador diferencial lineal adjunto. . . . . . . . . 720
9.9.2. ODL adjuntos en el plano. . . . . . . . . . . . . . . 723

viii ÍNDICE GENERAL
9.9.3. El método de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . 724
9.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
9.11. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
10.La Ecuación de Laplace 741
10.1. Funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
10.2. Funciones armónicas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 743
10.2.1. Funciones armónicas en variables separadas. . . . . 743
10.2.2. Funciones armónicas y funciones analíticas. . . . . 745
10.2.3. Transformaciones conformes. . . . . . . . . . . . . 747
10.3. Transformaciones en R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
10.3.1. Traslaciones, giros y homotecias. . . . . . . . . . . 751
10.3.2. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 752
10.3.3. Inversiones respecto de esferas. . . . . . . . . . . . 753
10.3.4. Transformaciones en general. . . . . . . . . . . . . 757
10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. . . . . . . . . . . . . . 760
10.4.1. Potencial Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . 761
10.4.2. Potencial electrostático. . . . . . . . . . . . . . . . 762
10.4.3. Ecuación de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
10.4.4. Otros posibles potenciales. . . . . . . . . . . . . . . 780
10.5. Los 3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
10.5.1. Principio del máximo. Unicidad. . . . . . . . . . . 782
10.6. Problema de Dirichlet en el plano . . . . . . . . . . . . . . 785
10.6.1. Problema Dirichlet en un rectángulo . . . . . . . . 785
10.6.2. Problema de Dirichlet en un disco . . . . . . . . . 788
10.6.3. Fórmula integral de Poisson. . . . . . . . . . . . . 790
10.6.4. Polinomios de Tchebycheff. . . . . . . . . . . . . . 793
10.6.5. Problema de Dirichlet en la esfera . . . . . . . . . 796
10.6.6. La Ecuación de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . 797
10.7. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
10.7.1. Identidades de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . 802
10.7.2. Unicidad de solución en PVF . . . . . . . . . . . . 803
10.7.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
10.7.4. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 806
10.7.5. Recíproco del Teorema del valor medio . . . . . . . 808
10.7.6. Regularidad de las funciones armónicas . . . . . . 811
10.7.7. Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
10.8. Armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815
10.9. Principio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
10.10.Introducción a las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . 819

ÍNDICE GENERAL ix
10.10.1.Método de la función de Green . . . . . . . . . . . 821
10.11.El método de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
10.11.1.Funciones subarmónicas . . . . . . . . . . . . . . . 834
10.11.2.Sucesiones de funciones armónicas . . . . . . . . . 839
10.11.3.Problema Dirichlet. Existencia de solución . . . . . 841
10.11.4.Funciones barrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
10.12.Teorema de la aplicación de Riemann . . . . . . . . . . . 846
10.13.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
10.14.Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
11.La Ecuación de ondas 861
11.1. La Ecuación de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . 861
11.1.1. Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
11.1.2. Solución de D’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . 866
11.1.3. Energía de la cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 870
11.1.4. Unicidad de solución de la ecuación de ondas. . . . 872
11.1.5. Aplicaciones a la música. . . . . . . . . . . . . . . 872
11.2. La Ecuación de ondas bidimensional. . . . . . . . . . . . . 874
11.2.1. Solución de la ecuación de ondas. . . . . . . . . . . 877
11.3. La Ecuación de ondas n–dimensional. . . . . . . . . . . . 880
11.3.1. La desigualdad del dominio de dependencia. . . . . 880
11.3.2. Unicidad de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . 884
11.3.3. Ecuación de ondas en regiones con frontera. . . . . 886
11.3.4. El método de separación de variables. . . . . . . . 887
11.4. El método del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
11.4.1. La Fórmula de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . 890
11.4.2. El método del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . 895
11.4.3. El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . 898
11.5. La Ecuación de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
12.Ecuación de ondas. Electromagnetismo 905
12.1. Espacio Euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
12.2. Espacio de Minkowski. Relatividad especial . . . . . . . . 907
12.3. D’Alembertiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
12.3.1. Gradiente y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . 909
12.3.2. D’Alembertiano y codiferencial . . . . . . . . . . . 910
12.4. Campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
12.4.1. Vector impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
12.4.2. Forma de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
12.4.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 918

x ÍNDICE GENERAL
12.5. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
12.5.1. Energía de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
12.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
12.7. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
13.La Ecuación del calor 929
13.1. La Ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . 929
13.1.1. El principio del máximo. . . . . . . . . . . . . . . . 932
13.1.2. Solución general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934
13.1.3. Soluciones con condiciones inicial y frontera dadas. 935
13.1.4. El problema de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . 948
13.2. La Ecuación del calor n–dimensional. . . . . . . . . . . . . 954
13.2.1. Caso bidimensional. Planteamiento. . . . . . . . . 954
13.2.2. El método de separación de variables. . . . . . . . 955
13.2.3. Caso bidimensional. Algunas soluciones. . . . . . . 956
13.2.4. Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
13.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
13.4. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
14.Integración en variedades 963
14.1. Orientación sobre una variedad . . . . . . . . . . . . . . . 963
14.2. Integración en una variedad orientada . . . . . . . . . . . 966
14.3. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970
14.4. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974
14.5. Integración en var. Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . 978
14.6. Aplicaciones a la Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981
14.6.1. Interpretación física de la integral compleja . . . . 984
14.7. La definición de Gauss de la curvatura . . . . . . . . . . . 985
14.8. El operador de Laplace–Beltrami . . . . . . . . . . . . . . 987
14.8.1. El operador ∗ de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . 987
14.8.2. El operador de Laplace–Beltrami . . . . . . . . . . 990
15.Variedades complejas 1001
15.1. Estructuras casi–complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
15.1.1. Campos y 1–formas complejas . . . . . . . . . . . 1005
15.1.2. Integrabilidad de una estructura casi–compleja . . 1008

Índice de figuras
1.1. Gráfica de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. F lleva el campo D al campo E . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5. Gráficas de f y dxf en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6. Gráficas de f y dxf en R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7. Plano tangente a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8. Gradiente de x 2 + y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.9. Parciales de las coordenadas cartesianas y polares. . . . . 34
1.10. Curva integral de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.12. Desintegración del C 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.14. Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.15. Curvas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.16. Catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.17. Fuerzas horizontal y vertical en la catenaria. . . . . . . . . 54
1.18. Arco de catenaria dado la vuelta. . . . . . . . . . . . . . . 57
1.19. Fuerzas que actúan en el arco AB . . . . . . . . . . . . . 57
1.20. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.22. Columpio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1. Teorema del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2. Órbitas de D y de fD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.4. La tractriz y la exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.5. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.6. Campo para λ = 1 y λ ≈ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
xi

xii ÍNDICE DE FIGURAS
2.7. Campos Dλ y curva sen x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.8. Gráfica de f y plano z = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.9. El campo apunta hacia el interior de la región. . . . . . . 122
2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.11. Curvas σλ para λ = 0 ′ 1, 1, 2 y 10000 . . . . . . . . . . . . 123
2.12. Cisterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.13. Caso n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.14. Caso cte = λ = 1, por tanto α = π/4. . . . . . . . . . . . . 136
2.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.1. ds en el plano (ver la Fig.1.9, pág.34). . . . . . . . . . . . 171
3.2. Incrementos de x, y, ρ, θ y s en una curva. . . . . . . . . . 172
3.3. Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.4. Giro G y dilatación de ejes ui, Lui = µiui. . . . . . . . . 176
3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.6. Recta de velocidad mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9. a12 = a21, a31 = a13 y a23 = a32 . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.10. Curvas para las que OA = OB . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.11. Parábola y elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.1. Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.2. Pulsación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.3. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.4. Circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.5. Partícula en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.6. Segunda Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.7. 1 a Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.1. Casos a > 0 y b < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.5. Sección local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.6. La órbita de p se aproxima a γ en x . . . . . . . . . . . . 316
5.7. Aplicación de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

ÍNDICE DE FIGURAS xiii
6.1. Sistema de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.2. Distribución < D1p, D2p >= {ωp = 0} . . . . . . . . . . . 338
6.3. Superficie {z = f(x, y)} tangente a los planos. . . . . . . . 339
6.4. Interpretación geométrica de D L ∆ ⊂ ∆ . . . . . . . . . . 348
6.5. Interpretación geométrica de D ∈ ∆ y D L ∆ ⊂ ∆ . . . . . 348
6.6. Sistema de Pfaff proyectable . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.7. < D >= D π ⊂ D[P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.9. Distribuciones asociadas a P, P ′ y P ′′ . . . . . . . . . . . 353
6.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.12. Transformación simplética. . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6.13. Segunda Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.14. Plano del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.15. Vector de Runge–Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.16. Haz de cónicas con foco el origen: Izqda. ρ = ex+p. Dcha.
ρ = −ex + p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
6.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.18. Velocidades en trayectorias elíptica, parabólica e hiperbólica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6.19. Hodógrafas correspondientes a elipse, parábola e hipérbola.410
6.20. Propiedad de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.22. Helicoide, z = θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
7.1. Cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
7.2. Conos de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
7.4. Construcción de Sk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
7.5. Curva de datos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
7.6. Envolvente de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
7.7. trayectorias bala cañón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
7.8. ruido de un avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
7.9. Envolvente de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.10. Envolvente pasando por Sk . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7.11. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
7.12. Curva de mínimo tiempo de A a B. . . . . . . . . . . . . . 501
7.13. La braquistócrona (dcha.) es la cicloide invertida. . . . . . 504
7.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
7.15. La evolvente de la cicloide es la cicloide . . . . . . . . . . 506

xiv ÍNDICE DE FIGURAS
7.16. Péndulo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.17. Refracción y reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
7.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
7.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
7.20. Óvalo de Descartes. Refracción . . . . . . . . . . . . . . . 555
7.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
7.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
7.23. Refracción Elipsoide de revolución . . . . . . . . . . . . . 558
7.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
7.25. Cáustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
7.26. La caustica es la epicicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
7.27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
7.28. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
7.29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
7.30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
7.31. Catenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
7.32. Catenarias que pasan por (1, 0) . . . . . . . . . . . . . . . 588
7.33. La catenoide de la derecha es la de mínima area . . . . . . 588
7.34. La catenoide tiene curvatura media nula en todo punto . . 589
8.1. Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
9.1. Dominio de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
9.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
9.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
9.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
10.1. log ρ, ρ 2 , ρ −2 , cos(log ρ). . . . . . . . . . . . . . . 744
10.2. θ, sen θ, e θ , e −θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
10.3. Fuerza gravitacional producida por una masa M . . . . . 761
10.4. Fuerza electrostática producida por una carga q . . . . . . 763
10.5. Flujo a través de una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
10.6. Flujo a través de una superficie. . . . . . . . . . . . . . . . 765
10.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
10.8. Ángulos ab = cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
10.9. La proy. ester. conserva ángulos. . . . . . . . . . . . . . . 853
10.10.La proy. ester. lleva circunferencias pasando por P en rectas.853
10.11.La proy. ester. lleva circunferencias en circunferencias. . . 854
10.12.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

ÍNDICE DE FIGURAS xv
10.13.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854
11.1. cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862
11.2. Posición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867
11.3. Ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
11.4. Fuerzas sobre una membrana . . . . . . . . . . . . . . . . 874
11.5. Membrana vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875
11.6. cono característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
11.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
11.8. Frentes delantero y trasero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
13.1. Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930
13.2. Calor que entra en I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
13.3. Dominio del problema (hacia el pasado) . . . . . . . . . . 940
13.4. Difusión del calor en una placa . . . . . . . . . . . . . . . 954
14.1. flujo de D a través de S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981
14.2. Planímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996

xvi ÍNDICE DE FIGURAS

Parte I
Ecuaciones diferenciales
ordinarias
xvii

Tema 1
La estructura
diferenciable de un
espacio vectorial
1.1. Conceptos básicos
Por E entenderemos un R–espacio vectorial de dimensión finita n, dotado
de la estructura topológica usual. A veces también consideraremos
en E una norma, siendo indiferente en la mayoría de los resultados cual
es la que elegimos, pues todas las normas son equivalentes en E. Por Rn entenderemos el espacio vectorial real R × n
· · · × R.
Dados dos espacios vectoriales E1 y E2 denotaremos con L(E1, E2) el
espacio vectorial de las aplicaciones lineales de E1 en E2. Con E ∗ denotaremos
el espacio vectorial dual de E, es decir L(E, R).
Con C(E) denotaremos la R–álgebra de las funciones continuas en E
y con C(U) las continuas en el abierto U de E. Con P(E) denotaremos
la R–álgebra de los polinomios en E, es decir la sub–R–álgebra de C(E)
generada por E ∗ .
1

2 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Elegir una base ei en E equivale a elegir una base xi ∈ E ∗ . En cuyo
caso tenemos la identificación
E −−→ R n ,
n
aiei −→ (a1, . . . , an),
i=1
y las xi forman un sistema de coordenadas lineales asociado a las ei de
la forma
xi : E −−→ R , xi ajej = ai.
A menudo consideraremos sistemas de coordenadas lineales xi y sobrentenderemos
su base dual ei correspondiente.
Diremos que el espacio vectorial E es euclideo si tiene definido un
producto interior < , >, en cuyo caso consideraremos la norma
x 2 = √ < x, x >,
y eligiendo una base ei ortonormal, es decir tal que < ei, ej >= δij,
y su sistema xi de coordenadas lineales asociado, tendremos que dados
a, b ∈ E tales que xi(a) = ai y xi(b) = bi
< a, b >= a1b1 + · · · + anbn.
Definición. Sean E1 y E2 espacios vectoriales reales, U un abierto de E1
y V uno de E2. Diremos que F : U −→ V es diferenciable en x ∈ U si
existe una aplicación lineal F ′ x ∈ L(E1, E2), tal que
F (x + h) − F (x) − F
lím
h→0
′ x(h)
= 0.
h
Diremos que F es diferenciable si lo es en todo punto; que F es de
clase 1 si es diferenciable y la aplicación
F ′ : U −−→ L(E1, E2) , x F ′ x,
es continua ; y por inducción que es de clase k si F ′ es de clase k − 1.
Diremos que es de clase infinita si es de clase k para toda k.
A partir de ahora siempre que hablemos de clase k, entenderemos
que k es indistintamente, a menos que se especifique lo contrario, un
número natural 0, 1, . . . ó bien ∞, donde para k = 0 entenderemos que
las aplicaciones son continuas.

1.1. Conceptos básicos 3
Definición. Dada f : U ⊂ R −→ R diferenciable en x, llamamos derivada
de f en x al número real
f ′ (x) = lím
t→0
f(x + t) − f(x)
.
t
Observemos que este número está relacionado con la aplicación lineal
f ′ x ∈ L(R, R) por la igualdad
Regla de la cadena 1.1 a) Sean
f ′ x(h) = f ′ (x) · h.
F : U ⊂ E1 −−→ V ⊂ E2 , G: V −−→ W ⊂ E3,
diferenciables en x ∈ U y F (x) = y, respectivamente. Entonces H =
G ◦ F es diferenciable en x y se tiene que
H ′ x = G ′ y ◦ F ′ x.
b) La composición de aplicaciones de clase k es de clase k.
Definición. Para cada abierto U del espacio vectorial E, denotaremos
C k (U) = {f : U −−→ R, de clase k},
los cuales tienen una estructura natural de R–álgebra y como veremos
en (1.11), también de espacio topológico.
Proposición 1.2 Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 una aplicación. Entonces
son equivalentes:
a) F es de clase k.
b) Para un sistema de coordenadas lineales yi en E2, fi = yi ◦ F ∈
C k (U).
c) Para cada f ∈ C k (V ), f ◦F ∈ C k (U), es decir tenemos el morfismo
de R-álgebras.
F ∗ : C k (V ) −−→ C k (U), F ∗ (f) = f ◦ F.

4 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Definición. Dada una función f ∈ C 1 (U), un v ∈ E y p ∈ U, llamaremos
derivada direccional de f relativa a v en p al valor
vp(f) = lím
t→0
f(p + tv) − f(p)
.
t
En particular si en E hemos elegido un sistema de coordenadas lineales
xi con base dual ei, llamaremos derivada parcial i–ésima de f, a
la derivada direccional de f relativa a ei y escribiremos
∂f
∂xi
(p) = lím
t→0
f(p + tei) − f(p)
.
t
Si E es de dimensión 1, y x es la coordenada lineal correspondiente al
vector no nulo e ∈ E escribiremos
df ∂f
=
dx ∂x .
Proposición 1.3 f ∈ C k (U) si y sólo si para algún sistema de coordenadas
lineales xi —y por tanto para cualquiera—, existen y son continuas
en todo U las funciones D a f, para a = (a1, . . . , an) ∈ N n , y
D a =
∂ |a|
∂a1x1 · · · ∂anxn , |a| = a1 + · · · + an ≤ k.
Nota 1.4 Si E1 es de dimensión n y E2 de m y U y V son sendos abiertos
de E1 y E2, entonces si F : U −→ V es diferenciable, biyectiva y F −1 es
diferenciable, tendremos que n = m.
Esto se sigue fácilmente de la regla de la cadena, pues si A es la matriz
jacobiana de F , en un punto x, y B la de F −1 , en el punto y = F (x),
entonces A·B es la identidad en R m y B·A la identidad en R n , de donde
se sigue que A y B son cuadradas —e inversas—, por tanto n = m.
Definición. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 es un difeomorfismo de
clase k , si F es biyectiva, de clase k y su inversa es de clase k. Diremos
que n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas de clase k
en U si para
F = (ui): U −−→ R n ,
se tiene que F (U) = V es un abierto de R n y F : U −→ V es un difeomorfismo
de clase k. Por difeomorfismo a secas entenderemos de clase
∞. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ E2 es un difeomorfismo local de clase k

1.1. Conceptos básicos 5
en x ∈ U si existe un entorno abierto Ux de x en U tal que F (Ux) = V
es abierto y F : Ux −→ V es un difeomorfismo de clase k. Diremos que
n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas locales de clase
k en x ∈ U si F = (ui): U −→ R n es un difeomorfismo local de clase k
en x.
Nota 1.5 Observemos que si u1, . . . , un ∈ C k (U) son un sistema de coordenadas,
entonces para F = (ui): U −→ R n y F (U) = V abierto de R n
tenemos que, para cada g ∈ C k (V ),
g ◦ F = g(u1, . . . , un) = f ∈ C k (U),
y recíprocamente toda función f ∈ C k (U) es de esta forma.
Si E es de dimensión 1, x es la coordenada lineal correspondiente
al vector e ∈ E y escribimos f en términos de la coordenada lineal x,
f = g(x), entonces
df f(p + te) − f(p) g[x(p) + t] − g[x(p)]
(p) = lím
= lím
= g
dx t→0 t
t→0 t
′ [x(p)],
es decir que si f = g(x) entonces df/dx = g ′ (x).
El siguiente resultado fundamental caracteriza los difeomorfismos locales
en términos del Jacobiano.
Teorema de la función inversa 1.6 Sea F : U ⊂ E1 −→ E2 de clase k
en U. Entonces F es un difeomorfismo local de clase k en x ∈ U si y
sólo si existen sistemas de coordenadas lineales xi en E1 e yi en E2, tales
que para Fi = yi ◦ F
∂Fi
det (x) = 0.
∂xj
Y este otro, también fundamental, nos da una condición para la que
en un sistema de ecuaciones
f1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = a1
· · ·
fn(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = an
podamos despejar las xi en función de las yj, la cual viene a decir en el
caso mas sencillo en el que las fi son lineales, fi(x, y) = aijxj+ bikyk
y por tanto F = (fi) = A · x + B · y, que si det A = 0, podemos despejar
x como función de y, siendo x = A −1 [a − B · y], para a = (ai).

6 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Teorema de la función implícita 1.7 Sean F : U ⊂ E1 × E2 −→ E1 de
clase k, (x0, y0) ∈ U tal que F (x0, y0) = 0 y para un sistema de coordenadas
lineales xi en E1, el determinante de orden n
∂Fi
det (x0, y0) = 0,
∂xj
entonces existe un entorno V de y0 en E2 y una única aplicación x: V −→
E1 de clase k, tal que x(y0) = x0 y para todo y ∈ V
F [x(y), y] = 0.
1.2. El haz de funciones diferenciables
Hemos dicho que los C k (U) tiene una estructura natural de R-álgebra,
es decir tienen suma, producto, y contienen a R en la forma de
las funciones constantes. Pero además, si consideramos la familia de todos
los C k (U) cuando U recorre todos los abiertos de E, se tiene que la
aplicación
U (abierto) −−→ C k (U) (R − álgebra),
es un haz de R–álgebras, es decir satisface las propiedades:
a) Si U ⊂ V son abiertos de E, entonces
f ∈ C k (V ) ⇒ f(= f |U ) ∈ C k (U).
b) Dado un abierto U de E y un recubrimiento suyo por abiertos Ui,
se tiene que si f : U −→ R es tal que f ∈ C k (Ui) para cada i, entonces
f ∈ C k (U).
Otra importante propiedad, que veremos en esta lección, nos dice que
cada función de C k (U) coincide, en un entorno de cada uno de los puntos
de U, con una función de clase k en todo E, que además se anula fuera
de U si queremos. De esto se sigue que para conocer las funciones de
clase k en un abierto de E, nos basta con conocer las funciones de clase
k en E. Esto podría parecer obvio en una ingenua primera observación,

1.2. El haz de funciones diferenciables 7
pues cabría pensar que las funciones de clase k en un abierto U son
simplemente las restricciones a ese abierto de las de clase k en E. Pero
esto no es cierto —considérese la función 1/x en el abierto (0, ∞) ⊂ R—.
Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidas
por restricción, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremos
que son los cocientes de funciones de clase k de E, cuyos denominadores
no se anulen en U. Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma.
Veamos antes la existencia de funciones “badén” en R n .
Proposición 1.8 Sean C un cerrado y K un compacto de E disjuntos.
Entonces existe ϕ ∈ C ∞ (E) tal que ℑ(ϕ) = [0, 1], ϕ(K) = 1, ϕ(C) = 0 y
sop ϕ = {ϕ = 0} ⊂ U = C c .
Demostración. Eligiendo un sistema de coordenadas xi en E, basta
hacer la demostración en Rn , donde consideraremos la norma inducida
por el producto escalar < a, b >= aibi, para a = (ai) y b = (bi).
Consideremos la función de C ∞ (R)
e(t) =
e −1/t si t ≥ 0,
0 si t < 0.
En primer lugar que dado r > 0 y
a ∈ R
Figura 1.1. Gráfica de e
n existe una g ∈ C∞ (Rn ),
e(r
g(x) =
2− x − a 2 )
e(r2− x − a 2 ) + e( x − a 2 −(r/2) 2 ) ,
que es positiva en B(a, r) = {x : x − a < r}, vale 1 en B[a, r/2] =
{x : x − a ≤ r/2}, y 0 fuera de B(a, r).
Ahora para
d(C, K)
r = = (1/2) ínf{ x − y : x ∈ C, y ∈ K},
2
existen, por la compacidad de K, a1, . . . , ak ∈ K tales que
k
K ⊂ B(ai, r/2) , B(ai, r) ⊂ B[ai, r] ⊂ B(ai, 2r) ⊂ U = R n − C.
i=1
Ahora para cada ai, construimos las funciones gi del principio, y definimos
k
ϕ(x) = 1 − [1 − gi(x)],
tal función es la buscada.
i=1

8 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Corolario 1.9 Sea f ∈ C k (U), con U abierto de E. Entonces para todo
x ∈ U existe una función F ∈ C k (E), tal que F = f en un entorno
abierto V ⊂ U de x y
sop(F ) = {F = 0} ⊂ U.
Demostración. Elijamos V y W abiertos tales que
x ∈ V ⊂ K = Adh(V ) ⊂ W ⊂ Adh(W ) ⊂ U,
con K compacto. Apliquemos ahora (1.8) a K y C = E − W y definamos
F = fh.
Es fácil ver que todo abierto U de E es unión expansiva numerable de
compactos con interiores no vacíos (Kn ↑ U), pues eligiendo una norma
cualquiera podemos considerar la sucesión expansiva de compactos (pues
son cerrados y acotados)
Cn = {x ∈ E : x ≤ n, d(x, U c ) ≥ 1/n},
y a partir de un n sus interiores son no vacíos, ya que dado x ∈ U, por ser
abierto existe una bola abierta B(x, 2r) ⊂ U, por lo que d(B(x, r), U c ) ≥
r y B(x, r) ⊂ Cn, para n ≥ x + r, n ≥ 1/r.
En estos términos damos las siguientes definiciones.
Definición. Para cada m ∈ N definimos la seminorma pm en C ∞ (U) de
la forma,
y en C r (U), para r ≥ 0,
pm(f) = sup{| D a f(x) |: x ∈ Km, | a |≤ m},
pm(f) = sup{| D a f(x) |: x ∈ Km, | a |≤ r}.
Decimos que una sucesión fn ∈ C k (U), donde k = 0, 1, . . . , ∞, es de
Cauchy respecto de pm si para cada ɛ > 0 existe N ∈ N tal que
para todo n ∈ N.
pm(fN+n − fN) < ɛ,

1.2. El haz de funciones diferenciables 9
Decimos que una sucesión fn ∈ C k (U) tiene límite si existe f ∈ C k (U)
tal que para toda m ∈ N
lím
n→∞ pm(fn − f) = 0.
Obviamente si el límite existe es único, pues para m = 0 vemos que
tiene que ser el límite puntual de las fn.
Observemos que las pm están ordenadas,
pm ≤ pm+1,
y que podemos definir el sistema fundamental de entornos convexos del
0 ∈ C k (U)
Bm = {f ∈ C k (U) : pm(f) ≤ 1/m}
y que estos definen una topología en C k (U) independiente de los Kn
elegidos!.
Teorema 1.10 Si la sucesión fn ∈ C k (U) es de Cauchy para toda pm,
entonces tiene límite, f = lím fn ∈ C k (U), que para cualquier base {ei}
de E y cada a ∈ N n , con | a |≤ k, verifica
D a (lím fn) = lím(D a fn).
Además dada f ∈ C k (U) existe una sucesión de polinomios gn de E
tales que restringidos a U, lím gn = f.
Demostración. Veremos el caso k = ∞ para E = R n , los demás se
siguen haciendo las oportunas modificaciones.
En primer lugar veamos que para todo a ∈ N n , existe el límite puntual
ga(x) = lím(D a fk(x)),
y que ga es una función continua en R n .
Sea m ≥ |a|, entonces en el compacto Km se tiene
(1.1) | D a fN+k − D a fN |≤ pm[fN+k − fN ]
de donde se sigue que D a fk converge uniformemente en cada compacto
Km, para m ≥ |a|, a una función continua ga. En particular para a =
(0, . . . , 0), tendremos que
es una función continua.
f(x) = lím fk(x),

10 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Veamos por inducción en |a|, que D a f = ga.
Para |a| = 0 es obvio. Supongamos entonces que |a| ≥ 1 y que a1 ≥ 1,
donde a = (a1, . . . , an). Entonces, por la hipótesis de inducción, tendremos
que D b f = gb para b = (a1 − 1, a2, . . . , an). Y como
D a = ∂
◦ D
∂x1
b ,
bastará demostrar que
∂gb
= ga.
∂x1
Sean (t1, . . . , tn) ∈ U, t ∈ R y m ∈ N, tal que para λ ∈ [0, 1] se tenga
entonces
t
t1
Ahora bien
t
t1
(λt1 + (1 − λ)t, t2, . . . , tn) ∈ Km,
D a fk(x, t2, . . . , tn)dx →
t
t1
ga(x, t2, . . . , tn)dx.
D a fk(x, t2, . . . , tn)dx = D b fk(t, t2, . . . , tn) − D b fk(t1, . . . , tn),
por tanto haciendo k → ∞, tendremos que
t
t1
ga(x, t2, . . . , tn)dx = gb(t, t2, . . . , tn) − gb(t1, . . . , tn),
lo cual implica que ∂gb/∂x1 = ga.
Tenemos entonces que para cada a ∈ N n ,
D a fk → D a f,
uniformemente en cada compacto Km, para m ≥| a |. De aquí se sigue
que
pm(fk − f) → 0,
y f = lím fk. Pero además pm(D a fk − D a f) → 0 por tanto
D a f = lím(D a fk).
Veamos ahora que los polinomios son densos.

1.2. El haz de funciones diferenciables 11
Dada f ∈ C ∞ (U) y N ∈ N tendremos, por el Teorema de Weierstrass,
que para a = (N, . . . , N) ∈ N n existe una sucesión de polinomios que
convergen uniformemente a D a f en KN . Integrando —y aplicando de
nuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva— tendremos
que existe una sucesión de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi) ∈
N n , con bi ≤ N, las sucesiones D b rN,n convergen uniformemente en KN
a D b f. Ahora elegimos gN como cualquier polinomio rN,n, tal que para
toda b, con bi ≤ N
| D b rN,n − D b f |≤ 1
N ,
en KN. Esta sucesión de polinomios gN satisface lím gN = f, pues para
j ≤ N, Kj ⊂ KN y como bi ≤ Σbi =| b |, se tiene
(1.2)
pj(gN − f) ≤ sup{| D b gN − D b f |: x ∈ Kj, | b |≤ j}
≤ sup{| D b gN − D b f |: x ∈ KN , bi ≤ N} ≤ 1
N .
Ejercicio 1.2.1 Demostrar que con esta topología la suma y el producto de
C k (U) son operaciones continuas.
El teorema anterior se expresa diciendo:
Teorema 1.11 Las pm definen en C k (U) una topología localmente convexa,
respecto de la que dicho espacio es completo y los polinomios son
densos.
Teorema 1.12 Para cada abierto U de E y para k = 0, 1, . . . , ∞, se tiene
que
C k
g
(U) = {
h |U
: g, h ∈ C k (E), h = 0 en U}.
Demostración. Sea {Bn : n ∈ N} un recubrimiento de U formado
por bolas abiertas cuyas adherencias estén en U. Y consideremos para
cada n ∈ N una función gn ∈ C ∞ (E) —como la definida en (1.8)—,
positiva en Bn y nula en su complementario.
Sea f ∈ C k (U), entonces fgn ∈ C k (E) y
g = 2 −n
fgn
1 + rn + sn
∈ C k (E), h = 2 −n gn
∈ C
1 + rn + sn
∞ (E),
donde rn = pn(fgn) y sn = pn(gn). Para verlo basta observar, por el
teorema anterior, que ambas series son de Cauchy para toda pm. Por

12 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
último es obvio que h = 0 en U y que para cada x ∈ U, g(x) = h(x)f(x),
es decir que g = hf.
Nota 1.13 Observemos que en el resultado anterior h = 0 en U y h = 0
en U c , por lo que todo cerrado de E es de la forma
para una h ∈ C ∞ (E).
{x ∈ E : h(x) = 0},
Definición. Podemos decir en base a estos resultados que la estructura
C k –diferenciable de E, que está definida por todas las R–álgebras C k (U),
cuando U recorre los abiertos de E, queda determinada exclusivamente
por C k (E) y los abiertos de E. Y podemos entender la variedad C k –
diferenciable E, como el par formado por el espacio topológico E y por
C k (E).
1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente
A lo largo de la lección E ó E1 serán espacios vectoriales reales de
dimensión n y E2 de dimensión m.
En la lección 1 hemos visto que cada vector v ∈ E define en cada
punto p ∈ E una derivada direccional vp de la forma siguiente
vp : C ∞ (E) −−→ R, vp(f) = lím
t→0
f(p + tv) − f(p)
,
t
Es fácil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satisface
la regla de Leibnitz del producto. Esto nos induce a dar la siguiente
definición.
Definición. Llamaremos vector tangente en un punto p ∈ E, a toda
derivación
Dp : C ∞ (E) −−→ R,
es decir a toda función que verifique las siguientes propiedades:

1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 13
a) Linealidad.- Dp(tf + sg) = tDpf + sDpg.
b) Anulación constantes.- Dpt = 0.
c) Regla de Leibnitz en p.- Dp(fg) = f(p)Dpg + g(p)Dpf,
para cualesquiera t, s ∈ R y f, g ∈ C ∞ (E).
Este concepto nos permite definir, en cada punto p ∈ E, un espacio
vectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferenciable
de E.
Definición. Llamaremos espacio tangente a E en p, al espacio vectorial
real Tp(E) de las derivaciones en p, con las operaciones
(Dp + Ep)f = Dpf + Epf
(tDp)f = t(Dpf),
para Dp, Ep ∈ Tp(E), f ∈ C ∞ (E) y t ∈ R.
Definición. Dado un sistema de coordenadas lineales xi, correspondiente
a una base {ei} en E, consideramos para cada p ∈ E e i = 1, . . . , n, los
elementos de Tp(E)
∂
∂xi
p
: C ∞ (E) −−→ R,
∂
∂xi
f = lím
t→0
p
f(p + tei) − f(p)
.
t
Si no hay confusión usaremos la notación ∂ip = (∂/∂xi)p.
Fórmula de Taylor 1.14 Sea U ⊂ E un abierto convexo, a ∈ U y xi ∈
C ∞ (U) un sistema de coordenadas lineales. Entonces:
a) ma = {f ∈ C ∞ (U) : f(a) = 0} es un ideal maximal real generado
por x1 − a1, . . . , xn − an, donde ai = xi(a).
b) Dada f ∈ C ∞ (U), existen h1, . . . , hn ∈ C ∞ (U) tales que
f = f(a) +
n
hi(xi − ai).
i=1
Demostración. (a) Consideremos el morfismo de R–álgebras
H : C ∞ (U) −−→ R , H(f) = f(a),
para el que ker H = ma e Im H = R, por tanto C ∞ (U)/ma R.

14 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Dadas f1, . . . , fn ∈ C ∞ (U) es obvio que fi(xi−ai) ∈ ma y tenemos
una inclusión, veamos la otra, que ma ⊂ (x1 − a1, . . . , xn − an). Para
ello sea f(x1, . . . , xn) ∈ ma, x ∈ U y definamos la función diferenciable
donde
g : [0, 1] −−→ R , g(t) = f[tx + (1 − t)a].
Ahora por la regla de la cadena
1
f(x) = g(1) − g(0) = g
0
′ (t)dt
1 n
∂f
=
[tx + (1 − t)a] (xi − ai) dt
0 ∂xi
i=1
n
= hi(x)(xi − ai),
hi(x) =
i=1
1
0
∂f
[tx + (1 − t)a] dt ∈ C
∂xi
∞ (U).
Proposición 1.15 Las derivaciones (∂/∂xi)a definidas anteriormente son
base de Ta(E).
Demostración. Que son independientes es una simple consecuencia
de que ∂xi/∂xj = δij. Veamos que son generadores, para ello sea Da ∈
Ta(E) y f ∈ C ∞ (E), entonces f − f(a) ∈ ma y por (1.14)
f = f(a) +
donde a = (ai). Se sigue que
∂
∂xj
a
f =
Daf =
es decir Da = [Daxi]∂ia.
i=1
n
hi(xi − ai),
i=1
n
hi(a) ∂Xi
(a) = hj(a),
∂xj
n
n
hi(a)Daxi = [Daxi]∂iaf,
i=1
i=1

1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 15
Nota 1.16 Observemos que al ser E un espacio vectorial tenemos una
identificación canónica entre todos los espacios tangentes, pues todos son
isomorfos a E de la siguiente forma, para cada a ∈ E
E −−→ Ta(E) , v va,
siendo vaf la derivada direccional de f relativa a v en a.
Además si elegimos un sistema de coordenadas lineales xi en E, correspondientes
a la base ei, tendremos que en términos de las bases ei
y ∂ia la aplicación anterior se representa por la matriz identidad, pues
para cada i,
E −−→ Ta(E) , ei ∂ia.
Nota 1.17 El espacio vectorial Ta(E) podíamos haberlo definido como
el espacio vectorial de las derivaciones
(1.3) Da : C ∞ (U) −−→ R,
con la regla de Leibnitz en a, siendo U un abierto entorno de a. Pues
dada una derivación del tipo (1.3), tendremos por restricción a U una
derivación de Ta(E). Y recíprocamente dada una derivación de Ta(E),
como es de la forma ti∂ia —fijado un sistema de coordenadas lineales
xi—, define una única derivación del tipo (1.3).
Es fácil probar que ambas transformaciones son lineales e inversas,
es decir que es un isomorfismo. Para verlo basta usar (1.9) y que Daf
no cambia si cambiamos F fuera de un entorno de a.
Por otra parte, para r ≥ 1, toda derivación con la regla de Leibnitz
en a
(1.4) Da : C r (U) −−→ R,
define una derivación de Ta(E), pues C ∞ (U) ⊂ C r (U). Y recíprocamente,
toda derivación (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede hacerse
pues según vimos antes, toda derivación (1.3) es de la forma ti∂ia que
está definido en las funciones de clase 1.
Sin embargo estas dos transformaciones no son inversas, pues en el
segundo caso no extendemos de modo único. Es decir que las derivaciones
de C r (U) en el punto a forman un espacio vectorial con demasiados elementos.
Pero si sólo consideramos las continuas respecto de la topología
definida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo a Ta(E).
Para r = ∞ tenemos la suerte de que toda derivación es automáticamente
continua respecto de la topología de (1.10), pues es de la forma

16 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
ti∂ia y estas se extienden a una derivación Da en C r (E) de forma
continua de un único modo, a saber ti∂ia, pues los polinomios son
densos y sobre ellos Da = ti∂ia.
Finalicemos analizando si existirán derivaciones en a ∈ E sobre las
funciones continuas
Da : C(E) −−→ R.
La contestación es que no, pues si f ∈ C(E) y f(a) = 0 —en caso
contrario pondríamos f − f(a)—, tendremos que existen funciones
continuas
g = máx(f, 0), h = máx(−f, 0) ∈ C(E),
tales que f = g 2 − h 2 y g(a) = h(a) = 0. Por tanto
Daf = 2[g(a)Dag − h(a)Dah] = 0.
Definición. Sean U ⊂ E1, V ⊂ E2
abiertos y F : U −→ V de clase 1.
Llamaremos aplicación lineal tangente
de F en x ∈ U a la aplicación
F∗ : Tx(E1) −−→ T F (x)(E2),
tal que para cada Dx ∈ Tx(E1),
F∗(Dx) = Dx ◦ F ∗ , es decir que para
cada f ∈ C ∞ (V ) se satisface
[F∗Dx]f = Dx(f ◦ F ).
x
Dx
Figura 1.2.
F(C )
F(x) F (D )
* x
F(C )
Ejercicio 1.3.1 Demostrar las siguientes propiedades de la aplicación lineal
tangente:
a) Si V = U y F = id, entonces para cada x ∈ E, F∗ = id.
b) Regla de la cadena.- Si F : U −→ V y G : V −→ W son diferenciables,
siendoU ⊂ E1, V ⊂ E2 y W ⊂ E3 abiertos, entonces
(G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗.
c) Elegir sistemas de coordenadas lineales en cada espacio vectorial Ei y
escribir la igualdad anterior en la forma matricial asociada.
Teorema de la función inversa 1.18 Una aplicación F : U ⊂ E1 −→ E2,
de clase k es un difeomorfismo local de clase k en un punto x ∈ U si y
sólo si F∗ : Tx(E1) −→ T F (x)(E2) es un isomorfismo en x.

1.4. Campos tangentes 17
Demostración. Es consecuencia de (1.6) y de la expresión matricial
de F∗.
Definición. Llamaremos fibrado tangente del abierto U de E, a la unión
T (U) de todos los espacios Ta(E), para a ∈ U, con la estructura topológica
y diferenciable definida por la siguiente biyección canónica
T (U) −−→ U × E, va (a, v),
donde va ∈ Ta(E) es la derivada direccional en a relativa al vector v ∈ E.
Llamaremos aplicación proyección canónica en U a la aplicación
si vp ∈ Tp(E).
π : T (U) −−→ U , π(vp) = p,
1.4. Campos tangentes
1.4.1. Campos tangentes
Definición. Por un campo de vectores en un abierto U de un espacio
vectorial E entenderemos una aplicación
F : U −−→ E.
Diremos que el campo es de clase k si F es de clase k.
La interpretación de una aplicación
F como un campo de vectores
queda patente en la figura (1.3),
donde hemos representado en cada
punto (x, y) del plano real el vector
F (x, y) = (cos xy, sen (x − y)). Aunque
esta definición es muy visual y
sugerente, tiene el problema de no
ser muy manejable y la desventaja de
necesitar la estructura vectorial de E
Figura 1.3. Campo de vectores

18 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
para que tenga sentido. Por ello recordando que un vector v = F (p) ∈ E
en un punto p ∈ U define una derivación vp ∈ Tp(E), damos la siguiente
definición equivalente, aunque sólo como justificación para una posterior
definición mejor.
Definición. Llamaremos campo de vectores tangentes, de clase k, en U,
a un conjunto de vectores
{Dp ∈ Tp(E) : p ∈ U},
que satisfacen la siguiente condición:
Para cada f ∈ C ∞ (U), la función
p ∈ U −−→ Dpf ∈ R,
está en C k (U).
Observemos que dar un campo de vectores tangentes {Dp}p∈U es
equivalente a dar una sección de π : T (U) −→ U
σ : U −−→ T (U), σ(p) = Dp.
Ejercicio 1.4.1 (a) Demostrar que existe una biyección entre campos de vectores
F : U −→ E de clase k y campos de vectores tangentes {Dp ∈ Tp(E) :
p ∈ U} de clase k, que verifica:
(i) Si a F le corresponde {Dp} y a G {Ep}, entonces a F +G le corresponde
{Dp + Ep}.
(ii) Si a F le corresponde {Dp} y f ∈ C k (U), entonces a fF le corresponde
{f(p)Dp}.
(b) Demostrar que {Dp ∈ Tp(E) : p ∈ U} es un campo de vectores
tangentes de clase k si y sólo si la aplicación σ : U −→ T (U), σ(p) = Dp es
una sección de π, de clase k.
Definición. Llamaremos campo tangente de clase k en el abierto U de
E a toda derivación
D : C ∞ (U) −−→ C k (U),
es decir toda aplicación que verifique las siguientes condiciones:
1.- D(tf + rg) = tDf + rDg,
2.- Dt = 0,
3.- Regla de Leibnitz: D(fg) = f(Dg) + g(Df),
para f, g ∈ C ∞ (U) y t, r ∈ R.

1.4. Campos tangentes 19
Definición. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integral
primera de D a toda función f ∈ C k+1 (U) tal que
Df = 0.
Nota 1.19 Denotaremos con Dk(U) el conjunto de los campos tangentes
a U de clase k, y por comodidad para k = ∞ escribiremos D(U) =
D∞(U). Observemos que tenemos las inclusiones
D(U) ⊂ Dk(U) ⊂ D0(U),
por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los mas
generales. No obstante en el siguiente tema introduciremos los campos
localmente lipchicianos, que denotaremos con DL(U) y que están entre
los de clase 1 y los continuos y que serán los que consideremos para
estudiar el problema de unicidad de solución de una ecuación diferencial.
En Dk(U) definimos la suma de dos campos D, E ∈ Dk(U) y el
producto de una función g ∈ C k (U) por un campo D, de la forma,
(D + E)f = Df + Ef,
(gD)f = g(Df),
para toda f ∈ C ∞ (U). Tales operaciones dotan a Dk(U) de una estructura
de módulo sobre la R–álgebra C k (U), pues se tienen las siguientes
propiedades,
f(D + E) = fD + fE,
(f + g)D = fD + gD,
(fg)D = f(gD),
1D = D.
y para cada k, Dk(U) forman un haz de módulos.
A continuación veremos que dar un campo tangente de clase k en U
consiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangente
en cada punto de U.
Proposición 1.20 Existe una biyección entre campos tangentes de clase
k y campos de vectores tangentes de clase k, para la que se tiene:
a) Si D, E ∈ Dk(U) y p ∈ U, entonces (D + E)p = Dp + Ep.
b) Si f ∈ C k (U), entonces (fD)p = f(p)Dp.

20 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Demostración. Dada la D definimos los Dp de la forma.
Dpf = Df(p).
Recíprocamente dado un vector Dp ∈ Tp(E), en cada p ∈ U, definimos
el campo tangente D ∈ Dk(U) de la forma
Df(p) = Dpf.
Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E, es fácil demostrar
que los operadores diferenciales
∂
: C ∞ (U) −−→ C ∞ (U),
∂xi
∂f f(p + tei) − f(p)
(p) = lím
,
∂xi t→0 t
para cada p ∈ U y cada f ∈ C ∞ (U), son derivaciones ∂/∂xi ∈ D(U).
Si no hay confusión usaremos la notación ∂i = ∂/∂xi.
A continuación veremos que Dk(U) es un módulo libre sobre C k (U)
con base las ∂i.
Teorema 1.21 Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y D ∈
Dk(U), existen únicas funciones fi ∈ C k (U) tales que
D =
n
i=1
fi
∂
,
∂xi
Demostración.- Que la expresión es única es inmediato aplicándosela
a las xi. Para ver que existe basta demostrar que D = (Dxi)∂i,
pues Dxi ∈ C k (U). Lo cual es una consecuencia inmediata de (1.15) y
(1.20).
Definición. Dados U ⊂ W abiertos de E y D ∈ Dk(W ), definimos la
restricción del campoD a U, como el campo de D(U), correspondiente
por (1.20) a
{Dp ∈ Tp(E) : p ∈ U},
o equivalentemente por el ejercicio (1.2.1), a la restricción a U de la
aplicación de clase k, F : W → E, correspondiente a D.

1.4. Campos tangentes 21
Es fácil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales en
E, entonces la restricción del campo
n ∂
D = Dxi ,
∂xi
a U es la derivación
i=1
n
i=1
fi
∂
,
∂xi
para fi = Dxi|U , la restricción a U de Dxi.
Nota 1.22 Obsérvese que toda derivación de Dk(U) es automáticamente
continua, por (1.21), respecto de la topología definida en (1.10).
Obsérvese también que toda derivación
(1.5) D : C k+1 (U) −−→ C k (U),
define una derivación de Dk(U), pues C ∞ (U) ⊂ C k+1 (U), es decir del
tipo fi∂i —dado un sistema de coordenadas lineales xi—, con las fi
de clase k. Recíprocamente toda derivación fi∂i ∈ Dk(U), con las
fi ∈ C ∞ (U), se extiende —no de un único modo—, a una derivación
del tipo (1.5). Ahora bien si exigimos que la extensión sea continua —
respecto de la topología definida en (1.10)—, tendremos que sí es única
y es fi∂i. Demuéstrese eso como ejercicio.
Definición. Dada F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 de clase k + 1, y dos campos
tangentes D ∈ Dk(V ) y E ∈ Dk(U) diremos que F lleva D a E, si para
cada x ∈ V
F∗Dx = E F (x).
Figura 1.4. F lleva el campo D al campo E

22 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Si E1 = E2, U ∪ V ⊂ W abierto y D ∈ Dk(W ) diremos que F deja
invariante a D si F lleva D en D, es decir si para cada x ∈ V
F∗Dx = D F (x).
Proposición 1.23 Sea F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2, de clase k + 1, D ∈ Dk(U)
y E ∈ Dk(V ). Entonces son equivalentes:
i) F lleva D en E.
ii) F∗D = F ∗ E.
iii) D ◦ F ∗ = F ∗ ◦ E.
Demostración. Hágase como ejercicio.
1.4.2. Campo tangente a soporte.
Consideremos una aplicación diferenciable (de clase ∞)
F : V ⊂ E2 −−→ U ⊂ E1.
Definición. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativo
a F , de clase k, a las derivaciones
con la regla de Leibnitz
D F : C ∞ (U) −−→ C k (V ),
D F (fg) = D F f · F ∗ g + F ∗ f · D F g.
Denotaremos con D F k (U) el Ck (V )–módulo de estos campos con las
operaciones
(D F + E F )f = D F f + E F f, (g · D F )f = g · D F f.
Nota 1.24 Si F es de clase r, podemos definir los campos a soporte de
clase k ≤ r como las derivaciones
D F : C ∞ (U) → C k (V ).
Definición. Dada la aplicación F de clase ∞, definimos los morfismos
de módulos
F∗ : D(V ) −−→ D F (U) , (F∗D)f = D(F ∗ f),
F ∗ : D(U) −−→ D F (U) , (F ∗ D)f = F ∗ (Df),

1.4. Campos tangentes 23
Nota 1.25 Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los campos
de clase r ≤ k.
Ejercicio 1.4.2 Demostrar que entre los conjuntos de vectores
{D F p ∈ TF (p)(E1) : p ∈ V },
con la propiedad de que para cada f ∈ C ∞ (U), la función
p ∈ V −−→ D F p f ∈ R,
está en C ∞ (V ) y el espacio D F (U), existe una biyección verificando las siguientes
condiciones:
i) Si D F , E F ∈ D F (U), entonces para cada p ∈ V
(D F + E F )p = D F p + E F p .
ii) Si f ∈ C ∞ (V ), entonces para cada p ∈ V
(f · D F )p = f(p) · D F p .
Ejercicio 1.4.3 Sea F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1, diferenciable. Demostrar que
(i) Para cada D ∈ D(V ) y p ∈ V
(F∗D)p = F∗Dp.
(ii) Para cada campo D ∈ D(U) y p ∈ V
[F ∗ D]p = DF (p),
y que D F (U) es un módulo libre con base
F ∗
∂
,
∂xi
para cada sistema de coordenadas lineales xi en U.
(iii) Que {D F p ∈ TF (p)(E1) : p ∈ V }, satisface las condiciones de (a) —y
por tanto define un campo a soporte D F ∈ D F (U)— si y sólo si
σ : V −−→ T (U) , σ(p) = D F p ,
es una aplicación de clase ∞, tal que π ◦ σ = F .

24 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
1.4.3. Campo a soporte universal.
Consideremos en E un sistema de coordenadas lineales xi y en U × E
las coordenadas (xi, zi) naturales, es decir
xi(p, v) = xi(p) , zi(p, v) = xi(v),
ahora pasémoslas a T (U) por la biyección
T (U) → U × E,
vp → (p, v),
xi(vp) = xi(p),
zi(vp) = xi(v) = vpxi,
Es decir que vp ∈ T (U) tiene coordenadas (p1, . . . , pn, v1, . . . , vn) si
y sólo si p = π(vp) tiene coordenadas (p1, . . . , pn) y
vp =
n
i=1
vi
∂
Definición. Llamaremos campo a soporte universal en U al campo tangente
a U con soporte en T (U), E ∈ D π (U), que por el ejercicio (1.4.3)
queda determinado por la aplicación identidad
∂xi
σ : T (U) −−→ T (U) , σ(Dp) = Dp,
es decir que para cada v ∈ T (U) verifica
Ev = v.
Además en las coordenadas (xi, zi) de T (U), vemos por el ejercicio
(1.4.3), que
n
E =
pues para cada Dp ∈ T (U)
i=1
p
∗ ∂
zi · π ,
∂xi
Exi(Dp) = Dp(xi) = zi(Dp).

1.5. Espacio cotangente. La diferencial 25
1.5. Espacio cotangente. La diferencial
Definición. Para cada x ∈ E denotaremos con T ∗ x (E) el espacio vectorial
dual de Tx(E), es decir el espacio vectorial real de las formas R–lineales
(ó 1–formas)
ωx : Tx(E) −−→ R,
al que llamaremos espacio cotangente de E en x y vectores cotangentes a
sus elementos.
Definición. Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 de clase 1 y dados x ∈ U e
y = F (x), llamaremos aplicación lineal cotangente de F en x a
F ∗ : Ty(E2) −−→ Tx(E1),
la aplicación dual de F∗ : Tx(E1) → Ty(E2). Es decir tal que
F ∗ (ωy) = ωy ◦ F∗.
Definición. Dado un punto x ∈ E, llamaremos diferencial en x, a la
aplicación
dx : C 1 (E) −−→ T ∗ x (E),
tal que para cada f ∈ C 1 (E) y para cada Dx ∈ Tx(E)
dxf : Tx(E) −−→ R, dxf(Dx) = Dxf.
A la 1–forma dxf la llamamos diferencial de f en x.
Ejercicio 1.5.1 Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2, de clase 1, demostrar las siguientes
propiedades de F ∗ :
(a) Si U = V y F = id, entonces F ∗ = id.
(b) Si F : U → V y G: V → W , son de clase 1, con U ⊂ E1, V ⊂ E2 y
W ⊂ E3 abiertos, entonces
(G ◦ F ) ∗ = F ∗ ◦ G ∗ .
(c) Si F es un difeomorfismo, entonces F ∗ es un isomorfismo.
(d) Para x ∈ U e y = F (x), F ∗ ◦ dy = dx ◦ F ∗ .
Ejercicio 1.5.2 Demostrar que dx es una derivación en x.

26 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Hemos visto en (1.15), que para cada sistema de coordenadas lineales
xi de E, las derivaciones (∂ix) son base de Tx(E). Se sigue por tanto de
la definición de diferencial, que las dxx1, . . . , dxxn son la base dual en
T ∗ x (E), puesto que
∂
dxxi = δij,
∂xj x
además el isomorfismo canónico E −→ Tx(E), induce otro que es la restricción
de dx a E ∗
E ∗ −−→ T ∗ x (E) , xi dxxi.
1.5.1. Interpretación geométrica de la diferencial.
Veamos ahora el significado geométrico de dxf, para cada x ∈ E y
cada f ∈ C1 (E). Se tiene que por el isomorfismo anterior
n
n
∂f
∂f
(1.6)
(x) xi −−→ dxf = (x) dxxi.
∂xi
∂xi
i=1
cuya gráfica es el hiperplano tangente a la gráfica de f en el punto x. En
particular en R tenemos que para f : R → R, dxf : Tx(R) → R y en R 2 ,
f : R 2 → R, dxf : Tx(R 2 ) → R,
i=1
Figura 1.5. Gráficas de f y dxf en R
Figura 1.6. Gráficas de f y dxf en R 2

1.5. Espacio cotangente. La diferencial 27
Ejercicio 1.5.3 Demostrar que para p ∈ U y dpf = 0, el hiperplano (ver
Fig.1.7)
H = {Dp ∈ Tp(E) : dpf(Dp) = 0},
es tangente a la hipersuperficie S = {x : f(x) = f(p)}, en el sentido de que
coincide con el conjunto de vectores Dp ∈ Tp(E), para los que existe una curva
X : I → U tal que
∂
X(0) = p, X(t) ∈ S, X∗ = Dp.
∂t 0
Ejercicio 1.5.4 Dar la ecuación del plano tangente al elipsoide
en el punto (1, 1, 1).
4x 2 + y 2 + 5z 2 = 10,
Figura 1.7. Plano tangente a una superficie
1.5.2. Fibrado cotangente.
Igual que todos los espacios tangentes eran canónicamente isomorfos
al espacio vectorial inicial E, también todos los espacios cotangentes son
canónicamente isomorfos al dual E ∗ de E. Esto nos permite definir una
biyección canónica
T ∗ (U) −−→ U × E ∗ , ωp (p, w),
donde T ∗ (U) es la unión disjunta de los espacios cotangentes de puntos
de U.
Definición. Sea U un abierto de E. Llamaremos fibrado cotangente de U,
al conjunto T ∗ (U) unión de todos los espacios cotangentes T ∗ x (E), para
x ∈ U, dotado de la estructura diferenciable natural, correspondiente
por la biyección anterior, a la de U × E ∗ , que es un abierto del espacio
vectorial de dimensión 2n, E × E ∗ .

28 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Para cada ω ∈ T ∗ (U) existirá un único x ∈ U tal que ω ∈ T ∗ x (E),
podemos así definir la aplicación proyección
π : T ∗ (U) −−→ U,
tal que π(ω) = x. De tal modo que las fibras de cada x ∈ U son
1.6. Uno formas
π −1 (x) = T ∗ x (E).
Definición. Para cada abierto U ⊂ E, denotaremos con Ω(U) el dual
de D(U) respecto de C ∞ (U), y en general con Ωk(U) el dual del módulo
de los campos tangentes Dk(U) respecto de C k (U), es decir de las
aplicaciones C k (U)–lineales
ω : Dk(U) −−→ C k (U),
que llamaremos 1–formas en U, dotadas de las operaciones de C k (U)–
módulo,
(ω1 + ω2)D = ω1D + ω2D, (fω)D = f(ωD),
y para cada k, Ωk(U) forman un haz de módulos.
Definición. Llamaremos diferencial a la aplicación
d: C k+1 (U) −−→ Ωk(U) , df(D) = Df,
para cada f ∈ C k+1 (U) y D ∈ Dk(U) (ver (1.22).)
Definición. Diremos que una 1–forma ω ∈ Ωk(U) es exacta si existe
f ∈ C k+1 (U) tal que
ω = df.
Nota 1.26 Observemos que si ω ∈ Ω(U) es incidente con un campo
D ∈ D(U), i.e. ωD = 0 y es exacta ω = df, entonces f es una integral
primera de D, pues
Df = df(D) = ωD = 0.

1.6. Uno formas 29
Ejercicio 1.6.1 Demostrar que la diferencial es una derivación.
Ejercicio 1.6.2 Demostrar que Ωk(U) es un C k (U)–módulo libre con base dxi,
para cada sistema de coordenadas lineales xi, y que para toda f ∈ C k+1 (U)
df = ∂f
dxi.
∂xi
Nota 1.27 Observemos que para una variable, la fórmula anterior dice
df = df
dx dx.
Esto permite entender el sentido que puede tener la cancelación de diferenciales.
Nota 1.28 Debemos observar que en R n aunque la noción de dx1 tiene
sentido, pues x1 es una función diferenciable, la de ∂/∂x1 no lo tiene,
pues para estar definida necesitamos dar a la vez todas las funciones
coordenadas x1, . . . , xn.
Para verlo consideremos en R 2 las coordenadas (x, y) y otras coordenadas
(x, x + y). En cada caso la ∂/∂x tiene un significado distinto, pues
mientras en el primero ∂(x + y)/∂x = 1, en el segundo ∂(x + y)/∂x = 0.
Definición. Llamaremos campo de vectores cotangentes de clase k en U
a toda colección
{ωx ∈ T ∗ x (E) : x ∈ U},
para la que, dado D ∈ Dk(U) y sus vectores correspondientes Dx, la
aplicación
x ∈ U −−→ ωxDx ∈ R,
es de clase k.
Ejercicio 1.6.3 1.- Demostrar que en un espacio vectorial E, el concepto campo
de vectores cotangentes de clase k en el abierto U es equivalente al de aplicación
de clase k, F : U → E ∗ .
2.- Demostrar que existe una biyección entre las 1–formas ω ∈ Ωk(U) y los
campos de vectores cotangentes en U de clase k, para la que se tiene:
(ω1 + ω2)x = ω1x + ω2x,
(fω)x = f(x)ωx,
(df)x = dxf
para ω, ω1, ω2 ∈ Ωk(U), x ∈ U y f ∈ C k (U).

30 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Ejercicio 1.6.4 Demostrar que ω ∈ Ω(U) si y sólo si σ : p ∈ U → ωp ∈ T ∗ (U)
es una sección de π.
Teorema 1.29 El fibrado cotangente tiene una 1–forma canónica λ llamada
uno–forma de Liouville.
Demostración. Para cada p ∈ U y ω ∈ T ∗ p (E) definimos λw = π ∗ ω,
es decir que para cada Dw ∈ Tw[T ∗ (U)],
λwDw = ω[π∗Dw].
Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y sus duales zi en E ∗ ,
consideremos el sistema de coordenadas (xi, zi) en T ∗ (U) U ×E ∗ , para
las que, si ωp se corresponde con (p, ω), entonces
xi(ωp) = xi(p), zi(ωp) = zi(ω) = ωp(∂ip),
y en este sistema de coordenadas se tiene que
λ =
lo que prueba su diferenciabilidad.
n
zidxi,
i=1
Ahora veremos una propiedad característica de las funciones y de las
1–formas, pero de la que los campos tangentes carecen.
Teorema 1.30 Sea F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2, de clase k + 1. Entonces para
cada γ ∈ Ωk(V ) existe ω = F ∗ (γ) ∈ Ωk(U), definida en cada x ∈ U de
la forma
ωx = F ∗ γ F (x).
Además F ∗ : Ωk(V ) → Ωk(U) es un morfismo de módulos, que conserva
la diferencial. Es decir tiene las siguientes propiedades, para g ∈ C k (V )
y γi ∈ Ωk(V ):
F ∗ (γ1 + γ2) = F ∗ γ1 + F ∗ γ2,
F ∗ [gγ] = [F ∗ g][F ∗ γ],
F ∗ (dg) = d(F ∗ g).

1.6. Uno formas 31
Demostración. Dado un sistema de coordenadas lineales yi en E2,
existen gi ∈ C k (V ) tales que
γ = gjdyj,
entonces si llamamos Fj = yj ◦ F , tendremos que para cada x ∈ U
ωx = F ∗ [γ F (x)] = gj[F (x)]F ∗ (d F (x)yj)
= gj[F (x)]dxFj,
y si consideramos un campo de vectores tangentes Dx, correspondientes
a un campo D ∈ D(U), la función que a cada x ∈ U le hace corresponder
ωxDx = gj[F (x)]DFj(x),
es diferenciable. El resto lo dejamos como ejercicio para el lector.
1.6.1. Campos gradiente.
Por último si en un espacio vectorial
E tenemos un producto interior
< ·, · >, entonces E y E ∗ se identifican
canónicamente por el isomorfismo
E −−→ E ∗ , v < v, · > .
Figura 1.8. Gradiente de x2 + y2 y en todos los espacios tangentes
Tp(E) tenemos definido un producto
interior, pues todos son canónicamente
isomorfos a E. Esto nos permite
identificar Tp(E) y T ∗ p (E), para cada p ∈ E, mediante el isomorfismo
(1.7) Tp(E) −−→ T ∗ p (E), Dp < Dp, · >,
y también nos permite definir para cada dos campos D, E ∈ Dk(U), la
función < D, E >= D · E, que en cada x vale < Dx, Ex >= Dx · Ex, la
cual es de clase k, pues si en E elegimos una base ortonormal ei, entonces
la base dual xi también es ortonormal y por tanto también lo son las
bases
∂
∈ Tx(E), dxxi ∈ T
∂xi
∗ x (E)),
x

32 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
y se tiene que para D = fi∂xi, E = gi∂xi,
< D, E >= D · E =
n
figi.
i=1
Por tanto podemos definir el isomorfismo de módulos
γ : Dk(U) → Ωk(U),
D γD,
γD(E) = D · E.
Definición. Dado en E un producto interior, llamaremos gradiente de
una función f ∈ C k+1 (U), al campo grad f = D ∈ Dk(U) tal que
γD = df,
es decir el campo D que en cada punto p ∈ U define el vector Dp correspondiente
por (1.7) a dpf.
Ejercicio 1.6.5 Consideremos un producto interior en E, una base ortonormal
ei y el sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a esta base.
Demostrar que:
1.- Para toda f ∈ C k+1 (U)
grad f = ∂f ∂
∈ Dk(U).
∂xi ∂xi
2.- Demostrar que el campo D = grad f, es un campo perpendicular a las
superficies de nivel de f. (Ver Fig.1.8)
3.- Demostrar que si U ⊂ R 2 , entonces el campo grad f define en cada
punto x el vector Dx el cual indica la dirección y sentido de máxima pendiente
de la gráfica de f en el punto (x, f(x)).
1.7. Sistemas de coordenadas
Proposición 1.31 Las funciones v1, . . . , vn ∈ C k (U) son un sistema de
coordenadas locales de clase k en x ∈ U si y sólo si las dxvi son base de
T ∗ x (E).

1.7. Sistemas de coordenadas 33
Demostración. Por el teorema de la función inversa sabemos que
(vi) es un sistema de coordenadas locales en x ∈ U si y sólo si, dado un
sistema de coordenadas lineales xi, se tiene que
∂vi
det = 0,
∂xj
y esto equivale a que los vectores cotangentes
sean base.
dxvi =
n
∂vi
j=1
∂xj
(x)dxxj,
Nota 1.32 Observemos que de este resultado se sigue que si las diferenciales
de un número finito de funciones diferenciables, son independientes
en un punto, también lo son en un entorno del punto, pues pueden extenderse
a una base.
Consideremos un difeomorfismo de clase k + 1
entonces las 1–formas
F = (v1, . . . , vn): U ⊂ E → F (U) = V ⊂ R n ,
dv1, . . . , dvn,
son base de Ωk(U), pues dado un sistema de coordenadas lineales xi en
E, tendremos que
n
∂vi
dvi = dxj.
∂xj
j=1
Definición. En los términos anteriores denotaremos con
∂
∂v1
, . . . , ∂
∈ Dk(U),
∂vn
la base dual de las dvi.
Si E es de dimensión 1 y v es una coordenada de U ⊂ E, escribiremos
df ∂f
=
dv ∂v .

34 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Ejemplo 1.7.1 Coordenadas Polares. Consideremos el difeomorfismo
(ρ, θ) ∈ (0, ∞) × (0, 2π) → (x, y) ∈ R 2 \{(x, 0) : x ≥ 0},
para las funciones
x = ρ cos θ, y = ρ sen θ,
ρ = x2 + y2 ⎧
⎪⎨ arc cos x/
, θ =
⎪⎩
x2 + y2 ∈ (0, π) si y > 0,
arc cos x/ x2 + y2 ∈ (π, 2π) si y < 0,
arcsin y/ x2 + y2 ∈ (π/2, 3π/2) si x < 0.
A las correspondientes funciones (ρ, θ) definidas en el abierto R 2 \{(x, 0) :
x ≥ 0} las llamamos coordenadas polares, para las que se tiene
∂ρ = (∂ρx)∂x + (∂ρy)∂y = cos θ∂x + sen θ∂y = x
ρ ∂x + y
ρ ∂y,
∂θ = (∂θx)∂x + (∂θy)∂y = −ρ sen θ∂x + ρ cos θ∂y = −y∂x + x∂y.
y
1
0 1
x
y
Tp(R 2 p
)
dx=0 dx=1
x
dy=1
dy=0
0
(cosq,sen q)
q
r
q
p
dr=0
r
dq=1
Figura 1.9. Parciales de las coordenadas cartesianas y polares.
Ejercicio 1.7.1 Demostrar que: 1) Para y1, . . . , yn las proyecciones de R n , y
para cada p ∈ U, se tiene que
∂ ∂
F∗ =
∂vi ∂yi
2) Si f = g(v1, . . . , vn), entonces
∂f
∂vi
p
.
F (p)
= ∂g
(v1, . . . , vn).
∂yi
T p(R 2 )
dr=1
dq=0

3) Para cada f ∈ C 1 (U),
4) Para cada ω ∈ Ωk(U),
1.7. Sistemas de coordenadas 35
df =
ω =
n
∂f
i=1
n
i=1
5) Para cada campo D ∈ Dk(U)
D =
∂vi
dvi.
∂
ω dvi.
∂vi
n ∂
Dvi .
∂vi
i=1
Ejercicio 1.7.2 Demostrar que si (u1, . . . , un) y (v1, . . . , vm) son sistemas de
coordenadas de clase k en abiertos U ⊂ E1 y V ⊂ E2 respectivamente, entonces
(w1, . . . , wn+m) tales que para (p, q) ∈ U × V
wi(p, q) = ui(p) , para i = 1, . . . , n,
wn+j(p, q) = vj(q) , para j = 1, . . . , m,
son un sistema de coordenadas de clase k en U × V .
Ejercicio 1.7.3 Demostrar que las funciones ρ y θ definidas en el ejemplo
(1.7.1), forman un sistema de coordenadas de clase ∞.
Ejercicio 1.7.4 i) En los términos del ejercicio anterior calcular:
∂x 2
∂ρ ,
∂θ
∂x ,
∂[log (θ) · y]
,
∂θ
ii) Escribir en las coordenadas polares los campos
x ∂ ∂ ∂ ∂
+ y , −y + x
∂x ∂y ∂x ∂y ,
y dar una integral primera de cada uno.
iii) Escribir en coordenadas (x, y) los campos:
∂
∂θ ,
∂xy
∂θ .
∂ ∂ ∂ ∂
, ρ , ρ + θ
∂ρ ∂θ ∂ρ ∂θ .
iv) Escribir en coordenadas polares las 1–formas
dx, dy, xdx + ydy,
1 x
dx − dy.
y y2

36 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
v) Escribir en coordenadas (x, y) las 1–formas
dθ, dρ, ρdρ + θdθ.
Ejercicio 1.7.5 Dados a, c ∈ R, encontrar la solución de yzx = xzy que satisface
cz = (x − y) 2 cuando x + y = a.
Ejercicio 1.7.6 a) Encontrar dos integrales primeras del campo de R 3
D = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y + (1 + z2 ) ∂
∂z .
b) Encontrar una integral primera común a los campos de R 3
D = −y ∂ ∂
∂ ∂
+ x , E = 2xz + 2yz
∂x ∂y ∂x ∂y + (x2 + y 2 − 1 − z 2 ) ∂
∂z .
1.8. Ecuaciones diferenciales
Definición. Llamaremos curva parametrizada en el abierto U de E a
toda aplicación de clase 1, definida en un intervalo real
X : I ⊂ R −−→ U.
Definición. Dado D ∈ Dk(U) y p ∈
U, diremos que una curva parametrizada
X : I −→ U es una solución
de la ecuación diferencial ordinaria
(EDO) autónoma definida por D, o
una curva integral de D, si para cada
t ∈ I
∂
X∗ = DX(t). ∂t t
Figura 1.10. Curva integral de D

1.8. Ecuaciones diferenciales 37
Sea xi un sistema de coordenadas en E y D = fi(x1, . . . , xn)∂i. Si
denotamos con
Xi(t) = xi[X(t)],
para X una curva integral de D, tendremos que
X ′ i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)].
Ejercicio 1.8.1 Demostrar que toda integral primera f de un campo D es
constante en cada curva integral X de D, es decir que f ◦ X = cte.
Ejercicio 1.8.2 Encontrar la curva integral —en forma implícita—, del campo
de R 3
D = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y + (1 + z2 ) ∂
∂z ,
que pasa por (1, 0, 0).
1.8.1. Cambio de coordenadas.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de coordenadas
xi
X ′ i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)],
y dado otro sistema de coordenadas v1, . . . , vn, podemos escribir el sistema
de ecuaciones en este sistema de coordenadas observando que si
n
D = fi(x1, . . . , xn)
i=1
∂
n
= (Dvi)
∂xi i=1
∂
∂vi
⎡
n n
∂vi
= ⎣ fj(x1, . . . , xn)
∂xj
i=1 j=1
⎤
⎦ ∂
∂vi
⎡
⎤
n n
= ⎣ hij(v1, . . . , vn) ⎦ ∂
,
∂vi
i=1
j=1
entonces las componentes de X en el sistema de coordenadas vi, Yi =
vi ◦ X, satisfacen el sistema de ecuaciones
Y ′
i (t) =
n
hij[Y1(t), . . . , Yn(t)].
j=1

38 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Ejercicio 1.8.3 Obtener la expresión anterior aplicando la regla de la cadena
a Y ′
i = (vi ◦ X) ′ .
Ejercicio 1.8.4 Escribir los sistemas de ecuaciones diferenciales
′
x = −y
y ′ ⎧
⎪⎨ x
= x ⎪⎩
′ = x
y2 y ′ = 1
y
en el sistema de coordenadas polares.
1.8.2. Ecuaciones diferenciales no autónomas.
Si I es un intervalo abierto de R y U es un abierto de E, en I × U
tenemos una derivada parcial especial, aunque no hayamos elegido un
sistema de coordenadas en E.
Definición. Llamaremos ∂/∂t al campo tangente de D(I × U) tal que
para cada f ∈ C ∞ (I × U)
∂f
(t, p) = lím
∂t r→0
f(t + r, p) − f(t, p)
,
r
el cual verifica ∂t/∂t = 1 para la función de I × U, t(r, p) = r.
Definición. Llamaremos solución de una ecuación diferencial ordinaria
no autónoma definida en I × U por un campo D ∈ D(I × U), tal que
Dt = 1, a la proyección en U de las curvas integrales X de D, tales que
t ◦ X = id.
Si en U consideramos un sistema de coordenadas xi y en I × U consideramos
el sistema de coordenadas (t, x1, . . . , xn), entonces los campos
D ∈ D(I × U) tales que Dt = 1, son de la forma
D = ∂
∂t + f1(t, x1, . . . , xn) ∂
+ · · · + fn(t, x1, . . . , xn)
∂x1
∂
,
∂xn
y si X es una curva integral suya y llamamos X0 = t ◦ X, Xi = xi ◦ X,
tendremos que
X ′ 0(r) = 1,
es decir que existe una constante k, tal que para todo r,
t[X(r)] = X0(r) = r + k,

1.8. Ecuaciones diferenciales 39
y nuestras soluciones (t ◦ X = id) son las que corresponden a k = 0. Por
tanto en coordenadas la solución X1, . . . , Xn de una ecuación diferencial
ordinaria no autónoma satisface el sistema de ecuaciones diferenciales
X ′ 1(t) = f1[t, X1(t), . . . , Xn(t)]
.
X ′ n(t) = fn[t, X1(t), . . . , Xn(t)].
1.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Consideremos ahora la aplicación proyección canónica
la cual es de clase ∞.
π : T (U) −−→ U, π(Dp) = p,
Definición. Llamaremos ecuación diferencial de segundo orden en un
abierto U de E a todo campo tangente en el fibrado tangente de U, D ∈
D[T (U)], tal que su proyección por π sea el campo a soporte universal,
es decir
π∗D = E,
o lo que es lo mismo tal que para todo Tp ∈ T (U)
π∗DTp
= Tp.
Veamos cómo es un campo de estos en las coordenadas (xi, zi) —ver
lección 4—. Por el ejercicio (1.4.3) tenemos que
π∗D = E ⇒ (π∗D)xi = Exi = zi,
por tanto son los campos de la forma
D = ∂
zi +
∂xi
∂
Dzi ,
∂zi
y si X es una curva integral suya, tendremos que llamando
Dzi = fi(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),
Xi(t) = xi[X(t)], Zi(t) = zi[X(t)],

40 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
entonces
X ′ i(t) = Zi(t)
o lo que es lo mismo
Z ′ i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), Z1(t), . . . , Zn(t)],
X ′′
i (t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t), X ′ 1(t), . . . , X ′ n(t)].
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
1.9.1. Problemas Geométricos
Vamos a estudiar las curvas del plano que en cada punto su tangente
determina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio es
el dado.
Figura 1.11.
Solución. Sea y = y(x) una de esas curvas, entonces para cada x0, su
tangente y = xy ′ (x0) + b, en el punto (x0, y(x0)) verifica
y(x0) = x0y ′ (x0) + b, 2y(x0) = b, 0 = 2x0y ′ (x0) + b,
por tanto para cada x0, y(x0) = x0y ′ (x0) + 2y(x0) y nuestra ecuación es
xy ′ + y = 0, es decir
y ′
y
+ 1
x = 0 ⇔ (log y + log x)′ = 0 ⇔ xy = cte.
y las soluciones son las hipérbolas con asíntotas los ejes.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 41
Veámoslo de otro modo: Sea h = 0 una tal curva, entonces la recta
tangente en cada punto suyo p = (x0, y0), h(p) = 0 es de la forma
hx(p)(x − x0) + hy(p)(y − y0) = 0, y pasa por (0, 2y0), por tanto
hx(p)(−x0) + hy(p)(y0) = 0, en definitiva h es solución de
−xhx + yhy = 0 ⇔ Dh = 0, D = −x∂x + y∂y,
y el campo D tiene 1–forma incidente xdy + ydx = d(xy), por tanto las
soluciones son xy = cte.
Ejercicio 1.9.1 Encontrar la curva 1 cuya tangente en cada punto P corta al
eje y en un punto Q tal que P Q = L y pasa por (L, 0).
Ejercicio 1.9.2 Encontrar la ecuación de las curvas que en cada punto la normal
determina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio es el
dado.
Ejercicio 1.9.3 Encontrar la ecuación de las curvas que en cada punto P la
normal corta al eje x en un punto A tal que OP = P A.
Ejercicio 1.9.4 Encontrar las curvas del semiplano x > 0, que para cada punto
suyo P , el área del triángulo que forman la tangente, el eje y y la paralela al eje
x por P , es proporcional al área de la región limitada por la curva, la tangente
y el eje y (contando area positiva si la curva está por debajo de la tangente y
negativa en caso contrario).
Ejercicio 1.9.5 Encontrar las curvas en el semiplano y > 0, tales que para cada
punto P su proyección A en el eje x se proyecta en el punto B de la normal
en P a la curva, de modo que P B sea de longitud constante.
1.9.2. Problemas Químicos. Desintegración.
Los químicos suelen afirmar como verdad experimental que una sustancia
radioactiva se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad
de materia que se desintegra, la razón que subyace es que si en cada
instante la materia que hay es x(t), después de un tiempo ∆t, habrá menos,
x(t + ∆t) y la diferencia será pequeña si había poca materia ó el
tiempo transcurrido ∆t era pequeño y grande en caso de ser grande la
materia ó el tiempo, en definitiva la diferencia parece proporcional al
1 Tal curva se denomina tractriz.

42 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
producto de esas dos cantidades, la cantidad de materia y el tiempo
transcurrido,
x(t) − x(t + ∆t) = k∆t · x(t).
En tal caso la cantidad de materia en cada instante viene dada por la
ecuación diferencial
x ′ (t) = −kx(t),
donde k > 0, por tanto
(1.8) x′ (t)
x(t) = −k ⇔ log x(t) = −kt + cte ⇔ x(t) = x(0) e−kt .
Observemos que el campo tangente asociado está en R y en la coordenada
x se escribe
D = −kx ∂
∂x .
Ejercicio 1.9.6 Si el 20 % de una sustancia radioactiva se desintegra en 10 días,
en cuánto tiempo desaparecerá el 50 %?.
x(t)/x(0)
1
1/2
5730 años
e -kt
Figura 1.12. Desintegración del C 14 .
Nota 1.33 Sobre el Carbono 14. Existen en la naturaleza tres isótopos
del carbono cuyos núcleos contienen diferente número de neutrones (6, 7
y 8) pero el mismo de protones (6): el C 12 (el 98 % del CO2 del aire es de
este), el C 13 (el 1 % del CO2 es de este) y el C 14 (en menor proporción que
t

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 43
el anterior en el CO2, pero también existente). Este último es inestable
y radioactivo, por tanto el que queda después de un tiempo t es por (1.8)
x(t) = x(0) e −kt , k =
log 2
5730 años
(ver la figura (1.12)), donde la constante k es la que corresponde a este
material radioactivo (y equivale a decir que la masa de C 14 se reduce a
la mitad después de 5730 años).
Es admitido comúnmente que C 12 y C 14 , están presentes en toda la
materia orgánica viviente en proporción constante. La razón que para
ello se da es que aunque el isótopo C 14 es inestable y lentamente, por
la fórmula anterior, se transforma en nitrógeno 2 y otras partículas, esta
pérdida queda compensada por la constante actividad de neutrones
cósmicos, que atravesando nuestro Sistema Solar, llegan a la atmósfera
terrestre, donde chocan, a unos 15 km de la superficie terrestre, con el
N, creándose C 14 e hidrógeno.
Parte de los átomos de C 14 y de C 12 en la atmósfera se oxidan, es
decir forman con el óxigeno moléculas de CO2. Todos estos procesos
son mas o menos constantes y como consecuencia lo es la proporción
en el aire del CO2 con C 12 y con C 14 . Las plantas vivas adquieren el
carbono del CO2 del ambiente produciendo glucosa (C6H12O6) durante
la fotosíntesis. De este modo plantas y animales vivos (que se alimentan
de plantas) tienen una proporción constante de ambos carbonos en sus
tejidos, que no es otro que el del ambiente.
Sin embargo cuando un ser vivo muere el C 12 no se altera y podemos
analizar cuanto tiene ahora (un tiempo t después de su muerte) que,
al ser constante, es el que tenía cuando murió. Por lo que podemos
saber la cantidad x(0) de C 14 que tenía entonces (admitiendo que la
proporción de ambos en el ambiente de entonces y de ahora es la misma).
Ahora bien como este es radioactivo se desintegra (tras la muerte no hay
aporte nuevo de este isótopo) y como conocemos la constante k en la
fórmula de su desintegración, podemos aplicarla para saber la fecha de
su muerte, para lo cual basta analizar la cantidad, x(t), de C 14 que hay
en la actualidad y despejar t en la fórmula.
Este método de datación por el carbono es usado habitualmente
por paleontólogos, egiptólogos, arqueólogos, biólogos, geólogos, químicos
ó físicos, quienes están interesados en determinar la edad de huesos,
pinturas ó cualquier tipo de resto orgánico. Y como lo habitual es considerarlo
un buen método, es preciso recordar sus limitaciones, es decir
2 El N tiene 7 protones y 7 neutrones

44 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
todas las hipótesis que hay detrás de la conclusión. Entre ellas, una
aproximación matemática continua y sencilla de una realidad discreta
y compleja; constancia de bombardeo cósmico; constancia de átomos y
moléculas en la atmósfera y en la superficie de la tierra, durante miles
de años, etc. El método no tiene en cuenta catástrofes a nivel mundial:
explosiones de supernovas que hayan afectado a la Tierra, emisiones solares
extrañas, meteoritos, volcanes o grandes tormentas. Siendo casi
cotidianos algunos de estos fenómenos.
Debemos recordar pues, que todas estas hipótesis, son tan sólo hipótesis,
es decir algo simple de lo que partir, pero no demostrado en el ámbito
científico.
No obstante sí es verdad que pueden hacerse dataciones por otros
métodos y cotejarlas permitiendo una verosimilitud mayor en la datación.
Ejercicio 1.9.7 Si es cierto 3 que en una economía la velocidad de disminución
del número de personas y(x), con un salario de por lo menos x euros, es
directamente proporcional al número de personas e inversamente proporcional
a su salario mínimo, obténgase la expresión de y en términos de x llamada ley
de Pareto.
Ejercicio 1.9.8 La ley experimental de Lambert 4 establece que las láminas
delgadas de un material transparente absorben la luz que incide en ellas de
forma proporcional a la intensidad de la luz incidente y al ancho de la lámina
que atraviesa. Exprésese esta ley dando la fórmula que da la intensidad de luz
que sale de un medio de ancho L.
1.9.3. Problemas Biológicos.
1.- Consumo de bacterias. Admitiendo que las bacterias que se suministran
como alimento a una población de protozoos (a razón constante),
son consumidas a una velocidad proporcional al cuadrado de su cantidad,
se pide encontrar:
(a) El número de bacterias b(t) en el instante t, en términos de b(0).
b) ¿Cuántas bacterias hay cuando la población está en equilibrio?.
3Como pensaba Vilfredo Pareto, (1848–1923), economista, sociólogo y filósofo
francés.
4Lambert, Johann Heinrich (1728–1777), fue un matemático, físico, astrónomo y
filósofo alemán de origen francés.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 45
Solución.- Sea y(t) el número de bacterias que hay en el instante t
y x(t) el número de bacterias consumidas en el período (0, t), entonces
y(t) = y(0) + kt − x(t), x ′ (t) = ay 2 (t), x(0) = 0,
por tanto y ′ (t) = k − ay 2 , que corresponde al campo
∂
∂t + (k − ay2 ) ∂
∂y ,
que tiene uno forma incidente, para λ = k/a
y la solución es
−adt + dy
λ2
1 λ + y
= d log − at ,
− y2 2λ λ − y
λ + y
λ − y = c eλat λ + y(0)
, c =
λ − y(0) .
2.- Reproducción de bacterias. Se sabe que la velocidad de reproducción
de las bacterias es, cuando no hay demasiadas, casi proporcional al
número de bacterias, y cuando hay demasiadas estas influyen negativamente
y la velocidad de reproducción se hace negativa. Se plantea así la
siguiente ecuación
x ′ (t) = k1x(t) − k2x 2 (t),
con k1, k2 > 0, y k2 pequeño. El campo tangente asociado está en R y
en la coordenada x se escribe
D = (k1x − k2x 2 ) ∂
∂x .
Ejercicio 1.9.9 Demuéstrese que la velocidad de reproducción es máxima cuando
la población de bacterias tiene la mitad de su tamaño de equilibrio.
1.9.4. Problemas Físicos.
Ley de Galileo. Consideremos un cuerpo de masa 1. La ley de Galileo
nos asegura que en caída libre su aceleración x ′′ (t) es constante e igual
a g.

46 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Es una ecuación diferencial de segundo orden en la recta, la cual
define una ecuación diferencial en el fibrado tangente de la recta, que en
coordenadas (x, z) se plantea de la forma
x ′
(t) = z(t)
z ′ (t) = g
y cuyo campo asociado es
⇒
z(t) = gt + z(0)
x(t) = 1
D = z ∂ ∂
+ g
∂x ∂z .
⎫
⎬
2 gt2 + x ′ (0)t + x(0) ⎭
Leyes de Newton. La Ley de la atracción Universal de Newton
asegura que dados dos cuerpos con masas M y m a distancia R, se
produce una fuerza de atracción F de m hacia M —y otra (−F ) de M
hacia m—, de módulo
|F | = m GM
,
R2 Si consideramos un sistema de coordenadas centrado en 5 M y denotamos
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) la posición en el instante t de m, tendremos que
su velocidad es ˙σ y su aceleración ¨σ y por la Segunda Ley de Newton, la
aceleración de m vale, para el vector unitario u = σ/|σ| = σ/R
m¨σ = F = − GMm
u,
R2 −11 m3
donde G = 6, 6742·10 kg·seg2 (= 6 ′ −11 N m2
6742·10 kg2 ) es una “constante
Universal”.
Ahora bien esto nos dice por una parte, que si M = 5, 9736×1024 kg
es la masa de la Tierra, en las proximidades de su superficie, la masa m
sufre una aceleración constante
|¨σ| = g = GM
R 2 = 9′ 8 m
seg 2
independiente del valor de su masa, donde R es el radio de la tierra. Con
lo cual obtenemos la Ley de Galileo. Además ¨σ = −gu y u (que apunta
5 Suponemos que la masa M es mucho más grande que la de m y que está quieto,
aunque no lo está, ambos giran en torno al centro de masa de los dos, que sí podemos
considerar quieto (ver la pág404). En el caso de la tierra y el sol tal centro de masas
está en el interior del sol.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 47
al centro de la tierra) localmente es casi constante (0, 0, 1), por lo tanto
¨x = ¨y = 0 y ¨z = −g, de donde
x(t) = ut + a, y(t) = vt + b, z(t) = − gt2
2
+ wt + c,
para σ(0) = (a, b, c) y ˙σ(0) = (u, v, w), y la trayectoria es una parábola.
(a,b,c)
(u,v,w)
Figura 1.13.
(x(t),y(t),z(t))
Por ejemplo, para σ(0) = 0 y ˙σ(0) = (1, 0, 0), la solución es
x(t) = t, y(t) = 0, z(t) = − gt2
2
⇒ z = −gx2
2 .
Nota 1.34 Por otra parte también tenemos una explicación de esa constante
G. Acabamos de decir que un cuerpo con masa M acelera a todos
los cuerpos que estén a distancia d con la misma aceleración a y que esta
aceleración determina la masa M, pues
M m
ma = G
d2 (⇔ GM = ad 2 ).
Esto nos permite definir a partir de unidades de longitud y tiempo (como
metro y segundo) una unidad de masa canónica.
Llamemos kg Natural a la masa de un cuerpo que a 1 metro acelera
a cualquier cuerpo 1 m/seg 2 .
Naturalmente como el kg es una unidad cuyo origen histórico es independiente
del metro y del segundo, (es la masa de 1 cubo de agua de 1
decímetro de lado —es decir de 1 litro—), pues no coincide con el kg Natural
y la proporción entre ambos es esta constante Universal G. Es decir
que la naturaleza mágica de ese misterioso número universal está en la
elección arbitraria del kg que, también es cierto, puede ser mas operativo

48 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
que el del kg Natural. Debemos observar también que los valores de G y
de M se estiman peor que lo que puede estimarse su producto GM, pues
GM = ad 2 podemos estimarlo con cualquier objeto del que conozcamos
su distancia d al centro de M y su aceleración a, por ejemplo en el caso
de la Tierra se estima
(1.9) GM = 398 600, 4418 km3
,
seg2 mientras que el producto de G y M, estimados por separado, es
G = 6, 6742 · 10 −20
M = 5, 9736×10 24 kg
km 3
kg · seg 2
⇒ GM = 398 690, 0112 km3
.
seg2 Por otra parte en La Teoría de la Relatividad la constancia de la
velocidad de la luz nos permite relacionar las unidades de tiempo y de
longitud y hablar de años-luz como unidad de longitud.
Es decir que las unidades de longitud y tiempo se determinan mutuamente
y con ellas se determina una unidad de masa. Pero ¿habrá alguna
unidad de longitud canónica?. Es posible que sea así puesto que en el
Universo hay protones. Y es posible que alguna de las constantes universales
de la física (de Planck, etc.), sea la confirmación de esto (en cuyo
caso el número que define esa constante en unas unidades sería consecuencia,
una vez mas, de la elección arbitraria de dichas unidades. Pero
esto es hablar por no callar...
El péndulo. Consideremos un péndulo de masa m suspendido, en el
origen de coordenadas de R 2 , por una barra rígida de masa despreciable
y de longitud L.
Su posición, en cada instante t (ver figura (1.14), viene determinada
por el ángulo θ(t) que forma la barra en el instante t con el semieje
negativo de las ordenadas, medido en sentido contrario al del movimiento
de las agujas del reloj. Tal posición es
y como
σ(t) = L(sen θ(t), − cos θ(t)) = Le1(t),
e ′ 1 = θ ′ (t)(cos θ(t), sen θ(t)) = θ ′ (t)e2(t),
e ′ 2 = θ ′ (− sen θ, cos θ) = −θ ′ e1,

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 49
tendremos que la velocidad del péndulo en cada instante t vendrá dada
por
v(t) = σ ′ (t) = Lθ ′ (t)e2(t),
y la aceleración por
a(t) = σ ′′ (t) = Lθ ′′ (t)e2(t) − Lθ ′ (t) 2 e1(t)
Figura 1.14. Péndulo
Por otra parte sobre la masa actúan dos fuerzas por unidad de masa,
la de la gravedad que es (0, −g) y otra con la dirección de la barra
F e1(t), que impide que la masa deje la circunferencia y que unas veces
apuntará en la dirección del centro de la circunferencia (F < 0) y otras
en dirección contraria (F > 0). La de la gravedad se descompone en
términos de la base e1, e2 de la forma
(0, −g) = ((0, −g) · e1)e1 + ((0, −g) · e2)e2 = mg cos θe1 − mg sen θe2,
y por la segunda Ley de Newton ma(t) = (0, −mg) + mF e1, es decir
Lθ ′′ (t)e2 − Lθ ′ (t) 2 e1 = g cos θe1 − g sen θe2 + F e1,
lo cual equivale al par de ecuaciones
Lθ ′′ (t) = −g sen θ, −Lθ ′ (t) 2 = g cos θ + F,
y el movimiento del péndulo queda descrito por la ecuación
(1.10) θ ′′ (t) = − g
sen θ(t).
L
Puesta en coordenadas es una ecuación diferencial de segundo orden
en la recta real. Aunque realmente es una ecuación diferencial de segundo

50 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
orden en la circunferencia y corresponde a un campo tangente en el
fibrado tangente a la circunferencia, que es el cilindro.
Para resolver esta ecuación introducimos una nueva variable z (la
velocidad de la masa, que es v ), y consideramos el sistema
que corresponde al campo tangente
θ ′ (t) = z(t)
L ,
z ′ (t) = −g sen θ(t),
D = z ∂
L ∂θ
− g sen θ ∂
∂z .
Observemos que ωD = 0 para la 1–forma exacta
por lo que la función
ω = Lg sen θdθ + zdz = d[ z2
2
h = z2
2
− gL cos θ,
− gL cos θ],
que verifica h ≥ −gL, es una integral primera de D y por tanto es
constante en las curvas integrales de D (ver dibujo (1.15). Esto demuestra
la Ley de conservación de la energía en el péndulo, pues la suma de la
energía cinética y la energía potencial de m es
Ec + Ep = m z2 (t)
2
-p 0 p
2p
− mgL cos θ(t) = mh.
Figura 1.15. Curvas integrales
Nota 1.35 Observemos (ver figura (1.15)), que hay cuatro tipos de curvas
integrales y que están sobre las curvas {h = cte}: Las constantes, que
corresponden a los puntos en los que D = 0, que son (0, 0) y (π, 0) —en la
franja [0, 2π)×R—. El primero está sobre la curva {h = h(0, 0) = −gL},
3p

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 51
que sólo contiene al punto (0, 0), pues z 2 = 2gL(cos θ − 1) ≤ 0, mientras
que el segundo está sobre la curva especial {h = h(π, 0) = gL} =
C ∪ {(π, 0)}, que está formada por dos curvas integrales: la constante
(π, 0) y el resto C que representa el movimiento del péndulo que
se aproxima, cuando t → ∞, al punto más alto de la circunferencia,
con velocidad tendiendo a cero, sin alcanzarlo nunca salvo en el límite.
Esta curva integral es la única no periódica. La curva integral de D,
τp(t) = (θ(t), z(t)), con las condiciones iniciales p = (π, z0), con z0 = 0,
esta sobre la curva
h(θ, z) = h(π, z0) > gL,
y se demuestra que esta curva es la trayectoria de τp y que esta es
periódica de período 2π. Por último la curva integral de D, τp(t) =
(θ(t), z(t)), con las condiciones iniciales p = (θ0, 0), con π = θ0 = 0,
satisface la ecuación
h(θ, z) = h(θ0, 0) < gL
que son los óvalos en la figura 1.15. Se sigue de (2.28), pág.100, que τp
es completa es decir definida en todo R y como el campo no se anula en
esta curva, se sigue de (5.37), pág.322, que la trayectoria de τp es el óvalo
y que τp es una curva periódica, es decir existe el mínimo valor T > 0
—al que llamamos período de la curva—, tal que τp(0) = τp(T ) = p. Y
para θ0 > 0 tenemos que
z(t) =
− 2gL(cos θ(t) − cos θ0), si t ∈ [0, T/2];
2gL(cos θ(t) − cos θ0), si t ∈ [T/2, T ].
Si se quiere encontrar θ(t) es necesario resolver una integral elíptica
de primera especie, pues integrando entre 0 y t
y por tanto
t =
t
0
dt = L θ′ (t)
z(t) dt,
L θ′
θ(t)
(t) L
dθ
dt = −
√ ,
z(t) 2g cos θ − cos θ0
T
2 =
L
2g
T = 4
L
2g
θ0
−θ0
θ0
0
θ(0)
dθ
√ ,
cos θ − cos θ0
dθ
√ ,
cos θ − cos θ0

52 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
y utilizando la igualdad
se tiene que
T = 2
y con el cambio de variable
tendremos
2 θ
cos θ = 1 − 2 sen
2 ,
L
g
θ0
0
dθ
sen2 θ0
2 − sen2 θ
2
,
sen θ θ0
= sen sen ϕ = a sen ϕ,
2 2
T = 4
y como para |x| < 1 se tiene
L
g
π/2
0
dϕ
1 − a 2 sen 2 ϕ ,
1
√ = 1 +
1 − x 1 1 · 3
x +
2 2 · 4 x2 1 · 3 · 5
+
2 · 4 · 6 x3 + · · ·
se demuestra (para x = a 2 sen 2 ϕ) que
T = 2π
L
g
1 +
2 1
a
2
2 +
2 1 · 3
a
2 · 4
4 +
2 1 · 3 · 5
a
2 · 4 · 6
6
+ · · · ,
y se tiene que si θ0 → 0 entonces a → 0 y el período converge a
L
(1.11) T = 2π
g .
Ejercicio 1.9.10 Una masa se desplaza infinitesimalmente del punto mas alto
de una esfera lisa de radio L y empieza a resbalar sin rozamiento ni rotación.
¿En que punto y con que velocidad se separa de la esfera?.
A menudo (1.10) se transforma por
θ ′′ (t) = − g
L θ(t),
que es una buena aproximación para pequeñas oscilaciones del péndulo,
pues para θ pequeño θ ≈ sen θ, y tiene la ventaja de ser mas sencilla de
resolver.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 53
Sin embargo la razón de esta aproximación la veremos en la lección
5.2, pág.278, donde probaremos que una ecuación diferencial en un punto
singular tiene asociada, canónicamente, otra ecuación diferencial en su
espacio tangente, a la que llamamos su linealización.
En el tema de los sistemas lineales veremos que
x ′′ = −k 2 x,
—con k > 0—, tiene solución periódica
para α ∈ [0, 2π) y
x(t) = A · cos(kt) + B · sen(kt) = C · cos(kt + α),
C = A 2 + B 2 , cos α = A
C
y que para k = g/L) el período es
(1.12) T = 2π
k
= 2π
L
g
, sen α = −B
C ,
L
= R2π
MG ,
que es el valor límite (1.11), donde recordemos que R es la distancia de
la masa al centro de la Tierra.
Con esto tenemos una justificación de por qué un reloj de péndulo
atrasa si lo llevamos del polo al ecuador, en el que la distancia al centro
de la tierra es mayor.
Ejercicio 1.9.11 Justifíquese por qué un reloj de péndulo atrasa si lo llevamos
del polo al ecuador y estímese la proporción de abultamiento de la Tierra en
esos puntos, si el mismo tiempo (medido en ambos puntos con otro reloj) en
uno de los puntos el reloj de péndulo lo mide de 1h, 10 ′ y 52 ′′ y en el otro de
1h, 10 ′ y 38 ′′ .
Ejercicio 1.9.12 Nos movemos en un columpio de longitud L, con el asiento a
distancia r del suelo (que está horizontal). Salimos con velocidad nula y ángulo
α con la vertical, pasamos el punto más bajo un ángulo β y nos tiramos en
marcha dejándonos caer por la gravedad hasta llegar al suelo. Calcular el
tiempo que pasamos en el aire y la distancia en el suelo desde el pie del
columpio al lugar de llegada; demostrar que esta distancia es independiente de
la gravedad y que la velocidad con que llegamos al suelo es independiente de
β. Dar su valor.

54 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
1.9.5. Problemas Arquitectónicos. La catenaria.
Planteamos el problema de encontrar la curva que hace una cadena 6
fina cuando la sujetamos en dos puntos.
Figura 1.16. Catenaria.
En cada punto B (ver la Fig.1.17) la cadena está en equilibrio por
las dos fuerzas de tensión (contrarias) que actúan sobre ella.
0
Figura 1.17. Fuerzas horizontal y vertical en la catenaria.
Una la realiza la parte de la cadena que está a la derecha de B (suponiendo
que este está a su vez a la derecha del punto más bajo de la
cadena), tirando de la cadena hacia arriba, y otra la que realiza la parte
izquierda de la cadena tirando hacia abajo. Descompongamos estas fuerzas
en sus componentes horizontal y vertical. Son iguales y de sentido
contrario pues el punto está en equilibrio, pero además las componentes
horizontales no dependen del punto B que hayamos considerado, es constante.
Para justificarlo mantengamos la cadena inmóvil y sujetémosla por
el punto B y por el punto más bajo 0. La fuerza en B no ha cambiado y
la fuerza en 0 es horizontal, igual y de sentido contrario que la componente
horizontal de la fuerza en B, pues en caso contrario cambiando la
cadena por otro objeto idéntico en forma y masa, pero rígido, se desplazaría
horizontalmente en el sentido de la de mayor fuerza. Como esto no
ocurre, pues la cadena está quieta, concluimos. Por otra parte la fuerza
vertical que actúa sobre el punto B es el peso de la cuerda desde el punto
más bajo O, hasta el punto B.
6 Jakob Bernoulli (1655–1705) fue el primer matemático de una familia de excelentes
científicos suizos. En 1691 estudió esta curva, llamada catenaria.
B

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 55
Consideremos la curva que define la cadena [x(t), y(t)] y sea s el
parámetro longitud de arco,
s(t) =
t
0
( ˙x(t) 2 + ˙y(t) 2 )dt,
tomando como s = 0 el punto más bajo 0 = (x(0), y(0)) —en el que
la tangente es horizontal—, (donde usamos la notación ˙ h = dh/dt y
h ′ = dh/dx) y sea w la densidad lineal de la cadena, de modo que el
peso de la cuerda entre a y b es
en estos términos se tiene que
b
a
w(s)ds,
˙x(t) = c = 1/k (cte) > 0, ˙y(t) =
s(t)
y al ser k = 0, tendremos que dt = kdx, por lo tanto
y ′ [x(t)] = ˙y(t)
= k
˙x(t)
s(t)
0
w(s)ds = k
t
0
0
w(s)ds,
w[s(t)] ˙s(t)dt,
y derivando respecto de t y aplicando la regla de la cadena
y ′′ [x(t)] ˙x(t) = kw[s(t)] ˙s(t) ⇒ y ′′ = kw[s(t)] 1 + y ′2 .
Ahora consideremos el caso particular en que la densidad es constante
w = 1, en cuyo caso la masa de un trozo es proporcional a su longitud y la
pendiente y ′ (x) de la curva en todo punto B = (x, y(x)) es proporcional
a la longitud OB de la curva, para 0 el punto mas bajo. Y se tiene que
y ′′ = k 1 + y ′2 ⇒ y′ = z,
que corresponde al campo, en el plano zy,
z ∂
∂y + k ∂
1 + z2 ∂z ,
z ′ = k 1 + z 2 ,
del que podemos calcular una integral primera fácilmente, mediante su
1–forma incidente
z
dy −
k √ 1 + z2 dz = d[y − c1 + z2 ],

56 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
cuya solución es para cada constante a, y = c √ 1 + z 2 + a. Ahora despejando
y ′ = z, tenemos la nueva ecuación
(1.13) y ′ = k (y − a) 2 − c 2 ,
de la que consideramos la 1–forma que define
c
dy − dx = d c log[y − a +
(y − a) 2 − c2 (y − a) 2 − c2
] − x ,
por tanto la solución es para cada constante b
x = c log[y − a + (y − a) 2 − c 2 ] + b ⇒
e k(x−b) = y − a + (y − a) 2 − c2 ⇒
(y − a) 2
= e k(x−b) 2 −y + a + c 2 ⇒
2 e k(x−b) (y − a) = e 2k(x−b) +c 2
y = a + ek(x−b)
=
2 2
= a + 1 kx−r r−kx
e + e
2k
=
cosh(kx − r)
= a +
k
+ c2 e −k(x−b)
para 7 e r = c e kb . Que es la ecuación de la catenaria (observemos que es
una traslación y una homotecia de razón 1/k de y = cosh x, por lo tanto
toda catenaria es y = cosh x, vista mas cerca o mas lejos).
Otra forma de resolverlo es la siguiente: como y ′′ = k 1 + y ′2 , si
consideramos f = y ′ , nuestra ecuación se convierte en f ′ = k 1 + f 2 y
por tanto elevando al cuadrado y derivando (y como f ′ = y ′′ > 0)
f ′2 = k 2 (1 + f 2 ) ⇒ f ′ f ′′ = k 2 ff ′ ⇒ f ′′ = k 2 f,
7 El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como
y tienen las propiedades elementales
senh(x) = ex − e−x , cosh(x) =
2
ex + e−x .
2
cosh ′ = senh, senh ′ = cosh, cosh 2 − senh 2 = 1, cosh ′ =
cosh 2 x − 1.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 57
siendo e kx y e −kx soluciones triviales de esas ecuaciones, que estudiaremos
en la pág.233, del Tema de las EDO lineales, y base de soluciones
pues podemos elegir constantes adecuadas para obtener la que queramos
con unas condiciones iniciales dadas, y(0), y ′ (0).
f = c1 e kx +c2 e −kx ⇔ y = a + c1
k ekx + c2
−k e−kx .
La catenaria en arquitectura.- Ante todo observemos que la catenaria,
tiene la propiedad de que en cada punto B (ver la Fig.1.17), la
pendiente de su tangente es, salvo un factor constante, el peso de la
cadena desde el punto mas bajo O hasta el punto considerado, ó equivalentemente
–pues es de densidad constante–, la longitud de dicho trozo.
Figura 1.18. Arco de catenaria dado la vuelta.
Esta peculiaridad de la catenaria tiene una aplicación extraordinaria
en construcción 8 pues dada la vuelta tiene la peculiaridad de autosoportarse,
por lo que un arco con forma de catenaria no necesita de argamasa
para sujetarse, por su propia gravedad se mantendrá íntegro.
FB
P0A
P0B
FA
0
A
FA
P
FB
Figura 1.19. Fuerzas que actúan en el arco AB
Para verlo consideremos un trozo de la catenaria invertida (ver Fig.1.19),
de extremos A y B y veamos que fuerzas actúan sobre él. Denotemos con
O el punto mas alto de la curva en el que la tangente es horizontal. Las
8Recomendamos la obra del genial arquitecto español Antonio Gaudí (1852–1926),
que la utilizó profusamente.
B

58 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
fuerzas que actúan sobre AB son tres: El peso P , que es vertical hacia
abajo y su intensidad es (salvo un factor constante) la longitud de la
curva AB, la fuerza FA en A que produce OA y es tangente a la curva,
siendo su componente horizontal constante y su componente vertical la
longitud OA y va de arriba a abajo y la fuerza FB en B que es tangente
a la curva y la produce por reacción el trozo que está bajo B y que va
de abajo a arriba, su componente horizontal es constante y la vertical
es la longitud OB. Estas tres fuerzas son exactamente las que actuaban
sobre el trozo de catenaria, pero giradas, se sigue de forma inmediata
que FA + FB + P = 0, pero además también es nulo el momento externo
total (ver la lección 3.8.6, pág. 181), pues lo era para la catenaria ya que
estaba en equilibrio. Por tanto el trozo también está en equilibrio.
Veamos explícitamente que para el trozo AB del arco de catenaria
invertida
y = − cosh x,
el momento o torque (ver la lección 3.8.6, pág. 181), de las tres fuerzas
FA, FB y P es nulo
A = (x0, y(x0)), FA = (1, y ′ (x0)),
B = (x1, y(x1)), FB = −(1, y ′ (x1)),
x1
P = (0, − 1 + y ′2 dx),
x0
x0
estando aplicado P en el centro de gravedad de AB
x1
x0 C =
x1 + y ′2 x1
dx x0
,
x1
1 + y ′2 dx y(x)1 + y ′2
dx
,
x1
1 + y ′2 dx
ahora bien y ′ = − senh x, por tanto y ′′ = y = − 1 + y ′2 y tenemos que
el torque es
Λ = A × FA + B × FB + C × P
= (x0y ′ (x0) − y(x0) − x1y ′ x1
(x1) + y(x1) −
pues (xy ′ ) ′ = y ′ + xy ′′ e integrando
x0
x0
x 1 + y ′2 dx)e3 = 0,
x1y ′ (x1) − x0y ′ x1
(x0) = y(x1) − y(x0) + xy ′′ dx.
x0

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 59
La catenaria y el electromagnetismo.- En presencia de un campo
gravitatorio F constante, la trayectoria de una masa puntual m, que
sigue la ley de Newton (mv) ′ = ma = F , es una parábola (ver la pág.46).
Veamos que ocurre en presencia de un campo eléctrico constante.
En el marco de la Teoría de la Relatividad, la Ley de Lorentz (ver
pág.916) establece que en presencia de un campo electromagnético (E, B),
una partícula de carga q y masa en reposo m se mueve con una velocidad
˙σ, de modo que para v = | ˙σ|, M = m/ 1 − v 2 /c 2 la masa aparente y c
la velocidad de la luz, el momento p = M ˙σ verifica
˙p = q(E + ˙σ
× B).
c
En el caso particular de un campo eléctrico E constante y B = 0 (que
son soluciones de la Ecuación de Maxwell, ver pág.918), la partícula
se mueve en un plano y podemos simplificar el problema. Para E =
(0, 1) y B = 0, buscamos la solución σ(t) = (x(t), y(t)) de esa ecuación
˙p = qE, en el plano xy, que en t = 0 pasa por el origen con velocidad
( ˙x(0), ˙y(0)) = (u, 0). Es decir para las componentes del momento p1 =
M ˙x y p2 = M ˙y
p1 ˙ = 0, p2 ˙ = q, x(0) = y(0) = ˙y(0) = 0, ˙x(0) = u,
por tanto tendremos que p1 = M ˙x es constante y vale k = M(0)u =
mu/ 1 − u 2 /c 2 y p2 = M ˙y = qt, por tanto como v 2 = ˙x 2 + ˙y 2 , M 2 v 2 =
k 2 + q 2 t 2 y por la definición de M y esto (y una simple cuenta para la
segunda igualdad)
M 2 = m2
1 − v2
c 2
= k2 + q 2 t 2
c 2
= M
y por lo tanto para L = √ k 2 + c 2 m 2
˙x = k
M =
ck
L2 + q2t2 2 v2
+ m2
c2 + m 2 = c2 m 2 + k 2 + q 2 t 2
c 2
˙y = qt
M =
cqt
L2 + q2t2 ,
e integrando, teniendo en cuenta que x(0) = y(0) = 0, obtenemos
x(t) = ck
q (log(q2t + q L2 + q2t2 ) − log(qL) = ck
q log qt + L2 + q2t2 ,
L
y(t) = c
q (L2 + q2t2 − L)

60 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
y para K = q/kc, (Kky+L) 2 = L2 +q2t2 , por tanto qt = (Kky + L) 2 − L2 y la curva en términos de xy es
(Kky + L) 2 − L2 + kKy + L
Kx = log
,
L
y aplicando la exponencial
e Kx L = (Kky + L) 2 − L 2 + kKy + L ⇒
⇒ (e Kx L − (kKy + L)) 2 = (Kky + L) 2 − L 2
⇒ (e 2Kx L 2 + L 2 = 2 e Kx L(kKy + L) ⇒
⇒ kKy = L(cosh(Kx) − 1) ⇒ y = L
(cosh(Kx) − 1)
kK
que es una catenaria dilatada en el eje y por L/k = c/u. Veamos a que
curva converge cuando la velocidad de la luz c → ∞, para ello observemos
que el desarrollo en serie de
cosh(Kx) = 1
2 (eKx + e −Kx ) = 1
2
= 1 + K2x2 2 + K4x4 + · · · ,
4!
por tanto como L/k = c/u y cK = q/k
(Kx) n
⇒
n! + (−Kx) n
n!
y = L
c
(cosh(Kx) − 1) =
kK uK (K2 x2 2 + K4x4 + · · · )
4!
= cK
u (x2
2 + K2x4 q
+ · · · ) =
4! uk (x2
2 + K2x4 + · · · )
4!
y como k → mu y K → 0, el resultado es la parábola
y = qx2
,
2mu2 que es la que corresponde a la ecuación ¨x = 0 y m¨y = q con las mismas
condiciones iniciales.
1.10. Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.4.1.- (a) Demostrar que existe una biyección entre campos de vectores
F : U −→ E de clase k y campos de vectores tangentes {Dp ∈ Tp(E) :
p ∈ U} de clase k, que verifica:

1.10. Ejercicios resueltos 61
(i) Si a F le corresponde {Dp} y a G {Ep}, entonces a F +G le corresponde
{Dp + Ep}.
(ii) Si a F le corresponde {Dp} y f ∈ C k (U), entonces a fF le corresponde
{f(p)Dp}.
(b) Demostrar que {Dp ∈ Tp(E) : p ∈ U} es un campo de vectores
tangentes de clase k si y sólo si la aplicación σ : U −→ T (U), σ(p) = Dp es
una sección de π, de clase k.
Demostración. (a) Consideremos un sistema de coordenadas lineales xi correspondientes
a una base ei de E.
Para cada F : U −→ E consideramos las funciones fi = xi ◦ F , entonces para
cada p ∈ U tenemos el vector de E
F (p) = f1(p)e1 + · · · + fn(p)en,
el cual corresponde por el isomorfismo canónico E −→ Tp(E), al vector de Tp(E)
∂
∂
Dp = f1(p) + · · · + fn(p)
∂x1 p ∂xn p .
Ahora F es de clase k si y sólo si las fi ∈ Ck (U) y es fácil comprobar que los Dp
satisfacen la condición de la definición (1.4.1).
Recíprocamente si para cada p ∈ U tenemos un vector
∂
∂
Dp = f1(p) + · · · + fn(p) ∈ Tp(E),
∂x1 p ∂xn p
verificando la condición de (1.4.1), entonces como Dpxi = fi(p) tendremos que fi ∈
Ck (U) y la aplicación F : U −→ E, F (p) = f1(p)e1 + · · · + fn(p)en, es de clase k.
Que esta correspondencia tiene las propiedades (i) y (ii) es evidente.
(b) Es fácil comprobar que si a los {Dp} les corresponde F por la parte (a),
entonces
σ
U⏐
−−→ T (U) ⏐ ⏐p
→ σ(p) ⏐=
Dp
⏐
⏐ ⏐
⏐
id
U −−→ U × E p → (p, F (p))
y σ es de clase k si y sólo si F es de clase k.
Ejercicio 1.4.2.- Demostrar que entre los conjuntos de vectores
{D F p ∈ TF (p)(E1) : p ∈ V },
con la propiedad de que para cada f ∈ C ∞ (U), la función
p ∈ V −−→ D F p f ∈ R,
está en C ∞ (V ) y el espacio D F (U), existe una biyección verificando las siguientes
condiciones:
(i) Si D F , E F ∈ D F (U), entonces para cada p ∈ V
(D F + E F )p = D F p + E F p .

62 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
(ii) Si f ∈ C ∞ (V ), entonces para cada p ∈ V
(f · D F )p = f(p) · D F p .
Indicación.- Consideremos D F p f = D F f(p).
Ejercicio 1.4.3.- Sea F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1, diferenciable.
(a) Demostrar que para cada D ∈ D(V ) y p ∈ V
(F∗D)p = F∗Dp.
(b) Demostrar que para cada campo D ∈ D(U) y p ∈ V
[F ∗ D]p = D F (p),
y que DF (U) es un módulo libre con base
F ∗
∂
,
∂xi
para cada sistema de coordenadas lineales xi en U.
(c) Demostrar que {D F p ∈ T F (p)(E1) : p ∈ V }, satisface las condiciones
de (a) —y por tanto define un campo a soporte D F ∈ D F (U)— si y
sólo si
σ : V −−→ T (U) , σ(p) = D F p ,
es una aplicación de clase ∞, tal que π ◦ σ = F .
Solución. (b) Basta demostrar punto a punto la igualdad
D F n
= (D
i=1
F xi)F ∗
∂
.
∂xi
(c) Consideremos la aplicación H : V → E1, definida para cada p ∈ V como el
vector H(p) ∈ E1, correspondiente por el isomorfismo canónico T F (p)(E1) → E1, a
D F p . Es decir que si D F p = hi(p)[∂/∂xi] F (p), entonces H(p) = hi(p)ei —para ei
la base dual de xi—. En estos términos tenemos que
{D F p ∈ T F (p)(E1) : p ∈ V },
satisface las condiciones de (a) si y sólo si las hi ∈ C∞ (V ), es decir si y sólo si H es
de clase ∞, ahora bien esto equivale a que la aplicación σ(p) = DF p sea de clase ∞,
pues
V
σ
−−→ T (U) p → σ(p) = DF ⏐
F
⏐
⏐
⏐ p
⏐
U −−→ U × E1 F (p) → (F (p), H(p))

1.10. Ejercicios resueltos 63
Ejercicio 1.5.3.- Demostrar que para p ∈ U y dpf = 0, el hiperplano
H = {Dp ∈ Tp(E) : dpf(Dp) = 0},
es tangente a la hipersuperficie S = {x : f(x) = f(p)}, en el sentido de que
coincide con el conjunto de vectores
∂
{Dp ∈ Tp(E) : ∃X : I → U, X(0) = p, X(t) ∈ S, X∗ = Dp}.
∂t 0
Solución. Es fácil demostrar que este conjunto está en el hiperplano. Recíprocamente
supongamos que p = (pi) ∈ U y supongamos que ∂f(p)/∂xn = 0,
entonces por el teorema de la función implícita existe una función g definida en
un entorno V de (p1, . . . , pn−1), tal que g(p1, . . . , pn−1) = pn y
f(x1, . . . , xn−1, g(x1, . . . , xn−1)) = f(p),
para cada (x1, . . . , xn−1) ∈ V . Consideremos cualquier Dp = ai∂ip ∈ H y la curva
x1(t) = p1 + ta1, . . . , xn−1(t) = pn−1 + tan−1,
xn(t) = g[x1(t), . . . , xn−1(t)],
para la que X(0) = p y f[X(t)] = f(p) y derivando esta ecuación en t = 0 y teniendo
en cuenta que Dpf = 0 y x ′ i (0) = ai para i = 1, . . . , n − 1
n ∂f
(p)x
∂xi i=1
′ n ∂f
i (0) = 0 = (p)ai
∂xi i=1
⇒ x ′ n(0) = an,
lo cual implica que
∂
X∗ = Dp.
∂t 0
Ejercicio 1.6.5.- Consideremos un producto interior < ·, · > en E, una base
ortonormal ei y el sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a esta
base. Demostrar que:
(i) Para toda f ∈ C k+1 (U)
grad f = ∂f ∂
∈ Dk(U).
∂xi ∂xi
(ii) Que el campo D = grad f, es un campo perpendicular a las superficies
de nivel de f.
(iii) Que si U ⊂ R 2 , entonces el campo grad f define en cada punto x el
vector Dx el cual indica la dirección y sentido de máxima pendiente de la
gráfica de f en el punto (x, f(x)).
Demostración. (b) Por el Ejercicio (1.5.3), Ex ∈ Tx(E) es tangente a la superficie
de nivel {f = f(p)} si y sólo si, para D = grad f, se tiene que
< Dx, Ex > = dxf(Ex) = 0.
(c) La pendiente de la gráfica de f en el punto x, relativa a la dirección vx es
vxf = dxf(vx) =< Dx, vx >,
la cual es máxima, entre vectores vx de igual módulo, cuando vx tiene la misma
dirección y sentido que Dx.

64 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Ejercicio 1.7.5.- Dados a, c ∈ R, encontrar la solución de yzx = xzy que
satisface cz = (x − y) 2 cuando x + y = a.
Indicación. Buscamos una función f tal que Df = 0, para D = y∂x − x∂y que
es el campo de los giros, por tanto como Dρ = 0, para ρ = x2 + y2 se tiene que
D = (Dθ)∂θ, por lo tanto Df = 0 sii fθ = 0, es decir f = f(ρ). Ahora queremos que
su gráfica z = f(ρ) contenga a la curva del enunciado, para ello observemos que en
x+y = a, ρ2 = x2 +y2 = a2 −2xy, por tanto −2xy = ρ2 −a2 y (x−y) 2 = ρ2 −2xy =
2ρ2 − a2 , por lo tanto la solución es
z = 2ρ2 − a2 .
c
Ejercicio 1.7.6.- (a) Encontrar dos integrales primeras del campo de R 3
D = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y + (1 + z2 ) ∂
∂z .
(b) Encontrar una integral primera común a los campos de R 3
D = −y ∂ ∂
∂ ∂
+ x , E = 2xz + 2yz
∂x ∂y ∂x ∂y + (x2 + y 2 − 1 − z 2 ) ∂
∂z .
Solución. (a) Consideremos la 1–forma incidente
xdx + ydy = ρdρ,
para ρ = x 2 + y 2 . Ahora consideremos otra 1–forma incidente
1
dy −
x
1
(1 + z2 dz =
)
1
dy −
ρ2 − y2 1
dz,
1 + z2 y como Dρ = 0, también es incidente con D la 1–forma
d arc sen y
− arctan z = d(θ − arctan z),
ρ
por tanto la función en coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z), θ − arctan z es otra integral
primera.
(b) Considerar el sistema de coordenadas (ρ, θ, z).
Ejercicio 1.8.2.- Encontrar la curva integral —en forma implícita—, del campo
de R 3
D = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y + (1 + z2 ) ∂
∂z ,
que pasa por (1, 0, 0).
Solución. En el ejercicio (1.7.6) encontramos dos integrales primeras de este
campo en las coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z),
x 2 + y 2 , θ − arctan z,
por tanto nuestra curva solución en forma implícita satisface
x 2 + y 2 = 1, z = tan θ = y/x.
Ejercicio 1.9.1.- Encontrar la curva 9 cuya tangente en cada punto P corta al
eje y en un punto Q tal que P Q = L y pasa por (L, 0).
Indicación.
9 Tal curva se denomina tractriz.

1.10. Ejercicios resueltos 65
Supondremos que L = 1, el caso arbitrario se
obtiene haciendo una homotecia de razón L. Del
enunciado se sigue que y(1) = 0, como además
y ′ √
1 − x2 = − ,
x
la solución se obtiene integrando
√
1 1 − x2 y(x) =
dx = log
x x
1 + √ 1 − x2 −
x
1 − x2 .
L
L
Figura 1.20. Tractriz
Ejercicio 1.9.2.- Encontrar la ecuación de las curvas que en cada punto la
normal determina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio es
el dado.
Indicación. El ejemplo de la pág.40 es igual pero para la tangente y se llega a
la ecuación y ′ = −y/x. En nuestro caso la pendiente es la perpendicular, por tanto
y ′ = x/y, es decir (y 2 ) ′ = 2x = (x 2 ) ′ y la solución son las hipérbolas y 2 − x 2 = cte.
Ejercicio 1.9.3.- Encontrar la ecuación de las curvas que en cada punto P la
normal corta al eje x en un punto A tal que OP = P A.
Indicación. Como OAP es un triángulo isosceles, tendremos que si OP = (x, y),
AP = (−x, y) y es la dirección de la normal, por tanto la de la tangente (y, x), es decir
que y ′ = x/y que es la del ejercicio anterior 1.9.2 y sus soluciones son las hipérbolas
y 2 − x 2 = cte.
Ejercicio 1.9.4.- Encontrar las curvas del semiplano x > 0, que para cada punto
suyo P , el área del triángulo que forman la tangente, el eje y y la paralela al eje
x por P , es proporcional al área de la región limitada por la curva, la tangente
y el eje y (contando area positiva si la curva está por debajo de la tangente y
negativa en caso contrario).
Demostración. Como la tangente corta al eje y, no es vertical y la curva vamos
a poder expresarla como función de x, y = y(x). Si la pendiente de la tangente en x
es y ′ = b/x, tendremos que b = xy ′ es uno de los lados del triángulo que tiene área
A = xb/2 = x2y ′ /2. Ahora si llamamos B al otro área y C = x
0 y(x)dx, tendremos
que A + B + C = xy y si existe k > 0, tal que B = kA, tendremos para r = (k + 1)/2
(y derivando)
xy = (k + 1)A + C = rx 2 y ′ x
+ y(x)dx ⇒
0
y + xy ′ = 2rxy ′ + rx 2 y ′′ + y ⇒ y ′ (1 − 2r) = rxy ′′ ,
y si llamamos R = (1 − 2r)/r = −2k/(k + 1), (log y ′ − R log x) ′ = 0, por tanto y ′ x −R
es constante y la solución es
cte · log x, si R = −1 ⇔ k = 1
cte · x p , si R = −1, p = R + 1 =
1 − k
1 + k
⇔ k = 1 − p
1 + p .

66 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Ejercicio 1.9.5.- Encontrar las curvas en el semiplano y > 0, tales que para
cada punto P su proyección A en el eje x se proyecta en el punto B de la
normal en P a la curva, de modo que P B sea de longitud constante.
Indicación. Si encontramos las curvas solución para la constante 1, la homotecia
de razón k nos dará la solución para P B = k. Por otra parte en cada punto P = (x, y)
no hay ninguna normal que cumpla el enunciado si y < 1, pues P AB forman un
triángulo rectángulo con hipotenusa P A = y. Para y > 1 hay dos normales (simétricas
respecto de la vertical por P ) que cumplen el enunciado, que corresponden a las
pendientes y ′ = ±AB = ± y 2 − 1, por tanto tenemos dos posibles ecuaciones
dx +
dy
dy
= 0, dx − = 0,
y2 − 1 y2 − 1
las cuales son exactas, diferenciales de x ± log(y + y 2 − 1), por lo tanto las dos
soluciones son para cada constante a
y + y 2 − 1 = e ±x+a ⇔ y 2 − 1 = (e ±x+a −y) 2 ⇔ y = e±x+a
2
+
1
,
2 e ±x+a
que es una única familia de curvas traslación en la dirección del eje x de y =
(e x + e −x )/2 = cosh x (ver la catenaria en la pág.54).
Ejercicio 1.9.7.- Si es cierto 10 que en una economía la velocidad de disminución
del número de personas y(x), con un salario de por lo menos x euros, es
directamente proporcional al número de personas e inversamente proporcional
a su salario mínimo, obténgase la expresión de y en términos de x llamada ley
de Pareto.
Solución.- Sea y(x) el número de personas con salario ≥ x, entonces y ′ (x) =
ky(x)/x, por tanto y(x) = ax k .
Ejercicio 1.9.8.- La ley experimental de Lambert 11 establece que las láminas
delgadas de un material transparente absorben la luz que incide en ellas de
forma proporcional a la intensidad de la luz incidente y al ancho de la lámina
que atraviesa. Exprésese esta ley dando la fórmula que da la intensidad de luz
que sale de un medio de ancho L.
Solución.- Sea y(x) la intensidad de luz en el ancho x, contando desde la superficie
del material. Entonces y(x) = y(x + ɛ) + A(x, x + ɛ), donde A(x, x + ɛ) = ky(x)ɛ
es la intensidad absorbida por la parte del material entre los anchos x y x + ɛ, por
tanto y ′ (x) = −ky(x) y la solución es y(L) = y(0) e −Lx .
Ejercicio 1.9.10.- Una masa se desplaza infinitesimalmente del punto mas alto
de una esfera lisa de radio L y empieza a resbalar sin rozamiento ni rotación.
¿En que punto y con que velocidad se separa de la esfera?
Solución.- Las ecuaciones del movimiento de la masa son las mismas que las del
péndulo mientras la masa se mantenga sobre la esfera, es decir
10 Como pensaba el economista Vilfredo Pareto
11 Lambert, Johann Heinrich (1728–1777), fue un matemático, físico, astrónomo y
filósofo alemán de origen francés.

1.10. Ejercicios resueltos 67
Lθ ′′ (t) = −g sen θ, −Lθ ′ (t) 2 = g cos θ + F,
y buscamos el punto en el que F = 0, es decir L 2 θ ′ (t) 2 /2 = −gL cos θ/2, de la
curva integral de condiciones iniciales (π, ɛ) con ɛ ∼ 0 —observemos que la solución
correspondiente a ɛ = 0 es constante, la masa se queda sobre la esfera sin moverse
y se mueve si la desplazamos infinitesimalmente con velocidad ɛ ∼ 0—. Por tanto
nuestra curva está en h = h(π, ɛ), es decir
por tanto
L 2 θ ′2
2 − gL cos θ = L2 ɛ 2 /2 + gL,
Figura 1.21.
−3gL cos θ/2 = L 2 ɛ 2 /2 + gL,
y haciendo ɛ → 0, tenemos cos θ = −2/3. La velocidad en ese punto está dada por
z = 2gL/3.
Ejercicio 1.9.11.- Justifíquese por qué un reloj de péndulo atrasa si lo llevamos
del polo al ecuador y estímese la proporción de abultamiento de la Tierra en
esos puntos, si un mismo intervalo temporal (medido en ambos puntos con
otro reloj) en uno de los puntos el reloj de péndulo lo mide de 1h, 10 ′ y 52 ′′ y
en el otro de 1h, 10 ′ y 38 ′′ .
Solución.- Si Ri es la distancia desde cada punto (uno en el polo y el otro en el
ecuador), al centro de la Tierra y los períodos del péndulo son respectivamente Ti,
tendremos por la fórmula (1.12), que
R1
R2
= T1
T2
= 1h + 10′ + 38 ′′
1h + 10 ′ 2119
=
+ 52 ′′ 2126 ,
pues si el reloj después de m ciclos de péndulo marca 1h + 10 ′ + 38 ′′ y después de n
marca 1h + 10 ′ + 52 ′′ , tendremos que (1h + 10 ′ + 38 ′′ )/m = (1h + 10 ′ + 52 ′′ )/n, pues
la aguja del reloj se mueve proporcionalmente al movimiento del péndulo; y como
tardan el mismo tiempo real en hacer esos ciclos (de periodos T1 y T2), tendremos la
segunda igualdad.
Ejercicio 1.9.12.- Nos movemos en un columpio de longitud L, con el asiento a
distancia r del suelo (que está horizontal). Salimos con velocidad nula y ángulo
α con la vertical, pasamos el punto más bajo un ángulo β y nos tiramos en
marcha dejándonos caer por la gravedad hasta llegar al suelo. Calcular el
tiempo que pasamos en el aire y la distancia en el suelo desde el pie del

68 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
columpio al lugar de llegada; demostrar que esta distancia es independiente de
la gravedad y que la velocidad con que llegamos al suelo es independiente de
β. Dar su valor.
L
a
r
b
p
(a,b)
Figura 1.22. Columpio
Solución.- Del ejemplo del péndulo pág.48, sabemos que nuestra velocidad v(θ),
mientras estamos en el columpio satisface
v(θ) 2
2 − gL cos θ = cte = v2 (α)
2
por tanto la velocidad con la que salimos del columpio es
− gL cos α = −gL cos α,
(a, b) = v(β)(cos β, sen β) = 2gL(cos β − cos α)(cos β, sen β),
y el punto del que salimos es p = (p1, p2) = (L sen β, L + r − L cos β), a partir del
cual seguimos una parábola, de ecuaciones parametrizadas por el tiempo,
x(t) = p1 + ta, y(t) = p2 + tb − t2
2 g,
ahora poniendo y = 0, despejamos el tiempo pedido t en la segunda ecuación y
puesto este valor en la primera encontramos la distancia pedida. Observemos que
p1 no depende de g, que a es proporcional a √ g mientras que t es inversamente
proporcional a √ g. En cuanto a la velocidad tenemos por la segunda ecuación anterior
que 2yg = 2p2g + 2tbg − t 2 g 2 , por tanto
x ′2 + y ′2 = a 2 + (b − tg) 2 = a 2 + b 2 − 2tgb + t 2 g 2 = a 2 + b 2 + 2p2g − 2yg,
y para y = 0 la velocidad pedida es independiente de β y vale
a 2 + b 2 + 2p2g = 2g(L + r) − 2gL cos α.

1.11. Bibliografía y comentarios 69
1.11. Bibliografía y comentarios
Los libros consultados en la elaboración de este tema han sido:
Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geo-
metry”. Ac. Press, 1975.
Collatz, L.: “Differential Equations. An introduction with applications”. John Wi-
ley and Sons, 1986.
Crampin, M. and Pirani, F.A.E.: “Applicable Differential Geometry”. Cambridge
University Press, 1988.
Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacio-
nal, 1983.
Los creadores del cálculo diferencial fueron Isaac Newton y Leibnitz,
para los que la derivada de una función era el cociente de la diferencial
de la función y la diferencial de su argumento —el nombre de
diferencial de una función f, así como su notación df es de Leibnitz,
Isaac Newton la llamaba momento de la función—. El tratamiento
que da Leibnitz del tema nos ha llegado a través de unas lecciones de
Análisis de L’Hopital, en las cuales se encuentra un tratamiento de las
ecuaciones diferenciales en curvas muy superior al que tratan los libros
en la actualidad, hasta el punto que introduce conceptos como el de la
diferencial covariante, que los libros de análisis han perdido y sólo se
encuentra en libros de Geometría.
Fin del Tema 1

70 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Tema 2
Teoremas fundamentales
de Ecuaciones
diferenciales
2.1. Grupo uniparamétrico
A lo largo del tema, denotaremos con E un espacio vectorial real
de dimensión n, en el que consideraremos un sistema de coordenadas
lineales xi, correspondientes a una base ei.
Definición. Sea U un abierto de E, diremos que una aplicación
X : R × U −−→ U,
es un flujo ó un grupo uniparamétrico si se tienen las siguientes propiedades:
a) Para todo p ∈ U, X(0, p) = p.
b) Para todo p ∈ U y t, s ∈ R,
X(t, X(s, p)) = X(t + s, p).
71

72 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Definición. Diremos que un grupo uniparamétrico X es de clase k si X
es de clase k y las ∂Xi/∂t son de clase k en R × U, para Xi = xi ◦ X y
xi un sistema de coordenadas lineales en E.
Si X es un grupo uniparamétrico en U de clase k, podemos definir
las siguientes aplicaciones de clase k asociadas a él:
Para cada t ∈ R y cada p ∈ U
Xt : U −−→ U, Xp : R −−→ U,
tales que Xt(p) = X(t, p) para todo p ∈ U y Xp(t) = X(t, p) para todo
t ∈ R.
Nota 2.1 Observemos que cada Xt : U −→ U es realmente un difeomorfismo
de clase k, para cada t ∈ R, pues tiene inversa que es de clase k,
ya que es X−t. Además observemos que en términos de las aplicaciones
Xt, las propiedades (a) y (b) de grupo uniparamétrico se expresan de la
forma
X0 = id, Xt+s = Xt ◦ Xs,
por lo que que el conjunto
{Xt, t ∈ R},
es un grupo de difeomorfismos de clase k que opera sobre U, y que esta
forma de operar tiene una simple interpretación. Para cada t ∈ R y para
cada p ∈ U, Xt(p) es el punto de U al que llega p en el tiempo t.
Entenderemos por grupo uniparamétrico indistintamente a X, al grupo
de difeomorfismos Xt con t ∈ R, o a la familia de curvas Xp con p ∈ U.
Veamos unos ejemplos simples de flujos de clase ∞ en R n :
Ejemplo 2.1.1 Las traslaciones.- Sea a ∈ R n fijo, definimos para cada
t ∈ R,
Xt : R n −→ R n , Xt(x) = x + ta.
Ejemplo 2.1.2 Las homotecias.- Para cada t ∈ R definimos
Xt : R n −→ R n , Xt(x) = e t x.
Ejemplo 2.1.3 Los giros en R 2 .- Para cada t ∈ R, sea
Xt : R 2 −→ R 2 , Xt(x, y) = (x cos t − y sen t, x sen t + y cos t).
Veamos ahora el concepto localmente.

2.1. Grupo uniparamétrico 73
Definición. Sea U un abierto de E y sea W un abierto de R × U conteniendo
a {0} × U, tal que para cada p ∈ U, el conjunto
I(p) = {t ∈ R : (t, p) ∈ W},
es un intervalo abierto de R conteniendo al origen. Diremos que una
aplicación
X : W −−→ U,
es un grupo uniparamétrico local si se verifica que:
a) Para cada p ∈ U, X(0, p) = p.
b) Si t ∈ I(p) y q = X(t, p), entonces I(p) = I(q) + t, es decir
y se tiene que
s ∈ I(q) ⇔ t + s ∈ I(p),
X(s + t, p) = X(s, X(t, p)).
Diremos que el grupo uniparamétrico local X es de clase k si X es
de clase k y las ∂Xi/∂t son de clase k en W, para Xi = xi ◦ X.
Si denotamos
I = ∪{I(p) : p ∈ U} = π1(W),
para π1(t, x) = t, y para cada t ∈ I consideramos los abiertos de U y las
aplicaciones
Ut = {p ∈ U : (t, p) ∈ W}, Xt : Ut −−→ U−t, Xt(p) = X(t, p),
entonces (a) y (b) se transforman respectivamente en
a) X0 = id: U −→ U.
b) Ut+s = Xs(Ut) y en ese dominio Xt+s = Xt ◦ Xs.
Veremos a continuación que todo grupo uniparamétrico en U define
un campo tangente en U. Tal campo nos da en cada punto un vector
del espacio tangente que representa la velocidad del movimiento en ese
punto. Por otra parte veremos mas adelante que estos vectores juntos,
es decir el campo tangente, producen un movimiento en el abierto U, es
decir definen un grupo uniparamétrico.
Teorema del generador infinitesimal de un grupo unip. 2.2
Sea X un grupo uniparamétrico local de clase k. Para cada f ∈ C ∞ (U)
y p ∈ U definimos
(Df)(p) = lím
t→0
f[X(t, p)] − f(p)
,
t
entonces D ∈ Dk(U) y lo llamaremos el generador infinitesimal de X.

74 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Demostración.- Considerando un sistema de coordenadas lineales
xi en E y aplicando la regla de la cadena, se tiene que Df ∈ C k (U), pues
Df(p) =
∂f ◦ X
(0, p) =
∂t
n ∂f
i=1
∂xi
y que D es una derivación se sigue de serlo la ∂/∂t.
Nota 2.3 i) Observemos que para cada p ∈ U
(p) ∂Xi
(0, p),
∂t
Xp : I(p) −−→ U , Xp(t) = X(t, p),
es la curva integral de D pasando por p en el instante 0, es decir
Xp(0) = p , Xp∗
∂
= DXp(t). ∂t t
ii) Observemos que para cada x ∈ U y cada t ∈ R,
Df ◦ Xp = (f ◦ Xp) ′ .
Proposición 2.4 Todo flujo local Xt, deja invariante a su generador infinitesimal
D, es decir, para todo t ∈ I y p ∈ Ut,
Xt∗Dp = D X(t,p).
Demostración.- Sea p ∈ Ut, q = Xt(p) y g ∈ C ∞ (U), entonces
[Xt∗Dp]g = Dp(g ◦ Xt)
[g ◦ Xt ◦ Xs](p) − [g ◦ Xt](p)]
= lím
s→0
s
= (Dg)(q) = Dqg.
Ejercicio 2.1.1 Encontrar los generadores infinitesimales de las traslaciones,
homotecias y giros en R 2 .

2.2. Existencia de solución 75
2.2. Existencia de solución
A lo largo de la lección U será un abierto de un espacio vectorial
E de dimensión n, en el que hemos elegido una base ei y su sistema de
coordenadas lineales correspondiente xi. Con esta elección E se identifica
con Rn .
Sea D ∈ D0(U) un campo tangente continuo, K un compacto de
U, p ∈ ◦
K y t0 ∈ R. Queremos saber si existe alguna curva integral
de D pasando por p en el instante t0, es decir si existe algún intervalo
real I = (t0 − a0, t0 + a0), y una curva X : I −→ U de clase 1, tal que
X(t0) = p y para todo t ∈ I
X∗
∂
= DX(t), ∂t t
ó equivalentemente para p = (p1, . . . , pn), X = (Xi) y el campo tangente
D = fi∂/∂xi, si existen funciones X1, . . . , Xn : I −→ R, satisfaciendo
el sistema de ecuaciones diferenciales
Xi(t0) = pi , X ′ i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)],
para i = 1, . . . , n, ó en forma vectorial para
si existe X : I −→ U, tal que
ó en forma integral
F = (f1, . . . , fn) , X ′ = (X ′ 1, . . . , X ′ n),
X(t0) = p , X ′ (t) = F [X(t)],
X(t) = p +
t
t0
F [X(s)]ds,
entendiendo que la integral de una función vectorial es el vector de las
integrales.
A lo largo de la lección consideraremos en R n una norma cualquiera.

76 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Lema 2.5 Sea K un compacto en un abierto U de R n , p ∈ ◦
K, t0 ∈ R
y F : U −→ R n continua. Entonces existe I = (t0 − a0, t0 + a0), con
a0 > 0, tal que para todo ɛ > 0 existe Z : I −→ U, diferenciable salvo en
un número finito de puntos, tal que Z(I) ⊂ K, Z(t0) = p y salvo en el
número finito de puntos
Z ′ (t) − F [Z(t)] ≤ ɛ.
Demostración. Como F : U −→ R n es continua es uniformemente
continua en K. Dado ɛ > 0 consideremos un δ > 0 tal que si x, y ∈ K y
x − y ≤ δ entonces
F (x) − F (y) ≤ ɛ.
Sean r > 0 tal que B(p, r) ⊂ K, M = sup{ F (x) : x ∈ K},
a0 = r/M, I = (t0 − a0, t0 + a0) y sea m ∈ N tal que r/m ≤ δ.
Ahora para cada i ∈ Z,, con −m ≤ i ≤ m, definimos ti = t0+(i/m)a0
y partiendo de Z(t0) = p, definimos para t ∈ [ti, ti+1]
Z(t) =
Z(ti) + (t − ti)F [Z(ti)] si i ≥ 0
Z(ti+1) + (t − ti+1)F [Z(ti+1)] si i ≤ −1,
para lo cual basta demostrar que Z(ti) ∈ B(p, r), y esto es así porque
Z(t1) − p = Z(t1) − Z(t0)
≤ M a0 r
= < r,
m m
Z(t−1) − p ≤ M a0
< r,
m
y por inducción
| i |
Z(ti) − p ≤ r < r.
m
Para esta Z se tiene
(2.1) Z(t) − Z(s) ≤ M | t − s |,
para t, s ∈ I. De donde se sigue, tomando s = t0, que Z(t) − p ≤
Ma0 = r y por tanto que Z(I) ⊂ K. Además si t ∈ I y t = ti entonces t
está en algún (ti, ti+1) y por tanto
Z ′ (t) − F [Z(t)] = F [Z(ti)] − F [Z(t)] ≤ ɛ,
pues Z(ti) − Z(t) ≤ M(a0/m) ≤ r/m ≤ δ.

2.2. Existencia de solución 77
Como consecuencia podemos asegurar la existencia de curvas integrales
de campos continuos.
Teorema de Existencia de Cauchy–Peano 2.6 Sea D ∈ D0(U) un campo
continuo, p ∈ U y t0 ∈ R, entonces existe a0 > 0 y
X : I = (t0 − a0, t0 + a0) −−→ U,
de clase 1, solución de D pasando por p en el instante t0.
Demostración. Para cada n ∈ N apliquemos el lema anterior para
ɛ = 1/n. Tendremos así que existe una sucesión de curvas
Zn : I −−→ U,
tales que Zn(t0) = p, Zn(I) ⊂ K y salvo para un número finito de
puntos,
Z ′ n(t) − F [Zn(t)] ≤ 1
n .
Ahora de la desigualdad (2.1) se sigue que {Zn} es una familia equicontinua
y uniformemente acotada. Aplicando el Teorema de Ascoli,
existe una subsucesión de Zn, que llamaremos igual, que converge uniformemente
en I a una X, la cual es continua por serlo las Zn.
Consideremos la sucesión de aplicaciones
Hn(t) =
Z ′ n(t) − F [Zn(t)] si Zn es diferenciable en t,
0 si no lo es.
Se sigue que Hn → 0 uniformemente en I. Como Zn → X uniformemente
y F es uniformemente continua, tendremos que F ◦ Zn → F ◦ X
uniformemente, y por tanto (F ◦ Zn + Hn) → F ◦ X uniformemente. Se
sigue así que
Gn(t) =
t
t0
[F [Zn(s)] + Hn(s)]ds → G(t) =
t
t0
F [X(s)]ds,
siendo así que por continuidad Zn(t) = p + Gn(t), por tanto X(t) =
p + G(t), es decir
X(t) = p +
t
t0
F [X(s)]ds.

78 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
2.3. Aplicaciones Lipchicianas
Definición. Sean (E1, d1) y (E2, d2) espacios métricos. Diremos que una
aplicación φ: E1 −→ E2 es Lipchiciana si existe k > 0 tal que
d2[φ(x), φ(y)] ≤ kd1(x, y),
para cualesquiera x, y ∈ E1.
Si k < 1, entonces diremos que φ es contractiva.
Se sigue que si
φ: (E1, d1) −−→ (E2, d2),
es lipchiciana entonces no sólo es continua sino uniformemente continua.
Definición. Diremos que φ: (E1, d1) −→ (E2, d2) es localmente lipchiciana
si para cada p ∈ E1 existe un entorno suyo en el que φ es lipchiciana.
Nota 2.7 Obsérvese que si los Ei son espacios normados, entonces la
desigualdad de la definición dice,
φ(x) − φ(y) 1≤ k x − y 2 .
Ahora bien, si los espacios normados son de dimensión finita, entonces
no es necesario especificar de que normas se está hablando, pues al ser
equivalentes todas las normas en un espacio vectorial finito–dimensional,
si la desigualdad es cierta con una elección de normas lo será para cualquier
otra, modificando la constante k como corresponda.
Esto permite definir la noción de aplicación lipchiciana entre espacios
vectoriales de dimensión finita.
Ejercicio 2.3.1 Sean E, E1 y E2 espacios vectoriales de dimensión finita. Demostrar
que
f = (f1, f2): E −−→ E1 × E2,
es localmente lipchiciana si y sólo si lo son f1 y f2.
Teorema de las aplicaciones contractivas 2.8 Sea (E, d) un espacio métrico
completo. Si φ: E −→ E es contractiva, entonces existe un único
x ∈ E tal que φ(x) = x.

2.3. Aplicaciones Lipchicianas 79
Demostración. La unicidad es obvia. Veamos la existencia.
Sea x0 ∈ E cualquiera y definamos la sucesión xn = φ(xn−1), para
n ≥ 1. Entonces se tiene
d(xn+1, xn) ≤ kd(xn, xn−1) ≤ . . . ≤ k n d(x1, x0)
d(xn+m, xn) ≤ d(xn+m, xn+m−1) + · · · + d(xn+1, xn)
≤ (k n+m−1 + · · · + k n+1 + k n )d(x1, x0)
≤ kn
1 − k d(x1, x0),
de donde se sigue que {xn} es de Cauchy, y por ser E completo, {xn} →
x ∈ E. Ahora como φ es continua tendremos que
φ(x) = φ(lím xn) = lím φ(xn) = lím xn+1 = x.
Lema 2.9 Si E1 y E2 son espacios normados y φ: E1 −→ E2 es localmente
lipchiciana, entonces φ es lipchiciana en cada compacto de E1.
Demostración. Veámoslo primero para un compacto K convexo.
En este caso basta recubrir el compacto con un número finito de bolas
abiertas en las que φ sea lipchiciana. Entonces si las constantes de lipchicianidad
en las bolas son k1, . . . , kn, tendremos que k1 + · · · + kn es
la constante de lipchicianidad en el compacto.
Ahora bien todo compacto K está dentro de un compacto convexo,
por ejemplo su envolvente convexa, pues ésta es la imagen continua de
K × K × [0, 1] por la aplicación
F (x, y, λ) = λx + (1 − λ)y.
Sea E un espacio vectorial real de dimensión finita. Para cada abierto
U ⊂ E denotaremos con
L(U) = {f : U −−→ R, localmente lipchicianas.}
Proposición 2.10 a) L(U) es una R–álgebra.
b) C 1 (U) ⊂ L(U) ⊂ C(U).
c) Si f ∈ L(U) entonces f es lipchiciana en cada compacto de U.
d) Si f ∈ L(U) es de soporte compacto, entonces f es lipchiciana.
Demostración. (a) Hágase como ejercicio.

80 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
(b) Es consecuencia del teorema del valor medio, pues nos asegura
que
n ∂f
f(x) − f(y) = (z)(xi − yi),
∂xi
i=1
para x, y ∈ E y z entre x e y.
(c) Sea K ⊂ U compacto y sea V un abierto tal que K ⊂ V ⊂
Adh (V ) ⊂ U —basta tomar para cada x ∈ K una B(x, r) ⊂ U y
considerar un subrecubrimiento finito de las B(x, r/2)). Ahora tomamos
h ∈ C ∞ (E) tal que h(K) = 1 y h(E − V ) = 0, entonces hf ∈ L(E) y
hf = f es lipchiciana en K.
(d) Basta ver la desigualdad, para x ∈ sop f e y ∈ (sop f) c . Como
existe un t ∈ (0, 1], tal que z = tx + (1 − t)y ∈ ∂sop (f), tendremos por
el lema anterior que
| f(x) − f(y) |=| f(x) |=| f(x) − f(z) |≤ k x − z ≤ k x − y .
Definición. Llamaremos campo tangente localmente lipchiciano a las
derivaciones
D : C ∞ (U) −−→ L(U),
y denotaremos con DL(U) el módulo libre sobre L(U) de estos campos
con las operaciones naturales.
En cualquier sistema de coordenadas ui de clase ∞ en U, D =
Dui∂/∂ui, con las Dui ∈ L(U).
Definición. Sean E1, E2 y E3 espacios vectoriales de dimensión finita y
U ⊂ E1, V ⊂ E2 abiertos. Diremos que f : U × V −→ E3 es lipchiciana
en V uniformemente en U, si para una elección de normas, existe k > 0
tal que
f(x, v1) − f(x, v2) ≤ k v1 − v2 ,
para todo x ∈ U y v1, v2 ∈ V .
Diremos que f es localmente lipchiciana en V uniformemente en U
si para cada (p, q) ∈ U × V existen Up entorno de p en U, Vq entorno de
q en V y k > 0 tales que
f(x, v1) − f(x, v2) ≤ k v1 − v2 ,
para todo x ∈ Up, y v1, v2 ∈ Vq.
Con LU (U ×V ) denotaremos las funciones f : U ×V −→ R, continuas
y localmente lipchicianas en V uniformemente en U.

2.3. Aplicaciones Lipchicianas 81
Definición. Llamaremos campo tangente localmente lipchiciano en V ⊂
E2, uniformemente en U ⊂ E1 a las derivaciones
D : C ∞ (U × V ) −−→ LU (U × V ),
las cuales forman un módulo libre DU (U×V ) respecto de la R–álgebra
LU (U × V ), para el que se tiene
D(U × V ) ⊂ . . . ⊂ D1(U × V ) ⊂ DL(U × V )
⊂ DU (U × V ) ⊂ D0(U × V ).
Ejercicio 2.3.2 a) Demostrar que si f : U × V −→ E3 es localmente lipchiciana
entonces es localmente lipchiciana en V uniformemente en U y que L(U ×V ) ⊂
LU (U × V )
b) Demostrar que f = (fi): U × V −→ R k es localmente lipchiciana en V
uniformemente en U si y sólo si lo son las fi.
c) Si f ∈ LU (U × V ), entonces f es lipchiciana en cualquier compacto
K2 ⊂ V , uniformemente en cualquier compacto K1 ⊂ U.
Ejercicio 2.3.3 Sean E, E1 y E2 espacios vectoriales reales de dimensión finita,
U ⊂ E abierto y A: U −→ L(E1, E2) continua. Demostrar que
f : U × E1 −−→ E2 , f(x, v) = A(x)(v),
es localmente lipchiciana en E1 uniformemente en U.
Ejercicio 2.3.4 Demostrar que:
a) LU (U × V ) es una R–álgebra.
b) L(U × V ) ⊂ LU (U × V ) ⊂ C(U × V ).
Ejercicio 2.3.5 Demostrar que si σ : I ⊂ R → R n es una curva diferenciable,
entonces en σ = 0, |σ| ′ = |σ ′ | cos(σσ ′ ).
Ejercicio 2.3.6 Demostrar que si en [a, b], y ′ ≤ ky + r con k > 0 y r ∈ R,
entonces
y(x) ≤ y(a) e k(x−a) + r
k (ek(x−a) −1).

82 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Ejercicio 2.3.7 Demostrar que si F : U ⊂ R n → R n es Lipschiciana en el
abierto U, con constante k y σi : I = (a, b) ⊂ R → U, i = 1, 2, son dos curvas
diferenciables para las que 0 ∈ I y |σ ′ i − F (σi)| ≤ ɛ/2, entonces para t ≥ 0 e
y(t) = |σ1(t) − σ2(t)|
y(t) ≤ y(0) e kt + ɛ
k (ekt −1).
2.4. Unicidad de solución
Nuestra intención ahora es analizar bajo que condiciones la solución
del sistema de ecuaciones diferenciales, para i = 1, . . . , n,
X ′ i(t) = fi[X1(t), . . . , Xn(t)],
que ya sabemos que existe cuando las fi son continuas, es única cuando
fijamos las condiciones iniciales, Xi(t0) = pi, para un t0 ∈ R y un punto
p ∈ U de coordenadas (pi).
La continuidad de las fi no bastan para asegurar la unicidad de
solución, como pone de manifiesto el siguiente ejemplo en R:
x ′ (t) = | x(t) |,
en el que para p = 0 tenemos mas de una solución. Por un lado la
aplicación constante x(t) = 0, y por otro para cada c ≥ 0
0 para t ≤ c,
xc(t) = 1
4 (t − c)2 para t ≥ c.
Ahora bien si les pedimos a las fi que sean localmente lipchicianas,
la unicidad de solución estará asegurada.
Nota 2.11 No obstante debemos observar que en R se tiene que toda
ecuación diferencial
x ′ = f(x),
para f continua y no nula, tiene solución única, satisfaciendo la condición
inicial x(t0) = p0. Pues considerando g = dx/f(x), tal que g(p0) = t0,
tendremos que de existir tal solución x(t), debe verificar
x ′ (t)
= 1,
f[x(t)]

e integrando
g[x(t)] − t0 =
2.4. Unicidad de solución 83
x(t)
x(t0)
dx
f(x) =
t
x
t0
′ (t)
dt = t − t0,
f[x(t)]
por lo que g[x(t)] = t, es decir que x debe ser la inversa de g, que existe
y es única pues g es estrictamente monótona, ya que tiene derivada no
nula.
Recordemos que si existe una solución de la ecuación diferencial —en
notación vectorial—
X ′ (t) = f[X(t)],
que satisfaga la condición inicial X(t0) = p, entonces tal solución satisface
la ecuación integral
X(t) = p +
t
t0
f[X(s)]ds,
y recíprocamente cualquier solución de esta ecuación integral es solución
de la ecuación diferencial satisfaciendo la condición inicial fijada.
Teorema de Unicidad de solución 2.12 Dados D ∈ DL(U), p ∈ U y
t0 ∈ R. Existe un intervalo abierto I ⊂ R, con t0 ∈ I y una curva
integral X : I −→ U, de D satisfaciendo X(t0) = p, única y máxima en
el siguiente sentido: Si Y : J −→ U es otra curva integral de D tal que
t0 ∈ J e Y (t0) = p, entonces J ⊂ I y X = Y en J.
Demostración. Basta demostrar que si U es abierto de R n , F : U →
R n es localmente lipchiciana y existen Y : I −→ U y Z : J −→ U soluciones
de X ′ = F ◦ X que verifican
Y (t0) = Z(t0) = p ∈ U,
para un t0 ∈ I ∩ J, entonces Y = Z en I ∩ J.
Consideremos el conjunto
A = {t ∈ I ∩ J : Y (t) = Z(t)},
entonces t0 ∈ A, A es cerrado —pues Y y Z son continuas— y es abierto
como veremos a continuación. De esto se seguirá, por la conexión de
I ∩ J, que A = I ∩ J.

84 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Veamos que A es abierto. Sean a ∈ A y q = Y (a) = Z(a), entonces
Y (t) = q +
Z(t) = q +
t
a
t
a
F [Y (s)]ds,
F [Z(s)]ds,
por tanto en el entorno de a, (a−ɛ, a+ɛ), tal que [a−ɛ, a+ɛ] = I1 ⊂ I∩J y
el compacto K = Y (I1) ∪ Z(I1), en el que F es lipchiciana con constante
k, tendremos —considerando la norma del máximo en R n — que,
Y (t) − Z(t) ≤ k | t − a | sup{ Y (s) − Z(s) : a ≤ s ≤ t},
y si k | t − a |< 1, tendremos que en un entorno de a, Y (t) = Z(t).
Basta definir entonces X, de la forma obvia, en la unión de todos los
posibles intervalos I que sean solución del problema.
Definición. Para cada p ∈ U llamaremos curva integral máxima de D
pasando por p a la aplicación
Xp : I(p) −−→ U,
dada por el teorema anterior, para t0 = 0. Diremos que D es un campo
completo si I(p) = R, para cada p ∈ U.
2.5. Grupo Uniparamétrico de un campo
Sea D = fi∂i ∈ DL(U) con curvas integrales máximas Xp para
cada p ∈ U. Si denotamos con I(p) el intervalo abierto máximo en el que
está definida cada Xp, podremos considerar el conjunto
y la aplicación
WD = {(t, p) ∈ R × U : t ∈ I(p)},
(2.2) X : WD −−→ U , X(t, p) = Xp(t).
En esta lección veremos que WD es abierto, que X es continua y
que es grupo uniparamétrico local. Empecemos por lo último. Como es
habitual denotaremos F = (fi).

2.5. Grupo Uniparamétrico de un campo 85
Proposición 2.13 En las condiciones anteriores, X satisface las propiedades
de grupo uniparamétrico local:
a) Para cada p ∈ U, X(0, p) = p.
b) Si s ∈ I(p) y q = X(s, p), entonces I(p) = I(q) + s, es decir
t ∈ I(q) si y sólo si t + s ∈ I(p) y X(t + s, p) = X(t, X(s, p)).
Demostración Veamos la propiedad (b):
Sean s ∈ I(p) y q = Xp(s), y definamos para cada t ∈ I(p) − s
entonces como Y (0) = q y
Y (t) = Xp(t + s),
Y ′ (t) = X ′ p(t + s) = F [Xp(t + s)] = F [Y (t)],
tenemos que Y es una curva integral de D pasando por q, y por el
Teorema de unicidad, I(p) − s ⊂ I(q) e Y (t) = Xq(t). Por razones
análogas será I(q) + s ⊂ I(p), por tanto I(p) = I(q) + s.
Ejercicio 2.5.1 Encontrar el grupo uniparamétrico de los campos ∂x/x en
(0, ∞) y x 2 ∂x en R.
Veamos ahora que X : WD −→ U es continua en algún entorno de
(0, p) para cada p ∈ U.
Consideraremos en R n la norma del máximo y elijamos un ɛ > 0 y
un punto p ∈ U. Ahora sea r > 0 tal que
y denotemos
K = B[p, r] ⊂ U,
I = [−ɛ, ɛ] , K1 = B[p, r/2] , M = máx{ F (x) : x ∈ K}.
Consideremos el espacio de Banach B de las aplicaciones continuas
con la norma del máximo
Y : I × K1 −−→ R n ,
Y = máx{ Y (t, λ) : (t, λ) ∈ I × K1}.

86 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Consideremos ahora la bola cerrada, en este espacio, centrada en la
aplicación constante igual a p y de radio r,
Br = {Y ∈ B : Y − p ≤ r}
= {Y : I × K1 −→ K, continuas}.
En estos términos Br es un espacio métrico completo.
Ahora definimos la aplicación φ que a cada Y : I × K1 −→ U le hace
corresponder la aplicación φ(Y ) = Z definida por
Z : I × K1 −−→ R n , Z(t, λ) = λ +
t
0
F [Y (s, λ)]ds.
Proposición 2.14 a) Para cada Y ∈ Br, φ(Y ) ∈ B, es decir
φ: Br −→ B.
b) Si 0 < ɛ < r/2M, entonces para cada Y ∈ Br, φ(Y ) ∈ Br, por
tanto
φ: Br −−→ Br.
c) Si k > 0 es una constante de lipchicianidad de las fi en K, entonces
φ es contractiva para ɛ < 1/k.
Demostración.- (a) Veamos que Z es continua en cada punto (t, λ).
Para cada (a, µ) ∈ I × K1, próximo a (t, λ), tendremos que
Z(t, λ) − Z(a, µ) ≤ Z(t, λ) − Z(t, µ) + Z(t, µ) − Z(a, µ) ≤
≤ λ − µ + máx
+ máx
i
a
t
i
t
0
|fi[Y (s, µ)]|ds.
|fi[Y (s, λ)] − fi[Y (s, µ)]|ds+
Ahora el segundo sumando es pequeño por la uniforme continuidad
de fi ◦ Y y porque | t | es acotado, y el tercero porque está acotado por
| t − a | máx{| fi ◦ Y |: I × K1, i = 1, . . . , n}.
(b) Ahora si 0 < ɛ < r/2M, entonces φ(Y ) − Q ≤ r.

2.5. Grupo Uniparamétrico de un campo 87
(c) Si X, Y ∈ Br y k es la constante de lipchicianidad de las fi en K,
entonces
φ(X)(t, λ) − φ(Y )(t, λ) ≤ máx
por tanto
≤ k
t
i
0
t
φ(X) − φ(Y ) ≤ kɛ X − Y .
0
| fi[X(s, λ)] − fi[Y (s, λ)] | ds
X − Y ds ≤ kɛ X − Y ,
Teorema de Continuidad local del grupo uniparamétrico 2.15
Sea D ∈ DL(U) y p ∈ U, entonces existe un abierto entorno de p,
V ⊆ U y un intervalo I = (−ɛ, ɛ) tales que I × V ⊂ WD y la aplicación
X : I × V −→ U, es continua.
Demostración.- Basta tomar V = B(p, r/2) y aplicar el resultado
anterior —y el Teorema de punto fijo—, tomando 0 < ɛ < 1/k.
Nota 2.16 Observemos que además X : I × V −→ U podemos construirla
por el Teorema de punto fijo (2.8), sin mas que partir de una
X0 ∈ Br arbitraria y luego considerando la sucesión Xm+1 = φ(Xm ), es
decir
X m+1 (t, λ) = λ +
t
0
F [X m (s, λ)]ds.
En estas condiciones sabemos que X m converge uniformemente a X.
Por último observemos que el abierto V , entorno de p, podemos tomarlo
de tal forma que contenga al compacto que queramos de U. Para
ello basta recubrir el compacto por abiertos en las condiciones anteriores
y tomar un subrecubrimiento finito, y el mínimo de los ɛ.
Teorema de Continuidad del grupo uniparamétrico 2.17
La aplicación X de (2.2), es un grupo uniparamétrico local en U, que es
de clase k si lo es en algún entorno de (0, p), para cada p ∈ U. Además
su generador infinitesimal es D.
Demostración.- Supongamos que para cada p ∈ U, X es de clase
k en algún entorno de (0, p) —esto es cierto, por el Teorema de continuidad
local, para k = 0—, y veamos que WD es abierto y X es de
clase k en él.

88 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Sea (t0, p0) ∈ WD y demostremos la existencia de un δ > 0 y de un
entorno abierto V , de p0 en U, tales que
(t0 − δ, t0 + δ) × V = I × V ⊂ WD,
y X : I × V −→ U es de clase k.
Para t0 = 0 es nuestra hipótesis.
Supongamos que existe un z ∈ U para el que el teorema no es válido.
Como para (0, z) lo es, tendremos que existe un t0 ∈ I(z) que es el
mínimo de todos los t ∈ I(z), con t > 0, para los que no es cierto que
existan δt > 0 y Vt entorno abierto de z tales que
(t − δt, t + δt) × Vt ⊂ WD,
y en él X es de clase k. Veamos que de esto se sigue una contradicción.
Sea p = X(t0, z), entonces existe δ1 > 0 y Vp ⊂ U, entorno abierto
de p, tales que (−δ1, δ1) × Vp ⊂ WD y
X : (−δ1, δ1) × Vp ⊂ WD −−→ U,
es de clase k. Como p = Xz(t0) ∈ Vp y Xz es continua, existirá t1 ∈
(t0 − δ1, t0) tal que X(t1, z) ∈ Vp. Pero entonces por nuestra hipótesis
existirá un δ > 0 y Vz entorno abierto de z en U tales que (t1 − δ, t1 +
δ) × Vz ⊂ WD y
X : (t1 − δ, t1 + δ) × Vz ⊂ WD −−→ U,
es de clase k.
Ahora bien podemos tomar δ > 0 y Vz más pequeños verificando
X(t, y) ∈ Vp, para cada (t, y) ∈ (t1 − δ, t1 + δ) × Vz pues X(t1, z) ∈ Vp y
X es continua.
Así para cada q ∈ Vz tenemos que q1 = X(t1, q) ∈ Vp, por tanto
como
(−δ1, δ1) × Vp ⊂ WD,
será (−δ1, δ1) ⊂ I(q1), lo cual equivale —ver la propiedad (b) de grupo
uniparamétrico local— a que
(−δ1, δ1) ⊂ I(q1) = I(q) − t1,
es decir (t1 − δ1, t1 + δ1) ⊂ I(q), y esto para todo q ∈ Vz. Es decir que
(t1 − δ1, t1 + δ1) × Vz ⊂ WD,

2.6. Grupo Unip. de campos subidos 89
y en él X es de clase k, pues es composición de
H : (t1 − δ1, t1 + δ1) × Vz −−→ (−δ1, δ1) × Vp, H(t1 + s, q) = (s, X(t1, q)),
y de
X : (−δ1, δ1) × Vp −−→ U,
ya que X(t1 + s, q) = X(s, X(t1, q)).
Pero como t0 ∈ (t1 − δ1, t1 + δ1) llegamos a un absurdo.
Por último es fácil ver que D es el generador infinitesimal de X.
2.6. Grupo Unip. de campos subidos
Definición. Sean U ⊂ R n y V ⊂ R m abiertos. Diremos que E ∈ D0(U ×
V ) es una subida de D ∈ D0(U), si para π : U × V −→ U, π(x, y) = x, π
lleva E en D, es decir si para cada (x, y) ∈ U × V se tiene que
π∗E (x,y) = Dx.
Si en U tenemos un sistema de coordenadas (xi) y en V otro (yj)
y en U × V consideramos el sistema de coordenadas (xi, yj), tendremos
que para una subida
de un campo
E =
n
i=1
gi
D =
m ∂
+
∂xi
n
i=1
fi
j=1
gn+j
∂
,
∂xi
se tiene que para i = 1, . . . , n y (x, y) ∈ U × V
gi(x, y) = fi(x).
∂
,
∂yj
Sea E ∈ DU (U ×V ) localmente lipchiciano en V uniformemente en U,
que sea una subida de un campo D ∈ DL(U) localmente lipchiciano en U.

90 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Veremos que entonces el campo E también tiene grupo uniparamétrico
local y es continuo.
Con X : WD −→ U denotaremos el grupo uniparamétrico local de D.
Teorema 2.18 Para cada λ = (p, q) ∈ U × V y cada t0 ∈ R, existe una
única curva integral Z : I −→ U × V de E pasando por λ en el instante
t0, máxima en el sentido de que si Y : J −→ U × V es otra, con t0 ∈ J,
entonces J ⊂ I y en J, Z = Y .
Demostración.- Basta ver que si
Y1 : J1 −−→ U × V , Y2 : J2 −−→ U × V,
están en estas condiciones entonces Y1 = Y2 en J1 ∩ J2.
En tales condiciones se tiene que π ◦ Y1 y π ◦ Y2 son soluciones de D
pasando por p en t0, por tanto coinciden en J1 ∩ J2. Se concluye con un
argumento similar al del Teorema de unicidad (2.12) .
Podemos entonces considerar para cada λ ∈ U × V , la curva integral
máxima de E pasando por λ en el instante 0
el conjunto
y la aplicación
Z(., λ): I(λ) −−→ U × V,
WE = {(t, λ) ∈ R × U × V : t ∈ I(λ)},
Z : WE −−→ U × V.
Ejercicio 2.6.1 a) Demostrar que Z es grupo uniparamétrico local.
b) Que para cada λ = (p, q) ∈ U ×V , I(λ) ⊂ I(p), y que para cada t ∈ I(λ)
π[Z(t, λ)] = X(t, p).
Teorema 2.19 Para cada (p, q) ∈ U ×V existen abiertos Up y Vq, entornos
de p y q en U y V respectivamente y un intervalo I = (−ɛ, ɛ) para
los que es continua la aplicación
Z : I × Up × Vq −−→ U × V.
Demostración.- Básicamente se hace como en el Teorema de continuidad
local. Consideremos en R n , R m y R n × R m la norma del
máximo.

2.6. Grupo Unip. de campos subidos 91
Sea λ = (p, q), r > 0 tal que K = B[λ, r] ⊂ U × V y consideremos
los compactos
Kp = B[p, r/2] , Kq = B[q, r/2].
Sea k > 0 una constante de lipchicianidad uniforme para todas las gi
en K, para E = gi∂i, y
M = máx{| gi(µ) |: µ ∈ K, i = 1, . . . , n + m}.
Consideremos ahora un ɛ > 0, el intervalo I = [−ɛ, ɛ] y el espacio de
Banach de las aplicaciones continuas
Z : I × Kp × Kq −−→ R n+m ,
con la norma del supremo. Consideremos ahora en él, el espacio métrico
completo BX, de las
Z : I × Kp × Kq −−→ K,
continuas, tales que πZ(t, x, y) = X(t, x). En estas condiciones si para
cada Z ∈ BX definimos
φ(Z): I × Kp × Kq −−→ R n+m , φ(Z)(t, µ) = µ +
t
0
G[Z(s, µ)]ds,
para G = (gi), tendremos que φ: BX −→ BX si tomamos el ɛ < r/2M.
Además para ɛ < 1/k, φ es contractiva y existe Z ∈ BX, tal que
φZ = Z, que es lo que queríamos.
Nota 2.20 Observemos que podemos construir Z a partir de las funciones
Fi del campo E, como límite de una sucesión de la forma
Z n+1 (t, λ) = λ +
t
0
G[Z n (s, λ)]ds.
Teorema 2.21 En las condiciones anteriores WE ⊂ WD × V es abierto,
Z es un grupo uniparamétrico local continuo, que es de clase k si lo es
en algún entorno de (0, λ) para cada λ ∈ U ×V , que verifica π ◦Z(t, λ) =
X(t, πλ), y cuyo generador infinitesimal es E.
Demostración.- Básicamente se hace como en el Teorema de continuidad
(2.17).

92 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
2.7. Diferenciabilidad del grupo unip.
Sea D ∈ Dk(U) un campo tangente en un abierto U de R n . Y sea
X : WD −→ U su grupo uniparamétrico local. Veremos en esta lección
que X = (Xi) y la ∂X/∂t son de clase k. Para ello basta demostrar que
X lo es, pues si D = fi∂/∂xi, tendremos que para F = (fi)
∂X
∂t (t, p) = X′ p(t) = F [Xp(t)] = F [X(t, p)],
y por tanto la ∂X/∂t es de clase k si lo son F y X.
Sabemos que
Xi(t, p) = pi +
t
0
fi[X(s, p)]ds,
y se sigue que de existir las ∂Xi/∂xj, y llamándolas Xij, para i, j =
1, . . . , n, tendrían que verificar
Xij(t, p) = δij +
t
donde fik = ∂fi/∂xk, y por tanto
(2.3) Xij(0, p) = δij ,
ó en forma vectorial, definiendo
X j = ∂X
∂xj
⎛
⎜
= ⎜
⎝
X j (0, p) = ej,
0
∂X1
∂xj
∂Xn
∂xj
[
n
fik[X(s, p)]Xkj(s, p)]ds,
k=1
∂Xij
(t, p) =
∂t
n
fik[X(t, p)]Xkj(t, p)
k=1
.
⎞
⎟
⎠ ,
∂fi
A(x) = (x)
∂xj
∂X j
∂t = A(X) · Xj .

2.7. Diferenciabilidad del grupo unip. 93
Esto nos sugiere que definamos el sistema de 2n ecuaciones diferenciales
en el abierto U × R n ⊂ R 2n
(2.4)
Z ′ 1 = g1[Z1, . . . , Zn, Zn+1, . . . , Z2n],
.
.
Z ′ 2n = g2n[Z1, . . . , Zn, Zn+1, . . . , Z2n],
donde gi : U × Rn −→ R están definidas de la forma gi(x, y) = fi(x),
para i = 1, . . . , n y
⎛ ⎞
gn+1(x, y)
⎜ . ⎟
⎝ . ⎠ = A(x) · y,
g2n(x, y)
—donde estamos entendiendo y como vector columna— y considerar el
campo
2n ∂
E = gi ∈ DU (U × R
∂zi
n ),
i=1
que es una subida de D ∈ DL(U).
Es obvio que si existe X j = (∂Xi/∂xj) y es continua en t, entonces
(Xp, X j ) es una solución particular de (2.4), la que pasa por los puntos
de la forma (p, ej), para ej = (δji).
Teorema de diferenciabilidad del grupo uniparamétrico 2.22
Si D ∈ D1(U) entonces su grupo uniparamétrico local X : WD −→ U es
de clase C 1 .
Demostración.- El Teorema de continuidad del grupo uniparamétrico
de campos subidos, nos asegura que el grupo uniparamétrico local
del campo subido E
Z : WE −−→ U × R n ,
es continuo y verifica para i = 1, . . . , 2n,
Z(t, λ) = λ +
t
0
G[Z(s, λ)]ds,
siendo, para cada λ = (p, v), I(λ) ⊂ I(p) y en él, para i = 1, . . . , n
Zi(t, p, v) = Xi(t, p).

94 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Por (2.17) basta comprobar que existen y son continuas las ∂Xi/∂xj
en un entorno de los puntos de la forma (0, p) ∈ WD.
Ahora bien X podemos construirla localmente como vimos en la nota
(2.16), de la siguiente forma. Para cada p ∈ U existe un ɛ > 0 y dos
entornos compactos de p en U, Kp ⊂ K ⊂ U, tales que
(2.5) X : [−ɛ, ɛ] × Kp −−→ K,
es límite uniforme de la sucesión
X m : [−ɛ, ɛ] × Kp −−→ K,
definida recurrentemente, para F = (fi), por
X m (t, q) = q +
t
partiendo de una aplicación continua
0
F [X m−1 (s, q)]ds,
X 0 : [−ɛ, ɛ] × Kp −−→ K,
arbitraria. Si tomamos X0 (t, q) = p, tendremos que todas las Xm son
diferenciables en (−ɛ, ɛ) × ◦
Kp. Tomando ahora un ɛ mas pequeño y cualquier
compacto entorno de p en ◦
Kp, y llamándolos igual, podemos entonces
definir la sucesión
de la forma
Y m
i (t, q) = ∂Xm i
∂xj
ó en forma vectorial
Y m : [−ɛ, ɛ] × Kp −−→ R n ,
(t, q) = δij +
Y m (t, q) = ej +
t
t
Consideremos ahora la aplicación
0
0
[
n
k=1
fik[X m−1 (s, q)] · Y m−1
k (s, q)]ds,
A[X m−1 (s, q)] · Y m−1 (s, q)ds.
Y : [−ɛ, ɛ] × Kp −−→ R n ,
Y (t, q) = [Zn+1(t, q, ej), . . . , Z2n(t, q, ej)]
= ej +
t
0
[A[X(s, q)] · Y (s, q)]ds.

2.7. Diferenciabilidad del grupo unip. 95
En estas condiciones se tiene que (X m , Y m ) converge uniformemente
a (X, Y ) en el compacto [−ɛ, ɛ] × Kp. Para verlo basta demostrar que
Y m → Y uniformemente.
≤
≤
Y m (t, q) − Y (t, q) ≤
t
0
t
+
≤ k
0
t
0
t
0
A[X m−1 (s, q)] · Y m−1 (s, q) − A[X(s, q)] · Y (s, q) ds
A[X m−1 (s, q)] · Y m−1 − Y ds+
A[X m−1 (s, q)] − A[X(s, q)] · Y ds
Y m−1 − Y ds + am−1,
donde k = sup{ A(x) : x ∈ K}, y an → 0, pues X m → X uniformemente
y A es continua por tanto uniformemente continua en K.
Modifiquemos ahora el ɛ en (2.5) para que se tenga k · ɛ < 1/2, y
definamos
bm = Y m − Y ,
entonces
0 ≤ bm ≤ am−1 + bm−1
2 ,
y tomando límites superiores se sigue que bm → 0.
Tenemos entonces que para i = 1, . . . , n
X m i → Xi,
∂X m i
∂xj
= Y m
i → Yi,
uniformemente. De esto se sigue que existe la ∂Xi/∂xj = Yi que es
continua pues Z lo es y
(2.6) Z(t, q, ej) = [X(t, q), Y (t, q)].
Así X es de C 1 en un entorno de (0, p), para cada p ∈ U, y el resultado
se sigue.
Ahora si D = fi∂i ∈ D2(U), es decir es de clase 2, entonces
E = ∂
gi ∈ D1(U × R
∂zi
n ),

96 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
y podemos aplicar el resultado anterior, es decir que Z : WE −→ U × R n
es de clase 1. Ahora se sigue de (2.6), pág.95, que X es de clase 2 en
algún entorno de (0, p) para cada p ∈ U, y de (2.17), pág.87, que X es
de clase 2.
Repitiendo el argumento anterior tenemos el siguiente resultado.
Corolario 2.23 Si D ∈ Dk(U) entonces su grupo uniparamétrico local es
de clase k.
Corolario 2.24 Si D ∈ D(U) entonces su grupo uniparamétrico local es
de clase infinito.
Definición. Diremos que un punto p ∈ U es un punto singular de un
campo D ∈ D(U) si Dp = 0.
2.7.1. Clasificación local de campos no singulares.
Terminamos esta lección viendo que todos los campos no singulares
en un punto, son localmente el mismo: el campo de las traslaciones.
Teorema del flujo 2.25 Sea D ∈ Dk(U), y Dp = 0, para un p ∈ U.
Entonces existe un abierto coordenado Up, entorno de p en U, con coordenadas
u = (u1, . . . , un), de clase k, tal que en Up
D = ∂
.
∂u1
Demostración.- Podemos considerar un sistema de coordenadas lineales
xi en E, tales que Dp = (∂/∂x1)p, para ello basta considerar
la identificación canónica Tp(E) −→ E y el vector e1 ∈ E correspondiente
a Dp, extenderlo a una base ei y considerar su base dual xi.
Sea X : WD −→ U el grupo uniparamétrico local de D y consideremos
un ɛ > 0 y un entorno abierto V de 0 tal que Vp = p + V ⊆ U y
(−ɛ, ɛ) × Vp ⊂ WD.
Consideremos ahora el abierto de R n−1
A = {(y2, . . . , yn) ∈ R n−1 : (0, y2, . . . , yn) ∈ V },

2.7. Diferenciabilidad del grupo unip. 97
y la aplicación diferenciable F : (−ɛ, ɛ) × A → U
F (y1, . . . , yn) = X(y1, (p1, p2 + y2, . . . , pn + yn)),
donde p = (p1, . . . , pn).
Para esta función se tiene que F (0) = p, F (t, 0, . . . , 0) = X(t, p),
y para i ≥ 2
F (y1, . . . , yn) = q ⇔ F (t + y1, y2, . . . , yn) = X(t, q),
(2.7) F (0, . . . , 0, yi, 0, . . . , 0) = (p1, . . . , pi + yi, . . . , pn).
Veamos que F es un difeomorfismo local en 0 y llamemos por comodidad
(yi) a las coordenadas en (−ɛ, ɛ) × A. Entonces para Fi = xi ◦ F
tendremos
∂Fi
∂y1
y por (2.7),
xi[F (t, 0, . . . , 0)] − xi[F (0)]
(0) = lím
= Dxi(p) = δi1,
t→0
t
∂Fi
(0) = δij.
∂yj
Entonces existen abiertos A0 de 0 en (−ɛ, ɛ) × A y Up de p en U tales
que F : A0 −→ Up es un difeomorfismo de clase k.
Si llamamos (u1, . . . , un) a la inversa de F en Up, es decir ui =
yi ◦ F −1 , tendremos que en estas coordenadas
D = ∂
,
∂u1
Figura 2.1. Teorema del flujo

98 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
pues en todo punto q = F (a1, . . . , an) ∈ Up, tenemos que
yi[F
Dui(q) = lím
t→0
−1 (X(t, q))] − yi[F −1 (q)]
= lím
t→0
t
yi(t + a1, a2, . . . , an) − yi(a1, . . . , an)
t
= δ1i.
Corolario 2.26 Sea D ∈ Dk(U) y X : WD −→ U su grupo uniparamétrico
local. Si p ∈ U y Dp = 0, entonces existe un entorno de p, Up ⊂ U,
con coordenadas (ui), tal que si q ∈ Up tiene coordenadas (x1, . . . , xn),
(t, q) ∈ WD y X(t, q) ∈ Up, entonces X(t, q) tiene coordenadas
(t + x1, x2, . . . , xn).
Demostración. Basta observar que al ser D = ∂/∂u1, entonces
(u1 ◦ Xq) ′ (t) = 1 , (ui ◦ Xq) ′ (t) = 0.
2.8. Campos completos
Sean D ∈ D(U) y f ∈ L(U), con f = 0, ¿qué relación existe entre
las órbitas de D y las de fD?. Parece natural pensar que deben ser
iguales, pues en cada punto p ∈ U, no modificamos la dirección del
vector tangente, sólo su tamaño Dp por f(p)Dp.
Figura 2.2. Órbitas de D y de fD

2.8. Campos completos 99
No obstante aunque las trayectorias son iguales hay una diferencia,
el tiempo que se tarda en llegar a cada punto de la trayectoria, pues si la
recorremos con velocidad D tardamos el doble que si la recorremos con
velocidad 2D, es decir que las curvas integrales máximas de D y fD tienen
parametrizaciones distintas. En el siguiente resultado justificaremos
esta afirmación y lo que es mas importante, daremos la relación que hay
entre las dos parametrizaciones.
Teorema 2.27 Sean D ∈ Dk(U) y f ∈ C k (U), (para k = 0 localmente
lipchicianos), con f = 0 en todo U. Si σ1 : I1 −→ U y σ2 : I2 −→ U son
las curvas integrales máximas de D y fD respectivamente, pasando por
un p ∈ U, entonces existe un difeomorfismo
de clase k + 1 tal que σ2 = σ1 ◦ h.
h: I2 −−→ I1,
Demostración. Si tal difeomorfismo existiera tendría que satisfacer
que para cada t ∈ I2, x = σ2(t) = σ1[h(t)], D = n
i=1 fi∂i y F = (fi),
h ′ (t)F (x) = h ′ (t)σ ′ 1[h(t)] = [σ1 ◦ h] ′ (t)
= σ ′ 2(t) = f[σ2(t)] · F [σ2(t)]
= f[σ2(t)] · F (x).
Definamos entonces h: I2 −→ R de la forma
h(t) =
t
0
f[σ2(s)]ds.
Entonces h es de clase k y creciente (ó decreciente), pues h ′ = 0,
y h ′ es por tanto positiva en todo punto (ó negativa). Se sigue que h
es difeomorfismo local —por tanto h(I2) = J1 es abierto— y que es
inyectiva, por tanto tiene inversa y h es un difeomorfismo de clase k.
Ahora se demuestra fácilmente que
σ2 ◦ h −1 : J1 −−→ U,
es una curva integral de D que pasa por p, por tanto J1 ⊂ I1 y en J1,
σ2 ◦ h −1 = σ1, por tanto en I2, σ2 = σ1 ◦ h.
Falta ver que J1 = I1.

100 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Por la misma razón si definimos g : I1 −→ R
g(t) =
t
0
1
f[σ1(s)] ds,
tendremos que g es un difeomorfismo de I1 en un intervalo abierto J2 ⊂
I2 y en él σ1 ◦ g −1 = σ2, por tanto en I2, (g ◦ h) ′ = 1 y en I1, (h ◦ g) ′ = 1,
y como en el origen g y h se anulan, son inversas, por lo que J2 = I2 y
J1 = I1.
Lema 2.28 Sean D ∈ Dk(U), p ∈ U y Xp : I(p) −→ U la curva integral
máxima de D pasando por p. Si existe una sucesión tn ∈ I(p) = (a, b),
para la que tn → b, siendo −∞ < b < ∞, entonces no existe compacto
en U que contenga a la sucesión Xp(tn). En particular tal sucesión no
tiene punto límite en U. Similármente para a.
Demostración.- Supongamos que existe un compacto K en U tal
que pn = Xp(tn) ∈ K. Consideremos para cada q ∈ K un entorno Vq, de
q en U y un ɛq > 0 tal que
(−ɛq, ɛq) × Vq ⊂ WD,
donde X : WD −→ U es el grupo uniparamétrico local de D. Por ser K
compacto existe un subrecubrimiento finito V1, . . . , Vn de K, y un ɛ > 0
tales que (−ɛ, ɛ) × Vi ⊂ WD. Tomemos un N ∈ N tal que para n ≥ N,
tn > b − ɛ. Como pn = X(tn, p) ∈ K y por tanto a algún Vi, tendremos
que
(−ɛ, ɛ) ⊂ I(pn) = I(p) − tn,
y por tanto (tn − ɛ, tn + ɛ) ⊂ I(p), lo cual contradice que tn > b − ɛ.
Que los pn no tienen punto límite en U se sigue de que todo punto
de U tiene un entorno compacto y basta aplicar lo anterior.
Corolario 2.29 Si I(p) = (a, b) es un intervalo acotado, entonces la trayectoria
de p, Im Xp, es un cerrado de U.
Demostración.- Tenemos que demostrar que si Op = Xp(I(p)) y
qn ∈ Op, tiene límite q ∈ U, entonces q ∈ Op. Como qn = Xp(tn) con
tn ∈ I(p) y tn tiene un punto límite t ∈ [a, b], tendremos que si t ∈ I(p),
por ser Xp continua, Xp(t) = q, y si t = b —ó t = a—, entonces del
resultado anterior se sigue que q no existe.
Veamos ahora algunas condiciones suficientes para que un campo sea
completo.

2.8. Campos completos 101
Teorema 2.30 Todo campo lipchiciano D definido en todo E es completo.
Demostración.- Recordando la demostración de (2.14), para este
caso particular, tenemos que el grupo uniparamétrico X está definido en
[−ɛ, ɛ] × Kq, para un compacto Kq —cualquiera en nuestro caso— que
contenga al q elegido y un ɛ > 0, que sólo depende de la constante de
lipchicianidad k del campo D —recordemos que kɛ < 1—.
Poniendo E como unión expansiva de compactos, vemos que X está definida
en [−ɛ, ɛ] × E, y por tanto para todo p ∈ E, [−ɛ, ɛ] ⊂ I(p).
Para ver que X está definida en [−2ɛ, 2ɛ]×E, basta coger un r ∈ [−ɛ, ɛ]
arbitrario y q = X(r, p). Como [−ɛ, ɛ] ⊂ I(q) = I(p) − r, tendremos que
[r − ɛ, r + ɛ] ⊂ I(p) y por tanto [−2ɛ, 2ɛ] ⊂ I(p), y esto para todo p. El
argumento se sigue inductivamente.
Corolario 2.31 Si D ∈ D1(E) y es de soporte compacto, es decir Dx = 0
fuera de un compacto, entonces D es completo.
Definición. Dados D, E ∈ Dk+1(U), definimos la derivada covariante
de E respecto de D como el campo D ∇ E ∈ Dk(U), tal que para cada
p ∈ U
(D ∇ E)p = lím
t→0
EX(t,p) − Ep
,
t
donde X es el grupo uniparamétrico de D. (Sobrentendemos la identificación
canónica que existe entre los espacios tangentes).
Observemos que si consideramos un sistema de coordenadas lineales
(xi) en E y E = hi∂i, entonces D ∇ E(xi) = Dhi, por tanto
D ∇ E = (Dhi) ∂
.
∂xi
Teorema 2.32 Condición suficiente para que D ∈ Dk(E) sea completo
es que D ó D∇ ∇ D ó,. . ., D . k.
. ∇D, tenga componentes acotadas respecto
de algún sistema de coordenadas lineales.
Demostración.- Hay que demostrar que para cada p ∈ E, I(p) = R.
Sea I(p) = (a, b) y supongamos que b < ∞. Si consideramos un sistema
de coordenadas lineales (xi) en E y denotamos Xp = (X1, . . . , Xn),
tendremos que
Xi(t) = pi +
t
0
gi(s)ds,

102 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
para gi(s) = fi[Xp(s)] y D = fi∂i. Ahora bien la condición del enunciado
es equivalente a que todas las gi ó todas las g ′ i ,. . ., ó las derivadas
de orden k de todas las gi, estén acotadas. En cualquier caso si tn → b,
Xi(tn) es una sucesión de Cauchy —para todo i— y por tanto lo es
Xp(tn) que tiene un punto límite en E, lo cual contradice a (2.28).
Corolario 2.33 Sea D ∈ DL(E), (resp. de clase k). Entonces existe una
función f ∈ L(E), (resp. f ∈ C k (E)), f = 0, tal que fD es completo.
Además f puede elegirse para que tome el valor 1 en un compacto K
dado de E.
Demostración.- Consideremos un sistema de coordenadas lineales
(xi) en E, y sean D = fi∂i y
g =
1
,
1 + f 2
i
entonces gD tiene las componentes acotadas. Ahora consideremos una
función h ∈ C ∞ (E) —ver el tema I—, tal que h[E] = [0, 1], h[K] = 0 y
h[C] = 1, para C cerrado disjunto de K y de complementario acotado.
Entonces
f =
1
,
1 + h f 2
i
satisface el enunciado, pues en K, fD = D, y en C, fD = gD.
Corolario 2.34 Sea U ⊂ E abierto y D ∈ DL(U), (resp. de clase k).
Entonces existe una función f ∈ L(U), (resp. f ∈ C k (U)), f = 0, tal
que fD es completo. Además f puede elegirse para que tome el valor 1
en un compacto K ⊂ U.
Demostración.- Consideremos un sistema de coordenadas lineales
(xi) en E, y sea D = fi∂i con las fi ∈ L(U), (resp. fi ∈ C k (U)),
entonces por (1.12), pág.11, fi = di/hi, para di ∈ L(E), (resp. ∈ C k (E)) y
hi ∈ C∞ (E), siendo hi = 0 en U y hi = 0 en U c . Ahora para h = h1 · · · hn
y gi = di j=i hj, fi = gi/h; y el campo en E, E = gi∂i, coincide en
U con hD y se anula fuera. Ahora aplicando el resultado anterior (2.33),
existe f > 0 tal que fE = fhD es completo, y se sigue el resultado.
Corolario 2.35 Las órbitas de cualquier D ∈ DL(U) son siempre las
órbitas de un campo completo.

2.9. Corchete de Lie de campos tangentes 103
2.9. Corchete de Lie de campos tangentes
En el tema I hemos visto que para cada abierto U de E, Dk(U)
era un módulo sobre C k (U). Ahora veremos que en D(U) tenemos otra
operación natural.
Definición. Sea k ≥ 0 y D, E ∈ Dk+1(U), es fácil ver que la composición
D ◦ E : C ∞ (U) −−→ C k (U),
es R–lineal y se anula en las constantes, aunque no es una derivación
pues no verifica la regla de Leibnitz. Sin embargo
[D, E] = D ◦ E − E ◦ D,
verifica las tres condiciones y es por tanto un campo tangente de Dk(U),
al que llamaremos corchete de Lie de D y E.
Proposición 2.36 Dados D1, D2, D3 ∈ Dk+1(U), f ∈ C k+1 (U), y a, b ∈
R, se tienen las siguientes propiedades:
a) [D1, D2] ∈ Dk(U).
b) [D1, D2] = −[D2, D1].
c) [aD1 + bD2, D3] = a[D1, D3] + b[D2, D3].
d) Identidad de Jacobi:
[D1, [D2, D3]] + [D2, [D3, D1]] + [D3, [D1, D2]] = 0.
e) [D1, fD2] = (D1f)D2 + f[D1, D2].
Demostración.- Hágase como ejercicio.
Definición. Se llama álgebra de Lie en U, a D(U) con el corchete de
Lie [ , ] como producto.
Veamos que el corchete de Lie se conserva por aplicaciones diferenciables.
Proposición 2.37 Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2, de clase k + 1, y para
i = 1, 2, sean Di ∈ Dk(U) y Ei ∈ Dk(V ), tales que F lleva Di en Ei,
entonces F lleva [D1, D2] en [E1, E2].

104 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Demostración.- Basta demostrar —ver Tema I—, que
[D1, D2] ◦ F ∗ = F ∗ ◦ [E1, E2],
lo cual es obvio, pues por hipótesis Di ◦ F ∗ = F ∗ ◦ Ei.
Ejercicio 2.9.1 Demostrar que para cualquier sistema de coordenadas (ui),
∂
,
∂ui
∂
= 0,
∂uj
y si D1 = fi∂i y D2 = gi∂i entonces
[D1, D2] =
n
n
k=1 i=1
fi
∂gk ∂fj ∂
− gi .
∂ui ∂ui ∂uk
Ejercicio 2.9.2 Sean D1, D2 ∈ D1(U) y f, g ∈ C 1 (U). Demostrar que
[fD1, gD2] = fg[D1, D2] + f(D1g)D2 − g(D2f)D1.
Ejercicio 2.9.3 Calcular los tres corchetes de Lie de los campos de R 3 ,
y ∂ ∂
− x
∂x ∂y
∂ ∂
, z − y
∂y ∂z ,
∂ ∂ ∂
+ +
∂x ∂y ∂z .
2.10. Derivada de Lie de campos tangentes
Sean D, E ∈ D(U), con grupos uniparamétricos locales X e Y respectivamente.
Para cada f ∈ C ∞ (U) y p ∈ U podemos definir la función
de clase ∞
G: A ⊂ R 2 −−→ R , G(t, r) = f[X(−t, Y (r, X(t, p)))],
donde A es un entorno abierto del (0, 0) en R 2 .
Es fácil demostrar que para X(t, p) = x
∂G
∂r (t, 0) = E(f ◦ X−t)[X(t, p)] = [(X−t)∗Ex]f.

2.10. Derivada de Lie de campos tangentes 105
Definición. Llamaremos derivada de Lie de E respecto de D al campo
D L E ∈ D(U) que para cada f ∈ C ∞ (U) y p ∈ U vale
(D L E)f(p) = lím
t→0 [ (X−t)∗E X(t,p) − Ep
t
]f = ∂2G (0, 0).
∂r∂t
Hay otra forma de escribir la derivada de Lie que puede resultar mas
sugestiva pues nos da un modelo que ya hemos utilizado y volveremos a
utilizar.
Dado el campo D ∈ D(U) y su grupo uniparamétrico local
X : WD −−→ U,
tendremos que para t ∈ I = ∪p∈U I(p), podemos definir los abiertos de
U, Ut = {p ∈ U : (t, p) ∈ WD}, y los difeomorfismos Xt : Ut −→ U−t,
tales que Xt(p) = X(t, p). Por tanto para cada E ∈ D(U−t) tendremos
que Xt(E) ∈ D(Ut), para [X ∗ t (E)]p = (X−t)∗E X(t,p) y la derivada de
Lie se puede expresar de la forma
D L E = lím
t→0
Observemos el paralelismo con
Df = lím
t→0
X∗ t (E) − E
.
t
X∗ t f − f
.
t
Volveremos sobre esta forma de derivar respecto de un campo en el
tema III.
Teorema 2.38 D L E = [D, E].
Demostración.- Consideremos la función diferenciable
H : B ⊂ R 3 −−→ R , H(t, r, s) = f[X(s, Y (r, X(t, p)))],
donde B es un entorno abierto de (0, 0, 0) en R 3 . Aplicando la regla de
la cadena tendremos que
∂2G ∂r∂t (0, 0) = ∂2H ∂r∂t (0, 0, 0) − ∂2H (0, 0, 0),
∂r∂s
siendo el primer miembro de la expresión de la derecha D(Ef)(p) y
el segundo E(Df)(p). El resultado se sigue de la expresión dada en la
definición.

106 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Teorema 2.39 Sean D, E ∈ D(U). Entonces si X es el grupo uniparamétrico
de D se tiene que D L E = 0 si y sólo si para todo t ∈ I =
∪p∈U I(p), Xt deja a E invariante.
Demostración.- Sea p ∈ U y t ∈ I(p). Como el difeomorfismo
X−t : U−t −→ Ut lleva D en D tendremos que X−t lleva [D, E] en [D, F ],
para el campo definido en Ut, F X(−t,z) = X−t∗Ez. Ahora como D L E = 0,
se sigue que para toda f ∈ C ∞ (U),
0 = [D L F ]f(p) = lím [
r→0 X−r∗FX(r,p) − Fp
]f
r
= lím [
r→0 X−r∗[X−t∗EX(t+r,p)] − X−t∗EX(t,p) ]f,
r
lo cual implica que la función
h(t) = X−t∗E X(t,p)f,
es diferenciable en I(p) y que h ′ (t) = 0. Por tanto tendremos que h(t) =
h(0) = Epf. De donde se sigue que Xt lleva E en E.
Para caracterizar los campos que se anulan al hacerles la derivada de
Lie respecto de uno dado necesitamos el siguiente resultado.
Proposición 2.40 Sea F : U ⊂ E −→ V ⊂ E1 diferenciable. Si X e
Y son los grupos uniparamétricos locales de sendos campos D ∈ D(U)
y E ∈ D(V ) respectivamente, entonces F lleva D en E si y sólo si
F ◦ Xt = Yt ◦ F , en el sentido de que si la expresión de la izquierda
está definida también lo está la de la derecha y son iguales.
Demostración.- “⇒” Para cada p ∈ U y q = F (p) sea Z = F ◦ Xp,
donde Xp es la curva integral máxima de D pasando por p. Entonces
Z(0) = q y
Z∗
∂
∂
= [F∗ ◦ Xp∗] = F∗DXp(t) = EZ(t), ∂t t
∂t t
por lo tanto Z es una curva integral de E pasando por q y por la unicidad
F [X(t, p)] = Y (t, F (p)).
“⇐” Sea p ∈ U y q = F (p), entonces
∂
F∗Dp = F∗[Xp∗
∂t
] = Yq∗
0
∂
= Eq.
∂t 0

2.10. Derivada de Lie de campos tangentes 107
Proposición 2.41 Sean D, E ∈ D(U). Entonces si X e Y son respectivamente
sus grupos uniparamétricos locales, tendremos que [D, E] = 0
si y sólo si localmente Xt ◦ Ys = Ys ◦ Xt, es decir para todo p ∈ U
existe un abierto Up entorno de p y un δ > 0, tal que para |t|, |s| < δ,
Xt ◦ Ys = Ys ◦ Xt en Up. Si los campos son completos la igualdad es en
todo punto y para t, s ∈ R.
Demostración. Sea p ∈ U, entonces como WD ∩ WE es un abierto
de R × U, entorno de (0, p), existe un entorno abierto Vp, de p en U y
un ɛ > 0, tales que
(−ɛ, ɛ) × Vp ⊂ WD ∩ WE,
ahora consideremos el abierto X −1 (Vp) ∩ Y −1 (Vp), también entorno de
(0, p), para el que existe un entorno abierto Up, de p en U y un 0 < δ ≤ ɛ,
tales que (−δ, δ) × Up ⊂ X −1 (Vp) ∩ Y −1 (Vp) y por tanto en el que están
definidas
X, Y : (−δ, δ) × Up → Vp,
entonces se tiene que para todo q ∈ Up y |t|, |s| ≤ δ (Xt ◦ Yq)(s) es una
curva integral de E que en 0 pasa por Xt(q), por tanto coincide con
Ys ◦ Xt(q).
Hemos visto en este último resultado que dos campos conmutan si y
sólo si conmutan sus grupos uniparamétricos. Pongámonos otra vez en
los términos del enunciado. Podemos definir para cada p ∈ U la curva
γ : (−δ, δ) −−→ U , γ(t) = [Y−t ◦ X−t ◦ Yt ◦ Xt](p),
que es constante si [D, E] = 0. Esta curva nos mide, en cierto modo, la
obstrucción que impide que dos campos D y E se comporten como los
campos ∂/∂ui, en el sentido de que su corchete de Lie se anule.
Teorema 2.42 En los términos anteriores
[D L E]f(p) = lím
t→0
f[γ(t)] − f[γ(0)]
t2 .
Demostración. Si consideramos las funciones
H(a, b, c, d) = f[Y (a, X(b, Y (c, X(d, p)))]
h(t) = f[γ(t)] = H(−t, −t, t, t),

108 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
entonces tendremos que calcular el
Ahora bien
y por tanto
h ′ (t) = [− ∂H
∂a
h(t) − h(0)
lím
t→0 t2 = h′′ (0)
2
− ∂H
∂b
+ ∂H
∂c
∂H
+ ](−t, −t, t, t),
∂d
h ′′ (0) = [ ∂2H ∂a2 + ∂2H ∂b2 + ∂2H ∂c2 + ∂2H ∂d2 + 2 ∂2H ∂a∂b − 2 ∂2H ∂a∂c −
− 2 ∂2H ∂a∂d − 2 ∂2H ∂b∂c − 2 ∂2H ∂b∂d + 2 ∂2H ](0, 0, 0, 0) =
∂c∂d
= E(Ef)(p) + D(Df)(p) + E(Ef)(p) + D(Df)(p)+
+ 2D(Ef)(p) − 2E(Ef)(p) − 2D(Ef)(p)−
− 2E(Df)(p) − 2D(Df)(p) + 2D(Ef)(p) =
= 2[D L E]f(p).
Definición. Sea Yt un grupo uniparamétrico en U y E su generador
infinitesimal. Diremos que un campo D ∈ D(U) es invariante por el
grupo Yt si [E, D] = 0, es decir si Yt lleva D en D, ó en otras palabras
cuando Yt transforma curvas integrales de D en curvas integrales de D
—sin alterar su parametrización—.
Definición. Diremos que la ecuación diferencial definida por D es invariante
por el grupo Yt, si existe una función f ∈ C ∞ (U) tal que
[E, D] = fD, para E el generador infinitesimal de Yt.
La importancia de este concepto queda de manifiesto en el siguiente
resultado.
Teorema 2.43 Sean D, E ∈ D(U) y p ∈ U. Si Ep = 0, existe un entorno
V de p en U en el que las siguientes condiciones son equivalentes:
1.- Existe f ∈ C ∞ (V ) tal que [E, D] = fD.
2.- Existe h ∈ C ∞ (V ), invertible tal que [E, hD] = 0.
Demostración.- “⇒”
[E, hD] = (Eh)D + h[E, D] = (Eh)D + hfD = (Eh + hf)D,

2.11. Método de Lie para resolver ED 109
Bastará pues tomar h tal que −f = Eh/h = E(log h), es decir si
E = ∂/∂v1 en un sistema de coordenadas v1, . . . , vn,
h = e − gdx1 (v1, . . . , vn),
donde g(v1, . . . , vn) = f, para tener [E, hD] = 0.
“⇐”
0 = [E, hD] = (Eh)D + h[E, D],
y para f = −Eh/h, será [E, D] = fD.
2.11. Método de Lie para resolver ED
Si en un punto p ∈ U es Ep = 0, entonces existe un entorno de p en
U, (coordenado por funciones (u1, . . . , un), en el que E = ∂/∂un. En tal
caso la condición [E, D] = 0, implica, para
D =
n
i=1
fi
∂
,
∂ui
que ∂fi/∂un = 0, es decir que las funciones fi no dependen de un y por
tanto no están valoradas en R n , sino en R n−1 , con lo cual hemos logrado
rebajar el orden de la ecuación diferencial definida por D.
Esta simple idea, debida a Sophus Lie, es fundamental para la
búsqueda de soluciones de una ecuación diferencial definida por un campo
D en el plano, pues si encontramos un campo E que nos lo deje
invariante, podemos reducirlo — con un cambio de coordenadas — a
una ecuación en la recta que automáticamente queda resuelta.
A continuación vamos a desarrollar este método fijando un campo
E = h ∂ ∂
+ k
∂x ∂y ,
del plano —consideraremos el de las homotecias, el de los giros y el
campo k(x)[∂/∂y]— para encontrar a continuación todas las ecuaciones

110 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
diferenciales del plano definidas genéricamente por un campo
D = f ∂ ∂
+ g
∂x ∂y ,
que son invariantes por el grupo uniparamétrico de E, es decir para las
que [E, D] = 0. Veamos en tal caso como tienen que ser f y g
Ef = Dh = f
E(Dx) = D(Ex)
⇒
E(Dy) = D(Ey)
∂h ∂h
+ g
∂x ∂y
Eg = Dk = f ∂k
⎫
⎪⎬
.
∂k
+ g ⎪⎭
∂x ∂y
1.- ED invariantes por el campo de las Homotecias.
E = x ∂ ∂
+ y
∂x ∂y .
En este caso tenemos que h = x y k = y, por lo que f y g deben
satisfacer
Ef = f , Eg = g.
Busquemos un sistema de coordenadas (u, v) en el que E = ∂/∂u,
por ejemplo
u = log x, v = y
x .
Entonces tendremos que
⎫
∂f
= f⎪⎬
∂u
∂g ⎪⎭ = g
∂u
log f = u + φ1(v)
⇒
log g = u + φ2(v)
⇒
y
⎫
f = x · ψ ⎪⎬
x
y
g = x · ϕ
⎪⎭
x
.
En consecuencia toda ecuación diferencial del tipo
y ′
y
= H –Ecuaciones Diferenciales Homogeneas–
x
se resuelven poniendo el campo D en las coordenadas (u, v).
2.- ED invariantes por el campo de los Giros.
E = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y .

2.11. Método de Lie para resolver ED 111
En este caso tendremos que f y g deben satisfacer, Ef = −g y
Eg = f, por tanto E(Ef) = −f. En el sistema de coordenadas polares
⎧
⎪⎨
x
θ = arc cos
x2 + y2 ,
⎪⎩
ρ = x2 + y2 ,
E = ∂/∂θ. Para encontrarlo observemos que Eρ = 0, por lo que basta
encontrar una función θ tal que Eθ = 1. Tal función en coordenadas
(x, ρ) debe satisfacer
∂θ −1
=
∂x y =
−1
ρ2 − x2 ,
es decir θ = arc cos(x/ρ).
Tenemos ahora que encontrar f y g satisfaciendo
∂2f = −f ,
∂θ2 ∂f
∂θ
= −g.
Y como veremos en el tema de sistemas lineales, estas ecuaciones
tienen una solución general de la forma
f = c1(ρ) · cos θ + c2(ρ) · sen θ , g = c1(ρ) · sen θ − c2(ρ) · cos θ.
En definitiva en coordenadas (x, y), las ecuaciones diferenciales del tipo
y ′ =
y − xr
x + yr ,
para r(x, y) = h[ x 2 + y 2 ], se resuelven haciendo el cambio a coordenadas
polares.
3.- ED invariantes por el campo
E = k(x) ∂
∂y .
En este caso tendremos que f y g deben satisfacer
Ef = 0 , Eg = fk ′ (x).

112 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Busquemos u tal que Eu = 1, por ejemplo u = y/k(x). Ahora en el sistema
de coordenadas (x, u) tendremos que E = ∂/∂u y nuestras funciones
son tales que
∂f
= 0
∂u
∂g
∂u = fk′ ⎫
⎪⎬
⎪⎭ (x)
⇒
⇒
f = f(x)
g = f(x)k ′ (x)u + r(x) ⇒
⎧
⎨f
= f(x)
⎩
En definitiva con las coordenadas
g = f(x) k′ (x)
y + r(x)
k(x)
x, u = y
k(x) ,
resolvemos las ecuaciones diferenciales del tipo
y ′ = a(x) · y + b(x), –Ecuaciones Diferenciales Lineales–
donde dada la función a(x), tendremos que la coordenada u vale
u = y
k(x) =
en cuyo caso las trayectorias del campo
que en coordenadas (x, u) se escribe
y
e a(x)dx ,
D = ∂
∂
+ [a(x)y + b(x)]
∂x ∂y ,
D = ∂ b(x) ∂
+
∂x k(x) ∂u ,
se encuentran fácilmente pues tiene una 1–forma incidente exacta
du − b(x)
dx = d[u −
k(x)
b(x)
k(x) ],
por lo que la solución general de la ecuación diferencial lineal es
y(x) = e
a(x)dx b(x)dx
·
+ A ,
e a(x)dx

2.11. Método de Lie para resolver ED 113
cosa que podemos ver también directamente haciendo
[y e − a(x)dx ] ′ = y ′ e − a(x)dx −ya(x) e − a(x)dx = e − a(x)dx b(x).
Por último observemos que las ecuaciones diferenciales del tipo
y ′ = a(x) · y + b(x) · y n , –Ecuaciones de Bernoulli–
se resuelven haciendo el cambio z = y 1−n , pues se obtiene una lineal en
z.
Ejercicio 2.11.1 Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
x ′ x ⎫
= ⎪⎬ x2 + y2 x ′ = 1
⎫
⎪⎬ x ′ = −y
⎫
⎪⎬
y ′ y
= ⎪⎭
x2 + y2 x 2
y ′ = y
x3 ⎪⎭
Ejercicio 2.11.2 Resolver las ecuaciones diferenciales:
(1) y ′ = 2xy
x2 ,
+ y2 (3) y ′ y − x
=
x + y
(5) y ′ = x 2 y + x,
(2) y ′ =
x 2 + xy
y ′ = 1
x + y
xy + 2x
x 2 + y 2 + 4y + 4 ,
⎪⎭
(4) y ′ = y − (x + 1)3 − (x + 1)y 2
x + 1 + y3 ,
+ y(x + 1) 2
(6) y ′ = x 2 y + xy 3 .
Ejercicio 2.11.3 Encontrar las curvas integrales del campo
D = (x + cy − bz)∂x + (y + az − cx)∂y + (z + bx − ay)∂z.
Ejercicio 2.11.4 Resolver la ecuación en derivadas parciales:
x ∂f ∂f
+ y = y · log x.
∂x ∂y
Ejercicio 2.11.5 Determinar las trayectorias del campo:
D = xy ∂
∂x + (y2 + x 3 ) ∂
∂y + (yz + y2 z + x 2 y) ∂
∂z ,
sabiendo que su ecuación diferencial es invariante por el grupo definido por el
campo:
D1 = ∂ y ∂ z ∂
+ +
∂x x ∂y x ∂z .

114 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Ejercicio 2.11.6 Encontrar la curva que describe un perro que persigue a un
conejo que se mueve en línea recta, yendo ambos a velocidad constante.
Ejercicio 2.11.7 Resolver la ecuación en derivadas parciales
con la condición inicial f(x, 0) = g(x).
∂f
∂t (x, t) = fi(x) ∂f
(x, t),
∂xi
Ejercicio 2.11.8 Demostrar que si f(x, y) = f(−x, y) y g(x, y) = −g(−x, y) en
R 2 , entonces toda curva integral σ(t) = (x(t), y(t)) del campo D = f∂x + g∂y,
tal que x(0) = 0 = x(T ), para un T > 0, es 2T –periódica.
Ejercicio 2.11.9 En una localidad comenzó a nevar a cierta hora de la mañana
y continuó nevando a razón constante. La velocidad con que el camión limpianieves
limpiaba una calle de la localidad era inversamente proporcional a
la altura de la nieve acumulada hasta ese instante. El limpianieves comenzó a
las 11h y a las 14h había limpiado 4 km. A las 17h había limpiado otros 2 km.
¿A qué hora empezó a nevar?.
Ejercicio 2.11.10 Dos personas A y B piden café. A le pone una cucharada
de leche fría pero no se lo toma. Al cabo de 10 minutos B —que tampoco se
lo ha tomado— le pone una cucharada de leche fría (que no ha cambiado de
temperatura) y A y B beben el café. ¿Quién lo bebe mas caliente?.
Ejercicio 2.11.11 Un recipiente abierto, lleno de agua, tiene la forma de una
semiesfera de R metros de radio. En el fondo tiene un agujero circular de r
metros de radio. ¿Cuánto tardará 1 en salir todo el agua del recipiente?..
Ejercicio 2.11.12 Calcula la forma que debe tener el recipiente del ejercicio
anterior para que el nivel de la superficie del agua baje a una razón constante.
Ejercicio 2.11.13 Hallar las curvas y = f(x), del plano, que pasan por el origen
y tienen la propiedad de que para todo a ∈ R, el área limitada por la tangente
a la curva en (a, b = f(a)), el eje y y la recta y = b, es proporcional al área
limitada por la curva, el eje y y la recta y = b.
Ejercicio 2.11.14 Encontrar todas las curvas planas de curvatura constante.
1 Se admite la ley de Torricelli que dice que el agua sale por el agujero con la misma
velocidad ( √ 2gy) que obtendría un objeto al caer libremente desde la superficie del
agua hasta el agujero, a altura y.

2.11. Método de Lie para resolver ED 115
Ejercicio 2.11.15 Hay n moscas ordenadas en los vértices de un n–ágono regular,
que se ponen a andar a la misma velocidad y dirigiéndose cada una hacia
la siguiente. Dar la trayectoria de la mosca que pasa por un punto cualquiera
y calcular la longitud del trayecto recorrido hasta que se encuentra con las
demás, en función de su distancia al centro del polígono, en el instante 0.
Ejercicio 2.11.16 Demostrar que el campo de R n+1 ,
D = ∂
∂x
∂
+ x2 + · · · + xn
∂x1
∂
∂xn−1
+ F ∂
,
∂xn
en las coordenadas (x, x1, . . . , xn), asociado a las ecuaciones diferenciales de
la forma
y (n = F (x, y, y ′ , . . . , y (n−1 ),
para el que
F (x, tx1, tx2, . . . , txn) = tF (x, x1, . . . , xn),
es invariante por el campo de las homotecias
x1
Ejercicio 2.11.17 Resolver la ecuación
∂
∂
+ · · · + xn .
∂x1
∂xn
x 2 yy ′′ = (y − xy ′ ) 2 ,
con las condiciones y(1) = 5, y ′ (1) = 2.
Ejercicio 2.11.18 Encontrar la forma de unas tijeras, con cuchillas simétricas,
tal que el ángulo de corte sea siempre el mismo.
Ejercicio 2.11.19 Encontrar las curvas del plano que en cada punto la distancia
de su tangente al origen es la abscisa del punto.

116 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
2.12. Apéndice. La tractriz
La tractriz. En 1693 Leibnitz escribe: “El distinguido médico Parisino
Claude Perrault, igualmente famoso por su trabajo en mecánica y
en arquitectura, bien conocido por su edición de Vitruvio, e importante
miembro de la Real Academia Francesa de las Ciencias, me propuso este
problema a mi y a otros muchos antes de mi, admitiendo rápidamente
que el no había sido capaz de resolverlo...”
Claude Perrault 2 , planteó dicho problema con su reloj de cadena; lo
colocó sobre una mesa rectangular, con la cadena estirada perpendicular
al borde de la mesa y desplazó el extremo de la cadena con velocidad
constante por el borde de la mesa. El reloj describió un arco de curva.
La pregunta fue: ¿qué curva sigue el reloj?.
1
s(x)=(x+cos[q(x)],sen[q(x)])
1
x
q(x)
Figura 2.3. Tractriz
La respuesta habitual a este problema, estudiado entre otros por Leibnitz,
Huygens y Bernouilli, se basa en suponer que la cadena es tangente
a la trayectoria del reloj en cada instante, lo cual no es cierto 3 . Veremos
que lo sería si la velocidad de la mano fuese extremadamente pequeña ó,
equivalentemente, la fuerza de rozamiento entre la mesa y el reloj extremadamente
alta (realmente la tractriz aparecería en la situación límite
en cuyo caso paradójicamente el reloj no se movería).
2 Médico, físico y arquitecto (diseñó la columnata doble de la fachada oriental del
Louvre) y hermano mayor de Charles Perrault (escritor de los cuentos de Caperucita
roja y la Cenicienta).
3 Pues en ese caso la fuerza mσ ′′ y la velocidad σ ′ tendrían la misma dirección y
reparametrizando la curva con la longitud de arco, tendríamos esa misma propiedad
por lo que podemos suponer 1 = σ ′ · σ ′ , ahora derivando tendríamos 0 = σ ′ · σ ′′ , lo
cual implica σ ′′ = 0 y la trayectoria es recta.

2.12. Apéndice. La tractriz 117
Analicemos en primer lugar este nuevo problema geométrico, es decir
el de la curva del plano cuya tangente en cada punto define un segmento
con el eje x de longitud constante; y a continuación estudiaremos el
problema original del reloj.
La solución de este, que ya vimos en (1.9.1), es la tractriz 4 , pero lo
veremos ahora de otra forma. Suponemos que la longitud del segmento
es 1 y que la curva empieza en (0, 1).
Para cada x denotamos con θ(x) el ángulo que forma la semirrecta
[x, ∞) × {0} con el segmento tangente a nuestra curva, unitario y con un
extremo en x, en tal caso tendremos que la curva que tiene esa propiedad
es
σ(x) = (x + cos[θ(x)], sen[θ(x)]),
siendo σ ′ proporcional a (cos[θ], sen[θ]), es decir
1 − θ ′ sen[θ]
θ ′ cos[θ]
= cos[θ]
sen[θ]
( ⇔ θ ′ = sen[θ] ),
ecuación que resolvemos integrando, sabiendo que θ(0) = π/2 (y por
tanto θ ′ (0) = sen[θ(0)] = 1)
x =
y la solución es
x
(2.8) e x = tan θ(x)
2
0
θ ′ (x) dx
sen[θ(x)] =
θ(x)
θ(x) dθ
θ
= log tan ,
θ(0) sen(θ) 2 θ(0)
que corresponde a la tractriz (ver la Fig.2.3)
( ⇔ θ(x) = 2 arctan[e x ] )
σ(x) = (x + cos[2 arctan[e x ]], sen[2 arctan[e x ]])
= (x + e−x − ex e−x ,
+ ex 2
e−x ) =
+ ex para la que σ(0) = (0, 1) y σ ′ (0) = (0, 0).
x − tanh[x],
1
,
cosh[x]
4 Del latín tractum (arrastrar) llamada así por Huygens. También es conocida como
curva del perro, pues se ha considerado erróneamente que también es la trayectoria
que sigue un perro que quiere ir hacia un hueso cuando el dueño va en linea recta,
o incluso que el perro quiere ir en dirección este cuando el dueño va en dirección
norte–sur.

118 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Observemos que con la propiedad definida por la ecuación (2.8), es
inmediato construir con regla y compás el punto σ(x) si tenemos dibujada
la exponencial.
1
x
e x
1
q(x)
2
Figura 2.4. La tractriz y la exponencial
Veamos ahora el problema original del reloj. Para hacer un estudio detallado
de este problema (aunque simplificado), consideremos en primer
lugar que la cadena no tiene masa, que hay un coeficiente de rozamiento
constante k, entre el reloj y la mesa; y una velocidad constante v con la
que movemos la mano por el borde de la mesa (el eje x), partiendo en el
instante inicial de x = 0. En cuyo caso en cada instante de tiempo t, la
mano está en (vt, 0) y si, como antes, suponemos que la longitud de la
cadena es 1, el reloj estará en
σ[t] = (vt, 0) + (cos[θ], sen[θ]),
y denotando β = (cos[θ], sen[θ]) y α = (− sen[θ], cos[θ]) (vector unitario
ortogonal a β), tendremos que
σ = (vt, 0) + β, ˙σ = (v, 0) + ˙ θα, ¨σ = ¨ θα − ˙ θ 2 β.
Ahora bien la aceleración ¨σ del reloj (considerado de masa unidad)
es la fuerza total que actúa sobre el reloj, que es suma por una parte de
la fuerza con la que tira la cadena F = fβ (aunque desconocemos con
qué intensidad f), y por otra de la resistencia R debida al rozamiento
con la mesa. Aquí consideraremos dos posibles hipótesis: (1) que R =
−k ˙σ/| ˙σ| es independiente de la velocidad del reloj, aunque dependiente
de su dirección (y no está definida si ˙σ = 0) y (2) que R = −k ˙σ sí depende
de la velocidad (y es nula si la velocidad es nula). En cualquier caso
¨θα − ˙ θ 2 β = ¨σ = F + R = fβ + (R · α)α + (R · β)β,

2.12. Apéndice. La tractriz 119
e igualando componentes, ¨ θ = R · α y − ˙ θ 2 = f + R · β.
Figura 2.5. Cicloide
Sin rozamiento. En este caso R = 0 y por tanto ¨ θ = 0, de donde
θ = at + b y la trayectoria es
σ[t] = (cos[at + b] + vt, sen[at + b]),
y en nuestras condiciones σ(0) = (0, 1), σ ′ (0) = 0, (i.e. a = v y b = π/2)
la solución es la cicloide Fig.(2.5).
Con rozamiento Caso (1). En este caso R = −k ˙σ/| ˙σ| y
˙σ = (v − ˙ θ sen[θ], ˙ θ cos[θ]),
¨θ = R · α = −k
˙σ · α
| ˙σ|
v sen[θ] −
= k
˙ θ
v2 − 2v ˙ θ sen[θ] + ˙ θ2 .
y cambiando de variable x = tv, y considerando la nueva derivada
dθ/dx = θ ′ , tendremos que ˙ θ = vθ ′ y ¨ θ = v 2 θ ′′ , por tanto la ecuación
anterior en términos de x es
(2.9)
θ ′′ = k
v 2
sen[θ] − θ ′
1 − 2θ ′ sen[θ] + θ ′2
⇔
⎧
⎪⎨ θ
⎪⎩
′ = z
z ′ sen[θ] − z
= λ
1 − 2z sen[θ] + z2 y tenemos que mientras λ = k/v 2 sea constante las trayectorias no cambian,
en particular aumentar el rozamiento k es lo mismo que disminuir
adecuadamente la velocidad v. Por ello podemos suponer, sin pérdida de
generalidad, que v = 1 y analizaremos qué ocurre cuando aumentamos
el rozamiento λ. En la Fig.2.6, vemos representado este campo tangente
Dλ, para dos valores de λ.

120 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
z
Figura 2.6. Campo para λ = 1 y λ ≈ ∞
Figura 2.7. Campos Dλ y curva sen x.
Nota 2.44 Observemos (ver Fig.2.7) que este campo tangente
sen[θ] − z
Dλ = z∂θ + λ
1 − 2z sen[θ] + z2 ∂z,
es 2π–periódico en θ y simétrico respecto del giro de ángulo π en torno
al punto singular (π, 0), es decir que D λ(π+θ,z) = −D λ(π−θ,−z), lo cual
implica que la curva integral pasando por (π + θ, z) es la que pasa por
(π − θ, −z) girada un ángulo π. Además, en la curva z = sen x, el campo
es independiente de λ y horizontal (z∂θ) (dirección E en z > 0 y O en
z < 0). Es vertical en la recta z = 0 (dirección N en θ ∈ (0, π) y S en
θ ∈ (π, 2π)). Tiene dirección SE en la región {z > sen θ} ∩ {z > 0},
SO en {z > sen θ} ∩ {z < 0}, NO en {z < sen θ} ∩ {z < 0} y NE en
{z < sen θ} ∩ {z > 0}.
Ahora la curva que describe el reloj parametrizada por t = x es (para
θλ solución de (2.9))
(2.10) σλ(t) = (t + cos[θλ(t)], sen[θλ(t)])
y nos interesa la que satisface las condiciones σλ(0) = (0, 1) y σ ′ λ (0) = 0,
lo cual equivale a que θλ satisfaga θλ(0) = π/2 y θ ′ λ (0) = 1, pero este es
el único punto —en 0 ≤ θ ≤ π—, en el que Dλ no está definido, pues
q

2.12. Apéndice. La tractriz 121
aunque la segunda componente del campo está acotada en módulo por
λ, pues
0 ≤ (sen[θ] − z) 2 = sen 2 [θ] − 2z sen[θ] + z 2 ≤ 1 − 2z sen[θ] + z 2 ,
el denominador 1 − 2z sen[θ] + z 2 se anula sii se anula el numerador
sen[θ] − z y sen 2 [θ] = 1 (lo cual ocurre en los puntos θ = π/2 + nπ,
z = (−1) n )); y la función f = (sen[θ] − z)/ 1 − 2z sen[θ] + z 2 no
está definida en estos puntos, en particular en el punto que nos interesa
(θ, z) = (π/2, 1), pues f(π/2, z) = ±1, mientras que f(θ, sen[θ]) = 0. En
la Fig.2.8, vemos la gráfica de f.
1.0
0.5
0.0
0.5
2
1.0
6
1
0
1
2
4
Figura 2.8. Gráfica de f y plano z = 0.
Por tanto optaremos por coger un punto próximo a (π/2, 1) y demostraremos
que si θλ es la solución de (2.9) pasando por él, es decir
satisfaciendo θλ(0) = π/2 y θ ′ λ (0) ≈ 1, la curva correspondiente
σλ(t) = (t + cos θλ(t), sen θλ(t)),
que pasa por σλ(0) = (0, 1), con velocidad casi nula, σ ′ λ (0) ≈ (0, 0) es
para λ ≈ ∞, σλ ≈ σ (es decir próxima a la tractriz).
Observemos que el caso λ = ∞ (es decir, velocidad nula ó rozamiento
∞), induce a considerar la ecuación θ ′ = sen[θ], que define la tractriz
según vimos al principio.
Proposición 2.45 Dado ɛ > 0, existe un λɛ a partir del cual, |θ ′ λ (x) −
sen[θλ(x)]| ≤ ɛ, para la curva integral τλ = (θλ, θ ′ λ ) de Dλ satisfaciendo
θλ(0) = π/2 y θ ′ λ (0) = 1 + ɛ, y existe un primer tiempo Tλ, tal que
θλ(Tλ) = π, a partir del cual |θλ(t) − π| ≤ ɛ. Además para λɛ < µ < λ,
la curva τλ[0, Tλ] se encuentra entre z = sen x y τµ[0, Tµ].
Demostración. Se sigue de la nota (2.44), que la curva integral τλ
del campo tangente Dλ va por encima de z = sen θ, descendiendo en
2
0

122 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
dirección SE, hasta que llega a la recta z = 0 a la que corta perpendicularmente
en un π + α (con α > 0) y sigue descendiendo dirección SO
hasta que corta horizontalmente la curva hacia el E y sigue en dirección
ascendente NO hasta cortar de nuevo perpendicularmente z = 0 en un
punto π − β, (con β < α, pues en caso contrario la curva integral pasando
por (π − α, 0) que por la nota (2.44) sería la τλ girada, se cortaría
con τλ) y seguir subiendo dirección NE hasta cortar de nuevo la curva
horizontalmente y continuar este proceso en espiral indefinidamente en
torno al punto singular (π, 0). En particular a partir del momento en el
que θλ(t) ≥ π − α, |θλ − π| ≤ α.
Ahora, a medida que λ crece el campo se hace más vertical en los
puntos z = sen θ y a partir de un λɛ apunta hacia el interior de la región
|z − sen(θ)| ≤ ɛ y π/2 ≤ θ ≤ π + δ = arc sen(−ɛ) (ver Fig.2.9), por tanto
todas las curvas satisfacen |θ ′ λ (x) − sen[θλ(x)]| ≤ ɛ. (Observemos que δ
es del orden de ɛ, pues la derivada en π del seno es −1).
z=q'
e
p/2
p
q
z=sen q
Figura 2.9. El campo apunta hacia el interior de la región.
tm [0,Tm ]
tl [0,Tl ]
Lo último se sigue de que Dλ apunta hacia el interior de la región
limitada por τµ[0, Tµ], θ ∈ [π/2, π] y z = sen θ, en los puntos de las dos
curvas (ver Fig.(2.9)).
Proposición 2.46 En los términos del resultado anterior (2.45), para
cada λ > λɛ, θλ : [0, Tλ] → R tiene inversa tλ : [π/2, π] → R, es creciente,
convexa y si µ < λ, tµ < tλ < t, para t la inversa de θ (de la tractriz),
siendo sus diferencias crecientes.
Demostración. De (2.45) se sigue que en [0, Tλ], θ ′ λ > 0 y θ′′
λ < 0,
por tanto θλ es creciente (y tiene inversa tλ) y cóncava, por tanto tλ
es creciente y convexa. Además si µ < λ, para α ∈ [π/2, π], tµ(α) <
tλ(α) < t(α), pues por la última afirmación de (2.45)
α = θ[t(α)] = θλ[tλ(α)] = θµ[tµ(α)],
θ ′ [t(α)] = sen[α] < θ ′ λ[tλ(α)] < θ ′ µ[tµ(α)],

2.12. Apéndice. La tractriz 123
por tanto t ′ µ(α) < t ′ λ (α) < t′ (α) de donde tλ − tµ y t − tλ tienen derivadas
> 0 y por tanto son crecientes y como en π/2 valen 0, se sigue el
resultado.
Teorema 2.47 Dado ɛ > 0 consideremos la solución θλ de (2.9) satisfaciendo
θλ(0) = π/2 y θ ′ λ (0) = 1 + ɛ, entonces existe un λ0 a partir del
cual, |θλ(t) − θ(t)| ≤ ɛ.
p
p/2
Tl
q
ql
Figura 2.10.
Demostración. Basta considerar un λ tal que t[π −ɛ]−tλ[π −ɛ] < ɛ,
pues en tal caso t[α] − tλ[α] < ɛ, para todo α ∈ [π/2, π − ɛ] y como θ ′ =
sen θ ≤ 1, se sigue del teorema del valor medio que 0 < θλ − θ ≤ ɛ, para
t ∈ [0, Tɛ], siendo θ(Tɛ) = π − ɛ; pues si en algún t fuese θλ(t) − θ(t) > ɛ,
tendríamos que existe un r ∈ [t, t[θλ(t)]], para el que
θ ′ (r)(t[θλ(t)] − t) = θλ(t) − θ(t),
siendo t[θλ(t)]−t = t[θλ(t)]−tλ[θλ(t)] < ɛ y esto implicaría que θ ′ (r) > 1.
Ahora para t ∈ [Tɛ, ∞), θ(t), θλ(t) ∈ [π − ɛ, π + ɛ] y el resultado se
sigue.
Teorema 2.48 Cuando λ → ∞ y ɛ → 0, σλ → σ.
s l
Figura 2.11. Curvas σλ para λ = 0 ′ 1, 1, 2 y 10000

124 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Con rozamiento Caso (2). En este caso R = −k ˙σ
˙σ = (v − ˙ θ sen[θ], ˙ θ cos[θ]),
¨θ = R · α = −k ˙σ · α = k(v sen[θ] − ˙ θ),
y cambiando de variable x = tv, y considerando la nueva derivada
dθ/dx = θ ′ , tendremos que ˙ θ = vθ ′ y ¨ θ = v 2 θ ′′ , por tanto la ecuación
anterior en términos de x es
θ ′′ = k
v (sen[θ] − θ′ ).
y en este caso tenemos que mientras λ = k/v sea constante las trayectorias
no cambian.
El análisis es mas sencillo que en el caso (1) pues el campo que antes
no estaba definido en el punto (π/2, 1) ahora si lo está y podemos
considerar la solución σλ que parte de (0, 1) con velocidad nula. Básicamente
se repiten los argumentos, siendo la conclusión la misma, las
curvas tienden a la tractriz cuando λ → ∞.

2.13. Ejercicios resueltos 125
2.13. Ejercicios resueltos
Ejercicio 2.3.2.- a) Demostrar que si f : U ×V −→ E3 es localmente lipchiciana
entonces es localmente lipchiciana en V uniformemente en U y que L(U ×V ) ⊂
LU (U × V ).
b) Demostrar que f = (fi): U × V −→ R k es localmente lipchiciana en V
uniformemente en U si y sólo si lo son las fi.
c) Si f ∈ LU (U × V ), entonces f es lipchiciana en cualquier compacto
K2 ⊂ V , uniformemente en cualquier compacto K1 ⊂ U.
Solución.- (c) Demuéstrese primero en un compacto K1 × K2 convexo.
Ejercicio 2.3.5.- Demostrar que si σ : I ⊂ R → R n es una curva diferenciable,
entonces en σ = 0, |σ| ′ = |σ ′ | cos(σσ ′ ).
Indicación. Derivando σ · σ = |σ| 2 , tenemos
|σ| · |σ ′ | · cos(σσ ′ ) = σ · σ ′ = |σ| · |σ| ′ .
Ejercicio 2.3.6.- Demostrar que si y ′ ≤ ky + r, con k > 0 y r ∈ R, en [a, b],
entonces
y(x) ≤ y(a) e k(x−a) + r
k (ek(x−a) −1).
Indicación. Integrando (y e−kx ) ′ = e−kx (y ′ − ky) ≤ r e−kx , tenemos
y(x) e −kx ≤ y(a) e −ka x
+r e
a
−kx dx
= y(a) e −ka + r
k (e−ka − e −kx ) ⇒
y(x) ≤ y(a) e k(x−a) + r
k (ek(x−a) −1).
Ejercicio 2.3.7.- Demostrar que si F : U ⊂ R n → R n es Lipschiciana en el
abierto U, con constante k y σi : I = (a, b) ⊂ R → U, i = 1, 2, son dos curvas
diferenciables para las que 0 ∈ I y |σ ′ i − F (σi)| ≤ ɛ/2, entonces para t ≥ 0 e
y(t) = |σ1(t) − σ2(t)|
Indicación. Por (2.3.5)
y(t) ≤ y(0) e kt + ɛ
k (ekt −1).
y ′ ≤ |σ ′ 1(t) − σ ′ 2(t)| = |σ ′ 1(t) − σ ′ 2(t) + F [σ1(t)] − F [σ1(t)] + F [σ2(t)] − F [σ2(t)]|
≤ ɛ + |F [σ1(t)] − F [σ2(t)]| ≤ ɛ + k|σ1(t) − σ2(t)| = ky + ɛ,
y el resultado se sigue aplicando (2.3.6).

126 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Ejercicio 2.5.1.- Encontrar el grupo uniparamétrico de los campos (1/x)∂x en
(0, ∞) y x 2 ∂x en R.
Indicación. Para el primero tenemos la ecuación x ′ = 1/x, por tanto (x2 /2) ′ =
x ′ x = 1 y x(t) = 2(t + c) y el grupo uniparamétrico es
σ(t, p) = σp(t) = 2t + p2
, I(p) = − p2
, ∞
2
Para el segundo tenemos que x ′ = x 2 , por tanto σp(t) = 0 para p = 0 y para
p = 0, como (1/x) ′ = −1, es x = 1/(c − t), para c constante y las curvas integrales
son
(para p > 0), σp(t) = 1
= 1
− t p p
, I(p) = −∞,
1 − pt 1
p
(para p < 0), σp(t) = 1
= 1
− t p p
1
, I(p) = , ∞ .
1 − pt p
Ejercicio 2.11.1.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
x ′ x ⎫
= ⎪⎬ x2 + y2 x ′ = 1
⎫
⎪⎬ x ′ = −y
⎫
⎪⎬
y ′ y
= ⎪⎭
x2 + y2 x 2
y ′ = y
x3 ⎪⎭
x 2 + xy
y ′ = 1
x + y
Ind.- La primera ecuación corresponde al campo fD para
f =
1
x 2 + y 2
y D = x ∂ ∂
+ y
∂x ∂y .
La segunda es múltiplo del mismo campo y la tercera corresponde a
f =
1
x 2 + xy
y se resuelven haciendo uso del resultado (2.27).
y D = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y ,
Ejercicio 2.11.2.- Resolver las ecuaciones diferenciales
(1) y ′ = 2xy
x2 ,
+ y2 (3) y ′ y − x
=
x + y
(5) y ′ = x 2 y + x,
(2) y ′ =
xy + 2x
x 2 + y 2 + 4y + 4 ,
⎪⎭
(4) y ′ = y − (x + 1)3 − (x + 1)y 2
x + 1 + y3 ,
+ y(x + 1) 2
(6) y ′ = x 2 y + xy 3 .
Indicación.- (1) y (3) son homogéneas, (2) también considerando el cambio
u = x, v = y + 2.
(4) es invariante por los giros considerando el cambio u = x + 1, v = y.
(5) es lineal y (6) de Bernoulli.

2.13. Ejercicios resueltos 127
Ejercicio 2.11.3.- Encontrar las curvas integrales del campo
D = (x + cy − bz)∂x + (y + az − cx)∂y + (z + bx − ay)∂z.
Indicación.- D = H + G, para H el campo de las homotecias y G el de los giros
en torno al eje definido por (a, b, c), pues sus componentes son (x, y, z) × (a, b, c). Denotemos
R = √ a2 + b2 + c2 . Ahora podemos simplificar el problema si consideramos
un giro en el espacio que nos lleve el vector unitario e3 = (a, b, c)/R, al (0, 0, 1). Para
ello basta considerar un giro como
⎛ ac bc r ⎞
− rR rR R
⎝ −b a
0 ⎠
r
a
R
r
b
R
cuya tercera fila es e3, la segunda el vector unitario e2 = (−b, a, 0)/r, para r =
√ a 2 + b 2 , perpendicular a e3 y la primera e1 = e2 × e3 de modo que los tres son
ortonormales y bien orientados (observemos que su inversa, que es su traspuesta, lleva
la estandar en ellos). Esta transformación nos define las nuevas coordenadas lineales
u = acx + bcy − r2z , v =
rR
c
R
−bx + ay
, w =
r
ax + by + cz
,
R
en las que el campo es D = (u + Rv)∂u + (v − Ru)∂v + w∂w, pues
Du = ac(x + cy − bz) + bc(y + az − cx) − r2 (z + bx − ay)
= u + Rv,
rR
Dv = v − Ru,
Dw =
a(x + cy − bz) + b(y + az − cx) + c(z + bx − ay)
R
= w,
por tanto como Dw = w y Dρ ′ = ρ ′ , para ρ ′ = x 2 + y 2 + z 2 = √ u 2 + v 2 + w 2 ,
pues Hρ ′ = ρ ′ y Gρ ′ = 0, tendremos una integral primera de D, f = w/ρ ′ , que para
ϕ el ángulo que forman (a, b, c) y (x, y, z) es
f = w ax + by + cz
=
ρ ′
R x2 + y2 = cos ϕ,
+ z2 que nos dice que las curvas están en un cono de eje e3. Ahora buscamos otra integral
primera g, que no dependa de w, por tanto del campo E = (u + Rv)∂u + (v − Ru)∂v,
que hemos visto en la pág. 110, es invariante por el campo de los giros y se resuelve
en coordenadas polares ρ = √ u 2 + v 2 , θ = arc cos u/ρ, para las que
ρu = u
,
ρ
−v
θu =
ρ2 ρv = v
,
ρ
u
θv =
ρ2 y en estas coordenadas E = ρ∂ρ − R∂θ, que tiene integral primera ρ e θ/R que donde
es constante es una espiral. Por lo tanto nuestras curvas son espirales ascendentes en
conos de eje e.
Ejercicio 2.11.4.- Resolver la ecuación en derivadas parciales:
x ∂f ∂f
+ y = y · log x.
∂x ∂y

128 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Indicación.- Buscar coordenadas (u, v) en las que x∂x + y∂y = ∂u.
Ejercicio 2.11.5.- Determinar las trayectorias del campo:
D = xy ∂
∂x + (y2 + x 3 ) ∂
∂y + (yz + y2 z + x 2 y) ∂
∂z ,
sabiendo que su ecuación diferencial es invariante por el grupo definido por el
campo:
D1 = ∂ y ∂ z ∂
+ +
∂x x ∂y x ∂z .
Solución.- Sabemos que existe una función g, tal que [D1, gD] = 0. Por otra
parte como
D1 = 1
x
x
∂
∂ ∂
+ y + z ,
∂x ∂y ∂z
tendremos que D1x = 1, D1(y/x) = 0 y D1(z/x) = 0, por lo que, D1 = ∂x en las
coordenadas (x, u = y/x, v = z/x). Escribamos pues D en estas coordenadas,
D = ux 2
∂ 1 ∂
∂
+ + (uv + 1) ,
∂x u ∂u ∂v
y podemos olvidarnos del término ux 2 , pues solo nos interesan las trayectorias de D.
En definitiva tendremos que resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
u ′ (x) = 1
u , v′ (x) = uv + 1,
ó lo que es lo mismo queremos encontrar las curvas integrales del campo bidimensional
E = 1 ∂
u ∂u
+ (uv + 1) ∂
∂v .
Como este campo es del tipo lineal podemos encontrar sus trayectorias en las
coordenadas
u, w = v · e −u3 /3 ,
en las que se tiene que
E = 1 ∂
u ∂u + e−u3 /3 ∂
∂w ,
y sus trayectorias vienen dadas por
w ′ (u) = ue −u3 /3 ,
es decir si f(u) es una primitiva de ue −u3 /3 , las trayectorias de E vienen dadas por
h1 = constante, para
h1 = w − f(u),
pues Eh1 = 0. Por tanto Dh1 = 0.
Ahora bien nosotros queremos las trayectorias de D, para ello basta ver que a lo
largo de ellas u ′ (x) = 1/u, es decir u 2 /2 = x + cte, es decir Dh2 = 0 para
h2 = u2
2
− x.

2.13. Ejercicios resueltos 129
Se sigue que las curvas integrales de D son
h1 = cte , h2 = cte.
Ejercicio 2.11.6.- Encontrar la curva que describe un perro que persigue a un
conejo que se mueve en línea recta, yendo ambos a velocidad constante.
Solución.- Suponemos que el conejo en el instante 0 estaba en el origen y el
perro en el punto (a0, b0), y que el conejo corre con velocidad constante a por el eje
y. En estas condiciones se tiene que si el perro —que corre con velocidad constante
b— en el instante t se encuentra en el punto [x(t), y(t)], entonces
x ′ xb
= −
x2 + (ta − y) 2 , y′ b(ta − y)
=
x2 + (ta − y) 2 .
Consideremos entonces el campo tangente —del cual sólo nos interesa la trayectoria
pasando por el punto de coordenadas (x = a0, y = b0, t = 0), proyectadas en el
plano xy—
−bx ∂
∂
+ b(ta − y)
∂x ∂y +
x2 ∂
+ (ta − y) 2
∂t ,
que en las coordenadas (x, y, z = ta − y), se escribe
−bx ∂ ∂
+ bz
∂x ∂y + [ax2 + z2 − bz] ∂
∂z .
Si ahora dividimos este campo por bz, y llamamos k = −a/b, tendremos que sus
trayectorias —que es lo que nos interesa— no se modifican. Así pues consideremos el
campo
E = − x ∂
z ∂x +
⎡
⎣k
x2 ⎤
+ 1 − 1⎦
z2 ∂ ∂
+
∂z ∂y ,
del que sólo nos interesa la trayectoria
σ(t) = (x1(t), y1(t), z1(t)),
que pasa por el punto (x = a0, y = b0, z = −b0) y de esta trayectoria sólo nos interesa
la relación entre x1(t) e y1(t) = t + b0. Proyectemos el campo E al plano xz
D = − x ∂
z ∂x +
⎡
⎣k
x2 ⎤
+ 1 − 1⎦
z2 ∂
∂z ,
y sea
σ1(t) = (x1(t), z1(t)),
su curva integral pasando por el punto de coordenadas (x = a0, z = −b0). Ahora
como D es homogéneo sabemos que en las coordenadas (u = z/x, v = Log x) se
simplifica
D = 1
k
z
u2 + 1 ∂
∂
− .
∂u ∂v
Ahora podemos encontrar las trayectorias de D considerando su 1–forma incidente,
du
ω =
k √ u2 + dv = dh,
+ 1

130 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
donde
h = v +
du
k √ u 2 + 1
= v + 1
k · log[u + u 2 + 1].
Entonces h es una integral primera de D y por tanto de E. Se sigue que las
trayectorias de D son
v = − 1
k log[u + (u2 + 1) 1/2 ] + cte,
y en términos de (x, z), las trayectorias son
(2.11) z = A
2 x1−k − 1
2A x1+k ,
y la nuestra es la que pasa por el punto p de coordenadas x = a0, z = −b0.
Ahora bien con (2.11) podemos construir la curva integral de fD, con f = −u =
−z/x, que pasa por p, en las coordenadas (x, z), de la forma
σ2(r) = (r + a0, A
2 (r + a0) 1−k − 1
2A (r + a0) 1+k ),
y nosotros queremos la de D. Sabemos que si σ2 es la curva integral de fF pasando
por el punto p y σ1 la de F , entonces σ2 = σ1 ◦ h1, donde
t
h1(t) = f[σ2(s)]ds
0
t
A
= −
0 2 (s + a0) −k − 1
k
(s + a0) ds
2A
t+a0 1
=
2A sk − A
2 s−k
ds.
a0
Ahora bien nosotros queremos la relación entre x1(t) e y1(t) = t + b0, y sabemos
que para cada r y cada t = h1(r) se tiene que
(x1(t), z1(t)) = σ1(t) = σ1[h1(r)] = σ2(r),
por lo que
x1(t) = r + a0 = h −1
1 (t) + a0, y1(t) = t + b0,
es decir que h1[x1(t) − a0] = t = y1(t) − b0, por lo que la curva (x1(t), y1(t)) está definida
por
x
1
y = b0 + h1(x − a0) = b0 +
a0 2A sk − A
2 s−k
ds
⎧
⎪⎨
b0 +
=
⎪⎩
x2−a 2 0 A
A
− log x + 4A 2 2 log a0, para k = 1
b0 − (x2−a 2 0 )A
+ 4
1
1
log x − 2A 2A log a0, para k = −1
b0 + xk+1 Ax1−k ak+1
0
Aa1−k
0
+ − − , para cualquier otro k
2A(k+1) 2(k−1) 2A(k+1) 2(k−1)
Ejercicio 2.11.7.- Resolver la ecuación en derivadas parciales
∂f
∂t (x, t) = fi(x) ∂f
(x, t),
∂xi

con la condición inicial f(x, 0) = g(x).
2.13. Ejercicios resueltos 131
Ind.: Sea D = fi∂i con grupo uniparamétrico Xt. Entonces f = g ◦ Xt es una
solución.
Ejercicio 2.11.8.- Demostrar que si f(x, y) = f(−x, y) y g(x, y) = −g(−x, y) en
R 2 , entonces toda curva integral σ(t) = (x(t), y(t)) del campo D = f∂x + g∂y,
tal que x(0) = 0 = x(T ), para un T > 0, es 2T –periódica.
Solución. Observemos que D es horizontal en el eje y, pues g(0, y) = −g(0, y)
por tanto g(0, y) = 0. La curva integral σ tiene una continuación única en [−T, 0]
(que es su reflexión sobre el eje y), considerando para t ∈ [−T, 0], x(t) = −x(−t) e
y(t) = y(−t), que obviamente en 0 es σ(0) y en todo punto es tangente a D, pues
x ′ (t) = x ′ (−t) = f(x(−t), y(−t)) = f(x(t), y(t)),
y ′ (t) = −y ′ (−t) = −g(x(−t), y(−t))) = g(x(t), y(t)).
Además en −T coincide con σ(T ), pues x(−T ) = 0 = x(T ), y(−T ) = y(T ).
Ejercicio 2.11.9.- En una localidad comenzó a nevar a cierta hora de la mañana
y continuó nevando a razón constante. La velocidad con que el camión limpianieves
limpiaba una calle de la localidad era inversamente proporcional a
la altura de la nieve acumulada hasta ese instante. El limpianieves comenzó a
las 11h y a las 14h había limpiado 4 km. A las 17h había limpiado otros 2 km.
¿A qué hora empezó a nevar?.
Indicación.- Sea T el instante en el que empezó a nevar y a la razón de nevada,
por tanto la altura de la nieve en el instante t > T era a(t − T ) y si para t ≥ 11,
x(t) es el espacio recorrido por el limpianieves entre las 11 y las t horas, tendremos
que x ′ (t) = b/a(t − T ), para b una constante. Por tanto como x(11) = 0 x(t) =
(b/a) log t−T
y por los dos datos, si llamamos y = 14 − T > 3:
11−T
4 = x(14) = b y
log a y−3
6 = x(17) = (b/a) log y+3
y−3
⇔
b y
4 = x(14) = log a y−3
2 = x(17) − x(14) = (b/a) log y+3
y
de donde y/(y − 3) = (y + 3) 2 /y 2 , es decir y 3 = (y 2 − 9)(y + 3) = y 3 + 3y 2 − 9y − 27
y por tanto y 2 − 3y − 9 = 0, y como la solución es y > 3,
y = 3 + 3√ 5
2
≈ 4, 85 ⇒ T = 14 − y ≈ 9, 14h ≈ 9h8 ′ .
Ejercicio 2.11.10.- Dos personas A y B piden café. A le pone una cucharada
de leche fría pero no se lo toma. Al cabo de 10 minutos B —que tampoco se
lo ha tomado— le pone una cucharada de leche fría (que no ha cambiado de
temperatura) y A y B beben el café. ¿Quién lo bebe mas caliente?
Indicación.- Hágase uso de la ley de enfriamiento de Newton : Si T (t) es
la diferencia de temperatura entre un objeto y su medio ambiente, entonces T ′ es
proporcional a T . Y que si mezclamos dos cantidades m1 y m2 con temperaturas T1
y T2 la temperatura de la mezcla es
m1T1 + m2T2
.
m1 + m2

132 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Ejercicio 2.11.11.- Un recipiente abierto, lleno de agua, tiene la forma de una
semiesfera de R metros de radio. En el fondo tiene un agujero circular de r
metros de radio. ¿Cuánto tardará en salir todo el agua del recipiente?. 5 .
Solución. Denotemos con y(t) la altura del nivel del agua, respecto del fondo
del recipiente, en el instante t; y sea A(y) el área de la sección del recipiente a una
altura y, por tanto el volumen del agua de la cisterna en el instante t es
Figura 2.12. Cisterna
y(t)
V (t) = A(y)dy ⇒ V
0
′ (t) = A[y(t)]y ′ (t),
(siendo y ′ < 0, pues y es decreciente) ahora bien para un ɛ > 0 muy pequeño, el
volumen que ha salido por el orificio entre los instantes t y t + ɛ es
V (t) − V (t + ɛ) ≈ πr 2 ɛ 2gy(t),
y tomando límites A[y(t)]y ′ (t) = V ′ (t) = −πr 2 2gy(t). Ahora como la sección por
y(t) es un círculo de radio r(t) = R 2 − (R − y(t)) 2 , tendremos que para k = r 2√ 2g
r 2 (t)y ′ = −r 2 −2Ry + y2
2gy ⇒ √ dy = kdt ⇒
y
⇒ 2Ry 1/2 dy − y 3/2
4R
dy + kdt = 0 ⇒ d
3 y3/2 − 2
5 y5/2
+ kt = 0
y si T es el instante en el que se vacía la cisterna, como en el instante t = 0, y = R,
tendremos que la solución es
4R
3 y3/2 − 2
5 y5/2 + kt = cte = 4R
3 R3/2 − 2
5 R5/2 5/2 14
= R
15 ,
y como para t = T , y = 0, tendremos que
T =
14 · R5/2
15 · r 2 · √ 2g .
En particular para R = 25cm y r = 2cm, T ≈ 16, 47seg.
5 Se admite la ley de Torricelli que dice que el agua sale por el agujero con la misma
velocidad ( √ 2gy) que obtendría un objeto al caer libremente desde la superficie del
agua hasta el agujero, a altura y

2.13. Ejercicios resueltos 133
Ejercicio 2.11.12.- Calcula la forma que debe tener el recipiente del ejercicio
anterior para que el nivel de la superficie del agua baje a una razón constante.
Solución. Con la misma notación tendremos que sea como sea la forma del
recipiente y el agujero de área A, tendremos que A[y(t)]y ′ (t) = −A 2gy(t). Ahora
bien como pedimos que y ′ sea constante tendremos que existe una constante k > 0,
tal que para toda altura y, A 2 (y) = ky. Ahora si pedimos que el recipiente sea una
superficie de revolución generada por una curva y = y(x), tendremos que A(y(x)) =
πx 2 es el área de un círculo de radio x, por tanto la curva es y = ax 4 .
Ejercicio 2.11.13.- Hallar las curvas y = f(x), del plano, que pasan por el
origen y tienen la propiedad de que para todo a ∈ R, el área limitada por la
tangente a la curva en (a, b = f(a)), el eje y y la recta y = b, es proporcional
al área limitada por la curva, el eje y y la recta y = b.
Solución. Si una tal curva es y = y(x), tenemos que para cada x el área del
triángulo es x2y ′ /2, mientras que el otro área es xy− x
0 y(x)dx y si son proporcionales
existe k > 0, tal que
kx 2 y ′ x
= xy − y(x)dx ⇒ k2xy
0
′ + kx 2 y ′′ = y + xy ′ − y = xy ′ ,
y llamando z = y ′ tendremos que kxz ′ = (1 − 2k)z y por tanto
k(log z) ′ = (1 − 2k)(log x) ′ ⇒ z = (cte)x 1−2k
k ⇒ y = qx p ,
para q ∈ R y como y(0) = 0, debe ser p > 0.
Ejercicio 2.11.14.- Encontrar todas las curvas planas de curvatura constante.
Solución. Sea (x(t), y(t)) una tal curva parametrizada por la longitud de arco.
Entonces
x ′2 + y ′2 = 1 , x ′′2 + y ′′2 = a 2 .
Derivando la primera ecuación
(2.12) x ′ = 1 − y ′2 ,
obtenemos
x ′′ = − y′ y ′′
1 − y ′2 ,
y despejando en la segunda
y ′′
= a (1 − y ′2 ) ⇔ z ′ = a 1 − z2 para z = y ′ , por tanto tenemos que resolver el campo
∂
∂t + a ∂
1 − z2 ∂z ,
que tiene una integral primera, ta − arc sen z, por tanto
y ′ (t) = z(t) = sen(at + k),
y por (2.12) las soluciones son las circunferencias de radio 1/a,
y(t) = − 1
1
cos(ta + k) + B , x(t) = sen(ta + k) + C.
a a

134 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Ejercicio 2.11.15.- Hay n moscas ordenadas en los vértices de un n–ágono
regular, que se ponen a andar a la misma velocidad y dirigiéndose cada una
hacia la siguiente. Dar la trayectoria de la mosca que pasa por un punto cualquiera
y calcular la longitud del trayecto recorrido hasta que se encuentra con
las demás, en función de su distancia al centro del polígono, en el instante 0.
Solución. Pongamos el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en el
centro del polígono, ordenemos los vertices en sentido antihorario y sea
θn =
(n + 2)π
2n
= π π
+
2 n ,
el ángulo que forman la semirrecta que une 0 con uno de los vértices y el segmento
paralelo por 0 al lado que lo une con el siguiente. Sean
a = cos θn, b = sen θn (observemos que a < 0 y b > 0).
Entonces nuestro campo es proporcional
a
D = (ax − by) ∂
∂
+ (bx + ay)
∂x ∂y ,
puesto que en cada punto (x, y), la mosca
se mueve en la dirección dada por el giro de
ángulo θn, del propio (x, y).
En coordenadas polares tenemos que
D = aρ ∂ ∂
+ b
∂ρ ∂θ ,
y por tanto para k = a/b < 0, tenemos la 1–forma incidente
dρ
ρ
− kdθ = d[log ρ − kθ],
D (x,y)
r
q 5
(x,y)
Figura 2.13. Caso n = 5
por lo que la función ρ e −kθ , es una integral primera de D y las trayectorias de las
moscas vienen dadas por
ρ = λ e kθ ,
para cada constante λ. En nuestro caso tenemos que para θ = 0, ρ = c, por tanto
nuestra solución es
ρ(θ) = c · e kθ ,
y en coordenadas (x, y),
x(θ) = c e kθ cos θ, y(θ) = c e kθ sen θ,
por tanto la longitud de la curva integral de D pasando por (x = c, y = 0), desde este
punto es
∞
x
0
′ (θ) 2 + y ′ (θ) 2dθ = c k2 ∞
+ 1 e
0
kθ dθ
= − c c
= −
a cos (n+2)π
=
2n
c
sen π .
n
c

2.13. Ejercicios resueltos 135
Ejercicio 2.11.16.- Demostrar que el campo de R n+1 ,
D = ∂
∂x
+ x2∂∂x1 + · · · + xn
∂
∂xn−1
+ F ∂
,
∂xn
en las coordenadas (x, x1, . . . , xn), asociado a las ecuaciones diferenciales de
la forma
y (n = F (x, y, y ′ , . . . , y (n−1 ),
para el que
F (x, tx1, tx2, . . . , txn) = tF (x, x1, . . . , xn),
es invariante por el campo de las homotecias
x1
∂
∂
+ · · · + xn .
∂x1
∂xn
Indicación. Basta demostrar que xiFx i = F , lo cual se sigue derivando en
t = 1 la propiedad de F .
Ejercicio 2.11.17.- Resolver la ecuación
x 2 yy ′′ = (y − xy ′ ) 2
con las condiciones y(1) = 5, y ′ (1) = 2.
Solución.- Como y ′′ = F (x, y, y ′ ) y F satisface la propiedad del ejercicio anterior,
sabemos que el campo asociado
D = ∂ ∂ (y − xz)2
+ z +
∂x ∂y x2 ∂
y ∂z ,
se escribe con dos coordenadas en el sistema u1 = x, u2 = z/y, u3 = log y.
D = ∂
1
+
∂u1 u2 −
1
2u2
∂
+ u2∂∂u3.
u1 ∂u2
Ahora bien el campo
∂
∂u1
1
+
u2 −
1
2u2
∂
,
u1 ∂u2
es lineal y podemos resolverlo fácilmente, no obstante observemos que tiene una 1–
forma incidente
(1 − 2u2u1)du1 − u 2 1 du2 = d[u1 − u 2 1 u2] = dv.
Poniendo D en el sistema de coordenadas (u1, v, u3), obtenemos
que tiene la 1–forma incidente
D = ∂
+
∂u1
u1 − v
u2 1
∂
,
∂u3
u1 − v
u2 du1 − du3,
1

136 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
y como v podemos considerarla como una constante pues Dv = 0, tenemos la 1–forma
incidente
d log u1 + v
− u3 = dg,
u1
y por tanto las soluciones son v = a, g = b, para cada elección de constantes a, b ∈ R.
Y en las coordenadas (x, y, z)
log x + a
x − log y = b ⇒ y = kx ea/x ,
ahora basta elegir convenientemente a y k.
Figura 2.14. Caso cte = λ = 1, por tanto α = π/4.
Ejercicio 2.11.18.- Encontrar la forma de unas tijeras, con cuchillas simétricas,
tal que el ángulo de corte sea siempre el mismo.
Solución.- Consideremos el origen de coordenadas cartesianas en el centro de
giro de las tijeras. Que el ángulo de las dos hojas sea constante equivale a que lo es (y
vale la mitad), el ángulo α que forma una de las dos cuchillas con el eje de simetría es
decir con la recta que pasa por el origen y el punto que estemos considerando. Esto
nos induce a considerar en cada punto p = (x, y) = ρ(cos θ, sen θ) del plano, la recta
de dirección (cos(α + β), sen(α + β)). Por lo tanto consideramos el campo tangente
que da esa dirección que, para (a, b) = (cos α, sen α), es
D = (ax − by)∂x + (bx + ay)∂y,
(y sus múltiplos). Ahora bien como es homogéneo, para resolverlo consideramos el
sistema de coordenadas (u = log x, v = y/x), en el que
Du = a − bv, Dv = bv 2 + b ⇒ D = (a − bv)∂u + b(v 2 + 1)∂v,
y tiene 1–forma incidente para λ = a/b
du +
v − λ
v 2 + 1 dv,
que es exacta y es la diferencial de
u +
vdv
− λ
1 + v2 dv
v2 + 1 = u + log 1 + v2 − λ arctan v,

y sus curvas integrales son (ver figura)
log x + log
2.13. Ejercicios resueltos 137
1 + y2
x 2 = λθ + cte ⇔ ρ = cte · eλθ .
Ejercicio 2.11.19.- Encontrar las curvas del plano que en cada punto la distancia
de su tangente al origen es la abscisa del punto.
Figura 2.15.
Indicación. Sea h = 0 una tal curva, entonces la recta tangente en cada punto
suyo p = (x0, y0), h(p) = 0 es de la forma hx(p)(x − x0) + hy(p)(y − y0) = 0, cuya
distancia al origen es x0, por tanto
hx(p)x0 + hy(p)y0
h 2 x + h2 y
= x0 ⇔ 2x0y0hx + y 2 0 hy = x2 0 hy
y h es integral primera de D = 2xy∂x + (y 2 − x 2 )∂y, ahora como el campo es homogéneo
consideramos las coordenadas u = y/x, v = log x
Du = − y2
x −x = −x(u2 +1), Dv = 2y = x2u ⇒ D = −x(u 2 +1)∂u +2xu∂v
y tiene 1–forma incidente 2udu
1) =cte, es decir las circunferencias de radio r centradas en (r, 0)
u2 +1 + dv = d(v + log(u2 + 1)) y las soluciones son x( y2
x2 +
(x − r) 2 + y 2 = r 2 .

138 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
2.14. Bibliografía y comentarios
Los libros consultados en la elaboración de este tema han sido:
Arnold, V.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, 1974, Moscou.
Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geo-
metry”. Ac. Press, 1975.
Coddington and Levinson: “Theory of ordinary Differential Equations”. McGraw
–Hill, 1955.
Hartman, Ph.: “Ordinary differential equations”. Ed. Birkhauser. 1982.
Hurewicz, W.: “Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias”. Ediciones RIALP, 1966.
Muñoz Diaz, Jesus: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982.
Ya hemos comentado en el primer tema que los primeros en proponer
problemas planteados matemáticamente en términos de ecuaciones
diferenciales fueron Isaac Newton y G.W. Leibnitz, los cuales dieron
técnicas para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales particulares
—de Isaac Newton (1692), es el método de las series de potencias,
del que hablaremos en el Tema de campos tangentes lineales—.
Durante el siglo XVIII siguieron dándose soluciones a problemas particulares
y no fue hasta 1820 que A.L. Cauchy trató de demostrar un
teorema general de existencia de soluciones de una ecuación diferencial,
pero sólo publicó un breve resumen de su método, en la introducción de
un trabajo de 1840. Sin embargo su tratamiento del tema nos ha llegado
por una parte a través de un trabajo de G.G. de Coriolis, publicado en
1837 (el cual en palabras de Flett: “...parecen un intento de reproducir
de memoria una demostración que no se ha entendido..., ver pág.148 y
ss.), y por otra a través de unas lecciones de Moigno (1844), de cálculo
diferencial.
Cauchy estudia el caso escalar y ′ = f(t, y), y usa la acotación de
fy para probar que f es Lipchiciana en y y utiliza esta propiedad en su
argumentación.
Por su parte la condición de lipchicianidad de una función fue introducida
explícitamente por Rudolf O.S. Lipschitz en un trabajo
publicado en 1868, en el que prueba la existencia de solución en un entorno
suficientemente pequeño, para una ecuación diferencial de R n , y
donde hace uso —como Cauchy— de la uniforme continuidad de f sin
justificarla —la distinción entre continuidad y uniforme continuidad se

2.14. Bibliografía y comentarios 139
aclaró entre 1868 y 1876—. Reconoce la necesidad de probar la unicidad
de solución pero su argumentación en esta dirección es insuficiente.
El siguiente paso lo dio Emile Picard en 1890, donde usando una
primera versión del teorema de la aplicación contractiva construye una
sucesión de aproximaciones sucesivas de la solución, aunque el dominio
de la solución era más pequeño que el de existencia de Cauchy. Este
defecto fue remediado en (1893) por Ivar O. Bendixson y en (1894)
por Ernst L. Lindelof .
En 1882, Vito Volterra planteó la cuestión de si bastaba con la
continuidad de f para asegurar la existencia de solución y Giuseppe
Peano en 1886 (para el caso escalar) y en 1890 (para el caso vectorial,
y para otra versión del caso escalar), dio una contestación afirmativa a
la conjetura. En el primer trabajo hace uso de cierta desigualdad diferenciable,
mientras que en el segundo trabajo —que es largo y tedioso—
mezcla en la propia demostración la esencia del Teorema de Ascoli–
Arzela.
Por último Charles de la Vallee–Pousin en 1893 y Cesare Arzelà
en 1895, dieron simplificaciones del teorema de Peano. El primero
basándose en un caso particular del Teorema de Ascoli–Arzela y el
segundo haciendo un uso explícito de él.
El lector interesado en el teorema de existencia y unicidad de solución
de ecuaciones diferenciales en espacios de dimensión infinita puede
consultar los libros
Bourbaki, N.: “Elements de mathematique, Vol.4”. Hermann Paris, 1951. Cap. 4-7.
Flett, T.M.: “Differential analysis”. Cambridge Univ.Press., 1980.
En un entorno de un punto no singular hemos visto en el Teorema
del flujo (2.25), pág.96, que todos los campos tangentes son ∂x y por
tanto tienen la misma estructura, pero no hemos dicho nada sobre los
campos singulares. En este caso el problema es mucho mas difícil: En el
trabajo de
Sternberg, S.: “On the structure of local homeomorphisms of euclidean n-space,
II”, Amer. Journal of Math., Vol. 80, pp.623–631, 1958.
encontramos que los campos con un punto singular son “casi siempre”
difeomorfos, en un entorno del punto, a su linealización, es decir a su
aproximación lineal en el punto —esto lo definiremos con rigor en la lección
5.2, pág.278, del tema de estabilidad—. En la lección 4.7 (pág.229)

140 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
del tema de Sistemas lineales clasificaremos los campos tangentes lineales
desde un punto de vista lineal y diferenciable —y veremos que
ambas clasificaciones son la misma— y en la lección 5.6 (pág.297) del
tema de Estabilidad haremos la clasificación topológica.
Por otra parte para realizar un estudio “fino” de un objeto matemático,
cerca de un punto singular se ha elaborado una técnica, llamada
resolución de singularidades, que consiste en elegir un sistema de coordenadas
cerca de un punto singular, para el que a un pequeño desplazamiento
cerca de la singularidad, corresponde un gran cambio en las
coordenadas.
El sistema de coordenadas polares tiene esta propiedad, sin embargo
el paso a ellas requiere funciones trascendentes, por ello a veces es preferible
otro procedimiento, el llamado σ–proceso, que consiste en subir un
campo de R 2 con un punto singular, a un campo en el helicoide recto,
que es la superficie definida por una hélice circular, con el eje pasando
por el punto singular.
Remitimos al lector interesado al libro
Arnold, V.I.: “Geometric Methods in the theory of ordinary differential equations”.
Springer–Verlag, 1983.
El método estudiado en la lección 2.11, pág.109, que consistía en
encontrar todas las ecuaciones diferenciales que quedan invariantes por
un grupo de difeomorfismos y el sistema de coordenadas en el que se
resuelven es de Sophus Lie .
Remitimos al lector a los libros
Bluman, G.W. and Cole, J.D.: “Similarity Methods for differential equations”.
AMS, Vol.13, Springer–Verlag, 1974.
Ince, E.L.: “Ordinary differential equations”. Dover, 1956. Reedición íntegra de la
original publicada en 1926.
Olver, P.J.: “Applications of Lie groups to differential equations”. GTM, N.107,
Springer–Verlag, 1986.
Sobre este tema han trabajado también Joseph Liouville, —que
tiene un teorema sobre la imposibilidad de resolver ciertas ecuaciones
diferenciales por cuadraturas—, Ritt y Kolchin.
Que las ecuaciones diferenciales del tipo
y (n = F (x, y, y ′ , . . . , y (n−1 )

2.14. Bibliografía y comentarios 141
tienen solución expresable por cuadraturas si y sólo si cierto grupo que
se le asocia es resoluble, se encuentra en la pág.135 del libro
Bluman,G.W. and Kumei,S.: “Symmetries and differential equations”. Springer–
Verlag, 1989.
Por último, el estudio de la tractriz 6 probablemente lo desencadenó la
pregunta de Perrault sobre la trayectoria de su reloj de bolsillo, que
comentamos en la lección 2.12, pág.116. No se sabe cuando planteó esta
cuestión pero en esas fechas distintos autores estudiaron esta curva y
problemas análogos. Lo que sí se sabe es que Leibnitz escribió una carta
en 1684 diciendo que tenía los métodos para estudiar esta curva, pero
no publica nada hasta 1693
Leibnitz, W.: “Supplementum geometriae dimensoriae, seu generalissima omnium
tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio lineae ex
data tangentium conditione”. 7 Acta Eruditorum, 1693.
artículo en el que cita el problema de Perrault. En este artículo usa
la construcción mecánica de la tractriz para desarrollar teóricamente
un dispositivo que integraba ecuaciones gráficamente (y también está el
Teorema fundamental del cálculo). No obstante, Huygens ese mismo año
de 1693, publicó antes que Leibnitz sus estudios y en el año anterior,
1692, Jean Bernoulli estudia la tractriz planteada desde el punto
de vista geométrico y Pierre Varignon le escribe en enero de 1693,
“. . . acabo de encontrar la curva que describe un barco arrastrado por
una cuerda a lo largo del borde del río: Se trata de una nueva especie de
logarítmica”.
El interés sobre estas cuestiones fue abrumador durante mucho tiempo
y fruto de esas investigaciones han sido las múltiples construcciones
de máquinas que teóricamente permitían dibujar las soluciones de ecuaciones
diferenciales. Remitimos al lector interesado en la historia de la
tractriz y de estos artilugios llamados “intégrafos universales”, a la Tesis
Doctoral de
Tournès, Dominique: “Histoire de la construction tractionnelle des équations différen-
tielles.”2004.
que se encuentra en la página web
6 Este nombre proviene del término que acuñó Huygens en 1692, tractoria, por
estar generada mediante una tracción. Mas adelante Leibnitz la llamó tractrix, que
es el empleado actualmente.
7 Suplemento sobre medidas geométricas, o mas generalmente de todas las cuadraturas
a través del movimiento: y similarmente distintas formas de construir una
curva a partir de condiciones sobre sus tangentes.

142 Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/calculsavant/
Textes/vincenzo_riccati.html
y en la que el autor traduce en las páginas 290–354, la memoria de
Vincenzo Riccati con el mismo título. Así mismo remitimos al trabajo
de
Bos, H.J.M.: “Tractional Motion and the Legitimation of Transcendental Curves”.
Centaurus, Vol.31, Issue 1, Abril 1988.
que se encuentra en la página web
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1600-0498.1988.
tb00714.x/abstract
Fin del Tema 2

Tema 3
Campos tensoriales en un
espacio vectorial
3.1. Tensores en un módulo libre
Definición. Sea (A, +, ·) un anillo conmutativo y con unidad, es decir
que:
(1) (A, +) es grupo conmutativo —lo cual significa que para cualesquiera
a, b, c ∈ A se tiene, a + (b + c) = (a + b) + c, que existe un 0 ∈ A
tal que a+0 = 0+a = a y que existe −a tal que a+(−a) = (−a)+a = 0
y que a + b = b + a—,
(2) (Propiedad asociativa): a · (b · c) = (a · b) · c;
(3) (Propiedad distributiva): a·(b+c) = a·b+a·c y (b+c)·a = b·a+c·a;
(4) existe 1 ∈ A tal que a · 1 = 1 · a = a y
(5) a · b = b · a.
Sea V un A–módulo, es decir un conjunto con dos operaciones
V × V
+
−→ V, A × V
tales que:
(1) (V, +) es grupo conmutativo;
143
+
−→ V,

144 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
(2) a · (v1 + v2) = a · v1 + a · v2;
(3) (a + b) · v = a · v + b · v;
(4) (ab) · v = a · (b · v) y
(5) 1 · v = v.
Sea V ∗ su módulo dual, es decir el conjunto de las aplicaciones A–
lineales de V en A. Sean p, q ∈ N ∪ {0}, no ambos nulos. Llamaremos
tensor de tipo (p, q) en V a toda aplicación (p + q)–lineal
T : V p × V ∗q −−→ A,
entendiendo para p = 0, T : V ∗q −→ A y para q = 0, T : V p −→ A.
Llamaremos tensores de tipo (0, 0) a los elementos de A. Así mismo
denotaremos con T q
p (V ) el A–módulo de los tensores de tipo (p, q) en V .
Definición. Si T ∈ T q
p (V ) y T ′ ∈ T q′
′ (V ), definimos el producto tenso-
p
rial de T y T ′ , como el tensor T ⊗ T ′ de tipo (p + p ′ , q + q ′ ), en V , que
para e1, . . . , ep+p ′ ∈ V y f1, . . . , fq+q ′ ∈ V ∗ satisface
T ⊗ T ′ (e1, . . . , ep+p ′, f1, . . . , fq+q ′) =
= T (e1, . . . , ep, f1, . . . , fq)T ′ (ep+1, . . . , ep+p ′, fq+1, . . . , fq+q ′).
Ejercicio 3.1.1 Demostrar que la aplicación producto tensorial
T q
p (V ) × T q′
p ′ (V ) ⊗
−−→T q+q′
p+p ′ (V ) , (T, T ′ ) T ⊗ T ′ ,
es A–bilineal. Y que el producto tensorial es asociativo.
Definición. Sean W, V1, . . . , Vn módulos sobre un anillo A, y sea
T : V1 × · · · × Vn −−→ W,
una aplicación n–lineal. Definimos la contracción interior de T por un
elemento e ∈ V1 como la aplicación (n − 1)–lineal
ieT : V2 × · · · × Vn −−→ W , ieT (e2, . . . , en) = T (e, e2, . . . , en),
para n = 1 definimos ieT = T (e).
Si denotamos con
M = M(V1 × . . . × Vn; W ),
el módulo sobre A de las aplicaciones n–lineales de V1 × · · · × Vn en W ,
tendremos un isomorfismo entre este módulo y
Hom[V1, M(V2 × . . . × Vn; W )],

3.1. Tensores en un módulo libre 145
que hace corresponder a cada T ∈ M la aplicación lineal
e ∈ V1 −−→ ieT ∈ M(V2 × · · · × Vn; W ).
Teorema 3.1 i) Si W, V1, . . . , Vn son módulos libres, entonces
rang M(V1 × . . . × Vn; W ) = (rang V1) · · · (rang Vn)(rang W ).
ii) Si V es módulo libre, su dual V ∗ y T q
p (V ) también son libres y
rang[T q
p (V )] = [rang(V )] p+q .
iii) Si V es libre, la aplicación F : V −→ V ∗∗ , F (v)(ω) = ω(v), es un
isomorfismo.
iv) Si V es libre, con base v1, . . . , vn y base dual ω1, . . . , ωn, entonces los
n p+q productos tensoriales
ωi1
⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ vj1 ⊗ · · · ⊗ vjq ,
forman una base de Tp(V ), entendiendo —por (iii)—, que para cada
v ∈ V y cada ω ∈ V ∗ , v(ω) = ω(v).
Demostración. (Indicación) i) Se hace por inducción teniendo en
cuenta la contracción interior.
ii) Es consecuencia de (i).
iii) F es lineal y lleva base en base.
iv) Por (ii) y (iii).
Hay una operación de relevante importancia, que nos convierte un
tensor de tipo (p, q) en otro de tipo (p − 1, q − 1). Tal operación se llama
contracción y para definirla necesitamos el siguiente resultado previo.
Teorema 3.2 Sean V y V ′ módulos libres, entonces existe un isomorfismo
entre los módulos libres
H = Hom (T q
p (V ), V ′ ) ∼ M = M(V ∗p × V q ; V ′ ).
Demostración. Consideremos la aplicación producto tensorial
y demostremos que la aplicación
⊗ : V ∗p × V q −−→ T q
p (V ),
F : H −−→ M, F (f) = f ◦ ⊗,

146 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
es un isomorfismo:
1. Está bien definida pues la composición de una multilineal con una
lineal es multilineal.
2. Es lineal.
3. Es inyectiva pues si F (f) = 0, tendremos que para todos los elementos
de la base de T q
p (V ),
f(ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ vj1 ⊗ · · · ⊗ vjq ) = 0,
por tanto f = 0.
4. rang(H) = rang(M) = n p+q dim(V ′ ).
Definición. Como consecuencia tenemos que si por V ′ tomamos T q−1
p−1 (V ),
entonces para un 1 ≤ i ≤ p y un 1 ≤ j ≤ q, la aplicación (p + q)–lineal
V ∗p × V q −−→ T q−1
p−1 (V ),
que hace corresponder a (ω1, . . . , ωp, v1, . . . , vq)
ωi(vj)ω1 ⊗ · · · ωi · · · ⊗ ωp ⊗ v1 ⊗ · · · vj · · · ⊗ vq,
—donde con ω indicamos que ω no aparece en la expresión—, define una
única aplicación lineal que llamaremos contracción (i, j)
C j q
i : Tp (V ) −−→ T q−1
p−1 (V ),
que sobre los elementos de la forma
actúa de la forma,
ωk ⊗ vl = ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp ⊗ v1 ⊗ · · · ⊗ vq,
C j
i (ωk ⊗ vl) = ωi(vj)ω1 ⊗ · · · ⊗ ωi · · · ⊗ ωp ⊗ v1 ⊗ · · · vj · · · ⊗ vq.
Para p = q = 1, será C 1 1(ω ⊗ v) = ω(v) = ivω.

3.2. Campos tensoriales en R n 147
3.2. Campos tensoriales en R n
Sea U un abierto de un espacio vectorial real E de dimensión n. Sea
D = D(U) el C ∞ (U)–módulo de los campos tangentes a U de clase ∞,
y Ω = Ω(U) su dual, es decir el C ∞ (U)–módulo de las 1–formas sobre U
de clase ∞.
Definición. Llamaremos campo tensorial de tipo (p, q) sobre U —p
veces covariante y q veces contravariante—, a toda aplicación (p + q)–
lineal sobre C ∞ (U)
T q p : D p × Ω q −−→ C ∞ (U),
es decir a todo tensor sobre el C∞ (U)–módulo D. Y denotaremos con
T q
p (D) ó T q
p si no hay confusión, el conjunto de los campos tensoriales
de tipo (p, q) sobre U, los cuales forman un haz de C∞ (U)–módulo.
En particular tendremos que T 0
1 = Ω. Por (3.1) tenemos que T 1
0 = D,
y convenimos en llamar T 0
0 = C∞ (U).
Nota 3.3 Si p y q se sobrentienden escribiremos T en vez de T q p y
T (Di, ωj) en vez de
T q p (D1, . . . , Dp, ω1, . . . , ωq).
Nota 3.4 Definimos el producto tensorial de campos tensoriales, la contracción
interior por un campo tangente D y la contracción (i, j)
T ⊗ Q
iD : T q
p −−→ T q−1
p−1 ,
iDT (D2, . . . , Dp, ω1, . . . , ωq) = T (D, D2, . . . , Dp, ω1, . . . , ωq),
C j
i
: T q
p −−→ T q−1
p−1 ,
como hicimos en la lección anterior, para el caso particular en el que el
anillo A es C∞ (U) y el C∞ (U)–módulo libre es D.
Tanto iD como C j
i son C∞ (U)–lineales, y verifican:
a) iDT = C1 1(D ⊗ T ).
b) Para ω ∈ Ω, iDω = C1 1(D ⊗ ω) = ωD.
c) Si T ∈ T q
p , Di ∈ D, y ωj ∈ Ω, entonces
T (Di, ωj) = C 1 1 (p+q) . . . C 1 1(D1 ⊗ . . . ⊗ Dp ⊗ T ⊗ ω1 ⊗ . . . ⊗ ωq),

148 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Nota 3.5 Como consecuencia de (3.1) tenemos que dado en U un sistema
de coordenadas (u1, . . . , un), como las ∂/∂ui son base de D y las
dui son su base dual, tendremos que
∂
dui1 ⊗ . . . ⊗ duip ⊗ ⊗ . . . ⊗
∂uj1
∂
,
∂ujq
es una base del módulo de los tensores de tipo (p, q).
Definición. Llamaremos campo diferenciable de tensores de tipo (p, q),
en U, a toda colección
{Tx ∈ T q
p [Tx(E)] : x ∈ U},
tal que para cada D1, . . . , Dp ∈ D y ω1, . . . , ωq ∈ Ω y los vectores Dix ∈
Tx(E) y las 1–formas ωjx ∈ Tx(E) ∗ , que respectivamente definen para
cada x ∈ U, se verifica que la aplicación
es de C ∞ (U).
x ∈ U −−→ Tx(D1x, . . . , Dpx, ω1x, . . . , ωqx),
Ejercicio 3.2.1 Demostrar que existe una biyección entre los campos tensoriales
de tipo (p, q) en U y los campos diferenciables de tensores —de tipo
(p, q)—, en U, para la que se tiene que si T, T1, T2 ∈ T q
p , f ∈ C ∞ (U) y x ∈ U,
entonces:
a) (T1 + T2)x = T1x + T2x.
b) (fT )x = f(x)Tx.
c) (T1 ⊗ T2)x = T1x ⊗ T2x.
d) (iDT )x = iDxTx.
e) (C j
i
T )x = Cj
i Tx.
3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial
Definición. Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 un difeomorfismo. Definimos el
isomorfismo
F∗ : T q
p (U) −−→ T q
p (V ), F∗T (Di, ωj)[F (x)] = T (F ∗ Di, F ∗ ωj)(x).
Denotaremos con F ∗ = F −1
∗ .

3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial 149
Ejercicio 3.3.1 Demostrar que para cada campo tensorial T ,
F∗(C j
i
T ) = Cj i (F∗T ).
Definición. Sea D ∈ D(U) y X : W −→ U su grupo uniparamétrico
local. Entonces para cada t ∈ R suficientemente pequeño, el abierto de
U,
Ut = {x ∈ U : (t, x) ∈ W},
es no vacío y
Xt : Ut −−→ U−t,
es un difeomorfismo. Por tanto para cada T ∈ T q
p (U), podemos restringir
T al abierto U−t y considerar el campo tensorial X ∗ t T ∈ T q
p (Ut).
Llamaremos derivada de Lie del campo tensorial T al campo tensorial
de T q
p (U)
D L X
T = lím
t→0
∗ t T − T
,
t
es decir tal que para cualesquiera Di ∈ D(U), ωj ∈ Ω(U) y x ∈ U,
verifica
D L (X
T (Di, ωj)(x) = lím
t→0
∗ t T )(Di, ωj)(x) − T (Di, ωj)(x)
t
= lím
t→0
T Xt(x)(Xt∗Dix, Xt∗ωjx) − Tx(Dix, ωjx)
Nota 3.6 Observemos que para T = f ∈ T 0
0 (U) = C∞ (U), DLT = Df
y para T = E ∈ T 1
0 (U) = D(U), DLT coincide con la derivada de Lie
para campos tangentes definida en la lección (2.10), pág.104.
Por tanto ya tenemos que al menos para dos clases de campos tensoriales
la derivada de lie existe y es un campo tensorial. Es curioso
observar que si lo logramos demostrar para las 1–formas lo tendremos
demostrado para cualquier campo tensorial.
Proposición 3.7 a) Para cada f ∈ C ∞ (U), D L (df) = d(Df) ∈ Ω.
b) Si f, g ∈ C ∞ (U), entonces
D L (gdf) = (Dg)df + gD L (df).
c) Dada ω ∈ Ω, existe la D L ω y está en Ω.
t
.

150 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Demostración. (a) Sea f ∈ C ∞ (U) y ω = df. Para cada E ∈ D(U)
y cada x ∈ U tendremos —ver tema II— que
[D L dXt(x)f(Xt∗Ex) − dxf(Ex)
(df)E](x) = lím
t→0
t
= lím
t→0
E(f ◦ Xt)(x) − Ef(x)
t
= ∂2H (0, 0, 0) = E(Df)(x) = [d(Df)E](x).
∂r∂s
Se sigue por tanto que D L (df) ∈ Ω(U) = T 0
1 (U).
(c) Es consecuencia de (a), (b) y de que ω = gidui.
Para demostrar ahora que la derivada de lie de cualquier campo tensorial
existe y es un campo tensorial necesitamos el siguiente resultado.
Teorema 3.8 Sea D ∈ D y sean T y T ′ dos campos tensoriales para
los que existen las derivadas D L T y D L T ′ y son campos tensoriales.
Entonces D L (T ⊗ T ′ ) existe y vale D L T ⊗ T ′ + T ⊗ D L T ′ .
Demostración. Consideremos Di, Dj ∈ D y ωk, ωl ∈ Ω y definamos
las aplicaciones
A: W −−→ R, A(t, x) = T Xt(x)(Xt∗Dix, Xt∗ωkx),
A ′ : W −−→ R, A ′ (t, x) = T ′ Xt(x) (Xt∗Djx, Xt∗ωlx).
Entonces se tiene que,
D L (T ⊗ T ′ A(t, x)A
)(Di, Dj, ωk, ωl)(x) = lím
t→0
′ (t, x) − A(x)A ′ (x)
t
= [T ⊗ D L T ′ + D L T ⊗ T ′ ](Di, Dj, ωk, ωl)(x).
Corolario 3.9 Todo campo tensorial de tipo (p, q) tiene derivada de Lie
respecto de cualquier campo tangente y es un campo tensorial de tipo
(p, q).
Demostración. Como los campos tensoriales de tipo (0, 0), (1, 0)
y (0, 1) satisfacen las condiciones del resultado anterior y todo campo
tensorial T de tipo (p, q) puede escribirse, en un sistema de coordenadas,
como
∂
Tαdxi1 ⊗ · · · ⊗ dxip ⊗ ⊗ · · · ⊗
∂xj1
∂
,
∂xjq
α=(i1,...,jq)
tendremos que D L T existe y es un campo tensorial de tipo (p, q).

3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial 151
Teorema 3.10 La derivada de Lie tiene las siguientes propiedades:
i) D L T = Df, para cada T = f ∈ C ∞ (U).
ii) D L T = [D, E], para cada T = E ∈ D.
iii) D L (df) = d(Df), para cada f ∈ C ∞ (U).
iv) D L (T ⊗ T ′ ) = D L T ⊗ T ′ + T ⊗ D L T ′ , para T y T ′ campos ten-
soriales.
v) D L (C j
i
T ) = Cj
i (DL T ), para cada campo tensorial T .
vi) D L ω(E) = D(ωE) − ω(D L E), para cada ω ∈ Ω y E ∈ D.
vii) Para cada campo tensorial T , Di ∈ D y ωj ∈ Ω
D L T (Di, ωj) = D[T (Di, ωj)]−
− T (D L D1, D2, . . . , Dp, ω1, . . . , ωq) − . . . −
− T (D1, . . . , D L Dp, ω1, . . . , ωq)−
− T (D1, . . . , Dp, D L ω1, ω2, . . . , ωq) − . . . −
− T (D1, . . . , Dp, ω1, . . . , ωq−1, D L ωq).
viii) D L T = 0 si y sólo si Xt∗T = T , para cada campo tensorial T y
restringiendo T a los entornos en los que Xt es difeomorfismo.
ix) (D1 +D2) L = D L 1 +D L 2 , para cada par de campos D1, D2 ∈ D(U).
x) [D1, D2] L = D L 1 ◦ D L 2 − D L 2 ◦ D L 1 .
Demostración. (v) Es consecuencia de que
F∗(C j
i T ) = Cj i (F∗T ).
(vi) y (vii) son consecuencia de (iv), (v), de que C 1 1(D ⊗ ω) = ωD y
de la linealidad de C 1 1.
(viii) En las funciones A(t, x) de (3.8) se tiene que ∂A(t, x)/∂t = 0,
por tanto A(t, x) = A(0, x), para todo (t, x) ∈ W.
(ix) Es consecuencia de (vii).
(x) Para T = f es la definición. Para T = D es consecuencia de la
igualdad de Jacobi. Para T = df es consecuencia de (iii). Para T = gdf
es un simple cálculo. Para T = ω es consecuencia de (i) y el caso anterior.
Y para T arbitrario es consecuencia de los casos anteriores y de (vii).

152 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
3.4. Campos tensoriales Covariantes
Definición. Llamaremos campos tensoriales covariantes de orden p en
U, a los campos tensoriales de T 0
p (U).
Proposición 3.11 Toda aplicación diferenciable, F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2,
define un morfismo de módulos
F ∗ : T 0
p (V ) −−→ T 0
p (U),
tal que para cada T ∈ T 0
p (V ) y para cada D1, . . . , Dp ∈ D(U), x ∈ U e
y = F (x)
F ∗ T (D1, . . . , Dp)(x) = Ty(F∗D1x, . . . , F∗Dpx).
Además F ∗ verifica las propiedades:
a) F ∗ (T1 + T2) = F ∗ (T1) + F ∗ (T2), para cada T1, T2 ∈ T 0
p (V ).
b) F ∗ (fT ) = F ∗ (f)F ∗ (T ), para cada T ∈ T 0
p (V ) y f ∈ C∞ (U).
c) F ∗ (T1 ⊗ T2) = F ∗ (T1) ⊗ F ∗ (T2), para T1 ⊗ T2 ∈ T 0
p (V ).
por tanto es un morfismo de módulos que conserva el producto tensorial.
Demostración. Para cada x ∈ U e y = F (x), tenemos que Ty ∈
T 0
p [Ty(E2)] por tanto para
(F ∗ T )x(D1x, . . . , Dpx) = Ty(F∗D1x, . . . , F∗Dpx),
tendremos que (F ∗ T )x ∈ T 0
p [Tx(E1)],
Basta ver que F ∗ T (D1, . . . , Dp) ∈ C ∞ (U).
Si T = Tαdvi1 ⊗ . . . ⊗ dvip , para α = (i1, . . . , ip) y siendo Tα ∈
C ∞ (V ), entonces para cada x ∈ U,
F ∗ T (D1, . . . , Dp)(x) =
Tα(F (x))D1(vi1 ◦ F )(x) · · · Dp(vip ◦ F )(x),
y como vij ◦ F ∈ C ∞ (U), el resultado se sigue.
El resto de apartados queda como ejercicio.
α

3.4. Campos tensoriales Covariantes 153
Definición. Diremos que un tensor covariante , T ∈ T 0
p (U) es simétrico
si dados cualesquiera D1, . . . , Dp ∈ D(U) y 1 ≤ i, j ≤ p, se tiene
T (D1, . . . , Di, . . . , Dj, . . . , Dp) = T (D1, . . . , Dj, . . . , Di, . . . , Dp).
Denotaremos con Σp(U) ó Σp si no hay confusión, el conjunto de los
campos tensoriales de T 0
p (U) que son simétricos, y con Σ1 a T 0
1 (U) = Ω.
Definición. Diremos que T es hemisimétrico ó alterno si en las condiciones
de antes se tiene que
T (D1, . . . , Di, . . . , Dj, . . . , Dp) = −T (D1, . . . , Dj, . . . , Di, . . . , Dp).
Denotaremos con Λp(U) ó Λp si no hay confusión, el conjunto de los
campos tensoriales de T 0
p (U) que son hemisimétricos. Entenderemos por
Λ0 = C ∞ (U) y por Λ1 = T 0
1 (U) = Ω.
Ejercicio 3.4.1 Demostrar que si F : U −→ V es diferenciable, entonces F ∗
conserva la simetría y la hemisimetría de los tensores simétricos y hemisimétricos
respectivamente.
Nota 3.12 Recordemos que dada una permutación σ ∈ Sp, el sig(σ)
está definido de la forma siguiente:
Se considera el polinomio
P (x1, . . . , xn) =
(xi − xj),
donde I = {(i, j) : 1 ≤ i < j ≤ n}. Ahora se define sig(σ) como el valor
±1 tal que
y se demuestra que
P (x1, . . . , xn) = sig(σ)P (x σ(1), . . . , x σ(n)),
sig(σ1) sig(σ2) = sig(σ1 ◦ σ2),
que si σ es una trasposición, es decir intercambia sólo dos elementos,
entonces sig(σ) = −1, y que toda permutación es composición finita de
trasposiciones.
Definición. Dada una permutación σ ∈ Sp, definimos la aplicación
C∞ (U)–lineal
σ : T 0
p (U) −−→ T 0
p (U),
que para T ∈ T 0
p y D1, . . . , Dp ∈ D, vale
σ(T )[D1, . . . , Dp] = T (D σ(1), . . . , D σ(p)).
I

154 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Nota 3.13 Esta aplicación tiene las propiedades:
(τ ◦ σ)[T ] = τ[σ(T )].
id[T ] = T .
σ −1 [ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp] = ω σ(1) ⊗ · · · ⊗ ω σ(p).
Ejercicio 3.4.2 Demostrar que son equivalentes:
(i) T ∈ T 0
p (U) es hemisimétrico.
(ii) Dados D1, . . . , Dp ∈ D(U) tales que existen i, j ∈ {1, . . . , p} distintos
para los que Di = Dj, entonces T (D1, . . . , Dp) = 0.
(iii) Dada σ ∈ Sp, σ(T ) = sig(σ)T .
Definición. Llamaremos aplicaciones de simetrización y hemisimetrización
a las aplicaciones C ∞ (U)–lineales
definidas por
S : T 0
p (U) −−→ T 0
p (U) , H: T 0
p (U) −−→ T 0
p (U),
S(T ) =
σ(T ), H(T ) =
sig(σ)σ(T ),
σ∈Sp
σ∈Sp
para cada T ∈ T 0
p .
Estas operaciones tienen las siguientes propiedades:
Proposición 3.14 a) S 2 = p!S y H 2 = p!H.
b) Si H(T ) = 0, para T ∈ T 0
p , entonces H(T ⊗ Q) = H(Q ⊗ T ) = 0,
para cada Q ∈ T 0
q .
c) S(T 0
p ) = Σp y H(T 0
p ) = Λp.
d) T ∈ T 0
p es simétrico si y sólo si S(T ) = p!T , y es hemisimétrico
si y sólo si H(T ) = p!T .
e)
H(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp) =
(sig σ)ωσ(1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(p). σ∈Sp
f) Si F : U −→ V es diferenciable entonces S y H conmutan con
F ∗ : T 0
p (V ) −→ T 0
p (U).
Demostración. Veamos (b): Sea σ ∈ Sp considerada como elemento
de Sp+q, donde los q últimos quedan fijos. Entonces
(sig σ)σ(Tp ⊗ Tq) = H(Tp) ⊗ H(Tq) = 0,
σ∈Sp

3.4. Campos tensoriales Covariantes 155
y aplicando τ ∈ Sp+q, tendremos que
[sig(τ ◦ σ)](τ ◦ σ)(Tp ⊗ Tq) = 0,
σ∈Sp
para toda τ ∈ Sp+q. Por tanto H(Tp ⊗ Tq) = 0, pues podemos hacer una
partición en Sp+q mediante Sp, siendo nulo cada sumando como el de la
expresión anterior, correspondiente a esta partición.
Ejercicio 3.4.3 Demostrar que si T ∈ Λn(U), D1, . . . , Dn ∈ D(U) y Ei =
aijDj ∈ D(U) entonces
T (E1, . . . , En) = det(aij)T (D1, . . . , Dn).
Nota 3.15 Para cada (p, q) ∈ I = [N ∪ {0}] 2 hemos definido el C ∞ (U)–
módulo de los campos tensoriales de tipo (p, q). En este módulo hay suma
y producto por funciones de C ∞ (U) y nada más. Sin embargo hemos
definido un producto entre campos tensoriales sin que hayamos dicho
en donde es operación. Procediendo como sigue podremos considerar las
tres operaciones anteriores en un contexto común:
Consideremos el conjunto
T (U) = ⊕ (i,j)∈IT j
i (U)
) ∈
= {T = (T j
i
I
T j
j
i (U) : ∃N ∈ N, i, j ≥ N ⇒ Ti = 0}.
Cada elemento de este conjunto lo escribiremos de la forma
T j
i = T 0 0 + T 1 0 + T 0 1 + T 2 0 + · · · + T q p ,
y en él podemos definir la suma (sumando componente a componente) y
el producto tensorial (remitiéndonos al producto tensorial ya definido),
de tal forma que el que damos en T = T (U) sea distributivo respecto
de la suma y asociativo (observemos que hay un único modo de hacer
esto).
Por otro lado todo campo tensorial T ∈ T q
p se identifica de forma
natural con un único elemento de T , que tiene todas la componentes
nulas excepto la (p, q) que es T .
De esta forma tenemos que T tiene una estructura de álgebra sobre
C∞ (U), a la que llamaremos álgebra tensorial sobre U.

156 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Del mismo modo podemos proceder con los campos tensoriales hemisimétricos
Λp. Definimos
Λ = ⊕Λp,
con la suma habitual. Sin embargo tenemos un problema al definir el
producto tensorial, pues si ω y ω ′ son hemisimétricos ω ⊗ ω ′ no tiene
por qué serlo. Por tanto aunque Λ es un submódulo de T respecto de
C ∞ (U), no es una subálgebra.
Observamos de todas formas que ω ⊗ ω ′ define un campo tensorial
hemisimétrico, a saber H(ω ⊗ ω ′ ). Este hecho nos permitirá definir otra
multiplicación para tensores hemisimétricos extremadamente útil.
Ejercicio 3.4.4 Demostrar que si H(Tr) = H(Qr) ∈ Λr y H(Ts) = H(Qs) ∈
Λs, entonces
H(Tr ⊗ Ts) = H(Qr ⊗ Qs).
Definición. Sean ωr = H(Tr) ∈ Λr y ωs = H(Ts) ∈ Λs. Llamaremos
producto exterior de estos campos tensoriales al campo tensorial
ωr ∧ ωs = H(Tr ⊗ Ts),
el cual está bien definido en virtud del ejercicio anterior.
Ejercicio 3.4.5 Demostrar que para ω1 = H(T1) ∈ Λi1, . . . , ωr = H(Tr) ∈ Λir
ω1 ∧ · · · ∧ ωr = H(T1 ⊗ · · · ⊗ Tr).
Podemos definir ahora en Λ una estructura de álgebra asociativa
sobre C ∞ (U), donde el producto
∧ : Λ × Λ −−→ Λ,
se define extendiendo el producto exterior, de tal forma que siga siendo
bilineal y por tanto que sea distributivo respecto de la suma. Observemos
que, al igual que para el producto tensorial, hay una única forma de hacer
esto y es que si ϕ = ϕ1 + · · · + ϕm y ψ = ψ1 + · · · + ψn, con los ϕi ∈ Λki
y los ψj ∈ Λrj entonces ϕ ∧ ψ = ϕi ∧ ψj.
Definición. A la C ∞ (U)–álgebra (Λ, +, ∧) sobre U la llamaremos álgebra
exterior ó álgebra de Grassman de las formas diferenciales de U.

Ejercicio 3.4.6 Demostrar que
3.4. Campos tensoriales Covariantes 157
H: (T , +, ⊗) −−→ (Λ, +, ∧),
es un homomorfismo de C ∞ (U)–álgebras.
Nota 3.16 Se demuestra fácilmente que (T ∧ Q)x = Tx ∧ Qx. Por tanto
en virtud de las propiedades del producto exterior de tensores hemisimétricos
en un espacio vectorial se siguen las siguientes propiedades
para cualesquiera ωr ∈ Λr, ωs ∈ Λs y D ∈ D:
ωr ∧ ωs = (−1) rs ωs ∧ ωr,
iD(ωr ∧ ωs) = (iDωr) ∧ ωs + (−1) r ωr ∧ (iDωs),
si r es impar ⇒ ωr ∧ ωr = 0.
Ejercicio 3.4.7 Demostrar que si D ∈ D, entonces
D L (ωr ∧ ωs) = D L ωr ∧ ωs + ωr ∧ D L ωs.
por tanto la derivada de Lie es una derivación del álgebra exterior.
Teorema 3.17 Para cada sistema de coordenadas (u1, . . . , un) en U, se
tiene:
a) du1, . . . , dun son una base de Λ1(U).
b) Para r ≤ n, son una base de Λr(U), los campos tensoriales
dui1 ∧ · · · ∧ duir , 1 ≤ i1 < . . . < ir ≤ n.
c) Para n < r, Λr(U) = 0.
Por tanto Λ(U) tiene una base formada por 2 n elementos, es decir
rang Λ(U) = 2 n .
Demostración. Para r ∈ N, los nr campos tensoriales dui1 ⊗ · · · ⊗
duir, son base de T 0
r (U) y H(T 0
r (U)) = Λr(U). Por tanto los campos
tensoriales del enunciado al menos generan Λr(U). Como por otra parte
son independientes, pues si existe una combinación ω = fiωi = 0,
donde i recorre los elementos de la forma (i1, . . . , ir) con 1 ≤ i1 < . . . <
ir ≤ n y
ωi = dui1 ∧ · · · ∧ duir ,

158 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
entonces
∂
fi = ω , . . . ,
∂ui1
∂
= 0.
∂uir
Se sigue que son base de Λr(U).
Si n < r y ω ∈ Λr(U), entonces como para cualquier colección de
∂
, . . . ,
∂ui1
∂
,
∂uir
alguna debe repetirse, tendremos que
∂
ω , . . . ,
∂ui1
∂
= 0,
∂uir
por ser ω hemisimétrica, y por tanto ω = 0.
Nota 3.18 Observemos que Λn(U) tiene una base formada por un único
elemento, que en los términos anteriores es ωn = du1∧· · ·∧dun. Cualquier
otra base por tanto será de la forma fωn, donde f > 0 (ó f < 0) en todo
U. Esto permite clasificar las bases de Λn(U) en dos tipos, las que tienen
la misma orientación que ωn —es decir con la f > 0—, y las que tienen
orientación contraria —es decir con la f < 0—.
Ejercicio 3.4.8 Demostrar que si Di = aij∂j ∈ D(U), entonces
du1 ∧ · · · ∧ dun(D1, D2, . . . , Dn) = det(aij).
Ejercicio 3.4.9 Demostrar que si F : U −→ V es diferenciable, entonces la
aplicación
F ∗ : Λ(V ) −→ Λ(U), F ∗ ( ωi) = (F ∗ ωi),
donde ωi ∈ Λi, es un homomorfismo de álgebras sobre C ∞ (U).

3.5. La diferencial exterior 159
3.5. La diferencial exterior
Teorema 3.19 Existe una única aplicación R–lineal d: Λ −→ Λ, a la que
llamamos diferencial exterior, tal que para cada p ≥ 0, d(Λp) ⊂ Λp+1 y
para todo D ∈ D verifica
D L = iD ◦ d + d ◦ iD.
Demostración. Unicidad.- Para p = 0, sea d1 una que satisfaga el
enunciado y sea f ∈ Λ0 = C ∞ (U). Como df ∈ Λ1 e iDf = 0, tendremos
que
(df)D = Df = D L f = iD(d1f) + d1(iDf) = iD(d1f) = (d1f)D,
para todo D ∈ D, por tanto d1f = df.
Supongámoslo cierto para p ≤ k − 1 y demostrémoslo para p = k.
Sea ω ∈ Λk, entonces si d y d ′ satisfacen el enunciado, tendremos que
para cualesquiera D, D1, . . . , Dk ∈ D
dω(D, D1, . . . , Dk) = iDdω(Di) = D L ω(Di) − d(iDω)(Di)
= D L ω(Di) − d ′ (iDω)(Di) = d ′ ω(D, D1, . . . , Dk)
pues iDω ∈ Λk−1.
Existencia.- Vamos a definir d: Λp −→ Λp+1 recurrentemente. Para
p = 0 ya la conocemos. Supongámoslas definidas para p ≤ k − 1 y
definámosla para p = k:
Para cada ω ∈ Λk, definimos dω ∈ Λk+1, tal que para Di ∈ D y
D ∈ D
(dω)(D, D1, . . . , Dk) = (D L ω)(D1, . . . , Dk) − d(iDω)(D1, . . . , Dk).
Que es lineal en cada componente respecto de la suma, así como respecto
del producto por funciones diferenciables en las k últimas componentes,
es evidente. Antes de ver la linealidad en la primera componente
veamos que es hemisimétrico.

160 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Si D = D1 —para D = Di se hace análogamente—, entonces
d(iDω)(D, D2, . . . , Dk) =
= iDd(iDω)(D2, . . . , Dk)
= D L (iDω)(D2, . . . , Dk) − d(iDiDω)(D2, . . . , Dk)
= D L (iDω)(D2, . . . , Dk)
= D[(iDω)(D2, . . . , Dk)]+
k
+ (iDω)(D2, . . . , [D, Di], . . . , Dk)
i=2
= (D L ω)(D, D2, . . . , Dk).
Si Di = Dj, con 1 ≤ i, j ≤ k, i = j, es evidente pues D L ω y d(iDω)
son hemisimétricos.
Ahora
(dω)(fD, D1, . . . , Dk) = −(dω)(D1, fD, . . . , Dk)
= −f(dω)(D1, D, . . . , Dk)
= f(dω)(D, D1, . . . , Dk).
Teorema 3.20 La diferencial exterior tiene las propiedades siguientes:
i) Es antiderivación, es decir
d(ωp ∧ ωq) = dωp ∧ ωq + (−1) p ωp ∧ dωq,
para ωp ∈ Λp y ωq ∈ Λq.
ii) d 2 = 0.
iii) D L ◦ d = d ◦ D L , para cada D ∈ D.
iv) Si F : U −→ V es diferenciable, entonces F ∗ (dω) = d(F ∗ ω), para
cada ω ∈ Λ.
v) Para D1, D2 ∈ D y ω ∈ Ω se tiene
dω(D1, D2) = D1(ωD2) − D2(ωD1) − ω[D1, D2].
vi) Para ω ∈ Λp y Di ∈ D se tiene
dω(D0, . . . , Dp) = (−1) i Di[ω(D0, . . . , Di−1, Di+1, . . . , Dp)]+
+
(−1) i+j ω([Di, Dj], D0, . . . , Di−1, Di+1, . . . ,
i

3.5. La diferencial exterior 161
Demostración. (i) Veámoslo por inducción sobre p + q.
Para p + q = 0, es evidente pues p = q = 0, ωp = f, ωq = g ∈ C ∞ (U)
y ωp ∧ ωq = fg.
Supongamos que es cierto para los p + q ≤ n − 1 y probémoslo para
p + q = n.
Para cada D ∈ D tenemos que
iD[d(ωp ∧ ωq)] =
= D L (ωp ∧ ωq) − d[iD(ωp ∧ ωq)]
= D L ωp ∧ ωq + ωp ∧ D L ωq − d[iDωp ∧ ωq + (−1) p ωp ∧ iDωq]
= D L ωp ∧ ωq + ωp ∧ D L ωq − d(iDωp) ∧ ωq−
− (−1) p−1 iDωp ∧ dωq − (−1) p dωp ∧ iDωq−
− (−1) p (−1) p ωp ∧ d(iDωq)
= [D L ωp − d(iDωq)] ∧ ωq + (−1) p−1 dωp ∧ iDdωq+
+ (−1) p iDωp ∧ dωq + ωp ∧ [D L ωq − d(iDωq)]
= iD(dωp) ∧ ωq + (−1) p−1 dωp ∧ iDdωq + (−1) p [iDωp ∧ dωq+
+ (−1) p ωp ∧ iD(dωq)] = iD[dωp ∧ ωq + (−1) p ωp ∧ dωq],
por tanto se tiene la igualdad (i).
(ii) Veamos que para cada f ∈ C ∞ (U), d(df) = 0. Sea D ∈ D,
entonces
iD(d(df)) = D L (df) − d[iD(df)] = d(Df) − d[(df)D] = 0.
El resultado se sigue para una ω arbitraria, poniéndola en coordenadas,
aplicando (i) y el primer caso.
(iii) Es consecuencia de la definición y de (ii).
(iv) Para f ∈ C ∞ (V ), D ∈ D(U), x ∈ U e y = F (x) tenemos
[F ∗ (df)]D(x) = (df)y(F∗Dx) = dyf(F∗Dx)
= Dx(f ◦ F ) = D(f ◦ F )(x) = d(F ∗ f)D(x),
por tanto F ∗ df = dF ∗ f.
Para ω = df, con f ∈ C ∞ (V ) es trivial.

162 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Para ω = gdf1 ∧ · · · ∧ dfp, con g, fi ∈ C ∞ (V ) tenemos que
F ∗ dω = F ∗ (dg ∧ · · · ∧ dfp) = (F ∗ dg) ∧ (F ∗ df1) ∧ · · · ∧ (F ∗ dfp)
= d(F ∗ g) ∧ d(F ∗ f1) ∧ · · · ∧ d(F ∗ fp)
= d[F ∗ g ∧ F ∗ (df1) ∧ · · · ∧ F ∗ (dfp)]
= dF ∗ ω.
Ahora en general, para ω = ωa, donde
se sigue de los casos anteriores.
(v)
ωa = fadvi1 ∧ · · · ∧ dvip.
dω(D1, D2) = iD1 dω(D2) = D L 1 ω(D2) − d(iD1 ω)(D2)
= D1(ωD2) − ω(D L 1 D2) − d(ωD1)(D2)
= D1(ωD2) − D2(ωD1) − ω[D1, D2].
(vi) Se hace por inducción teniendo en cuenta (g) de (3.10) y que
D L = iD ◦ d + d ◦ iD.
Para cada D ∈ D hemos visto las siguientes propiedades de D L :
i) DLf = Df.
ii) Si T ∈ T q
p entonces DLT ∈ T q
p .
iii) DL (T ∧ T ′ ) = DLT ∧ T ′ + T ∧ DLT ′ .
iv) DL ◦ d = d ◦ DL .
Recíprocamente se tiene
Ejercicio 3.5.1 Demostrar que el único operador L: Λ −→ Λ que verifica las
4 propiedades anteriores es D L para algún campo D.

3.6. El Lema de Poincaré 163
3.6. El Lema de Poincaré
Definición. Como consecuencia de (ii) de (3.20), tenemos que si ω ∈ Λp
es exacta, es decir existe ωp−1 ∈ Λp−1 tal que ω = dωp−1, entonces ω es
cerrada , es decir dω = 0, y podemos definir los espacios cociente
H p (U) = {ω ∈ Λp : dω = 0}/{ω ∈ Λp : ω = dωp−1},
que llamaremos —para cada p ∈ N—, grupo p–ésimo de Cohomología de
De Rham de U. Los cuales no dependen de la estructura diferenciable
de U, sino de la topológica (aunque esto no lo veremos).
Ejercicio 3.6.1 Demostrar que la 1–forma del plano (y 2 + h)dx + (x 2 + h)dy
es exacta sii h = 2xy + f(x + y).
Veremos que en todo abierto de R n los grupos de cohomología son
nulos. Dicho de otro modo, toda ωp cerrada, (dωp = 0), es exacta (ωp =
dωp−1).
Definición. Sea I ⊂ R un intervalo. Llamaremos curva diferenciable de
p–formas a toda aplicación
I −−→ Λp, t ωt,
tal que para D1, . . . , Dp ∈ D y x ∈ U la función
está en C ∞ (I).
f(t) = ωt(D1, . . . , Dp)(x),
Definición. Dada una curva diferenciable de p–formas ωt y r, s ∈ I,
definimos en los términos anteriores:
1. La dωt/dt ∈ Λp como la p–forma
dωt
dt (D1, . . . , Dp)(x) = f ′ (t),

164 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
2. La s
r ωtdt ∈ Λp como la p–forma
s
ωtdt (D1, . . . , Dp)(x) =
Ejercicio 3.6.2 Demostrar que si
entonces:
i)
ii)
s
r
r
s
ωt = fa(t, x)dxa1 ∧ · · · ∧ dxap,
dωt
dt = dfa
dt dxa1 ∧ · · · ∧ dxap.
ωtdt = s
r
r
f(t)dt.
fa(t, x)dt dxa1 ∧ · · · ∧ dxap.
iii) Si ωt → η, cuando t → r (r ∈ R ∪ {∞, −∞}), entonces
lím dωt = d[lím ωt] = dη.
t→r t→r
Proposición 3.21 Dada una curva diferenciable de p–formas, ωt, se tiene
s s
dωtdt = d ωtdt.
Demostración. Si
r
ωt = fa(t, x)dxa1 ∧ · · · ∧ dxap ,
entonces
dωt =
∂fa
dxi ∧ dxa1 ∧ · · · ∧ dxap ,
∂xi
s
dωtdt =
r
s
∂fa
dt dxi ∧ dxa1 ∧ · · · ∧ dxap
r ∂xi
= ∂ s
r fa(t, x)dt
dxi ∧ dxa1 ∧ · · · ∧ dxap
s
= d ωtdt .
r
∂xi
Como consecuencia tenemos el principal resultado de esta lección.
r

3.6. El Lema de Poincaré 165
Lema de Poincaré 3.22 Si ω ∈ Λp+1 es cerrada (dω = 0), entonces es
exacta, es decir existe η ∈ Λp, tal que ω = dη.
Demostración. Sea H = xi∂i el campo de las homotecias y
τt(z) = e t z su grupo uniparamétrico. Entonces
d(τ ∗ t ω)
dt = τ ∗ t (H L ω) = τ ∗ t (diHω) = d(τ ∗ t iHω),
y como τ ∗ 0 ω = ω, tendremos que para r < 0
ω − τ ∗ r ω =
0
r
d(τ ∗ 0
t iHω)dt = d
r
[τ ∗ t iHω]dt,
y como τ ∗ r ω → 0, cuando r → −∞, tendremos (por el apartado (iii) del
ejercicio (3.6.2)) que ω = dη para
η =
Nota 3.23 Observemos que
η(D1, . . . , Dp)(z) =
0
[τ
−∞
∗ t iHω]dt.
0
[τ
−∞
∗ t iHω](D1, . . . , Dp)(z)dt,
y si consideramos un sistema de coordenadas lineales tales que ∂iz = Diz
para i = 1, . . . , p —suponemos que los Di son independientes en z—,
entonces la expresión anterior es igual a
=
=
=
0
−∞
0
−∞
1
0
t ∂ t ∂
iHω e , . . . , e (e
∂xi1 ∂xip
t z)dt
e tp
ω H, ∂
, . . . ,
∂xi1
∂
∂xip
t p−1 ω
H, ∂
, . . . ,
∂xi1
∂
∂xip
(e t z)dt
(tz)dt,
que es integrable para p ≥ 0. Además se ve sin dificultad que η ∈ Λp.
Nota 3.24 Vamos a verlo para 1–formas en R 2 .

166 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Sea ω = fdx + gdy ∈ Λ1, entonces
por tanto
dω = df ∧ dx + dg ∧ dy
= ∂f ∂g
dy ∧ dx + dx ∧ dy
∂y ∂x
= (gx − fy)dx ∧ dy,
dω = 0 ⇔ ∂g ∂f
=
∂x ∂y ,
y esto es así si y sólo si existe h ∈ C ∞ (R 2 ) tal que
Una h tal viene dada por
h(x, y) =
∂h
= f,
∂x
x
x0
∂h
∂y
f(t, y0)dt +
= g.
y
y0
g(x, t)dt,
y esto equivale a que ω = dh.
Ahora observemos que por (3.23) tenemos —para z = (x, y)— que
h(x, y) =
1
0
t −1 ω(H)(tz)dt =
1
0
xf(tx, ty)dt +
1
0
yg(tx, ty)dt.
3.7. Aplicación. Factores de integración
En (2.11), pág.109, vimos un método que nos permitía resolver una
ecuación diferencial, siempre que conociéramos un grupo de simetrías
que la dejara invariante. No obstante este método tenía un inconveniente,
pues era imprescindible conocer en que sistema de coordenadas el campo
correspondiente al grupo era de la forma ∂/∂x. Ahora veremos otro
método en el que esto no es necesario.

3.7. Aplicación. Factores de integración 167
Consideremos una ecuación diferencial,
y ′ (x) =
y el campo incidente que la define
g(x, y)
f(x, y) , ω . = −gdx + fdy = 0
D = f ∂ ∂
+ g
∂x ∂y ,
es decir ω ∈ Λ1 y ωD = 0. Si demostramos que dω = 0, tendremos por
El Lema de Poincaré (3.22), pág.165, que ω = dg y por tanto
(dg)D = Dg = 0,
lo cual implica que g es constante en las trayectorias de D, con lo cual
{g = cte} nos da las curvas solución de nuestra ecuación diferencial.
Ahora si esto no ocurre, pero conocemos una simetría de D, es decir
otro campo E tal que [E, D] = fD —y se tiene que E y D son independientes
en cada punto del entorno en el que estemos—, entonces podemos
construir una función h tal que hω es cerrada, es decir d(hω) = 0, lo cual
equivale a que sea exacta, es decir que hω = dg y g sea por tanto una
integral primera de D, con lo cual de nuevo {g = cte} nos da las curvas
solución de nuestra ecuación diferencial.
Definición. A una tal función h, tal que hω sea exacta, se la llama
factor de integración de ω.
En nuestro caso como D y E son independientes tendremos que ωE =
0 = ωD y podemos definir la función
h = 1
ωE ,
y se sigue que d(hω) = 0, pues por la propiedad (v) de 3.20, pág.160
1
d
ωE ω
ωD ωE
(E, D) = E + D −
ωE ωE
1
ω[E, D] = 0,
ωE
por tanto hω = dg.
Observemos que si [D1, D2] = 0, nuestro abierto es de R 2 , y ambos
campos son independientes, entonces sus 1–formas duales, ωiDj = δij
también son independientes y como antes tendremos que ω1 = du1 y

168 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
ω2 = du2, por lo que (u1, u2) forman un sistema de coordenadas en el
que
D1 = ∂
, D2 =
∂u1
∂
.
∂u2
Por último veamos otro método para encontrar un factor de integración
h, para ciertas 1–formas
ω = −gdx + fdy,
en R 2 . Observemos que si h es un factor integrante de ω, entonces
d(hω) = 0, lo cual significa que
0 = dh ∧ ω + hdω
∂h ∂h
= dx +
∂x ∂y dy
∧ (−gdx + fdy) + h(−dg ∧ dx + df ∧ dy)
= ∂h
∂h ∂g ∂f
f + g + h + ,
∂x ∂y ∂y ∂x
y por tanto h debe satisfacer
∂h
∂x
∂h
f + g = −h
∂y
∂g ∂f
+ ,
∂y ∂x
y tenemos tres casos particulares sencillos en los que existe un factor
integrante h, que podemos definir:
a) Si
gy + fx
f
= r(x),
basta considerar h = h(x) tal que h ′ = −h · r, es decir
b) Si
h(x) = e − r(x) .
gy + fx
g
= r(y),
definimos h = h(y) tal que h ′ = h · r, es decir
c) Si
h(y) = e − r(y) .
gy + fx
= r(xy),
yf + xg

3.7. Aplicación. Factores de integración 169
definimos h = H(xy), tal que H ′ = H · r, es decir
H(t) = e − r(t) , h(x, y) = H(xy).
Ejercicio 3.7.1 Demostrar que si D1, . . . , Dn ∈ D son independientes en un
abierto U de R n , entonces la condición necesaria y suficiente para que exista
un sistema de coordenadas (u1, . . . , un), tal que en U, Di = ∂/∂ui, es que
[Di, Dj] = 0, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n.
Ejercicio 3.7.2 Encontrar la ecuación de las curvas que verifican que en cada
punto la tangente y la normal cortan respectivamente al eje y y al eje x, en
dos puntos que equidistan del origen.
Ejercicio 3.7.3 Una cuerda flexible de 4 metros está perfectamente enrollada
—en el sentido de que al tirar del extremo sólo se mueve la parte de la cuerda
que sale del rollo—, al borde de una mesa. Si en un instante dado, en el que
cuelga un metro de cuerda, la soltamos y empieza a desenrollarse toda la
cuerda por su peso, ¿cuanto tiempo tardará la cuerda en desenrollarse?
¿Y si la cuerda está estirada sobre la mesa de forma perpendicular al
borde?.
Ejercicio 3.7.4 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, encontrando
un factor de integración:
y ′ =
2xy
3x 2 − y 2 , y′ =
xy − 1
xy − x2 , y′ = −
y
x + 3x3 .
y4 Ejercicio 3.7.5 a) Encontrar la forma de un espejo curvo en R 2 , tal que la luz
de una fuente en el origen se refleje en un haz de rayos paralelos.
b) Encontrar la forma de una curva plana que tenga la propiedad de que
el sonido emitido desde un punto A pase, después de reflejarse en la curva, por
otro punto fijo B.
Ejercicio 3.7.6 Encontrar la curva que describe una canoa que sale de una
orilla en un río y se dirige a un punto de la otra orilla a velocidad constante,
siendo arrastrada por el río que baja también a velocidad constante.
Ejercicio 3.7.7 Un pescador en una barca ve salir un pez en un lugar del mar.
Si suponemos que el pez sale del lugar en línea recta a un tercio de la velocidad
del pescador, ¿qué trayecto debe realizar el pescador para pasar con seguridad
por encima del pez, sea cual sea la dirección que este tome?.

170 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
3.8. Ejemplos de tensores
En esta lección daremos algunos ejemplos de tensores, para ver otros
remitimos al lector a la página 31–1 del vol.III del Feynman ó a la
página 278 del Santaló.
3.8.1. Tensor métrico del espacio euclídeo.
Consideremos en R n el producto escalar
< x, y >=
n
xiyi,
para x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), el cual es un tensor en el
espacio vectorial R n . Si lo llevamos a cada espacio tangente Tp(R n ) por
el isomorfismo canónico
i=1
R n −−→ Tp(R n ),
que a cada vector le hace corresponder su derivada direccional correspondiente,
tendremos un campo de tensores que nos define un campo
tensorial en la variedad diferenciable R n , llamado tensor métrico y que
para cada par de campos tangentes D = fi∂xi y E = gi∂xi, vale
g(D, E) ≡ D · E =
n
figi,
i=1
el cual en términos de coordenadas se expresa como
g = dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn.
Asociado a este tensor tenemos el tensor de volumen, que es la n–
forma en R n
ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn,
que para cada colección de campos tangentes D1, . . . , Dn
ω(D1, . . . , Dn),

3.8. Ejemplos de tensores 171
es el volumen del paralelepípedo generado por los Di.
Definición. Denotamos la forma cuadrática correspondiente a esta forma
bilineal g, con
ds 2 = dx 2 i , ds(Dp) 2 = g(Dp, Dp) = dxi(Dp) 2
donde debe entenderse que en cada punto p, la dpx 2 es el cuadrado de la
función lineal dpx. La longitud de un vector Dp ∈ Tp(R n ) se define como
|Dp| ≡ ds(Dp) = Dp · Dp.
El ángulo DpEp, entre dos vectores no nulos Dp, Ep se define a través
del coseno mediante la fórmula
Dp · Ep = |Dp| · |Ep| cos(DpEp)
y decimos que dos vectores Dp, Ep son perpendiculares si Dp · Ep = 0
Ejercicio 3.8.1 Demostrar que en coordenadas cartesianas (x, y) y polares
(ρ, θ) en el plano
dx 2 + dy 2 = ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 .
y
0
T p(R 2 )
dy
p
x
ds
a
dx
Figura 3.1. ds en el plano (ver la Fig.1.9, pág.34).
Nota 3.25 No debe entenderse que ds es una 1–forma exacta, aunque la
razón de esta notación es que sí lo es sobre cada curva, donde es la diferencial
de la función s longitud de arco. En la Fig.3.2 vemos la relación de
las diferenciales de las funciones consideradas, con sus incrementos, sobre
una curva del plano, AP QB, donde Q está infinitesimálmente próximo
a P , de modo que P Q es aproximadamente tangente a la curva.
0
q
r
rdq
p
ds
b
dr
T p(R 2 )

172 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
y
0
B
P
x
Ds
a
Dx
A
Q
Dy
y
Dy
Dq
q
1
Figura 3.2. Incrementos de x, y, ρ, θ y s en una curva.
3.8.2. Divergencia, rotacional y gradiente.
0
r
B
r Dq
D r
x
recta tangente en P
En la pág.32 del Tema I vimos la definición del gradiente de una
función f en un abierto del espacio euclídeo R n con la métrica
g = dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn,
que era el campo D = grad f, para el que iDg = df, y que su expresión
en coordenadas, respecto de una base ortonormal, era
grad f = ∂f ∂
.
∂xi ∂xi
Definición. Llamamos divergencia de un campo D a la función div D,
que satisface
D L ω = (div D)ω,
para la forma de volumen ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
Ejercicio 3.8.2 i) Demostrar que si en términos de coordenadas, respecto de
una base ortonormal, D = fi∂xi, entonces
div D =
n ∂fi
,
∂xi
i=1
ii) Demostrar que div(fD) = grad f · D + f div D.
Las siguientes definiciones son particulares de R 3 .
Definición. Dado D ∈ D(U), con U abierto de R 3 , definimos el rotacional
de D, R = rot D, como el único campo tal que
iRω3 = d(iDg),
Ds
P
A
b
Dx
Q

donde
3.8. Ejemplos de tensores 173
ω3 = dx ∧ dy ∧ dz , g = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz,
son la forma de volumen y la métrica habitual en R 3 .
Definición. Un campo tangente se llama solenoidal si su divergencia
es nula e irrotacional si su rotacional es nulo. Por ejemplo un campo
rotacional es solenoidal pues div rot D = 0 y un campo gradiente es
irrotacional (ver el Ejercicio (3.8.3)).
Definición. Llamamos producto vectorial de dos vectores tangentes D1, D2
en un punto de R 3 , al vector D1 × D2 definido por la propiedad
iD2 iD1 ω3 = iD1×D2 g,
es decir tal que para cualquier vector D3
ω(D1, D2, D3) = (D1 × D2) · D3.
Se sigue fácilmente que D = D1 × D2 = 0 sii D1 y D2 son independientes,
en cuyo caso D es un vector perpendicular al plano que definen
D1 y D2, de módulo el área del paralelogramo definido por D1 y D2, pues
ω(D1, D2, D/D) = D y con el sentido tal que la terna de vectores
D1, D2 y D está bien orientada.
Ejercicio 3.8.3 (1) Demostrar que el rotacional de un campo D existe y encontrar
sus componentes en función de las de D.
(2) Demostrar que para cada función f y cada campo D
rot grad f = 0 , div rot D = 0, rot(fD) = grad f × D + f rot D.
(3) Demostrar que si R es un campo tal que div R = 0, entonces localmente
existe un campo D tal que R = rot D.
Ejercicio 3.8.4 Demostrar las siguientes propiedades:
(1) D1 × D2 = −D2 × D1.
(2) D1 × (D2 + D3) = D1 × D2 + D1 × D3.
(3) (D1 × D2) · D3 = (D2 × D3) · D1 = (D3 × D1) · D2.
(4)
∂ ∂ ∂
× =
∂x ∂x ∂y
∂ ∂ ∂
× =
∂x ∂y ∂z ,
∂ ∂ ∂
× = ×
∂y ∂z ∂z
∂ ∂ ∂
× =
∂y ∂z ∂x ,
= 0,
∂ ∂ ∂
× =
∂z ∂x ∂y .

174 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
(5) iD1×D2ω = iD1g ∧ iD2g.
(6) D1 × (D2 × D3) = (D1 · D3)D2 − (D1 · D2)D3.
(7) (D1 × D2) × D3 + (D2 × D3) × D1 + (D3 × D1) × D2 = 0.
(8) div(D1 × D2) = D2 · rot D1 − D1 · rot D2.
(9) (D1 × D2) · (D3 × D4) = (D1 · D3)(D2 · D4) − (D1 · D4)(D2 · D3).
Ejercicio 3.8.5 Demostrar el siguiente Teorema de Caratheodory : Dado un
triángulo ABC y un punto interior suyo O, demostrar que
area(OAB) ·
OC + area(OAC) ·
OB + area(OBC) ·
OA = 0.
3.8.3. Interpretación geométrica del rotacional.
Sea D un campo tangente en R n , con Dxi = fi, y grupo uniparamétrico
τ : W → R n , entonces como
τ(t, x) = x +
para f = (fi), tendremos que
∂τi
(t, x) = δij +
∂xj
∂ 2 τi
∂t∂xj
∂ 2 τi
∂t∂xj
t
0
t
0
∂fi
f[τ(s, x)] ds,
∂xk
(t, x) = ∂fi
[τ(t, x)]
∂xk
∂τk
(t, x)
∂xj
(0, x) = ∂fi
(x),
∂xj
[τ(s, x)] ∂τk
(s, x) ds
∂xj
y desarrollando por Taylor en un punto (0, p), con p ∈ R n , tendremos
que para todo (t, x) ∈ W
τ(t, x) =τ(0, p) + t ∂τ
(0, p) +
∂t
+
n
j=1
+ t 2 h +
n
(xj − pj) ∂τ
(0, p)+
∂xj
j=1
t(xj − pj) ∂2τ (0, p)+
∂t∂xj
n
(xi − pi)(xj − pj) hij,
i,j=1

3.8. Ejemplos de tensores 175
para ciertas funciones h y hij; y llamando y = x − p, yj = xj − pj y
haciendo cociente por el ideal generado por yiyj = (xi − pi)(xj − pj) y
t 2 , por tanto en un entorno infinitesimal de (0, p),
τ(t, x) = p + tDp + (I + tA)y,
para el Jacobiano A = (∂fi(p)/∂xj), de f. Ahora bien existen únicas
matrices S simétrica y H hemisimétrica, tales que A = S + H, que son
S = 1
2 (A + At ), H = 1
2 (A − At )
y módulo t 2 se tiene que I+tA = (I+tS)(I+tH) = LG y como la matriz
S es 1 simétrica, sus autovalores λi son reales y es diagonalizable en una
base ui ortonormal, por tanto en esa base I + tS = L es diagonalizable
con autovalores µi = 1 + tλi, próximos a 1 (recordemos que t 2 = 0), por
tanto positivos; y transforma un entorno esférico en uno elipsoidal; por
otra parte (siempre módulo t 2 ), G = I + tH es una matriz ortogonal,
pues G t G = (I − tH)(I + tH) = I, con det G = 1, pues siempre es ±1,
pero por continuidad es 1, ya que límt→0 det(I + tH) = 1.
En R 3 , G es un giro alrededor de un eje de vector el rot D = R =
(r1, r2, r3), pues las filas de H son ortogonales a R, ya que
S = 1
2 (A + At ) = 1
2
H = 1
2 (A − At ) = 1
2
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2 ∂f1
∂x1
∂f2 ∂f1
+ ∂x1 ∂x2
∂f3 ∂f1
+ ∂x1 ∂x3
0
∂f2 ∂f1
− ∂x1 ∂x2
∂f3 ∂f1
− ∂x1 ∂x3
= 1
⎛
⎞
0 −r3 r2
⎝ r3 0 −r1⎠
,
2
−r2 r1 0
∂f1
∂x2
∂f3
∂x2
∂f1
∂x2
∂f3
∂x2
+ ∂f2
∂x1
2 ∂f2
∂x2
+ ∂f2
∂x3
− ∂f2
∂x1
0
− ∂f2
∂x3
⎞
∂f3
+ ∂x1
∂f3 ⎟
+ ⎠ ,
∂f1
∂x3
∂f2
∂x3 ∂x2
2 ∂f3
∂x3
∂f1 ∂f3
− ∂x3 ∂x1
∂f2 ∂f3
− ∂x3 ∂x2
1Observemos que S y el tensor DLg están relacionados, (ver también el tensor de
deformación 3.8.10), pues
D L
∂
g ,
∂xi
∂
= D[g(∂i, ∂j)] − g(D
∂xj
L ∂i, ∂j) − g(∂i, D L ∂j)
= ∂j · ∂ L i D + ∂i · ∂ L j
D = ∂fj
∂xi
+ ∂fi
.
∂xj
0
⎞
⎟
⎠

176 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
por tanto (I + tH)(R) = R.
Por tanto, todo grupo uniparamétrico τt, en el espacio euclídeo tridimensional,
infinitesimalmente en un punto p y para t pequeño, es una
traslación en la dirección del campo, un giro G (de eje el rotacional de
ese campo) y una dilatación L que deja invariantes los tres ejes perpendiculares
definidos por ui, y dilatando cada vector la cantidad µi
u3
u1
p
p
Rp
u2
τ(t, p + y) = tDp + p + LGy.
p+tDp
Dp
Figura 3.3. Traslación
G
Dp
p
x
p+tDp
m3u3
L
p p+tDp
m1u1
Figura 3.4. Giro G y dilatación de ejes ui, Lui = µiui.
Por último en el plano tenemos que si D = f∂x + g∂y,
S = 1
2 (A + At
) =
H = 1
2 (A − At ) =
fx
fy+gx
2
0
gx−fy
2
fy+gx
2
gy
fy−gx
2
y como τ(t, x) = p + tDp + (I + tA)(x − p), cada recta r = p + λv que
pase por p, con dirección v = (cos α, sen α), en el tiempo t va a la recta
,
Dp
m2u2

3.8. Ejemplos de tensores 177
rt = τ(t, r), que pasa por p + tDp, con dirección
1 + tfx tfy cos α
v(t) = (I + tA)v =
tgx 1 + tgy sen α
(1 + tfx) cos α + tfy sen α
=
tgx cos α + (1 + tgy) sen α
y la velocidad angular con la que se mueve esta recta rt en el instante
0 es la componente tangencial, en el punto v = v(0) de la circunferencia
unidad, de (v/ | v |) ′ (0) = v ′ (0) − v | v | ′ (0), es decir para
u = (− sen α, cos α)
u · v ′ (0) = u · A · v = (gy − fx) sen α cos α − fy sen 2 α + gx cos 2 α,
por ejemplo si tomamos la recta horizontal (α = 0), su velocidad angular
es gx, mientras que si tomamos la vertical (α = π/2), su velocidad es
−fy y su semisuma (gx −fy)/2, es el valor que nos salió en H (a menudo
se llama rotacional de D a la función gx − fy) y se tiene el siguiente
resultado:
Teorema 3.26 El valor medio de las velocidades angulares es (gx −fy)/2
y es el mismo que la semisuma de las velocidades angulares de una recta
cualquiera pasando por p y su perpendicular.
Demostración. El valor medio es
1
2π
2π
0
((gy − fx) sen α cos α − fy sen 2 α + gx cos 2 α ) dα = gx − fy
,
2
Las velocidades angulares correspondientes a v = (v1, v2) = (cos α, sen α)
y su ortogonal u = (u1, u2) = (−v2, v1), son
v1v2(gy − fx) − v 2 2fy + v 2 1gx, −v1v2(gy − fx) − v 2 1fy + v 2 2gx
y su semisuma es el mismo valor.
3.8.4. Tensores de torsión y de curvatura.
Dada una variedad diferenciable V (ver el Apéndice 6.10, pág.412),
se define una conexión lineal sobre ella como una aplicación
∇: D(V) × D(V) −→ D(V), (D1, D2) D ∇ 1 D2,

178 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
que satisface las siguientes propiedades:
i) D ∇ (fD1 + gD2) = (Df)D1 + fD ∇ D1 + (Dg)D2 + gD ∇ D2,
ii) (fD1 + gD2) ∇ D = fD ∇ 1 D + gD ∇ 2 D.
La conexión se extiende de modo único a todas las capas tensoriales
∇: D(V) × T q
p (V) −→ T q
p (V), (D, T ) D ∇ T,
de tal forma que para las funciones D ∇ f = Df, para las 1–formas ω se
tiene despejando en “la regla de Leibnitz” (como en la derivada de Lie)
D(ωE) = D ∇ ω(E) + ω(D ∇ E),
y para los tensores la regla de Leibnitz generalizada que despejando es
D ∇ T (Di, ωj) = D[T (Di, ωj)]−
− T (D ∇ D1, D2, . . . , Dp, ω1, . . . , ωq) − . . . −
− T (D1, . . . , D ∇ Dp, ω1, . . . , ωq)−
− T (D1, . . . , Dp, D ∇ ω1, ω2, . . . , ωq) − . . . −
− T (D1, . . . , Dp, ω1, . . . , ωq−1, D ∇ ωq).
En una variedad con conexión (V, ∇), se definen los tensores de torsión
y de curvatura respectivamente como
g 1 (D1, D2, ω) = ω(D ∇ 1 D2 − D ∇ 2 D1 − [D1, D2]),
R 1 2,1(D1, D2, D3, ω) = ω(D ∇ 1 (D ∇ 2 D3) − D ∇ 2 (D ∇ 1 D3) − [D1, D2] ∇ D3).
3.8.5. Tensores de una variedad Riemanniana.
Una variedad Riemanniana se define como una variedad diferenciable
V con un tensor
g ∈ T 0
2 (V), g(D, E) = D · E,
que en cada punto p ∈ V define un producto interior en Tp(V), es decir
una forma bilineal, simétrica y definida positiva. En un abierto coordenado
se expresa de la forma
g =
n
gijdxi ⊗ dxj,
i,j=1

3.8. Ejemplos de tensores 179
donde la matriz gij es simétrica y definida positiva.
Se demuestra en los cursos de geometría diferencial que toda variedad
Riemanniana tiene una única conexión lineal llamada conexión de Levi–
Civitta con torsión nula es decir
(3.1) [D1, D2] = D ∇ 1 D2 − D ∇ 2 D1,
y tal que para tres campos D, E, F
D(E · F ) = D ∇ E · F + E · D ∇ F.
Dicha demostración se basa en que estas dos propiedades implican que
si [D, E] = [D, F ] = [E, F ] = 0 (por ejemplo si son parciales de coordenadas),
entonces D ∇ E = E ∇ D, F ∇ E = E ∇ F y D ∇ F = F ∇ D, por lo
tanto
D(E · F ) = D ∇ E · F + E · D ∇ F
F (D · E) = F ∇ D · E + D · F ∇ E
E(F · D) = E ∇ F · D + F · E ∇ D
⎫
⎬
⎭ ⇒
⇒ D ∇ E · F = 1
[D(E · F ) + E(F · D) − F (D · E)]
2
lo cual da la construcción de la conexión a partir de la métrica.
Ejemplo 3.8.1 En particular si consideramos R n y su métrica Euclídea
estándar gij = δij, tendremos que la conexión correspondiente satisface
D ∇ ∂xj = 0, pues ∂ ∇ xi ∂xj = 0, ya que
∂ ∇ xi ∂xj · ∂xk
1
= ∂xi(∂xj · ∂xk
2
) + ∂xj (∂xi · ∂xk ) − ∂xk (∂xi · ∂xj ) = 0,
En términos de la conexión de Levi–Civitta, se tiene un nuevo tensor
que básicamente es el Tensor de curvatura y que se llama Tensor de
Riemann–Christoffel
R2,2(D1, D2, D3, D4) = D3 · (D ∇ 1 (D ∇ 2 D4) − D ∇ 2 (D ∇ 1 D4) − [D1, D2] ∇ D4),
el cual tiene las propiedades
R(D1, D2, D3, D4) = −R(D2, D1, D3, D4) = R(D2, D1, D4, D3)
= R(D3, D4, D1, D2),

180 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
y si consideramos un plano E ⊂ Tp(V) en el espacio tangente en un
punto p y dos vectores ortonormales D1, D2 que lo generen, se tiene que
la llamada curvatura seccional
KE = R(D1, D2, D1, D2),
no depende de la base elegida, sólo del subespacio E. Por último si nuestra
variedad Riemanniana es de dimensión n = 2, sólo hay un plano que es el
propio espacio tangente y a esta función se la llama curvatura de Gauss
de la superficie,
K = R(D1, D2, D1, D2).
Ejercicio 3.8.6 Demostrar que la métrica en el disco unidad
(1 − x 2 − y 2 )(dx ⊕ dx + dy ⊕ dy) + (xdx + ydy) ⊕ (xdx + ydy)
(1 − x 2 − y 2 ) 2
tiene curvatura constante negativa K = −1.
Ejercicio 3.8.7 Demostrar que la métrica en el plano
(1 + x 2 + y 2 )(dx ⊕ dx + dy ⊕ dy) − (xdx + ydy) ⊕ (xdx + ydy)
(1 + x 2 + y 2 ) 2
tiene curvatura constante positiva K = 1.
Una hipersuperficie en una variedad Riemanniana S ⊂ V, hereda la
estructura Riemanniana (S, g), siendo para cada D, E ∈ D(S),
g(D, E) = g(D, E) = D · E,
y esta define la correspondiente conexión de Levi–Civitta ∇, que podemos
dar también considerando un campo NS, normal a la superficie y
de modulo 1, del siguiente modo: Para cada dos campos de la hipersuperficie
D, E ∈ D(S), descomponemos D ∇ E en su parte tangencial a la
superficie y su parte normal,
D ∇ E = D ▽ E + φ2(D, E)NS.
Ahora se demuestra fácilmente que con esta definición ∇ es una conexión
y que satisface las dos propiedades que caracterizan la de Levi–Civitta,
pues para F ∈ D(S),
D(E · F ) = D ∇ E · F + E · D ∇ F = D ▽ E · F + E · D ▽ F,

3.8. Ejemplos de tensores 181
ya que D · NS = E · NS = 0 y como D ∇ E − E ∇ D − [D, E] = 0, siendo
[D, E] ∈ D(S), también son nulas su parte tangencial y su parte normal
0 = D ▽ E − E ▽ D − [D, E],
0 = φ2(D, E) − φ2(E, D).
Por tanto φ2 es simétrico y se verifica fácilmente que es un tensor en la
hipersuperficie, llamado segunda 2 forma fundamental, de S, para el que
se tiene
φ2(D, E) = D ∇ E · NS = D(E · NS) − E · D ∇ NS = φ(D) · E,
para el llamado endomorfismo o operador de Weingarten
siendo −D ∇ NS ∈ D(S), pues
φ : D(S) → D(S), φ(D) = −D ∇ NS,
0 = D(1) = D(NS · NS) = 2D ∇ NS · NS.
Ahora si T = σ∗(∂t) es el vector tangente a una curva de la hipersuperficie,
tendremos que
T ∇ T = T ▽ T + φ2(T, T )NS,
y para κ = |T ∇ T |, κg = |T ▽ T | y κS = φ2(T, T ), (a las que respectivamente
llamamos curvatura, curvatura geodésica y curvatura normal de
la curva; tendremos que
κ 2 = κ 2 g + κ 2 S,
y la curva es una geodésica por definición si T ▽ T = 0, es decir κg = 0,
en cuyo caso T ∇ T es normal a la hipersuperficie.
3.8.6. El tensor de inercia.
En este epígrafe seguiremos la descripción que ofrece un libro típico
de Física como el Feynman, pag.18-1 y siguientes, el Goldstein
ó el Spiegel. Para un tratamiento lagrangiano remitimos al lector al
Arnold.
Consideremos en el espacio afín tridimensional A3 un sistema de masas
puntuales mi, que se desplazan a lo largo del tiempo. Consideremos
2 la primera forma fundamental es g

182 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
un sistema de coordenadas inercial 1 fijo en un punto 0, respecto del cual
cada masa mi está en el instante t en ri(t), entonces bajo la segunda ley
de Newton (F = ma) y la ley de acción–reacción se tiene que el centro
de masa del sistema
r(t) =
miri(t)
mi
= 1
miri(t),
M
se mueve como si la masa total M = mi y la fuerza externa resultante
estuvieran aplicadas en él, pues si denotamos con Fi la fuerza externa
que actúa sobre la masa mi y con Fij la interna que mi ejerce sobre mj,
tendremos que
Fj +
i
Fij = mjr ′′
j ,
y sumando en j y considerando que Fii = 0 y que Fij = −Fji (Ley de
acción–reacción débil),
F =
Fj =
Fj +
Fij =
j
j
ij
j
mjr ′′
j = Mr ′′ .
Como consecuencia se tiene que si la fuerza externa resultante es
nula F = 0, entonces el centro de masa r(t) se mueve en línea recta con
velocidad uniforme ó dicho de otro modo se tiene el
Principio de conservación del momento lineal 3.27
Si la fuerza externa total es F = 0 (en particular si no hay fuerzas
externas), el momento total P = mir ′ i = Mr′ es constante.
Definición. Llamamos momento angular del sistema de masas, respecto
del punto fijo 0 tomado como origen, al vector
Ω =
miri × r ′ i,
i
Y si como antes la fuerza exterior que actúa sobre la masa mi es Fi,
llamamos momento ó torque de Fi sobre mi, respecto del origen, a ri×Fi
y momento externo total del cuerpo a
Λ =
ri × Fi,
1 es decir uno en el que son válidas las leyes del movimiento de Newton
i

3.8. Ejemplos de tensores 183
el cual es independiente del punto considerado como origen si Fi = 0,
pues en ese caso, para todo r ∈ R 3 ,
(ri + r) × Fi =
ri × Fi + r × (
Fi) =
ri × Fi.
i
i
Si ahora consideramos la Ley de acción–reacción fuerte : las fuerzas
internas Fij son centrales, es decir tienen la dirección del eje que une
las masas mi y mj, por tanto la dirección de ri − rj, se tiene el siguiente
resultado
Ω ′ =
mir ′ i × r ′ i +
miri × r ′′
i =
ri × (Fi +
Fji)
i
=
ri × Fi +
i
i,j
i
ri × Fji
=
ri × Fi +
(ri − rj) × Fji =
ri × Fi = Λ.
i
i

184 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
y centrada en 0, de modo que las coordenadas (xi, yi, zi) de cualquier
punto del cuerpo ri(t), en esta base, son constantes en el tiempo
por lo que su velocidad será
ri(t) = xie1(t) + yie2(t) + zie3(t),
r ′ i(t) = xie ′ 1(t) + yie ′ 2(t) + zie ′ 3(t),
ahora bien teniendo en cuenta que ei · ej = δij y e ′ i · ei = 0, tendremos
que
w1 = e ′ 2e3 = −e ′ 3e2,
w2 = e ′ 3e1 = −e ′ 1e3,
w3 = e ′ 1e2 = −e ′ ⎧
⎪⎨ e
2e1,
⇒
⎪⎩
′ 1 = w3e2 − w2e3
e ′ 2 = −w3e1 + w1e3
e ′ 3 = w2e1 − w1e2
y podemos definir
w = w1e1 + w2e2 + w3e3,
el cual no depende del punto ri considerado, para el que se tiene
r ′ i(t) = [ziw2 − yiw3]e1 + [xiw3 − ziw1]e2 + [yiw1 − xiw2]e3 = w × ri,
por tanto en cada instante de tiempo t existe un vector w(t), que define
un eje alrededor del cual gira el sólido, pues en ese instante todos los
puntos del cuerpo se mueven con un vector velocidad r ′ i = w × ri, que
está en planos perpendiculares a w, por esta razón a w se la llama
velocidad angular del cuerpo. En este caso el momento angular vale
Ω =
miri × r ′ i =
miri × (w × ri),
i
esto nos induce a considerar la siguiente aplicación lineal
Φ(w) = Ω =
miri × (w × ri),
la cual nos permite definir el tensor simétrico y covariante
i
I2(u, v) = Φ(u) · v = mi[ri × (u × ri)] · v
= mi(v × ri) · (u × ri)
i
= mi[(ri · ri)(u · v) − (ri · u)(ri · v)],

3.8. Ejemplos de tensores 185
que es el llamado Tensor de inercia. Observemos que si u y v son vectores
fijos al cuerpo, es decir sus componentes en la base ei son constantes,
I2(u, v) es constante. Por tanto este tensor está ligado al cuerpo y al punto
fijo de este y podemos representarlo en R3 en términos del producto
escalar g de R3 y las 1–formas λi = xidx + yidy + zidz, como
I2 =
mi[(x 2 i + y 2 i + z 2 i )g − λi ⊗ λi].
i
Llamamos momento de inercia del sólido respecto de un eje pasando
por 0 a la suma del producto de cada masa por el cuadrado de su distancia
al eje. En tal caso el tensor de inercia del sólido tiene la propiedad
de que para cada vector unitario e,
I2(e, e) = mie × ri 2 ,
es el momento de inercia del sólido respecto del eje definido por e.
Llamamos elipsoide de inercia al conjunto de vectores u fijos al sólido,
tales que I2(u, u) = 1, el cual es un elipsoide fijo al sólido y centrado en
0 y que nos da toda la información del movimiento del sólido.
La energía cinética del sólido es una forma cuadrática en la velocidad
angular
T = 1
mir
2
′ i 2 = 1
mi(w × ri)
2
2 = 1
2 I2(w, w),
2.- Movimiento del sólido en general.- Consideremos ahora el
caso general en el que se mueven todos los puntos. Consideremos un
sistema de coordenadas externo fijo centrado en un punto fijo C y un
punto cualquiera del sólido, 0. Estudiemos el movimiento del sólido en
esta referencia a lo largo del tiempo. Para ello consideremos una base
ortonormal e1(t), e2(t), e3(t) ligada al cuerpo y centrada en 0, de modo
que las coordenadas (x, y, z) de cualquier punto P del cuerpo, en esta
base, son constantes en el tiempo
OP = p(t) = xe1(t) + ye2(t) + ze3(t),
si denotamos con O(t) la posición en el instante t de 0 respecto del sistema
de coordenadas externo, la velocidad de P en la referencia ambiental
será
O ′ (t) + p ′ (t) = O ′ (t) + xe ′ 1(t) + ye ′ 2(t) + ze ′ 3(t),

186 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
ahora bien si definimos (ver el caso 1)
w1 = e ′ 2e3 = −e ′ 3e2,
w2 = e ′ 3e1 = −e ′ 1e3,
w3 = e ′ 1e2 = −e ′ 2e1,
w(t) = w1e1 + w2e2 + w3e3
el cual no depende del punto P considerado, y puesto que e ′ i ei = 0,
p ′ (t) = [zw2 − yw3]e1 + [xw3 − zw1]e2 + [yw1 − xw2]e3 = w × p,
por tanto en cada instante de tiempo t existe una dirección dada por el
vector w(t), tal que todos los puntos P del cuerpo se mueven con un
vector velocidad, que es una composición de una traslación O ′ , y un giro
de eje w, en O.
Como w × w = 0, se sigue
que los puntos ligados al sólido
(en él o fuera de él), P ′ = P +
λw, de la recta con dirección
w pasando por P , se mueven
con la misma velocidad O ′ +
w × OP ′ = O ′ + w × OP y en
cada instante de tiempo t hay
una recta O(t) + I(t) ligada al
sólido (en él o fuera de él) con velocidad mínima.
Aquella de dirección w y
formada por los puntos P para
los que O ′ +w×OP es proporcional
a w, y si OP es perpendicular
a w
|w| 2 OP = −w × (w × OP )
OP =
= w × 0 ′ ⇒
w × O′
|w| 2 .
P
O(t)+I(t)
e 3 (t)
OP
O'(t)
O
e1 (t)
e 2 (t)
Figura 3.5.
P O'+wxOP
e3 (t)
O
w wxOP
wxOP
e 1 (t)
O'+wxOP
O'(t)
e 2 (t)
Figura 3.6. Recta de velocidad mínima
la familia de estas rectas en el espacio parametrizada por t, O(t) + I(t),
forma una superficie reglada y en cada instante t, la familia parametrizada
por s, O(t) + I(s) de estas rectas ligadas rígidamente al sólido
forma otra superficie reglada. En cada instante t ambas tienen una recta
común, O(t) + I(t) y la segunda rueda sobre la primera sin deslizarse.
w

3.8. Ejemplos de tensores 187
En el caso particular de que el sólido se mueva en un plano (y todos
sus puntos se mantengan en planos paralelos a este), w es perpendicular
al plano y O ′ es paralelo al plano, por tanto perpendicular a w, en
cuyo caso las rectas O(t) + I(s) son perpendiculares al plano y las dos
superficies regladas consideradas anteriormente son perpendiculares al
plano; una fija en el espacio y la otra gira con el sólido sobre la primera
sin deslizarse.
Movimiento de una rueda cuadrada
Vamos a estudiar un ejemplo especial de sólido rígido: una rueda
cuadrada; nos interesa encontrar la sección longitudinal de un camino
por el que esa rueda cuadrada gire sin deslizarse, de modo que su centro
se mantenga a altura constante.
D
E
C
A
B
Figura 3.7.
E
1
2
P
A
0 x
Consideremos inicialmente el cuadrado (de lado 2) con un vértice
A en el origen, con la diagonal AC en el eje y y los otros dos vértices
B y D simétricos respecto de este eje y con B en el primer cuadrante
(x > 0, y > 0). Giremos el cuadrado sobre la hipotética curva y en
un instante t sea P el punto del cuadrado en el lado AB en el que el
segmento AB es tangente a la curva en un punto (x, y(x)) = P , instante
en el que P que está fijo en el cuadrado tiene velocidad nula, siendo
el centro instantáneo de rotación del cuadrado; eso implica que en ese
instante el centro E del cuadrado se mueve 3 en dirección perpendicular
a r = EP , por tanto como E se mueve horizontalmente, EP es vertical,
es decir que en cada instante el centro del cuadrado está sobre el punto
de contacto del cuadrado y la curva sobre la que gira. Además como
se mueve sin deslizarse, el arco de curva entre el origen y P es igual a
AP = AQ − P Q = 1 − y ′ , para Q el punto medio de AB ya que la
3 Observemos que r = EP es de módulo constante, pues E y P son puntos del
cuadrado, por tanto r · r ′ = 0 y como P = r + E y P ′ = 0 en el instante en el que
P está en contacto con la curva, tendremos que en ese instante 0 = P ′ = r ′ + E ′ y
multiplicando por r, 0 = r · r ′ + r · E ′ = r · E ′ .

188 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
tangente del ángulo QEP es y ′ . Por otra parte la altura del centro E del
cuadrado es constante = √ 2, es decir se tiene que
x
de donde se sigue que
0
1 + y ′2 dx = 1 − y ′ , y + 1 + y ′2 = √ 2,
1 − y ′ =
x
y la solución general es
0
( √ 2 − y) dx ⇒ −y ′′ = √ 2 − y,
y = c1 e x +c2 e −x + √ 2,
y como y(0) = 0 y por la primera ecuación y ′ (0) = 1, tendremos que
y(0) = c1 + c2 + √ 2 = 0,
y ′ (0) = c1 − c2 = 1
⇒
⎧
⎪⎨ c1 =
⎪⎩
1 − √ 2
2
c2 = − 1 + √ 2
2
y c1c2 = 1/4 y si llamamos
e c = −2c1 = − 1
=
2c2
√ 2 − 1,
tendremos que la solución a nuestro problema es la catenaria invertida
y = √ 2 − ec+x + e −(c+x)
2
3.8.8. La fuerza de coriolis.
= √ 2 − cosh(c + x).
Para algunos problemas sobre movimientos en la tierra, por ejemplo
para estudiar la trayectoria de una bala, etc, podemos considerar un sistema
de coordenadas ligado a la tierra como el proporcionado por una
esquina de una habitación y considerarlo como un sistema inercial, aunque
no lo es pues la tierra gira. En otros problemas en el que se necesita
más precisión debemos considerar otro tipo de sistemas de referencia que
se aproximen al ideal de sistema inercial, como por ejemplo el que nos
proporcionan las estrellas.
Consideremos un sistema de coordenadas inercial centrado en la tierra
y otro sistema centrado en la tierra y ligado a ella —de modo que gire

3.8. Ejemplos de tensores 189
con ella— y estudiemos el movimiento de una partícula que está sobre la
tierra. Para ello consideremos una base ortonormal e1(t), e2(t), e3 ligada
a la tierra, con e3 el eje de giro de la tierra, por tanto constante en el
tiempo. Sean (x, y, z) las coordenadas de la partícula r(t) en esta base,
que dependen del tiempo
r(t) = xe1 + ye2 + ze3,
por lo que su velocidad será, para v = x ′ e1 + y ′ e2 + z ′ e3 la velocidad
aparente de la partícula para un observador de la tierra
r ′ = x ′ e1 + y ′ e2 + z ′ e3 + xe ′ 1 + ye ′ 2 = v + e3 × r,
pues e ′ 1 = e2, e ′ 2 = −e1, e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2; y su
aceleración es
r ′′ = x ′′ e1 + y ′′ e2 + z ′′ e3 + 2(x ′ e ′ 1 + y ′ e ′ 2) + xe ′′
1 + ye ′′
2
= a + 2e3 × v + e3 × (e3 × r),
y si su masa es m la fuerza que actúa sobre la partícula es F = mr ′′ ,
pero para un observador en la tierra es como si la partícula se moviera
con una aceleración a, siguiendo las leyes de Newton bajo el influjo de
una fuerza
Fe = ma = F + 2mv × e3 + m(e3 × r) × e3,
en la que el ultimo vector es perpendicular a e3 y hacia fuera, es la fuerza
centrífuga, mientras que el segundo es la Fuerza de coriolis, que es nula
si la partícula no se mueve respecto de la tierra.
3.8.9. El tensor de esfuerzos.
Consideremos un fluido en una región del espacio afín tridimensional.
Para cada punto p y cada plano pasando por p, con vector unitario normal
N, la parte de fluido que está en el semiespacio limitado por el plano
y que no contiene a N, ejerce sobre el plano una fuerza por unidad de
superficie F = φ(N). Y si el fluido está en equilibrio, la correspondiente
a −N (es decir considerando la parte del fluido del otro semiespacio) es
−F . Si extendemos esta aplicación de forma φ(λN) = λF , resulta que
esta aplicación es lineal.

190 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
-f(N 1)
N 3
a
c
N 2
b
p
q
-f(N 2)
Figura 3.8.
Para verlo consideramos en p tres vectores unitarios Ni, ortogonales
y bien orientados y un pequeño prisma triangular que sea la mitad del
paralelepípedo recto de lados a, b, c, es decir con dos caras paralelas a distancia
c y forma de triángulo rectángulo de lados a, b y √ a 2 + b 2 y vector
normal N3, dos caras ortogonales rectangulares de lados respectivos a, c
y b, c y vectores normales N1 y N2, y la última cara con vector normal
unitario N = cos θ N1 + sen θ N2 y lados c y √ a 2 + b 2 , como indica la
figura 3.8, para cos θ = a/ √ a 2 + b 2 y sen θ = b/ √ a 2 + b 2 . En estos términos
tendremos que las fuerzas que actúan sobre las caras paralelas son
iguales y de sentido contrario y la suma de las que actúan sobre las otras
tres caras, que tienen respectivamente áreas ca, cb y c √ a 2 + b 2 , es nula
si está en equilibrio, por lo que c √ a 2 + b 2 φ(N)−caφ(N1)−cbφ(N2) = 0,
lo cual implica
N
f(N)
φ(aN1 + bN2) = aφ(N1) + bφ(N2)
y de esto se deduce que para cualesquiera par de vectores E1 = a11N1 +
a12N2 y E2 = a21N1 + a22N2,
φ(E1 + E2) = φ((a11 + a21)N1 + (a12 + a22)N2)
= (a11 + a21)φ(N1) + (a12 + a22)φ(N2)
= a11φ(N1) + a12φ(N2) + a21φ(N1) + a22φ(N2) = φ(E1) + φ(E2).
Por otra parte la matriz que representa a φ es simétrica ó lo que es
lo mismo Ni · φ(Nj) = Nj · φ(Ni), pues en caso contrario un pequeño
cubo de lado ɛ y lados paralelos a los Ni tendría un giro respecto del eje
definido por Nk (para k = i, j) y en definitiva un momento externo total
respecto del centro del cubo no nulo, siendo así que está en equilibrio,
pues el momento es (para φ(Ni) = aijNj)
0 = ɛ Ni × φ(Ni) = (a23 − a32)N1 + (a31 − a13)N2 + (a12 − a21)N3.
N 1

3.8. Ejemplos de tensores 191
a 13
f(N 3)
a 31
a 12
f(N 1)
a 32
a 23
a 21
f(N 2)
Figura 3.9. a12 = a21, a31 = a13 y a23 = a32
Ahora por ser simétrico tiene tres autovectores ortonormales Ni con
autovalores λi y una pequeña esfera centrada en p se transforma por φ
en un elipsoide de ejes Ni y semiejes λi.
3.8.10. El tensor de deformación.
Consideremos un sólido, que ocupa una región K ⊂ R 3 , sometido a
unas fuerzas que lo deforman. Denotemos con F la aplicación del espacio
que corresponde a la transformación de K, es decir que F (x) es la
posición que ocupa, tras la deformación, el punto x ∈ K. Consideramos
que F = (fi) es diferenciable, por lo que su Jacobiano 4
∂fi
J = (x) ,
∂xj
en un punto x ∈ K satisface por definición
F (y) − F (x) − J(y − x)
lím
= 0,
y−x→0 y − x
por lo que tomando y próximo a x y considerando el vector unitario
u = (y − x)/y − x, tendremos que
F (y) − F (x) J(y − x),
F (y) − F (x)
y − x
Ju = √ u t J t Ju,
lo cual nos permite dar una estimación del cambio de longitudes en el
sólido. Podemos simplificar esta estimación si suponemos que la deformación
es pequeña, en el sentido de que J I sea casi la identidad es
4 La matriz asociada a su aplicación lineal tangente F∗ en x.

192 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
decir que si F (x) = x + G(x), siendo G(x) = (gi(x)) el desplazamiento
del punto x, para el que
∂fi
(x)
∂xj
∂gi
= I + (x) = I + A,
∂xj
las componentes del Jacobiano A de G, sean tan pequeñas que sus productos
los podemos considerar nulos y para la simetrización de A
S =
A + At
2
⎛
∂g1 1 ∂g2 ∂g1
∂x1 2 ( + ∂x1 ∂x2 ) 1
2
1 ∂g2 ∂g1
2 ( + ∂x1 ∂x2 )
∂g2 1
∂x2 2
1 ∂g3 ∂g1
2 ( + ∂x1 ∂x3 ) 1 ∂g3 ∂g2
2 ( + ∂x2 ∂x3 )
⎜
= ⎝
como hemos supuesto que A t A 0, tendremos que
∂g3 ∂g1
( + ∂x1 ∂x3 )
∂g3 ∂g2
( + ∂x3 )
⎞
⎟
⎠
∂x2
∂g3
∂x3
J t J = (I + A t )(I + A) = I + A + A t + A t A I + 2S,
por lo tanto para un punto y próximo a x, la proporción de distancias
entre estos puntos, después y antes de la deformación es
F (y) − F (x)
y − x
√ u t J t Ju u t (I + 2S)u = √ 1 + 2u t Su 1+u t Su,
donde lo último se sigue del desarrollo por Taylor √ 1 + 2x = 1+x+o(x).
Esto nos induce a definir el Tensor de deformación como el que
para cada x y los campos tangentes D = di∂i, E = ei∂i, vale
Tx(Dx, Ex) = d t S e,
el cual podemos obtener intrinsecamente, considerando la aplicación desplazamiento
G como campo tangente G = gi∂xi , derivando la métrica
euclídea, pues
G L g = G L ( dxi ⊗ dxi) = (dgi ⊗ dxi + dxi ⊗ dgi)
= ∂gi
dxj ⊗ dxi +
∂xj
∂gi
dxi ⊗ dxj = 2T.
∂xj

3.8. Ejemplos de tensores 193
Observemos por otro lado que
F ∗ n
g − g = (dfi ⊗ dfi − dxi ⊗ dxi)
=
=
i=1
n
(
i=1
n
n
j,k=1
j,k=1 i=1
∂fi ∂fi
dxj ⊗ dxk) −
∂xj ∂xk
n
dxi ⊗ dxi
i=1
n
( ∂fi ∂fi
− δjk)dxj ⊗ dxk,
∂xj ∂xk
cuyos coeficientes son los de la matriz J t J − I 2S, por lo que tenemos
F ∗ g − g 2T.
Con este tensor tenemos, como acabamos de ver, una estimación del
cambio de una longitud L entre dos puntos x, y = x + Lu de K (para u
un vector unitario), que es por la fórmula anterior
L(1 + T (u, u)).
Del mismo modo podemos estimar el cambio de un ángulo α formado
por los vectores e1 y e2 en x, pues si denotamos yi = x + ei, e ′ i =
F (yi) − F (x) Jei, y α ′ el ángulo que forman estos, tendremos que
para u1 = e1/|e1| y u2 = e2/|e2| unitarios
|e ′ 1| |e
|e1|
′ 2|
|e2| cos α′ = e′ 1 · e ′ 2
|e1||e2| et1J tJe2 |e1||e2| ut1(I + 2S)u2 =
cos α ′
= u t 1u2 + 2u t 1Su2 = cos α + 2T (u1, u2) ⇒
cos α + 2T (u1, u2)
(1 + T (u1, u1))(1 + T (u2, u2)) .
En particular si e1 y e2 son perpendiculares —en cuyo caso cos α = 0—
y si consideramos (al ser la deformación pequeña) que la diferencia de
ángulos α − α ′ = π/2 − α ′ es pequeña (y x sen x para x pequeño),
tendremos que
π/2 − α ′ sen(π/2 − α ′ ) = cos α ′
(siendo u1, u2 ortonormales), es decir
α ′ π/2 −
2T (u1, u2)
(1 + T (u1, u1))(1 + T (u2, u2)) ,
2T (u1, u2)
(1 + T (u1, u1))(1 + T (u2, u2)) .

194 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Por último podemos estimar el cambio en el volumen de una región
pequeña en torno a un punto x, pues el volumen del paralelepípedo que
definen tres vectores orientados ei en el punto x es
V = det[e1, e2, e3] = det[B],
para B la matriz de columnas ei. Ahora para yi = x + ei tenemos que
e ′ i = F (yi) − F (x) Jei, por lo que la matriz B ′ con columnas e ′ i vale
aproximadamente J · B, por lo que el nuevo volumen es 5
V ′ = det[B ′ ] det[J] det[B] = det[I + A] det[B]
(1 + traz A)V = (1 + ∂g1
+
∂x1
∂g2
∂x2
+ ∂g3
)V = (1 + div G)V,
∂x3
cálculo que podemos hacer a través de la forma de volumen ω, pues
F ∗ ω = det[J]ω = det[I + A]ω (1 + traz A)ω.
5 Teniendo en cuenta que det[I + A] 1 + traz A, lo cual se sigue de forma obvia
desarrollando el determinate, llamando de forma genérica S a cualquier suma de
productos de componentes aij de A que es S 0, pues suponemos que A t A 0
det[I + A] = (1 + a11)(1 + a22)(1 + a33) + S = 1 + a11 + a22 + a33 + S = 1 + traz A + S.

3.9. Ejercicios resueltos
3.9. Ejercicios resueltos 195
Ejercicio 3.6.1.- Demostrar que la 1–forma del plano (y 2 + h)dx + (x 2 + h)dy
es exacta sii h = 2xy + f(x + y).
Demostración. “⇒” si es exacta existe z, tal que zx = y2 + h y zy = x2 + h,
por tanto (y2 + h)y = zxy = (x2 + h)x, por tanto 2y + hy = 2x + hx y Dh = 2(y − x),
para
D = ∂ ∂ ∂
− = 2
∂x ∂y ∂v
en las coordenadas u = x + y, v = x − y, pues Du = 0 y Dv = 2, por tanto Dh = −2v
es hv = −v es decir
h = − v2
2 + ϕ(u) = − x2 − 2xy + y2 + ϕ(x + y)
2
= xy − x2 + y2 +
2
(x + y)2
+ f(x + y) = 2xy + f(x + y).
2
Ejercicio 3.7.1.- Demostrar que si D1, . . . , Dn ∈ D son independientes en un
abierto U de R n , entonces la condición necesaria y suficiente para que exista
un sistema de coordenadas (u1, . . . , un), tal que en U, Di = ∂/∂ui, es que
[Di, Dj] = 0, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n.
Ind. Utilícese el Lema de Poincaré (3.22), pág.165 y (3.20–v).
Ejercicio 3.7.2.- Encontrar la ecuación de las curvas que verifican que en cada
punto la tangente y la normal cortan respectivamente al eje y y al eje x, en
dos puntos que equidistan del origen (ver Fig.3.10).
Indicación. En cada punto (x0, y0) consideramos las dos rectas perpendiculares
y = y ′ (x0)(x − x0) + y0, y = − 1
y ′ (x0) (x − x0) + y0,
y la propiedad del enunciado es
−y ′ (x0)x0 + y0 = y ′ (x0)y0 + x0,
por lo tanto la ecuación diferencial es (y + x)y ′ = y − x, que corresponde al campo
D = (x + y)∂x + (y − x)∂y,
el cual hemos resuelto en la pág.127, siendo sus soluciones las espirales
ρ e θ = cte.
Como es homogéneo también podemos resolverlo considerando las coordenadas (u =
y/x, v = log x),
y
Du = D =
x
xDy − yDx
x2 = x(y − x) − y(x + y)
x2 = −1 − u 2
Dv = D(log x) = Dx
= 1 + u, por tanto
x
D = −(1 + u 2 )∂u + (1 + u)∂v.

196 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
Y para ρ = x 2 + y 2 y θ = arctan(y/x), tiene 1–forma incidente
1 + u
1
du + dv = d[arctan u +
1 + u2 2 log(1 + u2 ) + v] = d[θ + log(x 1 + u2 )] = d[θ + log ρ],
y las curvas solución son ρ e θ = cte.
A
O B
Figura 3.10. Curvas para las que OA = OB
Ejercicio 3.7.3.- Una cuerda flexible de 4 metros está perfectamente enrollada
—en el sentido de que al tirar del extremo sólo se mueve la parte de la cuerda
que sale del rollo—, en el borde de una mesa. Si en un instante dado, en el
que cuelga un metro de cuerda, la soltamos y empieza a desenrollarse toda la
cuerda por su peso, ¿cuanto tiempo tardará la cuerda en desenrollarse?
¿Y si la cuerda está estirada sobre la mesa de forma perpendicular al borde?
Solución.- Si y(t) es la longitud de la cuerda suelta en el instante t, entonces
suponemos que y(0) = 1 e ˙y(0) = 0. Además la masa de la cuerda m(t), que cuelga
en el instante t, es proporcional a y(t).
Cuando una colección de masas mi se mueven con velocidades vi se ven sometidas
a una fuerza que es la variación de su cantidad de movimiento, es decir
d( n i=1 mivi)
,
dt
pues sobre cada partícula actúa la fuerza que es, por la segunda ley de Newton,
mi ˙vi = d(mivi)
,
ya que su masa es constante. Ahora bien si en la colección de partículas —la cuerda
en nuestro caso— hay unas con velocidad nula —las que están sobre la mesa—, y
otras —todas las que cuelgan—, con velocidad v, tendremos que la fuerza actuando
sobre la cuerda debido a su movimiento es
F = d(mv)
dt
dt
= ˙mv + m ˙v,
siendo la gravitacional, mg, la única fuerza que actúa sobre la parte de cuerda que
cuelga, por lo tanto igualando ambas
v 2 + y ˙v = yg,
y como ˙v = dv/dt = (dv/dy)(dy/dt) = v ′ v, tendremos que
dv
dy
yg − v2
= ,
yv

que corresponde a la 1–forma
3.9. Ejercicios resueltos 197
ω = yvdv + (v 2 − yg)dy = −gdv + fdy,
la cual tiene un factor integrante, pues por el método 3.7, pág.166
gy + fv
g
= −v + 2v
−yv
1
= − = r(y),
y
y si definimos h(y) = e − r(y) = y, se tiene que hω es exacta
y 2 vdv + y(v 2 − yg)dy = d( y2 v 2
por tanto la solución es para y(0) = 1, v(0) = 0,
para k tal que 0 = g
+ k, es decir
3
y 2 v 2 = 2g y3 − 1
3
y 2 v 2
2
= g y3
3
+ k,
2
− g y3
3 ),
⇔ y dy
dt =
2g(y3 − 1)
3
por lo tanto el tiempo que tarda en salir de la mesa es
3 4 y dy
= 0,978095seg.
2g 1 y3 − 1
En el segundo caso la ecuación es 4y ′′ = yg.
Ejercicio 3.7.5.- a) Encontrar la forma de un espejo curvo en R 2 , tal que la
luz de una fuente en el origen se refleje en un haz de rayos paralelos.
b) Encontrar la forma de una curva plana que tenga la propiedad de que
el sonido emitido desde un punto A pase, después de reflejarse en la curva, por
otro punto fijo B.
Solución.-Supongamos que los rayos reflejados son paralelos al eje y, en cuyo
caso para ρ = x2 + y2 , el vector (x, y)−(0, ρ) es normal a la curva, en el punto suyo
(x, y) (pues la suma y la resta de dos vectores del mismo módulo dan las direcciones
de sus bisectrices). Entonces en cada punto p = (x, y) la ecuación de la recta tangente
a la curva viene dada por la anulación de la 1–forma
ρ2
xdx + (y − ρ)dy = d − ρdy = ρ dρ − ρ dy
2
y un factor integrante obvio es 1/ρ, por tanto nuestras curvas son para cada constante
k las parabolas
ρ = y + k ⇔ x 2 = 2yk + k 2 .
Además de obtener de forma natural un sistema de coordenadas (y, ρ), en el que
la parábola se escribe con una ecuación lineal ρ = y +k (para la que además ρ = y +k
es la homotecia de razón k de ρ = y + 1); tenemos otra importante propiedad de ella,
pues la parábola se corta con el eje y en el vértice v = (0, −k/2), por tanto k = 2ρ(v),
y si consideramos la recta paralela al eje x, y = −k, tendremos que los punto de la
parábola son los que equidistan del foco (que es el origen) y la recta.

198 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
b) Hagámoslo tomando A = (0, 0), B = (1, 0) y el vector normal en cada P =
(x, y), que es suma de los vectores normalizados de las direcciones AP = (x, y) y
BP = (x − 1, y)
x
x 2 + y 2 +
x − 1
dx +
(x − 1) 2 + y2 y
x 2 + y 2 +
x
= d 2 + y2 + (x − 1) 2 + y2
,
por lo tanto las curvas solución son las elipses con focos en A y B.
q
q
q q
Figura 3.11. Parábola y elipse.
y
dy =
(x − 1) 2 + y2 Ejercicio 3.7.6.- Encontrar la curva que describe una canoa que sale de una
orilla en un río y se dirige a un punto de la otra orilla a velocidad constante,
siendo arrastrada por el río que baja también a velocidad constante.
Solución.- Sea b la velocidad de la canoa, a la del rio y supongamos que la
canoa se dirige al origen de coordenadas y que el rio fluye en el sentido contrario del
eje y. Tendremos que en cada instante t, sobre la canoa —que está en la posición
(x(t), y(t))— actúan dos velocidades por una parte la del remero y por otra la del rio
que son respectivamente
tendremos que resolver el sistema
b
− (x, y) , (0, −a),
x2 + y2 x ′ bx
(t) = −
x2 + y2 , y′ by
(t) = −a −
x2 + y2 ,
ó en términos de x e y
dy
dx = ax2 + y2 + by
,
bx
que siendo homogénea sabemos resolverla y da para k = a/b
c[y + x 2 + y 2 ] = x k+1 .
Ejercicio 3.7.7.- Un pescador en una barca ve salir un pez en un lugar del
mar. Si suponemos que el pez sale del lugar en línea recta a un tercio de la
velocidad del pescador, ¿qué trayecto debe realizar el pescador para pasar con
seguridad por encima del pez, sea cual sea la dirección que este tome?
Solución.- Pongamos el origen de coordenadas en el punto donde sale el pez, y
pongamos al pescador en el punto (4, 0), cuando eso ocurre.

3.9. Ejercicios resueltos 199
El pescador puede considerar la siguiente ruta:
Primero se va, en línea recta, al punto (1, 0), por lo que el pez estará en algún
punto de la circunferencia de radio 1 y centro el origen. Desde aquí describe el pescador
una curva que en coordenadas polares denotamos con r(θ). Se tiene que el espacio
recorrido por él entre 0 y t es, para
x(θ) = r(θ) cos θ, y(θ) = r(θ) sen θ,
t
a = x
0
′ (θ) 2 + y ′ (θ) 2 t
dθ = r
0
′ (θ) 2 + r(θ) 2 dθ.
Tendremos entonces que
t
3(r(t) − 1) = r
0
′ (θ) 2 + r(θ) 2dθ, y por tanto
pues r(0) = 1.
3r ′ (t) =
r ′ (t) 2 + r(t) 2 ⇔
√ 8r ′ = r ⇔ r(t) = e t
√ 8 ,
Ejercicio 3.8.1.- Demostrar que para (x, y) las coordenadas cartesianas y (ρ, θ)
las coordenadas polares en el plano
dx 2 + dy 2 = ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 .
Ind. dx = cos θdρ − ρ sen θ dθ y dy = sen θ dρ + ρ cos θ dθ, por tanto
dx 2 + dy 2 = cos 2 θ dρ 2 + ρ 2 sen 2 θ dθ 2 + sen 2 θ dρ 2 + ρ 2 cos 2 θ dθ 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 .
Ejercicio 3.8.3.- (1) Demostrar que el rotacional de un campo D existe y
encontrar sus componentes en función de las de D.
(2) Demostrar que para cada función f y cada campo D
rot grad f = 0 , div rot D = 0, rot(fD) = grad f × D + f rot D.
(3) Demostrar que si R es un campo tal que div R = 0, entonces localmente
existe un campo D tal que R = rot D.
Solución.- (1) Sea R = rot D = ri∂i y D = f∂1 + g∂2 + h∂3, entonces
iRω3 = r1dy ∧ dz − r2dx ∧ dz + r3dy ∧ dz = d(fdx + gdy + hdz)
= (hy − gz)dy ∧ dz + (hx − fz)dx ∧ dz + (hy − gz)dy ∧ dz,
por lo tanto si D = f∂x + g∂y + h∂z
(3)
R = (hy − gz)∂x + (fz − hx)∂y + (hy − gz)∂z.
(div R)ω = R L ω = iRdω + d(iRω) = d(iRω),

200 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
por tanto
div R = 0 ⇔ d(iRω) = 0
⇔ localmente iRω = dγ (por el Lema de Poincaré (3.22))
⇔ localmente iRω = d(iDg)
⇔ localmente R = rot D.
Ejercicio 3.8.4.- Demostrar las siguientes propiedades:
(1) D1 × D2 = −D2 × D1.
(2) D1 × (D2 + D3) = D1 × D2 + D1 × D3.
(3) (D1 × D2) · D3 = (D2 × D3) · D1 = (D3 × D1) · D2.
(4)
∂ ∂ ∂
× =
∂x ∂x ∂y
∂ ∂ ∂
× =
∂x ∂y ∂z ,
∂ ∂ ∂
× = ×
∂y ∂z ∂z
∂ ∂ ∂
× =
∂y ∂z ∂x ,
= 0,
∂ ∂ ∂
× =
∂z ∂x ∂y .
(5) iD1×D2ω = iD1g ∧ iD2g.
(6) D1 × (D2 × D3) = (D1 · D3)D2 − (D1 · D2)D3.
(7) (D1 × D2) × D3 + (D2 × D3) × D1 + (D3 × D1) × D2 = 0.
(8) div(D1 × D2) = D2 · rot D1 − D1 · rot D2.
(9) (D1 × D2) · (D3 × D4) = (D1 · D3)(D2 · D4) − (D1 · D4)(D2 · D3).
Ind.- (6) Veamos como conjeturar esta igualdad: Por una parte D1 × (D2 × D3)
está en el plano ortogonal a D2 × D3 que esta generado por D2 y D3, por tanto
D1 × (D2 × D3) = λD2 + µD3, ahora bien también es ortogonal a D1, por lo que
λ(D1 · D2) + µ(D1 · D3) = 0, por tanto (λ, µ) es proporcional a (D1 · D3, −D1 · D2) y
D1 × (D2 × D3) = k[(D1 · D3)D2 − (D1 · D2)D3],
ahora veamos que k es constante y vale 1. Como T (D1, D2, D3) = D1 × (D2 × D3)
y Q(D1, D2, D3) = (D1 · D3)D2 − (D1 · D2)D3 son tensores (ambos hemisimétricos
en las dos últimas), basta observar que coinciden en cualesquiera ∂x i , ∂x j , ∂x k .
(8) Sean D = (D1×D2), iR1 ω = d(iD1 g), iR2 ω = d(iD2 g), ω1 = iD1 g, ω2 = iD2 g
e iDω = ω1 ∧ ω2, entonces tenemos que
div(D)ω = D L ω = d(iDω) = d(ω1 ∧ ω2)
= d(ω1) ∧ ω2 − ω1 ∧ d(ω2) = iR1 ω ∧ ω2 − ω1 ∧ iR2 ω
= ω ∧ iR1 ω2 − iR2 ω1 ∧ ω = (D2 · R1 − D1 · R2)ω.
Ejercicio 3.8.5.- Demostrar el siguiente Teorema de Caratheodory : Dado un
triángulo ABC y un punto interior suyo O, demostrar que
area(OAB) ·
OC + area(OAC) ·
OB + area(OBC) ·
OA = 0.
Indicación.- Aplíquese el apartado (7) del ejercicio anterior a D1 = OA, D2 =
OB y D3 = OC.

3.9. Ejercicios resueltos 201
Ejercicio 3.8.6.- Demostrar que la métrica en el disco unidad
(1 − x 2 − y 2 )(dx ⊕ dx + dy ⊕ dy) + (xdx + ydy) ⊕ (xdx + ydy)
(1 − x 2 − y 2 ) 2
tiene curvatura constante negativa K = −1.
Indicación. Para x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, tendremos que
dx = cos θdρ − ρ sen θdθ, dy = sen θdρ + ρ cos θdθ,
y viendo simultaneamente este ejercicio y el siguiente (3.8.7), las métricas, en coordenadas
polares, son
(1 − ρ 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy)
(1 − ρ 2 ) 2
= (1 − ρ2 )(dρ ⊗ dρ + ρ 2 dθ ⊗ dθ) + (ρdρ) ⊗ (ρdρ)
(1 − ρ 2 ) 2
= dρ ⊗ dρ + (1 − ρ2 )ρ 2 dθ ⊗ dθ
(1 − ρ 2 ) 2
= 1
ρ2
dρ ⊗ dρ +
g2 g
=
dθ ⊗ dθ,
(1 + ρ 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) − (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy)
(1 + ρ 2 ) 2
= (1 + ρ2 )(dρ ⊗ dρ + ρ 2 dθ ⊗ dθ) − (ρdρ) ⊗ (ρdρ)
(1 + ρ 2 ) 2
= dρ ⊗ dρ + (1 + ρ2 )ρ 2 dθ ⊗ dθ
(1 + ρ 2 ) 2
= 1
ρ2
dρ ⊗ dρ +
g2 g
=
dθ ⊗ dθ,
donde en el primer caso g = 1 − ρ2 y en el segundo g = 1 + ρ2 , por tanto en cualquier
caso
E = 1
ρ2
, F = 0, G =
g2 g ,
y D1 = g∂ρ, D2 = h∂θ, para h = √ g/ρ, son ortonormales y como g, h sólo dependen
de ρ, DL i ∂θ = −∂L θ Di = 0, por tanto como en cualquiera de los dos casos gh ′ /h =
−1/ρ
D ∇ 1 D2 − D ∇ 2 D1 = [D1, D2] = D L 1 (h∂θ) = (D1h)∂θ = gh ′ ∂θ = − D2
,
ρ2 además 0 = Di(Dj · Dj) = 2D ∇ i Dj · Dj, por tanto
D ∇ 1 D1 = αD2, D ∇ 2 D2 = βD1, D ∇ 1 D2 = λD1, D ∇ 2 D1 = µD2,
y comparando con lo anterior
λD1 − µD2 = D ∇ 1 D2 − D ∇ 2 D1 = − D2
ρ ,
y sabiendo que D ∇ i Di · Dj = −Di · D ∇ i Dj, pues Di(Di · Dj) = 0, tendremos que
α = −λ = 0, β = −µ = − 1
, por tanto
ρ
D ∇ 1 D2 = D ∇ 1 D1 = 0, D ∇ 2 D2 = − D1
ρ , [D1, D2] = − D2
ρ ,
=
=

202 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
y podemos calcular la curvatura
K = R(D1, D2, D1, D2)
= D1 · (D ∇ 1 (D∇ 2 D2) − D ∇ 2 (D∇ 1 D2) − [D1, D2] ∇ D2)
= D1 · (D ∇ 1 (βD1) + 1
ρ D∇ 2 D2) = D1 · ((D1β)D1 − D1
)
ρ2 = D1ρ 1 g − 1
− =
ρ2 ρ2 ρ2 = ±1.
Ejercicio 3.8.7.- Demostrar que la métrica en el plano
(1 + x 2 + y 2 )(dx ⊕ dx + dy ⊕ dy) − (xdx + ydy) ⊕ (xdx + ydy)
(1 + x 2 + y 2 ) 2
tiene curvatura constante positiva K = 1.
Indicación. Ver el ejercicio anterior (3.8.6).

3.10. Bibliografía y comentarios 203
3.10. Bibliografía y comentarios
En la composición del tema hemos utilizado los siguientes libros:
Abraham, Ralph and Mardsen, Jerrold E.: “Foundations of Mechanics”. Ed.
Addison–Wesley, 1978.
Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geo-
metry”. Ac Press, 1975.
Crampin,M. and Pirani,F.A.E.: “Applicable Differential Geometry”. Cambridge
University Press, 1988.
Choquet–Bruhat, Y.: “Geometrie differentielle et systemes exterieurs”. Edit. Du-
nod, 1968.
Feynmann, R., Leigthton, R.B. and Sands, M.: “Phisica”. Vol.I y III, Addison–
Wesley Iberoamericana, 1987.
Goldstein, H.: “Classical Mechanics”. Addison–Wesley Pub. Co., 1980.
Muñoz Diaz, Jesus: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982.
Santaló, L.A.: “Vectores y tensores con sus aplicaciones”. Ed. Universitaria de
Buenos Aires, 1977.
Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas”. Ed.
McGraw–Hill, 1977.
Spiegel, M.R.: “Mecánica teórica”. McGraw–Hill, 1967.
Spivak, M.: “A comprehensive introduction to differential geometry”. 5 vols., Publish
or Perish, Inc., 1979.
El análisis tensorial nació con J.L. Lagrange (1736–1813), que fue
el primero en hacer un tratamiento general de un sistema dinámico y
con Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866), que fue el
primero en pensar en una geometría en un número arbitrario de dimensiones.
Sin embargo el cálculo de tensores no empezará a desarrollarse realmente
hasta el año 1884 en el que se publicó la obra fundamental del
italiano G. Ricci (1853–1925)
Ricci–Curbastro, G.: “Principii di una theoria delle forme differenziale qua-
dratiche”. Milan, 1884.

204 Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial
en la que define los tensores —él los llama sistemas—, covariantes y
contravariantes de todos los órdenes.
El mismo Ricci siguió haciendo desarrollos posteriores del cálculo
tensorial junto con su discípulo Tullio Levi–Civita (1873–1941). Y
lo continuó Elie Cartan (1869–1951) entre otros. El término vector
fue introducido por W.R.Hamilton (1805–1865) y H.G.Grasmann
(1809–1877). Por su parte el término tensor —en vez de sistema de Ricci,
como era conocido—, fue propuesto por Albert Einstein (1879–1955),
extendiendo el término de “tensor elástico”, que es un tensor que surge
de forma natural en el estudio de la elasticidad.
Fin del Tema 3

Tema 4
Campos tangentes
lineales
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales
Definición. Sea E un espacio vectorial real de dimensión finita n. Llamaremos
función afín f en E a la suma f = g + a de una función lineal
g ∈ E ∗ y una función constante a ∈ R.
Llamaremos campo tangente lineal —respectivamente afín— en E a
las derivaciones
D : C ∞ (E) → C ∞ (E),
tales que Df es lineal (afín) para cada f lineal (afín).
Sea D un campo afín y veamos como se expresa en un sistema de
coordenadas lineales xi de E.
Como Dxi es afín, existen aij, bi ∈ R, tales que Dxi = aijxj + bi,
por tanto
n
n
∂
∂
D = a1ixi + b1 + · · · + anixi + bn ,
∂x1
∂xn
i=1
205
i=1

206 Tema 4. Campos tangentes lineales
y sus curvas integrales satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales
lineales —o, como a menudo la llamaremos ED lineal—
x ′ 1 =
.
x ′ n =
n
a1ixi + b1,
i=1
n
anixi + bn,
i=1
o en forma vectorial para X(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), A = (aij) y b = (bi)
(4.1) X ′ (t) = A · X(t) + b.
Todo campo afín n–dimensional, puede considerarse como la restricción
a un hiperplano (xn+1 = 1) de un campo lineal D,
n
n
∂
∂
D = a1ixi + b1xn+1 + · · · + anixi + bnxn+1 ,
∂x1
∂xn
i=1
(n+1)–dimensional, tangente a los hiperplanos {xn+1 = cte}.
Todo campo tangente lineal D define por restricción, una aplicación
lineal
D : E ∗ → E ∗ ,
i=1
pues la imagen de una función lineal es una función lineal.
Definición. Dado un campo tangente lineal D, llamaremos endomorfismo
asociado a D a la aplicación lineal dual de D : E ∗ → E ∗ ,
A: E → E.
Si Dxi = aijxj, en un sistema de coordenadas lineales xi, entonces
la matriz asociada a la aplicación lineal A es A = (aij) y la de D es A t .
Definición. Llamaremos autovalores de un campo tangente lineal D a
los autovalores de su endomorfismo asociado A.
Consideremos ahora un intervalo abierto real I y la función
x0 : I × E → I , x0(t, p) = t.

4.1. Ecuaciones diferenciales lineales 207
Definición. Diremos que una función f ∈ C ∞ (I × E) es lineal relativa a
x0 —respectivamente afín relativa a x0—, si para cada t ∈ I, la función
f(t, ·): E → R,
es lineal (afín). Diremos que un campo E ∈ D(I × E) es lineal (afín)
relativo a x0 si:
a) Ex0 = 1, es decir es un campo subido de ∂/∂t ∈ D(I), a I × E
mediante x0.
b) Para cada función f lineal (afín) relativa a x0, Ef es lineal (afín)
relativa a x0.
Consideremos un sistema de coordenadas lineales x1, . . . , xn en E y
subámoslas, junto con x0, a I × E para definir el sistema de coordenadas
(x0, x1, . . . , xn).
Una función f es afín relativa a x0 si y sólo si para cada t ∈ I,
n
f(t, ·) = ai(t)xi + bi(t),
por tanto quitando la t
f =
i=1
n
ai[x0]xi + bi[x0].
i=1
En estos términos tenemos que si E ∈ D(I × E) es afín relativo a x0,
existen funciones aij, bi : I → R tales que
E = ∂
⎡
⎤
n n
+ ⎣ aij(x0)xj + bi(x0) ⎦
∂x0
∂
,
∂xi
y si X : J → I × E
i=1
j=1
X(t) = (x0(t), x1(t), . . . , xn(t)),
es una curva integral de E, entonces satisface el sistema de ecuaciones
diferenciales en I × E
(4.2)
x ′ 0 = 1
x ′ 1 = aij(x0)xj + b1(x0)
.
.
x ′ n = anj(x0)xj + bn(x0).

208 Tema 4. Campos tangentes lineales
Además se tiene que si esta solución satisface las condiciones iniciales
X(t0) = (t0, p) ∈ I × E,
entonces x0(t) = t, J ⊂ I y la aplicación
φ: J → E, φ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),
satisface el sistema de ecuaciones diferenciales lineales 1 no autónomo
x ′ 1 =
.
x ′ n =
n
aij(t)xj + b1(t),
i=1
.
n
anj(t)xj + bn(t),
i=1
o en forma matricial para A(t) = (aij(t)) y b(t) = (bi(t))
(4.3) φ ′ (t) = A(t)φ(t) + b(t).
Recíprocamente si J ⊂ I y φ: J → E es una solución de (4.3) satisfaciendo
φ(t0) = p, entonces X : J → I × E, definida por X(t) = (t, φ(t))
es solución de (4.2) satisfaciendo X(t0) = (t0, p).
En este tema estudiaremos las ecuaciones diferenciales no autónomas
del tipo (4.3) y las del tipo (4.1), que consideraremos como un caso
particular en el que A y b son constantes.
Si las aij y las bi son continuas entonces E es localmente lipchiciano
en E uniformemente en I, por tanto como consecuencia del teorema de
continuidad del grupo uniparamétrico de E —ver el tema II—, tendremos
que el grupo uniparamétrico local asociado τ, es continuo. Se sigue
entonces que para cada λ = (t0, p) ∈ I×E, existe una única curva integral
máxima de E
X(t) = τ(t − t0, λ),
que verifica
X(t0) = λ = (t0, p),
1 Con absoluto rigor aquí debería decir afín y no lineal, pero es habitual encontrar
este abuso del lenguaje en los textos. En general llamaremos ecuación diferencial
lineal (EDL), a cualquier sistema de este tipo autónomo o no.

4.2. Existencia y unicidad de solución 209
y cuyo dominio de definición es J = I(τ(t0, λ) = I(λ) − t0. Por lo tanto
hay una única solución
φ: J → E,
de (4.3) satisfaciendo φ(t0) = p, y viene dada por las n últimas componentes
de
(t, φ(t)) = X(t) = τ(t, τ(t0, λ)).
Además si las aij y las bi son de clase k, entonces φ es de clase k+1 en
J. No obstante vamos a dar una demostración alternativa, que aunque
básicamente repite los mismos argumentos que vimos en el tema II, nos
permitirá ofrecer una interpretación mas general del resultado, al mismo
tiempo que demostramos que J = I, cosa que hasta ahora no se ha
justificado.
4.2. Existencia y unicidad de solución
Hagamos antes un inciso para dar algunas definiciones y resultados
relativos a la derivación e integración de curvas en un espacio de Banach.
Definición. Sea B un espacio de Banach sobre el cuerpo K = R ó C.
Llamaremos curva en B a toda aplicación
φ: I → B,
donde I es un intervalo abierto real.
Diremos que una curva φ es diferenciable en t ∈ I si existe el
lím
h→0
φ(t + h) − φ(t)
,
h
que denotaremos φ ′ (t) ∈ B.
Es fácil ver que si φ es diferenciable en t, entonces es continua en t.
Diremos que una curva φ tiene primitiva si existe otra ψ : I → B tal
que ψ ′ = φ.
Proposición 4.1 Toda curva continua tiene primitiva y dos primitivas
de la misma curva difieren en un elemento de B.

210 Tema 4. Campos tangentes lineales
Definición. Sea φ continua y ψ una primitiva suya. Definimos la integral
de φ, entre los extremos c, d ∈ I, como
d
c
φ(t)dt = ψ(d) − ψ(c).
Las propiedades básicas de la integración son las siguientes.
Proposición 4.2 Dados α1, α2 ∈ K, c, d ∈ I y φn, φ curvas continuas en
I, se tiene:
a) linealidad,
d
c
[α1φ1(s) + α2φ2(s)]ds = α1
b) Para c < d,
d
c
φ(t)dt ≤
d
c
d
c
φ1(s)ds + α2
φ(t) dt.
c) Si φn → φ uniformemente en [c, d], entonces
d
c
φn(t)dt →
d
c
φ(t)dt.
d
c
φ2(s)ds.
Sea A una álgebra de Banach sobre K = R ó C, y consideremos los
K–espacios vectoriales A n y Mn(A) —anillo de las matrices de orden n,
con términos en A—. Cada A ∈ Mn(A) define un endomorfismo
A: A n → A n , x → A · x,
con el producto habitual entendiendo x como vector columna. Podemos
definir las normas en A n y Mn(A)
(x1, . . . , xn) =
n
xi A = sup{ Ax : x = 1},
i=1
para las que se tiene, si A ∈ Mn(A) y x ∈ A n , que
A · x ≤ A · x .
De esta forma y sabiendo que tanto A como A n como Mn(A) son
espacios de Banach sobre K, tenemos el siguiente resultado.

4.2. Existencia y unicidad de solución 211
Teorema 4.3 Sea I un intervalo abierto de R, y sean A: I → Mn(A)
y b: I → A n continuas. Entonces para cada t0 ∈ I y a ∈ A n , existe una
única curva
φ: I → A n ,
verificando
φ(t0) = a, φ ′ (t) = A(t)φ(t) + b(t).
Demostración. Definamos la sucesión φm : I → A n recurrentemente,
de la forma siguiente. Tomamos φ0(t) = a y
(4.4) φm+1(t) = a +
t
t0
[A(s) · φm(s) + b(s)]ds.
Consideremos ahora un intervalo compacto J ⊂ I, con t0 ∈ J. Entonces
existe k > 0 tal que en J, A(s) ≤ k. Por tanto en J (para
t ≥ t0)
y si llamamos
t
φm+1(t) − φm(t) ≤ k
t0
φm(s) − φm−1(s) ds,
b = máx{t − t0 : t ∈ J}, c = máx{ φ1(t) − a : t ∈ J},
tendremos que en J
φ1(t) − φ0(t) ≤ c,
φ2(t) − φ1(t) ≤ kc|t − t0| ≤ c(kb),
φ3(t) − φ2(t) ≤ k 2 2 |t − t0|
c ≤ c
2
(kb)2
2 ,
φm+1(t) − φm(t) ≤ k m m |t − t0|
c
m!
.
≤ c (kb)m
.
m!
Por tanto existe el lím φm = φ, uniforme en cada compacto, por tanto
φ es continua. Además de (4.4) se sigue que φ es la solución buscada,
pues
φ(t) = a +
t
t0
[A(s) · φ(s) + b(s)]ds.

212 Tema 4. Campos tangentes lineales
Veamos ahora la unicidad. Si existiese otra solución ψ, tendríamos
que para Z = φ − ψ,
Z(t) =
t
t0
[A(s) · Z(s)]ds,
y para f(t) = Z(t) , se tendría que en cada compacto J de I, con
t0 ∈ J,
f(t) ≤ k
t
t0
f(s)ds,
y tomando t tal que (t−t0)k < 1 y t1 ∈ [t0, t], tal que f(t1) = máx{f(s) :
s ∈ [t0, t]}, tendríamos que
f(t1) ≤ k
t1
t0
f(s)ds ≤ k(t1 − t0)f(t1).
De esta forma, demostrando que la frontera del conjunto {t ∈ I :
f(t) = 0} es vacía, se concluye que Z = 0.
Un caso particular importante, que utilizaremos en las próximas lecciones,
lo tenemos cuando A = C.
Otro caso particular interesante es A = C r (K), para K compacto de
R m , con la norma de la convergencia uniforme de la función y todas sus
derivadas
f = 2 r sup{|D a f(x)| : x ∈ K, |a| ≤ r}.
En estos términos tenemos el siguiente resultado.
Corolario 4.4 Sea K un compacto de R m e I un intervalo abierto real.
Sean t0 ∈ I, fi ∈ C r (K) y hij, gi : I × K → R, funciones de clase r.
Entonces existe una única aplicación
solución de
(4.5) x ′ i(t, p) =
X = (x1, . . . , xn): I × K → R n ,
n
hij(t, p)xj(t, p) + gi(t, p),
j=1
para i = 1, . . . , n, satisfaciendo xi(t0, ·) = fi. Además
X ∈ C r (I × K).

4.3. Estructura de las soluciones 213
Demostración. Basta considerar
definidas por
aij, bi : I → C r (K),
bi(t) = gi(t, ·), aij(t) = hij(t, ·),
y aplicar (4.3) para A = (aij) y b = (bi). Que X es de C r (I × K) es
consecuencia de que
es continua si y sólo si
es continua.
φ: t ∈ I → F (t, ·) ∈ C(K),
F : I × K → R,
Observemos que si las funciones son de C ∞ , entonces son de C r para
todo r, por tanto X es de C r para todo r y consecuentemente de C ∞ .
Por último observemos que si las fi ∈ C r (U) con U abierto de R n y
las
hij, gi : I × U → R,
son de C r , entonces existe una única
X : I × U → R n ,
solución de (4.5) satisfaciendo xi(t0, ·) = fi. Para ello basta considerar
un recubrimiento por compactos de U y en cada compacto considerar
la solución de (4.4). Tales soluciones definen, por la unicidad, una en
I × U.
4.3. Estructura de las soluciones
A lo largo de esta lección I es un intervalo abierto de R, por K
entenderemos R ó C indistintamente y A: I → Mn(K) y b: I → K n son
continuas.

214 Tema 4. Campos tangentes lineales
4.3.1. El sistema homogéneo.
Consideremos ahora el caso particular de sistema lineal de ecuaciones
diferenciales —que llamaremos homogéneo— para el que b = 0. Es decir
vamos a analizar las soluciones φ: I → K n que verifican
(4.6) φ ′ (t) = A(t)φ(t).
Denotemos con E[A] el conjunto de las soluciones φ de (4.6). Se tiene
el siguiente resultado.
Proposición 4.5 E[A] es un K–espacio vectorial n–dimensional.
Demostración. Que es un espacio vectorial es obvio. Veamos entonces
que es de dimensión n.
Consideremos α1, . . . , αn ∈ K n independientes. Entonces para cada
t0 ∈ I existen φ1, . . . , φn soluciones de (4.6) tales que φi(t0) = αi. Veamos
que las φi son base de E[A].
Si c1, . . . , cn ∈ K son tales que ciφi = 0, entonces en t0 tendremos
que ciαi = 0 de donde se sigue que los ci = 0. Por tanto las soluciones
φi son independientes.
Consideremos φ una solución de (4.6) y sea α = φ(t0). Como existen
c1, . . . , cn ∈ K tales que α = ciαi, tendremos que φ y ciφi coinciden
en t0, pero por la unicidad de solución se tendrá que φ = ciφi.
Definición. Llamaremos sistema fundamental de soluciones de la ecuación
(4.6), a cualquier base de E[A], como la φ1, . . . , φn del teorema
anterior.
Llamaremos matriz fundamental de (4.6) a cualquier matriz de funciones
en I, cuyas columnas sean una base de E[A]. La denotaremos con
Φ = (φ1, . . . , φn).
Ejercicio 4.3.1 Supongamos que A(t) es real. Demostrar que:
a) φ = X + iY es una solución compleja de (4.6) si y sólo si X = Re[φ] e
Y = Im[φ] son soluciones reales.
b) Si φ1, . . . , φn es un sistema fundamental complejo para (4.6), entonces
en
Re[φ1], Im[φ1], . . . , Re[φn], Im[φn],
hay un sistema fundamental real.
Ejercicio 4.3.2 Sean Φ y Ψ matrices de funciones continuas en I. Demostrar:

4.3. Estructura de las soluciones 215
a) Φ = (ϕij) es diferenciable en t ∈ I si y sólo si cada ϕij lo es, y
Φ ′ (t) = (ϕ ′ ij(t)).
b) Si Φ y Ψ son diferenciables en t ∈ I, entonces
(Φ · Ψ) ′ (t) = Φ ′ (t) · Ψ(t) + Φ(t) · Ψ ′ (t).
c) Si Φ es diferenciable en t y Φ(t) es no singular, entonces Φ −1 es diferenciable
en t y su derivada es
(Φ −1 ) ′ (t) = −Φ −1 (t) · Φ ′ (t) · Φ −1 (t).
Definición. Llamaremos ecuación diferencial matricial asociada a (4.6)
a
(4.7) Φ ′ (t) = A(t) · Φ(t).
Obviamente toda matriz fundamental de (4.6) es solución de (4.7)
y como a nosotros nos interesan las matrices fundamentales, pues dada
una tendremos todas las soluciones de (4.6), nos interesará caracterizar
las soluciones de (4.7) que sean fundamentales.
Proposición 4.6 Sean φ1, . . . , φn soluciones de (4.6). Entonces son equivalentes:
1. φ1, . . . , φn es una base de E[A].
2. Para cada t ∈ I, φ1(t), . . . , φn(t) es una base de K n .
3. Existe un t ∈ I, para el que φ1(t), . . . , φn(t) es una base de K n .
Demostración. i) ⇒ ii) Basta demostrar que para cada t ∈ I,
φ1(t), . . . , φn(t),
son independientes.
Sea t ∈ I y supongamos que existen ci ∈ K tales que ciφi(t) =
0, entonces ciφi y la curva constante 0 son soluciones de (4.6) que
coinciden en t, se sigue de la unicidad de solución que ciφi = 0. Pero
como las φi son independientes se sigue que las ci = 0.
iii) ⇒ i) Basta demostrar que φ1, . . . , φn son independientes.
Supongamos que existen ci ∈ K tales que ciφi = 0, entonces
ciφi(t) = 0. Pero como las φi(t) son independientes se sigue que las
ci = 0.

216 Tema 4. Campos tangentes lineales
Corolario 4.7 Una solución Φ de (4.7) es una matriz fundamental de
(4.6) si y sólo si para cada t ∈ I, det Φ(t) = 0 y si y sólo si existe un
t ∈ I para el que det Φ(t) = 0.
Observemos que si Φ = (φ1, . . . , φn) es fundamental, y B es una
matriz de orden n, constante y no singular, entonces
Ψ = Φ · B,
también es fundamental, pues Ψ = (ψ1, . . . , ψn), siendo las ψi = bijφj
base de E[A]. Además toda matriz fundamental es de esta forma para
alguna B constante no singular —la matriz cambio de base—. Se tiene
entonces el siguiente resultado.
Proposición 4.8 Si Φ es una matriz fundamental y B es constante y
no singular, entonces Φ · B también es fundamental. Además fijada una
matriz fundamental Φ, cualquier otra es de la forma Φ · B, para alguna
B constante no singular. La solución de (4.6) que satisface φ(t0) = p,
para un t0 ∈ I y p ∈ K n es
φ(t) = Φ(t) · Φ −1 (t0) · p,
entendiendo p como vector columna.
Ejercicio 4.3.3 Demostrar que si K = R y Φ es una matriz fundamental real
de (4.6), entonces el grupo uniparamétrico del campo E asociado a (4.6) es
X[t, (r, p)] = (t + r, Φ(t + r) · Φ −1 (r) · p).
Proposición 4.9 Si Φ es una solución de (4.7) y t ∈ I
[det Φ(t)] ′ = traz A(t) · det Φ(t).
Demostración. Si Φ = (ϕij), entonces se demuestra por inducción
que
[det Φ] ′
ϕ
=
′ 11 ϕ ′ 12 · · · ϕ ′
1n ϕ11 ϕ12
· · · ϕ1n
ϕ21 ϕ22 · · · ϕ2n
ϕ21
ϕ22
· · · ϕ2n
.
. . ..
+ · · · +
.
.
. . ..
.
ϕn1 ϕn2 · · · ϕnn
ϕ ′ n1 ϕ ′ n2 · · · ϕ ′ nn

ahora bien se sigue de (4.7) que
y por tanto para cada i
4.3. Estructura de las soluciones 217
ϕ ′ ij =
(ϕ ′ 1, . . . , ϕ ′ n) =
n
k=1
aikϕkj,
n
aik(ϕk1, . . . , ϕkn),
k=1
por lo que tendremos que
[det Φ] ′
a11ϕ11
a11ϕ12
· · · a11ϕ1n
ϕ21 ϕ22
· · · ϕ2n
=
.
. . ..
+ · · · +
.
ϕn1 ϕn2 · · · ϕnn
ϕ11 ϕ12
· · · ϕ1n
ϕ21 ϕ22
· · · ϕ2n
+
.
. . ..
.
annϕn1
annϕn2 · · · annϕnn
= traz A · det Φ.
Corolario 4.10 Si A es real y Φ es una solución de (4.6), tal que para
t0 ∈ I, el det[Φ(t0)] = a + bi, entonces
t
traz A(s)ds t det[Φ(t)] = e 0 (a + bi).
Nota 4.11 Una demostración alternativa de (4.8) es: Si Φ es fundamental,
entonces en I, Φ ′ = A · Φ, por tanto (Φ · B) ′ = A · Φ · B, es decir
que Φ · B es solución de (4.7). Además como en I,
tenemos que Φ · B es fundamental.
det(Φ · B) = det Φ · det B = 0,
Sean ahora Φ y Ψ fundamentales y definamos en I, B = Φ −1 · Ψ.
Entonces Φ · B = Ψ y
A · Ψ = Ψ ′ = (Φ · B) ′
= Φ ′ · B + Φ · B ′
= A · Φ · B + Φ · B ′
= A · Ψ + Φ · B ′ ,

218 Tema 4. Campos tangentes lineales
por tanto Φ · B ′ = 0, y como las columnas de Φ son independientes para
cada t, tendremos que las columnas de B ′ son nulas para cada t, y por
tanto B es constante.
Nota 4.12 Observemos que:
a) Si Φ es fundamental y B es constante, B · Φ no es fundamental
en general.
b) Dos sistemas homogéneos distintos no pueden tener una matriz
fundamental común, pues esta lo determina ya que,
A = Φ ′ · Φ −1 .
Recordemos que si Φ es fundamental para (4.6), entonces
(Φ −1 ) ′ = −Φ −1 · Φ ′ · Φ −1 = −Φ −1 · A,
por tanto si llamamos Ψ = (Φ −1 ) ∗ , tendremos que
(4.8) Ψ ′ = −A ∗ · Ψ.
Definición. Esto nos sugiere definir el nuevo sistema lineal, que llamaremos
adjunto del sistema (4.6) al sistema
(4.9) φ ′ (t) = −A(t) ∗ · φ(t).
Obviamente el adjunto del adjunto de (4.6) es (4.6). Además de (4.8)
se sigue que si Φ es fundamental para (4.6), entonces (Φ −1 ) ∗ es fundamental
para (4.9). Veremos qué campo tangente hay detrás de esta
ecuación en la lección (4.6).
Proposición 4.13 Si Φ es una matriz fundamental para (4.6), entonces
Ψ lo es para (4.9) si y sólo si Φ ∗ · Ψ es constante y no singular.
Demostración. Como Φ ∗−1 es fundamental para (4.9), se sigue de
(4.7) que Ψ = Φ ∗−1 · B, es fundamental para (4.9) si y sólo si B es
constante no singular.
Corolario 4.14 Si A = −A ∗ , entonces para cada matriz fundamental Φ
de (4.6) se tiene que Φ ∗ · Φ es constante, por tanto para cada solución
φ de (4.6), φ(t) 2 es constante.

4.3. Estructura de las soluciones 219
Ejemplo 4.3.1 Por ejemplo consideremos el sistema de R 2
′ x (t)
y ′
=
(t)
0 1
−1 0
el cual corresponde al campo de los giros
y ∂ ∂
− x
∂x ∂y ,
x(t)
y(t)
que tiene a x 2 + y 2 como integral primera, por lo que para cualquier
solución (x(t), y(t))
x 2 (t) + y 2 (t) = cte
Ejemplo 4.3.2 Consideremos el sistema de R 3
⎛
x
⎝
′ ⎞
(t)
⎛
0 1
⎞ ⎛ ⎞
1 x(t)
⎠ = ⎝−1
0 −1⎠
⎝y(t)
⎠ ,
−1 1 0 z(t)
y ′ (t)
z ′ (t)
que corresponde al campo
(y + z) ∂
∂
∂
− (x + z) + (y − x)
∂x ∂y ∂z ,
que tiene a x 2 + y 2 + z 2 como integral primera.
4.3.2. El sistema no homogéneo.
Consideremos ahora el caso no homogéneo, es decir buscamos las
soluciones de
(4.10) φ ′ (t) = A(t) · φ(t) + b(t).
Si Φ es una matriz fundamental para (4.6), nos preguntamos si
habrá alguna solución de (4.10) de la forma
φ = Φ · Z,
en cuyo caso tendría que verificarse
φ ′
A · φ + b = A · Φ · Z + b
=
Φ ′ · Z + Φ · Z ′ = A · Φ · Z + Φ · Z ′

220 Tema 4. Campos tangentes lineales
de donde se sigue que,
b = Φ · Z ′ ,
por tanto fijado un r ∈ I y definiendo
tendremos que
Z(t) =
t
r
Φ −1 (s) · b(s)ds,
φ = Φ · Z,
es la solución de (4.10) que verifica φ(r) = 0. Y si lo que queremos es la
solución que satisface la condición
φ(r) = α ∈ K n ,
entonces basta considerar la solución ψ de (4.6), que satisface ψ(r) = α
y definir
φ(t) = ψ(t) + Φ(t)
t
r
Φ −1 (s) · b(s)ds.
Ejemplo 4.3.3 Vamos a resolver la ecuación y ′ + 2y = 2x, con la condición
y(0) = b
Primero resolvemos ϕ ′ +2ϕ = 0, es decir (log ϕ) ′ = −2, que da ϕ = e −2x .
La solución por tanto es y = zϕ, para z ′ ϕ = 2x; es decir
z = 2x e 2x = x e 2x −(1/2) e 2x +a,
pues (x e 2x ) ′ = e 2x +2x e 2x ; y en definitiva la solución es
y = zϕ = (x e 2x −(1/2) e 2x +a) e −2x = x + a e −2x −(1/2),
siendo b = y(0) = a − 1/2.
4.4. Reducción de una EDL
Supongamos ahora que conocemos m soluciones de (4.6),
φ1, . . . , φm ∈ E[A],
independientes, con 1 ≤ m < n. En tal caso podríamos reducir nuestro
sistema lineal a uno de orden n − m de la siguiente forma:

4.4. Reducción de una EDL 221
Pongamos φi = (ϕji) como vectores columna. Entonces como para
cada t ∈ I, tenemos que rang(ϕji(t)) = m —pues podemos extender
φ1, . . . , φm a una base de E[A] y aplicar (4.7)—, entonces existe un
menor de orden m en la matriz (ϕji(t)) —que por comodidad podemos
suponer que es el formado por las m primeras filas— con determinante
no nulo. Por continuidad se sigue que existe un entorno J ⊂ I, de t, para
el que el mismo menor —que llamaremos Φ1—, tiene determinante no
nulo. Ahora nos olvidamos de I y nos quedamos con J.
Consideremos la matriz —por columnas—,
∆ = (φ1, φ2, . . . , φm, em+1, . . . , en)
⎛
φ11 φ12 · · · φ1m
⎜ φ21 φ22 ⎜
· · · φ2m
⎜
.
= ⎜ . . .. .
⎜φm+1,1
φm+1,2 ⎜
· · · φm+1,m
⎜
⎝
.
. . .. .
0
0
.
1
.
· · ·
· · ·
· · ·
. ..
⎞
0
0 ⎟
. ⎟
0 ⎟
. ⎠
φn1 φn2 · · · φnm 0 · · · 1
donde las columnas ei son constantes, con todo 0 salvo en el lugar i que
tienen un 1. Consideremos
X(t) = ∆(t) · Y (t),
entonces X es solución de (4.6) si y sólo si
Llamemos por comodidad
Φ1 0
∆ = , A =
Φ2 E
A · ∆ · Y = A · X = X ′ ,
= ∆ ′ · Y + ∆ · Y ′ .
A1 A2
A3 A4
entonces
A2 · Y2
A · ∆ · Y = A · φ · Y1 +
A4 · Y2
, φ =
Φ1
∆ ′ · Y = φ ′ · Y1 = A · φ · Y1 , ∆ · Y ′ =
Φ2
, Y =
Y1
Y2
,
Φ1 · Y ′
1
Φ2 · Y ′
1 + Y ′
2

222 Tema 4. Campos tangentes lineales
por tanto X = ∆ · Y es solución de (4.6) si y sólo si
A2 · Y2 Φ1 · Y
=
A4 · Y2
′
1
Φ2 · Y ′
1 + Y ′
2
es decir Y satisface el sistema de ecuaciones
Y ′
1 = Φ −1
1 · A2 · Y2,
Y ′
2 = A4 · Y2 − Φ2 · Y ′
1 =
= [A4 − Φ2 · Φ −1
1 · A2] · Y2.
Es decir el primer sistema de ecuaciones nos permite despejar las
y ′ j —para j = 1, . . . , m— en función de las ϕij las aij y las yk —para
k = m+1, . . . , n—. Por tanto el segundo sistema queda como un sistema
lineal de la forma
y ′ m+1 =
.
y ′ n =
n
k=m+1
n
k=m+1
que es un sistema lineal de orden n − m.
bm+1,kyk,
bnkyk,
4.5. Exponencial de matrices
Para n = 1 y K = R, la solución de x ′ = λx, verificando x(a) = b, es
en particular para λ constante es
x(t) = be t
a λ(s)ds ,
x(t) = b e (t−a)λ .
Nos preguntamos ahora si para n ∈ N y K = C esto también es cierto.
Pero antes necesitamos saber como definir la exponencial de una matriz
compleja.

4.5. Exponencial de matrices 223
Por E entenderemos la matriz unidad. Y por una serie de matrices
entenderemos el límite de sus sumas parciales, con la norma
Para esta norma se tiene que
A = sup{ Ax 2 : x 2= 1}.
A · B ≤ A · B ,
y Mn(K) es un álgebra de Banach —cualquier otra norma matricial vale
para lo que estamos viendo—.
Recordando ahora que para cada x ∈ R,
e x = 1 +
podemos dar la siguiente definición.
∞
m=1
x m
m! ,
Definición. Para cada n ∈ N y para cada matriz A ∈ Mn(K), definimos
la exponencial de A como
e A = exp[A] = E +
∞
m=1
A m
m! .
Se sigue que exp[A] está bien definida pues las sumas parciales forman
una sucesión de Cauchy, ya que
p+q
m=p+1
Ejercicio 4.5.1 Demostrar que
A m
m!
≤
p+q
m=p+1
e A ≤ e A .
A m .
m!
Ejercicio 4.5.2 Demostrar que si A y B son matrices que conmutan, entonces
e A+B = e A · e B ,
aunque en general eso no es cierto. Y que
e
lím
t→0
tA −E
= A.
t

224 Tema 4. Campos tangentes lineales
Ejercicio 4.5.3 Dada una matriz A, demostrar que:
a) exp[A] es no singular.
b) (exp[A]) −1 = e −A .
c) Si P es no singular, entonces
e P·A·P−1
= P · e A ·P −1 .
En el siguiente resultado veremos que para ciertos sistemas lineales
podemos dar una matriz fundamental a través de la exponencial.
Teorema 4.15 Sea A: I → Mn(K), continua y t0 ∈ I. Si la primitiva B
de A para la que B(t0) = 0, satisface que AB = BA en todo I, entonces
exp[B(t)] es diferenciable y satisface
exp[B(t)] ′ = A(t) · exp[B(t)] , exp[B(t0)] = E.
Demostración. Consideremos la siguiente sucesión de curvas
y para m ≥ 1
Φm(t) = E +
Φ0(t) = E,
t
t0
A(s) · Φm−1(s)ds.
Como vimos en (4.3), se sigue que Φm converge uniformemente en
cada compacto a una Φ, para la que se tiene
Φ(t) = E +
t
t0
A(s) · Φ(s)ds.
Ahora como A · B = B · A, se sigue fácilmente que que para m ∈ N
ó en forma integral que
Se sigue entonces que
[B(t) m ] ′ = mA(t) · B(t) m−1 ,
B(t) m
m =
Φ0(t) = E,
t
t0
Φ1(t) = E + B(t),
A(s) · B(s) m−1 ds.

4.6. EDL con coeficientes constantes 225
.
Φm(t) = E + B(t) + B(t)2
2
por lo tanto Φ(t) = exp[B(t)].
B(t)m
+ · · · + ,
m!
Ejercicio 4.5.4 Si Φ es una solución de (4.7), demostrar que para cada r, t ∈ I
det[Φ(t)] = det[Φ(r)] · exp[
t
r
traz A(s)ds].
4.6. EDL con coeficientes constantes
En esta lección estudiaremos el grupo uniparamétrico de un campo
lineal D ∈ D(E). En un sistema de coordenadas lineales xi tendremos
que
n
n
∂
∂
D = a1ixi + · · · + anixi ,
∂x1
∂xn
i=1
y sus curvas integrales satisfacen la ecuación diferencial lineal φ ′ = A·φ,
que es (4.6) con A = (aij) una matriz constante.
Teorema 4.16 Dada una matriz constante A, se tiene que Φ(t) = e tA
es una matriz fundamental para el sistema lineal φ ′ = A · φ.
Demostración. Es una consecuencia inmediata de (4.15), pero en
este caso la demostración se sigue sin dificultad del ejercicio (4.5.2), pues
y por tanto, cuando r → 0
Φ(t + r) − Φ(t)
r
i=1
e (t+r)A = e rA · e tA
= erA −E
r
· e tA → A · e tA = Φ ′ (t),

226 Tema 4. Campos tangentes lineales
y como det Φ(0) = 1 = 0, tenemos por (4.7) que Φ es fundamental.
Como consecuencia tenemos que el grupo uniparamétrico de D es
X : R × E → E, X(t, p) = Φ(t) · p = e tA ·p,
y es tal que los difeomorfismos
son isomorfismos lineales.
Xt = e tA : E → E,
Ejercicio 4.6.1 Recíprocamente demostrar que si Xt : E → E es un grupo uniparamétrico
de isomorfismos lineales, entonces su generador infinitesimal es
un campo tangente lineal.
Nota 4.17 Todo campo tangente lineal D, con grupo uniparamétrico
Xt, define un campo tangente lineal canónico E en E ∗ —realmente un
campo lineal en cada espacio vectorial de tensores p, q, T q
p (E)—, cuyo
grupo uniparamétrico Yt está definido de la forma siguiente para cada
ω ∈ E ∗
Yt : E ∗ → E ∗ , Yt[ω]: E → R , Yt[ω](x) = ω[X−t(x)],
para cada ω ∈ E ∗ .
Si consideramos una base ei de E y su base dual xi y escribimos
D y E en los correspondientes sistemas de coordenadas xi y vi —para
ei ∈ E → vi ∈ E ∗∗ el isomorfismo canónico—, tendremos que
D =
⎛
n
⎝
j=1
aijxj
⎞
⎠ ∂
∂xi
, E =
⎛
n
⎝
j=1
bijvj
⎞
⎠ ∂
,
∂vi
y para A = (aij) y B = (bij) se tiene que el coeficiente i, j de exp[tB] es
Yt[xi](ej) = xi(X−t[ej]),
que es el coeficiente j, i de e −tA , de donde se sigue derivando y tomando
el valor en 1 que
B = −A ∗ ,
es decir que la ecuación diferencial definida por E es la adjunta —ver
(4.9)—, de la definida por D.

4.6. EDL con coeficientes constantes 227
Ejercicio 4.6.2 a) Demostrar que
det[e tA ] = e t(traz A) .
b) Calcular el volumen en el que se transforma el cubo definido por 0 y los
vectores de la base
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
por el flujo del sistema lineal
φ ′ ⎛
0 3
⎞
1
= ⎝1
a 10 ⎠ · φ,
8 0 −a
en el instante t = 2.
c) La divergencia de un campo D = fi∂i es
div D =
n ∂fi
.
∂xi
Demostrar el Teorema de Liouville para campos lineales:
“La velocidad de dilatación de un volumen B por el flujo Xt de un campo
D en el instante 0, es la integral de la divergencia de D en el volumen”.
Y demostrar que si la div D = 0 entonces el flujo conserva volúmenes.
Ejercicio 4.6.3 Demostrar que si λ es un autovalor de A con autovector asociado
v, entonces
φ(t) = e tλ v,
es solución de φ ′ = A · φ.
Nota 4.18 Debemos observar que, en el ejercicio anterior, aunque A
sea real λ puede ser compleja, por tanto φ es una solución compleja en
general, pero su parte real y su parte imaginaria son soluciones reales.
Nota 4.19 Si J es la matriz canónica de Jordan (ver 5.1 de la pág.281)
asociada a A, entonces existe P no singular tal que
i=1
A = P · J · P −1 ,
en tal caso tendremos que una matriz fundamental real Φ de φ ′ = A · φ
es
Φ(t) = e tA = e tP·J·P−1
= P · e tJ ·P −1 ,
y por tanto también es fundamental —aunque en general compleja—
Ψ(t) = P · e tJ .

228 Tema 4. Campos tangentes lineales
Ahora bien J es una matriz diagonal por cajas Ji = λiE + D, para
i = 1, . . . , r, de orden mi menor o igual que la multiplicidad de λi, donde
D = (cij) es de la forma ci,i−1 = 1 y cij = 0 en el resto. Y si mi = 1,
entonces Ji = λi.
Se sigue que etJ es diagonal por cajas
e tJi = e tλi e tD = e tλi
⎛
1 0 0 · · · 0
⎜ t 1 0 · · · 0
⎜ t
⎜
⎝
2
⎞
⎟
2 t 1 · · · 0
⎟
.
. .. . .. . ⎟
.. .
⎟
⎠
t m i −1
(mi−1)! · · · t 2
2 t 1,
y como consecuencia se tienen fácilmente los siguientes resultados.
Proposición 4.20 X es solución de φ ′ = A · φ si y sólo si es de la forma
X = PZ con Z de la forma
⎛
e
⎜
Z(t) = ⎜
⎝
tλ1 p (m1−1
1 (t)
.
etλ1 p ′ 1(t)
etλ1 p1(t)
.
etλr p (mr−1
r (t)
.
etλr p ′ r(t)
etλr ⎞
⎟
⎠
pr(t)
donde los pi(t), para i = 1, . . . , r, son polinomios en t de grado menor o
igual que mi − 1.
Proposición 4.21 La matriz fundamental Ψ(t) = P · exp{tJ} = (ψij) de
φ ′ = Aφ, es de la forma
ψij(t) = pij(t) e tλk ,
si m0 + · · · + mk−1 < j ≤ m0 + · · · + mk para k = 1, . . . , r, m0 = 0 y
donde los pij son polinomios de grado ≤ mk − 1.
A continuación daremos una importante aplicación de la proposición
(4.20).

4.7. Clasificación de campos lineales 229
Corolario 4.22 Si los autovalores de A tienen parte real negativa (positiva),
entonces para toda solución X de φ ′ = Aφ se tiene
lím X(t) = 0 ( lím X(t) = ∞).
t→∞ t→∞
Demostración. Las soluciones de φ ′ = Aφ son de la forma X = PZ,
con Z dada en (4.20), por tanto como P es invertible
P −1 −1 · Z(t) ≤ X(t) ≤ P · Z(t) .
Ahora bien si los autovalores de A tienen parte real negativa entonces
Z(t) → 0 como consecuencia de (4.20) y de que t k e at → 0, para todo
k y a < 0. Y si la tienen positiva Z(t) → ∞, cuando t → ∞, porque
e at → ∞ para a > 0.
Recíprocamente se tiene.
Proposición 4.23 Si las soluciones de φ ′ = Aφ, satisfacen X(t) → 0
cuando t → ∞, entonces los autovalores de A tienen parte real negativa.
Y si para toda solución X se tiene que X(t) → ∞, cuando t → ∞,
entonces las partes reales de todos los autovalores son positivas.
Demostración. Supongamos que un autovalor de A, λi = a + ib,
es tal que a ≥ 0 (a ≤ 0). Entonces la solución X = PZ de X ′ = AX,
encontrada en (4.20), para pi = 1, pj = 0 si j = i, es tal que
para t > 0.
Z(t) = e ta ≥ 1 (≤ 1),
4.7. Clasificación de campos lineales
Definición. Diremos que dos campos lineales D, E ∈ D(E) son equivalentes,
si existe una biyección
h: E → E,

230 Tema 4. Campos tangentes lineales
que lleva el flujo de uno en el del otro, es decir para Xt e Yt sus respectivos
grupos uniparamétricos, si
h ◦ Xt = Yt ◦ h.
Diremos que son linealmente, diferenciablemente ó topológicamente
equivalentes si h es respectivamente un isomorfismo lineal, diferenciable
o topológico.
Consideremos dos campos lineales D, E ∈ D(E), con ecuaciones diferenciales
asociadas en términos de un sistema de coordenadas lineales
xi
X ′ = AX, Y ′ = BY,
es decir que para A = (aij) y B = (bij)
D =
E =
n n
[
i=1 j=1
n n
[
i=1 j=1
aijxj] ∂
∂xi
bijxj] ∂
∂xi
en estos términos se tiene el siguiente resultado.
Proposición 4.24 a) D y E son linealmente equivalentes por h si y sólo
si A y B son semejantes. Además la matriz de semejanza la define h.
b) D y E son diferenciablemente equivalentes si y sólo si lo son linealmente.
Demostración. Sabemos que D y E son diferenciablemente equivalentes
si y sólo si h lleva D en E, es decir que para cada x h∗Dx = E h(x).
a) Si h es lineal y tiene matriz asociada H, entonces h∗ también tiene
matriz asociada H. Entonces como las componentes de Dx son Ax y las
de E h(x), BHx, tendremos que para cada x ∈ R n
h∗(Dx) = E h(x) ⇒ HAx = BHx,
lo cual equivale a que HA = BH.
b) Sea h difeomorfismo y consideremos que h∗ en 0 tiene matriz
asociada H. Entonces como Xt(0) = 0, h∗ ◦ Xt∗ = Yt∗ ◦ h∗, e tA es la
matriz asociada a Xt y a Xt∗ y e tB la de Yt e Yt∗, tendremos que
H e tA = e tB H,

4.8. EDL con coeficientes periódicos 231
y derivando en 0 obtenemos HA = BH.
La clasificación topológica se sale del marco de lo explicado hasta
ahora y no es elemental como las anteriores. Remitimos al lector al teorema
(5.17), pág.301, donde demostraremos el siguiente resultado.
Proposición 4.25 Si A y B no tienen autovalores imaginarios puros,
entonces D y E son topológicamente equivalentes si y sólo si el número
de autovalores con parte real positiva (negativa) es el mismo en A que
en B.
4.8. EDL con coeficientes periódicos
Consideremos ahora el caso en que la matriz A es periódica, es decir
que existe w ∈ R tal que para todo t ∈ R
A(t + w) = A(t).
Veremos que en este caso la matriz fundamental, aunque no es periódica,
se puede poner como el producto de una matriz P de período w,
con una de la forma e tD , con D constante. Para ello necesitamos probar
la existencia de logaritmos de matrices no singulares.
Lema 4.26 Dada una matriz B, constante y no singular, existe otra A
tal que B = e A .
Demostración. Basta probar que si B = PJP −1 , con J la matriz
canónica de Jordan de B, entonces existe A tal que J = e A . J es
una matriz diagonal por cajas J1, . . . , Jr, siendo Ji = λi si λi es de
multiplicidad 1 y en general Ji = λiE + Z, de orden mi menor o igual
que la multiplicidad de λi, donde Z = (zij) es de la forma zi,i+1 = 1 y
en el resto zij = 0, y siendo los λi los autovalores de A.
Basta entonces encontrar A diagonal por cajas A1, . . . , Ar, de tal
forma que e Ai = Ji.
Tomamos Ai = log λi, si mi = 1. Y para las Ji de la forma λE + Z =
λ(E + µZ), con µ = 1/λ, basta encontrar Q tal que e Q = E + µZ, pues

232 Tema 4. Campos tangentes lineales
en ese caso podemos definir Ai = (log λ)E + Q y habríamos terminado.
Veamos que existe entonces Q = log(E + µZ).
Por analogía con
(4.11) log(1 + x) =
definimos
Q =
∞
(−1)
n=1
∞
n+1 (µZ)n
(−1)
n =
n=1
n+1 xn
n ,
k
an(µZ) n ,
y como la suma es finita, pues por las características de Z, Z n = 0 para
n ≥ mi tendremos que está bien definida, siendo an = (−1) n+1 /n. Hay
que demostrar ahora que e Q = E + µZ.
n=1
e Q = E + Q + Q2 Qk
+ · · · +
2 k!
k
= E + an(µZ)
n=1
n k
+
an1
n=1 n1+n2=n
an2
(µZ) n
+
2
k
(µZ)
+ · · · +
an1 · · · ank
n
n!
= E +
n=1
k
dn(µZ) n ,
n=1
n1+···+nk=n
siendo d1 = 1 y di = 0 para i ≥ 2 pues
1 + x = e log(1+x) = 1 + [log(1 + x)] +
= 1 +
∞
dnx n ,
n=1
[log(1 + x)]2
2
+ · · ·
como se ve teniendo en cuenta (4.11) y reordenando la serie para ponerla
en términos de las potencias de x —ver Apostol p.396—.
Nota 4.27 Debemos observar que aunque B sea real A puede ser compleja.
Sin embargo se puede probar que existe A real tal que e A = B 2 .
(ver Coddington–Levinson, p.107).

4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes 233
Teorema 4.28 Si A tiene período w y Φ es fundamental, entonces:
i) Ψ(t) = Φ(t + w) es fundamental.
ii) Si X es una solución de (4.6), entonces Y (t) = X(t+w) también.
iii Existe P no singular con período w y D constante tales que
Demostración. i)
Φ(t) = P (t) e tD .
Ψ ′ (t) = Φ ′ (t + w) = A(t + w)Φ(t + w) = A(t)Ψ(t),
y es fundamental pues det Ψ(t) = det Φ(t + w) = 0.
iii) De (4.7) se sigue que existe Q constante no singular, tal que
Ψ = ΦQ. Y de (4.26), que existe D constante tal que Q = e wD . Basta
definir
P (t) = Φ(t) e −tD .
Nota 4.29 Para K = R se sigue —ver la nota (4.27)—, que si Φ es
fundamental existe P real de período 2w y D real constante, tales que
Φ(t) = P(t) e tD .
4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes
En esta lección consideraremos la ecuación diferencial
(4.12) f (n (t) + an−1f (n−1 (t) + · · · + a1f ′ (t) + a0f(t) = g(t),
con los términos a0, . . . , an−1 constantes.
Observemos que para la matriz y el vector
⎛
0 1 0 · · · 0
⎜ 0 0 1 · · · 0
⎜ 0 0 0 · · · 0
A = ⎜
.
⎜ . . . .. .
⎝ 0 0 0 · · · 1
−a0 −a1 −a2 · · · −an−1
⎞
⎟
⎠
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎜
b = ⎜.
⎟
⎝0⎠
g

234 Tema 4. Campos tangentes lineales
se tiene que
es solución de
φ(t) =
⎛ ⎞
ϕ1(t)
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
ϕn(t)
φ ′ (t) = A · φ(t) + b,
si y sólo si f = ϕ1 es solución de (4.12)
4.9.1. Caso homogéneo.
Estudiemos en primer lugar las soluciones del caso g = 0, es decir
(4.13) f (n (t) + an−1f (n−1 (t) + · · · + a1f ′ (t) + a0f(t) = 0.
Consideremos el polinomio
p(x) = x n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0,
entonces si por D entendemos el operador d/dt, tendremos que
p(D)f = f (n (t) + an−1f (n−1 (t) + · · · + a1f ′ (t) + a0f(t),
ahora bien si la descomposición de p en factores primos de C[x] es
p(x) = (x − λ1) m1 · · · (x − λr) mr ,
con los λi distintos, está demostrado en los cursos de álgebra que
ker[p(D)] = ker[(D − λ1) m1 ] ⊕ · · · ⊕ ker[(D − λr) mr ],
por tanto si tenemos para cada i, una base de ker[(D−λi) mi ], tendremos
una base de ker[p(D)] y por tanto de las soluciones de
f (n (t) + an−1f (n−1 (t) + · · · + a1f ′ (t) + a0f(t) = 0.
Por inducción se demuestra fácilmente que
por tanto
(D − λ) m [e λt h] = e λt D m h,
(D − λ) m f = 0 ⇔ D m [e −λt f] = 0 ⇔ f = e λt q(t),

4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes 235
para q polinomio de grado menor que m.
Entonces una base para cada
viene dada por
ker[(D − λi) mi ],
e λit , t e λit , . . . , t mi−1 e λit ,
y por tanto una base de soluciones de (4.13) es
(4.14)
donde
e λ1t , t e λ1t , . . . , t m1−1 e λ1t ,
e λ2t , t e λ2t , . . . , t m2−1 e λ2t ,
· · ·
e λrt , t e λrt , . . . , t mr−1 e λrt ,
λ1, λ2, . . . , λr,
son las raíces de p con multiplicidades m1, . . . , mr.
Para K = R, basta tomar la parte real y la imaginaria de estas
funciones. (Observemos que aunque aparentemente se duplica el número
de funciones, no es así pues si λ es una raíz de p con parte imaginaria,
su conjugada también es raíz de p.
Nota 4.30 Observemos que si las raíces λi de p son distintas, entonces
toda solución de (4.13) es de la forma
Ejercicio 4.9.1 Resolver la ecuación
f = c1 e tλ1 + · · · + cn e tλn .
y ′′ + by = 0,
para b ∈ R. ¿ Para qué valores de b existe una solución no trivial f satisfaciendo
f(0) = f(L) = 0, con L > 0?
Ejercicio 4.9.2 Resolver la ecuación
y ′′′ + 3y ′′ − 4y ′ = 0,
que satisface y(1) = y ′ (1) = y ′′ (1) = 1.

236 Tema 4. Campos tangentes lineales
4.9.2. Caso no homogéneo.
Si ahora lo que queremos es encontrar las soluciones de (4.12), tomamos
las n funciones f1, . . . , fn de (4.14) y llamando
⎛
⎜
φ1 = ⎜
⎝
f1
f ′ 1
f ′′
1
.
f (n−1
1
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ , . . . , φn = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
fn
f ′ n
f ′′
1
.
f (n−1
n
entonces como para i = 1, . . . , n las fi son independientes, también lo
son las φi, por lo que la matriz con columnas Φ = (φ1, . . . , φn) es fundamental
para φ ′ = A · φ.
En la lección 3 vimos que φ = ΦZ con
Z ′ = Φ −1 · b = Φ −1
es solución de φ ′ = Aφ + b, por tanto si
⎛ ⎞
z1(t)
⎜ ⎟
Z(t) = ⎝ . ⎠
zn(t)
tendremos que
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎜
⎜.
⎟
⎝0⎠
g
⎞
⎟
⎠
f(t) = f1(t)z1(t) + . . . + fn(t)zn(t),
es solución de (4.12).
Este método general precisa el cálculo de Ψ = Φ −1 e integrar Ψb,
lo cual no es fácil en general. Sin embargo si la función g es sencilla, en
el sentido de que sus derivadas son del “mismo tipo” que ella, hay una
forma alternativa para resolver el problema.
Buscamos en primer lugar una solución general f1 del sistema homogéneo
(4.13), que satisfaga las condiciones iniciales que queramos, y
una solución cualquiera f2 del no homogéneo (4.12).
Nuestra solución será f = f1 + f2.

4.10. EDL de orden n. Wronskiano 237
Por ejemplo si g(t) es un polinomio, es natural buscar una f2 entre
los polinomios del mismo grado que g. Si es
g(t) = a sen(kt) + b cos(kt)
es natural buscar f2 entre las funciones del mismo tipo, etc.
Ejercicio 4.9.3 a) Encontrar la solución de la ecuación
y ′′ + 3y ′ − 4y = 3x + 2,
que satisface las condiciones y(1) = y ′ (1) = 1.
b) Resolver la ecuación
y ′′ − 4y = 2 e 3x ,
que satisface las condiciones iniciales y(0) = y ′ (0) = 1.
c) Resolver la ecuación
y ′′ + y = 2 cos (3x),
que satisface las condiciones iniciales y(0) = y ′ (0) = 1.
4.10. EDL de orden n. Wronskiano
Dadas a0, . . . , an : I → K y g : I → K continuas, nos planteamos el
problema de encontrar f : I → K tal que
(4.15) an(t)f (n (t) + · · · + a1(t)f ′ (t) + a0(t)f(t) = g(t).
Si en un subintervalo J de I, an(t) = 0, podemos considerar la matriz
A(t) y el vector b(t) definidos de la forma
⎛
⎞
0 1 0 · · · 0
⎜ 0 0 1 · · · 0 ⎟
⎜ 0 0 0 · · · 0 ⎟
A(t) = ⎜
.
⎜ . . . ..
⎟ ,
. ⎟
⎝ 0 0 0 · · · 1 ⎠
−a0/an −a1/an −a2/an · · · −an−1/an

238 Tema 4. Campos tangentes lineales
y tendremos que si
es solución de
b(t) = t 0 · · · 0 g/an
φ(t) = ϕ1(t) · · · ϕn(t) t
φ ′ (t) = A(t) · φ(t) + b(t),
entonces f = ϕ1 es solución de (4.15) y recíprocamente si f es solución
de (4.15), entonces
⎛ ⎞
ϕ1(t)
⎜
⎜ϕ2(t)
⎟
φ(t) = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
ϕn(t)
=
⎛
f(t)
⎜
⎝ .
f (n−1 ⎞
⎟
⎠
(t)
es solución de φ ′ (t) = A(t) · φ(t) + b(t).
Definición. Llamaremos Wronskiano de
a la función
⎜
W[f1, . . . , fn](t) = det ⎜
⎝
f1, . . . , fn : I → K,
⎛
f1
f
f2 · · · fn
′ 1 f ′ 2 · · · f ′ . .
. ..
n
.
f (n−1
2 · · · f (n−1
⎞
⎟
⎠
n
f (n−1
1
Ejercicio 4.10.1 Demostrar que el conjunto de las soluciones de la ecuación
diferencial
an(t)f (n (t) + · · · + a1(t)f ′ (t) + a0(t)f(t) = 0,
—que denotaremos Λf = 0—, forman un espacio vectorial de dimensión n.
Ejercicio 4.10.2 Dadas f1, . . . , fn : I → K, demostrar que son equivalentes:
a) Las fi son una base de soluciones de Λf = 0.
b) Las
⎛
⎜
φ1 = ⎜
⎝
f1
f ′ 1
.
f (n−1
1
⎞
⎛
fn
f ′ n
⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ , . . . , φn = ⎜
⎠ ⎝
.
f (n−1
n
⎟
⎠
son una base de soluciones de φ ′ = Aφ.
c) Λfi = 0 y W[f1, . . . , fn](t) = 0 para algún t ∈ I.

4.10. EDL de orden n. Wronskiano 239
Ejercicio 4.10.3 Consideremos la ecuación diferencial
x 3 y ′′′ − x 2 y ′′ + 2xy ′ − 2y = 0.
a) Demuestra que f = x, g = x log x y h = x 2 son soluciones en x > 0,
independientes.
b) Encuentra la solución que satisface las condiciones y(1) = 3, y ′ (1) = 2,
y ′′ (1) = 1.
Nota 4.31 Por otra parte dadas
f1, . . . , fn : I → K,
con derivadas continuas hasta el orden n, verificando
W[f1, . . . , fn](t) = 0,
en I, existe una única ecuación lineal (4.15), con an = 1,
que tiene a las fi por solución.
(−1) n W[f, f1, . . . , fn](t)
W[f1, . . . , fn](t)
4.10.1. Ecuación de Euler.
La ecuación diferencial de Euler es
= 0,
a0x n y (n + a1x n−1 y (n−1 + · · · + an−1xy ′ + any = F (x),
La cual puede ser reducida —en x > 0—, a una lineal con coeficientes
constantes, haciendo el cambio
pues se demuestra fácilmente que
así como
dx
dt
= x,
x = e t ,
dy (j−1
dy dy dx
=
dt dx dt = y′ x,
d2y dy′
=
dt2 dt = y(j x,
dt x + y′ x = y ′′ x 2 + y ′ x,
d 3 y
dt 3 = y′′′ x 3 + 3y ′′ x 2 + y ′ x,

240 Tema 4. Campos tangentes lineales
y por inducción se tiene que para cada m ∈ N existen n1, . . . , nm ∈ N
tales que n1 = nm = 1 y
d m y
dt m = y(m x m + nm−1y (m−1 x m−1 + · · · + n2y ′′ x 2 + y ′ x.
Ejercicio 4.10.4 Resolver las ecuaciones
x 3 y ′′′ + 3x 2 y ′′ + 6xy ′ = 0,
(2x + 3) 2 y ′′ + (2x + 3)y ′ + 4y = 1.
4.11. EDL de orden 2
Ejercicio 4.11.1 Consideremos la ecuación diferencial
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0.
a) Demostrar que si f y g son soluciones suyas, la función Wronskiano
satisface la ecuación
y por tanto vale
W(x) = W[f, g](x) = fg ′ − gf ′ ,
W ′ (x) + p(x)W(x) = 0,
W(x) = W(a) · e − x a p(t)dt .
b) Demostrar que si f es una solución suya —que no se anula en un subintervalo
J de I—, podemos encontrar otra solución g de la ecuación en J,
resolviendo la ecuación diferencial lineal de primer orden
g ′ (x) = f ′ (x)
f(x) g(x) + W(a) · e− x
a p(t)dt
f(x)
Resolver esta ecuación y dar la expresión general de las soluciones de la
ecuación inicial.
Ejercicio 4.11.2 Dada la ecuación diferencial
x 2 y ′′ + xy ′ − y = 0,
demostrar que f(x) = x es una solución, encontrar otra solución g independiente
de f y la solución general.
.

4.11. EDL de orden 2 241
Ejercicio 4.11.3 Sean f y g soluciones independientes de
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0,
demostrar que f tiene un cero entre cada dos ceros de g.
Teorema de comparación de Sturm 4.32 Sean f y g soluciones no triviales
respectivamente de
y ′′ + p(x)y = 0 , y ′′ + q(x)y = 0,
donde p(x) ≥ q(x), entonces:
a) f tiene un cero entre cada dos ceros de g, a menos que p(x) = q(x)
y f sea un múltiplo constante de g.
b) Si q ≤ 0, entonces ninguna solución g de la segunda ecuación
puede tener mas de un cero.
Demostración. a) Sea g(x1) = g(x2) = 0 y supongamos que f y g
son positivas en (x1, x2) —si no es así las cambiamos de signo, pues −f
y −g también son solución—, entonces
W[f, g](x1) = f(x1)g ′ (x1) ≥ 0, W[f, g](x2) = f(x2)g ′ (x2) ≤ 0,
pero esto es contradictorio con la hipótesis, ya que
W[f, g] ′ (x) = f(x)g ′′ (x) − g(x)f ′′ (x) = (p(x) − q(x))g(x)f(x) ≥ 0,
en (x1, x2), a menos que en este intervalo p = q y
W[f, g](x) = 0,
lo cual implica que f y g son soluciones de la misma ecuación y son
dependientes, es decir que existe una constante k tal que f = kg.
b) Basta tomar p = 0 en (a) y observar que f = 1 es solución de la
primera ecuación.
Definición. Diremos que las funciones r, p y q definen una ecuación
diferencial
(4.16) r(x)y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0,
exacta si existen funciones a(x) y b(x) tales que para cualquier función
f se verifica que
rf ′′ + pf ′ + qf = [af ′ + bf] ′ ,
y diremos que admiten un factor integrante v(x) si vr, vp y vq definen una
ecuación diferencial exacta. A menudo diremos, abusando del lenguaje,
que es la ecuación la que es exacta o admite un factor integrante.

242 Tema 4. Campos tangentes lineales
Nota 4.33 Observemos que si encontramos un factor integrante para
(4.16), entonces resolverla se reduce a encontrar las soluciones de la ecuación
lineal de primer orden
a(x)f ′ + b(x)f = cte,
por otra parte (4.16) es exacta si y sólo si
rf ′′ + pf ′ + qf = [af ′ + bf] ′ = af ′′ + (a ′ + b)f ′ + b ′ f
⇔ r = a, p = a ′ + b, q = b ′
⇔ r ′′ − p ′ + q = 0,
de donde se sigue que v es un factor integrante de (4.16) si y sólo si
(4.17)
(vr) ′′ − (vp) ′ + (vq) = 0 ⇔
rv ′′ + (2r ′ − p)v ′ + (r ′′ − p ′ + q)v = 0,
ecuación a la que llamaremos adjunta de (4.16). Obsérvese que una ecuación
y la adjunta de su adjunta coinciden.
Así vemos que si encontramos una solución v de (4.17) podemos
encontrar una solución de
r(x)y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = g(x),
procediendo del siguiente modo: Primero buscamos a(x) y b(x) tales que
vry ′′ + vpy ′ + vqy = (ay ′ + by) ′ ,
y después resolvemos la ecuación lineal
para cada constante A.
a(x)y ′ + b(x)y =
x
4.11.1. Ecuación de Riccati.
La ecuación diferencial de Riccati es
x0
v(t)g(t)dt + A,
(4.18) y ′ + R(x)y 2 + P (x)y + Q(x) = 0.

4.11. EDL de orden 2 243
Consideremos el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales
correspondiente al campo tangente
y ′ (x) = a1(x)y + b1(x)z,
z ′ (x) = a2(x)y + b2(x)z,
D = ∂
∂x + (a1(x)y + b1(x)z) ∂
∂y + (a2(x)y + b2(x)z) ∂
∂z ,
el cual es invariante por el campo
y ∂ ∂
+ z
∂y ∂z ,
y por tanto se simplifica en el sistema de coordenadas
(x, u = z/y, v = log y)
D = ∂
∂x + (a1 + b1u) ∂
∂v − (−b2u 2 + (b1 − a2)u + a1) ∂
∂u ,
con lo cual nuestra sistema lineal de ecuaciones diferenciales se transforma
en el sistema formado por
v ′ = (a1 + b1u),
u ′ = −b2u 2 + (b1 − a2)u + a1,
si ahora encontramos una solución u de la segunda, que es de Riccati,
entonces podemos resolver la primera con una simple integración y por
tanto habremos resuelto nuestra ecuación lineal inicial, pues su solución
sería
y(x) = e v(x) , z(x) = u(x) e v(x) .
Ejercicio 4.11.4 Consideremos la ecuación de Riccati (4.18). Demuéstrese que:
a) Si y1 es una solución, entonces y es cualquier otra solución si y sólo si
y − y1 = 1/u donde u es solución de la ecuación diferencial lineal
u ′ = (2Ry1 + P )u + R.
b) Si y1 e y2 son soluciones, entonces cualquier otra solución y satisface,
para una constante c
y − y2
y − y1
R(y1−y2)
= e ·c.

244 Tema 4. Campos tangentes lineales
c) Si y1, y2, y3 son soluciones, entonces cualquier otra solución y está definida
para cada constante k por
y − y2
·
y − y1
y3 − y1
= k.
y3 − y2
Nota 4.34 Observemos que el resultado anterior nos dice que las soluciones
de la ecuación de Riccati no son un espacio vectorial, como
ocurre con las ecuaciones diferenciales lineales, sino que forman una recta
proyectiva.
Además el grupo uniparamétrico τt asociado al campo
D = ∂
∂x − (R(x)y2 + P (x)y + Q(x)) ∂
∂y ,
que lleva la recta x = x0 en la recta x = t + x0 —pues Dx = 1 lo
cual implica que para cada p ∈ R 2 , 1 = Dx[τp(t)] = (x ◦ τp) ′ (t) y por
tanto x[τt(p)] = t + x0, para x0 = x(p)— define una proyectividad entre
esas dos rectas, pues el apartado (c) del ejercicio anterior nos dice que
las gráficas (x, y(x)), de las soluciones de la ecuación de Riccati, se
intersecan con cualquier par de rectas x = x0 y x = t + x0 en pares de
puntos correspondientes por una proyectividad y si y es la solución de la
ecuación de Riccati que satisface y(x0) = y0, entonces para p = (x0, y0)
se tiene que
τt[x0, y(x0)] = τp(t) = (t + x0, y(t + x0)).
Por último vamos a dar la caracterización de la ecuación de Riccati
en términos de su campo tangente asociado
D = ∂
∂x + (R(x)y2 + P (x)y + Q(x)) ∂
∂y .
Es el único campo en D(I ×R) que verifica las siguientes propiedades:
a) Dx = 1 para x: I × R → I, x(t, y) = t.
b) D lleva funciones polinómicas en fibras de x en funciones polinómicas
en fibras de x, es decir conserva las funciones de la forma
fn(x)y n + · · · + f1(x)y + f0(x),
donde las fi son funciones arbitrarias de x.
c) D se extiende a un campo tangente de D(I × P1), donde P1 es la
recta proyectiva (es decir, el espacio de las rectas del plano que pasan
por el origen, R ∪ {∞} ).

Sea
4.12. Otros métodos para resolver EDL 245
D = ∂
∂x + [fn(x)y n + · · · + f1(x)y + f0(x)] ∂
∂y ,
un campo satisfaciendo esas propiedades y consideremos la coordenada
z en P1 − {0}, que coincide con z = 1/y en el abierto
P1 − {0, ∞} = R − {0}.
Entonces Dz está definida en (x, ∞) y podemos calcularla pues en
I × (P1 − {0, ∞})
Dz = D
1
= −
y
Dy
y2 = − fn(x)y n + · · · + f1(x)y + f0(x)
y 2
= − fn(x) f3(x)
− · · · −
zn−2 z − f2(x) − f1(x)z − f0(x)z 2 ,
y por continuidad tenemos que en el punto (x, ∞), en el que z = 0,
podemos extender nuestro campo D si y sólo si
f3 = · · · = fn = 0.
4.12. Otros métodos para resolver EDL
4.12.1. Método de las potencias.
Dada una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes polinomios
o funciones analíticas
an(x)f (n + · · · + a1(x)f ′ + a0(x)f = g(x),

246 Tema 4. Campos tangentes lineales
donde g es polinómica o analítica, buscamos una posible solución analítica
en un cierto intervalo que contiene al origen
f(x) =
f ′ (x) =
f ′′ (x) =
∞
cnx n
n=0
∞
ncnx n−1 ,
n=1
∞
n(n − 1)cnx n−2 , . . .
n=2
y se sigue que de ser f solución, sus coeficientes quedarían determinados
al igualar los coeficientes de los dos desarrollos a los que da lugar la
ecuación.
Ejercicio 4.12.1 Determinar las soluciones en series de potencias de las siguientes
ecuaciones diferenciales:
y ′′ + xy ′ = −y , (x 2 + 1)y ′′ + xy ′ + xy = 0 , y ′′ + 8xy ′ − 4y = 0.
4.12.2. Método de Frobenius de las potencias.
Hay ecuaciones como
y ′′ + 2
x y′ − y = 0,
que no se pueden resolver por el método anterior, pues sus coeficientes
no son funciones analíticas en el origen, sin embargo observamos que
tiene la solución
e x
x
1 x2 x3
= (1 + x + + + · · · ),
x 2! 3!
esto nos sugiere, y en esto consiste el método de Frobenius, que tratemos
de buscar soluciones de la forma
f(x) = x r
∞
cnx n ∞
= cnx n+r ,
n=0
con r < 0. Para un estudio mas detallado, remitimos al lector a la p.213
del Derrick–Grossman.
n=0

4.12. Otros métodos para resolver EDL 247
4.12.3. Método de la transformada de Laplace.
Definición. Llamamos transformada de Laplace de una función f continua
de variable real a la función de variable compleja
L(f)(z) =
∞
0
e −tz f(t)dt.
Se demuestra que si existen c, a ≥ 0 tales que, |f(t)| < c e at , para
t ≥ 0, entonces L(f) existe para todo z ∈ C, con Re z > a. Además en
este caso recuperamos la función f mediante la Fórmula de inversión,
para F = L(f)
f(t) = 1
∞
F (u + iv) e
2πi −∞
(u+iv)t dv,
siendo u > a arbitrario. (Ver Kolmogorov–Fomin, p.492 ó Apostol,
p.476).
Las propiedades más importantes para nosotros de esta transformada
son, la linealidad:
L(af + bg) = aL(f) + bL(g),
y que transforma la derivación en una relación algebraica, es decir integrando
por partes
(4.19)
y por inducción
L(f ′ )(z) =
∞
e
0
−tz f ′ (t)dt
= zL(f)(z) − f(0),
L(f ′′ )(z) = zL(f ′ )(z) − f ′ (0)
= z 2 L(f)(z) − zf(0) − f ′ (0).
L(f (n )(z) = z n L(f)(z) − z n−1 f(0) − · · · − zf (n−2 (0) − f (n−1 (0).
Esto nos permite utilizar la transformada de Laplace para resolver
ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes,
anf (n + · · · + a1f ′ + a0f = g,
pues aplicando la transformada a ambos miembros,
anL(f (n ) + · · · + a1L(f ′ ) + a0L(f) = L(g),

248 Tema 4. Campos tangentes lineales
se obtienen polinomios en z, p de grado n y q de grado ≤ n − 1, donde
tales que
p(z) = anz n + · · · + a1z + a0,
q(z) + p(z)L(f) = L(g),
por tanto basta con buscar la función f cuya transformada es
(4.20) L(f) =
L(g) − q
.
p
Las propiedades de la transformada de Laplace permiten, mediante
cálculos directos, encontrar la transformada de ciertas funciones elementales
como las trigonométricas, exponenciales, potenciales y sus combinaciones
lineales. Esto permite resolver nuestro problema si nuestra
expresión (4.20), es alguna de ellas.
Remitimos al lector interesado al Derrick–Grossman, p.251 y ss.
No obstante veamos un ejemplo.
Ejercicio 4.12.2 Resolver la ecuación diferencial
y ′′ − 4y = 0,
con las condiciones iniciales y(0) = 1 e y ′ (0) = 2, por el método de la transformada
de Laplace.
4.13. La Ecuación de Bessel
La Ecuación de Bessel de orden p es
(4.21) x 2 y ′′ (x) + xy ′ (x) + (x 2 − p 2 )y(x) = 0.
Vamos a utilizar el Método de Frobenius para resolverla.
Supongamos que hay una solución del tipo
y(x) = x r
∞
cnx n ∞
= cnx r+n ,
n=0
n=0

entonces como
4.13. La Ecuación de Bessel 249
y ′ (x) =
y ′′ (x) =
∞
(r + n)cnx r+n−1 ,
n=0
∞
(r + n)(r + n − 1)cnx r+n−2 ,
n=0
tendremos que sustituyendo en la ecuación y definiendo c−2 = c−1 = 0
∞
(r + n)(r + n − 1)cnx r+n ∞
+ (r + n)cnx r+n +
n=0
=
n=0
n=0
∞
+ cnx r+n+2 ∞
−
n=0
p 2 cnx r+n =
∞
[(r + n)(r + n − 1)cn + (r + n)cn + cn−2 − p 2 cn]x r+n = 0,
n=0
lo cual implica que para cada n = 0, 1, . . .
y para n = 0
(r + n) 2 cn + cn−2 − p 2 cn = 0,
(r 2 − p 2 )c0 = −c−2 = 0,
por tanto r = ±p. Vamos a analizar el caso r = p. En este caso tenemos
que
(r 2 + 2rn + n 2 )cn + cn−2 = p 2 cn
n(2p + n)cn = −cn−2
cn = −cn−2
n(2p + n) ,
de donde, al ser c−1 = 0, se sigue que todos los coeficientes impares son
nulos y los coeficientes pares
para
c2n = −c2n−2
2n(2p + 2n) = k2nc 2(n−1) =
k2i =
n
i=1
(−1) (−1)
=
2i(2p + 2i) 4i(p + i) ,
⇒
⇒
k2ic0,

250 Tema 4. Campos tangentes lineales
por tanto
c2n =
n
(−1)
k2ic0 =
n
4nn!(p + 1) · · · (p + n) c0.
i=1
Ahora introduciendo la función Factorial 1
Π : (−1, ∞) → R, Π(t) =
e
(0,∞)
−x x t dm,
que es de clase infinito y verifica: Π(0) = 1, Π(−1/2) = √ π y que
Π(t) = t · Π(t − 1) para t > −1; por tanto Π(n) = n!, para n ∈ N (ver
Apuntes de Teoría de la medida), tenemos que
y nuestra función es
y(x) =
∞
c2n = (−1)n Π(p)
4 n n!Π(p + n) c0,
∞
c2nx
n=0
p+2n (−1)
= c0
n=0
nΠ(p) 4nn!Π(p + n) xp+2n ,
y para el caso en que p = m ∈ N y tomando c0 = 1/2 m m!, tenemos la
Función de Bessel de orden p = m
Jm(x) = 1
2 m m!
=
x
2
∞
n=0
m ∞
n=0
(−1) n m!
2 2n n!(m + n)! xm+2n
(−1) n
n!(m + n)!
x
2n ,
2
que están definidas para todo x ∈ R, como se puede demostrar utilizando
el criterio del cociente.
Las funciones de Bessel verifican la siguiente fórmula de recursión
xJn+1 = 2nJn − xJn−1,
1 Parece ser (ver Ivorra, pág.283) que el descubridor de esta función fue Euler,
siendo de Gauss la notación Π para ella y que es de Legendre la función Gamma,
Γ(t) = Π(t − 1),
que es la mas habitual.
Γ: (0, ∞) → (0, ∞), Γ(t) = e
(0,∞)
−x x t−1 dm,

y las siguientes igualdades
4.13. La Ecuación de Bessel 251
(x n Jn) ′ = x n Jn−1,
(x −n Jn) ′ = −x −n Jn+1.
Haciendo el cambio u = y √ x, tenemos que y es solución de la ecuación
de Bessel (4.21) si y sólo si u es solución de
y ′′
1 − 4p2
(x) + 1 +
4x2
y(x) = 0,
y comparándola con y ′′ + y = 0, tenemos por el Teorema de comparación
de Sturm (4.32), pág.241, que en el caso
1
< p ó p < −1
2 2
⇔ 1 + 1 − 4p2
4x 2
< 1,
las funciones A sen x + B cos x = C cos(x + α) —que son las soluciones
de y ′′ + y = 0—, tienen una raíz entre cada dos raíces de u —y por tanto
de la función Jp—, esto implica que en cada intervalo de longitud π, Jp
tiene a lo sumo una raíz.
Por otra parte para
− 1 1
< p <
2 2
⇔ 1 + 1 − 4p2
4x 2
> 1,
y el Teorema de comparación nos asegura que Jp tiene una raíz entre
cada dos raíces de las funciones A sen x + B cos x = A ′ cos(α + x), es
decir en cada intervalo de longitud π.
Por último
p = 1
1 − 4p2
⇔ 1 +
2 4x2 = 1,
y se tiene que J 1/2(x) = A sen x + B cos x, por lo que tiene las raíces a
distancia exactamente π. Ahora como J ′ 0 = −J1, tendremos que J0 tiene
una colección numerable de raíces, pues al ser p = 1 > 1/2, J1 tiene a lo
sumo una raíz en cada intervalo de longitud π. Denotaremos las raíces
positivas de J0, ordenadas de forma creciente por αn, pues al ser J0 par,
las negativas son −αn.
Esto a su vez implica que J1 = −J ′ 0 también tiene una colección
numerable de raíces, pues J ′ 0 se anula en cada intervalo (αn, αn+1). Y
con la fórmula de recursión se demuestra que todas las Jn tienen una
colección numerable de raíces.

252 Tema 4. Campos tangentes lineales
Consideremos para cada n la función
la cual es solución de la ecuación
yn(x) = J0(αnx),
y ′′ + 1
x y′ + α 2 ny = 0,
y son ortogonales para el producto interior
< f, g >=
pues, para n = m, yn e ym satisfacen
(α 2 n − α 2 m)
1
xynymdx = −
1
1
0
xfgdx,
xynα 2 mymdx +
1
0
1
0
0
= yn(xy
0
′′ m + y ′ 1
m)dx − (xy
0
′′
n + y ′ 1
n)ymdx
= yn(xy
0
′ m) ′ 1
dx − (xy
0
′ n) ′ ymdx
1
=
0
yn(xy ′ m) ′ 1
dx + y
0
′ nxy ′ 1
mdx−
−
0
xy ′ ny ′ 1
mdx −
0
(xy ′ n) ′ 1
ymdx =
= (xy
0
′ myn) ′ 1
dx − (xy
0
′ nym) ′ dx
= y ′ m(1)yn(1) − y ′ n(1)ym(1) = 0,
xα 2 nynymdx
para mas propiedades de estas funciones remitimos al lector interesado
al libro de Watson.
4.14. Algunas EDL de la Física
En esta lección proponemos algunos problemas extraídos del mundo
cotidiano, que se plantean en términos de ecuaciones diferenciales

4.14. Algunas EDL de la Física 253
lineales. Para ello usaremos los conceptos que habitualmente aparecen
en los libros elementales de física, y los aplicaremos para resolver problemas
“reales”. En particular estudiaremos problemas relacionados con
la electricidad, y es por ello que hacemos una breve introducción sobre
los fenómenos eléctricos antes de meternos en el problema de los circuitos
eléctricos. Volveremos sobre el tema de la electricidad en la lección
10.4, pág.760 y siguientes en las que estudiaremos la Electrostática, en
el contexto de la Ecuación de LaPlace y en el Tema 12, sobre Electromagnetismo,
pág.905, en el contexto de la Ecuación de ondas.
4.14.1. Problemas de mezclas.
Sean A y B dos tanques interconectados, en los que tenemos siempre
100 litros de una mezcla de agua con sal (salmuera), en el proceso que
describimos a continuación:
En el tanque A introducimos regularmente 6 litros de agua por minuto.
De A extraemos regularmente 8 litros de salmuera por minuto que
introducimos en B. De B extraemos regularmente 2 litros de salmuera
por minuto que enviamos a A y extraemos también regularmente 6 litros
de salmuera por minuto, que se envían a un embalse.
Si llamamos x1(t), x2(t) y x3(t) respectivamente, a la cantidad de sal
que hay en A, en B y en el embalse en el instante t, entonces se tiene el
sistema
x ′ 1(t) = 2x2(t) − 8x1(t)
100
, x ′ 2(t) = 8x1(t) − 8x2(t)
, x
100
′ 3(t) = 6x2(t)
100 ,
lo cual se sigue considerando que la cantidad de sal en el instante t + ɛ,
para un ɛ > 0 pequeño, en cualquiera de los tres lugares es la que había
en el instante t más la que entró durante el tiempo ɛ y menos la que
salió durante ese tiempo y se hace tender ɛ → 0.
4.14.2. Problemas de muelles.
Consideremos una masa m unida
a un muelle que se resiste tanto al
estiramiento como a la compresión,
sobre una superficie horizontal que no
produce fricción en la masa cuando
esta se desliza por ella y supongamos
Figura 4.1. Muelle
que la masa se mueve en los dos sentidos de una única dirección sobre

254 Tema 4. Campos tangentes lineales
un eje —que llamaremos x— y que en la posición de equilibrio la masa
está en la posición x = 0. Denotaremos con x(t) la posición de la masa
sobre este eje, en el instante t.
De acuerdo con la Ley de Hooke si la masa se desplaza una distancia
x de su posición de equilibrio, entonces el muelle ejerce sobre ella una
fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, es decir que existe
una constante k > 0, tal que
Fr = −kx.
Si suponemos que la masa está sujeta a un amortiguador, el cual produce
una fuerza sobre la masa que es proporcional (c > 0) a la velocidad
de esta, tendremos que sobre la masa actúa también una fuerza
Fa = −cx ′ .
Y si además tenemos un fuerza externa F que actúa sobre la masa
tendremos que la fuerza total que actúa sobre ella es
F + Fr + Fa,
y que si denotamos con x(t) la posición de la masa en el eje x, en el
instante t, tendremos por la Ley de Newton que
es decir
mx ′′ = F + Fr + Fa,
mx ′′ + cx ′ + kx = F.
Una situación aparentemente distinta surge cuando consideramos el
muelle colgando de un techo, en ese caso habría que considerar también
otra fuerza, la de gravedad y la ecuación sería
mx ′′ + cx ′ + kx − mg = F.
Ahora bien el muelle se estirará una cantidad s > 0 por la acción
de la gravedad sobre la masa y como en esa posición el muelle está en
equilibrio se sigue que
mg = −Fr = ks,
y por tanto para x = s + f, se tiene que f es solución de
mx ′′ + cx ′ + kx = F.

4.14. Algunas EDL de la Física 255
Observemos que además f = 0 sigue siendo la posición de equilibrio
de la masa.
a) Movimiento libre sin amortiguación. Es el caso en que
por tanto x satisface la ecuación
m, k > 0, y c = F = 0,
x ′′ + ω 2 0x = 0, para ω0 =
en cuyo caso las soluciones son de la forma
y tomando α ∈ [0, 2π) tal que
entonces
cos(α) =
x(t) = A · cos[ω0t] + B sen[ω0t],
A A
√ =
A2 + B2 C
k
m ,
, sen(α) = −B
C ,
x(t) = C[cos(α) cos(ω0t) − sen(α) sen(ω0t)]
= C · cos(ω0t + α),
el cual es un movimiento periódico, con
amplitud = C, periodo = 2π
ω0
, frecuencia = ω0
2π .
b) Movimiento libre amortiguado. Es el correspondiente a
m, c, k > 0 y F = 0, es decir mx ′′ + cx ′ + kx = 0.
En este caso tenemos que las raíces del polinomio
para p = c/2m son
λ1 = −p +
λ 2 + 2pλ + ω 2 0,
p2 − ω2 0 , λ2
= −p − p2 − ω2 0 ,

256 Tema 4. Campos tangentes lineales
y las soluciones dependen del signo de
es decir de c 2 − 4km.
p 2 − ω 2 0 = c2 k
−
4m2 m = c2 − 4km
4m2 ,
Primer Caso: c 2 > 4km, es decir p > ω0. En este caso λ1 y λ2 son
reales distintas y negativas, por tanto la solución es de la forma
x(t) = Ae λ1t + Be λ2t ,
para la que x(t) → 0 cuando t → ∞, presentando a lo sumo una oscilación.
Segundo caso: c 2 = 4km es decir, p = ω0. Ahora λ1 = λ2 = −p y las
soluciones son
x(t) = (A + Bt)e −pt ,
que como antes tiende a la posición de equilibrio cuando t → ∞ con a
lo sumo una oscilación.
Tercer caso: c2 < 4km es decir, p < ω0. En este caso λ1 y λ2 son
complejas conjugadas
λ1 = −p + iω1 , λ2 = −p − iω1, para ω1 = ω2 0 − p2 ,
y las soluciones son
x(t) = A Re (e tλ1 ) + B Im (e tλ1 ),
= e −pt [A cos(tω1) + B sen(tω1)],
= C e −pt cos(tω1 + α),
para A, B ∈ R, C = √ A 2 + B 2 , α ∈ [0, 2π) y
sen α = −B
C
, cos α = A
C ,
las cuales representan oscilaciones, amortiguadas exponencialmente, en
torno al punto de equilibrio. Aunque no es un movimiento periódico tiene
frecuencia —número de oscilaciones por segundo—, que vale
ω1
2π =
ω2 0 − (c/2m) 2
,
2π

4.14. Algunas EDL de la Física 257
que es menor que la frecuencia del mismo muelle sin el amortiguador
ω0
2π ,
y tiende a la posición de equilibrio cuando t → ∞.
c) Movimiento forzado sin amortiguación. Es el correspondiente a
m, k > 0, F = 0, c = 0.
Nosotros estudiaremos el caso particular en que
F (t) = F0 cos(ωt),
por tanto nuestra ecuación es de la forma
mx ′′ + kx = F0 cos(ωt),
cuyas soluciones son suma de una solución particular de esta ecuación y
una de la ecuación homogénea, que ya sabemos es de la forma
para
y(t) = A · cos(ω0t) + B · sen(ω0t) = C · cos(ω0t + α),
ω0 =
k
m .
Para encontrar una solución particular distinguiremos dos casos:
Primer caso: Que ω = ω0.
Buscamos a ∈ R, para el que
z(t) = a · cos(ωt),
sea solución de nuestra ecuación. Entonces
por tanto
z ′ = −a · ω sen(ωt),
z ′′ = −a · ω 2 cos(ωt),
−maω 2 cos(ωt) + ka cos(ωt) = F0 cos(ωt),

258 Tema 4. Campos tangentes lineales
por lo tanto
−maω 2 + ka = F0 ⇒ a = a(ω) =
y nuestra solución general es
x(t) = y(t) + z(t),
F0 F0
=
k − mω2 m(ω2 0 − ω2 ) ,
= A · cos(ω0t) + B · sen(ω0t) + a(ω) · cos(ωt),
= C · cos(ω0t + α) + a(ω) · cos(ωt).
Antes de analizar el otro caso abrimos un paréntesis para comentar
dos curiosos fenómenos.
El fenómeno de la pulsación. Consideremos la solución particular
x(0) = 2a(ω), x ′ (0) = 0. En este caso tenemos que A = a(ω) y B = 0 y
aplicando que
la solución es
donde
2 cos β cos γ = cos(β − γ) + cos(β + γ),
x(t) = a(ω)[cos(ωt) + cos(ω0t)],
= 2a(ω) cos (ω0 − ω)t
2
= A(t) cos (ω0 + ω)t
,
2
· cos (ω0 + ω)t
,
2
2F0
A(t) =
m(ω2 0 − ω2 ) cos (ω0 − ω)t
,
2
y si ω0 ω y por tanto ω0−ω es pequeño en
comparación con ω0 + ω, tendremos que en
x(t), A(t) varía lentamente en comparación
con
Figura 4.2. Pulsación
cos (ω0 + ω)t
,
2
que varía rápidamente. Una oscilación como esta con una amplitud periódica
que varía lentamente, presenta el fenómeno de la pulsación, que
consiste en que el movimiento oscilatorio aparece y desaparece con una
frecuencia de
ω0 − ω
2π .

4.14. Algunas EDL de la Física 259
Nota 4.35 Cuando una onda sonora alcanza un oído, produce en el
tímpano una variación de la presión del aire. Si
y1(t) = A · cos(ω1t) , y2(t) = A · cos(ω2t),
son las contribuciones respectivas a la presión que se produce en el
tímpano por dos diapasones, entonces la presión total que el tímpano
recibe viene dada por la superposición de ambas
y(t) = y1(t) + y2(t) = A · [cos(ω1t) + cos(ω2t)].
Si las frecuencias f1 = ω1/2π y f2 = ω2/2π de los diapasones difieren
en mas de un 6 % de su valor promedio, entonces el oído distingue las
dos notas con una pequeña diferencia de tono y “prefiere” la ecuación
anterior.
Sin embargo si la diferencia es mas pequeña, entonces el oído no
reconoce las dos notas y oye un sonido con una frecuencia media f =
(f1+f2)/2 cuya amplitud varía, no distinguiendo valores positivos de negativos
en y(t) (los físicos dicen que el oído actúa como un detector de ley
cuadrática), aunque oye cómo el sonido desaparece y vuelve a aparecer
a intervalos regulares de frecuencia (ω1 − ω2)/2π, llamada la frecuencia
de pulsación. En este caso el oído “prefiere” la ecuación (aunque sea la
misma)
y(t) =
2A cos (ω1
− ω2)t
2
· cos (ω1 + ω2)t
.
2
Remitimos al lector interesado en esto a la página 31 del tomo 3 del
Berkeley Phisics Course. Ed.Reverte.
El fenómeno de la resonancia. Nuestra solución general es para
ω = ω0
x(t) = y(t) + z(t) = C · cos(ω0t + α) + a(ω) · cos(ωt),
para la cual se tiene otro curioso fenómeno. Cuanto
mas próxima sea la frecuencia de la fuerza externa
a la frecuencia natural del muelle, es decir ω de ω0,
mayores serán las oscilaciones de nuestra solución,
pues estarán dominadas por a(ω) que se aproxima
a ∞. En el caso en que ω = ω0, decimos que
la fuerza externa entra en resonancia con nuestro
oscilador. A continuación analizamos este caso.
Figura 4.3. Resonancia

260 Tema 4. Campos tangentes lineales
Segundo caso: Que ω = ω0.
En este caso nuestra ecuación es
x ′′ + ω 2 0x = F0
m cos(ω0t),
y para encontrar una solución particular, como sabemos que no puede
ser de la forma a cos(ω0t), tendremos que buscar entre las de otro tipo
mas general. Lo intentamos con z(t) = at sen(ω0t) y hay solución para
a = F0/2mω0, por lo que las soluciones son de la forma
x(t) = y(t) + z(t) = C cos(ω0t + α) + F0
t sen(ω0t),
2mω0
y las oscilaciones se hacen cada vez mayores debido a que z(t) tiene
oscilaciones que crecen linealmente con el tiempo.
Este es el caso por ejemplo de un coche parado al que empujamos
hacia abajo y arriba en un vaivén que va al mismo ritmo que el coche,
en ese caso el coche sube y baja cada vez mas. También es el caso de un
niño que está columpiándose y se ayuda a sí mismo —u otro le empuja—
para balancearse mas. Para que sea efectivo el empujón debe estar en
resonancia con la frecuencia natural del columpio (con el niño sentado).
En la práctica cualquier sistema mecánico con poca amortiguación
puede ser destruido debido a vibraciones externas, si estas están en resonancia
con el sistema. Por ejemplo hay cantantes de opera que han roto
una copa de cristal al cantar, porque el sonido tenía la frecuencia natural
de la copa. En 1831 en Broughton (Inglaterra), una columna
de soldados que pasaba por un puente marcando el paso, hizo que este
se desplomara, probablemente porque el ritmo de sus pisadas entró en
resonancia con alguna de las frecuencias naturales de la estructura del
puente. Por eso actualmente se tiene la costumbre de romper el ritmo
cuando se cruza un puente.
Por esta razón una de las cosas mas importantes en el diseño de
estructuras, es encontrar sus frecuencias naturales y eliminarlas o cambiarlas
en función del uso que vaya a tener esa estructura, para que sea
difícil entrar en resonancia con ellas.
d) Movimiento forzado con amortiguación. Corresponde a
m, k, c > 0, F = 0,
nosotros estudiaremos el caso particular en que F (t) = F0 cos(ωt) por
tanto nuestra ecuación es de la forma
mx ′′ + cx ′ + kx = F0 cos(ωt),

4.14. Algunas EDL de la Física 261
la cual tiene una solución general x = y + z, donde y es la solución
general de la homogénea, que hemos estudiado en b), y que dependía
de la relación entre c y √ 4km. En cualquier caso y(t) → 0, cuando
t → ∞ y por tanto el comportamiento de x con el tiempo, depende del
de la solución particular z. Busquemos entonces esta solución particular
intentándolo con
z(t) = A cos(ωt) + B sen(ωt),
haciendo cuentas vemos que la solución es de la forma
z(t) =
ω2 0F0
k (ω2 0 − ω2 ) 2 + 4p2 cos(ωt + α),
ω2 por tanto si nuestro muelle tiene amortiguación c > 0, las oscilaciones
están acotadas por
g(ω) =
ω2 0F0
k (ω2 0 − ω2 ) 2 + 4p2 ,
ω2 y la fuerza externa entra en resonancia con el sistema, cuando ω hace
máxima a g(ω). Es fácil demostrar que este valor se alcanza en
ω1 = ω2 0 − 2p2 ,
siempre que ω2 0 ≥ 2p2 , en cuyo caso la frecuencia de resonancia es
ω1
2π =
(k/m) − (c2 /2m2 ,
2π
en caso contrario (ω 2 0 < 2p 2 ), no existe frecuencia de resonancia.
Para un análisis de esta frecuencia de resonancia, que no siempre
existe, remitimos al lector interesado a la página 207 del libro de Ross,
S.L.
e) Movimiento de dos muelles. Por último vamos a considerar el
problema del movimiento de dos muelles unidos:
Sobre una superficie horizontal y lisa tenemos dos masas m1 y m2
unidas con sendos muelles —de un punto fijo P a m1 y de m1 a m2—,
de tal forma que los centros de gravedad de las masas y P están en línea
recta horizontal.
Sean k1 y k2, respectivamente, las constantes de los muelles.

262 Tema 4. Campos tangentes lineales
Representemos con x1(t) el desplazamiento de m1, respecto de su
posición de equilibrio, en el instante t, y con x2(t) lo mismo pero de m2.
En estas condiciones se plantea el sistema de ecuaciones diferenciales
lineales
m1x ′′
1 = −k1x1 + k2(x2 − x1),
m2x ′′
2 = −k2(x2 − x1).
4.14.3. Problemas de circuitos eléctricos.
Una propiedad fundamental de la carga eléctrica es su existencia en
dos variedades que por tradición se llaman positiva y negativa y que
están caracterizadas por el hecho de atraerse las de distinta clase y repelerse
las de la misma. Otra propiedad fundamental de la carga eléctrica
es que se puede medir y sorprendentemente aparece únicamente en cantidades
múltiplos de una determinada carga, a la que se llama electrón
(e), el cual tiene carga negativa. Otras partículas elementales como el
protón ó el positrón son positivas pero tienen la misma carga que el
electrón. La unidad habitual para la carga eléctrica es el culombio que
es aproximadamente 6, 3 × 10 18 e. Nuestro universo parece una mezcla
equilibrada de cargas eléctricas positivas y negativas y esto nos lleva a
otra propiedad fundamental de la carga eléctrica, que suele enunciarse
como Ley de la conservación de la carga:
“la carga total —suma de la positiva y la negativa—, de un sistema
aislado —en el que la materia no puede atravesar sus límites—, es constante”.
Cuando un alambre de cobre se mantiene aislado, sus electrones libres
se desplazan por entre los átomos, sin salirse del material, pero si
conectamos ese alambre a los polos de una batería, los electrones libres se
desplazan hacia el polo positivo, “atraídos por una fuerza” que depende
de la batería, que se llama fuerza electromotriz, que se mide en voltios
(V) que denotaremos por E y que representa la cantidad de energía
eléctrica por unidad de carga. Esta fuerza provoca el desplazamiento de
los electrones, los cuales llevan una carga que denotaremos con Q, que se
mide en coulombios (C). A la variación de carga por unidad de tiempo,
I = Q ′ , en este desplazamiento, se llama corriente eléctrica y se mide en
amperios (A).
Por un dipolo entenderemos un mecanismo eléctrico con dos polos (a)
y (b). Por uno de los cuales llega la corriente y por el otro sale. En general

4.14. Algunas EDL de la Física 263
denotaremos un dipolo con (ab). Los dipolos que aquí consideramos son:
baterías, resistencias, inductancias y condensadores.
Por un circuito eléctrico entenderemos
una serie de dipolos unidos por
sus polos, a los que llamaremos nudos
del circuito. Puede ser simple si
en cada nudo concurren dos dipolos,
o compuesto en caso contrario.
F
R
C
Durante el funcionamiento del
circuito eléctrico circula una corrien-
L
Figura 4.4. Circuito eléctrico
te eléctrica que pasa por todos los dipolos, producida por una fuerza
electromotriz. El estado eléctrico de cada dipolo (ab) queda caracterizado
en cada instante t por dos cantidades:
i.- La intensidad de corriente Iab = Q ′ ab que va del polo a al b.
ii.- La caída de tensión (ó de voltaje) Eab.
Si la corriente va de a hacia b, entonces Iab es positiva, en caso
contrario es negativa. Por su parte la caída de tensión está dada por
Va(t) − Vb(t), la diferencia de los potenciales correspondientes a los polos
a y b. Por tanto se tiene que
Iab = −Iba , Eab = −Eba.
Caídas de tensión e intensidad de corriente están relacionadas dependiendo
del tipo de dipolo del que se trate:
Baterías.- Son dipolos que generan la fuerza electromotriz E y por
tanto la corriente eléctrica que circula. Su caída de tensión es −E.
Resistencias.- Son dipolos que se oponen a la corriente y disipan
energía en forma de calor. Existe una constante R, que se mide en Ohmios
(Ω), de tal manera que la caída de tensión verifica la llamada Ley de
Ohm
E(t) = RI(t).
Inductancias.- Son dipolos que se oponen a cualquier cambio en la
corriente. Para ellos existe una constante L, que se mide en Henris (H),
de tal manera que
E(t) = LI ′ (t).
En el caso de que dos inductancias 1 = (ab) y 2 = (cd) estén próximas,
aunque no formen parte del mismo circuito, existe un coeficiente de

264 Tema 4. Campos tangentes lineales
inducción M, tal que en vez de la ecuación anterior se tiene el siguiente
sistema
E1(t) = L1I ′ 1(t) + MI ′ 2(t),
E2(t) = MI ′ 1 + L2I ′ 2(t).
Condensadores.- Son dipolos que acumulan carga, al hacerlo se
resisten al flujo de carga produciendo una caída de tensión proporcional
a la carga
Q(t) = cE(t),
donde c es una constante que se mide en Faradays (F).
A parte de estas relaciones se tiene que en un circuito eléctrico son
válidas las dos leyes siguientes, llamadas:
Primera Ley de Kirchhoff.- La suma de caídas de voltaje alrededor
de cada circuito cerrado es cero.
Es decir si en un circuito tenemos dipolos (ai, ai+1), para i = 1, . . . , n,
y an = a1, entonces
E12 + E23 + · · · + En1 = 0,
lo cual es una consecuencia de ser la caída de tensión una diferencia de
potencial.
Segunda Ley de Kirchhoff.- La suma de las corrientes que entran
en cualquier nodo del circuito es cero.
Es decir que si en un circuito tenemos dipolos (ai, a0), para i =
1, . . . , n, es decir con un nudo a0 común, entonces
I10 = I02 + · · · + I0n,
lo cual significa que la corriente que llega a un nudo es igual a la que
sale.
Ejercicio 4.14.1 Consideremos un circuito con una fuente de alimentación que
genera una fuerza electromotriz constante de E = 1000 voltios, una resistencia
de R = 100Ω, una inductancia de L = 1H y un condensador de C = 10 −4 F.
Suponiendo que en el condensador la carga y la intensidad de corriente fuesen
nulas en el instante 0, hallar la intensidad de corriente en todo momento.

4.14. Algunas EDL de la Física 265
4.14.4. Las leyes de Kepler.
Consideremos una partícula de
masa m en el plano con coordenadas
(x, y), cuya posición viene determinada
por
X(t) = r(t)e1(t),
e (t)
e (t) 1
2
q(t)
X(t)
Figura 4.5. Partícula en movimiento
donde e1(t) = (cos θ(t), sen θ(t)) y θ(t) es el ángulo (respecto del semieje
x > 0), en el que se encuentra la partícula. Si definimos
e2(t) = (− sen θ(t), cos θ(t)),
tendremos que e1 y e2 son ortogonales en todo instante y satisfacen las
relaciones
e ′ 1 = θ ′ e2 , e ′ 2 = −θ ′ e1.
La velocidad de la partícula m en cada instante t vendrá dada por
y su aceleración por
V (t) = X ′ (t) = r ′ (t)e1(t) + r(t)θ ′ (t)e2(t),
A(t) = V ′ (t) = X ′′ (t),
= [r ′′ − r(θ ′ ) 2 ]e1 + [2r ′ θ ′ + rθ ′′ ]e2.
Sea ahora F = f1e1 + f2e2 la fuerza que actúa sobre la partícula m,
entonces por la segunda ley de Newton tendremos que F = mA, es decir
(4.22)
m[r ′′ − r(θ ′ ) 2 ] = f1,
m[2r ′ θ ′ + rθ ′′ ] = f2.
Supongamos ahora que en el origen del plano hay otra partícula, que
esta es la única que ejerce una fuerza sobre m y que esta fuerza tiene la
dirección del segmento que las une. En tal caso tendremos que f2 = 0 y
por tanto
(4.23)
2r ′ θ ′ + rθ ′′ = 0, ⇒ 2rr ′ θ ′ + r 2 θ ′′ = 0,
⇒ [r 2 θ ′ ] ′ = 0
⇒ r 2 θ ′ = w, (=cte.)

266 Tema 4. Campos tangentes lineales
Supongamos que w > 0, en tal caso θ es creciente y establece un
difeomorfismo entre el tiempo y el ángulo que forma la partícula con el
eje x en ese tiempo. Sea a(t) el área recorrida por m desde X(0) hasta
X(t), vista desde el origen, es decir
(4.24) a(t) = 1
2
θ(t)
0
ρ 2 (θ)dθ,
donde ρ ◦ θ = r, entonces se tiene por (4.23) que
y se sigue que
a ′ (t) = 1
2 r2 θ ′ = w
2 ,
(4.25) a(t1) − a(t0) = w
2 (t1 − t0),
Segunda ley de Kepler.- “El radio vector del sol a un planeta
recorre áreas iguales en tiempos iguales”.
X(t'+r)
X(t')
X(t+r)
X(t)
Figura 4.6. Segunda Ley de Kepler
Si ahora suponemos de acuerdo con la ley de la gravedad de Newton,
que
F = − GMm
r2 e1,
tendremos por (4.22) que para k = GM
(4.26) r ′′ − rθ ′2 = − k
,
r2

4.14. Algunas EDL de la Física 267
Definamos ahora z = 1/r, entonces por (4.23)
r ′ = dr
dt
r ′′ = dr′
dθ
por lo que (4.26) queda de la forma
que es lineal y cuya solución es
1 dθ 1 dz
= −dz = −dz = −w
dt z2 dθ dt z2 dθ ,
dθ
dt = −w d2z dθ2 θ′ = −w 2 z 2 d2z ,
dθ2 d2z k
+ z = ,
dθ2 w2 z = B1 sen θ + B2 cos θ + k
,
w2 = B cos(θ + α) + k
,
w2 donde B = B 2 1 + B2 2 , B1/B = − sen α y B2/B = cos α.
Ahora si giramos el plano para
que α = 0, tendremos que para A =
w 2 /k y e = Bw 2 /k
r = ρ(θ) =
A
1 + e cos θ ,
Figura 4.7. 1 a que es la ecuación polar de una cóni-
Ley de Kepler
ca, la cual es una elipse una hipérbola
ó una parábola según sea e < 1, e > 1
ó e = 1. Así, como los planetas se mantienen en el sistema solar —basta
observar que el planeta vuelve a una posición dada después de un tiempo,
que es el año del planeta—, se tiene la:
Primera ley de Kepler.- “Las órbitas de los planetas son elipses
y el sol está en uno de sus focos”.
Se puede ver sin dificultad (ver la pag.131 del Simmons y nosotros
lo veremos más adelante en la pág.??), que la excentricidad vale
e =
1 + 2w2
E,
k2 donde E es la energía total del sistema, que es constante a lo largo
de la órbita (ver la pág.404 y siguientes) —esto es el principio de la
d
b
a
a

268 Tema 4. Campos tangentes lineales
conservación de la energía—, y por tanto la órbita de m es una elipse una
parábola ó una hipérbola, según sea la energía negativa, nula ó positiva.
Consideremos ahora el caso en que la órbita es una elipse de la forma
En tal caso como
tendremos que
por lo que
y por tanto
x 2
a
2 + y2
ρ(0) = A
1 + e
= 1, (ver Fig.4.7)
b2 ρ(π) + ρ(0)
a =
2
ρ(π) − ρ(0)
d =
2
1 − e 2 = 1 − d2
a
, ρ(π) = A
1 − e ,
= A
,
1 − e2 = Ae
= ae,
1 − e2 ,
a2 2 = b2
a = Aa2
b 2 ⇒ b2 = Aa.
De aquí se sigue que si T es el tiempo que m tarda en dar una vuelta
a lo largo de su órbita, entonces como el área de la elipse es πab se sigue
de (4.25) que
πab = wT
2 ⇒ T 2 = 4π2Aa3 w2 y puesto que k = GM, tendremos la
4π2
=
k a3 ,
Tercera ley de Kepler.- “Los cuadrados de los períodos de revolución
de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias
medias”.
Ejercicio 4.14.2 Demostrar que las tres leyes de Kepler, implican que m es
atraída hacia el sol con una fuerza cuya magnitud es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia entre m y el sol. 2
2 Este fue el descubrimiento fundamental de Newton, porque a partir de él propuso
su ley de la gravedad e investigó sus consecuencias.

4.14. Algunas EDL de la Física 269
Ejercicio 4.14.3 Demostrar que la velocidad V de un planeta en cualquier
punto de su órbita está dada, en módulo, por
v 2
2 1
= k − .
r a
Ejercicio 4.14.4 Supongamos que la tierra explota en fragmentos que salen
disparados a la misma velocidad (con respecto al sol) en diferentes direcciones
y en órbitas propias. Demostrar que todos los fragmentos —sin contar los
fragmentos que van hacia el sol— se reunirán posteriormente en el mismo
punto si la velocidad no es muy alta. Calcular esa velocidad a partir de la cual
todos los fragmentos se van para siempre...

270 Tema 4. Campos tangentes lineales
4.15. Ejercicios resueltos
Ejercicio 4.6.2.- a) Demostrar que
det[e tA ] = e t(traz A) .
b) Calcular el volumen en el que se transforma el cubo definido por 0 y los
vectores de la base
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
por el flujo del sistema lineal
φ ′ ⎛
0 3
⎞
1
= ⎝1
a 10 ⎠ · φ,
8 0 −a
en el instante t = 2.
c) La divergencia de un campo D = fi∂i es
div D =
n ∂fi
.
∂xi
Demostrar el Teorema de Liouville para campos lineales:
“La velocidad de dilatación de un volumen B por el flujo Xt de un campo
D en el instante 0, es la integral de la divergencia de D en el volumen”.
Y demostrar que si la div D = 0 entonces el flujo conserva volúmenes.
Indicación.- c) La medida de Lebesgue m es la única medida definida en los
borelianos del espacio, que es invariante por traslaciones, en el sentido de que cualquier
otra es de la forma µ = cm, para c ≥ 0. Si nosotros tenemos una transformación lineal
F : R 3 → R 3 , entonces podemos definir la medida en los borelianos de este espacio
µ(B) = m[F (B)], la cual es invariante por traslaciones, por tanto existe c ≥ 0 tal
que para todo boreliano B, m[F (B)] = cm(B). En particular para Q el cubo unidad
tendremos que m(Q) = 1 y m[F (Q)] = det(F ) = c, por lo que para todo B
i=1
m[F (B)] = det(F )m(B),
y si la ecuación que define D es φ ′ = Aφ, entonces
div(D) = traz(A),
y cada boreliano B se transforma —por la acción del grupo— en un boreliano con
volumen
V (t) = m[Xt(B)] = det(Xt) · m(B) = det(e tA ) · m(B) = e t traz A ·m(B)
y V ′ (0) = traz(A)m(B).

4.15. Ejercicios resueltos 271
Nota 4.36 En general el teorema de Liouville se sigue de que
V (t) = ω = X ∗ t ω
Xt(B)
V ′
Xtω − ω
(0) = lím
=
B t
= div(D)ω.
Ejercicio 4.11.1.- Consideremos la ecuación diferencial
B
B
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0.
B
D L ω
a) Demostrar que si f y g son soluciones suyas, la función Wronskiano
satisface la ecuación
y por tanto vale
W(x) = W[f, g](x) = fg ′ − gf ′ ,
W ′ (x) + p(x)W(x) = 0,
W(x) = W(a) · e − x a p(t)dt .
b) Demostrar que si f es una solución suya —que no se anula en un subintervalo
J de I—, podemos encontrar otra solución g de la ecuación en J,
resolviendo la ecuación diferencial lineal de primer orden
g ′ (x) = f ′ (x)
f(x) g(x) + W(a) · e− x
a p(t)dt
f(x)
Resolver esta ecuación y dar la expresión general de las soluciones de la
ecuación inicial.
Indicación.- La solución general es
x dt
Af(x) + Bf(x)
a f 2 (t) exp( t .
a p(s)ds)
Ejercicio 4.11.3.- Sean f y g soluciones independientes de
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0,
demostrar que f tiene un cero entre cada dos ceros de g.
Indicación.- Utilícese que W[f, g] no se anula en ningún punto y por tanto es
constante en signo.
Ejercicio 4.11.4.- Consideremos la ecuación de Riccati y ′ + R(x)y 2 + P (x)y +
Q(x) = 0. Demuéstrese que:
.

272 Tema 4. Campos tangentes lineales
a) Si y1 es una solución, entonces y es cualquier otra solución si y sólo si
y − y1 = 1/u donde u es solución de la ecuación diferencial lineal
u ′ = (2Ry1 + P )u + R.
b) Si y1 e y2 son soluciones, entonces cualquier otra solución y satisface,
para una constante c
y − y2 R(y1−y2)
= e ·c.
y − y1
c) Si y1, y2, y3 son soluciones, entonces cualquier otra solución y está definida
para cada constante k por
y − y2
·
y − y1
y3 − y1
= k.
y3 − y2
Solución.- b) Si y1 e y2 son soluciones, entonces por (a) cualquier otra solución
y define u1 = 1/(y − y1) y u2 = 1/(y − y2) soluciones respectivamente de,
u ′ 1 = (2Ry1 + P )u1 + R , u ′ 2 = (2Ry2 + P )u2 + R,
de donde se sigue que
′
u1
=
u2
u′ 1u2 − u1u ′ 2
u2 2
= (2Ry1 + P )u1u2 + Ru2 − (2Ry2 + P )u1u2 − Ru1
u 2 2
= 2R(y1 − y2) u1
u2
+ R u1 − u2
u 2 2
= R(y1 − y2) u1
,
u2
lo cual implica que
y − y2
=
y − y1
u1
R(y1−y2)
= e
·A.
u2
Ejercicio 4.12.1.- Determinar las soluciones en series de potencias de las siguientes
ecuaciones diferenciales:
y ′′ + xy ′ = −y , (x 2 + 1)y ′′ + xy ′ + xy = 0 , y ′′ + 8xy ′ − 4y = 0.
Solución.- Ver las páginas 208 − 210 del Derrick–Grossman.
Ejercicio 4.12.2.- Resolver la ecuación diferencial y ′′ − 4y = 0, con las condiciones
iniciales y(0) = 1 e y ′ (0) = 2, por el método de la transformada de
Laplace.
Solución.- Como en general se tiene que
L(f ′ ∞
)(z) = e
0
−tz f ′ (t)dt = zL(f)(z) − f(0)
L(f ′′ )(z) = zL(f ′ )(z) − f ′ (0) = z 2 L(f)(z) − zf(0) − f ′ (0)

en este caso tendremos que
4.15. Ejercicios resueltos 273
4L(y)(z) = [z 2 L(y)(z) − zy(0) − y ′ (0)]
L(y)(z) =
z + 2
z2 1
=
− 4 z − 2 ,
siendo esta la transformada de e 2t . Ahora se comprueba que esta es solución de
nuestra ecuación.

274 Tema 4. Campos tangentes lineales
4.16. Bibliografía y comentarios
Los libros consultados en la elaboración de este tema han sido:
Apostol, T.M.: “Análisis matemático”. Ed. Reverté, 1972.
Arnold, V.I.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, Moscou, 1974.
Birkhoff, Garret and Rota, Gian–Carlo: “Ordinary differential equations”.
John Wiley and Sons, 1978.
Coddington and Levinson: “Theory of ordinary Differential Equations”. Mc-
Graw–Hill, 1955.
Crawford, F.S.Jr.: “Ondas. Berkeley Phisics course. Vol.3 ”. Ed. Reverté. 1979.
Derrick, W.R. and Grossman, S.J.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”.
Fondo Educativo Interamericano, 1984.
Edwards, C.H.Jr. and Penney,D.E.: “Ecuaciones diferenciales elementales con
aplicaciones”. Prentice–Hall Hispanoamericana, 1986.
Flett: “Differential analysis”, Cambridge Univ. Press, 1980.
Hartman, Ph.: “Ordinary differential equations”. Ed. Birkhauser. 1982.
Hurewicz, W.: “Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias”. Ediciones RIALP, 1966.
Muñoz Diaz, J.: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982.
Ross, S.L.: “Ecuaciones diferenciales”. Ed. Interamericana. 1982.
Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas”. Ed.
McGraw–Hill, 1977.
Smale, S. and Hirsch, M.W.: “Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y
álgebra lineal”. Alianza Univ., 1983.
Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacio-
nal, 1983.
Watson,G.N.: “A treatise on the Theory of Bessel Functions”. Cambridge Univ.
Press, 1944.
La Ecuación de Bessel (ver la pág.248) es una de las mas importantes
de la física matemática. Daniel Bernoulli (1700–1782) —el mas
distinguido matemático de la segunda generación de la célebre familia
suiza—, fue el primero en estudiar funciones de Bessel particulares, en
relación con el movimiento oscilatorio de una cadena colgante. El físico–
matemático suizo, Leonhard Euler también se encontró con ellas estudiando
el movimiento de una membrana tensa (nosotros la estudiaremos
en este contexto en la pág.877). Mas tarde en 1817, las usó el astrónomo
alemán Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846), en el estudio del
movimiento de tres cuerpos que se mueven por mutua atracción. Desde

4.16. Bibliografía y comentarios 275
entonces las funciones de Bessel se han encontrado al estudiar problemas
de elasticidad, del movimiento de fluidos, de la teoría del potencial,
de la difusión y propagación de ondas, etc. Remitimos al lector a la
lección de la Ecuación de ondas bidimensional 11.2, pág.874.
El siguiente comentario está extraído de la página 292 del libro de
Edwards–Penney:
“ Las transformadas de Laplace tienen una interesante historia. La integral
que define la transformada de Laplace probablemente haya aparecido
primero en un trabajo de Euler. Se acostumbra en Matemáticas dar a una
técnica o teorema el nombre de la siguiente persona después de Euler que lo
haya descubierto (de no ser así, habría varios centenares de ejemplos diferentes
que se llamarían “Teorema de Euler”). En este caso la siguiente persona fue
el matemático francés Pierre Simon de Laplace (1749–1827) que empleo
tales integrales en sus trabajos sobre Teoría de la probabilidad. La técnica
operacional que lleva su nombre para la resolución de ecuaciones diferenciales
y que se basa en la transformada de Laplace no fue explotada por el matemático
francés. De hecho, esta fue descubierta y popularizada por ingenieros
prácticos (en particular por el ingeniero electricista inglés Oliver Heaviside
(1850–1925)). Estas técnicas fueron exitosa y ampliamente aplicadas antes de
que fueran justificadas rigurosamente y alrededor del comienzo del presente
siglo su validez fue objeto de considerables controversias”.
El siguiente comentario está extraído de la página 128 del F. Simmons:
“ Cuando el astrónomo danés Tycho Brahe murió en 1601, su ayudante
Johannes Kepler heredó numerosos datos en bruto sobre las posiciones de
los planetas en diferentes épocas. Kepler trabajó incansablemente con ese
material durante 20 años y, al fin, logró extraer sus tres leyes, hermosas y
simples, de los movimientos planetarios, que eran el clímax de miles de años
de astronomía observacional pura”.
Fin del Tema 4

276 Tema 4. Campos tangentes lineales

Tema 5
Estabilidad
5.1. Introducción
Dado un campo tangente completo D ∈ Dk(U), en un abierto U de
E, sabemos que su flujo X : R × U → U es de clase k, lo cual implica
que la solución Xp, pasando por un punto p ∈ U, dista poco de Xq —la
que pasa por q—, siempre que p y q estén próximos y para valores del
tiempo próximos a 0.
La cuestión que ahora nos ocupa es: ¿Bajo qué condiciones dos soluciones
que en un instante determinado estuvieron “próximas”, se mantienen
“próximas” a lo largo del tiempo?.
En este tema estudiaremos este problema ciñéndonos particularmente
a dos aspectos del mismo: El primero corresponde al estudio de las
soluciones que pasan cerca de una solución constante en el tiempo, es
decir de un punto singular del campo tangente. Es el caso del péndulo
—estudiado en la pág.48—, en la posición θ = 0, z = 0. El segundo
corresponde al estudio de las soluciones que pasan cerca de una solución
periódica, como ocurre con el péndulo para casi todos los puntos (θ, z).
277

278 Tema 5. Estabilidad
5.2. Linealización en un punto singular
Sea U abierto de E en el que consideramos una base ei y su sistema
de coordenadas lineales asociado xi.
Consideremos un campo tangente D ∈ D(U),
D = ∂
fi ,
∂xi
y sea X : WD → U el grupo uniparamétrico de D. En estos términos se
tiene que para cada p ∈ E = R n y t ∈ I(p)
y por tanto
(5.1)
∂Xi
∂xj
Xi(t, p) = pi +
t
(t, p) = δij +
0
t
0
n ∂fi
k=1
∂xk
fi[X(s, p)]ds,
[X(s, p)] ∂Xk
(s, p)ds.
∂xj
Definición. Diremos que p ∈ U es un punto singular, crítico o de equilibrio
del campo D si Dp = 0.
Si p ∈ U es singular para D, tendremos que Xt(p) = p para todo
t ∈ R, por tanto podemos definir los automorfismos lineales
Yt = Xt∗ : Tp(E) → Tp(E).
Pero además Yt es un grupo uniparamétrico de isomorfismos lineales
lo cual nos permite dar la siguiente definición, recordando que todos los
espacios tangentes están canónicamente identificados con E.
Definición. Llamaremos linealización del campo D en el punto singular
p al campo tangente lineal canónico que denotaremos
L ∈ D(E),
que tiene como grupo uniparamétrico a Yt.

5.2. Linealización en un punto singular 279
Veamos cómo están definidos los automorfismos
Yt : E → E,
en términos de las componentes del campo D.
Para cada vector ei ∈ E de la base, tendremos que las componentes
cij(t) del vector
son
cij(t) = Xt∗
Yt(ej) = Xt∗
∂
∂xj
= ∂Xi
(t, p),
∂xj
p
∂
∂xj
,
xi = ∂xi ◦ Xt
(p)
∂xj
y por tanto se sigue de la ecuación (5.1) que para la matriz
∂fi
A = (aij) = (p) ,
∂xj
se tiene que
c ′ ij(t) =
n
aikckj(t),
k=1
lo cual implica que la matriz Φ(t) = (cij(t)) asociada a Yt satisface
y por tanto
Φ ′ (t) = A · Φ(t),
Yt = Φ(t) = e tA .
Como consecuencia el campo linealización de D en p vale
⎡ ⎤
n n
L = ⎣ aijxj ⎦ ∂
.
∂xi
i=1
j=1
Definición. Sea p un punto singular de D, llamaremos exponentes característicos
de D en p, a los autovalores de la aplicación lineal asociada
a la linealización de D en p (ver el tema de sistemas lineales), es decir
en términos de un sistema de coordenadas lineales xi, a los autovalores
de la matriz
∂fi
A = (p) .
∂xj
Y diremos que p es hiperbólico si los exponentes característicos de D
en p no tienen parte real nula.

280 Tema 5. Estabilidad
Ejercicio 5.2.1 Calcular la linealización y los exponentes característicos del
campo que define la ecuación del péndulo
en el (0,0).
θ ′ (t) = z(t),
z ′ (t) = − g
sen θ(t),
L
Ejercicio 5.2.2 Soltamos una bola en un cuenco con superficie dada por z =
(ax 2 + by 2 )/2. Encontrar la EDO que rige su movimiento (suponemos que la
gravedad es el vector g = (0, 0, −1), demostrar que el origen con velocidad
nula es un punto singular de la ecuación y encontrar su linealización en ese
punto.
5.3. Estabilidad de puntos singulares
Definición. Sea D ∈ D(U) con grupo uniparamétrico X y p ∈ U
un punto singular de D. Diremos que p es estable —en el sentido de
Liapunov—, si para cada entorno Up de p en U, existe otro Vp ⊂ Up,
tal que para todo q ∈ Vp se tiene
a) [0, ∞) ⊂ I(q),
b) Xq(t) ∈ Up para todo t ≥ 0.
en caso contrario diremos que p es inestable.
Diremos que p es asintóticamente estable si es estable y Xq(t) → p,
cuando t → ∞, para todo q ∈ Vp .
Ejercicio 5.3.1 Demostrar que si p es un punto estable, entonces para todo
entorno Up de p en U, existe otro Wp ⊂ Up, tal que para todo q ∈ Wp se tiene
[0, ∞) ⊂ I(q) y Xq(t) ∈ Wp para todo t ≥ 0.
Ejercicio 5.3.2 ¿En cual de los siguientes campos el origen es estable?
−x2∂x1 + x1∂x2 + x4∂x3 − x3∂x4,
−x2∂x1 + x1∂x2 + (x2 + x4)∂x3 − x3∂x4,
(x1 + 2x2)∂x1 + (2x1 − 2x2)∂x2.

5.3. Estabilidad de puntos singulares 281
Ejercicio 5.3.3 Demostrar que el origen es un punto estable del campo en
coordenadas polares
∂ 1 ∂
+ ρ sen
∂θ ρ ∂ρ .
En esta lección vamos a dar un primer criterio, debido a Liapunov y
que ya hemos demostrado para campos tangentes lineales, para encontrar
puntos singulares asintóticamente estables de campos tangentes. Pero
antes necesitamos dar una definición y unos resultados previos.
Definición. Dada una aplicación lineal A: E → E en un espacio vectorial
real E, de dimensión finita, llamaremos radio espectral de A al
máximo de los módulos de los autovalores de A, es decir al número
positivo
ρ(A) = máx{|λ| : ∃x ∈ E − {0}, A(x) = λx}.
En el resultado que enunciamos a continuación —que se demuestra
en los cursos de álgebra lineal—, se da la forma canónica de una matriz
real.
Teorema de Jordan 5.1 Sea A: E → E una aplicación lineal en un espacio
vectorial real E, de dimensión n. Entonces existe una base respecto
de la que la matriz de A es diagonal por cajas Ai, para i = 1, . . . , r, de
orden mi, que son de una de las formas
(1)
⎛
λ
⎜
⎜1
⎜
⎝ .
0
λ
. ..
· · ·
· · ·
. ..
0
0
.
⎞
0
0 ⎟ ,
. ⎠
(2)
0 0 · · · 1 λ
donde λ es un autovalor real y α + iβ complejo de A y
D =
α −β
β α
, I =
⎛
D
⎜ I
⎜
⎝ .
0
D
. ..
· · ·
· · ·
. ..
0
0
.
⎞
0
0 ⎟
. ⎠
0 0 · · · I D
1 0
.
0 1
Ejercicio 5.3.4 Sea A una matriz, de orden n, con todos los autovalores con
parte real nula. Demostrar que el origen de R n es un punto estable del campo
definido por la ecuación X ′ = AX si y sólo si A es semisimple —es decir
las cajas en su forma canónica de Jordan son de orden 1 para los autovalores
reales y de orden 2 para los complejos.

282 Tema 5. Estabilidad
Ejercicio 5.3.5 Demostrar que el origen de R n es un punto estable del campo
definido por la ecuación X ′ = AX si y sólo si los autovalores λ de A, tienen
Re λ ≤ 0 y A se expresa en una base como una matriz de la forma
A1 0
,
0 A2
donde los autovalores de A1 tienen parte real negativa y A2 es semisimple.
Lema 5.2 Sea A: E → E una aplicación lineal en un espacio vectorial
real E, de dimensión n. Entonces para cada ɛ > 0 existe una base respecto
de la que la matriz de A es diagonal por cajas Ai(ɛ), para i = 1, . . . , r,
de orden mi, que son de una de las formas
⎛
⎞
⎛
λ 0 · · · 0 0
D
⎜
⎜ɛ
λ · · · 0 0⎟
⎜
⎟
⎜ɛI
(1) ⎜
⎝
.
. .. . ..
⎟ , (2) ⎜
. . ⎠ ⎝ .
0
D
. ..
· · ·
· · ·
. ..
0
0
.
⎞
0
0 ⎟
. ⎠
0 0 · · · ɛ λ
0 0 · · · ɛI D
donde λ es un autovalor real y α + iβ complejo de A y
α
D =
β
−β
α
,
1
I =
0
0
.
1
Demostración.- Aplicando el Teorema de Jordan existe una
base e1, . . . , en en E, en la que A se representa por una matriz diagonal
por cajas Ai, para i = 1, . . . , r, de orden mi, que son de una de las
formas descritas en dicho teorema.
Obviamente el subespacio E1 de E, generado por e1, . . . , en1 , correspondiente
a la caja A1, es invariante por A, ídem para los Ei para i =
1, . . . , m. Basta demostrar el resultado para cada Ei, es decir podemos
suponer que A consta de una sola caja.
Supongamos que A es del tipo (1), es decir λI + Z es la matriz de A
en la base e1, . . . , en, para λ autovalor real de A. Ahora para cada ɛ > 0
consideremos la base
v1 = e1, v2 = e2
ɛ , . . . , vn = en
.
ɛn−1 en la que A es λI + ɛZ.
Supongamos ahora que A es de la forma (2) en la base e1, . . . , en,
con n = 2r. Entonces basta considerar la nueva base para k = 1, . . . , r
y el resultado se sigue.
v2k−1 = e2k−1
ɛk−1 , v2k = e2k
,
ɛk−1

5.3. Estabilidad de puntos singulares 283
Lema 5.3 Sea A: E → E una aplicación lineal en un espacio vectorial
real E, de dimensión n.
a) Si para todo autovalor λ de A es a < Re λ < b, entonces existe un
producto interior en E, tal que para todo x ∈ E − {0}
a < < b .
b) Para cada r > ρ(A), existe un producto interior con una norma
asociada · , tal que
A = máx{ A(x) : x = 1} < r.
Demostración. a) En los términos anteriores A(Ei) ⊂ Ei, por tanto
si para cada Ei encontramos una base cuyo producto interior asociado
—para el que la base es ortonormal—, satisface el resultado, todas las
bases juntas formarán una base en E que define un producto interior que
satisface el resultado. Pues en tal caso todo x ∈ E se puede expresar de
modo único como xi, con los xi ∈ Ei y por tanto siendo ortogonales y
verificando
m
= .
i=1
y el resultado se seguiría sin dificultad.
En definitiva podemos suponer que A consta de una sola caja.
Supongamos que A es del tipo (1), entonces se sigue del resultado
anterior que para cada ɛ > 0 existe una la base vi en la que la matriz
de A es λI + ɛZ, donde Z es la matriz con 1’s debajo de la diagonal
principal y el resto 0’s.
Si consideramos el producto interior correspondiente, < vi, vj >= δij,
tendremos que para cada x ∈ E y x(ɛ) el vector columna de R n de
componentes las de x en la base vi, se tiene
y por tanto
= x(ɛ) t x(ɛ),
= x(ɛ) t (λI + ɛZ) t x(ɛ),
= λ + ɛ
y el resultado se sigue tomando ɛ suficientemente pequeño pues por la
desigualdad de Cauchy–Schwarz
< Z(x), x >
< x, x > ≤ Z(x) 2 ≤ Z 2 = 1.
x 2

284 Tema 5. Estabilidad
Si A es de la forma (2) el resultado se sigue de forma similar al
anterior.
b) Como en el caso anterior basta hacer la demostración para el caso
de que A esté formada por una única caja. Si es del tipo (1), entonces
= [λ 2 i + f(ɛ, x)] ,
donde |f(ɛ, x)| ≤ kɛ, para un k > 0. Y si es del tipo (2), entonces
= x(ɛ) t [Λ + ɛZ2] t [Λ + ɛZ2]x(ɛ) =
= [α 2 + β 2 + F (ɛ, x)] ,
donde tenemos que |F (ɛ, x)| ≤ kɛ, para un k > 0 y
Λ = αI + βZ − βZ t , Z 2 = Z t2 = 0, I = Z t Z + ZZ t ,
y el resultado se sigue sin dificultad.
Nota 5.4 La utilidad del resultado anterior queda de manifiesto en la
siguiente interpretación geométrica del mismo: Consideremos un campo
lineal
⎡ ⎤
n n
L = ⎣ aijxj ⎦ ∂
,
∂xi
i=1
j=1
es decir tal que en cada punto x ∈ E, las componentes de Lx son Ax,
para A = (aij).
Figura 5.1. Casos a > 0 y b < 0

5.3. Estabilidad de puntos singulares 285
El resultado nos dice que existe una norma euclídea en E, para la
que si los autovalores de A tienen parte real positiva, es decir si a > 0,
entonces el vector Lx (ver la Fig.5.1) apunta hacia fuera de la esfera
S = {p ∈ E : p = x },
y si b < 0 entonces apunta hacia dentro de S, pues
0 < a <
⇒ 0 0 tal
que
Xq(t) − p ≤ b e tc q − p .
Demostración. Lo último es una simple consecuencia de ser todas
las normas de un espacio vectorial finito–dimensional equivalentes.
Haciendo una traslación podemos considerar que p = 0.
Sea D = fi∂i, f = (fi): U → Rn y
∂fi
A = (0) .
∂xj
Sea k ∈ R tal que para todo exponente característico λ de D en p sea
Re (λ) < k < c. Ahora por el lema anterior, existe un producto interior
en R n , tal que
< k = k x 2 .

286 Tema 5. Estabilidad
De la definición de derivada de f en 0, se sigue que
f(x) − Ax
lím
= 0,
x→0 x
y por la desigualdad de Cauchy–Schwarz,
se sigue que
− xy ≤ ≤ xy,
lím
x→0 x 2 = 0.
Por tanto existe un δ > 0 tal que Bp = B[0, δ] ⊂ U, y para cada
x ∈ Bp
(5.2)
x 2
= +
x 2 x 2 < c.
Sea ahora q ∈ Bp − {p} y (α, β) = I(q), entonces por la unicidad de
solución, Xq(t) = 0 para todo t ∈ (α, β) y por tanto es diferenciable la
función
h(t) = Xq(t) = ),
siendo por la ecuación (5.2), h ′ (0) < 0, pues
(5.3) h ′ (t) = )
Xq(t)
por tanto existe r > 0 tal que para 0 ≤ t ≤ r,
= )
,
Xq(t)
Xq(t) = h(t) ≤ h(0) = q ,
es decir Xq(t) ∈ Bp. Consideramos ahora
T = sup{r ∈ (0, β) : Xq(t) ∈ Bp, ∀t ∈ [0, r]}.
Si T < β, entonces Xq(t) ∈ Bp para todo t ∈ [0, T ] por ser Bp
cerrado y Xq continua. Y tomando z = Xq(T ) ∈ Bp − {p} y repitiendo
el argumento anterior existiría ɛ > 0 tal que Xz(t) = Xq(t + T ) ∈ Bp
para 0 ≤ t ≤ ɛ, en contra de la definición de T .
Por tanto T = β y por ser Bp compacto β = ∞. Esto prueba la
primera afirmación.

5.3. Estabilidad de puntos singulares 287
Ahora como h(t) = 0, tenemos como consecuencia de la ecuación
(5.2) y (5.3) que
e integrando entre 0 y t
h ′ (t) ≤ c· h(t) ⇔ (log h) ′ (t) ≤ c,
log h(t) ≤ tc + log h(0) ⇔ h(t) ≤ e tc h(0).
Corolario 5.6 Sea D ∈ D(U) con un punto singular p ∈ U. Si sus exponentes
característicos λ, verifican que Reλ < 0, entonces p es asintóticamente
estable.
Ejercicio 5.3.6 Considerar la ecuación del péndulo con rozamiento (a > 0)
x ′ = v,
v ′ = −av − g
sen x,
L
demostrar que el (0, 0) es un punto de equilibrio asintóticamente estable.
Ejercicio 5.3.7 Demostrar que el 0 ∈ R 2 es un punto de equilibrio asintóticamente
estable del campo
(y + f1) ∂
∂
− (x + y + f2)
∂x ∂y ,
para F = (f1, f2): R 2 → R 2 , tal que F (0) = 0 y su derivada en 0 es 0.
También se tiene el siguiente resultado que no demostraremos (ver la
página 266 del Hirsch–Smale, aunque la demostración que aparece en
el libro creo que es incorrecta).
Teorema 5.7 Si p ∈ U es un punto de equilibrio estable de D ∈ D(U),
entonces ningún exponente característico de D en p, tiene parte real
positiva.
Como consecuencia se tiene el siguiente resultado.
Corolario 5.8 Un punto singular hiperbólico es asintóticamente estable
o inestable.

288 Tema 5. Estabilidad
5.4. Funciones de Liapunov
Hay otro medio ideado por Liapunov (en su tesis doctoral de 1892),
para saber si un punto singular es estable.
Si tenemos un campo lineal L = ( aijxj)∂i, es decir Lx = Ax,
para A = (aij) y consideramos la norma euclídea que definimos en (5.3)
de la pág.283, entonces la función
tiene las siguientes propiedades:
ℓ(x) = ,
a) ℓ(0) = 0, y ℓ(x) > 0, para x = 0,
y si Re λ < b < 0, para todo autovalor λ de A, entonces
b) Lℓ < 0,
pues como Xt(q) = e tA q, tendremos que
−
= 2 ≤ 2b ,
t
cosa que también podemos demostrar considerando una base ortonormal
y su sistema de coordenadas lineales yi correspondiente, pues en este
sistema ℓ = y 2 i y
Lℓ(q) = 2
n
yi(q)Lqyi = 2 = 2 .
i=1
Liapunov observó que para saber si un punto de equilibrio de un
campo tangente era estable, bastaba con encontrar una función ℓ con
esas propiedades.
Definición. Sea p ∈ U un punto singular de D ∈ D(U). Llamaremos
función de Liapunov de D en p, a cualquier función ℓ ∈ C(U), tal que
ℓ ∈ C 1 (U − {p}), verificando las siguientes condiciones:
a) ℓ(p) = 0 y ℓ(x) > 0, para x = p.
b) Dℓ ≤ 0 en U − {p}.
Diremos que la función es estricta si en (b) es Dℓ < 0.

5.4. Funciones de Liapunov 289
Teorema 5.9 Si existe una función de Liapunov de D en p, entonces p
es estable y si es estricta entonces es asintóticamente estable.
Demostración. Consideremos un entorno Up de p en U y un ɛ > 0
tal que B[p, ɛ] ⊂ Up y sean
r = mín{ℓ(x) : x − p = ɛ},
Vp = {x ∈ B(p, ɛ) : ℓ(x) < r}.
Por (a) tenemos que p ∈ Vp, por tanto Vp es un abierto no vacío. Y
por (b) tenemos que
(ℓ ◦ Xq) ′ (t) = Dℓ[Xq(t)] ≤ 0,
para cada q ∈ U − {p}, es decir que ℓ ◦ Xq es decreciente. Esto implica
que si q ∈ Vp e I(q) = (α, β), entonces para t ∈ [0, β),
ℓ[Xq(t)] ≤ ℓ[Xq(0)] = ℓ(q) < r ≤ ℓ(x), para x − p = ɛ,
por lo tanto Xq(t) ∈ Vp, pues Xq(t) ∈ B(p, ɛ) ya que Xq[0, β) es conexo,
tiene puntos en la bola B(p, ɛ) y no puede atravesar la esfera de esta bola
por la desigualdad anterior. Ahora por ser B[p, ɛ] compacta tendremos
que β = ∞ y p es estable.
Supongamos ahora que Dℓ < 0 en U − {p}, es decir ℓ ◦ Xq es estrictamente
decreciente. Por la compacidad de B[p, ɛ], basta demostrar que
si tn → ∞ y Xq(tn) → p ′ , entonces p ′ = p.
Supongamos que p ′ = p y consideremos la curva integral de p ′ —que
no es constante pues Dp ′ = 0, ya que Dℓ < 0—. Tendremos que para
s > 0
ℓ(p ′ ) = ℓ[Xp ′(0)] > ℓ[Xp ′(s)] = ℓ[Xs(p ′ )],
ahora bien ℓ ◦ Xs es continua y existe un entorno de p ′ , V , tal que para
x ∈ V se tiene
ℓ(p ′ ) > ℓ[Xs(x)] = ℓ[X(s, x)],
y en particular para n grande, x = Xq(tn) ∈ V y
(5.4) ℓ(p ′ ) > ℓ[X(s, X(tn, q))] = ℓ[X(s + tn, q)] = ℓ[Xq(s + tn)].
siendo así por otra parte, que para todo t ∈ (0, ∞)
ℓ[Xq(t)] > ℓ[Xq(tn)],

290 Tema 5. Estabilidad
para los tn > t, y por la continuidad de ℓ,
ℓ[Xq(t)] > ℓ(p ′ ),
para todo t > 0 lo cual contradice la ecuación (5.4).
Ejercicio 5.4.1 Estudiar la estabilidad en el origen del campo
D = (−y − x 5 ) ∂
∂x + (x − 2y3 ) ∂
∂y .
Ejercicio 5.4.2 Consideremos en E un producto interior y sea D un campo
gradiente, D = grad f. Demostrar:
a) Un punto x ∈ E es singular para D si y sólo si dxf = 0.
b) Si f tiene en x un máximo aislado, entonces x es un punto singular
estable de D y si además es un punto singular aislado de D, es asintóticamente
estable.
Por último podemos utilizar este tipo de funciones para detectar puntos
de equilibrio inestables.
Teorema 5.10 Sea p ∈ U un punto singular de D ∈ D(U), y sea ℓ ∈
C(U), ℓ ∈ C 1 (U − {p}), tal que ℓ(p) = 0 y Dℓ > 0. Si existe una sucesión
pn → p, tal que ℓ(pn) > 0, entonces p es inestable.
Demostración. Tenemos que encontrar un entorno Up de p, tal que
para todo entorno V de p, hay un q ∈ V para el que Xq deja en algún
instante a Up.
Sea r > 0, tal que B[p, r] ⊂ U y sea
Up = {x ∈ B(p, r) : ℓ(x) < 1},
por la hipótesis sabemos que para cada entorno V de p existe un q =
pn ∈ V tal que ℓ(q) > 0. Vamos a ver que Xq(t) sale de Up para algún
t. Podemos suponer que Xq(t) ∈ B[p, r] para todo t ∈ (0, β), con I(q) =
(α, β), pues en caso contrario Xq(t) deja a Up en algún instante y ya
habríamos terminado. Entonces β = ∞.
Ahora tenemos dos posibilidades:
Existe un 0 < δ < r, tal que para 0 ≤ t < ∞
Xq(t) ∈ K = {x ∈ U : δ ≤ x − p ≤ r},

entonces como p /∈ K, tendremos que
y para t ∈ [0, ∞)
5.5. Aplicaciones 291
λ = mín{Dℓ(x) : x ∈ K} > 0,
λ ≤ Dℓ[Xq(t)] = (ℓ ◦ Xq) ′ (t) ⇒ tλ ≤ ℓ[Xq(t)] − ℓ(q),
y para t ≥ 1/λ, ℓ[Xq(t)] > 1, por tanto Xq(t) /∈ Up.
Si no existe tal δ, existirá una sucesión tn → ∞, tal que Xq(tn) → p,
pero como
ℓ[Xq(tn)] ≥ ℓ[Xq(0)] = ℓ(q),
y ℓ[Xq(tn)] → ℓ(p) = 0, llegamos a un absurdo pues ℓ(q) > 0.
Ejercicio 5.4.3 Estudiar la estabilidad en el origen del campo
5.5. Aplicaciones
D = (−y + x 5 ) ∂
∂x + (x + 2y3 ) ∂
∂y .
5.5.1. Sistemas tipo “depredador–presa”.
El modelo matemático clásico para un problema tipo depredador–
presa fue planteado inicialmente por Volterra (1860–1940), en los años
20 para analizar las variaciones cíclicas que se observaban en las poblaciones
de tiburones y los peces de los que se alimentaban en el mar
Adriático.
En los modelos que a continuación consideramos denotaremos con
x(t) el número de presas y con y(t) el de depredadores que hay en el
instante de tiempo t.
Primer modelo.- Supongamos que el alimento de las presas es inagotable
y que se reproducen regularmente en función del número de
individuos. Por tanto en ausencia de depredadores las presas crecerían a
una tasa natural
x ′ (t) = ax(t),

292 Tema 5. Estabilidad
y en ausencia de presas, los depredadores decrecerían a una tasa natural
y ′ (t) = −cy(t),
sin embargo cuando ambas especies conviven, la población de presas
decrece y la de depredadores aumenta en una proporción que depende
del número de encuentros entre ambas especies. Supongamos que esta
frecuencia de encuentros es proporcional a xy —si duplicamos una población
se duplican los encuentros—, en estos términos tendríamos que las
tasas de crecimiento (y de decrecimiento) de ambas poblaciones hay que
modificarlas, obteniendo el sistema
x ′ = ax − bxy,
y ′ = −cy + exy,
para a, b, c, e > 0. Ahora de estas ecuaciones sólo nos interesan las soluciones
que están en el primer cuadrante
C = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0},
pues son las únicas que tiene sentido interpretar en nuestro problema.
Los puntos de equilibrio de estas ecuaciones en C, son
c a
p1 = 0 , p2 = , ,
e b
de las cuales p1 representa la desaparición de ambas especies, mientras
que p2 representa la coexistencia de ambas especies sin modificarse el
número de sus individuos.
Estudiemos la estabilidad de p1 y de p2.
Las linealizaciones del sistema en p1 y p2 son respectivamente
X ′
a 0
= X, X
0 −c
′ =
0 −bc/e
X,
ea/b 0
por tanto los exponentes característicos del sistema en p1 son a y −c,
por lo que se sigue que p1 no es estable. Los de p2 son imaginarios
puros por lo que los resultados estudiados no nos dan información sobre
su estabilidad. Sin embargo es fácil encontrar una integral primera del
campo
D = (ax − bxy) ∂
∂
+ (−cy + exy)
∂x ∂y =
= x(a − by) ∂
∂
+ y(−c + ex)
∂x ∂y ,

pues tiene una 1–forma incidente exacta
x(a − by)
dy +
xy
y(c − ex)
xy
5.5. Aplicaciones 293
dx = a
y
c
dy − bdy + dx − edx
x
= d[a log y − by + c log x − ex] = dh.
Por tanto Dh = 0 y como h(z) < h(p2), para z = p2, la función
ℓ = h(p2) − h es de Liapunov, por lo que p2 es estable. Veamos la
desigualdad
h(z)−h(p2) =
= a log y − by + c log x − ex − [a log a
c c
− ba + c log − e
b b e e ]
= a[log y − log a
b
= a[log yb
a
− yb
a
c
] − by + a + c[log x − log ] − ex + c
e
+ 1] + c[log xe
c
− xe
c
+ 1] < 0,
pues log x < x − 1 para x = 1.
Segundo modelo.- Supongamos ahora que ambas poblaciones decrecen
si hay demasiados individuos, por falta de alimento o por otros
motivos. Por tanto en ausencia de depredadores las presas crecen a una
tasa
x ′ = ax − µx 2 ,
y en ausencia de presas los depredadores crecen a una tasa
y ′ = cy − λy 2 ,
y con presas y depredadores las tasas de crecimientos son
x ′ = ax − µx 2 − bxy,
y ′ = cy − λy 2 + exy,
para a, b, c, e, µ, λ > 0.
En este caso hay cuatro puntos de equilibrio, en los que tres representan
la situación de que una de las poblaciones no tiene individuos y
la cuarta es la correspondiente al punto p intersección de las rectas
a − µx − by = 0,
c − λy + ex = 0,
que está en C y es distinto de los otros tres si y sólo si c/λ < a/b.

294 Tema 5. Estabilidad
Ejercicio 5.5.1 Demostrar que el punto de equilibrio p del sistema anterior es
asintóticamente estable.
5.5.2. Especies en competencia.
Consideremos el problema de dos poblaciones que compiten por la
misma comida.
x ′ = ax − µx 2 − bxy,
y ′ = cy − λy 2 − exy,
para a, b, c, e, λ, µ > 0.
En este caso hay también cuatro puntos de equilibrio de los cuales a
lo sumo uno es de interés. La intersección p de las rectas
a − µx − by = 0,
c − λy − ex = 0.
Ejercicio 5.5.2 Demostrar que p ∈ C si y sólo si a/c está entre µ/e y b/λ.
Demostrar que si µλ > be, entonces p es asintóticamente estable y que si
µλ < be, entonces p es inestable.
5.5.3. Aplicación en Mecánica clásica.
Consideremos en E un producto interior y sea U ⊂ E un abierto.
Definición. Dado un campo tangente D ∈ D(U), llamaremos 1–forma
del trabajo de D, a la 1–forma correspondiente por el isomorfismo canónico
a D entre los módulos
D(U) → Ω(U), D → ω =< D, · > .
y llamaremos trabajo de D a lo largo de una curva γ ⊂ U, que une dos
puntos a, b ∈ U, a la integral a lo largo de la curva, de ω, es decir si
parametrizamos la curva con el parámetro longitud de arco,
σ : [0, L] → U , σ[0, L] = γ , σ(0) = a , σ(L) = b,
y denotamos con T = σ∗(∂/∂t), el vector tangente a la curva —que es
unitario—, a la integral
L
ω = σ ∗ L
(ω) = ds,
γ
0
0

5.5. Aplicaciones 295
de la componente tangencial del campo D.
Llamaremos campo conservativo a todo campo D ∈ D(U) con la
propiedad de que el trabajo realizado a lo largo de una curva que une
dos puntos, no depende de la curva.
Ejercicio 5.5.3 Demostrar que un campo es conservativo si y sólo si es un
campo gradiente. (Observemos que f está determinada salvo una constante).
Definición. En mecánica clásica la expresión “una partícula que se mueve
en R 3 bajo la influencia de un potencial U”, significa que sobre ella
actúa una fuerza definida por el campo tangente
F = − grad U = − ∂U
∂
∂x1 ∂x1
− ∂U
∂x2
∂
∂x2
− ∂U
∂x3
∂
.
∂x3
El potencial en la mecánica celeste de dos cuerpos es 1 U = −mMG/r,
donde G = 6 ′ 673 · 10 −11 (N m 2 /kg 2 ) es la constante gravitacional (ver
la nota (1.9.4), pág.46) y r es la distancia de la masa m a la M —que
está en el origen de coordenadas—. El módulo de la fuerza F es
mMG
r2 ,
y F es la fuerza de atracción que ejerce la masa M sobre la masa m,
definida por la Ley de la Gravitación universal de Newton.
Para Û = mgh el potencial en la superficie de la tierra, donde g =
MG/R2 , M la masa de la tierra, R el radio y h la altura a la que está m
sobre la superficie de la tierra, el módulo de F es constante
∂
F = − grad Û = −mg
∂z .
La relación entre estos dos potenciales es que
su diferencia de potencial es aproximadamente la
misma, es decir si q es un punto en la superficie de
la tierra y p un punto en la vertical de q a distancia
m
h
s
R
z
1Algunos autores ponen U = mMG/r y F = grad U, pero nosotros Figura aquí preferimos 5.2.
tomarlo así pues la energía potencial es U que sumada a la cinética T veremos a
continuación que es constante en las trayectorias que satisfacen la ley de Newton
F = mx ′′ .
x
y

296 Tema 5. Estabilidad
h
U(p) − U(q) = U(R + h) − U(R) = − mMG mMG
+
R + h R
= mMGh mghR
= ∼ mgh = Û(h) − Û(0) = Û(p) − Û(q).
R(R + h) R + h
Si X(t) es la posición de la partícula en el instante t, la segunda Ley
de Newton nos dice que
mX ′′ = F,
e introduciendo la velocidad tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales
en R 3 × R 3
correspondiente al campo
∂ ∂ ∂
D = z1 + z2 + z3
∂x1 ∂x2 ∂x3
X ′ = Z,
Z ′ = F
m ,
+ F1
m
∂
∂z1
+ F2
m
∂
∂z2
+ F3
m
∂
.
∂z3
Ahora es fácil encontrar una integral primera de D, pues tenemos la
1–forma incidente exacta
3
∂U
dxi + mzidzi
∂xi
i=1
para v = z 2 1 + z2 2 + z2 3 ,
y por lo tanto “la energía total del sistema”
e = U + T = U + mv2
2 ,
= d U + mv2
,
2
satisface De = 0. Vamos a utilizar esta función e para definir una función
de Liapunov en un punto de equilibrio p = (x0, z0) de D.
Si Dp = 0 tendremos que
z0 = 0 ,
∂U
(x0) = 0,
∂xi

5.6. Clasificación topol. de las ED lineales 297
ahora como ℓ(p) = ℓ(x0, 0) debe ser 0, definimos
ℓ = e − e(x0, 0) = 1
2 mv2 + U − U(x0),
en tal caso Dℓ = 0 y si U(x) > U(x0) en un entorno de x0, entonces ℓ
es de Liapunov y se tiene el siguiente resultado.
Teorema de estabilidad de Lagrange 5.11 Un punto de equilibrio (x0, 0)
de las ecuaciones de Newton para una partícula que se mueve bajo la influencia
de un potencial que tiene un mínimo absoluto local en x0, es
estable.
5.6. Clasificación topol. de las ED lineales
Consideremos un campo tangente lineal
⎛ ⎞
n n
D = ⎝ aijxj ⎠ ∂
∈ D(E),
∂xi
i=1
j=1
con grupo uniparamétrico X. En esta lección veremos que si los autovalores
de A = (aij) tienen parte real positiva, entonces D es topológicamente
equivalente —ver el tema IV—, al campo de las homotecias
∂
∂
H = x1 + · · · + xn ,
∂x1
∂xn
y si la tienen negativa a −H, es decir que existe un homeomorfismo
h: E → E,
que transforma las soluciones (parametrizadas) de la ecuación diferencial
X ′ = AX en las de X ′ = X, en el primer caso y en las de X ′ = −X en
el segundo.
Supongamos que para todo autovalor λ de A = (aij),
a ≤ Re λ ≤ b,

298 Tema 5. Estabilidad
y consideremos en E el producto interior que satisface
a < < b ,
y elijamos un sistema de coordenadas lineales correspondiente a una
base ortonormal. Denotaremos la esfera unidad correspondiente con S =
{x = 1}.
Lema 5.12 Para cada q ∈ E − {0}, se tiene que
q e ta ≤ Xq(t) ≤ q e tb , para t ≥ 0,
q e tb ≤ Xq(t) ≤ q e ta , para t ≤ 0.
además si a > 0 o b < 0, la aplicación
es un difeomorfismo.
t ∈ R → Xq(t) ∈ (0, ∞),
Demostración. Consideremos la función
entonces
g(t) = log ),
2a ≤ g ′ (t) = 2 )
) = 2)
≤ 2b,
)
por tanto para t ≥ 0 y t ≤ 0 respectivamente tendremos que
y el enunciado se sigue pues
2ta + g(0) ≤ g(t) ≤ 2tb + g(0),
2tb + g(0) ≤ g(t) ≤ 2ta + g(0),
Xq(t) = e g(t)/2 .
Proposición 5.13 Si a > 0 ó b < 0, entonces
es un homeomorfismo.
F : R × S → E − {0},
(t, p) → X(t, p)

5.6. Clasificación topol. de las ED lineales 299
Demostración. F es obviamente continua. Tiene inversa como consecuencia
del lema anterior, pues para cada q ∈ E − {0}, la aplicación
t ∈ R → Xq(t) ∈ (0, ∞),
es un difeomorfismo, por tanto existe un único t = t(q) ∈ R tal que
Xq(t) ∈ S y
F −1 (q) = (−t, Xq(t)).
Para ver que F −1 es continua, basta demostrar que la aplicación t(q)
es continua, es decir que si qn → q entonces t(qn) = tn → t(q) = t, es
decir que si qn → q y
X(tn, qn), X(t, q) ∈ S,
entonces tn → t.
Que tn está acotada se sigue del lema, y si r es un punto límite de
tn, entonces por la continuidad de X, X(r, q) ∈ S y r = t.
Nota 5.14 Realmente F es un difeomorfismo, como puede comprobar el
lector que haya estudiado variedades diferenciables, pues F es diferenciable,
biyectiva y F∗ es isomorfismo en todo punto, para lo cual basta ver
que lo es en los puntos de la forma (0, p), pues al ser Ft(r, p) = (t + r, p)
un difeomorfismo y tener el diagrama conmutativo
R × ⏐ S
⏐
Ft
R × S
F
−−→ ⏐E
F
−−→ E
⏐
Xt
tendremos que F es difeomorfismo local en (t, p) si y sólo si lo es en (0, p)
y en estos puntos lo es pues F∗ es inyectiva, ya que lleva base en base.
Veámoslo:
∂
F∗ = Dp,
∂t
(0,p)
y para una base E2, . . . , En ∈ Tp(S), tendremos que para i : S ↩→ E
los n − 1 vectores Dip = i∗Ei ∈ Tp(E), son independientes y como
X∗(∂xi) (0,p) = (∂xi)p, tendremos que
F∗(Ei) = X∗(Di) = Di,
y Dp es independiente de los Di, pues < Di, p >= 0, por ser los Di
tangentes a S, mientras que < Dp, p > es positivo si a > 0 y negativo si
b < 0.

300 Tema 5. Estabilidad
Teorema 5.15 Si a > 0 entonces D es topológicamente equivalente a H
y si b < 0 a −H.
Demostración. Haremos el caso a > 0, en cuyo caso el grupo uniparamétrico
de H es Y (t, x) = e t x. Supongamos que existe tal homeomorfismo
h tal que para todo s ∈ R
h ◦ Xs = Ys ◦ h,
entonces h(0) = e s h(0), lo cual implica h(0) = 0. Sea q ∈ E − {0} y
q = X(t, p), con p ∈ S, entonces
h ◦ Xs(q) = h ◦ Xs ◦ Xt(p) = h ◦ Xs+t(p) = h ◦ F (s + t, p),
Ys ◦ h(q) = Y (s, h[F (t, p)]),
lo cual sugiere que Y = h ◦ F , por lo que definimos
0, si q = 0,
h : E → E, h(q) =
Y [F −1 (q)], si q = 0.
0
p
Dq
q=X p(t)
Figura 5.3.
Que es biyectiva y continua es evidente, falta demostrar la continuidad
de h y la de h −1 en el 0, es decir que xn → 0 si y sólo si h(xn) → 0.
Como h(xn) = e tn pn, con pn = X(−tn, xn) ∈ S, tendremos que
h(xn) = e tn ,
y por el lema —para q = pn y t = tn—,
h(xn) < 1 ⇔ tn < 0 ⇔ xn < 1
por lo que en cualquier caso los tn < 0 y tenemos la desigualdad
e tnb ≤ xn ≤ e tna ,
y xn → 0 si y sólo si tn → −∞ si y sólo si h(xn) → 0.
0
p
e t p

5.6. Clasificación topol. de las ED lineales 301
Nota 5.16 La h anterior es realmente de C ∞ (E −{0}), pero en el 0 sólo es
continua. Es decir que conserva la incidencia de dos curvas que pasen por
el origen, pero no su grado de tangencia, por ello puede llevar dos curvas
tangentes en 0, en dos que se corten transversalmente y recíprocamente.
Sea D ∈ D(E) un campo lineal, con matriz asociada A en un sistema
de coordenadas lineales xi. Supongamos que A no tiene autovalores imaginarios
puros, que m es el número de autovalores con parte real positiva
y que hemos elegido una base ei en E tal que A se pone en forma de
cajas
A1 0
A =
.
0 A2
donde los autovalores de A1 tienen parte real positiva y los de A2 tienen
parte real negativa.
Consideremos los subespacios de E,
E1 =< e1, . . . , em >, E2 =< em+1, . . . , en >,
de dimensiones m y n − m, para los que
E = E1 ⊕ E2, A : E1 → E1, A : E2 → E2,
y la ecuación diferencial X ′ = AX, en E, es equivalente a las ecuaciones
diferenciales X ′ 1 = A1X1 en E1 y X ′ 2 = A2X2 en E2, siendo
X = (X1, X2).
Además como
Xt = e tA =
entonces Xt(E1) ⊂ E1 y Xt(E2) ⊂ E2.
tA1 e 0
0 etA2
Ejercicio 5.6.1 Demostrar que p ∈ E1 si y sólo si Xt(p) → 0, cuando t → −∞
y p ∈ E2 si y sólo si Xt(p) → 0, cuando t → ∞.
Definición. Al subespacio E1 lo llamamos subespacio saliente y a E2
subespacio entrante de D relativos al 0. A la dimensión n − m de E2 la
llamaremos índice de estabilidad en 0, del campo D.
Teorema 5.17 Sean D, E ∈ D(E) lineales, con ecuaciones X ′ = AX e
Y ′ = BY , tales que ni A ni B tienen autovalores imaginarios puros.
Entonces D es topológicamente equivalente a E si y sólo si tienen el

302 Tema 5. Estabilidad
mismo índice de estabilidad en 0, es decir si y sólo si A y B tienen
el mismo número de autovalores con parte real negativa (y por tanto
también positiva).
Demostración.- “⇒” Tenemos que
h ◦ e tA = h ◦ Xt = Yt ◦ h = e tB ◦h,
por tanto h(0) = 0 pues h(0) = e tB h(0) y derivando en 0, 0 = Bh(0), y
0 no es autovalor de B.
Si E2 y F2 son los subespacios entrantes de X ′ = AX y X ′ = BX
respectivamente, basta demostrar que dim(E2) = dim(F2).
Ahora bien h(E2) = F2, pues
p ∈ E2 ⇔ lím
t→∞ Xt(p) = 0
⇔ lím
t→∞ h[Xt(p)] = 0
⇔ lím
t→∞ Yt[h(p)] = 0
⇔ h(p) ∈ F2,
y el resultado se sigue por el teorema de invariancia de dominios ya que
un homeomorfismo conserva la dimensión de un espacio vectorial.
“⇐” Basta demostrar que X ′ = AX es topológicamente equivalente
a X ′ = JX, para J = (cij) diagonal tal que
c1,1 = · · · = cm,m = 1 , cm+1,m+1 = · · · = cn,n = −1.
Eligiendo adecuadamente el sistema de coordenadas xi, tenemos que
para X = (X1, X2)
X ′ = AX ⇔ X ′ 1 = A1X1 , X ′ 2 = A2X2,
para A1 de orden m con autovalores con parte real positiva y A2 de
orden n − m con autovalores con parte real negativa.
Ahora por el teorema anterior X ′ 1 = A1X1 es topológicamente equivalente
por un homeomorfismo h1 : E1 → E1, a X ′ 1 = X1 y X ′ 2 = A2X2,
por un homeomorfismo h2 : E2 → E2, a X ′ 2 = −X2. Por tanto X ′ = AX
es topológicamente equivalente por
con x ∈ E1 e y ∈ E2, a X ′ = JX.
h(x + y) = h1(x) + h2(y),

5.7. Teorema de resonancia de Poincaré 303
5.7. Teorema de resonancia de Poincaré
En (2.25) de la página 96 clasificamos los campos tangentes en un
entorno de un punto no singular —es decir en el que no se anulan—,
viendo que todos eran diferenciablemente equivalentes al campo de las
traslaciones
∂
∂x .
Nos falta dar una clasificación en un entorno de un punto singular,
es decir en el que se anulen.
Para campos lineales —que siempre se anulan en el origen— hemos
visto en la Proposición (4.24), pág.230, que la clasificación lineal y la
diferenciable eran la misma y consistía en que dos campos eran equivalentes
si y sólo si las matrices que definen sus ecuaciones en un sistema
de coordenadas lineales eran semejantes.
En la lección anterior acabamos de hacer la clasificación desde un
punto de vista topológico, de los campos lineales para los que el origen
es un punto singular de tipo hiperbólico —los autovalores de la aplicación
lineal que define el campo tienen parte real no nula—.
La cuestión es ¿qué podemos decir para un campo general en un
punto singular hiperbólico?.
La teoría de Poincaré, de las formas normales de un campo, nos
da —en el caso de autovalores que no están en “resonancia”, un sistema
de coordenadas en un entorno de un punto singular, en las que nuestro
campo se hace tan “próximo” a su linealización en el punto como
queramos, en el sentido de que las componentes del campo y las de su
linealización difieren en una función cuyo desarrollo de Taylor es nulo
hasta el orden que queramos.
Sea L ∈ D(E) lineal, tal que la aplicación lineal que define es diagonalizable,
por tanto existe un sistema de coordenadas xi en el que
Lxi = λixi , L =
n
i=1
λixi
∂
,
∂xi
—supondremos que los λi son reales, aunque el resultado es igualmente
válido si son complejos—.

304 Tema 5. Estabilidad
Consideremos ahora el subespacio Pm de C∞ (E) de los polinomios
homogéneos de grado m ≥ 2, es decir el subespacio vectorial generado
por las funciones
x m1
1 · · · x mn
n ,
con mi ≥ 0 y mi = m.
Ejercicio 5.7.1 Demostrar que en los términos anteriores para cada f ∈ Pm,
Lf ∈ Pm, que L: Pm → Pm es diagonal y tiene autovalores miλi, correspondientes
a los autovectores x m1
1 · · · x mn
n .
Definición. Diremos que un campo H ∈ D(E) es polinómico de grado
m, si para cada función lineal f, Hf ∈ Pm. Denotaremos el conjunto de
estos campos por D(Pm), el cual es un subespacio vectorial de D(E), de
dimensión finita generado por
(5.5) x m1
1 · · · x mn ∂
n ,
∂xi
para m1, . . . , mn ≥ 0, m1 + · · · + mn = m e i = 1, . . . , n.
Lema 5.18 Para el campo lineal L del principio se tiene que
L L : D(Pm) → D(Pm) , L L H = [L, H],
es una aplicación lineal con autovectores los campos de (5.5) y autovalores
asociados respectivamente
n
mjλj − λi.
j=1
Demostración. Es fácil demostrar que para cada H ∈ D(Pm),
LLH ∈ D(Pm) y que para cada monomio x m1
1 · · · xmn n ∈ Pm
L(x m1
1 · · · x mn
n ) = x m1
1 · · · x mn
n (
se sigue entonces que para cada
n
mjλj),
j=1
H = x m1
1 · · · x mn ∂
n ∈ D(Pm),
∂xi

se tiene que
5.7. Teorema de resonancia de Poincaré 305
L L H = L(x m1
1 · · · x mn
n ) ∂
∂xi
j=1
− x m1
1 · · · x mn
n [ ∂
, L]
∂xi
n
= ( mjλj)x m1
1 · · · x mn ∂
n − λix
∂xi
m1
1 · · · x mn ∂
n
∂xi
= (
n
mjλj − λi)H.
j=1
Definición. Diremos que λ1, . . . , λn ∈ C están en resonancia si existen
para los que
i ∈ {1, . . . , n}, m1, . . . , mn ∈ N,
n
mj ≥ 2 , λi =
j=1
n
mjλj.
Corolario 5.19 Si los autovalores λi de nuestro campo lineal L no están
en resonancia entonces
j=1
L L : D(Pm) → D(Pm),
es un isomorfismo, para cada m ≥ 2.
Demostración. Es una simple consecuencia del resultado anterior
pues los campos de (5.5) son base de D(Pm) y en esta base la aplicación
lineal L L es diagonal y todos sus autovalores son no nulos.
Consideremos ahora un campo cualquiera D ∈ D(E) con un punto
singular p ∈ E, cuyos exponentes característicos no estén en resonancia.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que p = 0.
Si consideramos la linealización L de D en p y un sistema de coordenadas
lineales xi,
⎛ ⎞
n
n n
∂
D = fi , L = ⎝ aijxj ⎠
∂xi
∂
,
∂xi
i=1
y nuestra hipótesis significa que la matriz A = (aij), con aij = ∂fi(p)/∂xj,
tiene autovalores λ1, . . . , λn (supondremos que reales) sin resonancia.
En estos términos se tiene el siguiente resultado.
i=1
j=1

306 Tema 5. Estabilidad
Teorema 5.20 Para cada k ∈ N existe un sistema de coordenadas polinómico
ui en un entorno de p tal que (para gi = o(u k ))
Dui =
n
aijuj + gi.
j=1
Demostración. La demostración se hace recurrentemente eliminando
en cada paso los términos del desarrollo de Taylor de menor orden, mayor
que uno, de las componentes del campo D en p.
Consideremos la descomposición D = L+G2 +G, donde G2 ∈ D(P2)
y G ∈ D es tal que Gxi = o(x 2 ) —observemos que lo único que hemos
hecho es desarrollar por Taylor cada función Dxi hasta el orden 3, Lxi
es la parte lineal G2xi es la cuadrática y Gxi es el resto que es de orden
inferior a x 2 —. Veamos cómo podemos hacer que la parte cuadrática
desaparezca.
Por el corolario anterior (5.19) existe H ∈ D(P2), tal que [L, H] = G2,
consideremos hi = Hxi ∈ P2 y el sistema de coordenadas en un entorno
de 0, ui = xi − hi. Entonces
Dui = Lui + G2ui + Gui
= Lxi − Lhi + [L, H]xi − [L, H]hi + Gui
n
= aijxj − Lhi + L(Hxi) − H(Lxi) − [L, H]hi + Gui
=
=
j=1
n
n
aijxj − H( aijxj) − [L, H]hj + Gui
j=1
j=1
n
aijuj − [L, H]hi + Gui,
j=1
siendo [L, H]hi y Gui de orden inferior a u 2 .
Ahora considerando las coordenadas ui como lineales volvemos a repetir
el razonamiento para eliminar los términos de grado 3 y así sucesivamente.
La cuestión de si un campo con un punto singular hiperbólico es
equivalente a su linealizado es bastante difícil. No obstante se sabe lo
siguiente:
Cuando todos los autovalores tienen parte real con el mismo signo
y no están en resonancia, Poincaré demostró en 1879 que si D =

5.7. Teorema de resonancia de Poincaré 307
fi∂xi, con las fi analíticas, el campo es analíticamente equivalente
(localmente) a su linealizado.
Cuando tiene autovalores de los dos signos, la equivalencia analítica
depende de que los autovalores satisfagan condiciones diofánticas y fue
resuelto por Siegel en 1952.
La equivalencia diferenciable (de clase ∞) fue resuelta por Sternberg
en 1958, también bajo condiciones de no resonancia de los autovalores.
Por otra parte Hartman y Grobman probaron, independientemente
en 1959, que el campo siempre es topológicamente equivalente
(localmente) a su linealización. Y si las fi son de clase 2, Hartman
probó en 1960 que el campo siempre es diferenciablemente equivalente
(de clase 1) a su linealización, y aunque las fi sean polinómicas no podemos
asegurar que sea diferenciablemente equivalente de clase 2, a menos
que los autovalores no estén en resonancia, como pone de manifiesto el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.7.1 Consideremos la EDO
x ′ = 2x, y ′ = x 2 + 4y,
cuya linealizada en el origen es x ′ = 2x, y ′ = 4y, y sus autovalores
λ1 = 2 y λ2 = 4 están en resonancia. Para ella no hay un difeomorfismo
H = (u, v): R 2 → R 2 , de clase 2 que lleve el grupo uniparamétrico Xt
de nuestra ecuación en el de la linealizada exp tA, pues en caso contrario
exp tA ◦ H = H ◦ Xt, es decir
2t e 0
0 e4t
u(x, y)
=
v(x, y)
y tendríamos que en t = 1
2t 4t 2 u(e x, e (y + tx ))
v(e2t x, e4t (y + tx2
,
))
e 2 u(x, y) = u(e 2 x, e 4 (y + x 2 )),
e 4 v(x, y) = v(e 2 x, e 4 (y + x 2 )),
y derivando la primera ecuación respecto de y en (0, 0), tendríamos que
uy = 0 y derivando la segunda respecto de x dos veces (la segunda en el
origen)
e 4 vx(x, y) = e 2 vx(e 2 x, e 4 (y + x 2 )) + 2x e 4 vy(e 2 x, e 4 (y + x 2 )),
e 4 vxx = e 4 vxx + 2 e 4 vy,
lo cual implicaría que vy = 0 y H = (u, v) tendría jacobiano nulo en el
origen y no sería difeomorfismo.

308 Tema 5. Estabilidad
5.8. Cuenca de un sumidero
Definición. Sea p ∈ U un punto singular de un campo D ∈ D(U),
llamaremos cuenca de p al conjunto C(p) de todos los puntos cuyas
trayectorias tienden a p cuando t → ∞.
A menudo llamaremos sumidero a un punto singular asintóticamente
estable de D.
Proposición 5.21 Cuencas correspondientes a puntos singulares distintos
son disjuntas y la cuenca de un sumidero es un abierto.
Demostración. La primera afirmación es obvia, veamos la segunda.
En primer lugar recordemos que si p ∈ U es un punto asintóticamente
estable de D ∈ D(U), entonces existe un abierto Up, entorno de p, tal que
toda trayectoria pasando por un punto de Up, converge a p cuando t →
∞, por tanto C(p) es el conjunto de todos los puntos cuyas trayectorias
entran en Up, por tanto si consideramos el flujo de D, X : WD → U y la
proyección π : (t, x) ∈ WD → x ∈ U, tendremos que
C(p) = π[X −1 (Up)].
La importancia de una cuenca estriba en que por una parte podemos
identificar todos los estados de la cuenca de p, con el propio punto p, ya
que cualquiera de ellos llegará, después de un tiempo, a estar tan cerca de
este que no será posible distinguirlos. Por otra parte para ciertos campos,
por ejemplo los gradientes de funciones acotadas superiormente, casi
todo punto se encuentra en la cuenca de un sumidero, siendo los demás
puntos “improbables”. Para tales campos los sumideros representan, en
definitiva, los distintos tipos de comportamiento del flujo a largo plazo.
El conocimiento del “tamaño”de una cuenca también es importante,
pues nos da una estimación de la “perturbación” que puede sufrir el
punto de equilibrio, con la seguridad de que el sistema regrese al (mismo)
punto de equilibrio.
Durante mucho tiempo se pensó que si la cuenca de un punto singular
era un entorno del punto, entonces el punto era estable y por tanto
asintóticamente estable, sin embargo esto es falso.

5.8. Cuenca de un sumidero 309
Ejemplo 5.8.1 El siguiente campo tangente construido por Vinograd
x 2 (y − x) + y 5
(x 2 + y 2 )(1 + (x 2 + y 2 ) 2 )
∂
∂x +
y 2 (y − 2x)
(x 2 + y 2 )(1 + (x 2 + y 2 ) 2 )
∂
∂y ,
tiene el origen como un punto singular inestable, siendo su cuenca todo
el plano. Remitimos al lector a la p.191 del libro de Hahn, donde lo
estudia.
A continuación veremos como se pueden utilizar las funciones de
Liapunov para estimar el tamaño de la cuenca de un sumidero.
Definición. Sea D ∈ D(U) con grupo uniparamétrico X : WD → U.
Diremos que P ⊂ U es invariante si R × P ⊂ WD y para todo t ∈ R
Xt(P ) ⊂ P.
Diremos que es positivamente invariante (resp. negativamente invariante)
si Xt(P ) ⊂ P es cierto para los t ≥ 0, (resp. para los t ≤ 0).
Diremos que P es minimal si es cerrado, no vacío, invariante y no
contiene subconjuntos propios con estas propiedades.
Definición. Sea D ∈ D(U) con grupo uniparamétrico X. Diremos que
x ∈ U es un punto límite positivo (resp. negativo) de q ∈ U si (0, ∞) ⊂
I(q) (resp. (−∞, 0) ⊂ I(q)) y existe una sucesión tn → ∞ (resp. tn →
−∞), tal que
X(tn, q) → x.
Denotaremos con αq y Ωq respectivamente los conjuntos de puntos
límite negativo y positivo de q.
Proposición 5.22 Sea D ∈ D(U), q ∈ U e I(q) = (α, β). Entonces:
a) Los conjuntos αq y Ωq son cerrados y verifican que dado x ∈ Ωq
(x ∈ αq) y t ∈ I(x) entonces X(t, x) ∈ Ωq (∈ αq).
b) Si Xq[0, β) está en un compacto, entonces β = ∞, Ωq es no vacío,
invariante, compacto, conexo y
lím
t→∞ d[Xq(t), Ωq] = 0,
para d[A, B] = ínf{z − x : z ∈ A, x ∈ B}.
c) Y si Xq(α, 0] está en un compacto, entonces α = −∞ y αq es no
vacío, invariante, compacto, conexo y
lím
t→−∞ d[Xq(t), αq] = 0.

310 Tema 5. Estabilidad
Demostración. Haremos la demostración para Ωq.
a) Si xn → x, con xn = lím X(tnm , q), entonces existe una subsucesión
rn, de tnm , para la que X(rn, q) → x.
Sea x ∈ Ωq y tn → ∞ tales que Xq(tn) → x, entonces para t ∈ I(x),
t + tn ∈ (0, ∞) ⊂ I(q) para n suficientemente grande y
X(t + tn, q) = Xt[Xq(tn)] → Xt(x),
por tanto Xt(x) ∈ Ωq.
b) Que Ωq es no vacío es obvio y es compacto pues Ωq ⊂ K. Que
es invariante se sigue de (a) y de estar en un compacto, pues si z ∈ Ωq,
como Xt(z) está en un compacto, será I(x) = R.
Veamos que es conexo. Supongamos que existen compactos disjuntos
K1 y K2 tales que Ωq = K1 ∪ K2 y sea
0 < δ = d(K1, K2) = mín{x − y : x ∈ K1, y ∈ K2}.
Si tn ↑ ∞ es tal que para n impar y par respectivamente
d[Xq(tn), K1] < δ
4 , d[Xq(tn), K2] < δ
4 ,
entonces por la continuidad de Xq, existirá t2n−1 ≤ rn ≤ t2n, tal que
d[Xq(rn), K1] = d[Xq(rn), K2] ≥ δ
2 .
Sea z ∈ Ωq un punto límite de Xq(rn), entonces
d(z, K1) = d(z, K2) ≥ δ/2, y d(z, Ωq) ≥ δ/2,
lo cual es absurdo.
Por último si existe ɛ > 0 y tn → ∞, tal que d[Xq(tn), Ωq] ≥ ɛ,
llegamos a un absurdo, pues Xq(tn) tiene un punto límite que está en
Ωq.
Teorema 5.23 Sea p ∈ U un punto singular de D ∈ D(U) y sea ℓ ∈ C(U)
una función de Liapunov para D en p. Si K ⊂ U es compacto, entorno
de p, positivamente invariante y tal que no contiene ninguna trayectoria
completa de D —salvo la de p— en la que ℓ sea constante, entonces
K ⊂ C(p).

5.9. La aplicación de Poincaré 311
Demostración. Por ser K positivamente invariante tenemos que
para cada q ∈ K y t ≥ 0, Xq(t) ∈ K, por tanto por el resultado anterior
Ωq ⊂ K, es no vacío y dado z ∈ Ωq y t ∈ R, Xz(t) ∈ Ωq, además
ℓ(z) = ínf{ℓ[Xq(t)] : t ∈ (0, ∞)},
pues Dℓ ≤ 0, es decir ℓ ◦ Xq es decreciente, y ℓ es continua, por tanto
ℓ es constante en Ωq en particular en la órbita de z y por la hipótesis
z = p, por tanto Ωq = {p} y del lema se sigue que Xq(t) → p cuando
t → ∞.
Ejercicio 5.8.1 Consideremos las ecuaciones del péndulo con rozamiento (a >
0), es decir:
θ ′ (t) = z(t),
z ′ (t) = az − sen θ(t),
y demostrar que para cada k < 2 y ℓ(θ, z) = z 2 /2 + 1 − cos θ, el compacto
está en la cuenca del punto p = (0, 0).
K = {(θ, z) : −π ≤ θ ≤ π, ℓ(θ, z) ≤ k},
5.9. La aplicación de Poincaré
Consideremos el campo
D = [y + x(1 − x 2 − y 2 )] ∂
∂x + [−x + y(1 − x2 − y 2 )] ∂
∂y ,
en coordenadas polares (ρ, θ) tenemos que
D = − ∂
∂θ + ρ(1 − ρ2 ) ∂
∂ρ ,
cuyas soluciones son (haciendo el cambio z = ρ −2 , y tomando θ(0) = 0)
θ(t) = −t
⎫
⎬
1
ρ(t) = √ ⎭
1 + k e−2t ⇒
x(t) =
cos t
√ 1 + k e −2t
⎫
⎪⎬
sen t
y(t) = −√
⎪⎭
1 + k e−2t

312 Tema 5. Estabilidad
Para k = 0, la solución es periódica, y
su órbita es la circunferencia unidad. Para
k > 0, la solución se aproxima por fuera
en espiral al origen, cuando t → −∞, y a la
circunferencia en espiral por dentro, cuando
t → ∞.
Para k < 0, la solución tiende a ∞ cuando
t → log Figura 5.4.
√ −k, y a la circunferencia unidad,
en forma espiral y por fuera, cuando
t → ∞. Así pues existe una órbita periódica, a la que las demás tienden
cuando t → ∞. En esta lección estudiaremos este tipo de órbitas.
Definición. Sea D ∈ D(U) y p ∈ U un punto no singular de D. Diremos
que la órbita de p, γ = Xp[I(p)], es cíclica ó perriódica si I(p) = R y
existe T > 0 tal que para todo t ∈ R,
Xp(t) = Xp(t + T ).
Llamaremos período de γ al mínimo de los T > 0 verificando lo
anterior.
Ejercicio 5.9.1 Demostrar que si O es la órbita de un punto no singular p de
un campo D ∈ D(U), son equivalentes: (a) O es cíclica. (b) Existen r ∈ I(p)
y T > 0 tales que
Xp(r) = Xp(r + T ).
(c) Con la topología inducida por U, O es homeomorfa a la circunferencia
unidad S1.
Definición. Sea D ∈ D(U) y x ∈ U.
Una sección local de D en x, es un
conexo cerrado S, entorno de x en un
hiperplano afín que contiene a x,
H = {z ∈ E : h(z) = h(x)},
para h lineal, tal que para cada p ∈ S,
Dph = 0.
Figura 5.5. Sección local
Nota 5.24 Observemos que en particular Dx = 0, para cada x ∈ S.
Ejercicio 5.9.2 Demostrar que por todo punto no singular de D pasa una
sección local y que esta sección es cortada por cada órbita de un lado al

5.9. La aplicación de Poincaré 313
otro del hiperplano y que todas las órbitas lo hacen en “el mismo sentido”,
entendiendo que un hiperplano divide el espacio en dos regiones A y B, de este
modo hay dos posibles sentidos de atravesarlo, de A a B ó de B a A.
Proposición 5.25 Sea D ∈ D(U), p ∈ U, r ∈ I(p) y S una sección
local de D pasando por x = Xp(r). Entonces existe un abierto Up ⊂ U,
entorno de p, y una función t: Up → R diferenciable tal que t(p) = r y
X[t(z), z] ∈ S para cada z ∈ Up.
Demostración. Sea h: E → R, lineal tal que S ⊂ {h = h(x)} y
Dh = 0 en S y sea G = h ◦ X, entonces
∂G
(r, p) = Dh(x) = 0,
∂t
y por el teorema de la función implícita existe un abierto V , entorno de p
y una única t: V → R diferenciable, tal que t(p) = r y para todo z ∈ V ,
G[t(z), z] = G(r, p) = h(x),
es decir tal que para cada z ∈ V , X[t(z), z] ∈ H. Ahora por continuidad,
existe Up entorno de p, tal que X[t(z), z] ∈ S, para cada z ∈ Up.
Lema 5.26 a) Sea D ∈ D(U), p ∈ U, [a, b] ⊂ I(p) y S una sección local
de D. Entonces existen a lo sumo un número finito de t ∈ [a, b], tales
que Xp(t) ∈ S.
b) Sea D ∈ D(U), q ∈ U, p ∈ Ωq un punto no singular de D y S una
sección local de D en p. Entonces existe una sucesión creciente sn → ∞,
tal que
{Xq(sn) : n ∈ N} = S ∩ Xq[0, ∞).
Además p es un punto límite de xn = Xq(sn).
Demostración. a) Supongamos que exista una sucesión de tn ∈
[a, b], tales que Xp(tn) ∈ S. Sin pérdida de generalidad podemos suponer
que tn → t ∈ [a, b].
Por ser S cerrado x = Xp(t) ∈ S, y si S ⊂ {z : h(z) = h(x)},
entonces h[Xp(tn)] = h(x), por tanto
en contra de la definición.
h[Xp(tn)] − h(x)
Dxh = lím
= 0,
tn→t tn − t

314 Tema 5. Estabilidad
b) Aplicando (5.25) a r = 0 y x = p, tenemos que existe V entorno de
p y t: V → R diferenciable tales que t(p) = 0 y X[t(z), z] ∈ S para todo
z ∈ V . Ahora como p ∈ Ωq, existe rn → ∞, tal que pn = Xq(rn) → p,
y por tanto salvo para un número finito de n’s, pn ∈ V y X[t(pn), pn] =
Xq[t(pn) + rn] ∈ S. Además Xq[t(pn) + rn] → p.
Por último se sigue de (a) que
es a lo sumo numerable.
S ∩ Xq[0, ∞) = S ∩ Xq[0, 1] ∪ S ∩ Xq[1, 2] ∪ . . .
Definición. Dado un campo D ∈ D(U), una órbita cíclica suya γ y una
sección S de D en x ∈ γ, llamaremos aplicación de Poincaré en x a un
difeomorfismo
θ : S1x → S2x,
donde S1x y S2x son entornos abiertos de x en S, para la que existe una
aplicación diferenciable t: S1x → R tal que t(x) = T —el período de x—
y para todo z ∈ S1x
θ(z) = X[t(z), z].
Teorema 5.27 Dado un campo D ∈ D(U), una órbita cíclica suya γ y
una sección local S de D en x ∈ γ, entonces:
a) Existe una aplicación de Poincaré, θ : S1x → S2x en x.
b) Los n autovalores de
XT ∗ : Tx(E) → Tx(E),
son el 1 y los n − 1 autovalores de θ∗ : Tx(H) → Tx(H).
Demostración. Con una traslación podemos considerar que x = 0.
Ahora consideremos un sistema de coordenadas lineales xi correspondientes
a una base ei de E donde e1, . . . , en−1 son una base del hiperplano
H que contiene a S y en es el vector cuya derivada direccional es Dx,
es decir correspondiente a Dx por la identificación canónica entre E y
Tx(E).
Entonces Dx = (∂xn)x y x1, . . . , xn−1 son coordenadas en H, que
por evitar confusiones denotaremos z1, . . . , zn−1.
Por (5.25) sabemos que existe Ux entorno de x en U, y t: Ux → R
diferenciable tal que t(x) = T (el período de γ) y X[t(z), z] ∈ S, para
cada z ∈ Ux. Definimos Sx = Ux ∩ ◦
S y la aplicación
θ : Sx → S , θ(z) = X[t(z), z].

5.9. La aplicación de Poincaré 315
Calculemos la matriz de θ∗ : Tx(H) → Tx(H) en términos de las
coordenadas zi. Para i, j = 1, . . . , n − 1
∂θi
∂zj
(x) = ∂Xi ∂t
(T, x)
∂t ∂zj
= Dxi(x) ∂t
= ∂Xi
∂xj
∂zj
(x) +
n ∂Xi
(T, x)
∂xk
∂zk
(x)
∂zj
k=1
(x) + ∂Xi
(T, x)
∂xj
(T, x) = ∂(XT )i
(x).
∂xj
pues zn = 0.
Ahora bien XT es un difeomorfismo y XT ∗ : Tx(E) → Tx(E) es un
isomorfismo, que tiene un autovalor λ = 1, pues
XT ∗Dx = D X(T,x) = Dx,
y tiene una matriz asociada para i, j = 1, . . . , n − 1
∂(XT )i (x) 0
∂xj
a 1
por tanto θ es un difeomorfismo local en x y se sigue (a) y (b).
Nota 5.28 Observemos que los autovalores de XT ∗ : Tx(E) → Tx(E) y
los de XT ∗ : Ty(E) → Ty(E) son los mismos para x, y ∈ γ. Pues existe
r ∈ R tal que X(r, x) = y y (XT ∗)y ◦ Xr∗ = Xr∗ ◦ (XT ∗)x.
Definición. Llamaremos multiplicadores característicos de la órbita
cíclica γ a los n − 1 autovalores de XT ∗ —en cualquier punto x ∈ γ—,
que quedan cuando quitamos el 1 que corresponde a XT ∗Dx = Dx. Es
decir a los autovalores de θ∗.
Ejercicio 5.9.3 Sea D ∈ D(R 2 ) con una curva integral γ cíclica con período T .
Sea E un campo independiente de D en los puntos de γ. Demostrar que:
(a) Si [D, E] = 0, entonces el multiplicador característico de γ es 1.
(b) Si [D, E] = gD, entonces el multiplicador característico de γ es
.
T0
g[γ(s)] ds
e .

316 Tema 5. Estabilidad
5.10. Estabilidad de órbitas cíclicas
Definición.
Sea D ∈ D(U) y p ∈ U. Diremos que
la órbita de p se aproxima a una órbita
cíclica γ en x ∈ γ, si [0, ∞) ⊂ I(p)
y para cada S sección local de D
en x existe Ux entorno abierto de
x en U, una aplicación diferenciable
t: Ux → R, un t0 > 0 y un entorno
abierto Sx de x en S tales que:
i.- t(x) = T , el período de γ.
ii.- p1 = X[t0, p] ∈ Sx.
iii.- pn+1 = X[t(pn), pn] ∈ Sx.
iv.- pn → x.
Figura 5.6. La órbita de p se aproxima
a γ en x
Diremos que la órbita de p se aproxima a γ si lo hace en todo punto
x ∈ γ.
Diremos que la órbita cíclica γ es asintóticamente estable si existe
un entorno U(γ) de γ, tal que para todo p ∈ U(γ), la órbita de p se
aproxima a γ.
Ejemplo 5.10.1 Consideremos de nuevo el campo con el que comenzamos
la lección anterior
D = [y + x(1 − x 2 − y 2 )] ∂
∂x + [−x + y(1 − x2 − y 2 )] ∂
∂y ,
cuyas soluciones son para cada k
σ(t) =
1
√ (cos t, − sen t),
1 + k e−2t consideremos la sección local S = {(x, 0) : x > 0}, que corta a la circunferencia
unidad —que es una órbita cíclica—, en el punto (1, 0), y
observemos que para todo p ∈ S, X(2π, p) ∈ S, por lo que la aplicación
de Poincaré correspondiente
θ : (0, ∞) → (0, ∞),

es tal que
de donde se sigue que
5.10. Estabilidad de órbitas cíclicas 317
σ(0) = (x, 0), σ(2π) = (θ(x), 0),
1
x = √
1 + k
⇒ k = 1
− 1
x2 1
θ(x) =
1 + 1
x2 − 1 e−4π por lo tanto θ ′ (1) = e −4π es el multiplicador característico de la órbita
cíclica, el cual es menor que 1. En esta lección veremos que esto implica
que todas las trayectorias se aproximen a la circunferencia.
Lema 5.29 Sea θ : V ⊂ R m → R m , diferenciable tal que θ(0) = 0 y
∂θi
A =
∂zj
(0) ,
tiene todos sus autovalores en el disco unidad {λ : |λ| < 1}. Entonces
existe V0 entorno de 0 en V , tal que para todo q ∈ V0, θ(q) ∈ V0 y
θ n (q) → 0.
Demostración. Como ρ(A) < 1 podemos tomar r ∈ R tal que
ρ(A) < r < 1. Y por (5.3) existe una norma inducida por un producto
interior en R m , para la que A < r. Ahora para cada ɛ > 0 existe una
bola V0 ⊂ V , centrada en 0, tal que si q ∈ V0
y eligiendo ɛ tal que k = r + ɛ < 1
θ(q) − Aq ≤ ɛq,
θ(q) ≤ ɛq + Aq ≤ ɛq + A · q ≤ kq,
de donde se sigue el resultado, pues θ n (q) ≤ k n q.
Proposición 5.30 Si los multiplicadores característicos de γ están en
{λ ∈ C : |λ| < 1}, entonces para cada x ∈ γ y cada sección local S
de x, existe un abierto Ux entorno de x en U, t: Ux → R diferenciable
y Sx entorno abierto de x en S, tales que:
i. t(x) = T , el período de γ.

318 Tema 5. Estabilidad
ii. Para cada z ∈ Ux, t(z) > 0, [0, ∞) ⊂ I(z) y
X[t(z), z] ∈ Sx.
iii. Para cada z1 ∈ Sx y zn+1 = X[t(zn), zn], se tiene zn → x.
iv. Para todo p ∈ Ux, x ∈ Ωp.
Demostración.
En los términos de (5.27) podemos
tomar, como consecuencia de
(5.29), Sx = S1x, tal que θ(Sx) ⊂
Sx, para cada z ∈ Sx, θn (z) → x
y para cada z ∈ Ux, X[t(z), z] ∈
Sx. Que [0, ∞) ⊂ I(z) se sigue de
que para z1 = X[t(z), z], zn+1 =
X[t(zn), zn] = X(sn, z), siendo
y sn → ∞, pues t(zn) → T .
sn = t(z) + t(z1) + · · · + t(zn),
Figura 5.7. Aplicación de Poincaré
Teorema de Liapunov de Estabilidad de Orbitas Cíclicas 5.31
Si γ es una órbita cíclica de D ∈ D(U), con multiplicadores característicos
en el disco unidad
{λ ∈ C : |λ| < 1},
entonces γ es asintóticamente estable.
Demostración. Para cada x ∈ γ consideremos una sección cualquiera,
pasando por x y el abierto Ux del resultado anterior. Veamos que
U(γ) = ∪Ux satisface el resultado, es decir que la órbita de cada p ∈ U(γ)
se aproxima a γ.
En primer lugar existe un x ∈ γ, tal que p ∈ Ux y por tanto existe
sn → ∞ tal que xn = X(sn, p) → x.
Consideremos un r ∈ (0, T ], z = X(r, x) ∈ γ y S una sección local por
z. Apliquemos (5.30) a z y S y (5.25) a x, r y S. Entonces existen sendos
abiertos Vz, Vx ⊂ U, entornos de z y x respectivamente, y aplicaciones
diferenciables
tz : Vz → R , tx : Vx → R,
tales que tz(z) = T , tx(x) = r y para cada z ′ ∈ Vz y cada x ′ ∈ Vx se
verifica
X[tz(z ′ ), z ′ ] ∈ Sz , X[tx(x ′ ), x ′ ] ∈ Sz.

5.10. Estabilidad de órbitas cíclicas 319
Ahora como xn = X(sn, p) → x, X(sn, p) ∈ Vx a partir de un m ∈ N
en adelante y para t0 = sm + tx(xm), tendremos que
p1 = X(t0, p) = X(tx(xm), X(sm, p)) = X(tx(xm), xm) ∈ Sz,
y por (5.30), la sucesión pn+1 = X[tz(pn), pn] ∈ Sz, converge a z y
puesto que el z era arbitrario, hemos demostrado que la órbita de p se
aproxima a γ.
Teorema 5.32 Si γ ⊂ U es una órbita cíclica asintóticamente estable,
de D ∈ D(U), con entorno U(γ), entonces para todo entorno V de γ y
todo p ∈ U(γ), existe un tp > 0 tal que para t ≥ tp se tiene X(t, p) ∈ V .
Demostración. Sea p ∈ U(γ) y consideremos un z ∈ γ y una sección
local S pasando por z. Sabemos que existe Uz, entorno abierto de z en U
y t: Uz → R diferenciable tal que t ≥ 0, t(z) = T , p1 = X(t0, p) ∈ S ∩Uz,
para un t0 > 0 y
pn+1 = X[t(pn), pn] = X[sn, p] ∈ S ∩ Uz , lím pn = z,
por tanto t(pn) → T y M = sup{|t(pn)| : n ∈ N} < ∞. Ahora por ser
X diferenciable es lipchiciana en cada compacto y
X(r, pn) → X(r, z) ∈ γ,
uniformemente en |r| ≤ M, pues existe un ɛ > 0, tal que [−M, M] ×
B[z, ɛ] ⊂ WD. Ahora dado un entorno V de γ, tendremos que d(γ, V c ) =
δ > 0, y existe m ∈ N tal que para n ≥ m y todo |r| ≤ M,
siendo
X(r, pn) = X(r + sn, p) ∈ V,
t0 + t(p1) + · · · + t(pn) = sn → ∞, 0 < sn+1 − sn = t(pn+1) ≤ M,
y basta tomar tp = sm, pues si t ≥ sm, existe n ≥ m tal que sn ≤ t ≤
sn+1 y r = t − sn ≤ sn+1 − sn = t(pn+1) ≤ M, por tanto
X(t, p) = X(r + sn, p) = X(r, pn) ∈ V.

320 Tema 5. Estabilidad
5.11. El Teorema de Poincaré–Bendixson
El resultado central de esta lección es válido cuando E tiene dimensión
2. En él haremos uso del siguiente teorema peculiar del plano real.
Teorema de la Curva de Jordan 5.33 Sea h: [a, b] → R 2 continua, tal
que h(a) = h(b) y h(x) = h(y), para x, y ∈ [a, b) distintos y sea C =
h[a, b]. Entonces R 2 − C = A ∪ B donde A y B son abiertos conexos
disjuntos, con A acotado —llamado el interior de la curva—, y B no
acotado —llamado el exterior de la curva—, además Adh (A) = A ∪ C
y Adh (B) = B ∪ C.
Definición. Sea U un abierto de R 2 , D ∈ D(U) y γ una órbita cíclica
con período T . Diremos que la órbita de q ∈ U se aproxima en espiral
a γ, si para cada x ∈ γ y cada sección local S de D en x, el conjunto
Xq[(0, ∞)] ∩ S es numerable, de la forma {Xq(tn) = xn}, con tn una
sucesión tal que:
a) tn es creciente y tn → ∞.
b) xn está entre xn−1 y xn+1.
c) xn → x.
Ejercicio 5.11.1 En las condiciones de la definición anterior, demostrar que:
tn+1 − tn → T.
Lema 5.34 Sea U un abierto de R 2 . En las condiciones de (5.26): D ∈
D(U), q ∈ U, p ∈ Ωq no singular y S sección local de D por p, se tiene
que para
{xn = Xq(tn)} = Xq[0, ∞) ∩ S.
c) Si x1 = x2, entonces xn = p para todo n y la órbita de q es cíclica.
d) Si x1 = x2, entonces todos los xn son distintos, xn está entre xn−1
y xn+1 y xn → p.
Demostración. (c) Si x1 = x2, entonces Xq es cíclica y Xq(t) =
Xq(t + nT ) para todo t ∈ R, n ∈ Z y T = t2 − t1. Ahora bien existe
n ∈ Z tal que
t = t3 + nT ∈ [t1, t2],

5.11. El Teorema de Poincaré–Bendixson 321
y por tanto Xq(t) = Xq(t3) ∈ S, entonces t = t1 ó t = t2. Se sigue
así que todos los xn coinciden y coinciden con p, pues p es un punto de
acumulación de los xn.
d) Supongamos que x1 = x2, entonces la curva C formada por el
segmento x1x2 y por Xq(t), para t ∈ (t1, t2), divide al plano en dos
abiertos conexos A y B, por (5.33). Tenemos ahora tres casos:
1) Si existe r ∈ (t2, t3), tal que
Xq(r) ∈ A, entonces para que Xq(t) entre
en B, debe cortar a C, pero por una
parte no puede atravesar a Xq[(t1, t2)],
ya que si Xq(a) = Xq(b) con a > r y
b ∈ (t1, t2), entonces podemos considerar
el mínimo a que lo verifica, y para él
Xq(a − ɛ) = Xq(b − ɛ), para un ɛ > 0
suficientemente pequeño, siendo así que
Figura 5.8.
Xq(a−ɛ) ∈ A y Xq(b−ɛ) ∈ C. Y tampoco
puede atravesar C por el segmento x1x2, pues en ese punto, D tendría
un sentido distinto que en x1 y x2. Se sigue así que Xq(t) debe estar en
A para todo t ≥ r y si S − x1x2 = S1 ∪ S2, donde S1 y S2 son segmentos
cerrados disjuntos, S1 ⊂ B y con extremo x1 y S2 ⊂ A con extremo
x2, entonces x3 ∈ S2 y x2 está entre x1 y x3. El resultado se sigue por
inducción. Además los xn tienen a lo sumo un punto de acumulación y
p lo es.
2) Si existe r ∈ (t2, t3) tal que Xq(r) ∈ B, por la misma razón de
antes debe mantenerse en B y el resultado se concluye de una forma
similar.
3) Si Xq(t2, t3) ⊂ C ⊂ S ∪ Xq(t1, t2), como Xq(t2, t3) ∩ S es finito,
tendremos que Xq(t2, t3) ∩ Xq(t1, t2) es no vacío, por tanto existen a ∈
(t1, t2) y a + T ∈ (t2, t3), tales que Xq(a) = Xq(a + T ) y por tanto
Xq(t1 + T ) = Xq(t1) ∈ S, para t1 + T ∈ (t1, t3), por tanto t1 + T = t2 y
x1 = x2, lo cual es absurdo.
Corolario 5.35 Sea U abierto de R 2 , q ∈ U y S una sección local de
D ∈ D(U), entonces S ∩ Ωq tiene a lo sumo un punto.
Lema 5.36 Sea U abierto de R 2 , q ∈ U y D ∈ D(U). Si Xq(0, ∞)
está en un compacto y Ωq contiene una órbita cíclica γ, entonces Ωq = γ.
Además o bien la órbita de q es γ o bien se aproxima a ella en espiral.
Demostración. Supongamos que Ωq − γ es no vacío, como cerrado
no puede ser porque Ωq es conexo, tendremos que existe xn ∈ Ωq − γ,

322 Tema 5. Estabilidad
tal que xn → x ∈ γ.
Ahora como Dx = 0, podemos considerar una sección local S de
D pasando por x y existe V entorno de x y t: V → R diferenciable
tales que t(x) = 0 y X[t(z), z] ∈ S para cada z ∈ V . Como a partir
de un n es xn ∈ V , tendremos que X[t(xn), xn] ∈ S. Además como
xn ∈ Ωq, tendremos por (5.22) que X[t(xn), xn] ∈ Ωq, y por (5.35) que
x = X[t(xn), xn], es decir que
xn = X[−t(xn), x] ∈ γ,
en contra de lo supuesto. La última parte es consecuencia de (5.34),
pues si la órbita de q es cíclica, coincide con Ωq = γ y si la órbita de q
no es cíclica, entonces está en el interior de γ ó en el exterior. Además si
z ∈ γ y S es una sección local de D pasando por z, entonces existe una
sucesión creciente tn → ∞, tal que Xq(tn) → z en forma ordenada por
el segmento S y
{Xq(tn)} = S ∩ Xq[0, ∞),
y el resultado se sigue, la aproximación de Xq a γ es en espiral.
Teorema De Poincare–Bendixson 5.37 Sea U abierto de R 2 , q ∈ U y
D ∈ D(U), tales que Xq(0, ∞) está en un compacto K. Si existen p ∈ Ωq
y x ∈ Ωp tales que Dx = 0 (en particular si K no contiene singularidades
de D), entonces Ωq es una órbita cíclica de D en K. Además o la órbita
de q es cíclica, siendo Ωq, o bien Xq se aproxima en espiral por dentro
o por fuera a Ωq.
Demostración. Como Ωq es invariante, tendremos que Xp(R) ⊂ Ωq
y por ser cerrado Ωp ⊂ Ωq.
Sea S una sección local de D pasando por x ∈ Ωp, que existe pues
por hipótesis Dx = 0. Entonces S ∩Ωq = {x}, pues por (5.35) a lo sumo
tiene un punto y
x ∈ S ∩ Ωp ⊂ S ∩ Ωq,
y como Xp(t) ∈ Ωq, tendremos que
{x1, x2, . . .} = Xp[0, ∞) ∩ S ⊂ Ωq ∩ S = {x},
por tanto x1 = x2 = x y se sigue de (5.34) que la órbita γ de p, es
la órbita de x y es cíclica. Ahora el resultado es consecuencia del lema
anterior (5.36) y Ωq = γ.

5.11. El Teorema de Poincaré–Bendixson 323
Ejemplo 5.38 Como una aplicación de este resultado consideremos el
siguiente campo
D = [−2y + x(2 − x 2 − 2y 2 )] ∂
∂x + [x + y(2 − x2 − 2y 2 )] ∂
∂y ,
para el que hay órbitas que entran en el compacto
y en él se quedan, pues para
tenemos que
K = {(x, y) : 1 ≤ x 2 + 2y 2 ≤ 4},
H = 2(x∂x + 2y∂y) = grad(x 2 + 2y 2 ),
< D, H > = [−2y + x(2 − x 2 − 2y 2 )]2x + [x + y(2 − x 2 − 2y 2 )]4y
= 2(x 2 + 2y 2 )(2 − x 2 − 2y 2 ),
es positivo en los puntos x
Figura 5.9.
2 +2y2 = 1 lo cual
significa que D sale de esa elipse, mientras
que es negativo en x2 + 2y2 = 4, lo cual
significa que entra en la elipse. Además es
fácil verificar que D no se anula en K, por
tanto el teorema de Poincaré–Bendixson nos
asegura que D tiene en K una órbita cíclica,
que es x2 + 2y2 = 2 —aunque esto no lo dice el teorema—.
Teorema 5.39 Sea U abierto de R 2 , D ∈ D(U) con singularidades aisladas
y q ∈ U tal que Xq(0, ∞) está en un compacto K. Si existe p ∈ Ωq
tal que Dp = 0, entonces:
a) Si para todo x ∈ Ωq es Dx = 0, entonces Ωq = {p} y Xq(t) → p,
cuando t → ∞.
b) Si existe a ∈ Ωq tal que Da = 0, entonces Ωq = P ∪ C, con
P = {p1, . . . , pm} un conjunto finito de singularidades de D y C = ∪γa
una unión de órbitas de puntos a ∈ U no singulares. Tales que para cada
a existen pi, pj ∈ P , Xa(t) → pi, cuando t → ∞ y Xa(t) → pj cuando
t → −∞.
Demostración. Como Ωq es compacto a lo sumo contiene un conjunto
finito P = {p1, . . . , pm} de singularidades de D, pues en caso contrario

324 Tema 5. Estabilidad
tendríamos un punto límite —que también sería singular por la continuidad
de D— y no sería aislado. Por tanto Ωq = P ∪ C, con C unión
de órbitas γa de puntos no singulares.
a) En este caso Ωq = P y por ser Ωq conexo, tendríamos que Ωq =
{p}. Que Xq(t) → p es consecuencia de (5.22).
b) Supongamos que para alguna γa de C existe x ∈ Ωa con Dx = 0,
entonces por (5.36), Ωq es cíclica, en contra de la hipótesis, pues existe
p ∈ Ωq, con Dp = 0.
Por tanto para toda γa de C y todo x ∈ Ωa es Dx = 0. Se sigue de
(a) que Ωa es un punto de P al que converge Xa(t) cuando t → ∞. Por
simetría (considérese el campo −D), se obtiene que Xa(t) tiende a un
punto de P (que es αa), cuando t → −∞.
Remitimos al lector al Teorema de Stokes (14.12), pág.974, del
que una consecuencia es el siguiente resultado sobre la no existencia de
órbitas cíclicas.
Criterio De Bendixson 5.40 Sea D ∈ D(R 2 ). Si div (D) > 0 (resp. <
0), entonces D no tiene órbitas cíclicas.
Demostración. Supongamos que S es una órbita cíclica del campo
D = f∂x + g∂y y sea C = S ∪ S0 —por el teorema de Jordan C es
compacto no vacío—. Entonces ωD = 0 para ω = fdy − gdx y por el
Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 llegamos a un absurdo, pues
∂f ∂g
0 = ω = dω = + dx ∧ dy > 0,
∂x ∂y
ya que C tiene interior no vacío.
S
C
5.12. Estabilidad de órbitas en el plano
C
Definición. Diremos que una órbita cíclica γ de D ∈ D(R 2 ) es estable
si para cada ɛ > 0 existe δ > 0, tal que si p ∈ R 2 verifica d(p, γ) < δ,
entonces (0, ∞) ⊂ I(p) y
d[Xp(t), γ] < ɛ,

5.12. Estabilidad de órbitas en el plano 325
para t ≥ 0.
Utilizaremos el siguiente resultado, aunque no daremos su demostración.
Lema 5.41 Todo campo D ∈ D(R 2 ) se anula en el interior de sus órbitas
cíclicas.
Teorema 5.42 Sea D ∈ D(R 2 ) y q ∈ R 2 tal que Xq(0, ∞) esté en un
compacto sin singularidades de D. Si q está en el interior A de la órbita
cíclica Ωq (resp. en el exterior B), entonces para cada ɛ > 0, existe δ > 0
tal que si p ∈ A (resp. p ∈ B) y d(p, Ωq) < δ, entonces d[Xp(t), Ωq] < ɛ,
para todo t > 0 y Xp se aproxima en espiral a Ωq.
Demostración. Sea η > 0 tal que para toda singularidad z de D,
d(z, Ωq) > η.
Supongamos que q ∈ A y sean x ∈ Ωq, S una sección local de D
pasando por x y tn la sucesión creciente de (5.26) tal que
{Xq(tn)} = Xq[0, ∞) ∩ S.
Entonces dado 0 < ɛ < η existe n ∈ N tal que para t ≥ tn,
d[Xq(t), Ωq] < ɛ,
y además si denotamos con Kn el compacto limitado por las curvas
cerradas Ωq y Cn, definida por el segmento Xq(tn)Xq(tn+1) y el arco
Xq[(tn, tn+1)], entonces para todo z ∈ Kn
Si ahora consideramos
se tiene que
d(z, Ωq) < ɛ.
δ = d[Cn, Ωq],
{z ∈ A : d(z, Ωq) < δ} ⊂ K ⊂ {z ∈ A : d(z, Ωq) < ɛ},
y si p ∈ A y d(p, Ωq) < δ, tendremos que p ∈ K y Xp(t) se mantiene en
K pues no puede cortar a otra curva ni salir por el segmento, por lo que
d[Xp(t), Ωq] < ɛ,

326 Tema 5. Estabilidad
para t ≥ 0. Se sigue de (5.27) que Ωp es una órbita cíclica y del Lema
anterior que en su interior hay un punto singular de D, por lo que su
interior no está en R, es decir contiene al interior de Cn y por tanto a
q. Ahora si Ωp = Ωq, llegamos a un absurdo, pues Xq tendría que cortar
a Ωp para aproximarse a Ωq. Por tanto Ωp = Ωq. Además Xq y Xp se
cortan con cualquier sección local alternadamente.
Teorema 5.43 Condición necesaria y suficiente para que una órbita cíclica
γ de D ∈ D(R 2 ) sea estable es que tanto para su interior A como para
su exterior B se cumpla una de las situaciones:
a) Existe q ∈ A (resp. q ∈ B), tal que Xq(t) → γ, cuando t → ∞.
b) Existen órbitas cíclicas en A (resp. en B), tan próximas a γ como
queramos.
Demostración. “⇐” Si lo que tenemos es (a) es consecuencia del
resultado anterior. Si lo que tenemos es (b) observamos que si p está entre
dos órbitas cíclicas, entonces Xp(t) se mantiene entre ellas y por tanto
próxima a γ.
“⇒” Si γ es estable y para un ɛ > 0 no existen puntos singulares de
D, ni órbitas cíclicas que disten de γ menos de ɛ, entonces como existe
un δ > 0 tal que para p verificando d(p, γ) < δ, se tiene d[Xp(t), γ] < ɛ/2,
tendríamos por el Teorema de Poincare–Bendixson que Ωp es una órbita
cíclica de D que dista de γ menos de ɛ, por tanto Ωp = γ, y tenemos (a).

5.13. Ejercicios resueltos 327
5.13. Ejercicios resueltos
Ejercicio 5.2.2.- Soltamos una bola en un cuenco con superficie dada por z =
(ax 2 + by 2 )/2. Encontrar la EDO que rige su movimiento (suponemos que la
gravedad es el vector g = (0, 0, −1), demostrar que el origen con velocidad
nula es un punto singular de la ecuación y encontrar su linealización en ese
punto.
Indicación.- Sea σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una trayectoria de la bola y consideremos
los vectores independientes en el punto σ(t)
e1 = (1, 0, ax), e2 = (0, 1, by), e3 = (ax, by, −1),
donde e1 y e2 son tangentes a la superficie y e3 es perpendicular, para los que
ax
g = (0, 0, −1) = −
1 + a2x2 + b2y2 e1
by
−
1 + a2x2 + b2y2 e2
1
+
1 + a2x2 + b2 e3
y2 Entonces la velocidad de la bola es
y su aceleración
σ ′ (t) = (x ′ , y ′ , axx ′ + byy ′ ) = x ′ e1 + y ′ e2,
σ ′′ (t) = x ′′ e1 + y ′′ e2 + x ′ e ′ 1 + y ′ e ′ 2 = x ′′ e1 + y ′′ e2 + x ′ (0, 0, ax ′ ) + y ′ (0, 0, by ′ )
= x ′′ e1 + y ′′ e2 − (ax ′2 + by ′2 )e
= (x ′′ + (ax′2 + by ′2 )ax
1 + a 2 x 2 + b 2 y 2 )e1 + (y ′′ + (ax′2 + by ′2 )by
1 + a 2 x 2 + b 2 y 2 )e2 −
ax′2 + by ′2
1 + a2x2 + b2 e3,
y2 por tanto como las fuerzas que actúa en su movimiento son la gravedad, g, y la que
la mantiene en la superficie, tendremos que si la masa de la bola es m, las ecuaciones
de Newton aseguran que
mσ ′′ = me + F,
para F un vector perpendicular a la superficie, es decir múltiplo de e3, por tanto
como las ei son independientes, tendremos que ambos vectores deben tener las dos
primeras componentes (en la base ei) iguales
o lo que es lo mismo
x ′′ + (ax′2 + by ′2 )ax
1 + a2x2 + b2 ax
= −
y2 1 + a2x2 + b2y2 y ′′ + (ax′2 + by ′2 )by
1 + a2x2 + b2 by
= −
y2 1 + a2x2 + b2y2 x ′′ + (1 + ax′2 + by ′2 )ax
1 + a 2 x 2 + b 2 y 2
y ′′ + (1 + ax′2 + by ′2 )by
1 + a 2 x 2 + b 2 y 2
y la linealización en el origen con velocidad 0 es
x ′′ + ax = 0,
y ′′ + by = 0.
= 0,
= 0.

328 Tema 5. Estabilidad
Ejercicio 5.3.1.- Demostrar que si p es un punto estable, entonces para todo
entorno Up de p en U, existe otro Wp ⊂ Up, tal que para todo q ∈ Wp se tiene
[0, ∞) ⊂ I(q) y Xq(t) ∈ Wp para todo t ≥ 0.
Indicación.- Considérese el conjunto, en los términos de la definición,
Wp = {q ∈ Up : ∃r > 0/ Xq(t) ∈ Vp, ∀t ≥ r}.
Ejercicio 5.3.3.- Demostrar que el origen es un punto estable del campo en
coordenadas polares
∂ 1 ∂
+ ρ sen
∂θ ρ ∂ρ .
Indicación.- Demostrar que el campo tiene órbitas circulares de radio tan pequeño
como queramos.
Ejercicio 5.5.3.- Demostrar que un campo es conservativo si y sólo si es un
campo gradiente. (Observemos que f está determinada salvo una constante).
Solución.- Si es un campo gradiente D = grad f, entonces tomando un sistema
de coordenadas lineales xi correspondiente a una base ortonormal, tendremos que
n ∂f ∂
D =
,
∂xi ∂xi
i=1
por tanto por la regla de la cadena
L
L
ω = < Dσ(s), Tσ(s) > ds = (f ◦ σ)
γ 0
0
′ (s)ds = f(b) − f(a).
Supongamos ahora que D es conservativo, entonces para cada x ∈ U podemos
definir la función f(x) como el trabajo de D, a lo largo de cualquier curva que una un
punto a ∈ U prefijado, con x. Entonces si las componentes de D son fi, tendremos
que
∂f
f(x1 + t, x2, . . . , xn) − f(x1, . . . , xn)
(x) = lím
∂x1 t→0
t
x1+t
< D, ∂x1 > ds
x1
= lím
t→0
t
x1+t
f1(s, x2, . . . , xn)ds
x1
= lím
= f1(x),
t→0
t
y lo mismo para el resto de componentes.
Ejercicio 5.8.1.- Consideremos las ecuaciones del péndulo con rozamiento (a >
0), es decir
θ ′ (t) = z(t),
z ′ (t) = az − sen θ(t),
y demostrar que para cada k < 2 y ℓ(θ, z) = z 2 /2 + 1 − cos θ, el compacto
está en la cuenca del punto p = (0, 0).
K = {(θ, z) : −π ≤ θ ≤ π, ℓ(θ, z) ≤ k},

Solución.- Nuestro campo es
5.13. Ejercicios resueltos 329
D = z ∂
∂
− (az + sen θ)
∂θ ∂z ,
si consideramos la energía ℓ(θ, z) = z 2 /2 + 1 − cos θ (donde la energía potencial la
tomamos nula en el punto mas bajo del péndulo), entonces ℓ es de Liapunov para D
en p, pues por una parte ℓ(0, 0) = 0 y ℓ(θ, z) > 0, en el resto de puntos. Y por otra
parte Dℓ ≤ 0 pues
Ahora nuestro compacto
Dℓ = z sen θ − (az + sen θ)v = −az 2 ≤ 0.
K = {(θ, z) : |θ| ≤ π, ℓ(θ, z) ≤ k}
= {(θ, z) : |θ| < π, ℓ(θ, z) ≤ k},
y si q ∈ K y (α, β) = I(q), entonces β = ∞ y Xq(t) ∈ K para todo t ≥ 0. Veámoslo.
Sea
R = sup{r < β : Xq(t) ∈ K, 0 ≤ t ≤ r},
entonces si R < β, Xq(R) ∈ K y como
tenemos dos casos:
[ℓ ◦ Xq] ′ = Dℓ ◦ Xq ≤ 0,
a) Existe t ∈ (0, R) tal que [ℓ ◦ Xq] ′ (t) < 0, entonces
ℓ[Xq(R)] < ℓ(q) ≤ k,
y R no es máximo, pues Xq(R) está en el interior de K.
b) Para cada t ∈ [0, R]
0 = [ℓ ◦ Xq] ′ (t) = Dℓ[Xq(t)] = −az(t) 2 ,
para Xq(t) = (θ(t), z(t)). Por tanto z(t) = 0 en [0, R] y por tanto θ(t) es constante y
sen θ = 0, pues
z ′ = −az − sen θ,
lo cual implica |θ(t)| = π en [0, R], en contra de la definición de K.
Por tanto R = β = ∞ y por (b) K no contiene ninguna órbita de D en la que ℓ
sea constante. Así nuestro anterior resultado implica que K ⊂ C(0, 0).
Ejercicio 5.9.1.- Demostrar que si O es la órbita de un punto no singular p de
un campo D ∈ D(U), son equivalentes: (a) O es cíclica. (b) Existen r ∈ I(p)
y T > 0 tales que
Xp(r) = Xp(r + T ).
(c) Con la topología inducida por U, O es homeomorfa a la circunferencia
unidad S1 .
Solución.- (a)⇔(b) se deja al lector.
(a)⇒(c) Si Xp(T ) = p, tenemos la biyección continua Xp : [0, T ) → O y podemos
definir la biyección continua φ: [0, T ) → S1, φ(t) = (cos(2πt/T ), sen(2πt/T )). Ahora
F = φ ◦ X −1
p : O → S1 es una biyección y es homeomorfismo.
(a)⇐(c) Si existe un homeomorfismo G: O → S1, la órbita es compacta y se
sigue de (2.28), pág.100, que I(p) = R, por tanto tenemos una aplicación continua

330 Tema 5. Estabilidad
y sobre Xp : R → O que si no es inyectiva, por (b) O es cíclica. En caso contrario
tenemos que G ◦ Xp : R → S1 es biyectiva y continua y lo mismo si quitamos el 0
y su imagen G(p) y si consideramos la proyección estereográfica en S1, desde G(p),
tendremos un homeomorfismo S1\{G(p)} → R y en definitiva una aplicación biyectiva
y continua φ: R\{0} → R lo cual es absurdo pues φ(0, ∞) y φ(−∞, 0) son conexos y
complementarios, por tanto de la forma (−∞, a) y [a, ∞) (ó (−∞, a] y (a, ∞)) y por
ser biyección existe t > 0 (ó t < 0) tal que φ(t) = a —esto da cuatro casos de los que
analizamos uno—. Entonces en (0, ∞), φ alcanza el mínimo a en t y por continuidad
en (t/2, t) toma todos los valores entre a y φ(t/2) > a y en (t, 2t) también toma todos
los valores entre a y φ(2t) > a, por tanto no es inyectiva y llegamos a un absurdo.
Ejercicio 5.9.2.- Demostrar que por todo punto no singular de D pasa una
sección local y que esta sección es cortada por cada órbita de un lado al
otro del hiperplano y que todas las órbitas lo hacen en “el mismo sentido”
—entendiendo que un hiperplano divide el espacio en dos regiones A y B, de
este modo hay dos posibles sentidos de atravesarlo, de A a B ó de B a A—.
Solución.- Sea Dp = ai∂ix = 0 entonces basta tomar h = aixi y el hiperplano
H = {z : h(z) = h(x)}.
Como Dh(x) = a2 i > 0, Dh > 0 en todo un entorno de x —que podemos
tomar cerrado— y S es la intersección de este entorno con H.
Por último si D = fi∂xi, y en z ∈ S es fi(z) = bi, tendremos que
0 < Dh(z) = aibi,
lo cual significa que todos los vectores Dz, atraviesan H en el mismo sentido, que es
el del vector de componentes (a1, . . . , an).
Ejercicio 5.9.3.- Sea D ∈ D(R 2 ) con una curva integral γ cíclica con período
T . Sea E un campo independiente de D en los puntos de γ. Demostrar que:
(a) Si [D, E] = 0, entonces el multiplicador característico de γ es 1.
(b) Si [E, D] = gE, entonces el multiplicador característico de γ es
T0
g[γ(s)] ds
e .
Indicación. (a) Como [D, E] = 0, el grupo uniparamétrico τt de D conserva las
curvas integrales σp de E, pues como se tiene la igualdad (para t, r ∈ R y p ∈ R 2 en
los que los términos estén definidos) (ver 2.41, pág.107)
τt[σp(r)] = σr[τt(p)] = σ τt(p)(r),
y como τT (p) = p, para p en la órbita cíclica, tendremos que
τT ∗(Dp) = D τT (p) = Dp,
τT ∗(Ep) = τT ∗[σp∗(∂t)0] = σp∗(∂t)0 = Ep,
(b) Consideremos un punto p = γ(0) de la órbita y un entorno de p en el que exista
una función f tal que [D, fE] = 0, es decir Df = fg, por tanto restringiéndonos a
γ(t), f ′ = fg, que tiene solución única verificando f(0) = 1
t0
g[γ(s)] ds
f(t) ≡ f[γ(t)] = e
,

5.13. Ejercicios resueltos 331
ahora si consideramos el grupo uniparamétrico σt de H = fE, como [D, H] = 0,
tendremos como antes que τt ◦ σp = σ τt(p), por lo tanto
τt∗(Dp) = D τt(p),
τt∗(Ep) = τt∗Hp = H γ(t) = f(t)E γ(t),
y el resultado se sigue repitiendo este argumento y continuando la función f y el
campo H a lo largo de la órbita (observemos que la f no es global pues al dar la
vuelta f(γ(T )) en general no vale f(γ(0)), siendo γ(T ) = γ(0) = p). En definitiva se
tiene que τT ∗ tiene dos autovalores 1 y f(T ).
Ejercicio 5.11.1.- En las condiciones de la definición de órbita que se aproxima
en espiral a una órbita cíclica γ con período T , demostrar que
tn+1 − tn → T.
Solución.- Para 0 < ɛ < T existe un entorno V de x y una aplicación diferenciable
t: V → R, tal que t(x) = T , y para v ∈ V , X[t(v), v] ∈ S y |t(v) − T | ≤ ɛ.
Como xn = Xq(tn) → x, tendremos que, salvo para un número finito, los xn ∈ V ,
por tanto
X[t(xn) + tn, q] = X[t(xn), xn] ∈ S , |t(xn) − T | ≤ ɛ,
de donde se sigue que existe k ≥ 1, tal que tn+k = t(xn) + tn y
0 < sn = tn+1 − tn ≤ tn+k − tn = t(xn) ≤ T + ɛ.
Tenemos así que sn está acotada y si r ∈ [0, T + ɛ] es un punto límite suyo,
entonces x = X(r, x), pues
xn+1 = X(tn+1, q) = X[sn, X(tn, q)] = X[sn, xn].
por tanto r es un múltiplo de T , y r = 0 ó r = T .
Veamos que r = 0 no puede ser.
Sea h la función lineal que define S. Entonces la fórmula de Taylor asegura que
existe H continua tal que
h[X(t, z)] − h(z) = F (t, z) = tH(t, z),
pues para g(s) = F (ts, z), tendremos que
1
F (t, z) = g(1) − g(0) = g
0
′ 1
(s)ds = t
0
y llegamos a un absurdo, pues
xn = X(tn, q) ∈ S, X(sn, xn) = xn+1 ∈ S,
∂F
(st, z)ds = tH(t, z),
∂t
h[X(sn, xn)] − h(xn)
0 = = H(sn, xn) → H(0, x) = Dxh.
sn

332 Tema 5. Estabilidad
5.14. Bibliografía y comentarios
Los libros consultados en la elaboración de este tema han sido:
Abraham, Ralph and Mardsen, Jerrold E.: “Foundations of Mechanics”. Ed.
Addison–Wesley, 1978.
Arnold, V.I.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, Moscou, 1974.
Coddington and Levinson: “Theory of ordinary Differential Equations”. Mc-
Graw–Hill, 1955.
Hurewicz, W.: “Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias”. Ediciones RIALP, 1966.
Lefschetz, S.: “Differential equations: Geometric Theory”. Dover Pub., 1977.
Rouche, N. and Mahwin, J.: “Ordinary Differential Equations. Stability and pe-
riodic solutions”. Pitman Adv.Pub.Prog., 1980.
Smale, S. and Hirsch, M.W.: “Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y
álgebra lineal”. Alianza Univ., 1983.
El italiano Vito Volterra expone en el prólogo de su libro
Volterra, Vito: “Lessons sur la Theorie Mathematique de la lutte pour la vie”.
Ed. Jacques Gabay, 1990.
que inició sus investigaciones en 1925, como consecuencia de las conversaciones
mantenidas con M. D’ancona, el cual quería saber si se podían
estudiar las variaciones en la composición de asociaciones biológicas desde
un punto de vista matemático. Fruto de estas investigaciones es la
Teoría matemática de las fluctuaciones biológicas que este autor desarrolla
en el libro anterior y nosotros hemos estudiado someramente en la
lección de aplicaciones.
Se dice que el italo–francés J.L. Lagrange se interesó por las matemáticas
tras una lectura temprana de una memoria del astrónomo
inglés, que ha dado nombre al famoso cometa, Edmond Halley. Sus
mayores contribuciones matemáticas las hizo en teoría de números, en
mecánica analítica y en mecánica celeste y parece ser que fue el primero
en estudiar problemas de estabilidad en conexión con los puntos de
equilibrio de los sistemas conservativos. El Teorema de estabilidad de
Lagrange (5.11), pág.297, fue enunciado en 1788 por él y apareció en su
obra
Lagrange, J.L.: “Traite de Mecanique”. 3rd. Ed. Mallet–Bachelier, Paris, 1853.
sin embargo, aunque la prueba que dio era correcta en el caso en que
el potencial fuera cuadrático, supuso erróneamente que para potenciales

5.14. Bibliografía y comentarios 333
analíticos, los términos (de la serie) de orden mayor que 2, eran despreciables.
En 1838 Poisson trató en vano de corregir este error suponiendo que
cada término de segundo orden era mayor que la suma de los términos
de orden mas alto.
Estos dos hechos históricos los menciona
Lejeune–Dirichlet, G.: “Uber die stabilitat des Gleichgewichts”. 1846.
quien da la primera prueba rigurosa del teorema, razonando directamente
de la noción de mínimo del potencial, mas que considerando su
desarrollo en serie.
En su tesis de 1892, el matemático ruso
Liapunov, A.M.: “The general problem of the stability of motion”. 1892.
dice que fue precisamente la demostración de Dirichlet la que le inspiró
sus teoremas de estabilidad, usando funciones auxiliares. Es esta
memoria de Liapunov, básicamente, la fundadora de la teoría moderna
de la estabilidad.
Poincaré fue entre 1881–1886 y 1892–1899, el primero en estudiar
sistemáticamente las soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales.
La noción de punto límite es de Birkhoff (1927).
Para resultados relativos al teorema de Hartman–Grobman remitimos
al lector a los libros
Hartman, Ph.: “Ordinary differential equations”. Ed. Birkhauser. 1982.
Nelson, E.: “Topics in dynamics I, flows”. Princeton Univ. Press, 1969.
Palis, Jacob Jr. and de Melo, Welington: “Geometric Theory of Dynamical
Systems”. Princeton Univ. Press, 1969.
Perco, Lawrence: “Differential Equations and Dynamical Systems”. Springer–
Verlag, TAM, 7; 1991.
Así mismo remitimos al lector interesado en el teorema de linealización
diferenciable, de un campo en un punto hiperbólico, al trabajo de
Sternberg, S.: “On the structure of local homeomorphisms of euclidean n–space,
II ”, Amer. Journal of Math., Vol. 80, pp.623–631, 1958.
Por último el ejemplo que dimos de un campo en el plano con el
origen un punto singular inestable, pero cuya cuenca era todo el plano,
apareció en el artículo

334 Tema 5. Estabilidad
Vinograd, R.E.: “The inadequacy of the method of the characteristic exponents for
the study of nonlinear differential equations”. Mat. Sbornik, 41 (83), 431–438
(1957) (R).
y puede estudiarse en detalle en la p.191 del libro de
Hahn, W.: “Stability of motion”. Springer–Verlag, 1967.
Fin del Tema 5

Parte II
Ecuaciones en derivadas
parciales
335

Tema 6
Sistemas de Pfaff
6.1. Introducción
Nuestro interés en este tema se centra en analizar la siguiente cuestión
de naturaleza geométrica:
Campo de rectas.- Consideremos en cada punto x ∈ R 3 una recta
∆x “diferenciablemente colocadas”. ¿Bajo qué condiciones existen curvas
C, que recubran el espacio y tales que para cada curva C y para cada
x ∈ C
Tx(C) = ∆x?
Las rectas ∆x podemos definirlas a través de un vector en el punto
x y todos sus proporcionales (distribución) considerando por ejemplo un
campo tangente D ∈ D(R 3 ), tal que
∆x =< Dx >,
ó de sus ecuaciones (sistema de Pfaff), considerando dos 1–formas ω1, ω2 ∈
Ω(R 3 ), tales que para cada x
∆x = {Dx ∈ Tx(R 3 ) : ω1xDx = ω2xDx = 0},
337

338 Tema 6. Sistemas de Pfaff
en cuyos términos nos preguntamos por la existencia de una familia de
curvas tal que por cada punto x pase una curva de la familia, cuya recta
tangente en x tenga la dirección del vector Dx.
La contestación a este problema ha sido dada ya en el tema II, pues
las curvas integrales de un campo tangente, en términos de coordenadas
satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por otro lado
si u, v son funciones con diferenciales independientes, integrales primeras
de D, las curvas solución serán
{u = cte, v = cte}.
Campo de planos.- Consideremos ahora que en cada punto p ∈ R3 colocamos (“diferenciablemente”) un plano ∆p.
¿Bajo qué condiciones existen superficies
S, que recubran el espacio y tales que
para cada superficie S y para cada p ∈ S
Tp(S) = ∆p?
Figura 6.1. Sistema de Pfaff
Como antes, los planos ∆p podemos definirlos
a través de sus ecuaciones (sistema de Pfaff), considerando una
1–forma ω ∈ Ω(R3 ), tal que para cada p
∆p = {Dp ∈ Tp(R 3 ) : ωpDp = 0},
o a través de sus elementos (distribución) considerando por ejemplo dos
campos tangentes independientes D1, D2 ∈ D(R 3 ), tales que
(-F(p),-G(p),1)
(1,0,F(p))
∆p =< D1p, D2p > .
D 1p
p
(0,1,G(p))
D 2p
w p= 0
Figura 6.2. Distribución < D1p, D2p >= {ωp = 0}

6.1. Introducción 339
Hemos dicho que el caso de las rectas se plantea en coordenadas como
una ecuación diferencial, veamos ahora que el de los planos se plantea como
un sistema de ecuaciones en derivadas parciales: Sean F, G ∈ C ∞ (R 3 )
y consideremos la 1–forma
ω = dz − F dx − Gdy,
ó equivalentemente sus campos incidentes independientes (ver Fig.6.2)
D1 = ∂ ∂
+ F
∂x ∂z , D2 = ∂ ∂
+ G
∂y ∂z ,
Queremos saber si existe una familia de superficies S, tangentes a D1 y
D2, es decir en las que i ∗ ω = 0.
Si f ∈ C ∞ (R 2 ) es tal que su gráfica S = {z = f(x, y)} es tangente en
cada punto suyo p al plano ∆p = {ωp = 0}, entonces f es solución del
sistema de ecuaciones en derivadas parciales
(6.1)
∂f
(x, y) = F (x, y, f(x, y)),
∂x
∂f
(x, y) = G(x, y, f(x, y)),
∂y
pues el vector tangente a S en p de componentes (1, 0, fx), es de la forma
a1D1p + a2D2p ≡ a1(1, 0, F ) + a2(0, 1, G),
por lo que a2 = 0, a1 = 1 y fx = F , y por razones análogas fy = G.
Dicho de otro modo, en Tp(S) = ∆p,
ω = dz − F dx − Gdy y dp(z − f(x, y)) = dz − fxdx − fydy,
se anulan; por lo tanto en p las 1–formas dz − F dx − Gdy y dz − fxdx −
fydy son proporcionales, pues tienen el mismo núcleo Tp(S), y como
además tienen la misma componente en dz, son iguales y por ser x, y, z
coordenadas, fx = F y fy = G.
(1,0,f x )
p
(0,1,f y )
z=f(x,y)
Figura 6.3. Superficie {z = f(x, y)} tangente a los planos.

340 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Recíprocamente si f es solución del sistema, su gráfica S = {z =
f(x, y)} es tangente a la distribución, pues para la inclusión i: S ↩→ R 3 ,
se tiene en S
ω = dz − F dx − Gdy = dz − fxdx − fydy = d(z − f(x, y)),
por lo que i ∗ ω = i ∗ (d(z − f(x, y))) = 0.
Así nuestro problema es equivalente a encontrar una familia de funciones
f, tal que para cada (x, y, z) ∈ R 3 , exista f de la familia que
satisfaga (6.1) y f(x, y) = z.
En las siguientes lecciones demostraremos que existe una familia de
superficies tangentes si y sólo si existen funciones f1, f2 tales que
[D1, D2] = f1D1 + f2D2,
ó equivalentemente ω∧dω = 0. Veamos en nuestro caso en que se traduce
esta última condición:
∂F ∂G
ω ∧ dω = ω ∧ − dx ∧ dy +
∂y ∂x
∂F
∂G
dx ∧ dz + dy ∧ dz
∂z ∂z
∂F ∂G ∂G
= − − F + G∂F dx ∧ dy ∧ dz = 0 ⇔
∂y ∂x ∂z ∂z
∂F
∂G ∂G
⇔
+ G∂F = + F
∂y ∂z ∂x ∂z .
Observemos que si existe f satisfaciendo (6.1), entonces esos dos
términos, restringidos a S, no son otra cosa que
∂ 2 f
∂x∂y .

6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones 341
6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones
6.2.1. Sistemas de Pfaff.
Definición. Sea V una variedad diferenciable (ver el apéndice 6.10,
pág.412). Llamaremos sistema de Pfaff en V a una aplicación
x ∈ V → Px,
tal que Px es un subespacio de T ∗ x (V), verificando la siguiente condición:
Para cada p ∈ V existe un entorno abierto Up, y ω1, . . . , ωr ∈ Ω(Up),
tales que ω1x, . . . , ωrx es una base de Px, para todo x ∈ Up.
Si Px es un sistema de Pfaff en V, entonces la propiedad anterior
implica que dim(Px) es localmente constante, por tanto si V es conexa
—como siempre supondremos—, la dim(Px) es una constante. A este
valor lo llamaremos rango del sistema de Pfaff .
Definición. Dado un sistema de Pfaff Px en V, definimos para cada
abierto V ⊂ V el sub–módulo P(V ) de Ω(V )
P(V ) = {ω ∈ Ω(V ) : ωx ∈ Px, ∀x ∈ V }.
Ejercicio 6.2.1 Sean P(V ) los módulos que define un sistema de Pfaff Px en
V. Demostrar:
a) Los P(V ) son haz de módulos.
b) Para cada x ∈ V y cada abierto V tal que x ∈ V ,
Px = {ωx ∈ T ∗ x (V) : ω ∈ P(V )}.
Un sistema de Pfaff {Px : x ∈ V} define por tanto un módulo P(V),
en el que implícitamente está el sistema de Pfaff, pues los Px los reconstruimos
evaluando en cada x ∈ V las formas del módulo P(V). Es por
ello por lo que habitualmente denotaremos el sistema de Pfaff por los
módulos P(U), ó simplemente por P, más que por los subespacios Px
que define.
A continuación demostramos que en el abierto de la definición de
sistema de Pfaff, el módulo es libre.

342 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Teorema 6.1 Sea {Px}x∈V un sistema de Pfaff de rango r, U un abierto
y ω1, . . . , ωr ∈ Ω(U), tales que en cada punto x ∈ U, ω1x, . . . , ωrx es una
base de Px, entonces
es decir
P(U) =< ω1, . . . , ωr >,
ω ∈ P(U) ⇔ ω = f1ω1 + · · · + frωr,
con f1, . . . , fr ∈ C ∞ (U). Además para cada x ∈ V existe un abierto Ux
entorno de x en V en el que P(Ux) es sumando directo de Ω(Ux).
Demostración. La inclusión“⊃” es obvia, veamos “⊂”. Sea ω ∈
P(U), entonces para cada x ∈ U, ωx = r i=1 fi(x)ωix, y basta demostrar
que las fi son localmente diferenciables. Como ω1x, . . . , ωrx son
independientes, podemos extenderlas a una base ω1x, . . . , ωnx de T ∗ x (V).
Consideremos ωr+1, . . . , ωn ∈ Ω(V), tales que en x definan respectivamente
las ωix, para i = r + 1, . . . , n y consideremos un entorno Ux de
x en U en el que ω1, . . . , ωn sigan siendo independientes. Consideremos
ahora sus campos tensoriales Ti ∈ T 1
0 (Ux) duales, es decir tales que
Ti(ωj) = δij. Entonces
Por último observemos que
fi = Ti(ω) ∈ C ∞ (Ux).
P(Ux)⊕ < ωr+1, . . . , ωn >= Ω(Ux).
Nota 6.2 Las dos propiedades del resultado anterior son las que caracterizan
el que un haz de submódulos de las 1–formas sea el haz asociado
a un sistema de Pfaff. Lo cual a su vez equivale a que el haz de módulos
cociente, Ω/P sea localmente libre.
6.2.2. Distribuciones.
Definición. Llamaremos distribución en V a una aplicación
x ∈ V → ∆x,
donde ∆x es un subespacio de Tx(V), verificando la siguiente condición:
Para cada p ∈ V existe un abierto U y campos D1, . . . , Dk ∈ D(U), tales
que para todo x ∈ U, D1x, . . . , Dkx son base de ∆x.

6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones 343
Como para los sistemas de Pfaff se sigue de esta propiedad que
dim(∆x) es localmente constante, por tanto constante pues V es conexo.
A este valor k lo llamaremos rango de la distribución.
Ejercicio 6.2.2 Para cada punto p ∈ R 2 − {0} consideremos la recta ∆p que
pasa por p y su dirección es la de la bisectriz del ángulo formado por el semieje
positivo de x y la semirrecta que une p con el origen. Demostrar que ∆p es
una distribución.
Definición. Diremos que un submódulo ∆ de D(V) es involutivo si para
D1, D2 ∈ ∆ se tiene que [D1, D2] ∈ ∆.
Definición. Dada una distribución ∆x en V, definimos para cada abierto
V el submódulo de D(V )
∆(V ) = {D ∈ D(V ) : Dx ∈ ∆x ∀x ∈ V }.
Ejercicio 6.2.3 Sea ∆x una distribución en V de rango k, con submódulos
asociados ∆(V ) para cada abierto V . Demostrar:
a) Los ∆(V ) son haz de módulos.
b) Para cada x ∈ V y cada abierto V tal que x ∈ V ,
∆x = {Dx ∈ Tx(V) : D ∈ ∆(V )}.
c) Si U es un abierto y D1, . . . , Dk ∈ D(U), son como en la definición tales que
para todo x ∈ U, D1x, . . . , Dkx son base de ∆x, entonces
∆(U) =< D1, . . . , Dr >,
y para cada x ∈ V existe un entorno abierto Ux de x en V tal que ∆(Ux) es
sumando directo de D(Ux).
d) Si ∆(V ) es involutivo y U ⊂ V , entonces ∆(U) también es involutivo.
Hemos visto que una distribución ∆x en V define un módulo ∆(V),
a partir del cual podemos reconstruir la distribución evaluando en cada
x ∈ U los campos del módulo ∆(U). Es por ello por lo que habitualmente
denotaremos la distribución por ∆ = ∆(U), más que por los subespacios
∆x.
Definición. Dado un submódulo S de un módulo M, llamamos incidente
de S al submódulo del dual de M
S 0 = {ω ∈ M ∗ : ω(S) = 0}.

344 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Nota 6.3 Por definición el módulo dual de los campos son las 1–formas
D ∗ = Ω y se tiene que el dual de estas son los campos pues tenemos el
isomorfismo canónico
D → Ω ∗ , D → ˆ D, ˆ D(ω) = ωD,
pues tiene inversa que hace corresponder a cada T ∈ Ω ∗ el único campo
D tal que para toda ω, ωD = T (ω). Observemos que tal campo existe
y está definido de forma única por el campo de vectores Dx, tales que
para toda ωx, ωxDx = Tx(ωx) y es diferenciable pues para toda función
diferenciable f
Dxf = dxf(Dx) = T (df)(x),
es diferenciable en x.
Nota 6.4 Aunque el incidente de un sistema de Pfaff es una distribución
y el incidente de una distribución es un sistema de Pfaff, en general no es
cierto que el incidente de un sistema de Pfaff libre sea una distribución
libre o que el incidente de una distribución libre sea un sistema de Pfaff
libre. Sin embargo localmente sí es cierto.
Proposición 6.5 Se verifican los siguientes apartados:
1) ∆x es una distribución de rango k en V si y sólo si Px = ∆ 0 x es un
sistema de Pfaff de rango n − k en V.
2) Si para cada abierto V los módulos que definen ∆x y Px = ∆ 0 x son
∆(V ) y P(V ), entonces ∆(V ) 0 = P(V ) y P(V ) 0 = ∆(V ).
3) En los términos anteriores, P(V ) 00 = P(V ) y ∆(V ) 00 = ∆(V ).
Demostración. (2)
ω ∈ ∆(V ) 0 ⇔ ω ∈ Ω(V ) y ∀D ∈ ∆(V ), ωD = 0
⇔ ω ∈ Ω(V ) y ∀x ∈ V, ∀Dx ∈ ∆x, ωxDx = 0
⇔ ω ∈ Ω(V ) y ∀x ∈ V, ωx ∈ ∆ 0 x = Px
⇔ ω ∈ P(V ),
para lo que basta saber (ver el ejercicio 6.2.3), que para todo Dx ∈ ∆x
existe D ∈ ∆(V ) que en x define Dx.

6.3. El sistema característico 345
6.3. El sistema característico
Teorema 6.6 Si P es un submódulo de Ω, entonces
D[P] = {D ∈ D : ∀ω ∈ P, D L ω ∈ P, ωD = 0}
= {D ∈ P 0 : D L P ⊂ P}.
es un submódulo de D involutivo.
Demostración. Por el ejercicio siguiente se sigue fácilmente que es
módulo. Para ver que es involutivo sean D1, D2 ∈ D[P] y sea ω ∈ P,
entonces
[D1, D2] L ω = D L 1 (D L 2 ω) − D L 2 (D L 1 ω) ∈ P
ω[D1, D2] = D1(ωD2) − D L 1 ω(D2) = 0,
pues D L 1 ω ∈ P, por lo tanto [D1, D2] ∈ D[P].
Ejercicio 6.3.1 Demostrar que para D ∈ D(V), ω ∈ Ω(V) y f ∈ C ∞ (V),
(fD) L ω = f(D L ω) + (ωD)df.
Definición. Llamaremos sistema característico de un sistema de Pfaff
P —que es submódulo de Ω—, al submódulo involutivo D[P] de D del
resultado anterior.
Ejercicio 6.3.2 Hallar el sistema característico del sistema de Pfaff P =< ω >,
para las 1–formas de R 3
ω = zdx + dy, ω = xdx + ydy + zdz.
Nota 6.7 En general D[P] no es una distribución, aunque P sea un
sistema de Pfaff. Por ejemplo consideremos el sistema de Pfaff generado
por la 1–forma de R 3
ω = h(y)dx + dz,
donde h es una función que se anula en C = {y < 0} y ella y su derivada
son no nulas en A = {y > 0}. Se ve sin dificultad que el característico en
R×A×R es nulo y sin embargo no lo es en R×C ×R, que está generado
por ∂x y ∂y. Sin embargo se tiene el siguiente resultado.

346 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Proposición 6.8 Sea P un sistema de Pfaff y ∆ = P 0 su distribución
asociada, entonces:
i) Para cada campo D ∈ D,
D L P ⊂ P ⇔ D L ∆ ⊂ ∆
ii) ∆ es involutiva si y sólo si ∆ = D[P].
Demostración. i) Consideremos E ∈ ∆ y ω ∈ P, entonces
D L (ω)E = D(ωE) − ω(D L E) = −ω(D L E).
ii) “⇐” por ser involutivo todo sistema característico.
“⇒” Por (i) ya que
D[P] = {D ∈ ∆ : D L ∆ ⊂ ∆}.
A continuación caracterizamos el primer apartado del resultado anterior
en términos del grupo uniparamétrico de D y los subespacios Px.
Pero antes veamos un resultado previo.
Lema 6.9 Sea E un espacio vectorial, E ∗ su dual y S, S ′ ⊂ E ∗ subespacios
r–dimensionales. Entonces
S = S ′ ⇔ Λ r [S] = Λ r [S ′ ].
Demostración. “⇐” Sea ω1, . . . , ωr una base de S y extendámosla
a una base ω1, . . . , ωn de E ∗ , entonces Λ r [S] =< ω1 ∧ · · · ∧ ωr > y
ω ∈ S ⇔ ω ∧ ω1 ∧ · · · ∧ ωr = 0
⇔ ω ∧ T = 0 ∀T ∈ Λ r [S] = Λ r [S ′ ]
⇔ ω ∈ S ′ .
Teorema 6.10 Sea D ∈ D(V) un campo no singular con grupo uniparamétrico
τ : WD → V y sea P un sistema de Pfaff en V. Entonces
D L P ⊂ P, es decir D L ω ∈ P para toda ω ∈ P, si y sólo si para cada
(t, x) ∈ WD se tiene τ ∗ t [P τ(t,x)] = Px.
Demostración. “⇐” Hay que demostrar que para cada ω ∈ P y
x ∈ V, (D L ω)x ∈ Px. Lo cual se sigue de la hipótesis, pues
(D L τ
ω)x = lím
t→0
∗ t ωτ(t,x) − ωx
∈ Px,
t

6.3. El sistema característico 347
ya que es un límite, que existe, de puntos de un subespacio vectorial, Px,
el cual es un cerrado del espacio vectorial.
“⇒” Lo haremos en dos partes:
(a) Supongamos que el rango de P es 1. Entonces para cada x ∈ V
existe un entorno en el que P es libre generado por una ω1 ∈ Ω. Ahora
en ese entorno tendremos por la hipótesis que D L ω1 = gω1, y de esto se
sigue que para cada x ∈ V existe un entorno Ux y una ω ∈ Ω(Ux) tal
que para cada p ∈ Ux ωp genera Pp y en Ux D L ω = 0. Para ello basta
encontrar una f = 0 tal que para ω = fω1
0 = D L ω = (Df)ω1 + f(D L ω1) = [Df + fg]ω1,
y tal f debe satisfacer Df = −fg, la cual existe en un entorno Ux de
x y es f = 0, aplicando el teorema de clasificación local de campos no
singulares.
Ahora bien D L ω = 0 en Ux implica que para cada t ∈ I(x) tal que
τ(t, x) = p ∈ Ux, τ ∗ t (ωp) = ωx. De donde se sigue que para estos t se
tiene que τ ∗ t [Pp] = Px, pues P es de rango 1 y τ ∗ t es un isomorfismo. En
definitiva para cada x ∈ V existe un ɛ > 0, tal que para cada t ∈ (−ɛ, ɛ),
τ ∗ t [P τ(t,x)] = Px. De esto se sigue que A = {t ∈ I(x) : τ ∗ t [P τ(t,x)] = Px}
es abierto y cerrado, pues si t ∈ I(x) e y = τ(t, x), existe un ɛ > 0, tal
que para r ∈ (−ɛ, ɛ)
τ ∗ r [P τ(r,y)] = Py ⇒ τ ∗ t+r[P τ(t+r,x)] = τ ∗ t [P τ(t,x)],
y si t ∈ A, τ ∗ t [P τ(t,x)] = Px, por tanto t + r ∈ A y A es abierto y si
t ∈ A c , τ ∗ t [P τ(t,x)] = Px, por tanto t + r ∈ A c y A c es abierto. Ahora por
conexión I(x) = A.
(b) Supongamos ahora que el rango es r. Consideremos el submódulo
de Λ r [Ω]
Λ r [P] = { λ1 ∧ · · · ∧ λr : λi ∈ P},
el cual satisface, por la hipótesis y las propiedades de la derivada de Lie,
que
D L (Λ r [P]) ⊂ Λ r [P].
Consideremos ahora para cada x ∈ V un entorno U en el que P(U)
sea libre generado por ω1, . . . , ωr, por tanto en el que Λ r [P(U)] está generado
por ω1 ∧· · ·∧ωr. Entonces encogiendo el entorno U si es necesario
encontramos —como en (a)— un múltiplo
γ = fω1 ∧ · · · ∧ ωr ∈ Λ r [P(U)],

348 Tema 6. Sistemas de Pfaff
y por tanto tal que para todo z ∈ U, < γz >= Λ r (Pz), para el que
D L γ = 0 en U. Se concluye como en el caso anterior que para cada
(t, x) ∈ WD y p = τ(t, x), τ ∗ t [Λ r (Pp)] = Λ r (Px).
Ahora bien de las propiedades del producto exterior se sigue que esa
igualdad es la misma que
Λ r [τ ∗ t (Pp)] = Λ r [Px],
y por (6.9), τ ∗ t (P τ(t,x)) = Px, que es lo que queríamos.
Ejercicio 6.3.3 Demostrar que para cada campo tangente D, con grupo uniparamétrico
τ y ∆ una distribución (ver Fig.6.4)
D L ∆ ⊂ ∆ ⇔ τt∗∆x = ∆τ(t,x), ∀(t, x) ∈ WD.
Definición. Diremos que una subvariedad S ⊂ V es tangente a una
distribución ∆ si para cada x ∈ S, Tx(S) ⊂ ∆x 1 ó equivalentemente
(demuéstrelo el lector), para la inclusión i: S ↩→ V
i ∗ ω = 0, ∀ω ∈ P = ∆ 0 .
Figura 6.4. Interpretación geométrica de D L ∆ ⊂ ∆
Figura 6.5. Interpretación geométrica de D ∈ ∆ y D L ∆ ⊂ ∆
1 Realmente hay que entender i∗[Tx(S)] ⊂ ∆x, para la inclusión i: S ↩→ V.

6.4. El Teorema de la Proyección 349
6.4. El Teorema de la Proyección
6.4.1. Campos tangentes verticales
Definición. Dada una aplicación diferenciable F : V → U, diremos que
D ∈ D(V) es un campo vertical por F , si F∗Dx = 0, para todo x ∈ V .
Denotaremos con D F el módulo de los campos verticales por F , es decir
para cada abierto V ⊂ V,
D F (V ) = {D ∈ D(V ) : F∗Dx = 0, ∀x ∈ V },
los cuales tienen la propiedad de ser un haz de módulos, al que llamaremos
el haz de campos verticales por F .
Proposición 6.11 Sean V y U variedades diferenciables, F : V → U diferenciable
y D ∈ D(V) con grupo uniparamétrico local X : WD → V.
Entonces las siguientes dos propiedades son equivalentes a que el campo
D sea vertical:
(i) Df = 0, para cada f ∈ F ∗ [C ∞ (U)].
(ii) F [X(t, x)] = F (x), para cada (t, x) ∈ WD.
Además se tiene que si D ∈ D F y γ ∈ Ω(U), entonces D L (F ∗ γ) = 0.
Demostración. La equivalencia se deja de ejercicio. Lo último se
sigue del segundo apartado, pues localmente toda uno–forma γ es en un
abierto coordenado (U; ui), de la forma gidui y F ∗ γ = fidvi, para
fi, vi ∈ F ∗ [C ∞ (U)], que son integrales primeras de D, por tanto
D L (F ∗ γ) = D L ( fidvi) = 0.
6.4.2. Proyecciones regulares
Definición. Diremos que una aplicación diferenciable π : V → U es una
proyección regular en x ∈ V si se verifican cualquiera de las condiciones
equivalentes:
(i) π∗ : Tx(V) → T π(x)(U), es sobre
(ii) π ∗ : T ∗ π(x) (U) → T ∗ x (V) es inyectiva.

350 Tema 6. Sistemas de Pfaff
(iii) Existen entornos coordenados (Vx, vj) de x y (Uy, ui) de y =
π(x), tales que si p ∈ Vx tiene coordenadas (x1, . . . , xn), π(p) tiene coordenadas
(x1, . . . , xm), es decir π ∗ ui = vi, para i = 1, . . . , m.
(iv) Existe una sección local σ : Uy → V, π ◦σ = Id, tal que σ(y) = x.
Diremos que π es proyección regular si lo es en todo punto y es sobre.
Corolario 6.12 Si π : V → U es una proyección regular, entonces para
cada x ∈ V existe un abierto coordenado de x, Vx, (v1, . . . , vn) tal que
D π (Vx) =<
∂
∂vm+1
, . . . , ∂
>
∂vn
Demostración. Se sigue del apartado (iii) anterior.
Lema 6.13 Sea π : V → U una proyección regular y P ′ un sistema de
Pfaff de rango r en U, entonces Px = π∗ [P ′ π(x) ], para cada x ∈ V es
un sistema de Pfaff de rango r en V. Además dado un abierto V ⊂ V,
π(V ) = U y γ ∈ Ω(U), se tiene que π∗γ ∈ P(V ) si y sólo si γ ∈ P ′ (U).
Demostración. Sea x ∈ V, y = π(x) y Uy ⊂ U un entorno abierto de
y para el que existen γ1, . . . , γr ∈ Ω(Uy) base de P ′ (Uy). Entonces para
Vx = π −1 (Uy) y ωi = π ∗ (γi) ∈ Ω(Vx) se tiene que para cada z ∈ Vx los
ωiz son base de Pz, pues la aplicación π ∗ : T ∗ π(z) (U) → T ∗ z (V) es inyectiva.
Sea γ ∈ Ω(U), entonces
π ∗ γ ∈ P(V ) ⇔ ∀x ∈ V, (π ∗ γ)x ∈ Px
⇔ ∀x ∈ V, π ∗ γ π(x) ∈ π ∗ P ′ π(x)
⇔ ∀x ∈ V, γ π(x) ∈ P ′ π(x)
⇔ γ ∈ P ′ (U),
donde la tercera equivalencia se sigue de la inyectividad de π ∗ .
Definición. Diremos que el sistema de Pfaff del resultado anterior es
proyectable por π y lo denotaremos P = π ∗ (P ′ ).
A continuación caracterizaremos los sistemas de Pfaff que son proyectables.
Teorema de la proyección (Necesidad) 6.14 Si el sistema P es proyectable
por π, entonces en todo abierto, D π ⊂ D[P].

6.4. El Teorema de la Proyección 351
Figura 6.6. Sistema de Pfaff proyectable
Demostración. Si D ∈ D π y ω ∈ P, queremos demostrar que ωD =
0 y D L ω ∈ P. Sea x ∈ V, y = π(x), γ1, . . . , γr una base de P ′ (Uy), para
Uy entorno abierto de y y ωi = π ∗ γi la base correspondiente de P(Vx),
para Vx = π −1 (Uy), entonces como ω = fiωi y π∗Dx = 0, tendremos
por el Lema anterior que D L ωi = D L π ∗ γi = 0 y que D ∈ D[P], pues
ωxDx =
D L ω =
r
fi(x)ωix(Dx) =
i=1
r
(Dfi)ωi +
i=1
r
fi(x)γiy(π∗Dx) = 0,
i=1
r
fiD L ωi =
i=1
r
(Dfi)ωi ∈ P.
i=1
Figura 6.7. < D >= D π ⊂ D[P]
El recíproco de (6.14) sólo es cierto localmente pues basta considerar
el campo vertical D = ∂z para la proyección (x, y, z) → (x, y), de una
distribución de planos < D, E >, que sea constante en cada fibra conexa,
en un abierto de R 3 que tenga dos componentes conexas en alguna fibra
(ver Fig.(6.7)). Si la distribución no se proyecta en la misma recta en
cada componente, el sistema de Pfaff no es proyectable, sin embargo los
campos verticales están en el característico.
Lo demostraremos en un entorno abierto coordenado V de un punto
x —que por comodidad tomaremos como el origen— cúbico, es decir
difeomorfo al cubo unidad
(v1, . . . , vn): V −→ (−1, 1) × · · · × (−1, 1) ⊂ R n ,

352 Tema 6. Sistemas de Pfaff
y por tanto tal que si un punto de V tiene coordenadas (x1, . . . , xn),
entonces los puntos de coordenadas (x1, . . . , txi, 0, . . . , 0), para i ≥ m y
t ∈ [0, 1], también están en V . Además supondremos que en ese entorno,
nuestro sistema de Pfaff es libre. Pero antes consideremos la proyección
y la sección suya
π = (v1, . . . , vm): V −→ U = (−1, 1) m ⊂ R m ,
τ : U −→ V,
q = (x1, . . . , xm) −→ τ(q) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0),
es decir que para i = 1, . . . , m, vi[τ(q)] = xi y para i = m + 1, . . . , n,
vi[τ(q)] = 0, en estos términos se tiene el siguiente resultado.
Lema 6.15 Si Px = ∆0 x es un sistema de Pfaff libre en V , tal que para
cada z ∈ τ(U),
∂
, . . . ,
∂vm+1
∂
∈ ∆z,
∂vn
entonces P ′ q = τ ∗ [Pτ(q)], para q ∈ U define un sistema de Pfaff libre en
U.
Figura 6.8.
Demostración. Consideremos que P =< ω1, . . . , ωr > y veamos
que γi = τ ∗ ωi son independientes en todo punto q ∈ U y por tanto que
definen un sistema de Pfaff P ′ =< γ1, . . . , γr > en U.
Supongamos que existe un q ∈ U tal que para z = τ(q) fuese
r
r
0 = aiγiq = aiτ ∗ ωiz = τ ∗
r
,
i=1
i=1
i=1
aiωiz
ahora bien como ∂vj ∈ ∆z, para j = m + 1, . . . , n, tendremos que
ωiz(∂vj) = 0, por lo que existen constantes λj para las que
(6.2)
r
m
aiωiz = λjdzvj,
i=1
j=1

por tanto
0 = τ ∗
⎡
m
⎣
j=1
6.4. El Teorema de la Proyección 353
λjdzvj
⎤
⎦ =
m
λjdqxj ⇒ λ1 = · · · = λm = 0,
j=1
y se sigue de (6.2) y de la independencia de las ωiz que las ai = 0, por
tanto las γiq son independientes.
Teorema de la Proyección (Suficiencia) 6.16 Si D π ⊂ D[P] en todo
abierto, entonces localmente P es proyectable por π.
Demostración. Si P =< ω1, . . . , ωr >, como por hipótesis tenemos
que para ∆ = P 0
(6.3) < ∂
∂vm+1
, . . . , ∂
>= D
∂vn
π ⊂ D[P] ⊂ ∆
se sigue del lema anterior que P ′ =< τ ∗ ω1, . . . , τ ∗ ωr > es un sistema de
Pfaff en U.
Figura 6.9. Distribuciones asociadas a P, P ′ y P ′′
Y por (6.13) tenemos dos sistemas de Pfaff en V ,
P =< ω1, . . . , ωr >,
P ′′ = π ∗ (P ′ ) =< π ∗ [τ ∗ ω1], . . . , π ∗ [τ ∗ ωr] >,
además por construcción P ′′ es proyectable por π y por la parte del
teorema demostrada (necesidad), D π ⊂ D[P ′′ ], por tanto
(6.4)
∂
∂vm+1
, . . . , ∂
∈ D[P
∂vn
′′ ].
Basta entonces demostrar que P = P ′′ , o lo que es lo mismo que para
cada x ∈ V , Px = P ′′
x . Sea x ∈ V con coordenadas (x1, . . . , xn) y sea
z = τ[π(x)], entonces z tiene coordenadas (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0).

354 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Por una parte tenemos que las ωi son base de P y por otra las (τ ◦
π) ∗ ωi lo son de P ′′ . Ahora bien para cada Ez ∈ Tz(V), como π ◦ τ = id
Dz = τ∗(π∗Ez) − Ez ⇒ π∗(Dz) = 0
⇒ ∀i = 1, . . . , m, Dzvi = π∗(Dz)xi = 0
(por la inclusión (6.3)) ⇒ Dz ∈ ∆z
⇒ ω1zDz = · · · = ωrzDz = 0
⇒ [π ∗ (τ ∗ ωiz)]Ez = ωiz[τ∗(π∗Ez)] = ωizEz,
por tanto π ∗ (τ ∗ ωiz) = ωiz y P ′′
z = Pz. Ahora concluimos, pues si P y
P ′′ coinciden en un punto q coinciden en todos los puntos de las curvas
integrales de las ∂vi (para m + 1 ≤ i ≤ n) pasando por q, pues
(por (6.3) y (6.4))
∂
∂vi
L
[P] ⊂ P ,
∂
∂vi
L
[P ′′ ] ⊂ P ′′
y por (6.10), si τt es el grupo uniparamétrico de uno de esos campos,
τ ∗ t [P τ(t,q)] = Pq = P ′′
q = τ ∗ t [P ′′
τ(t,q) ] y P τ(t,q) = P ′′
τ(t,q) ya que τ ∗ t es isomorfismo.
Por lo tanto como P y P ′′ coinciden en z, coinciden en x pues
si partimos de z, mediante el grupo uniparamétrico de ∂vm+1 llegamos
en un tiempo xm+1 al punto de coordenadas (x1, . . . , xm, xm+1, 0, . . . , 0)
y repitiendo el proceso con la ∂vm+2, etc., llegaríamos en definitiva al
punto x.
Nota 6.17 Sin duda el lector tendrá la impresión de que para aplicar
el teorema de la proyección sea necesario conocer de antemano la proyección.
Pero esto no es así, en el ejercicio siguiente veremos cómo se
puede utilizar este resultado y cómo “puede construirse” de hecho la
proyección, conociendo exclusivamente el sistema de Pfaff.
Ejemplo 6.4.1 Considérese el sistema de Pfaff P, en R 4 , generado por la
uno–forma ω = dx+ydy+xdz+zdu y proyéctese a la mínima dimensión.
Caractericemos en primer lugar los campos
∂ ∂ ∂ ∂
D = f1 + f2 + f3 + f4
∂x ∂y ∂z ∂u ,

6.4. El Teorema de la Proyección 355
que están en su sistema característico D[P].
lo cual implica
ωD = 0
D L ω = fω
⇔
⎧
0 = f1 + yf2 + xf3 + zf4
f = D
⎪⎨
⎪⎩
L
∂
ω
∂x
fy = D L
∂
ω
∂y
fx = D L
∂
ω
∂z
fz = D L
∂
ω
∂u
−f3 = f, 0 = fy, f1 − f4 = fx, f3 = fz.
y por tanto D[P] es una distribución generada por
D = ∂
∂x
− z + 1
y
∂
∂y
+ ∂
∂u .
Consideremos ahora integrales primeras diferenciablemente independientes
de D, Du1 = Du2 = Du3 = 0, como por ejemplo
y por tanto
u1 = x − u , u2 = z , u3 = x(1 + z) + y2
2 ,
du1 = dx − du , du2 = dz , du3 = (1 + z)dx + xdz + ydy.
Si ahora consideramos la proyección regular π = (u1, u2, u3), tendremos
que
D π =< D >⊂ D[P],
y por tanto el teorema de la proyección nos asegura que P es proyectable
por π, es decir que ω se expresa como combinación de du1, du2 y du3 y
si es
ω = g1du1 + g2du2 + g3du3
= [g1 + g3(1 + z)]dx + g3ydy + (g2 + g3x)dz − g1du,

356 Tema 6. Sistemas de Pfaff
tendremos que g3 = 1, g1 = −z = −u2 y g2 = 0 y por tanto
ω = −u2du1 + du3.
Las subvariedades bidimensionales {u1 = cte, u3 = cte} son tangentes
al sistema de Pfaff. Mas adelante veremos que no las tiene tridimensionales.
Proposición 6.18 Sean π1 : V → U y π2 : U → W proyecciones regulares,
π = π2 ◦ π1 y P ′ un sistema de Pfaff en U. Entonces para P = π ∗ 1P ′ se
tiene que
D π ⊂ D[P] ⇒ D π2 ⊂ D[P ′ ].
Demostración. Sea E ∈ D π2 y D ∈ D(V ) tal que π1 lleve D en E,
entonces π∗D = π2∗[π1∗D] = 0, por tanto
D ∈ D π ⇒ D ∈ D[P]
⇒ ∀ω ∈ P ′ , (π ∗ 1ω)D = 0 , D L (π ∗ 1ω) ∈ P
⇒ ∀ω ∈ P ′ , ωE = 0 , π ∗ 1(E L ω) ∈ P
⇒ ∀ω ∈ P ′ , ωE = 0 , E L ω ∈ P ′
⇒ E ∈ D[P ′ ],
lo cual se sigue de la proposición (6.11) y de (6.13).
Ejercicio 6.4.1 Sea F : V → U diferenciable, D ∈ D(V) y E ∈ D(U) tales que
F∗Dx = EF (x) para cada x ∈ V. Entonces para cada T ∈ T 0
p (U)
D L (F ∗ T ) = F ∗ (E L T ) y D ∈ D F ⇒ D L (F ∗ T ) = 0.
Ejercicio 6.4.2 Demostrar que si P = π ∗ P ′ es proyectable y < D >= D[P],
D[P ′ ] = {0}.
Ejercicio 6.4.3 Demostrar si son proyectables los sistemas de Pfaff del espacio
generados por: (1) xdx + x 2 dy + x 3 dz. (2) xydx + y 2 dy + yzdz.

6.5. El Teorema de Frobenius 357
6.5. El Teorema de Frobenius
En esta lección caracterizaremos el hecho de que una distribución
de rango r tenga subvariedades r–dimensionales tangentes pasando por
cualquier punto. Daremos la demostración como consecuencia directa
del Teorema de la Proyección, con lo que se pone de manifiesto que
este último es el resultado más básico y fundamental de la Teoría de los
sistemas de Pfaff. Completaremos la lección dando la versión del mismo
teorema en términos del sistema de Pfaff y dando una tercera versión
en términos de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de primer
orden. En un apéndice, al final del Tema daremos una demostración
directa del Teorema de Frobenius, sin utilizar el Teorema de la
Proyección, que aunque es sencilla de entender no queda claro el papel
que juegan los ingredientes que en ella aparecen.
Definición. Diremos que una distribución ∆ en V de rango r es totalmente
integrable si para cada x ∈ V existe un entorno abierto cúbico Vx
de x en V, y un sistema de coordenadas (v1, . . . , vn) en Vx, tales que
∆(Vx) =< ∂
∂v1
, . . . , ∂
∂vr
en cuyo caso las subvariedades de Vx (a las que llamaremos franjas del
entorno)
S = {x ∈ V : vr+1 = cte, . . . , vn = cte},
son tangentes a la distribución, es decir para cada z ∈ S
Tz(S) = ∆z.
Definición. Diremos que un sistema de Pfaff P, de rango k, es totalmente
integrable si para cada x ∈ V existe un entorno Vx de x y
v1, . . . , vk ∈ C ∞ (Vx), con diferenciales independientes en todo Vx, tales
que
P(Vx) =< dv1, . . . , dvk > .
Como antes observemos que si P es totalmente integrable, la solución
a nuestro problema inicial de encontrar subvariedades n − k–
dimensionales tangentes al sistema, vienen definidas localmente por
>,
{v1 = cte, . . . , vk = cte}.

358 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Proposición 6.19 Un sistema de Pfaff es totalmente integrable si y sólo
si ∆ = P 0 es totalmente integrable.
Demostración. Hágase como ejercicio.
Lema 6.20 Sea P = π ∗ (P ′ ) un sistema de Pfaff proyectable, entonces:
P es tot. integrable ⇐ P ′
∆ = P 0
es involutivo ⇒ ∆ ′ = P ′0
es tot. integrable
es involutivo.
Demostración. La primera implicación es trivial. Veamos la segunda,
en primer lugar si E ∈ ∆ ′ , localmente existe D ∈ D tal que π∗D = E
y se tiene que D ∈ ∆, pues si γi generan P ′ , π ∗ γi = ωi generan P y
ωiD = π ∗ γiD = γiE = 0. Por tanto si E1, E2 ∈ ∆ ′ y D1, D2 ∈ D, son
tales que π∗Di = Ei, entonces D1, D2 ∈ ∆ y
[D1, D2] ∈ ∆ ⇒ ωi[D1, D2] = 0
⇒ γi[E1, E2] = 0
⇒ [E1, E2] ∈ ∆ ′ .
Teorema de Frobenius I 6.21 Una distribución ∆ es totalmente integrable
si y sólo si es involutiva.
Demostración. “⇒” Es un simple ejercicio.
“⇐” Lo haremos por inducción sobre r. Para r = 1 es el Teorema
del flujo (2.25), pág.96. Sea r > 1 y supongamos el resultado cierto para
los rangos 1, . . . , r − 1.
Sea x ∈ V y consideremos un campo D ∈ ∆, no singular en un entorno
de x. Consideremos un sistema de coordenadas locales v = (vi) en un
entorno abierto Vx de x en V, tales que D = ∂vn ∈ ∆, y consideremos
la proyección π = (v1, . . . , vn−1) y U = π(Vx), para la que se tiene por
(6.8), pág.346, y ser ∆ involutiva
D π =< ∂
>⊂ ∆ = D[P],
∂vn
donde P = ∆ 0 es un sistema de Pfaff de rango k = n − r. Se sigue del
teorema de la proyección —encogiendo Vx y U = π(Vx) si es necesario—,
que existe un sistema de Pfaff P ′ de rango k en U tal que P = π ∗ (P ′ ) y
se sigue del Lema anterior que ∆ ′ = P ′0 es una distribución involutiva

6.5. El Teorema de Frobenius 359
de rango (n − 1) − k = (n − 1) − (n − r) = r − 1 y por nuestra hipótesis
de inducción ∆ ′ es totalmente integrable, ahora por el Lema
P ′
es tot. int. ⇒ P es tot. int. ⇔ ∆ es tot. int.
Teorema 6.22 Una distribución ∆ en V es totalmente integrable si y
sólo si para cada x ∈ V existe una subvariedad conexa S tal que x ∈ S y
ω |S = 0, para toda ω ∈ P = ∆ 0 , ó equivalentemente, Tz(S) = ∆z, para
cada z ∈ S. Además S es localmente única en el sentido de que existe
un entorno abierto de x, Vx ⊂ V, tal que si S ′ ⊂ Vx es otra, es conexa y
S ∩ S ′ = ∅, entonces S ′ ⊂ S.
Demostración. Si ∆ es totalmente integrable, entonces para cada
x ∈ V la franja que lo contiene
{z ∈ Vx : vr+1(z) = vr+1(x), . . . , vn(z) = vn(x)},
satisface el enunciado.
Recíprocamente, tenemos que demostrar que ∆ es totalmente integrable
ó por el teorema de Frobenius que es involutiva. Es decir que si
D1, D2 ∈ ∆, entonces [D1, D2] ∈ ∆, para lo cual basta demostrar que
para cada x ∈ V, [D1, D2]x ∈ ∆x.
Por hipótesis existe una subvariedad S tal que x ∈ S y para la inclusión
i: S ↩→ V, i∗[Tz(S)] = ∆z, para cada z ∈ S. Pero entonces existen
únicos E1z, E2z ∈ Tz(S), tales que i∗E1z = D1z e i∗E2z = D2z y se
demuestra fácilmente que E1, E2 ∈ D(S), pues cada función g ∈ C ∞ z (S)
localmente es g = i ∗ f, para f ∈ C ∞ z (V) y
Eizg = Eiz(i ∗ f) = Dizf,
por lo que Eig = i ∗ (Dif) y es diferenciable. Se sigue que [E1, E2] ∈ D(S)
y por tanto
[D1, D2]x = i∗[E1, E2]x ∈ i∗[Tx(S)] = ∆x.
Por último consideremos que ∆ es totalmente integrable y para cada
x ∈ V el abierto Vx de la definición. Veamos que la subvariedad
S = {z ∈ Vx : vr+1(z) = vr+1(x), . . . , vn(z) = vn(x)},
satisface el resultado, para lo cual basta observar que para cada z ∈ S ′
Tz(S ′ ) = ∆z =< ∂
∂v1 z
, . . . , ∂
>,
∂vr z

360 Tema 6. Sistemas de Pfaff
y por tanto para la inmersión i: S ′ ↩→ V,
d(i ∗ vr+1) = · · · = d(i ∗ vn) = 0,
por tanto en S ′ las funciones vi, para i = r + 1, . . . , n, son constantes y
como existe un p ∈ S ∩ S ′ , tendremos que S ′ ⊂ S.
Definición. Llamaremos variedad integral de una distribución ∆ de V,
a toda subvariedad inmersa conexa S ⊂ V, por tanto tal que
i: S ↩→ V,
es una inmersión, tal que para cada x ∈ S
Tx(S) = ∆x,
si no es conexa diremos que es una variedad tangente.
Nota 6.23 Observemos que en el teorema de Frobenius las franjas del
entorno son variedades integrales y por lo tanto si una distribución es
involutiva, por todo punto pasa una variedad integral.
Definición. Llamaremos variedad integral máxima de una distribución
a una subvariedad inmersa tangente a la distribución que sea conexa y
que contenga cualquier otra subvariedad inmersa tangente conexa que
tenga algún punto común con ella.
La razón de considerar variedades integrales como subvariedades inmersas
y no como subvariedades regulares se entiende con el siguiente
resultado que demostramos en (6.79) del Apéndice de variedades diferenciables
y en el que se ve que la variedad integral máxima pasando por
un punto en general es inmersa.
Teorema 6.24 Sea ∆ una distribución involutiva, entonces por cada punto
de la variedad pasa una única variedad integral máxima.
Teorema de Frobenius II 6.25 Sea P un sistema de Pfaff de rango r en
V. Entonces son equivalentes:
i) P es totalmente integrable.
ii) Para todo x ∈ V existe un entorno Vx y generadores ω1, . . . , ωr de
P(Vx) para los que
dωi ∧ ω1 ∧ · · · ∧ ωr = 0, i = 1, . . . , r.

6.5. El Teorema de Frobenius 361
iii) Para todo x ∈ V existe un entorno Vx tal que para toda ω ∈ P(Vx)
existen ωi ∈ P(Vx) y ηi ∈ Ω(Vx) tales que
dω = ωi ∧ ηi.
Demostración. (i) ⇒ (ii).- Sea (vi) un sistema de coordenadas locales
en Vx, entorno de x, tales que P(Vx) =< dv1, . . . , dvr >, entonces
d(dvi) = 0 y el resultado se sigue.
(ii) ⇒ (iii).- Reduzcamos el entorno Vx si es necesario para que
ω1, . . . , ωr pueda extenderse a una base ω1, . . . , ωn de Ω(Vx). Si ω ∈
P(Vx), entonces existen funciones f1, . . . , fr en Vx tales que
ω =
r
fiωi ⇒ dω =
i=1
Ahora bien como
dωi =
n−1
j=1
j

362 Tema 6. Sistemas de Pfaff
basta demostrar que dω(E, D) = 0. Ahora bien sabemos que localmente
dω = ωi ∧ ηi,
con las ωi ∈ P y el resultado se sigue.
Por último daremos una tercera versión del teorema en términos de
sistemas de EDP y que de forma elemental dice que dado un sistema
zx = f(x, y), zy = g(x, y),
para que tenga solución z es obviamente necesario que fy = gx. El teorema
asegura que esta condición también es suficiente.
Teorema de Frobenius III 6.26 Sean U ⊂ R n y V ⊂ R m abiertos, y
Fi = (fi1, . . . , fim): U × V −→ R m aplicaciones diferenciables, para
i = 1, . . . , n. Entonces para cada (x0, y0) ∈ U × V existe un abierto
U0 ⊂ U, entorno de x0 y una única aplicación y : U0 −→ V verificando
las ecuaciones
y(x0) = y0,
∂y
(x) = Fi(x, y(x)), (en forma vectorial)
∂xi
si y sólo si en U × V se verifican las igualdades para i, k = 1, . . . , n, y
j = 1, . . . , m
∂fij
∂xk
+
m
r=1
∂fij
∂yr
fkr = ∂fkj
∂xi
+
m
r=1
Demostración. “⇒” Es obvio derivando pues
∂fkj
fir.
∂yr
(fij(x, y(x)))xk = (yj)xixk = (yj)xkxi = (fkj(x, y(x)))xi .
“⇐” La condición del enunciado equivale a que
[Dk, Di]yj = 0, para Di = ∂
m
+
∂xi
j=1
fij
∂
,
∂yj
lo cual equivale a que [Di, Dk] = 0, para i, k = 1, . . . , n y esto a que la distribución
generada por los n campos Di sea involutiva y por el Teorema
de Frobenius I a que sea totalmente integrable o equivalentemente que
lo sea su sistema de Pfaff asociado, que es el generado por las 1–formas
n
ωj = dyj − fijdxi, para j = 1, . . . , m
i=1

6.5. El Teorema de Frobenius 363
por lo que existen subvariedades tangentes n–dimensionales pasando por
cada punto de U × V (localmente únicas), en las que las xi son coordenadas
pues las dyj = n i=1 fijdxi y por tanto basta expresar las yj en
cada subvariedad solución en las coordenadas (xi).
Corolario 6.27 Sean U ⊂ R n , V ⊂ R m y W ⊂ R nm abiertos y, para
i = 1, . . . , m, j, k = 1, . . . , n, r = 1, . . . , s
fijk, hr : U × V × W −→ R,
funciones diferenciables, con las s < m funciones hr, diferenciablemente
independientes. Entonces para cada (x0, y0, z0) ∈ S = {hr(x, y, z) =
0} ⊂ U × V × W , existe un abierto U0 ⊂ U, entorno de x0 y una única
función y = (yi): U0 −→ V verificando las ecuaciones
y(x0) = y0, (yxj (x0)) = z0, hr(x, y(x), yxj (x)) = 0,
∂ 2 yi
∂xj∂xk
(x) = fijk(x, y(x), yx1 (x), . . . , yxn (x))),
si y sólo si en la subvariedad S se verifican las igualdades (obvias de
compatibilidad) para j, k, l = 1, . . . , n, e i = 1, . . . , m
fijk = fikj,
m ∂hr ∂hr
+ zri +
∂xj ∂yi
∂hr
fpqj = 0,
∂zpq
∂filk
∂xj
= ∂filj
∂xk
i=1
+
+
m
r=1
m
r=1
∂filk
∂yr
∂filj
p,q
zrj +
p,q
zrk +
∂yr
p,q
∂fijl
∂zpq
fpqj =
∂filj
fpqk,
∂zpq
Demostración. “⇒” Si existe solución la primera es obvia, la segunda
y la tercera se obtienen derivando respecto de las x, las funciones
hr y fijk en los puntos (x, y(x), yx(x)) –sobreentendiendo la notación—,
pues (para la tercera)
(filk(x, y(x), yx(x)))xj = (yi)xjxlxk = (yi)xkxlxj = (filj(x, y(x), yx(x)))xk .
“⇐” La primera condición del enunciado equivale a que en los puntos
de la subvariedad S, [Dk, Dj]yi = 0, para los n campos
Dk = ∂xk +
m
zrk∂yr +
fpqk∂zpq,
r=1
p,q

364 Tema 6. Sistemas de Pfaff
la segunda condición nos dice que en S, los campos Dk son tangentes
a S, pues Djhr = 0; y la tercera que [Dk, Dj]zpq = 0, por lo tanto
como siempre se tiene que [Dk, Dj]xl = 0, tenemos que la distribución
generada por los n campos Di, es involutiva en S. Ahora por el Teorema
de Frobenius I tenemos que es totalmente integrable y por lo tanto
tiene una subvariedad tangente n–dimensional única por cada punto
(x0, y0, z0). Además esta subvariedad S0 tiene coordenadas (xj), pues
por la proyección π = (xi) a U, π∗Dj = ∂xj y π es difeomorfismo. Ahora
basta considerar en S0 las yi = yi(x), pues como en esta subvariedad
zij = Djyi = Djyi(x) = ∂xj yi, tendremos que
fijk = Dkzij = Dk(∂xj yi) = ∂2yi .
∂xkxj
Hay una generalización obvia, que no aporta nada nuevo salvo una
escritura engorrosa que dejamos al lector, de este resultado de orden 2 a
orden arbitrario.
Ejercicio 6.5.1 Comprobar si los sistemas de Pfaff, generados por las siguientes
uno–formas en abiertos de R 4 , son totalmente integrables:
a) xyzdu, b) [2x + y]dx + xdy + u 2 dz + 2uzdu, c) xydz + zdu.
Ejercicio 6.5.2 Consideremos en R 3 las distribuciones generadas por los campos
(i)
∂ ∂
−
∂x ∂y ,
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ z , (ii) y − x , x + y + z
∂x ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
¿Tiene superficies tangentes?. De ser así encontrarlas.
Ejercicio 6.5.3 Dada la forma de volumen y la métrica habitual en R 3
ω3 = dx ∧ dy ∧ dz , g = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz,
definimos el rotacional de D ∈ D(R 3 ), R = rot D, como el único campo tal
que
iRω3 = d(iDg).
a) Demostrar que R ∈ D(R 3 ) y dar sus componentes en función de las de D.
b) Demuestra que existe una familia de superficies a las que D atraviesa perpendicularmente
si y sólo si D y R son perpendiculares.

6.5. El Teorema de Frobenius 365
Ejercicio 6.5.4 Demostrar que tienen solución y encontrarla, los sistema de
ecuaciones en derivadas parciales:
zx = x 2 y,
zy = z
y ,
zx = 3z 2x3
+ x x+y ,
zy = 2x3
x+y ,
Ejercicio 6.5.5 Demostrar si es involutiva o no la distribución de R 4 generada
por los campos
z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− , z − y , −xz + xz − zy + x
∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂y ∂z ∂u .
Ejercicio 6.5.6 (a) Consideremos en cada punto p ∈ R 3 − {0} el plano ∆p
tal que, el reflejo especular (respecto de este plano) de un rayo de luz emitido
desde el origen a p, sea paralelo al eje x. Demostrar que ∆p es una distribución
involutiva y dar las superficies tangentes.
(b) Idem pero el rayo de luz se emite desde el punto (1, 0, 0) y su reflejo
pasa por el (−1, 0, 0).
Ejercicio 6.5.7 Dados dos puntos a y b fijos en el espacio, para cada p ∈
R 3 − {a, b} consideremos el plano ∆p que lo contiene y es bisectriz de los
segmentos pa y pb, es decir es perpendicular a su plano y lo corta en la bisectriz.
Demostrar que ∆p es una distribución totalmente integrable e integrarla.
Ejercicio 6.5.8 Para cada p = (x, y, z) ∈ R 3 − {x = 0, y = 0}, consideremos
el plano ∆p que contiene a los puntos p = (x, y, z) y (0, 0, z) y la pendiente
de su normal es una función f(ρ), siendo ρ la distancia de p al eje z. ¿Para
que funciones f la distribución es totalmente integrable?. Para esas funciones
encontrar las superficies solución (ver el ejercicio (7.10.2), pág.500).
Ejercicio 6.5.9 Consideremos en el espacio (sin los planos coordenados), la
familia de curvas y = ax, z = by 2 , parametrizadas por a y b; y en cada
punto p el plano perpendicular a la curva que pasa por p. Demostrar que esta
distribución es involutiva e integrarla.
Ejercicio 6.5.10 Demostrar que un sistema de Pfaff de rango 1 en R 3 , P =<
ω >, cuyo sistema característico D[P] tiene un campo D, es totalmente integrable.

366 Tema 6. Sistemas de Pfaff
6.5.1. Método de Natani.
Veamos ahora un método para resolver
un sistema de Pfaff en R 3 , generado
por una 1–forma
ω = P dx + Qdy + Rdz,
totalmente integrable, resolviendo para
ello dos ecuaciones diferenciales en el
plano:
Figura 6.10.
Restrinjamos ω a cada plano y = cte
y resolvamos la ecuación diferencial correspondiente
P (x, y, z)dx + R(x, y, z)dz = 0,
cuya integral primera será para cada y una función φy(x, z) y por tanto
sus curvas integrales son φy(x, z) = cte. Consideremos ahora para cada
superficie solución S de ω y cada c ∈ R la curva
S ∩ {y = c} = {(x, c, z) : φc(x, z) = ks(c)},
donde ks(c) es la constante que le corresponde a la superficie S y al
y = c. Por tanto
S = {(x, y, z) : φ(x, y, z) = ks(y)},
para φ(x, y, z) = φy(x, z).
Ahora bien tenemos que encontrar el
valor ks(y) y esto lo hacemos restringiendo
ω a un plano z = cte, por ejemplo
z = 1 y resolviendo la ecuación diferencial
P (x, y, 1)dx + Q(x, y, 1)dy = 0,
Figura 6.11.
cuya integral primera será una función h(x, y). Entonces como
S ∩ {z = 1} = {(x, y, 1) : h(x, y) = as}
= {(x, y, 1) : φ(x, y, 1) = ks(y)},
basta eliminar para cada y el valor x correspondiente en las dos ecuaciones,
obteniendo una relación
ks(y) = G(as, y).

6.5. El Teorema de Frobenius 367
En definitiva, para cada a ∈ R tenemos una superficie de ecuación
φ(x, y, z) − G(a, y) = 0,
y nuestras superficies están entre ellas. Si somos capaces de despejar la
a en la anterior ecuación, de modo que fuese
H(x, y, z) = a,
tendríamos resuelto nuestro sistema de Pfaff pues ω es proporcional a la
dH.
Ejercicio 6.5.11 Demostrar que la uno–forma
ω = x 2 ydx + z
dy − dz,
y
es totalmente integrable e integrarla por el método de Natani.
Ejercicio 6.5.12 Demostrar que la uno–forma
ω = z(z + y 2 )dx + z(z + x 2 )dy − xy(x + y)dz,
es totalmente integrable e integrarla por el método de Natani.
6.5.2. 1–formas homogéneas.
Llamamos así a las 1–formas
ω = P dx + Qdy + Rdz,
cuyos coeficientes son funciones homogéneas de grado n, es decir funciones
f tales que
λ n f(x, y, z) = f(λx, λy, λz),
entonces la condición de que genere un sistema de Pfaff totalmente integrable
se reduce considerablemente, pues en tal caso es invariante por
el campo de las homotecias
H = x ∂ ∂ ∂
+ y + z
∂x ∂y ∂z ,
ya que derivando en λ = 1, se tiene Hf = xfx + yfy + zfz = nf y por
tanto
H L ω = H(P )dx + P d(Hx) + H(Q)dy + Qd(Hy) + H(R)dz + Rd(Hz)
= (n + 1)ω,

368 Tema 6. Sistemas de Pfaff
se sigue que en el sistema de coordenadas u1 = x/z,u2 = y/z,u3 = log z,
nuestra 1–forma se simplifica (pues en él H = ∂
∂u3 ); como x = u1 e u3 ,
y = u2 e u3 , z = e u3
∂
∂
∂
ω = ω du1 + ω du2 + ω du3
∂u1
∂u2
∂u3
= (P xu1 + Qyu1 + Rzu1 )du1 + (P xu2 + Qyu2 + Rzu2 )du2+
+ (P xu3 + Qyu3 + Rzu3 )du3
= zP du1 + zQdu2 + z(P u1 + Qu2 + R)du3,
y nuestro sistema de Pfaff está generado por
P
γ = fdu1+gdu2+du3 =
P u1 + Qu2 + R du1+
Q
P u1 + Qu2 + R du2+du3,
para las funciones
P
f =
P u1 + Qu2 + R =
P (u1, u2, 1)
u1P (u1, u2, 1) + u2Q(u1, u2, 1) + R(u1, u2, 1)
Q
g =
P u1 + Qu2 + R =
Q(u1, u2, 1)
u1P (u1, u2, 1) + u2Q(u1, u2, 1) + R(u1, u2, 1)
y como dγ = (gu1 − fu2)du1 ∧ du2, el sistema es totalmente integrable sii
dγ ∧ γ = 0 ⇔ gu1 = fu2 ⇔ dγ = 0,
y γ es exacta, en cuyo caso existe una función h tal que dh = fdu1+gdu2,
y las soluciones son h + u3 = cte, pues γ = d(h + u3).
Ejercicio 6.5.13 Demostrar que la uno–forma
ω = yz(z + y)dx + zx(z + x)dy + xy(x + y)dz,
es totalmente integrable e integrarla.
Ejercicio 6.5.14 Demostrar que si ω = fidxi ∈ Ω(R 3 ) es homogénea y
fixi = 0, entonces < ω > es totalmente integrable.

6.6. Aplicación: Tensor de curvatura 369
6.6. Aplicación: Tensor de curvatura
6.6.1. Funciones especiales del fibrado tangente.
Sea V una variedad diferenciable n–dimensional y consideremos su
fibrado tangente, es decir el conjunto
T (V) = {Dp ∈ Tp(V) : p ∈ V},
de todas los vectores de todos los espacios tangentes Tp(V) y la aplicación
π : T (V) → V, π(Dp) = p.
Ahora para cada abierto coordenado (U; xi) de U consideremos el
abierto π −1 (U) con las funciones (coordenadas)
xi(Dp) = xi(p), zi(Dp) = Dpxi,
para cada Dp ∈ π −1 (U), las cuales establecen una biyección con un
abierto Un × R n de R 2n . Se demuestra que estas cartas definen una
estructura diferenciable y que para ella π es una proyección regular.
En el fibrado tangente T (V) tenemos dos tipos especiales de funciones,
por una parte las funciones f ∈ C ∞ (V) subidas, que aunque
rigurosamente son π ∗ (f), las denotaremos igual,
f(Dx) = f(x),
y por otra parte las definidas por cada 1–forma ω ∈ Ω(V), del modo
¯ω(Dp) = ωpDp,
las cuales, si consideramos coordenadas (xi) en un abierto V de V y las
correspondientes (xi, zi) en el abierto π −1 (V ), del fibrado tangente, las
funciones f tienen la misma expresión, mientras que las 1–formas definen
funciones lineales en fibras, ya que si ω = fidxi, como función en el
fibrado es
¯ω = fi(x1, . . . , xn)zi,
en particular las zi = ¯
dxi.

370 Tema 6. Sistemas de Pfaff
6.6.2. Variedad con conexión. Distribución asociada.
Consideremos que nuestra variedad tiene una conexión ∇, (ver la
lección 3.8.4, pág.177). Entonces para cada campo D ∈ D(U) definido
en un abierto U de la variedad y cada 1–forma ω ∈ Ω(U), D ∇ ω es la
1–forma
D ∇ ω(E) = D(ωE) − ω(D ∇ E).
En estos términos tenemos.
Proposición 6.28 Cada campo D ∈ D(U), define canónicamente un único
campo D ∇ ∈ D(T (U)), en el abierto T (U) del fibrado tangente, que
para las funciones f ∈ C ∞ (U) y para cada 1–forma ω ∈ Ω(U), entendida
como función en el fibrado
(por tanto π∗D ∇ = D).
D ∇ f = Df, D ∇ (¯ω) = D ∇ ω,
Demostración. De existir, veamos quien es en el abierto del fibrado
con coordenadas (xi, zi), correspondientes a unas coordenadas xi en la
variedad. Tendría que ser
¯Dxk = Dxk,
¯ Dzk = D ∇ (dxk).
Veamos que tal campo ¯ D = ( ¯ Dxi)∂xi + ( ¯ Dzi)∂zi satisface las dos
propiedades:
Para cada f de abajo ¯ Df = Df, pues fzi = 0 y ¯ Dxi = Dxi; y para
cada 1–forma ω = gidxi, ¯ D(¯ω) = D ∇ ω, ya que
¯D( gizi) = zi ¯ Dgi + gi ¯ Dzi
D ∇ ( gidxi) = (Dgi)dxi + giD ∇ dxi.
Por último veamos la unicidad. Si consideramos otro sistema de coordenadas
yi y el correspondiente (yi, z ′ i ) en el fibrado, entonces para cada
campo E, el campo correspondiente Ēyi = Eyi, Ēz′ i = E∇dyi y si
D = E, ¯ D = Ē, pues
Ēyi = Eyi = Dyi = ¯ Dyi, Ēz ′ i = D ∇ dyi = ¯ Dz ′ i.
Se tiene trivialmente que
D = fiDi ⇒ D ∇ = fiD ∇ i ,

6.6. Aplicación: Tensor de curvatura 371
por tanto en un entorno coordenado (U; xi)
D = ∂
fi
∂xi
⇒ D ∇ = ∇
∂
fi ,
∂xi
ahora bien en coordenadas (∂xi) ∇ xk = δik y (∂xi) ∇ zk es la función lineal
en fibras correspondiente a la 1–forma (∂xi) ∇dxk cuya componente j–
esima es −Γk ij , pues
∂
∂xi
∇
por tanto
∂
dxk =
∂xj
∂
∇
∂
∂ ∂
[dxk ] − dxk
= −Γ
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
k ij,
∂
∂xi
∇
= ∂
∂xi
−
n
j,k=1
zjΓ k ij
∂
.
∂zk
Ahora dados dos campos tangentes a la variedad D, E ∈ D(V), tendremos
dos significados para
D ∇ E ∇ − E ∇ D ∇ − [D, E] ∇ ,
una como endomorfismo en los tensores de todo tipo en V, que sobre las
funciones se anula y al que llamaremos endomorfismo curvatura, pues
sobre los campos F ∈ D es el tensor de curvatura
R(D, E, F ) = D ∇ E ∇ F − E ∇ D ∇ F − [D, E] ∇ F,
y otra como el campo tangente en el fibrado tangente
[D ∇ , E ∇ ] − [D, E] ∇ ,
el cual sobre las funciones de V se anula y sobre cada 1–forma ω, entendida
como función en el fibrado, vale la 1–forma
R(D, E, ω) = D ∇ E ∇ ω − E ∇ D ∇ ω − [D, E] ∇ ω.
Proposición 6.29 Dados D, E, F ∈ D(V) y ω ∈ Ω(V)
ω(R(D, E, F )) = −R(D, E, ω)F.

372 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Demostración. Derivando la función E(ωF ) = E ∇ ω(F )+ω(E ∇ F ),
respecto de D, tenemos la primera igualdad (la segunda por simetría)
D(E(ωF )) = D ∇ E ∇ ω(F ) + E ∇ ω(D ∇ F ) + D ∇ ω(E ∇ F ) + ω(D ∇ E ∇ F )
E(D(ωF )) = E ∇ D ∇ ω(F ) + D ∇ ω(E ∇ F ) + E ∇ ω(D ∇ F ) + ω(E ∇ D ∇ F ),
y restando tenemos
[D, E](ωF )) = D ∇ E ∇ ω(F ) − E ∇ D ∇ ω(F ) + ω(D ∇ E ∇ F − E ∇ D ∇ F ),
pero por la fórmula del principio
[D, E](ωF )) = [D, E] ∇ ω(F ) + ω([D, E] ∇ F ).
Corolario 6.30 El tensor de curvatura es nulo sii para cualesquiera D, E ∈
D(V),
[D ∇ , E ∇ ] = [D, E] ∇ ,
Demostración. Por el resultado anterior la curvatura es nula sii
el endomorfismo curvatura se anula en las 1–formas y como sobre las
funciones f de la variedad siempre se anula, tendremos que el campo en
el fibrado
[D ∇ , E ∇ ] − [D, E] ∇ = 0.
Distribución asociada a una conexión
La colección de todos los campos subidos generan en el fibrado tangente
una distribución que denotaremos ∆, es decir para cada p ∈ T (V)
y x = π(p), definimos
∆p = {D ∇ p : D ∈ D(U), U abierto entorno de x}.
que para cada abierto coordenado (U; xi) define el modulo en el abierto
T (U)
∆(T (U)) =< ∂
∇
, . . . ,
∂x1
∂
∇
> .
∂xn
y en términos del sistema de Pfaff asociado
P(T (U)) =< ω1, . . . , ωn >,
para las 1–formas incidentes
n n
(6.5) ωk = ( zjΓ k ij)dxi + dzk.
i=1
j=1

6.6. Aplicación: Tensor de curvatura 373
Definición. Diremos que un campo tangente D es paralelo si para cualquier
otro E, E ∇ D = 0.
Diremos que una conexión es plana si todo punto x ∈ V tiene un
entorno abierto U con una base D1, . . . , Dn ∈ D(U), de campos paralelos.
Lo cual equivale a que para todo punto x ∈ V y todo Dx ∈ Tx(V) existe
un campo paralelo D ∈ D(Ux), definido en un entorno abierto de x, que
en x define Dx.
Proposición 6.31 Dado un abierto U ⊂ V, un campo tangente D ∈
D(U) es paralelo sii la subvariedad del fibrado tangente sD(U) = {sD(x) =
Dx : x ∈ U} es tangente a ∆.
Demostración. Para cada x ∈ U consideremos un entorno abierto
coordenado (Ux; xi), entonces si en él D = fi∂xi, tendremos que para
el abierto coordenado (T (Ux); (xi, zi)) del fibrado tangente
sD(U) ∩ T (Ux) = {zi = fi(x1, . . . , xn)},
ahora que D sea paralelo equivale a que para todo i = 1, . . . , n
0 = ∂x ∇ i D =
=
n
k=1
n
k=1
fkxi ∂xk +
fkxi ∂xk +
k=1 j=1
n
j=1
fj∂x ∇ i ∂xj
n n
( fjΓ k ij)∂xk =
n
k=1
(fkxi +
n
fjΓ k ij)∂xk,
es decir que para i, k = 1, . . . , n, fkxi + n j=1 fjΓk ij = 0, y esto equivale
a que la subvariedad sea tangente a ∆, pues en ella zk = fk(x) y por
(6.5), pág.372,
i ∗ ωk =
n
i=1
(fkxi +
n
fjΓ k ij)dxi = 0.
j=1
Teorema 6.32 Para una conexión ∇ en V son equivalentes:
i) La conexión es plana.
ii) El tensor de curvatura R = 0.
iii) La distribución ∆ en el fibrado tangente es totalmente integrable.
Demostración. (i)⇒(ii) Si la conexión es plana todo punto tiene un
entorno abierto U con una base D1, . . . , Dn ∈ D(U), de campos paralelos,
por tanto
∀i, j, k, R(Di, Dj, Dk) = 0 ⇒ R = 0.
j=1

374 Tema 6. Sistemas de Pfaff
(ii)⇒(iii) Por (6.30) tenemos que para cualesquiera campos D, E ∈
D(V),
[D ∇ , E ∇ ] = [D, E] ∇ ,
por tanto ∆ es involutiva y por el Teorema de Frobenius (6.21) ∆ es
totalmente integrable.
(iii)⇒(i) Veamos que para todo x ∈ V y todo Dx ∈ Tx(V) existe
un campo paralelo D ∈ D(Ux) definido en un entorno abierto de x que
en x define Dx. Si la distribución es totalmente integrable, existe una
subvariedad solución S pasando por el punto del fibrado y = Dx y en
ella π : S → V es difeomorfismo local, pues π∗ : Ty(S) = ∆y → Tx(V) es
isomorfismo pues es sobre ya que π∗E ∇ = E y ambos son de dimensión
n. Por tanto existe un abierto V de y en S, un entorno abierto U de x
y un difeomorfismo σ : U → V ⊂ T (V) que es una sección local de π,
tal que σ(x) = y = Dx, la cual define un campo tangente D ∈ D(U),
Dp = σ(p) ∈ S, que en x define Dx y σ(U) es una subvariedad tangente
y por la proposición (6.31), D es paralelo.
6.7. Aplicación: Termodinámica
Definición. Dada una variedad diferenciable V, llamaremos curva diferenciable
a trozos, a toda aplicación continua
X : I ⊂ R → V
para I = [a, b] ó I = R, diferenciable salvo en un número finito de puntos
a ≤ t1 < · · · < tn ≤ b, tal que en cada (ti, ti+1) es la restricción de una
aplicación diferenciable definida en un intervalo (ai, bi), con ai < ti <
∂
ti+1 < bi. Denotaremos con T = X∗ ∂t .
En el caso de que X(a) = X(b) diremos que la curva es un ciclo.
Observemos que por ser la variedad conexa, dos puntos cualesquiera
de ella p, q ∈ V pueden unirse mediante una curva X, es decir existe
X : I → V y r, s ∈ I, tales que X(r) = q y X(s) = p.
Definición. Dada una curva X y dos puntos de ella q = X(r), p = X(s)
y dada una 1–forma ω ∈ Ω, entenderemos por integral a lo largo de X

de ω, entre los instantes r y s, a
6.7. Aplicación: Termodinámica 375
s
r
ω =
s
r
X ∗ ω =
s
r
[ωT ◦ X] dt,
Si X es un ciclo de extremos a y b, llamaremos al valor anterior, para
r = a y s = b, integral de ω a lo largo del ciclo, y lo denotaremos si no
hay confusión por
Ejercicio 6.7.1 Demostrar que la integral a lo largo de cualquier ciclo de una
1–forma exacta es cero.
Definición. Diremos que una variedad diferenciable V de dimensión
n, con dos 1–formas ωQ y ωW y un sistema de Pfaff P, de rango 1
totalmente integrable, forman un sistema termodinámico si se verifican
los tres principios de la termodinámica que a continuación expondremos.
Nota 6.33 Pero antes de esto daremos algunos términos que utilizaremos
en la exposición:
A los puntos de V los llamamos estados del sistema.
A ωQ la llamamos 1–forma de calor.
A ωW la llamamos 1–forma de trabajo.
A P lo llamamos sistema de Pfaff de la temperatura.
A las subvariedades n−1–dimensionales tangentes al P, las llamamos
haz de isotermas.
A cualquier θ ∈ C ∞ (U), con U abierto de V, tal que P(U) =< dθ >,
la llamamos función temperatura.
A cada curva en V la llamamos transformación termodinámica.
En 1843 el físico británico J.Joule (1818–1889) determinó que el
trabajo y el calor eran equivalentes, en el sentido de que siempre se
necesitan 4, 18J de trabajo para elevar 1 grado centígrado 1 gramo de
agua, es decir para obtener 1cal de energía térmica. El experimento que
realizó consistía en dejar caer un peso atado a una cuerda enrollada en un
eje fijo que al girar movía unas paletas que a su vez agitaban el agua de
un recipiente, que debido a esa fricción se calentaba. El trabajo realizado
por el cuerpo en su descenso se convertía en calor absorbido por el agua.
De este modo trabajo y calor son formas distintas, pero equivalentes y
comparables, en las que se puede transformar la energía de un sistema.
ω.

376 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Definición. Dada una transformación termodinámica X en V, y dos
estados suyos X(r) y X(s), llamamos calor y trabajo intercambiado a lo
largo de la transformación entre los instantes r y s, respectivamente a
s
r
ωQ,
s
r
ωW .
Si X es un ciclo, llamaremos calor y trabajo realizado a lo largo del ciclo,
respectivamente a ωQ e ωW .
En un ciclo diremos que se produce trabajo si ωW < 0.
Definición. Dada una transformación termodinámica X, diremos que
en un instante t ∈ I, se gana calor si ωQT X(t) > 0, y que se pierde
calor si ωQT X(t) < 0. Denotaremos las colecciones de estos instantes
respectivamente por I +
Q
e I−
Q .
Primer principio de la termodinámica
“Dados dos puntos p, q ∈ V en un sistema termodinámico, la suma
del calor y el trabajo intercambiado entre ellos no depende de la transformación
termodinámica que los une”.
Denotaremos tal valor por
q
p
ωQ + ωW .
Esto es equivalente a decir que a lo largo de un ciclo la suma del calor y
el trabajo es nula.
Definición. En virtud de este primer principio podemos definir —fijado
un punto p ∈ V—, la función
Up(x) =
x
p
ωQ + ωW .
Observemos que si consideramos otro punto q ∈ V, y la función Uq
que define, tendremos que Up − Uq es una constante en virtud del primer
principio. Por tanto si estas funciones U son diferenciables, como veremos
a continuación, entonces sus diferenciales coinciden —como veremos—
, con ωQ + ωW . A esta función U determinada salvo una constante la
llamaremos energía interna del sistema.
Lema 6.34 La función U ∈ C ∞ (V).

6.7. Aplicación: Termodinámica 377
Demostración. Por la observación anterior basta demostrar que si
U se anula en p ∈ V, existe un entorno de p en el que U es diferenciable.
Consideremos un entorno coordenado de p, (Vp; u), tal que u(p) = 0, y
sea q ∈ Vp con coordenadas u(q) = x. Entonces para la transformación
termodinámica —en coordenadas—, X(t) = tx, tendremos que si ωQ +
ωW = fidui,
U(q) =
1
0
X ∗ [ fidui] =
1
0
[ fi(tx)xi]dt,
pues X∗( ∂
∂t ) = xi( ∂ ). La diferenciabilidad de U se sigue.
∂ui
Lema 6.35 dU = ωQ + ωW .
Demostración. Llamemos por comodidad γ = ωQ + ωW . Por la
observación basta demostrar que para cada p ∈ V, dpU = γp, donde U es
la función energía que se anula en p. Sea Dp ∈ Tp(V), bastará demostrar
que
DpU = γpDp,
y u(p) = 0.
Si γ = fi(u1, · · · , un)dui, entonces γpDp = f1(0) y por (6.34)
Tomemos un entorno coordenado de p, en el que Dp = ∂
∂u1
U(r, 0, . . . , 0)
DpU = lím
r
= lím 1
1
f1(tr, 0, . . . , 0)r dt
r 0
= lím 1
r
f1(s, 0, . . . , 0)ds = f1(0).
r
0
Un gas definido por su presión p = F/s y su volumen v es el ejemplo
más simple de sistema termodinámico. Si el gas se expande y su volumen
pasa a ser v + dv = v + sdx, entonces el trabajo hecho por él es ωW =
−F dx = −pdv y si (p, v) son sistema de coordenadas, el calor es
ωQ = dU − ωW = Updp + (Uv + p)dv.

378 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Segundo principio de la termodinámica o de Kelvin–Planck
“Si X es un ciclo en el que se produce trabajo, entonces hay puntos
en los que se pierde calor”.
ωW < 0 ⇒ I −
Q = ∅.
Teorema 6.36 Si ωQp = 0, para un p ∈ V, entonces condición necesaria
y suficiente para que el segundo principio sea válido localmente, es decir
en los ciclos de un entorno de p, es que el germen en p, del sistema de
Pfaff < ωQ > sea totalmente integrable.
Demostración. “⇐” Sabemos que para cada p ∈ V, existe un entorno
coordenado Up, en el que ωQ = fdu, siendo f = 0 en todo Up,
por lo que podemos suponer que f > 0, pues en caso contrario bastaría
tomar la coordenada −u. Supongamos ahora que en un ciclo X de Up
se tiene ωW < 0, y por el primer principio que ωQ > 0. Esto implica
que en algunos puntos ωQT = fdu(T ) = f · (T u) > 0 y por tanto que
T u > 0, pero como
b
0 = du = T u ◦ X
tendremos que T u toma valores positivos y negativos, y por tanto ωQT .
“⇒” Veremos que hay un entorno de p en el que el incidente ∆ de
ωQ es involutivo. Tomemos un entorno coordenado Up, de p, en el que
se verifique el segundo principio y sean D1, D2 ∈ ∆, es decir tales que
ωQDi = 0 y veamos si ωQ[D1, D2] = 0. Supongamos que existe un z ∈ Up
para el que ωQ[D1, D2]z < 0. Para θ y τ los grupos uniparamétricos de
D1 y D2 en Up, sea
γ(t) = τ−t ◦ θ−t ◦ τt ◦ θt(z),
tomemos un r de su dominio y sean
z1 = θ(r, z), z2 = τ(r, z1), z3 = θ(−r, z2), z4 = τ(−r, z3),
Definamos entonces el ciclo X : [0, 5r] → V, tal que para cada t ∈ [0, r]
X(t) = θ(t, z),
a
X(r + t) = τ(t, z1),
X(2r + t) = θ(−t, z2),
X(3r + t) = τ(−t, z3),
X(4r + t) = G(r − t) = γ( √ r − t),

Sabemos por (2.42), pág.107, que
∂
[D1, D2]z = G∗
∂t
6.7. Aplicación: Termodinámica 379
0
= lím
s→0 G∗
∂
= − lím
∂t
t→5r−
s
TX(t), por tanto
lím
t→5r− ωQTX(t) = −ωQ[D1, D2]z > 0,
y haciendo r > 0 suficientemente pequeño, tendremos que ωQT > 0,
para T = X∗( ∂
∂t ), en el quinto tramo del ciclo. Como por otra parte
T = Di en los cuatro primeros tramos del ciclo, tendremos que en ellos
ωQT = 0, y por tanto ωQT ≥ 0 y
z
ωQ = ωQ > 0 ⇒ ωW < 0,
z4
y por el segundo principio existe t, tal que ωQT X(t) < 0, lo cual es
contradictorio.
Tercer principio de la Termodinámica o de Clausius
“Si X es un ciclo en un abierto U, θ ∈ C∞ (U) una función temperatura
para la que hay puntos t ∈ I +
Q , r ∈ I−
Q , en los que θ(X(t)) < θ(X(r)),
entonces el trabajo realizado a lo largo del ciclo es positivo”. Es decir
[ωQTX(r) < 0 < ωQTX(t), θ(X(t)) < θ(X(r))] ⇒ ωW > 0.
En estas condiciones se tiene el
Teorema 6.37 Para cada p ∈ V en el que ωQp = 0 y dpωQ = 0, y cada
función temperatura θ, definida en un entorno de p, existe un entorno
coordenado U de p en el que ωQ = f(θ, u)du.
Demostración. Por (6.36) sabemos que existe un entorno coordenado
de p en el que ωQ = fdu, por tanto dωQ = df ∧ du y por ser
dωQ = 0 tendremos que df y du son independientes. Consideremos ahora
una función temperatura θ y supongamos que dθ, df y du son independientes.
Extendámoslas a una base y consideremos el sistema de
coordenadas correspondiente (θ, f, u, u4, . . . , un) en un cierto entorno U
de p. Tomando k > 0 suficientemente pequeño, podemos considerar en
U el ciclo que en coordenadas es X(t) = k(sen t, 1, cos t, 0, . . . , 0), para
el que θ[X(t)] = k sen t y
T = X∗( ∂
∂ ∂
) = (k cos t) − k sen t
∂t ∂θ ∂u , ωQT = −k 2 sen t,

380 Tema 6. Sistemas de Pfaff
por tanto 3π/2 ∈ I +
Q , π/2 ∈ I−
Q , y si X(3π/2) = p y X(π/2) = q,
entonces θ(p) = −k < θ(q) = k. Se sigue así del tercer principio que
ωW > 0 y del primero que ωQ < 0, siendo así que
ωQ = −k 2
2π
0
sen t dt = 0
por tanto df = λ1dθ + λ2du y ∂f/∂ui = 0. El resultado se sigue.
Definición. Consideremos ahora un sistema termodinámico
(V, ωQ, ωW , P),
de dimensión n y U un entorno coordenado de un punto p ∈ V, con
coordenadas (θ, u2, . . . , un), donde θ es una función temperatura de V.
Consideremos en U × U las coordenadas habituales
(α, v2, . . . , vn, β, w2, . . . , wn),
para α = π ∗ 1θ, vi = π ∗ 1ui, β = π ∗ 2θ, wi = π ∗ 2ui, —donde π1 y π2 son
las proyecciones en U × U—, y la subvariedad 2n − 1–dimensional Vs =
{α = β}. Ahora consideremos en Vs la 1–forma σQ —restricción a Vs de
π ∗ 1ωQ + π ∗ 2ωQ—, la 1–forma σW —restricción a Vs de π ∗ 1ωW + π ∗ 2ωW —,
y el sistema de Pfaff P s , generado por dα = dβ. A (Vs, σQ, σW , P s ) la
llamaremos suma del sistema V consigo mismo.
Cuarto principio de la Termodinámica o de la suma de sistemas termodinámicos
“La suma de un sistema termodinámico consigo mismo es un nuevo
sistema termodinámico”.
La idea de este principio viene a ser la siguiente: Si tenemos dos aparatos
iguales, representando cada uno de ellos un sistema termodinámico,
y los ponemos en contacto de tal manera que en cada instante de tiempo
tienen la misma temperatura, entonces el bloque formado por ambos
vuelve a ser un sistema termodinámico.
Como consecuencia de este simple hecho se tiene el siguiente asombroso
resultado:
Teorema 6.38 Para cada punto p ∈ V, en el que ωQp = 0 y dpωQ = 0,
existe un entorno coordenado en el que ωQ = T dS, siendo T una función
temperatura. Además T es única salvo un factor multiplicativo y S es
única salvo un factor multiplicativo y otro aditivo.

6.7. Aplicación: Termodinámica 381
Demostración. Sea p ∈ V. Por (6.37) existe un entorno coordenado
Up, tal que ωQ = f(θ, u)du, con θ una función temperatura. Consideremos
la suma del sistema V consigo mismo, con U ⊂ Up, de tal forma
que para x = i ∗ π ∗ 1u e y = i ∗ π ∗ 2u, (α, x, y, . . .) formen un sistema de
coordenadas en Vs. Consideremos ahora el campo D = ∂/∂α en este
sistema de coordenadas. Ahora por (6.37) tenemos que en un entorno
con coordenadas (α, z, . . .)
pero por otra parte tenemos que
por tanto
σQ = F (α, z)dz,
σQ = i ∗ π ∗ 1ωQ + i ∗ π ∗ 2ωQ = f(α, x)dx + f(α, y)dy = gdx + hdy,
de donde que
0 = Dz = dz(D) =
0 = d(Dz) = D L dz = D L [ g
F
y D(g/F ) = D(h/F ) = 0, por tanto
DF
F
= Dg
g
gdx + hdy
(∂/∂α),
F
h g h
dx + dy] = D( )dx + D(
F F F )dy,
= Dh
h
= r(α),
pues g = f(α, x) y h = f(α, y). Se sigue que f(α, x) = k(x) exp{ r(α)dα}
y por tanto
ωQ = f(θ, u)du = k(u) exp{ r(θ) dθ}du = T dS,
para T = exp{ r(θ)dθ} y S = k(u) du. Ahora si dωQ = dT ∧dS = 0 en
todo V, tendremos que si ωQ = T ′ dS ′ , con T ′ otra función temperatura
—y por tanto T ′ = λ(T )—, entonces extendiendo S, T a un sistema de
coordenadas, tendremos que
T dS = T ′ dS ′ = T ′ [(∂S ′ /∂T )dT + (∂S ′ /∂S)dS + (∂S ′ /∂u3)du3 + · · · ],
y por tanto
∂S ′ /∂T = ∂S ′ /∂ui = 0, T = λ(T )(∂S ′ /∂S) = λ(T )µ(S),
de donde se sigue que µ(S) es una constante y el resultado se sigue.
Definición. Se llama entropía a la función S del resultado anterior.

382 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Nota 6.39 Observemos que según esto, en un entorno de cada punto
hay una función temperatura canónica T , determinada salvo un factor,
y por tanto un cero absoluto de temperatura.
6.8. Aplicación: Clasificación de formas
6.8.1. Clasificación de 1–formas
En esta lección daremos el Teorema de Darboux, que clasifica
localmente las 1–formas regulares, entendiendo que una 1–forma ω es
regular si es no singular, es decir ωx = 0 en cada punto x, y la dimensión
de la intersección del hiperplano
con el subespacio
H = {Dx ∈ Tx(V) : ωxDx = 0},
R = rad dxω = {Dx ∈ Tx(V) : iDxdxω = 0},
es constante en x (a la codimensión de este subespacio la llamaremos
clase de ω).
Definición. Llamaremos sistema característico de una 1–forma ω ∈
Ω(V) en un punto p ∈ V al subespacio vectorial de Tp(V)
∆p(ω) = {Dp ∈ Tp(V) : ωpDp = 0, iDpdpω = 0}.
Diremos que ω es regular si la dimensión de su sistema característico
es constante en p y llamaremos clase de ω en p a la codimensión de su
sistema característico, es decir a
dim V − dim ∆p(ω).
Veremos que la clase de una 1–forma regular ω es el mínimo número
de funciones diferenciablemente independientes en el que se puede expresar
ω y que en dimensión n hay exactamente n 1–formas regulares, que

6.8. Aplicación: Clasificación de formas 383
para n = 3 son: dx, ydx y dz + ydx, y para las que los correspondientes
subespacios son respectivamente
ω H R H ∩ R clase
dx < ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂y , ∂z > < ∂x , ∂y , ∂z > < ∂y , ∂z > 1
ydx < ∂ ∂
∂
∂
∂y , ∂z > < ∂z > < ∂z > 2
dz + ydx < ∂ ∂ ∂
∂
∂y , ∂x − y ∂z > < ∂z > {0} 3
Lema 6.40 Consideremos m × n funciones diferenciables fij de una variedad
V, tales que la matriz A(x) = (fij(x)) sea de rango constante
r < n. Sea x ∈ V, entonces todo valor a ∈ R n del núcleo –que es
n − r–dimensional–, A(x) · a = 0, se puede extender a una solución funcional
en un entorno de x, es decir que existe un entorno Ux y funciones
hi ∈ C ∞ (Ux), tales que hi(x) = ai y para todo p ∈ Ux, fij(p)hj(p) = 0,
para todo 1 ≤ i ≤ m.
Demostración. En todo punto x la matriz tiene rango constante
r, por tanto hay r filas independientes y el resto son combinaciones
lineales suyas. Entre las r hay un menor no nulo B de orden r, es decir
con determinante no nulo en x y por tanto en un entorno Ux de x,
por lo que en ese entorno las filas de antes siguen siendo combinación
lineal de las r de B. Ahora basta considerar el sistema correspondiente a
estas filas y columnas que, sin falta de generalidad podemos considerar,
multiplicando adecuadamente por las matrices que intercambian filas (o
columnas), que son las r primeras
B C f
0 = A(p) · h(p) =
D E g
para f = (h1, . . . , hr) t y g = (hr+1, . . . , hn) t . Ahora para cualquier valor
de g existe un único valor f = −B −1 Cg, tal que h es solución y el cálculo
es válido en Ux. Observemos que Bf + Cg = 0 implica Df + Eg = 0,
pues las filas de (D E) son combinación lineal de las de (B C).
Proposición 6.41 Sea ω ∈ Ω(V) regular de clase m. Entonces {∆p(ω) :
p ∈ V} es una distribución involutiva de rango n − m, cuyo módulo
asociado es
∆ = {D ∈ D, ωD = 0, D L ω = 0}.

384 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Demostración. Si en un entorno coordenado de un p, ω = gidxi,
entonces Dp = hi(p)∂xip ∈ ∆p = ∆p(ω) si y sólo si
gi(p)hi(p) = 0 , gij(p)hj(p) = 0,
para gij = ∂gi/∂xj − ∂gj/∂xi, lo cual equivale a que las hi(p) satisfagan
el sistema ⎛
g1(p)
⎜
⎜g11(p)
⎜
⎝ .
· · ·
· · ·
. ..
⎞ ⎛ ⎞
gn(p) h1(p)
g1n(p) ⎟ ⎜
⎟ ⎜h2(p)
⎟
⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠
gn1(p) · · · gnn(p) hn(p)
=
⎛ ⎞
0
⎜
⎜0
⎟
⎜ ⎟
⎝.
⎠
0
Ahora bien dim ∆p(ω) = n − m = r por tanto la matriz A(p) de este
sistema es de rango constante y se sigue del Lema anterior (6.40), que
dado Dp = hi(p)∂xip ∈ ∆p = ∆p(ω), existe un entorno Up de p y un
campo D ∈ D(Up), que satisface
ωD = 0 , iDdω = 0,
por tanto Dx ∈ ∆x para todo x ∈ Up. Si ahora cogemos una base
D1p, . . . , Drp de ∆p, la misma construcción nos dará campos independientes
D1, . . . , Dr en un entorno Up de p, tales que para cada x ∈ Up,
D1x, . . . , Drx ∈ ∆x y por tanto base de ∆x.
Que la distribución es involutiva se sigue de que
D ∈ ∆ ⇔ D ∈ D, ∀x ∈ V, Dx ∈ ∆x
⇔ D ∈ D, ωD = 0, iDdω = 0
y la comprobación se deja al lector.
⇔ D ∈ D, ωD = 0, D L ω = 0,
Proposición 6.42 Sea ω ∈ Ω(V) regular de clase m. Entonces para todo
p existe un entorno coordenado U de p, con coordenadas (vi) y γ ∈ Ω(V )
regular de clase m, tales que ω = π ∗ γ, para π = (v1, . . . , vm) y V = π(Up)
abierto de R m .
Demostración. Consideremos la distribución {∆p(ω) : p ∈ V} y
∆ su módulo asociado. Por ser involutivo se sigue del Teorema de
Frobenius I (6.21), que es totalmente integrable y por tanto existe un

6.8. Aplicación: Clasificación de formas 385
sistema de coordenadas (vi) en un entorno de p tal que ∆ está generado
por
∂
, . . . ,
∂vm+1
∂
.
∂vn
Si en este sistema de coordenadas es ω = gidvi, entonces gi =
ω(∂vi) = 0 para i = m + 1, . . . , n y las funciones g1, . . . , gm dependen
sólo de v1, . . . , vm, pues
0 = ∂
L
ω =
∂vi
m ∂gj
dvj.
∂vi
Se sigue que existe γ ∈ Ω(V ) con V abierto de R m tal que ω = π ∗ γ
para π = (v1, . . . , vm), con γy = 0 para y ∈ V .
Veamos que γ es regular de clase m, es decir que para todo y ∈ V ,
∆y(γ) = {0}. Sea x ∈ U tal que π(x) = y, Ey ∈ ∆y(γ) y consideremos
cualquier Dx tal que π∗Dx = Ey. Entonces
j=1
ωxDx = π ∗ γy(Dx) = γyEy = 0
iDxdxω = iDxdx(π ∗ γ) = iDxπ ∗ (dyγ) = 0,
por tanto Dx ∈ ∆x(ω) y Ey = π∗(Dx) = 0.
Ejercicio 6.8.1 Sea E un R–espacio vectorial finito dimensional y G: E×E → R
bilineal y hemisimétrica. Demostrar que:
(i) Si E tiene dimensión impar entonces el
rad G = {x ∈ E : G(x, y) = 0, ∀y ∈ E} = {0}.
(ii) El radical de G tiene dimensión par (o impar) si y sólo si la tiene E.
(iii) El rango de toda matriz hemisimétrica es par.
(iv) Si H es un hiperplano de E y ¯ G es la restricción de G a H × H, entonces
rad G = {0} ⇒ rad ¯ G es unidimensional
rad G =< e > ⇒ rad ¯ G es bidimensional
Veamos ahora una consecuencia del teorema de la proyección que
dice que en dimensión par, toda uno–forma no singular con diferencial
sin radical define un sistema de Pfaff proyectable.

386 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Lema 6.43 Sea V una variedad de dimensión par n, ω una 1–forma que
no se anula y con rad dxω = {0} en todo punto, entonces:
i) Para cada x, localmente existe D ∈ D[P], para el sistema de Pfaff
de rango 1, P =< ω >.
ii) Si un vector Tx verifica
ωxTx = 0, iTxdxω = aωx,
para a ∈ R, entonces Tx es proporcional a Dx.
iii) Para todo p ∈ V existe una proyección regular π : Up → U, con
Up entorno abierto de p y U ⊂ R n−1 abierto, tales que ω = fπ ∗ γ, para
γ una 1–forma regular de clase n − 1.
Demostración. i) Consideremos un entorno coordenado del punto
x, (Vx; xi), ω = gidxi y veamos si existe D = hi∂xi ∈ D[P], por
tanto si existe alguna función h tal que
ωD = 0
D L ω = hω
⇔
⇔
ωD = 0
iDdω = hω
lo cual equivale a encontrar, para
⇔
hjgj = 0
hjdω(∂xj, ∂xi) = hgi,
gij = dω(∂xj, ∂xi) = ∂gi
∂xj
ωD = 0
iDdω(∂xi) = hgi
− ∂gj
,
∂xi
una solución no nula al sistema
⎛
0
⎜−g1
⎜
A · h = ⎜
⎝ .
g1
g11
.
· · ·
· · ·
. ..
⎞ ⎛ ⎞
gn h
g1n⎟
⎜h1⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠
−gn gn1 · · · gnn
=
⎛ ⎞
0
⎜
⎜0
⎟
⎜ ⎟
⎝.
⎠
0
ahora bien este sistema tiene solución funcional no nula, por (6.40), pues
A es hemisimétrica y de orden n + 1 que es impar, por tanto det A = 0,
pues det A = det A t = det −A = − det A y es de rango constante n,
pues det(gij) = 0. Además hi = 0 para algún i, pues en caso contrario
las gi = 0.
ii) Se sigue porque el núcleo de esta ecuación es 1–dimensional.
hn

6.8. Aplicación: Clasificación de formas 387
iii) Basta considerar el campo D del resultado anterior y un entorno
coordenado (Up; ui) en el que D = ∂un y aplicar el teorema de la
Proyección a P =< ω >. Entonces para π = (u1, . . . , un−1) y U =
π(Up), P = π ∗ P ′ y por tanto existe una función f invertible tal que
ω = f(π ∗ γ), para una γ ∈ Ω(U).
Veamos que γ es regular de clase n − 1, es decir que para cada y ∈ U,
∆y(γ) = {0}. Sea x ∈ Up tal que π(x) = y, Ey ∈ ∆y(γ) y consideremos
cualquier Tx ∈ Tx(V) tal que π∗Tx = Ey. Entonces
ωxTx = f(x)[π ∗ γy(Tx)] = f(x)(γyEy) = 0,
iTxdxω = iTxdx(fπ ∗ γ) = iTx[dxf ∧ π ∗ γy + f(x)π ∗ dyγ]
= (Txf)π ∗ γy = (Txf)
f(x) ωx,
por tanto el par Tx y a = Txf/f(x) satisfacen la ecuación de (ii) y Tx es
múltiplo de Dx y como π∗Dx = 0, tendremos que Ey = 0.
Ejercicio 6.8.2 Sea ω ∈ Ω(V), x ∈ V y ω = 0. Demostrar que si existe un
entorno de x en V y un campo tangente D con D = 0, tal que ωD = 0 y
D L ω = 0, entonces existe un entorno Ux de x, con coordenadas u1, . . . , un, en
el que
ω = f1(u1, . . . , un−1)du1 + · · · + fn−1(u1, . . . , un−1)dun−1.
Teorema de Darboux 6.44 Sea ω ∈ Ω(V) regular de clase m. Entonces
para todo p ∈ V existe un abierto Up, entorno de p en V y m funciones
z ′ s, x ′ s ∈ C ∞ (Up) diferenciablemente independientes tales que en ese
abierto:
ω =
z1dx1 + · · · + zkdxk, si m = 2k;
dz + z1dx1 + · · · + zkdxk, si m = 2k + 1.
Demostración. Por (6.42) podemos suponer que m = n, por tanto
para todo p ∈ V
rad dpω ∩ {ωp = 0} = ∆p(ω) = {0},
y la dimensión del rad dpω es 0 ó 1 y por el ejercicio (6.8.1) es 0 si n es
par y 1 si n es impar.
Haremos la demostración por inducción en n. Para n = 1
ω = fdx = dz, para z = f(x)dx.

388 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Supongamos entonces que el resultado es cierto para 2k − 1 y veamos
que también lo es para 2k y 2k + 1.
i) Sea n = 2k, entonces rad dpω = {0}.
Se sigue del lema (6.43(iii)) que dado p existe U un entorno coordenado
suyo, con coordenadas ui, tales que para π = (u1, . . . , un−1) y
V = π(U),
ω = z1(π ∗ γ),
para una γ ∈ Ω(V ) regular de clase n − 1 = 2k − 1 en V , por tanto
podemos aplicar la hipótesis de inducción y asegurar que existe un sistema
de coordenadas (x1, . . . , xk, v2, . . . , vk) en V —reduciéndolo si es
necesario—, tal que
γ = dx1 + v2dx2 + · · · + vkdxk,
y por tanto para zi = z1(π ∗ vi) y xi = π ∗ xi
ω = z1dx1 + · · · + zkdxk,
y las funciones (xi, zi) forman un sistema de coordenadas, pues si existiese
un punto q ∈ Up en el que dqz1, . . . , dqzk, dqx1, . . . , dqxk, fuesen
dependientes, entonces existiría un Eq ∈ Tq(V) incidente con todas ellas
y por tanto tal que
dqzi(Eq) = dqxi(Eq) = 0 ⇒ iEqdω = iEq
k
dzi ∧ dxi = 0,
y Eq estaría en el radical de dqω, siendo así que su radical es nulo.
ii) Supongamos que n = 2k + 1, entonces el rad dpω tiene dimensión
1 y por tanto la matriz de términos
∂
gij = dpω ,
∂xj
∂
∂xi
i=1
, (para i, j = 1, . . . , n)
es de rango constante n − 1 y por (6.40) existe un abierto Up, entorno
de p en U y un campo D ∈ D(Up) no nulo en Up, tal que iDdω = 0 y
por tanto tal que para q ∈ Up,
rad dqω =< Dq >,
lo cual implica que en todo Up ωD = 0 y podemos tomar D tal que
ωD = 1 pues basta multiplicarlo por 1/ωD. Consideremos ahora un
sistema de coordenadas
u1, . . . , u2k, z ∈ C ∞ (Up),

6.8. Aplicación: Clasificación de formas 389
reduciendo Up si es necesario, tal que D = ∂z y ωx = dxz (para esto
último bastaría sumarle a z una integral primera ui de D). Ahora como
ωD = 1 y iDdω = 0,
tendremos que ω(∂z) = 1 y D L ω = 0, por tanto
ω = dz +
2k
i=1
fi(u1, . . . , u2k)dui = dz + π ∗ γ,
para π = (u1, . . . , u2k) y γ = fidxi, la cual es regular de clase 2k en
un abierto de R 2k , pues si Ey es tal que iEy dyγ = 0 y consideramos x
tal que π(x) = y y un Tx tal que π∗Tx = Ey, entonces
iTx dxω = iTx dxπ ∗ γ = π ∗ iEy dyγ = 0,
por tanto Tx es proporcional a Dx y Ey = 0, por tanto ∆y(γ) = {0} y
el resultado se sigue del caso anterior.
6.8.2. Clasificación de 2–formas.
Veamos una consecuencia inmediata del Teorema de Darboux, para
dos–formas.
Corolario 6.45 Si una variedad tiene una dos–forma ω2 cerrada y sin
radical, entonces la variedad tiene dimensión par 2m y localmente existe
un sistema de coordenadas (xi; zi) que llamaremos simpléticas, tal que
ω2 =
m
dzi ∧ dxi.
i=1
Demostración. Por el ejercicio (6.8.1), pág.385 k = 2m es par y por
el Lema de Poincare (3.22), pág.165, localmente es ω2 = dγ, y podemos
tomar γ no singular (basta sumarle una dz), por tanto γ es una uno–
forma regular de clase k y por el Teorema de Darboux
m
m
γ = zidxi ⇒ ω2 = dzi ∧ dxi.
i=1
Lema 6.46 Sea ω2 una dos–forma cerrada tal que ∆x = rad ω2x tiene
dimensión constante, entonces ∆x es una distribución involutiva.
i=1

390 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Demostración. Por (6.40) se tiene que para cada Dx tal que iDx ω2 =
0, existe un entorno de x, Vx y un campo D ∈ D(Vx), tal que Dp ∈ ∆p
para todo p ∈ Vx y si cogemos una base Dix, tendremos campos Di
que en un entorno de x siguen siendo independientes y de la distribución
que es de dimensión constante r, por tanto base. Se sigue que
∆ =< D1, . . . , Dr > y para ellos se tiene que iDi ω2 = 0. Veamos que
es involutiva, para ello veamos que [Di, Dj] ∈ ∆ es decir i [Di,Dj]ω2 = 0.
Sea D ∈ D, entonces
ω2([Di, Dj], D) = Di(ω2(Dj, D)) − D L i ω2(Dj, D) − ω2(Dj, [Di, D]) = 0,
pues D L i ω2 = iDi dω2 + d(iDi ω2) = 0.
Teorema 6.47 Toda dos–forma cerrada cuyo radical en cada punto tiene
dimensión constante localmente es de la forma
m
dzi ∧ dxi,
i=1
con las xi, zi diferenciablemente independientes.
Demostración. Por el lema anterior ∆x = rad ω2x es una distribución
involutiva, por tanto totalmente integrable por el Teorema de Frobenius,
por lo tanto todo x tiene un entorno abierto coordenado (Vx; vi) en
el que ∆ =< ∂vk+1 , . . . , ∂vn >. Ahora si en este sistema de coordenadas
tenemos que
ω2 =
1≤i

6.9. Variedades simpléticas 391
6.9. Variedades simpléticas
6.9.1. Campos Hamiltonianos.
Definición. Llamaremos estructura simplética en una variedad diferenciable
V a una dos–forma Λ ∈ Λ2(V) cerrada y sin radical y variedad
simplética a toda variedad diferenciable (V, Λ) con una estructura
simplética. Llamaremos transformación simplética entre dos variedades
simpléticas a toda aplicación diferenciable F : (V, ΛV) → (U, ΛU), que
conserve la estructura simplética, F ∗ ΛU = ΛV.
Corolario 6.48 Toda variedad simplética (V, Λ) es de dimensión par m =
2n y es orientada. (Ver la pág.964)
Demostración. Que es par es consecuencia de (6.45) y es orientada
pues existe la n–forma no nula
Ωm = Λ ∧ · · · ∧ Λ,
pues localmente Λ = n
i=1 dzi ∧ dxi y
Ωm = n! dz1 ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dzn ∧ dxn.
Definición. Llamamos volumen m–dimensional de una variedad con
borde B ⊂ V (ver pág.974), a
vol(B) = Ωm.
Ejemplo 6.9.1 Transformación simplética 2 Se sujeta una masa con dos
cuerdas con extremos que se deslizan sin fricción sobre dos barras verticales.
Para cada altura u1 y fuerza vertical v1 ejercida en la primera
cuerda existe una única altura u2 y fuerza vertical v2 sobre la segunda,
de modo que el sistema esté en equilibrio. Veamos que la aplicación
(u1, v1) → (v2, u2) es simplética.
2 Este ejemplo lo hemos extraído de un muy recomendable libro The Mathematical
Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems de Mark Levi.
B

392 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Sean a y b las longitudes de las cuerdas y 1 < a + b, la distancia
entre las dos barras verticales. Para cada posición (x, y) del peso tenemos
únicos valores (u1, v1) y (u2, v2) (con u1, u2 ≥ y), que satisfacen el
resultado, que son
(u1 − y) 2 + x 2 = a 2 , (u2 − y) 2 + (1 − x) 2 = b 2 ,
(u 1,v 1)
v 1
u 1
v 1 v 2
u 2
v 2
(u 2,v 2)
Figura 6.12. Transformación simplética.
y como las fuerzas que ejercen las cuerdas sobre la masa tienen direcciones
respectivamente, (1 − x, u2 − y) y (−x, u1 − y), tenemos que si la
masa es 1, existen λ, µ tales que
(0, 1) = λ(1 − x, u2 − y) + µ(−x, u1 − y) ⇔
0 = λ(1 − x) − µx, 1 = λ(u2 − y) + µ(u1 − y),
que nos da los valores para f = u1 − y = √ a 2 − x 2 , g = u2 − y =
b 2 − (1 − x) 2
x
λ =
xg + (1 − x)f
1 − x
µ =
xg + (1 − x)f
xg
v1 =
xg + (1 − x)f
(1 − x)f
v2 = 1 − v1 =
xg + (1 − x)f ,
y se tiene que du1 ∧ dv1 = dv2 ∧ du2, pues f y g sólo dependen de x y
por tanto v1 y v2, por tanto df ∧ dvi = 0 = dg ∧ dvi y tenemos que
du1 ∧ dv1 = (df + dy) ∧ dv1 = dy ∧ dv1 = −dy ∧ dv2 = −du2 ∧ dv2.
Debemos observar que la aplicación (x, y) → (u1, v1) no es biyectiva
(lo es si v1 > 0 que es la que hemos cogido y en general hay otra solución
con v1 < 0); además u1 = y ± √ a 2 − x 2 que no es diferenciable en x = a
—que corresponde a la posición perpendicular de a a la barra y para la

6.9. Variedades simpléticas 393
que v1 = 0, v2 = 1—, y u2 = y ± b 2 − (1 − x) 2 , no es diferenciable
en 1 − x = b —que corresponde a la posición perpendicular de b a la
barra y para la que v2 = 0, v1 = 1—, sin embargo hay una biyección
de (u1, v1) → (u2, v2), que es diferenciable en v1 distinto de 1 y de 0 y
ahí es simplética. En el dibujo de la derecha de la figura (6.12) se aprecia
la falta de diferenciabilidad cuando el v1 es 1, que se corresponde con un
v2 = 0. Por último en la figura se observa lo que dice el resultado, que
figuras correspondientes tienen mismo área.
Nota 6.49 La estructura simplética Λ define el isomorfismo de haces de
módulos en V
(6.6) D −→ Ω , D −→ iDΛ,
que en coordenadas es
(6.7) iDΛ = iD(
n
dzi ∧ dxi) =
i=1
n
Dzidxi −
i=1
y por tanto se tiene la correspondencia
∂
−→ −dzi,
∂xi
n
Dxidzi,
i=1
∂
−→ dxi.
∂zi
De igual modo, para cada x ∈ V, Λx define un isomorfismo lineal
entre los espacios vectoriales
Tx(V) −→ T ∗ x (V) , Dx −→ iDxΛx.
Definición. Diremos que D ∈ D(V) es un campo localmente Hamiltoniano
si iDΛ es cerrada y diremos que es Hamiltoniano si iDΛ es exacta,
es decir si existe h ∈ C ∞ (V), tal que
iDΛ = −dh,
a esta función h la llamaremos Hamiltoniano asociado al campo D (que
en general denotaremos con Dh).
Si D es hamiltoniano, es decir iDΛ = −dh, entonces se sigue de (6.7)
que en coordenadas
n
n
∂h ∂ ∂h ∂
D =
−
,
∂zi ∂xi ∂xi ∂zi
i=1
i=1

394 Tema 6. Sistemas de Pfaff
y sus curvas integrales satisfacen las llamadas ecuaciones de Hamilton
x ′ i = ∂h
(x, z) , z
∂zi
′ i = − ∂h
(x, z).
∂xi
Nota 6.50 La razón de considerar −dh en vez de dh no es importante
simplemente es que se arrastran menos signos aunque parezca lo contrario
(compárese además con el campo característico asociado a una
EDP de primer orden que no depende de la z, F (xi, zxi ) = 0, —ver la
pág.451—).
Proposición 6.51 a) Para todo campo D, D L Λ = diDΛ.
b) D es localmente hamiltoniano ⇔ D L Λ = 0 ⇔ el grupo uniparamétrico
τt de D es de transformaciones simpléticas.
c) El hamiltoniano h de un campo hamiltoniano Dh es constante a
lo largo de las curvas integrales de Dh.
d) Para todo campo D y todo campo hamiltoniano Df , Λ(D, Df ) =
Df.
Demostración. a) Por ser dΛ = 0, tenemos para todo campo D
D L Λ = diDΛ + iDdΛ = diDΛ.
b) Lo primero es obvio. Lo último se sigue de (3.10), pág.151.
c) Si iDΛ = −dh, entonces Dh = Λ(D, D) = 0.
d) Λ(D, Df ) = −iDf Λ(D) = df(D) = Df.
Teorema de Liouville 6.52 El flujo de un campo localmente hamiltoniano
D conserva el volumen.
Demostración. Por el resultado anterior, τ ∗ t Λ = Λ, por tanto τ ∗ t Ωn =
Ωn, para τt el grupo uniparamétrico de D, y
vol(τt(B)) =
τ ∗
t Ωn =
Ωn =
τt(B)
B
Ωn = vol(B).
B
Nota 6.53 Hemos dicho que la aplicación (6.6), D −→ iDΛ, es isomorfismo
de módulos. Por una parte, esto nos dice que toda función es hamiltoniana
para algún campo y por tanto que hay muchos campos que
dejan invariante la 2–forma Λ. Y por otra parte, este isomorfismo nos
permite definir de forma natural, un producto de 1–formas.

6.9. Variedades simpléticas 395
Definición. Definimos el corchete de Poisson de ω1, ω2 ∈ Ω(V), correspondientes
por (6.6) a los campos D1, D2 ∈ D(V), como la 1–forma
correspondiente por (6.6) a [D1, D2], es decir
[ω1, ω2] = i [D1,D2]Λ.
Dadas f, g ∈ C ∞ (V) definimos su paréntesis de Poisson como la
función
(f, g) = Λ(Df , Dg) = Df g = −Dgf,
donde Df y Dg son los campos hamiltonianos de f y g respectivamente.
Proposición 6.54 Se tienen las siguientes propiedades para a, b ∈ R y
f, g, h ∈ C ∞ (V):
i) (f, g) = −(g, f), (f, a) = 0, (f, ag + bh) = a(f, g) + b(f, h) y
(f, gh) = g · (f, h) + h · (f, g).
ii) [df, dg] = −d(f, g).
iii) [Df , Dg] = D (f,g).
iv) (f, (g, h)) + (g, (h, f)) + (h, (f, g)) = 0.
Demostración. (i) se sigue de que (f, g) = Df g = Λ(Df , Dg).
(ii) Sean Df , Dg ∈ D(V) tales que iDf Λ = −df e iDgΛ = −dg,
entonces para cada D ∈ D(V) se tiene por (b) y (d) de (6.54)
(iv)
d(f, g)D = D(f, g) = D(Df g) = [D, Df ](g) + Df (Dg)
= Λ([D, Df ], Dg) + Df (Λ(D, Dg))
(por ser DL f Λ = 0)
= Λ(D, [Df , Dg]) = −i [Df ,Dg]Λ(D) = −[df, dg](D).
(f, (g, h)) = Df (g, h) = Df (Dg(h)),
(g, (h, f)) = −Dg(Df (h)),
(h, (f, g)) = −D (f,g)(h) = −[Df , Dg](h).
Ejercicio 6.9.1 Demostrar que:
n
n
∂f ∂g ∂f ∂g
(f, g) =
−
.
∂zi ∂xi ∂xi ∂zi
i=1
i=1

396 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Ejercicio 6.9.2 Demostrar que si D es localmente hamiltoniano, entonces
D(f, g) = (Df, g) + (f, Dg).
6.9.2. El Fibrado Cotangente.
Sea U una variedad diferenciable n–dimensional y consideremos su
fibrado cotangente, es decir el conjunto
T ∗ U = {ωp ∈ T ∗ p (U) : p ∈ U},
de todas las uno–formas de todos los espacios cotangentes T ∗ p (U), con la
aplicación
π : T ∗ U → U, π(ωp) = p.
Ahora para cada abierto coordenado (U; xi) de U consideremos el
abierto π −1 (U) con las funciones (coordenadas), que en ωp ∈ π −1 (U)
valen
xi(ωp) = xi(p), zi(ωp) = ωp(∂xi),
las cuales establecen una biyección con un abierto Un × R n de R 2n . Se
demuestra que estas cartas definen una estructura diferenciable y que
para ella π es una proyección regular.
Teorema 6.55 V = T ∗ U tiene una uno–forma canónica, llamada forma
de Liouville, que para la proyección π está definida en cada punto ωp ∈
T ∗ U de la forma
λωp = π∗ ωp.
Además Λ = dλ es cerrada y sin radical, por tanto (V, Λ) es una variedad
simplética.
Demostración. Basta demostrar que el campo de 1–formas λωp es
diferenciable. Para ello consideremos un entorno coordenado (U; xi) y
las correspondientes coordenadas (xi, zi) en T ∗ (U) = π −1 (U), entonces
λ =
n
zidxi.
i=1
Nota 6.56 Observemos que la 1–forma intrínseca λ = n
i=1 zidxi es
regular de clase 2n (ver el Teorema de Darboux, pág.387), y que en
las coordenadas naturales (xi, zi) tiene la forma canónica, y además esas
coordenadas son simpléticas.

6.9. Variedades simpléticas 397
Ejercicio 6.9.3 Demostrar que el campo H que le corresponde a la forma de
Liouville λ ∈ Ω[T ∗ U], por el isomorfismo D ∈ D → iDΛ ∈ Ω, es el de las
homotecias en fibras (ver la pág.541).
6.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1
Definición. Sea U una variedad diferenciable n–dimensional. Consideremos
en cada punto p ∈ U el conjunto de las funciones diferenciables
definidas en algún entorno abierto de p y en él la relación de equivalencia
f ∼ g ⇔ f(p) = g(p), dpf = dpg.
Llamamos jet de orden 1, de funciones en p ∈ U al conjunto cociente por
esa relación de equivalencia, el cual denotamos J 1 p , y tiene estructura
natural de espacio vectorial (realmente de álgebra) pues si denotamos la
clase de equivalencia de f con J 1 p (f), podemos definir J 1 p (f) + J 1 p (g) =
J 1 p (f + g), aJ 1 p (f) = J 1 p (af) y se tiene el isomorfismo canónico 3
J 1 p −→ R × T ∗ p (U)
J 1 p (f) → (f(p), dpf)
Definición. Llamamos fibrado de jets de orden 1 al conjunto
con la proyección canónica
J 1 (U) = ∪p∈UJ 1 p ,
π : J 1 (U) → U, π(J 1 p (f)) = p.
Este conjunto tiene una biyección canónica
J 1 (U) ϕ −→ R × T ∗ (U), ϕ(J 1 p (f)) = (f(p), dpf)
que nos define una única estructura diferenciable para la que ϕ es difeomorfismo
y π proyección regular. Además tiene una función canónica
z : J 1 (U) → R, z(J 1 p (f)) = f(p).
3 También se tiene el isomorfismo, para C ∞ p el álgebra de gérmenes de funciones
en p y mp el ideal de gérmenes de funciones que se anulan en p,
J 1 p −→ C ∞ p /m 2 p
J 1 p (f) −→ [f]

398 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Ahora para cada abierto coordenado (U; xi) de U consideremos el abierto
coordenado π −1 (U) con las funciones ϕ ∗ xi y ϕ ∗ zi, es decir
xi(J 1 p (f)) = xi(p), zi(J 1 p (f)) = fxi (p),
las cuales junto con z establecen un sistema de coordenadas
(xi, z, zi): π −1 (U) −→ Un × R × R n ⊂ R 2n+1 .
Nota 6.57 Por último J 1 (U) tiene una 1–forma intrínseca
ω = dz − ϕ ∗ π ∗ 2λ,
para λ la forma de Liouville, que es regular de clase 2n + 1 (ver el Teorema
de Darboux, pág.387), y que en las coordenadas naturales (xi, z, zi)
tiene la forma canónica
ω = dz − zidxi.
6.9.4. Fibrado tangente de una var.Riemanniana.
Sea U una variedad diferenciable n–dimensional y consideremos su
fibrado tangente (ver la pág.369), es decir el conjunto
T U = {Dp ∈ Tp(U) : p ∈ U},
de todas los vectores de todos los espacios tangentes Tp(U) y la aplicación
(proyección regular)
π : T V → V, π(Dp) = p.
Recordemos que para cada abierto coordenado (U; xi) de U, consideramos
el abierto π −1 (U) con las funciones (coordenadas)
xi(Dp) = xi(p), zi(Dp) = Dpxi,
para cada Dp ∈ π −1 (U). Las cuales establecen una biyección con un
abierto Un × R n de R 2n . Se demuestra que estas cartas definen una
estructura diferenciable y que para ella π es una proyección regular.
Ahora bien si (U, g) es una variedad Riemanniana (ver la pág.178),
entonces el fibrado tangente T U y el cotangente T ∗ U, se identifican
canónicamente por el difeomorfismo
ϕ: T U → T ∗ U, Dp → ωp = ϕ(Dp) = iDp g, ωp(Ep) = Dp · Ep,

6.9. Variedades simpléticas 399
mediante el cual el fibrado tangente adquiere por una parte la 1–forma
de Liouville correspondiente ¯ λ = ϕ ∗ λ y una estructura natural de variedad
simplética, ¯ Λ = ϕ ∗ Λ. Veamos su expresión en coordenadas: Tomemos
un sistema de coordenadas (xi) en U, en las que la métrica vale
gij = g(∂xi , ∂xj ) y consideremos las coordenadas simpléticas (x′ i , z′ i )
correspondientes del fibrado cotangente (las denotamos así para no confundirlas
con las del tangente). Entonces en el fibrado tangente tenemos
las coordenadas (simpléticas) xi = ϕ ∗ x ′ i y pi = ϕ ∗ z ′ i = gijzj, pues
ϕ ∗ x ′ i(Dp) = x ′ i(ωp) = xi(p) = xi(Dp),
pi(Dp) = z ′ i(ωp) = ωp(∂xi ) = Dp · ∂xi
en las que ¯ Λ = dpi ∧ dxi y ¯ λ = pidxi.
Observemos que si la métrica es la Euclídea gij = δij, entonces pi =
zi, (por lo que podemos quitar la barra en las formas diferenciales).
En los siguientes ejemplos físicos consideramos esta estructura simplética
Λ = dzi ∧ dxi, del fibrado tangente de los espacios Euclídeos, para
los cuales campos Hamiltonianos y localmente Hamiltonianos son los
mismos por el Lema de Poincaré (3.22), pág.165, ya que como variedad
diferenciable T (R 3 ) = R 6 .
6.9.5. Mecánica Hamiltoniana.
Consideremos en el espacio Euclídeo tridimensional (ver pág.295) una
partícula de masa m cuya trayectoria σ(t) = (xi(t)) satisface la ley de
Newton mσ ′′ (t) = F [σ(t)], para una fuerza F = (fi) = fi∂xi ∈ D(R3 ).
Esta ecuación de segundo orden en el espacio (ver la pág.39), define un
campo tangente D ∈ D(T (R3 )) en el fibrado tangente del espacio, pues
introduciendo las componentes de la velocidad zi = x ′ i , tenemos que
(xi(t), zi(t)) es una curva integral del campo
D = zi∂xi + fi
∂zi .
m
Veamos que las únicas fuerzas F que definen campos D que dejan
invariante la estructura simplética del fibrado tangente son los conservativos
(ver la pág.295), F = − grad u.

400 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Proposición 6.58 Condición necesaria y suficiente para que la fuerza F
sea conservativa, es decir que derive de un potencial u(x), F = − grad u,
es que el campo D sea Hamiltoniano 4 , D L Λ = 0.
Demostración. En primer lugar si denotamos con ec = z2 i /2 (la
energía cinética), la cual es una función canónica en el fibrado tangente
(pues es ec(Dp) = Dp · Dp/2), entonces
iDΛ = Dzidxi − Dxidzi = fi
m dxi − zidzi
= 1
fidxi − dec,
m
es cerrada (ó exacta —por el Lema de Poincaré (3.22), pág.165—) sii lo
es fidxi, es decir D es Hamiltoniano de una función h (salvo adición
de una constante) sii fidxi = −du sii F = − grad u para u tal que
h = ec + u/m.
Casos particulares de estas fuerzas son (ver la pág.295): la de la
mecánica celeste con u(ρ) = −GMm/ρ (que estudiaremos a continuación
en el problema de dos cuerpos ó problema de Kepler) ó la de la
mecánica terrestre con u(z) = mgz, para z la altura sobre el plano xy
de la superficie de la tierra (que se considera plana) y g = GM/R 2 la
aceleración constante terrestre, (ver la pág.295).
En cualquier caso acabamos de ver que estos campos
D = z1∂x1
+ z2∂x2 + z3∂x3 − ux1
m
∂z1 − ux2
m
ux3
∂z2 − ∂z3 ,
m
son Hamiltonianos de la función energía (por unidad de masa) h = ec +
u/m, pues
iDΛ = − 1
uxi
m
dxi − dec = −d(ec + u/m) = −dh.
Ahora, como Dh = 0 tendremos que a lo largo de cada curva integral
γ(t) de D, h es constante y por tanto γ está en una hipersuperficie E =
{h = E} en la que consideramos las restricciones de la forma de Liouville
λE y la de su diferencial ΛE que ya no es simplética pues tiene radical,
que es nuestro campo D, pues es tangente a E y iDΛE = −dh |E = 0. Por
4 Que en este caso equivale a localmente Hamiltoniano según hemos observado
anteriormente.

6.9. Variedades simpléticas 401
otra parte en esta hipersuperficie la energía cinética es una función f(x),
pues ec = E − u(x)/m = f(x).
Consideremos ahora en nuestro espacio R 3 la nueva métrica ˜g =
f(x)g, proporcional a la Eucídea original es decir con componentes ˜gij(x) =
f(x)δij, las nuevas coordenadas simpléticas xi, pi = ˜gijzj = f(x)zi,
la nueva forma de Liouville γ = pidxi = f(x)λ, la nueva forma
simplética Γ = dγ y la correspondiente energía cinética en el fibrado tangente
˜ h(Dx) = ˜g(Dx, Dx)/2 = f(x)|Dx| 2 /2, cuyo campo Hamiltoniano
iZΓ = −d ˜ h es el geodésico Z (ver (7.64), pág.547). En estos términos se
tiene que:
Proposición 6.59 Para la hipersuperficie E = { ˜ h = 1} del fibrado tangente,
ϕ: ( E, γ E , Γ E ) → (E, λE, ΛE), Dx → f(x)Dx,
es un difeomorfismo, que conserva ambas formas diferenciales y ϕ∗Z es
proporcional a D.
Demostración. 1 = ˜ h(Dx) = f(x)|Dx| 2 /2 sii f(x) = |f(x)Dx| 2 /2 =
|ϕ(Dx)| 2 /2 = ec(ϕ(Dx)).
Extendamos la aplicación a todo el fibrado tangente entonces en coordenadas
la aplicación es ϕ(x, z) = (x, f(x)z), por tanto ϕ ∗ xi = xi y
ϕ ∗ zi = f(x)zi, de donde
ϕ ∗ λ = ϕ ∗ zidxi = f(x)λ = γ,
ϕ ∗ Λ = ϕ ∗ dλ = dϕ ∗ λ = dγ = Γ,
Por último Z es tangente a la hipersuperficie (de dimensión impar 2n−1),
E y es el único que está en el radical de Γ E (salvo múltiplos, por el
ejercicio (6.8.1), pág.385). Del mismo modo D es tangente a E y también
es el único que está en el radical de ΛE, pero para E = ϕ∗Z, y cualquier
campo B = ϕ∗A
iEΛE(B) = ΛE(ϕ∗Z, ϕ∗A) = iZΓ E = 0,
por tanto E es múltiplo de D.
Como consecuencia se tiene el siguiente resultado de Jacobi.
Corolario 6.60 En el espacio Euclídeo tridimensional toda trayectoria
de una partícula de masa m que se mueve siguiendo la ley de Newton
mσ ′′ (t) = F [σ(t)], para una fuerza F = − grad u, que derive de un

402 Tema 6. Sistemas de Pfaff
potencial u, tiene energía constante E = h(σ, σ ′ ) y es una geodésica
reparametrizada para la nueva métrica
˜g(Dx, Ex) = E − u(x)
Dx · Ex.
m
Volveremos sobre este resultado, en términos Lagrangianos, en las
pág.525 y 550.
Proposición 6.61 Si F es central, es decir para cada p ∈ R 3 , Fp es
proporcional a p, entonces las funciones
x2z3 − z2x3, z1x3 − x1z3, x1z2 − z1x2,
son integrales primeras de D. La trayectoria σ(t) está en un plano que
pasa por el origen y satisface la Segunda Ley de Kepler : El segmento
OP que une el origen con la masa, barre áreas iguales en tiempos iguales.
Demostración. Consideremos una curva solución σ, entonces σ ′′
es proporcional a F que es proporcional a σ por ser central, por tanto
σ×σ ′′ = 0 y es constante el vector W = σ×σ ′ (proporcional al momento
angular (ver la pág.182) Ω = mσ×σ ′ ), pues W ′ = (σ×σ ′ ) ′ = σ ′ ×σ ′ +σ×
σ ′′ = 0, por lo tanto la trayectoria se mueve en un plano constante que es
perpendicular a W y pasa por el origen, pues contiene al vector σ. Esto
nos da las 3 integrales primeras del enunciado (que son las componentes
de W ) (el resultado también es obvio aplicando D, pues por ejemplo
D(x2z3 −z2x3) = z3Dx2 +x2Dz3 −x3Dz2 −z2Dx3 = 0, ya que Dxi = zi
y Dzi = λxi).
D
W
F
A=s(t) B=s(t+r)
Figura 6.13. Segunda Ley de Kepler
Ahora haciendo un giro en el espacio podemos suponer que W es
perpendicular al plano xy y por tanto que x3(t) = z(t) = 0 y llamando
x = x1 e y = x2, tendremos que xy ′ − x ′ y = w = |W | es constante. Si

6.9. Variedades simpléticas 403
consideramos dos instantes t y t + r, y los puntos correspondientes A =
σ(t), B = σ(t + r), D la región interior a la curva S del triángulo curvo
formado por los segmentos 0A, 0B y la curva entre A y B, tendremos,
parametrizando como sea la curva en las partes rectas, en las que y/x =
y ′ /x ′ (por tanto xy ′ − x ′ y = 0), por el Teorema de Stokes (14.12)(ver la
pág.974) que
(6.8)
w r =
= 2
t+r
(xy
t
′ − x ′ y) dt =
D
dx ∧ dy = 2m[D]),
S
xdy − ydx
por tanto el área m[D], que barre el segmento OP , sólo depende de r.
Nota 6.62 Hemos visto que para una fuerza conservativa F = − grad u,
h = ec + u/m es una de las 5 leyes de conservación que tiene D. Ahora
bien en el caso de que el potencial sólo dependa de la distancia al origen,
u = u(ρ), para ρ = x 2 i , tendremos que además la fuerza F es central,
ya que uxi = u′ (ρ)xi/ρ = k(ρ)xi y podemos continuar en los términos
del resultado anterior (6.61) y considerar coordenadas polares en el plano
de σ, x = ρ cos θ, y = ρ sen θ.
A lo largo de nuestra trayectoria,
x ′ = ρ ′ cos θ − ρθ ′ sen θ, y ′ = ρ ′ sen θ + ρθ ′ cos θ,
y si en ella |Ω|/m = w y h = E, tendremos las dos ecuaciones
w = xy ′ − x ′ y = ρ 2 θ ′ , E = x′2 + y ′2
lo cual da, 2E = ρ ′2 + w 2 /ρ 2 + 2u(ρ)/m y
(6.9)
dρ
dθ
ρ′
= = ±ρ2
θ ′ w
2
2E − 2u(ρ)
m
+ u(ρ)
m = ρ′2 + ρ2θ ′2
+
2
u(ρ)
m
w2
− ,
ρ2 que a su vez nos da la trayectoria —y la correspondiente constante de
integración la tercera (quinta) integral primera de la ecuación—.

404 Tema 6. Sistemas de Pfaff
El problema de los dos cuerpos.
Consideremos dos cuerpos de masas mi que se mueven en el espacio
tridimensional, con la métrica Euclídea gij = δij, atrayéndose mutuamente
siguiendo la ley del inverso del cuadrado de la distancia de Newton.
En (3.27), pág.182, hemos demostrado que su centro de gravedad
m1r1 + m2r2
m1 + m2
sigue una linea recta con velocidad constante,
por lo tanto podemos considerar
un sistema de referencia en el que el centro
de masa esté en el origen, por tanto
,
Figura 6.14. Plano del movimiento
m1r1 + m2r2 = 0 y r1 y r2 son proporcionales, así como sus derivadas,
y el momento angular de los dos cuerpos respecto de su centro de masa
vale
Ω = m1r1 × r ′ 1 + m2r2 × r ′ 2 = m1
m2
(m1 + m2)r1 × r ′ 1,
y como la fuerza F21 = m1r ′′
1 que actúa sobre m1 es central y es proporcional
a r2 − r1, por tanto a r1, tendremos que
Ω ′ = m1
(m1 + m2)r1 × r
m2
′′
1 = 0,
por tanto Ω es constante —que es el Principio de la conservación del
momento angular—. y las órbitas de ambas masas están en el plano
perpendicular a Ω.
Ahora bien si uno de los cuerpos tiene masa m2 = M muy grande,
entonces el centro de masa de ambos cuerpos estará próximo a M. Esto
justifica el que en una primera aproximación podamos considerar que M
está en el origen 5 , en cuyo caso r2 = 0 y para m = m1 y r(t) = r1(t) =
(xi(t))
Ω = m r × r ′ ,
es decir el momento angular es el del cuerpo m = m1 que se mueve
describiendo una curva r(t) = (xi(t)) ∈ R 3 , siendo las funciones que
definen las componentes de W = Ω/m = r × r ′
w1 = x2z3 − x3z2, w2 = x3z1 − x1z3, w3 = x1z2 − x2z1,
5 Este problema lo hemos estudiado en la pág.265. Para un análisis más profundo,
sin la simplificación de que m2 sea el centro de masas, remitimos al lector al
Garabedian, pág.51.

6.9. Variedades simpléticas 405
integrales primeras del campo Hamiltoniano (ver (6.58))
D = zi∂xi − k xi
ρ 3 ∂zi = hzi ∂xi − hxi ∂zi
asociado a la ecuación de Newton (para ρ = |r| =
x2 i , u = −GMm/ρ
y k = GM)
m r ′′ = F = − grad u = −G mM
ρ2 r
ρ ,
que es el Hamiltoniano de la función energía (por unidad de masa)
h =
z 2 i
2
− k
ρ ,
y por tanto (r, r ′ ) = (xi, zi = x ′ i ) es solución del sistema de ecuaciones
diferenciales de Hamilton,
x ′ i = zi = hzi , z′ i = − kxi
= −hxi ,
ρ3 y como tenemos que Dh = 0, h es constante en las curvas integrales de
D, que es el Principio de conservación de la energía. Como además la
fuerza F es central, se sigue de (6.61), la Segunda Ley de Kepler: El
radio vector posición de m barre areas iguales en tiempos iguales.
Veamos ahora que existe otro vector constante a lo largo de la trayectoria
de r, llamado vector de Runge–Lenz:
Sabemos que W = r×r ′ es constante
(denotaremos |W | = w) y como r ′′ =
−kr/ρ 3 , entonces r ′′ es proporcional a r,
de donde r × r ′′ = 0, y como en general
u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w (ver la
pág.173), tendremos que
(W × r ′ ) ′ = W × r ′′ = − k k
W × r =
ρ3 ρ3 r × (r × r′ )
pues
= k (r · r′ )r − (r · r)r ′
ρ3 = k ρ′ r − ρr ′
ρ2 ′
r
= −k ⇒ W × r
ρ
′ + k r
ρ
R
Figura 6.15. Vector de Runge–Lenz
′
= 0,
r · r ′ = 1
2 (r · r)′ = 1
2 (ρ2 ) ′ = ρρ ′ ,

406 Tema 6. Sistemas de Pfaff
de donde se sigue que a lo largo de las órbitas es constante el vector de
Runge–Lenz,
R = W × r ′ + k r
ρ
(= (r × r ′ ) × r ′ − ρ 2 r ′′ ),
que es perpendicular a W pues lo son r y W × r ′ ; y sus componentes
r1 = w2z3−w3z2+ kx1
ρ , r2 = w3z1−w1z3+ kx2
ρ , r3 = w1z2−w2z1+ kx3
ρ ,
son otras 3 integrales primeras de D. Además
|R| 2 = (W × r ′ + k
ρ r) · (W × r′ + k
ρ r)
= |W × r ′ | 2 + 2k
ρ (W × r′ ) · r + k 2
= |W | 2 |r ′ | 2 + 2k
ρ (r′ × r) · W + k 2
= w 2 |r ′ | 2 − 2k
ρ w2 + k 2 = w 2 2h + k 2 = k 2
(por ser W ⊥r ′ )
1 + 2h w2
k2
,
por tanto su módulo es |R| = ke, para la también integral primera de D
e = 1 + 2h w2
.
k2 Estas 6 funciones que definen los vectores ortogonales W y R definen
suficientes integrales primeras de D (necesitamos 5) para integrar este
campo.
Consideremos un nuevo sistema de referencia girando el anterior de
modo que las direcciones positivas de los ejes x y z las definan respectivamente
R y W . En este nuevo sistema de coordenadas (en el que la
ρ no ha cambiado, R = (ke, 0, 0) y W = (0, 0, w) y nuestra curva r(t)
está en el plano x, y y tiene componentes r(t) = (x(t), y(t)), por tanto
x(t) = e1 · r = (R · r)/|R| y
x ′ = 1
ke R · r′ = 1
ke
W × r ′ + k r
· r
ρ
′ = 1
eρ r · r′ = ρ′
e
pues por (6.13), ρρ ′ = r · r ′ y se tiene que nuestra curva satisface, (ρ −
ex) ′ = 0 y para nuestra curva existe una constante p tal que
ρ = e x + p,

6.9. Variedades simpléticas 407
que es la ecuación de una cónica 6 con foco el origen y eje x, pues ρ =
e(x + p/e) y desde sus puntos es constante el cociente de distancias
e = ρ/(x + p/e), a un punto (el origen) y a la recta vertical de ecuación
x = −p/e, siendo e la excentricidad y p el latus rectum.
Observemos que la curva ρ = p − ex es ρ = p + ex girada un ángulo
π y además es su reflexión respecto del eje y; pues si (x, y) satisface
ρ = p + ex, (−x, −y) y (−x, y) satisfacen ρ = p − ex.
p
0
Figura 6.16. Haz de cónicas con foco el origen: Izqda. ρ = ex + p. Dcha. ρ = −ex + p
Tenemos así la Primera Ley de Kepler (ver la pág.265): La trayectoria
de la masa es una cónica y M está en un foco.
Esta cónica es:
elipse ⇔ e < 1 ⇔ h < 0 ⇔ z 2 1 + z 2 2 < 2k
ρ
parábola ⇔ e = 1 ⇔ h = 0 ⇔ z 2 1 + z 2 2 = 2k
ρ
hipérbola ⇔ e > 1 ⇔ h > 0 ⇔ z 2 1 + z 2 2 > 2k
ρ
y la cantidad 2k/ρ es la velocidad de escape a distancia ρ, es decir la
velocidad a partir de la cual la masa que está a distancia ρ seguiría una
órbita no elíptica y por tanto no regresaría más.
Observemos que además esta cónica corta al eje y (x = 0) a distancia
del origen–foco, ρ = p, y por (6.13), en nuestras coordenadas, w = w3 =
xy ′ − yx ′ es constante, y para x = 0, ρ = p = y = −w/x ′ , por otro
6 Una cónica es el corte de un cono con un plano y también el lugar geométrico
de puntos del plano para los que es constante la relación de distancias a un punto
fijo, llamado foco, y a una recta fija, llamada directriz ; y a esa relación constante,
que denotamos e se llama excentricidad. Remitimos al lector a la página web http:
//matematicas.unex.es/~ricarfr/ElipseDemo.pdf para una demostración visual de
las propiedades anteriores y a la pág. 556, donde también se llega de forma natural,
estudiando la refracción, a la expresión ¡lineal! ρ = ex + p, en las coordenadas (x, ρ),
de las cónicas con un foco en el origen y eje x.
p
0

408 Tema 6. Sistemas de Pfaff
lado por (6.13), también es constante r2 = w3z1 − w1z3 + (kx2)/ρ y en
nuestras coordenadas r2 = 0, w2 = 0, w3 = w, ρ = p = y = x2, por
tanto 0 = wx ′ + k, y por tanto el latus rectum vale p = w 2 /k.
Estas cónicas (ρ = p + ex) de ecuaciones cartesianas x 2 + y 2 = (ex +
p) 2 , son simétricas respecto del eje x y se cortan con él en los puntos
(xi, 0), con x 2 i = (exi + p) 2 , es decir
xi = ±(exi + p) ⇔ x1 = p
1 − e (si e = 1), x2 = − p
1 + e .
Observemos que en el caso parabólico x1 está en el infinito y en
los otros dos casos (hiperbólico ó elíptico, e = 1), tendremos que para
x = x1, ρ1 = ex1 + p = x1 y para x = x2 < 0, ρ2 = ex2 + p = −x2; por
lo tanto la cónica tiene centro (veremos mas adelante que es centro de
simetría), que está en el eje x y es negativo si es una hipérbola (e > 1)
y positivo si es una elipse (e < 1),
(6.10) c = x1 + x2
2
= pe
,
1 − e2 y tiene semieje mayor (en el caso de elipse, e < 1)
(6.11) a = x1 − x2
2
= p c
=
1 − e2 e
Observemos también que R apunta (si es elipse) hacia el punto más
alejado del foco en el que hemos localizado el origen (es decir el afelio 7 ).
x2
p
a
b
a
c x1
Figura 6.17.
Además si es una elipse (Fig.6.17), para el centro x = c el valor
correspondiente de ρ es ce + p = a, pues
ρ = ex + p = pe2
p
+ p = = a,
1 − e2 1 − e2 7 Del griego, apo=lejos de, y helios=sol, que es el punto (x2, 0). Su simétrico respecto
del centro de la elipse es el perihelio, de peri=alrededor y helios, y es el (x1, 0).
La Tierra pasa por su perihelio sobre el 3 de enero y por su afelio sobre el 3 de julio.

6.9. Variedades simpléticas 409
que es el semieje mayor de la elipse 8 . Si ahora definimos b por a 2 = b 2 +c 2
(que será el semieje menor), entonces por la igualdad (6.11), c = ea, y
a 2 = b 2 + c 2 = b 2 + e 2 a 2 ⇔ b 2 = a 2 (1 − e 2 ) = ap,
y la ecuación de la curva en coordenadas cartesianas es
x 2 + y 2 = (ex + p) 2 ⇔ (1 − e 2 )x 2 − 2exp − p 2 + y 2 = 0
⇔ p
a x2 − 2exp − p 2 + y 2 = 0
⇔ x2 − 2xea − ap + a 2
a 2
⇔
(x − c)2
a 2
+ y2
= 1.
b2 + y2
= 1
ap
Si ahora consideramos el tiempo T , en el que la masa da una vuelta
alrededor de M, por la elipse correspondiente, tendremos por la segunda
Ley de Kepler (6.8), considerando que el área que encierra la elipse es
πab, que
2πab = wT ⇔ T 2 = 4π2 a 2 b 2
w 2
= 4π2 a 3 p
w 2
4π2
=
k a3 ,
pues b 2 = ap; que es la tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los
períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de
sus distancias medias.
Observemos que p/a = 1 − e 2 = −2hw 2 /k 2 = −2hp/k (la segunda
igualdad por ??), por lo que la energía h determina el semieje mayor pues
a = −k/2h; el momento (dividido por m), w, determina el latus rectum
p = w 2 /k y los dos valores determinan la excentricidad e. Esas dos leyes
de conservación, por tanto, determinan la forma de la trayectoria cónica,
aunque no su dirección, que nos la da el vector de Runge–Lenz.
Por otra parte la velocidad v de la masa a una distancia dada ρ,
determina la energía E = v 2 /2 − k/ρ, la cual determina el semieje a,
que a su vez determina el período T . De esto se sigue que si en un punto
estalla una masa dirigiéndose los trozos en direcciones distintas pero con
la misma velocidad v, al cabo de un mismo tiempo T , en el que han
seguido distintas elipses, se reúnen en el punto original.
ma
8 Llamado distancia media, pues es la semisuma de la distancia máxima y la míni

410 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Completemos estos resultados con uno enunciado por Hamilton que
afirma que la hodógrafa 9 de toda masa es una circunferencia, llamando
hodógrafa a la curva definida por su vector velocidad.
Teorema 6.63 La curva definida por r ′ es una circunferencia.
Demostración. Basta demostrar que existe un vector constante B
tal que B + r ′ tiene módulo constante d. Ahora bien tenemos que para
los vectores constantes W = r × r ′ = (0, 0, w) y R = (ke, 0, 0)
R = W × r ′ + k
r
ρ
⇒
R
w = e3 × r ′ + k
r
wρ
⇒
R
w × e3 = r ′ + k
wρ r × e3 ⇒ r ′ + ke
w e2 = k
w e3 × r
|r| ,
siendo B = (ke/w)e2 un vector constante (perpendicular a R y W ,
además B × W = R) y k
w e3 × r
|r| de módulo constante d = k/w.
r'
Figura 6.18. Velocidades en trayectorias elíptica, parabólica e hiperbólica.
r'
B
d
Figura 6.19. Hodógrafas correspondientes a elipse, parábola e hipérbola.
Nota 6.64 Por último observemos que en el caso de elipse, el vector de
Runge–Lenz, que tiene módulo ke y dirección el semieje mayor
R = W × r ′ + k r
ρ ,
9 Hodógrafa del griego odos camino y grafein dibujar (una linea).

6.9. Variedades simpléticas 411
es suma de W × r ′ , que es perpendicular a r ′ , y el vector en la dirección
de r de módulo k. Se sigue por semejanza de triángulos que si P es el
punto de la elipse (definido por r) y Q el punto en el que la normal a
la elipse en P corta al eje mayor de la elipse, entonces 0Q/0P = e es la
excentricidad.
0
k
ke
C
R Q
Figura 6.20. Propiedad de la elipse
Ejercicio 6.9.4 Demostrar que las cónicas ρ = ex + 1 y ρ = ex + p son homotéticas
de razón p.
Ejercicio 6.9.5 Demostrar que en una elipse la suma de distancias de cada
punto a los focos es constante.
Ejercicio 6.9.6 Cortamos un cono de base circular con un plano y proyectamos
la curva intersección a un plano perpendicular al eje del cono. Demostrar que
la curva es una cónica con foco en el eje del cono.
Ejercicio 6.9.7 Dado un punto P de una elipse, consideremos el punto Q corte
del semieje mayor y la normal a la elipse por P . Demostrar que para F un
foco, F Q/F P es constante y es la excentricidad.
Ejercicio 6.9.8 Sea n ∈ N, consideremos en cada punto P de R 2 la recta cuya
perpendicular por P corta al eje x en un punto Q, tales que es constante
|Q|/|P | n = e. Encontrar las curvas tangentes. ¿Qué interpretación tiene e
para n = 1?.
Ejercicio 6.9.9 Suponiendo que una masa M esté en reposo ¿qué velocidad
inicial debe tener un satélite que está a una distancia r de M, para que su
órbita sea circular?.
Ejercicio 6.9.10 Sabiendo que para la Tierra, GM = 398 600, 4418 km3
seg 2 (ver la
pág.48), calcular a que altura debemos poner un satélite para que sea geoestacionario,
es decir se mueva como si estuviera unido rígidamente a la Tierra.
P

412 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Ejercicio 6.9.11 Demostrar el recíproco del Teorema de la Hodografa (6.63),
es decir que si una trayectoria r (de una masa que se mueve debido a una fuerza
central, es decir r ′′ ∼ r) tiene hodógrafa que es una circunferencia, entonces r
es una cónica con la fuente de atracción en el foco.
6.10. Apéndice: Variedades diferenciables
Definición. Llamamos estructura diferenciable en un espacio topológico
Hausdorff y de base numerable X , a una colección
{C ∞ (U) ⊂ C(U), con U abierto de X },
de subconjuntos de las funciones continuas de cada abierto U de X ,
cada una de las cuales es una R-álgebra, que llamaremos de funciones
diferenciables, que satisfacen las siguientes propiedades:
i.- La restricción de una función diferenciable es diferenciable, es decir
dados dos abiertos U ⊂ V ,
f ∈ C ∞ (V ) ⇒ f |U ∈ C ∞ (U).
ii.- Dada una colección Ui de abiertos, U = ∪Ui y fi ∈ C ∞ (Ui),
tales que f i|Ui∩Uj = f j|Ui∩Uj , entonces existe una única f ∈ C ∞ (U) cuya
restricción a cada Ui es fi.
iii.- Para cada punto x ∈ X existe un abierto
Ux, (en la foto, la olla) que lo contiene y al
que llamaremos entorno coordenado de x, un
abierto V de un R n (en la foto, el mantel) y
un homeomorfismo H : Ux → V (que lleva el
punto rojo de la olla en el del mantel), tal que
para cada abierto U ⊂ Ux
f ∈ C ∞ (H(U)) ⇔ f ◦ H ∈ C ∞ (U).
Figura 6.21.
Llamaremos variedad diferenciable a un espacio topológico dotado de
una estructura diferenciable.

6.10. Apéndice: Variedades diferenciables 413
Proposición 6.65 Toda variedad es unión disjunta numerable de sus
componentes conexas, que son abiertos y cerrados de la variedad.
Demostración. Consideremos, para cada x de la variedad, la unión
Ux de todos los conjuntos conexos de la variedad que contienen a x.
Se demuestra fácilmente que cada Ux es conexo, que es abierto (por la
propiedad iii) y es un cerrado pues su complementario es abierto. Por
tanto a lo sumo la colección de estas componentes conexas es numerable
si el espacio tiene una base numerable de abiertos.
Definición. Diremos que una aplicación continua entre variedades diferenciables
F : X −→ Y,
es diferenciable si para cada abierto V ⊂ Y
f ∈ C ∞ (V ) ⇒ F ∗ (f) = f ◦ F ∈ C ∞ (f −1 (V )).
Definición. Llamamos germen en un punto x, de una función continua
(diferenciable) f definida en un entorno abierto de x, a la clase de equivalencia
de todas las funciones de su tipo, definidas en entornos abiertos
de x, que coincidan con f en algún entorno de x. Denotaremos con Cx(X )
(ó Cx si no hay confusión) y C ∞ x las R–álgebras de gérmenes de funciones
continuas y diferenciables respectivamente en x.
Llamamos espacio tangente de una variedad X en un punto x al
R–espacio vectorial Tx(X ), de las derivaciones
Dx : C ∞ x −→ R,
en el punto x, es decir aplicaciones verificando:
a) Linealidad.- Dp(tf + sg) = tDpf + sDpg.
b) Anulación constantes.- Dpt = 0.
c) Regla de Leibnitz en p.- Dp(fg) = f(p)Dpg + g(p)Dpf,
para cualesquiera t, s ∈ R y f, g ∈ C ∞ x . el cual —si X es Hausdorff y
de base numerable como suponemos—, se demuestra que coincide con
las derivaciones en x de todo el álgebra C ∞ (X ) en R. Llamamos espacio
cotangente a su dual, que denotamos T ∗ x (X ).
Llamamos campos tangentes en un abierto U a las derivaciones
es decir aplicaciones verificando:
D : C ∞ (U) −→ C ∞ (U),

414 Tema 6. Sistemas de Pfaff
1.- D(tf + rg) = tDf + rDg,
2.- Dt = 0,
3.- Regla de Leibnitz: D(fg) = f(Dg) + g(Df),
para f, g ∈ C ∞ (U) y t, r ∈ R, las cuales forman un C ∞ (X )–módulo, que
denotamos D(X ), y un álgebra con el producto definido por el corchete
de Lie
[D1, D2] = D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1.
Llamamos 1–formas a los elementos de su módulo dual, Ω(X ).
Dada una función f ∈ C ∞ (X ) llamamos diferencial de f a la 1–forma
df : D(X ) −→ C ∞ (X ), df(D) = Df.
Definición. Dada una aplicación diferenciable
F : X −→ Y,
llamamos aplicación lineal tangente en x ∈ X a
F∗ : Tx(X ) −→ T F (x)(Y), F∗(Dx) = Dx ◦ F ∗ ,
a la aplicación dual entre espacios cotangentes la denotamos F ∗ . Llamamos
rango de F en x al rango de F∗.
6.10.1. Particiones de la unidad
Lema 6.66 Sea (V, C ∞ ) una variedad diferenciable, U un abierto y K ⊂
U un compacto. Entonces existe ϕ ∈ C ∞ (V) tal que ϕ(V) ⊂ [0, 1], ϕ = 1
en K y sop(ϕ) ⊂ U.
Demostración. El resultado lo hemos visto para U abierto coordenado
en (1.8), pág.7). Para cada x ∈ K sea ϕ ∈ C ∞ (V) tal que ϕ(x) = 1
y sop(ϕ) ⊂ U. Por compacidad de K existirán, ϕ1, . . . , ϕn ∈ C ∞ (V) y
abiertos U1 = {ϕ1 > 0}, . . . , Un = {ϕn > 0}, tales que K ⊂ ∪Ui y en K,
f = ϕi > 0. Además sop(f) ⊂ ∪ sop(ϕi) ⊂ U. Ahora bien por ser f
continua existe mín{f(x) : x ∈ K} = ɛ > 0; y como existe h ∈ C ∞ (R),
tal que h(R) = [0, 1], h(x) = 1 para x ≥ ɛ y h(x) = 0, para x ≤ 0 (ver
pág.7), podemos definir la función ϕ = h ◦ f que es la buscada, pues
sop(ϕ) ⊂ U y en K, ϕ = 1.
Corolario 6.67 Sea (V, C ∞ ) una variedad, K un compacto y f ∈ C ∞ (V)
no negativa, tal que f > 0 en K. Entonces existe h ∈ C ∞ (V), tal que
h > 0 en V y h = f en K.

6.10. Apéndice: Variedades diferenciables 415
Demostración. Sea U = {f > 0}, entonces por (6.66) existe ϕ ∈
C ∞ (V), tal que ϕ = 1 en K y sop(ϕ) ⊂ U. La función h = f + (1 − ϕ) es
la buscada.
Teorema 6.68 Sea (V, C ∞ ) una variedad, K un compacto de V y Vj un
recubrimiento de K. Entonces existen ϕ1, . . . , ϕn ∈ C ∞ (V) no negativas,
tales que vi = 1 en K y sop(ϕi) ⊂ Vj, para algún j.
Demostración. Si x ∈ K, entonces x ∈ Vj para algún j. Consideremos
para este x una ϕ ∈ C ∞ (V) no negativa, tal que ϕ(x) = 1 y
sop(ϕ) ⊂ Vj y sea Ux = {ϕ > 0}, entonces por ser K compacto existirán
ϕ1, . . . , ϕn ∈ C ∞ (V) y U1 = {ϕ1 > 0}, . . . , Un = ϕn > 0 tales que
K ⊂ ∪Ui, f = gi > 0 en K y sop(ϕi) ⊂ Vji. Ahora por (6.67), existe
h ∈ C ∞ (V) positiva, tal que h = f en K. Las funciones buscadas son
ϕi = gi/h.
Definición. Diremos que una familia de subconjuntos Vj, de un espacio
topológico X es localmente finita si cada punto de X tiene un entorno
que corta a lo sumo a un número finito de conjuntos Vj.
Ejercicio 6.10.1 Demostrar que la adherencia de conjuntos de una familia localmente
finita, también lo es.
Definición. Diremos que una familia ϕj de funciones diferenciables,
en una variedad V, constituyen una partición de la unidad en V, si se
verifican las propiedades:
(a) ϕj ≥ 0 para todo j. (b) sop(ϕj) es una familia localmente finita.
(c) vj = 1 en V.
Una partición de la unidad ϕj está subordinada a un recubrimiento
por abiertos Vi de V si: (d) para cada jexiste un i tal que sop(ϕj) ⊂ Vi.
Recordemos que el espacio topológico subyacente a una variedad diferenciable
es Hausdorff, localmente compacto y tiene una base numerable
de abiertos. Por ello se tiene el,
Lema 6.69 Toda variedad V es unión numerable de compactos Kn, tales
que Kn−1 ⊂ ◦
( Kn).
Demostración. En primer lugar como V tiene una base numerable
de abiertos Vn, y cada punto x ∈ V tiene un entorno compacto
Vx, existirá n ∈ N tal que x ∈ Vn ⊂ Vx, y Cn = ¯ Vn será compacto.
Por tanto V es unión numerable de los compactos Cn. Tomemos ahora

416 Tema 6. Sistemas de Pfaff
K1 = C1. Para construir K2 tomamos para cada x ∈ K1 un abierto
Ux relativamente compacto (es decir con adherencia compacta). Por ser
K1 compacto podemos extraer un subrecubrimiento finito U1, . . . , Un,
y definimos K2 = ∪iUi ∪ C2, entonces K1 ⊂ ∪Ui ⊂ ◦
( K2). Ahora por
inducción construimos Kn en función de Kn−1 y el resultado se sigue.
Teorema 6.70 Dado un recubrimiento abierto Vi de una variedad V,
existe una partición de la unidad subordinada a él.
Demostración. En los términos del lema anterior para Kn consideremos
los compactos
C1 = K1, Cn = Kn\ ◦
( Kn−1)(n ≥ 2),
Los abiertos Vi recubren a C1 y a C2 y los Vni = Vi ∩ K c n−2 para
n ≥ 3 recubren a Cn. Aplicando (6.68), existen para cada n ∈ N,
Φn1, . . . , Φnm ∈ C ∞ (V), no negativas, con m dependiendo de n, tales
que en Cn, Fni = 1, y para n = 1, 2 y cada Φnj existe un abierto Vi,
que podemos llamar Vnj tal que sop(Φnj) ⊂ Vnj, y para n ≥ 3 y cada
Φnj existe un Vni, que podemos llamar Vnj, tal que sop(Φnj) ⊂ Vnj. Para
cada n ∈ N y cada i = 1, . . . , mn, Φni ≥ 0. Veamos ahora que sop(Φni)
es localmente finita.
Para cada x ∈ V existe n ≥ 3 tal que x ∈ ◦
( Kn). Ahora bien para
j ≥ n − 2 tenemos que Kn ⊂ Kj−2, por tanto
Vji = Vi ∩ K c j−2 ⊂ K c j−2 ⊂ K c n,
es decir que para j ≥ n − 2 tenemos
◦
K n ⊂ Kn ⊂ V c
ji ⊂ sop(Φji) c ,
de donde se sigue que sop(Φni)es localmente finita. Por último y como
consecuencia de lo anterior Φ = Fni ∈ C ∞ (V), además para cada
x ∈ V existe n ∈ N tal que x ∈ Cn y para algún i ∈ {1, . . . , m},
Φni(x) > 0, pues
Φn1(x) + · · · + Φnm(x) = 1.
Por tanto Φ(x) > 0 y basta considerar las funciones ϕni = (Φni/Φ) ∈
C ∞ (V).

6.10. Apéndice: Variedades diferenciables 417
Corolario 6.71 Dados C1 y C2 cerrados disjuntos de V, existe h ∈ C ∞ (V)
tal que h(V) ⊂ [0, 1], h(C1) = 0 y h(C2) = 1, además sop(h) ⊂ C1.
Demostración. Consideremos una partición de la unidad ϕi subordinada
a U = V − C1 y V = V − C2, y consideremos los ϕj tales que
sop(ϕj) ⊂ U y su suma h = vj, y por otra parte el resto de los ϕi
para los que se tendrá sop(ϕk) ⊂ V , y sea g su suma. Entonces por ser
ϕi una familia localmente finita se tiene que ∪ sop(ϕj) y ∪ sop(ϕk) son
cerrados, por tanto sop(h) ⊂ U y sop(g) ⊂ V . Como además se tiene
que h + g = 1, el resultado se sigue.
Corolario 6.72 Sean C un cerrado y U un abierto de V, tales que C ⊂ U.
Entonces existe h ∈ C ∞ (V), tal que h(V) ⊂ [0, 1], h(C) = 1 y sop(h) ⊂
U.
Ejercicio 6.10.2 Sea X una subvariedad cerrada de V. Demostrar que toda
función f ∈ C ∞ (X ) puede extenderse a una f ∈ C ∞ (V) (ver Helgason, p.92).
6.10.2. Inmersiones locales, subvariedades
Definición. Decimos que F es una inmersión local en x si la aplicación
F ∗ : C ∞ F (x) −→ C∞ x , F ∗ (f) = f ◦ F,
definida entre álgebras de gérmenes de funciones diferenciables, es sobre.
Lo cual equivale a que
F∗ : Tx(X ) −→ T F (x)(Y),
sea inyectiva. Diremos que F es inmersión si es inyectiva e inmersión
local en todo punto, en cuyo caso diremos que F (X ) es una subvariedad
inmersa en Y. Si además, con la topología inducida por Y, resulta que
F : X −→ F (X ),
es un homeomorfismo, diremos que F (X ) es una subvariedad (ó subvariedad
regular como la llaman algunos autores), de Y.
Teorema del rango 6.73 Si F : X → Y es diferenciable de rango constante
k, entonces para cada p ∈ X y q = F (p) existen entornos coordenados
Vp y Vq, con coordenadas (u1, . . . , un) y (v1, . . . , vm), tales que si
x ∈ Vp tiene coordenadas (x1, . . . , xn), F (x) tiene coordenadas
(x1, . . . , xk, 0 . . . , 0).

418 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Corolario 6.74 En las condiciones anteriores, si F es localmente inyectiva
k = n y F es inmersión local.
Teorema de caracterización de subvariedades 6.75 S es una subvariedad
de una variedad X si y sólo si para cada p ∈ S, existe un abierto
coordenado Vp de p en X , con coordenadas ui, tal que
S ∩ Vp = {x ∈ Vp : uj(x) = 0, j = 1, . . . , k}.
Proposición 6.76 Sea F : X → Y diferenciable de rango constante k.
1.- Para cada q ∈ Y, F −1 (q) es vacío ó una subvariedad cerrada de
X , de dimensión dim X − k.
2.- Cada p ∈ X tiene un entorno abierto Vp tal que F (Vp) es una
subvariedad de Y de dimensión k.
3.- Si F es sobre, dim Y = k.
Demostración. 1.- Sea p ∈ F −1 (q), y consideremos los entornos del
teorema del rango, entonces
F −1 (q) ∩ Vp = {x ∈ Vp : F (x) = q}
= {x ∈ Vp : vj(F (x)) = vj(q), j ≤ k}
= {x ∈ Vp : uj(x) = vj(q), j ≤ k}.
2.- Localmente F es composición de una proyección (que lleva abiertos
en abiertos) y una inmersión, por tanto existe un abierto V ⊂ Vq tal
que F (Vp) = {y ∈ V : vk+1 = · · · = vn = 0}.
3.- Como X es de base numerable, por el apartado anterior Y se
puede poner como unión numerable de subvariedades de dimensión k y
si k < dim Y es absurdo porque las subvariedades son de medida nula
y la unión numerable de conjuntos de medida nula es de medida nula.
También porque las subvariedades son densas en ningún lado y por el
Teorema de Baire su unión numerable también es densa en ningún lado.
6.10.3. Variedades integrales máximas
Veremos que si ∆ es una distribución involutiva, entonces por cada
punto de la variedad pasa una única variedad integral máxima. Pero para
ello necesitamos unos resultados previos.

6.10. Apéndice: Variedades diferenciables 419
Teorema 6.77 Sean U, V y W variedades diferenciables, y consideremos
el diagrama conmutativo
U
F
−→ V
H ↘ ↙ G
W
donde G es inmersión y H es diferenciable, entonces cada afirmación
implica la siguiente:
i) G(V) es una subvariedad de W.
ii) F es continua.
iii) F es diferenciable.
Demostración. (i)⇒(ii) Para cada abierto V ⊂ V se tiene por ser
G inyectiva
F −1 (V ) = F −1 [G −1 [G(V )]] = H −1 [G(V )],
y F es continua por serlo H y G(V) tener la topología inducida por W,
por lo que G(V ) = A ∩ G(V), con A abierto de W y F −1 (V ) = H −1 (A).
(ii)⇒(iii) Si F : U −→ V es continua, entonces podemos definir para
cada x ∈ U
F ∗ : C F (x)(V) −→ Cx(U),
tal que F ∗ [f] = [F ∗ f], para cualquier representante f. Ahora que F es
diferenciable se demuestra fácilmente en germen, pues si f es el germen
de una función diferenciable en y = F (x) ∈ V, para un punto x ∈ U,
entonces f = G ∗ (g) (por ser G inmersión local), para g el germen de una
función diferenciable de W, por lo tanto
F ∗ (f) = F ∗ [G ∗ (g)] = H ∗ (g),
es el germen de una función diferenciable.
Teorema 6.78 Sean U, V y W variedades diferenciables, y consideremos
el diagrama conmutativo de teorema anterior, con G inmersión, H diferenciable
y además para cada y ∈ V,
G∗[Ty(V)] = ∆ G(y),
para ∆ una distribución involutiva de W. Entonces F es continua y por
el resultado anterior diferenciable.

420 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Demostración. Sea V ⊂ V un abierto y x ∈ F −1 (V ), basta encontrar
un entorno abierto de x cuya imagen por F esté en V . Para
ello consideremos y = F (x) y un (Wz; wi), entorno coordenado de
z = H(x) = G(y), con coordenadas (w1, . . . , wm), tal que wi(z) = 0 y
para cada p ∈ Wz
∆p =< ∂
∂w1 p, . . . , ∂
∂wn p >,
y consideremos el abierto G −1 (Wz), el cual tiene por (6.65) una colección
numerable de componentes conexas Vk que son abiertos. Llamemos V0 a
la que contiene a y y Vy = V ∩ V0.
Ahora consideremos las funciones de G −1 (Wz), vi = G ∗ (wi) = wi◦G,
las cuales son constantes, para i = n + 1, . . . , m, en cada componente
conexa Vk, pues para cada q ∈ Vk y Dq ∈ Tq(V)
Dqvi = Dq(wi ◦ G) = G∗(Dq)wi = 0,
ya que G∗(Dq) ∈ ∆ G(q). Por lo tanto existen números aik ∈ R, con
i = n + 1, . . . , m y k = 0, 1, 2, . . . , tales que
vi[Vk] = aik, vi[V0] = 0.
Por otra parte, las funciones vi = wi◦G, para i = 1, . . . , n, son un sistema
de coordenadas en V0, ya que si q ∈ V0 y Eiq es la base de Tq(V0) tal que
G∗(Eiq) = ∂
∂wi G(q), i = 1, . . . , n,
tendremos que dqvj ∈ T ∗ q (V) es su base dual, pues
dqvi(Ejq) = Ejq(wi ◦ G) = G∗[Ejq]wi = δij,
y en estas coordenadas G: V0 → Wz se expresa de la forma
(y1, . . . , yn) −→ (y1, . . . , yn, 0, . . . , 0),
por tanto podemos considerar un abierto W ⊂ Wz, entorno de z tal que
G(Vy) = {p ∈ W : wn+1(p) = · · · = wm(p) = 0}.
Si ahora llamamos U a la componente conexa del abierto H −1 (W )
que contiene a x, basta demostrar que F (U) ⊂ Vy ⊂ V ó equivalentemente
por ser G inyectiva
H(U) = G[F (U)] ⊂ G(Vy).

6.10. Apéndice: Variedades diferenciables 421
Ahora por una parte tenemos que F (U) ⊂ G −1 (Wz) = ∪Vk, pues
G[F (U)] = H(U) ⊂ W ⊂ Wz y por tanto para i = n + 1, . . . , m
wi[H(U)] = vi[F (U)] ⊂ {aik ∈ R : k = 0, 1, . . .},
pero por otra parte wi[H(U)] es conexo, por ser imagen continua de un
conexo, por lo que debe ser constante y como x ∈ U, wi[H(U)] = 0, es
decir que
H(U) ⊂ {p ∈ W : wn+1(p) = · · · = wm(p) = 0} = G(Vy).
Teorema 6.79 Sea ∆ una distribución involutiva en una variedad X ,
entonces por cada punto de la variedad pasa una única variedad integral
máxima.
Demostración. Sea p ∈ X y K el conjunto de puntos que se unen
a p por una curva continua, diferenciable —salvo en un número finito
de puntos—, y en los puntos en los que es diferenciable es tangente a la
distribución. Veamos que:
(i) K es una variedad diferenciable, conexa con base numerable.
(ii) La inclusión i: K ↩→ X es inmersión local.
(iii) K es variedad integral máxima; y que es única.
Por el Teorema de Frobenius ∆ es totalmente integrable, por tanto
cada punto x ∈ X , tiene un entorno abierto coordenado cúbico (Ux; ui),
cuyas franjas son tangentes a la distribución, ahora bien como X tiene
base numerable Vm, existe un m tal que x ∈ Vm ⊂ Ux, ahora elegimos
para cada uno de estos m –que es una colección numerable–, un Um = Ux
cualquiera que contenga a Vm. De este modo tendremos un recubrimiento
numerable de X , por abiertos coordenados cúbicos (Um; umi), cuyas franjas
son tangentes a la distribución y por comodidad pondremos p ∈ U0.
Sea q ∈ K, sea U m(q) el abierto del recubrimiento que lo contiene y
Vq = {x ∈ U m(q) : u m(q)r+1(x) = u m(q)r+1(q), . . . ,
u m(q)n(x) = u m(q)n(q)},
la franja del abierto que lo contiene, la cual está en K, pues de q se
llega a todos esos puntos por curvas tangentes a la distribución. Ahora
consideramos en cada Vq la topología para la que
φ = (u m(q)1, . . . , u m(q)r): Vq → φ(Vq) ⊂ R r ,
es un homeomorfismo y definimos un abierto A ⊂ K sii A ∩ Vq es abierto
de Vq, para cada q. Ahora consideramos la estructura diferencial en K

422 Tema 6. Sistemas de Pfaff
que definen las aplicaciones φ. Con esta estructura diferenciable K es
una variedad de dimensión r, conexa —pues es conexa por arcos por
definición— y veamos que tiene una base numerable de abiertos.
Basta ver que para cada m, Um ∩ K es una colección numerable de
franjas, para ello observamos que cada punto x ∈ Um ∩ K, se une a
p por una curva, que se recubre con una colección finita de abiertos
U0, Ui1
, . . . , Uim —este recubrimiento puede hacerse de muchas formas,
pero a lo sumo hay una colección numerable de ellos, pues es numerable la
colección de subconjuntos finitos de un conjunto numerable—. Ahora en
cada uno de los Uij , la curva por ser continua y tangente a la distribución
va por una única franja, por tanto sale de la franja de U0 que contiene a p
y pasa a una franja de Ui1 de esta a una del siguiente abierto y así hasta
el último. Basta entonces ver que cada franja S se interseca con cada
abierto Ui en una colección a lo sumo numerable de franjas. S ∩ Ui es un
abierto de la subvariedad S, que como tiene base numerable tiene (por
(6.65)) una colección numerable de componentes conexas, que como son
tangentes a la distribución y son conexas están cada una de ellas en una
franja. Por tanto K tiene base numerable y es una variedad diferenciable
conexa, para la que la inclusión es inmersión local y es tangente a ∆.
Por tanto es variedad integral pero además es maximal, pues si hubiera
otra N pasando por p, cada punto suyo x puede unirse a p (pues es arco
conexa) por una curva diferenciable tangente a la distribución, por tanto
de K.
Veamos ahora que es única. Por lo anterior si hubiera otra N pasando
por p, sería N ⊂ K y por ser maximal, se daría la igualdad conjuntista.
Ahora bien las dos inclusiones serían aplicaciones diferenciables por
(6.78), por tanto son variedades diferenciables iguales.
6.10.4. Otra demostración del Teorema de Frobenius
Terminamos dando una demostración alternativa del Teorema de Frobenius
I sin utilizar el Teorema de la Proyección.
Lema 6.80 Sea ∆ una distribución involutiva de rango r, entonces para
cada x ∈ U existe un abierto V ⊂ U, entorno de x, y r generadores
independientes Xi de ∆(V ), tales que [Xi, Xj] = 0.
Demostración. Sean D1, . . . , Dr ∈ D generadores independientes
de ∆ en todo punto de un entorno abierto Ux de x, y consideremos la
matriz de orden r × n, (fij = Dixj). Entonces la independencia de los

6.10. Apéndice: Variedades diferenciables 423
Di implica que en (fij(x)) hay un menor de orden r con determinante
no nulo, supongamos que corresponde a
⎛
⎞
f11 · · · f1r
⎜
A = ⎝ . .
.
..
⎟
. ⎠
fr1 · · · frr
Consideremos A −1 = (gij), la cual estará definida en un nuevo entorno
Ux de x y definamos en este entorno los r campos, que generan
∆(Ux) y en todo punto de Ux son independientes,
Xi = gi1D1 + · · · + girDr = ∂
+ ci,r+1
∂xi
Para ellos se tiene por hipótesis que
[Xi, Xj] = λ1X1 + · · · + λrXr
∂
∂
= λ1 + · · · + λr + λr+1
∂x1 ∂xr
∂
∂xr+1
∂
∂xr+1
∂
+ · · · + ci,n .
∂xn
∂
+ · · · + λn ,
∂xn
donde las λ, para i = r + 1, . . . , n están definidas por las cij y las
λ1, . . . , λr. Se sigue entonces que para m = 1, . . . , r
λm = [Xi, Xj]xm = Xi(Xjxm) − Xj(Xixm) = 0,
y por tanto [Xi, Xj] = 0 para todo i, j = 1, . . . , r.
Teorema de Frobenius I 6.81 Una distribución es totalmente integrable
si y sólo si es involutiva.
Demostración. “⇒” Basta demostrar que si D, E ∈ ∆, entonces
para cada x ∈ U, [D, E]x ∈ ∆x y esto es obvio en el entorno Ux de la
definición, pues ∆(Ux) es involutivo.
“⇐” Lo haremos por inducción sobre r. Para r = 1 es el teorema de
clasificación local de campos no singulares.
Sea r > 1 y supongamos el resultado cierto para los rangos s ≤ r − 1.
Por el Lema anterior sabemos que para cada x ∈ U existe un abierto
Ux ⊂ U, entorno de x, y r generadores independientes Xi de ∆(Ux), tales
que [Xi, Xj] = 0. Se sigue que X1, . . . , Xr−1 generan una distribución
involutiva de rango r − 1 y por inducción existe un entorno coordenado
—que seguimos llamando Ux—, con coordenadas v1, . . . , vn, tales que
< X1, . . . , Xr−1 >=< ∂
, . . . ,
∂v1
∂
∂vr−1
>,

424 Tema 6. Sistemas de Pfaff
y se sigue fácilmente que para i = 1, . . . , r − 1
∂
, Xr ∈< X1, . . . , Xr−1 >,
∂vi
y si Xr = fj∂vj,
∂
, Xr =
∂vi
n ∂fj
j=1
∂
∂vi ∂vj
∈< ∂
, . . . ,
∂v1
∂
∂vr−1
de donde se sigue que para i = 1, . . . , r − 1 y j = r, . . . , n,
∂fj
∂vi
= 0,
por tanto fj = fj(vr, vr+1, . . . , vn) y para
tendremos que
Xr = f1
∂
+ · · · + fr−1
∂v1
∂
∂vr−1
∆(Ux) =< X1, . . . , Xr >=< ∂
, . . . ,
∂v1
+ Y,
∂
∂vr−1
>,
, Y >,
y como Y solo depende de las coordenadas vr, . . . , vn y es no singular,
podemos encontrar, por el teorema de clasificación de campos no singulares,
un sistema de coordenadas
u1 = v1, . . . , ur−1 = vr−1, ur, . . . , un,
en un entorno de x, que seguimos llamando Ux, en el que
∂
∂u1
= ∂
, . . . ,
∂v1
∂
∂ur−1
de donde se sigue el resultado puesto que
∆(Ux) =< ∂
, . . . ,
∂v1
∂
∂vr−1
= ∂
∂vr−1
, Y >=< ∂
∂u1
, Y = ∂
∂ur
, . . . , ∂
∂ur
> .

6.11. Ejercicios resueltos 425
6.11. Ejercicios resueltos
Ejercicio 6.2.1.- Sean P(V ) los módulos que define un sistema de Pfaff Px en
V. Demostrar:
1. Los P(V ) son haz de módulos.
2. Para cada x ∈ V y cada abierto V tal que x ∈ V ⊂ U,
Px = {ωx ∈ T ∗ x (V) : ω ∈ P(V )}.
Indicación. b) Esto se demuestra fácilmente en el entorno Ux de x de la definición,
luego extendemos la 1–forma a todo V multiplicándola por una función que en
x valga 1 y 0 fuera de Ux.
Ejercicio 6.2.2.- Para cada punto p ∈ R 2 − {0} consideremos la recta ∆p que
pasa por p y su dirección es la de la bisectriz del ángulo formado por el semieje
positivo de x y la semirrecta que une p con el origen. Demostrar que ∆p es
una distribución.
Demostración. La distribución podemos definirla de dos formas: una por la
“suma” de los vectores (x, y) y ( x 2 + y 2 , 0) y otra por la perpendicular a su resta.
Por tanto por el campo
D = ( x2 + y2 + x) ∂ ∂
+ y
∂x ∂y ,
en el abierto A complementario de la semirrecta S− = {x < 0, y = 0}, en la que D
se anula y por el campo
D ′ = y ∂
∂x + ( x 2 + y 2 − x) ∂
∂y ,
en el abierto B complementario de la semirrecta S+ = {x > 0, y = 0}, en la que D ′
se anula.
Observemos que en S− la distribución está generada por el campo ∂y y como
la función f(x, y) = x + x2 + y2 se anula en S−, existe una función diferenciable
h(x, y) en V = {x < 0}, tal que f = yh, pues para g(t) = f(x, ty),
1
f(x, y) = g(1) − g(0) = g
0
′ 1
(t)dt = yfy(x, ty)dt
0
1
= y fy(x, ty)dt = yh(x, y),
0
pero además como fy(x, y) = y/ x 2 + y 2 , tendremos que fy(x, 0) = 0, por tanto
h(x, 0) = 0. Por tanto en {x < 0, y = 0}, D, D ′ y el campo
E = h(x, y) ∂ ∂
+
∂x ∂y ,
son proporcionales y en {x < 0, y = 0}, E = ∂y.

426 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Ejercicio 6.4.1.- Sea F : V → U diferenciable, D ∈ D(V) y E ∈ D(U) tales que
F∗Dx = EF (x) para cada x ∈ V. Entonces para cada T ∈ T 0
p (U)
D L (F ∗ T ) = F ∗ (E L T ) y D ∈ D F ⇒ D L (F ∗ T ) = 0.
Ind. F∗Dx = EF (x) equivale a que si τt es el grupo uniparamétrico de D y σt el
de E, entonces F ◦ τt = σt ◦ F en el abierto Ut = {p : (t, p) ∈ WD}. Por tanto para
cada campo tensorial T ∈ T 0
p (U)
D L (F ∗ τ
T ) = lím
t→0
∗ t [F ∗T ] − F ∗T t
= lím
t→0
F ∗ [σ ∗ t T ] − F ∗ T
t
= F ∗ [E L T ].
Ejercicio 6.5.3.- Dada la forma de volumen y la métrica habitual en R 3
ω3 = dx ∧ dy ∧ dz , g = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz,
definimos el rotacional de D ∈ D(R 3 ), R = rot D, como el único campo tal
que
iRω3 = d(iDg).
a) Demostrar que R ∈ D(R 3 ) y dar sus componentes en función de las de
D.
b) Demuestra que existe una familia de superficies a las que D atraviesa
perpendicularmente si y sólo si D y R son perpendiculares.
Ind. Sea D = fi∂xi, entonces ω = iDg = fidxi y como ω3 ∧ ω = 0 pues es
una cuatro forma en R3 dω ∧ ω = (iRω3) ∧ ω = ω3 ∧ (iRω) = (d · R)ω3,
y por el teorema de Frobenius < ω > es totalmente integrable (lo cual significa que
tiene superficies integrales, a las que D atraviesa perpendicularmente) sii D · R = 0.
Ejercicio 6.5.4.- Demostrar que tienen solución y encontrarla, los sistema de
ecuaciones en derivadas parciales
zx = x 2 y,
zy = z
y ,
zx = 3z 2x3
+ x x+y ,
zy = 2x3
x+y ,
Ind. Para el primero: Consideremos ω = dz −x 2 ydx−(z/y)dy, entonces dω ∧ω =
0, por lo que P =< ω > es totalmente integrable, lo cual implica que existe una
función u tal que P =< du > y por tanto que ω es proporcional a una exacta.
Dividiendo ω por y tenemos que
1
y dz − x2dx − (z/y 2
z x3
)dy = d − ,
y 3
por tanto las soluciones son para cada constante a ∈ R
f(x, y) = yx3
+ ay.
3
Para el segundo la solución es z = x3 log(x + y) 2 + c.

6.11. Ejercicios resueltos 427
Ejercicio 6.5.7.- Dados dos puntos a y b fijos en el espacio, para cada p ∈
R 3 − {a, b} consideremos el plano ∆p que lo contiene y es bisectriz de los
segmentos pa y pb, es decir es perpendicular a su plano y lo corta en la bisectriz.
Demostrar que ∆p es una distribución totalmente integrable e integrarla.
Solución. Consideremos un sistema de coordenadas en los que el origen es el
punto medio de ab y a = (1, 0, 0) y b = (−1, 0, 0), entonces la diferencia de los vectores
(p − a)/p − a y (p − b)/p − b es normal al plano que pasa por p = (x, y, z),
por tanto el plano está definido (llamando r = p − a = (x − 1) 2 + y2 + z2 y
s = (x + 1) 2 + y2 + z2 ) por la 1–forma
x − 1 x + 1
y y
z z
− dx + − dy + − dz,
r s
r s r s
la cual es exacta y es la diferencial de la función diferencia de distancias de p a a y b,
r − s = (x − 1) 2 + y2 + z2
− (x + 1) 2 + y2 + z2 .
por tanto las superficies solución son los hiperboloides de revolución, con focos en a
y b.
(a,b,c)
Figura 6.22. Helicoide, z = θ.
Ejercicio 6.5.8.- Para cada p = (x, y, z) ∈ R 3 − {x = 0, y = 0}, consideremos
el plano ∆p que contiene a los puntos p = (x, y, z) y (0, 0, z) y la pendiente
de su normal es una función f(ρ), siendo ρ la distancia de p al eje z. ¿Para
que funciones f la distribución es totalmente integrable?. Para esas funciones
encontrar las superficies solución.
Solución. El sistema de Pfaff está generado por ω = −ydx + xdy + g(ρ)dz, para
ρ = x 2 + y 2 y g(ρ) = ρf(ρ), pues el vector normal N = (a, b, c) es ortogonal a
(x, y, 0) por tanto podemos tomar a = −y y b = x; y tiene pendiente c/ √ a 2 + b 2 =
f(ρ), por tanto c = ρf(ρ). Se tiene que
dω = 2dx ∧ dy + g ′ (ρ)dρ ∧ dz,
y como xρx + yρy = ρ, se demuestra que dω ∧ ω = 0 sii 2g(ρ) = ρg ′ (ρ), es decir
g = kρ 2 y f = kρ. En tal caso ω es proporcional a
−ydx + xdy
ρ 2
+ kdz = d(θ + kz),
pues derivando x = ρ cos θ respecto de y e y = ρ sen θ respecto de x y sabiendo
que ρx = x/ρ, ρy = y/ρ, obtenemos fácilmente que θy = x/ρ 2 , θx = −y/ρ 2 ; y las
soluciones son los helicoides z = aθ + b, para a, b ∈ R.

428 Tema 6. Sistemas de Pfaff
Ejercicio 6.5.9.- Consideremos en el espacio (sin los planos coordenados), la
familia de curvas y = ax, z = by 2 , parametrizadas por a y b; y en cada
punto p el plano perpendicular a la curva que pasa por p. Demostrar que esta
distribución es involutiva e integrarla.
Ind. El campo D tangente a las curvas verifica D(y/x) = D(y 2 /z) = 0, por tanto
es proporcional a x∂x + y∂y + 2z∂z y la distribución es xdx + ydy + 2zdz.
Ejercicio 6.5.10.- Demostrar que un sistema de Pfaff de rango 1 en R 3 , P =<
ω >, cuyo sistema característico D[P] tiene un campo D, es totalmente integrable.
Demostración. dω∧ω es una tres forma en dimensión 3 y la contracción iD(dω∧
ω) = 0, por tanto dω ∧ ω = 0.
Otra forma: ∆ = P 0 es de rango 2 y es involutiva pues D L ∆ ⊂ ∆.
Ejercicio 6.5.12.- Demostrar que la uno–forma
ω = z(z + y 2 )dx + z(z + x 2 )dy − xy(x + y)dz,
es totalmente integrable e integrarla por el método de Natani.
Demostración. Consideremos y = cte y resolvamos la ecuación en el plano
z(z + y 2 )dx − xy(x + y)dz = 0 ⇒
⇒
y2 y
dx −
xy(x + y) 2
z(z + y2 dz = 0
)
1 1
1
− dx −
x x + y z −
1
z + y2
dz = 0,
y para cada superficie solución S existe una constante k(y, S) tal que la superficie
viene definida por la ecuación
x(z + y 2 )
z(x + y)
= k(y, S),
que en x = 1 es la curva
z + y2 = k(y, S).
z(1 + y)
Ahora consideramos x = 1 y resolvemos la ecuación
la cual tiene solución
z(z + 1)dy − y(1 + y)dz = 0 ⇔
log
ahora esta curva debe coincidir con
dy
y(1 + y) −
dz
= 0,
z(z + 1)
y
z
y(z + 1)
− log = cte ⇔ = as,
y + 1 z + 1 z(y + 1)
z + y2 = k(y, S).
z(1 + y)
y despejando en la primera la z = y/(as(y + 1) − y) se obtiene que
k(y, S) = 1 + y(as − 1) = 1 + ybs,

6.11. Ejercicios resueltos 429
luego las superficies solución son para cada constante b ∈ R
x(z + y 2 )
z(x + y)
= 1 + yb.
Ejercicio 6.5.13.- Demostrar que la uno–forma
ω = yz(z + y)dx + zx(z + x)dy + xy(x + y)dz,
es totalmente integrable e integrarla.
Solución. Como P = yz(z + y), Q = zx(z + x), R = xy(x + y), tenemos para
u1 = x/z y u2 = y/z
P (u1, u2, 1)
f =
u1P (u1, u2, 1) + u2Q(u1, u2, 1) + R(u1, u2, 1) =
1 + u2
2u1(1 + u1 + u2)
= 1
1 1
−
2 u1 1 + u2 + u1
Q(u1, u2, 1)
g =
u1P (u1, u2, 1) + u2Q(u1, u2, 1) + R(u1, u2, 1) =
1 + u1
2u2(1 + u1 + u2)
= 1
1 1
−
2 u2 1 + u2 + u1
y se tiene que es totalmente integrable pues gu1 = fu2 , además para u3 = log z
u1u2z
2(fdu1 + gdu2 + du3) = d(log
2
xyz
) = d(log
1 + u1 + u2 x + y + z ),
por tanto las soluciones son xyz = (x + y + z) · cte.
Ejercicio 6.5.14.- Demostrar que si ω = fidxi ∈ Ω(R 3 ) es homogénea y
fixi = 0, entonces < ω > es totalmente integrable.
Ind. ωH = 0 y H L ω = kω, por tanto dω ∧ ω = 0, ya que es una tres forma con
radical (H), pues iH(dω ∧ ω) = iHdω ∧ ω = H L ω ∧ ω = 0, en dimensión 3.
Ejercicio 6.8.1.- Sea E un R–espacio vectorial finito dimensional y G: E × E →
R bilineal y hemisimétrica. Demostrar que:
i) Si E tiene dimensión impar entonces el
rad G = {x ∈ E : G(x, y) = 0, ∀y ∈ E} = {0}.
ii) El radical de G tiene dimensión par (o impar) si y sólo si la tiene E.
iii) El rango de toda matriz hemisimétrica es par.
iv) Si H es un hiperplano de E y ¯ G es la restricción de G a H×H, entonces
rad G = {0} ⇒ rad ¯ G es unidimensional
rad G =< e > ⇒ rad ¯ G es nulo ó bidimensional
Solución. ii) G pasa al cociente
G ′ : E/ rad G × E/ rad G → R G ′ ([x], [y]) = G(x, y),

430 Tema 6. Sistemas de Pfaff
siendo hemisimétrica y sin radical y por (i) E/ rad G tiene dimensión par.
(iii) Una matriz hemisimétrica A de orden n, define una aplicación bilineal y
hemisimétrica en R n , G(x, y) = x t Ay, siendo el rango de A = (G(ei, ej)), dim E −
ker A = dim E − dim rad G.
(iv) Si rad G = {0} entonces por (ii) E es de dimensión par, H impar y rad ¯ G
impar y no tiene 2 vectores independientes e1, e2, pues considerando cualquier v /∈ H,
el hiperplano S = {G(v, −) = 0} se cortará en al menos un vector e con el plano
< e1, e2 >, y estará en rad G, pues por ser e ∈< e1, e2 >, G(e, H) = 0 y por otra
parte G(e, v) = 0, lo cual es absurdo. En el segundo caso rad ¯ G es par y no tiene 3
vectores independientes e1, e2, e3, pues considerando cualquier v /∈ H, el hiperplano
S = {G(v, −) = 0} se cortará en al menos un vector con el plano < e1, e2 >, y como
antes estará en rad G =< e > por tanto e ∈< e1, e2 >, pero el mismo razonamiento
prueba que e ∈< e1, e3 >, lo cual es absurdo.
Ejercicio 6.9.4.- Demostrar que las cónicas ρ = ex + 1 y ρ = ex + p son
homotéticas de razón p.
Indicación. Un punto (x, y) satisface la primera ecuación sii (px, py) satisface la
segunda.
Ejercicio 6.9.5.- Demostrar que en una elipse la suma de distancias de cada
punto a los focos es constante.
Indicación. Consideremos la ecuación de la elipse ρ = ex + p para la que el
origen es un foco y recordemos que la curva ρ = p − ex es ρ = p + ex girada un ángulo
π y además es su reflexión respecto del eje y. Se sigue que las distancias de un punto
(x, y) a cada uno de los focos son
y su suma es ρ1 + ρ2 = 2(p + ec) = 2a.
ρ1 = ex + p, ρ2 = −e(x − 2c) + p,
Ejercicio 6.9.6.- Cortamos un cono de base circular con un plano y proyectamos
la curva intersección a un plano perpendicular al eje del cono. Demostrar que
la curva es una cónica con foco en el eje del cono.
Indicación. Veámoslo para un cono recto con eje el eje z y para el plano que
pasa por el vértice. Sea el cono x 2 + y 2 = z 2 , es decir ρ = z y elijamos los otros dos
ejes para que el plano de corte sea z = ex + p, la proyección satisface ρ = ex + p.
Ejercicio 6.9.7.- Dado un punto P de una elipse, consideremos el punto Q
corte del semieje mayor y la normal a la elipse por P . Demostrar que para F
un foco, F Q/F P es constante y es la excentricidad.
Indicación. Consideremos la ecuación de la elipse ρ = ex + p para la que el
origen es un foco. Las componentes del vector normal N = (ρx − e, ρy), en P = (x, y)
las obtenemos diferenciando ρ−ex−p. Ahora buscamos λ tal que P +λN = (a, 0), es
decir y +λρy = 0, por tanto y +λy/ρ = 0, por tanto λ = −ρ y a = x+λ(ρx −e) = eρ,
por lo tanto F Q/F P = a/ρ = e.
Ejercicio 6.9.8.- Consideremos en cada punto P de R 2 la recta cuya perpendicular
por P corta al eje x en un punto Q, tales que es constante |Q|/|P | = e.
Encontrar las curvas tangentes. ¿Qué interpretación tiene e?.

6.11. Ejercicios resueltos 431
Indicación. Sea fdx + gdy = 0 la ecuación de las rectas, por tanto la recta
normal por P = (x, y) es (x, y) + λ(f, g) y Q es el correspondiente a y + λg = 0, es
decir λ = −y/g, por tanto Q = (a, 0) para a = x + λf = x − yf/g y por tanto la
propiedad del enunciado es
y la 1–forma es proporcional a
x − y f
f
= eρ ⇔
g g
x − eρ
ρ
x − eρ
= ,
y
dx + y
dy = d(ρ − ex),
ρ
y las curvas solución son ρ = ex + p, que son las cónicas con foco en el origen y
excentricidad e.
Ejercicio 6.9.9.- Suponiendo que una masa M esté en reposo ¿qué velocidad
inicial debe tener un satélite que está a una distancia r de M, para que su
órbita sea circular?.
Indicación. La órbita de cualquier masa sigue una cónica ρ = ex+p, de excentricidad
constante e = 1 + 2E(w/k) 2 = 1 + 2Ep/k, siendo k = GM, E = v 2 /2−k/ρ
la energía y p = w 2 /k, con w = −y ′ x+x ′ y constante (dada por el momento angular).
Ahora esta órbita es una circunferencia sii la excentricidad e = 0, lo cual implica que
ρ = p es constante y vale r, y que 1 + 2Er/k = 0, por tanto E = −k/2r = v 2 /2 − k/r
y despejando
v =
k
r =
GM
r .
Ejercicio 6.9.10.- Sabiendo que para la Tierra, GM = 398 600, 4418 km3
seg 2 (ver
la pág.48), calcular a que altura debemos poner un satélite para que sea geoestacionario,
es decir se mueva como si estuviera unido rígidamente a la Tierra.
Indicación. Una masa unida rígidamente a la Tierra girará en círculos con centro
en su proyección en el eje de la Tierra, por lo tanto la única posibilidad de esta
trayectoria, con centro en el centro de la Tierra, se da sobre el Ecuador 10 . Por otra
parte si sigue una órbita circular, se sigue del ejercicio (6.9.9) que su velocidad v es
tal que rv 2 = GM. Por otra parte la tierra en 24 horas gira un poco mas de 2π, pues
después de 365 dias da 366 vueltas completas 11 (una más porque ha dado una vuelta
alrededor del sol), por lo que el tiempo que tarda en dar una vuelta es
t = 365
366 24 h = 23, 9344h = 23 h 56 m 4 s ,
10 Esto es un problema para países que no están sobre el Ecuador. Por ejemplo
Rusia utiliza satélites que siguen la llamada órbita Molniya, un tipo de órbita muy
elíptica con una inclinación de 63, 4 ◦ que giran en elipses que tienen el apogeo (en el
que el satélite va muy lento) en una zona de la tierra y el perigeo (en el que va rápido)
en sus antípodas. Los Estados Unidos también usan este tipo de órbitas por ejemplo
con los Satellite Data System (SDS) que son satélites de comunicación militares, que
tienen el apogeo a unos 39 000 km sobre el polo norte y el perigeo a 300 km, lo que
les permite comunicarse durante largo tiempo con estaciones polares con las que los
satélites geoestacionarios no pueden contactar.
11 En el que la Osa mayor, por ejemplo, vuelve a estar en el mismo lugar del cielo.

432 Tema 6. Sistemas de Pfaff
y a distancia r su velocidad es v = r 2π
, en definitiva
t
rv 2 = r 4π2r2 t2 = GM ⇒
G · M · (23, 9344 · 3 600 seg) 2
r =
4π2 1
3
≈ 42 164 km.
Ahora teniendo en cuenta que el radio de la tierra en el ecuador es de 6 378 km,
tendremos que la altura buscada es aproximadamente 35 786 km.
Ejercicio 6.9.11.- Demostrar el recíproco del Teorema de la Hodógrafa (6.63),
es decir que si una trayectoria r (de una masa que se mueve debido a una fuerza
central, es decir r ′′ ∼ r) tiene hodógrafa que es una circunferencia, entonces r
es una cónica con la fuente de atracción en el foco.
Indicación. Consideremos que la circunferencia es de radio R y está centrada
en (0, −c). Ahora si denotamos r(t) = (x(t), y(t)), como la recta tangente a la circunferencia
en r ′ (t) = (0, −c) + R(cos θ, sen θ), tiene la dirección de r(t), pues r ′′ ∼ r, y
como esa dirección es (sen θ, − cos θ), tendremos que x(t) = ρ sen θ, y(t) = −ρ cos θ y
por tanto
x ′ (t) = −R y
ρ , y′ (t) = −c + R x
ρ ,
que define la ecuación diferencial
(−c + R x y
)dx + R dy = 0 ⇔ d(Rρ − cx) = 0,
ρ ρ
la cual tiene solución ρ = (c/R)x + p, que es la ecuación de una cónica con foco en el
origen.

6.12. Bibliografía y comentarios 433
6.12. Bibliografía y comentarios
En la composición del tema hemos utilizado los siguientes libros:
Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geo-
metry”. Ac Press, 1975.
Muñoz Diaz, J.: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982.
Warner, Frank W.: “Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups”.
Scott, Foresman and Company, 1971.
El último para demostrar (6.79), pág.421. Para ver el método de
Natani así como una gran colección de ejemplos y ejercicios remitimos
al lector al libro
Sneddon, I.: “Elements of partial differential equations”. McGraw–Hill, 1981.
en él que también se encuentra (ver la pág.39) una aplicación de los
sistemas de Pfaff a la Termodinámica, en la que sigue la formulación de
Constantin Caratheodory (1873–1950), el cual demuestra que un sistema
de Pfaff de rango 1 es totalmente integrable sii en cada entorno de cada
punto x hay puntos que no son accesibles por curvas que partan de x
tangentes al sistema, lo que le permite enunciar el segundo principio de
la termodinámica de la siguiente forma:
“Arbitrariamente cerca de cada estado inicial prescrito, hay estados
que no pueden ser alcanzados desde el inicial, como resultado de un
proceso adiabático”.
donde adiabático significa que ni se gana ni se pierde calor, es decir
tangente a < ωQ >. Nosotros hemos elaborado esa lección siguiendo el
trabajo de
Garcia, P. y Cid, L.: “Termodinámica y formas diferenciales”. Anales de la Real
Soc.Esp. de Fis. y Quim., Tomo LXIV, p.325, Núms.11 y 12, Nov–Dic, 1968.
Otro libro que hemos utilizado en el ejemplo de la transformación
simplética, (ver la pág.391), y que recomendamos al lector es
Levi, Mark: “The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Pro-
blems”. Princeton Univ. Press, 2009.
Arquímedes nació en Siracusa (colonia griega de la costa de la isla
de Sicilia) en el año 287 AC, y murió en ella en el 212 AC, tras un largo
asedio al que fue sometida por las tropas del general romano Marcelo.
Está históricamente documentado que Arquímedes ayudó en la defensa
de su ciudad con inventos como la catapulta, lo que no lo está y forma

434 Tema 6. Sistemas de Pfaff
parte de la leyenda de este extraordinario hombre, fue la utilización, en
dicha defensa, de un sistema de espejos que reflejaban la luz del sol sobre
un barco enemigo, provocando su incendio. Es sorprendente, pero se
han hecho diversos experimentos para comprobar la verosimilitud de este
fenómeno y es posible. Lo interesante para nosotros es que la colocación
de estos espejos lo podemos entender como un ejemplo práctico de distribución
(ver el ejercicio (6.5.6), pág.365), que además es integrable y las
superficies tangentes son paraboloides, con el barco en el foco y el eje en
la dirección barco–sol. Las antenas parabólicas emplean esta propiedad
(con el satélite emisor en vez del sol), como también la empleaban los
faros de los coches del pasado siglo XX, pero utilizada al revés, la luz de
una bombilla, situada en el foco de un espejo parabólico, se reflejaba en
un haz de rayos paralelos que iluminaba el exterior. Los faros de ahora
parece que tienen muchos pequeños espejos.
En cuanto al término sistema de Pfaff , se acuñó en honor al matemático
alemán Johann Friedrich Pfaff (1765–1825), quién propuso
el primer método general de integración de una ecuación en derivadas
parciales de primer orden (del T.9, pág.350 de la Enciclopaedia Britannica).
En su trabajo mas importante sobre formas de Pfaff, que publicó en
la Academia de Berlín en 1815, Pfaff asociaba a una ecuación en derivadas
parciales de primer orden una ecuación diferencial (remitimos
al lector al tema siguiente en el que estudiaremos esta cuestión). Esta
ecuación diferencial es fundamental para la resolución de las ecuaciones
en derivadas parciales de primer orden y es posiblemente la mayor
contribución de Pfaff a las matemáticas, sin embargo y aunque Gauss
escribió una reseña muy positiva del trabajo poco después de su publicación,
su importancia no fue reconocida hasta 1827 cuando Jacobi
publicó un trabajo sobre el método de Pfaff.
Por último la demostración del Teorema de la Proyección, así como
el de Frobenius como consecuencia del de la proyección, la hemos
recibido del Profesor Juan Sancho Guimerá de forma indirecta
a través de sus discípulos Juan Sancho de Salas y Juan Antonio
Navarro González, a los que agradecemos su inestimable ayuda en la
confección de este tema en particular y de todos en general.
Fin del Tema 6

Tema 7
Ecuaciones en derivadas
parciales de primer orden
7.1. Definición clásica
En este tema seguimos estudiando cuestiones de naturaleza local por
ello aunque en general los dominios de definición de funciones, campos
tangentes, 1–formas, etc., cambien a medida que construyamos la teoría,
nosotros mantendremos la notación de tales dominios.
Notación. Usaremos la siguiente notación: Um es un abierto conexo de
R m . En R 2n+1 consideramos las coordenadas
(x1, . . . , xn, z, z1, . . . , zn),
y las proyecciones y abiertos correspondientes
πn+1 = (x1, . . . , xn, z): U2n+1 −→ Un+1 = πn+1(U2n+1),
πn = (x1, . . . , xn): U2n+1 −→ Un = πn(U2n+1).
435

436 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Definición. Desde un punto de vista clásico entenderemos por ecuación
en derivadas parciales (EDP) de primer orden, una “expresión del tipo”
(7.1) F (x1, . . . , xn, z, ∂z
∂x1
donde F ∈ C ∞ (U2n+1) es tal que la dF = 0.
, . . . , ∂z
) = 0,
∂xn
Por una solución clásica de la ecuación, entenderemos en general una
función f ∈ C∞ (U) tal que para cada x ∈ U, con coordenadas x1, . . . , xn,
verifique
F (x, f(x), ∂f
(x), . . . , ∂f
(x)) = 0.
∂x1
∂xn
Sin embargo tal solución f define con su gráfica la subvariedad n–
dimensional de R n+1
{z = f(x)} = {(x1, . . . , xn, z) ∈ Un+1 : z = f(x1, . . . , xn)},
lo cual nos induce a ampliar la definición de solución de la siguiente
manera.
Definición. Diremos que una subvariedad n–dimensional S ⊂ Un+1 es
una solución de la EDP de primer orden definida por una función F , si
toda función f, en un abierto de U, cuya gráfica esté en S, es solución
de (7.1).
Ejercicio 7.1.1 Demostrar que las esferas x 2 + y 2 + z 2 = r 2 son subvariedades
solución de la EDP
yzzx + xzzy + 2xy = 0.
Ejercicio 7.1.2 Demostrar que si {z = z(x, y)} es una superficie de revolución
con eje pasando por el origen del espacio, entonces
u v w
ux
vx wx
= 0
uy vy wy
para u = −y − zzy, v = x + zzx, w = xzy − yzx.
Ejercicio 7.1.3 Sean P , Q y R funciones de (x, y) y P dx 2 + Qdxdy + Rdy 2 = 0
la ecuación 1 de la proyección al plano z = 0, de una red de curvas de una
superficie u = 0 de R 3 . Demostrar que las curvas son perpendiculares sii
P (u 2 y + u 2 z) − Quxuy + R(u 2 x + u 2 z) = 0.
1 Esta notación debe entenderse del siguiente modo: dx y dy son en cada punto
funciones lineales del espacio tangente y dx 2 es el cuadrado de la función lineal, por
tanto la expresión de la izquierda en cada punto es un polinomio.

7.2. El cono de Monge 437
Ejercicio 7.1.4 Encontrar las superficies formadas por rectas paralelas al plano
z = 0 que se apoyan en la hipérbola del plano y = 0, xz = 1, tales que a lo
largo de cada recta el plano tangente es constante.
Proposición 7.1 Sea S una subvariedad n–dimensional de Un+1 tal que
para cada p ∈ S existe una solución Sp de la EDP definida por una
función F , que verifica p ∈ Sp y Tp(S) = Tp(Sp), entonces S también es
solución.
Demostración. Sea S(f) = {z = f(x)} ⊆ S, sea x0 ∈ U, z0 =
f(x0), p = (x0, z0) ∈ S(f) y Sp = {h = 0} una solución para la que
p ∈ Sp y Tp(S) = Tp(Sp). Entonces como
Tp[S(f)] = Tp(S) = Tp(Sp),
tendremos que dph es proporcional a dp(z − f(x)), pues ambas 1–formas
tienen el mismo núcleo. Se sigue que hz(p) = 0 y por el Teorema de
la función implícita (1.7), pág.6, existe una función g en un entorno
abierto de x0 en U tal que g(x0) = z0 = f(x0), y
{z = g(x)} ⊆ {h = 0} = Sp,
ahora se sigue de la hipótesis que g es solución de (7.1), y por tanto f,
pues dp(z − f(x)) y dp(z − g(x)) son proporcionales, por tanto iguales y
f(x0) = g(x0) y fxi(x0) = gxi(x0).
7.2. El cono de Monge
En esta lección consideraremos el caso bidimensional (n = 2): Sea
F (x, y, z, p, q) una función en un abierto U5 ⊂ R 5 y consideremos la
EDP
F (x, y, z, zx, zy) = 0.

438 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
En primer lugar observemos que para cada función f y para cada
punto (x0, y0) los valores
fx(x0, y0) y fy(x0, y0),
determinan el plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0, y0, z0),
con z0 = f(x0, y0), cuya ecuación es
(x − x0)fx(x0, y0) + (y − y0)fy(x0, y0) = z − z0.
En estos términos podemos considerar que una EDP define en cada
punto (x0, y0, z0) del espacio, una familia de planos
(x − x0)p + (y − y0)q = z − z0,
donde los (p, q) satisfacen la ecuación
F (x0, y0, z0, p, q) = 0,
y la cuestión consiste en encontrar gráficas de funciones cuyos planos
tangentes estén en esas familias. Ahora bien para cada punto (x0, y0, z0)
F (x0, y0, z0, p, q) = 0,
es una curva en el plano (p, q) que podemos parametrizar —si Fp ó Fq
son no nulas—, y representarla mediante dos funciones de variable real
p(t), q(t), tales que
F (x0, y0, z0, p(t), q(t)) = 0.
Por tanto en cada punto (x0, y0, z0) tenemos una familia uniparamétrica
de planos π(t) ≡ {π(t) = 0}
(x − x0)p(t) + (y − y0)q(t) = z − z0,
que en buenas condiciones genera una
nueva superficie —la envolvente 2 de esta
familia— que es un cono formado por las
rectas en las que cada plano se corta con
el “infinitesimalmente próximo”
lím
ɛ→0 π(t) ∩ π(t + ɛ) = π(t) ∩ π′ (t),
2 Ver la lección 7.7, pág.466.
Figura 7.1. Cono de Monge

7.2. El cono de Monge 439
es decir que esta superficie, a la que llamamos cono de Monge, está formada
por la familia de rectas
(x − x0)p(t) + (y − y0)q(t) = z − z0,
(x − x0)p ′ (t) + (y − y0)q ′ (t) = 0.
Es fácil ver que para cada t, la recta correspondiente tiene vector
director con componentes
(7.2) (Fp, Fq, p(t)Fp + q(t)Fq),
pues es perpendicular a (p(t), q(t), −1) y a (p ′ (t), q ′ (t), 0) como se demuestra
derivando
F (x0, y0, z0, p(t), q(t)) = 0.
Hemos visto por tanto que una EDP define
en cada punto de R 3 un cono con
vértice el punto y que una función f es
solución de la EDP si y sólo si para cada
(x0, y0) de su dominio, z0 = f(x0, y0),
p0 = fx(x0, y0) y q0 = fy(x0, y0), el
plano
(x − x0)p0 + (y − y0)q0 = z − z0,
Figura 7.2. Conos de Monge
que es el tangente a la gráfica de f en (x0, y0, z0), es uno de la familia
y por tanto (como vemos en el siguiente ejercicio) tangente al cono de
Monge.
Ejercicio 7.2.1 Demostrar que cada plano de la familia es tangente al cono.
Consideremos ahora una solución f de la EDP, entonces la subvariedad
bidimensional S(f) de R 5 definida por las ecuaciones
z = f(x, y), p = fx(x, y), q = fy(x, y),
está en {F = 0}. Veremos que esta solución arbitraria f nos va a permitir
definir un campo D ∈ D(U5), que no depende de f, sino únicamente de
la EDP, es decir de F , y que no obstante es tangente a la subvariedad
S(f): Consideremos un punto (x0, y0, z0, p0, q0) de S(f), por tanto
z0 = f(x0, y0), p0 = fx(x0, y0), q0 = fy(x0, y0).
¿Hay algún vector tangente privilegiado de R 5 , en ese punto?.
Consideremos en primer lugar su proyección (x0, y0, z0) en R 3 , ¿hay
algún vector en R 3 privilegiado en ese punto?.

440 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
La contestación es que sí, el vector
director 3 de la recta común al plano tangente
y al cono de Monge, el cual vimos
en (7.2) que tiene componentes
z=f(x,y)
(-f x ,-f y ,1)
(F p,F q,pF p+qF q)
Dx = Fp, Dy = Fq, Dz = p0Fp+q0Fq,
y
x
y es tangente a {z = f(x, y)}. Esta cons-
Figura 7.3.
trucción nos define un vector tangente a esta superficie en cada punto de
la superficie, es decir un campo tangente a la superficie. Sus curvas integrales
se llaman curvas características, las cuales dependen de la solución
f considerada. Ahora este vector define el vector tangente a S(f)
Dx = Fp,
Dy = Fq,
Dz = p0Fp + q0Fq,
Dp = D(fx) = fxxDx + fxyDy = fxxFp + fxyFq
= −(Fx + p0Fz),
Dq = D(fy) = fyxDx + fyyDy = fyxFp + fyyFq
= −(Fy + q0Fz),
como se demuestra derivando respecto de x y respecto de y en
F (x, y, f(x, y), fx(x, y), fy(x, y)) = 0,
y este vector está definido por el llamado campo característico
∂ ∂
D = Fp + Fq
∂x ∂y + (pFp + qFq) ∂
∂z − (Fx + pFz) ∂
∂p − (Fy + qFz) ∂
∂q ,
el cual, aunque es tangente a S(f), no depende de la solución particular
f, sino únicamente de F . Por lo que S(f) es una superficie formada por
curvas integrales de D y cada solución f se puede construir eligiendo
convenientemente unas curvas integrales de D y proyectándolas a R 3 .
Observemos por último que D es tangente a la hipersuperficie {F = 0},
pues DF = 0.
3 Realmente no hay un vector sino una recta.

7.3. EDP cuasilineales
7.3. EDP cuasilineales 441
Definición. Llamaremos EDP cuasilineal, a toda ecuación en derivadas
parciales
F (x1, . . . , xn, z, ∂z
, . . . ,
∂x1
∂z
) = 0,
∂xn
para una función F afín en las zi, es decir de la forma
n
fizxi = fn+1,
i=1
para las fi, diferenciables en un abierto de R n+1 .
Nota 7.2 En el caso n = 2, es de la forma f1zx + f2zy = f3, con f1, f2
y f3 funciones de (x, y, z). En cuyo caso los planos que definen el cono
de Monge pasando por un punto (x, y, z) tienen una recta en común
con vector director con componentes (f1, f2, f3), por lo que el cono de
Monge es degenerado y se reduce a una recta. En este caso el campo
característico
∂ ∂
Fp + Fq
∂x ∂y + (pFp + qFq) ∂
∂z − (Fx + pFz) ∂
∂p − (Fy + qFz) ∂
∂q ,
en {F = 0} se proyecta en el campo de R 3
∂ ∂ ∂
D = f1 + f2 + f3
∂x ∂y ∂z .
Para resolver una EDP cuasilineal consideramos el campo tangente
n+1
D =
1=1
fi
∂
,
∂xi
donde por comodidad llamamos xn+1 = z, y buscamos una integral
primera g suya, Dg = 0. En cuyo caso D es tangente a cada subvariedad
n–dimensional S = {g = cte}, las cuales son subvariedades solución,
pues si {z = f(x1, . . . , xn)} ⊂ S, entonces en sus puntos
n
= Df = Dz = fn+1,
i=1
y por tanto f es solución.
fifxi

442 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
A continuación analizamos algunos ejemplos extraídos del libro de
Zachmanoglou and Thoe.
7.3.1. Ejemplo: Tráfico en una autopista.
Consideremos una autopista que modelamos como una recta, cada
uno de sus puntos como un x ∈ R y el flujo de coches no como algo
discreto sino como el de un fluido continuo, que fluye en la dirección
positiva. Denotemos con 0 ≤ ρ(x, t) ≤ 1 la densidad de coches —es decir
los coches que hay por unidad de longitud, donde por unidad de longitud
tomamos la longitud media de los coches—, en el punto x e instante t y
con 0 ≤ g(x, t) el flujo de coches —el número de coches por segundo—,
que pasan por x en el instante t.
En tal caso en un tramo [a, b] de la autopista el número de coches
que hay en un instante t + ɛ es, los que había en ese tramo en el instante
t mas los que entran durante el intervalo [t, t + ɛ], menos los que salen
durante ese intervalo
b
a
ρ(x, t + ɛ) dx =
b
y tomando límites cuando ɛ → 0
b
a
a
ρ(x, t) dx + ɛg(a, t) − ɛg(b, t),
(ρt(x, t) + gx(x, t)) dx = 0,
y como esto es válido para cualquier intervalo [a, b], tendremos
ρt(x, t) + gx(x, t) = 0,
ahora simplificamos el problema considerando que g es función de ρ, lo
cual no es de extrañar, pues si ρ = 0 ó ρ = 1 —los casos extremos de
densidad de coches—, en el primer caso no hay coches y en el segundo
la autopista está llena, en cuyo caso no se mueve ninguno y en ambos
casos g = 0. La función más simple de dependencia de este tipo es
g = ρ(1 − ρ),
en cuyo caso nuestra ecuación se convierte en
ρt + (1 − 2ρ)ρx = 0,

7.3. EDP cuasilineales 443
cuyo campo asociado en las coordenadas (t, x, ρ) es
D = ∂
∂
+ (1 − 2ρ)
∂t ∂x ,
y tiene integrales primeras u1 = ρ y u2 = t(2ρ − 1) + x y si buscamos
la solución que en t = 0 valga ρ = f(x) (cuya existencia y unicidad se
verá en la pág.460, ejercicio (7.5.1) ó (7.5.2)), es decir u1 = f(u2), basta
considerar la integral primera de D, h = u1 − f(u2). Ahora h = 0 sii ρ =
f(x+t(2ρ−1)) —la cual es una superficie reglada, pues para f(x0) = ρ0,
contiene a los puntos de la recta (x, t, ρ0), para x + t(2ρ0 − 1) = x0—.
Además ρ se puede despejar como función de (x, t) si hρ = 0, es decir si
1 − 2tf ′ (x + t(2ρ − 1)) > 0,
lo cual es válido en general en un entorno de t = 0. Observemos que
la desigualdad es válida en todo t si por ejemplo f es decreciente, es
decir en el instante inicial decrece a lo largo de la carretera el flujo de
coches, en cuyo caso es obvio que debe haber solución ρ diferenciable en
todo instante y todo x, es decir los coches fluyen con normalidad. Sin
embargo si la densidad en el instante inicial es creciente en un punto
x = x0 de la carretera, f ′ (x0) > 0, entonces en el punto p de la recta
(x, t, ρ0 = f(x0)), para x + t(2ρ0 − 1) = x0 y el instante t = t0 tal que
1 − 2tf ′ (x0) = 0, es decir t0 = 1/2f ′ (x0), hay colapso pues hρ(p) = 0,
lo cual significa que la presunta solución densidad ρ tendría derivadas
parciales infinitas respecto de x y t en la proyección de p.
7.3.2. Ejemplo: Central telefónica.
Consideremos una central telefónica con una colección infinita (numerable)
de líneas telefónicas, cada una de las cuales en cada instante de
tiempo t ∈ [0, ∞) puede estar ocupada o no. Denotaremos con Pn(t) la
probabilidad de que en el instante t haya exactamente n líneas ocupadas,
suponemos conocidas las probabilidades Pn(0), en un instante inicial y lo
que queremos es saber el valor de las Pn(t) admitiendo que se satisfacen
las siguientes hipótesis:
i) La probabilidad de que una línea se ocupe en un instante de [t, t + ɛ],
con ɛ pequeño, es λɛ + o(ɛ), para λ > 0 constante.
ii) Si una línea está ocupada en el instante t, la probabilidad de que se
desocupe en un instante de [t, t+ɛ], es µɛ+o(ɛ), para µ > 0 constante.
iii) La probabilidad de que haya dos o mas cambios en las líneas (que se
ocupen ó desocupen) es o(ɛ).

444 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
En estas condiciones en el instante t + ɛ hay n líneas ocupadas en los
siguientes casos disjuntos:
a) Durante el intervalo [t, t + ɛ] hubo más de un cambio. La probabilidad
de esto es o(ɛ).
b) Durante el intervalo [t, t+ɛ] hubo un sólo cambio (se ocupó una línea)
y en el instante t había n − 1 líneas ocupadas. La probabilidad de
esto es
Pn−1(t)(λɛ + o(ɛ)) = Pn−1(t)λɛ + o(ɛ).
c) Durante el intervalo [t, t + ɛ] hubo un sólo cambio (se desocupó una
línea) y en el instante t había n + 1 líneas ocupadas. La probabilidad
de esto es
Pn+1(t)(n + 1)(µɛ + o(ɛ))(1 − µɛ + o(ɛ)) n = Pn+1(t)(n + 1)µɛ + o(ɛ)
d) Durante el intervalo [t, t + ɛ] no hubo cambios y en el instante t había
n líneas ocupadas. La probabilidad de esto es
Pn(t)(1 − λɛ − nµɛ − o(ɛ)).
En definitiva la suma de estas cuatro cantidades es Pn(t + ɛ) y tomando
límites cuando ɛ → 0, tendremos que
P ′ n = λPn−1 − (λ + nµ)Pn + (n + 1)µPn+1,
(esto para n ≥ 1, para n = 0 la fórmula es igual tomando P−1 = 0).
Ahora para resolver este sistema infinito de ecuaciones diferenciales, se
introduce la llamada función generatriz de las probabilidades Pn
para la que se tiene
n=0
z(t, x) =
n=1
∞
Pn(t) x n ,
n=0
∞
zt = P ′ n(t) x n ∞
, zx = nPn(t) x n−1 ∞
= (n + 1)Pn+1(t) x n ,
y considerando las ecuaciones diferenciales anteriores se tiene que z satisface
la ecuación cuasi–lineal
n=0
zt + µ(x − 1)zx = λ(x − 1)z,

7.3. EDP cuasilineales 445
y si buscamos la solución que satisface z(0, x) = Pn(0)x n = g(x), (cuya
existencia y unicidad se verá en la pág.460, ejercicio (7.5.1) ó (7.5.2))
consideramos el campo en las coordenadas (t, x, z)
y dos integrales primeras
y como en t = 0
tendremos que la solución es
D = ∂
∂
∂
+ µ(x − 1) + (x − 1)λz
∂t ∂x ∂z ,
u1 = (x − 1) e −µt , u2 = z e −(λ/µ)x ,
x = 1 + u1, z = u2 e (λ/µ)(1+u1) ,
u2 e (λ/µ)(1+u1) = g(1 + u1) ⇔
z = exp{(λ/µ)(−1 − u1 + x)}g[1 + (x − 1) e −µt ] ⇔
z = exp{(λ/µ)(x − 1)(1 − e −µt )}g[1 + (x − 1) e −µt ].
Ahora podemos calcular la esperanza, en cada instante t, del número
de líneas ocupadas
E(t) =
∞
n=0
nPn(t) = zx(t, 1) = λ
µ (1 − e−µt ) + E(0) e −µt ,
pues g(1) =
n Pn(0) = 1 y g ′ (1) = E(0), y sea cual sea la distribución
del número de llamadas en el instante inicial y por tanto de su valor
medio E(0), se tiene que cuando t → ∞, E(t) tiende a λ/µ.
7.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson.
En el ejemplo anterior, la ocurrencia o no de un suceso no dependía
del instante de tiempo t en el que ocurre pero sí dependía de cuántos
sucesos del mismo tipo habían ocurrido hasta ese instante. Hay procesos
en los que la ocurrencia o no del suceso no depende de ninguna de estas
dos cosas, por ejemplo en los accidentes de coches en un pais, en la
desintegración (ó partición) de átomos en una sustancia radiactiva, etc.
Sea X(t) el número de sucesos que han ocurrido en el intervalo de
tiempo [0, t], en un proceso del tipo de los considerados anteriormente,

446 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y sea Pn(t) la probabilidad de que X(t) = n. Diremos que X(t) es un
Proceso de Poisson si se verifican las siguientes propiedades:
i) La probabilidad de que un suceso ocurra durante un pequeño intervalo
[t, t + ɛ] no depende del valor de X(t) y es λɛ + o(ɛ), con λ > 0.
ii) La probabilidad de que dos ó más sucesos ocurran durante el intervalo
[t, t + ɛ] no depende del valor de X(t) y es o(ɛ).
En tal caso se tiene que
Pn(t + ɛ) = (1 − λɛ − o(ɛ))Pn(t) + (λɛ + o(ɛ))Pn−1(t) + o(ɛ),
y se verifica el sistema de ecuaciones diferenciales
P ′ n = −λPn + λPn−1,
por tanto la función generatriz z = Pn(t)x n , satisface
zt = −λz + λxz = λ(x − 1)z,
y si consideramos, como es lógico, las condiciones iniciales Pn(0) = 0,
P0(0) = 1, que corresponde a z(0, x) = 1, tendremos que la solución es
y por tanto
z(t, x) = e −λt(1−x) = e −λt (λtx) n
,
n!
−λt (λt)n
Pn(t) = e ,
n!
que es la distribución de Poisson de parámetro λt. Además el valor medio
de X(t) es
∞
E(t) = nPn(t) = e −λt
∞
n (λt)n
n!
n=0
n=1
= λt e−λt
∞ (λt) n
= λt.
n!
n=0
7.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte.
Consideremos una población —de bacterias, por ejemplo—, cuyos
individuos pueden dividirse o morir, de tal modo que durante un pequeño
intervalo de tiempo [t, t + ɛ], la probabilidad de que haya un cambio,
debido a que hay un único individuo que se divide es λɛ + o(ɛ), con
λ > 0; la probabilidad de que haya un cambio, debido a que hay un único
individuo que se muere es µɛ + o(ɛ), con µ > 0; y la probabilidad de que

7.3. EDP cuasilineales 447
haya dos ó más cambios es o(ɛ). En tal caso si Pn(t) es la probabilidad
de que en el instante t haya n individuos en la población, tendremos que
por tanto
Pn(t + ɛ) = Pn−1(t)(n − 1)(λɛ + o(ɛ))+
+ Pn(t)(1 − nλɛ − nµɛ − o(ɛ))+
+ Pn+1(n + 1)(µɛ + o(ɛ)),
P ′ n = λ(n − 1)Pn−1 − (λ + µ)nPn + µ(n + 1)Pn+1,
y para z = Pnx n la función generatriz se tiene la ecuación cuasi–lineal
cuyo campo asociado
zt = λx 2 zx − (λ + µ)xzx + µzx,
D = ∂
∂
− (λx − µ)(x − 1)
∂t ∂x ,
tiene integral primera u1 = z y 1–forma incidente
dt +
dx
(λx − µ)(x − 1) =
dt + 1
µ−λ
por tanto con la integral primera si λ = µ
λ 1
λx−µ − x−1
dx, si λ = µ,
dt + dx
λ(x−1) 2 , si λ = µ,
(µ−λ)t λx − µ
u2 = e
x − 1 ,
en cuyo caso si la población tiene m individuos en el instante inicial, por
tanto Pm(0) = 1 y z(0, x) = x m , como para t = 0 es
la solución es,
u2 − µ
z =
u2 − λ
u2(x − 1) = λx − µ ⇒ x = u2 − µ
u2 − λ ,
m
=
(µ−λ)t e (λx − µ) + µ(1 − x)
e (µ−λ)t m
,
(λx − µ) + λ(1 − x)
(cuya existencia y unicidad se verá en la pág.460, ejercicio (7.5.1) ó (7.5.2))
y podemos calcular la esperanza en cada instante de tiempo t
∞
E(t) = nPn(t) = zx(t, 1) = m e (λ−µ)t .
n=0

448 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Si λ = µ el campo tiene la integral primera
u2 = λt + 1
1 − x ,
y para t = 0, x = 1 − 1 , por tanto la solución es
u2
m m u2 − 1 λt(1 − x) + x
z =
=
,
λt(1 − x) + 1
y la esperanza E(t) = m.
u2
Ejercicio 7.3.1 Encontrar la función v(t, x) del plano, tal que v(0, x) = f(x) y
T ∇ T = 0, para la conexión estándar del plano y T = ∂t + v(t, x)∂x. Además,
dado x0 ∈ R y v0 = f(x0), demostrar que dicha solución v existe en un entorno
de (0, x0) y es constante a lo largo de la recta (t, x0 + v0t) (y vale v0) y que T
es constante y tangente a la recta.
Ejercicio 7.3.2 En los siguientes problemas encontrar la solución de la EDP
que contiene a la curva correspondiente
yzzx + zy = 0, que en y = 0 pasa por z 2 = 2x,
yzzx + xzzy + 2xy = 0, que en z = 0, pasa por x 2 + y 2 = 1,
2y(z − 3)zx + (2x − z)zy = y(2x − 3), que en z = 0 pasa por x 2 + y 2 = 2x.
Ejercicio 7.3.3 Demostrar que las soluciones de la EDP
(z + 3y)zx + 3(z − x)zy + (x + 3y) = 0,
son superficies de revolución de un cierto eje. ¿Qué eje?.
Ejercicio 7.3.4 Caracterizar las EDP cuasilineales f1zx + f2zy = f3, cuyas
soluciones sean superficies de revolución de un cierto eje.
Ejercicio 7.3.5 Dada una recta en el espacio encontrar la EDP de las superficies
cuya recta normal en cada punto corte a la dada. Resolver la EDP.
Ejercicio 7.3.6 Dado k ∈ R encontrar la EDP de las superficies cuya recta
normal en cada punto P corte a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, en
tres puntos A, B, C para los que sea constante la razón doble (P, A, B, C) = k.
Resolver la ecuación y encontrar las cuádricas en forma normal ax 2 + by 2 +
cz 2 = 1, que sean solución.

7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP 449
7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP
7.4.1. Campo característico.
En esta lección daremos una definición canónica del campo D asociado
a una EDP y construido en la lección anterior para el caso bidimensional.
En la primera lección dábamos una definición mas general de solución
de la EDP definida por F , en términos de subvariedades n–dimensionales
de R n+1 . Ahora ampliamos de nuevo esta definición, observando que para
cada f ∈ C ∞ (U), las n + 1 funciones vi ∈ C ∞ (U2n+1) definidas por
(7.3)
v0 = z − f(x1, . . . , xn),
v1 = z1 − ∂f
(x1, . . . , xn),
∂x1
.
vn = zn − ∂f
(x1, . . . , xn),
∂xn
forman, junto con x1, . . . , xn, un sistemas de coordenadas en U2n+1, por
tanto f define la subvariedad n–dimensional de U2n+1
Sn(f) = {v0 = 0, v1 = 0 . . . , vn = 0}
= {z = f(x), z1 = ∂f
(x), . . . , zn =
∂x1
∂f
(x)}.
∂xn
que es difeomorfa, por πn+1, a la subvariedad {z = f(x)} de R n+1 , pues
ambas tienen coordenadas (x1, . . . , xn).
Esta subvariedad n–dimensional tiene las siguientes propiedades:
i) Tiene coordenadas (x1, . . . , xn).
ii) Restringiéndonos a ella tenemos que (como z = f(x1, . . . , xn))
dz =
n
fxidxi =
i=1
n
zidxi,
i=1
es decir que en ella se anula la uno–forma de R 2n+1
ω = dz −
n
zidxi,
i=1

450 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
—que es la forma canónica (ver el Teorema de Darboux, pág.387), de
las 1–formas regulares de clase 2n+1—. Ahora bien estas dos propiedades
la caracterizan como vemos a continuación.
Proposición 7.3 Sea S una subvariedad de U2n+1 de dimensión n con
coordenadas (x1, . . . , xn) y tal que πn(S) = U. Entonces existe una función
f en U tal que S = Sn(f) si y sólo si, para i: S ↩→ U2n+1,
i ∗ ω = 0.
Demostración. ⇐.- Por ser S una variedad diferenciable tendremos
que si x1, . . . , xn es un sistema de coordenadas en S, existe f ∈ C ∞ (U),
tal que z = f(x1, . . . , xn). Ahora bien como 0 = i ∗ ω tendremos que en
S
n ∂f
dxi = dz =
∂xi
i=1
n
zidxi,
y por ser las dxi independientes zi = ∂f/∂xi y por tanto S ⊂ Sn(f).
Ahora dado q ∈ Sn(f) con coordenadas (xi, z, zi), tendremos que existe
p ∈ S con coordenadas (x1, . . . , xn). Se sigue entonces que p y q tienen
las mismas coordenadas en U2n+1, por tanto p = q y S = Sn(f).
Por otra parte f es una solución de la EDP (7.1) si y sólo si
i=1
F [Sn(f)] = 0,
lo cual equivale a decir (para Sn(f) conexa) que i ∗ dF = 0 y que al menos
existe un punto x ∈ Sn(f) tal que F (x) = 0, pues si 0 = i ∗ dF = d(i ∗ F ),
entonces la función i ∗ F de Sn(f) es constante y como existe x ∈ Sn(f)
tal que F (x) = 0, tendremos que i ∗ F = 0 y por tanto que f es solución
de (7.1).
Nota 7.4 Supondremos que dF y ω son independientes, pues en caso
contrario las Fzi = 0. Por lo tanto se sigue de los resultados anteriores
que dada una EDP definida por una función F ∈ C ∞ (U2n+1), lo que nos
interesa es:
Encontrar las subvariedades Sn ⊂ U2n+1, de dimensión n, tangentes
al sistema de Pfaff
P =< dF, ω >,
que tengan al menos un punto en la hipersuperficie F = {F = 0}.

7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP 451
O dicho de otro modo. Encontrar las subvariedades Sn ⊂ F, de dimensión
n, en las que ω se restrinja a cero, es decir tangentes al sistema
de Pfaff
P =< ω >,
donde ω es la restricción de ω a F.
Definición. A tales subvariedades las llamaremos subvariedades solución
(en el sentido de Lie) de la EDP en U2n+1. En general aunque la
subvariedad no tenga dimensión n diremos que es solución si cumple las
dos condiciones anteriores.
Si existe una subvariedad solución Sn y en un entorno tiene coordenadas
(x1, . . . , xn), la función z en ese entorno de Sn será de la forma
z = f(x1, . . . , xn),
y la función f es una solución clásica, es decir solución de (7.1). Es por
esto que lo que tenemos que buscar son las subvariedades tangentes a
nuestro sistema de Pfaff y para ello lo primero que tenemos que analizar
es el sistema característico del sistema de Pfaff < dF, ω >, en U2n+1 ó el
de < ω > en F, el cual ya sabemos, por el Lema (6.43) de la pág.386,
que tiene un campo pues dim F = 2n y P =< ω > es de rango 1.
Proposición 7.5 (i) El sistema característico de < dF, ω > está generado
por el campo
n
n
∂
∂
D = Fzi + ziFzi
∂xi
∂z −
n
∂
(ziFz + Fxi ) .
∂zi
i=1
i=1
(ii) El campo D es tangente a las subvariedades {F = cte} y el sistema
característico de < ω > está generado por el campo D = D |F.
Demostración. (i) D ∈ ∆[P] sii D ∈ P 0 y D L P ⊂ P, es decir
ω(D) = Dz −
n
ziDxi = 0
i=1
D L ω = iDdω = iD(
=
i=1
n
dxi ∧ dzi)
i=1
n
Dxidzi −
i=1
n
Dzidxi = gdF + fω,
i=1

452 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y las otras dos condiciones son automáticas pues tomando en la segunda
ecuación la componente de dz tendremos que gFz + f = 0, por tanto
D L ω = g(dF − Fzω) y como D L ω(D) = 0, tendremos que
0 = dF (D) − Fzω(D) = dF (D),
y el campo D del enunciado es el único salvo proporcionales que lo
cumple.
(ii) Como DF = 0, tendremos que Dp ∈ Tp(F), para cada p ∈ F,
y este campo de vectores tangentes define un campo D ∈ D(F). Ahora
sea E ∈ ∆[P], por tanto
ωE = 0, E L ω = hω ⇒ ωE = 0, iEdω = hω,
y para cada p ∈ F, ωpEp = 0 y las 1–formas iEp dpω − h(p)ωp y dpF
tienen el mismo núcleo, Tp(F), por tanto son proporcionales y por un
cálculo de componentes, como el anterior, se sigue que Ep ∈< Dp >.
Nota 7.6 Observemos que el cono de Monge es la proyección del campo
D en los puntos de F, en las n + 1 primeras coordenadas.
Ejercicio 7.4.1 Demostrar que si f es solución de (7.1), entonces D es tangente
a Sn(f).
7.5. Teoremas de existencia y unicidad
En esta lección probaremos que en ciertas condiciones existe una única
subvariedad n–dimensional solución de la EDP definida por {F = 0}
en R 2n+1 , que contiene a una subvariedad n − 1–dimensional dada. Nosotros
demostraremos este resultado sólo localmente, aunque lo enunciaremos
en su generalidad.

7.5. Teoremas de existencia y unicidad 453
7.5.1. Dimensión de una subvariedad solución.
Nuestra 1–forma
satisface que en todo punto p
ω = dz −
n
zidxi,
i=1
rad dpω ∩ {ωp = 0} = {0},
pues es de clase 2n + 1 (ver el teorema de Darboux (6.44), pág.387),
por lo tanto en todo punto el rad dpω es unidimensional, por el ejercicio
(6.8.1), pág.385, pues es de dimensión impar ya que nuestro espacio lo
es y no puede contener un plano. Por otra parte una cuenta inmediata
nos dice que
rad dpω =< ∂
> .
∂z
Por el mismo ejercicio sabemos que dim(rad dpω) es par, pero hay dos
posibilidades pues para cada p ∈ F tenemos que o bien ∂z /∈ Tp(F), o
bien ∂z ∈ Tp(F). Analicemos ambos casos.
Proposición 7.7 Sea p ∈ F, entonces
(1) Fz(p) = 0 ⇔ ∂
∂z /∈ Tp(F) ⇔ rad dpω = {0},
(2) Fz(p) = 0 ⇔ ∂
∂z ∈ Tp(F) ⇔ dim(rad dpω) = 2.
Demostración. Basta demostrar las dos implicaciones
rad dpω = {0} ⇒ ∂
∂z ∈ Tp(F) ⇒ dim(rad dpω) = 2,
pues como la última implica la primera serán equivalentes. Veamos la
primera: Si el radical tiene un elemento T ∈ Tp(F), entonces
dpω(T, E) = dpω(T, E) = 0, ∀E ∈ Tp(F)
dpω(T, ∂z) = 0,
y ∂z ∈ Tp(F), pues en caso contrario T ∈ rad dpω =< ∂z >, lo cual es
absurdo. Veamos ahora la segunda: Por lo dicho antes de la proposición el
rad dpω es de dimensión par y por hipótesis contiene a ∂z. Si tuviera otros

454 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
dos vectores D1, D2 independientes e independientes de ∂z, podríamos
considerar cualquier vector T /∈ Tp(F), y el hiperplano
dpω(T, ·) = 0,
se cortaría con el plano < D1, D2 > en un vector D del radical de
dpω e independiente de ∂z, lo cual es imposible. (Ver el ejercicio (6.8.1),
pág.385).
Lema 7.8 Sea E un espacio vectorial de dimensión par 2n, G: E ×E → R
bilineal y hemisimétrica y S ⊂ E un subespacio totalmente isótropo para
G, es decir tal que G(x, y) = 0 para x, y ∈ S. Entonces
dim S ≥ n + k ⇒ dim rad G ≥ 2k,
y por tanto como rad G es de dimensión par (ver el ejercicio (6.8.1))
dim rad G = 2m ⇒ dim S ≤ n + m.
Demostración. En primer lugar aplicando la fórmula
dim(S1 + S2) + dim(S1 ∩ S2) = dim S1 + dim S2,
para Si ⊂ E subespacios, tenemos que
y por inducción
dim(S1 ∩ S2) ≥ dim S1 + dim S2 − 2n
dim(S1 ∩ · · · ∩ Sk) ≥ dim S1 + · · · + dim Sk − 2n(k − 1).
Ahora supongamos que dim S = r ≥ n + k, consideremos una base suya
e1, . . . , er y extendámosla a una e1, . . . , e2n de E. Consideremos para
1 ≤ i ≤ m = 2n − r los subespacios
Si = {x ∈ E : G(er+i, x) = 0},
los cuales tienen dim Si ≥ 2n − 1, por tanto como
S ∩ S1 ∩ · · · ∩ Sm ⊂ rad G,
tendremos por la fórmula anterior que
m
dim rad G ≥ dim S + dim Si − 2nm ≥ r + m(2n − 1) − 2nm
i=1
= r − m = r − (2n − r) ≥ 2k.

7.5. Teoremas de existencia y unicidad 455
Teorema 7.9 Toda subvariedad solución tiene dimensión k ≤ n.
Demostración. Si S es una subvariedad solución, entonces ω se
anula en S y por tanto la dω, por tanto para cada p ∈ S, Tp(S) es
totalmente isótropo de dpω y tenemos dos casos, que analizamos teniendo
en cuenta la proposición anterior y el lema:
(1)
(2)
∂
∂z /∈ Tp(F) ⇒ rad dpω = {0} ⇒ dim Tp(S) ≤ n,
∂
∂z ∈ Tp(F) ⇒ dim rad dpω = 2
⇒ dim (Tp(S)⊕) ≤ n + 1
⇒ dim Tp(S) ≤ n.
pues en el caso (2) Tp(S)⊕ es un subespacio totalmente isótropo
pues ∂z está en el radical de dpω y ∂z /∈ Tp(S), ya que ω(∂z) = 1.
7.5.2. Existencia de solución.
Teorema de Existencia 7.10 Sea Sk−1 ⊂ F una subvariedad solución
(i.e. en la que ω se anula), de dimensión k − 1 con 1 ≤ k − 1 ≤ n, y tal
que Dp /∈ Tp(Sk−1) en todo punto suyo. Entonces existe una subvariedad
solución k–dimensional, Sk tal que
Sk−1 ⊂ Sk ⊂ F.
Demostración. Por (2.34), pág.102, podemos considerar un representante
completo D del sistema característico. Consideremos su grupo
uniparamétrico
τ : R × U2n+1 −→ U2n+1,
la variedad k–dimensional V = R × Sk−1
y la aplicación diferenciable τ = τ |V.
Veamos que τ es una inmersión local
cuya imagen contiene a Sk−1, está en
F y en ella ω se restringe a cero. Para
ello consideremos un punto p ∈ Sk−1,
un t ∈ R y un sistema de coordenadas
(t2, . . . , tk) en un entorno de p en Sk−1,
que si completamos con la coordenada t1
Figura 7.4. Construcción de Sk

456 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
de R nos define un sistema de coordenadas (t1 . . . , tk) en un entorno de
x = (t, p) ∈ V. Ahora
∂
∂
τ ∗ = τp∗ = Dτ(t,p) = τt∗Dp,
∂t1 x ∂t t
∂
∂
τ ∗ = τt∗ ,
∂ti x ∂ti p
lo cual se sigue de los diagramas conmutativos, para it(p) = ip(t) = (t, p),
R ⏐
i
R
ip
−−→ R × Sk−1 Sk−1
⏐
⏐
⏐
⏐
τ i
τp
−−→ U2n+1 U2n+1
it
−−→ R × Sk−1 ⏐
τ
τt
−−→ U2n+1
y como en p, D y las ∂ti para i = 2, . . . , k son independientes, tendremos
que τ es inmersión local en todo x ∈ V y Sk = τ(V) es una subvariedad
inmersa. Por último se tiene que para Di = τ ∗(∂ti) y q = τ(t, p)
F (τ(t, p)) = F (τ(t, p)) = F (p) = 0,
ωqD1q = ωD(q) = 0,
∂
ωqDiq = ωq
τt∗
∂ti
p
= τ ∗ t ωq
pues τ ∗ t (ωq) ∈ Pp y P restringido a Sk−1 se anula.
∂
∂ti
p
= 0,
Corolario 7.11 D es tangente a toda subvariedad solución n–dimensional.
Demostración. Si no lo fuera, por (7.10) obtendríamos una subvariedad
solución de dimensión n + 1, lo cual es absurdo por (7.9).
Teorema de Unicidad 7.12 Sea Sn−1 ⊂ F una subvariedad solución de
dimensión n − 1 y tal que en todo punto suyo Dp /∈ Tp(Sn−1). Entonces
existe una subvariedad (inmersa) solución n–dimensional Sn, que la
contiene y es única en el siguiente sentido: dadas dos subvariedades solución
S y S ′ que contengan a Sn−1 y dado un punto x ∈ Sn−1, existe
un entorno abierto Ux ⊂ R 2n+1 de x, para el que S ∩Ux = S ′ ∩Ux ⊂ Sn.
Demostración. La existencia de Sn = τ[R × Sn−1] ya ha sido vista
(recordemos que localmente la imagen por una inmersión local es una
subvariedad).

7.5. Teoremas de existencia y unicidad 457
La unicidad es consecuencia del corolario anterior, pues dada otra
subvariedad solución S, tendremos que D ∈ D(S) y su grupo uniparamétrico
en S, σ : W −→ S, es la restricción de X al abierto W de
R × S. Ahora bien, se tiene el diagrama conmutativo
W ∩ (R ⏐×
Sn−1)
⏐
i
R × Sn−1
σ
−−→ S⏐
⏐
i
τ
−−→ R 2n+1
donde σ = τ ◦ i y las flechas descendentes son inclusiones y vimos en
el teorema de existencia que τ era inmersión local, lo cual implica que
también lo es σ y como lo es entre variedades de igual dimensión es
un difeomorfismo local, por tanto dado un x ∈ Sn−1 existe un entorno
abierto Vx de x en Sn−1 y un ɛ > 0 tales que σ[(−ɛ, ɛ)×Vx] es un abierto
de S, ahora bien
σ[(−ɛ, ɛ) × Vx] = τ[(−ɛ, ɛ) × Vx] ⊂ Sn,
por tanto el mismo razonamiento con otra solución S ′ nos da, encogiendo
el ɛ y el Vx si es necesario que τ[(−ɛ, ɛ) × Vx] es abierto de S y abierto de
S ′ , por tanto de la forma Ux ∩ S = Ux ∩ S ′ , para un abierto Ux ⊂ R 2n+1 .
7.5.3. El problema de Cauchy.
Como consecuencia del resultado anterior daremos respuesta al llamado
problema de Cauchy, el cual consiste, de forma muy genérica, en
encontrar la solución clásica única, de una EDP
F (x1, . . . , xn, z, zx1 , . . . , zxn ) = 0,
satisfaciendo unas adecuadas condiciones.
Teorema 7.13 Sea F ∈ C ∞ (V ), con V ⊂ R 2n+1 abierto, sea I un abierto
del hiperplano {xn = 0} ⊂ R n y en él consideremos dos funciones ϕ, φ ∈
C ∞ (I), tales que para todo x0 = (x1, . . . , xn−1) ≡ (x1, . . . , xn−1, 0) ∈ I
F (x0, ϕ(x0), ϕx1 (x0), . . . , ϕxn−1 (x0), φ(x0)) = 0,
Fzn (x0, ϕ(x0), ϕx1 (x0), . . . , ϕxn−1 (x0), φ(x0)) = 0,

458 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
entonces para cada t0 = (t1, . . . , tn−1) ∈ I existe un abierto U ⊂ R n
entorno de t0 y una solución f ∈ C ∞ (U), de la EDP definida por F y
satisfaciendo las condiciones
F (x, f(x), fx1 (x), . . . , fxn (x)) = 0, para x ∈ U0,
f(x0) = ϕ(x0), fxn (x0) = φ(x0), para x0 ∈ I ∩ U
única en el sentido de que si g ∈ C ∞ (V ) es otra, coinciden localmente
en t0.
Demostración. Si existe tal solución f tendremos que la subvariedad
n-dimensional {z = f(x), zi = fxi(x)} contiene a la subvariedad
Sn−1 = {xn = 0, z = ϕ(x1, · · · , xn−1),
z1 = ϕx1, . . . , zn−1 = ϕxn−1, zn = φ, }
que tiene las siguientes propiedades:
— Es una subvariedad n−1 dimensional de F que tiene coordenadas
(ui = i∗xi), para i = 1, . . . , n − 1.
— Es tal que si p ∈ Sn−1, Dp /∈ Tp(Sn−1), pues Dpxn = Fzn (p) = 0
y Sn−1 ⊂ {xn = 0}.
— Es solución, ωSn−1 = 0.
Esto nos induce a considerar la única subvariedad solución Sn, n–
dimensional, que la contiene. Además tiene coordenadas (x1, . . . , xn) en
un entorno de cada p ∈ Sn−1, pues por un lado i∗∂u1, . . . , i∗∂un−1, D
son base en p de Tp(Sn), para la inclusión i: Sn−1 → Sn, y por otra
parte la proyección
π = (x1, . . . , xn): Sn ⊂ R 2n+1 → R n ,
los lleva a vectores independientes, por tanto es inmersión local y difeomorfismo
local. Ahora basta considerar z = f(x1, . . . , xn) en esta
subvariedad.
En el caso particular de tener una EDP en el plano (es decir para
n = 2)
(7.4) F (x, y, z, zx, zy) = 0.
tenemos el siguiente resultado.

7.5. Teoremas de existencia y unicidad 459
Corolario 7.14 Sea F ∈ C ∞ (V ), con V ⊂ R 5 abierto, I ⊂ R un intervalo
abierto y σ : I −→ V ⊂ R 5 una curva C ∞
σ(t) = (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t))
satisfaciendo las condiciones para todo t ∈ I (ver la Fig.7.5):
1.- F [σ(t)] = 0.
2.- z ′ (t) = p(t)x ′ (t) + q(t)y ′ (t).
3.- Fqx ′ = Fpy ′ .
Entonces para cada s ∈ I existe un abierto U ⊂ R 2 , entorno de
p = (x(s), y(s)) y una función f ∈ C ∞ (U) solución de la EDP (7.4) y
tal que para los t ∈ I con (x(t), y(t)) ∈ U
z(t) = f[x(t), y(t)], p(t) = fx[x(t), y(t)], q(t) = fy[x(t), y(t)].
Además f es única en el sentido de que dada otra solución g satisfaciendo
lo mismo en un entorno de s, coincide con f en un entorno de p del
plano.
(x(t),y(t),z(t))
(p(t),q(t),-1)
(x'(t),y'(t),z'(t))
(x'(t),y'(t))
(Fp,Fq)
Figura 7.5. Curva de datos iniciales
Demostración. La tercera condición nos dice que σ es inmersión
local, por tanto localmente la imagen de σ es subvariedad S1 = {x =
x(t), y = y(t), z = z(t), p = p(t), q = q(t)}. La segunda condición nos
dice que
ω = dz − pdx − qdy,
se restringe a cero en S1. Por la tercera el campo D es transversal a
S1, por tanto el teorema (7.12) nos asegura que localmente existe una
única superficie solución S2, conteniendo a la curva. Ahora bien la tercera
condición dice que esta superficie tiene, en cada punto de la curva,

460 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
coordenadas locales (x, y), pues la proyección al plano xy es un difeomorfismo
local, por tanto en ella z = f(x, y) y f es la solución pues
como ω se anula, en ella p = fx y q = fy. Ahora si g es otra solución, entonces
S ′ = {z = g(x, y), p = gx(x, y), q = gy(x, y)} es otra subvariedad
solución que contiene a Sn−1 y como es única f = g.
Ejercicio 7.5.1 Sea U3 ⊂ R 3 un abierto y f1, f2, f3 ∈ C ∞ (U3). Demostrar que
si
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)): (a, b) ⊂ R −→ U3,
es una curva diferenciable tal que para todo t
x ′ (t)f2[σ(t)] = y ′ (t)f1[σ(t)],
entonces para todo t0 ∈ (a, b) existe una función f : U −→ R con U ⊂ R 2
abierto entorno de (x(t0), y(t0)), solución de la EDP
f1zx + f2zy = f3,
satisfaciendo z(t) = f[x(t), y(t)], donde esté definida y es única en el sentido
de que si hay otra coinciden en un entorno de (x(t0), y(t0)).
Ejercicio 7.5.2 Sea V ⊂ R 4 un abierto entorno de (x0, y0, z0, p0), h ∈ C ∞ (V )
y g ∈ C ∞ (I), para I = (x0 − ɛ, x0 + ɛ) ⊂ R, tal que g(x0) = z0 y g ′ (x0) = p0.
Demostrar que existe un abierto U ⊂ R 2 entorno de (x0, y0) y una función
f : U −→ R solución de la EDP
zy = h(x, y, z, zx),
satisfaciendo f(x, y0) = g(x), que es única en el sentido de que si hay otra
coinciden en un entorno de (x0, y0).
7.6. Métodos para resolver una EDP
7.6.1. Método de las características de Cauchy
Consideremos una ecuación en derivadas parciales de primer orden
en el plano
F (x, y, z, zx, zy) = 0,

7.6. Métodos para resolver una EDP 461
y sea D su campo característico. Dada una curva (x(t), y(t), z(t)) en R 3 ,
queremos encontrar una solución de la ecuación cuya gráfica contenga
a la curva. El método de Cauchy consiste en construir a partir de los
datos, dos funciones p(t), q(t), de modo que la curva S1
σ(t) = (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)),
esté en las condiciones del Corolario (7.14), pág.459, es decir que sea
solución. Lo cual significa despejar p(t) y q(t) en el sistema
F [x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)] = 0, z ′ (t) = p(t)x ′ (t) + q(t)y ′ (t),
que puede tener más de una solución. Una vez definidas y si para ellas
Fqx ′ = Fpy ′ , tendremos que existe una única solución S2 que la contiene
y por (7.14) sabemos que está formada por las curvas integrales de D
que pasan por los puntos de S1, las cuales a su vez podemos construir
con u1, u2, u3, integrales primeras de D, tales que con u4 = F sean
diferenciablemente independientes. La curva integral de D que pasa por
σ(t), para cada t, es
u1 = u1[σ(t)], u2 = u2[σ(t)], u3 = u3[σ(t)], u4 = 0,
y la solución es la proyección a R 3 , por las coordenadas (x, y, z), de la
superficie definida por esta familia de curvas, que consiste en eliminar
de esas ecuaciones p, q y t.
Nota 7.15 Observemos algunos casos particulares de F en los que podemos
dar una integral primera de D automáticamente:
(a) F = F (x, p, q) ⇒ Dq = 0, pues Dq = −Fy − qFz = 0.
(b) F = F (y, p, q) ⇒ Dp = 0.
(c) F = F (z, p, q) ⇒ D(p/q) = 0, pues
Dp = −pFz y Dq = −qFz ⇒ (Dp)q − q(Dp) = 0.
(d) F = u + v, u = u(x, p), v = v(y, q) ⇒ Du = Dv = 0, pues
Du = Fpux − (Fx + pFz)up = upux − uxup = 0 = Dv.
(e) F = xp + yq + f(p, q) − z ⇒ Dp = Dq = 0 (la EDP que
define se llama de Clairaut), pues
Dp = −Fx − pFz = 0, Dq = −Fy − qFz = 0.

462 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.6.1 Encontrar con el método de Cauchy la solución de la EDP
que pasa por el eje x.
z = 1
2 (z2 x + z 2 y) + (zx − x)(zy − y).
Ejercicio 7.6.2 Encontrar con el método de Cauchy la solución de la EDP
que pasa por la curva x = 0, z = y 2 .
z = zxzy
7.6.2. Método de la Proyección. Integral completa
Consideremos una ecuación en derivadas parciales de primer orden
F (x1, . . . , xn, z, ∂z
∂x1
, . . . , ∂z
) = 0,
∂xn
definida por una función F de U2n+1 y sea D el generador del sistema
característico del sistema de Pfaff definido en F por < ω >.
Siguiendo el Teorema de la Proyección (6.16), pág.353, podemos
proyectar nuestro sistema de Pfaff mediante D, para ello supongamos
que Dxn = 0 en F —lo cual significa que Fzn = 0, en los puntos de F—
y consideremos u1, . . . , u2n−1 integrales primeras de D en F —las cuales
podemos calcular con cualquier campo que coincida con D en F—, de
tal forma que junto con u2n = xn y u2n+1 = F , formen un sistema de
coordenadas locales en R2n+1 , en los puntos de F. Esto implica que en
un entorno de estos puntos podamos despejar
xi = ϕi(u1, . . . , u2n−1, xn, F ), para i = 1, . . . , n − 1,
z = ϕ(u1, . . . , u2n−1, xn, F ),
zi = φi(u1, . . . , u2n−1, xn, F ), para i = 1, . . . , n.
De este modo la restricción de (u1, . . . , u2n) a F es sistema de coordenadas
locales en un abierto U de F, en el que < D >=< ∂u2n >= ∆[P] y
si consideremos la proyección π = (u1, . . . , u2n−1), el abierto V = π(U)
de R2n−1 y la sección
τ : V −→ U,

7.6. Métodos para resolver una EDP 463
que en coordenadas lleva un punto q con coordenadas (u1, . . . , u2n−1)
en el punto p = τ(q) de coordenadas 4 (u1, . . . , u2n−1, 0), entonces el
Teorema de la proyección (6.16), pág.353, nos asegura que en el abierto
U de F
< ω >= π ∗ τ ∗ < ω >=< θ >,
para
θ = π ∗ τ ∗ n−1
ω = d¯z −
¯zid¯xi,
i=1
pues τ ∗ xn = 0, por tanto ¯xn = π ∗ τ ∗ xn = 0; y donde
¯xi = ϕi(u1, . . . , u2n−1, 0, 0), para i = 1, . . . , n − 1,
¯z = ϕ(u1, . . . , u2n−1, 0, 0),
¯zi = φi(u1, . . . , u2n−1, 0, 0), para i = 1, . . . , n.
son las integrales primeras de D que en xn = 0 y F = 0 coinciden
respectivamente con x1, . . . , xn−1, z, z1, . . . , zn.
En definitiva, si tenemos que
d¯x1, . . . , d¯xn−1, d¯z, dF,
son independientes en F, entonces para cada a = (a1, . . . , an) ∈ R n
Sa = {¯x1 = a1, . . . , ¯xn−1 = an−1, ¯z = an, F = 0} ⊂ F,
es una subvariedad n–dimensional solución 5 , pues
θ |Sa = 0 ⇒ ω |Sa = 0,
y llamamos integral completa a esta familia de soluciones, parametrizada
por a ∈ R n , de nuestra ecuación. Si además Sa tiene coordenadas
(x1, . . . , xn), se sigue que en ella
z = fa(x1, . . . , xn),
y cada función fa es una solución 6 clásica de la EDP.
4 Si estamos en un entorno de un punto de coordenada xn = 0.
5 Como también lo son las del tipo {¯z = an−1, ¯x1 = a1, . . . , ¯xn−2 = an−2, ¯zn−1 =
0, F = 0}, aunque esta familia de soluciones es n − 1–dimensional.
6 A esta familia de soluciones también la llamamos integral completa de la EDP.

464 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.6.3 Encontrar con el método de la proyección una integral completa
de la EDP
z = xzx + yzy + zxzy.
Ejercicio 7.6.4 Encontrar con este método una integral completa de la ecuación
z 2 x + z 2 y = 1.
Solución pasando por una subvariedad.
Si lo que queremos es encontrar la solución en R n+1 que contenga a
una subvariedad plana de la forma
xn = 0, z = g(x1, . . . , xn−1),
basta tomar en R 2n+1 la subvariedad solución en el sentido de Lie
Sn = {H = 0, H1 = 0, . . . , Hn−1 = 0, F = 0},
para las funciones (si son diferenciablemente independientes)
pues en ella
H = ¯z − g(¯x1, . . . , ¯xn−1) Hi = ¯zi − ∂g
(¯x1, . . . , ¯xn−1),
∂xi
θ |Sn = 0 ⇒ ω |Sn = 0,
ahora basta proyectar Sn a R n+1 , por la proyección (x1, . . . , xn, z). Si
además esta subvariedad ó Sn tiene coordenadas (x1, . . . , xn), basta expresar
z en ellas para encontrar la solución clásica.
Ejercicio 7.6.5 Encontrar la solución, que en x = 0 pasa por z = y 3 , de la
EDP
yzzx + zy = 0.
Ejercicio 7.6.6 Encontrar la solución, que en x = 0 pasa por z = y 2 , de la
ecuación
z + z 2 x = y.

7.6. Métodos para resolver una EDP 465
7.6.3. Método de Lagrange–Charpit.
En el caso del plano, en el que nuestra EDP es del tipo
F (x, y, z, zx, zy) = 0,
podemos reducir considerablemente las cuentas con el llamado método de
Lagrange–Charpit, el cual se basa en el hecho de que en las subvariedades
tridimensionales, para cada constante a ∈ R,
Sa = {F = 0, g = a},
para g integral primera del campo característico D de P =< ω >, nuestra
1–forma ω = dz −pdx−qdy es proporcional a una exacta dh, y por tanto
las superficies
Sa,b = {F = 0, g = a, h = b} ⊂ R 5 ,
son solución, pues en ellas ω se anula
dh |Sa,b = 0 ⇒ ω |Sa,b
= 0.
A continuación justificamos esto: Consideremos el campo D ∈ ∆[P], el
cual es tangente a cada subvariedad tridimensional Sa, pues DF = Dg =
0, en la que el sistema de Pfaff generado por ω es totalmente integrable
pues
dω ∧ ω = 0,
ya que es una tres–forma en una variedad Sa tridimensional, en la que
D ∈ D(Sa) y como iD(dω) es proporcional a ω y ωD = 0,
iD(dω ∧ ω) = (iDdω) ∧ ω + dω ∧ (iDω) = 0,
por tanto en Sa, < ω >=< dh >. Si además en esta subvariedad (x, y, z)
son coordenadas, tendremos que h = h(x, y, z; a) y la solución es
que es una superficie de R 3 .
{F = 0, g = a, h = b} ⊂ {h(x, y, z; a) = b},
Ejercicio 7.6.7 Encontrar con el método de Lagrange–Charpit una integral
completa de la EDP: x[z 2 x + z 2 y] − zzx = 0.
Ejercicio 7.6.8 Encontrar con el método de Lagrange–Charpit una integral
completa de la EDP: xz 2 x + yz 2 y = z.

466 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.6.9 Encontrar con el método de Lagrange–Charpit una integral
completa de la EDP z = xzx + yzy + zxzy.
Ejercicio 7.6.10 La normal en un punto de una superficie del espacio interseca
a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 en un par de puntos cuyo punto medio está en
z = 0. (a) Demostrar que la superficie satisface la EDP
z(z 2 x + z 2 y) + xzx + yzy = 0.
(b) Encontrar una integral completa de esta EDP.
Ejercicio 7.6.11 La recta normal a una superficie en cada uno de sus puntos
corta a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, respectivamente en A, B
y C. Demostrar que si B es el punto medio de A y C entonces la superficie es
solución de la EDP
z = x
−
zx
2y
.
zy
Encontrar una integral completa.
7.7. Método de la envolvente
7.7.1. Envolvente de una familia de superficies.
Consideremos una familia uniparamétrica de superficies en el espacio
S λ = {h(x, y, z; λ) = 0} ⊂ R 3 ,
y cortemos cada una de ellas (ver Fig.7.6) con una muy próxima S λ+ɛ ,
lo cual será en general una curva de ecuaciones
h(x, y, z; λ) = 0,
h(x, y, z; λ) − h(x, y, z; λ + ɛ)
ɛ
= 0,
y cuando ɛ → 0 la curva tiende a una posición límite de ecuación
h(x, y, z; λ) = 0 ,
∂h
(x, y, z; λ) = 0,
∂λ

7.7. Método de la envolvente 467
y esta curva que está en la superficie S λ y se llama curva característica
de S λ , genera una superficie al variar el λ, cuya ecuación g(x, y, z) = 0
se obtiene eliminando λ en las ecuaciones anteriores. A esta superficie la
llamamos envolvente de las superficies S λ = {h λ = 0}.
Figura 7.6. Envolvente de las esferas
Ejemplo 7.7.1 Consideremos la familia de esferas
x 2 + (y − λ) 2 + z 2 = 1,
cuya envolvente se obtiene eliminando la λ entre la ecuación anterior y
la ecuación 2(y − λ) = 0, lo cual nos da x 2 + z 2 = 1, que es (ver la
Fig.7.6) un cilindro formado por las curvas intersección de dos esferas
infinitesimalmente próximas en la dirección definida por λ.
Ejemplo 7.7.2 Del mismo modo la familia biparamétrica de esferas unitarias
centradas en el plano xy
(x − λ1) 2 + (y − λ2) 2 + z 2 = 1,
tiene por envolvente el par de planos z = ±1.
Ejemplo 7.7.3 La bala de un cañón. Consideremos un cañón que dispara
en una dirección cualquiera con una velocidad determinada, ¿qué superficie
límite pueden alcanzar las balas?
Consideremos el problema bidimensional
en el plano xz y sea v la velocidad
con la que sale la bala. Si (x(t), z(t))
es la trayectoria, tendremos que para
(a, b) = (x ′ (0), z ′ (0)), a 2 + b 2 = v 2 y
como (x ′′ (t), z ′′ (t)) = −(0, g), con g la
Figura 7.7. trayectorias bala cañón

468 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
constante de la gravedad en la tierra, tendremos poniendo el cañón en
el origen de coordenadas que
x ′′ (t) = 0 ⇒ x(t) = at,
z ′′ (t) = −g ⇒ z(t) = − 1
2 gt2 + bt,
por tanto la trayectoria parametrizada por x es
z = − 1 x2 bx
g +
2 a2 a .
Consideremos ahora distintos ángulos de disparo, lo cual corresponde a
distintos valores de la pendiente λ = b/a, en cuyo caso
a 2 + (aλ) 2 = v 2 ⇒ a 2 = v2
,
1 + λ2 y la trayectoria parametrizada por x es z+kx 2 (1+λ 2 )−λx = 0, para k =
g/2v 2 . Si ahora consideramos la envolvente de esta familia de curvas obtenemos
λ = 1/2kx y z + kx 2 = 1/4k. Ahora la envolvente del problema
tridimensional es
z + k(x 2 + y 2 ) = 1
4k .
Ejemplo 7.7.4 El ruido de un avión. Consideremos un avión deplazándose
en línea recta paralelo al suelo.
Si la velocidad del avión va es superior
a la del sonido vs, tendremos que
en un instante dado las ondas sonoras
forman una familia de esferas centradas
en la recta trayectoria del avión —
pongamos el eje y— y si el avión está en
el origen de coordenadas las esferas tienen
ecuaciones
x 2 + (y − a) 2 + z 2 2 avs
=
va
Figura 7.8. ruido de un avión
y la envolvente de las ondas sonoras es un cono circular de ecuación
x 2 + y 2
v 2 s
v2 s − v2 + z
a
2 = 0,

7.7. Método de la envolvente 469
de eje la recta del avión, que separa la zona donde hay ruido de la que
no lo hay. Esta zona divide el plano del suelo en dos regiones limitadas
por la hipérbola (para h la altura del avión)
x 2 + y 2
v 2 s
v2 s − v2 + h
a
2 = 0,
corte del cono con el plano del suelo z = −h. Podemos estimar la proporción
vs/va, entre las velocidades del sonido y del avión mediante el
ángulo α formado por la dirección en la que pase más cerca de nosotros,
es decir la perpendicular por nosotros a su trayectoria y la dirección en
la que esté el avión en el instante en el que oigamos el ruido, en cuyo
caso cos α = vs/va.
Si el avión va a una velocidad igual o inferior a la del sonido las
ondas sonoras que va produciendo no se cortan y no hay envolvente.
No obstante podemos tener información de la proporción vs/va, entre
las velocidades, si podemos estimar por una parte el ángulo β entre la
dirección en la que nos llega el sonido y la dirección en la que en ese
instante está el avión (que era π/2 en el caso anterior) y por otra el
ángulo α entre esta dirección del avión y la que tenga cuando más cerca
pase de nosotros. Pues en tal caso se demuestra por el Teorema de los
senos que
vs
va
= sen(α + π/2)
sen β
= cos α
sen β .
Ejercicio 7.7.1 Demostrar que cada plano de una familia uniparamétrica de
planos del espacio es tangente a su envolvente. En particular el cono de Monge
es tangente a cada uno de los planos que lo definen.
Figura 7.9. Envolvente de las esferas
Ejercicio 7.7.2 Hallar la envolvente de la familia de esferas de radio 1, con
centro en los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 4, z = 0 (figura (7.9)).
Remitimos al lector interesado en las envolventes de curvas al apéndice
(7.16), pág.560.

470 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
7.7.2. Envolvente de una familia de hipersuperficies.
Definición. Dada en R n una familia k–paramétrica de hipersuperficies
S λ de ecuaciones
h(x1, . . . , xn; λ1, . . . , λk) = 0,
llamamos envolvente de la familia a la hipersuperficie S —si es que la
define— obtenida al eliminar las λi en las ecuaciones
h = 0,
∂h
= 0, . . . ,
∂λ1
∂h
= 0.
∂λk
Si las ecuaciones anteriores son diferenciablemente independientes en
un abierto de Rn+k , entonces definen una subvariedad H ⊂ Rn+k , n−1–
dimensional, y su proyección por π = (x1, . . . , xn) es la envolvente. Normalmente
tendremos que las k ecuaciones hλi = 0 nos permiten despejar
las k funciones7 λi = λi(x1, . . . , xn), con lo cual nuestra envolvente tiene
por ecuación
h(x1, . . . , xn; λ1(x1, . . . , xn), . . . , λk(x1, . . . , xn)) = 0.
Aunque de forma general sólo podremos decir que existe un sistema
de coordenadas (u1, . . . un−1) en un entorno de cada punto de nuestra
subvariedad H ⊂ R n+k , con el que la podremos parametrizar mediante
ciertas funciones
x1 = x1(u1, . . . , un−1), xn = xn(u1, . . . , un−1),
λ1 = λ1(u1, . . . , un−1), λk = λk(u1, . . . , un−1),
y la envolvente S, difeomorfa a H por la proyección π = (x1, . . . , xn),
tendrá estas mismas coordenadas (que llamamos también ui aunque en
rigor hay que pasarlas por el difeomorfismo π), con lo que está definida
paramétricamente por las primeras ecuaciones
x1 = x1(u1, . . . , un−1), xn = xn(u1, . . . , un−1).
7 por ejemplo si |hλ iλ j | = 0, pues entonces (x1, . . . , xn, hλ1 , . . . , hλ k ) localmente
son coordenadas y por tanto
λi = λi(x1, . . . , xn, hλ1 , . . . , hλ k ) ⇒
λ i|H = λi(x1, . . . , xn, 0, . . . , 0).

7.7. Método de la envolvente 471
Teorema 7.16 En todo punto, la envolvente es tangente a una hipersuperficie
de la familia.
Demostración. Sea p ∈ S y (p, λ) ∈ H el punto que le corresponde
por el difeomorfismo π. Como S y S λ son de la misma dimensión, basta
demostrar que Tp(S) ⊂ Tp(S λ ), para ello sea Dp = fi∂xi ∈ Tp(S) y
D (p,λ) = fi∂xi + gj∂λj ∈ T (p,λ)(H), el vector tangente correspondiente
por π. Entonces como h = hλj = 0 en H, tendremos que
0 = D (p,λ)h = fi(p)hxi (p, λ) + gj(p, λ)hλj (p, λ)
= fi(p)hxi(p, λ) = Dp(h λ ).
Corolario 7.17 La envolvente de una familia de hipersuperficies de R n+1
solución de una EDP, también es solución.
Demostración. Por el resultado anterior para cada p ∈ S, existe λ
tal que p ∈ S λ y Tp(S) = Tp(S λ ), lo cual implica por (7.1), pág.437, que
S es solución.
Nota 7.18 Veamos el mismo resultado sin hacer uso de los teoremas
(7.16) y (7.1), en condiciones menos generales. Tenemos que para cada
λ = (λ1, . . . , λk) la función
g λ (x1, . . . , xn) = g(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk),
es solución, ahora supongamos que en las k últimas ecuaciones del sistema
z = g(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk),
0 = gλi (x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk), para i = 1, . . . , k
podemos despejar, las k incógnitas λi = λi(x1, . . . , xn), como funciones
de las x, por lo tanto la envolvente es,
z = f(x1, . . . , xn) = g(x1, . . . , xn, λ1(x1, . . . , xn), . . . , λk(x1, . . . , xn)),
y f también es solución, pues para cada punto x0 = (x10, . . . , xn0) y
λ0 = (λ1(x0), . . . , λk(x0)), se tiene que g λ0 es solución y
f(x0) = g(x0; λ0),
fxi(x0) = gxi(x0; λ0) + gλj (x0; λ0) ∂λj
(x0) = gxi(x0; λ0).
∂xi

472 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Proposición 7.19 Sea ϕ: U ⊂ R k → R n una inmersión con ϕ(U) = Sk
una subvariedad k–dimensional y para cada λ ∈ U y p = ϕ(λ) sea S λ =
{x : h λ (x) = 0} una hipersuperficie tal que
p ∈ S λ , Tp(Sk) ⊂ Tp(S λ ),
si además h λ (x) es función diferenciable de (x, λ) y existe la envolvente
S de las hipersuperficies S λ , entonces Sk ⊂ S.
Tp(Sk)
p
Tp(S l )
S l
Sk
Figura 7.10. Envolvente pasando por Sk
Demostración. Denotemos con Dj = ϕ∗(∂λj ) la base de campos
tangentes de Sk. Para cada λ ∈ U tenemos por la primera propiedad que
h(ϕ(λ), λ) = 0 y por la segunda que Djp ∈ Tp(S λ ). Tomemos ahora un
punto arbitrario, p0 = ϕ(λ0) ∈ Sk, de la subvariedad. Entonces por la
segunda en p0 y derivando en la primera, respecto de λj, en λ0, tendremos
que
0 = Djp0 hλ0 = (∂λj )λ0 (hλ0 (ϕ)) = hxi (p0, λ0)ϕiλj (λ0),
0 = hxi(p0, λ0)ϕiλj (λ0) + hλj (p0, λ0),
y como además h(p0, λ0) = 0, tendremos que (p0, λ0) ∈ H y p0 ∈ S.
7.7.3. Método de la envolvente.
El método de la proyección, visto en la lección anterior, nos permite
resolver el Problema de Cauchy cuando los datos están en un hiperplano,
es decir cuando queremos encontrar una solución de la EDP que
pasa por una subvariedad dada de dimensión n − 1, de un hiperplano
coordenado xn = 0. Veremos ahora que el conocimiento de una integral
S
Sk

7.7. Método de la envolvente 473
completa, es decir de una familia de subvariedades solución de R n+1 ,
parametrizadas por (a1 . . . , an) ∈ R n ,
g(x1 . . . , xn, z; a1, . . . , an) = 0,
y por tanto tales que en ellas la función
z = f(x1, . . . , xn; a1, . . . , an),
donde pueda despejarse, es una solución clásica; unido a la noción de
envolvente, nos permite resolver el Problema de Cauchy en su generalidad,
el cual consiste en encontrar una solución de la ecuación, que
en R n+1 pase por una subvariedad n − 1–dimensional dada Sn−1, en posición
general, no necesariamente en un hiperplano coordenado del tipo
xn = 0.
Nota 7.20 No obstante no debemos esperar que con una integral completa
obtengamos todas las soluciones de una EDP, pues por ejemplo si
nuestra ecuación está definida por una F = GH y tenemos una integral
completa de G = 0, también la tenemos de F = 0, pero no es esperable
que las soluciones de F = 0, que lo sean de H = 0, las podamos obtener
mediante esa integral completa.
Paso 1.- Obtenemos con los métodos conocidos una integral completa
de nuestra EDP
g(x1, . . . , xn, z; a1, . . . , an) = g a (xi, z),
por tanto tenemos una familia S a = {g a = 0} de soluciones de la EDP.
Paso 2.- Buscamos coordenadas φ = (λi) de Sn−1 y para cada
p ∈ Sn−1 con coordenadas λ = φ(p), buscamos una solución entre las
{S a }a∈R n, que denotaremos Sλ , que verifique (ver figura (7.10))
p ∈ S a , Tp(Sn−1) ⊂ Tp(S a ).
Es decir buscamos a = (a1, . . . , an) tal que si en Sn−1 xi = xi(λ), z =
z(λ)
dga
i∗ ∂
∂λi p
ga
(p) = 0
= 0
⇒
ga [x1(λ), . . . , xn(λ), z(λ)] = 0,
= 0.
∂g a [x1(λ),...,xn(λ),z(λ)]
∂λi

474 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Si estas n ecuaciones nos permiten despejar las n incógnitas ai en función
de λ = (λ1, . . . , λn−1), tendremos una subfamilia n−1–paramétrica
de nuestra familia original de hipersuperficies
S λ = {h λ = 0},
h λ (x, z) = g(x, z; a1(λ), . . . , an(λ)),
que son soluciones de nuestra EDP y satisfacen que para cada p ∈ Sn−1,
con coordenadas λ = λ(p), p ∈ Sλ y Tp(Sn−1) ⊂ Tp(S λ ).
Paso 3.- De los resultados anteriores se sigue que si existe la envolvente
S de Sλ , es una solución de la EDP que contiene a Sn−1, por
tanto obtenemos la envolvente, es decir consideramos el sistema de n
ecuaciones
∂h
∂h
h = 0, = 0, . . . , = 0,
∂λ1 ∂λn−1
y eliminamos las λi.
Ejercicio 7.7.3 Encontrar con este método la solución de z 2 x +z 2 y = 1, que pasa
por la curva z = 0, x 2 + y 2 = 1.
Ejercicio 7.7.4 Encontrar con este método las soluciones de x[z 2 x + z 2 y] − zzx =
0, que pasan respectivamente por las curvas:
(1)
x = 0
z 2 = 4y,
(2)
x 2 = y = z 2
x > 0, z > 0,
(3)
x = z 2 ,
y = 0.
Ejercicio 7.7.5 Encontrar con este método la solución de zxzy = 1, que pasa
por la curva z = 0, xy = 1.
7.7.4. Solución singular.
Hemos visto que el conocimiento de una integral completa
z − f(x1, . . . , xn, a1, . . . , an).
nos permite construir la llamada solución “general” mediante el proceso
de la envolvente, pero este proceso, en el que primero seleccionábamos
de nuestra familia n–paramétrica de soluciones, una subfamilia n − 1–
paramétrica, hay veces que podemos hacerlo con la familia original, es
decir que la envolvente obtenida eliminando las ai en
z = f(x1, . . . , xn, a1, . . . , an), fa1 = 0, . . . , fan = 0,

7.7. Método de la envolvente 475
nos da una solución que no se obtiene por envolventes de familias n − 1–
paramétricas, en tal caso a esta se la llama “solución singular”.
Ahora bien derivando
F (x1, . . . , xn, f(x; a), fx1 (x; a), . . . , fxn (x; a)) = 0,
respecto de ai tenemos
Fzfai +
n
j=1
Fzj
fxjai = 0, para i = 1, . . . , n
y si (x0, z0 = f(x0; a0)) es un punto de la envolvente, tendremos de la
igualdad anterior que
n
j=1
Fzj (x0, z0, fxi (x0; a0))fxjai (x0; a0) = 0, para i = 1, . . . , n
y si suponemos que |faixj | = 0 8 entonces se verifica que en el punto
(x0, z0, fxi (x0; a0))
= 0, . . . , Fzn = 0,
Fz1
por lo que la solución singular está en la proyección de
S = {F = 0, Fz1 = 0, . . . , Fzn = 0},
sin hacer alusión a la integral completa. Para estas ecuaciones se tiene
el siguiente resultado.
Proposición 7.21 Si F, Fz1, . . . , Fzn, x1, . . . , xn son diferenciablemente
independientes en S, entonces la subvariedad S es solución en el sentido
de Lie, de la EDP definida por F si y sólo si Dp = 0 para todo p ∈ S.
8 lo cual implica que los parámetros ai son independientes, en el sentido de que no
existen n − 1 funciones αi(a1, . . . , an) y una función g para las que
f(x1, . . . , xn,a1, . . . , an) =
= g(x1, . . . , xn, α1(a1, . . . , an), . . . , αn−1(a1, . . . , an)),
pues en caso contrario los n vectores (faix1 , . . . , faixn ) son dependientes pues cada
uno se puede poner como combinación de los mismos n − 1 vectores
(faix1 , . . . , fa n−1
ixn) = (gαj x1 , . . . , gαj xn)αja i .
j=1

476 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Demostración. En primer lugar en los puntos p ∈ S, Fz(p) = 0,
pues en caso contrario
dpF =
n
i=1
Fxi (p)dxi + Fz(p)dz +
n
i=1
en contra de la hipótesis, por otra parte
ω |S = 0 ⇔ 0 = dF |S = [
= [
n
i=1
Fzi (p)dzi =
n
i=1
n
Fxidxi + Fzdz] |S =
i=1
(Fxi + ziFz)dxi] |S
⇔ [Fxi + ziFz] |S = 0, para i = 1, . . . , n
⇔ Dp = 0, para p ∈ S.
Fxi (p)dxi,
Nota 7.22 Debemos observar que puede ocurrir que S sea subvariedad
n–dimensional, se proyecte en una solución de la EDP definida por F ,
y sin embargo no sea solución en el sentido de Lie, pues ω |S = 0, como
por ejemplo para z = x + zxzy,
S = {F = 0, Fp = 0, Fq = 0}
= {z = x + pq, q = 0, p = 0} = {z = x, p = 0, q = 0},
la cual se proyecta en la solución z = x.
Ejemplo 7.7.5 Consideremos la familia de esferas de radio 1 centradas
en el plano xy
(x − a) 2 + (y − b) 2 + z 2 = 1
la cual es una integral completa de la EDP z 2 (1 + z 2 x + z 2 y) = 1, su
envolvente se obtiene eliminando a y b en
(x − a) 2 + (y − b) 2 + z 2 = 1, x − a = 0, y − b = 0,
es decir z = ±1, a la cual llegamos también, como puede demostrar el
lector, eliminando p y q en
F = 0, Fp = 0, Fq = 0.

7.8. Definición intrínseca 477
Ejemplo 7.7.6 Otro ejemplo lo tenemos con las EDP de Clairaut, (ver
la Nota (7.15), pág.461, que son
z = xzx + yzy + f(zx, zy),
con f una función del plano, las cuales tienen obviamente las integrales
completas definidas por la familia de planos
z = ax + by + f(a, b),
y su solución singular se obtiene eliminando a y b en
z = ax + by + f(a, b), x + fa = 0, y + fb = 0,
la cual coincide con la proyección de
F = 0, Fp = 0, Fq = 0.
7.8. Definición intrínseca
Podemos dar la definición intrínseca de ecuación en derivadas parciales
de primer orden: En primer lugar si en nuestra ecuación no interviene
la “z”, es decir es de la forma
F (x1, . . . , xn, ∂z
∂x1
, . . . , ∂z
) = 0,
∂xn
entonces F ∈ C ∞ (V) y {F = 0} es una subvariedad 2n − 1–dimensional
de V = T ∗ (U). Y una solución es una función f(x1, . . . , xn) para la que
S = {zi = ∂f
, i = 1, . . . , n} ⊂ {F = 0},
∂xi
es decir S es una subvariedad n–dimensional de {F = 0}, que tiene
coordenadas (xi) y en la que (ver pág.396 y siguientes)
λ =
n
zidxi = df,
i=1
es decir en la que λ es exacta y por tanto Λ = 0.

478 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Definición. Llamaremos ecuación en derivadas parciales de primer orden
en una variedad diferenciable U, a una hipersuperficie F de su fibrado
cotangente T ∗ (U), es decir una subvariedad de dimensión 2n − 1.
Llamaremos solución de esta ecuación a toda subvariedad S de F,
de dimensión n, en la que Λ = 0.
En primer lugar localmente
F = {F = 0},
y se sigue del Lema de Poincare (3.22), pág.165, que si una subvariedad
solución S existe, como en ella dλ = Λ = 0, λ es localmente
exacta en ella y si además tiene coordenadas (x1, . . . , xn), entonces en
ella λ = df, para f una función de (x1, . . . , xn), que es solución de la
EDP definida por F .
Si por el contrario, nuestra ecuación contiene la “z”, es decir es de la
forma
G(x1, . . . , xn, z, ∂z
, . . . ,
∂x1
∂z
) = 0,
∂xn
entonces podemos reducirla a una del tipo anterior del siguiente modo:
Definimos la función
F (x1, . . . , xn+1,z1, . . . , zn+1) =
= G(x1, . . . , xn, xn+1, − z1
zn+1
, . . . , − zn
).
zn+1
Si f(x1, . . . , xn+1) es solución de {F = 0}, entonces para cada constante
c ∈ R las subvariedades
f(x1, . . . , xn+1) = c,
son solución de {G = 0}, pues si despejamos xn+1 en ellas, xn+1 =
g(x1, . . . , xn), entonces la función g es solución de {G = 0}, pues derivando
respecto de xi en
tendremos que
y por tanto para x = (x1, . . . , xn)
f(x1, . . . , xn, g(x1, . . . , xn)) = c,
fxi + fxn+1gxi = 0,
fx1
G(x, g(x),gx1 (x), . . . , gxn (x)) = G(x, g(x), − , . . . , −
fxn+1
fxn
)
fxn+1
= F (x, g(x), fx1 (x, g(x)), . . . , fxn+1 (x, g(x))) = 0.

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 479
No obstante la definición intrínseca de estas EDP está en el Fibrado
de Jets de funciones de orden 1, (ver pág.397).
Definición. Llamaremos ecuación en derivadas parciales de primer orden
en una variedad diferenciable U, a una hipersuperficie F de su fibrado
de jets de orden 1.
Llamaremos solución de esta ecuación a toda subvariedad S de F,
de dimensión n, con coordenadas (xi), en la que ω = 0.
En primer lugar localmente existe F ∈ C∞ (J 1 (U)), con diferencial no
nula, tal que F = {F = 0}. Y si S es una solución, z = f(xi) y f es una
función solución de la EDP definida por F , pues ω |S = dz− n i=1 zidxi =
0, por tanto
S = {z = f(x1, . . . , xn), zi = ∂f
, i = 1, . . . , n} ⊂ {F = 0}.
∂xi
7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi
Definición. Recordemos (ver la pág.391 y ss.) que llamamos coordenadas
simpléticas en un abierto de V = T ∗ (U) a cualesquiera 2n funciones
suyas ui, vi, tales que
n
Λ = dvi ∧ dui,
i=1
en cuyo caso automáticamente son sistema de coordenadas pues si sus
diferenciales fuesen dependientes en un punto tendrían un vector incidente,
que estaría en el radical de Λ, que no tiene.
Nota 7.23 La importancia de las coordenadas simpléticas radican en
que resuelven simultáneamente dos problemas:
1. Hallar una integral completa para una familia parametrizada por
a1 de EDP definidas por una función h = v1,
h(x1, . . . , xn, zx1 , . . . , zxn ) = a1,

480 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
que es S a = {vi = ai}, ya que S a es n–dimensional, en ella Λ |S a = 0
y S a ⊂ {h = a1}.
2. Hallar las soluciones de la EDO de Hamilton D = Dh, definida por
h = v1,
(7.5)
x ′ i(t) = hzi (x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),
z ′ i(t) = −hxi (x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),
pues Du1 = 1 y el resto Dvi = Duj = 0, ya que
dv1 = −iDΛ =
n
(Dui)dvi −
i=1
n
(Dvi)dui,
(Realmente esta propiedad la tienen obviamente todas los campos Hamiltonianos
correspondientes a las funciones ui y vi, es decir en esas
coordenadas tienen expresión canónica).
A continuación explicamos dos métodos de construcción de tales coordenadas.
7.9.1. Método de Jacobi.
Este método se utiliza para resolver EDP de primer orden en las que
no interviene la variable “z”.
Consideremos la ecuación en derivadas parciales
i=1
h(x1, . . . , xn, zx1, . . . , zxn) = a1,
definida por {h = a1} en V = T ∗ (U). Consideremos D = D1 el campo
hamiltoniano correspondiente a v1 = h. Del teorema de clasificación local
de campos se sigue que localmente D tiene 2n − 1 integrales primeras
con diferenciales independientes y por tanto 2(n − 1) integrales primeras
con diferenciales independientes de dv1. Sea v2 una de ellas y sea D2 su
campo hamiltoniano correspondiente, entonces por (6.54), pág.395
(v1, v2) = D1v2 = 0 ⇒ [D1, D2] = D (v1,v2) = 0.
Entonces como D1 y D2 son independientes D1 y D2 generan una
distribución involutiva y se sigue del teorema de Frobenius que localmente
D1 y D2 tienen 2n − 2 integrales primeras comunes con diferenciales

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 481
independientes. Como v1 y v2 lo son, tendremos 2(n − 2) integrales primeras
comunes diferenciablemente independientes entre sí y de v1 y v2.
Sea v3 una de ellas y sea D3 su campo hamiltoniano correspondiente.
Como antes se tiene que
[D1, D3] = [D2, D3] = 0,
y D1, D2, D3 generan una distribución involutiva. Por tanto localmente
tienen 2(n−3) integrales primeras distintas de v1, v2 y v3. Siguiendo este
proceso podemos construir n funciones, v1, . . . , vn, diferenciablemente
independientes, con campos hamiltonianos correspondientes D1, . . . , Dn,
tales que [Di, Dj] = 0 para i, j = 1, . . . , n.
Teorema 7.24 Para cada (a1, . . . , an) ∈ R n , Λ = 0 en la subvariedad
n–dimensional
S a = {v1 = a1, . . . , vn = an}.
Demostración. Como
D1, . . . , Dn ∈ D(S a ),
es una base de campos, se tiene que
Λ(Di, Dj) = iDiΛ(Dj) = −Djvi = 0 ⇔ Λ = 0.
Nota 7.25 Ahora tenemos que
S a = {v1 = a1, v2 = a2, . . . , vn = an} ⊂ {h = a1},
y en ella Λ = dλ = 0, por tanto se sigue del Lema de Poincare (3.22),
pág.165, que en S a , λ = dφ a . Ahora bien si x1, . . . , xn, v1, . . . , vn son
coordenadas, x1, . . . , xn lo son en S a y tendremos que
φ a = φ a (x1, . . . , xn),
y para cada elección de b ∈ R y (a1, . . . , an) ∈ R n , con a1 fijo
f(x1, . . . , xn; a1, . . . , an, b) = φ a (x1, . . . , xn) + b,
es solución de nuestra EDP h(x, zx) = a1, por tanto es una integral
completa de la ecuación.
Ejercicio 7.9.1 Resolver la ecuación xz 2 x + yz 2 y = z, utilizando el método de
Jacobi, reduciéndola antes a las de este tipo.

482 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.9.2 Aplicar el método de Jacobi a una EDP del tipo F (ux, uy, uz) =
0 y encontrar una integral completa de ux + uy + uz = uxuyuz.
Ejercicio 7.9.3 Aplicar el método de Jacobi a una EDP del tipo F (x, ux, uz) =
G(y, uy, uz) y encontrar una integral completa de
2x 2 yu 2 xuz = x 2 uy + 2yu 2 x.
Ejercicio 7.9.4 Aplicar el método de Jacobi a una EDP de Clairaut
y encontrar una integral completa de
xux + yuy + zuz = G(ux, uy, uz),
(ux + uy + uz)(xux + yuy + zuz) = 1.
Nota 7.26 En los términos de la Nota (7.25), veamos que tenemos coordenadas
simpléticas, para ello consideremos las integrales primeras, v1 =
h, v2, . . . , vn, de D y supongamos que las (xi, vi) forman un sistema de
coordenadas, en cuyo caso las xi serán un sistema de coordenadas en
cada subvariedad n–dimensional
Sa = {v1 = a1, . . . , vn = an},
para cada (a1, . . . , an) ∈ R n y hemos visto que en estas subvariedades
Λ = 0 y por el Lema de Poincare (3.22), pág.165, λ |Sa = dφ a . Supongamos
que φ a (x) = φ(x1, . . . , xn; a1, . . . , an) es función diferenciable de
las x y las a, entonces
n
i=1
λ |Sa =
zidxi|Sa =
n
i=1
n
i=1
φxi (x1, . . . , xn; a1, . . . , an)dxi ⇒
φxi (x1, . . . , xn; a1, . . . , an)dxi ⇒
zi|Sa = φxi (x1, . . . , xn; v1, . . . , vn) |Sa ⇒
zi = φxi (x1, . . . , xn; v1, . . . , vn).
Teorema 7.27 Si x1, . . . , xn, v1, . . . , vn son diferenciablemente independientes
y φ es función diferenciable de ellas, entonces las funciones (ui =
φvi , vj) son un sistema de coordenadas simpléticas. (Además |φxivj | =
0).

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 483
Demostración. En el sistema de coordenadas (xi, vi)
λ =
n
φxidxi = dφ −
i=1
⇒ Λ = dλ =
n
φvidvi = dφ −
i=1
n
dvi ∧ dui.
i=1
n
uidvi ⇒
Corolario 7.28 En las coordenadas simpléticas (ui, vj) del resultado anterior
Di = ∂
,
∂ui
para los campos Di tales que iDiΛ = −dvi, construidos en el método de
Jacobi. En particular las uj, para j = i son integrales primeras de Di.
Nota 7.29 Se sigue que, en las coordenadas (ui, vi), la curva integral del
campo D = Dh (h = v1) por ejemplo, pasando en t = 0 por el punto de
coordenadas (bi, ai) es para j, k = 1, . . . , n, y k = 1
i=1
u1(t) = t + b1, uk(t) = bk, vj(t) = aj,
y en términos de las coordenadas (xi, zi) la trayectoria de esta curva es
zi = φxi (x1, . . . , xn; a1, . . . , an),
bk = φvk (x1, . . . , xn; a1, . . . , an), para k = 1.
y si la queremos parametrizada consideramos también t+b1 = φv1(x, a).
Esto explica la Teoría de Hamilton–Jacobi que estudiaremos en el próximo
epígrafe.
Ejercicio 7.9.5 Resolver la ecuación diferencial definida por el campo
∂
∂
∂
2x1z1 + 2x2z2 − 2x3z3
∂x1 ∂x2 ∂x3
− z 2 1
∂
∂z1
− z 2 2
7.9.2. Ecuación de Hamilton–Jacobi.
∂
∂z2
+ z 2 3
∂
.
∂z3
En el análisis del método de Jacobi para resolver una EDP partíamos
del conocimiento de las funciones vi —que se obtienen básicamente
integrando una ecuación diferencial de Hamilton—, y obteníamos
una integral completa φ de la EDP. A continuación veremos que este

484 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
proceso es reversible, en el sentido de que el conocimiento de una integral
completa de la EDP de Hamilton–Jacobi
h(x1, . . . , xn, zx1 , . . . , zxn ) = a1,
que en ocasiones podemos encontrar por otros medios —variables separadas
por ejemplo—, nos permite resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales de Hamilton
(7.6)
x ′ i(t) = hzi(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),
z ′ i(t) = −hxi(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),
Este útil método, descubierto por Hamilton y Jacobi da lugar a la
teoría que lleva su nombre.
Teorema 7.30 Sea φ = φ(x1, . . . , xn; a1, . . . , an) una integral completa
de la familia de EDP parametrizada por a1 ∈ R
h(x1, . . . , xn, zx1 , . . . , zxn ) = a1.
Si el determinante |φaixj | = 0, podemos despejar las ai en el sistema zi =
φxi (x, a), vi = ai(x, z) y definir ui = φai (x, v), entonces las funciones
(ui, vi) son coordenadas simpléticas, siendo v1 = h.
Demostración. Como |φaixj | = 0, podemos despejar las ai en zi =
φxi (x, a), como vi = ai(x, z) y h(x, z) = h(x, φx(x, v)) = v1. Además las
(xi, vi) son coordenadas, pues zi = φxi (x, v) y en ellas
dφ = φxi dxi + φvi dvi = λ + uidvi,
y basta aplicar la diferencial.
Corolario 7.31 Sea φ = φ(x1, . . . , xn; a1, . . . , an) una integral completa
de la familia de EDP parametrizada por a1 ∈ R
h(x1, . . . , xn, zx1, . . . , zxn) = a1.
Si el determinante |φaixj | = 0, para cada elección ai, bi ∈ R, las 2n − 1
ecuaciones
∂φ
(x, a) = bi, (i = 1), zi =
∂ai
∂φ
(x, a),
∂xi
definen una solución de la EDO (7.6), del campo hamiltoniano D de h,
para la que φa1 es el tiempo.

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 485
Demostración. Por (7.23) y porque en los términos anteriores las
curvas son ui = bi, para i = 1 y vi = ai.
Para estudiar las curvas integrales de una ecuación de Hamilton que
dependa del tiempo, remitimos al lector al apéndice (7.14), de la página
551.
Ejemplo 7.9.1 El problema de los dos cuerpos. Consideremos de nuevo
este problema que vimos en la pág.404, cuya curva es solución del sistema
de ecuaciones diferenciales, para k = GM
x ′ = z1 = hz1 , z′ 1 = −kx/(x 2 + y 2 ) 3/2 = −hx,
y ′ = z2 = hz2, z ′ 2 = −ky/(x 2 + y 2 ) 3/2 = −hy,
que es un sistema Hamiltoniano y corresponde a la función energía
h = z2 1 + z 2 2
2
φ 2 x + φ 2 y
2
−
k
x 2 + y 2 ,
Ahora para resolverla consideramos la EDP de Hamilton–Jacobi asociada
k
= + a,
x2 + y2 o en coordenadas polares
1
φ
2
2 ρ + φ2 θ
ρ2
= k
+ a,
ρ
pues se tiene x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, lo cual implica
∂ ∂ ∂
= cos θ + sen θ
∂ρ ∂x ∂y
∂
∂ ∂
= −ρ sen θ + ρ cos θ
∂θ ∂x ∂y
⇒
∂ ∂ sen θ ∂
= cos θ −
∂x ∂ρ ρ ∂θ
∂ ∂ cos θ ∂
= sen θ +
∂y ∂ρ ρ ∂θ
y considerando variables separadas tiene la integral completa
φ = bθ +
ρ
ρ0
2k
r
b2
+ 2a − dr,
r2

486 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
ahora por el teorema, las constantes a y b son funciones, la a ya sabemos
que es la energía h, pero ¿quién es la constante b?, para saberlo tenemos
que despejarla (junto con la a) en el sistema de ecuaciones
z1 = φx
z2 = φy
⇒
⇒
φρ = cos θφx + sen θφy = z1 cos θ + z2 sen θ
φθ = −ρ sen θφx + ρ cos θφy = −yz1 + xz2
⎧
⎪⎨ 2k b2
+ 2a −
ρ ρ
⎪⎩
2 = z1 cos θ + z2 sen θ
b = −yz1 + xz2
⎧
2a =
⎪⎨
⇒
⎪⎩
(z1x + z2y) 2
ρ2 − 2k b2
+
ρ ρ2 = z 2 1 + z 2 2 − 2c
(7.7)
ρ
b = −z1y + z2x
de donde se sigue que nuestras constantes son: a = h, la energía de m1
(dividida por m1, es decir la energía por unidad de masa) y el módulo del
momento angular (por unidad de masa), (0, 0, b) pues b = −x ′ y + y ′ x =
ρ 2 θ ′ .
Ahora el Teorema nos asegura que nuestra curva la despejamos de
las ecuaciones
⎫
∂φ
= t ⎪⎬
∂a
∂φ ⎪⎭ = θ0
∂b siendo
⎧
⎪⎨
⎪⎩
φ = bθ +
∂φ
∂a =
ρ
ρ0
∂φ
∂b
= θ − b
ρ
ρ0
2k
r
ρ
ρ0
2c
r
y llegamos al mismo resultado que en la pág.404.
b2
+ 2a − dr,
r2 dr
b2 + 2a − r2 ,
dr
r2
2k
b2
r + 2a − r2 7.9.3. Geodésicas de una variedad Riemanniana.
Consideremos una variedad Riemanniana (V, g), con la conexión de
Levi–Civitta asociada (ver la pág.179). Como en el caso anterior los
fibrados tangente y cotangente son canónicamente difeomorfos
φ: Dp ∈ T (V) → iDp g ∈ T ∗ (V),

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 487
por lo que tenemos una 2–forma canónica en T (V) (y por tanto campos
Hamiltonianos), que en coordenadas (xi) de V y las correspondientes
(xi, zi) en T ∗ (V) vale
φ ∗ Λ = φ ∗ ( dzi ∧ dxi) = dpi ∧ dxi.
pues la coordenada xi del fibrado tangente es xi = φ ∗ xi y definimos
pi = φ ∗ zi, la cual en términos de las coordenadas (xi, zi) del fibrado
tangente es pi = n
j=1 gijzj; donde estamos considerando
gij = ∂
∂xi
· ∂
, G = (gij) = (g
∂xj
ij ) −1 ,
∂
∂xi
∇ ∂
∂xj
=
n
k=1
Γ k ij
∂
,
∂xk
siendo (xi, pi) sistema de coordenadas pues |pizj | = |gij| = 0.
Recordemos que el campo de las geodésicas está en el fibrado tangente
y que en el sistema de coordenadas (xi, zi) es
⎡
n
n n
Z = zi∂i − ⎣ Γ k ⎤
⎦
ijzizj
∂
,
∂zk
i=1
k=1
i,j=1
y cuyas curvas integrales proyectadas son las geodésicas de nuestra variedad.
Definición. En el fibrado tangente tenemos una función canónica que
llamamos energía cinética,
(7.8) h(Dp) = Dp · Dp
.
2
En coordenadas (xi, zi) y (xi, pi) se tienen las expresiones
h = 1
2
n
i,j=1
zizjgij = 1
2 ztGz = 1
2 ztGG −1 Gz = 1
2
n
g ij pipj.
i,j=1
En (7.64), pág.547, se demuestra que el campo geodésico es el Hamiltoniano
de h, para φ ∗ Λ, por tanto en las coordenadas (xi, pi) se expresa
(7.9) Z =
n
i=1
hpi
∂
−
∂xi
n
i=1
hxi
∂
,
∂pi

488 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y sus curvas integrales satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales
en las coordenadas (xi, pi)
x ′ i = hpi(x1, . . . , xn, p1, . . . , pn), i = 1, . . . , n
p ′ i = −hxi(x1, . . . , xn, p1, . . . , pn), i = 1, . . . , n,
por lo que, para resolverlo, consideramos la Ecuación de Hamilton–
Jacobi asociada a este problema
1
h(x1, . . . , xn, φx1 , . . . , φxn ) =
2
n
i,j=1
g ij φxiφxj = a1.
En el caso particular de que la variedad sea bidimensional con coordenadas
(u, v) y llamemos
E = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
· , F = · , G = ·
∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ,
la Ecuación de Hamilton–Jacobi asociada es
1 Gφ
2
2 u − 2F φuφv + Eφ2 v
EG − F 2
= a1.
Ejemplo 7.9.2 Geodésicas de un elipsoide. Consideremos ahora el caso
particular de que nuestra superficie sea un elipsoide (ver Courant–
Hilbert, Tomo II, pág.112)
x 2
a
+ y2
b
+ z2
c
= 1,
el cual admite la parametrización —si a, b, c > 0—
x =
y =
z =
a(u − a)(v − a)
(b − a)(c − a) ,
b(u − b)(v − b)
(a − b)(c − b) ,
c(u − c)(v − c)
(b − c)(a − c) ,

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 489
por lo tanto, en este caso tendremos que
∂ ∂ ∂ ∂
= xu + yu + zu
∂u ∂x ∂y ∂z ,
∂ ∂ ∂ ∂
= xv + yv + zv
∂v ∂x ∂y ∂z ,
para
g(s) =
y tendremos que resolver la EDP
1
2
⇒
E = x 2 u + y 2 u + z 2 u = (u − v)g(u),
F = xuxv + yuyv + zuzv = 0,
G = x 2 v + y 2 v + z 2 v = (v − u)g(v),
s
4(a − s)(b − s)(c − s) .
2 φu E + φ2v G
= a1,
y si consideramos φ = ϕ(u) + γ(v), entonces ϕ y γ deben satisfacer
ϕ ′ (u) 2
(u − v)g(u) + γ′ (v) 2
(v − u)g(v) = 2a1 ⇒ ϕ′ (u) 2
g(u) − γ′ (v) 2
que podemos resolver en variables separadas, obteniendo
φ(u, v, a1, a2) =
u
u0
2a1g(s)(s + a2)ds +
v
v0
g(v) = 2a1(u − v),
2a1g(s)(s + a2)ds,
de donde obtenemos, derivando respecto de a2 y puesto que a1 es una
constante, que las geodésicas sobre un elipsoide satisfacen la ecuación
u
v
g(s)
g(s)
ds +
ds = cte.
s + a2
s + a2
u0
Ejemplo 7.9.3 Geodésicas de una esfera.
Si nuestra superficie es una esfera
x 2 + y 2 + z 2 = 1,
la cual admite la parametrización
x = cos ϕ sen θ,
y = sen ϕ sen θ,
z = cos θ,
v0
x
z
q
r
j
Figura 7.11. Coordenadas esféricas
y

490 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
en las coordenadas esféricas (ϕ, θ), tendremos que
pues se tiene
y la función energía es
y el campo geodésico
E = sen 2 θ, F = 0, G = 1,
∂
∂
∂
= − sen ϕ sen θ + cos ϕ sen θ
∂ϕ ∂x ∂y ,
∂
∂
∂ ∂
= cos ϕ cos θ + sen ϕ cos θ − sen θ
∂θ ∂x ∂y ∂z ,
h = 1
2 (z2 1 sen 2 θ + z 2 2) = 1
2
p2 1 + p2 2 sen2 θ
sen2 ,
θ
Z = hp1∂ϕ + hp2∂θ − hϕ∂p1 − hθ∂p2 ,
y como hϕ = 0, tendremos que p1 = z1E + z2F = z1E = ϕ ′ sen 2 θ es una
integral primera de Z.
Ahora la ecuación de Hamilton–Jacobi correspondiente es
2
1 φϕ + sen
2
2 θφ2 θ
sen2
= a,
θ
la cual tiene una integral completa en variables separadas
θ
φ(ϕ, θ, a, b) = bϕ + 2a − b2
sen2 s ds,
y la geodésica la obtenemos haciendo φb = ϕ0, lo cual implica (tomando
k = 2a/b 2 )
(7.10) ϕ − ϕ0 =
θ
θ0
θ0
b/ sen2 s
2a − b2
sen2 θ
ds
ds =
θ0 sen s
s
√ k sen2 s − 1 ,
y esta integral podemos resolverla considerando que
dx
x √ Ax2 1
Bx − 2C
= √ arc sen
+ Bx − C C |x| √ B2 + 4AC ,

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 491
pues haciendo el cambio sen 2 s = x tendremos que
ϕ − ϕ0 =
sen 2 θ
sen 2 θ0
= 1
arc sen
2
dx
2x √ 1 − x √ kx − 1
(k + 1)x − 2
x (k + 1) 2 − 4k
sen 2 θ
sen 2 θ0
= 1
2
sen θ
(k + 1)x − 2
arc sen
2 (k − 1)x sen2 θ0
= 1
2 arc sen (k + 1) sen2 θ − 2
(k − 1) sen2 − α0,
θ
y girando la esfera para que α0 − ϕ0 = π/4, tendremos
1 − 2 sen 2 ϕ = cos 2ϕ = sen(2ϕ + π/2) = (k − 1 + 2) sen2 θ − 2
(k − 1) sen 2 θ
sen 2 θ − 2 sen 2 θ sen 2 ϕ = sen 2 θ + 2 sen2 θ − 2
k − 1
(k − 1)y 2 = z 2
y esto tiene dos soluciones, para c = ± √ k − 1
z = cy,
es decir que nuestra geodésica está sobre un plano que pasa por el origen
y por tanto sobre un círculo máximo de la esfera.
Podemos demostrar esto también observando que a y b las despejamos
de las ecuaciones
p1 = φϕ = b, p2 = φθ,
y ya sabíamos que p1 era constante en las trayectorias. Además como
vimos antes p1 = ϕ ′ sen 2 θ = b y a lo largo de una trayectoria geodésica
r(t) = (x(t), y(t), z(t)), las componentes del momento angular r(t)×r ′ (t)
yz ′ − zy ′ = −ϕ ′ cos ϕ cos θ sen θ − θ ′ sen ϕ,
zx ′ − xz ′ = −ϕ ′ sen ϕ cos θ sen θ + θ ′ cos ϕ,
xy ′ − yx ′ = ϕ ′ sen 2 θ,
son constantes A, B y C = b, lo cual es obvio para la tercera (y por lo
tanto para las dos primeras por la simetría del problema en las coordenadas
x, y, z). No obstante para las otras dos se demuestra que tienen
⇔

492 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
derivada nula, utilizando que b = ϕ ′ sen 2 θ y que
ϕ ′ =
θ ′
sen θ √ k sen 2 θ − 1 ,
que se obtiene derivando respecto de t en la ecuación (7.10). En definitiva
nuestra geodésica está en el plano perpendicular al momento angular,
Ax + By + Cz = 0, pues
Ax + By + Cz = (yz ′ − zy ′ )x + (zx ′ − xz ′ )y + (xy ′ − yx ′ )z = 0,
por tanto nuestra geodésica, que está en la esfera y en el plano, está en
un círculo máximo. (Veremos de nuevo esto, bajo otro punto de vista en
la pág.530).
Veámoslo ahora con las coordenadas x1 = x, x2 = y. En este caso
tendremos que
y por tanto
∂x1 = ∂x − x
z ∂z, ∂x2 = ∂y − y
z ∂z,
E = 1+ x2 1 − y2
=
z2 z2 , F = xy
1 − x2
, G = 1+y2 =
z2 z2 y la Ecuación de Hamilton–Jacobi es
(1 − x 2 )φ 2 x − 2φxφyxy + (1 − y 2 )φ 2 y = 2a1,
z2 , EG−F 2 = 1
z
y la resolvemos por Lagrange–Charpit, considerando que si llamamos
F a la función que la define, −(Fx + pFz) = −Fx = 2xp 2 1 + 2yp1p2 =
p1(2xp1 + 2yp2) y −Fy = p2(2xp1 + 2yp2) por tanto tenemos la integral
primera del campo característico p2/p1 y en p2 = bp1, F = 2a1, llamando
L 2 = 1 + b 2 y t = x + by
(1 − x 2 )p 2 1 − 2bp 2 1xy + (1 − y 2 )b 2 p 2 1 = 2a1 ⇒
2a1
p1 =
1 + b2
2a1
=
− (x + by) 2 L2 ,
− t2 de donde
2a1
dφ−p1dx−p2dy = dφ−
L2
2a1
dx−b
− t2 L2 − t2 dy = d(φ−√2a1 arc sen t
L ),
2 ,

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 493
y tenemos una integral completa de la Ecuación de Hamilton–Jacobi,
φ = √ 2a1 arc sen t
L ,
ahora consideramos la integral primera φb del campo geodésico y las
curvas geodésicas φb = cte, donde denotaremos u = (x + by)/ √ 1 + b2 =
t/L, v = (y − xb)/ √ 1 + b2 , que representa un giro en el plano x, y
1
cte = φb =
1 − t2
L2
(x+by)b
yL − L
L2
=
1
√ 1 − u 2
y − xb
L 3
=
1 v
√
1 − u2 L2 cte = v2
1 − u 2 ⇔ 1 = k v2 + u 2 ,
que es la ecuación de una elipse y sobre la esfera un círculo máximo pues
z = 1 − x 2 − y 2 = 1 − u 2 − v 2 = √ k − 1 v.
Ejemplo 7.9.4 Geodésicas de un cono. Si nuestra superficie es un cono
el cual admite la parametrización
tendremos que
y por tanto
x 2 + y 2 = z 2 ,
x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, z = ρ,
∂ ∂ ∂ ∂
= cos θ + sen θ +
∂ρ ∂x ∂y ∂z ,
∂
∂ ∂
= −ρ sen θ + ρ cos θ
∂θ ∂x ∂y ,
E = 2, F = 0, G = ρ 2 ,
y la ecuación de Hamilton–Jacobi correspondiente es
2
1 φρ 2 2 + φ2 θ
ρ2
= a,

494 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
la cual tiene una integral completa en variables separadas
φ(ρ, θ, a, b) = bθ
√ +
2
4a − b2
dρ,
ρ2 y la geodésica la obtenemos haciendo φb = θ0,
θ
dρ
√ − θ0 = b
2 ρ 4aρ2 − b2
= arcsec
2ρ
√
a
b ,
pues dx/x √ x 2 − k = (1/k) arcsec |x/k|, y se sigue que
θ
ρ cos √2 − θ0 = cte,
y sabiendo que la ecuación de las rectas en coordenadas polares del plano
(ρ ′ , θ ′ ) es
ρ ′ cos(θ ′ − α) = cte,
se sigue que cortando el cono por una generatriz y desarrollándolo para
hacerlo plano, las geodésicas se transforman en rectas.
Ejemplo 7.9.5 Geodésicas de un toro. Si nuestra superficie es un toro
que parametrizamos
entonces
x = (r + cos θ) cos ϕ, y = (r + cos θ) sen ϕ, z = sen θ,
lo cual implica que
∂
∂
∂ ∂
= − sen θ cos ϕ − sen θ sen ϕ + cos θ
∂θ ∂x ∂y ∂z ,
∂
∂
∂
= −(r + cos θ) sen ϕ + (r + cos θ) cos ϕ
∂ϕ ∂x ∂y ,
E = 1, F = 0, G = (r + cos θ) 2 ,

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 495
y la ecuación de Hamilton–Jacobi correspondiente es
1
φ
2
2 φ
θ +
2 ϕ
(r + cos θ) 2
= a,
la cual tiene la integral completa
φ(θ, ϕ, a, b) = bϕ +
2a −
b2 dθ,
(r + cos θ) 2
y la geodésica la obtenemos haciendo φb = ϕ0, lo cual implica
bdθ
ϕ − ϕ0 =
(r + cos θ) 2a(r + cos θ) 2 .
− b2 Ejercicio 7.9.6 Encontrar las geodésicas del plano mediante el método de Hamilton–Jacobi.
Idem del cilindro.
Ejercicio 7.9.7 Encontrar mediante el método de Hamilton–Jacobi las geodésicas
de la métrica de curvatura constante negativa K = −1 en el disco unidad
(1 − x 2 − y 2 )(dx ⊕ dx + dy ⊕ dy) + (xdx + ydy) ⊕ (xdx + ydy)
(1 − x2 − y2 ) 2
.
Ejercicio 7.9.8 Encontrar mediante el método de Hamilton–Jacobi las geodésicas
de la métrica de curvatura constante positiva K = 1 en el plano
(1 + x 2 + y 2 )(dx ⊕ dx + dy ⊕ dy) − (xdx + ydy) ⊕ (xdx + ydy)
(1 + x2 + y2 ) 2
.

496 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
7.10. Introducción al cálculo de variaciones
El cálculo de variaciones es una útil herramienta que nos permite
resolver problemas en los que se pregunta qué curva, entre todas las
que unen dos puntos, minimiza (maximiza ó da un valor estacionario)
a un cierto funcional; qué superficie, entre todas las que contienen un
borde dado, minimiza (maximiza ó da un valor estacionario) a un cierto
funcional, etc. Muchos fenómenos de la Física están íntimamente relacionados
con el cálculo de variaciones, por ejemplo un rayo de luz sigue,
atravesando distintos medios, la trayectoria más rápida; la forma de un
cable que cuelga es la que minimiza la energía potencial; las pompas de
jabón maximizan el volumen con una superficie dada, etc. Estos hechos
conocidos antes de Euler, sugerían que la Naturaleza en algún sentido
“minimiza los gastos” y esta idea lo llevó a crear el cálculo de variaciones
que ha influido de forma notable en el desarrollo de la Física, dando
una visión unificadora, al ofrecer un punto de vista bajo el que interpretar
de forma común distintos fenómenos físicos, que siguen un principio
fundamental: el de la mínima acción.
Pongamos algunos ejemplos (ver Courant–Hilbert, tomo I, p.170
y Simmons, p.403): Entre todas las curvas σ : [t0, t1] → R n , σ(t) =
(xi(t)), que pasan por dos puntos p y q en los instantes t0 y t1 respectivamente,
σ(t0) = p y σ(t1) = q, ¿qué curva tiene longitud mínima? En
este caso el funcional a minimizar es
(7.11) I(σ) =
t1
t0
x ′2
i dt.
Entre las funciones f definidas en un abierto que contenga a R ⊂
R2 y que coinciden con una función dada h en los puntos del borde
∂R, ¿Qué superficie z = f(x, y), encierra mínima área? En este caso el
funcional a minimizar es
I(f) =
R
ω =
R
EG − F 2dx ∧ dy =
R
1 + f 2 x + f 2 y dxdy,
donde ω es la 2–forma de superficie de la variedad Riemanniana bidimensional
{z = f(x, y)}.

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 497
7.10.1. Ecuaciones de Euler–Lagrange.
Aunque muchos problemas del tipo al que nos referimos fueron planteados
en la antigüedad y hasta algunos resueltos por los griegos, no se
tuvo una herramienta adecuada para plantearlos hasta que Newton y
Leibnitz introdujeron el cálculo infinitesimal. Y aunque esto le dio un
impulso fundamental, resolviéndose muchos problemas, no fue hasta 1744
que Euler descubrió la ecuación diferencial que debe satisfacer la curva
buscada, con la que nació el cálculo de variaciones, que posteriormente
Lagrange desarrolló.
En el primero de los dos casos anteriores el funcional es una expresión
del tipo
I(σ) =
=
t1
L[t, σ(t), σ ′ (t)]dt
t0
t1
L[t, x1(t), . . . , xn(t), x ′ 1(t), . . . , x ′ n(t)]dt,
t0
para σ(t) = (xi(t)) y una cierta función L de R 2n+1 , a la que se llama
Lagrangiana,y que en el caso (7.11) vale
L(t, xi, zi) = z2 i .
Veamos qué propiedad tiene tal curva σ que da un valor estacionario
a I(σ), si es que existe, entre las curvas que satisfacen la propiedad de
pasar por dos puntos fijos p y q en los instantes t0 y t1 respectivamente,
es decir σ(t0) = p y σ(t1) = q.
Teorema 7.32 Si σ(t) = (xi(t)) da un valor estacionario a
I(σ) =
t1
t0
L[t, σ(t), σ ′ (t)] dt,
entonces satisface las Ecuaciones de Euler–Lagrange
Lx1[t, σ(t), σ ′ (t)] − d
dt Lz1[t, σ(t), σ ′ (t)] = 0,
. . . . . .
Lxn [t, σ(t), σ′ (t)] − d
dt Lzn [t, σ(t), σ′ (t)] = 0,

498 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Demostración. Dadas dos funciones diferenciables g, h: [t0, t1] →
R, con g tal que g(t0) = g(t1) = 0, se tiene
(7.12)
t1
t0
h(t)g ′ (t)dt =
= −
t1
t0
t1
(h(t)g(t)) ′ t1
dt −
t0
h ′ (t)g(t)dt.
t0
h ′ (t)g(t)dt =
Consideremos γ = (gi) una curva cualquiera tal que γ(t0) = γ(t1) =
0. Entonces para
G(λ) = I(σ + λγ) =
G ′ (0) = 0, y tendremos por (7.12) que
0 =
=
t1
t1
L[t, σ(t) + λγ(t), σ ′ (t) + λγ ′ (t)]dt,
t0
n
t0 i=1
t1
n
i=1
t0
Lxi gi +
Lxi
n
i=1
Lzi g′ i
dt
d
−
dt Lzi
gi(t)dt,
lo cual implica, al ser γ arbitraria, y sobrentendiendo la notación, las
Ecuaciones de Euler–Lagrange
Lx1
d
d
− Lz1 = 0, . . . , Lxn − Lzn = 0,
dt dt
Ejemplo 7.10.1 Observemos que para n = 1 es la ecuación de segundo
orden
Lx − d
dt Lz = 0 ⇔ Lx − Ltz − Lxzx ′ − Lzzx ′′ = 0,
y que en el caso (7.11) se convierte en
d
dt
x ′ i (t)
x ′2
i
= 0 ⇒
x ′ i (t)
= ai ⇒ xi(t) = bi + f(t)ai,
x ′2
i
para f ′ (t) = x ′2
i y por tanto σ(t) = b + f(t)a, es una recta.

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 499
Ejercicio 7.10.1 Demostrar que si una lagrangiana en el plano no depende de
x, L(x, y, y ′ ) = L(y, y ′ ), la solución de la ecuación de Euler-Lagrange satisface
L − y ′ Ly ′ = cte.
El segundo es un caso particular de un funcional del tipo
I[f] = L x1, . . . , xn, f, ∂f
, . . . ,
∂x1
∂f
dx1 · · · dxn,
∂xn
R
para una cierta Lagrangiana L de R 2n+1 , definida en un abierto cuya
proyección en las n primeras coordenadas contiene una variedad R con
borde ∂R = C. En nuestro caso
L(x, y, z, p, q) = 1 + p 2 + q 2 .
Veamos, como antes, qué propiedad tiene tal función f que da un
valor estacionario a I(f), si es que existe, entre las funciones f : R → R
que valen lo mismo, pongamos h, en C = ∂R.
Teorema 7.33 Si la función f da un valor estacionario a
I[f] = L x1, . . . , xn, f, ∂f
, . . . ,
∂x1
∂f
dx1 · · · dxn,
∂xn
R
entonces f satisface la Ecuación de Euler–Lagrange
n ∂
Lz(x, f(x), fxi(x)) − Lzi(x, f(x), fxi(x)) = 0.
∂xi
i=1
Demostración. Consideremos una función g cualquiera tal que g =
0 en el borde C de R, entonces para ella se tiene, por el Teorema de
Stokes, (14.12), pág.974, que para cualquier función h
hgx1dx1 · · · dxn = hdg ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn
R
R
= d (hgdx2 ∧ · · · ∧ dxn) − gdh ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn
R
R
= hgdx2 ∧ · · · ∧ dxn −
C
ghx1
R
dx1
∧ · · · ∧ dxn
= − ghx1dx1 · · · dxn,
R
hgxi
R
dx1
· · · dxn = − ghxi
R
dx1
(7.13)
· · · dxn,

500 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y como antes, la función
G(λ) = I(f + λg) =
R
L [xi, f + λg, fxi + λgxi ] dx,
debe tener un valor estacionario en λ = 0, lo cual implica que G ′ (0) = 0,
y tendremos por (7.13) que
n
0 = Lzg + Lzigxi
dx1 · · · dxn
=
R
R
g
Lz −
i=1
n
i=1
∂
∂xi
Lzi
dx1 · · · dxn,
lo cual implica, al ser g arbitraria, y sobrentendiendo la notación, la
Ecuación de Euler–Lagrange
Lz −
n
i=1
∂
∂xi
Lzi
= 0.
Ejemplo 7.10.2 En el segundo de los dos casos expuestos la Lagrangiana
vale L = 1 + p2 + q2 y su Ecuación de Euler–Lagrange es la ecuación
de las superficies mínimas
⎛
⎞ ⎛
⎞
∂
∂x
⎝
zx
1 + z 2 x + z 2 y
que podemos simplificar 9
⎠ + ∂
∂y
⎝
zy
1 + z 2 x + z 2 y
zxx(1 + z 2 y) − 2zxzyzxy + zyy(1 + z 2 x) = 0.
⎠ = 0,
Ejercicio 7.10.2 Para cada p = (x, y, z) ∈ R 3 − {x = 0, y = 0}, consideremos
el plano ∆p que contiene a los puntos p = (x, y, z) y (0, 0, z) y la pendiente de
su normal es la distancia de p al eje z. Demostrar que
(a) La distribución es totalmente integrable.
(b) Cada función en el plano cuya gráfica sea solución es una función
armónica (i.e. zxx + zyy = 0, ver la pág.741).
(c) Dicha gráfica es una superficie mínima.
9 aunque no siempre es preferible, ver por ejemplo el ejercicio (8.8.7) y su solución
en la pág.664.

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 501
Ejercicio 7.10.3 (a) Demostrar que si una curva plana, cerrada ó no, gira
alrededor de un eje del plano que no la corta, el área de la superficie que
genera es igual a la longitud de la curva multiplicada por la distancia que
recorre el centro de masa de la curva. En el caso de que la curva sea de la
forma y = y(x) en [a, b], es
2π
b
a
x 1 + y ′2 dx.
(b) Entre todas las curvas y = y(x) que unen dos puntos (x1, y1) y (x2, y2),
encontrar la que genera una superficie de revolución en torno al eje y de mínima
área.
(c) ¿Es una superficie mínima?.
Ejemplo 7.10.3 La braquistócrona. Consideremos el siguiente problema:
Dejamos caer por un alambre una bola sin fricción, desde un punto
A hasta otro B. ¿Cuál es la curva por la que se tarda mínimo tiempo? 10
Si consideremos una curva σ : [0, 1] → R 3 que une A = σ(0) con
B = σ(1), el tiempo T que tarda en ir de A a B es
1
0
|σ ′ (r)|
v[σ(r)] dr,
para v la velocidad en el punto para esa trayectoria, pues si la reparametrizamos
con su tiempo γ(t) = σ[r(t)], de tal forma que r(0) = 0 y
r(T ) = 1, tendremos que v[γ(t)] = |γ ′ (t)| y
T =
T
0
|γ ′ (t)|
dt =
v(γ(t))
T
0
A
|σ ′ (r(t))r ′ (t)|
dt =
v(σ(r(t)))
1
Figura 7.12. Curva de mínimo tiempo de A a B.
B
0
|σ ′ (r)|
v[σ(r)] dr,
10 Tal curva se llama braquistócrona, del griego brachistos breve, corto y chronos
tiempo.

502 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ahora necesitamos conocer la velocidad, la cual no depende de la
trayectoria llevada, pues no hay fricción, sino sólo de la altura y, que ha
bajado; y vale (partiendo con velocidad nula) v(x, y) = √ 2gy. Para ver
esto observemos que dada cualquier trayectoria γ, parametrizada por el
tiempo, como la única fuerza que actúa sobre la bola es la de la gravedad
F = (0, −mg) y la que la mantiene en la curva (una fuerza N que es
normal a la curva), tendremos que
F + N = mγ ′′ ,
por lo tanto la componente tangencial de F coincide con la componente
tangencial de la aceleración, es decir
−gy ′ = F
m · γ′ = γ ′′ · γ ′ = x ′ x ′′ + y ′ y ′′ = ( x′2 + y ′2
2
y de esto se sigue que (x ′2 +y ′2 )/2 = −gy +a, para una constante 11 a, la
cual es nula si la soltamos con velocidad nula desde y = 0. Por lo tanto
el módulo de la velocidad, es (observemos que y < 0)
v[σ(t)] = |σ ′ (t)| = −2gy.
Esto nos lleva a considerar el problema variacional
1
0
L(σ(s), σ ′ (s))ds,
correspondiente a la Lagrangiana que da el tiempo, que esencialmente es
(la constante 2g no es necesaria y cambiamos el sistema de coordenadas
poniendo la y positiva hacia abajo)
L(x, y, z1, z2) =
Lx = 0, Ly = −
z2 1 + z2 2
√ , para la que
y
) ′ ,
z2 1 + z2 2
2y √ , Lzi
y
=
zi
y(z2 1 + z2 2 ),
y las Ecuaciones de Euler–Lagrange correspondientes son para ˙ h = dh/dt
11 Que es la energía total, pues x ′2 +y ′2
2
es la energía cinética y −gy es la potencial.

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 503
y h ′ = dh/dx, para las que ˙ h = h ′ ˙x
y por la primera es constante
0 = d
˙x
dt y( ˙x 2 + ˙y 2 )
˙x 2 + ˙y 2
0 = −
2y √
d ˙y
+
y dt y( ˙x 2 + ˙y 2 )
˙x
y( ˙x 2 + ˙y 2 ) = c
y si c = 0, x es constante en todo punto (que es una solución si A y B
tienen la misma abscisa), en caso contrario ˙x = 0 y podemos dividir por
él, obteniendo
0 = d
′
1
1
= ˙x
dt y(1 + y ′2 ) y(1 + y ′2 )
⇔
′
1
0 =
y(1 + y ′2 )
⇔ y(1 + y ′2 (7.14)
) = cte,
y además en este caso (c = 0) se sigue de la segunda que
˙x d ˙y
= c = c
2cy2 dt ˙x
d
dt y′ ⇔ 1
2c2 = y2y ′′
que es consecuencia directa de (7.14), derivando respecto de x, pues
0 = (y + yy ′2 ) ′ = y ′ + y ′3 + 2yy ′ y ′′ ⇒ 0 = 1 + y ′2 + 2yy ′′ ,
(pues y ′ = 0 en algún punto, ya que en caso contrario y = cte = 0) y el
resultado se sigue multiplicando por y. Por lo tanto tenemos que resolver
la familia de ecuaciones y(1 + y ′2 ) = k, es decir
dy =
la cual tiene la solución
k
− 1 dx ⇔
y
− (k − y)y + k arctan
y
dy − dx = 0,
k − y
y
− x = cte,
k − y

504 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
que podemos resolver también llamando
y
tan φ =
k − y
⇒
dx = tan φ dy,
y = (k − y) tan 2 φ ⇒ y = k sen 2 φ
por tanto como cos 2φ = 1 − 2 sen 2 φ
dy = 2k sen φ cos θ dφ ⇒
dx = tan φ dy = 2k sen 2 φ dφ = k(1 − cos(2φ)) dφ,
k sen(2φ)
cuya solución es x = kφ − 2 + cte y si le pedimos que A = (0, 0),
tendremos que la constante es 0, pues la y = k sen2 φ vale 0, para φ = 0.
Por tanto tendremos que nuestra solución podemos escribirla, para
θ = 2φ y r = k/2
x = r(θ − sen θ) y = r(1 − cos θ),
lo cual significa que nuestra curva es una homotecia de razón r de la
curva de puntos (Fig.7.13)
2
1
q
q
(θ, 1) − (sen θ, cos θ),
Figura 7.13. La braquistócrona (dcha.) es la cicloide invertida.
que es la cicloide, es decir la curva que describe un punto de una circunferencia
que rueda sin deslizarse sobre una recta.
El péndulo de Huygens.- Tiene la cicloide invertida una notable propiedad
descubierta por Huygens (1629–1695) y es que dejada una bola
deslizarse sin rozamiento sobre ella llega al punto mas bajo en un tiempo
que no depende del punto desde la que la soltamos. Por tanto si la

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 505
dejamos que vaya y vuelva en un movimiento pendular su período es
constante. Veámoslo.
Si consideramos la parametrización (Fig.7.14, para r = 1)
σ(θ) = r(θ − sen θ, 1 + cos θ),
(hemos invertido la cicloide y le hemos sumado 2r, para que se anule en
el punto más bajo y valga 2r en el más alto); y soltamos la bola en un
punto A = (x0, y0) = σ(θ0), el tiempo que tarda en llegar al punto más
bajo, que es el correspondiente a θ = π, es
π
θ0
2
1
q0 p
Figura 7.14.
|σ ′ π
(θ)| r
dθ =
v[σ(θ)] θ0
(1 − cos θ) 2 + sen2 θ
2gr(cos θ0 − cos θ) dθ
√ π
r 1 − cos θ
= √
g cos θ0 − cos θ dθ,
θ0
y para 2α = θ, cos θ = cos 2α = cos 2 α − sen 2 α = 2 cos 2 α − 1, y para
2α0 = θ0, tendremos que el tiempo es
r
g
π/2
α0
2
√ 2 − 2 cos 2 α
2(cos2 α0 − cos2 dα =
α)
r
g
π/2
2
sen α
α0 cos α0 1 − cos2 α
cos2 dα,
α0
π/2
r sen ϕ r
= 2
dϕ = π
g 0 sen ϕ g .
donde la última igualdad se sigue considerando el cambio de variable
α ∈ [α0, π/2] → ϕ ∈ [0, π/2]
cos ϕ =
cos α
cos α0
⇒ sen ϕ dϕ =
sen α
dα.
cos α0

506 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Observemos que r tiene unidades de longitud y g, que es una aceleración,
unidades de longitud/tiempo 2 , por lo que r/g tiene unidades de
tiempo 2 y su raíz de tiempo.
En segundo lugar también tiene la siguiente propiedad:
Su evolvente es ella misma.
Definición. Para verlo recordemos que llamamos evolvente a cada curva
ortogonal a las tangentes de una dada.
Por tanto dada una curva σ(s) parametrizada por la longitud de arco
—de tal modo que |σ ′ (s)| = 1 y s es la longitud del trozo de curva entre
dos puntos σ(r) y σ(r + s)—, sus evolventes son las curvas
γ(s) = σ(s) + λ(s)σ ′ (s),
tales que γ ′ es ortogonal a σ ′ , lo cual equivale a que
0 = γ ′ · σ ′ = 1 + λ ′ (s) + λ(s)σ ′′ · σ ′ = 1 + λ ′ (s),
pues 0 = (σ ′ · σ ′ ) ′ = 2σ ′′ · σ ′ , por tanto λ(s) = c − s, para c constante y
las evolventes son
γ(s) = σ(s) + (c − s)σ ′ (s),
siendo γ(c) = σ(c) = P el punto común de ambas curvas, que tiene la
propiedad de que el arco de curva que une σ(s) y P = σ(c), tiene la
misma distancia, c − s, que el segmento tangente de extremos σ(s) y
γ(s). Por lo tanto la evolvente es la curva que describe una cuerda que
despegamos de la curva original manteniéndola tensa.
4
2
1
0
g(q)
q
q
s(q)
Figura 7.15. La evolvente de la cicloide es la cicloide
p

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 507
Veamos que la cicloide tiene esta propiedad (Fig.7.15), para ello consideremos
la parametrización en [0, π]
σ(θ) = (θ + sen θ, 1 + cos θ),
que va desde (0, 2) hasta (π, 0) y veamos que la también cicloide que
asciende desde (0, 2) hasta (π, 4) y que tiene por ecuación
γ(θ) = (θ − sen θ, 3 − cos θ),
corta perpendicularmente a las tangentes de la primera, lo cual es obvio
pues la recta que une σ(θ) y γ(θ) es tangente a la curva y
σ ′ = (1 + cos θ, − sen θ), γ ′ = (1 − cos θ, sen θ)
Estas dos excepcionales propiedades las utilizó genialmente Huygens
para construir un péndulo que se apoyaba en dos superficies curvas
simétricas (Fig.7.16), con forma de cicloide, de modo que el extremo
del péndulo describía una cicloide y la frecuencia de su oscilación no
dependía del lugar desde el que empezaba el descenso.
Figura 7.16. Péndulo de Huygens
Ejercicio 7.10.4 Demostrar que si v(x, y) es la velocidad de una partícula en
un punto del plano (x, y), el tiempo que la partícula tarda en ir de un punto
(x0, y0) del plano a otro (x1, y1) a través de una curva y = y(x) es
x1 1 + y ′ (x) 2
v(x, y(x)) dx.
x0
Ejercicio 7.10.5 Consideremos en el semiplano y ≥ 0, el problema variacional
de la curva de mínimo tiempo cuando la velocidad en cada punto v(x, y) = y.

508 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.10.6 Demostrar que la velocidad de un abalorio que cae sin rozamiento
por un alambre de un plano x, y perpendicular a la superficie de la
tierra, es en cada punto (x, y), v(x, y) = 2g(y0 − y) (para y0 la altura a la
que lo soltamos con velocidad nula, que podemos suponer como y0 = 0).
Ejercicio 7.10.7 Demostrar que la evolvente de la catenaria es la tractriz.
7.10.2. Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton.
Veremos ahora que las ecuaciones de Euler–Lagrange están íntimamente
relacionadas con las de Hamilton. Consideremos una Lagrangiana
L y supongamos que σ(t) = (xi(t)) es una curva que satisface las ecuaciones
de Euler–Lagrange
Lx1 − d
dt Lz1 = 0, . . . , Lxn − d
dt Lzn = 0,
por ejemplo si es extremal para el problema variacional definido por L
y supongamos además que nuestra Lagrangiana satisface |Lzizj | = 0, en
estas condiciones se tiene:
Teorema 7.34 Si σ(t) = (xi(t)) es una curva que satisface las ecuaciones
de Euler–Lagrange, para una Lagrangiana que satisface |Lzizj | = 0,
entonces la curva en coordenadas (t, xi, zi)
γ(t) = (t, x1(t), . . . , xn(t), z1(t) = x ′ 1(t), . . . , zn(t) = x ′ n(t)),
satisface en las coordenadas (t, xi, pi = Lzi ) una ecuación diferencial de
Hamilton, correspondiente a la función (energía),
(7.15) h =
n
i=1
Lzi zi − L.

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 509
Demostración. Como |Lzizj | = 0, podemos considerar el sistema de
coordenadas (t, ui = xi, pi = Lzi), en el que se tiene la primera igualdad
dh = htdt +
dh = d(
=
=
n
i=1
hui dui +
n
pizi) − dL
i=1
n
pidzi +
i=1
n
i=1
hpi dpi
n
zidpi − Ltdt −
i=1
n
zidpi − Ltdt −
i=1
n
i=1
Lxi dxi,
n
i=1
Lxi dxi −
n
i=1
Lzi dzi
donde la dL la hemos desarrollado en las coordenadas (t, xi, zi). Por
tanto como la curva satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange y llamando
ui(t) = ui[γ(t)], pi(t) = pi[γ(t)], tendremos que (recordemos que
las derivadas de la h es en las coordenadas (t, ui, pi) y las de L en las
(t, xi, zi))
Lt = −ht,
u ′ i(t) = x ′ i(t) = zi(t) = hpi [γ(t)],
p ′ i(t) = Lxi [γ(t)] = −hui [γ(t)].
Como consecuencia se tiene que si |Lzizj | = 0, entonces
(h ◦ γ) ′ (t) = ht + hui u′ i + hpi p′ i = ht,
y por tanto si L no depende de t, tampoco h, ht = −Lt = 0 y h es
constante en las curvas que satisfacen la Ecuación de Euler–Lagrange12 .
A continuación vemos que, para Lagrangianas que no dependen de t,
esto es siempre así aunque no se verifique que |Lzizj | = 0.
Proposición 7.35 Si σ(t) = (xi(t)) es una curva parametrizada que satisface
las ecuaciones de Euler–Lagrange para una lagrangiana L que no
12 Además en tal caso podemos considerar la Ecuación de Hamilton–Jacobi correspondiente
a h (en las coordenadas (xi, pi)) y aplicar la teoría estudiada en la lección
anterior, para encontrar la curva extremal del problema variacional definido por la
Lagrangiana L.

510 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
depende de t, es decir que para σ(t) = (xi(t), x ′ i (t))
entonces h es constante en σ.
d
Lzi (σ) = Lxi (σ),
dt
Demostración. Como Lt = 0 se tiene que
d d
′
h(σ) = x iLzi (σ) − L(σ)
dt dt
= x ′′
i Lzi(σ) + x ′ d
i
dt Lzi(σ)−
− Lxi (σ)x′ i − Lzi (σ)x′′
i = 0
Ejemplo 7.10.4 El Principio de Hamilton. En el caso particular de tener
una masa m que se desplaza en el espacio bajo la influencia de una fuerza
conservativa F = − grad V , tendremos que la energía cinética vale
T = m ′
x
2
1(t) 2 + x ′ 2(t) 2 + x ′ 3(t) 2 ,
y para
L = T − V = m 2
z1 + z
2
2 2 + z 2 3 − V,
definimos la acción a lo largo de una curva σ(t), que une dos puntos del
espacio entre los instantes a y b, como
b
a
Ldt =
b
a
(T − V )dt,
la cual toma un valor estacionario, para la curva que satisfaga las ecuaciones
de Euler–Lagrange
d
Lz1 − Lx1 = 0
dt
d
Lz2 − Lx2 = 0
dt
d
dt Lz3
⎫
⎪⎬ mx
⇔
⎪⎭
− Lx3 = 0
′′
1 + Vx1 = 0
mx ′′
2 + Vx2 = 0
mx ′′
⎫
⎪⎬
⎪⎭
3 + Vx3 = 0
⇔ mx′′ = F,
que es la Ecuación del movimiento de Newton. Esto justifica en parte
el siguiente resultado conocido como Principio de mínima acción de
Hamilton.

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 511
Principio de Hamilton 7.36 La trayectoria que sigue una masa en el
espacio que se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa, es entre
todas las trayectorias posibles que unan dos puntos en dos instantes
dados, la que realiza la mínima acción.
Observemos que en este caso |Lzizj | = 0, pues
p1 = Lz1 = mz1, p2 = Lz2 = mz2, p3 = Lz3
y la función Hamiltoniana vale
h = p1z1 + p2z2 + p3z3 − L
= m(z 2 1 + z 2 2 + z 2 3) − m 2
z1 + z
2
2 2 + z 2 3 + V
= T + V,
= mz3,
que es la energía (cinética mas potencial) de la masa y es constante a lo
largo de la trayectoria. Además en las nuevas coordenadas (xi, pi)
h = m
2
2
z1 + z 2 2 + z 2 1 2
3 + V = p1 + p
2m
2 2 + p 2 3 + V,
por lo tanto la Ecuación de Hamilton–Jacobi asociada a este problema
es para cada constante E (que es la energía)
1 2
φx1 + φ
2m
2 x2 + φ2
x3 + V = E.
Ejemplo 7.10.5 Veamos que el movimiento del péndulo (ver la pág.49)
θ ′′ (t) = − g
sen θ(t).
L
da un valor estacionario a la acción, es decir satisface la ecuación de
Euler–Lagrange para la lagrangiana L = T −V en el fibrado tangente de
la circunferencia, donde T = (m/2)|σ ′ (t)| 2 = (mL 2 /2) ˙ θ 2 (t) es la energía
cinética y V = −mgL cos θ es la energía potencial 13
L = T − V = m L2 ˙ θ 2 (t)
2
+ mgL cos θ(t),
pues en tal caso la ecuación de Euler–Lagrange es
d
dt L ˙ θ = Lθ ⇔ mL 2 ¨ θ(t) = −mgL sen θ(t).
13 Observemos que la componente tangencial D = −mg sen θe2 de la fuerza F =
(0, −mg), es D = − grad V , pues ∂θ = Le2 y D · ∂θ = ∂θV

512 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.10.8 Demostrar que si una masa se mueve sobre una superficie en
ausencia de fuerzas, las geodésicas dan un valor estacionario a la acción.
7.10.3. Apéndice. La ecuación de Schrödinger
Siguiendo con lo anterior consideremos una integral completa φ para
cada E constante, de la Ecuación de Hamilton–Jacobi
1 ∗2
φx1 + φ
2m
∗2
x2
+ φ∗2 x3 + V − E = 0,
y recordemos que la constante E = h(xi; φ∗ xi ), representa la energía total
de la partícula a lo largo de su trayectoria.
En uno de sus primeros trabajos Schrödinger consideró esta ecuación
y el cambio de variable φ = K log ψ, con K una constante. En
términos de esta nueva función la Ecuación de Hamilton–Jacobi es
K2 2
ψx1 + ψ
2m
2 x2 + ψ2 2
x3 + (V − E)ψ = 0,
y en vez de resolverla considera el problema variacional, en todo el espacio
2 K 2
I(ψ) = ψx1 + ψ
2m
2 x2 + ψ2
2
x3 + (V − E)ψ dx1dx2dx3,
y lo restringe a las funciones ψ que se anulan en el infinito (pues en caso
contrario la integral no sería finita) y se pregunta por la existencia de
una función extremal, en cuyo caso de existir debe satisfacer la ecuación
de Euler–Lagrange, que en este caso es
− K2
2m (ψx1x1 + ψx2x2 + ψx3x3) + (V − E)ψ = 0,
que es la ecuación de Schrödinger para una partícula, y en la que K = .
(Yo tampoco lo entiendo). Volveremos a ver esta EDP en la pág.899,
donde la resolvemos.

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 513
7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther
7.11.1. Transformada de Legendre.
En esta lección veremos de forma intrínseca algunos de los conceptos
desarrollados en la lección anterior, cuando las lagrangianas no dependen
del tiempo y los veremos en general en la próxima lección. Para
ello consideremos una variedad diferenciable V y sea T (V) su Fibrado
tangente.
Definición. Llamaremos Lagrangiana en V a una función L ∈ C ∞ [T (V)].
Definición. Dada una Lagrangiana L, podemos definir la aplicación,
llamada transformada de Legendre, entre los fibrados tangente y cotangente
(7.16) L: T (V) → T ∗ (V), Dx → L(Dx) = ωx,
donde ωx es la composición
Tx(V) TDx[Tx(V)]
i∗
−→ TDx[T (V)]
dL
−→ R.
considerando la inclusión natural i: Tx(V) ↩→ T (V) y la identificación
natural —a través de la derivada direccional— entre un espacio vectorial
y sus espacios tangentes (ver (1.16), pág.15), que en nuestro caso si
consideramos un sistema de coordenadas (xi) en V y el correspondiente
(xi, zi) en T (V),
Tx(V) TDx [Tx(V)],
∂
∂
−→ ,
∂xi ∂zi
y tendremos que la expresión en coordenadas de L es (entendiendo las
correspondientes coordenadas (xi, zi) en T ∗ (V))
L(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn) = x1, . . . , xn, ∂L
, . . . ,
∂z1
∂L
.
∂zn
Definición. Llamaremos campo de las homotecias en el fibrado tangente
al único campo que anula las funciones constantes en fibras Hπ ∗ f = 0,
x
Dx

514 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
equivalentemente π∗H = 0 y que deja invariantes las funciones lineales
en fibras, es decir que para las 1–formas ω entendidas como funciones en
el fibrado tangente Hω = ω. En coordenadas vale
H =
n
i=1
zi
∂
,
∂zi
y su grupo uniparamétrico es τt(Dx) = e t Dx.
Definición. Llamaremos función energía de una Lagrangiana L, a la
función de T (V)
h = HL − L,
que en coordenadas vale
h =
n
i=1
ziLzi − L.
Consideremos ahora la 1–forma de Liouville λ del fibrado cotangente
y llevémosla al fibrado tangente
cuya expresión en coordenadas es
ωL =
ωL = L ∗ λ,
n ∂L
dxi ⇒ dωL =
∂zi
i=1
y definamos la aplicación entre los módulos
(7.17)
D[T (V)] → Ω[T (V)],
D → iDdωL =
n
dLzi ∧ dxi,
i=1
n
D(Lzi )dxi −
i=1
n
DxidLzi .
Definición. Diremos que un campo Z ∈ D[T (V)] es lagrangiano si
iZdωL = −dh.
No tiene por qué existir tal campo y si existe siempre tiene a h como
una integral primera.
No obstante existe y es único si L es difeomorfismo, ó equivalentemente
i=1
|Lzizj | = 0 ⇔ (xi, pi = Lzi ) es sistema de coordenadas

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 515
en cuyo caso dωL es una estructura simplética del Fibrado tangente y
(7.17) es un isomorfismo, por tanto existe el campo lagrangiano y es
único.
Nota 7.37 Recordemos que por definición un campo Z ∈ D[T (V)] define
una ecuación de segundo orden en V si para la proyección π : T (V) −→ V
(7.18) π∗ZDp = Dp, para cada Dp ∈ T (V),
y esto equivale a que en coordenadas (xi, zi), Zxi = zi como puede
comprobar fácilmente el lector.
Teorema 7.38 Si Z es un campo que define una ecuación de segundo
orden en V, entonces
Z es Lagrangiano ⇔ Z(Lzi ) = Lxi ,
en cuyo caso sus curvas integrales satisfacen las ecuaciones de Euler–
Lagrange.
Si L es difeomorfismo, entonces existe un único campo Z Lagrangiano,
automáticamente es de segundo orden y una curva en coordenadas
(xi, zi), σ(t) = (xi(t), x ′ i (t)) satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange
sii es una curva integral de Z.
Demostración. En coordenadas tenemos que
iZdωL =
n
Z(Lzi )dxi −
i=1
−dh = dL − d(HL)
n
= Lxidxi +
=
i=1
n
i=1
Lxi dxi −
n
i=1
n
i=1
ZxidLzi
Lzi dzi −
n
zidLzi ,
i=1
n
i=1
Lzi dzi −
n
zidLzi ,
lo cual implica (en ambos casos, pues o bien Zxi = zi ó (xi, pi = Lzi)
son coordenadas) que
Zxi = zi, Z(Lzi ) = Lxi ,
i=1

516 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y en tal caso tenemos que si σ(t) = (xi(t), zi(t)) es una curva integral de
Z, entonces satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange, pues
∂
∂
∂
σ∗ = Z ⇒ σ∗ xi = Zxi = zi, σ∗ pi = Zpi = Lxi
∂t
∂t
∂t
⇒ x ′ i(t) = zi(t), (Lzi ◦ σ)′ (t) = Lxi [σ(t)],
y si además L es difeomorfismo se tiene la equivalencia, pues (xi, pi) son
coordenadas.
Ejercicio 7.11.1 1.- Consideremos la Lagrangiana correspondiente al problema
de minimizar la energía cinética de una partícula en el plano
L(x, y, z1, z2) = z 2 1 + z 2 2,
y calcúlense, L, | det Lzizj |, ωL, h y Z.
2.- Idem considerando la Lagrangiana correspondiente al problema de minimizar
la longitud de una curva en el plano
L(x, y, z1, z2) = z2 1 + z2 2 ,
demuéstrese que existen campos lagrangianos y que para cualquiera de ellos
sus curvas integrales se proyectan en rectas.
Ejemplo 7.11.1 Curva de energía cinética mínima. Sea (V, g) una variedad
Riemanniana. Consideremos un sistema de coordenadas (xi), los
coeficientes de la primera forma fundamental
∂i · ∂j = gij,
y consideremos como lagrangiana la energía cinética
L[x1, · · · , xn, z1, · · · , zn] = 1
2
n
i,j=1
que corresponde al problema de encontrar la curva
σ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),
zizjgij,
pasando por dos puntos de la variedad, que hace mínima la energía
cinética b
b
1
1
D · Ddt =
a 2 a 2 D2dt,

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 517
para D = σ ′ (t) el vector tangente a la curva. En cuyo caso
pi = Lzi =
n
zjgij ⇒ h =
j=1
n
pizi − L = L,
es decir que la función h de (7.15) es de nuevo la energía cinética. Además
|Lzizj | = |gij| = 0, por lo tanto L es un difeomorfismo y la curva que
minimiza la integral —si existe— es una curva integral del campo hamiltoniano
correspondiente a h, para la dos–forma dωL = dpi ∧ dxi,
que según hemos visto en 7.9 es el campo Z de las geodésicas, pues para
él hemos demostrado que en las coordenadas (ui = xi, pi = Lzi )
i=1
Zui = hpi, Zpi = −hui,
lo cual equivale a que iZdωL = −dh. Por lo tanto las geodésicas son las
curvas extremales para la energía cinética. Pero además en este caso el
difeomorfismo L es conocido:
Proposición 7.39 L = φ para el difeomorfismo
φ: T V → T ∗ V, φ(Dp) = iDp g.
Demostración. Lo haremos de dos formas. La primera observando
que en la definición (7.16) identificamos los espacios (ver (1.16), pág.15)
Tx(V) TDx [Tx(V)], Tx → DTx ,
siendo DTx la derivada direccional en T V relativa al vector Tx, por tanto
para ωx = L(Dx)
L(Dx + tTx) − L(Dx)
ωxTx = dDxL(DTx) = DTxL(Dx) = lím
=
t→0 t
(1/2)Dx · Dx + tDx · Tx + (1/2)t
= lím
t→0
2Tx · Tx − (1/2)Dx · Dx
t
= Dx · Tx.
La segunda forma la vemos en las coordenadas xi, pi = Lzi = gijzj,
pues φ ∗ (xi) = xi y φ ∗ (zi) = pi (ver (7.25), pág.546), por tanto
φ = (xi, pi) = L.

518 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Proposición 7.40 En los términos anteriores se tiene que
∂gij
∂xk
= 0 ⇒ ZLzk = 0.
Demostración. Se sigue de que en las coordenadas (xi, zi)
∂gij
∂xk
= 0 ⇒ ZLzk = Lxk = 0.
Aplicación: Superficies de revolución. Es decir que en este caso no
sólo tenemos la integral primera L = h de nuestro campo geodésico Z,
sino Lzk , esto tiene una aplicación directa en el caso particular de tener
una superficie de revolución, alrededor del eje z por ejemplo, de una curva
que localmente parametrizamos r = r(z), en cuyo caso la superficie viene
dada en coordenadas (ξ, η) por
x = r(η) cos ξ,
y = r(η) sen ξ,
z = η,
⇒
∂
∂
∂
= −r(η) sen ξ + r(η) cos ξ
∂ξ ∂x ∂y ,
∂
∂η = r′ (η) cos ξ ∂
∂x + r′ (η) sen ξ ∂ ∂
+
∂y ∂z ,
E = r(η) 2 , F = 0, G = r ′ (η) 2 + 1,
por lo tanto para este problema la lagrangiana vale
L = Ez2 1 + Gz2 2
,
2
y como Eξ = Gξ = Fξ = 0, tendremos dos integrales primeras de Z,
L y Lz1 = Ez1,
y si consideramos una geodésica con vector tangente
T = z1(T ) ∂
∂ξ + z2(T ) ∂
∂η ,
que forme un ángulo θ con la circunferencia paralelo, de vector tangente
, se tiene el siguiente resultado.
∂
∂ξ
Teorema de Clairaut 7.41 La función r cos θ es constante a lo largo de
cada geodésica.
Demostración. Es una simple consecuencia de que
T · ∂ξ
r cos θ = |∂ξ|
|T | · |∂ξ|
= T · ∂ξ
|T | = z1(T )E
2L(T ) = Lz1
√ 2L (T ).

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 519
7.11.2. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud
Si ahora consideramos la nueva Lagrangiana (que es diferenciable
fuera del cerrado {zi = · · · = zn = 0})
n
L[x1, · · · , xn, z1, · · · , zn] = zizjgij,
i,j=1
que corresponde al problema de minimizar la longitud de la curva que
une dos puntos de la variedad, tendremos que L no define un difeomorfismo,
pues |Lzizj | = 0 ya que para la anterior lagrangiana L =
(1/2) n
i,j=1 zizjgij, Lzi = gijzj y HL = ziLzi = 2L, ahora bien
Lzj +
L 2 = 2L = HL ⇒ LH(L) = HL = L 2 ⇒
n
HL = L ⇒
= L ⇒
n
i
ziLzizj
= Lzj ⇒
i
n
i
ziLzi
ziLzizj
= 0,
además se sigue también que la función energía en este caso es nula,
pues HL = L. Sin embargo, por (7.38), pág.515, se tiene que el campo
geodésico Z también es un campo lagrangiano para L, pues en términos
de la anterior lagrangiana
2L = L 2 ⇒ Lzi = L · Lzi, Lxi = L · Lxi
⇒ L · Lxi = Lxi = ZLzi = L · ZLzi,
por lo que Z es Lagrangiano ya que es de segundo orden y
ZLzi = Lxi ,
además (7.38) nos asegura que las geodésicas satisfacen las ecuaciones de
Euler–Lagrange para la lagrangiana L = zizjgij, pero la cuestión
que nos importa es si también se tiene el recíproco, en particular si las
curvas extremales en el problema de minimizar la longitud de las curvas
de la variedad que pasan por dos puntos fijos, son geodésicas. Observemos
que el problema que tenemos con esta lagrangiana es que el campo
lagrangiano existe pero no es único. No obstante se tiene el siguiente
resultado que se basa en que la longitud de una curva no depende de la
parametrización de la curva.

520 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Teorema 7.42 Si una curva satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange
para la lagrangiana L = zizjgij, es una geodésica reparametrizada.
Demostración. Sea la curva σ(t) = (xi(t)) solución de las ecuaciones
de Euler–Lagrange, entonces
⎛
d gijx
⎝
dt
′ j
gkjx ′ kx′ ⎞
∂gkj
∂xi ⎠ =
j
x′ kx′ j
2 gkjx ′ kx′ ,
j
y si consideramos el parámetro longitud de arco
t s(t) = gkjx ′ kx′ jdt, a
y la reparametrización de nuestra curva (yi(s)), tal que yi[s(t)] = xi(t),
en cuyos términos la ecuación anterior se expresa
d
gijy
dt
′ j[s(t)] =
∂gkj
∂xi y′ k [s(t)]y′ j [s(t)]s′ (t)
,
2
es decir
d
gijy
ds
′ j = 1 ∂gkj
y
2 ∂xi
′ ky ′ j,
lo cual significa que (yi(s)) satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange,
para la lagrangiana L = (1/2) n i,j=1 zizjgij y por tanto es una
geodésica.
La lagrangiana anterior es un caso particular en la que h = 0. A
continuación caracterizamos estas Lagrangianas.
Proposición 7.43 h = 0 para una Lagrangiana L si y sólo si L(λDx) =
λL(Dx), para todo λ > 0. Además para estas lagrangianas la acción
I(σ) =
b
a
L(σ, σ ′ )dt,
no depende de la parametrización, es decir que si consideramos una reparametrización
suya γ[s(t)] = σ(t), con s ′ (t) > 0, s(a) = a ′ y s(b) = b ′ ,
entonces
b
a
L(σ, σ ′ )dt =
b ′
a ′
L(γ, γ ′ )ds,
y si una curva σ(t) = (xi(t)) satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange,
cualquier reparametrización suya, con s ′ (t) > 0, también.

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 521
Demostración. Como el grupo uniparamétrico de H es τt(Dx) =
e t Dx, tendremos que
y si L(λDx) = λL(Dx) entonces
HL(e t Dx) = (L ◦ τDx )′ (t),
L[τDx (t)] = L(et Dx) = e t L(Dx),
y para t = 0 HL(Dx) = L(Dx), es decir h = 0. Recíprocamente si h = 0
L(e t Dx) = HL(e t Dx) = (L ◦ τDx) ′ (t),
es decir que para f(t) = L ◦ τDx , f ′ (t) = f(t) y por tanto f(t) = f(0) e t .
Para ver la segunda parte lo haremos en coordenadas en las que la
condición anterior se expresa de la forma L(x, λz) = λL(x, z), en cuyo
caso se tiene como fácilmente puede demostrar el lector que
Lxi(x, λz) = λLxi(x, z), Lzi(x, λz) = Lzi(x, z),
y por una parte se tiene que para γ[s(t)] = σ(t), con s ′ (t) > 0, s(a) = a ′
y s(b) = b ′ ,
b
a
L(σ, σ ′ )dt =
=
=
b
L(γ[s(t)], γ
a
′ [s(t)]s ′ (t))dt
b
L(γ[s(t)], γ
a
′ [s(t)])s ′ (t)dt
′
b
a ′
L(γ, γ ′ )ds,
y si σ(t) = (xi(t)) es una curva que satisface
d
dt Lzi (σ, σ′ ) = Lxi (σ, σ′ ),
y γ[s(t)] = σ(t), con s ′ > 0, entonces
y por tanto
d
dt Lzi(γ, γ ′ s ′ ) = Lxi(γ, γ ′ s ′ ),
d
ds Lzi (γ, γ′ ) = Lxi (γ, γ′ ).

522 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
7.11.3. Principio de Maupertuis
Principio de Maupertuis 7.44 Si (σ(t), σ ′ (t)) es una curva que da un
valor extremo a b
a L dt, entonces h(σ, σ′ ) = E es constante y σ también
da un valor extremo a la nueva acción “truncada”
b
a
HL dt,
si nos restringimos a las curvas γ en las que h(γ, γ ′ ) = E (y por supuesto
que γ(a) = p, γ(b) = q, para nuestros puntos fijos p y q).
Pero es más: σ da un valor extremal a
t2
t1
HL dt,
si nos restringimos a las curvas γ para las que h(γ, γ ′ ) = E y γ(t1) = p,
γ(t2) = q, con t1 < t2 en el dominio de γ, sin condiciones.
Demostración. (σ(t)) satisface las ecuaciones de Lagrange y por
(7.35) h(σ, σ ′ ) = E es constante, por lo tanto la misma curva dará un
valor extremo a la acción
b
a
(L + h)dt =
b
a
HLdt,
si nos restringimos a las curvas γ en las que h(γ, γ ′ ) = E.
Veamos la segunda parte, para ello consideremos un desplazamiento
infinitesimal de σ en las condiciones del enunciado, que podemos dar con
una familia de curvas, parametrizada por un parámetro λ, tales que
σλ : [t1(λ), t2(λ)] → V,
σλ(t1(λ)) = p, σλ(t2(λ)) = q, h(σλ(t), σ ′ λ(t)) = E,
t1(0) = a, t2(0) = b, σ0(t) = σ(t),
de modo que tanto las funciones ti(λ) como σ(t, λ) = σλ(t), sean diferenciables.
Ahora sea
G(λ) =
=
t2(λ)
t1(λ)
t2(λ)
t1(λ)
HL[σλ(t), σ ′ λ(t)]dt
L[σλ(t), σ ′ λ(t)]dt +
t2(λ)
t1(λ)
h[σλ(t), σ ′ λ(t)]dt
= F [t2(λ), λ] − F [t1(λ), λ] + E[t2(λ) − t1(λ)],

para la función
7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 523
F (t, λ) =
t
c
L[σλ(t), σ ′ λ(t)]dt,
siendo por ejemplo c = (a + b)/2, (que por la continuidad de las ti, para
λ suficientemente pequeño c ∈ [t1(λ), t2(λ)]) y se tiene que
G ′ (0) = Ft[b, 0]t ′ 2(0) + Fλ[b, 0] − Ft[a, 0]t ′ 1(0) − Fλ[a, 0]+
+ E[t ′ 2(0) − t ′ 1(0)] =
= L[σ(b), σ ′ (b)]t ′ b
∂
2(0) +
a ∂λ L[σλ(t), σ ′ λ(t)] |λ=0dt−
− L[σ(a), σ ′ (a)]t ′ 1(0) + E[t ′ 2(0) − t ′ 1(0)],
y se sigue que G ′ (0) = 0 pues σ satisface las ecuaciones de Euler–
Lagrange, por tanto
b
a
∂
∂λ L[σλ(t), σ ′ λ(t)] |λ=0dt =
= b
Lxi
a
[σ(t), σ′ (t)] ∂σi
∂λ (t, 0) + Lzi [σ(t), σ′ (t)] ∂2
σi
(t, 0) dt
∂t∂λ
= b
[Lxi − ∂ ∂σi
Lzi]
∂t ∂λ (t, 0)dt + Lzi[σ(t), σ ′ (t)] ∂σi
b
(t, 0)
∂λ
a
= Lzi [σ(b), σ′ (b)] ∂σi
∂λ (b, 0) − Lzi [σ(a), σ′ (a)] ∂σi
(a, 0)
∂λ
= HL[σ(a), σ ′ (a)]t ′ 1(0) − HL[σ(b), σ ′ (b)]t ′ 2(0)
pues σ(t(λ), λ) = cte, por tanto derivando en λ = 0
∂σi
∂λ (a, 0) = −σ′ i(a)t ′ 1(0),
∂σi
∂λ (b, 0) = −σ′ i(b)t ′ 2(0).
7.11.4. Curvas de mínima acción y geodésicas
Consideremos una variedad Riemanniana V, en ella una función, que
llamaremos energía potencial U ∈ C ∞ (V) y la Lagrangiana
es decir en coordenadas
L(Dx) = (1/2)Dx · Dx − U(x) = T − U,
L[x1, · · · , xn, z1, · · · , zn] = 1
2
⎛
⎝
n
i,j=1
zizjgij
⎞
⎠ − U(x),
a

524 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
entonces si σ da un valor extremal a la acción
b
a
Ldt =
b
a
(T − U)dt,
y σ ′ = 0, entonces satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange y por tanto
la energía, que en este caso es suma de las energías cinética y potencial
h = HL − L = 2T − L = T + U
es constante en ella h(σ, σ ′ ) = E y por el principio de Maupertuis también
es extremal de la nueva acción “truncada”
b
a
(HL)dt =
=
=
=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
√ √
2T dt = 2T 2T dt
a
n
zizjgij 2(h − U)dt
i,j=1
n
i,j=1
zizjgij 2(E − U)dt
n
zizjgijdt,
i,j=1
si nos restringimos a las curvas φ tales que φ(a) = p, φ(b) = q y h(φ, φ ′ ) =
E (por tanto T + U = E y U < E), para la métrica
gij = 2(E − U)gij,
en el abierto {x ∈ V : U(x) < E}. Ahora como la nueva acción es una
longitud de una curva que pasa por p y q —que por (7.43) no cambia
su valor si reparametrizamos la curva— y como dada una curva φ, que
pase por p y q siempre podemos conseguir una reparametrización suya
χ[t] = φ[s(t)], para la que h[χ, χ ′ ] = E, —pues basta considerar
h[χ, χ ′ ] = (T + U)[φ[s(t)], φ ′ [s(t)]s ′ (t)]
= T [φ[s(t)], φ ′ [s(t)]s ′ (t)] + U(φ[s(t)])
= s ′ (t) 2 T [φ[s(t)], φ ′ [s(t)]] + U(φ[s(t)]) = E,
que define una ecuación diferencial s ′ (t) = F [s(t)] (y basta considerar
la solución que pasa por s(0) = a)—, tendremos que la restricción a las

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 525
curvas en las que h = E es constante es superflua, por lo que nuestra
curva inicial σ da un valor extremal a la acción
b
n
zizjgijdt,
a
i,j=1
sin restricciones, y por (7.42) es una geodésica reparametrizada de la
métrica gij. En definitiva hemos demostrado el siguiente resultado (veremos
desde otro punto de vista este resultado en el apéndice).
Teorema 7.45 En una variedad Riemanniana, si una curva σ da un
valor extremal a la acción definida por la lagrangiana
L(Dx) = (1/2)Dx · Dx − U(x),
tiene energía constante E = h(σ, σ ′ ) y es una geodésica reparametrizada
para la nueva métrica
g(Dx, Ex) = 2[E − U(x)]Dx · Ex.
Corolario 7.46 La trayectoria de una partícula que en R 3 satisface la
ley de Newton F = ma, para una fuerza F que deriva de un potencial
U(x), tiene energía (cinética mas potencial) constante E y es una curva
geodésica reparametrizada, de la métrica
gij = 2m[E − U(x)]δij.
7.11.5. El Teorema de Noëther.
Consideremos un campo tangente D ∈ D(V) con grupo uniparamétrico
Xs, entonces si en coordenadas D = fi∂xi y F = (fi)
Xs(p) = p + sF (p) + o(s 2 ).
Consideremos ahora una Lagrangiana L y supongamos que D la deje
invariante, en el sentido de que para cada s y cada Bp ∈ T (V)
lo cual implica que para cada curva
L(Bp) = L(Xs∗Bp),
σ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),

526 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y la nueva curva transformada por el grupo
γs(t) = Xs[σ(t)],
se tiene, en términos de coordenadas,
L(σ(t), σ ′ (t)) = L(γs(t), γ ′ s(t)),
y por tanto para cualesquiera t0, t1 de su dominio, es constante la función
en s
t1
L(γs(t), γ ′ t1
s(t))dt =
t0
t0
L(σ + sF + o(s 2 ), σ ′ + sF ′ + o(s 2 ))dt
y si denotamos fi(t) = fi[σ(t)] y derivamos esta expresión en s = 0,
tendremos que
0 =
t1
t0
( Lxi(σ, σ ′ )fi + Lzi(σ, σ ′ )f ′ i)dt
= t1 d
(Lxi −
dt Lzi )fidt + t1
( d
dt Lzifi + Lzif ′ i)dt
t0
= t1 d
(Lxi −
dt Lzi )fidt + t1
(Lzifi) ′ dt,
t0
y si σ es una curva que satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange, tendremos
que Lzi (σ(t), σ′ (t))fi(σ(t)),
es constante en t. Este resultado constituye el Teorema de Noëther que
a continuación demostramos de forma rigurosa e intrínseca. Pero antes
veamos el siguiente Lema.
Lema 7.47 Si D ∈ D(T V) y Z es Lagrangiano entonces
t0
t0
Z(ωLD) = DL − ωL(D L Z).
Demostración. En coordenadas se tiene que ωLZ = LziZxi =
HL, por lo tanto
Z(ωLD) = Z L ωL(D) + ωL(Z L D)
= (iZdωL + diZωL)(D) − ωL(D L Z)
= (−dh + d(HL))(D) − ωL(D L Z) = DL − ωL(D L Z).

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 527
Corolario 7.48 Si Z es un campo Lagrangiano de segundo orden y D ∈
D(V) es un campo con subida D ∈ D(T V), entonces
Z(ωLD) = DL.
Demostración. Es consecuencia del resultado anterior y de que
(D L Z)xi = 0 (ver (7.61), pág.542), pues
ωL(D L Z) = Lzi(D L Z)xi = 0.
Teorema de Noëther 7.49 Si Z es un campo Lagrangiano de segundo
orden y D ∈ D(V) es un campo cuya subida deja invariante la lagrangiana,
es decir D(L) = 0, entonces la función ωLD, es una integral primera
de Z.
Demostración. Por el resultado anterior.
Nota 7.50 Observemos que en términos de coordenadas la integral primera
del Teorema de Noëther es
n
ωLD = fiLzi ,
i=1
y por tanto no es necesario calcular D, sino que basta con conocer D. El
teorema pide no obstante que DL = 0 y esto puede precisar el cálculo
de D, sin embargo si D es una simetría del problema en cuestión y la
lagrangiana es canónica, esa condición se satisface automáticamente.
Nota 7.51 Observemos que el Teorema de Noëther es una simple
consecuencia de la definición de campo Lagrangiano (cuando es de segundo
orden que es de los que habla el Teorema), o con mas precisión,
de su caracterización (7.38), pues el campo Z es Lagrangiano si y sólo si
Z(Lzi ) = Lxi ,
ahora bien en nuestra variedad V elegimos el sistema de coordenadas xi
que queramos, a partir de él construimos las (xi, zi) correspondientes en
el fibrado tangente y para esas coordenadas es para las que se satisface
la igualdad anterior (recordemos que el que Z sea de segundo orden es
intrínseco, no depende de coordenadas). Pues bien, si nosotros tenemos
un campo D tal que D(L) = 0, lo único que hay que hacer es elegir un

528 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
sistema de coordenadas xi, en el que D = ∂xj, en cuyo caso D = ∂xj
y lo único que decimos es que si Lxj = 0, entonces Lzj es una integral
primera de Z y esa es la función de la que habla el Teorema, pues en
este sistema de coordenadas
ωLD = Lzi dxi(∂xj) = Lzj .
Por último el Lema (7.47) nos da un Teorema de Noëther más general
en el siguiente sentido: si D es un campo del fibrado tangente T (V), tal
que
DL = 0 y ωL[D, Z] = 0 ⇒ Z(ωLD) = 0.
Ejemplo 7.11.2 El Problema de los dos cuerpos El problema de los dos
cuerpos, visto en la sección 6.13, pág.404, tiene asociada la lagrangiana
L = z2 1 + z 2 2
2
+
c
x 2 + y 2 ,
pues en este caso H(L) = z 2 1 + z 2 2, por tanto
h = z2 1 + z 2 2
2
−
c
x 2 + y 2 ,
ωL = Lz1 dx + Lz2 dy = z1dx + z2dy,
y como el campo Hamiltoniano correspondiente a h
∂ ∂
Z = z1 + z2
∂x ∂y −
xc
x2 + y2 3
∂ yc
−
∂z1 x2 + y2 3
∂
,
∂z2
satisface ZLz1 = Zz1 = Lx, ZLz2 = Zz2 = Ly, es el campo lagrangiano.
Es natural pensar que el campo de los giros
D = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y ,
deje invariante nuestra Lagrangiana, pues es una simetría de nuestro
problema, y es cierto pues su subida es
D = −y ∂ ∂
+ x
∂x ∂y
− z2
∂ ∂
+ z1 ,
∂z1 ∂z2
por lo tanto el teorema anterior nos asegura que
u2 = ωL(D) = −z1y + z2x,

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 529
es integral primera de Z (ver (7.7), pág.486). Es decir que para cualquier
trayectoria
−x ′ y + y ′ x = cte,
lo cual significa en coordenadas polares
ρ 2 θ ′ = cte,
que según vimos en la sección 4.14.4, pág.265, es la segunda ley de Kepler.
Recordemos que ρθ ′ es la componente de la velocidad de la masa m en la
dirección perpendicular a la línea que une ambas masas, por lo que este
resultado se conoce como la ley de conservación del momento angular
(ver pág.404).
Ahora bien en la página 486 encontramos tres integrales primeras de
nuestro campo hamiltoniano Z
u1 = h = z2 1 + z 2 2
2
− c
ρ , u2 = −z1y + z2x, u3 = c(x/r) − z2u2,
para ρ = x2 + y2 , siendo la tercera una de las componentes del vector
de Runge–Lenz (ver la pág.405) . La cuestión es si u3 se obtiene
también por un invariante Noëther y la respuesta es que sí, aunque la
demostración la hagamos al revés (con lo cual queda por entender) pues
ya conocemos la función, para ello hacemos uso de la generalización del
Teorema de Noëther (7.51), pues lo que no hay es un campo subido que
nos la dé, sin embargo podemos encontrar un campo D verificando
DL = 0, ωL[D, Z] = 0 y ωLD = z1(Dx) + z2(Dy) = cx
− z2u2.
ρ
para el que tomamos por la tercera ecuación
Dx = cx
, Dy = −u2,
ρz1
y para que se verifique la segunda, [D, Z]xi = 0 lo cual equivale a que
Dzi = Z(Dxi), es decir,
cx
Dz1 = Z(Dx) = Z =
ρz1
c cx2 cxyz2
− −
ρ ρ3 z1ρ3 + c2x2 z2 ,
1ρ4 Dz2 = Z(−u2) = 0,
y para este campo tenemos (la suerte de que)
DL = − cx cx
ρz1 ρ3 + (xz2 − yz1) cy
+
ρ3 c
ρ
cx2 cxyz2
− −
ρ3 z1ρ3 + c2x2 z2 1ρ4
z1 = 0.

530 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
A continuación vamos a aplicar el resultado anterior a distintas variedades
Riemannianas bidimensionales, en las que consideraremos un
sistema de coordenadas (u, v) y la lagrangiana de la energía cinética
L = 1
2
n
i,j=1
zizjgij = Ez2 1 + 2F z1z2 + Gz2 2
.
2
En cuyo caso hemos visto que la energía es h = L y el campo lagrangiano
es el campo geodésico Z. Además para cada simetría de la superficie
D = f∂u + g∂v
ωL(D) = fLz1 + gLz2 ,
es una integral primera de Z por el Teorema de Noëther.
Ejemplo 7.11.3 La esfera. Consideremos la esfera y las coordenadas
esféricas (ϕ, θ),
x = cos ϕ sen θ,
y = sen ϕ sen θ,
z = cos θ,
⇒
∂
∂
∂
= − sen ϕ sen θ + cos ϕ sen θ
∂ϕ ∂x ∂y ,
∂
∂
∂ ∂
= cos ϕ cos θ + sen ϕ cos θ − sen θ
∂θ ∂x ∂y ∂z ,
⇒ E = sen 2 θ, F = 0, G = 1,
por lo tanto para este problema la lagrangiana vale
L = sen2 θz2 1 + z2 2
⇒ Lz1
2
= sen2 θz1, Lz2 = z2.
Ahora bien la esfera tiene tres campos tangentes cuyos grupos uniparamétricos
la dejan invariante: los tres giros espaciales
y ∂ ∂ ϕ cos θ ∂ ∂
− z = −cos − sen ϕ
∂z ∂y sen θ ∂ϕ ∂θ ,
z ∂ ∂ ϕ cos θ ∂ ∂
− x = −sen + cos ϕ
∂x ∂z sen θ ∂ϕ ∂θ ,
x ∂ ∂ ∂
− y =
∂y ∂x ∂ϕ ,
(compruébese que para ellos DL = 0), lo cual implica que las tres funciones
−z1 cos ϕ cos θ sen θ − z2 sen ϕ,
−z1 sen ϕ cos θ sen θ + z2 cos ϕ,
z1 sen 2 θ,

7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther 531
son integrales primeras del campo geodésico. Ahora bien esto significa
que a lo largo de una trayectoria geodésica r(t) = (x(t), y(t), z(t)), las
componentes del momento angular r(t) × r ′ (t)
yz ′ − zy ′ = −ϕ ′ cos ϕ cos θ sen θ − θ ′ sen ϕ,
zx ′ − xz ′ = −ϕ ′ sen ϕ cos θ sen θ + θ ′ cos ϕ,
xy ′ − yx ′ = ϕ ′ sen 2 θ,
son constantes y si su valor es respectivamente a, b y c, entonces nuestra
geodésica está en el plano perpendicular al momento angular, ax + by +
cz = 0, pues
ax + by + cz = (yz ′ − zy ′ )x + (zx ′ − xz ′ )y + (xy ′ − yx ′ )z = 0,
por tanto nuestra geodésica, que está en la esfera y en el plano, está en
un círculo máximo. Por último observemos que la energía, que también
es integral primera de Z, deberíamos de poder ponerla en función de
ellas y así es, pues es
a 2 + b 2 + c 2
2
Ejemplo 7.11.4 El cono. Si nuestra superficie es el cono, x 2 + y 2 = z 2 y
consideramos coordenadas polares
x = ρ cos θ,
y = ρ sen θ,
z = ρ,
la lagrangiana vale
⇒
.
∂ ∂ ∂ ∂
= cos θ + sen θ +
∂ρ ∂x ∂y ∂z ,
∂
∂ ∂
= −ρ sen θ + ρ cos θ
∂θ ∂x ∂y ,
⇒ E = 2, F = 0, G = ρ 2 ,
L = z 2 1 + ρ2 z 2 2
2
⇒ Lz1 = 2z1, Lz2 = z2ρ 2 ,
y podemos considerar el campo de los giros ∂θ que nos deja el cono
invariante, (compruébese que para este campo DL = 0), esto implica
que
z2ρ 2 ,
es una integral primera del campo geodésico. Compruébese que es el
módulo del momento angular dividido por √ 2.

532 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.11.2 Aplicar el teorema de Noëther, como en los ejemplos anteriores,
para el plano, para el cilindro, para el toro y en general para una superficie
de revolución.
7.12. Cálculo de variaciones en Jets
7.12.1. Jets de aplicaciones diferenciables
En (6.9.3), pág.397 estudiamos el jet 1 de funciones, el cual es un
caso particular de jets de aplicaciones.
Dados dos variedades diferenciables U de dimensión n y V de dimensión
m, consideremos para cada x ∈ U e y ∈ V el conjunto
J 1 xy = Hom(Tx(U), Ty(V)) = {φxy : Tx(U) → Ty(V), lineales} Fxy/ ∼,
para Fxy el espacio de las aplicaciones diferenciables F : Ux → Vy, para
Ux un entorno abierto de x y Vy un entorno abierto de y, tales que
F (x) = y, en el que definimos la relación de equivalencia
F ∼ G ⇔ F (x) = G(x) = y, F∗ = G∗ : Tx(U) → Ty(V).
Definición. Definimos el jet 1 de aplicaciones entre U y V como la unión
de todos estos conjuntos
J 1 (U, V) =
J 1 xy,
ahora consideramos las proyecciones
x∈U,y∈V
π1 : J 1 (U, V) → U π1(φxy) = x, π2 : J 1 (U, V) → V π2(φxy) = y.
Para cada punto φxy del jet, consideremos un entorno coordenado
(U, xj) de x ∈ U y otro (V, yi) de y ∈ V y el conjunto (entorno abierto
(U) ∩ π−1(V
) con las funciones (coordenadas)
coordenado de φxy) π −1
1
2
xi(φpq) = xi(p), yj(φpq) = yj(q), zij(φpq) = φpq(∂xj )yi,

7.12. Cálculo de variaciones en Jets 533
las cuales establecen una biyección (homeomorfismo) entre π −1
1 (U) ∩
π −1
2 (V ) y un abierto Un × Vm × Rnm de Rn+m+nm . Se demuestra que
estas cartas definen una estructura diferenciable y que para ella π1 y π2
son proyecciones regulares.
7.12.2. Distribución canónica
En el jet podemos definir una distribución canónica, considerando
en cada punto φ, el núcleo ∆φ, de la aplicación lineal entre los espacios
tangentes (para y = π2(φ))
es decir los vectores tales que
Tφ(J 1 (U, V)) → Ty(V),
Dφ → π2∗(Dφ) − φ(π1∗Dφ),
π2∗(Dφ) = φ(π1∗Dφ),
cuyas ecuaciones en términos de coordenadas son
θi = dyi −
n
zijdxj = 0,
i=1
por tanto el sistema de Pfaff asociado es P = ∆ 0 =< θ1, . . . , θn >.
A veces —como veremos a continuación—, es preferible ver los elementos
del jet, no como aplicaciones lineales φ: Tx(U) → Ty(V), sino
como su gráfica en Tx(U)×Ty(V) ∼ T (x,y)(U ×V), es decir como el subespacio
de dimensión n = dim U, Hφ = {(Tx, φ(Tx)) : Tx ∈ Tx(U)} (observemos
que no son todos los subespacios de dimensión n de T (x,y)(U ×V),
sino sólo los que se proyectan en Tx(U)). En estos términos la distribución
∆ se expresa de forma mas sencilla; en cada punto del jet, entendido
como subespacio H,
(7.19) DH ∈ ∆H ⇔ π∗DH ∈ H,
para π : J 1 (U, V) → U × V, π(H) = (x, y).
Proposición 7.52 Dado un campo E ∈ D(U × V) existe un único campo
Ē ∈ D(J 1 (U, V)), que llamaremos subida de E al jet, tal que para
π(φxy) = (x, y), π∗ Ē = E y ĒL ∆ ⊂ ∆.

534 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Demostración. Como decíamos anteriormente en este caso es preferible
ver los elementos del jet, no como aplicaciones lineales sino como
subespacios H ⊂ T (x,y)(U ×V), de dimensión n = dim U. En estos términos
si σt es el grupo uniparamétrico de E el de Ē es τt(Hφ) = σt∗(Hφ),
para los t para los que este subespacio no es vertical. Obviamente π∗Ē =
E, pues π ◦ τt = σt ◦ π y por (7.19) ĒL∆ ⊂ ∆, pues si DH ∈ ∆H,
τt∗DH ∈ ∆τtH, ya que
π∗τt∗DH = σt∗π∗DH ∈ σt∗H = τt(H).
Unicidad: Si hubiese dos campos, su diferencia Ē verificaría
π∗ Ē = 0, ĒL θi = fikθk, para todo i
de la primera se sigue que Ēxj = Ēyi = 0, por tanto ĒL θi = − Ēzijdxj
y por la segunda y esto fik = ĒL θi(∂yk ) = 0, lo cual implica Ēzij = 0 y
por tanto Ē = 014 .
Nota 7.53 El jet 1 de funciones estudiado en (6.9.3), pág.397, corresponde
al caso en que V = R en cuyo caso tenemos una única θ = dy− zidxi,
que es la que vimos en la Nota (6.57), pág.398 y que aparece de forma
natural en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales de primer
orden.
Por otro lado las lagrangianas sobre curvas estudiadas en el Teorema
(7.32), pág.497, corresponden intrinsecamente al caso en que U = R —y
por tanto son lagrangianas definidas en el jet 1 de curvas—. En este caso
tenemos n 1–formas que son
dy1 − z1dt, . . . , dyn − zndt.
Mientras que las lagrangianas estudiadas en el Teorema (7.33), pág.499,
corresponden intrínsecamente de nuevo al caso en que V = R y por tanto
son lagrangianas definidas en el jet 1 de funciones.
14Una cuenta análoga nos muestra cómo es en coordenadas la subida de un campo
E = fj∂xj + gi∂yi . Por una parte Ēxj = fj y Ēyi = gi y por otra tenemos que
ĒLθi = fikθk; ahora igualando coeficientes en esta ecuación tenemos
giy − k
zijfjy = fik, gix k j − Ēzij −
zikfkx = − j
fikzkj,
j
k
k
que nos da el valor de Ēzij = gixj −
k zikfkx + j
k (giy − k
s zisfsyk )zkj.

7.12. Cálculo de variaciones en Jets 535
Proposición 7.54 Dada una aplicación diferenciable F : U → V , con
U ⊂ U y V ⊂ V abiertos,
S = {F∗ : Tx(U) → T F (x)(V) : x ∈ U},
es una subvariedad n–dimensional del jet J 1 (U, V), difeomorfa a U por
π1 y tangente a la distribución ∆. Además podemos definir la aplicación
¯F : U → J 1 , ¯ F (x) = F∗, tal que ¯ F ∗ θi = 0 y π2 ◦ ¯ F = F . Recíprocamente
si φ: U → J 1 es una aplicación diferenciable tal que φ ∗ θi = 0, entonces
existe una única F : U → V, tal que ¯ F = φ.
Demostración. En coordenadas se tiene que
S = {yi(F∗) = yi(F (x)) = fi(x), zij(F∗) = ∂fi
(x)},
∂xj
por tanto es subvariedad, tiene coordenadas (xj) y
θ i|S = (dyi − zijdxj) |S = 0.
Para el recíproco, como π2 ◦ ¯ F = F , basta definir F (x) = π2[φ(x)] y se
tiene que
xj[ ¯ F (x)] = xj(x) = xj[φ(x)], yi[ ¯ F (x)] = yi[φ(x)], zij[ ¯ F (x)] = zij[φ(x)],
pues para la última tenemos
F ∗ zijdxj = F ∗ dyi = φ ∗ dyi = φ ∗ zijdxj.
Definición. Llamamos Lagrangiana a cualquier función L en el jet.
Consideramos que U tiene una orientación definida por una n–forma
ωU ∈ Ωn(U), que llevamos al jet por π1, definiendo Ω = π ∗ 1ωU.
Definición. Dada una Lagrangiana L, diremos que una aplicación diferenciable
F : U → V da un valor extremal al problema variacional
definido por la n–forma LΩ si para 15
S = {F∗ : Tx(U) → T F (x)(V) : x ∈ U},
y todo campo D ∈ D, que deje invariante el sistema de Pfaff, DLP ⊂ P
—a los que se llama transformaciones infinitesimales de contacto—, y
con soporte compacto, se tiene
D L (LΩ) = 0.
15 A veces también llamaremos extremal a la subvariedad S.
S

536 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Nota 7.55 Obviamente los extremales no cambian si cambiamos la n–
forma por LΩ + θi ∧ Ωi, para cualesquiera n − 1–formas Ωi, pues
D L (LΩ + θi ∧ Ωi) |S = D L (LΩ) |S + (D L θi ∧ Ωi + θi ∧ D L Ωi) |S
ya que D L θi ∈ P y P |S = 0.
= D L (LΩ) |S,
Lema Fundamental 7.56 Dada una Lagrangiana L, existe una única
Θ = LΩ + θi ∧ Ωi, con dΘ = 0 módulo las θi.
Demostración. Se tiene que dΩ = 0, por tanto d(LΩ) = dL ∧ Ω es
una n + 1–forma múltiplo de Ω, por lo tanto combinación única de
dyi ∧ Ω = θi ∧ Ω, dzij ∧ Ω = (i∂x j dθi) ∧ Ω,
ahora bien dθi = dxj ∧ dzij y Ω = f(x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn, por tanto
dθi ∧ Ω = 0 y se sigue que 16
d(LΩ) = dL ∧ Ω ≡
fijdzij ∧ Ω =
fij(i∂x dθi) ∧ Ω
j
i,j
=
(i fij∂x dθi) ∧ Ω =
j
(iEidθi) ∧ Ω
i
= −
dθi ∧ iEiΩ ≡ −d(
θi ∧ iEiΩ),
i
y el resultado se sigue para Θ = LΩ + θi ∧ Ωi, siendo Ωi = iEi Ω,
Ei = fij∂xj y fij = Lzij .
Definición. A la n–forma del resultado anterior la llamamos n–forma
de Poincare–Cartan y se expresa
Θ = LΩ + θi ∧ Ωi = LΩ + θi ∧ iEiΩ, Ei =
16 Escribiremos ≡ cuando las igualdades sean módulo las θi.
i
i
i,j
n
j=1
Lzij ∂xj .

7.12. Cálculo de variaciones en Jets 537
Nota 7.57 Se sigue de (7.56) que existen n–formas γi tales que dΘ =
θi ∧ γi, veamos quienes son
dΘ = dL ∧ Ω + dθi ∧ Ωi − θi ∧ dΩi =
= Lyidyi ∧ Ω + Lzij dzij ∧ Ω
+ ( dxj ∧ dzij) ∧ Ωi − θi ∧ dΩi =
= Lyiθi ∧ Ω − θi ∧ dΩi =
= θi ∧ (Lyi Ω − dΩi) ⇒ γi = Lyi Ω − EL i Ω,
pues se tiene que iEi(dxj ∧ dzij ∧ Ω) = 0 lo cual implica
0 = iEi (dxj∧dzij)∧Ω+(dxj∧dzij)∧iEi Ω = Lzij dzij∧Ω+(dxj∧dzij)∧iEi Ω.
Lema 7.58 Dada una variedad orientada y γ ∈ Λn tal que para toda
función de soporte compacto ρ, ργ = 0, entonces γ = 0.
Demostración. Sea x un punto y consideremos un entorno coordenado
orientado (U; xi), entonces en él γ = fdx1 ∧· · ·∧dxn y γx = 0 pues
f(x) = 0 ya que en caso contrario, si f(x) = a > 0, existe un entorno de
x, V ⊂ U, en el que f ≥ a/2 y tomando una ρ ≥ 0 con soporte en U y
ρ = 1 en un compacto K ⊂ V , entorno de x
0 =
U
lo cual es absurdo.
ρf dx1 · · · dxn ≥
K
ρf dx1 · · · dxn ≥ (a/2)m[K] > 0,
Teorema 7.59 En los términos de la aplicación diferenciable F y la subvariedad
S de (7.54), pág.535, los enunciados siguientes son equivalentes:
(i) F es un extremal del problema variacional.
(ii) Para todo campo D ∈ D, con soporte compacto y tal que DLP ⊂
P, se tiene
D L Θ = 0.
S

538 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
(iii) S satisface las Ecuaciones de Euler–Lagrange 17 :
γ i|S = (Lyi Ω − EL i Ω) |S = 0.
(iv) Para todo campo tangente E ∈ D, iEdΘ |S = 0.
Demostración. (i)⇔(ii) por (7.56) y la Nota (7.55).
(ii)⇒(iii): Si E ∈ D es de soporte compacto, podemos aplicar el corolario
(14.14) del Teorema de Stokes, (14.12), pág.974, pues S es orientada
e iEΘ |S es de soporte compacto, ya que S ∩ sop E es un compacto de
S pues es cerrado y su imagen por el homeomorfismo π1 es un cerrado
del compacto π1(sop E). Por tanto si además ELP ⊂ P, se tiene por (ii)
que
0 = E L
Θ = iEdΘ = θk(E)γk,
S
S
y si tomamos ρ(x)∂yi ∈ D(U × V), con ρ ≥ 0 de soporte compacto
arbitraria y su subida E = ρ∂yi + n ρxj
∂zij j=1 (ver el Lema (7.52) y la
nota a pie de la pág.534), para la que ELθk = Exj = 0, tendremos que
θk(E) = Eyk = ρδik y
0 = ργi,
S
por tanto se sigue del Lema (7.58), que γi|S = 0
(iii)⇒(iv) Por (7.57) dΘ = θi ∧ γi, por tanto para todo campo D,
iDdΘ = θi(D)γi − θi ∧ iDγi y θi|S = γi|S = 0.
(iv)⇒(ii) Sea D ∈ D, entonces por (iv) (iDdΘ) |S = 0, por tanto si
DLP ⊂ P y es de soporte compacto, se tiene por el Teorema de Stokes,
(ver (ii)⇒(iii))
diDΘ = 0 ⇒ D
S
S
L
Θ = iDdΘ + diDΘ = 0.
S
S
17En coordenadas estas ecuaciones son
n
Ly i =
j=1
S
Lz ij (log f)x j + ∂Lz ij
que se reducen en el caso particular de Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn, es decir f = 1, a
(7.20) Ly i =
n
j=1
∂Lz ij
,
∂xj
∂xj
,

7.12. Cálculo de variaciones en Jets 539
Corolario (Invariantes Noether) 7.60 Sea S extremal del problema variacional
y D ∈ D tal que D L Θ = 0, entonces diDΘ |S = 0.
Ejemplo 7.12.1 Consideremos el caso de una lagrangiana L, definida en
el jet 1 de curvas, y por tanto en el que U = R. En este caso tenemos en
coordenadas
Ω = dt, θ1 = dy1 − z1dt, . . . , θn = dyn − zndt,
Ei = Lzi∂t, Ωi = iEidt = Lzi ,
Θ = Ldt + Lzi θi,
dΘ = θi ∧ γi, γi = Lyidt − dLzi,
y por el resultado anterior una curva σ es extremal si en la subvariedad
S = {(t, σ(t), σ ′ (t))} que define en J1, γ i|S = 0, es decir se satisfacen las
ecuaciones de Euler–Lagrange
d
dt Lzi = Lyi.
Por último si L no depende de t, ∂ L t Θ = 0 y por el corolario tenemos
un invariante Noether que es la función energía
Θ(∂t) = L − Lzi zi = −h.
Ejemplo 7.12.2 Consideremos ahora el otro caso extremo: el de una
lagrangiana L, definida en el jet 1 de funciones, y por tanto en el que
V = R. En este caso tenemos en coordenadas
Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn, θ = dy − zjdxj,
E = Lzj ∂xj , Θ = LΩ + θ ∧ iEΩ,
dΘ = θ ∧ γ, γ = LyΩ − E L Ω,
y una función g es extremal si en la subvariedad S = {(x, g(x), gxj (x))}
que define en J1, γ |S = 0, es decir se satisfacen las ecuaciones de Euler–
Lagrange
Ly − ∂
Lzj = 0.
∂xj

540 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejemplo 7.12.3 Consideremos el problema de la cuerda vibrante y la lagrangiana
de la energía cinética menos la potencial (ver la lección 11.1.3,
pág.870)
L(t, x, y, z1, z2) = ρ
2 z2 1 − T
2 z2 2,
en este caso Ω = dt ∧ dx, θ = dy − z1dt − z2dx, E = Lz1∂t + Lz2∂x y la
forma de Poincaré–Cartan es
Θ = LΩ + θ ∧ iEΩ = −LΩ + Lz1dy ∧ dx + Lz2dt ∧ dy
ρ
= −
2 z2 1 − T
2 z2
2 dt ∧ dx + ρz1dy ∧ dx + T z2dy ∧ dt,
y dΘ = θ ∧ γ, para
γ = LyΩ−E L Ω = E L (dx∧dt) = d(Ex)∧dt+dx∧d(Et) = T dt∧dz2+ρdx∧dz1,
por tanto una función y = y(t, x) es solución de la ecuación de Euler–
Lagrange si para la subvariedad S = {(t, x, y(t, x), yt(t, x), yx(t, x))} que
define
0 = (T dt∧dz2+ρdx∧dz1) |S = (T yxx−ρytt)(dt∧dx) ⇔ T yxx−ρytt = 0,
que es la ecuación de ondas. Ahora bien ∂ L t Θ = 0, y
ρ
2 y2 t − T
2 y2
x dx + T yx(ytdt + yxdx)
ρ
2 y2 t + T
2 y2
x dx + T yxytdt,
i−∂t Θ |S = Ldx + T z2dy |S =
=
por tanto tenemos un invariante Noether que es la energía pues
0 = di−∂t Θ |S =
ρ
2 y2 t + T
2 y2
x − (T yxyt)x dt ∧ dx ⇒
t
ρ
⇒
2 y2 t + T
2 y2
x = (T yxyt)x
e integrando y suponiendo que la solución y(t, x) en cada instante es de
soporte compacto —para lo cual basta que lo sean la posición y velocidad
en el instante inicial (ver el ejercicio (8.4.2), pág.617 ó la solución de la
t

7.13. Apéndice. El Campo geodésico 541
Ecuación de ondas de la pág.866)—, tendremos llamando
ρ
E(t) =
R 2 y2 t (t, x) + T
2 y2
x(t, x) dx,
E ′
ρ
(t) =
R 2 y2 t (t, x) + T
2 y2
x(t, x) dx = (T yxyt)xdx = 0.
t R
es decir la energía es constante.
7.13. Apéndice. El Campo geodésico
7.13.1. Subidas canónicas de un campo tangente.
Como en todo fibrado vectorial, el fibrado tangente T (V) (ver la
lección 6.6.1, pág.369), tiene un campo tangente especial H ∈ D[T (V)],
que llamamos campo de las homotecias, tal que para cada función f de
V, Hf = 0 y para cada 1–forma ω, Hω = ω, en coordenadas se expresa
H = ∂
zi
∂zi
(campo de las homotecias).
Consideremos un campo tangente D ∈ D(V). Si en un entorno coordenado
es D = fi∂xi, tendremos que sus curvas integrales σ(t) =
(xi(t)), satisfacen el sistema de ED
x ′ i(t) = fi[σ(t)],
en cuyo caso la curva (xi(t), zi(t) = x ′ i (t)) satisface
x ′ i = fi,
z ′ i = x ′′
i =
n ∂fi
j=1
∂xj
x ′ j =
n ∂fi
zj.
∂xj
j=1
A continuación definimos este sistema intrínsecamente.

542 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Definición. Llamaremos primera subida canónica al fibrado tangente, de
un campo tangente D ∈ D(V), con grupo uniparamétrico Xt, al campo
D ∈ D[T (V)], con grupo uniparamétrico Yt = Xt∗.
Ejercicio 7.13.1 Demostrar que si D es la subida canónica de un campo D ∈
D(V) al fibrado tangente, entonces:
i) π ◦ Yt = Xt ◦ π, lo cual equivale por (2.40), pág.106 a que π∗D = D.
ii) [H, D] = 0, para H el campo de las homotecias.
Proposición 7.61 Sea D = fi∂xi ∈ D(V). Entonces:
i) En coordenadas
D =
n
i=1
fi
⎛
n n
∂
+ ⎝
∂xi
i=1
j=1
zj
∂fi
∂xj
⎞
⎠ ∂
.
∂zi
ii) Si Z es un campo en el fibrado tangente, que define una ecuación de
segundo orden en V, entonces para la proyección π : T (V) −→ V y L una
lagrangiana
π∗[Z, D] = 0 y ωL[Z, D] = 0.
iii) Si para cada f ∈ C ∞ (V) definimos f ∈ C ∞ [T (V)], tal que f(Bp) =
Bpf, entonces
D f = Df.
iv) Si para cada ω ∈ Ω(V) definimos la función ω ∈ C ∞ [T (V)], tal que
ω(Bp) = ωpBp, entonces df = f y
D ω = D L ω.
v) Si E : C ∞ (V) −→ C ∞ [T V] es el campo universal, tangente a V con
soporte en T (V), entonces f = Ef.
Demostración. Lo veremos de dos formas.
i) Sea Ep = zi(∂xi)p un punto del fibrado tangente, entonces
DEpxi xi[Yt(Ep)] − xi(Ep)
= lím
t→0 t
= lím
t→0
DEpzi = lím
t→0
xi[Xt(p)] − xi(p)
= Dpxi = fi(p),
t
zi[Yt(Ep)] − zi(Ep)
t
n j=1 zj
∂ ] − zi
∂xj p
t
zi[Xt∗
= lím
t→0

ya que se tiene
7.13. Apéndice. El Campo geodésico 543
n
∂xi◦Xt (p) − δij
n
∂xj
∂fi
= zj lím
= zj (p),
t→0 t
∂xj
j=1
j=1
Xi(t, x) = xi +
t
0
t
fi[X(s, x)]ds
∂Xi
(t, x) = δij +
∂xj
0
n ∂fi ∂Xk
(s, x)ds
∂xk ∂xj
k=1
n
∂ ∂Xi
∂fi
(0, x) = (x)
∂t ∂xj
∂xk
∂Xk
(0, x) =
∂xj
∂fi
(x).
∂xj
k=1
ii) Como ωL no tiene componentes en dzi, lo segundo es consecuencia
de lo primero. Basta entonces demostrar que [Z, D]xi = 0, y por (i)
tenemos que
[Z, D]xi = Z(Dxi) − D(Zxi)
n ∂fi
= Zfi − Dzi = zj −
∂xj
j=1
n
j=1
zj
∂fi
∂xj
= 0.
iii) Basta aplicar (ii) sabiendo que f = Z(π∗f). iv) Basta considerar que EBp = Bp.
Veamos otra forma de demostrarlo. Primero demostramos (ii). Sea
Tp un punto del fibrado tangente y f ∈ C∞ (V), entonces aplicando (7.18)
π∗(D L Z)Tp f = lím
t→0
= lím
t→0
= lím
t→0
π∗(Y−t)∗Z Yt(Tp) − π∗ZTp
X−t∗π∗Z Yt(Tp) − Tp
t
t
X−t∗Xt∗(Tp) − Tp
f = 0,
t
por tanto [Z, D]xi = 0 y de aquí se sigue (i) pues por un lado como
π∗D = D tendremos (sobreentendiendo que xi tiene dos significados:
como coordenada en V y en el fibrado en el que realmente es π ∗ xi)
Dxi = Dπ ∗ xi = π∗(D)xi = Dxi = fi,
y por otra parte se sigue de [Z, D]xi = 0 que
Dzi = D(Zxi) = Z(Dxi) = Zfi =
n
j=1
zj
f
∂fi
.
∂xj
f

544 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Definición. Llamaremos segunda subida canónica al fibrado tangente,
de un campo tangente D ∈ D(V), al campo ˜ D ∈ D[T (V)], con grupo
uniparamétrico Zt(Ep) = Ep + tDp.
Es fácil demostrar que en coordenadas xi,
D =
n
i=1
fi
∂
∂xi
⇒
˜ D =
n
i=1
fi
∂
.
∂zi
7.13.2. Variedad con conexión. Campo geodésico.
Consideremos que nuestra variedad V tiene una conexión ∇, (ver la
lección 3.8.4, pág.177), entonces hemos visto en la lección 6.6.2, pág.370
que cada campo D ∈ D(U) con U ⊂ V abierto, define canónicamente
un campo D ∇ ∈ D(T (U)), en el abierto T (U) del fibrado tangente, que
para las funciones f ∈ C ∞ (U),
D ∇ f = Df,
y para cada 1–forma entendida como función en el fibrado
D ∇ (ω) = D ∇ ω,
es decir la función correspondiente a la 1–forma D ∇ ω que es
Se verifica trivialmente
D ∇ ω(E) = D(ωE) − ω(D ∇ E).
D = fiDi ⇒ D ∇ = fiD ∇ i ,
por tanto en un entorno coordenado (U; xi)
D = ∂
fi
∂xi
⇒ D ∇ = ∇
∂
fi ,
∂xi
ahora bien en coordenadas (∂xi) ∇ xk = δik y (∂xi) ∇ zk es la función lineal
en fibras correspondiente a la 1–forma (∂xi) ∇ dxk cuya componente j–
esima es
(∂xi) ∇ dxk(∂xj) = ∂xi[dxk(∂xj)] − dxk(∂x ∇ i ∂xj) = −Γ k ij,

por tanto
(7.21)
(7.22)
7.13. Apéndice. El Campo geodésico 545
∂
∂xi
∇
= ∂
∂xi
−
n
j,k=1
D ∇ = ∂
fi −
∂xi
zjΓ k ij
n
i,j,k=1
∂
∂zk
⇒
fizjΓ k ij
∂
.
∂zk
Lema 7.62 Si H ∈ D(T V) es el campo de las homotecias, para cada
D ∈ D(V), [H, D ∇ ] = 0.
Demostración. Consideremos un sistema de coordenadas (xi) en V
y el correspondiente (xi, zi) en T V, entonces
[H, D ∇ ]xi = H(D ∇ xi) − D ∇ (Hxi) = 0,
[H, D ∇ ]zi = H(D ∇ zi) − D ∇ (Hzi) = 0,
pues D ∇ zi es una función lineal en fibras, la correspondiente a la 1–forma
D ∇ dxi, Hzi = zi y en general H(f) = f para toda función f lineal en
fibras (es decir las correspondientes a 1–formas).
Las geodésicas en una variedad con una conexión son las curvas integrales
de los campos tangentes D, para los que D ∇ D = 0, en coordenadas
xi una geodésica satisface la ecuación diferencial de segundo orden
para Γ k ij
(7.23)
x ′′
k +
n
i,j=1
Γ k ijx ′ ix ′ j = 0,
los símbolos de Christoffel de la conexión
∂
∂xi
∇ ∂
∂xj
=
n
k=1
Γ k ij
∂
.
∂xk
Las geodésicas definen realmente una ecuación de primer orden en el
fibrado tangente, en el que tenemos un campo tangente canónico Z ∈
D(T [V]), al que llamamos campo de las geodésicas de la conexión , que
en coordenadas es
⎡
(7.24)
n
n n
∂
Z = zi − ⎣ Γ
∂xi
k ⎤
⎦
ijzizj
∂
=
∂zk
zi(∂xi) ∇ ,
i=1
k=1
i,j=1
(lo último por (7.22), pág.545) y cuyas curvas integrales proyectadas son
las geodésicas de nuestra variedad.

546 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Proposición 7.63 Si H ∈ D(T V) es el campo de las homotecias y Z es el
campo geodésico de una conexión cualquiera en V entonces [H, Z] = Z.
En particular la distribución ∆ =< H, Z >, definida fuera de la sección
cero, es totalmente integrable.
Demostración. En coordenadas se sigue de (7.24), pues
[H, Z] = [H, zi(∂xi) ∇ ] = zi(∂xi) ∇ = Z,
y ∆ es totalmente integrable por el Teorema de Frobenius.
7.13.3. Campo geodésico en una variedad Riemanniana.
Consideremos ahora una variedad Riemanniana (V, g), con la conexión
de Levi–Civitta ∇ asociada (ver la pág.179). Entonces en su
fibrado tangente T (V) tenemos una función canónica
h(Dp) = 1
2 Dp · Dp,
que en coordenadas (xi, zi) se expresa
h = 1
zizjgij,
2
y un difeomorfismo canónico entre los fibrados tangente y cotangente
(7.25) φ: T (V) → T ∗ (V), φ(Dp) = iDp g,
para el que
φ ∗ (xi) = xi, φ ∗ (zi) =
n
gijzj = hzi = pi,
siendo (xi, pi) sistema de coordenadas pues |pizj | = |gij| = 0, por tanto
en el fibrado tangente tenemos una 1–forma y una estructura simplética
canónicas dadas por
γ = φ ∗ (λ) = φ ∗ ( zidxi) = pidxi, Γ = dγ = dpi ∧ dxi.
j=1

7.13. Apéndice. El Campo geodésico 547
Teorema 7.64 El fibrado tangente de una variedad Riemanniana es una
variedad simplética y el campo geodésico es el hamiltoniano de la energía
h, es decir
iZΓ = −dh,
además γZ = 2h.
Demostración. γZ =
i pizi =
i,j gijzizj = 2h. Ahora como
Z L γ = iZdγ + diZγ, tendremos que
iZdγ = Z L γ − d(γZ) = Z L γ − 2dh,
y basta demostrar que Z L γ = dh, es decir que
Z L (
pidxi) =
(Zpi)dxi +
pidzi
i
i
=
(Zpi)dxi +
hzidzi = dh,
lo cual equivale a demostrar que Zpi = hxi
i
i
i
para ello recordemos (ver
3.1, pág.179), que ∂ ∇ i ∂j = ∂ ∇ j ∂i, pues la torsión es nula y que
∂i (∂k · ∂r) = ∂ ∇ i ∂k · ∂r + ∂k · ∂ ∇ i ∂r.
Ahora se tiene que (ver también 7.23 en la pág.545)
hxi
= 1
2
= 1
2
n
k,r=1
n
k,r=1
∂gkr
zkzr
∂xi
Zpi = Z( zrgir) =
=
=
= 1
2
n
k,r=1
zkzr ∂i(∂k · ∂r)
zkzr (∂ ∇ i ∂k · ∂r + ∂k · ∂ ∇ i ∂r) =
n
zr(Zgir) +
r=1
n
zr(
zk(gir)xk ) −
r=1
n
k,r=1
k
n
n
n
k,r=1
n
gij(Zzj)
j=1
zkzrΓ
j=1 k,r=1
j
krgij zkzr ((gir)xk − ∂i · ∂ ∇ k ∂r) =
n
k,r=1
zkzr ∂ ∇ i ∂k · ∂r
zkzr ∂ ∇ i ∂k · ∂r.

548 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Corolario 7.65 En el sistema de coordenadas simpléticas (qi = xi, pi) el
campo geodésico se expresa
Z =
n
i=1
hpi
∂
−
∂qi
n
i=1
hqi
∂
.
∂pi
Demostración. Por ser iZ( dpi ∧ dqi) = −dh.
Observemos que la función energía en las coordenadas simpléticas se
expresa
h = 1
2
n
i,j=1
para G = (gij) y G −1 = (g ij ).
zizjgij = 1
2 ztGz = 1
2 ztGG −1 Gz = 1
2
n
g ij pipj,
i,j=1
Proposición 7.66 En las coordenadas (qi = xi, pi) el campo H de las
homotecias se expresa H = pi∂pi.
Demostración. Hpi = zjhzizj = zjgij = pi.
7.13.4. Ejemplo
Consideremos de nuevo una variedad Riemanniana con una función
potencial U ∈ C ∞ (V) y la Lagrangiana
es decir en coordenadas
L(Dx) = (1/2)Dx · Dx − U(x) = T − U,
L[x1, · · · , xn, z1, · · · , zn] = 1
2
⎛
⎝
n
i,j=1
zizjgij
y si una curva σ da un valor extremal a la acción
b
a
Ldt =
b
a
(T − U)dt,
⎞
⎠ − U(x),
y σ ′ = 0, entonces satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange y por tanto
la energía
h = HL − L = 2T − L = T + U

7.13. Apéndice. El Campo geodésico 549
es constante en ella (h(σ, σ ′ ) = E, por tanto T + U = E y U < E)
y a continuación demostramos de otra forma, que σ es una geodésica
reparametrizada de la nueva métrica
gij = 2(E − U)gij,
cuyo campo geodésico ZG es el campo lagrangiano de la nueva lagrangiana
L = 1
⎛
⎝
2
n
i,j=1
zizjgij
⎞
⎠ = (E − U) zizjgij = 2(E − U)(L + U),
para lo cual necesitamos unos resultados previos.
Lema 7.67 En las coordenadas (xi, pi = Lzi) el campo H de las homotecias
se expresa H = pi∂pi.
Demostración. Hpi = zjLzizj = zjgij = pi.
Lema 7.68 En la hipersuperficie {h = E}, ZG = Z + ZGU
E−U H, para ZG
el campo geodésico de gij, H el campo de las homotecias y Z el campo
lagrangiano de L.
Demostración. Sea D = ZG − Z y expresémoslo en el sistema de
coordenadas (xi, pi = Lzi ), en el que por el lema anterior H = pi∂pi.
Por una parte Dxi = zi − zi = 0, por tanto basta demostrar que
Dpi = ZGU
E − U pi,
es decir que (E − U)(ZGpi − Zpi) = (ZGU)pi, ó dicho de otro modo,
pues Zpi = ZLzi = Lxi , basta demostrar que
y como se tiene que
(E − U)ZGLzi − (E − U)Lxi = (ZGU)Lzi ,
Lxi
Lzi
= −2Uxi (L + U) + 2(E − U)(Lxi + Uxi ),
= 2(E − U)Lzi ,

550 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
tendremos que al ser L + U = T = h − U y ZGLzi = Lxi
Lxi
= −2Uxi (h − U) + 2(E − U)(Lxi + Uxi ) =
ZGLzi = 2Lzi ZG(E − U) + 2(E − U)ZGLzi
= −2Lzi ZGU + 2(E − U)ZGLzi ,
y el resultado se sigue en h = E.
Como consecuencia tenemos otra forma de demostrar el siguiente
resultado que ya vimos como consecuencia del Principio de Maupertuis.
Teorema 7.69 Si una curva σ : (a, b) → V en una variedad Riemanniana
con una función potencial da un valor extremal a la acción definida por
la lagrangiana
L(Dx) = (1/2)Dx · Dx − U(x),
tiene energía constante E = h(σ, σ ′ ) y es una geodésica reparametrizada
para la nueva métrica
g(Dx, Ex) = 2[E − U(x)]Dx · Ex.
Demostración. Consideremos la curva integral de Z, γ(t) = σ∗(∂t)t ∈
T (V), subida de σ —con componentes (σ(t), σ ′ (t))—. Como la distribución
< H, ZG > es totalmente integrable y por el resultado anterior
Z ∈< H, ZG > en los puntos de la hipersuperficie {h = E}, que contiene
a la curva γ(t), tendremos que esta curva es tangente a la distribución
así como la familia de curvas integrales de H, e s γ(t) pasando por
cada punto de la curva y transversales a ella, pues Z y H no son proporcionales
en la curva. Por tanto tenemos la superficie tangente a la
distribución, S = {rγ(t) : r > 0, t ∈ (a, b)}, que contiene a la curva y
se proyecta en nuestra curva original. Ahora como esta superficie tiene
al campo geodésico ZG tangente, dado un punto cualquiera t0 ∈ (a, b),
tenemos una única curva integral de ZG, φ(s) = r(s)γ(t(s)) ∈ S, tal que
φ(0) = γ(t0)/γ(t0) y por ser geodésica debe tener módulo constante
φ(s) = φ(0) = 1, por tanto φ(s) = γ(t(s))/γ(t(s)), es decir su trayectoria
es la de γ(t)/γ(t) (aunque tienen parametrizaciones distintas)
y su proyección es la geodésica σ(t(s)).

7.14. Apéndice. Teoría de Hamilton–Jacobi 551
7.14. Apéndice. Teoría de Hamilton–Jacobi
En (7.31), pág.484 hemos resuelto la EDO de Hamilton (7.5), pág.480,
en el caso autónomo. Si ahora queremos resolver una ecuación diferencial
de Hamilton no autónoma
(7.26)
x ′ i(t) = hzi (x1, . . . , xn, t, z1, . . . , zn),
z ′ i(t) = −hxi (x1, . . . , xn, t, z1, . . . , zn),
lo primero que hacemos es hacerla autónoma ampliando el sistema con
una nueva componente x(t),
x ′ (t) = 1,
x ′ i(t) = hzi (x1, . . . , xn, x, z1, . . . , zn),
z ′ i(t) = −hxi (x1, . . . , xn, x, z1, . . . , zn),
y basta encontrar las curvas integrales del campo
∂
∂
D = hz1 + · · · + hzn +
∂x1
∂xn
∂ ∂
∂
− hx1 − · · · − hxn ,
∂x ∂z1
∂zn
que en el instante t = 0 pasan por un punto de coordenada x = 0, en cuyo
caso x(t) = t y el resto de coordenadas xi(t), zi(t) satisfacen el sistema
original (7.26). Ahora bien el campo D sugiere el campo Hamiltoniano
de una función F = F (x1, . . . , xn+1, z1, . . . , zn+1) para la que xn+1 = x
y
Fz1
es decir
= hz1 , . . . , Fzn = hzn , Fzn+1 = 1, Fx1 = hx1 , . . . , Fxn = hxn ,
F (x1, . . . , xn, x, z1, . . . , zn+1) = zn+1 + h(x1, . . . , xn, x, z1, . . . , zn),
la cual nos define la EDP
(7.27) zx + h(x1, . . . , xn, x, zx1, . . . , zxn) = 0,
que llamaremos ecuación de Hamilton–Jacobi asociada a nuestro sistema
de ecuaciones diferenciales.
A continuación veremos que el conocimiento de una integral completa
φ de esta EDP nos permite resolver, en ciertas condiciones, paramétricamente
el sistema de ecuaciones diferenciales no autónomo (7.26). Este
útil método, descubierto por Hamilton y Jacobi da lugar a la teoría
que lleva su nombre.

552 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Teorema 7.70 Si existe una función diferenciable
φ = φ(x1, . . . , xn, t; a1, . . . , an),
tal que el determinante |φaixj | = 0 y es solución de la EDP definida
por F , en el sentido de que fijados los valores de a1, . . . , an la función
n + 1–dimensional correspondiente satisface
φt + h(x1, . . . , xn, t, ∂φ
, . . . ,
∂x1
∂φ
) = 0,
∂xn
entonces las 2n ecuaciones
∂φ
= bi, zi =
∂ai
∂φ
,
∂xi
definen implícitamente las soluciones —dependiendo de los 2n parámetros
ai, bi—, del sistema de ecuaciones
x ′ i(t) = hzi (x1, . . . , xn, t, z1, . . . , zn),
z ′ i(t) = −hxi (x1, . . . , xn, t, z1, . . . , zn).
Demostración. Por una parte derivando respecto de ai la expresión
φt + h(xi, t, φxi ) = 0, tenemos que
∂2 n φ ∂
+
∂t∂ai
2φ hzj = 0,
∂ai∂xj
j=1
y por otra parte como |φaixj | = 0, el teorema de las funciones implícitas
nos asegura que para cada elección de ai, bi podemos encontrar n
funciones xj(t) = xj(t, ai, bi), que satisfacen
∂φ
(x1, . . . , xn, t, a1, . . . , an) = bi,
∂ai
y derivando esta expresión respecto de t tendremos que
n ∂2φ x
∂xj∂ai
′ j(t) + ∂2φ = 0,
∂t∂ai
j=1
de donde se sigue que x ′ j (t) = hzj , pues ambas son soluciones del mismo
sistema lineal con determinante no nulo. Para obtener la segunda relación
basta derivar respecto de t en zi(t) = φxi[x(t), t, a] y respecto de xi en
φt(x, t, a) + h(x, t, φxi (x, t, a)) = 0, obteniendo
z ′ n
i(t) = φxixj x ′ n
j(t) + φxit = φxixj
hzj + φxit = −hxi.
j=1
j=1

7.15. Apéndice. Óptica geométrica 553
7.15. Apéndice. Óptica geométrica
7.15.1. Ley de Snell
Leyes básicas (a un nivel corpuscular, no ondulatorio) de la luz:
1.- Trayectoria recta. La luz va, de un punto a otro de un mismo
medio, en linea recta.
rayo incidente
a
a' rayo reflejado
b'
b
rayo refractado
Figura 7.17. Refracción y reflexión
2.- Ley de incidencia. La luz que incide en un punto de un plano se
refleja de modo que las dos trayectorias tienen por bisectriz la perpendicular
al plano por el punto de incidencia, por tanto ambas trayectorias
están en un plano perpendicular al dado y forman ángulos iguales con
este.
3.- Ley de Snell. Si un rayo de luz incide en un plano que separa
dos medios y lo atraviesa, se refracta, cambiando el ángulo α que trae,
por otro β, de modo que es constante la razón de sus cosenos,
cos α
cos β
= cte
= sen α′
7.15.2. Principio de Fermat
sen β ′
Estas Leyes se pueden obtener como consecuencia del Principio de
mínimo tiempo de Fermat que dice que la luz pasa de un punto a
otro por la trayectoria en la que tarde menos tiempo (realmente por una
en la que el tiempo, en función de la trayectoria, es estacionario).
.

554 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Si un rayo de luz va de un punto A a otro B sin obstáculos y en un
mismo medio en el que su velocidad no cambia, la trayectoria de mínimo
tiempo es el segmento de recta AB (que es la primera Ley).
Si sale de A, rebota en un plano y luego pasa por B, el punto del
plano que hace mínimo el tiempo es el que dice la segunda ley, como
fácilmente se comprueba.
Si por el contrario los puntos A y B están en la-
a
dos distintos de un plano que separa dos medios en
los que la velocidad de la luz es respectivamente v1
(donde está A) y v2 (donde está B), tendremos que
0
a
x
b
el punto P del plano que hace mínimo el tiempo es
—considerando un sistema de coordenadas como en
la Fig.7.18, en el que el plano es z = 0 y los puntos
c
b
son A = (0, 0, a) y B = (0, b, c)—, el que corresponde
al mínimo de la función para cada (x, y, 0) del
plano
Figura 7.18.
y2 + a2 x2 + (y − b) 2 + c2 t(x, y) = t1 + t2 = +
,
v1
el cual se obtiene, haciendo tx = 0 y ty = 0, en x = 0 e y tal que
v1
lo cual equivale a que
y
y2 + a2 +
v2
cos α
= cos β
v1
v2
y − b
= 0,
(y − b) 2 + c2 que no sólo da la constancia de la Ley de Snell sino que nos dice que
esa constante es la relación v1/v2, de velocidades en los dos medios. Esta
relación también podemos expresarla como n2/n1, para n = c/v el índice
de refracción de la luz en un medio en el que tiene velocidad v, siendo c
la velocidad de la luz en el vacío. Este índice tiene la ventaja de no tener
unidades.
7.15.3. Óvalo de Descartes
Consideremos la siguiente cuestión. Da-
y
A
r
a P b
B
x (f,g)
dos dos puntos A y B encontrar la curva de
puntos P del plano euclídeo para la que es
b
v2
,
Figura 7.19.

7.15. Apéndice. Óptica geométrica 555
constante la relación de cosenos, cos α/ cos β, de los segmentos AP y
P B, respecto de la recta tangente a la curva en P .
Consideremos un sistema de coordenadas con eje x la recta AB y eje
y su perpendicular por A; sea B = (b, 0). En cada punto P = (x, y),
consideramos la recta ∆p =< f∂x + g∂y >, con f 2 + g 2 = 1, por tanto,
para ρ = |P | = x 2 + y 2
cos α = −P
|P |
cos β =
xf + yg
· (−f, −g) = ,
ρ
B − P
(b − x)f − yg
· (f, g) =
|B − P | (x − b) 2 + y2 ,
por lo tanto, si la relación de cosenos es la constante k = cos α/ cos β,
tendremos que
(b − x)f − yg xf + yg
k =
(x − b) 2 + y2 ρ
⇔
x
ρ +
k(x − b)
(x − b) 2 + y2 f +
y
ρ +
ky
(x − b) 2 + y2 g = 0,
y la recta es para ρ ′ = (x − b) 2 + y 2 , la distancia de P a B
x k(x − b)
+
ρ ρ ′
dx +
y ky
+
ρ ρ ′
por lo tanto d(ρ + kρ ′ ) = 0 y las soluciones son
A B
r r
ρ + kρ ′ = cte,
dy = 0,
A B
Figura 7.20. Óvalo de Descartes. Refracción
que son curvas de grado 4 llamadas óvalos de Descartes, con focos A y
B. Son simétricas respecto de la recta AB y generan una superficie de

556 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
revolución con forma de huevo, de ahí su nombre, y tienen la propiedad
de que dada una figura limitada por ella, de un material con índice de
refracción n = 1/k, los rayos de luz emitidos desde un foco se refractan
en el otro. Obviamente si consideramos una esfera centrada en A y se la
quitamos al óvalo (ver la figura 7.20–derecha), la propiedad permanece,
pues los rayos que salen del foco entran en la figura sin cambiar su
dirección dado que la superficie esférica es ortogonal a la trayectoria y
esta continúa en linea recta igual que en la figura original.
Consideremos, para cada b el óvalo que pasa por un punto fijo del
eje x, por ejemplo por (1, 0), en el que ρ = 1 y ρ ′ = b − 1, por tanto son
para cada b > 1
ρ + k (x − b) 2 + y 2 = 1 + k(b − 1),
y ahora veamos que curva límite se obtiene cuando b → ∞. Para ello
veamos esta ecuación en términos de c = 1/b (denotemos T = 1−ρ−k
k ),
por tanto
(x − b) 2 + y 2 = (T + b) 2 ⇔ x 2 − 2bx + b 2 + y 2 = T 2 + 2T b + b 2 ⇔
ρ 2 − T 2 = 2b(T + x) ⇔ c
2 (ρ2 − T 2 ) = T + x
y para c = 0 la ecuación es
T + x = 0 ⇔ ρ = kx + 1 − k,
que es una elipse con foco en el origen y que pasa por (1, 0). Veamos a
continuación el problema en su generalidad.
7.15.4. Propiedad de refracción de las elipses
Consideremos la situación extrema del problema
anterior en la que el punto B está en el
infinito, es decir que P B es una recta paralela
a una dada que pasa por A.
y
r
Consideremos como eje x la recta, y eje y
la perpendicular pasando por A, que tomamos
como origen del sistema de coordenadas. Dada
x
Figura 7.21.
e ≥ 0 constante consideremos las curvas para las que cos α/ cos β = e.
Consideremos en cada punto (x, y) del plano la recta, < f∂x +g∂y >,
tangente a la curva que tiene la propiedad del enunciado. Como antes
consideremos (f, g) unitario, entonces tendremos que α es el ángulo que
(1,0)
a b
(f,g)

7.15. Apéndice. Óptica geométrica 557
forman (f, g) y (x, y) y β el que forman (f, g) y (1, 0), por tanto para
ρ = x2 + y2
x y
cos α = (f, g) · , =
ρ ρ
fx + gy
, cos β = f,
ρ
de donde se sigue que
e =
cos α
cos β
= fx + gy
fρ
y por tanto nuestra recta es
(x − ρe)dx + ydy = 0 ⇔
⇔ f(x − ρe) + gy = 0,
xdx + ydy
ρ
− edx = 0,
que es exacta d(ρ − ex), por lo tanto las curvas solución son
(7.28) ρ = ex + p,
para cada constante p, que son las ecuaciones de las cónicas del plano
con eje x y un foco en el origen (ver la pág.406). Pues en las coordenadas
(x, y) son
x 2 + y 2 = (ex + p) 2 = e 2 x 2 + 2epx + p 2
⇔ (1 − e 2 )x 2 + y 2 − 2epx − p 2 = 0,
además la e es la excentricidad y ρ = ex+1 y ρ = ex+p son homotéticas
de razón p, pues (x, y) satisface la primera ecuación sii (px, py) satisface
la segunda.
Observemos que las coordenadas (x, ρ)
tienen la ventaja de que en ellas las soluciones
son líneas rectas de pendiente e. Lo cual
nos da una interpretación geométrica obvia
de la excentricidad como la relación constante
∆ρ/∆x, que a su vez es, cos α/ cos β,
como se ve en el dibujo tomando Q en la
curva infinitesimálmente próximo a P .
Q
Dx
b
a
Dr
P
Figura 7.22.
Como consecuencia de lo anterior, dado un material con índice de
refracción n, si consideramos la cónica de excentricidad e = 1/n y el
elipsoide de revolución que define en torno a su eje, tendremos que la figura
de ese material limitada por esta cuádrica (ver la Fig.7.23), tendrá la
b

558 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
propiedad de que un rayo de luz emitido desde el foco se refracta en el
exterior en haces de líneas rectas paralelas al eje; y recíprocamente un
rayo de luz que incida en la figura y traiga la dirección del eje se refracta
en el interior en un rayo que pasa por el foco “mas lejano”.
Figura 7.23. Refracción Elipsoide de revolución
Obviamente si a la figura con forma de elipsoide le quitamos, como
antes, una parte con forma de esfera centrada en el foco, la propiedad
permanece, pues los rayos que salen del foco entran en la figura sin cambiar
su dirección pues la superficie esférica es ortogonal a la trayectoria
que continua en línea recta igual que en la figura original.
a
b
A
Figura 7.24.
7.15.5. Propiedades de reflexión de las elipses
Por último observemos que de las propiedades de refracción de las
cónicas se tienen las de reflexión, pues por ejemplo para la elipse se tiene
(ver figura 7.24) que por simetría vertical se tiene la igualdad
cos α
cos β
b
a
cos α′
= ,
cos β ′
y esto implica que α = α ′ , pues β = β ′ .
7.15.6. Trayectoria en un medio de índice variable
Consideremos ahora un medio con índice de refracción una función
diferenciable n(x). Determinemos la trayectoria σ(t) que debe llevar un

7.15. Apéndice. Óptica geométrica 559
rayo de luz que pasa en unos instantes determinados por sendos puntos
σ(0) = A, σ(1) = B. Para ello seguimos asumiendo el Principio de
Fermat según el cual la luz viajará por la trayectoria para la que el
tiempo es estacionario.
Ahora bien si consideremos una curva σ : [0, 1] → R 3 que une A =
σ(0) con B = σ(1), el tiempo T que tarda en ir de A a B es
1
c
1
0
n[σ(r)]|σ ′ (r)|dr,
pues si la reparametrizamos con su tiempo γ(t) = σ[r(t)], de tal forma
que r(0) = 0 y r(T ) = 1, tendremos que la integral anterior es
T
0
|σ ′ (r(t))r ′ T
(t)|
dt =
v(σ(r(t))) 0
|γ ′ (t)|
dt = T.
v(γ(t))
Esto nos lleva a considerar el problema variacional
1
0
L(σ(s), σ ′ (s))ds,
correspondiente a la Lagrangiana que da el tiempo, que esencialmente
es (la constante c no es necesaria)
L(x, z) = n[x] z2 i ,
siendo x = (x1, x2, x3) y (z = (z1, z2, z3) y para ella es
Lxi
= nxi z2 zi
i , Lzi = n
,
z2 j
y las Ecuaciones de Euler–Lagrange correspondientes son para i = 1, 2, 3
nxi
x ′2
j =
⎛
⎝n
x ′ i
x ′2
j
de aquí se sigue que para s(t) = t
0
x ′2
j dt el parámetro longitud
de arco de la curva, para su reparametrización γ(s(t)) = σ(t) y para
⎞
⎠
′

560 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
T = σ ′ (t)/|σ ′ (t)| = γ ′ (s), el vector tangente unitario a la curva solución,
se tiene
(grad n)s ′ (t) =
d(nT ) ds
ds dt
⇔ grad n = d(nT )
ds
dn
= T + nκN,
ds
para N el vector normal a la curva y κ la curvatura, por lo que el grad n
está en el plano osculador a la curva es decir que las superficies {n = cte}
son ortogonales al plano osculador de la curva en cada punto.
7.16. Apéndice. Envolventes y cáusticas
Cuando una superficie (o una curva plana) recibe
un haz de luz emitido desde una fuente puntual,
los rayos reflejados se concentran en puntos de una
superficie (o curva) que se observan con mas luminosidad
que otros; a dicha superficie o curva se la llama
cáustica (del griego kaysticos, quemar) —matemáti-
Figura 7.25. Cáustica
camente es la envolvente de los rayos reflejados—.
El corte de esta superficie con un plano se observa por ejemplo en la
superficie de leche de un cazo de acero iluminado por la luz del sol.
a
q
0
2q
t
a
R 2q t
Q
P
a
2q
B
a A'
q A
0
a
q
Figura 7.26. La caustica es la epicicloide.
R
0
2q
B
Q
t
2q
A'
A
Ejemplo 7.16.1 La cáustica de una circunferencia de radio r, iluminada
por rayos paralelos al eje y, es la epicicloide definida por una circunferencia
de radio r/4 que rueda sin deslizarse sobre otra de radio r/2.
P
a

7.16. Apéndice. Envolventes y cáusticas 561
Veamos geométricamente (ver figura 7.26) que la epicicloide es la
envolvente de los reflejos de los rayos verticales que inciden interiormente
en una circunferencia S. Para ello consideremos una circunferencia base,
de radio la mitad de la de S y sobre esta, otra de radio la mitad de la de
la base, que rueda sobre ella, sin deslizarse. La trayectoria de un punto
fijo de esta última es la epicicloide.
Sea Q el punto fijo cuando la que rueda ha abarcado un arco AB,
de ángulo θ en la base, y de arco A ′ B en la pequeña, igual en longitud,
por tanto de ángulo 2θ en esta, pues es de radio la mitad. Ahora si BP
es la diagonal de la pequeña por B, tendremos en el triángulo isosceles
formado por P , Q y el centro de la pequeña, que
2θ + 2τ = π = 2θ + 2α ⇒ τ = α,
por lo tanto P Q es el reflejo en P del rayo vertical por P . Además es
tangente a la epicicloide en Q, pues el tramo infinitesimal que describe
Q si rodamos la circunferencia infinitesimalmente en B es un arco de
circunferencia de radio BQ y centro en B, por tanto BQ es perpendicular
a la tangente a la epicicloide por Q, pero BQ es perpendicular a BP ,
pues BP es un diámetro. Se sigue que la epicicloide es la envolvente.
Ejemplo 7.16.2 Demostrar que la cáustica de la exponencial con la fuente
luminosa en el infinito (positivo) del eje y, es la catenaria.
Si la recta reflejada en el punto (t, e t ), tiene
dirección (a, b), con a 2 + b 2 = 1 y a =
− √ 1 − b 2 < 0, tendremos que (a, b) + (0, 1)
tiene dirección normal a la curva y por tanto
proporcional a (− e t , 1), de donde
e t = −a
b + 1 =
e 2t =
y despejando
√ 1 − b 2
b + 1 =
1 − b
1 + b
1 − b
1 + b ⇒ b(e2t +1) = 1 − e 2t ,
b = e−t − e t
e t + e
Figura 7.27.
t
= −senh , −t cosh t
a = − 1 − senh2 t
cosh 2 1
= −
t cosh t ,
para senh t = (e t − e −t )/2 y cosh t = (e t + e −t )/2, y para la pendiente
p(t) = b/a = senh t, tendremos que la ecuación de la recta reflejada es
y = p(t)x + b(t), p(t) = senh t, b(t) = e t −tp(t)

562 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y su envolvente la obtenemos eliminando t en
y = xp(t) + b(t), 0 = xp ′ (t) + b ′ (t) = x cosh t + e t − senh t − t cosh t
= (x + 1 − t) cosh t,
de donde se sigue que t = x + 1 y la ecuación es
y = x senh(x + 1) + e x+1 −(x + 1) senh(x + 1) = cosh(x + 1).
Figura 7.28. Cicloide
La cicloide es la curva descrita por un punto de una circunferencia
de centro C que rueda sin deslizarse sobre una recta.
Ejemplo 7.16.3 Demostrar que la cáustica de la cicloide con la fuente
luminosa en el −∞ del eje y es la cicloide duplicada, de radio la mitad.
P
R
q
2q
q
C
B
Figura 7.29.
Lo vemos primero geométricamente. Consideremos un sistema de
coordenadas cartesianas en el que la recta es el eje x y el punto está inicialmente
en el origen. Por tanto si la circunferencia es de radio 1, después
de rodar un arco de longitud θ, la circunferencia se apoya en la recta en
el punto B = (θ, 0) y el ángulo central (desde C = (θ, 1)), correspondiente
a este arco es también θ, por lo tanto el punto de la circunferencia
está en σ(θ) = (θ − sen θ, 1 − cos θ) = P . Observemos que la normal a
la cicloide en P pasa por la base B, pues geométricamente: si giramos
infinitesimalmente la circunferencia con base en B el arco infinitesimal
que describe P es el de una circunferencia con centro B y radio BP . Esto

7.16. Apéndice. Envolventes y cáusticas 563
mismo se sigue analíticamente considerando que P B = (sen θ, cos θ − 1)
es perpendicular a σ ′ = (1 − cos θ, sen θ).
Ahora consideremos otra circunferencia, de radio la mitad, que gira al
mismo tiempo que la de radio 1 y pasa por C y B, por tanto es tangente
interior a la circunferencia de radio 1 y en el mismo punto B a la recta.
Entonces el radio P C corta a la circunferencia pequeña en un punto R,
de modo que el arco BR de esta tiene longitud θ, pues el ángulo de este
arco desde C es θ y por tanto desde el centro de la pequeña es 2θ y tiene
radio la mitad. Por tanto R describe una cicloide de radio la mitad y
CR es perpendicular a RB, por tanto tangente a la cicloide pequeña en
R. Además P R es el reflejo en P (sobre la cicloide original) de un rayo
vertical por P , por tanto la cicloide pequeña es la envolvente de los rayos
reflejados.
Demostración analítica: (para θ < π). Si el reflejo en P tiene dirección
(a, b), con a 2 + b 2 = 1 y a = √ 1 − b 2 > 0, tendremos que (a, b) − (0, 1)
tiene dirección normal a la curva y por tanto proporcional a
se sigue que
cos θ − 1
sen θ
= b − 1
a
(sen θ, cos θ − 1),
b − 1 1 − b
= −√ = −
1 − b2 1 + b ,
por tanto sen 2 θ(1 − b) = (1 + b)(1 − cos θ) 2 y
b = sen2 θ − (1 − cos θ) 2
sen2 θ + (1 − cos θ) 2 = sen2 θ − 1 + 2 cos θ − cos2 θ
2 − 2 cos θ
= cos θ − cos2 θ
= cos θ,
1 − cos θ
a = sen θ,
y como la recta reflejada en el punto (θ − sen θ, 1 − cos θ) tiene pendiente
p = b/a = cos θ/ sen θ, tendremos que tiene ecuación
y =
cos θ cos θ
x + 1 − θ
sen θ sen θ
cos θ
= (x − θ) + 1,
sen θ
(por tanto pasa por el punto (θ, 1) y la envolvente se obtiene eliminando
θ entre esta ecuación y su derivada
0 = −1
sen2 cos θ
(x − θ) −
θ sen θ ,

564 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
lo cual implica para 2θ = α
x = θ − sen θ cos θ = α sen α
−
2 2 ,
cos θ
y =
sen θ (− sen θ cos θ) + 1 = sen2 θ = 1 + sen2 θ − cos2 θ
=
2
1 cos α
−
2 2 ,
que es la homotecia de razón 1/2 de la cicloide original.

7.17. Ejercicios resueltos 565
7.17. Ejercicios resueltos
Ejercicio 7.1.2.- Demostrar que si {z = z(x, y)} es una superficie de revolución
con eje pasando por el origen del espacio, entonces
u v w
ux
vx wx
= 0
uy vy wy
para u = −y − zzy, v = x + zzx, w = xzy − yzx.
Solución.- En cada punto p = (x, y, z) de la superficie tenemos una recta tangente
a ella (tangente al paralelo correspondiente de la superficie de revolución), que
también es tangente a la esfera pasando por p, por tanto la recta es perpendicular a
(x, y, z) y a (zx, zy, −1), por tanto con vector director su producto vectorial que tiene
componentes
u = −y − zzy, v = x + zzx, w = xzy − yzx,
y si el eje de la superficie tiene vector director (a, b, c), tendremos que ua+vb+wc = 0
y derivando respecto de x y respecto de y tendremos que
ua + vb + wc = 0
u v w
uxa + vxb + wxc = 0 ⇒
ux
vx wx
= 0
uy
vy wy
uya + vyb + wyc = 0
Ejercicio 7.1.3.- Sean P , Q y R funciones de (x, y) y P dx 2 +Qdxdy+Rdy 2 = 0
la ecuación 18 de la proyección al plano z = 0, de una red de curvas de una
superficie u = 0. Demostrar que las curvas son perpendiculares sii
P (u 2 y + u 2 z) − Quxuy + R(u 2 x + u 2 z) = 0.
Solución.- Supongamos que P = 0. La proyección de un campo tangente a la
superficie, D = f∂x + ∂y + g∂z, satisface la ecuación del enunciado sii
P f 2 + Qf + R = 0,
por tanto en general hay dos soluciones f1, f2 y son tales que P f1f2 = R y P (f1 +
f2) = −Q. Además como Du = 0 tendremos que las funciones gi correspondientes
satisfacen fiux + uy + giuz = 0 y para los campos Di correspondientes
D1 · D2 = f1f2 + 1 + g1g2 = R
P
= R + P
P
ux
+ 1 + (f1
uz
+ uy
uz
+ f1f2u 2 x + (f1 + f2)uxuy + u 2 y
u 2 z
= u2z(R + P ) + Ru2 x − Quxuy + P u2 y
P u2 ).
z
ux
)(f2
uz
+ uy
)
uz
18 Esta notación debe entenderse del siguiente modo: dx y dy son en cada punto
funciones lineales del espacio tangente y dx 2 es el cuadrado de la función lineal, por
tanto la expresión de la izquierda en cada punto es un polinomio.

566 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 7.1.4.- Encontrar las superficies formadas por rectas paralelas al
plano z = 0 que se apoyan en la hipérbola del plano y = 0, xz = 1, tales
que a lo largo de cada recta el plano tangente es constante
Solución. Para cada z la superficie contiene una recta de ecuación a(z)x+b(z)y =
p(z) (donde uno de los dos coeficientes a ó b es no nulo), siendo para y = 0 zx = 1,
es decir a(z) = zp(z), por tanto la superficie y su vector normal son
zp(z)x + b(z)y = p(z), N = (zp(z), b(z), x(p(z) + zp ′ (z)) + b ′ (z)y − p ′ (z))
y a lo largo de la recta z = c, cp(c)x + b(c)y = p(c), N tiene dirección constante y
como sus dos primeras componentes son constantes, también lo es la tercera (si una
de las dos primeras es no nula como es el caso). Ahora hay dos posibilidades: p(c) = 0,
en cuyo caso x = (p(c) − b(c)y)/cp(c) y es constante en y
p(c) − b(c)y
(p(c) + cp
cp(c)
′ (c)) + b ′ (c)y = p(c) + cp′ (c)
c
+ y(b ′ (c) − b(c)(p(c) + cp′ (c))
,
cp(c)
es decir b ′ (c)cp(c) = b(c)(p(c) + cp ′ (c), lo cual implica (b(c)/cp(c)) ′ = 0, es decir
b(c) = kcp(c), por tanto las superficies son los cilindros
zx + kzy = 1.
Figura 7.30.
Y si p(c) = 0, la recta correspondiente es z = c, yb(c) = 0, es decir z = c, y = 0
y es constante
x(p(c) + cp ′ (c)) = xcp ′ (c),
lo cual implica p ′ (c) = 0 y como ninguna de las superficies anteriores en k contiene esta
recta, tendremos que en todo punto p(z) = 0, lo cual implica que nuestra superficie
es b(z)y = 0, es decir y = 0, la cual satisface la propiedad, con la familia de rectas
pasando por la hiperbola y paralelas al eje x.
Ejercicio 7.3.1.- Encontrar la función v(t, x) del plano, tal que v(0, x) = f(x)
y T ∇ T = 0, para la conexión estándar del plano y T = ∂t + v(t, x)∂x. Además,
dado x0 ∈ R y v0 = f(x0), demostrar que dicha solución v existe en un entorno
de (0, x0) y es constante a lo largo de la recta (t, x0 + v0t) (y vale v0) y que T
es constante y tangente a la recta.
Indicación. 0 = T ∇ T = T ∇ (∂t + v(t, x)∂x) = (T v)∂x, por tanto v es solución
de la EDP cuasilineal 0 = T v = vt + vvx, con la condición inicial v(0, x) = f(x). El
campo característico correspondiente en las coordenadas (t, x, v), es D = ∂t + v∂x
y tiene 1–forma incidente dx − vdt y como v es una integral primera, también es

7.17. Ejercicios resueltos 567
incidente d(x − vt) y u = x − vt es integral primera. La solución general es v = h(u),
para cualquier función h y como en t = 0, u = x, la que satisface la condición
se obtiene despejando v en la ecuación, v = f(x − vt), cosa que podemos hacer si
hv = 0, para h = v − f(x − vt), es decir 1 + f ′ (x − vt)t = 0, lo cual es cierto en
(0, x0, v0). Por tanto existe un entorno de (0, x0) en el que podemos despejar v de
forma única, siendo v(0, x0) = v0. Ahora bien la superficie h = 0 es reglada y contiene
a la recta (t, x0 + tv0, v0), por lo tanto v = v0 y T = ∂t + v0∂x, en un entorno de
(0, x0) sobre la recta (t, x0 + tv0).
Ejercicio 7.3.2.- En los siguientes problemas encontrar la solución de la EDP
que contiene a la curva correspondiente
yzzx + zy = 0, que en y = 0 pasa por z 2 = 2x,
yzzx + xzzy + 2xy = 0, que en z = 0, pasa por x 2 + y 2 = 1,
2y(z − 3)zx + (2x − z)zy = y(2x − 3), que en z = 0 pasa por x 2 + y 2 = 2x.
Solución. Para el primero. Consideremos el campo característico
yz ∂ ∂
+
∂x ∂y ,
el cual tiene integrales primeras u = z y v = x − y 2 z/2. Ahora expresamos x y z en
términos de y, u y v,
z = u, x = v + u y2
2 ,
y consideramos las integrales primeras que coinciden con z y x en y = 0,
por tanto la solución es
z, v,
z 2 = 2v ⇒ z 2 = 2x − y 2 z.
Para la última. Consideremos el campo en R 3
D = 2y(z − 3) ∂
∂
∂
+ (2x − z) + y(2x − 3)
∂x ∂y ∂z ,
que en el sistema de coordenadas v1 = 2x − 3, v2 = y, v3 = z − 3 se escribe
y tiene integrales primeras
∂
D = 4v2v3 + (v1 − v3)
∂v1
∂ ∂
+ v1v2 ,
∂v2 ∂v3
u1 = 2v 2 3 − v2 1
2 , u2 = v1 + 2v 2 2 − 4v3.
Ahora tenemos que encontrar una integral primera de D, es decir una función g
de (u1, u2), tal que la superficie {g = 0} se interseque con {z = 0} en
{z = 0, x 2 + y 2 = 2x} = {z = 0, (x − 1) 2 + y 2 = 1}.

568 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Escribamos x e y en términos de (u1, u2, z)
4(z − 3) 2 − 2u1 + 3
x =
,
2
u2 −
y =
4(z − 3) 2 − 2u1 + 4(z − 3)
.
2
Y consideremos las integrales primeras
4(−3) 2 − 2u1 + 3
X =
,
2
u2 −
Y =
4(−3) 2 − 2u1 + 4(−3)
,
2
que en z = 0 coinciden con x e y y para las que
por tanto basta considerar la función
(X − 1) 2 + Y 2 − 1 = 2 + 1 u1 u2
− +
4 2 2 ,
g = 2u1 − 2u2 − 9 = 4v 2 3 − v 2 1 − 2v1 − 4v 2 2 + 8v3 − 9
= 4(z − 3) 2 − (2x − 3) 2 − 2(2x − 3) − 4y 2 + 8(z − 3) − 9
= [2(z − 3) + 2] 2 − 4 − [2x − 3 + 1] 2 + 1 − 4y 2 − 9
= (2z − 4) 2 − (2x − 2) 2 − 4y 2 − 12.
Por tanto la solución es el hiperboloide de dos hojas
(z − 2) 2 − (x − 1) 2 − y 2 = 3.
Ahora bien como a nosotros nos piden la solución que pasa por la circunferencia,
la contestación es
z = 2 − (x − 1) 2 + y2 + 3.
Ejercicio 7.3.3.- Demostrar que las soluciones de la EDP
(z + 3y)zx + 3(z − x)zy + (x + 3y) = 0,
son superficies de revolución de un cierto eje. ¿Qué eje?.
Solución.- Como es cuasilineal define el campo (proyección del característico)
D = (z + 3y) ∂
∂
∂
+ 3(z − x) − (x + 3y)
∂x ∂y ∂z ,
y las soluciones están formadas por curvas integrales suyas. Ahora si existe un eje
(a, b, c) tal que las superficies solución son de revolución en torno a él, tendremos que
D y el campo E de los giros en torno a ese eje son proporcionales, pues toda integral
primera de D lo sería de E, por tanto D sería tangente a los planos definidos por la
función lineal u = ax + by + cz, por tanto Du = 0, lo cual equivale a que
0 = a(z + 3y) + b3(z − x) − c(x + 3y) = −(3b + c)x + 3(a − c)y + (a + 3b)z,

7.17. Ejercicios resueltos 569
y esto a que 3b + c = 0 y a = c, que tiene una única solución proporcional a e =
(3, −1, 3). Ahora el resultado se sigue pues Du = D(x 2 + y 2 + z 2 ) = 0, por tanto las
curvas integrales de D son las circunferencias de planos perpendiculares a la recta
< e > centradas en ese eje y una superficie que esté formada por ellas es de revolución.
Ejercicio 7.3.4.- Caracterizar las EDP cuasilineales
f1zx + f2zy = f3,
cuyas soluciones sean superficies de revolución de un cierto eje.
Solución.- Sea < (a, b, c) > el eje de revolución de las superficies solución y
E el campo de los giros alrededor de este eje, por tanto E(x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 y
aEx + bEy + cEz = 0, es decir
xEx + yEy + zEz = 0, aEx + bEy + cEz = 0,
lo cual implica que E es perpendicular a (x, y, z) y a (a, b, c), es decir es proporcional
al producto vectorial de (a, b, c) y (x, y, z), que tiene componentes
bz − yc, cx − az, ay − bx.
Ahora el campo asociado a nuestra EDP es
∂ ∂ ∂
D = f1 + f2 + f3
∂x ∂y ∂z ,
y sabemos que para toda integral primera suya, Dh = 0, {h = cte} es una superficie
de revolución del eje dado, pero entonces Eh = 0, pues h es constante en las curvas
integrales de E (que son circunferencias, centradas en el eje, de los planos perpendiculares
al eje). Por tanto D y E son proporcionales ya que toda integral primera de
D lo es de E, por lo que nuestra EDP es (simplificada)
(bz − yc)zx + (cx − az)zy = ay − bx.
Ejercicio 7.3.5.- Dada una recta en el espacio encontrar la EDP de las superficies
cuya recta normal en cada punto corte a la dada. Resolver la EDP.
Solución.- Sin pérdida de generalidad podemos considerar el sistema de coordenadas
en el que la recta dada sea el eje z. Ahora la normal n = (−zx, −zy, 1) en
cada punto P = (x, y, z) de nuestra superficie define la recta p + λn que si corta al
eje z, hay un valor λ para el las dos primeras coordenadas valen 0, es decir x = λzx,
y = λzy, lo cual equivale a que yzx = xzy, que es una EDP cuasilineal con campo
asociado el campo de los giros y∂x − x∂y, con integrales primeras z y x 2 + y 2 y las
soluciones son para cualquier función g del plano,
g(x 2 + y 2 , z) = cte,
que son superficies de revolución en torno al eje z.
Ejercicio 7.3.6.- Dado k ∈ R encontrar la EDP de las superficies cuya recta
normal en cada punto P corte a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, en
tres puntos A, B, C para los que sea constante la razón doble (P, A, B, C) = k.

570 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Resolver la ecuación y encontrar las cuádricas en forma normal ax 2 + by 2 +
cz 2 = 1, que sean solución.
Solución.- La normal n = (−zx, −zy, 1) en cada punto P = (x, y, z) de nuestra
superficie define la recta p + λn que se corta con los planos en los puntos
y la razón doble es
A = p + λ1n = (x − λ1zx, y − λ1zy, z + λ1) ⇒ λ1 = x/zx,
B = p + λ2n = (x − λ2zx, y − λ2zy, z + λ2) ⇒ λ2 = y/zy,
C = p + λ3n = (x − λ3zx, y − λ3zy, z + λ3) ⇒ λ3 = −z,
k = (P ABC) =
P B AC
·
AB P C
⇔ k · AB · P C = P B · AC ⇔
k(λ2 − λ1)λ3 = λ2(λ3 − λ1) ⇔ (k − 1)λ2λ3 − kλ1λ3 = −λ2λ1 ⇔
(1 − k) yz
+ k
zy
xz
= −
zx
xy
zxzy
⇒ (1 − k)yzzx + kxzzy = −xy,
que es una EDP cuasilineal con campo asociado
D = (1 − k)yz∂x + kxz∂y − xy∂z
que tiene dos 1–formas incidentes exactas obvias
xdx + (1 − k) + zdz, ydy + kzdz,
y por tanto las integrales primeras u = x 2 + (1 − k)z 2 , v = y 2 + kz 2 , por tanto
las superficies g(u, v) = cte son solución (las que a nosotros nos interesan además
deben cumplir zx, zy = 0, que no lo cumplen ninguno de los dos casos particulares
—u = cte, ó v = cte—, pero en general sí). En particular tenemos la solución, para
a, b ∈ R
1 = au+bv = a(x 2 +(1−k)z 2 )+b(y 2 +kz 2 ) ⇔ ax 2 +by 2 +(a(1−k)+bk)z 2 = 1,
tenemos las cuádricas del enunciado con c = a(1 − k) + bk. Observemos que para
ellas el resultado es obvio pues tomando el gradiente n ∼ (ax, by, cz), de donde se
sigue que las λi no dependen del punto P = (x, y, z) ni por tanto las razones simples
de cualesquiera 3 de los 4 puntos ni la razón doble. Por otra parte hay que quitar
el caso singular en el que a = b, pues en ese caso es una esfera, ya que a = b = c y
λ1 = λ2 = λ3 y A = B = C, por lo que la razón doble no existe.
Ejercicio 7.4.1.- Demostrar que para cada solución f de (7.1), D es tangente
a
Sn(f) = {z = f(x), z1 = ∂f
(x), . . . , zn =
∂x1
∂f
(x)}.
∂xn
Solución.- En Sn(f) se tiene que Dvi = 0.
Ejercicio 7.6.1.- Encontrar con el método de Cauchy la solución de la EDP
que pasa por el eje x.
z = 1
2 (z2 x + z 2 y) + (zx − x)(zy − y).

7.17. Ejercicios resueltos 571
Solución. F = 1
2 (p2 + q 2 ) + (p − x)(q − y) − z y su campo característico es
D = (p+q−y) ∂
∂
∂
∂
∂
+(p+q−x) +(p(p+q−y)+q(p+q−x)) +(p+q−y) +(p+q−x)
∂x ∂y ∂z ∂p ∂q ,
el cual tiene integrales primeras las funciones diferenciablemente independientes
u1 = p − x, u2 = q − y, u3 =
p + q − y
p + q − x , u4 = F,
pues p + q − y = u1 + u2 + x y p + q − x = u1 + u2 + y, siendo u1y u2 integrales
primeras por tanto constantes para D.
Ahora el eje x es la curva (x(t) = t, y(t) = 0, z(t) = 0) y hay dos soluciones en
F [x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)] = 0, z ′ (t) = p(t)x ′ (t) + q(t)y ′ (t),
que corresponden a dos valores de q, pues por la segunda 0 = p(t) y por la primera
q 2
2
− xq = 0. Por tanto tenemos dos posibles curvas σ(t) en R5
x(t) = t, y(t) = 0, z(t) = 0, p(t) = 0, q(t) =
0.
2t.
Ahora para cada t consideramos la curva integral de D pasando por σ(t) (lo
haremos para las dos curvas a la vez), que es {ui = ui[σ(t)] : i = 1, 2, 3, u4 = 0} y es
respectivamente
u1 = −t, u2 =
0
2t
, u3 =
ó en términos de las coordenadas primitivas
p = x − t, q =
y
2t + y
, p + q =
y
2x − y
0
2t
= 2 t
, u4 = 0,
, z = 1
2 (p2 + q 2 ) + (p − x)(q − y),
lo cual da para la primera curva σ(t), como q = y = p + q, que p = 0 y por tanto
z = y2
2 ,
que es una solución pasando por el eje x. La correspondiente a la segunda σ(t) da
p = x − t, q = 2t + y, p + q = 2x − y, z = 1
2 (p2 + q 2 ) + (p − x)(q − y),
y de las tres primeras
t = x − 2y, p = 2y, q = 2x − 3y,
y haciendo cuentas en la cuarta tenemos la otra solución
z = 1
2 (4xy − 3y2 ).
Ejercicio 7.6.2.- Encontrar con el método de Cauchy la solución de la EDP
z = zxzy

572 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
que pasa por la curva x = 0, z = y 2 .
Solución. F = pq − z y su campo característico es
D = q ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ p + 2pq + p + q
∂x ∂y ∂z ∂p ∂q ,
el cual tiene integrales primeras las funciones diferenciablemente independientes
u1 = x − q, u2 = y − p, u3 = q
p , u4 = F,
Ahora la curva es x(t) = 0, y(t) = t, z(t) = t 2 ; y hay una solución en
p(t)q(t) = z(t) = t 2 , 2t = z ′ (t) = p(t)x ′ (t) + q(t)y ′ (t) = q(t),
que define la curva σ(t) en R 5
x(t) = 0, y(t) = t, z(t) = t 2 , p(t) = t/2, q(t) = 2t.
Ahora para cada t consideramos la curva integral de D pasando por σ(t)
x − q = −2t, y − p = t − t/2 = t/2, q/p = 4, z = pq,
lo cual implica eliminando t, p y q
z = y + x
2 .
4
Ejercicio 7.6.3.- Encontrar con el método de la proyección una integral completa
de la EDP
z = xzx + yzy + zxzy.
Solución. F = −z + xp + yq + pq y el campo característico es
D = (x + q) ∂
∂
∂
+ (y + p) + (p(x + q) + q(y + p))
∂x ∂y ∂z ,
el cual tiene la 1–forma incidente (y + p)dx − (x + q)dy, por tanto tiene por integrales
primeras las funciones
u1 = p, u2 = q, u3 =
Ahora escribimos y, z en términos de las ui, x y F
x + u2
y =
u3
x + q
y + p .
x + u2
− u1, z = u1x + u2( − u1) + u1u2 − F,
u3
y haciendo x = 0 y F = 0 consideramos las integrales primeras
Y = u2
u3
− u1, Z = u2 2
,
u3
que igualadas a constantes, junto con F = 0, nos determinan una integral completa
de la ecuación.
Ejercicio 7.6.4.- Encontrar con el método de la proyección una integral completa
de la ecuación
z 2 x + z 2 y = 1.

7.17. Ejercicios resueltos 573
Solución. En este caso F = p 2 + q 2 − 1, por lo que el campo característico es
y tiene integrales primeras
D = 2p ∂ ∂ ∂
+ 2q + 2
∂x ∂y ∂z ,
u1 = p, u2 = zp − x, u3 = py − qx, u5 = F,
ahora despejamos y y z en función de las ui y u4 = x y consideramos las integrales
primeras que coinciden con ellas en x = 0
y = u3 + qx
u1
x + u2
z =
u1
Y = u3
=
u1
py − qx
Z = u4
=
u1
zp − x
,
p
,
p
y tenemos una integral completa para cada a, b ∈ R, eliminando p y q entre las
ecuaciones
qx − py
= a
p
x − zp
= b
p
p 2 + q 2 ⎫
⎪⎬
⎪⎭
= 1
⇒ (z + b) 2 = x 2 + (y + a) 2 .
Ejercicio 7.6.5.- Encontrar con el método de la proyección la solución, que en
x = 0 pasa por z = y 3 , de la EDP: yzzx + zy = 0.
Solución. Como F (x, y, z, p, q) = yzp + q entonces el campo del sistema característico
es
yz ∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ − yp2 − (zp + ypq) + F
∂x ∂y ∂p ∂q ∂z ,
y dadas sus características —F es una de sus componentes—, consideramos el campo
D = yz ∂ ∂ ∂
∂
+ − yp2 − (zp + ypq)
∂x ∂y ∂p ∂q ,
que coincide con él en F y tiene por integrales primeras las funciones
u1 = z , u2 = zy 2 − 2x , u3 = y2
2
− 1
p .
Pongamos ahora y, z, p y q en términos de las ui, x y F
u2 + 2x
z = u1 , y =
,
u1
2u1
u2 + 2x 2u
p =
, q = F − yzp = F −
u2 + 2x − 2u1u3
u1
2 1
,
u2 + 2x − 2u1u3
y consideremos las integrales primeras de D que en x = 0 y F = 0 coinciden con
z, y, p, q
u2
2u1
u2 2u
Z = u1 , Y = , P =
, Q = −
u1 u2 − 2u1u3
u1
2 1
,
u2 − 2u1u3

574 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
la solución la encontramos despejando z en la superficie de R 5
S2 = {Z = Y 3 , Q = 3Y 2 , F = 0},
en cualquier abierto en el que x, y sean coordenadas. Ahora bien, en S2 tenemos que
Z = Y 3 ⇔
3
u2 2
z =
u1
zy2 − 2x
3
2
=
z
⇔
5 2 3
z = (zy − 2x) ,
y p y q son función de x, y, z, por tanto la solución es cualquier función cuya gráfica
está en la superficie de R 3
z 5 = (zy 2 − 2x) 3 .
Ejercicio 7.6.6.- Encontrar la solución, que en x = 0 pasa por z = y 2 , de la
ecuación: z + z 2 x = y.
es
Solución. F (x, y, z, p, q) = z+p 2 −y entonces el campo del sistema característico
2p ∂ ∂ ∂
+ 2p2 − p
∂x ∂z ∂p
y tiene por integrales primeras las funciones
+ (1 − q) ∂
∂q ,
u1 = y , u2 = x
2 + p , u3
q − 1
=
p .
y las integrales primeras que coinciden con y, z, p y q en x = 0 y F = 0 son
¯y = u1 , ¯z = u1 − u 2 2 , ¯p = u2 , ¯q = 1 + u2u3.
Ahora la solución 19 la encontramos despejando z en la superficie de R 5
S2 = {¯z = ¯y 2 , ¯q = 2¯y, F = 0}
= {u1 − u 2 2 = u2 1 , 1 + u2u3 = 2u1, z = y − p 2 },
en cualquier abierto en el que x, y sean coordenadas. Ahora bien, en la primera
ecuación
x
2 y − + p = y
2 2 ⇒ p = y − y2 − x
2
y por la tercera ecuación
x
2 z = y − y − y2 − = y
2
2 − x2
4 + xy − y2 .
Ejercicio 7.6.7.- Encontrar con el método de Lagrange–Charpit una integral
completa de la EDP
x[z 2 x + z 2 y] − zzx = 0.
Solución. Tenemos que F = x(p 2 + q 2 ) − zp. Consideremos el campo correspondiente
—en {F = 0}—
D = (2xp − z) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ 2xq + zp − q2 + qp
∂x ∂y ∂z ∂p ∂q ,
19 Observemos que este método no nos permite encontrar una integral completa
de la ecuación, pues la proyección a R 3 de {¯z = a, ¯y = b, F = 0} cae en y = b y
no podemos despejar z como función de x, y, sin embargo sí se proyecta la solución
{¯z = a, ¯q = 0, F = 0} y da z = a + x √ y − a − x 2 /4.

7.17. Ejercicios resueltos 575
el cual tiene la 1–forma incidente pdp + qdq y por tanto d(p 2 + q 2 ), es decir que
f2 = p 2 + q 2 es una integral primera de D. Ahora restringimos ω a la subvariedad
{F = 0, f2 = a 2 },
y el método nos asegura que ω es proporcional a una exacta. Como en ella se tiene
tendremos que
es proporcional a
p = xa2
z
, q = a√ z 2 − x 2 a 2
z
= ag,
ω = dz − pdx − qdy = dz − xa2
dx − agdy,
z
z
a
√ dz −
z2 − x2a2 2x √
z2 − x2a2 dx − ady = d[z2 − x2a2 − ay].
Por tanto para cada b ∈ R
es solución de nuestra ecuación.
a 2 x 2 + (ay + b) 2 − z 2 = 0,
Ejercicio 7.6.8.- Encontrar con el método de Lagrange–Charpit una integral
completa de la EDP: xz 2 x + yz 2 y = z.
Solución. En este caso tenemos
a la que le corresponde el campo
F (x, y, z, p, q) = xp 2 + yq 2 − z,
D = 2xp ∂ ∂
+ 2yq
∂x ∂y + 2(p2x + q 2 y) ∂
∂z + (p − p2 ) ∂
∂p + (q − q2 ) ∂
∂q .
Ahora 2xdp + (p − 1)dx es incidente con D, y multiplicando por p − 1 también lo
es d[(p − 1) 2 x], por tanto una integral primera de D es
y en {F = 0, f2 = a} tendremos que
f2 = (1 − p) 2 x,
a
p = 1 − , q =
x
z − ( √ x − √ a) 2
,
y
y por tanto
a z − (
ω = dz − pdx − qdy = dz − [1 − ]dx −
x √ x − √ a) 2
dy,
y
es proporcional a
a
1
1 − x
1
√ √ dz − √ √ dx − √ dy =
z − ( x − a) 2 z − ( x − a) 2 y
= 2d[ z − ( √ x − √ a) 2 − √ y],

576 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
por tanto para cada a, b ∈ R tenemos la solución
z − ( √ x − √ a) 2 = √ y + b ⇒ z = x − 2 √ ax + y + 2b √ y + a + b 2 .
Ejercicio 7.6.9.- Encontrar con el método de Lagrange–Charpit una integral
completa de la EDP
z = xzx + yzy + zxzy.
Ind. En el ejercicio (7.6.3) hemos encontrado las integrales primeras del campo
característico
x + q
p, q,
y + p .
Ahora para la primera tendremos que en {F = 0, p = a},
dz − pdx − qdy = dz − adx −
z − xa
y + a dy,
que es proporcional a la d z−xa
, y tenemos la integral completa
y+a
z = xa + yb + ab.
La segunda integral primera nos da algo similar y para la tercera tendremos que en
{F = 0, x+q
= a}
y+p
z + xy
z + xy
dz − pdx − qdy = dz − a − y dx −
− x dy,
a
a
que es proporcional a
d( √ √
ax y
z + xy − −
2 2 √ a ),
por tanto la integral completa es
√
√ ax y
z + xy − −
2 2 √ = b.
a
Ejercicio 7.6.10.- La normal en un punto de una superficie del espacio interseca
a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 en un par de puntos cuyo punto medio está en
z = 0. (a) Demostrar que la superficie satisface la EDP
z(z 2 x + z 2 y) + xzx + yzy = 0.
(b) Encontrar una integral completa de esta EDP.
Demostración. (a) La normal n = (zx, zy, −1) en cada punto p = (x, y, z(x, y))
de nuestra superficie define la recta p + λn que se corta con la esfera S en dos puntos
p + λ1n, p + λ2n, con las λi raíces de la ecuación
(x + λzx) 2 + (y + λzy) 2 + (z − λ) 2 = 1,
y cuyo punto medio p + [(λ1 + λ2)/2]n tiene nula la tercera componente, es decir
z = (λ1 + λ2)/2, por tanto de la ecuación sólo nos interesa el valor de (λ1 + λ2)/2,
que es
−xzx − yzy + z
z2 x + z2 .
y + 1

(b) El campo característico en F es
7.17. Ejercicios resueltos 577
D = (x + 2pz)∂x + (y + 2qz)∂y + z(p 2 + q 2 )∂z − p(1 + p 2 + q 2 )∂p − q(1 + p 2 + q 2 )∂q,
que tiene una integral primera u = p/q y por Lagrange–Charpit en {F = 0, p/q = a},
p = aq
y + xa
q = −
z(a2 + 1)
⇒ ω = dz +
que es proporcional a la diferencial de la función
ay + xa2
z(a2 y + xa
dx +
+ 1) z(a2 + 1) dy,
(a 2 + 1)z 2 + 2axy + a 2 x 2 + y 2 = (a 2 + 1)z 2 + (ax + y) 2 ,
y la solución es (a 2 + 1)z 2 + (ax + y) 2 = b, que representan cilindros de base circular,
con eje en el plano z = 0 pasando por el origen y ecuación z = 0, ax + y = 0, pues en
la recta ax + y = c, con c constante, z es constante, además esa recta dista del origen
d = |c|/ √ a 2 + 1 y d 2 + z 2 es constante.
Ejercicio 7.6.11.- La recta normal a una superficie en cada uno de sus puntos
corta a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, respectivamente en A, B
y C. Demostrar que si B es el punto medio de A y C entonces la superficie es
solución de la EDP
z = x
−
zx
2y
.
zy
Encontrar una integral completa.
Demostración. La recta es
(x, y, z) + λ(zx, zy, −1) = (x + λzx, y + λzy, z − λ),
y los tres puntos se obtienen respectivamente para x + λ1zx = 0, y + λ2zy = 0 y
λ3 = z es decir
A = (0, y + λ1zy, z − λ1) = (0, y − xzy
, z +
zx
x
),
zx
B = (x + λ2zx, 0, z − λ2) = (x − yzx
, 0, z +
zy
y
),
zy
y si (A + C)/2 = B, tendremos
C = (x + λ3zx, y + λ3zy, 0) = (x + zzx, y + zzy, 0),
y − xzy
+
2zx
zzy
x
= 0 ⇒ z =
2 zx
− 2y
.
zy
El campo característico de F = z − x/p + 2y/q (en F = 0) es
D = x
p 2
∂ 2y
−
∂x q2 el cual tiene la uno–forma incidente
dz
z
∂ ∂ 1 − p2
+ z +
∂y ∂z p
∂ 2 + q2
−
∂p q
pdp
+
p2
= d log z +
− 1 1
2 log(p2
− 1) ,
∂
∂q ,
y D tiene integral primera u = z2 (p2 − 1). Ahora en F = 0 y u = a,
√
z2 + a
p = , q =
z
2y√z2 + a
z(x − √ z2 + a)

578 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
por tanto dz − pdx − qdy es proporcional a
2z( √ z2 + a − x)
√ dz + 2(x −
z2 + a
z2 + a)dx + 4ydy =
= d(z 2 + x 2 + 2y 2 − 2x z 2 + a),
por tanto z 2 + x 2 + 2y 2 − 2x √ z 2 + a = b es una integral completa.
Ejercicio 7.7.1.- Demostrar que cada plano de una familia uniparamétrica de
planos del espacio es tangente a su envolvente.
Demostración. Consideremos una familia uniparamétrica de planos
xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t),
cuya envolvente, formada por las rectas (una para cada valor de t)
xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t),
xa ′ (t) + yb ′ (t) + zc ′ (t) = d ′ (t),
sea una superficie, entonces el plano tangente en cualquier punto de la recta está dado
por la primera ecuación. Consideremos pues un punto de la recta anterior (para un t
fijo) —observemos que esta recta está en la superficie y por tanto es tangente a ella
y está en el primer plano—, basta encontrar otra recta de este plano, pasando por
nuestro punto, tangente a la superficie. Para ello consideremos un plano xA + yB +
zC = D que contenga al punto, de modo que sean independientes los vectores
(a(t), b(t), c(t)), (a ′ (t), b ′ (t), c ′ (t)), (A, B, C)
y por tanto para el que localmente tiene solución única el sistema
xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t)
xa ′ (t) + yb ′ (t) + zc ′ (t) = d ′ (t)
xA + yB + zC = D
que nos define una curva (x(t), y(t), z(t)) de la superficie, cuyo vector tangente satisface
x ′ a(t) + y ′ b(t) + z ′ c(t) = 0,
y por tanto está en el plano xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t), que es lo que queríamos.
Ejercicio 7.7.2.- Hallar la envolvente de la familia de esferas de radio 1, con
centro en los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 4, z = 0 (figura (7.9)).
Solución. La envolvente se obtiene eliminando λ en las ecuaciones
(x − 2 cos λ) 2 + (y − 2 sen λ) 2 + z 2 = 1, (x − 2 cos λ) sen λ − (y − 2 sen λ) cos λ = 0,
y de la segunda tenemos x sen λ = y cos λ, por tanto
y
x
sen λ = , cos λ =
x2 + y2 x2 + y2 ,
y la envolvente es el toro de ecuación
x 2 2
(1−
x2 + y2 )2 +y 2 2
(1−
x2 + y2 )2 +z 2 = 1 ⇔ ( x2 + y2−2) 2 +z 2 = 1.

7.17. Ejercicios resueltos 579
Ejercicio 7.7.3.- Encontrar con el método de la envolvente la solución de la
ecuación
z 2 x + z 2 y = 1,
que pasa por la curva z = 0, x 2 + y 2 = 1.
Solución. En este caso F = p 2 + q 2 − 1, por lo que el campo característico es
y tiene integrales primeras
D = 2p ∂ ∂ ∂
+ 2q + 2
∂x ∂y ∂z ,
u1 = p, u2 = q, u3 = py − qx, u4 = zp − x,
para cada una de ellas —o sus combinaciones— podemos encontrar una integral
completa utilizando el método de Lagrange Charpit, por ejemplo si consideramos la
primera, tendremos que en
p 2 + q 2 = 1, p = a,
nuestra 1–forma dz − pdx − qdy es proporcional a la diferencial de
z − ax − 1 − a 2 y,
por lo tanto g = z − ax − √ 1 − a 2 y + b es una integral completa y considerando la
parametrización de nuestra curva
la restricción a ella de g
x(t) = cos t, y(t) = sen t, z(t) = 0,
f(t) = −a cos t − 1 − a 2 sen t + b,
planteamos las ecuaciones que nos darán a y b en función de t
f(t) = 0
f ′
(t) = 0
⇒
a cos t + 1 − a2 sen t = b
a sen t − 1 − a2 ⎫
⎬
cos t = 0
⎭
⇒
a = b cos t
b 2 = 1
y de las dos soluciones de este último sistema sólo lo es del primero el correspondiente
a b = 1 y a = cos t, en cuyo caso tenemos la familia de planos solución h t = 0, para
h = z − x cos t − y sen t + 1,
de la cual obtenemos la envolvente eliminando t entre las ecuaciones
⎫
h = 0
⎬ z + 1 = x cos t + y sen t
∂h ⇒ ⇒ (z + 1)
= 0⎭
0 = −x sen t + y cos t
∂t 2 = x 2 + y 2 .
Ejercicio 7.7.4.- Encontrar con el método de la envolvente las soluciones de la
ecuación
x[z 2 x + z 2 y] − zzx = 0,
que pasan respectivamente por las curvas
(1)
x = 0
z 2 = 4y,
(2)
x 2 = y = z 2
x > 0, z > 0,
(3)
x = z 2 ,
y = 0.

580 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Solución. (1) En el ejercicio (7.6.7) hemos visto que para cada a, b ∈ R
(7.29) a 2 x 2 + (ay + b) 2 − z 2 = 0,
es solución de nuestra ecuación. Ahora nuestra curva podemos parametrizarla de la
forma
x = 0, y = t 2 , z = 2t,
y para cada t queremos encontrar a y b de tal forma que la superficie (7.29) contenga
al punto (0, t 2 , 2t) de la curva y su plano tangente contenga a la recta tangente a la
curva en ese punto, es decir para
planteamos las ecuaciones
f(t) = a 2 0 + (at 2 + b) 2 − (2t) 2 ,
f(t) = 0, f ′ (t) = 0.
Ahora bien f = f1f2, para f1 = at 2 +b−2t y f2 = at 2 +b+2t y por tanto planteamos
las ecuaciones
es decir
[f1(t) = 0, f ′ 1 (t) = 0] ⇒ f(t) = 0, f ′ (t) = 0,
(at 2 + b) − 2t = 0, 2at − 2 = 0,
en definitiva tendremos que
a = 1
, b = t,
t
y tenemos una familia uniparamétrica de superficies solución
x2
y
2 + + t − z
t2 t 2 = 0,
o equivalentemente
h(x, y, z; t) = x 2 + (y + t 2 ) 2 − t 2 z 2 = 0,
de la cual debemos obtener ahora la envolvente que es
⎫
h = 0⎬
∂h
= 0⎭
∂t ⇒ 4x2 − z 4 + 4yz 2 = 0.
Ejercicio 7.7.5.- Encontrar con este método la solución de zxzy = 1, que pasa
por la curva z = 0, xy = 1.
Solución. En este caso F = pq − 1, por lo que el campo característico tiene a
p como integral primera, por tanto tenemos que en pq = 1, p = a, nuestra 1–forma
dz − pdx − qdy es proporcional a la diferencial de
z − ax − y
a ,
por lo tanto z = ax + (y/a) + b es una integral completa y dada la parametrización
de nuestra curva
x(t) = t, y(t) = 1/t, z(t) = 0,
consideramos f(t) = at + (1/at) + b y planteamos las ecuaciones f = 0 y f ′ = 0,
es decir 0 = at + (1/at) + b y 0 = a − 1/at 2 , que nos darán a y b en función de t.

7.17. Ejercicios resueltos 581
Consideremos de las dos soluciones a = 1/t y b = −2 y la familia de planos solución
z = x/t + ty − 2, de la cual obtenemos la envolvente eliminando t entre las ecuaciones
tz = x + t 2 y − 2t, z = 2ty − 2,
que despejando en la segunda t = (z + 2)/2y y por la primera la envolvente es
z = 2xy z + 2
+
z + 2 2 − 2 ⇔ (z + 2)2 = 4xy.
Ejercicio 7.9.1.- Resolver la ecuación xz 2 x + yz 2 y = z, utilizando el método de
Jacobi, reduciéndola antes a las de ese tipo.
Solución. Definimos la función F (x1, x2, x3, z1, z2, z3) = x1z 2 1 + x2z 2 2 − x3z 2 3 a
la que le corresponde el campo hamiltoniano
∂
∂
∂
DF = 2x1z1 + 2x2z2 − 2x3z3 − z
∂x1 ∂x2 ∂x3
2 ∂
1 − z
∂z1
2 ∂
2 + z
∂z2
2 ∂
3 .
∂z3
Consideremos una integral primera de DF , v2 = x1z2 1 y consideremos su campo
hamiltoniano
∂
D2 = 2z1x1 − z
∂x1
2 ∂
1 ,
∂z1
y ahora debemos considerar una integral primera común a DF y D2. Sea v3 = x2z2 2 .
La integral completa es
S = {F = 0, v2 = a, v3 = b}.
En S se tiene que
a
z1 = ,
x1
b
z2 = ,
x2
a + b
z3 = ,
x3
por tanto (x1, x2, x3) son coordenadas y en S
y la solución por tanto es
λ = z1dx1 + z2dx2 + z3dx3
a b a + b
= dx1 + dx2 + dx3
x1 x2 x3
= d[2 √ ax1 + 2 bx2 + 2 (a + b)x3],
2 √ ax1 + 2 bx2 + 2 (a + b)x3 = c.
Ejercicio 7.9.2.- Aplicar el método de Jacobi a una EDP del tipo F (ux, uy, uz) =
0 y encontrar una integral completa de ux + uy + uz = uxuyuz.
Solución. El campo Hamiltoniano es Fz i ∂xi, consideremos su integral primera
z1, su campo Hamiltoniano Fz1 ∂x1 y la integral primera común a ambos campos z2.
Ahora en la subvariedad de ecuaciones
z1 = a, z2 = b, F (z1, z2, z3) = 0,
λ es exacta. Despejemos en la subvariedad z3 = ϕ(a, b) —de modo que F (a, b, ϕ(a, b)) =
0—, entonces tendremos que en la subvariedad
λ = z1dx1 + z2dx2 + z3dx3 = d(ax1 + bx2 + ϕ(a, b)x3),

582 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
y u = ax1 + bx2 + ϕ(a, b)x3 + c es una integral completa.
Ahora para F = z1 + z2 + z3 − z1z2z3, tendremos que ϕ(a, b) = (a + b)/(ab − 1)
y la integral completa es
u = ax1 + bx2 +
a + b
ab − 1 x3 + c.
Ejercicio 7.9.3.- Aplicar el método de Jacobi a una EDP del tipo F (x, ux, uz) =
G(y, uy, uz) y encontrar una integral completa de
Solución. El campo Hamiltoniano es
2x 2 yu 2 xuz = x 2 uy + 2yu 2 x.
Fz1 ∂x − Gz2 ∂y + (Fz3 − Gz3 )∂z − Fx∂z1 + Gy∂z2,
que tiene integral primera z3. Su campo Hamiltoniano es ∂z y F es una integral
primera común a ambos campos. Ahora despejamos las zi en la subvariedad de ecuaciones
F (x, z1, z3) = G(y, z2, z3), z3 = a, F = b,
es decir de F (x, z1, a) = b despejamos z1 = ϕ1(x, a, b) y de G(y, z2, a) = b despejamos
z2 = ϕ2(y, a, b). Ahora en la subvariedad tenemos que
λ = z1dx + z2dy + z3dz = ϕ1(x, a, b)dx + ϕ2(y, a, b)dy + adz,
es exacta.
En el caso particular que nos dan
F (x, z1, z3) = 2z 2 1z3 − 2 z2 1
x2 , G(y, z2, z3) = z2
y
por tanto z3 = a, z2 = by y 2z2 1a − 2z2 1 /x2
b
= b, por tanto z1 = √ x
y se tiene
2 ax2−1 √
b x
b
λ = √ dx + bydy + adz = d(
2 ax2 − 1 a √ b
ax2 − 1 +
2
2 y2 + az),
por tanto la integral completa es
√
b
a √ b
ax2 − 1 +
2
2 y2 + az + c.
Ejercicio 7.9.4.- Aplicar el método de Jacobi a una EDP de Clairaut
y encontrar una integral completa de
xux + yuy + zuz = G(ux, uy, uz),
(ux + uy + uz)(xux + yuy + zuz) = 1.
Indicación. El campo Hamiltoniano es
(x − Gz1 )∂x + (y − Gz2 )∂y + (z − Gz3 )∂z − z1∂z1 − z2∂z2 − z3∂z3,

7.17. Ejercicios resueltos 583
que tiene integral primera z1/z3 que como depende sólo de las zi su campo Hamiltoniano
tiene integrales primeras a las zi, por tanto z2/z3 es integral primera suya y
del primer campo. Ahora despejamos las zi en la subvariedad
z1/z3 = a, z2/z3 = b, xz1 + yz2 + zz3 = G(z1, z2, z3),
es decir en z1 = az3, z2 = bz3 y z3(ax + by + z) = G(az3, bz3, z3) y en ella λ es
exacta.
En el caso particular dado, G(z1, z2, z3) = 1/(z1 + z2 + z3), por tanto
z3 =
z2 =
z1 =
y tenemos la integral completa
1
(ax + by + z)(a + b + 1) ,
b
(ax + by + z)(a + b + 1) ,
a
(ax + by + z)(a + b + 1) ,
2 √ ax + by + z
√ a + b + 1 + c.
Ejercicio 7.9.5.- Resolver la ecuación diferencial definida por el campo
∂
∂
∂
2x1z1 + 2x2z2 − 2x3z3
∂x1 ∂x2 ∂x3
− z 2 1
∂
∂z1
− z 2 2
∂
∂z2
Indicación. Siguiendo el ejercicio (7.9.1), encontramos que para
+ z 2 3
∂
.
∂z3
φ(x1, x2, x3; v1, v2, v3) = 2 √ x1v2 + 2 √ x2v3 + 2 (v2 + v3 − v1)x3,
λ = φx1 dx1+φx2 dx2+φx3 dx3 por tanto tenemos cinco integrales primeras del campo
que son
v1 = F = x1z 2 1 + x2z 2 2 − x3z 2 3 , v2 = x1z 2 1 , v3 = x2z 2 2 ,
∂φ x1
x3
= +
=
∂v2 v2 v2 + v3 − v1
1
+
z1
1
,
z3
∂φ x2
x3
= +
=
∂v3 v3 v2 + v3 − v1
1
+
z2
1
.
z3
Ejercicio 7.9.7.- Encontrar mediante el método de Hamilton–Jacobi las geodésicas
de la métrica de curvatura constante negativa K = −1 en el disco unidad
(1 − x 2 − y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy)
(1 − x 2 − y 2 ) 2
Indicación. En el ejercicio (3.11), de la pág.201, vimos que en coordenadas
polares la métrica es
(1 − ρ 2 )(dρ ⊗ dρ + ρ 2 dθ ⊗ dθ) + (ρdρ) ⊗ (ρdρ)
(1 − ρ 2 ) 2
= dρ ⊗ dρ + (1 − ρ2 )ρ2dθ ⊗ dθ
(1 − ρ2 ) 2
,

584 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
por lo tanto
E =
1
(1 − ρ2 ρ2
, F = 0, G = ,
) 2 1 − ρ2 y como EG − F 2 = ρ 2 /(1 − ρ 2 ) 3 , la ecuación de Hamilton–Jacobi es
ρ2φ2 ρ
+
1 − ρ2 φ2 θ
(1 − ρ2 2aρ2
=
) 2 (1 − ρ2 ) 3 ⇔ φ2ρ +
la cual tiene una integral completa en variables separadas
φ = bθ +
2a
(1 − ρ2 −
) 2
φ 2 θ
ρ 2 (1 − ρ 2 ) =
b 2
ρ 2 (1 − ρ 2 ) dρ
2a
(1 − ρ 2 ) 2
y haciendo φb = cte, tendremos
b dρ
θ =
ρ2 (1 − ρ2
2a
)
(1−ρ2 ) 2 b
−
2
ρ2 (1−ρ2
dρ
=
ρ
)
(cte)ρ2 − (1 − ρ2 )
dρ
=
ρ kρ2 1
= arctan + α,
− 1 kρ2 − 1
y las soluciones son las rectas, pues si hacemos un giro α
cos θ 1
=
sen θ tan θ = kρ2 − 1 ⇒ kρ 2 sen 2 θ = 1 ⇒ y = cte.
Ejercicio 7.9.8.- Encontrar mediante el método de Hamilton–Jacobi las geodésicas
de la métrica de curvatura constante positiva K = 1 en el plano
(1 + x 2 + y 2 )(dx ⊕ dx + dy ⊕ dy) − (xdx + ydy) ⊕ (xdx + ydy)
(1 + x 2 + y 2 ) 2
Indicación. Siguiendo el ejercicio anterior (7.9.7), tenemos que la métrica es
(1 + ρ 2 )(dρ ⊗ dρ + ρ 2 dθ ⊗ dθ) − ρ 2 dρ ⊗ dρ
(1 + ρ 2 ) 2
por lo tanto
E =
1
(1 + ρ2 ρ2
, F = 0, G = ,
) 2 1 + ρ2 = dρ ⊗ dρ + (1 + ρ2 )ρ2dθ ⊗ dθ
(1 + ρ2 ) 2
,
y como EG − F 2 = ρ 2 /(1 + ρ 2 ) 3 , la ecuación de Hamilton–Jacobi es
φ 2 ρ +
φ2 θ
ρ2 (1 + ρ2 ) =
2a
(1 + ρ2 ) 2
la cual tiene una integral completa en variables separadas
φ = bθ +
2a
(1 + ρ2 −
) 2
b 2
ρ 2 (1 + ρ 2 ) dρ
y haciendo φb = cte, tendremos la misma ecuación que en el ejercicio anterior
dρ
θ =
ρ kρ2 1
= arctan + α,
− 1 kρ2 − 1

y las soluciones son también las rectas.
7.17. Ejercicios resueltos 585
Ejercicio 7.10.1.- Demostrar que si una lagrangiana en el plano no depende de
x, L(x, y, y ′ ) = L(y, y ′ ), la solución de la ecuación de Euler-Lagrange satisface
L − y ′ Ly ′ = cte.
Indicación. La solución de la Ecuación de Euler–Lagrange satisface
por tanto
Ly = d
dx L y ′,
d
dx (L − y′ Ly ′) = Lyy ′ + Ly ′y ′′ − y ′′ ′ d
Ly ′ − y
dx Ly ′ = 0.
Ejercicio 7.10.2.- Para cada p = (x, y, z) ∈ R 3 − {x = 0, y = 0}, consideremos
el plano ∆p que contiene a los puntos p = (x, y, z) y (0, 0, z) y la pendiente de
su normal es la distancia de p al eje z. Demostrar que
(a) La distribución es totalmente integrable.
(b) Cada función en el plano cuya gráfica sea solución es una función
armónica.
(c) Dicha gráfica es una superficie mínima.
Indicación. El sistema de Pfaff está generado por ω = −ydx + xdy + (x 2 +
y 2 )dz, pues el vector normal N = (a, b, c) es ortogonal a (x, y, 0) y tiene pendiente
c/ √ a 2 + b 2 = x 2 + y 2 . Se demuestra que dω ∧ ω = 0 y la solución z satisface
zx =
y
x2 −x
, zy =
+ y2 x2 ,
+ y2 se comprueba que es solución de la Ecuación de LaPlace zxx + zyy
Ecuación de las superficies mínimas
= 0 y de la
⎛
⎞ ⎛
⎞
∂ ⎜ zx
⎝
∂x 1 + z2 x + z2 ⎟
⎠ +
y
∂ ⎜ zy
⎝
∂y 1 + z2 x + z2 ⎟
⎠ = 0.
y
Ejercicio 7.10.3.- (a) Demostrar que si una curva plana, cerrada ó no, gira
alrededor de un eje del plano que no la corta, el área de la superficie que
genera es igual a la longitud de la curva multiplicada por la distancia que
recorre el centro de masa de la curva. En el caso de que la curva sea de la
forma y = y(z) en [z1, z2], es
2π
z2
z1
y 1 + y ′2 dz.
(b) Entre todas las curvas del plano yz, que unen dos puntos (a1, b1) y
(a2, b2), encontrar la que genera una superficie de revolución en torno al eje z
de mínima área.

586 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
(c) ¿Es una superficie mínima?
Indicación. Si la curva es σ(t) = (y(t), z(t)), para σ : [0, 1] → R 2 , la superficie
es la imagen de
F : [0, 1] × [0, 2π] → R 3 , F (t, θ) = (y(t) cos θ, y(t) sen θ, z(t)),
para la que si llamamos A a la matriz Jacobiana de F , |AtA| = y ˙y 2 + ˙z 2 = y ˙s(t),
siendo
t
s(t) = ˙y 2 + ˙z 2dt, 0
el parámetro longitud de arco de la curva, por tanto el área es (ver apuntes de Teoría
de la medida)
|AtA| dm =
L
y(t) ˙s(t) dtdθ = 2π y(s)ds.
[0,1]×[0,2π]
[0,1]×[0,2π]
0
siendo L = s(1) la longitud de la curva y el resultado se sigue pues las coordenadas
del centro de gravedad de la curva en el plano yz, son
L
L
0 y(s) ds 0 z(s) ds
,
,
L L
y la abscisa es la distancia al eje z.
Otra forma de verlo menos general es si la curva es de la forma z = z(y), en cuyo
caso la superficie es la gráfica de la función, para ρ = x 2 + y 2
f : {x1 ≤ ρ ≤ x2} ⊂ R 2 → f(x, y) = z(ρ),
para la que 1 + f 2 x + f 2 y = 1 + z′ (ρ) 2 , por lo que tendremos que el área de la superficie
es
{a1≤ρ≤a2}
1 + z ′ (ρ) 2 dxdy =
a2
2π
a1
0
1 + z ′ (ρ) 2 ρ dρdθ = 2π
a2
Hágalo el lector para el caso en que la curva es de la forma x = x(z).
Figura 7.31. Catenoide
(b) Por el apartado (a) en el caso general consideramos la lagrangiana
L(t, y, z, ˙y, ˙z) = y ˙y 2 + ˙z 2 ,
a1
x 1 + z ′ (x) 2dx.

7.17. Ejercicios resueltos 587
para la cual las ecuaciones de Euler–Lagrange son
Lz = 0
Ly = ˙y 2 + ˙z 2
y ˙z
L ˙z =
˙y 2 + ˙z 2
y ˙y
L ˙y =
˙y 2 + ˙z 2 ,
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⇒
0 = d y ˙z
dt ˙y 2 + ˙z 2 ,
d y ˙y
˙y 2 + ˙z 2 =
dt ˙y 2 + ˙z 2 ,
y ˙z
= c(cte)
˙y 2 + ˙z 2
y para c = 0 se tiene z(t) constante, que es la solución si b1 = b2, en cuyo caso la
superficie es un disco agujereado. Si por el contrario b1 = b2 la solución corresponde
a c = 0 y por tanto ˙z = 0, por lo que la curva es de la forma y = y(z) y para
dy/dz = y ′ (z) = ˙y/ ˙z, tenemos que la ecuación es
y = c 1 + y ′2 ⇔ y ′ =
y2 − 1
c2 y teniendo en cuenta las propiedades del coseno hiperbólico (ver la definición en la
pág.56, donde además resolvimos esencialmente la misma ecuación diferencial (1.13)
que es la de la catenaria)
cosh ′ = senh, senh ′ = cosh, cosh 2 − senh 2 = 1, cosh ′ =
y considerando el cambio de variable cosh u = y/c, tendremos que
(7.30) u ′ = 1
c
z
y z
⇒ u = − d ⇒ = cosh − d,
c c c
⇒
cosh 2 x − 1,
y la solución es una catenaria (girada, pues y es función de z) (ver el ejercicio (1.9.5),
pág.54) y la superficie de revolución es una catenoide (ver fig.7.31).
Observemos que por dos puntos pasan infinitas catenarias (depende de la longitud
de la cadena que dejemos colgar) y no todas son solución de este problema, sólo las
de la forma que hemos obtenido. La constante c hace una homotecia y la d sube o
baja la superficie. Con la elección adecuada de ambas se consigue la que pasa por los
puntos dados. Sin embargo no siempre tiene solución, para ver esto consideremos que
el primer punto es (a1, b1) = (1, 0).
La familia de catenarias que lo contienen es (Fig.7.32, donde el eje y es horizontal
y el z vertical)
es decir
yr = cosh(zr − d), para r = cosh −d = cosh d,
(7.31) y cosh d = cosh(z cosh d − d),
y como el coseno hiperbólico es una función convexa, pues cosh ′′ = cosh > 0, cada
una corta a la recta y = 1 en dos puntos una con z = 0 y otro con z = z1 tal que
cosh d = cosh(z1 cosh d − d) ⇒ d = z1 cosh d − d ⇒ z1 = 2d
cosh d ,
y esta función de d toma un valor extremo en
0 = z ′ 1
= 2 cosh d − 2d senh d
cosh 2 d
⇒ d tanh d = 1,

588 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
la cual tiene sólo dos soluciones que llamamos ±d1 y
−ϕ = − 2d1
≤ z1 ≤
cosh d1
2d1
= ϕ ∼ 1, 19968,
cosh d1
(ver fig.7.32–Izqda.) de donde se sigue que no hay solución si tomamos el segundo
punto (a, b), con 0 < a ≤ 1 y |b| ≥ ϕ, pues en tal caso la solución cortaría a y = 1 en
un punto z1, con |z1| > ϕ.
j=1,199...
z
1
y
z
Figura 7.32. Catenarias que pasan por (1, 0)
De hecho lo que ocurre (no lo demostramos) es que la envolvente S de todas las
soluciones (7.31), que pasan por (1, 0) (ver fig.7.32–centro) separa en dos regiones S +
y S − el semiplano y > 0 y se verifica que:
Si el segundo punto está en S − no hay solución.
Si está en S hay curva solución pero no es la de mínima área que pase por él,
pues lo sería la solución degenerada del par de discos horizontales de centro el eje z,
a alturas 0 y b, que es la superficie de revolución que corresponde a la curva formada
por los tres segmentos: (a, b) − −(0, b), (0, b) − −(0, 0) y (0, 0) − −(1, 0).
S
1
y
z
S
S
(a,b)
Figura 7.33. La catenoide de la derecha es la de mínima area
Y si está en S + hay dos soluciones que pasan por él (ver fig.7.32–drcha.), pero
sólo una es la de mínima área, la que dista más del eje z (la de la derecha en la
fig.7.33)
(c) Por último se demuestra que, para ρ = x 2 + y 2 y
ρ z − d
= cosh ,
c c
z satisface la ecuación de las superficies mínimas (7.10.2, pág.500), pues derivando
respecto de x e y, llamando r = (z − d)/c y teniendo en cuenta que
ρx = x/ρ, ρy = y/ρ,
S
S
1
S
y

7.17. Ejercicios resueltos 589
tendremos que
x
= zx senh r,
ρ
y
ρ = zy senh r ⇒ 1 = (z2 x + z2 y ) senh2 r ⇒
z 2 x + z2 y =
c2
ρ2 − c2 ⇒
1 + z2 x + z2 y =
ρ
ρ2 − c2 ⇒
zx
1 + z2 x + z2 y
= cx
,
ρ2 zy
1 + z2 x + z2 y
= cy
ρ2 ⇒
x
∂x
ρ2
y
+ ∂y
ρ2
= ρ2 − 2x2 ρ4 + ρ2 − 2y2 ρ4 = 0.
Figura 7.34. La catenoide tiene curvatura media nula en todo punto
Por último en el ejercicio (8.9), se demuestra que f es solución de la EDP de
las superficies mínimas si y sólo si la superficie z = f(x, y) tiene curvatura media
nula en todo punto, es decir que en todo punto las curvaturas principales son iguales
y opuestas, lo cual geométricamente significa que el meridiano y el paralelo por un
punto P del paralelo de puntos mas cercanos al eje, tienen círculos osculadores de
igual radio, ver la fig.7.34, estas son las únicas catenarias válidas en nuestro problema.
Ejercicio 7.10.4.- Demostrar que si v(x, y) es la velocidad de una partícula en
un punto del plano (x, y), el tiempo que la partícula tarda en ir de un punto
(x0, y0) del plano a otro (x1, y1) a través de una curva y = y(x) es
x1 1 + y ′ (x) 2
v(x, y(x)) dx.
x0
Indicación. Parametricemos la curva por el tiempo σ(t) = (x(t), y(t)) tal que
σ(t0) = (x0, y0) y σ(t1) = (x1, y1) y denotemos y ′ = dy/dx y ˙y = dy/dt, por tanto
como
v(x(t), y(t)) = ˙x(t) 2 + ˙y(t) 2 = ˙x(t) 1 + y ′ (x(t)),
y poniendo t en función de x tendremos que t(x0) = t0 y t(x1) = t1, por tanto
t1 − t0 =
x1
x0
dt
dx =
dx
x1
x0
1
dx =
dx/dt
x1
x0
1 + y ′ (x) 2
v(x, y(x)) dx.
Ejercicio 7.10.5.- Consideremos en el semiplano y ≥ 0, el problema variacional
de la curva de mínimo tiempo cuando la velocidad en cada punto v(x, y) = y.

590 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Indicación. Por el ejercicio (7.10.4), el tiempo que la partícula tarda en ir de un
punto (x0, y0) del plano a otro (x1, y1) a través de una curva y = y(x) es
x1 1 + y ′ (x) 2
dx,
y
que corresponde a la Lagrangiana que no depende de x
L(x, y, y ′
1 + y ′ (x) 2
) =
,
y
x0
y cuya curva extremal es solución de la Ecuación de Euler–Lagrange y por el ejercicio
(7.10.1), es solución para una constante c y a = 1/c2 , de
1 + y ′ (x) 2
− y
y
′ y ′
y 1 + y ′ = c
(x) 2
⇒
1 = cy 1 + y ′ (x) 2
⇒ 1 = c 2 y 2 (1 + y ′2 ) ⇒ y ′
=
1
c2 − 1
y2 ⇒
y
dx −
a − y2 dy = 0 ⇒ x + a − y2 = b ⇒ y 2 + (x − b) 2 = a.
que son circunferencias centradas en el eje x.
Ejercicio 7.10.6.- Demostrar que la velocidad de un abalorio que cae sin rozamiento
por un alambre de un plano x, y perpendicular a la superficie de la
tierra, es en cada punto (x, y), v(x, y) = 2g(y0 − y) (para y0 la altura a la
que lo soltamos con velocidad nula, que podemos suponer como y0 = 0).
Indicación. Sea γ la trayectoria, parametrizada por el tiempo, del abalorio sobre
el alambre; las fuerzas que actúan sobre él son la de la gravedad F = (0, −mg) y la
que lo mantiene en la curva (una fuerza N que es normal a la curva), por lo tanto
F + N = mγ ′′ ,
y la componente tangencial de F coincide con la componente tangencial de mγ ′′ , es
decir
−mgy ′ = F · γ ′ = mγ ′′ · γ ′ = m(x ′ x ′′ + y ′ y ′′ ) = m( x′2 + y ′2
)
2
′ ,
y de esto se sigue que (x ′2 + y ′2 )/2 = −gy + a, para una constante20 a, la cual es nula
si la soltamos con velocidad nula desde y = 0. Por lo tanto el módulo de la velocidad,
es (observemos que y < 0)
v[σ(t)] = |σ ′ (t)| = −2gy.
Ejercicio 7.10.7.- Demostrar que la evolvente de la catenaria es la tractriz.
Indicación. La catenaria tiene ecuación
20 Que es la energía total, pues x ′2 +y ′2
z(x) = cosh x = ex + e−x ,
2
2
es la energía cinética y −gy es la potencial.

7.17. Ejercicios resueltos 591
por lo tanto como z ′ = senh y cosh2 − senh2 = 1, tendremos que la longitud del arco
de catenaria entre 0 y x = t es
t
1 + z
0
′ (x) 2 t
dx = cosh x dx = senh t = z
0
′ (t).
y el punto de la evolvente (x(t), y(t)), correspondiente al desarrollo tangencial de la
catenaria desde (0, z(0)) hasta (t, z(t)), satisface
(z(t) − y(t)) 2 + (t − x(t)) 2 t
= 1 + z
0
′ (x) 2 dx = senh t = z ′ z(t) − y(t)
(t) =
t − x(t) ,
de donde (por ser z = cosh)
x(t) = t −
senh t
1
, y(t) =
cosh t cosh t ,
que son las ecuaciones paramétricas de la catenaria, pues en cada punto el segmento
tangente de longitud 1 tiene su extremo en el eje x, ya que
y por lo tanto
x ′ = senh2
cosh2 , y′ = − senh
, 2 cosh
tiene la segunda componente nula, pues
y +
(x, y) + (x′ , y ′ )
x ′2 + y ′2 ,
x ′2 + y ′2 = senh
cosh ,
y ′ 1 senh
= −
x ′2 + y ′2 cosh t cosh2 cosh
= 0.
senh
Ejercicio 7.10.8.- Demostrar que si una masa se mueve sobre una superficie en
ausencia de fuerzas, las geodésicas minimizan la acción.
Solución. En este caso 0 = F = − grad V , por tanto V es una constante que podemos
tomar como V = 0 y la lagrangiana L = T − V = T , es la energía cinética. Por
tanto, según hemos visto, las curvas buscadas son las geodésicas sobre la superficie.
Ejercicio 7.13.1.- Demostrar que si D es la subida canónica de un campo
D ∈ D(V) al fibrado tangente, entonces:
(i) π ◦ Yt = Xt ◦ π, lo cual equivale a que π∗D = D.
(ii) [H, D] = 0, para H el campo de las homotecias.
Ind.- (ii) El grupo uniparamétrico de H es τt(Dx) = e t Dx, por tanto
Yt[τs(Dx)] = Xt∗[e s Dx] = e s Xt∗(Dx) = τs[Yt(Dx)].

592 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
7.18. Bibliografía y comentarios
Los libros consultados para la elaboración de este tema han sido los
siguientes.
Abraham, R., Mardsen, J.E. and Ratiu, T.: “Manifolds, Tensor Analysis, and
applications” Ed. Springer–Verlag, 1988.
Arnold, V.I.: “Mecánica clásica, métodos matemáticos”. Ed. Paraninfo, 1983.
Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Phisics. Vol. I y II,
Partial Differential Equations”. J.Wiley, 1962.
Dubrovin, B.A., Fomenko,A.T. and Novikov, S.P.: “Modern geometry–Methods
and applications”. Part.I Springer–Verlag, 1984.
Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986.
Godbillon, C.: “Geometrie differentielle et mecanique analytique”. Hermann, Paris,
1969.
Morris, M. and Brown,O.E. : “Ecuaciones diferenciales”. Ed. Aguilar, 1972.
Muñoz Diaz, J.: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982.
Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas”. Ed.
McGraw–Hill, 1977.
Sneddon, I.: “Elements of partial differential equations”. McGraw–Hill, 1981.
Spivak, M.: “A comprehensive Introduction to Differential Geometry”. 5 Vol. Pu-
blish or Perish, 1975.
Weinstock, Robert: “Calculus of Variations”. Dover, 1974.
Zachmanoglou, E.C. and Thoe, Dale W.: “Introduction to Partial Differential
Equations with Applications”. Dover, 1986.
Zarantonello, E.H.: “Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales”. Notas de
Curso, IMAF, Córdoba (Argentina), 1984.
Hasta la época del italo–francés Joseph Louis Lagrange, las ecuaciones
en derivadas parciales de primer orden se habían estudiado muy
poco, debido a la gran importancia, desde un punto de vista físico, que
habían tenido las de segundo orden. En tres artículos que publicó en
los años 1772, 1774 y 1779, aportó los conceptos fundamentales de la
teoría, desde un punto de vista analítico, en el caso bidimensional: la
ecuación diferencial del campo característico, la integral completa, la integral
general obtenida por el método de la envolvente, el método de
Lagrange–Charpit (que este último había desarrollado independientemente
en un trabajo no publicado de 1784), etc. Algunas dificultades
con las que se encontraron en la generalización al caso n–dimensional
fueron resueltas por A.L. Cauchy en 1819.

7.18. Bibliografía y comentarios 593
El punto de vista geométrico lo inició en 1770 el francés Gaspar
Monge, que en 1784 asoció a cada EDP de primer orden un cono en
cada punto del espacio, siendo las soluciones superficies tangentes a estos
conos. Introdujo la noción de curva característica , señalando en un
artículo de 1802, que cada superficie solución de una EDP, era un lugar
geométrico de curvas características, y que por cada punto de dicha superficie
pasaba una única curva característica. En cuanto a la unicidad
de solución, observó la importancia de que la curva por la que se quisiera
hacer pasar una superficie solución no fuera característica, dando
ejemplos de infinitas soluciones en caso contrario.
En cuanto al campo característico, se debe, como decíamos al final
del tema anterior, al matemático alemán Johann Friedrich Pfaff
(1765–1825), quién propuso el primer método general de integración de
una ecuación en derivadas parciales de primer orden (ver el T.9, pág.350
de la Enciclopaedia Britannica). En su trabajo sobre formas de Pfaff, que
publicó en la Academia de Berlín en 1815, Pfaff asocia a una ecuación en
derivadas parciales de primer orden la ecuación diferencial que define el
campo característico, la cual es fundamental para la resolución de estas
ecuaciones en derivadas parciales, sin embargo y aunque Gauss escribió
una reseña muy positiva del trabajo poco después de su publicación,
su importancia no fue reconocida hasta 1827 cuando Jacobi publicó un
trabajo sobre el método de Pfaff.
En 1621, el holandés Willebrord Snell (cuyo año de nacimiento
es dudoso: para algunos es 1580, para otros 1590 y para otros 1591),
descubrió la Ley de la refracción de la luz —que lleva su nombre—, sobre
la constancia de la relación entre los senos de los ángulos que un rayo
de luz forma al pasar de un medio a otro, respecto de la perpendicular
a la superficie que limita ambos medios (ver Simmons, pág. 43). Esta
Ley, descubierta de forma experimental, y que tuvo un papel básico en
el desarrollo de la Teoría de la luz, es consecuencia del Principio de
mínimo tiempo de Fermat, que Pierre de Fermat descubrió en 1657
y que establece que:
“La luz viaja de un punto a otro siguiendo el camino que requiere
mínimo tiempo”.
Este fue el primer Principio mínimo que aparece en Física y dice más
que la Ley de Snell, pues implica que ese valor constante es la proporción
de velocidades de la luz en ambos medios.
En 1744 Pierre de Maupertuis, enunció el Principio de la mínima
acción, en el que expresaba que:

594 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
“...la naturaleza siempre produce sus efectos por los medios mas simples...”.
y afirmaba que esta simplicidad era la causa por la que la Naturaleza
daba a una cierta cantidad, que el llamó acción, un valor mínimo. Sin
embargo aunque dio distintos ejemplos en los que así era, (ver la pág. 20
del libro)
Yourgrau, W. and Mandelstam, S.: “Variational Principles in Dynamics and
Quantum Theory”. W.B. Saunders Co., 1968.
su definición de acción era oscura y era más una intuición que una noción
precisa. No obstante este principio tuvo una gran trascendencia desde
entonces.
En el mismo año 1744, el suizo Leonhard Euler, es el primero en
publicar el principio de la mínima acción en la forma de un teorema. Su
proposición aseguraba que cuando una partícula viaja en un plano, de
un punto fijo a otro, describe un camino para el que la vds es mínima,
donde v es la velocidad de la partícula y s la longitud de arco. Y su
demostración se basaba en el cálculo de variaciones cuya fórmula básica
expone en el mismo trabajo (ver Yourgrau, pág. 24). No obstante
sus argumentos geométrico–analíticos fueron reemplazados y mejorados
por Lagrange mediante argumentos de naturaleza puramente analítica,
dando un procedimiento general, sistemático y uniforme, que servía para
una gran variedad de problemas y que esencialmente es el que nosotros
hemos estudiado en este tema. En 1755 Lagrange le escribió una carta
a Euler, exponiéndole su método de variaciones como él lo llamó, y que
Euler renombró, en un artículo del año siguiente, cálculo de variaciones.
Remitimos al lector interesado a la p.759 del libro
Kline, Morris: “El pensamiento matemático de la antiguedad a nuestros días”,
Tomo II. Alianza Univ., 1972.
El primero en dar una versión del Principio de mínima acción de
Hamilton fue Lagrange, pero suponía que la energía total era “la misma
constante” en las trayectorias posibles. El enunciado general, sin esta
limitación la demostró el irlandés William Rowan Hamilton, a la
edad de 30 años, extendiendo a la mecánica algo que había demostrado
3 años antes: que todos los problemas de óptica se podían resolver por
un método muy simple que incluía el principio de mínimo tiempo de
Fermat, como caso particular. De este modo la óptica y la mecánica se
manifestaron como simples aspectos del cálculo de variaciones.
En un trabajo de 1808 publicado en Mem. de L’institut de France,
Lagrange introduce el ahora llamado corchete de Lagrange de dos

funciones u, v como
7.18. Bibliografía y comentarios 595
{u, v} = ∂zi ∂xi ∂xi ∂zi
−
∂u ∂v ∂u ∂v ,
lo cual no es otra cosa que Λ( ∂ ∂
∂u , ∂v ), lo cual no tiene sentido a menos
que demos un sistema de coordenadas de la que formen parte nuestras
dos funciones y en ese caso el corchete depende de todo el sistema y no
sólo de u, v. Al año siguiente, 1809 Siméon–Denis Poisson publica en
el Journal de L’Ecole polytech. VIII (Cahier 15) un artículo en el que
introduce el corchete de Poisson de dos funciones u, v como
(u, v) = ∂u
∂v
∂zi ∂xi
− ∂u ∂v
,
∂xi ∂zi
que no es otra cosa que Λ(Du, Dv) y por tanto sólo depende de las dos
funciones y es intrínseco.
Fin del Tema 7

596 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Tema 8
EDP de orden superior.
Clasificación
8.1. Definición clásica
Desde un punto de vista clásico, llamamos ecuación en derivadas
parciales (EDP) de orden k en el plano, a una “expresión del tipo”
F (x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy, . . . , zx...x k , zxk−1 ... xy , . . . , zy k ...y ) = 0.
Una expresión similar para las coordenadas x1, . . . , xn en lugar de
x, y, define una EDP de orden k en R n .
En particular si consideramos las coordenadas
(x, y, z, p, q, r, s, t),
en R 8 , una EDP de segundo orden en el plano es una expresión del tipo
F (x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy) = 0,
597

598 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
donde F en una función diferenciable en un abierto de R 8 , para la que
supondremos que alguna de las tres derivadas parciales
Fr, Fs, Ft,
es no nula (para que F defina una EDP de segundo orden).
Una solución de esta EDP es cualquier función f en el plano tal que
la superficie de R 8 definida por las seis ecuaciones
z = f(x, y), p = fx(x, y), q = fy(x, y)
r = fxx(x, y), s = fxy(x, y), t = fyy(x, y),
esté en {F = 0}.
Es fácil demostrar que cualquier superficie de {F = 0}, en la que se
anulen las 1–formas de R 8
ω = dz − pdx − qdy,
ω1 = dp − rdx − sdy,
ω2 = dq − sdx − tdy,
y tenga coordenadas (x, y), define una función f —por restricción de z a
esa superficie—, z = f(x, y), que es solución de la EDP. Esto nos induce
a considerar, como hicimos en el tema anterior, el sistema de Pfaff en
R 8 , generado por las cuatro 1–formas
P =< dF, ω, ω1, ω2 >,
para el que, como veremos a continuación, a lo sumo existen superficies
tangentes.
Teorema 8.1 Toda subvariedad solución del sistema de Pfaff anterior a
lo sumo es bidimensional.
Demostración. Sea Tp(S) el espacio tangente de una tal subvariedad
en un punto p cualquiera y veamos qué dimensión tiene. En primer
lugar Tp(S) es incidente con dF , ω, ω1 y ω2 y es totalmente isótropo
para las 2–formas
dω = dx ∧ dp + dy ∧ dq = dx ∧ ω1 + dy ∧ ω2,
dω1 = dx ∧ dr + dy ∧ ds,
dω2 = dx ∧ ds + dy ∧ dt,

8.1. Definición clásica 599
de las cuales la primera no nos da ninguna información, pues Tp(S)
es incidente con las dos ωi. Consideremos ahora un subespacio E, que
contenga a Tp(S), totalmente isótropo para dω1 y dω2 y de dimensión
máxima. Entonces su dimensión es ≤ 6, pues la máxima dimensión de
un subespacio totalmente isótropo de una cualquiera de las dωi es 6, ya
que tienen un radical de dimensión 4 que está generado por
rad dω1 =< ∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
∂z ∂p ∂q ∂t >, rad dω2 =< ∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
∂z ∂p ∂q ∂r >,
y bastaría cortar E con el hiperplano de un vector de fuera del subespacio
con lo que encontraríamos que el radical es de dimensión mayor que 4.
Por lo tanto hay dos posibilidades:
1.- Si dim E = 6, como E es totalmente isótropo para dω1, tiene que
contener a su radical, pues en caso contrario podríamos ampliar E, con
algún elemento del radical que no contenga, a un espacio de dimensión
> 6 totalmente isótropo de dω1, lo cual es absurdo. Del mismo modo
debe contener al radical de dω2, por lo tanto
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, , , , ∈ E,
∂z ∂p ∂q ∂t ∂r
y si D ∈ E es otro vector independiente de los anteriores, (que podemos
elegir sin componentes en z, p, q, t y r), tendremos que
0 = dω1(D, ∂
) = Dx,
∂r
0 = dω2(D, ∂
) = Dy,
∂t
por tanto D es proporcional a ∂s y tendremos que
< ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, , , , , >= E,
∂z ∂p ∂q ∂t ∂r ∂s
ahora bien si D ∈ Tp(S), ωD = ω1D = ω2D = 0, por tanto D no tiene
componente en la z ni en la p ni en la q y en definitiva
Tp(S) ⊂< ∂ ∂ ∂
, ,
∂t ∂r ∂s >,
pero no puede coincidir con este espacio pues debe ser incidente con dF
y esos tres vectores no pueden a la vez ser incidentes con dF , pues al
menos una de las tres funciones Fr, Fs ó Ft debe ser no nula.

600 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
2.- Si dim E ≤ 5, como en cualquier caso ∂z, ∂p, ∂q ∈ E, pues E es
maximal, la parte de este espacio incidente con ω no puede coincidir con
E, pues no contiene la ∂z, por tanto a lo sumo es de dimensión 4, por lo
que lo llamamos E4 y satisface ∂z, ∂p ∈ E4, que a su vez la parte de E4
incidente con ω1 no contiene la ∂p, por tanto a lo sumo es de dimensión
3 y contiene a la ∂q y a su vez la parte de este espacio incidente con ω2,
no contiene a ese vector, por lo que a lo sumo es bidimensional.
Para resolver este sistema de Pfaff lo primero que hay que hacer es
buscar algún campo tangente de su sistema característico, con intención
de proyectar el sistema de Pfaff. Sin embargo no existe ningún campo en
el característico, pues de existir alguno D, debe verificar las condiciones
y si suponemos que Fr = 0 y que
tendremos que al ser iDω2 = 0
DF = ωD = ω1D = ω2D = 0,
D L ω, D L ω1, D L ω2 ∈ P,
D L ω2 = f1dF + f2ω + f3ω1 + f4ω2,
D L ω2 = iDdω2 + diDω2 = iDdω2
= iD (dx ∧ ds + dy ∧ dt)
= (Dx)ds − (Ds)dx + (Dy)dt − (Dt)dy,
lo cual implica que son nulas las componentes de dz, dp, dq y dr, es decir
0 = f1Fz + f2 = f1Fp + f3 = f1Fq + f4 = f1Fr,
y por tanto f1 = 0, lo cual a su vez implica que f2 = f3 = f4 = 0 y esto
que la 1–forma D L ω2 = 0, por lo tanto
lo cual a su vez implica que
Dx = Ds = Dy = Dt = 0,
Dz = pDx + qDy = 0,
Dp = rDx + sDy = 0,
Dq = sDx + tDy = 0,
ya que ωD = ω1D = ω2D = 0. Por último que la componente Dr = 0
se sigue de DF = 0. Un análisis similar se hace en los otros dos casos en

8.2. Operadores diferenciales lineales 601
que Fs ó Ft son no nulas, observando que o bien Ft = 0 ó Fr = Ft = 0
y Fs = 0.
Esta es la razón por la que una EDP de primer orden se reduce
esencialmente al estudio de una ecuación diferencial (el campo del característico),
mientras que las EDP de orden superior forman una teoría
aparte de las ecuaciones diferenciales.
8.2. Operadores diferenciales lineales
Consideremos una EDP en el plano, de segundo orden y lineal en z,
zx, zy, zxx, zxy y zyy, es decir del tipo
azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + fz = 0,
donde a, b, c, d, e, f son funciones de x, y. Esta ecuación define un (ODL),
operador diferencial lineal en C ∞ (R 2 )
a ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ 2b + c + d + e + f.
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y
En esta lección daremos la definición intrínseca de los operadores de
este tipo.
8.2.1. Corchete de Lie de operadores lineales.
Definición. Sea V una variedad diferenciable. Llamaremos operador lineal
en un abierto V ⊂ V a toda aplicación R–lineal
P : C ∞ (V ) −→ C ∞ (V )
Cada función f ∈ C ∞ (V ) define un operador lineal, que denotaremos
igual
f : C ∞ (V ) −→ C ∞ (V ), f(g) = f · g.
Llamaremos corchete de Lie de dos operadores P1, P2, al operador
[P1, P2] = P1 ◦ P2 − P2 ◦ P1.

602 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Proposición 8.2 Sean P, P1, P2, P3 operadores lineales y f, g ∈ C ∞ (V ),
entonces:
i) [P1, P2] = −[P2, P1].
ii) [P1, P2 + P3] = [P1, P2] + [P1, P3].
iii) [P1, P2 ◦ P3] = [P1, P2] ◦ P3 + P2 ◦ [P1, P3].
iv) [P1, [P2, P3]] = [[P1, P2], P3] + [P2, [P1, P3]].
v) [[P, f], g] = [[P, g], f].
Demostración. Hágase como ejercicio.
Definición. Llamaremos operador diferencial lineal (ODL) de orden 0
en el abierto V ⊂ V a todo operador lineal
P : C ∞ (V ) → C ∞ (V ),
tal que [P, f] = 0 para toda f ∈ C ∞ (V ). Los denotaremos O0(V ).
Proposición 8.3 O0(V ) = C ∞ (V ), es decir los ODL de orden 0 son los
operadores que definen las funciones.
Demostración.
P (f) = (P ◦ f)(1) = [P, f](1) + (f ◦ P )(1) = f · P (1).
Nota 8.4 Debemos observar que un operador P de orden 0 no es una
función, la función realmente es P (1), aunque en general no distinguiremos
entre la función y el ODL que define.
Definición. Diremos que un operador lineal P en V es un operador
diferencial lineal (ODL) de orden n, si para toda f ∈ C ∞ (V ), [P, f] es
un ODL de orden n − 1. Denotaremos con On(V ) los ODL de orden n
en el abierto V , por tanto tendremos que
O0(V ) = C ∞ (V ) ⊂ O1(V ) ⊂ . . . ⊂ On(V ) ⊂ . . .
Proposición 8.5 Dado un operador lineal P en V , es un ODL de orden
n si y sólo si
f0, f1, . . . , fn ∈ C ∞ (V ) ⇒ [. . . [[P, f0], f1], . . . , fn] = 0.
Proposición 8.6 i) Si P1, P2 ∈ On(V ), entonces P1 + P2 ∈ On(V ).
ii) Si Pn ∈ On(V ) y Pm ∈ Om(V ), entonces Pn ◦ Pm ∈ On+m(V ).
iii) Para cada n, On(V ) es un módulo sobre el anillo C ∞ (V ).

8.2. Operadores diferenciales lineales 603
Demostración. i) Que es estable por sumas se hace por inducción
teniendo en cuenta que si P1 y P2 son ODL de orden n
[P1 + P2, f] = [P1, f] + [P2, f],
que es de orden n − 1.
ii) Lo haremos por inducción en n+m. Si n+m = 0, entonces ambos
operadores son funciones y su composición es el producto, por tanto el
resultado se sigue. Sean ahora Pn de orden n y Pm de orden m, entonces
tenemos que probar que [Pn ◦ Pm, f] es un operador de orden n + m − 1,
pero esto se sigue de (8.2), pues
[Pn ◦ Pm, f] = [Pn, f] ◦ Pm + Pn ◦ [Pm, f],
y el resultado se sigue por inducción.
iii) Que el producto de una función por un ODL es un ODL se sigue
de (ii) para n = 0.
8.2.2. Restricción de un ODL.
Veamos que los ODL se restringen, es decir que si U ⊂ V son abiertos
de V y P ∈ On(V ), P |U ∈ On(U).
Proposición 8.7 Sea P ∈ On(V ) y f, g ∈ C ∞ . Si f = g en un abierto
U ⊂ V , entonces P (f) = P (g) en U.
Demostración. Lo haremos por inducción en n, el orden de P .
Para n = 0 es trivial. Supongamos que es cierto para los operadores de
On−1(V ) y veamos que es cierto para los de orden n.
Por la linealidad de P , basta demostrar que si h = 0 en U, entonces
P (h) = 0 en U. Sea x ∈ U y consideremos una función “badén” en x
—ver (1.8), pág.7—, es decir una función ϕ no negativa, que valga 1 en
un entorno de x y 0 fuera de un cerrado de U. Entonces hϕ = 0 en V ,
por lo que
0 = P (ϕh) = (P ◦ ϕ)(h) = [P, ϕ](h) + ϕ · P (h),
y como [P, ϕ] es de orden n − 1 el resultado se concluye.
Definición. Definimos la restricción de un ODL P a un abierto U ⊂ V ,
como el operador
P |U : C ∞ (U) → C ∞ (U), P |U (f)(x) = P (f)(x),
para cada x ∈ U y f ∈ C ∞ (V ) que coincida con f en un entorno de x.

604 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
El resultado anterior prueba que P |U (f)(x) = P (f)(x), no depende
de la función f elegida.
Lema 8.8 Para cualquier aplicación P : C ∞ (V ) → C ∞ (V ) y cualesquiera
fi, g ∈ C ∞ (V )
[. . . [[P, f0], f1], . . . , fn](g) =
= P ( fig) − fiP (
fjg)+
i

8.2. Operadores diferenciales lineales 605
Expresión en coordenadas de un ODL de primer orden.
Proposición 8.10 Sea P ∈ O1(V), entonces Df = [P, f](1) es una derivación.
Demostración. Para cualesquiera funciones f, g, [P, f](g) = g ·
[P, f](1), pues [P, f] ∈ O0, por tanto
D(gh) = [P, gh](1) = ([P, g] ◦ h + g ◦ [P, h])(1) =
= h · Dg + g · Dh,
D(a) = [P, a](1) = 0,
D(af1 + bf2) = [P, af1 + bf2](1) = a[P, f1](1) + b[P, f2](1)
= aDf1 + bDf2.
Proposición 8.11 Si P ∈ O1(V), entonces existe una única función f y
una única derivación D tales que P = f + D.
Demostración. Si existen f y D son únicos, pues P (1) = f y
D = P − P (1). Basta demostrar que D = P − P (1) es una derivación.
Veamos en primer lugar quien es D(g) para cada función g,
D(g) = P (g) − P (1)g = (P ◦ g)(1) − (g ◦ P )(1) = [P, g](1),
y concluimos por el resultado anterior (8.10).
Se sigue por tanto que en un abierto coordenado V , un ODL de orden
1, P ∈ O1 se escribe de la forma
n ∂
P = f + fi ,
∂xi
i=1
para f = P (1) y fi = Dxi = [P, xi](1) = P (xi) − xif.
Expresión en coordenadas de un ODL de segundo orden.
Veamos en primer lugar un par de consecuencias triviales de la fórmula
(8.8), pág.604.
[. . . [[P, f0], f1], . . . , fn](g) =
= P ( fig) − fiP (
fjg)+
j=i
+
fifkP (
fjg) + · · · + (−1) n+1 f0 · · · fnP (g).
i

606 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Proposición 8.12 (i) Para cualquier aplicación P : C ∞ (V ) → C ∞ (V ),
cualesquiera f0, . . . , fn ∈ C ∞ (V ) y x ∈ V tales que fi(x) = 0
n
P ( fi)(x) = [. . . [[P, f0], f1], . . . , fn](1)(x).
i=0
(ii) Si P ∈ On(V ) y f0, . . . , fn ∈ C ∞ (V ) se anulan en x ∈ V , entonces
P (f0 · · · fn)(x) = 0.
Veamos ahora la expresión de un operador de orden 2, P ∈ O2(V),
en el abierto coordenado V .
Consideremos las funciones
f = P (1),
fi = [P, xi](1) = P (xi) − xif,
fij = 1
2 [[P, xi], xj](1) = 1
2 [[P, xj], xi], (= fji por 8.2)
= 1
2 (P (xixj) − xiP (xj) − xjP (xi) + xixjf) (por (8.8)).
Sea g ∈ C ∞ (V ) y a ∈ V , entonces por la Fórmula de Taylor
g = g(a) +
n
gi(a)(xi − ai) +
i=1
n
gij(xi − ai)(xj − aj),
i,j=1
gi(a) = ∂g
(a), gij(a) + gji(a) =
∂xi
∂2g (a),
∂xixj
y aplicando P a ambos lados, llamando yi = xi − ai, tendremos
P (g) = g(a)P (1) +
n
gi(a)P (xi − ai) +
i=1
ahora bien, por la proposición anterior (8.12)
P ((gij − gij(a))yiyj) (a) = 0,
n
P (gijyiyj),
i,j=1
P (yiyj)(a) = [[P, yi], yj](a) = [[P, xi], xj](a) = 2fij(a),

por lo tanto
P (g)(a) = g(a)f(a) +
8.2. Operadores diferenciales lineales 607
= g(a)f(a) +
= g(a)f(a) +
= g(a)f(a) +
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
fi(a) ∂g
(a) +
∂xi
fi(a) ∂g
(a) + 2
∂xi
fi(a) ∂g
(a) +
∂xi
fi(a) ∂g
(a) +
∂xi
n
gij(a)P (yiyj)(a)
i,j=1
n
fij(a)gij(a)
i,j=1
n
fij(a)[gij(a) + gji(a)]
i,j=1
n
i,j=1
fij(a) ∂2g (a),
∂xixj
y eliminando en ambos lados la a y la g tenemos la expresión de P
n
n ∂
∂
P = f + fi + fij
∂xi
2
.
∂xixj
i=1
i,j=1
Ejercicio 8.2.1 Expresa en las coordenadas u = x + y, v = x − y, los ODL de
orden 2 del plano
x 2 ∂ 2
∂2
+ 2xy
∂x2 ∂x∂y + y2 ∂ 2
,
∂y2 ∂ 2
∂2
+
∂x2 ∂x∂y
∂2 ∂ ∂
+ + + + xy.
∂y2 ∂x ∂y
Expresión en coordenadas de un ODL de orden m.
Para un ODL P de orden m se obtiene una expresión similar. Para
verlo introducimos la siguiente notación.
Denotaremos los multi–índices con letras griegas α, β, . . . y para cada
multi–índice α = (α1, . . . , αn) ∈ N n definimos 1
|α| = α1 + · · · + αn, α! = α1! · · · αn!,
D α = ∂α1+···+αn
∂x α1 ,
· · · ∂xαn
1
asimismo escribiremos α ≤ β para denotar las desigualdades componente
a componente. Consideremos un sistema de coordenadas locales
(x1, . . . , xn) en un entorno de un punto de V, y denotemos
x α = x α1
1
1 Aquí entendemos por N = {0, 1, 2, . . .}.
· · · xαn
n , x 1 = x1 · · · xn.
n

608 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Ejercicio 8.2.2 Demostrar que
D β x α
α!
(α−β)! =
xα−β , si β ≤ α
0, en caso contrario.
y para todo a ∈ V
D β (x − a) α (a) =
α!, si β = α
0, si β = α.
En tales términos se tiene el resultado siguiente.
Teorema 8.13 Todo operador diferencial lineal P ∈ Om(V) se expresa
en un entorno coordenado (V ; xi) de forma única como
P =
fβD β ,
con las funciones
|β|≤m
fβ = 1
β1
[. . . [P, x1], . . .], x1], . . . , ]xn],
β! βn . . .], xn](1).
Por tanto Om(V ) es un módulo libre con base {D β : β ∈ N n , |β| ≤ m}.
Demostración. Sea g ∈ C∞ (V ) y a ∈ V , entonces por la fórmula de
Taylor (1.14), pág.13, se tiene como fácilmente puede probar el lector,
g =
cβ(x − a) β +
hα(x − a) α ,
|β|

8.2. Operadores diferenciales lineales 609
Por último la expresión es única, pues si hubiese dos tendríamos que
su diferencia
|β|≤m gβDβ = 0 y se sigue del ejercicio que para todo a
y todo α, con |α| ≤ m
0 =
|β|≤m
gβD β ((x − a) α )(a) = α!gα(a) ⇒ gα(a) = 0.
Nota 8.14 Observemos que la definición de las f´s en este caso no es
la misma que en el caso anterior aunque aparentemente la expresión del
operador sea la misma. La diferencia estriba en que en el caso anterior
hemos distinguido entre
∂ 2
∂xixj
y
∂2 ,
∂xjxi
mientras que en el caso general no, ambas son D β , para βi = βj = 1 y
βk = 0, con k = i, j.
8.2.4. Caracterización del Operador de LaPlace
Los resultados de este epígrafe nos los contó Juan Sancho de Salas.
En él se caracteriza el operador de LaPlace de R n
∆ =
n
∂ 2
∂x
i=1
2 i
como el único, salvo adición y multiplicación por escalares, invariante por
traslaciones y giros. Esto explica que en Física aparezca en las ecuaciones
fundamentales de Laplace, de ondas ó del calor, donde las cuestiones que
se estudian son invariantes por traslaciones y giros, es decir el espacio es
homogéneo, isótropo, igual en todas las direcciones.
Definición. Dado un difeomorfismo φ: U → V, definimos las aplicaciones
inversas
φ ∗ P = φ ∗ ◦ P ◦ φ∗ ∈ On(U), φ ∗ P (f) = P (f ◦ φ −1 ) ◦ φ,
φ∗Q = φ∗ ◦ Q ◦ φ ∗ ∈ On(V), φ∗Q(f) = Q(f ◦ φ) ◦ φ −1 ,
para P ∈ On(V), Q ∈ On(U), φ ∗ : C ∞ (V ) → C ∞ (U), φ ∗ f = f ◦ φ y
φ∗ : C ∞ (U) → C ∞ (V ), φ∗g = g ◦ φ −1 .
,

610 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Se demuestra por inducción que φ∗P y φ ∗ P son ODL, pues por
ejemplo para n = 0, si P (f) = gf, entonces φ ∗ P (h) = (g ◦ φ)h, por
lo que coincide con nuestra definición previa de φ ∗ g y se tiene que
φ ∗ P (φ ∗ f) = φ ∗ (P f). Además si es cierto para los de orden n−1, también
para los de orden n, pues [P, g] es de orden n − 1 y
ya que para toda función φ ∗ h,
[φ ∗ P, φ ∗ g] = φ ∗ [P, g],
[φ ∗ P, φ ∗ g](φ ∗ h) = φ ∗ P (φ ∗ g · φ ∗ h) − φ ∗ g · φ ∗ P (φ ∗ h)
= φ ∗ P (φ ∗ (g · h)) − φ ∗ g · φ ∗ (P (h))
= φ ∗ [P (g · h) − g · P (h)] = φ ∗ [P, g](φ ∗ h).
Además φ∗ y φ ∗ conmutan con sumas y composiciones.
Definición. Diremos que un ODL P es invariante por un difeomorfismo
φ si φ∗P = P (equivalentemente φ ∗ P = P ).
Proposición 8.15 Un ODL P = fαD α ∈ Ok(R n ) es invariante por
todas las traslaciones sii las fα son constantes.
Demostración. Sea φ(x) = x + b, entonces φ∗∂xi = ∂xi , pues
φ∗∂xi xj = φ∗(δij) = δij = ∂xi xj,
por tanto como φ∗P = φ∗fαD α = fαD α , tendremos que φ∗fα =
fα, es decir fα(x) = fα(x + b) para todo x y b y fα es constante.
Proposición 8.16 Un polinomio p(x1, . . . , xn), en n ≥ 2 variables, es
invariante por giros de centro el origen sii es un polinomio en r 2 = x 2 i ,
q(r 2 ) = air 2i .
Demostración. El polinomio en una variable t(x) = p(x, 0, . . . , 0) =
bix i , satisface t(x) = t(−x), pues existe un giro que lleva (x, 0, . . . , 0)
en (−x, 0, . . . , 0), por tanto t(x) no tiene coeficientes impares y es de la
forma t(x) = q(x 2 ) ahora bien p(x1, . . . , xn) y q(r 2 ) son polinomios en n
variables que coinciden en los puntos de la forma (x, 0, . . . , 0) y ambos
son invariantes por giros, pero p(x1, . . . , xn) = p(r, 0, . . . , 0) = q(r 2 ),
pues con un giro pasamos de x = (xi) a (r, 0, . . . , 0).

8.2. Operadores diferenciales lineales 611
Lema 8.17 Sea φ: R n → R n isomorfismo lineal con matriz A, entonces
φ ∗ xi = aijxj, φ∗∂xi = aji∂xj ,
y si además φ es un giro (A t A = I), entonces A t = A −1 y se tiene
φ ∗ xi = aijxj, φ −1
∗ ∂xi = aij∂xj .
Teorema 8.18 Todo ODL en R n , con n ≥ 2, que sea invariante por
giros (centrados en el origen) y traslaciones es un polinomio P (∆) en el
operador de Laplace ∆ = ∂xixi .
Demostración. Por (8.15), pág.610, sabemos que los coeficientes
fα, son constantes. Consideremos ahora el isomorfismo de álgebras ϕ
entre los polinomios p = λαx α y los ODL de coeficientes constantes
P = λαD α , el cual por el lema anterior cumple para cada giro φ
ϕ[φ ∗ xi] = φ −1
∗ [ϕ(xi)],
pues ambas expresiones valen aij∂xj . Por tanto para todo polinomio
p
ϕ[φ ∗ p] = φ −1
∗ [ϕ(p)],
y p es un polinomio invariante por giros (centrados en el origen) sii
P = ϕ(p) es invariante por giros, pero los polinomios invariantes por
giros son por (8.16) de la forma q(r 2 ) = air 2i y como ϕ(r 2 ) = ∆,
tendremos que P = ai∆ i .
Corolario 8.19 El operador de Laplace es el único, salvo adición y multiplicación
por escalares, ODL de orden 2 en R n invariante por giros y
traslaciones.
8.2.5. Derivada de Lie de un ODL
Definición. Sea D ∈ D(V), con grupo uniparamétrico τt, llamamos
derivada de Lie de un ODL P con D al ODL
D L τ
P = lím
t→0
∗ t P − P
.
t
Teorema 8.20 La derivada de Lie de un ODL P es un ODL y
D L P = [D, P ].

612 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Demostración. Para n = 0, D L f = Df = [D, f]. Para E un campo
tangente D L (E) = [D, E]. Si para dos ODL P, Q es cierto también lo es
para P ◦ Q, pues la derivada conserva la suma y para la composición
D L τ
(P ◦ Q)f = lím
t→0
∗ t (P ◦ Q)f − (P ◦ Q)f
t
τ ∗ t P (τ ∗ t Qf) − P (Q(f))
= lím
t→0
t
= lím τ
t→0
∗
∗ ∗ τt Q(f) − Q(f) τt P − P
t P
+
(Qf)
t
t
= (P ◦ D L Q + D L P ◦ Q)(f),
y como todo ODL localmente es P = fαD α , el resultado se sigue por
las propiedades del corchete de Lie.
8.3. El símbolo de un ODL
Consideremos un ODL P ∈ O2(U) en un sistema de coordenadas
(x, y) del abierto U del plano
P = a ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ 2b + c + d + e + f.
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y
Si ahora consideramos un nuevo sistema de coordenadas (u, v) y expresamos
P en él
P = A ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ 2B + C + D + E + F,
∂u∂u ∂u∂v ∂v∂v ∂u ∂v

es fácil comprobar que
8.3. El símbolo de un ODL 613
[[P, u], u]
A = =
2
P (u2 )
2 − uP (u) + u2f 2
= au 2 x + 2buxuy + cu 2 y,
[[P, u], v]
B = =
2
P (uv) − uP (v) − vP (u) + uvf
2
= auxvx + buxvy + buyvx + cuyvy,
[[P, v], v]
C = =
2
P (v2 )
2 − vP (v) + v2f 2
= av 2 x + 2bvxvy + cv 2 y,
lo cual implica que
A B
=
B C
y esto a su vez que
ux uy
vx vy
·
a b
·
b c
ux vx
uy vy
AC − B 2 = (ac − b 2 )(uxvy − uyvx) 2 ,
y por tanto el signo de ac − b 2 coincide con el de AC − B 2 . Esto nos
dice que “el signo del determinante de la parte cuadrática” es intrínseco
(invariante por difeomorfismos).
A continuación damos un paso en la explicación del por qué de ese
“signo canónico”.
Proposición 8.21 Dado P ∈ On(V) existe un único tensor simétrico
T ∈ T n
0 (V) tal que para cualesquiera f1, . . . , fn ∈ C ∞ (V)
T(df1, . . . , dfn) = 1
n! [. . . [[P, f1], f2], . . . , fn],
Además la aplicación que define P ∈ On(V) → T ∈ T n
0 (V) es un morfismo
de C ∞ (V)–módulos.
Demostración. Dado x ∈ V y ω1x, . . . , ωnx ∈ T ∗ x (V), definimos
Tx(ω1x, . . . , ωnx) = 1
n! [. . . [[P, f1], f2], . . . , fn](x),
para f1, . . . , fn ∈ C ∞ (V), tales que dxfi = ωix. Que el lado derecho de
la igualdad no depende de los representantes elegidos es consecuencia

614 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
de (8.10) y de (8.2). Que Tx es lineal en cada componente se sigue de
(8.10) y de (8.2). Que es simétrico se sigue de (8.2) y por último la
diferenciabilidad se sigue de que en un abierto coordenado V
1
Tx(dxxi1 , . . . , dxxin ) = [. . . [[P, xi1 ], xi2 ], . . . , xin ](x),
n!
es una función diferenciable de V .
Definición. Llamaremos el símbolo de un operador diferencial lineal P ,
al tensor simétrico T del resultado anterior.
Veremos que, en el caso de que dim V = n = 2, el signo (> 0, = 0, < 0)
al que hacíamos referencia en el párrafo anterior está relacionado, con
el número 0, 1, ó 2, de 1-formas independientes isótropas respecto del
tensor, es decir que satisfacen T(ω, ω) = 0.
Consideremos la EDP en un abierto U de R 2 , de segundo orden y
lineal en z, zx, zy, zxx, zxy y zyy,
(8.1) azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + fz = 0,
donde a, b, c, d, e, f son funciones de U. Esta ecuación define el ODL de
orden 2, P ∈ O2(U)
P = a ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ 2b + c + d + e + f,
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y
cuyo símbolo es el tensor simétrico T ∈ T 2
0 (U)
T = T(dx, dx) ∂ ∂
∂ ∂
⊗ + T(dx, dy) ⊗
∂x ∂x ∂x ∂y +
+ T(dy, dx) ∂ ∂
∂
⊗ + T(dy, dy)
∂y ∂x ∂y
⊗ ∂
∂y =
= [[P, x], x] ∂ ∂ [[P, x], y] ∂ ∂
⊗ + ⊗
2 ∂x ∂x 2 ∂x ∂y +
+ [[P, y], x] ∂ ∂ [[P, y], y] ∂ ∂
⊗ + ⊗
2 ∂y ∂x 2 ∂y ∂y =
= a ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⊗ + b ⊗ + b ⊗ + c ⊗
∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ,
es decir que los coeficientes del símbolo de un ODL de orden 2, en un
sistema de coordenadas, son los coeficientes de la “parte cuadrática del

8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación 615
ODL” en ese sistema de coordenadas,
a ∂2 ∂2 ∂2 ∂2
+ b + b + c
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y∂y ,
y esto aunque la “parte cuadrática” del ODL no es intrínseca, depende
de las coordenadas, es decir que lo que es “parte cuadrática” del ODL
en un sistema de coordenadas, se convierte en la “parte cuadrática” y
en “términos lineales” en unas nuevas coordenadas.
Esto nos permite dar un primer paso en el problema de la clasificación
local de los ODL, clasificando su símbolo, que sí es intrínseco.
8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación
Definición. Sea T : E × E → R un tensor simétrico en un espacio vectorial
real.
Recordemos que e ∈ E es isótropo si T (e, e) = 0 y que e ∈ E está en
el radical de T si T (e, v) = 0, para todo v ∈ E.
Si E es bidimensional decimos que T es elíptico si no tiene vectores
isótropos, parabólico si tiene sólo un vector isótropo (y sus proporcionales)
y por tanto T tiene radical, e hiperbólico si tiene dos vectores
isótropos independientes.
Ejercicio 8.4.1 Sea T : E × E → R un tensor simétrico en un espacio vectorial
real bidimensional. Demostrar que si e1, e2 ∈ E es una base y
T (e1, e1) = a, T (e1, e2) = b, T (e2, e2) = c,
entonces T es elíptico, parabólico ó hiperbólico si y sólo si respectivamente
ac − b 2 > 0, ac − b 2 = 0, ac − b 2 < 0.
Definición. Diremos que un ODL P ∈ O2(V), con símbolo T, en una
variedad bidimensional V, es de tipo elíptico, hiperbólico ó parabólico en
un punto x ∈ V, si lo es Tx. Diremos que lo es en una región si lo es en
cada punto de la región.

616 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
8.4.1. Operadores diferenciales lineales hiperbólicos.
Sea P ∈ O2(V) un ODL hiperbólico en una variedad diferenciable
bidimensional V. Se sigue que en cualquier sistema de coordenadas P se
expresa localmente de la forma
donde
P = a ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ 2b + c + d + e + f,
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y
ac − b 2 < 0.
Proposición 8.22 Dado un ODL hiperbólico P ∈ O2(V) en una variedad
diferenciable bidimensional V, localmente existe un sistema de coordenadas
(u, v) en el que
P = 2B ∂2
∂u∂v + P1, (para P1 ∈ O1).
Demostración. Basta demostrar que su símbolo se expresa de la
forma
∂ ∂ ∂ ∂
T = B ⊗ + ⊗ .
∂u ∂v ∂v ∂u
Como T es hiperbólico podemos encontrar ω1, ω2 ∈ Ω(U) independientes
e isótropas
T(ω1, ω1) = T(ω2, ω2) = 0,
ahora bien si Di es incidente con ωi y no singular, aplicando el teorema
del flujo podemos encontrar coordenadas (ui, vi) en las que Di = ∂ui y
por tanto ωi es proporcional a dvi, por lo que dv1, dv2 son independientes
y (v1, v2) forman un sistema de coordenadas en el que
∂
T = T(dv1, dv2) ⊗
∂v1
∂
+
∂v2
∂
⊗
∂v2
∂
.
∂v1
Definición. A los campos D1 y D2 del resultado anterior se les llama
campos característicos y a sus curvas integrales v1 = cte, v2 = cte,
curvas características. Son las curvas integrales de los sistemas de Pfaff
canónicos < ω1 > y < ω2 > ó de sus distribuciones asociadas < D1 > y
< D2 >.

8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación 617
Ejercicio 8.4.2 Consideremos la EDP de ondas
k 2 zxx − ztt = 0,
definir el ODL asociado, su símbolo, decir de que tipo es, reducirla a forma
canónica y resolverla. (a) Encontrar la solución que satisface las condiciones,
para x ∈ R
z(x, 0) = h(x), zt(x, 0) = g(x),
y demostrar que es única.
(b) Demostrar que si z es solución y se anula en el infinito de x, uniformemente
en t (i.e. ∀ɛ > 0, ∃M > 0 : si |x| ≥ M, |z(x, t)| ≤ ɛ), entonces
z = 0.
Ejercicio 8.4.3 Consideremos la EDP
yzxx − xzyy − y x
zx + zy = 0,
2x 2y
definir el ODL asociado, su símbolo, decir en que región es de tipo hiperbólico
y resolverla, si es posible, reduciéndola antes a forma canónica. Decir cuales
son sus curvas características.
Ejercicio 8.4.4 Consideremos las EDP
y 2 zxx − zyy = 0,
y 2 zxx + 2zxy + zyy − zx = 0,
xzxx + 2zxy − xzyy = 0,
decir en qué región son hiperbólicas, resolverlas si es posible, reduciéndolas
antes a forma canónica y decir cuales son sus curvas características.
8.4.2. Operadores diferenciales lineales parabólicos.
Consideremos ahora el caso en que P es parabólico. Se sigue que en
cualquier sistema de coordenadas se expresa de la forma
donde
P = a ∂2 ∂2
+ 2b
∂x2 ∂x∂y
∂2 ∂ ∂
+ c + d + e + f,
∂y2 ∂x ∂y
ac − b 2 = 0,
en cuyo caso la 1–forma isótropa única es proporcional a dy + λdx, tal
que
0 = T (dy + λdx, dy + λdx) = aλ 2 + 2bλ + c,

618 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
cuyas solución es λ = −b/c y la 1–forma isótropa es
la cual tiene como campo incidente
pues ac − b 2 = 0.
b ∂ ∂
+ a
∂x ∂y
ω = bdx − cdy,
proporcional a c ∂ ∂
+ b
∂x ∂y ,
Proposición 8.23 Dado un ODL parabólico P ∈ O2(V) en una variedad
diferenciable bidimensional V, localmente existe un sistema de coordenadas
(u, v) en el que
P = A ∂2
∂u 2 + P1, (para P1 ∈ O1).
Demostración. Basta demostrar que su símbolo se expresa de la
forma
T = A ∂ ∂
⊗
∂u ∂u .
Como T es parabólico tiene una única 1–forma isótropa ω ∈ Ω(U),
que además está en el radical, es decir que para toda θ ∈ Ω
T(ω, θ) = 0,
pues en caso contrario tendríamos dos soluciones isótropas
0 = T (ω + λθ, ω + λθ) = 2λT(ω, θ) + λ 2 T(θ, θ).
Ahora si D es un campo incidente con ω y no singular, tendremos
que existe un sistema de coordenadas (u, v) en el que D = ∂u y
ω = ω(D)du + ω( ∂ ∂
∂
)dv = ω( )dv ⇒ ω( ) = 0,
∂v ∂v ∂v
por tanto dv está en el radical y du no es isótropo y se sigue que
T = T(du, du) ∂ ∂
⊗
∂u ∂u .
Definición. Al campo D se le llama característico y a sus curvas integrales
v = cte, curvas características. Como antes son las curvas integrales
del sistema de Pfaff canónico < ω > ó de su distribución asociada < D >.

8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación 619
Ejercicio 8.4.5 Consideremos la EDP
x 2 zxx − 2xyzxy + y 2 zyy + 2xzx = 0,
decir en qué región es parabólica, resolverla, si es posible, reduciéndola antes
a forma canónica y decir cuales son sus curvas características.
Ejercicio 8.4.6 Consideremos las EDP
zxx − 2zxy + zyy = 0,
x 2 zxx − 2xyzxy + y 2 zyy = 0,
x 2 zxx + 2xyzxy + y 2 zyy = 0,
decir en qué región son parabólicas, resolverlas si es posible, reduciéndolas
antes a forma canónica y decir cuales son sus curvas características.
8.4.3. Campos y 1–formas complejas.
Hemos dejado la clasificación de los operadores diferenciales lineales
elípticos para el final pues son los más difíciles y necesitamos dar algunas
definiciones previas.
Definición. Dada una variedad diferenciable V denotaremos con C ∞
C (V)
el álgebra de las funciones complejas
f = f1 + if2 : V → C,
con f1, f2 ∈ C ∞ (V).
Para cada x ∈ V definimos la complejización del espacio tangente a
V en x como el C–espacio vectorial de las derivaciones C–lineales en x
Dx : C ∞
(V) → C,
C
y lo denotaremos con T C
x (V).
Para cada x ∈ V definimos la complejización del espacio cotangente
a V en x como el C–espacio vectorial T C
x (V) ∗ , dual de T C
x (V).
Definimos la complejización de los campos tangentes de V como el
(V), de las derivaciones C–lineales
C ∞
C (V)–módulo D C
D : C ∞
(V) → C∞
C C (V).
Definimos la complejización de las 1–formas como el C ∞
C (V)–módulo
Ω C (V), dual de D C (V), es decir de las
ω : D C (V) → C ∞
C (V),

620 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
(V)–lineales. Definimos la diferencial de f ∈ C∞(V),
como la 1–forma
C∞ C
df ∈ Ω (V) C
df : D (V) → C C ∞
(V), df(D) = Df.
C
Ejercicio 8.4.7 i) Demostrar que toda derivación real D ∈ D(V) define una
compleja
D : C ∞
C
(V) → C∞(V),
D(f1 + if2) = Df1 + iDf2.
C
ii) Que si D ∈ D C (V), existen únicos D1, D2 ∈ D(V), tales que D =
D1 + iD2.
iii) Que si D1, . . . , Dk ∈ D(V) son independientes, siguen siéndolo en D C (V)
como derivaciones complejas y si k es par también lo son E1 = D1 + iD2,
E2 = D1 − iD2, E3 = D3 + iD4, E4 = D3 − iD4,...
iv) Que si u1, . . . , un ∈ C ∞ (V), es un sistema de coordenadas,
es base.
∂
∂u1
, . . . , ∂
∈ DC (V)
∂un
Ejercicio 8.4.8 i) Demostrar que toda 1–forma real ω ∈ Ω(V) define una compleja
ω : DC (V) → C ∞
(V), ω(D1 + iD2) = ω(D1) + iω(D2).
C
ii) Que si ω ∈ Ω C (V), existen únicas ω1, ω2 ∈ Ω(V), tales que ω = ω1 + iω2.
iii) Que si f = f1 + if2, con f1, f2 ∈ C ∞ (V), entonces df = df1 + idf2.
iv) Que si ω1, . . . , ωk ∈ Ω(V), son independientes, también lo son en Ω C (V),
y si k es par también lo son θ1 = ω1 + iω2, θ2 = ω1 − iω2, θ3 = ω3 + iω4,
θ4 = ω3 − iω4,...
v) Que si u1, . . . , un ∈ C ∞ (V), es un sistema de coordenadas,
es base.
du1, . . . , dun ∈ Ω C (V)
Dejamos al lector las definiciones de complejización de campos tensoriales,
sus productos tensoriales, etc. En particular tenemos que dada
una p–forma compleja ω ∈ Λp C (V), existen únicas ω1, ω2 ∈ Λp (V), tales
que ω = ω1 + iω2.
Definición. Definimos la diferencial de la p–forma compleja ω = ω1 +
iω2 como
dω = dω1 + idω2.
C

8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación 621
El producto exterior de p–formas se define como en el caso real y se
tiene
ω ∧ η = (ω1 + iω2) ∧ (η1 + iη2)
= ω1 ∧ η1 − ω2 ∧ η2 + i(ω1 ∧ η2 + ω2 ∧ η1).
Dada una subvariedad orientada p–dimensional C ⊂ U, definimos la
integral de una p–forma compleja ω = ω1 + iω2 a lo largo de C como
ω = ω1 + i ω2.
C
C
Se sigue fácilmente que para las formas complejas también es válido
el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974.
Caso bidimensional. Consideremos ahora el caso particular en que
V = U es un abierto de R 2 , y u1, u2 ∈ C ∞ (U), entonces
u = u1 + iu2, u = u1 − iu2,
son funciones de C∞(U). Además tenemos que
C
u1 = 1 1
u +
2
C
2 u, u2 = −i
2
u + i
2 u.
Ahora (u1, u2) son coordenadas en U si y sólo si du1, du2 son base de
Ω(U), y por tanto de Ω C (U), lo cual equivale a que también lo son
du = du1 + idu2, du = du1 − idu2,
en cuyo caso podemos definir los campos complejos
∂ ∂
,
∂u ∂u ∈ DC (U),
como la base dual de du, du, para la que se tiene
∂u1
∂u
∂u1
∂u
= 1
2 ,
= 1
2 ,
∂u2
∂u
∂u2
∂u
−i
=
2
i
=
2 ,
Ejercicio 8.4.9 Demostrar que
∂ ∂ ∂ ∂ 1
⊗ + ⊗ =
∂u ∂u ∂u ∂u 2
⇒
∂
∂u1
∂ 1 ∂
= −
∂u 2 ∂u1
i ∂
2 ∂u2
∂ 1 ∂
= +
∂u 2 ∂u1
i ∂
.
2 ∂u2
⊗ ∂
+
∂u1
∂
⊗
∂u2
∂
.
∂u2

622 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Ejercicio 8.4.10 Consideremos las coordenadas (x, y) en el abierto U de R 2 y
sean z = x + iy y z = x − iy. Demostrar que para cada f = u + iv ∈ C ∞
C (U)
∂f
∂z
= 0 ⇔ ux = vy
vx = −uy
A las ecuaciones de la derecha del ejercicio anterior se las conoce como
Ecuaciones de Cauchy–Riemann y caracterizan a las funciones
holomorfas ó analíticas de variable compleja, entendiendo la identificación
natural entre R 2 y C, (x, y) → z = x + iy. (Ver la lección (9.4),
pág.686).
Como consecuencia del Teorema de Stokes y lo anterior se tiene el
siguiente resultado fundamental en Teoría de variable compleja.
Teorema de Cauchy 8.24 Dada una función holomorfa f = u + iv y
una curva S, borde de una variedad con borde C ⊂ R2 , se verifica
f(z)dz = 0.
S
Demostración. ω = f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = udx − vdy +
i(vdx + udy) es una 1–forma compleja cerrada, pues
dω = (−uy − vx + i(ux − vy)dx ∧ dy = 0,
por tanto se sigue del Teorema de Stokes (14.12), pág.974, que
f(z)dz = ω = dω = 0.
S
S
8.4.4. Operadores diferenciales lineales elípticos.
Consideremos ahora el caso en que P es elíptico. Se sigue que en
cualquier sistema de coordenadas se expresa de la forma
donde
P = a ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ 2b + c + d + e + f,
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y
C
ac − b 2 > 0,
y nos planteamos si habrá algún sistema de coordenadas (u1, u2) en el
que
2 ∂
P = A +
∂u1∂u1
∂2
+ P1,
∂u2∂u2
(para P1 ∈ O1)

8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación 623
ó equivalentemente su símbolo se exprese de la forma
∂
T = A ⊗
∂u1
∂
+
∂u1
∂
⊗
∂u2
∂
.
∂u2
Analizaremos esta cuestión desde tres puntos de vista:
Punto de vista de puro cálculo. Buscamos un sistema de coordenadas
(u1, u2) en el que
T (du1, du1) = au 2 1x + 2bu1xu1y + cu 2 1y
= T (du2, du2) = au 2 2x + 2bu2xu2y + cu 2 2y,
T (du1, du2) = au1xu2x + bu1xu2y + bu1yu2x + cu1yu2y = 0,
lo cual equivale a que
a(u1x + iu2x) 2 + 2b(u1x + iu2x)(u1y + iu2y) + c(u1y + iu2y) 2 = 0,
que a su vez se satisface si
u1y + iu2y
u1x + iu2x
= − b − i√ac − b2 ,
c
la cual multiplicada por u1x + iu2x y separando la parte real de la imaginaria
equivale al sistema lineal de EDP
u1y = − b
c u1x
√
ac − b2 −
c
u2y = − b
c u2x
√
ac − b2 +
c
u2x,
u1x,
el cual si tiene solución u1, u2 con u1x ó u2x no nulas en un punto,
entonces son sistema de coordenadas en un entorno de ese punto, pues
√
ac − b2 u1xu2y − u2xu1y = (u
c
2 1x + u 2 2x)
y la existencia de solución, para el caso particular en que las funciones
a, b, c sean funciones analíticas reales, es una consecuencia del Teorema
de Cauchy–Kowalevski que demostraremos en el siguiente tema.
El mismo sistema, multiplicando primero la primera ecuación por
√ ac − b 2 y la segunda por b y después la primera por −b y la segunda

624 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
por √ ac − b 2 , se puede expresar en la siguiente forma conocida como
ecuaciones de Beltrami
u1x = cu2y + bu2x
√
ac − b2 , u1y = − au2x + bu2y
√
ac − b2 ,
y a su vez derivando la primera respecto de y y la segunda de x se
transforma en la EDP de segundo orden en u2
∂ au2x + bu2y ∂ cu2y + bu2x
√ + √ = 0,
∂x ac − b2 ∂y ac − b2 la cual aunque no es más fácil de resolver que la inicial se puede demostrar
(ver Garabedian, pág. 67), que en condiciones bastante generales
para a, b, c ∈ C ∞ , tiene solución global que permite resolver las ecuaciones
de Beltrami. No obstante se pueden encontrar soluciones locales
por el método de las aproximaciones sucesivas (ver Courant,R. and
Hilbert, D., pág. 350 y Garabedian, pp. 168–172).
Punto de vista Geométrico. Como T es elíptico, o bien T(ω, ω) > 0,
para toda ω no nula, o bien T(ω, ω) < 0, pues si existen ω, η no nulas
tales que T(ω, ω) > 0 y T(η, η) < 0, basta considerar para cada x la
función continua en t ∈ [0, 1],
f(t) = Tx(tωx + (1 − t)ηx, tωx + (1 − t)ηx),
que verifica f(0) < 0 y f(1) > 0, por tanto que se anula en un punto
t intermedio, por lo que tωx + (1 − t)ηx = 0, pues Tx no tiene vectores
isótropos, por tanto ω y η son proporcionales, ω = gη, y T(ω, ω) =
g 2 T(η, η), lo cual es absurdo.
Tenemos entonces un isomorfismo entre los campos y las 1–formas
definido por
γ : Ω → T 1
0 D,
ω → γ(ω) = T(ω, ·),
dx → T(dx, dx) ∂
∂ ∂ ∂
+ T(dx, dy) = a + b
∂x ∂y ∂x ∂y ,
dy → T(dy, dx) ∂
∂ ∂ ∂
+ T(dy, dy) = b + c
∂x ∂y ∂x ∂y ,
y a través de este isomorfismo, T define una métrica Riemanniana g en
U,
g(D1, D2) = T(γ −1 D1, γ −1 D2) = γ −1 D2(D1),

8.4. ODL de orden 2 en R 2 . Clasificación 625
cuya matriz asociada es la inversa de la de T.
Ahora bien es conocido en geometría diferencial, que toda métrica
Riemanniana en un abierto del plano puede multiplicarse por una función
f de tal manera que fg sea euclídea, es decir que existe un sistema de
coordenadas (u, v) en el que
fg = du ⊗ du + dv ⊗ dv,
por tanto en ese mismo sistema de coordenadas T/f tiene la forma
deseada, (remitimos al lector al libro de Spivak, Vol.IV, p.460 y Vol.V,
p.77).
Punto de vista de complejización del símbolo. En el caso elíptico nuestro
símbolo T también tiene dos 1–formas isótropas independientes, que son
complejas y podemos calcular
cuyas soluciones son
T(dx + λdy, dx + λdy) = a + 2bλ + cλ 2 = 0,
λ = −b + i√ac − b2 , λ =
c
−b − i√ac − b2 ,
c
por tanto nuestras 1–formas isótropas son
ω = dx + λdy, ω = dx + λdy.
Ahora bien nos interesa saber si existen funciones complejas h, u ∈
C∞(U), tales que
C
(8.2) ω = hdu,
pues en tal caso ω = hdu, siendo du, du independientes y para u =
u1 + iu2 tendríamos que (u1, u2) es un sistema de coordenadas en el que
∂ ∂ ∂ ∂
T = T(du, du) ⊗ + ⊗
∂u ∂u ∂u ∂u
= T(du1,
du1) + T(du2, du2) ∂
⊗
2
∂u1
∂
+
∂u1
∂
⊗
∂u2
∂
,
∂u2
y el resultado estaría demostrado.
Ahora bien (8.2) equivale a que las 1–formas dx+λdy y du = uxdx+
uydy, sean proporcionales, es decir que
u1y + iu2y
u1x + iu2x
= uy
ux
= − b − i√ac − b2 ,
c
que es a lo que llegamos en el primer punto de vista.

626 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
El operador de Laplace–Beltrami
Por último veremos en (14.8.2), pág.990, que toda variedad Riemanniana
(V, g), n–dimensional y orientada tiene un ODL de segundo orden
intrínseco, llamado el Operador de Laplace–Beltrami definido de
la siguiente manera.
Definición. Para cada k = 0, . . . , n, llamamos operador * de Hodge al
morfismo
∗: Λk(V) → Λn−k(V),
tal que para cada α ∈ Λk y Dk+1, . . . , Dn ∈ D,
∗α(Dk+1, . . . , Dn)Ω = α ∧ iDk+1g ∧ · · · ∧ iDng,
donde Ω es la n–forma de volumen.
Se demuestra que ∗ es un isomorfismo y su inversa es (−1) k(n−k) ∗,
es decir que ∗ −1 = ∗ cuando n es impar ó n y k son pares y ∗ −1 = −∗
sólo si n es par y k impar.
Definición. Para cada k = 0, . . . , n, llamamos codiferencial exterior al
morfismo
δ : Λk(V) → Λk−1(V),
δ = (−1) n+k+1 ∗ −1 ◦d ◦ ∗ = (−1) k(n−k)+n+k+1 ∗ ◦d ◦ ∗,
y operador de Laplace–Beltrami a
Para k = 0 tenemos que
∆ = −(δ ◦ d + d ◦ δ): Λk(V) → Λk(V).
∆ = −δ ◦ d = ∗ ◦ d ◦ ∗ ◦ d: C ∞ (V) → C ∞ (V),
es un ODL de orden 2, ∆ ∈ O2(V), definido, en términos de unas coordenadas
xi, por 2
∆u = 1
√ g
n
i,j=1
∂
∂xi
√gg ij ∂u
donde gij son los coeficientes de la métrica g en esas coordenadas, g ij
son los términos de su matriz inversa y g = det(gij).
En estos términos se tiene el siguiente resultado.
2 Remitimos al lector interesado al Godbillon, p.229, Gockeler and Schucker,
p. 35, y Egorov–Shubin, p.15).
∂xj
,

8.5. ODL de orden 2 en R n . Clasificación 627
Teorema 8.25 Todo ODL elíptico P ∈ O2(V), en una variedad diferenciable,
bidimensional y orientada descompone de forma canónica como
una suma
P = ∆ + D + f,
donde ∆ ∈ O2(V), D ∈ D(V) y f ∈ C ∞ (V), además para cada h ∈ C ∞ (V)
no nula, la descomposición de hP es
hP = h∆ + hD + hf.
Demostración. Todo ODL elíptico define un tensor, su símbolo, el
cual define una métrica, que a su vez define un operador de Laplace–
Beltrami,
P ∈ O2(V) → T ∈ T 2
0 (V) → g ∈ T 0
2 (V) → ∆ ∈ O2(V),
cuyo símbolo también es T, por lo tanto P − ∆ es un ODL de orden 1
y por lo tanto tenemos la descomposición canónica
P = ∆ + D + f,
donde f = P (1) y D = P − ∆ − f es un campo tangente.
Además si multiplicamos nuestro ODL por una función h = 0, P =
hP , su símbolo quedará multiplicado por ella, T = hT, en cuyo caso
la métrica queda dividida por h, g = g/h, y el operador de Laplace–
Beltrami correspondiente a esta nueva métrica es
∆ = h∆,
por lo que la descomposición canónica de hP es
hP = h∆ + hD + hf.
8.5. ODL de orden 2 en R n . Clasificación
En el caso n–dimensional no es posible encontrar un sistema de coordenadas
en el que un ODL de segundo orden se exprese de forma simple

628 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
en un entorno de un punto, sin embargo sí se puede hacer que en un
punto determinado sea simple, en particular en toda la variedad si los
coeficientes son constantes en algun sistema de coordenadas (aunque esto
no sea intrínseco).
Observemos que si nuestro operador P , define un símbolo que en un
sistema de coordenadas se expresa de la forma
T =
n
i,j=1
aij
∂
∂xi
⊗ ∂
,
∂xj
en otro sistema de coordenadas (ui) se expresará
n ∂
T = Aij ⊗
∂ui
i,j=1
∂
,
∂uj
n ∂uk ∂ul
Akl = T(duk, dul) = aij ,
∂xi ∂xj
i,j=1
y con nuestras n funciones ui, mas la posibilidad de multiplicar el operador
por una función, no podemos esperar imponer mas que n + 1
condiciones sobre los n(n + 1)/2 coeficientes Aij, con i ≥ j. Observemos
que sólo para n = 2 ambos números coinciden, por tanto para n ≥ 3 ya
no tenemos suficientes grados de libertad para obtener unas funciones
Aij simples. Sin embargo, como decíamos al principio, podemos conseguir
que en un punto determinado p ∈ V las Aij(p) sean sencillas, pues
sabemos por un resultado de álgebra lineal que para todo tensor simétrico,
como nuestro Tp, existe una base ωip = n j=1 cijdpxj, cuya matriz
asociada tiene términos
Aii(p) = 1, = −1 ó = 0 y para i = j Aij(p) = 0,
siendo intrínseco 3 el número m de Aii(p) = 1, k de Aii(p) = −1 y
r = n − m − k de Aii(p) = 0. Además es fácil conocer estos números
3 Si T : E ×E → R es un tensor simétrico en un espacio vectorial real de dimensión n
la base elegida corresponde a una ruptura de E = R⊕H⊕V en suma directa ortogonal
de R, el radical de T , de dimensión r y que corresponde a los términos nulos de la
diagonal y de otra parte H ⊕ V en la que T no tiene radical, la cual a su vez rompe
en H que es suma ortogonal de planos hiperbólicos (corresponde a las parejas de 1’s
y −1’s), la cual contiene un subespacio totalmente isótropo de dimensión mín{m, k},
y de un espacio V en el que T es definido positivo ó negativo y corresponde al resto
de 1’s ó −1’s.

8.5. ODL de orden 2 en R n . Clasificación 629
pues cuando Aij es diagonal, los valores Aii difieren de los autovalores
de (aij) sólo en factores positivos.
Definición. Diremos que un ODL P ∈ O2(V), en una variedad n–
dimensional, es elíptico en un punto p ∈ V si para Tp se tiene que
m = n ó k = n, parabólico si m + k < n e hiperbólico si m = n − 1 y
k = 1 ó m = 1 y k = n − 1.
Como consecuencia del resultado citado se tiene el siguiente.
Teorema 8.26 Si en un sistema de coordenadas xi las funciones aij de
nuestro ODL P son constantes, existe un sistema de coordenadas lineales
en las xi
n
ui = cijxj,
j=1
en el que nuestro ODL se expresa de la forma
n
P = ɛi
∂2 n ∂
+ fi + f,
∂ui
i=1
∂u 2 i
donde los ɛi = 1, −1 ó = 0. Si el resto de los coeficientes de nuestro
ODL también son constantes en el primer sistema, también lo serán en
el nuevo.
i=1
Demostración. Hágase como ejercicio.
Consideremos que nuestro ODL en un sistema de coordenadas xi
tiene todos los coeficientes constantes, en tal caso en el sistema ui del
teorema
P =
n
∂ 2
ɛi
∂u
i=1
2 i
+
n
i=1
bi
∂
+ c,
∂ui
con los bi, c ∈ R y la EDP P u = 0 la podemos simplificar, en el caso
m + k = n, es decir que todos los ɛi = ±1, definiendo la función
u = v exp − 1
n
ɛibiui ,
2
para la que
P (u) = exp
− 1
2
n
i=1
ɛibiui
n
i=1
i=1
y por lo tanto se tiene el siguiente resultado.
∂
ɛi
2v ∂u2
+ c −
i
1
4
n
i=1
ɛib 2 i
v
,

630 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Teorema 8.27 Toda ecuación P (u) = f definida por un ODL P , no–
parabólico, con coeficientes constantes en algún sistema de coordenadas,
puede reducirse a una ecuación del tipo
n
i=1
∂
ɛi
2v ∂u2 + λv = fg,
i
donde g es una función conocida, ɛi = ±1 y λ ∈ R.
Ejercicio 8.5.1 Reducir una EDP de tipo hiperbólico
azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + f = 0,
con coeficientes constantes, a la forma canónica
y caracterizar el caso en que λ = 0.
zxy + λz = 0,
8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación
8.6.1. ODL asociado a una solución de una EDP.
Consideremos ahora el caso de una EDP cuasi–lineal, es decir definida
por una función lineal en las derivadas segundas y por tanto de la forma
azxx + 2bzxy + czyy + g = 0,
donde a, b, c, g, son funciones de (x, y, z, zx, zy). En este caso el tipo de
esta ecuación (elíptico, parabólico ó hiperbólico), definido por el signo de
ac−b 2 , depende de la solución que consideremos. Por ejemplo ac−b 2 = z
en la EDP
zxx + zzyy = 0,
cuya solución z = 1 es elíptica, la z = 0 es parabólica y la z = −1 es
hiperbólica. En la EDP
(1 − z 2 x)zxx − 2zxzyzxy + (1 − z 2 y)zyy = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 631
una solución z es elíptica si y sólo si z 2 x + z 2 y < 1, parabólica si y sólo si
z 2 x + z 2 y = 1, e hiperbólica si y sólo si z 2 x + z 2 y > 1, etc.
Mas generalmente consideremos una EDP
(8.3) F (x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy) = 0,
definida por una función F en las coordenadas (x, y, z, p, q, r, s, t).
Definición. Diremos que el tipo de una solución z = f(x, y) de esta
EDP es elíptico, parabólico ó hiperbólico, si el signo de
es respectivamente > 0, = 0 ó < 0.
4FrFt − F 2 s ,
Obviamente la importancia de este concepto radica, como en el caso
lineal, en que es un concepto intrínseco de la solución, es decir que no
depende de las coordenadas (x, y) consideradas. Para verlo consideremos
antes cómo cambia una EDP de coordenadas.
Lema 8.28 Dada una EDP de segundo orden (8.3) en las coordenadas
(x, y) de un abierto U del plano, consideremos (u, v) otro sistema de
coordenadas en U y la función
G(u, v, z, p, q, r, s, t) = F (x, y, z, pux + qvx, puy + qvy,
ru 2 x + 2suxvx + tv 2 x + puxx + qvxx,
ruxuy + s(uxvy + uyvx) + tvxvy + puxy + qvxy,
ru 2 y + 2suyvy + tv 2 y + puyy + qvyy),
entonces para toda función z en U se tiene que en U
G(u, v, z, zu, zv, zuu, zuv, zvv) = F (x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy).
Demostración. Es consecuencia de que para toda función z en U
se tienen las siguientes relaciones
zx = zuux + zvvx
zy = zuuy + zvvy
zxx = (zuuux + zuvvx)ux + (zvuux + zvvvx)vx + zuuxx + zvvxx
zyx = (zuuuy + zuvvy)ux + (zvuuy + zvvvy)vx + zuuxy + zvvxy
zyy = (zuuuy + zuvvy)uy + (zvuuy + zvvvy)vy + zuuyy + zvvyy

632 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Corolario 8.29 Dada una solución z de la EDP de segundo orden (8.3),
el signo de 4FrFt − F 2 s es invariante por difeomorfismos.
Demostración. Sea (u, v) otro sistema de coordenadas y G la función
del lema anterior que define la EDP en este sistema. Se sigue que
(8.4)
lo cual implica que
Gr = Fru 2 x + Fsuxuy + Ftu 2 y,
Gt = Frv 2 x + Fsvxvy + Ftv 2 y,
Gs = 2Fruxvx + Fs(uxvy + uyvx) + 2Ftuyvy,
4GrGt − G 2 s = (4FrFt − F 2 s )(uxvy − uyvx) 2 .
Esto nos hace pensar que detrás de esto hay un tensor como en el caso
lineal y así es, pero no sólo eso, lo que realmente existe es un operador
diferencial lineal asociado canónicamente a la solución z considerada.
Teorema 8.30 Toda solución z, en un abierto U del plano, de una EDP
de segundo orden (8.3), define canónicamente un ODL P ∈ O2(U), que
en coordenadas se expresa de la forma
∂
P = Fr
2
∂x
2 + Fs
∂2 ∂
+ Ft
∂x∂y 2
∂y
2 + Fp
∂ ∂
+ Fq + Fz.
∂x ∂y
Demostración. Si consideramos otro sistema de coordenadas (u, v)
en U y la función G del lema anterior que define la EDP en este sistema,
tendremos que
1
1
[[P, u], u](1) =
2 2 P (u2 ) − uP (u) − u2
P (1)
2
= Fru 2 x + Fsuxuy + Ftu 2 y = Gr
[[P, u], v](1) = P (uv) − uP (v) − vP (u) + uvP (1)
= 2Fruxvx + Fs(uxvy + uyvx) + 2Ftuyvy = Gs
1
1
[[P, v], v](1) =
2 2 P (v2 ) − vP (v) − v2
P (1)
2
= Frv 2 x + Fsvxvy + Ftv 2 y = Gt
[P, u](1) = P (u) − uP (1)
= Fruxx + Fsuxy + Ftuyy + Fpux + Fquy = Gp
[P, v](1) = P (v) − vP (1)
= Frvxx + Fsvxy + Ftvyy + Fpvx + Fqvy = Gq.

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 633
Definición. Dada una solución z de una EDP (8.3), llamaremos su
símbolo al símbolo del ODL P que define, por tanto al tensor
∂
T = Fr
∂x
∂ Fs
⊗ +
∂x 2
∂ ∂ Fs
⊗ +
∂x ∂y 2
∂ ∂
⊗
∂y ∂x
∂
+ Ft
∂y
⊗ ∂
∂y ,
donde las tres derivadas parciales de F están evaluadas en los puntos de
la forma
(x, y, z(x, y), zx(x, y), zy(x, y), zxx(x, y), zxy(x, y), zyy(x, y)),
y por tanto son funciones del plano.
Nota 8.31 Observemos que el que una solución z sea elíptica, parabólica
ó hiperbólica, equivale como en el caso lineal a que su símbolo no tenga
1–formas isótropas, tenga una única ó tenga dos respectivamente.
Ejemplo 8.6.1 Por ejemplo toda solución z de la ecuación de las superficies
mínimas (ver el ejemplo (7.10.2), pág.500),
zxx(1 + z 2 y) − 2zxzyzxy + zyy(1 + z 2 x) = 0.
es elíptica (ver el ejercicio (8.6.2)), pág.646) y define la métrica
g = (1 + z2 x)dx ⊗ dx + zxzy(dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (1 + z2 y)dy ⊗ dy
1 + z2 x + z2 ,
y
que es proporcional a la que la superficie z = z(x, y) hereda de la estándar
en R 3 , que es
(1 + z 2 x)dx ⊗ dx + zxzy(dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (1 + z 2 y)dy ⊗ dy,
donde la función que aparece 1 + z 2 x + z 2 y es el cuadrado del módulo
del gradiente de la función que hemos elegido para definir la superficie
(z − z(x, y) = 0).
8.6.2. Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico
de una EDP cuasi–lineal.
Empecemos con el caso particular de una EDP de tipo cuasi–lineal,
es decir lineal en las derivadas segundas y por tanto de la forma
(8.5) azxx + 2bzxy + czyy + g = 0,

634 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
donde a, b, c y g, son funciones de (x, y, z, zx, zy). Veremos que si z es
una solución de tipo hiperbólico ó elíptico, podemos encontrar una tal
reducción.
Observemos que el símbolo asociado a una solución z de (8.5), tiene
como coeficientes (en el sistema de coordenadas (x, y))
Fr = a,
Fs
2 = b, Ft = c,
que debemos entender como funciones del plano, pues la solución z
está fija. Y que la solución es hiperbólica si ac − b 2 < 0 y elíptica si
ac − b 2 > 0.
Haciendo un giro si es necesario, podemos suponer sin pérdida de
generalidad que ac = 0.
Siguiendo los pasos del caso lineal consideramos las 1–formas isótropas
del símbolo asociado a nuestra solución z
ω1 = dx − λ1dy = dx − b + √ b2 − ac
dy,
c
ω2 = dx − λ2dy = dx − b − √ b2 − ac
dy,
c
y que son proporcionales a dos 1–formas exactas, du y dv respectivamente.
En tal caso (u, v) forman un sistema de coordenadas que, como
en el caso lineal, también llamamos características aunque dependen de
la solución z fijada. Consideremos también los campos característicos, es
decir los incidentes respectivamente con ω1 y ω2
D1 = λ1
∂ ∂
+
∂x ∂y , D2
∂
= λ2
∂x
+ ∂
∂y ,
y ahora apliquemos nuestras 1–formas, respectivamente a ∂v y ∂u, con
lo que se obtiene
(8.6) xv − λ1yv = 0, xu − λ2yu = 0.
Ahora para p = zx y q = zy, tendremos que py = qx y
Dip = λipx + py, Diq = λiqx + qy = λipy + qy, (para i = 1, 2)

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 635
de donde se sigue, por ser z solución de nuestra ecuación, que
λi(apx + 2bpy + cqy + g) = 0 ⇒
a(Dip − py) + 2bλipy + cλi(Diq − λipy) + gλi = 0 ⇒
aDip + cλiDiq + gλi = (a − 2bλi + cλ 2 i )py = 0 ⇒
[adp + cλidq + gλidy]Di = 0,
y como a/c = λ1λ2, tendremos que
λ2dp + dq + g
c dy
D1 = 0,
λ1dp + dq + g
c dy
D2 = 0,
lo cual implica, al ser D1 proporcional a ∂v y D2 a ∂u, que
(8.7) λ2pv + qv + g
c yv = 0, λ1pu + qu + g
c yu = 0.
Hemos demostrado por tanto, que para cada solución z de nuestra
EDP original, las funciones x, y, z, p = zx, q = zy satisfacen el sistema de
las cuatro EDP (8.6) y (8.7), junto con las dos ecuaciones
zu − pxu − qyu = 0, zv − pxv − qyv = 0,
que son las componentes de la 1–forma nula
dz − pdx − qdy = 0,
en la base du, dv.
Definición. Llamaremos sistema característico asociado a la EDP cuasi–
lineal (8.5) al formado por las cinco ecuaciones
(8.8)
donde
xu − λ2yu = 0, xv − λ1yv = 0,
λ1pu + qu + g
c yu = 0, λ2pv + qv + g
c yv = 0,
zu − pxu − qyu = 0, ó zv − pxv − qyv = 0.
λ1 = b + √ b2 − ac
, λ2 =
c
b − √ b2 − ac
,
c
siendo a, b, c, g funciones de x, y, z, p, q, que a su vez son funciones del
plano (u, v), y para las que ac − b2 < 0.

636 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Nota 8.32 La razón de considerar sólo una de las dos últimas ecuaciones
es que no son independientes, como se demuestra en el siguiente
resultado, en el que vemos que el recíproco también es válido.
Proposición 8.33 Si x, y, z, p, q es una solución del sistema característico
(8.6.2), que sobre una curva del tipo f(u) + h(v) = cte, con f ′ = 0
y h ′ = 0, satisface yuyv = 0 y dz = pdx + qdy, entonces (x, y) es un
sistema de coordenadas locales en cada punto de la curva y en el entorno
correspondiente la función z es solución de (8.5).
Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que
la curva es u + v = 0, pues cualesquiera funciones f(u) y h(v) de las
coordenadas características, en las condiciones del enunciado, vuelven a
ser características, y las ecuaciones del sistema no cambian.
Las dos primeras ecuaciones del sistema nos dicen que ω1 = dx−λ1dy
es proporcional a du y ω2 = dx − λ2dy a dv, por lo que λ1 = λ2 (aunque
esto también lo sabemos por su definición) y por lo tanto (x, y) es un
sistema de coordenadas locales en cada punto de la curva, pues
y se tiene que
du
(8.9)
dv
λ1
λ2
xuyv − xvyu = (λ2 − λ1)yuyv = 0,
⎫
∂ ∂
+ = 0⎪⎬
∂x ∂y
∂ ∂
+ = 0
⎪⎭
∂x ∂y
⇒
λ1ux + uy = 0.
λ2vx + vy = 0.
Por otra parte si una de las dos últimas ecuaciones del sistema es
válida también lo es la otra, puesto que sobre la curva se verifica
(zu − pxu − qyu)du + (zv − pxv − qyv)dv = dz − pdx − qdy = 0,
y como una de las ecuaciones es válida las dos lo son sobre la curva.
Como por otra parte de las ecuaciones del sistema se sigue que
∂(zv − pxv − qyv)
∂u
− ∂(zu − pxu − qyu)
=
∂v
= pvxu − puxv + qvyu − quyv
= pvλ2yu − puλ1yv + qvyu − quyv
= (pvλ2 + qv)yu − (puλ1 + qu)yv = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 637
basta integrar para obtener la otra ecuación. Se sigue además que dz −
pdx − qdy = 0 y por tanto que p = zx y q = zy, y de (8.9) se concluye
que
zyy = qy = quuy + qvvy
= −
λ1pu + g
c yu
uy −
λ2pv + g
c yv
vy
= −(λ1 + λ2)(puuy + pvvy) + λ1pvvy + λ2puuy − g
c
= −(λ1 + λ2)py + λ1pv(−λ2vx) + λ2pu(−λ1ux) − g
c
= − 2b
c zxy − a
c zxx − g
c .
Observemos que el sistema característico tiene la peculiaridad de que
en cada ecuación sólo interviene la derivada parcial respecto de una
de las dos coordenadas características. Si derivamos cada una de ellas
respecto de la otra obtenemos las cinco ecuaciones, en las que los puntos
suspensivos son funciones de (x, y, z, p, q) y sus derivadas de primer orden
xuv − λ2yuv + · · · = 0,
xvu − λ1yvu + · · · = 0,
λ1puv + quv + g
c yuv + · · · = 0,
λ2pvu + qvu + g
c yvu + · · · = 0,
zuv − pxuv − qyuv + · · · = 0,
las cuales son ecuaciones lineales en las derivadas segundas xuv, yuv, zuv,
puv y quv, cuyo determinante
1 −λ2 0 0 0
1 −λ1 0 0 0
0 g/c 0 λ1 1
= 4
0 g/c 0 λ2 1
−p
−q 1 0 0
ac − b2
c2 ,
es no nulo, por lo que podemos calcular la matriz inversa y obtener un
sistema canónico de cinco ecuaciones de segundo orden del tipo
xuv + · · · = 0, yuv + · · · = 0, zuv + · · · = 0,
puv + · · · = 0, quv + · · · = 0,
que es una generalización del que obtuvimos en el caso lineal.

638 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
8.6.3. Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico
de una EDP de tipo general.
Veamos ahora la reducción a forma canónica de una EDP del tipo
general (8.3), para una solución z de tipo hiperbólico.
Haciendo un giro si es necesario, podemos suponer sin pérdida de
generalidad que FrFt = 0.
Consideremos como en el caso anterior las 1–formas isótropas del
símbolo asociado a nuestra solución z
ω1 = dx − λ1dy = dx − Fs + F 2 s − 4FrFt
dy,
2Ft
ω2 = dx − λ2dy = dx − Fs − F 2 s − 4FrFt
dy,
2Ft
proporcionales a dos 1–formas exactas, du y dv, que definen un sistema
de coordenadas características. Consideremos también los campos
característicos, es decir los incidentes respectivamente con ω1 y ω2
D1 = λ1
∂ ∂
+
∂x ∂y , D2
∂
= λ2
∂x
+ ∂
∂y ,
y ahora apliquemos nuestras 1–formas, respectivamente a ∂v y ∂u, con
lo que se obtiene
(8.10) xv − λ1yv = 0, xu − λ2yu = 0.
Ahora para p = zx, q = zy, r = zxx, s = zxy, t = zyy, tendremos que
py = qx, ry = sx y sy = tx, por tanto para i = 1, 2
Dir = λirx + ry,
Dis = λisx + sy = λiry + sy,
Dit = λitx + ty = λisy + ty,
por otra parte derivando respecto de x y respecto de y la ecuación (en
la que hemos fijado nuestra solución z),
se sigue que
(8.11)
F (x, y, z(x, y), zx(x, y), xy(x, y), . . .) = 0,
[F x ] + Frrx + Fssx + Fttx = 0,
[F y ] + Frry + Fssy + Ftty = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 639
donde por comodidad hemos llamado
[F x ] = Fx + Fzzx + Fppx + Fqqx = Fx + Fzp + Fpr + Fqs,
[F y ] = Fy + Fzzy + Fppy + Fqqy = Fy + Fzq + Fps + Fqt,
y multiplicando la primera ecuación de (8.11) por λi y recordando que
tendremos que
Fr − Fsλi + λ 2 i Ft = 0,
λi([F x ] + Frrx + Fssx + Fttx) = 0 ⇒
λi[F x ] + Fr(Dir − ry) + Fsλiry + Ftλi(Dis − λiry) = 0 ⇒
FrDir + λiFtDis + λi[F x ] = ry(Fr − Fsλi + λ 2 i Ft) = 0 ⇒
[Frdr + λiFtds + λi[F x ]dy]Di = 0,
de donde, al ser D1 proporcional a ∂v y D2 a ∂u, se siguen las dos
ecuaciones
(8.12)
Frrv + λ1Ftsv + λ1[F x ]yv = 0,
Frru + λ2Ftsu + λ2[F x ]yu = 0.
De modo semejante, multiplicando por λi la segunda ecuación de
(8.11) (y recordando que sx = ry y tx = sy = Dis − λiry), tendremos
que
[Frds + λiFtdt + λi[F x ]dy]Di = 0,
de donde se siguen las dos ecuaciones
(8.13)
Frsv + λ1Fttv + λ1[F y ]yv = 0,
Frsu + λ2Fttu + λ2[F y ]yu = 0.
Hemos demostrado por tanto, que para cada solución z de nuestra
EDP original, las funciones x, y, z, p = zx, q = zy, r = zxx, s = zxy, t =
zyy satisfacen el sistema de EDP (8.10), (8.12) y (8.13), junto con las
parejas de ecuaciones
zu − pxu − qyu = 0, zv − pxv − qyv = 0,
pu − rxu − syu = 0, pv − rxv − syv = 0,
qu − sxu − tyu = 0, qv − sxv − tyv = 0,

640 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
que son las componentes de las 1–forma nulas
dz − pdx − qdy = 0, dp − rdx − sdy, dq − sdx − tdy,
en la base du, dv.
Definición. Llamaremos sistema característico asociado a la EDP (8.3)
al formado por las ocho ecuaciones
(8.14)
donde
xu − λ2yu = 0,
xv − λ1yv = 0,
Frrv + λ1Ftsv + λ1[F x ]yv = 0,
Frru + λ2Ftsu + λ2[F x ]yu = 0,
Frsv + λ1Fttv + λ1[F y ]yv = 0,
zv − pxv − qyv = 0,
pv − rxv − syv = 0,
qv − sxv − tyv = 0.
[F x ] = Fx + Fzp + Fpr + Fqs,
[F y ] = Fy + Fzq + Fps + Fqt,
λ1 = Fs + F 2 s − 4FrFt
,
2Ft
λ2 = Fs − F 2 s − 4FrFt
.
2Ft
Nota 8.34 La razón de no considerar todas las ecuaciones encontradas es
que no son independientes, como se demuestra en el siguiente resultado,
en el que vemos que el recíproco también es válido.
Proposición 8.35 Si x, y, z, p, q, r, s, t es una solución del sistema característico
(8.14), que sobre una curva del tipo f(u) + h(v) = cte, con
f ′ = 0 y h ′ = 0, satisface yuyv = 0, y las condiciones de compatibilidad
dz = pdx + qdy, dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy,
F (x, y, z, p, q, r, s, t) = 0,
entonces (x, y) es un sistema de coordenadas locales en cada punto de la
curva y en el entorno correspondiente la función z es solución de (8.3).

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 641
Demostración. Como en el caso anterior podemos suponer que la
curva es u + v = 0.
Las ecuaciones (1, 2) del sistema nos dicen que ω1 = dx − λ1dy es
proporcional a du y ω2 = dx − λ2dy a dv, por lo que λ1 = λ2 (aunque
esto también lo sabemos por su definición) y por lo tanto (x, y) es un
sistema de coordenadas locales en cada punto de la curva, pues
Veamos ahora que
xuyv − xvyu = (λ2 − λ1)yuyv = 0.
F (x, y, z, p, q, r, s, t) = 0,
en todos los puntos (u, v). Para ello derivemos la función respecto de v
y multipliquemos por λ1. Se sigue de las ecuaciones (1, 3, 5) del sistema
y de que Fr − Fsλ1 + λ 2 1Ft = 0, que
dF (· · · )
λ1 = λ1(Fxxv + Fyyv + Fzzv + Fppv+
dv
+ Fqqv + Frrv + Fssv + Fttv)
= λ1[Fxxv + Fyyv + Frrv + Fssv + Fttv
+ Fz(pxv + qyv) + Fp(rxv + syv) + Fq(sxv + tyv)]
= λ1(xv[F x ] + yv[F y ] + Frrv + Fssv + Fttv)
= λ1(−λ1Ftsv + yv[F y ] + Fssv + Fttv)
= Frsv + λ1yv[F y ] + λ1Fttv
= 0,
por lo tanto integrando a lo largo de las rectas u = cte y considerando
que F = 0 sobre u + v = 0, tendremos que F = 0 en todas partes.
Demostrar que
r = px, s = py,
equivale a demostrar que la 1–forma dp − rdx − sdy es nula, lo cual
equivale a demostrar que sus componentes en el sistema de coordenadas
(u, v) son nulas, pero su componente en v lo es por la ecuación (7), y por
anularse la 1–forma sobre u + v = 0 también se anula su componente u
pu − rxu − syu
sobre u + v = 0. Por lo tanto basta demostrar que esta función es constante
en cada recta u = cte, es decir que (pu − rxu − syu)v = 0. Para

642 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
demostrarlo consideremos las ecuaciones (3, 4) del sistema simplificadas
con las dos primeras y recordemos que λ1λ2 = Fr/Ft
Frrv + λ1Ftsv + [F x ]xv = 0
Frru + λ2Ftsu + [F x ]xu = 0
Frrvxu + λ1Ftsvxu + [F x ]xvxu = 0
Frruxv + λ2Ftsuxv + [F x ]xuxv = 0
Frrvxu + λ1Ftsvxu = Frruxv + λ2Ftsuxv ⇒
Frrvxu + λ1λ2Ftsvyu = Frruxv + λ2λ1Ftsuyv ⇒
⇒
⇒
Frrvxu + Frsvyu = Frruxv + Frsuyv ⇒
(rxxv + ryyv)xu + (sxxv + syyv)yu =
de donde se sigue por una parte que
= (rxxu + ryyu)xv + (sxxu + syyu)yv ⇒
(ry − sx)(xuyv − xvyu) = 0,
ry = sx,
y por otra (considerando la ecuación (7)) que
(pu − rxu − syu)v = (pu − rxu − syu)v − (pv − rxv − syv)u
= ruxv + suyv − rvxu − svyu = 0.
Por último demostrar que
zx = p, zy = q, qx = s, qy = t,
es equivalente a demostrar que son nulas las 1–formas dz − pdx − qdy
y dq − sdx − tdy, las cuales tienen nulas sus componentes v y ellas son
nulas sobre u + v = 0, por lo tanto sus componentes u
f = zu − pxu − qyu, g = qu − sxu − tyu,
también se anulan sobre u+v = 0 y basta demostrar que f y g se anulan
en todo el plano. Para ello consideremos por una parte las ecuaciones
(3, 5)
(Fx + Fzp + Fpr + Fqs)xv + Frrv + λ1Ftsv = 0,
(Fy + Fzq + Fps + Fqt)xv + Frsv + λ1Fttv = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 643
donde hemos considerado el valor de [F x ] y el de [F y ] y hemos considerado
las ecuaciones (1, 2). Ahora derivemos
respecto de x e y respectivamente
F (x, y, z, p, q, r, s, t) = 0,
Fx + Fzzx + Fppx + Fqqx + Frrx + Fssx + Fttx = 0,
Fy + Fzzy + Fppy + Fqqy + Frry + Fssy + Ftty = 0,
multipliquemos ambas por xv y restémosles las dos ecuaciones anteriores
(4) y (5) respectivamente (recordemos que r = px y s = py)
xv[Fz(zx − p) + Fq(qx − s)]+
+Fr(rxxv − rv) + Fssxxv + Ft(txxv − λ1sv) = 0,
xv[Fz(zy − q) + Fq(qy − t)]+
+Fr(ryxv − sv) + Fssyxv + Ft(tyxv − λ1tv) = 0,
ahora multiplicando la primera por λ2xu y la segunda por xu = λ2yu y
teniendo en cuenta que ry = sx tendremos que
λ2xv[Fz(zxxu − pxu) + Fq(qxxu − sxu)]+
+λ2xu[−Frryyv + Fssxxv + Ft(txxv − λ1sv)] = 0,
λ2xv[Fz(zyyu − qyu) + Fq(qyyu − tyu)]+
+λ2yu[−Frsyyv + Fssyxv + Ft(tyxv − λ1tv)] = 0,
y sumando y teniendo en cuenta que −Fr + λ1Fs = λ 2 1Ft, tendremos que
λ2xv[Fzf + Fqg] − λ2yvFrsu + λ2xvFssu+
+λ2Ft(txxuxv − λ1xusv + tyyuxv − λ1yutv) = 0, ⇒
xv[Fzf + Fqg] − Frsuyv + Fssuλ1yv+
+Ft(txxuλ1yv − λ1xusv + tyyuλ1yv − λ1yutv) = 0, ⇒
xv[Fzf + Fqg] + yv(sxxu + syyu)Ftλ 2 1 + λ1Ft(txxuyv−
−xusxxv − xusyyv + tyyuyv − yutxxv − yutyyv) = 0, ⇒
xv[Fzf + Fqg] + λ1Ft(tx − sy)(xuyv − xvyu) = 0,
pero por otra parte tenemos que
gv = (qu − sxu − tyu)v − (qv − sxv − tyv)u
= suxv − svxu + tuyv − tvyu
= (tx − sy)(xuyv − xvyu),

644 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
por lo tanto se sigue de lo anterior que
gv = − yv
(Fzf + Fqg),
Ft
ahora bien por otra parte se sigue de la ecuaciones (6) y de py = s que
fv = (zu − pxu − qyu)v − (zv − pxv − qyv)u
= −pvxu − qvyu + puxv + quyv
= −(pxxv + pyyv)xu − qvyu + (pxxu + pyyu)xv + quyv
= −syvxu − qvyu + syuxv + quyv + tyuyv − tyuyv
= yv(qu − sxu − tyu) − yu(qv − sxv − tyv)
= yvg,
por lo tanto tenemos que f y g son, para cada u fijo, solución de un
sistema de ecuaciones diferenciales lineales en v, que en v = −u valen
f = g = 0 y como la solución es única, tendremos que f y g son nulas
en todo punto, que es lo que queríamos demostrar.
8.6.4. Reducción a forma canónica. Caso elíptico.
Consideremos ahora una solución z de (8.5), de tipo elíptico. En tal
caso, siguiendo los pasos del caso anterior,
λ1 = λ = b + i√ ac − b 2
c
, λ2 = λ = b − i√ac − b2 ,
c
y las 1–formas isótropas (complejas y conjugadas) correspondientes
ω1 = dx − λ1dy = dx − b + √ b2 − ac
dy,
c
ω2 = dx − λ2dy = dx − b − √ b2 − ac
dy,
c
son proporcionales a dos 1–formas exactas, du y du respectivamente
(al menos en el caso analítico). En tal caso (u, u) forman un sistema
de coordenadas complejas que, como en el caso lineal, también llamamos
características aunque dependen de la solución z fijada. Siguiendo
los pasos del caso anterior (hiperbólico) tendremos que las funciones
x, y, z, p = zx, q = zy satisfacen el sistema característico formado por las

cinco ecuaciones
8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 645
xu − λyu = 0, xu − λyu = 0,
λpu + qu + g
c yu = 0, λpu + qu + g
c yu = 0,
zu − pxu − qyu = 0, ó zu − pxu − qyu = 0,
donde observemos que al ser x, y, z reales, son tres parejas de ecuaciones
conjugadas. Ahora como en cada ecuación sólo interviene la derivada
parcial respecto de una de las dos coordenadas características, podemos
derivar cada una de ellas respecto de la otra y obtenemos las siguientes
cinco ecuaciones, en las que los puntos suspensivos son funciones de
(x, y, z, p, q) y sus derivadas de primer orden
xuu − λyuu + · · · = 0,
xuu − λyuu + · · · = 0,
λpuu + quu + g
c yuu + · · · = 0,
λpuu + quu + g
c yuu + · · · = 0,
zuu − pxuu − qyuu + · · · = 0,
las cuales son ecuaciones lineales en las derivadas segundas xuu, yuu, zuu,
puu y quu, cuyo determinante ya hemos calculado en el caso anterior y
vale
ac − b2
4
c 2
= 0,
por lo que podemos calcular la matriz inversa y obtener un sistema
canónico de cinco ecuaciones de segundo orden del tipo
xu1u1
yu1u1
zu1u1
pu1u1
qu1u1
+ xu2u2 + · · · = 0,
+ yu2u2 + · · · = 0,
+ zu2u2 + · · · = 0,
+ pu2u2 + · · · = 0,
+ qu2u2 + · · · = 0,
puesto que 4fuu = fu1u1 + fu2u2 , para u = u1 + iu2, y esto es una
generalización del que obtuvimos en el caso lineal.
Observemos que
√
ac − b2 (8.15) xuyu − yuxu = (λ − λ)yuyu = −2i yuyu.
c

646 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Ejercicio 8.6.1 Demostrar que si z es una solución elíptica ó hiperbólica de
una EDP cuasi–lineal
azxx + 2bzxy + czyy + g = 0,
y (u, v) son coordenadas características, entonces
xuv
xu
yuv
yu
zuv
(xuyv
zu − xvyu)2
=
2 √ b2 g.
− ac
xv yv zv
Ejercicio 8.6.2 Demostrar que la EDP de las superficies mínimas
zxx(1 + z 2 y) − 2zxzyzxy + zyy(1 + z 2 x) = 0,
es elíptica y se puede reducir a las ecuaciones de Laplace en las coordenadas
características (u = u1 + iu2, u = u1 − iu2)
xu1u1 + xu2u2 = 0, yu1u1 + yu2u2 = 0, zu1u1 + zu2u2 = 0,
sujetas a las condiciones
x 2 u1 + y2 u1 + z2 u1 = x2 u2 + y2 u2 + z2 u2 ,
xu1xu2 + yu1yu2 + zu1zu2 = 0.
Nota 8.36 En el ejercicio anterior decimos que la métrica g de la superficie
mínima es proporcional a du ⊗ du + du ⊗ du, y por tanto a
du1 ⊗ du1 + du2 ⊗ du2, eso quiere decir que la aplicación
(u1, u2): {z = z(x, y)} → R 2 ,
es conforme. Ahora bien hemos visto también que las funciones x, y y z de
la superficie son armónicas en las coordenadas (u1, u2), eso quiere decir
que existen sus conjugadas armónicas respectivas (que estudiaremos en
el tema de la ecuación de LaPlace), x, y y z, tales que
f(u) = x(u1, u2) + ix(u1, u2),
g(u) = y(u1, u2) + iy(u1, u2),
h(u) = z(u1, u2) + iz(u1, u2),
son funciones analíticas de la variable compleja u = u1 + iu2, siendo
f ′ (u) 2 + g ′ (u) 2 + h ′ (u) 2 = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R 2 . Clasificación 647
pues se tiene por las ecuaciones de Cauchy–Riemann que
xu = 1
1
(xu1 − ixu2 ) = (xu2 + ixu1 ) = ixu,
2 2
y lo mismo para y y z por lo tanto
f ′ (u) 2 + g ′ (u) 2 + h ′ (u) 2 = (xu + ixu) 2 + (yu + iyu) 2 + (zu + izu) 2
= 4(x 2 u + y 2 u + z 2 u) = 0.
En definitiva tenemos la clásica representación de Weierstrass de las
superficies mínimas, mediante funciones analíticas de variable compleja,
pues toda superficie mínima puede representarse como
x = Re f, y = Re g, z = Re h,
donde f, g y h son funciones analíticas de la variable compleja u =
u1 + iu2, sujetas a la condición
f ′ (u) 2 + g ′ (u) 2 + h ′ (u) 2 = 0,
donde haciendo un cambio de variable compleja, podemos tomar cualquiera
de ellas, como la primera v = f(u), como variable compleja, y
por lo tanto cada superficie mínima depende esencialmente de una única
función analítica de variable compleja. (Ver Spivak, T.IV, p.395)
Ejercicio 8.6.3 Demostrar que la EDP de las superficies mínimas, para la
métrica de Minkowsky,
zxx(z 2 y − 1) − 2zxzyzxy + zyy(z 2 x − 1) = 0,
es hiperbólica y que se puede reducir a las ecuaciones de ondas en las coordenadas
características (u = u1 + u2, v = u1 − u2), es decir
xu1u1 − xu2u2 = 0, yu1u1 − yu2u2 = 0, zu1u1 − zu2u2 = 0,
sujetas a las condiciones
x 2 u + y 2 u − z 2 u = x 2 v + y 2 v − z 2 v = 0.

648 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
8.7. Clasificación de sistemas de EDP
Podemos considerar la teoría de las EDP de segundo orden como un
caso particular de una teoría mas general, la de los sistemas de EDP de
primer orden
∂ui
∂y +
n
j=1
o escrito en forma matricial
∂uj
aij
∂x + bi = 0, i = 1, . . . , n,
(8.16) uy + Aux + b = 0,
donde las aij son funciones de (x, y), A = (aij), u es el vector columna
formado por las funciones ui y b por las bi, que son funciones de (x, y, u).
Por ejemplo una EDP lineal
azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + fz = 0,
se reduce al siguiente sistema de EDP de primer orden, en el que consideramos
x, y y z junto con las nuevas variables p = zx, q = zy,
(8.17)
xy = 0, yy = 1,
zy = q, py = qx,
apx + 2bqx + cqy + dp + eq + fz = 0
y estamos suponiendo que c = 0, en caso contrario y si a = 0 basta
intercambiar los papeles de x e y, y si a = c = 0, entonces es hiperbólica
y basta considerar las coordenadas x + y y x − y.
Nuestra intención es transformar el sistema (8.16) en otro en el que,
como en el sistema característico (8.6.2), las derivadas direccionales que
aparezcan en cada ecuación sean de un único campo. Para ello buscamos
funciones vij tales que al hacer las combinaciones
n
i=1
∂ui
vki
∂y +
n
i,j=1
∂uj
vkiaij
∂x +
n
vkibi = 0, k = 1, . . . , n
i=1

obtengamos
j=1
8.7. Clasificación de sistemas de EDP 649
n
vkiaij = λkvkj, k = 1, . . . , n,
i=1
de tal modo que nuestro sistema se transforme en
n
n
∂uj ∂uj
vkj + λk + vkibi = 0, k = 1, . . . , n,
∂y ∂x
i=1
al que llamaremos característico, pues en cada ecuación k = 1, . . . , n,
sólo interviene la derivada correspondiente al campo
Dk = ∂
∂y
∂
+ λk
∂x ,
a los que llamaremos campos característicos y a sus curvas integrales
curvas características.
Ahora bien tales funciones vij existen siempre que A tenga n autovalores
reales λk. Si además tiene una base de autovectores, los dos
sistemas son equivalentes. En tal caso diremos que nuestro sistema es
de tipo hiperbólico. Un caso particular es cuando la matriz es simétrica,
en cuyo caso diremos que el sistema es de tipo simétrico hiperbólico. Si
todos los autovalores son complejos (no reales) diremos que el sistema
es de tipo elíptico.
Ejercicio 8.7.1 Demostrar que el sistema (8.17) correspondiente a una EDP
lineal en el plano, de orden 2 y de tipo hiperbólico es hiperbólico.
La importancia de las curvas características queda patente cuando
buscamos una solución u = (ui) de nuestra ecuación (8.16), con valores
conocidos sobre una curva dada, σ(t) = (x(t), y(t)), que por comodidad
parametrizamos por la longitud de arco. En cuyo caso si consideramos
∂
T = σ∗ = T x
∂t
∂ ∂
+ T y
∂x ∂y ,
el vector unitario tangente a la curva y
N = −T y ∂ ∂
+ T x
∂x ∂y ,
el unitario normal, tendremos que para cualquier función u
T u = T x ux + T y uy
Nu = −T y ux + T x uy
⇔ ux = T x T u − T y Nu,
uy = T y T u + T x Nu,

650 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
de donde se sigue que (8.16) equivale a
T y T u + T x Nu + T x A T u − T y A Nu + b = 0 ⇔
(T y I + T x A) T u + b = (T y A − T x I) Nu,
donde I es la matriz unidad y T u y Nu son los vectores de componentes
T ui y Nui respectivamente.
Ahora si la curva es tal que T y A − T x I es una matriz no singular,
tendremos que el conocimiento de las “presumibles soluciones” ui sobre
la curva, y consecuentemente de T ui = (ui ◦ σ) ′ , es suficiente para determinar
el valor de sus derivadas normales Nui, pues basta multiplicar
por la matriz inversa de T y A − T x I y por lo tanto también están
determinadas sobre la curva
ux = T x T u − T y Nu,
uy = T y T u + T x Nu.
Ahora bien el mismo proceso con ux en lugar de u, y observando que
derivando (8.16) respecto de x se obtiene
(ux)y + A(ux)x + d = 0,
para d un vector de funciones que dependen de x, y, u y ux, todas ellas
conocidas sobre la curva de datos iniciales, vemos que también estarían
determinadas sobre la curva uxx y uxy, y análogamente estarían determinadas
todas las derivadas parciales de u. Esto implicaría en particular
que si la solución u fuese analítica, estaría totalmente determinada en
un entorno de la curva.
Sin embargo en caso contrario
det[T y A − T x I] = 0,
no podremos determinarlas. En este caso tendremos que
T x
T y
= λk,
es un autovalor de A y por tanto T es proporcional al campo característico
Dk = ∂ ∂
+ λk
∂y ∂x ,
y la curva de los datos iniciales es característica.

8.7. Clasificación de sistemas de EDP 651
8.7.1. Reducción a forma diagonal de sistemas lineales
hiperbólicos.
Consideremos un sistema de tipo hiperbólico, es decir que todos los
autovalores λi, de A, sean reales y haya una base de autovectores. Si
además las λi son funciones diferenciables, podemos formar una matriz
P no singular de funciones diferenciables tales que
Λ = PAP −1 ⎛
λ1
⎜ 0
= ⎜
⎝ .
0
λ2
.
· · ·
· · ·
. ..
⎞
0
0 ⎟
. ⎠
0 0 · · · λn
,
(por ejemplo cuando los autovalores son distintos), entonces podemos
simplificar nuestra ecuación considerando la nueva incógnita v = Pu,
para la que se verifica el sistema
vy + Λvx + g = 0,
g = P(P −1 )yv + PA(P −1 )xv + Pb,
y donde observemos que cada fila de la ecuación es
vky + λkvkx + gk = 0 ⇔ Dkvk + gk = 0,
por tanto sobre la que actúa el campo característico Dk.
8.7.2. Reducción a forma diagonal de sistemas cuasi–
lineales hiperbólicos.
Si nuestro sistema, que por comodidad ahora escribimos de la forma
(8.18) uy = Aux + b,
es cuasi lineal de tipo hiperbólico, es decir que los términos de A son
funciones de
(x, y, u) = (x, y, u1, . . . , un),
los autovalores λi de A son reales y existe una matriz P no singular de
funciones diferenciables que diagonaliza a A y suponemos además que A

652 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
es invertible, es decir que los λi = 0, entonces podemos reducir nuestro
sistema a forma diagonal introduciendo n nuevas variables
(8.19) v = Puy,
y reemplazando nuestro sistema n–dimensional, en la incógnita u, por el
2n–dimensional, en las incógnitas (u, v),
uy = Qv, (para Q = P −1 )
vy = Λvx + d,
donde d depende de x, y, u y v y esto se tiene porque por una parte, de
(8.18) y (8.19) se sigue que
Qv = Aux + b, ⇒ ux = A −1 (Qv − b),
y por otra diferenciando respecto de y la anterior expresión y denotando
para cada función h(x, y, u(x, y))
∂h(x, y, u(x, y))
[h]x = = hx +
∂x
huiuix = hx + hui [A−1 (Qv − b)]i,
[h]y =
∂h(x, y, u(x, y))
∂y
= hy + hui [Qv]i,
= hy + hui uiy
siendo por tanto funciones de x, y, u y v, tendremos que
[Qv]y = [Aux + b]y
[Q]yv + Qvy = [A]yux + Auxy + [b]y
= [A]yux + A[Qv]x + [b]y
vy = −P[Q]yv + P[A]yux+
+ PA([Q]xv + Qvx) + P[b]y
⇒
= Λvx − P[Q]yv + P[A]yA −1 (Qv − b)+
+ PA[Q]xv + P[b]y.

8.8. Apéndice
8.8.1. Transformada de Legendre.
8.8. Apéndice 653
Ejemplo 8.8.1 Transformada de Legendre en R. Sea z una función en
la recta en la que tenemos la coordenada x, tal que ξ = z ′ (x) también
sea coordenada, es decir que
z ′′ (x)dx = dξ = 0 ⇔ z ′′ (x) = 0,
lo cual equivale a que, en el intervalo en el que está definida, z sea cóncava
o convexa.
x
j( x)
z ( x)
Figura 8.1. Transformada de Legendre
Definición. En tales condiciones llamamos transformada de Legendre
de la pareja (z, x) a la pareja (ϕ, ξ), formada por la función de la recta,
ϕ = xξ − z y la coordenada ξ.
Además se tiene que
x = ϕ ′ (ξ),
ξ = z ′ (x) ⇒ dx = ϕ′′ (ξ)dξ
dξ = z ′′ (x)dx ⇒ ϕ′′ (ξ) = 1
z ′′ (x) ,
por tanto para cualquier función F
F (x, z, z ′ , z ′′ ) = F (ϕ ′ , ξϕ ′ − ϕ, ξ, 1
ϕ ′′ ) = G(ξ, ϕ, ϕ′ , ϕ ′′ ),
y z es solución de la ecuación definida por F = 0 si y sólo si su transformada
ϕ lo es de G = 0.

654 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Definición. Dada una función z en un abierto coordenado (U; xi), tal
que det(zxixj ) = 0, lo cual equivale a que ξi = zxi sea sistema de coordenadas;
llamamos transformada de Legendre de la pareja formada por
la función y el sistema de coordenadas (z; xi) a la pareja formada por la
función y el sistema de coordenadas
ϕ = ξixi − z; ξi = zxi .
Proposición 8.37 La transformada de Legendre es involutiva, es decir si
la transformada de (z; xi) es (ϕ; ξi), la de esta es (z; xi) y se tiene que
(zxixj ) = (ϕξiξj ) −1 .
Demostración. La transformada de (ϕ; ξi) tiene coordenadas ϕξi
que a su vez son las componentes de
ϕξi dξi = dϕ = d( ξixi − z) = xidξi,
por tanto ϕξi = xi, y la función es xiξi − ϕ = z.
La igualdad de las matrices se sigue de que
n
k=1
ϕξiξk
zxkxj =
n
(xi)ξk (ξk)xj = (xi)xj = δij.
k=1
Ejercicio 8.8.1 Demostrar que la transformada de Legendre de z(x) = x p /p,
para p = 0 es ϕ(ξ) = ξ q /q para p, q conjugados, es decir (1/p) + (1/q) = 1.
Ejercicio 8.8.2 Demostrar que si (ϕ, ξ) es la transformada de Legendre de
(z, x), entonces la envolvente de la familia de rectas, parametrizada por ξ,
es la curva y = z(x).
y = ξ · x − ϕ(ξ),
Ejemplo 8.8.2 Transformada de Legendre en R 2 . Sea z una función en
el plano con coordenadas (x, y), tal que ξ = zx, η = zy sean sistema de
coordenadas o equivalentemente que
zxxzyy − z 2 xy = 0,

8.8. Apéndice 655
(ver el siguiente ejercicio en el que se caracterizan las que no satisfacen
esta propiedad), entonces por (8.37) se tienen las relaciones entre (z; x, y)
y su transformada (ϕ; ξ, η),
ϕ = xzx + yzy − z, ϕξ = x, ϕη = y
z = ξϕξ + ηϕη − ϕ, zx = ξ, zy = η,
∆ = ϕξξϕηη − ϕ 2 ηξ =
1
,
zxxzyy − z 2 xy
zxx = ϕηη
∆ , zyx = − ϕηξ
∆ , zxy = − ϕξη
∆ , zyy = ϕξξ
∆
Por lo tanto z es solución de una EDP
F (x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy) = 0,
tal que zxxzyy − z 2 xy = 0, si y sólo si ϕ es solución de la EDP
para la función
G(ξ, η, ϕ, ϕξ, ϕη, ϕξξ, ϕξη, ϕηη) = 0,
G(ξ, η, ϕ, p, q, r, s, t) = F (p, q,pξ + qη − ϕ, ξ, η,
t s r
, − , ),
rt − s2 rt − s2 rt − s2 tal que ϕξξϕηη − ϕ2 ηξ = 0.
Por ejemplo a cada solución de la EDP cuasi–lineal
satisfaciendo
a(zx, zy)zxx + 2b(zx, zy)zxy + c(zx, zy)zyy = 0,
zxxzyy − z 2 xy = 0,
le corresponde una solución de la EDP lineal
c(ξ, η)ϕξξ − 2b(ξ, η)ϕξη + a(ξ, η)ϕηη = 0.
Ejercicio 8.8.3 Una superficie {z = f(x, y)} ⊂ R 3 , definida por una función
del plano f, es desarrollable si y sólo si f es solución de la EDP
zxxzyy − z 2 xy = 0.

656 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Ejercicio 8.8.4 Demostrar que todas las soluciones de zxzy = 1 y xzx+yzy = z
son superficies desarrollables y que xzx + yzy = z + z 2 x + z 2 y tiene una solución
no desarrollable.
Ejercicio 8.8.5 Aplicar la transformada de Legendre para resolver zxzy = x.
Ejercicio 8.8.6 Aplicar la transformada de Legendre para encontrar las soluciones
no desarrollables de las EDP
zxz 3 yzyy − z 3 xzyzxx − xz 3 y(zxxzyy − z 2 xy) + yz 3 x(zxxzyy − z 2 xy) = 0, (1)
z 2 yzxx + 2zxzyzxy + z 2 xzyy + 2xzxzxxzyy − 2xzxz 2 xy = 0. (2)
Ejercicio 8.8.7 Demostrar que f es solución de la EDP de las superficies mínimas
zxx(1 + z 2 y) − 2zxzyzxy + zyy(1 + z 2 x) = 0,
si y sólo si la superficie z = f(x, y) tiene curvatura media nula en todo punto.

8.9. Ejercicios resueltos
8.9. Ejercicios resueltos 657
Ejercicio 8.4.2.- Consideremos la EDP de ondas
k 2 zxx − ztt = 0,
definir el ODL asociado, su símbolo, decir de que tipo es, reducirla a forma
canónica y resolverla. (a) Encontrar la solución que satisface las condiciones,
para x ∈ R
z(x, 0) = h(x), zt(x, 0) = g(x),
y demostrar que es única.
(b) Demostrar que si z es solución y se anula en el infinito de x, uniformemente
en t (i.e. ∀ɛ > 0, ∃M > 0 : si |x| ≥ M, |z(x, t)| ≤ ɛ), entonces
z = 0.
Solución.-
2 ∂2 ∂2
P = k − ,
∂x2 ∂t2 2 ∂ ∂ ∂ ∂
T = k ⊗ − ⊗
∂x ∂x ∂t ∂t ,
a = k 2 , b = 0, c = −1, por tanto el tipo es ac − b 2 = −k 2 (hiperbólico),
T(dx + λdt, dx + λdt) = 0 ⇔ k 2 − λ 2 = 0
⇔ λ = ±k
por tanto ω1 = dx + kdt = du, para u = x + kt y ω2 = dx − kdt = dv, para v = x − kt
y como en estas coordenadas T(du, dv) = 2k2 y [P, u](1) = [P, v](1) = P (1) = 0,
T = 2k 2
∂ ∂ ∂ ∂
2 ∂2
⊗ + ⊗ , P = 4k
∂u ∂v ∂v ∂u
∂u∂v .
(a) Por tanto nuestra ecuación en las nuevas coordenadas es
zuv = 0 ⇔ zu = f(u)
⇔ z = F (u) + G(v).
y en las coordenadas (x, t), z(x, t) = F (x + kt) + G(x − kt), por tanto la solución
pedida satisface, para χ(x) = x
0 g(t)dt:
z(x, 0) = h(x) = F (x) + G(x)
zt(x, 0) = g(x) = kF ′ (x) − kG ′ (x) ⇒ 2kF ′ (x) = kh ′ (x) + χ ′ (x)
para una constante k0 y tenemos
⇒ F (x) = h(x)
2
+ χ(x)
2k
+ k0,
z(x, t) = F (x + kt) + G(x − kt) = F (x + kt) + h(x − kt) − F (x − kt)
= h(x + kt) + h(x − kt)
2
+ χ(x + kt) − χ(x − kt)
2k

658 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Veamos la unicidad: si hubiese dos soluciones su diferencia z sería solución verificando
z(x, 0) = zt(x, 0) = 0, pero toda solución es de la forma z(x, t) = F (x + kt) +
G(x − kt), por tanto z = 0 pues
z(x, 0) = 0 = F (x) + G(x)
zt(x, 0) = 0 = kF ′ (x) − kG ′ (x)
⇒ 0 = F + G
F = G + cte
⇒ G = cte = −F.
(b) La condición de que z se anule en el infinito implica que para toda función
t(x), lím |x|→∞ z(x, t(x)) = 0, por tanto como la solución es de la forma z = F (x +
kt) + G(x − kt), tendremos para t1(x) = (x − x0)/k y t2(x) = (x0 − x)/k, que
por tanto existen los límites
F (2x − x0) + G(x0) → 0, F (x0) + G(2x − x0) → 0,
lím
|x|→∞ F (x) = −G(x0), lím G(x) = −F (x0),
|x|→∞
y F y G son constantes contrarias, pues x0 es arbitraria, y z = 0.
Ejercicio 8.4.3.- Consideremos la EDP
yzxx − xzyy − y x
zx + zy = 0,
2x 2y
definir el ODL asociado, su símbolo, decir en que región es de tipo hiperbólico
y resolverla, si es posible, reduciéndola antes a forma canónica. Decir cuales
son sus curvas características.
Solución.-
P = y ∂2 ∂2 y
− x −
∂x2 ∂y2 2x
∂
∂x
x ∂
+
2y ∂y ,
T = y ∂ ∂ ∂ ∂
⊗ − x ⊗
∂x ∂x ∂y ∂y ,
a = y, b = 0, c = −x, por tanto el tipo ac − b2 = −xy es hiperbólico en el primer
({x > 0, y > 0}) y tercer ({x < 0, y < 0}) cuadrantes,
T(dx + λdy, dx + λdy) = 0 ⇔ y − xλ 2
y
= 0 ⇔ λ = ±
x
por tanto podemos considerar
y
ω1 = dx +
x dy
y
ω2 = dx −
x dy
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⇒
3 √
xω1 = d(x
2
3/2 + y 3/2 )
3 √
xω2 = d(x
2
3/2 − y 3/2 )
por tanto para las coordenadas v1 = x 3/2 + y 3/2 , v2 = x 3/2 − y 3/2 , sus curvas
características son v1 = cte, v2 = cte, y como
[[P, v1], v1] = [[P, v2], v2] = [P, v1](1) = [P, v2](1) = P (1) = 0,
nuestro operador es proporcional a
∂2 ,
∂v1∂v2

y nuestra ecuación es
∂2z = 0 ⇔
∂v1∂v2
∂z
= f(v1)
∂v1
8.9. Ejercicios resueltos 659
⇔ z = F (v1) + G(v2) = F (x 3/2 + y 3/2 ) + G(x 3/2 − y 3/2 ).
Ejercicio 8.4.5.- Consideremos la EDP
x 2 zxx − 2xyzxy + y 2 zyy + 2xzx = 0,
decir en qué región es parabólica, resolverla, si es posible, reduciéndola antes
a forma canónica y decir cuales son sus curvas características.
Solución.- En este caso ac − b 2 = 0, por tanto es parabólica en todo el plano.
Si su 1–forma isótropa es proporcional a dx + λdy, tendremos que
T(dx + λdy, dx + λdy) = 0 ⇔ (x − λy) 2 = 0 ⇔ λ = x
y ,
por tanto podemos tomar
ω = ydx + xdy = d(xy),
por tanto sus curvas características son las hipérbolas xy = cte. Y en las coordenadas
u = xy, v = y, tendremos que
[[P, u], u] = [[P, u], v] = [P, u](1) = [P, v](1) = P (1) = 0,
por lo que nuestro operador es
[[P, v], v]
2
= T(dv, dv) = v 2 ,
2 ∂2
v ,
∂v2 y nuestra ecuación es en las nuevas coordenadas
∂2z ∂z
= 0 ⇔ = f(u) ⇔ z = f(u)v + g(u) = f(xy)y + g(xy).
∂v2 ∂v
Ejercicio 8.6.1.- Demostrar que si z es una solución elíptica ó hiperbólica de
una EDP cuasi–lineal
azxx + 2bzxy + czyy + g = 0,
y (u, v) son coordenadas características, entonces
xuv
xu
yuv
yu
zuv
(xuyv
zu − xvyu)2
=
2 √ b2 g.
− ac
Solución. Tenemos que
xv yv zv
zu = pxu + qyu, zv = pxv + qyv ⇒ zuv = pvxu + pxuv + qvyu + qyuv,

660 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
por tanto
xuv
xu
xv
yuv
yu
yv
zuv
zu
zv =
xuv
xu
xv
yuv
yu
yv
pvxu + pxuv
pxu
pxv +
xuv
=
xu
xv
yuv
yu
yv
xuv
xu
xv
pvxu
0
0
yuv
yu
yv
qvyu + qyuv
qyu
qyv
+
xuv
yuv
xu yu
xv yv
qvyu
0
0
= (pvxu + qvyu)(xuyv − xvyu)
= (pvλ2 + qv)yu(xuyv − xvyu)
= − g
(xuyv − xvyu)2
yvyu(xuyv − xvyu) =
c 2 √ b2 g,
− ac
donde la última igualdad se sigue de las dos primeras ecuaciones características, ya
que xuyv − xvyu = (λ2 − λ1)yuyv.
Ejercicio 8.6.2.- Demostrar que la EDP de las superficies mínimas
zxx(1 + z 2 y) − 2zxzyzxy + zyy(1 + z 2 x) = 0,
es elíptica y se puede reducir a las ecuaciones de Laplace en las coordenadas
características (u = u1 + iu2, u = u1 − iu2)
xu1u1 + xu2u2 = 0, yu1u1 + yu2u2 = 0, zu1u1 + zu2u2 = 0,
sujetas a las condiciones
x 2 u1 + y2 u1 + z2 u1 = x2 u2 + y2 u2 + z2 u2 ,
xu1xu2 + yu1yu2 + zu1zu2 = 0.
Solución. Consideremos una solución z, y su símbolo
T = (1 + z 2 ∂ ∂
y ) ⊗
∂x ∂x
∂
− zxzy
∂x
⊗ ∂
∂y
∂
− zxzy
∂y
∂
⊗
∂x + (1 + z2 ∂ ∂
x ) ⊗
∂y ∂y ,
ahora bien como la matriz de la métrica g correspondiente, es la inversa de la de T,
tendremos que
g = (1 + z2 x )dx ⊗ dx + zxzy(dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (1 + z2 y )dy ⊗ dy
1 + z2 x + z2 ,
y
si ahora consideramos las coordenadas características correspondientes (u, u), entonces
T(du, du) = 0, T(du, du) = 0,
por tanto
∂ ∂
0 = g , = (1 + z
∂u ∂u
2 x)x 2 u + 2zxzyxuyu + (1 + z 2 y)y 2 u = x 2 u + y 2 u + z 2 u,
∂ ∂
0 = g , = (1 + z
∂u ∂u
2 x )x2 u + 2zxzyxuyu + (1 + z 2 y )y2 u = x2 u + y2 u + z2 u ,

8.9. Ejercicios resueltos 661
y tomando la parte real y la imaginaria de la primera se tiene
x 2 u1 + y2 u1 + z2 u1 = x2 u2 + y2 u2 + z2 u2 ,
xu1xu2 + yu1yu2 + zu1zu2 = 0,
y si derivamos cada una de las ecuaciones respecto de “la otra” variable, tendremos
que
0 = xuxuu + yuyuu + zuzuu,
0 = xuxuu + yuyuu + zuzuu,
y como por el ejercicio anterior tenemos que
xuu
xu
xu
yuu
yu
yu
zuu
zu
= 0,
zu
pues g = 0, tendremos que la primera fila F1 es combinación de las otras dos F2 y
F3 (que son independientes pues xuyu − yuxu = 0), F1 = λF2 + µF3, lo cual implica
por lo anterior, que
y por tanto
(xuu) 2 + (yuu) 2 + (zuu) 2 = F1 · F1 = λF2 · F1 + µF3 · F1 = 0,
(xu1u1 + xu2u2 )2 + (yu1u1 + yu2u2 )2 + (zu1u1 + zu2u2 )2 = 0
⇔
⎧
⎪⎨
⎪⎩
xu1u1
yu1u1
zu1u1
+ xu2u2 = 0,
+ yu2u2 = 0,
+ zu2u2 = 0.
Ejercicio 8.6.3.- Demostrar que la EDP de las superficies mínimas, para la
métrica de Minkowsky, 4
zxx(z 2 y − 1) − 2zxzyzxy + zyy(z 2 x − 1) = 0,
4 Consideramos en R 3 la métrica de Minkowski dx ⊗ dx + dy ⊗ dy − dz ⊗ dz y
las superficies {z = f(x, y)} en las que la métrica inducida g sea no singular (i.e.
EG − F 2 = 0), por tanto sin radical. Consideremos en cada superficie la 2–forma de
área, que en coordenadas (v1 = x, v2 = y) es (si EG − F 2 < 0)
∂1 = ∂x + zx∂z, ∂2 = ∂y + zy∂z,
E = g(∂1, ∂1) = 1 − z 2 x , F = g(∂1, ∂2) = −zxzy, G = g(∂2, ∂2) = 1 − z 2 y ,
F 2 − EGdx ∧ dy = z2 x + z2 y − 1.
y la EDP de las superficies mínimas es la Ecuación de Euler–Lagrange para esta
lagrangiana
⎛
⎞ ⎛
⎞
∂
∂x
⎜ zx
⎝
z2 x + z2 ⎟
⎠ +
y − 1
∂ ⎜ zy
⎝
∂y z2 x + z2 ⎟
⎠ = 0,
y − 1

662 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
es hiperbólica y que se puede reducir a las ecuaciones de ondas en las coordenadas
características (u = u1 + u2, v = u1 − u2), es decir
xu1u1 − xu2u2 = 0, yu1u1 − yu2u2 = 0, zu1u1 − zu2u2 = 0,
sujetas a las condiciones
Solución. Consideremos su símbolo
T = (z 2 y − 1) ∂ ∂
⊗
∂x ∂x
x 2 u + y 2 u − z 2 u = x 2 v + y 2 v − z 2 v = 0.
∂
− zxzy
∂x
⊗ ∂
∂y
∂
− zxzy
∂y
∂
⊗
∂x + (z2 x − 1) ∂ ∂
⊗
∂y ∂y ,
ahora bien como la matriz de la métrica correspondiente, es la inversa de la de T,
tendremos que la métrica es
(z2 x − 1)dx ⊗ dx + zxzy(dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (z2 y − 1)dy ⊗ dy
1 − z2 x − z2 ,
y
que es proporcional a g, la que hereda del espacio. Si ahora consideramos las coordenadas
características correspondientes (u, v), entonces
T(du, du) = 0, T(dv, dv) = 0,
por tanto
∂ ∂
0 = g , = (z
∂u ∂u
2 x − 1)x2u + 2zxzyxuyu + (z2 y − 1)y2 u = z2 u − x2u − y2 u ,
∂ ∂
0 = g , = (z
∂v ∂v
2 x − 1)x 2 v + 2zxzyxvyv + (z 2 y − 1)y 2 v = z 2 v − x 2 v − y 2 v,
y si derivamos cada una de las ecuaciones respecto de “la otra” variable, tendremos
que para D = xuv∂x + yuv∂y + zuv∂z
0 = xuxuv + yuyuv − zuzuv,
0 = xvxuv + yvyuv − zvzuv,
⇒ 0 = g(D, ∂u),
0 = g(D, ∂v),
por tanto D = 0, pues g no tiene radical y D es tangente a la superficie, pues para
p = zx y q = zy, zuv = pxuv + qyuv, ya que zu = pxu + qyu y derivando y teniendo
en cuenta por (8.6), pág.634, que xu = λ2yu y por (8.7), pág. 635, que λ2pv = −qv,
tenemos
zuv = pvxu + pxuv + qvyu + qyuv = pxuv + qyuv.
Ejercicio 8.8.3.- Una superficie {z = f(x, y)} ⊂ R 3 , definida por una función
del plano f, es desarrollable si y sólo si f es solución de la EDP
zxxzyy − z 2 xy = 0.
Solución. Las superficies desarrollables son (localmente) las que tienen nula la
curvatura de Gauss, es decir el determinante del operador de Weingarten, (ver la
pág.181) definido en la superficie S = {z = f(x, y)} de la forma
φ: D(S) → D(S), φ(D) = −D ∇ N,

8.9. Ejercicios resueltos 663
para N el vector unitario, normal a la superficie, es decir
1
N =
1 + f 2 x + f 2
∂ ∂ ∂
−fx − fy + .
∂x ∂y ∂z
y
Si consideramos la base de campos D1, D2 ∈ D(S), definida por la aplicación
∂
D1 = F∗ =
∂x
F (x, y) = (x, y, f(x, y)),
∂ ∂
+ fx
∂x ∂z ,
∂
D2 = F∗ =
∂y
∂ ∂
+ fy
∂y ∂z ,
tendremos que para k = 1/ 1 + f 2 x + f 2 y
kx = −(fxfxx + fyfxy)k 3 , ky = −(fxfxy + fyfyy)k 3 ,
y puesto que las componentes de N no dependen de z, tendremos que sobre ellas
D1 = ∂x y D2 = ∂y, por lo que
φ(D1) = −D ∇ 1 N = D∇
∂ ∂ ∂
1 kfx + kfy − k
∂x ∂y ∂z
∂
∂ ∂
= (kfx)x + (kfy)x − kx
∂x ∂y ∂z
por lo que el determinante es
= (kfx)xD1 + (kfy)xD2
φ(D2) = (kfx)yD1 + (kfy)yD2,
(kxfx + kfxx)(kyfy + kfyy) − (kxfy + kfyx)(kyfx + kfyx) = k 4 (fxxfyy − f 2 xy ).
Ejercicio 8.8.5.- Aplicar la transformada de Legendre para resolver la EDP
zxzy = x.
Solución.- Esta ecuación se transforma en ξη = ϕξ, la cual tiene solución
ϕ = 1
2 ξ2 η + f(η),
y las soluciones (no desarrollables) de nuestra ecuación original se obtienen eliminando
ξ y η del sistema de ecuaciones
x = ξη,
y = ϕη = 1
2 ξ2 + f ′ (η),
z = xξ + yη − ϕ = ξ 2 η + ηf ′ (η) − f(η),
ahora para encontrar las soluciones desarrollables derivemos la ecuación respecto de
x e y
zxxzy + zxzxy = 1,
zxyzy + zxzyy = 0,
y z es una solución desarrollable si y sólo si zxxzyy − z 2 xy = 0, lo cual equivale a que
zyy = zxy = 0 y esto a que zy sea constante y como zxzy = x, tendremos que las
soluciones desarrollables tienen la forma
z = ay + 1
2a x2 + b,
donde a y b son constantes arbitrarias.

664 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
Ejercicio 8.8.7.- Demostrar que f es solución de la EDP de las superficies
mínimas
zxx(1 + z 2 y) − 2zxzyzxy + zyy(1 + z 2 x) = 0,
si y sólo si la superficie z = f(x, y) tiene curvatura media nula en todo punto.
Solución.- La curvatura media es la traza del operador de Weingarten (ver la
pág.181) definido en la superficie S = {z = f(x, y)}, que siguiendo el ejercicio (8.8.3),
vale 5
traz φ = (kfx)x + (kfy)y = 0.
5Ver el ejemplo (7.10.2), pág.500, donde hemos obtenido la EDP de las superficies
mínimas mediante la ecuación de Euler–Lagrange, es decir
⎛
⎞ ⎛
⎞
∂ ⎜ zx
⎝
∂x 1 + z2 x + z2 ⎟
⎠ +
y
∂ ⎜ zy
⎝
∂y 1 + z2 x + z2 ⎟
⎠ = 0,
y
que es la considerada en el enunciado del ejercicio multiplicada por la inversa de la
función 1 + z2 x + z2 3
y . Este es un buen ejemplo de que no siempre se debe simplificar
una ecuación si esta es canónica y las obtenidas por métodos variacionales tienen todo
el aspecto de serlo.

8.10. Bibliografía y comentarios 665
8.10. Bibliografía y comentarios
Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Phisics. Vol. I y II,
Partial Differential Equations”. J.Wiley, 1962.
Dieudonné, J.: “Elementos de Análisis”. Tomo IV. Ed. Reverté, 1983.
Egorov, Yu.V. and Shubin, M.A. (Eds.): “Partial Differential Equations Vol.I.”.
Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 30. Springer–Verlag, 1992.
Gamkrelidge, R.V. (Ed.): “Geometry, Vol.I.”. Encyclopaedia of Mathematical
Sciences, Volume 28. Springer–Verlag, 1991.
Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986.
Gockeler, M. and Schucker, T.: “Differential geometry, gauge theories, and
gravity”. Cambridge Univ. Press, 1987.
Godbillon, C.: “Elements de Topologie Algebrique”. Hermann, Paris, 1971.
Spivak, M.: “A comprehensive Introduction to Differential Geometry”. 5 Vol. Pu-
blish or Perish, 1975. (Vol.IV y Vol.V.)
Vladimirov, V.S.: “Equations of Mathematical Phisics”. Marcel Dekker, 1971.
En la primera lección hemos seguido el Dieudonné, pero debemos
advertir que lo que el autor dice en la pág.112, sobre la dimensión de los
elementos integrales del sistema de Pfaff generado por dF , ω, ω1 y ω2,
es verdad para n = 2, pero falso para n ≥ 3.
Hemos utilizado el Gamkrelidge, R.V., para la definición de ODL,
en el Egorov, Yu.V. and Shubin, M.A. y el Gockeler, M. and
Schucker, T. se encuentra la expresión en coordenadas del operador de
Laplace–Beltrami y en este último y el clásico de Godbillon, C. podemos
encontrar la definición del operador ∗ de Hodge y las demostraciones
de sus propiedades, así como las del operador de Laplace–Beltrami.
Para el tema en su conjunto hemos seguido fundamentalmente el
Garabedian, P.R., el Courant,R. and Hilbert, D. y el Spivak,
M..
Finalizamos estos comentarios con una teoría que no hemos tratado
en el tema pero que hemos visto en ejercicios (ver pág.656) y es de una
gran importancia: La teoría de las superficies mínimas.
En 1760 J.L.Lagrange (1736–1813) inicia el estudio de las superficies
mínimas —que él ve como superficies de mínima área con el borde
fijo—, como una aplicación de sus estudios acerca del cálculo de variaciones
(ver la Nota (7.10.2) de la pág.500). A Meusnier se debe el
descubrimiento de las dos superficies mínimas elementales: El catenoide
y el helicoide recto. Y para caracterizarlas utiliza la frase

666 Tema 8. EDP de orden superior. Clasificación
“. . . son superficies para las que las curvaturas principales k1 y k2 son
iguales y de distinto signo”.
Es decir son superficies con curvatura media H = (k1 + k2)/2 nula
(ver el ejercicio (8.8.7) de la pág.656). (La noción de curvatura media
aparece por primera vez en un trabajo de St. Germain de 1831). Esta
definición de superficie mínima es más correcta y la propiedad de ser de
“mínima área” es una propiedad similar a la de las geodésicas que son
de “longitud mínima” en general.
El significado eminentemente físico de la curvatura media H, fue
reconocido en 1805 y 1806 por T.Young y P.S.Laplace en sus investigaciones
sobre el ascenso de un líquido en un tubo capilar:
“La diferencia de presión cerca de un interfaz es proporcional a la
curvatura media del interfaz en ese punto”.
Aquí interfaz es la superficie que separa el líquido del medio en el que
se encuentra. Remitimos al lector a la pág.22 del libro
Nitsche, J.C.: “Lectures on minimal surfaces. Vol.1 ”. Cambridge Univ. Press, 1989.
Por último Plateau consiguió en 1873 superficies mínimas de película
jabonosa, introduciendo un alambre en forma de curva alabeada cerrada,
en una solución de jabón.
Fin del Tema 8

Tema 9
El problema de Cauchy
Con este título entendemos el problema de determinar la solución de
una EDP (ó de un sistema de EDP) que satisfaga ciertas condiciones
predeterminadas. En este tema estudiaremos en primer lugar la existencia
y unicidad de solución de una EDP de segundo orden en el plano,
satisfaciendo condiciones dadas sobre una curva, y en segundo lugar la
dependencia continua de la solución respecto de los datos iniciales.
9.1. Sistemas de EDP de primer orden
Consideremos una EDP de segundo orden en el plano
F (x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy) = 0,
ahora bien si Ft = 0, podemos aplicar el Teorema de las funciones
implícitas y expresar la EDP de la forma
(9.1) zyy = f(x, y, z, zx, zy, zxx, zxy).
Si z = z(x, y) es solución de esta EDP, entonces las funciones
(9.2) u3 = z, u4 = zx, u5 = zy, u6 = zxx, u7 = zxy, u8 = zyy,
667

668 Tema 9. El problema de Cauchy
son solución del sistema de EDP de primer orden
(9.3)
(a) u3y = u5, (b) u4y = u7, (c) u5y = u8,
(d) u6y = u7x, (e) u7y = u8x,
(f) u8y = fy + fzu5 + fpu7 + fqu8 + fru7x + fsu8x,
y aunque no es cierto que para toda solución u3, u4, . . . , u8 de este sistema
(9.3), la función z = u3 sea solución de (9.1), sí es cierta la equivalencia
si le imponemos ciertas condiciones.
Observemos que si z = z(x, y) es una solución de (9.1), en un entorno
de un punto (x0, y0), satisfaciendo las condiciones
(9.4) z(x, y0) = φ(x), zy(x, y0) = χ(x),
entonces también se tiene que
zx(x, y0) = φ ′ (x), zxx(x, y0) = φ ′′ (x), zxy(x, y0) = χ ′ (x),
zyy(x, y0) = f(x, y0, φ(x), φ ′ (x), χ(x), φ ′′ (x), χ ′ (x)),
lo cual implica que la solución correspondiente, (9.2) de (9.3), satisface
las condiciones
(9.5)
u3(x, y0) = φ(x), u4(x, y0) = φ ′ (x),
u5(x, y0) = χ(x), u6(x, y0) = φ ′′ (x),
u7(x, y0) = χ ′ (x),
u8(x, y0) = f(x, y0, φ(x), φ ′ (x), χ(x), φ ′′ (x), χ ′ (x)).
Veamos ahora el recíproco.
Teorema 9.1 Si u3, u4, . . . , u8 es una solución de (9.3), que satisface las
condiciones (9.5), entonces z = u3 es solución de (9.1) satisfaciendo las
condiciones (9.4).
Demostración. De (a) y (c) se sigue que para z = u3
de (e) y (c) que zyx = u7, pues
zy = u5, zyy = u8,
u7y = u8x = u5yx = u5xy ⇒ (integrando en y)
u7 = u5x + β(x) ⇒
u7(x, y0) = u5x(x, y0) + β(x) ⇒ (por las condiciones iniciales)
χ ′ (x) = χ ′ (x) + β(x) ⇒
u7 = u5x = zyx, (por ser zy = u5),

de (b) que
9.1. Sistemas de EDP de primer orden 669
u4y = u7 = zxy ⇒ (integrando en y)
u4 = zx + α(x) ⇒
u4(x, y0) = zx(x, y0) + α(x) ⇒ (por las condiciones iniciales)
de (d) que
φ ′ (x) = φ ′ (x) + α(x) ⇒ u4 = zx,
u6y = u7x = zxxy ⇒ (integrando en y)
u6 = zxx + γ(x) ⇒
u6(x, y0) = zxx(x, y0) + γ(x) ⇒ (por las condiciones iniciales)
φ ′′ (x) = φ ′′ (x) + γ(x) ⇒ u6 = zxx,
y por último de (f) que
zyyy = u8y = fy + fzu5 + fpu7 + fqu8 + fru7x + fsu8x
= fy + fzzy + fpzxy + fqzyy + frzxxy + fszxyy
= ∂f(x, y, z, zx, zy, zxx, zxy)
∂y
zyy = f(x, y, z, zx, zy, zxx, zxy) + ψ(x),
⇒ (integrando en y)
y por las condiciones iniciales tendremos que ψ(x) = 0, por tanto
zyy = f(x, y, z, zx, zy, zxx, zxy),
es decir que z = u3 es solución de (9.1) satisfaciendo (9.4).
Nota 9.2 Observemos que el sistema (9.3) satisfaciendo las condiciones
iniciales (9.5), es equivalente al sistema de EDP
(9.6)
u1y = 0, u2y = u1x,
u3y = u5u1x, u4y = u7u1x, u5y = u8u1x,
u6y = u7x, u7y = u8x,
u8y = fyu1x + fzu5u1x + fpu7u1x + fqu8u1x + fru7x + fsu8x,
si consideramos las condiciones
(9.7)
u1(x, y0) = x, u2(x, y0) = y0, u3(x, y0) = φ(x),
u4(x, y0) = φ ′ (x), u5(x, y0) = χ(x),
u6(x, y0) = φ ′′ (x), u7(x, y0) = χ ′ (x),
u8(x, y0) = f(x, y0, φ(x), φ ′ (x), χ(x), φ ′′ (x), χ ′ (x)),

670 Tema 9. El problema de Cauchy
pues se tiene que u1 = x y u2 = y. Y este sistema es de la forma
(9.8)
∂ui
∂y =
n
j=1
satisfaciendo condiciones iniciales del tipo
fij(u1, . . . , un) ∂uj
, (para i = 1, . . . , n)
∂x
(9.9) ui(x, y0) = φi(x), (para i = 1, . . . , n)
Estudiaremos el Teorema de Cauchy–Kowalewsky en la lección
9.5, en él se prueba la existencia y unicidad de solución (ui), del sistema
(9.8), satisfaciendo las condiciones (9.9), cuando las funciones fij y φi
son analíticas.
Por último observemos que si z = z(x, y) es solución de (9.1), para
la que
z(x0, y0) = z0, zx(x0, y0) = p0, zy(x0, y0) = q0,
zxx(x0, y0) = r0, zxy(x0, y0) = s0, zyy(x0, y0) = t0,
y tenemos que f está definida en un entorno del punto
(x0, y0, z0, p0, q0, r0, s0),
(en el que f vale t0), entonces podemos simplificar nuestro problema
considerando las nuevas variables
y la nueva incógnita
ξ = x − x0, η = y − y0,
z(ξ, η) = z(ξ + x0, η + y0) − z0 − ξp0 − ηq0 − ξ2
2 r0 − ξηs0 − η2
2 t0,
para las que se verifica
zξ = zx − p0 − ξr0 − ηs0,
zη = zy − q0 − ξs0 − ηt0,
zξξ = zxx − r0,
zξη = zxy − s0,
zηη = zyy − t0
= f(x, y, z, zx, zy, zxx, zxy) − t0 =

9.1. Sistemas de EDP de primer orden 671
= f(ξ + x0, η + y0,
z + z0 + ξp0 + ηq0 + ξ 2 r0/2 + ξηs0 + η 2 t0/2,
zξ + p0 + ξr0 + ηs0, zη + q0 + ξs0 + ηt0,
zξξ + r0, zξη + s0) − t0
= g(ξ, η, z, zξ, zη, zξξ, zξη),
donde la función g está definida en un entorno del origen (en el que se
anula), de la forma
g(ξ,η, z, p, q, r, s) = f(ξ + x0, η + y0,
z + z0 + ξp0 + ηq0 + ξ 2 r0/2 + ξηs0 + η 2 t0/2,
p + p0 + ξr0 + ηs0, q + q0 + ξs0 + ηt0, r + r0, s + s0) − t0,
y por tanto z es solución de la ecuación
satisfaciendo las condiciones
y por tanto verificando
zηη = g(ξ, η, z, zξ, zη, zξξ, zξη),
z(ξ, 0) = z(ξ + x0, y0) − z0 − ξp0 − ξ 2 r0/2,
zξ(ξ, 0) = zx(ξ + x0, y0) − p0 − ξr0,
zη(ξ, 0) = zy(ξ + x0, y0) − q0 − ξs0,
zξξ(ξ, 0) = zxx(ξ + x0, y0) − r0,
zξη(ξ, 0) = zxy(ξ + x0, y0) − s0,
z(0, 0) = zξ(0, 0) = zη(0, 0)
= zξξ(0, 0) = zξη(0, 0) = zηη(0, 0) = 0,
lo cual simplifica las condiciones de una forma que nos será útil en la
demostración del Teorema de Cauchy–Kowalewski.

672 Tema 9. El problema de Cauchy
9.2. Curvas características
Consideremos una ecuación cuasi–lineal
(9.10) azxx + 2bzxy + czyy = d,
donde a, b, c, d son funciones de x, y, z, zx, zy. La cuestión que planteamos
en este tema consiste en encontrar una solución z = z(x, y), con valores
z[x(t), y(t)] = z(t), zx[x(t), y(t)] = p(t), zy[x(t), y(t)] = q(t),
determinados sobre una curva plana, dada paramétricamente de la forma
(9.11) x = x(t), y = y(t).
En tales condiciones las funciones z(t), p(t) y q(t) no pueden darse
arbitrariamente, pues están relacionadas con x(t) e y(t) de la siguiente
forma
z ′ (t) = zxx ′ (t) + zyy ′ (t) = p(t)x ′ (t) + q(t)y ′ (t),
por otra parte tendremos que si tal solución z existe, debe satisfacer las
ecuaciones
p ′ (t) = zxxx ′ (t) + zxyy ′ (t),
q ′ (t) = zyxx ′ (t) + zyyy ′ (t),
que junto con (9.10) definen el sistema
⎛
a 2b c
⎞ ⎛
⎝
⎠ ⎝
x ′ (t) y ′ (t) 0
0 x ′ (t) y ′ (t)
zxx
zxy
zyy
⎞ ⎛
d
⎠ = ⎝p
′ (t)
q ′ ⎞
⎠ ,
(t)
el cual nos permite despejar las derivadas segundas de la z a lo largo de
la curva siempre que
a 2b c
|A| =
x
′ (t) y ′
(t) 0
= ay′2 − 2bx ′ y ′ + cx ′2 = 0.
0 x ′ (t) y ′ (t)
Por tanto sobre una curva que satisfaga esta propiedad los datos de
Cauchy z(t), p(t), q(t), x(t) e y(t) determinan las derivadas segundas

9.2. Curvas características 673
de z sobre la curva y por tanto todas las derivadas sobre la curva, pues
derivando (9.10) respecto de x, y considerando ϕ(t) = zxx[x(t), y(t)] y
ψ(t) = zxy[x(t), y(t)], tendremos que
azxxx + 2bzxxy + czxyy = D,
x ′ (t)zxxx + y ′ (t)zxxy = ϕ ′ (t),
x ′ (t)zxxy + y ′ (t)zxyy = ψ ′ (t),
donde D es una función de a, b, c, sus derivadas y z y sus derivadas primeras
y segundas, todas ellas conocidas sobre la curva. Entonces como
la matriz del sistema tiene |A| = 0, podemos despejar estas derivadas
terceras de la z sobre nuestra curva. Y así sucesivamente. Esto nos permite
construir una solución formal en serie de potencias de x−x0, y −y0,
en un punto (x0, y0) de la curva, la cual definirá una verdadera función
en un entorno del punto si la solución z es analítica, cosa que demostraremos
en el caso de que las funciones que intervienen en el problema
sean analíticas.
Nota 9.3 Observemos que si para los datos de Cauchy z(t), p(t) y q(t),
se verifica
|A| = ay ′2 − 2bx ′ y ′ + cx ′2 = 0.
esto significa que nuestra curva inicial (x(t), y(t)) es característica para
la hipotética solución z, que sobre la curva satisface z = z(t), zx = p(t) y
zy = q(t), pues tal curva es tangente a uno de los campos característicos
—para a = 0—
∂
∂x + b ± √ b2 − ac ∂
a ∂y ,
En cuyo caso, si nuestros datos iniciales son tales que ac − b 2 > 0, es
decir nuestra hipotética solución es elíptica, no hay curvas características,
si ac − b 2 = 0 —es decir es parabólica—, hay una familia de curvas
características, y si ac − b 2 < 0 —es decir es hiperbólica—, hay dos
familias de curvas características.
9.2.1. Propagación de singularidades.
En esta sección veremos que las curvas características están relacionadas
con la propagación de cierto tipo de singularidades de la solución
de una EDP.

674 Tema 9. El problema de Cauchy
Consideremos una EDP lineal definida en un abierto U del plano
P (z) = azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + fz = 0,
donde a, b, c, d, e, f son funciones de x, y, y sea γ = {(x(t), y(t))} una
curva del abierto tal que U − γ sea la unión disjunta de dos abiertos A
y B. Consideremos una función u en U, tal que u = u1 en A y u = u2
en B, con u1 y u2 de clase 3 soluciones de la EDP respectivamente en
A ∪ γ y B ∪ γ y tales que u es de clase 1 en U. En tal caso se tiene por
continuidad que para todo t
(9.12)
y si llamamos
u1[x(t), y(t)] = u2[x(t), y(t)],
u1x[x(t), y(t)] = u2x[x(t), y(t)],
u1y[x(t), y(t)] = u2y[x(t), y(t)],
s11(t) = u1xx[x(t), y(t)] − u2xx[x(t), y(t)],
s12(t) = u1xy[x(t), y(t)] − u2xy[x(t), y(t)],
s22(t) = u1yy[x(t), y(t)] − u2yy[x(t), y(t)],
entonces se tiene que estas tres funciones no son independientes, pues
derivando las dos últimas ecuaciones de (9.12) se sigue que
lo cual implica que
(9.13) s12 = − x′
s11 s22
y ′
0 = x ′ s11 + y ′ s12,
0 = x ′ s12 + y ′ s22,
= − x′
y ′ s12 = x′2
y
′2 s11,
y por otra parte considerando P (u1)−P (u2) = 0 sobre la curva, teniendo
en cuenta (9.12), se sigue que
lo cual implica que
⎛
⎝
as11 + 2bs12 + cs22 = 0,
a 2b c
x ′ (t) y ′ (t) 0
0 x ′ (t) y ′ (t)
⎞ ⎛
⎠ ⎝
s11
s12
s22
⎞
⎠ = 0,

9.2. Curvas características 675
y si el determinante de la matriz es no nulo (es decir la curva no es
característica), hay solución única sij = 0 y no hay saltos en las derivadas
segundas, por lo que nuestra solución u sería de clase 2, pero si el
determinante se anula, la curva es característica y en tal caso para
se tiene que
s111(t) = u1xxx[x(t), y(t)] − u2xxx[x(t), y(t)], s112 = · · · ,
y aplicando (9.13) se tiene que
s ′ 11 = x ′ s111 + y ′ s112,
s ′ 12 = x ′ s112 + y ′ s122,
y ′2 (as111 + 2bs112 + cs122) = y ′2 as111 + 2by ′ (s ′ 11 − s111x ′ )+
+ c(y ′ s ′ 12 − s112x ′ y ′ )
= s111(y ′2 a − 2bx ′ y ′ ) + 2by ′ s ′ 11+
+ cy ′ s ′ 12 − cx ′ (s ′ 11 − s111x ′ )
= s111(y ′2 a − 2bx ′ y ′ + x ′2 c)+
+ s ′ 11(2by ′ − cx ′ ) + cy ′
− x′
′
s11
y ′
= 2s ′ 11(by ′ − cx ′ ) − cy ′
′ ′
x
s11,
y si derivamos P (u1) = 0 y P (u2) = 0 respecto de x, las restamos y el
resultado se evalúa sobre la curva, tendremos que
0 = as111 + 2bs112 + cs122 + axs11
+ 2bxs12 + cxs22 + ds11 + es12,
y multiplicando por y ′2 y utilizando la igualdad anterior, tendremos que
2s ′ 11(by ′ − cx ′ ) = (cy ′
x ′
y ′
′
− ax − d + (2bx + e) x′
y
y ′
′ − cx
x ′2
)s11,
y ′2
que es una ecuación diferencial ordinaria en s11, que nos da la ley de
propagación del salto en las derivadas segundas de dos soluciones que
coinciden, junto con sus derivadas primeras sobre la curva. Observemos
que por lo tanto el salto en un punto determina el salto en cualquier otro

676 Tema 9. El problema de Cauchy
punto, por ejemplo si en un punto t0 no hay salto, s11(t0) = 0, no lo hay
en ningún punto, s11 = 0, y por tanto
s12 = s22 = s11 = 0,
es decir las derivadas segundas de ambas soluciones coinciden y u sería
de clase 2.
9.3. Funciones analíticas reales
A lo largo de la lección denotaremos con letras griegas α, . . . los multi–
índices (α1, . . . , αn) ∈ N n , y con
|α| = α1 + · · · + αn, α! = α1! · · · αn!,
D α = ∂α1+···+αn
∂x α1 ,
· · · ∂xαn
1
asimismo escribiremos α ≤ β para denotar las desigualdades componente
a componente. Con x denotamos un punto (x1, . . . , xn) ∈ R n y con
x α = x α1
1
Ejercicio 9.3.1 Demostrar que
(x1 + · · · + xn) m =
y que para todo multi–índice α,
· · · xαn
n , x 1 = x1 · · · xn.
|α|=m
n
m!
α! xα1 1 · · · x αn
n =
α! ≤ |α|! ≤ n |α| α!.
9.3.1. Series de potencias.
|α|=m
m!
α! xα ,
Definición. Llamamos radio de convergencia de una serie de potencias
en x ∈ R
∞
cnx n ,
n=0

al valor R, cuyo inverso es
9.3. Funciones analíticas reales 677
R −1 = lím sup
n→∞
si este es finito y R = 0 si es infinito.
n
|cn|,
Teorema de Abel 9.4 (Ver Apostol, p.285 y 287). Sea R el radio de
convergencia de la serie de potencias en R, cnxn , entonces:
i) La serie converge absolutamente en |x| < R y uniformemente en
|x| ≤ r, para r < R.
ii) La serie diverge en |x| > R.
iii) La serie es de clase infinito en |x| < R y su derivada es la serie
de las derivadas
∞
ncnx n−1 ,
n=1
que tiene el mismo radio de convergencia R.
Ejercicio 9.3.2 Demostrar que para x ∈ (−1, 1), y k ∈ N, la serie
∞
n=k
converge absolutamente a k!/(1 − x) 1+k .
9.3.2. Series múltiples.
n!
(n − k)! xn−k ,
En esta lección consideraremos series múltiples de números reales
cα,
α
las cuales recordemos que están definidas como el límite (si es que existe)
lím
t1
· · ·
t1,...,tn→∞
α1=0
tn
αn=0
c (α1,...,αn),
y consideraremos las absolutamente convergentes,
α |cα| < ∞, lo cual
equivale a la convergencia de la serie
∞
|cα|,
j=0 |α|=j

678 Tema 9. El problema de Cauchy
en cuyo caso se tiene (ver Apostol, p.245)
(9.14)
cα =
α
∞
· · ·
α1=0
∞
αn=0
c (α1...αn) =
∞
cα.
j=0 |α|=j
Una propiedad básica que utilizaremos es que si las series
∞
∞
a1m, . . . ,
m=0
m=0
anm,
son absolutamente convergentes, entonces también lo es (ver Apostol,
p.247)
cα, (para c (α1,...,αn) = a1α1 · · · anαn ),
y se tiene
α
∞
cα =
α
m=0
a1m
· · ·
∞
m=0
anm
Ejercicio 9.3.3 Demostrar que si x ∈ R n , con |xi| < 1, entonces la serie
α xα
converge absolutamente a
1
.
(1 − x) 1
Ejercicio 9.3.4 Demostrar que si x ∈ R n , con n i=1 |xi| < 1, entonces la serie
converge absolutamente a
α
|α|!
α! xα ,
1
1 − (x1 + · · · + xn) .
9.3.3. Series múltiples de funciones.
Para cada α ∈ Nn sea fα : U ⊂ Rn → R una función, tal que para
cada x ∈ U, fα(x) converja absolutamente a un número real f(x)
(habitualmente escribiremos f = fα). Diremos que la convergencia de
la serie es uniforme en U si para las sumas parciales
sα(x) =
fβ(x),
β≤α
.

9.3. Funciones analíticas reales 679
se tiene que para todo ɛ > 0, existe un αɛ, tal que
|sα(x) − f(x)| ≤ ɛ,
para todo α ≥ αɛ y todo x ∈ U.
Si U es un abierto, cada fα es una función continua y existe A ⊂ U
y constantes cα ≥ 0 tales que
cα < ∞ y |fα(x)| ≤ cα, para todo x ∈ A y α ∈ N n ,
α
entonces la serie fα(x) converge absolutamente y uniformemente en
A a una función continua fα ∈ C(A).
Recordemos (ver la lección 2 del Tema I) que si tenemos que fα ∈
Ck (U) y la serie
D β fα(x),
α
converge absolutamente y uniformemente en los compactos de U, para
todo β con |β| ≤ k, entonces fα ∈ C k (U) y además
D β
α
fα
=
D β fα, para |β| ≤ k.
α
Ejercicio 9.3.5 Demostrar que si x ∈ R n , con |xi| < 1, y β ∈ N n , entonces la
serie
α!
(α − β)! xα−β ,
converge absolutamente a
α≥β
β!
.
(1 − x) 1+β
Ejercicio 9.3.6 Demostrar que si x ∈ R n , con |xi| < 1, y β ∈ N n , entonces
la serie
α!
(α − β)! xα−β ,
converge absolutamente a
α≥β
|β|!
.
(1 − x1 − · · · − xn) 1+|β|

680 Tema 9. El problema de Cauchy
Proposición 9.5 Sea y ∈ R n y cα ∈ R, tales que |cαy α | = µ < ∞,
entonces cαx α converge absolutamente a una función f(x) continua
en C = {x : |xi| ≤ |yi|} y de clase infinito en el interior A de C. Además
cα = 1
α! Dα f(0),
y dado un compacto de K ⊂ A existen constantes 0 < r, M tales que
para todo x ∈ K
|D β f(x)| ≤ M|β|!r −|β| .
Demostración. Obviamente la serie converge absolutamente en C.
Ahora bien A es no vacío sólo si yi = 0, para todo i, en cuyo caso todo
compacto K ⊂ A está en un conjunto de la forma
con λ ∈ (0, 1) y tenemos que
α
|xi| ≤ λ|yi|,
|D β (cαx α )| ≤ α!
(α − β)! |cα|λ |α−β| |y α−β |
α≥β
≤ µ
|y β |
α≥β
α!
(α − β)! λ|α−β|
= µ
|yβ β!
,
| (1 − λ) n+|β|
y la serie de las derivadas converge absolutamente en A y uniformemente
en cualquier compacto de A. Por tanto f = cαx α es de clase infinito
en A y en K se tiene que |D β f(x)| ≤ M|β|!r −|β| , para
además
D β f(x) =
µ
M = , r = (1 − λ) mín |yi|,
(1 − λ) n i
α≥β
α!
(α − β)! cαx α−β ⇒ D β f(0) = β! cβ.
Definición. Diremos que una función f : U ⊂ Rn → R es analítica real
en un punto y = (yi) si existe un entorno abierto Uy de y en el abierto
U y cα ∈ R, tales que para todo x = (xi) ∈ Uy,
f(x) =
cα(x − y) α ,
α

9.3. Funciones analíticas reales 681
(donde la serie es absolutamente convergente). Diremos que f es analítica
real en U si lo es en cada punto de U, en cuyo caso lo denotaremos
f ∈ C ω (U).
El siguiente resultado es una reelaboración del último.
Teorema 9.6 Si f : U ⊂ R n → R es analítica real en un punto y ∈ U
entonces existe un entorno suyo Uy y M, r > 0, tales que f ∈ C ∞ (Uy) y
para todo x ∈ Uy
f(x) =
α
1
α! Dα f(y)(x − y) α ,
|D β f(x)| ≤ M|β|!r −|β| .
Demostración. Hágala el lector. (Ind. Considérese la serie absolutamente
convergente
α cαxα , en un entorno de 0, obtenida a partir de
la de la definición).
Esta propiedad de acotación de las derivadas es la que esencialmente
caracteriza las funciones analíticas reales, como se ve en el siguiente
resultado.
Teorema 9.7 f ∈ C ω (U) si y sólo si f ∈ C ∞ (U) y para cada compacto
K ⊂ U existen M, r > 0, tales que para cada x ∈ K
|D β f(x)| ≤ M|β|!r −|β| .
Demostración. Si f ∈ C ω (U) entonces por el resultado anterior,
f ∈ C ∞ (U) y para cada y ∈ U existe un entorno Uy y M = My, r = ry,
positivos, tales que para todo x ∈ Uy
|D β f(x)| ≤ M|β|!r −|β| .
Ahora dado un compacto K ⊂ U podemos recubrirlo de un número
finito de entornos Uy y basta considerar M = máx My y r = mín ry.
Recíprocamente sea f ∈ C ∞ (U) y consideremos un y ∈ U y una bola
cerrada, de la 1, K = B[y, r ′ ] ⊂ U. Ahora sean M, r las constantes
correspondientes a K y sea x ∈ Uy = B(y, r) ∩ B(y, r ′ ), por tanto tal
que para z = x − y
z1 = x − y1 = |x1 − y1| + · · · + |xn − yn| < r.

682 Tema 9. El problema de Cauchy
Veamos en primer lugar que la serie
α
1
α! Dα f(y)(x − y) α ,
converge absolutamente, lo cual equivale a demostrar la convergencia de
∞
n=0 |α|=n
1
α! |Dα f(y)(x − y) α | ≤
Definamos ahora la función
=
∞
n=0
−n
Mr
|α|=n
|α|!
α! |zα |
∞
Mr −n z n 1 < ∞.
n=0
g(t) = f(tx + (1 − t)y),
para la que se tiene (ver ejercicio siguiente) que para todo n ∈ N
siendo
por lo tanto
f(x) = g(1) =
n
i=0
1
i! g(i (0) + 1
n!
|α|=n
1
1
n!
g(n
(t)
=
1
α! Dαf(tz + y)z α
1
n!
1
y haciendo n → ∞
0
f(x) =
−n
≤ Mr
|α|=n
(1 − t) n g (n+1
(t)dt
≤ M
∞
i=0
0
(1 − t) n g (n+1 (t)dt,
|α|!
α! |zα | = Mr −n z n 1 ,
n+1 z1
→ 0,
r
1
i! g(i (0) = 1
α! Dαf(y)(x − y) α .
por (9.14), pues la convergencia es absoluta.
α

9.3. Funciones analíticas reales 683
Ejercicio 9.3.7 (a) Demostrar que si g ∈ C ∞ ((a, b)), para [0, 1] ⊂ (a, b) ⊂ R
g(1) =
n
i=0
1
i! g(i (0) + 1
n!
1
0
(1 − t) n g (n+1 (t)dt.
(b) Que si g(t) = f(tz +y), para f ∈ C ∞ (U), con U ⊂ R n abierto, entonces
g (n (t) =
|α|=n
n!
α! Dα f(tz + y)z α .
Ejercicio 9.3.8 Demostrar que f es analítica real en un punto si y sólo si lo es
en un entorno del punto.
Las funciones analíticas reales están totalmente determinadas si conocemos
los valores de todas sus derivadas en un punto cualquiera, en
particular si la conocemos en el entorno de un punto, o la conocemos en
germen de un punto.
Teorema 9.8 Si U es conexo y f ∈ C ω (U) entonces f está determinada
de forma única si conocemos los valores D β f(z), para un z ∈ U y todo
β ∈ N n .
Demostración. Sean f, g ∈ C ω (U), tales que para toda β ∈ N n ,
D β f(z) = D β g(z), y sea h = f − g, entonces los conjuntos
U1 = {x : D β h(x) = 0, para algún β ∈ N n },
U2 = {x : D β h(x) = 0, para todo β ∈ N n },
son abiertos, el primero por la continuidad de D β h y el segundo porque
si x ∈ U2 se sigue del teorema (9.6) que f = 0 en un entorno de x. Por
tanto como z ∈ U2, tendremos que U2 = U y f = g.
Ejercicio 9.3.9 Demostrar que para M, r > 0, la función
ϕ(y) =
definida en { yi = r}, verifica
y es analítica en { |yi| < r}.
Mr
r − (y1 + · · · + ym) ,
D α ϕ(0) = M|α|!r −|α| ,

684 Tema 9. El problema de Cauchy
Definición. Diremos que una aplicación F = (fi): U ⊂ R n → V ⊂ R m
es analítica en un punto x ∈ U si sus componentes fi son funciones
analíticas en el punto. Diremos que es una aplicación analítica si lo es
en cada punto.
Teorema 9.9 Una aplicación F : U ⊂ R n → V ⊂ R m , es analítica si y
sólo si la aplicación
F ∗ : C ∞ (V ) → C ∞ (U), F ∗ (g) = g ◦ F,
lleva funciones analíticas en funciones analíticas.
Demostración. Como las funciones coordenadas yi en R m son analíticas
la suficiencia es obvia por la definición, pues F ∗ (yi) = fi son analíticas,
por tanto lo es F = (fi).
Veamos la necesidad, es decir que si F es analítica y g es una función
analítica, entonces f = g ◦ F es una función analítica en todo punto
x ∈ U. Para ello basta demostrar que para cada punto x existe un
entorno suyo y constantes M, s > 0 tales que en cada punto x ′ del
entorno y para todo α ∈ N n
|D α f(x ′ )| ≤ M|α|!s −|α| .
Por ser g y las fi analíticas, sabemos que existen entornos Ux de x
y Vy de y = F (x) y constantes M, r > 0, tales que para cada punto
x ′ ∈ Ux e y ′ ∈ Vy y para cualesquiera multiíndices α ∈ N n y β ∈ N m
donde denotamos ∆ β = ∂ |β| /∂y β1
1
|∆ β g(y ′ )| ≤ M|β|!r −|β| ,
|D α fi(x ′ )| ≤ M|α|!r −|α| ,
· · · ∂yβm
m
Ahora cortando Ux con F −1 (Vy) si es necesario, podemos suponer que
F (Ux) ⊂ Vy, en cuyo caso tendremos mediante sucesivas aplicaciones de
la regla de la cadena que
|D α f(x ′ )| = |D α g(f1, . . . , fm)(x ′ )|
β ′ γ
= |Pα ∆ g[F (x )], . . . , D fi(x ′ ), . . . |
β ′ γ
|∆ g[F (x )]|, . . . , |D fi(x ′ )|, . . . ,
≤ Pα
para Pα un polinomio de coeficientes positivos, siendo β ∈ N m y γ ∈
N n tales que 1 ≤ |β| ≤ |α| y 1 ≤ |γ| ≤ |α|. Además tales polinomios

9.3. Funciones analíticas reales 685
son independientes de las funciones consideradas, por eso, definiendo las
funciones
ϕ(y1, . . . , ym) = Mr
r − ,
yi
φj(x1, . . . , xn) =
Mr
r − − M, para j = 1, . . . , m
xi
φ = (φ1, . . . , φm),
en entornos del origen de Rm y Rn respectivamente, considerando el
ejercicio (9.3.9) y que φ(0) = 0, se tiene que
|D α f(x ′ β ′ γ
)| ≤ Pα |∆ g[F (x )]|, . . . , |D fi(x ′ )|, . . .
para
≤ Pα
M|β|!r −|β| , . . . , M|γ|!r −|γ| , . . .
β γ
= Pα ∆ ϕ[φ(0)], . . . , D φi(0), . . .
= D α (ϕ ◦ φ)(0)
= M ′ |α|!s −|α| ,
M ′ = Mm
r
M ≤ M, s =
r + Mm 2
r + mM ,
lo cual de nuevo es consecuencia del ejercicio (9.3.9), pues se demuestra
fácilmente que
ϕ[φ(x)] =
=
Mr
r − m Mr
r − + mM
xi
Mm
r + Mm Ms
s − xi
+ Mr
r + mM .
Como consecuencia de este resultado se tiene trivialmente el siguiente.
Corolario 9.10 La composición de aplicaciones analíticas es una aplicación
analítica.

686 Tema 9. El problema de Cauchy
9.4. Funciones analíticas complejas
Hay una diferencia fundamental entre la teoría de funciones diferenciables
de variable real y la de variable compleja, pues en la de variable
real estudiamos la clase de las funciones derivables, entre ellas estudiamos
las que tienen derivada segunda, y así sucesivamente; luego estudiamos
una clase más reducida, las que son infinitamente derivables y entre ellas
las analíticas reales, que pueden expresarse a través de su desarrollo de
Taylor, siendo distintas todas estas clases de funciones. Sin embargo
para las funciones de variable compleja ocurre que todas las clases anteriores
coinciden, es decir que basta pedirle a una función de estas que
sea derivable en un abierto, para que sea de clase infinita y analítica
en el abierto. Remitimos al lector a la lección (8.4.3), pág.619, donde ya
hemos hablado de estas cuestiones y vimos el Teorema de Cauchy (8.24).
9.4.1. Las ecuaciones de Cauchy–Riemann.
Definición. Una función
f(z) : U ⊂ C → C,
es diferenciable en un punto z0 si existe y es único el
lím
z→z0
f(z) − f(z0)
,
z − z0
y es un número complejo que denotamos f ′ (z0). Diremos que f es holomorfa
ó analítica compleja en U si es diferenciable en todo punto de U
y su derivada es continua 1 .
En el caso de que U = C, diremos que f es entera.
Es fácil demostrar que si f es diferenciable en un punto z0, es continua
en ese punto, para ello basta tomar límites (cuando z → z0) en la
igualdad
f(z) =
f(z) − f(z0)
(z − z0) + f(z0).
z − z0
1 Esta última condición no es necesaria, pues Goursat demostró en 1900 que si
f ′ existe es continua.

9.4. Funciones analíticas complejas 687
Consideremos la identificación natural entre R 2 y C dada por (x, y) →
z = x + iy y una función
f : U ⊂ C → C, ó F = (u, v): U ⊂ R 2 → R 2 ,
entendiendo f(z) = u(x, y) + iv(x, y). En estos términos se tiene la siguiente
caracterización.
Teorema 9.11 Condición necesaria y suficiente para que f sea holomorfa
en U es que u y v sean de clase 1 en U y satisfagan las ecuaciones
de Cauchy–Riemann
ux = vy,
uy = −vx,
Demostración. Tomemos el z = x + iy, en el límite de la definición,
primero con y = y0 y después con x = x0, en ambos casos el límite debe
ser
f ′ (z0) = ux + ivx = vy − iuy,
de esta forma quedaría demostrada la necesidad. Para probar la suficiencia
tenemos por el Teorema del valor medio y las ecuaciones
de Cauchy–Riemann, que
f(z0 + z) − f(z0) =
= u(x0 + x, y0 + y) − u(x0, y0)+
+ i[v(x0 + x, y0 + y) − v(x0, y0)]
= u(x0 + x, y0 + y) − u(x0 + x, y0) + u(x0 + x, y0) − u(x0, y0)+
+ i[v(x0 + x, y0 + y) − v(x0 + x, y0) + v(x0 + x, y0) − v(x0, y0)]
= yuy(x0 + x, y) + xux(x, y0)+
+ i[yvy(x0 + x, y ′ ) + xvx(x ′ , y0)] =
= y[uy(x0, y0) + ɛ1] + x[ux(x0, y0) + ɛ2]+
+ i[y[vy(x0, y0) + ɛ3] + x[vx(x0, y0) + ɛ4]]
= y[−vx(x0, y0) + ɛ1] + x[ux(x0, y0) + ɛ2]+
+ i[y[ux(x0, y0) + ɛ3] + x[vx(x0, y0) + ɛ4]]
= z(ux + ivx) + yɛ1 + xɛ2 + iyɛ3 + ixɛ4,

688 Tema 9. El problema de Cauchy
donde los ɛi tienden a cero cuando z = x + iy tiende a cero. Por tanto
se sigue que
f(z0
+ z) − f(z0)
− ux − ivx
z
=
yɛ1
+ xɛ2 + iyɛ3 + ixɛ4
z
de donde se sigue que
f ′ (z0) = ux + ivx.
≤ |ɛ2 + iɛ4| + |ɛ1 + iɛ3|,
Si como decimos consideramos la identificación natural entre R 2 y C,
tendremos que R 2 adquiere una estructura de espacio vectorial complejo
para el que
1 = (1, 0), i = (0, 1), ⇒ i(1, 0) = (0, 1), i(0, 1) = (−1, 0),
y por tanto todos los espacios tangentes T (x,y)(R 2 ), para los que
por tanto dada una función
i ∂ ∂ ∂ ∂
= , i = −
∂x ∂y ∂y ∂x ,
f : U ⊂ C → C, f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
podemos considerar la aplicación lineal tangente de
F = (u, v): U → R 2 , F∗ : T (x,y)(R 2 ) → T (x,y)(R 2 )
y se tiene el siguiente resultado.
Teorema 9.12 Condición necesaria y suficiente para que u y v satisfagan
las ecuaciones de Cauchy–Riemann es que F∗ sea C–lineal.
Demostración. Basta observar que
∂
∂ ∂ ∂
iF∗ = i ux + vx = ux
∂x ∂x ∂y ∂y
F∗ i ∂
∂ ∂ ∂
= F∗ = uy + vy
∂x ∂y ∂x ∂y .
− vx
∂
∂x ,

9.4. Funciones analíticas complejas 689
9.4.2. Fórmula integral de Cauchy.
Dada una función
f : U ⊂ C → C, f(z) = u(x, y) + iv(x, y),
se tiene la siguiente caracterización de las funciones analíticas de variable
compleja.
Teorema 9.13 Los siguientes enunciados son equivalentes:
i) Para cada punto z0 ∈ U, existe un disco abierto D0 ⊂ U, centrado
en z0 y cn ∈ C, tales que para todo z ∈ D0,
f(z) =
∞
cn(z − z0) n .
n=0
en el sentido de que la serie converge absolutamente.
ii) La función f es derivable, su derivada es continua y las funciones
u, v satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann.
iii) La función f es derivable, su derivada es continua y fdz es cerrada,
es decir d(fdz) = 0.
iv) La función f es continua y para todo abierto V , con V ⊂ V ⊂ U
y con borde ∂V variedad diferenciable, se tiene la Fórmula integral
de Cauchy,
para todo z0 ∈ V .
f(z0) = 1
2πi ∂V
f(z)
dz.
z − z0
Demostración. (i) ⇒ (ii). Se tiene que
f ′ (z) =
∞
ncn(z − z0) n−1 .
n=0
y la serie converge absolutamente en D0 y f ′ es continua en D0 y por
tanto en todo U (ver Cartan, p.22). El resto se sigue del teorema de
caracterización de las funciones holomorfas.
(ii) ⇒ (iii). Tenemos que
fdz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i(vdx + udy) ⇒
d(fdz) = d(udx − vdy) + id(vdx + udy)
= (−uy − vx)dx ∧ dy + i(−vy + ux)dx ∧ dy = 0.

690 Tema 9. El problema de Cauchy
(iii) ⇒ (iv). Consideremos la 1–forma
ω = f
dz,
z − z0
en el abierto U0 = U − {z0}, la cual es cerrada, pues se tiene
1
dω = d ∧ fdz +
z − z0
1
dz
d(fdz) = f ∧ dz = 0.
z − z0
(z − z0) 2
Consideremos un disco Dr = {|z − z0| ≤ r} ⊂ V , para un r > 0
suficientemente pequeño y consideremos el abierto A = V −Dr con borde
∂V ∪ Cr, en el que consideramos la orientación sobre el borde tomando
un campo exterior a A —observemos que sobre Cr es la orientación
contraria a la habitual—. Entonces aplicando el Teorema de Stokes,
(14.12), pág.974
0 = dω =
A
f
dz =
z − z0
∂V
∂V
Cr
ω −
Cr
f
dz,
z − z0
ω ⇒
y tomando límites cuando r → 0, se tiene el resultado, pues parametrizando
la circunferencia Cr, z = z0 + r eit , tendremos que
2π
f
f(z0 + r e
dz =
z − z0
it )
r eit ir e it dt
(9.15)
Cr
= i
0
2π
0
f(z0 + r e it )dt → 2πif(z0).
(iv) ⇒ (i). Consideremos un disco Dr = {|z − z0| ≤ r} ⊂ U y
apliquemos (iv) al interior V de Dr, tendremos que para todo ξ ∈ V ,
f(ξ) = 1
f(z)
2πi Cr z − ξ dz
= 1
−1 f(z) ξ − z0
1 − dz
2πi Cr z − z0 z − z0
= 1
∞
n
f(z) ξ − z0
dz
2πi Cr z − z0 z − z0
n=0
= 1
∞
n f(z) ξ − z0
dz,
2πi z − z0 z − z0
n=0
Cr

pues la serie
9.4. Funciones analíticas complejas 691
∞
n ξ − z0
,
z − z0
n=0
es uniformemente convergente en los z ∈ Cr y por tanto definiendo
cn = 1
2πi Cr
y el resultado se concluye.
f(z)
dz ⇒ f(ξ) =
(z − z0) n+1
∞
cn(ξ − z0) n .
Nota 9.14 Observemos que de la fórmula integral de Cauchy en la forma
(9.15), se sigue el Teorema del valor medio para funciones analíticas:
El valor f(z0) es el valor medio de f en cualquier circunferencia
centrada en z0, cuyo disco esté en su dominio.
f(z0) = 1
2π
2π
0
n=0
f(z0 + r e it ) dt,
Como consecuencia se tiene el Principio del máximo:
Si el módulo de una función holomorfa alcanza el máximo en el interior
de su dominio conexo es constante.
Esto se demuestra considerando que si el máximo es a = |f(z0)|,
entonces el conjunto {|f(z)| = a} es cerrado, no vacío y además es abierto
pues si |f(p)| = a y consideramos una bola centrada en p y cualquier
punto suyo z, para r = |z − p|, se tiene
|f(p)| ≤ 1
2π
2π
0
|f(z0 + r e it )| dt,
y en todo punto de la circunferencia |f| ≤ a y si en un punto fuese
estrictamente menor también lo sería en un entorno y el valor medio
sería estrictamente menor que a y |f(p)| < a, por lo que llegaríamos a
contradicción.

692 Tema 9. El problema de Cauchy
9.4.3. Funciones analíticas n–dimensionales.
Remitimos al lector a las p.70–72 del Fritz–John para un breve
análisis de las funciones analíticas complejas n–dimensionales. En particular
al siguiente resultado.
Teorema 9.15 Si f ∈ C ω (U), con U abierto de R n , entonces para cada
compacto K ⊂ U, existe un entorno κ ⊂ C n de K y una función F
analítica compleja en κ, tal que F (x) = f(x), para cada x ∈ K.
9.5. El Teorema de Cauchy–Kowalewski
Consideremos el sistema de ecuaciones
∂ui
∂y =
n
fij(u1, . . . , un) ∂uj
(9.16)
,
∂x
(para i = 1, . . . , n)
j=1
uy = A(u)ux, (en forma matricial),
satisfaciendo condiciones iniciales del tipo
ui(x, y0) = φi(x), (para i = 1, . . . , n)
u(x, y0) = φ(x), (en forma vectorial),
donde supondremos que las funciones φi son analíticas en un entorno de
un punto x0 ∈ R y las fij analíticas en un entorno de φ(x0) ∈ R n .
Nuestra intención consiste en demostrar que en tales condiciones
existe una única solución u = (u1, . . . , un), analítica en un entorno de
(x0, y0) ∈ R 2 .
En primer lugar observamos que sin pérdida de generalidad podemos
suponer que x0 = y0 = φ(x0) = 0, pues basta considerar el nuevo sistema
∂zi
∂y =
n
j=1
hij(z1, . . . , zn) ∂zj
∂x , zi(x, 0) = χi(x),
para hij(z) = fij(z + φ(x0)), χ(x) = φ(x + x0) − φ(x0),

9.5. El Teorema de Cauchy–Kowalewski 693
el cual si tiene solución z = (zi), entonces el original la tiene u(x, y) =
z(x − x0, y − y0) + φ(x0).
En segundo lugar observemos que las ecuaciones (9.16) son una fórmula
de recurrencia que nos permite calcular todos los valores
(9.17)
∂m+kui ∂xm =
∂yk n
j=1
∂m+k−1 ∂xm∂y k−1
fij(u) ∂uj
∂x
= Pm,k[D α fij(u), . . . , ∂β1+β2uj ∂xβ1∂y , . . .], β2
siendo Pm,k un polinomio con coeficientes positivos en las derivadas parciales
de las fij y las ui y donde α ∈ N n y β ∈ N 2 recorren los multiíndices
que satisfacen
|α| ≤ m + k − 1, β1 ≤ m + 1, β2 ≤ k − 1,
además estos polinomios son independientes de las funciones fij y uj.
Esta fórmula nos permite calcular todos los valores
∂m+kui ∂xm (0, 0),
∂yk pues por una parte tendremos que para todo m
∂mui (0, 0) = φ(m
∂xm i (0),
y sustituyendo estos valores en la fórmula (9.17), podemos calcular los
valores correspondientes a k = 1
∂m+1ui ∂xm (0, 0),
∂y
los cuales podemos substituir de nuevo en la fórmula para obtener los
valores correspondientes a k = 2 y así sucesivamente.
Que la solución analítica es única (de existir) es consecuencia de (9.6),
puesto que sus derivadas en 0 ∈ R 2 las acabamos de determinar de forma
única y la solución sería
(9.18) ui(x, y) =
∞
m,k=0
1
m!k!
∂m+kui ∂xm∂y k (0, 0)xmy k ,

694 Tema 9. El problema de Cauchy
ahora lo único que falta comprobar es que efectivamente cada una de
estas series convergen absolutamente en un entorno del origen, pues en
tal caso cada una define una función ui analítica en un entorno del origen,
que por (9.8) coincide con φi en y = 0, pues ui(x, 0) y φi(x) son analíticas
y tienen las mismas derivadas en 0; y las ui satisfacen nuestro sistema de
ecuaciones por el mismo teorema, pues ambos lados de la ecuación son
funciones analíticas, que por construcción tienen las mismas derivadas
en el origen.
Para demostrar que efectivamente se tiene la convergencia absoluta
en un entorno del origen supongamos que tenemos otras funciones gij,
analíticas en un entorno del origen de Rn , y que demostramos la existencia
de solución analítica v = (vi), en un entorno del origen de R2 , del
sistema
∂vi
∂y =
n
j=1
gij(v1, . . . , vn) ∂vj
, (para i = 1, . . . , n)
∂x
satisfaciendo unas condiciones iniciales del tipo
vi(x, 0) = ψi(x), (para i = 1, . . . , n)
con las ψi analíticas en un entorno del origen y tales que para todo
α ∈ N n y m ∈ N
|D α fij(0)| ≤ D α gij(0), |φ (m
i (0)| ≤ ψ (m
i (0).
En tal caso tendríamos que la serie
vi(x, y) =
∞ 1
m!k!
m,k=0
∂m+kvi ∂xm∂y k (0, 0)xmy k ,
converge absolutamente en un entorno del origen de R 2 y por consiguiente
nuestra serie (9.18), pues por una parte para todo m tendríamos
que
(0, 0)
m =
φ (m
i (0) ≤ ψ (m
∂ m ui
∂x
i (0) = ∂m vi
(0, 0),
∂xm y por inducción en k tendríamos la desigualdad en todos los casos, pues
∂
m+kui ∂xm
(0)
∂yk ≤ Pm,k(|D α fij(0)| , β
D uj(0) )
≤ Pm,k(D α gij(0), D β vj(0)) = ∂m+kvi ∂xm (0).
∂yk

9.5. El Teorema de Cauchy–Kowalewski 695
Ejercicio 9.5.1 Sabiendo que para una función f = cαx α analítica en 0, es
D β ( cαx α ) = D β (cαx α ), demostrar que existen constantes M, r > 0 tales
que
|D α f(0)| ≤ |α|! M r −|α| .
Ahora bien nuestras funciones fij y φi son analíticas en un entorno
del origen (de R n y R respectivamente), por tanto existen constantes
M, r > 0 tales que
|D α fij(0)| ≤ |α|!Mr −|α| , |φ (m
i (0)| ≤ m!Mr −m .
Esto nos induce a considerar las funciones analíticas en un entorno
del origen (de R n y R respectivamente) gij = g y ψi = ψ, para
Mr
g(x1, . . . , xn) =
,
r − x1 − · · · − xn
ψ(x) = Mr Mx
− M =
r − x r − x ,
pues para ellas se tiene que ψ(0) = 0 y (ver el problema (9.3.9))
|D α fij(0)| ≤ D α g(0) = |α|!Mr −|α| ,
φ (m
i (0) ≤ ψ (m (0) = m!Mr −m .
Por lo tanto nos basta estudiar el sistema particular
∂vi
∂y =
n
j=1
Mr
r − v1 − · · · − vn
satisfaciendo las condiciones iniciales
∂vj
, (para i = 1, . . . , n)
∂x
vi(x, 0) = Mx
r − x ,
y basta encontrar una función z analítica solución de la EDP de primer
orden
nMr
(9.19) zy = zx, z(x, 0) =
r − nz
Mx
r − x ,
pues en tal caso vi = z son la solución de la anterior.
Para resolverla consideramos el campo
∂
∂y −
nMr ∂
r − nz ∂x ,

696 Tema 9. El problema de Cauchy
en las coordenadas (x, y, z) y buscamos un par de integrales primeras
como
z, u = nMry ay
+ x = + x,
r − nz b + z
para a = −Mr y b = −r/n. Ahora el resultado de despejar z en F (u, z) =
0, como función de (x, y), para cualquier función F , será solución de
la EDP. En particular para cualquier función f de una variable, basta
despejar z en
ay
z = f(u) ⇒ z = f + x ,
b + z
pero como a nosotros nos interesa la solución que satisface la condición
inicial (9.19), esta f debe verificar —puesto que en y = 0, u = x—
f(x) = z(x, 0) = Mx
r − x
por lo que la solución debe satisfacer
Mu
− z = 0 ⇒ Mu + uz − rz = 0
r − u
ay
⇒ (M + z) + x − zr = 0
b + z
⇒ f(u) = Mu
r − u
⇒ (M + z)[ay + bx + zx] − zr(b + z) = 0
⇒ (x − r)z 2 + (ay + bx − rb + Mx)z + M(ay + bx) = 0,
y de las dos raíces de esta ecuación cuadrática, la solución debe ser la
que vale 0 en el origen, es decir
1 2
z = (ay + bx + nb + Mx)−
2(x − r)
− (ay + bx + nb2 + Mx) 2
− 4M(ay + bx)(x − r) ,
la cual define una función analítica en un entorno del origen, pues ni el
denominador ni el radical se anulan en el origen. Esto finaliza la demostración
del teorema que a continuación enunciamos.
Teorema de Cauchy–Kowalewski 9.16 El sistema de ecuaciones en forma
matricial
uy = A(u)ux,

9.6. EDP de tipo hiperbólico 697
satisfaciendo condiciones iniciales del tipo
u(x, y0) = φ(x),
y tal que las componentes φi y fij de φ y A, son analíticas en un entorno
del x0 ∈ R y de φ(x0) ∈ R n , respectivamente, tiene una única solución
analítica en un entorno del (x0, y0) ∈ R 2 .
9.6. EDP de tipo hiperbólico
En esta lección vamos a estudiar el problema de Cauchy para una
EDP de segundo orden en el plano, definida por un operador diferencial
lineal de tipo hiperbólico y por tanto expresable en la forma canónica
zxy + · · · = 0,
más generalmente supondremos que los puntos suspensivos definen una
función arbitraria, no necesariamente de tipo lineal. Por tanto consideraremos
una EDP de la forma
(9.20) zxy = f(x, y, z, zx, zy),
y la cuestión consiste en encontrar una solución z = z(x, y), con valores
z = u(t), zx = p(t), zy = q(t),
determinados sobre una curva plana dada paramétricamente de la forma
x = f(t), y = g(t),
y para los que se debe satisfacer la relación de compatibilidad
u ′ (t) = zxf ′ (t) + zyg ′ (t) = p(t)f ′ (t) + q(t)g ′ (t).
Ahora bien en la lección 2 vimos que las curvas características, que
en nuestro caso son y = cte, x = cte, eran excepcionales para el estudio

698 Tema 9. El problema de Cauchy
de la existencia y unicidad, de hecho si nuestra curva es tangente a una
característica, es decir f ′ (t) = 0 ó g ′ (t) = 0 —y por tanto det A = 0
(ver la lección 2)—, los datos no determinan las derivadas de todos los
ordenes de z en el punto de la curva (f(t), g(t)), mientras que en caso
contrario si. Por ejemplo si nuestra ecuación es
zxy = 0,
y los datos u, p y q los damos sobre la curva característica f(t) = t,
g(t) = a = cte,
z(x, a) = u(x), zx(x, a) = p(x), zy(x, a) = q(x),
tendremos que la condición de compatibilidad exige que
u ′ (x) = zx(x, a) = p(x),
lo cual no exige ninguna condición para la q. Ahora bien si existe tal
solución, debe verificarse q ′ (x) = zxy(x, a) = 0, y por tanto q(x) = b =
cte y en tal caso todas las funciones de la forma
z(x, y) = u(x) + φ(y),
con φ(a) = 0 y φ ′ (a) = b, definen una solución de la EDP satisfaciendo
las condiciones impuestas.
En definitiva en un problema de
Cauchy como el anterior, con datos
iniciales sobre una curva característica,
puede no existir solución (si por
ejemplo q no es constante) o existir
pero sin ser única. Por tanto las curvas
características son excepcionales
en cuanto al problema de Cauchy. Es-
Figura 9.1. Dominio de dependencia
ta es la razón de imponer a nuestra
curva inicial que no sea tangente a las
curvas características, lo cual significa que es estrictamente creciente o
decreciente y puede definirse mediante cualquiera de las funciones inversas
y = y(x), x = x(y),
y podemos tomar tanto el parámetro x como el y para parametrizarla.

9.6. EDP de tipo hiperbólico 699
Para cada punto 2 P = (x, y) del plano, (ver Figura 9.1), consideremos
los puntos de la curva inicial A = (x(y), y) y B = (x, y(x)), y denotemos
con C1 la parte de la curva limitada por estos puntos, con D la región del
plano limitada por la curva C, unión de C1 y las características C2 = BP
y C3 = P A y consideremos un vector N exterior a D y la orientación
sobre la curva C,
iN (dx ∧ dy),
en estos términos se tiene la siguiente equivalencia.
Teorema 9.17 Sean u, p y q, funciones definidas sobre la curva inicial,
satisfaciendo las condiciones de compatibilidad. Entonces condición necesaria
y suficiente para que z sea solución de
zxy = f(x, y, z, zx, zy),
que en la curva inicial satisface z = u, zx = p y zy = q, es que sea
solución de
u(A) + u(B)
z(x, y) = +
2
1
(9.21)
[pdx − qdy]+
2 C1
+ f(x, y, z, zx, zy)dx dy.
D
Demostración. Suficiencia: Aplicando el Teorema de Stokes,
(14.12), pág.974 tenemos que
f(x, y, z, zx, zy)dx dy = zxydx ∧ dy
D
D
= 1
d[zydy − zxdx]
2 D
= 1
[zydy − zxdx]
2 C
= 1
[zydy − zxdx] + [zydy − zxdx] + [zydy − zxdx]
2 C1
C2
C3
= 1
y
x
[qdy − pdx] + zy(x, η)dη + zx(ξ, y)dξ
2 C1
y(x)
x(y)
= 1
[qdy − pdx] + z(x, y) − z(x, y(x)) + z(x, y) − z(x(y), y) ,
2
C1
2 Realmente no es para cada punto P del plano sino en una región que determina
la curva, que es en la que A y B están definidos.

700 Tema 9. El problema de Cauchy
de donde se sigue que z satisface la ecuación integral (9.21).
Necesidad: Es obvio que z = u sobre la curva, ahora si parame-
trizamos u, p y q con x, tendremos
u(x) + u(x(y))
z(x, y) =
2
+
x
x(y)
y
y(ξ)
+ 1
x
(p − qy
2 x(y)
′ )dx+
f(ξ, η, z, zx, zy)dξ dη,
y derivando respecto de x, considerando las ecuaciones de compatibilidad
que nos aseguran que u ′ (x) = p(x) + q(x)y ′ (x), tendremos que zx = p
sobre la curva, pues
zx(x, y) = u′ (x)
2 + p(x) − q(x)y′ (x)
+
2
+
y
= p(x) +
y(x)
y
f(x, η, z, zx, zy)dη
y(x)
f(x, η, z, zx, zy)dη,
y del mismo modo si parametrizamos respecto de y tendremos que zy = q
sobre la curva, además derivando respecto de y en la última igualdad se
tiene que z satisface la ecuación (9.20).
Esta ecuación integro–diferencial nos servirá como base para el estudio
de la existencia y unicidad de solución. A continuación damos una
primera versión de este resultado, consecuencia directa del anterior, para
el caso en el que f = f(x, y).
Teorema de existencia y unicidad 9.18 Si consideramos sobre nuestra
curva inicial tres funciones u, p y q, que satisfacen las condiciones de
compatibilidad, entonces existe, y es única, la solución del problema de
Cauchy
zxy = f(x, y),
z = u, zx = p, zy = q, (sobre la curva)
y viene dada por la expresión
u(A) + u(B)
z(x, y) = +
2
1
[pdx − qdy]+
2 C1
(9.22)
+ f(x, y)dx dy.
D

9.7. Método de las aprox. sucesivas 701
Nota 9.19 Observemos que z está determinada en P si ella y sus derivadas
de primer orden lo están en la curva inicial AB y f lo está en D.
Esta es la razón de llamar al conjunto D dominio de dependencia de la
solución z con respecto a P (ver la figura 41 de la página 698).
Ejercicio 9.6.1 Encontrar la solución de la EDP zxy = x + y, que en x + y = 0
satisface, z = 0 y zx = x.
9.7. Método de las aprox. sucesivas
El objetivo de esta lección es demostrar en primer lugar la existencia
y unicidad de la solución de la EDP hiperbólica (9.20)
zxy = f(x, y, z, zx, zy),
con sus valores y los de sus derivadas de primer orden fijados sobre
una curva estrictamente monótona y en segundo lugar su dependencia
diferenciable con respecto a estos. Para ello consideraremos el problema
equivalente representado por la ecuación integro–diferencial (9.21) y
demostraremos que la solución existe, es única y depende diferenciablemente
de los datos fijados.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que los datos iniciales
u, p y q se anulan sobre la curva y por tanto que la ecuación integral
(9.21) es
z(x, y) = f(x, y, z, zx, zy)dx dy,
D
puesto que para cualesquiera otras funciones, u, p y q, podemos considerar
la solución (9.22)
u(A) + u(B)
ϕ(x, y) = +
2
1
[pdx − qdy],
2 C1
de zxy = 0, que sobre la curva satisface las condiciones fijadas y considerar
la solución de
zxy = g(x, y, z, zx, zy),
para g(x, y, z, z1, z2) = f(x, y, z + ϕ, z1 + ϕx, z2 + ϕy),

702 Tema 9. El problema de Cauchy
que tanto ella como sus derivadas se anulen sobre la curva. Entonces la
función v = ϕ + z será solución de (9.20), satisfaciendo las condiciones
deseadas sobre la curva. Observemos que si f es localmente acotada,
continua, localmente lipchiciana en las tres últimas variables uniformemente
en las dos primeras, ó lineal en las tres últimas variables, entonces
también lo es g.
Recordemos que D es la región determinada por las rectas paralelas
a los ejes que pasan por (x, y) y la curva dada y que podemos considerar
que esta curva es, sin pérdida de generalidad, la recta
x + y = 0,
puesto que basta hacer el cambio de coordenadas (que siguen siendo
características)
u = y(x),
v = −y,
ó
u = −x,
v = x(y),
sin que el problema se modifique esencialmente, pues
por tanto
x = y −1 (u) = x(u), y = −v,
zx = zuy ′ (x), zy = −zv, zxy = −zuvy ′ (x),
zxy = f(x, y, z, zx, zy) ⇔ zuv = g(u, v, z, zu, zv),
para g(u, v, z, z1, z2) = − 1
y ′ [x(u)] f(x(u), −v, z, z1y ′ [x(u)], −z2).
9.7.1. Existencia de solución.
La cuestión consiste en fijar un punto de x+y = 0, que por comodidad
será el origen (para ello basta hacer un nuevo cambio de coordenadas:
una traslación) y demostrar que bajo ciertas condiciones apropiadas para
g, el límite de la sucesión definida recurrentemente por la fórmula
(9.23)
un+1(x, y) =
=
=
D
x y
−y −ξ
y x
−x
g(x, y, un, pn, qn)dx dy
−η
g(ξ, η, un, pn, qn)dξ dη
g(ξ, η, un, pn, qn)dξ dη,

con u0 = 0 y para
9.7. Método de las aprox. sucesivas 703
y
pn+1(x, y) = un+1x(x, y) = g(x, η, un, pn, qn)dη,
−x
x
qn+1(x, y) = un+1y(x, y) = g(ξ, y, un, pn, qn)dη,
−y
Figura 9.2.
las cuales se anulan en x + y = 0, existe y es la solución de nuestro problema.
Tal solución será local, es decir definida en un entorno del punto
considerado, en nuestro caso el origen.
Teorema 9.20 Sea W ⊂ R 5 abierto, con 0 ∈ U, y g : W −→ R localmente
acotada (por ejemplo si g es continua) y localmente lipchiciana
en z, p y q uniformemente en x e y (por ejemplo si g es de clase 1),
entonces existe una solución de
zxy = g(x, y, z, zx, zy),
definida en un entorno abierto del 0 ∈ R 2 , tal que z = zx = zy = 0, en
los puntos de x + y = 0 en ese abierto.
Demostración. Por ser localmente lipchiciana para cualquier entorno
acotado
UL = {|x| ≤ L, |y| ≤ L},
del origen de R 2 y V entorno compacto del origen de R 3 , tales que el
compacto UL × V ⊂ W , existe una constante M tal que
|g(x, y, z, p, q) − g(x, y, z ′ , p ′ , q ′ )| ≤ M[|z − z ′ | + |p − p ′ | + |q − q ′ |],
para (x, y) ∈ UL y (z, p, q), (z ′ , p ′ , q ′ ) ∈ V . Sea |g| ≤ k en UL × V y
consideremos un T > 0 y el conjunto
G = {(x, y) ∈ [−L, L] 2 : |x + y| ≤ T },
para el que se verifica que si en todos sus puntos, (un−1, pn−1, qn−1) ∈ V ,
entonces en (x, y) ∈ G
2 kT
(9.24) |un(x, y)| ≤
2 , |pn(x, y)| ≤ kT, |qn(x, y)| ≤ kT,

704 Tema 9. El problema de Cauchy
por lo que tomando un T > 0 suficientemente pequeño, tendremos que
(un, pn, qn) también está en V y como u0 = p0 = q0 = 0, tendremos que
para todo n ∈ N,
(un(x, y), pn(x, y), qn(x, y)) ∈ V,
en todo punto (x, y) ∈ G, en el que además se tiene
|un+1(x, y) − un(x, y)| ≤
≤ |g(ξ, η, un, pn, qn) − g(ξ, η, un−1, pn−1, qn−1)|dξ dη
D
≤ M [|un − un−1| + |pn − pn−1| + |qn − qn−1|]dξ dη
D
|pn+1(x, y) − pn(x, y)| ≤
y
≤ M [|un − un−1| + |pn − pn−1| + |qn − qn−1|]dη
−x
|qn+1(x, y) − qn(x, y)| ≤
≤ M
x
[|un − un−1| + |pn − pn−1| + |qn − qn−1|]dξ,
−y
pues el dominio de dependencia de (x, y), D ⊂ G. Ahora consideremos,
para n ≥ 1, las funciones Zn : [−T, T ] → [0, ∞)
Zn(t) = máx
x+y=t,(x,y)∈G [|un(x, y) − un−1(x, y)|+
y las nuevas variables
para las que se tiene
+ |pn(x, y) − pn−1(x, y)| + |qn(x, y) − qn−1(x, y)|],
v = x − y, t = x + y,
dv ∧ dt = d(x − y) ∧ d(x + y) = 2dx ∧ dy,
y por tanto (para x + y > 0)
[|un−un−1| + |pn − pn−1| + |qn − qn−1|]dx dy ≤
D
≤ 1
x+y 2x−t
Zn(t)dt dv
2
≤
0
x+y
0
t−2y
|x + y − t|Zn(t)dt ≤ T
x+y
0
Zn(t)dt,

9.7. Método de las aprox. sucesivas 705
entonces combinando las desigualdades obtenidas tendremos que
|un+1(x, y) − un(x, y)| + |pn+1(x, y) − pn(x, y)|+
y por tanto para |t| ≤ T
+ |qn+1(x, y) − qn(x, y)| ≤ M
Zn+1(t) ≤ M(2 + T )
t
0
x+y
0
Zn(t)dt = λ
t
0
[2 + T ]Zn(t)dt,
Zn(t)dt.
Ahora como u0 = 0 tendremos p0 = q0 = 0 y por (9.24)
2 kT
Z1(t) ≤ + kT + kT = µ,
2
que puesta en la fórmula de recurrencia nos acota
y por inducción
Z2(t) ≤ µλt,
Zn+1(t) ≤ µ λn t n
con lo cual dada la serie convergente
∞
n=0
n!
µ λn T n
n! = µ eλT ,
tendremos a la vez la convergencia uniforme de
lím
n→∞ un =
lím
n→∞ unx =
lím
n→∞ uny =
∞
[un+1 − un] = u,
n=0
∞
[pn+1 − pn] = ux,
n=0
∞
[qn+1 − qn] = uy,
n=0
en nuestro conjunto G con lo que podemos pasar el límite bajo el signo
integral en (9.23) y obtener que u es solución de nuestro problema.
,

706 Tema 9. El problema de Cauchy
Nota 9.21 Observemos que si
g(x, y, z, p, q) = a(x, y)z + b(x, y)p + c(x, y)q + h(x, y),
es decir es lineal en (z, p, q) (y continua), entonces el dominio de g es de
la forma U × R3 y la constante de lipchicianidad M sólo depende de a,
b y c en un compacto de U ⊂ R2 , que podemos tomar tan grande como
queramos.
Por otra parte si U contiene el dominio de dependencia —D— de
todos sus puntos, podemos tomar M como una cota del máximo en
módulo de a, b y c en un compacto K ⊂ U que a su vez podemos tomar
tan grande como queramos y que contenga el dominio de dependencia de
todos sus puntos. No es necesario considerar una cota de g y si llamamos
k a una cota de |h| en el compacto K tendremos que
|u1(x, y)| =
D
|h(x, y)|dx dy ≤
|p1(x, y)| = |u1x(x, y)| ≤
|q1(x, y)| = |u1y(x, y)| ≤
y
−x
x
−y
k(x + y)2
,
2
|h(x, η)|dη ≤ k|x + y|,
|h(ξ, y)|dξ ≤ k|x + y|,
y por tanto si |x + y| ≤ T , para un T > 0 tan grande como queramos,
tendremos que para |t| ≤ T , también se tiene Z1(t) ≤ µ como en el
caso general y se sigue sin dificultad que la solución u está definida
globalmente en todo U. En definitiva hemos demostrado el siguiente
resultado.
Teorema de Existencia 9.22 Dadas sobre una curva inicial tres funciones
u, p y q, que satisfacen las condiciones de compatibilidad, y f está localmente
acotada y es localmente lipchiciana en las tres últimas variables
uniformemente en las dos primeras, entonces para cada punto de la curva
existe una solución definida en un entorno del punto, del problema de
Cauchy
zxy = f(x, y, z, zx, zy),
z = u, zx = p, zy = q, (sobre la curva),
9.7.2. Unicidad de solución.
Para ver la unicidad supongamos que hay dos soluciones u y v, de
clase 1, satisfaciendo las condiciones del Teorema (9.20), entonces para U

9.7. Método de las aprox. sucesivas 707
un abierto común de definición de ambas funciones, que podemos tomar
de la forma [−L, L] 2 y T suficientemente pequeño tendremos que
(u, ux, uy), (v, vx, vy) ∈ V,
ya que estas 6 funciones se anulan en x + y = 0, y por tanto —con la
notación de la lección— si (x, y) ∈ G
|u(x, y) − v(x, y)| ≤ |g(ξ, η, u, ux, uy) − g(ξ, η, v, vx, vy)|dξ dη
D
≤ M [|u − v| + |ux − vx| + |uy − vy|]dξ dη
|ux(x, y) − vx(x, y)| ≤ M
|uy(x, y) − vy(x, y)| ≤ M
de donde se sigue que para
D
y
−x
x
−y
[|u − v| + |ux − vx| + |uy − vy|]dη
[|u − v| + |ux − vx| + |uy − vy|]dξ,
U(t) = máx
x+y=t,(x,y)∈G [|u − v| + |ux − vx| + |uy − vy|,
se tiene para todo |t| ≤ T que
U(t) ≤ λ
t
lo cual implica que a partir de un n ∈ N
0
U(t)dt,
1
máx U(t) ≤ λ máx U(t)
|t|≤1/n |t|≤1/n n ,
lo cual es absurdo para n grande, a menos que U(t) = 0 para |t| ≤ 1/n,
es decir
u(x, y) = v(x, y),
en un entorno de nuestra curva.
En definitiva hemos demostrado el siguiente resultado.
Teorema de Unicidad 9.23 Si consideramos sobre una curva inicial tres
funciones u, p y q, que satisfacen las condiciones de compatibilidad, y
f está localmente acotada y es localmente lipchiciana en las tres últimas

708 Tema 9. El problema de Cauchy
variables uniformemente en las dos primeras, entonces para cada punto
de la curva existe una única solución definida en un entorno del punto,
del problema de Cauchy
zxy = f(x, y, z, zx, zy),
z = u, zx = p, zy = q, (sobre la curva),
en el sentido de que si existe otra, coinciden en un entorno del punto.
9.7.3. Dependencia de las condiciones iniciales.
Supongamos en primer lugar que g(x, y, z, z1, z2; λ) depende de un
parámetro λ multidimensional, que para un λ0
g(x, y, z, z1, z2; λ) −→ g(x, y, z ′ , z ′ 1, z ′ 2; λ0),
cuando (z, z1, z2, λ) −→ (z ′ , z ′ 1, z ′ 2, λ0),
que para cada λ está en las condiciones de (9.20) y que |g| ≤ k en
un entorno compacto del (0, 0, 0, 0, 0; λ0), entonces se tiene el siguiente
resultado.
Teorema 9.24 La solución z de
(9.25) z(x, y) = g(x, y, z, zx, zy; λ)dx dy,
D
satisface z(x, y; λ) −→ z(x, y; λ0), cuando λ → λ0 (lo mismo zx y zy).
Demostración. Sabemos por el teorema de existencia y unicidad
y por (9.20), que la solución correspondiente a cada λ —así como sus
derivadas de primer orden— es un límite uniforme de funciones continuas
en λ = λ0, por lo que ellas mismas lo son.
Al principio de la lección hemos visto que la solución de (9.20) que
satisface las condiciones fijadas sobre la curva, z = u, zx = p y zy = q,
es v = ϕ + z, para
y z la solución de
ϕ(x, y) =
u(A) + u(B)
2
zxy = g(x, y, z, zx, zy),
+ 1
[pdx − qdy],
2 C1
para g(x, y, z, z1, z2) = f(x, y, z + ϕ, z1 + ϕx, z2 + ϕy),

9.7. Método de las aprox. sucesivas 709
que tanto ella como sus derivadas se anulan sobre la curva y por tanto
solución de la ecuación integro–diferencial
z(x, y) = g(x, y, z, zx, zy)dx dy.
D
Por tanto para estudiar cómo depende v de las funciones u, p y q,
basta estudiar la dependencia de ϕ y la de z. Para ello consideremos que
u = u(x, y(x); λ), p = p(x, y(x); λ), q = q(x, y(x); λ),
dependen de un parámetro λ y son continuas en λ = λ0, en el sentido
de que son continuas en los puntos (x, y(x), λ0) y por tanto se tiene que
si x → x0 y λ → λ0, entonces
u(x, y(x); λ) → u(x0, y(x0); λ0),
y lo mismo para p y q. En cuyo caso ϕ depende de λ y es continua en
λ = λ0 y como ϕxy = 0, tendremos que
ϕx(x, y) = ϕx(x, y(x)) = p(x, y(x)),
ϕy(x, y) = ϕy(x(y), y) = q(x(y), y),
por lo que también ϕx y ϕy dependen de λ continuamente en λ = λ0.
Como consecuencia también
g(x, y, z, z1, z2; λ) =
= f(x, y, z + ϕ(x, y; λ), z1 + ϕx(x, y; λ), z2 + ϕy(x, y; λ)),
es continua en λ = λ0. Además si f está acotada en un entorno compacto
del (0, 0, u(0, 0; λ0), p(0, 0; λ0), q(0, 0; λ0)), entonces g lo está en un
entorno compacto del (0, 0, 0, 0, 0, λ0). Si f es una función localmente
lipchiciana en las tres últimas variables, uniformemente en las dos primeras,
entonces g es localmente lipchiciana en (z, z1, z2), uniformemente
en (x, y, λ), para los λ de un entorno de λ0. En estos términos tenemos
el siguiente resultado.
Teorema de dependencia continua 9.25 Si consideramos sobre una curva
inicial tres funciones u, p y q, que satisfacen las condiciones de compatibilidad,
dependen continuamente de un parámetro λ y f es una función
continua, localmente lipchiciana en las tres últimas variables, uniformemente
en las dos primeras, entonces para cada punto de la curva y cada

710 Tema 9. El problema de Cauchy
parámetro λ0, existe un entorno del punto, un entorno del parámetro y
una función continua v = ϕ + z definida en su producto, tal que para
cada λ del entorno, v(·; λ) es la solución, del problema de Cauchy
zxy = f(x, y, z, zx, zy),
z = u(·; λ), zx = p(·; λ), zy = q(·; λ), (sobre la curva),
además vx y vy también son continuas en λ.
Demostración. Es consecuencia de que ϕ y z lo son.
Teorema 9.26 Si g(x, y, z, p, q; λ) es de clase 1, entonces la solución de
(9.25) tiene derivada parcial zλ, es continua en λ y es solución de la
EDP lineal de tipo hiperbólico
zλxy = gλ + gzzλ + gpzλx + gqzλy,
obtenida derivando formalmente (9.25).
Demostración. Consideremos la función, para λ2 = λ1
u(x, y; λ1, λ2) = z(x, y; λ1) − z(x, y; λ2)
,
λ1 − λ2
la cual satisface la ecuación integro–diferencial
u(x, y; λ1, λ2) = (gλ + gzu + gpux + gquy)dx dy,
D
= h(x, y, u, ux, uy; λ1, λ2)dx dy,
D
donde hemos aplicado el teorema del valor medio y las derivadas de g
están evaluadas en un punto intermedio entre los puntos
P = (ξ, η, z(ξ, η; λ1), zx(ξ, η; λ1), zy(ξ, η; λ1); λ1),
Q = (ξ, η, z(ξ, η; λ2), zx(ξ, η; λ2), zy(ξ, η; λ2); λ2).
Ahora bien fijado λ1, h es continua en λ2, para λ2 = λ1 y aunque
no sabemos que h sea continua en (x, y) sí es obviamente lipchiciana en
(u, ux, uy) y se tiene la acotación en un compacto, por tanto podemos

9.7. Método de las aprox. sucesivas 711
aplicar el teorema de existencia y para todo λ2, incluido λ2 = λ1, hay
solución u. Ahora aplicando (9.24), tendremos que u, y sus derivadas
(9.26)
ux(x, y; λ1, λ2) =
uy(x, y; λ1, λ2) =
y
(gλ + gzu + gpux + gquy)dy,
−x
x
(gλ + gzu + gpux + gquy)dx,
−y
son continuas en λ2 = λ1, por tanto z, zx y zy son derivables respecto
de λ siendo
lím u = zλ, lím ux = zxλ, lím uy = zyλ,
λ2→λ1
λ2→λ1
λ2→λ1
y haciendo λ2 → λ1 en la ecuación tendremos que
zλ(x, y; λ1) = (gλ + gzzλ + gpzxλ + gqzyλ)dx dy,
D
y derivando esta ecuación respecto de x e y y haciendo λ2 → λ1 en (9.26)
tendremos que
zλx(x, y; λ1) =
zλy(x, y; λ1) =
y
(gλ + gzzλ + gpzxλ + gqzyλ)dy = zxλ(x, y; λ1),
−x
x
(gλ + gzzλ + gpzxλ + gqzyλ)dx = zyλ(x, y; λ1),
−y
por lo tanto zλ es la solución de
u(x, y; λ1) = (gλ + gzu + gpux + gquy)dx dy,
D
y como el integrando de esta ecuación es continuo en λ, tendremos que
zλ también lo es y satisface la ecuación del enunciado.
Teorema de dependencia diferenciable 9.27 Si u, p y q, dependen diferenciablemente
de λ y f es de clase 1, entonces la solución v(·; λ) = ϕ+z
es de clase 1 en λ.
9.7.4. El problema de Goursat.
Otro problema que también se puede resolver por el método de las
aproximaciones sucesivas consiste en resolver la EDP
zxy = f(x, y, z, zx, zy),

712 Tema 9. El problema de Cauchy
con los valores de z conocidos sobre una curva característica, el eje x y
sobre otra curva estrictamente creciente x = x(y),
z(x, 0) = u(x), z(x(y), y) = v(y),
que supondremos pasa por el origen y en él z es continua, u(0) = v(0).
Este problema se conoce como problema de Goursat y podemos plantearlo
de forma equivalente observando que si z es solución, entonces
para cada punto (x, y), con x, y ≥ 0, y D el cuadrado de vértices (x, y),
(x, 0), (x(y), y) y (x(y), 0)
f(x, y, z, zx, zy) = zxydx dy
D
=
D
y x
0
x(y)
zxydx dy
= z(x, y) − z(x, 0) − z(x(y), y) + z(x(y), 0),
(si x(y) < x, en caso contrario cambia algún signo en la expresión) lo
cual equivale a que z sea solución de la ecuación
z(x, y) = u(x) + v(y) − u(x(y)) + f(x, y, z, zx, zy).
Ahora de una manera semejante a la del problema de Cauchy, se
demuestra que el siguiente proceso iterativo
z0(x, y) = u(x) + v(y) − u(x(y)),
zm+1(x, y) = u(x) + v(y) − u(x(y)) + f(x, y, zm, zmx, zmy)dx dy,
tiene límite y es la solución (única y que depende continuamente de los
datos iniciales) de nuestro problema.
9.7.5. El problema de valor inicial característico.
El mismo proceso demuestra la existencia de solución en el caso degenerado
en el que la segunda curva es otra característica, en nuestro caso el
eje x = 0, este problema se llama problema de valor inicial característico
y puede considerarse también como un caso límite de problema de Cauchy
en el que la curva de los datos iniciales tiende a la curva formada
por los dos semiejes positivos, no siendo necesario dar los valores de zx
D
D

9.8. Sistemas hiperbólicos 713
y zy sobre esta curva, pues quedan determinados (salvo una constante),
por los valores de z sobre la curva y la propia ecuación (demuéstrelo el
lector).
9.8. Sistemas hiperbólicos
El método de las aproximaciones sucesivas puede aplicarse también
para demostrar la existencia de solución de un sistema cuasi lineal de
tipo hiperbólico, el cual vimos en el tema anterior que podemos expresar
de la forma canónica,
(9.27)
vix + λiviy = ci, (i = 1, . . . , n),
vx + Λvy = c, (en forma matricial),
donde los λi y los ci son función de (x, y, v1, . . . , vn); y demostrar la
unicidad cuando fijamos la solución sobre el eje y
vi(0, y) = ϕi(y).
Supongamos que v = (v1, . . . , vn) es una solución de (9.27), satisfaciendo
estas condiciones, entonces para cada i = 1, . . . , n, podemos
considerar el campo característico
y su grupo uniparamétrico
Di = ∂
∂x + λi(x, y, v) ∂
∂y ,
Xi = (xi, yi): Wi ⊂ R × R 2 → R 2 ,
cuyas componentes satisfacen, para cada (t, p) ∈ Wi
x ′ ip(t) = 1
y ′ ip(t) = λi[xi(t, p), yi(t, p), v(Xi(t, p))]

714 Tema 9. El problema de Cauchy
lo cual implica que para p = (x, y)
xi(t, p) = t + x
yi(t, p) = y +
t
0
λi[Xi(s, p), v(Xi(s, p))]ds,
por tanto xi(−x, p) = 0. Además se tiene que
ci[Xi(t, p), v(Xi(t, p))] = Divi[Xi(t, p)] = (vi ◦ Xip) ′ (t),
lo cual implica que
vi[Xi(t, p)] = vi(p) +
t
0
ci[Xi(s, p), v(Xi(s, p))]ds,
y en definitiva tomando t = −x, concluimos que las vi y las yi son solución
del sistema de ecuaciones (donde p = (x, y) es un punto arbitrario)
vi(p) = vi[0, yi(−x, p)] −
= ϕi[yi(−x, p)] −
yi(t, p) = y +
t
0
−x
0
−x
0
ci[s + x, yi(s, p), v(s + x, yi(s, p))]ds
ci[s + x, yi(s, p), v(s + x, yi(s, p))]ds,
λi[s + x, yi(s, p), v(s + x, yi(s, p))]ds,
y este sistema es equivalente a nuestro problema de Cauchy original,
pues si (vi, yi) es una solución tendremos que
Xi(t, p) = (t + x, yi(t, p)),
es el grupo uniparamétrico del campo característico Di y por tanto
Divi[Xi(t, p)] = (vi ◦ Xip) ′ (t),
y por otra parte para cada p = (x, y) si consideramos el punto del eje

9.8. Sistemas hiperbólicos 715
x = 0, q = Xi(−x, p), tendremos que p = Xi(x, q) y
vi[Xi(x, q)] = vi(q) −
y por tanto
= vi(q) −
= vi(q) −
= vi(q) +
−x
0
−x
0
−x
0
x
0
ci[s + x, yi(s, p), v(s + x, yi(s, p))]ds
ci[Xi(s, p), v[Xi(s, p)]]ds
ci[Xi(s + x, q), v[Xi(s + x, q)]]ds
ci[Xi(s, q), v[Xi(s, q)]]ds,
Divi(p) = Divi[Xiq(x)] = (vi ◦ Xiq) ′ (x) = ci[p, v(p)],
es decir las vi son solución de (9.27) satisfaciendo las condiciones deseadas.
Veamos por tanto que este sistema en vi, yi tiene solución, para lo cual
haremos uso, como dijimos, del método de las aproximaciones sucesivas.
Pero antes necesitamos hacer unas consideraciones previas. Supondremos
que nuestras funciones ci y λi están definidas en un abierto U ⊂ R 2+n ,
en el que son de clase 1, que contiene un compacto del tipo
K = {(x, y, z1, . . . , zn) ∈ R 2+n :
entorno de la curva
|x| ≤ α, |y| ≤ β, |z1 − ϕ1(y)| ≤ δ, . . . , |zn − ϕn(y)| ≤ δ},
{(0, y, ϕ1(y), . . . , ϕn(y)) : y ∈ [−β, β]},
del mismo modo supondremos que las ϕi son de clase 1 en un intervalo
abierto que contiene a [−β, β].
Ahora consideramos el conjunto G del plano
limitado por el hexágono formado por las rectas
x = α, x = −α, y = ±β ± kx,
donde k ≥ 1 es una constante que acota a los
módulos de las funciones ci, λi y sus primeras derivadas
parciales en K y a las ϕi y sus derivadas
en [−β, β].
Figura 9.3.

716 Tema 9. El problema de Cauchy
Sobrentenderemos el índice i = 1, . . . , n y denotaremos por comodidad
λ = λi, c = ci y ϕ = ϕi.
Consideremos las sucesiones de funciones, vm e ym, (aunque realmente
es una para cada i, vm = vim, ym = yim y en forma vectorial
escribiremos vm = (v1m, . . . , vnm)), definidas de forma recurrente por
las fórmulas, para p = (x, y) ∈ G
Xm(t, p) = (t + x, ym(t, p)),
vm+1(p) = ϕ[ym(−x, p)] −
ym+1(t, p) = y +
con los valores iniciales
t
0
−x
0
c[Xm(s, p), vm[Xm(s, p)]]ds,
λ[Xm(s, p), vm[Xm(s, p)]]ds,
v0(p) = ϕ(y), y0(t, p) = y,
en tales condiciones se tiene que si elegimos α suficientemente pequeño,
entonces esta sucesión está bien definida.
Lema 9.28 Para un α suficientemente pequeño se verifica que si m ∈ N
es tal que para todo j ≤ m, para cualquier p = (x, y) ∈ G y para todo s
entre 0 y −x,
(Xj(s, p), vj[Xj(s, p)]) ∈ K,
entonces lo mismo también es cierto para j = m + 1.
Demostración. En primer lugar la curva
Xm+1(s, p) = (s + x, ym+1(s, p)),
que para s = 0 pasa por p y para s = −x
pasa por un punto del eje x = 0, está, entre
estos valores, enteramente en G, pues
su pendiente en módulo |∂ym+1(s, p)/∂t|
está acotada por k. Ahora bien por otra
parte si tomamos α suficientemente pequeña
tendremos que también para todo
s entre 0 y −x
(Xm+1(s, p), vm+1(Xm+1(s, p))) ∈ K,
Figura 9.4.

9.8. Sistemas hiperbólicos 717
pues basta observar que (para cualquiera de las n componentes de vm+1),
si (x ′ , y ′ ) = p ′ = Xm+1(s, p) ∈ G entonces
|vm+1(x ′ , y ′ ) − ϕ(y ′ )| = |ϕ[ym(−x ′ , p ′ )] − ϕ(y ′ )−
′
−x
− c[s + x
0
′ , ym(s, p ′ ), vm(s + x ′ , ym(s, p ′ ))]ds|
≤ |ϕ[ym(−x ′ , p ′ )] − ϕ(y ′ )| + αk
≤ k|ym(−x ′ , p ′ )] − y ′ | + αk
≤ k 2 α + αk ≤ δ.
Observemos que la hipótesis del lema anterior es válida para m = 0,
por lo tanto es cierta para cualquier m y la sucesión está bien definida
para
α ≤
δ
k(1 + k) .
Lema 9.29 Para un α suficientemente pequeño se tiene que para todo
m ∈ N, para todo i = 1, . . . , n y para cualesquiera (x, y), (x, y ′ ) ∈ G
|vi,m(x, y) − vi,m(x, y ′ )| ≤ 3k|y − y ′ |.
Demostración. Derivando nuestro sistema respecto de y tendremos
que
y si llamamos
vm+1y(x, y) = ϕ ′ ymy −
ym+1y(t, p) = 1 +
t
−x
0
[cyymy +
[λyymy +
0
i=1
n
czivimyymy]ds,
i=1
n
λzivimyymy]ds,
δm = máx{|vimy(x, y)| : i = 1, . . . , n; (x, y) ∈ G},
ɛm = máx{|yimy(t, x, y)| : i = 1, . . . , n; (x, y) ∈ G, t entre 0 y −x},
tendremos que
δm+1 ≤ kɛm + α(kɛm + nkδmɛm),
ɛm+1 ≤ 1 + α(kɛm + nkδmɛm),

718 Tema 9. El problema de Cauchy
siendo por otra parte δ0 ≤ k y ɛ0 = 1, de donde se sigue por inducción
que tomando
1
α ≤ ,
2k + 6nk2 se tiene que para todo m
puesto que
δm ≤ 3k, ɛm ≤ 2,
δm+1 ≤ kɛm + α(kɛm + nkδmɛm),
≤ k2 + α(k2 + nk3k2) ≤ 2k + 1 ≤ 3k,
ɛm+1 ≤ 1 + α(2k + 6nk 2 ) ≤ 2,
y por tanto el teorema del valor medio nos asegura que para todo i =
1, . . . , n
|vi,m(x, y) − vi,m(x, y ′ )| ≤ 3k|y − y ′ |.
Como consecuencia —recordando todas las derivadas que acota k—,
se tiene que en p = (x, y) ∈ G
|vm+1 − vm| ≤ k|ym − ym−1| + k
+
+
−x
0
[|ym − ym−1|+
n
|vi,m[s + x, ym(s, p)] − vi,m−1[s + x, ym−1(s, p)|]ds
i=1
≤ k|ym − ym−1| + k
−x
0
[|ym − ym−1|+
n
|vi,m[s + x, ym(s, p)] − vi,m−1[s + x, ym(s, p)]|+
i=1
+|vi,m−1[s + x, ym(s, p)] − vi,m−1[s + x, ym−1(s, p)|]ds
+
≤ k|ym − ym−1| + k
−x
0
[(1 + 3nk)|ym − ym−1|+
n
|vi,m[s + x, ym(s, p)] − vi,m−1[s + x, ym(s, p)]|]ds
i=1

9.8. Sistemas hiperbólicos 719
del mismo modo tenemos que en el dominio de las ym
|ym+1 − ym| ≤ k
+
t
0
[(1 + 3nk)|ym − ym−1|+
n
|vi,m[s + x, ym(s, p)] − vi,m−1[s + x, ym(s, p)]|]ds,
i=1
y si consideramos
tendremos que
µm = máx |vi,m − vi,m−1|, νm = máx |yi,m − yi,m−1|,
µm+1 ≤ kνm + αk[(1 + 3nk)νm + nµm],
νm+1 ≤ αk[(1 + 3nk)νm + nµm].
Ahora bien µ1 ≤ αk y ν1 ≤ αk, y se sigue por inducción que si
elegimos α suficientemente pequeño se tiene
pues
µm ≤ (2nk √ α) m , νm ≤ (2nk √ α) m√ α,
µm+1 ≤ k(2nk √ α) m√ α + αk[(1 + 3nk)(2nk √ α) m√ α+
+ n(2nk √ α) m ]
≤ (2n) m (k √ α) m+1 [1 + α(1 + 3nk) + n √ α]
≤ (2nk √ α) m+1 , (si 1 + α(1 + 3nk) + n √ α ≤ 2n),
νm+1 ≤ αk[(1 + 3nk)(2nk √ α) m√ α + n(2nk √ α) m ]
≤ (2n) m (k √ α) m+1 [α(1 + 3nk) + n √ α]
= (2n) m (k √ α) m+1√ α[ √ α(1 + 3nk) + n]
≤ (2nk √ α) m+1√ α, (si √ n
α ≤
1 + 3nk ).
En definitiva tendremos que para α > 0 satisfaciendo
δ
1
α ≤ , α ≤
k(1 + k) 2k + 6nk2 , 2nk√α < 1,
1 + α(1 + 3nk) + n √ √ n
α ≤ 2n, α ≤
1 + 3nk ,

720 Tema 9. El problema de Cauchy
se tiene la convergencia uniforme, en sus dominios respectivos, de las 2n
sucesiones
∞
lím vi,m = vi,0 +
lím yi,m = yi,0 +
m=1
∞
m=1
(vi,m − vi,m−1),
(yi,m − yi,m−1),
a la solución vi, yi de nuestro problema, pues los términos de ambas series
están mayorados por los de la serie convergente
∞
(2nk √ α) m = 2nk√α 1 − 2nk √ α .
m=1
Argumentos en la misma línea demuestran que esta es única y que
depende continuamente de los datos iniciales. En definitiva tenemos el
siguiente resultado.
Teorema 9.30 El sistema
vix + λiviy = ci, (i = 1, . . . , n),
con las λi y ci funciones de (x, y, v1, . . . , vn) de clase 1, con las condiciones
vi(0, y) = ϕi(y)
siendo las ϕi de clase 1 en un entorno del origen, tiene una solución local,
definida en un entorno del origen, que es única y depende continuamente
de las condiciones iniciales.
9.9. La función de Riemann–Green
9.9.1. Operador diferencial lineal adjunto.
Definición. A todo ODL P en un abierto U ⊂ R n , le corresponde un
único ODL P ∗ , llamado el adjunto de P , satisfaciendo la siguiente pro-

9.9. La función de Riemann–Green 721
piedad: para cualesquiera funciones z, v ∈ C∞ (U), de soporte compacto
vP (z)dx1 · · · dxn = zP ∗ (v)dx1 · · · dxn.
U
En primer lugar tenemos que de existir es único, pues si hubiera dos
bastaría considerar su diferencia, llamémosla L y para la función z =
L(v) se tendría que
L 2 (v)dx1 · · · dxn = 0 ⇒ L(v) = 0,
U
y esto implica que L = 0, pues L(f)(p) sólo depende del valor de f en
un entorno de p.
La existencia vamos a demostrarla como consecuencia de las siguientes
propiedades.
pues
1.- Si P y Q tienen adjuntos, también P + Q y vale
U
(P + Q) ∗ = P ∗ + Q ∗ .
2.- Si P y Q tienen adjuntos también P ◦ Q y vale
U
(P ◦ Q) ∗ = Q ∗ ◦ P ∗ ,
v[P ◦ Q](z)dx1 · · · dxn =
=
=
U
U
v[P [Q(z)]dx1 · · · dxn
Q(z)P ∗ (v)dx1 · · · dxn
zQ
U
∗ [P ∗ (v)]dx1 · · · dxn.
3.- Para P = f ∈ O0(U) es obvio que existe el adjunto y es él mismo
P ∗ = f.
4.- Por último las derivadas parciales también tienen adjuntos y valen
∂
∂xi
∗
= − ∂
,
∂xi

722 Tema 9. El problema de Cauchy
para verlo consideremos z y v y el compacto K unión de sus soportes,
ahora extendiéndolas como 0 fuera de U y considerando un abierto
rectangular
que contenga a K tendremos que
U
v ∂z
dx1 · · · dxn =
∂xi
=
R = (a1, b1) × · · · × (an, bn),
R
R
b1
v ∂z
dx1 · · · dxn
∂xi
∂(zv)
dx1 · · · dxn −
∂xi
bn
∂(zv)
· · ·
∂xi
=
a1 an
− z
U
∂v
dx1 · · · dxn
∂xi
= − z ∂v
dx1 · · · dxn,
∂xi
U
R
dx1 · · · dxn−
pues se tiene que z y v se anulan en los puntos de la forma
(x1, . . . , ai, . . . , xn), (x1, . . . , bi, . . . , xn).
z ∂v
dx1 · · · dxn
∂xi
Como consecuencia de estas propiedades tenemos que todo ODL,
P ∈ Om(U)
P =
fαD α ,
|α|≤m
tiene adjunto P ∗ ∈ Om(U), que vale
P ∗ =
|α|≤m
[fαD α ] ∗ =
|α|≤m
=
(−1) |α| D α ◦ fα,
|α|≤m
y de la definición se sigue que (P ∗ ) ∗ = P .
[D α ] ∗ ◦ fα
Definición. Diremos que un operador es autoadjunto si P ∗ = P .

9.9. La función de Riemann–Green 723
9.9.2. ODL adjuntos en el plano.
Consideremos ahora un ODL de orden 2 en un abierto U del plano
P = a ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
+ 2b + c + e + f + g,
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y
en cuyo caso su adjunto es
P ∗ = ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂
◦ a + 2 ◦ b + ◦ c − ◦ e − ◦ f + g,
∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y
y por tanto para cada función v
P ∗ (v) = (va)xx + 2(vb)xy + (vc)yy − (ve)x − (vf)y + gv
= avxx + 2bvxy + cvyy + (2ax + 2by − e)vx+
+ (2bx + 2cy − f)vy + (axx + 2bxy + cyy − ex − fy + g)v.
Ejercicio 9.9.1 Demostrar que P es autoadjunto si y sólo si e = ax + by y
f = bx + cy.
Para cualesquiera funciones u y w se tiene que
uwxx − uxxw = (uwx)x − (uxw)x,
uwxy − uxyw = (uwx)y − (uyw)x = (uwy)x − (uxw)y,
por tanto tendremos que para cualesquiera funciones z y v se tiene que
vP (z) − zP ∗ (v) = vazxx − z(va)xx + vbzxy − z(vb)xy+
para el campo tangente
+ vbzyx − z(vb)xy + vczyy − z(vc)yy+
+ vezx + z(ve)x + vfzy + z(vf)y
= (vazx)x − ((va)xz)x + (vbzx)y − ((vb)yz)x+
= div D,
+ (vbzy)x − ((vb)xz)y + (vczy)y−
− ((vc)yz)y + (vez)x + (vfz)y
D = (vazx − (va)xz − (vb)yz + vbzy + vez) ∂
∂x +
+ (vbzx − (vb)xz + vczy − (vc)yz + vfz) ∂
∂y .

724 Tema 9. El problema de Cauchy
9.9.3. El método de Riemann.
Con este título entendemos el método que el propio Riemann desarrolló
para resolver un problema de Cauchy para una EDP lineal de tipo
hiperbólico, y en el que hacía uso de una solución particular, para la
ecuación adjunta de la original, de un problema de valor inicial característico.
Nos interesa estudiar el problema de Cauchy, en los términos de la
lección 9.6, para una ecuación
zxy + e(x, y)zx + f(x, y)zy + g(x, y)z = h(x, y),
es decir del tipo P (z) = h, con P un ODL de tipo hiperbólico, (que ya
hemos reducido a forma canónica a = c = 0, 2b = 1), con los valores
de z y sus derivadas parciales conocidos sobre una curva estrictamente
decreciente (ó creciente), y = y(x). En tal caso tendremos —en los
términos de la lección 9.6—, que para un punto (x1, y1) cualquiera y D
su dominio de dependencia
[vP (z) − zP
D
∗
(v)]dx dy = div D dx ∧ dy
D
= iD(dx ∧ dy) = [Dx dy − Dy dx]
C
C
1
=
C 2 vzy + vez − 1
2 vyz
dy−
1
−
2 vzx − 1
2 vxz
+ vfz dx
1
= − ωz,v +
C1
C2 2 vzy + vez − 1
2 vyz
dy−
1
−
C3 2 vzx − 1
2 vxz
+ vfz dx
1
= − ωz,v +
C1
C2 2 (vz)y
dy + (ve − vy)z dy−
C2
1
−
C3 2 (vz)x
(9.28)
dx + (vx − vf)z dx
C3
= − ωz,v + (ve − vy)z dy + (vx − vf)z dx+
C1
C2
C3

9.9. La función de Riemann–Green 725
+ 1
2 [v(x1, y1) · z(x1, y1) − v(x1, y(x1)) · z(x1, y(x1))]+
+ 1
2 [v(x1, y1) · z(x1, y1) − v(x(y1), y1) · z(x(y1), y1)]
= v(x1, y1) · z(x1, y1)−
− 1
2 [v(x1, y(x1)) · z(x1, y(x1)) + v(x(y1), y1) · z(x(y1), y1)]−
y1
x1
− ωz,v + (ve − vy)z dy + (vf − vx)z dx,
C1
y(x1)
para la 1–forma
1
ωz,v =
2 vzx − 1
2 vxz
+ vfz
x(y1)
1
dx −
2 vzy + vez − 1
2 vyz
dy.
Debemos decir que nuestros cálculos han sido desarrollados suponiendo
que nuestra curva de datos iniciales es decreciente, en caso contrario
hay que cambiar algunos signos (hágalo el lector como ejercicio).
Nuestra intención es seleccionar, para cada punto (x1, y1), una función
v de tal manera que la ecuación anterior nos ofrezca la solución
de nuestro problema de Cauchy P (z) = h satisfaciendo las condiciones
sobre nuestra curva
z = u, zx = p, zy = q.
Una buena candidata, con intención de que desaparezca la z en la
primera integral, es una que verifique la ecuación
(9.29) P ∗ (v) = 0,
y como no conocemos los valores de z a lo largo de las dos características
C2 ⊂ {x = x1} y C3 ⊂ {y = y1}, podemos eliminarlas si elegimos v
satisfaciendo
vy = ve, en el eje x = x1,
vx = vf, en el eje y = y1,
y por tanto estando determinadas sobre las curvas características por
las expresiones (donde hemos fijado para mayor comodidad la condición

726 Tema 9. El problema de Cauchy
inicial v(x1, y1) = 1)
(9.30)
y
v(x1, y) = exp
v(x, y1) = exp
y1
x
x1
e(x1, t) dt ,
f(t, y1) dt ,
ahora bien (9.29) y (9.30) definen un problema de valor inicial característico
(ver la lección 7), el cual posee una única solución v que, al
depender de (x1, y1), escribiremos de la forma
R(x, y; x1, y1) = v(x, y),
(observemos que esta función sólo depende del operador P y no de la
curva sobre la que damos los datos de Cauchy de nuestro problema).
Definición. A esta función, R(x, y; x1, y1), la llamaremos función de
Riemann–Green asociada a nuestro operador P original.
Solución al problema de Cauchy. Con esta función tenemos que (9.28)
nos permite expresar la solución de nuestro problema de Cauchy original
(si la curva de los datos iniciales es decreciente), de la forma
(9.31)
z(x1, y1) = 1
2 R(x1, y(x1); x1, y1) · z(x1, y(x1))+
+ 1
2 R(x(y1), y1; x1, y1) · z(x(y1), y1)+
+ ωz(x,y),R(x,y;x1,y1) + R(x, y; x1, y1) · h(x, y)dx dy
C1
= 1
2 R(x1, y(x1); x1, y1) · z(x1, y(x1))+
+ 1
2 R(x(y1), y1; x1, y1) · z(x(y1), y1)+
1 1
+ Rp −
C1 2 2 Rxu
+ fRu dx−
1
1
− Rq + eRu −
2 2 Ryu
dy +
+ R(x, y; x1, y1) · h(x, y)dx dy,
D
D

9.9. La función de Riemann–Green 727
y en el caso de que la curva sea creciente
+
C1
z(x1, y1) = 1
2 R(x1, y(x1); x1, y1) · z(x1, y(x1))+
+ 1
2 R(x(y1), y1; x1, y1) · z(x(y1), y1)+
1
1
Rq + eRu −
2 2 Ryu
1 1
dy − Rp −
2 2 Rxu
+ fRu
− R(x, y; x1, y1) · h(x, y)dx dy,
D
dx −
(se queda como ejercicio para el lector comprobar que efectivamente es
la solución a nuestro problema, para lo cual basta observar que hemos
demostrado su existencia).
Solución al problema de valor inicial característico. Si lo que queremos
es resolver un problema de valor inicial característico, la función
de Riemann–Green también sirve para encontrar la solución, pues en el
desarrollo de (9.28) (y en el de (9.31)), no hemos utilizado el que C1 sea
una curva especial. Si ahora consideramos que la curva C1 está formada
por las dos características que pasan por un punto (x0, y0), de tal modo
que D es el rectángulo —ver la figura 9.5— de vértices (x0, y0), (x0, y1),
(x1, y0) y (x1, y1), tendremos (siguiendo (9.31)), la representación
z(x1, y1) = R(x1, y0; x1, y1) · z(x1, y0) + R(x0, y1; x1, y1) · z(x0, y1)
+
2
y1
1
+
y0 2 Rzy + Rez − 1
2 Ryz
dy+
x1
1
+
2 Rzx − 1
2 Rxz
+ Rfz dx + Rh dx dy =
x0
= 1
2 [R(x1, y0; x1, y1) · z(x1, y0) + R(x0, y1; x1, y1) · z(x0, y1)]
y1
1
+
y0 2 (Rz)y
+ Rez − Ryz dy+
x1
1
+
2 (Rz)x
− Rxz + Rfz dx + Rh dξ dη =
x0
D
D

728 Tema 9. El problema de Cauchy
= R(x1, y0; x1, y1) · z(x1, y0) + R(x0, y1; x1, y1) · z(x0, y1)−
+
y1
y0
−R(x0, y0; x1, y1) · z(x0, y0)+
x1
(Re − Ry)z dy + (Rf − Rx)z dx +
que nos determina la solución del problema
de valor inicial característico de nuestra
ecuación P (z) = h, conocida z sobre
las características pasando por el punto
(x0, y0). Como antes queda como ejercicio
para el lector comprobar que efectivamente
es la solución a nuestro problema.
Ahora, desarrollando la última igualdad,
podemos expresar también la solución
de la siguiente forma que nos
será útil en el siguiente resultado
x0
D
Rh dξ dη,
Figura 9.5.
z(x1, y1) = R(x1, y0; x1, y1) · z(x1, y0) + R(x0, y1; x1, y1) · z(x0, y1)−
− R(x0, y0; x1, y1) · z(x0, y0)+
+
+
y1
y0
x1
x0
(Rez − (Rz)y + Rzy) dy+
(Rfz − (Rz)x + Rzx) dx +
= R(x0, y0; x1, y1) · z(x0, y0) +
+
x1
x0
(fz + zx)R dx +
D
y1
y0
D
Rh dx dy
(ez + zy)R dy+
Rh dx dy.
Teorema 9.31 Si llamamos R ∗ a la función de Riemann–Green asociada
a P ∗ , se tiene que
R(x0, y0; x1, y1) = R ∗ (x1, y1; x0, y0),
en particular si P = P ∗ , es decir es autoadjunta,
R(x0, y0; x1, y1) = R(x1, y1; x0, y0).

9.9. La función de Riemann–Green 729
Demostración. Para cada (x0, y0), la función
es la que satisface las condiciones
z(x, y) = R ∗ (x, y; x0, y0),
P (z) = 0, z(x0, y0) = 1,
zy = −ez, en x = x0 zx = −fz, en y = y0
y por las igualdades desarrolladas en el párrafo anterior se tiene que
z(x1, y1) = R(x0, y0; x1, y1) · z(x0, y0) +
y1
x1
y0
+ (fz + zx)R dx + Rh dx dy
x0
= R(x0, y0; x1, y1).
D
(ez + zy)R dy+
Ejercicio 9.9.2 Encontrar la función de Riemann–Green para el ODL P (z) =
zxy.
Dado un ODL P y una función invertible φ, definimos el ODL
Q = P +
que es el único que satisface
y cuyo adjunto vale
[P, φ]
φ
φ ◦ Q = P ◦ φ,
1
= ◦ P ◦ φ,
φ
Q ∗ = φ ◦ P ∗ ◦ 1
φ .
Proposición 9.32 En los términos anteriores si
entonces
P (z) = zxy + e(x, y)zx + f(x, y)zy + g(x, y)z,
φy
Q(z) = zxy +
+
φ
φxy
φ
φx
+ e zx +
φ
+ φy
φ
+ f
φx
f + e + g
φ
zy+
z,

730 Tema 9. El problema de Cauchy
y si RP (x, y; x1, y1) es la función de Riemann–Green asociada a P , la
de Q es
φ(x, y)
RQ(x, y; x1, y1) =
φ(x1, y1) RP (x, y; x1, y1).
Demostración. Por una parte se tiene que
Q(z) = 1
1
· P (zφ) =
φ φ [(zφ)xy + e(zφ)x + f(zφ)y + gzφ]
φy
φx
= zxy + + e zx + + f zy+
φ φ
φxy φy φx
+ + f + e + g z,
φ φ φ
y por otra fijando el punto (x1, y1) y llamando
tendremos que
u(x, y) = RP (x, y; x1, y1), v(x, y) = RQ(x, y; x1, y1),
v(x1, y1) = 1, Q ∗ [v] = φ · P ∗ u
[ ] = 0,
φ(x1, y1)
vy(x1, y) = φy(x1, y)
φ(x1, y1) u(x1, y) + φ(x1, y)
φ(x1, y1) uy(x1, y)
= φy(x1, y)
φ(x1, y) v(x1, y) + φ(x1, y)
φ(x1, y1) e(x1, y)u(x1, y)
φy(x1, y)
=
+ e v(x1, y)
φ(x1, y)
φx(x, y1)
vx(x, y1) =
+ f v(x, y1).
φ(x, y1)
Nota 9.33 Observemos que dado P , como en el enunciado, existe una
función φ para la que Q es autoadjunto si y sólo si
φy
φ
+ e = φx
φ + f = 0 ⇔ e = −(log φ)y, f = −(log φ)x
⇔ ex = fy.
Ejercicio 9.9.3 Calcular la función de Riemann–Green del ODL
Q(z) = zxy +
zx + zy
x + y .

9.9. La función de Riemann–Green 731
Ejercicio 9.9.4 Demostrar que la función de Riemann–Green del ODL
es
R(x, y; x1, y1) =
P (z) = zxy −
2
z
(x + y) 2
(x + y1)(x1 + y) + (x − x1)(y − y1)
,
(x + y)(x1 + y1)
y demostrar utilizando el método de Riemann que la solución de P (z) = 0,
que satisface z = 0 y zx = x 2 en la recta y = x es
z(x, y) = 1
4 (x − y)(x + y)2 .
Ejercicio 9.9.5 Encontrar la función de Riemann–Green del ODL
Q(z) = zxy +
2(zx + zy)
,
(x + y)
y demostrar, utilizando el método de Riemann, que la solución de Q(z) = 0,
que satisface z = 0 y zx = 3x 2 en la recta y = x es
z(x, y) = 2x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 .

732 Tema 9. El problema de Cauchy
9.10. Ejercicios resueltos
Ejercicio 9.3.1.- Demostrar que
(x1 + · · · + xn) m =
y que para todo multi–índice α,
|α|=m
m!
α! xα1 1 · · · x αn
n =
α! ≤ |α|! ≤ n |α| α!.
|α|=m
m!
α! xα ,
Solución. Por inducción en m ∈ N tenemos que
(x1 + · · · + xn) m+1 ⎡
= ⎣ m!
α!
|α|=m
xα1
⎤
1 · · · xαn ⎦
n (x1 + · · · + xn)
= m!
α!
|α|=m
xα1+1
1 · · · x αn
n + · · · + m!
α!
|α|=m
xα1
1 · · · xαn+1 n
= m!(α1 + 1)
α!(α1 + 1)
|α|=m
xα1+1
1 · · · x αn
n + · · · +
+ m!(αn + 1)
α!(αn + 1)
|α|=m
xα1
1 · · · xαn+1 n
= m!α1
α!
|α|=m+1
α1≥1
xα + · · · + m!αn
α!
|α|=m+1
αn≥1
xα =
=
|α|=m+1
m!α1
α! xα + · · · +
|α|=m+1
m!αn
α! xα =
|α|=m+1
(m + 1)!
x
α!
α .
La primera desigualdad de la segunda parte se demuestra primero para n = 2 y
luego por inducción. La otra desigualdad es consecuencia de la primera parte para
xi = 1.
Ejercicio 9.3.2.- Demostrar que para x ∈ (−1, 1), y k ∈ N, la serie
∞
n=k
converge absolutamente a k!/(1 − x) 1+k .
n!
(n − k)! xn−k ,
Solución. En primer lugar la serie
∞ n!
(n − k)!
n=k
xn−k ∞
=
n=0
(n + k)!
x
n!
n ,
converge absolutamente y uniformemente en cualquier compacto de nuestro conjunto
abierto, pues su radio de convergencia es R ≥ 1,
n
lím sup (n + k) · · · (n + 1) ≤ lím sup
n√
n + k · · · lím sup
n√
n + 1 = 1,
n→∞
n→∞
n→∞

9.10. Ejercicios resueltos 733
pues si llamamos n√ n + k = 1 + cn, tendremos que 0 < cn → 0, ya que
n + k = (1 + cn) n >
n(n − 1)
c
2
2 n .
Ahora el resultado se demuestra por inducción aplicando el Teorema de Abel pues
d
dx
∞
n=0
(n + k)!
n!
x n =
∞
n=0
(n + k)!
n!
nx n−1 =
∞
n=0
(n + k + 1)!
x
n!
n .
Ejercicio 9.3.3.- Demostrar que si x ∈ R n , con |xi| < 1, entonces la serie
α xα converge absolutamente a
1
.
(1 − x) 1
Solución.
x
α
α ⎛
n ∞
= ⎝ x
i=1 αi=0 α ⎞
i⎠
1
i =
(1 − x1) · · · (1 − xn) =
1
.
(1 − x) 1
Ejercicio 9.3.4.- Demostrar que si x ∈ R n , con n i=1 |xi| < 1, entonces la serie
converge absolutamente a
α
|α|!
α! xα ,
1
1 − (x1 + · · · + xn) .
Solución.
|α|!
α!
α
xα ∞ |α|!
=
α!
j=0 |α|=j
xα ∞
= (x1 + · · · + xn)
j=0
j
=
1
1 − (x1 + · · · + xn) .
Ejercicio 9.3.5.- Demostrar que si x ∈ R n , con |xi| < 1, y β ∈ N n , entonces la
serie
α!
(α − β)! xα−β ,
converge absolutamente a
α≥β
β!
.
(1 − x) 1+β

734 Tema 9. El problema de Cauchy
Solución. En primer lugar la serie converge absolutamente y uniformemente en
cualquier compacto de nuestro conjunto abierto, pues aplicando el ejercicio (9.3.2)
tenemos que
α!
(α − β)!
α≥β
xα−β = (α + β)!
x
α!
α≥0
α
⎡
n ∞ (αi
= ⎣
+ βi)!
x
αi!
i=1 αi=0 α ⎤
i⎦
i
n
βi!
=
(1 − xi)
i=1
1+β
i
β!
=
.
(1 − x) 1+β
Observemos que el resultado también puede obtenerse aplicando el ejercicio (8.2.2)
y el ejercicio (9.3.3) de la forma
α!
(α − β)!
α≥β
xα−β =
D
α
β x α = D β
x
α
α
= D β
1
=
(1 − x) 1
β!
,
(1 − x) 1+β
observando que la serie de las derivadas converge uniformemente en cualquier compacto
de nuestro conjunto abierto.
Ejercicio 9.3.6.- Demostrar que si x ∈ R n , con |xi| < 1, y β ∈ N n , entonces
la serie
|α|!
(α − β)! xα−β ,
converge absolutamente a
α≥β
|β|!
.
(1 − x1 − · · · − xn) 1+|β|
Solución. La serie converge absolutamente en el abierto pues
|α|!
(α − β)!
α≥β
|xα−β | = |α + β|!
|x
α!
α≥0
α |
∞ (j + |β|)!
=
|x
α!
j=0 |α|=j
α |
∞ (j + |β|)! j!
=
j! α!
j=0
|α|=j
|xα |
∞ (j + |β|)!
=
(|x1| + · · · + |xn|)
j!
j=0
j
=
|β|!
,
(1 − |x1| − · · · − |xn|) 1+|β|

9.10. Ejercicios resueltos 735
por tanto se tiene el resultado pues se tienen las igualdades anteriores sin tomar
módulos.
Observemos no obstante que también pudimos resolverlo del modo siguiente
|α|!
(α − β)!
α≥β
xα−β = |α|!
α!
α≥0
Dβx α
= D β
⎛
⎝ |α|!
α!
α≥0
xα
⎞
⎠
= D β 1
1 − (x1 + · · · + xn)
=
|β|!
,
(1 − x1 − · · · − xn) 1+|β|
pues se tiene que la serie de las derivadas converge uniformemente en cada compacto
del abierto, ya que la diferencia de dos sumas parciales (con α ≤ α ′ )
|s ′ ∞
α (x) − sα(x)| ≤
j=|α|
∞
≤
j=|α|
(j + |β|)!
(|x1| + · · · + |xn|)
j!
j
(j + |β|)!
r
j!
j ,
se hace tan pequeña como queramos haciendo α tan grande como queramos y donde
r es el máximo de |x1| + · · · + |xn| en el compacto.
Ejercicio 9.3.7.- (a) Demostrar que si g ∈ C ∞ ((a, b)), para [0, 1] ⊂ (a, b) ⊂ R
g(1) =
n
i=0
1
i! g(i (0) + 1
n!
1
0
(1 − t) n g (n+1 (t)dt.
(b) Que si g(t) = f(tz +y), para f ∈ C ∞ (U), con U ⊂ R n abierto, entonces
g (n (t) =
|α|=n
n!
α! Dα f(tz + y)z α ,
Ind. Por inducción en n. (a) Derívese (1 − t) n+1 g (n+1 /(n + 1)! e intégrese entre
0 y 1.
Ejercicio 9.3.8.- Demostrar que f es analítica real en un punto si y sólo si lo
es en un entorno del punto.
Solución. Por los teoremas (9.6) y (9.7).
Ejercicio 9.3.9.- Demostrar que para M, r > 0, la función
ϕ(y) =
Mr
r − (y1 + · · · + ym) ,

736 Tema 9. El problema de Cauchy
definida en { yi = r}, verifica
y es analítica en { |yi| < r}.
Solución. Consideremos la función
D α ϕ(0) = M|α|!r −|α| ,
h(y) =
1
1 − (y1 + · · · + ym) ,
para la que se demuestra fácilmente por inducción que
D α h(y) =
y el resultado se sigue de que
|α|!
,
(1 − y1 − · · · − ym) 1+|α|
ϕ(y) = Mh
x
.
r
Ejercicio 9.5.1.- Sabiendo que para una función f = cαx α analítica en 0, es
D β ( cαx α ) = D β (cαx α ), demostrar que existen constantes M, r > 0 tales
que
|D α f(0)| ≤ |α|!Mr −|α| .
Solución. f = cαx α es absolutamente convergente en un entorno U de 0 y por
la hipótesis y el ejercicio (8.2.2) del tema VIII, D α f(0) = α!cα, por tanto tomando
xi = r, con r suficientemente pequeño tendremos x ∈ U y |cα|r |α| < ∞, por tanto
para todos los α salvo para los de un conjunto A finito tendremos |cα|r |α| ≤ 1, ahora
basta considerar máx{1, |cα|r |α| : α ∈ A} = M y como α! ≤ |α|!,
|D α f(0)| = α!|cα| ≤ |α|!Mr −|α| .
Ejercicio 9.9.3.- Calcular la función de Riemann–Green del ODL
Q(z) = zxy +
zx + zy
x + y .
Solución. Consideremos el ODL P (z) = zxy y la función
φ(x, y) = x + y,
cuyo ODL asociado Q es el del enunciado, por tanto como la función de Riemann–
Green asociada a P es constante RP = 1, tendremos que la de Q es
x + y
RQ(x, y; x1, y1) = .
x1 + y1
Ejercicio 9.9.4.- Demostrar que la función de Riemann–Green del ODL
P (z) = zxy −
2
z
(x + y) 2

es
R(x, y; x1, y1) =
9.10. Ejercicios resueltos 737
(x + y1)(x1 + y) + (x − x1)(y − y1)
,
(x + y)(x1 + y1)
y demostrar utilizando el método de Riemann que la solución de P (z) = 0,
que satisface z = 0 y zx = x 2 en la recta y = x es
z(x, y) = 1
4 (x − y)(x + y)2 .
Solución. Lo primero es evidente pues por una parte R = 1 en x = x1 y en
y = y1, y por otra P ∗ (R) = P (R) = 0. Ahora bien
0 = z(x, x) ⇒ zx(x, x) + zy(x, x) = 0,
lo cual implica que p = x2 y q = −x2 y por ser la curva de datos iniciales creciente
tendremos que
1 1
z(x1, y1) = Rq dy − Rp dx
2 2
=
=
C1
x1
y1
x1
y1
x1
R(x, x, x1, y1)x 2 dx
(x + y1)(x1 + x) + (x − x1)(x − y1)
x
2x(x1 + y1)
2 dx
(x
=
y1
2 + y1x1)x
(x1 + y1) dx
1 x4 1
=
x1 + y1 4 − y4 1
4 + y1x1( x2 1
2 − y2 1
2 )
1
=
4(x1 + y1) [x41 − y 4 1 + 2y1x1(x 2 1 − y 2 1)]
1
=
4(x1 + y1) (x21 − y 2 1)(x1 + y1) 2
= 1
4 (x1 − y1)(x1 + y1) 2 .
Ejercicio 9.9.5.- Encontrar la función de Riemann–Green del ODL
Q(z) = zxy +
2(zx + zy)
,
(x + y)
y demostrar, utilizando el método de Riemann, que la solución de Q(z) = 0,
que satisface z = 0 y zx = 3x 2 en la recta y = x es
z(x, y) = 2x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 .
Solución. Utilizando el último resultado vemos que para el operador P del
ejercicio anterior y para φ = (x + y) 2 se tiene que φ ◦ Q = P ◦ φ, pues para

738 Tema 9. El problema de Cauchy
P (z) = zxy + ezx + fzy + gz, tenemos que
e = 0 ⇒ φy
φ
+ e = 2
x + y ,
f = 0 ⇒ φx 2
+ f =
φ x + y ,
2
g = −
(x + y) 2
⇒
φxy φy φx
+ f + e + g = 0,
φ φ φ
por tanto la función de Riemann–Green de Q es
R(x, y; x1, y1) =
C1
x1
φ(x, y) (x + y1)(x1 + y) + (x − x1)(y − y1)
φ(x1, y1) (x + y)(x1 + y1)
= (x + y)
(x1 + y1) 3 [(x + y1)(x1 + y) + (x − x1)(y − y1)].
Ahora p = 3x2 y q = −3x2 y por ser la curva de datos iniciales creciente tendremos
que
1 1
z(x1, y1) = Rq dy − Rp dx
2 2
=
=
y1
x1
y1
R(x, x, x1, y1)3x 2 dx
2x
6
=
(x1 + y1) 3
12
=
(x1 + y1) 3
(x1 + y1) 3 [(x + y1)(x + x1) + (x − x1)(x − y1)]3x 2 dx
x1
x
y1
3 (2x 2 + 2x1y1)dx
x6 1
6 − y6
1 x4 1
+ x1y1
6 4 − y4
1
4
= 2x 3 1 − 3x 2 1y1 + 3x1y 2 1 − 2y 3 1.

9.11. Bibliografía y comentarios 739
9.11. Bibliografía y comentarios
Cartan, H.: “Teoría elemental de las funciones analíticas de una y varias variables
complejas”. Ed. Selecciones Científicas, 1968.
Copson, E.T.: “Partial Differential Equations”. Ed. Cambridge Univ. Press, 1975.
Courant, R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Phisics”. Vol.II, J. Wi-
lley, 1962.
Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986.
John, F. : “Partial Differential Equations”. Springer–Verlag, 1982.
Muñoz, J.: “Funciones analíticas de una variable”. (Apuntes de sus clases).
Spivak, M.: “Differential Geometry”. Vol. V, Ed. Publish or Perish Inc., 1975.
Vladimirov, V.S.: “Equations of Mathematical Phisics”. Marcel Dekker, 1971.
Zachmanoglou, E.C. and Thoe, Dale W.: “Introduction to Partial Differential
Equations with Applications”. Dover, 1986.
La versión inicial del Teorema de Cauchy–Kowalewski, se debe al
francés Augustin–Louis Cauchy (1789–1857), el cual inició la teoría
moderna de las ecuaciones en derivadas parciales. La rusa Sophie Kowalewski
(1850–1891), bajo la guía de Karl Weierstrass (1815–
1897), dió una demostración de tipo general en su Tesis doctoral.
En este teorema se demuestra que sólo hay una solución analítica
para un problema de Cauchy analítico, aunque nada se dice sobre otro
tipo de soluciones. El Teorema de Holmgren niega esta posibilidad
(ver Courant–Hilbert, p.237 y el Garabedian, p.185). Por otro lado en la
p. 67 del libro de Spivak, se habla del ejemplo, debido a Perron, de
sistema de dos EDP de primer orden
u1x = u1y + u2y
u2x = au1y + u2y + f(x, y),
el cual, si la constante a es negativa, no tiene solución a menos que f sea
analítica (observemos que los autovalores de la matriz asociada satisfacen
(1 − λ) 2 = a). Además también hay ejemplos, con coeficientes analíticos,
en los que las condiciones iniciales deben ser analíticas, si no no hay
solución. Por lo tanto el Teorema de Cauchy–Kowalewski, en general es
un resultado inmejorable, en el sentido de que no se puede debilitar.
Las definiciones que se dan de operador adjunto de un ODL P , en
libros como el Copson, p.77 ó en el Garabedian, p.128, inducen a confusión,
pues definen P ∗ como aquel para el que
vP (z) − zP ∗ (v),

740 Tema 9. El problema de Cauchy
es la divergencia de un campo D, siendo así que toda función es una
divergencia, además de una infinidad de formas. Da la sensación de que
estos autores han tenido como referencia el libro de Courant–Hilbert,
que en su p.235 da, aparentemente, esta misma definición, pero no es
igual, pues en este libro se especifica, en primer lugar, qué proceso se
debe seguir para la obtención de esa divergencia —una integración por
partes—, y en segundo lugar se describe cómo el campo D debe depender
de u y v. Esto hace que su definición sí sea rigurosa.
La teoría moderna de las ecuaciones en derivadas parciales de tipo
hiperbólico, fue iniciada por el alemán Georg Friedrich Bernhard
Riemann (1826–1866), con la representación de la solución de un
problema de valor inicial para una EDP de segundo orden. Esta representación
que ahora llamamos el método de Riemann aparece (ver
Courant–Hilbert, p.449 ó Copson, p.78), como apéndice en su memoria
de 1860,
Riemann, G.F.B.: “ Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwin-
gungsweite”. Abhandl. Königl. Ges. Wiss. Göttingen, Vol. 8 (1860). Reimpreso en
la Ed. Dover “Gesammelte Mathematische Werke”, New York, 1953, pp. 156–178.
en el que, según leemos en la p.449 del Courant–Hilbert, no da una demostración
general de existencia, sino una construcción de la solución de
ejemplos explícitos que resuelve. Su fórmula puede entenderse como un
caso especial de un principio mas fundamental, según el cual la solución
z, de P (z) = f, se concibe como un funcional que depende continua
y linealmente de f y por tanto, según demostró el húngaro Frigyes
Riesz (1880–1956), se puede representar, en condiciones apropiadas, de
la forma general
z(p) = A(q, p)f(q)dq.
D
Fin del Tema 9

Tema 10
La Ecuación de Laplace
10.1. Funciones armónicas
Definición. El operador de LaPlace ó Laplaciano en un abierto U ⊂ R n
se define como el ODL de segundo orden
∆ = ∂2
∂x2 +
1
∂2
∂x2 + · · · +
2
∂2
∂x2 .
n
Las ecuaciones de ondas (ver Tema 11, pág.861) y del calor (ver
Tema 13, pág.929) se expresan en términos del operador de Laplace,
respectivamente de la forma
a 2 ∆u = utt, K∆u = ut.
Definición. Llamamos Ecuación de LaPlace a
∆u = 0,
y funciones armónicas a las funciones u ∈ C 2 (U), que son solución de la
ecuación de Laplace.
741

742 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Observemos que en el caso de la recta una función es armónica si y
sólo si es afín
u ′′ = 0 ⇔ u(x) = ax + b,
lo cual implica que el valor de u en el punto medio de cualquier intervalo
(α, β), es el valor medio de u en los extremos del intervalo
α + β
u =
2
u(α) + u(β)
,
2
esta es una propiedad general, que demostró Gauss, de las funciones
armónicas: “El valor de una función armónica en el centro de una esfera
es igual al promedio de sus valores en la superficie de la esfera”, que
veremos en (10.45), pág.806.
Ejercicio 10.1.1 Dadas dos funciones armónicas f y g demostrar que fg es
armónica sii grad f · grad g = 0.
Nota 10.1 Recordemos que si tenemos la métrica g = dxi ⊗ dxi,
entonces ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn es la n–forma de volumen, la divergencia
de un campo D es la función que satisface
(div D)ω = D L ω = d(iDω),
y el gradiente de una función f es el campo que corresponde a la 1–forma
df por el isomorfismo
D(U) −→ Ω(U), D −→ iDg, iDg(E) = D · E.
Ejercicio 10.1.2 Demostrar que ∆u = div(grad u).
Ejercicio 10.1.3 Demostrar que son armónicas las funciones de R n
a + ajxj, (y para i = j), xixj, x 2 i − x 2 j,
y caracterizar los polinomios homogéneos de segundo orden del plano que sean
funciones armónicas.
Ejercicio 10.1.4 Demostrar que son armónicas las funciones de R n − {0}
log[x 2 i + x 2 j], (para i = j),
1
, para r =
rn−2
x 2 1 + · · · + x2 n.

10.2. Funciones armónicas en el plano 743
Ejemplo 10.1.1 Veamos en R n qué funciones u = f(r), dependientes
sólo de la distancia r = x 2 i al origen, son armónicas. Para ello
consideremos un sistema de coordenadas (r, ϕi, . . .), en el que
∆ = a ∂2 ∂
+ b
∂r2 ∂r
+ P = ∂2
∂r
n − 1 ∂
+ + P,
2 r ∂r
siendo P un operador diferencial de segundo orden en el que todos los
términos tienen derivadas parciales respecto de alguna coordenada ϕi, y
la segunda igualdad se tiene porque
n − 1
b = ∆(r) = , ∆(r
r
2 ) = ∆(x 2 i ) = 2n,
n = ∆(r 2 /2) = a + br = a + n − 1,
por tanto a = 1 y como P u = 0, tendremos que
∆u = 0 ⇔ f ′′ +
n − 1
f
r
′ = 0,
y esto equivale a que para n ≥ 1
⎧
⎪⎨ Ar + B, si n = 1,
f(r) = A log r + B,
⎪⎩
A/r
si n = 2,
n−2 + B, si n = 2.
10.2. Funciones armónicas en el plano
10.2.1. Funciones armónicas en variables separadas.
Se demuestra fácilmente que en el plano xy, en el sistema de coordenadas
polares (ρ, θ),
∂ ∂ sen θ ∂
= cos θ −
∂x ∂ρ ρ ∂θ
∂ ∂ cos θ ∂
= sen θ +
∂y ∂ρ ρ ∂θ
⇒
∂2 ∂2 ∂2
+ =
∂x2 ∂y2 ∂ρ
1 ∂
+ 2 ρ ∂ρ
+ 1
ρ 2
∂2 ,
∂θ2

744 Tema 10. La Ecuación de Laplace
y las funciones de la forma u = f(ρ)g(θ) son armónicas si y sólo si
f ′′ g + 1
ρ f ′ g + 1
ρ 2 fg′′ = 0,
lo cual implica que existe una constante a para la que
′′ ′
2 f
ρ + ρf
f f
− g′′
g
⎫
= a⎪⎬
= a
⎪⎭
⇒
ρ 2 f ′′ + ρf ′ − af = 0,
g ′′ + ag = 0,
la primera de las cuales es la ecuación de Euler —para resolverla hágase
el cambio ρ = exp{t}—, y tiene soluciones para α > 0
Figura 10.1. log ρ, ρ 2 , ρ −2 , cos(log ρ).
⎧
⎪⎨
1, log ρ,
f(ρ) = ρ
⎪⎩
α , ρ −α ,
cos(α log ρ), sen(α log ρ),
si a = 0,
si a = α 2 ,
si a = −α 2 ,
y sus combinaciones lineales, mientras que las soluciones de la segunda
ecuación son para α > 0
Figura 10.2. θ, sen θ, e θ , e −θ .

10.2. Funciones armónicas en el plano 745
⎧
⎪⎨
1, θ,
g(θ) = cos αθ, sen αθ,
⎪⎩
y sus combinaciones lineales.
e αθ , e −αθ ,
si a = 0,
si a = α 2 ,
si a = −α 2 ,
Ejercicio 10.2.1 Encontrar las funciones armónicas en el plano que sean de la
forma f(x)g(y).
10.2.2. Funciones armónicas y funciones analíticas.
Las funciones armónicas del plano están íntimamente relacionadas
con las funciones analíticas de variable compleja. Recordemos la identificación
z = x+iy ∈ C → (x, y) ∈ R 2 , y que a través de esta identificación
identificamos aplicaciones entre abiertos U, V ⊂ R 2
con funciones de variable compleja
F = (u, v): U ⊂ R 2 → V ⊂ R 2 ,
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) : U ⊂ C → V ⊂ C,
la cual es analítica en C, si y sólo si u y v son de clase 1 y se satisfacen
las ecuaciones de Cauchy–Riemann
ux = vy,
uy = −vx,
ahora bien f ′ (z) = ux + ivx = vy − iuy también es analítica y por tanto
u y v son de clase 2, lo cual implica que u y v son armónicas, pues
uxx + uyy = vyx − vxy = 0,
Definición. Un par de funciones armónicas, como u y v, que sean la parte
real e imaginaria de una función analítica en C se llaman conjugadas
armónicas.
Ejemplo 10.2.1 Por ejemplo consideremos la función
f(z) = e z = e x+iy = e x cos y + ie x sen y,

746 Tema 10. La Ecuación de Laplace
que es analítica en C, por tanto
son armónicas en el plano.
u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sen y,
Ejemplo 10.2.2 La función exponencial e z , de C en C\{0}, es sobre
pero no es inyectiva, pues es constante en z + 2kπi, sin embargo si lo
es en R × [0, 2π) y tiene inversa que llamamos logaritmo log z. Veamos
quien es su parte real y su parte imaginaria: log z = u + iv, por tanto
z = e u+iv = e u (cos v + i sen v), de donde x = e u cos v, y = e u sen v, por
lo que x 2 + y 2 = e 2u y u = log x 2 + y 2 . Por otra parte tan v = y/x y
v = θ siendo ambas funciones armónicas en el plano que hemos estudiado
en el epígrafe 10.2.1.
Teorema 10.2 Una función u en un abierto U simplemente conexo (“sin
agujeros”) del plano es armónica si y sólo si es la parte real (ó imaginaria)
de una función analítica del abierto entendido en C.
Demostración. Falta demostrar la implicación “⇒”. Sea u armónica,
entonces por el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 tendremos
que para cualquier curva cerrada ∂V , borde de un abierto V ⊂ U,
uxdy − uydx = d(uxdy − uydx)
∂V
V
= uxxdx ∧ dy + uyydx ∧ dy = 0,
V
lo cual implica que fijado cualquier (x0, y0) ∈ U, se tiene que para todo
(x, y) y toda curva que una (x0, y0) con (x, y), la función
v(x, y) =
(x,y)
(x0,y0)
uxdy − uydx,
no depende de la curva elegida y se tiene que
vx(x, y) = lím
ɛ→0
= lím
ɛ→0
vy(x, y) = ux(x, y),
(x+ɛ,y)
(x0,y0) (uxdy − uydx) − (x,y)
(x0,y0) (uxdy − uydx)
x+ɛ
x −uydx
ɛ
ɛ
= −uy(x, y),
y por tanto v es la conjugada armónica de u y u + iv es analítica.

10.2. Funciones armónicas en el plano 747
Corolario 10.3 Toda función armónica en un abierto U del plano es localmente
la parte real (ó imaginaria) de una función analítica de variable
compleja.
Nota 10.4 Hemos definido las funciones armónicas como funciones de
clase 2 que satisfacen la ecuación de Laplace pues, como pone de
manifiesto el siguiente ejercicio, el hecho de satisfacerse la ecuación
de Laplace en un abierto ni siquiera implica que la función deba ser
continua en él.
Ejercicio 10.2.2 Demostrar que la función, para z = x + iy
0, si (x, y) = (0, 0),
u(x, y) =
Re e −1/z4
, si (x, y) = (0, 0),
satisface la ecuación de Laplace en R 2 , pero no es continua en el origen.
No obstante, se verifica —como demostraremos en (10.53), pág.812—
que toda función armónica es analítica real (para n = 1 es evidente pues
es afín), de hecho se tiene el siguiente resultado que no demostraremos.
Teorema 10.5 Toda solución continua, de la ecuación de Laplace en el
abierto U ⊂ R n , es analítica en U.
10.2.3. Transformaciones conformes.
Definición. Dados dos abiertos U, V ⊂ R n , diremos que una aplicación
diferenciable
F : U ⊂ R n −→ V ⊂ R n ,
es una transformación conforme, si conserva la orientación y los ángulos.
Lema 10.6 Si A: R 2 → R 2 , lineal es conforme, entonces (entendida
como matriz) sus dos columnas ai son ortogonales y del mismo módulo.
Demostración. Las dos columnas de A, ai = Aei son ortogonales
pues lo son e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) y tienen el mismo módulo pues por
un lado cos(e1, e1 − e2) = cos(e2, e2 − e1), ya que
e1 · (e1 − e2)
|e1 − e2| =
1
|e1 − e2| = e2 · (e2 − e1)
,
|e1 − e2|

748 Tema 10. La Ecuación de Laplace
y como cos(a, b) = cos(Aa, Ab),
|a1| 2 = a1 · (a1 − a2) = |a1||a1 − a2| cos(a1, z1 − z2)
= |a1||a1 − a2| cos(e1, e1 − e2) ⇒
|a1| = |a1 − a2| cos(e1, e1 − e2) = |a2 − a1| cos(e2, e2 − e1) = |a2|.
Ahora siguiendo con el corolario (10.3), tenemos aun más: si
F = (u, v) : U ⊂ R 2 −→ V ⊂ R 2 ,
es un difeomorfismo entre los abiertos U y V del plano y define una
función analítica de variable compleja, entonces este difeomorfismo lleva
funciones armónicas en funciones armónicas.
Proposición 10.7 F : U → V es una transformación conforme en el
plano sii es difeomorfismo y está definida por una función analítica de
variable compleja. En cuyo caso F lleva funciones armónicas en funciones
armónicas.
Demostración. “⇒”Si F∗ conserva ángulos y la orientación, por
10.6, sus columnas (ux, vx) y (uy, vy) son ortogonales, bien orientadas
y del mismo módulo, por tanto ux = vy y uy = −vx por lo que F es
analítica.
“⇐”Por una parte la matriz de la aplicación lineal tangente F∗ es
ux uy ux uy cos θ − sen θ
=
= R
.
sen θ cos θ
para R =
vx vy
−uy ux
u 2 x + u 2 y, ux = R cos θ y uy = −R sen θ, lo cual implica que
cada vector se multiplica por un factor R y se gira un ángulo θ. Por otra
parte se tiene que
F ∗ [dx ∧ dy] = du ∧ dv = (uxdx + uydy) ∧ (vxdx + vydy)
= (uxvy − uyvx)dx ∧ dy
= (u 2 x + u 2 y)dx ∧ dy.
Veamos que conserva las funciones armónicas.
∂ ∂ ∂
= ux + vx
∂x ∂u ∂v ,
∂ ∂ ∂
= uy + vy
∂y ∂u ∂v ,

y por tanto 1 tendremos que
∂ 2
∂x
∂ 2
∂y
2 = uxx
10.2. Funciones armónicas en el plano 749
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ ux( ◦ ) + vxx + vx( ◦ ) =
∂u ∂x ∂u ∂v ∂x ∂v
∂ ∂
= uxx + ux(ux
∂u 2 ∂
+ vx
∂u2 2
∂v∂u )+
∂ ∂
+ vxx + vx(ux
∂v 2 ∂
+ vx
∂u∂v 2
),
∂v2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ uy( ◦ ) + vyy + vy( ◦ ) =
∂u ∂y ∂u ∂v ∂y ∂v
∂ ∂
= uyy + uy(uy
∂u 2 ∂
+ vy
∂u2 2
∂v∂u )+
∂ ∂
+ vyy + vy(uy
∂v 2 ∂
+ vy
∂u∂v 2
),
∂v2 2 = uyy
y de aquí se sigue aplicando las Ecuaciones de Cauchy–Riemann,
que
∂2 ∂2
+
∂x2 ∂y2 = (u2x + u 2 2 ∂ ∂2
y) +
∂u2 ∂v2
.
lo cual implica que F lleva funciones armónicas en funciones armónicas.
Este resultado puede ser útil a la hora de resolver el problema de
Dirichlet en el plano, como ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.2.3 Encontrar una función continua f en
solución de
{x 2 + y 2 ≤ 1} − {(−1, 0), (1, 0)},
∆f = 0, para x 2 + y 2 < 1,
f(x, y) =
1, si x 2 + y 2 = 1, y > 0,
−1, si x 2 + y 2 = 1, y < 0,
1 Observemos que el determinante de F∗ es uxvy − uyvx = u 2 x + u 2 y = v 2 x + v 2 y, por
tanto para que sea difeomorfismo local en un punto basta que alguna de las ux, uy,
vx ó vy sea no nula en ese punto.

750 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Solución.- La función
1 + z (1 + z)(1 − z)
F (z) = =
1 − z (1 − z)(1 − z) = 1 − x2 − y2 (1 − x) 2 2y
+i
+ y2 (1 − x) 2 = u+iv,
+ y2 es analítica en el plano pinchado D = C\{1} = R 2 \{(1, 0)} y define un
sistema de coordenadas (u, v) en D para el que
{x 2 + y 2 < 1} = {u > 0},
{x 2 + y 2 = 1, y > 0} = {u = 0, v > 0},
{x 2 + y 2 = 1, y < 0} = {u = 0, v < 0},
por tanto en este sistema de coordenadas tenemos que resolver
1, si v > 0,
∆f = 0, para u > 0, f(0, v) =
−1, si v < 0.
Ahora bien hemos visto que en coordenadas polares la función θ es
armónica en el plano (u, v) (quitamos la semirrecta formada por los
puntos {(u, 0), u < 0}) y por tanto en coordenadas cartesianas (u, v)
también es armónica la función
arctan v
: (0, ∞) × (−∞, ∞) → (−π/2, π/2).
u
Por tanto la solución a nuestro problema es f = 2
π
f(u, v) →1,
f(u, v) → − 1,
cuando v > 0 y u → 0,
cuando v < 0 y u → 0,
y en las coordenadas iniciales la solución es la función
2
π arctan
2y
1 − x2 .
− y2 v arctan u , pues

10.3. Transformaciones en R n . 751
10.3. Transformaciones en R n .
En las lecciones anteriores hemos encontrado algunos ejemplos de
funciones armónicas, obviamente sus combinaciones lineales también lo
son. Ahora veremos otros procesos con los que generar más funciones
armónicas, para ello consideraremos difeomorfismos
F = (u1, . . . , un): U ⊂ R n → V ⊂ R n ,
para los que g ∈ C 2 (V ) sea armónica si y sólo si lo es f = F ∗ g ∈ C 2 (U).
10.3.1. Traslaciones, giros y homotecias.
La traslación por un vector a = (ai) ∈ R n
F (x1, . . . , xn) = (x1 + a1, . . . , xn + an),
obviamente conserva las funciones armónicas, por ejemplo (ver el ejercicio
(10.1.4)) como
1
,
x 2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4
es armónica en R 4 − {0}, entonces también lo es en R 4 − {a}, para
a = (ai), la función
1
(x1 − a1) 2 + (x2 − a2) 2 + (x3 − a3) 2 .
+ (x4 − a4) 2
Los giros en el plano (ó en el espacio respecto de un eje) también
dejan invariantes las funciones armónicas, por ejemplo para el giro
se tiene que
∂ 2
∂x
u = x cos α − y sen α,
v = x sen α + y cos α,
∂y
∂u
,
∂v2 ∂2 ∂2 ∂2
+ = + 2 2 2
observemos que para F = u + iv, corresponde a F (z) = z e iα , que es una
transformación conforme.
Las homotecias F (x) = kx, para k = 0, también conservan las funciones
armónicas.

752 Tema 10. La Ecuación de Laplace
10.3.2. Transformaciones lineales.
Hemos visto ejemplos de transformaciones lineales que conservan las
funciones armónicas, sin embargo no toda transformación lineal lo hace.
En el siguiente resultado se prueba que son las semejanzas.
Teorema 10.8 Para una transformación afín F (x) = Ax + b en R n ,
son equivalentes:
(i) F ∗ lleva funciones armónicas en funciones armónicas.
(ii) Las columnas de A son ortogonales y del mismo módulo.
(iii) A es una semejanza.
(iv) F es conforme.
Demostración. (i)⇒(ii) Sabemos que xixj y x2 i −x2j son armónicas,
por tanto para ui = F ∗xi = aijxj + bi, lo son uiuj y u2 i − u2j , es decir
como ∂kui = aik, ∂k(uiuj) = aikuj + ajkui y ∂k(u2 i − u2j ) = 2uiaik −
2ujajk, por lo tanto
0 =
∂kk(uiuj) =
2aikajk,
k
0 =
∂kk(u 2 i − u 2 j) = 2 (a 2 ik − a 2 jk),
k
es decir las columnas de A son ortogonales y del mismo módulo r =
a 2 ik .
(ii)⇔(iii) Sea sigue que A = rB, para r el módulo de las columnas
y B una matriz ortogonal B t B = I, por tanto A es composición de una
homotecia y una rotación es decir es una semejanza.
(iii)⇒(iv) F∗ = A = rB la cual conserva ángulos pues A t A = r 2 I y
cos((Ax), (Ay)) =
Ax · Ay
|Ax||Ay| =
k
x t A t Ay
√ x t A t Ax y t A t Ay =
x · y
= cos(x, y).
|x||y|
(iv)⇒(ii) Las columnas zi = Aei son ortogonales pues lo son las ei y
tienen el mismo módulo pues cos(x, y) = cos(Ax, Ay), por tanto
cos(ei, ei − ej) = ei · (ei − ej)
|ei − ej| =
1
|ei − ej| = ej · (ej − ei)
|ei − ej| = cos(ej, ej − ei)
|zi| 2 = zi · (zi − zj) = |zi||zi − zj| cos(zi, zi − zj)
= |zi||zi − zj| cos(ei, ei − ej) ⇒
|zi| = |zi − zj| cos(ei, ei − ej) = |zj − zi| cos(ej, ej − ei) = |zj|.

10.3. Transformaciones en R n . 753
(ii)⇒(i) Sea g armónica y veamos que u = F ∗ g también lo es
i
uxi = gxk (F )∂iuk =
k
j
k
gxk (F )aki ⇒
uxixi =
gxkxj (F )
ajiaki = r
Ejercicio 10.3.1 Demostrar que las reflexiones
i
2
F (x) = x − 2 < x, a > a ⇒ ui = xi − 2
j
gxjxj (F ) = 0.
n
xjajai,
respecto de un hiperplano {x : xiai = 0}, para a 2 i = 1, conservan las
funciones armónicas.
i=1
10.3.3. Inversiones respecto de esferas.
Otro tipo de transformación importante en el estudio de las funciones
armónicas es la inversión respecto de una esfera S(0, r),
F = (ui): R n \{0} → R n \{0}, F (x) = r2
x2 x ⇔ ui = r2xi n i=1 x2 ,
j
es decir deja los puntos de la esfera invariantes, los puntos de dentro los
lleva a puntos de fuera en la misma dirección (y los de fuera a dentro),
de modo que es constante el producto
x · F (x) = r 2 .
Que la inversión en el plano pinchado R 2 −{0}, conserva las funciones
armónicas se sigue de que en términos complejos
F (z) = r2 z
zz
= r2
z ,
es composición de la transformación conforme G(z) = r 2 /z y de la conjugación
z → z (que es la reflexión (x, y) → (x, −y)).
Ejercicio 10.3.2 Demostrar que las inversiones en el plano pinchado R 2 − {0},
conservan las funciones armónicas, expresando las funciones y el operador de
LaPlace en coordenadas polares.

754 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Por lo tanto si g es armónica en el abierto V = F (U), también lo es
en el abierto U
2 r x
f(x) = g
x2
,
por ejemplo la función
g(x) = g(x1, x2) = log (x1 − a1) 2 + (x2 − a2) 2 = log x − a,
es armónica en R 2 − {a}, por lo tanto haciendo una inversión respecto
de la esfera S(0, r) también lo es
2 r x1
f(x1, x2) = g
x2 1 + x2 r
,
2
2x2 x2 1 + x2
= log
r
2
2
x
− a
x2
= log r
x ·
rx xa
−
x r
= log r
+ log
rx xa
x −
x r ,
en el plano sin dos puntos R 2 − {0, F (a)}.
Las inversiones en el espacio también sirven para construir funciones
armónicas, pues si g es armónica en V abierto de R3 − {0}, entonces la
función
f(x) = r
x g
2 r x
x2
,
es armónica en el abierto U correspondiente por la inversión espacial
respecto de la esfera centrada en el origen y radio r. Para verlo consideraremos
en R 3 las coordenadas esféricas que estudiamos a continuación.
Coordenadas esféricas. Consideremos en R 3 las coordenadas esféricas
(ver la figura (7.11), pág.489)
(10.1) x = ρ sen θ cos ϕ, y = ρ sen θ sen ϕ, z = ρ cos θ,

en cuyos términos se tiene
(10.2)
10.3. Transformaciones en R n . 755
dx = sen θ cos ϕdρ + ρ cos θ cos ϕdθ − ρ sen θ sen ϕdϕ,
dy = sen θ sen ϕdρ + ρ cos θ sen ϕdθ + ρ sen θ cos ϕdϕ,
dz = cos θdρ − ρ sen θdθ
∂ρ = sen θ cos ϕ∂x + sen θ sen ϕ∂y + cos θ∂z
= x
ρ ∂x + y
ρ ∂y + z
ρ ∂z
∂θ = ρ cos θ cos ϕ∂x + ρ cos θ sen ϕ∂y − ρ sen θ∂z
∂ϕ = −ρ sen θ sen ϕ∂x + ρ sen θ cos ϕ∂y = −y∂x + x∂y
lo cual implica que el jacobiano (el determinante de la matriz) es ρ 2 sen θ
y por lo tanto la forma de volumen vale
(10.3) dx ∧ dy ∧ dz = ρ 2 sen θdρ ∧ dθ ∧ dϕ,
y por otra parte calculando la matriz inversa se tiene que
∂x = x
ρ ∂ρ + xz
ρ3 sen θ ∂θ
y z sen ϕ cos θ
− +
ρ2 ρ2
sen θ
∂y = y
ρ ∂ρ + yz
ρ3 sen θ ∂θ
x z cos ϕ cos θ
+ +
ρ2 ρ2
sen θ
∂z = z
ρ ∂ρ − x2 + y2 ρ3 sen θ ∂θ
xz sen ϕ − yz cos ϕ
+
ρ3
sen θ
y el campo normal unitario exterior N = H/|H|, para H = xi∂xi el
campo de las homotecias, es en estas coordenadas por (10.2)
N = x
ρ ∂x + y
ρ ∂y + z
ρ ∂z = ∂ρ,
por lo que la dos–forma de area en las esferas centradas en el origen es
(10.4) ds = iNdx ∧ dy ∧ dz = i∂ρρ 2 sen θdρ ∧ dθ ∧ dϕ = ρ 2 sen θdθ ∧ dϕ.
Ahora se demuestra que el laplaciano vale —demuéstrelo el lector—
∆ = ∂2 2 ∂ 1
+ +
∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 2 ∂ 1
+
∂θ2 sen2 ∂
θ
2
1 ∂
(10.5)
+
∂ϕ2 tan θ ∂θ
= ∂2 2
+
∂ρ2 ρ
∂
∂ρ
1
+ P2,
ρ2 ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ

756 Tema 10. La Ecuación de Laplace
donde P2 es un operador en las variables angulares, pues por ejemplo
∂2
x
= ∂x
∂x2
x
= ∂x
ρ
+ xz
−
ρ3 sen θ ∂θ
y
−
ρ ∂ρ + xz
z sen ϕ cos θ
+
ρ2 ρ2 sen θ
∂ρ + x
ρ ∂x∂ρ
xz
+ ∂x
ρ3
∂θ+
sen θ
ρ3 sen θ ∂x∂θ
y z sen ϕ cos θ
− ∂x +
ρ2 ρ2
∂ϕ−
sen θ
y z sen ϕ cos θ
+
ρ2 ρ2
∂x∂ϕ
sen θ
Ejercicio 10.3.3 Expresando las funciones y el operador de LaPlace en coordenadas
esféricas, demostrar que si g es armónica en un abierto V ⊂ R 3 − {0},
entonces la función
f(x) = r
x g
2
r x
x2
,
es armónica en el abierto U correspondiente por la inversión espacial respecto
de la esfera centrada en el origen y radio r.
Ejercicio 10.3.4 Aplicar el resultado anterior para encontrar la función f correspondiente
a la función armónica en R 3 − {(a, b, c)}
g(x, y, z) =
1
(x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 .
Ejercicio 10.3.5 Demostrar que la proyección estereográfica desde el polo de
la esfera al plano del ecuador conserva ángulos y transforma circunferencias
en circunferencias o rectas.
Ejercicio 10.3.6 Demostrar que la aplicación τ = πQ ◦ π −1
P : R2 → R 2 , composición
de la inversa de la proyección estereográfica desde un polo P , con la
proyección estereográfica desde el otro polo Q, es la inversion respecto de la
circunferencia del ecuador.
Ejercicio 10.3.7 Demostrar que la inversion respecto de una circunferencia
conserva ángulos y lleva circunferencias que no pasan por el centro en circunferencias
y las que pasan por el centro en rectas.
∂ϕ

10.3. Transformaciones en R n . 757
10.3.4. Transformaciones en general.
A continuación caracterizamos los difeomorfismos
F = (u1, . . . , un): U ⊂ R n → V ⊂ R n ,
que conservan las funciones armónicas.
Lema 10.9 Dado el difeomorfismo F = (ui), tal que su matriz Jacobiana
F∗ = (uixj ) sea múltiplo de una ortogonal λB, se tiene que (para n = 2)
n
∂ 2
∂u
i=1
2 i
= 2 − n
2
grad f −1 + f −1 ∆.
Demostración. Sea f(x) = λ2 (x) y consideremos en U por una
parte su métrica euclídea T = n i=1 dxi ⊗ dxi y por otra la métrica
euclídea de V traída por F , entonces como las columnas de F∗ = (uixj )
son ortogonales y del mismo módulo λ
T ′ n
n
= dui ⊗ dui = ( uixj dxj) ⊗ ( uixj dxj)
i=1
= f(x)
i=1
n
dxi ⊗ dxi,
i=1
y por tanto en las coordenadas xi los coeficientes de T ′ son gij(x) =
f(x)δij y por tanto g = f n y g ij = f −1 δij. Ahora bien en (14.5), pág.993,
veremos que el operador de Laplace asociado a una métrica T ′ en las
coordenadas xi vale
n ∂2 = 1
√
g
n
∂u
i=1
2 i
n −
= f 2
= 2 − n
2
∂ √ggij ∂xi
∂
= f
∂xj
−n/2
n ∂
∂xi i=1
n ∂f n−2
2 ∂
n ∂2 i,j=1
i=1
∂xi
∂xi
grad f −1 + f −1 ∆,
n −
+ f 2 f n−2
2
∂x
i=1
2 i
f n−2
2
Proposición 10.10 La función inversión respecto de la esfera unidad,
F = (ui): Rn \{0} → Rn \{0}, F (x) = x/x2 , tiene matriz Jacobiana,
F∗ = λB, múltiplo de una ortogonal, con λ = 1/x2 y se tiene
n ∂2 = ρ 2+n ◦ ∆ ◦ ρ 2−n
∂u
i=1
2 i
∂
∂xi

758 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Demostración. Como ui = xi/ x2 j , se demuestra fácilmente que
y por el lema tenemos que
n ∂2 = 2 − n
2
uixj ukxj = 0, f = u 2 ixj
∂u
i=1
2 i
= 2 − n
2
grad ρ 4 + ρ 4 ∆
4ρ 3 grad ρ + ρ 4 ∆
= 2ρ 3 ρ n−1 grad ρ 2−n + ρ 4 ∆
1
= ,
ρ4 = ρ 2+n (∆ ◦ ρ 2−n − ρ 2−n ◦ ∆) + ρ 4 ∆
= ρ 2+n ◦ ∆ ◦ ρ 2−n ,
donde la penúltima igualdad se sigue de que para cualquier función g
[∆, g] = ∆ ◦ g − g ◦ ∆ = ∆g + 2 grad g,
y por tanto si g es armónica, ∆g = 0, entonces
en particular para g = ρ 2−n
∆ ◦ g − g ◦ ∆ = 2 grad g,
∆ ◦ ρ 2−n − ρ 2−n ◦ ∆ = 2 grad ρ 2−n .
En particular se siguen los resultados sobre inversiones que hemos
visto para el plano y el espacio.
Teorema 10.11 Los siguientes apartados son equivalentes:
i.- F conserva las funciones armónicas.
ii.- Las funciones ui son armónicas y la matriz jacobiana de F en cada
punto x, es múltiplo de una matriz B(x) ortogonal
∂ui
F∗ = (x) = λ(x)B(x).
∂xj
iii.-
n
∂ 2
∂x
i=1
2 i
= λ 2 (x)
n
∂ 2
∂u
i=1
2 i
iv.- Para n = 2, F es una transformación conforme ó una transformación
conforme compuesta con una reflexión respecto del eje x. Para
n = 2, F es una semejanza.
.

10.3. Transformaciones en R n . 759
Demostración. “(i)⇔(ii) ⇔(iii)”. Es fácil demostrar que
n ∂2 n
n
∂
= ujxixi +
∂uj
n
n
ujxiukxi
∂2 ,
∂uk∂uj
∂x
i=1
2 i
j=1
i=1
j,k=1
y el resultado se sigue fácilmente (hágalo el lector) considerando las
funciones armónicas xixj y x2 i − x2 j .
“(iv)⇒(i)”. Para n = 2 por (10.7) y para n = 2 por (10.8).
“(ii)⇒(iv)”. Para n = 2 la matriz
ux uy
vx vy
es múltiplo de una ortogonal, lo cual implica una de dos, o bien u y v
satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann, ó u y −v. En cualquier
caso u y v son armónicas.
Para n = 2, se sigue del Lema (10.9) que
n
∂ 2
∂u
i=1
2 i
= 2 − n
2
i=1
n
∂ 2
grad f −1 + f −1 ∆ = f −1
∂x
i=1
2 i
donde la segunda igualdad se sigue de (iii). Por tanto
grad f −1 = 0 ⇒ f(x) = k 2 = cte,
lo cual implica (en los términos del Lema) que T ′ = k 2 T , y esto vamos
a ver que implica que F localmente es una afinidad, lo cual a su vez
implica que F es la restricción a U de una afinidad 2 .
Para ello consideremos un punto x ∈ U. Con sendas traslaciones
podemos suponer sin pérdida de generalidad que x = 0 y que F (x) = 0.
Ahora consideremos la homotecia G(x) = k −1 x, basta demostrar que la
aplicación H = G ◦ F = (vi) es lineal, para ello observemos que al ser
vi = k −1 ui, H conserva la métrica ya que
n
dvi ⊗ dvi = k −2
i=1
n
dui ⊗ dui =
i=1
n
dxi ⊗ dxi,
por tanto es una isometría y en los cursos de geometría se demuestra que
H es una transformación ortogonal.
2 Dos afinidades que coinciden en un abierto coinciden en todo el espacio.
i=1
,

760 Tema 10. La Ecuación de Laplace
10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico.
Consideremos en R 3 la métrica estándar (ver la lección 5.5.3, pág.294)
y sea U ⊂ R 3 un abierto.
g = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz,
Definición. Llamamos trabajo de un campo tangente F ∈ D(U) a lo
largo de una curva γ ⊂ U, que une dos puntos a, b ∈ U, a la integral a
lo largo de la curva, de la 1–forma
ω = iF g , ωE = F · E,
es decir si parametrizamos la curva con el parámetro longitud de arco,
σ : [0, L] → U , σ[0, L] = C, σ(0) = a , σ(L) = b,
y denotamos con T = σ∗(∂/∂t), el vector tangente a la curva C —que
es unitario—, a la integral
L
ω = Fσ(s) · Tσ(s) ds,
de la componente tangencial del campo F .
C
0
Definición. Llamaremos fuerza conservativa a todo campo F ∈ D(R 3 )
con la propiedad de que el trabajo realizado a lo largo de una curva que
une dos puntos, no depende de la curva.
En el ejercicio 5.5.3, pág.295, hemos visto que toda fuerza conservativa
es de la forma F = − grad u, donde llamamos a u el potencial asociado
a F , en cuyo caso el trabajo a lo largo de cualquier σ : [0, ∞) −→ R3 ,
entre los puntos σ(0) = x y σ(t) vale
t
0
F · T dt = −
= −
t
0
t
0
grad u · T dt = −
t
(u ◦ σ) ′ dt = u(x) − u(σ(t)),
0
du(T ) dt = −
t
0
T (u) dt
por lo tanto si u se anula hacia el infinito, el potencial también puede
definirse, en cada punto x ∈ R 3 , como:
“El trabajo que se realiza al desplazar una masa unitaria desde el
punto x al infinito”.

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 761
10.4.1. Potencial Newtoniano.
En la mecánica gravitacional de Newton de una masa puntual M
(localizada en el origen de coordenadas), la función
GM
u(x1, x2, x3) = −
x2 1 + x2 2 + x23 = − GM
r ,
representa el potencial3 debido a la masa M, sobre cada punto x = (xi)
a distancia r de M, pues
Fx = − M
r2
xi ∂
= grad
r ∂xi
M
= − grad u
x2 i
M
Figura 10.3. Fuerza gravitacional producida por una masa M
es la fuerza de atracción gravitacional de Newton que la masa M produce
en el punto x, por unidad de masa.
Según hemos visto en el ejemplo 10.1.1, pág.743, fuera del origen se
tiene que
div F = − div grad u = −∆(u) = M∆(1/r) = 0,
por lo tanto “fuera de la masa el potencial de Newton es una función
armónica.”
En general
u(x) = − m1
− · · · −
r1
mn
, Fx =
rn
pi − x
mi
r3 i
representa el potencial en el punto x debido a n masas mi, en puntos pi
a distancia ri = pi − x de x y la fuerza de atracción respectivamente;
r
3 Para G la constante universal que a partir de ahora tomamos por comodidad
como 1.
F
x

762 Tema 10. La Ecuación de Laplace
y se tiene que
∆u = 0, en R 3 \{p1, . . . , pn},
lím u(x) = −∞, lím u(x) = 0.
x→pi
x→∞
10.4.2. Potencial electrostático.
La Ley de Coulomb dice que dadas dos cargas q y q ′ , en puntos p y
p ′ se atraen (si son de distinto signo) ó repelen (si son del mismo signo),
con una fuerza directamente proporcional al producto de sus cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. La fuerza con la
que q actúa sobre q ′ es (tomando la constante de Coulomb como 1, lo
cual significa elegir ciertas unidades)
F =
qq ′
p − p ′ 2 p ′ − p
p − p ′ .
y sobre la unidad q ′ = 1, de carga positiva en p ′
E =
q
|p − p ′ | 2
p ′ − p
|p − p ′ | .
Definición. A este campo E lo llamamos campo electrostático producido
por esa carga puntual q sobre la unidad de carga positiva en x. Del mismo
modo llamamos potencial electrostático producido por una carga q en el
punto p a la función
u(x) = q
, r(x) = p − x,
r
para la que se tiene E = − grad u. Si consideramos un número finito
de cargas fijas qi, definimos el campo electrostático producido por esas
cargas puntuales sobre la unidad de carga positiva en x como
n n x − pi
(10.6) Ex = Ei =
,
i=1
es decir la suma de las fuerzas Ei producidas por las cargas qi sobre la
unidad de carga positiva en x y llamamos potencial electrostático producido
por las cargas a
n qi
u(x) = ,
i=1
qi
ri
i=1
r 3 i

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 763
para el que también se tiene E = − grad u.
Como antes fuera de las cargas el potencial es armónico, hacia ellas
el potencial tiende a ∞ ó −∞ según la carga sea positiva o negativa y
hacia el infinito el potencial se anula. Recíprocamente se tiene el siguiente
resultado que demostraremos en la página 813.
Teorema de Picard. Si u es una función satisfaciendo las tres propiedades
anteriores entonces es de la forma
u(x) = q1
+ · · · + qn
,
r1
con las qi positivas o negativas en función de que límx→pi u(x) = ∞
ó = −∞.
Nota 10.12 Debemos observar que el potencial de una masa m es −m/r,
mientras que el de una carga q es q/r, esto se debe a que hemos mantenido
el nombre del potencial de masas como el de la energía potencial.
No hay problema en dar la misma definición para ambos, pero hay que
tener en cuenta que la fuerza sobre la unidad de masa positiva (de una
masa positiva) es atractiva mientras que la de una carga positiva sobre
la unidad de carga positiva es repulsiva. Por tanto no definen el mismo
vector. A partir de ahora supondremos que tenemos un problema electrostático
y consideraremos cargas. Sin dificultad se puede reconstruir la
teoría para masas en lugar de cargas.
Definición. Si en lugar de un número finito de cargas, lo que tenemos es
una densidad de carga ρ en R3 , con ciertas propiedades que analizaremos,
entonces definimos el potencial y el campo electrostático como
(10.7) u(x) =
R 3
rn
ρ(y)
dy, E =
x − y
E
q'=1
p'
r
q>0
q

764 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Lema 10.13 Si K es un cerrado y ρ es integrable en K, entonces
ρ
w(x) =
x − y dy
K
es de C ∞ (K c ) y podemos derivarla bajo el signo integral en el abierto K c
y en él w es armónica.
Demostración. Podemos derivar bajo el signo integral (ver Apuntes
de Teoría de la Medida), porque las derivadas están uniformemente
acotadas en un entorno de x ∈ K c , Ux = B(x, r/2) ⊂ B(x, r) ⊂ K c por
funciones integrables, pues para x ′ ∈ Ux, r/2 ≤ d(x ′ , K) ≤ x ′ −y, para
todo y ∈ K, por tanto 1/x ′ − y ≤ 2/r.
wxi(x) = − ρ
K
xi − yi
dy
x − y3
wx1x1 = − ρ
K
x − y2 − 3(x1 − y1) 2
x − y5 dy,
wx2x2 = − ρ x − y2 − 3(x2 − y2) 2
x − y5 dy,
wx3x3 = −
K
K
y se tiene wxixi = 0 en Kc .
ρ x − y2 − 3(x3 − y3) 2
x − y5 dy,
Corolario 10.14 Si ρ ∈ L1(R3 ), es decir es integrable, el potencial electrostático
de densidad de carga ρ, u ∈ C∞ (Kc ), para K = sop ρ; y en el
abierto Kc uxi (x) = −
K
ρ xi − yi
dy, ∆u = ux1x1 + ux2x2 + ux3x3 = 0,
x − y3 por lo tanto en este abierto K c , E = − grad u y u es armónica. (Idem
para el potencial Newtoniano).
Completaremos estos resultados en el epígrafe 10.4.3, de la pág.771.
Ejercicio 10.4.1 Dada una esfera de radio r centrada en O y una carga q en
un punto p, demostrar que existe un único punto p ′ de la recta que une O y p
(que es la imagen de p por la inversión respecto de la esfera) y en él una única
carga q ′ , tal que el potencial debido a las dos cargas es nulo en los puntos de
la esfera.

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 765
Flujo de un campo electrostático a través de una superficie.
Consideremos una carga puntual
q en un punto que podemos considerar
como el origen y sea N el campo
unitario normal exterior a las esferas
centradas en la carga. Por tanto el
campo electrostático definido por la
carga en cada punto x es
Ex = q
N,
x2 q
o
Figura 10.5. Flujo a través de una esfera.
y el flujo (ver pág.981) a través de la esfera de centro q y radio r no
depende del radio, pues es
Sr
E · ∂n ds = q
r 2 Area(Sr) = 4πq,
ya que ∂n = N = H/ | H | en Sr.
Calculemos ahora el flujo a través
de una superficie S = ∂C, que no
contenga la carga (es decir 0 /∈ S)
y sea borde de una variedad con borde
C, para ello observemos que fuera
del origen, div E = 0; y tenemos dos
casos:
S
Sr
q
0
C
E
n
E
N
n E
n
E
n
i) 0 ∈ C y como no está en la
frontera está en el interior y por tanto
hay una bola B = B[0, r] ⊂ C
Figura 10.6. Flujo a través de una superficie.
◦ y el
flujo a través del borde ∂D = S ∪ Sr de D = C\B, es por el teorema de
la divergencia (14.20) (ver pág.982) y ser N = −∂n en Sr,
0 = div E dx = ∂n · E ds = ∂n · E ds − N · E ds ⇒
D
∂D
S
Sr
⇒ ∂n · E ds = 4πq.
S
ii) 0 /∈ C y el flujo es cero por el mismo teorema aplicado a C.
Si ahora tenemos un número finito de cargas puntuales q1, . . . , qn en
puntos p1, . . . , pn, el campo electrostático E ∈ D(R 3 \{p1, . . . , pn}) viene
N
N
E
N
E
N

766 Tema 10. La Ecuación de Laplace
dado por (10.6), siendo su divergencia div E = div Ei = 0. Veamos
cuanto vale su flujo a través de S = ∂C, para una variedad con borde
C, para la que los pi /∈ ∂C, denotando q(C) la carga de C
∂n · E ds = ∂n · Ei ds = 4π
qi = 4π · q(C).
S
S
i:pi∈C
En el caso de una distribución continua de cargas ρ de soporte compacto,
también se tiene el resultado: El flujo a través de S satisface la
Fórmula integral de Gauss
(10.8)
∂n · E ds = 4π ρ(x) dx,
S
la cual equivale —de nuevo por el teorema de la divergencia (14.20) (ver
pág.982)—, a
div E dx = 4π ρ(x) dx,
C
C
lo cual equivale a su variante infinitesimal, que es la ecuación de Gauss
C
div E = 4πρ,
que se obtiene 4 por continuidad considerando un punto x0 y un entorno
C pequeño en el que ρ ∼ ρ(x0) y aplicando la fórmula integral
div E(x0) vol(C) ∼ div E dx = 4π ρ(x) dx ∼ 4πρ(x0) vol(C).
C
La Ecuación de Gauss a su vez equivale, dado que E = − grad u (como
veremos en (10.20), pág.773), a la Ecuación de Poisson que demostraremos
en (10.21), pág.775,
∆u = −4πρ.
Cálculo de un campo electrostático simétrico.
Utilicemos la Fórmula integral de Gauss (10.8), para hacer el cálculo
del campo electrostático definido por una distribución de cargas que sea
4En Teoria de la medida se demuestra que si f y g son funciones medibles con
integral tales que
A f = A g para todo Boreliano A (en Rn con la medida de
Lebesgue basta que se de para los rectángulos A = [ai, bi], productos de intervalos),
entonces f = g casi seguro (y si son continuas f = g).
C

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 767
función de la distancia al origen, ρ(x) = ρ(x), es decir simétrica respecto
de giros con centro en el origen. Además supondremos que ρ tiene
soporte compacto dentro de una bola B[0, R]. En tal caso el campo electrostático
E hereda esta simetría (recordemos que la medida e integral
e Lebesgue son invariante por traslaciones) y es proporcional al campo
unitario normal exterior a las esferas centradas en el origen
∂n = xi
x ∂xi,
y la proporción es constante en cada esfera Sr = {x : x = r}, por
tanto existe λ(x) = λ(x) > 0, tal que E = λ∂n. Veamos cuanto vale
λ, para ello tenemos por la Fórmula integral de Gauss
λ(r)4πr 2
= ∂n · λ∂n ds = ∂n · E ds
Sr
Sr
= Flujo de E a través de Sr = 4π ρ(x) dx
= 4π · q(Br) ⇒ λ(r) = q(Br)
r2 ,
por lo tanto si x /∈ B[0, R], Ex = (q/r2 )∂n, para q = ρ(x) dx, la carga
total de la distribución; y el vector Ex es el mismo que produce una
carga puntual q en el origen, y para los puntos x ∈ B[0, R] el campo es
el mismo que el producido por una carga puntual en el origen con carga
la de la bola de radio r = x, q =
ρ(x) dx.
E=0
Br
Figura 10.7.
En particular se tiene que el campo electrostático producido por una
distribución de cargas ρ = ρ(x) que sea nula en una bola B[0, r] —
por ejemplo si las cargas están entre dos esferas concéntricas—, es nulo
en el interior de la bola de radio r. Lo mismo es cierto en términos
gravitacionales (ρ ≥ 0), si a una esfera rellena, con densidad de masa
función de la distancia a su centro, le quitamos de su interior otra esfera
rellena concéntrica, entonces en el interior no hay gravedad.
E
Br

768 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Potencial superficial simple.
El potencial de una carga de volumen, con densidad ρ viene dado por
ρ(y)
u(x) =
x − y dy,
la cual satisface la Ecuación de Poisson ∆u = −4πρ.
Definición. Consideremos ahora una superficie S ⊂ R3 compacta y una
densidad de carga ρ ∈ C(S). Llamamos potencial superficial simple de
densidad de carga ρ en S a
u(x) =
Se puede demostrar que u ∈
C(R 3 ), u ∈ C ∞ (R 3 \S) y u es armónica
en R 3 \S, ∆u = 0.
Supongamos que ρ ∈ C 1 y que S
es conexa borde de dos abiertos, uno
acotado Ω − (interior) y otro no acotado
Ω + (exterior). Se tiene que las
restricciones de u a Ω− y Ω+ se pueden
extender respectivamente a dos
funciones u − , u + ∈ C 1 (R 3 ) y que pa-
S
ρ(s)
x − s ds.
ra ellas se tiene un resultado análogo a la Ecuación de Poisson en los
puntos de S
∂nu + − ∂nu − = −4πρ,
W +
para ∂n el vector unitario normal exterior a S.
Suponiendo que se verifica la fórmula integral
de Gauss veamos una “justificación”
poco precisa de esta fórmula:
Tomemos un s0 ∈ S y consideremos un
entorno muy pequeño de él en el que S es
casi plana con forma de cuadrado A de área
A. Tomemos en un plano paralelo exterior
al tangente en s0 un cuadrado A + , igual que
el de la superficie y otro interiormente A − a
distancia pequeña y consideremos el parale-
lepípedo definido por A + y A − . Llamemos B a las cuatro caras laterales
de area mucho menor que A y sea N el vector unitario exterior normal
W
-
B
N
A -
A
jn
S
s 0
A
jn
N
jn

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 769
al paralelepípedo. Entonces aplicando la fórmula integral de Gauss al
paralelepípedo y llamando qP a la carga del mismo tendremos que
4πρ(s0)A ≈ 4π ρ(s) ds = 4πqP
Conductores.
A
= Flujo de E a través del paralelepipedo
=
N · E ds
A + ∪B∪A −
=
A +
N · E ds +
A−
N · E ds + N · E ds
B
≈ −
A +
N · grad u ds −
A− N · grad u ds
= −
A +
N · grad u +
ds −
A− N · grad u − ds
= − ∂nu +
ds + ∂nu − ds
A +
A −
≈ (−∂nu + (s0) + ∂nu − (s0))A.
Consideremos un objeto tridimensional de un material conductor
(metálico) Ω, con superficie S = ∂Ω, y supongamos que está en presencia
de un campo eléctrico E inducido por una distribución de cargas
fijas en su exterior.
¿Qué efecto produce el campo eléctrico en Ω?
Un físico diría que lo que se observa es que los electrones de última
capa de los átomos del objeto, que están unidos débilmente a su núcleo,
se mueven en presencia del campo hasta un instante de tiempo en el
que dejan de moverse, lo cual implica que las cargas se concentran en el
borde del que no pueden salir y esta distribución de cargas en S, produce
un campo eléctrico E ′ tal que el campo eléctrico resultante E + E ′ es
nulo en el interior de Ω, pues en caso contrario los electrones seguirían
moviéndose, mientras que en los puntos de S es perpendicular y exterior
a S, por lo mismo.
Potencial superficial de doble capa.
Consideremos ahora dos cargas puntuales iguales pero de tipo contrario:
−q en el origen y q en v y calculemos el potencial que inducen

770 Tema 10. La Ecuación de Laplace
en un punto x, lejano en comparación con la distancia v entre ellas,
de modo que v2 /x2 ∼ 0; en tal caso5 (llamando t = v/x y
x · v = xv cos α y p = qv)
q q q
x
u(x) = − = − 1
x − v x x x2 + v2 − 2xv cos α
= q
1
√ − 1 ∼
x 1 + t2 − 2t cos α q p · x
v · x = .
x3 x3 Esto justifica la siguiente definición.
Definición. Llamaremos función potencial de un dipolo eléctrico de momento
p a
p · x
u(x) = .
x3 Esta función definida en el espacio fuera del origen, es armónica y
cuando x → ∞ converge a 0 como 1/x 2 , además considerando el
campo tangente D = pi∂i, para p = (pi), como grad 1/r = −H/r 3 ,
para H el campo de las homotecias y r(x) = |x|, tendremos que
u(x) =
D · H
r 3
= −D · grad
1
= −D
r
1
.
r
Nota 10.15 Un cálculo similar al anterior prueba que para x, y ∈ R 3 ,
con x lejano de modo que t 2 ∼ = 0, para t = y/x se tiene que
1
x − y ∼ = 1
x
x · y
+ ,
x3 de esto se sigue que lejos de una región Ω que contiene una carga de
densidad ρ (sop ρ ⊂ Ω) con carga total nula, 0 = ρ = ρ + − ρ− =
q + − q− , el potencial eléctrico es aproximadamente el de un dipolo, pues
u(x) =
ρ(y)
x − y dy ∼ =
5 Pues modulo t 2 se tiene
f(t) =
ρ(y)
x
x
dy + ·
|x| 3
1
√ 1 + t 2 − 2ta ∼ 1 + tf ′ (0) = 1 + ta.
ρ(y)ydy =
x · p
,
x3

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 771
para p = ρ(y)y dy = ρ + (y)y dy − ρ− (y)y dy = q + c + − q−c− = q + v,
siendo
q ±
= ρ ± dy, c ± = 1
q ±
ρ ± (y)y dy,
es decir c ± son los centros de masas de la carga positiva y negativa y
v = c + −c − el vector que los une (observemos que por comodidad hemos
tomado q ± ≥ 0 y que la carga total negativa es −q − ).
Si ahora tenemos una colección de dipolos sobre una superficie S borde
de una variedad con borde compacta, con momentos en la dirección de
la normal unitaria exterior ∂n, es natural dar la siguiente generalización
del potencial.
Definición. Llamamos potencial eléctrico de una distribución de doble
capa de momento ρ∂n sobre S a
1
u(x) = − ρ(s)∂n
ds,
S |x − s|
donde para cada s estamos derivando una función de x, con el s fijo, con
un campo de coeficientes constantes que son los de ρ(s)∂ns
10.4.3. Ecuación de Poisson.
A continuación completaremos el estudio iniciado en 10.14, pág.764,
viendo que si la densidad de carga ρ es integrable y acotada, el potencial
u satisface la Ecuación de Poisson: ∆u = −4πρ en los puntos en los que
localmente ρ sea de clase 1.
Pero antes veamos unos resultados previos. (Los primeros unas cuestiones
básicas de Teoría de la medida, consecuencia del Teorema de la
convergencia dominada, que se pueden consultar en la pág.94 de los
Apuntes de Teoría de la medida, http://matematicas.unex.es/
~ricarfr/Tmedida/librotmed.pdf
Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida, A ⊂ R n abierto y
f : A × Ω −→ R,
tal que para cada x ∈ A sea medible la función
f x : Ω −→ R, f x (y) = f(x, y) = f y (x).

772 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Teorema 10.16 (a) Si existe h: Ω → R integrable tal que para todo x ∈
A, |f(x, y)| ≤ h(y), y para cada y ∈ Ω la función x ∈ A → f(x, y) ∈ R
es continua, entonces la función F (x) = f(x, y) dµ es continua en A.
(b) Si para y ∈ Ω, las funciones f y ∈ C k (A) y para cada α ∈ N n ,
con |α| ≤ k existe hα integrable tal que para todo x ∈ A y todo y ∈ Ω,
|D α f(x, y)| ≤ hα(y), entonces F (x) = f(x, y) dµ es de clase k y las
derivadas parciales entran en la integral.
Lema 10.17 Para r(x) = x = x2 1 + x22 + x23 y B[0, L] = {x : x ≤
L}, se tiene que
B[0,L]
1
r n dx1dx2dx3 =
⎧
⎪⎨ 2πL
⎪⎩
2 , si n = 1,
4πL,
∞,
si n = 2,
si n ≥ 3.
Demostración. Consideremos en R 3 el cambio de variable definido
por las coordenadas esféricas
x1 = r sen θ cos ϕ, x2 = r sen θ sen ϕ, x3 = r cos θ,
para las que el Jacobiano es r 2 sen θ, por tanto
B[0,L]
1
dx =
rn 2π π L
0
0
0
r 2−n sen θdrdθdϕ = 4π
L
0
r 2−n dr.
Nota 10.18 Observemos que si ρ es integrable y acotada en los compactos
y f(x, y) es cualquiera de las funciones
1
x − y ,
1
,
x − y2 xi − yi
,
x − y3 se tienen las siguientes propiedades:
1.- Para cada y fijo, f(x, y) es continua en los x = y.
2.- Para todo x0 y todo r > 0, existe una constante c(r), tal que si
x ∈ B[x0, r/2] e y ∈ B[x0, r] c , entonces |f(x, y)| ≤ c(r).
3.- Para todo x0 y todo ɛ > 0 existe un r > 0 tal que para todo
x ∈ B[x0, r]
| f(x, y)ρ(y) dy| ≤ ɛ,
B[x0,r]

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 773
siendo esta última, consecuencia del Lema (10.17), pues para n = 1, 2, y
|ρ| ≤ k en B[x0, 3r]
|ρ(y)| 8kπr
| f(x, y)ρ(y) dy| ≤
dy ≤
B[x0,r]
B[x,2r] x − yn 2 , si n = 1,
8kπr, si n = 2.
y para este tipo de funciones se tiene el siguiente resultado.
Proposición 10.19 Si ρ es integrable y acotada en los compactos y f
es una función que satisface las 3 propiedades anteriores, entonces la
función
u(x) = f(x, y)ρ(y) dy.
es continua (el mismo resultado es cierto si en lugar de una integral de
volumen, tenemos una de superficie o una de linea.)
Demostración. Veamos que es continua en x0 ∈ R3 . Sea ɛ > 0,
entonces por (3) existe un r > 0 tal que si x ∈ B[x0, r], | v(x) |≤ ɛ/3,
para
v(x) = f(x, y)ρ(y) dy.
B[x0,r]
Ahora bien, por (10.16), la función
w(x) =
B[x0,r] c
f(x, y)ρ(y) dy,
es continua en B(x0, r/2), pues el integrado es continuo por (1), y por (2)
está uniformemente acotado por c(r)|ρ(y)|, que es integrable. Por tanto
existe 0 < δ < r/2 tal que si x−x0 ≤ δ, entonces |w(x)−w(x0)| ≤ ɛ/3,
y como u = v + w,
| u(x) − u(x0) | ≤| v(x) | + | v(x0) | + | w(x) − w(x0) |≤ ɛ.
Proposición 10.20 Si ρ es integrable y acotada en los compactos, la función
potencial
u(x) =
ρ(y)
x − y dy,
R 3
es de clase 1 y sus derivadas entran en la integral de modo que E =
− grad u.

774 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Demostración. Por el resultado anterior sabemos que u y las componentes
del campo electrostático E,
ei(x) =
R 3
ρ(y) xi
− yi
dy = −
x − y3 R3
ρ(y)
dy.
x − y xi
son continuas, por lo tanto basta ver que existen las parciales de u y
uxi = −ei (lo veremos para x1, para las otras es análogo).
Sea x0 ∈ R 3 , r > 0 y consideremos las funciones u = v + w, −ei =
fi + gi, para
ρ(y)
v(x) =
dy, w(x) =
B(x0,r) x − y
ρ(y)
fi(x) =
dy, gi(x) =
x − y
B(x0,r)
xi
B(x0,r) c
B(x0,r) c
ρ(y)
x − y dy,
ρ(y)
x − y
Por el Lema (10.13), pág.764, w se puede derivar bajo el signo integral
en B(x0, r) (además es de clase ∞ y armónica en ese abierto), por tanto
wxi = gi. Ahora si x0 = (x1, x2, x3), xt = (x1 + t, x2, x3) ∈ B(x0, r) y
llamamos y − x0 = R y y − xt = Rt, entonces |R − Rt| ≤ |t| (pues
son los lados de un triángulo) y como 2ab ≤ a 2 + b 2 tenemos
|ρ|
|f1(x0)| ≤
dy ≤ k 4πr (para k =
B[x0,r] R2
v(xt) − v(x0)
k |R − Rt|
1
t ≤ dy ≤ k
dy
|t| B[x0,r] RRt
B[x0,r] RRt
≤ k
1 1
+
2 B[x0,r] R2 R2
dy
t
≤ k
1
4πr +
dy ≤ k(2πr + 4πr)
2
B[xt,2r] R2 t
B[x0,r]
xi
dy.
|ρ| dy)
y dado ɛ > 0, podemos hacerlos menores que ɛ/3 tomando r pequeño,
por otra parte tomando t pequeño tendremos que
w(xt) − w(x0)
t
− g1(x0)
≤ ɛ/3,

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 775
por tanto ux1 (x0) = −e1(x0) pues
u(xt) − u(x0)
+ e1(x0)
t
≤
v(xt) − v(x0)
− f1(x0)
t
+
+
w(xt) − w(x0)
− g1(x0)
t
≤ ɛ
Ecuación de Poisson 10.21 Si ρ es integrable, acotada en los compactos
y en un entorno es de clase 1, entonces en ese entorno u es de clase 2 y
en él se tiene
∆u = −4πρ.
Demostración. Tomemos B(x0, r ′ ) un entorno en el que ρ sea de
clase 1 y sea r < r ′ . Si u = v + w como en el resultado anterior,
ρ(y)
ρ(y)
v(x) =
dy, w(x) =
x − y x − y dy,
B(x0,r)
xi
B(x0,r) c
entonces como hemos visto en 10.13, pág.764, w ∈ C∞ y armónica en
el abierto B(x0, r), es decir ∆w = 0 y por el resultado anterior uxi =
vxi + wxi, por otra parte
1
(10.9)
= −
x − y
xi
− yi
1
= −
,
x − y3 x − y
y para D = ∂yi y ω = dy1 ∧ dy2 ∧ dy3, DLω = 0 y para toda función f,
d(fω) = 0 y por el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 tenemos que
(Df)ω = D L
(fω) = d(iDfω) = fiDω = fD · ∂n ds
B
B
B
por lo tanto, para ∂n = [(yi − x0i)/y − x0]∂yi , el vector unitario
normal exterior a las esferas S centradas en x0
vxi =
1
1
ρ
dy = − ρ
dy
B[x0,r] x − y xi
B[x0,r] x − y yi
ρ
ρyi
= −
dy +
B[x0,r] x − y yi B[x0,r] x − y dy
ρ
= −
x − y ∂n
ρyi
· ∂yi ds +
x − y dy.
S[x0,r]
S
B[x0,r]
yi
S

776 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ahora la primera integral, en esta última igualdad, es de clase ∞, por
(10.16), pues el integrando lo es, ya que el denominador, x − y > 0,
si x ∈ B(x0, r) e y ∈ S[x0, r]; y por (10.20) el segundo sumando es de
clase 1 en un entorno de x0, pues ρyi
es continua y por tanto acotada
en los compactos. Además en ambas la derivada entra en la integral y
derivando de nuevo tenemos que
vxixj
= −
=
S[x0,r]
S[x0,r]
1
ρ
x − y
xj
ρ(y) (xj − yj)∂n · ∂yi
x − y 3
∂n · ∂yi
ds +
ρyi
B[x0,r]
1
x − y
ρyi
ds +
B[x0,r]
(y) (yj − xj)
x − y3 dy
siendo estas funciones continuas, por tanto v es de clase 2 en B(x0, r) y
también u.
Para ver la ecuación, tomamos j = i y sumamos en x0
∆v(x0) = − ρ
S[x0,r]
yi − x0i
x0 − y3 ∂n·∂yi
ds+
B[x0,r]
xj
dy
ρyi(yi − x0i)
dy,
x0 − y3 siendo el primer término de la suma anterior (cambiado de signo)
ρ ∂n · ∂n 1
ds =
y − x02 r2
ρ ds → 4πρ(x0),
S[x0,r]
(r → 0)
S[x0,r]
y el segundo, si en B[x0, r], |ρyi | ≤ k, en módulo está acotado por
1
k
dy = 4πkr → 0,
B[x0,r] y − x02 cuando r → 0. Por lo tanto en x0 se tiene ∆u = −4πρ.
Corolario 10.22 Si ρ ∈ C 1 c (R 3 ), u ∈ C 2 (R 3 ) y en todo punto ∆u = −4πρ.
Corolario 10.23 Si ρ ∈ Ck c (R3 ), u ∈ Ck+1 (R3 ) y
uxi =
ρyi
dy,
x − y
∆u = −4πρ.
Demostración. Por (10.20), basta demostrar la primera igualdad,
pues en ese caso uxi es el potencial de ρyi y se repite el argumento. Como

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 777
ρ es de soporte compacto, existe r > 0, tal que K ⊂ B(0, r) y siguiendo
el razonamiento de (10.21)
ρ(y)
u(x) =
B[0,r] x − y dy,
ρ
uxi(x) = −
S[0,r] x − y ∂n
ρyi
· ∂yi ds +
B[0,r] x − y dy
ρyi
ρyi
=
dy =
x − y x − y dy
B[0,r]
pues ρ = 0 en S[0, r] ⊂ K c y ρyi = 0 en B[0, r]c .
Corolario 10.24 Si ρ ∈ C ∞ (R 3 ) y es integrable, u ∈ C ∞ (R 3 ) y ∆u =
−4πρ.
Demostración. Sea x0 ∈ R 3 y veamos que u es de clase infinito en un
entorno de ese punto. Consideremos los abiertos U1 = B(x0, 2r) y U2 =
B[x0, r] c y una partición de la unidad ϕ1, ϕ2 ∈ C ∞ (R 3 ), subordinada a
ellos, por tanto con ϕ1 + ϕ2 = 1 y sop ϕi ⊂ Ui, y consideremos ρi = ϕiρ.
Entonces para ui el potencial de ρi, tendremos que u = u1 + u2 y como
ρ1 es de soporte compacto, u1 ∈ C ∞ , por el resultado anterior, y u2 ∈ C ∞
en B(x0, r), por (10.13), por tanto u es de clase infinito en un entorno
de x0.
Teorema 10.25 Si ρ es integrable, acotada en los compactos y se anula
en el infinito, el potencial u se anula en el infinito.
Demostración. Sea ɛ > 0 y veamos que existe una bola B[0, R] fuera
de la cual u ≤ ɛ. Como ρ es integrable
B[0,n] |ρ(y)| dy ↑ |ρ(y)| dy =
q < ∞, y como además se anula en el infinito, podemos tomar n suficientemente
grande como para que
|ρ(y)| dy < ɛ/3, |ρ(y)| < ɛ/6π, y ∈ B[0, n] c .
B[0,n] c
Ahora tomemos el radio R = 1 + n + 3q/ɛ, un punto cualquiera x0 ∈
B[0, R] c , y la partición del espacio B1 = B[0, n], B2 = B[x0, 1] y B3 =
(B1 ∪ B2) c , entonces
u(x0) =
Bi
ρ(y)
x0 − y , |u(x0)|
≤
Bi
|ρ(y)|
x0 − y .

778 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ahora bien si y ∈ B1, x0 − y ≥ x0 − y ≥ R − n > 3q/ɛ, por tanto
|ρ(y)|
≤ ɛ/3.
x0 − y
por (10.17),
B1
B2
y si y ∈ B3 ⊂ B[0, n] c , x0 − y ≥ 1,
|ρ(y)|
x0 − y ≤
B3
|ρ(y)|
≤ ɛ/3,
x0 − y
B[0,n] c
|ρ(y)| ≤ ɛ/3.
En (10.32), pág.784 veremos que estas dos propiedades del potencial
Newtoniano–Electrostático, lo determinan totalmente, en el sentido de
que es la única función que satisface la ecuación de Poisson y se anula
en el infinito.
Por el resultado anterior, si la densidad ρ es acotada y de soporte
compacto K (por tanto integrable), el potencial
ρ(y)
u(x) =
x − y dy,
tiene la propiedad de converger a cero cuando el punto x tiende hacia el
∞, pero es más si denotamos con q =
ρ dy la carga total, se tiene que
K
para x grande, u(x) ∼ q/x, es decir que en el infinito el potencial de
una densidad de soporte compacto, es como si fuera el de una partícula
con esa carga. Con más precisión se tiene el siguiente resultado.
Teorema 10.26 Se verifica que
lím x · u(x) = q.
x→∞
Demostración. Como u = u + − u − y ρ = ρ + − ρ − , siendo u ±
el potencial de ρ ± , basta demostrarlo para ρ ≥ 0. Sea q =
ρ dy y
K
consideremos un L > 0 tal que K ⊂ B[0, L], en cuyo caso para cada
y ∈ K y x > L, se tiene 0 < x − L ≤ x − y ≤ x + L, por lo
tanto
x x x
≤ ≤
x + L x − y x − L ,

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 779
de donde se sigue multiplicando por ρ e integrando que
x
x + L
y el resultado se sigue.
q ≤ x · u(x) ≤
Densidad dependiente del tiempo
x
x − L
Definición. Por último supongamos que ρ = ρ(t, y), depende del tiempo
t ∈ R, además de y ∈ R 3 . Diremos que es localmente uniformemente
de soporte compacto, si dado cualquier intervalo temporal cerrado [a, b]
existe un compacto K tal que para todo t ∈ [a, b]
sop ρ t = {y ∈ R 3 : ρ(t, y) = 0} ⊂ K.
Teorema 10.27 Si ρ ∈ C∞ (R4 ) y es localmente uniformemente de soporte
compacto, entonces el potencial
ρ(t, y)
u(t, x) =
x − y dy,
es de clase ∞, para cada instante t, ρ t (x) = ρ(t, x) se anula en el infinito
y ∆u = −4πρ.
Demostración. Falta ver que es de clase infinito, el resto de propiedades
se siguen de (10.23) y (10.25).
Veamos en primer lugar que si ρ es de clase 1, su potencial u es
continuo. Dado (t, x) en un entorno de (t0, x0), tenemos que
q
|u(t, x) − u(t0, x0)| ≤ |u(t, x) − u(t0, x)| + |u(t0, x) − u(t0, x0)|,
siendo |u(t0, x) − u(t0, x0)| ≤ ɛ, por la continuidad de u0(x) potencial
de la función continua ρ t0 . Ahora bien por el Teorema del valor medio
|ρ(t, y) − ρ(t0, y)| ≤ |t − t0||ρt(s, y)| ≤ |t − t0|M, para s entre t y t0 y
siendo M una cota de la función ρt de soporte compacto K en un entorno
de t0, por tanto
|ρ(t, y) − ρ(t0, y)|
|u(t, x) − u(t0, x)| ≤
x − y
1
dy ≤ M|t − t0|
K x − y dy.
Por otra parte ∂ m t u es el potencial de ∂ m t ρ, para ello observemos que
para todo t ∈ (a, b) ⊂ [a, b], ρ y todas sus derivadas ∂ m t ρ se anulan

780 Tema 10. La Ecuación de Laplace
en [a, b] × Kc y por continuidad están acotadas en [a, b] × R3 , por una
constante km, por tanto para t ∈ (a, b)
m
|∂t ρ(t, y)|
1
dy ≤ km
dy < ∞,
x − y x − y
y se sigue de (10.16) que
∂ m t u(t, x) =
K
∂ m t ρ(t, y)
x − y dy,
ahora como para cada t, ∂ m t ρ(t, y) son de soporte compacto se sigue de
lo anterior y de (10.23), que
∂ m t D α u(t, x) =
∂ m t D α ρ(t, y)
x − y
es el potencial de la función ∂ m t D α ρ(t, y), por tanto continuo según vimos
al principio.
10.4.4. Otros posibles potenciales.
Nos planteamos ahora el estudio en R n , de las soluciones de ∆ m u = 0,
para u = u(r) y m ∈ N, siendo r = x 2 i .
Teorema 10.28 En R n , u es solución de ∆ m u = 0, para u = u(r), sii
es combinación de las 2m funciones
r 2(k−1) , para 1 ≤ k ≤ m,
r 2k−n f(r), para 1 ≤ k ≤ m, y f(r) =
dy,
log r, 2k − n ≥ 0, n par,
1, en otros casos.
Demostración. Llamemos um a tal función, por tanto si tomamos
u0 = 0, tendremos por inducción que ∆um+1 = um, lo cual equivale en
coordenadas hiperesféricas a
u ′′ m+1 +
n − 1
r u′ m+1 = um.
Ahora bien si consideramos u ′ = y, basta resolver la ecuación diferencial
y ′ + fy = g, para f = (n − 1)/r y g = um —en cuyo caso u = um+1—, lo
cual es inmediato tomando y = zw, pues y ′ + fy = z ′ w + zw ′ + fzw = g

10.4. Potenciales gravitatorio y eléctrico. 781
y basta considerar w la solución de la homogénea w ′ + fw = 0 (en
nuestro caso w = r 1−n ), y z solución de z ′ w = g, es decir z ′ = r n−1 g.
En definitiva, resolvemos z ′ = r n−1 um y después u ′ = zw = zr 1−n .
Para g = u0 = 0 tenemos que z ′ 1 = 0 y u ′ 1 = z1w = k0r 1−n , por tanto
u1 es combinación de
1,
r 2−n , (para n = 2, log r),
Para g = u1, tenemos que u ′ 2 = z2r 1−n , para
por lo tanto
z ′ 2 = r n−1
k1r
u1 =
n−1 + k2r, si n = 2;
k1r + k2r log r, si n = 2; ⇔
k0 + k1r
z2 =
n + k2r2 , si n = 2;
k0 + k1r2 + k2r2 log r, si n = 2;
u ′ 2 = z2r 1−n =
y u2 es combinación de
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k0r 1−n + k1r + k2r 3−n , si n = 2;
k0r −1 + k1r + k2r log r, si n = 2;
1,
r 2 ,
r 2−n , (para n = 2, log r),
r 4−n , (para n = 4, log r y para n = 2, r 2 log r).
Por inducción se tiene que um es combinación de las 2m funciones
r 2(k−1) , para 1 ≤ k ≤ m,
r 2k−n f(r), para 1 ≤ k ≤ m, y f(r) =
log r, 2k − n ≥ 0, n par,
1, en otros casos.
Corolario 10.29 En R n , las soluciones de ∆ k u = 0, para u = u(r) y k ∈
N, cuyos gradientes tienden a cero hacia el infinito son para n = 2k + 1
sólo las potencias impares negativas:
r −1 , . . . , r −(2k−1) .
y para n = 2k el log y las potencias pares negativas:
log r, r −2 , . . . , r −2(k−1) .

782 Tema 10. La Ecuación de Laplace
10.5. Los 3 Problemas.
Como decíamos al principio del Tema, las ecuaciones de ondas (ver
pág.861) y del calor (ver pág.929) se expresan en términos del operador
de Laplace, respectivamente de la forma
a 2 ∆u = utt, K∆u = ut,
por lo tanto si consideramos la solución de la ecuación del calor que
corresponde a la temperatura u de un cuerpo U = U ∪ ∂U, que no varía
con el tiempo (ut = 0), entonces u es solución de la ecuación de Laplace.
En el caso particular de una plancha de anchura constante con superficies
planas aisladas, la temperatura de estado estacionario es una función de
dos variables y satisface la ecuación de Laplace bidimensional. Pero esta
ecuación tiene infinitas soluciones. Para encontrar la temperatura real de
nuestro cuerpo, debemos imponer alguna condición a la ecuación —tipo
frontera, pues inicial no tiene al no depender del tiempo—. Llamaremos:
1.- Problema de valor frontera de Dirichlet,
2.- Problema de valor frontera de Neumann,
3.- Problema de valor frontera mixto,
a cada uno de los problemas consistentes en encontrar la solución de
la ecuación de Laplace satisfaciendo respectivamente, cada una de las
tres condiciones frontera,
(1)
(2)
(3)
u(x) = f(x), para x ∈ ∂U,
∂nu(x) = f(x), para x ∈ ∂U,
[f1u + f2∂nu](x) = f(x), para x ∈ ∂U,
para ∂n el campo tangente a soporte de ∂U, unitario y ortogonal a ∂U.
Por ejemplo una membrana que esté fija a lo largo de una curva
cerrada espacial definida por z = f(x, y), para los puntos (x, y) de una
curva plana ∂U, tendrá una forma invariante por el tiempo, dada por
z = u(x, y), donde u es solución del problema de Dirichlet en el plano
uxx + uyy = 0, u(x, y) = f(x, y), para (x, y) ∈ ∂U.
10.5.1. Principio del máximo. Unicidad.
A continuación veremos el principio del máximo que establece que
una membrana tensa sin vibración (ut = 0), a la que no se le aplica

10.5. Los 3 Problemas. 783
ninguna fuerza externa, no puede estar abultada ni hacia arriba ni hacia
abajo, ó que un objeto con una temperatura en cada punto invariable
en el tiempo tiene las temperaturas extremas en su borde.
Principio del máximo 10.30 Si U es un abierto acotado de R n y u es
una función continua en U y armónica en U, entonces
M1 ≤ u ≤ M2, en ∂U ⇒ M1 ≤ u ≤ M2, en U.
Demostración.- En primer lugar observamos que basta demostrar
una de las desigualdades, pues la otra se obtiene considerando la solución
−u. Daremos sólo la demostración correspondiente a M = M2 y lo haremos
en dos partes. En la primera consideremos v una función continua
en U y de clase 2 en U tal que
∆v > 0, para x ∈ U,
v(x) ≤ M, para x ∈ ∂U,
y demostremos que v ≤ M, en U.
Consideremos el punto p ∈ U en el que v alcanza el máximo, entonces
ó bien p ∈ ∂U, en cuyo caso el resultado se sigue, ó bien p ∈ U, en cuyo
caso se tiene la siguiente contradicción
⎫
∂v
(p) = 0, ⎪⎬
∂xi
∂ 2 v
∂x 2 i
(p) ≤ 0, ⎪⎭
⇒ 0 < ∆v(p) ≤ 0.
En segundo lugar consideremos la función u del enunciado, un ɛ > 0,
un r > 0 tal que U ⊂ B[0, r] y la función en U
n
v(x) = u(x) + ɛ x 2 i ,
por tanto
i=1
∆v = 2nɛ > 0, en U,
v(x) ≤ M + ɛr 2 , para x ∈ ∂U,
y se sigue de la demostración anterior que en U
u(x) ≤ v(x) ≤ M + ɛr 2 ,
y como esto es cierto para todo ɛ > 0, el resultado se concluye.

784 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ejercicio 10.5.1 Demostrar que una función armónica en un abierto U alcanza
el máximo y el mínimo, en cada compacto K ⊂ U, en ∂K.
Ejercicio 10.5.2 Demostrar que una función armónica u en R n que se anule en
el infinito (es decir que para todo ɛ > 0 existe un compacto K, tal que fuera
de K |u| ≤ ɛ), es nula u = 0.
Ejercicio 10.5.3 Demostrar el Teorema de Helmholtz: Un campo tangente
en el espacio que se anule en el infinito está totalmente determinado por su
rotacional y su divergencia.
Ejercicio 10.5.4 Demostrar el Teorema de Helmholtz II: Todo campo D ∈
D(R 3 ) que se anule en el infinito es suma de un campo con divergencia nula y
otro con rotacional nulo.
Del Principio del máximo se sigue fácilmente la unicidad de solución
u del problema de Dirichlet. Mas generalmente se tiene el siguiente
resultado.
Teorema de Unicidad 10.31 Si existe es única la solución u continua
en U y de clase 2 en el abierto de cierre compacto U ⊂ R n del problema
∆u = F, para x ∈ U,
u(x) = f(x), para x ∈ ∂U,
para F una función en U y f en ∂U.
Demostración. Si u1 y u2 son soluciones entonces u = u1 − u2 es
armónica y en la ∂U se anula, por tanto se sigue del principio que u se
anula en todo punto.
Volveremos sobre esta cuestión al final del tema.
Observemos que como consecuencia inmediata del principio del máximo
tenemos la unicidad de solución de la ecuación de Poisson.
Teorema de Unicidad de solución de la Ec. de Poisson 10.32
El potencial 10.7, de densidad de masa ó carga ρ de clase 1, integrable y
que se anula en el infinito es la única función que satisface la ecuación
de Poisson y se anula en el infinito.

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 785
Demostración. Basta considerar la diferencia u de dos posibles soluciones,
la cual es armónica y se anula en el infinito, por tanto para
todo ɛ > 0, |u| ≤ ɛ fuera de una bola de radio r suficientemente grande,
por tanto |u| ≤ ɛ en la esfera de radio r +1 y por el principio del máximo
|u| ≤ ɛ en la bola de ese radio y por tanto en todo el espacio.
Corolario 10.33 Si u ∈ C ∞ c , entonces es el potencial de la densidad ρ =
−∆u/4π.
Demostración. Por ser u ∈ C ∞ c de soporte compacto, también lo es
ρ = −∆u/4π ∈ C ∞ c y su potencial v satisface, como u, la Ecuación de
Poisson. Por la unicidad u = v.
También se sigue la dependencia continua de la solución del problema
de Dirichlet respecto de las condiciones frontera, pues si u1 es
la solución que corresponde a f1 y u2 a f2, entonces u1 −u2 es la solución
que corresponde a f1 − f2 y si
|f1 − f2| < ɛ en ∂U ⇒ |u1 − u2| < ɛ en U.
10.6. Problema de Dirichlet en el plano
10.6.1. Problema Dirichlet en un rectángulo
Consideremos una placa metálica rectangular de la que conozcamos
el valor de su temperatura estacionaria, en el borde. Entonces tal temperatura
es solución del problema de Dirichlet del tipo
uxx + uyy = 0,
u(x, 0) = f1(x), u(x, R) = f2(x), si 0 < x < L,
u(0, y) = f3(x), u(L, y) = f4(x), si 0 < y < R,

786 Tema 10. La Ecuación de Laplace
problema que podemos dividir en cuatro problemas del tipo
uxx + uyy = 0,
u(x, 0) = f1(x), u(x, R) = 0, si 0 < x < L,
u(0, y) = 0, u(L, y) = 0, si 0 < y < R,
en que consideramos que la temperatura es nula sobre tres lados. Y la
solución a nuestro problema inicial es la suma de las cuatro soluciones
particulares. Resolvamos pues uno de estos últimos.
Supongamos que u(x, y) = f(x)g(y) es solución, entonces
f ′′ (x) + λf(x) = 0, f(0) = f(L) = 0,
g ′′ (y) − λg(y) = 0, g(R) = 0,
lo cual implica que las únicas soluciones corresponden a múltiplos (ver
la pág.56) de
f(x) = sen nπx
L ,
g(y) =
R−y
y−R
enπ L nπ − e L
2
R − y
= senh(nπ
L ),
para cada n ∈ N. Las sumas finitas de sus productos son soluciones u y
si existe una suma infinita
∞
R − y nπx
u(x, y) = cn senh(nπ ) sen
L L ,
n=1
que satisfaga u(x, 0) = f1(x), debería ser
f1(x) =
∞
n=1
por tanto debemos elegir (ver la pág.864)
cn senh(nπ R
L ) = bn = 2
L
cn senh(nπ R nπx
) sen
L L ,
L
0
f1(x) sen nπx
L dx,
como los coeficientes de Fourier de la extensión impar de f1 a [−L, L].
Y tenemos así una expresión formal para la solución de nuestro problema
u(x, y) =
∞
n=1
senh(nπ
bn
R−y
L )
senh(nπ R
L )
sen nπx
L ,

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 787
ahora bien si f1 es integrable
|bn| ≤ c = 2
L
L
0
|f1(x)|dx < ∞,
los términos de la serie están acotados por los términos
R−y
y−R
enπ L nπ − e L
c R
R
enπ L − e−nπ L
nπy
−
≤ c e L
≤
c
R
1 − e−2π L
y−R
2nπ 1 − e L
R
1 − e−2nπ L
nπy
−
e L ,
y estos definen una serie que converge para todo y > 0 y la convergencia
es uniforme en los (x, y) con y ≥ y0, para cualquier y0 > 0. De donde
se sigue que nuestra serie converge a una función u continua en [0, ∞) ×
(0, ∞), que satisface las tres condiciones frontera
u(x, R) = 0, u(0, y) = 0, u(L, y) = 0,
por otra parte las series cuyos términos son las derivadas parciales —
respecto de x, y, xx e yy—, de los términos de nuestra serie, también
convergen en [0, ∞) × (0, ∞) y uniformemente en [0, ∞) × [y0, ∞), para
cualquier y0 > 0, por tanto u es de clase 2 y podemos derivarla derivando
término a término la serie y satisface la ecuación de Laplace, pues cada
término de la serie la satisface.
Por último falta demostrar que u es continua en y = 0, para ello
supondremos que f1 es de clase 1, por lo tanto (ver (11.2), pág.865) su
serie de Fourier
sn(x, 0) → f1(x),
converge uniformemente en [0, L], donde estamos considerando
sm(x, y) =
m
n=1
senh(nπ
bn
R−y
L )
senh(nπ R
L )
sen nπx
L ,
por tanto dado un ɛ > 0 existe un N, tal que para m, n ≥ N se tiene
|sn(x, 0) − sm(x, 0)| ≤ ɛ,
pero v = sn − sm es solución de la ecuación de Laplace y satisface las
tres condiciones frontera
v(0, y) = v(L, y) = v(x, R) = 0,

788 Tema 10. La Ecuación de Laplace
para todo 0 ≤ y ≤ R y 0 ≤ x ≤ L, por tanto se sigue del principio del
máximo para la ecuación de Laplace que
|sn(x, y) − sm(x, y)| ≤ ɛ,
para todo (x, y) ∈ [0, L] × [0, R], por tanto sn converge uniformemente a
u en [0, L] × [0, R], u es continua en ese conjunto y obviamente satisface
la cuarta condición de contorno.
En el desarrollo anterior hemos supuesto que f1 se anula en 0 y L, por
lo que este desarrollo sólo justifica la existencia de solución, del problema
general, cuando en el borde del rectángulo consideramos una función que
se anula en los cuatro vértices. Esta exigencia es ficticia como puede ver
el lector en la pág. 118 del Weinberger, donde se demuestra la validez
del resultado en general.
10.6.2. Problema de Dirichlet en un disco
Consideremos ahora el problema de encontrar la temperatura estacionaria
de una placa circular de radio R —centrada en el origen—,
conociéndola en el borde. Tal temperatura es solución del problema de
Dirichlet del tipo
uxx + uyy = 0,
u(x, y) = f(x, y), para x 2 + y 2 = R 2 ,
ahora bien por las características del problema, lo planteamos en coordenadas
polares
∂2u 1 ∂u 1
+ +
∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂2u = 0,
∂θ2 u(R, θ) = f(θ),
Consideremos las soluciones encontradas en (10.2.1), pág.743, de la
forma u = f(ρ)g(θ), entonces como g(0) = g(2π), tendremos que las
únicas soluciones que verifican esto corresponden al valor a = n 2 y como
buscamos soluciones que sean continuas en 0, nos quedan las de la forma
ρ n (c1 cos nθ + c2 sen nθ),
y sus combinaciones finitas. Nos preguntamos entonces si habrá alguna
combinación infinita
(10.10) u(ρ, θ) = a0
2 +
∞
ρ
n (an cos nθ + bn sen nθ),
R
n=1

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 789
tal que para ρ = R coincida con
f(θ) = a0
2 +
∞
(an cos nθ + bn sen nθ),
n=1
para ello basta elegir los coeficientes de Fourier de f en [−π, π].
Ahora bien para ρ < R basta que |f| < ∞ para que la serie (10.10)
y las de las derivadas primeras y segundas (de sus términos) converjan
en el disco abierto y uniformemente en un disco ρ ≤ r, para cualquier
0 < r < R, de donde se sigue que la serie define una función u de clase 2
en el disco abierto de radio R y es solución de la ecuación de Laplace
pues cada término de la serie lo es.
Si ahora suponemos que f es continua, periódica y tiene derivada
continua salvo en un conjunto finito de puntos en los que tiene derivadas
laterales finitas, entonces como vimos en el caso anterior se demuestra,
utilizando el principio del máximo, que la convergencia
sm(ρ, θ) = a0
2 +
m
n=1
ρ
n (an cos nθ + bn sen nθ) → u(ρ, θ),
R
es uniforme en el disco cerrado de radio R y por tanto u es continua y
satisface las condiciones del problema.
En particular obtenemos que la temperatura en el centro del disco
x = 0, y = 0, que corresponde a ρ = 0, vale
u(0, 0) = 1
π
f(x)dx,
2π −π
es decir que la temperatura en el centro del disco es el promedio de la
temperatura en el borde. Propiedad a la que aludimos al principio del
Tema. Observemos que de aquí se sigue el
Teorema del valor medio 10.34 El valor de una función armónica en
el centro de un círculo del plano es el promedio de sus valores en la
circunferencia.
Para lo cual basta hacer una traslación del punto al origen.

790 Tema 10. La Ecuación de Laplace
10.6.3. Fórmula integral de Poisson.
Ahora bien si sólo sabemos que |f| < ∞, tendremos que sm → u
en el disco abierto y si calculamos los valores de an y bn, tendremos
sm(ρ, θ) = 1
π
2π −π
f(x)dx +
+ sen nθ
= 1
π
f(x)
π −π
= 1
π
f(x)
π −π
π
1
2 +
1
2 +
m ρn Rn π
cos nθ
f(x) cos nx dx+
π −π
f(x) sen nx dx
m ρn
(cos nθ cos nx + sen nθ sen nx) dx
Rn n=1
π
−π
n=1
m
n=1
ρn cos n(θ − x)
Rn y para cualquier ρ < R la serie de la derecha converge uniformemente
en x, por lo que tomando límites
u(ρ, θ) = 1
π
1
f(x)
π −π 2 +
∞
ρ
n cos n(θ − x) dx.
R
Ahora bien tenemos que
1
2 +
∞
n=1
ρ
n cos n(θ − x) =
R
1
2 +
= 1 1
+
2 2
= 1 1
+
2 2
∞
n=1
n=1
∞
n=1
dx,
ρ
n e
R
in(θ−x) + e−in(θ−x) =
2
[(ρ/R) e i(θ−x) ] n + [(ρ/R) e −i(θ−x) ] n
(ρ/R) e i(θ−x)
(ρ/R) e−i(θ−x)
+
1 − (ρ/R) ei(θ−x) 1 − (ρ/R) e−i(θ−x) = 1
2 +
Rρ cos(θ − x) − ρ2 ρ2 − 2Rρ cos(θ − x) + R2 =
por lo tanto
R 2 − ρ 2
2[ρ 2 + R 2 − 2Rρ cos(θ − x)] ,
u(ρ, θ) = 1
2π
π
−π
R2 − ρ2 ρ2 + R2 f(x) dx.
− 2Rρ cos(θ − x)

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 791
Esta ecuación llamada Fórmula integral de Poisson es válida para los
ρ < R y nos dice que la temperatura en todo punto del disco puede obtenerse
integrando la temperatura en el borde de una determinada manera.
A menudo calcular esta integral es preferible y nos da un resultado mas
exacto que si calculamos la serie (10.10).
Nota 10.35 Realmente esta ecuación es una consecuencia del teorema
del valor medio (10.34) por lo siguiente: En la lección 10.2.3 vimos que un
difeomorfismo entre dos abiertos del plano, definido por una aplicación
holomorfa conserva las funciones armónicas, por ejemplo para R = 1 y
a = ρ e iθ ∈ C, con |a| = ρ < 1, la aplicación
φ(z) =
z − a
āz − 1 ,
lleva φ(a) = 0, φ(0) = a, el disco unidad en el disco unidad, la circunferencia
en la circunferencia y φ = φ −1 , pues φ[φ(z)] = z. Ahora en
términos del difeomorfismo G: [0, 2π) → S1, G(α) = e iα , que lleva la medida
de Lebesgue m, en la medida de ángulos, tenemos el difeomorfismo
F : [0, 2π) → [0, 2π), que hace el diagrama conmutativo
[0, ⏐2π)
⏐
G
S1
y tendremos que
F
−→ [0, ⏐2π)
⏐
G
φ
−→ S1
⏐α
⏐
−→ F ⏐(α)
⏐
eiα −→ φ(eiα ),
e iF (α) = eiα −a
ā eiα −1
y F transforma la medida de Lebesgue en la medida µ(A) = m[F −1 (A)] =
pues
= m[F (A)] =
A
F ′
(α)dα =
iF ′ e iF (α) = i eiα (ā e iα −1) − (e iα −a)āi e iα
(ā e iα −1) 2
A
1 − ρ 2
1 + ρ 2 − 2ρ cos(α − θ) dα,
F ′ eiα −a
ā e iα −1 = eiα (ā eiα −1) − (e iα −a)ā
(ā e iα −1) 2 = e iα ρ 2 − 1
(ā e iα −1) 2
F ′ (α) =
ρ2 − 1
(1 − a e−iα )(ā eiα −1) =
1 − ρ2 1 + ρ2 − 2ρ cos(θ − α) .
⇒
⇒

792 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ahora si f = φ ∗ g es armónica en el disco unidad, también lo es g y
para g(α) = g(e iα ) y f(α) = f(e iα ), f = F ∗ g y aplicando (10.34) a la
función g, tenemos que
f(a) = g[φ(a)] = g(0) = 1
2π
π
−π
g(y) dy = 1
π
f(x)F
2π −π
′ (x) dx.
Para el resultado en el disco de radio R se considera para a = ρ e iα ,
con ρ < R, la medida anterior con ρ/R < 1 en lugar de ρ.
Por último para ρ < R podemos derivar indefinidamente los términos
de la serie (10.10) y las series de estas derivadas convergen en el
disco unidad abierto y uniformemente en un disco ρ ≤ r, para cualquier
0 < r < R, de donde se sigue que la serie define una función u de clase
infinita en el disco unidad abierto. Pero es más, se sigue de la proposición
(10.37), que u es una suma infinita en n, de polinomios homogéneos de
grado n, en (x, y), por tanto u es analítica en el origen y (10.10) es su
serie de Taylor en el origen. Del mismo modo toda función u armónica
en un abierto del plano es analítica en ese abierto. Para verlo basta
considerar un punto del abierto (x0, y0) y un disco en el abierto, de
centro el punto. Los argumentos anteriores muestran que u es igual —en
el círculo abierto— a su serie de Taylor en (x0, y0).
Teorema de Liouville 10.36 Una función armónica en R n no puede estar
acotada superiormente (ni inferiormente) a menos que sea constante.
Demostración. Lo veremos para n = 2. El caso general lo veremos
en (10.47), pág.806. Basta demostrar una de las dos afirmaciones pues la
otra se obtiene considerando la función cambiada de signo. Sin perdida de
generalidad podemos suponer que nuestra función armónica está acotada
inferiormente por 0, es decir que u ≥ 0, en tal caso consideremos un punto
cualquiera x y un radio R tal que x ∈ B(0, R), en tal caso la fórmula de
Poisson nos permite expresar
u(x) = u(ρ, θ) = 1
π
R
2π −π
2 − ρ2 ρ2 + R2 u(R, ξ)dξ,
− 2Rρ cos(θ − ξ)
y como se tiene que para todo 0 ≤ ρ < R
R − ρ
R + ρ ≤
R2 − ρ2 ρ2 + R2 R + ρ
≤
− 2Rρ cos(θ − ξ) R − ρ ,

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 793
y que u ≥ 0, tendremos que
R − ρ
u(R, ξ) ≤
R + ρ
e integrando
R − ρ 1
R + ρ 2π
π
R 2 − ρ 2
ρ 2 + R 2 − 2Rρ cos(θ − ξ)
−π
R + ρ 1
u(R, ξ)dξ ≤ u(x) ≤
R − ρ 2π
R + ρ
u(R, ξ) ≤ u(R, ξ),
R − ρ
π
y por el teorema del valor medio para funciones armónicas
R − ρ
R + ρ
u(0) ≤ u(x) ≤
R + ρ R − ρ u(0),
y haciendo R → ∞, u(x) = u(0) y el resultado se sigue.
10.6.4. Polinomios de Tchebycheff.
−π
u(R, ξ)dξ,
Finalizamos analizando las funciones encontradas en esta lección.
Proposición 10.37 Se tiene que ρ n cos nθ y ρ n sen nθ, son polinomios
armónicos homogéneos en (x, y), de grado n.
Demostración. Basta considerar la parte real y la imaginaria de
ρ n (cos nθ + i sen nθ) = (ρ e iθ ) n = (x + iy) n =
n
m=0
n
x
m
n−m (iy) m .
Proposición 10.38 Para cada n existe un polinomio Tn de grado n, llamado
polinomio de Tchebycheff , tal que Tn(cos θ) = cos nθ y tienen las
siguientes propiedades:
i) Tn ◦ Tm = Tnm
ii) Tn es solución de la ecuación diferencial
(1 − x 2 )y ′′ − xy ′ + n 2 y = 0.
iii) T0/ √ 2, T1, T2,. . ., son ortonormales para el producto interior
< f, g >= 2
1
π −1
1
f(x)g(x) √
1 − x2 dx.

794 Tema 10. La Ecuación de Laplace
iv) Satisfacen la regla de recurrencia
Tn+1 = 2xTn − Tn−1.
v) T2n(x) = Tn(2x2 − 1).
vi)
1 − tx
=
1 − 2tx + t2 vii) Tn(cosh x) = cosh nx.
∞
Tn(x)t n .
Demostración. Tomando en el resultado anterior para ρ = 1, los
términos pares m = 2k y siendo x = cos θ, y = sen θ
Tn(cos θ) = cos nθ =
(−1)
2k≤n
k
n
x
2k
n−2k y 2k
=
(−1) k
n
x
2k
n−2k (1 − x 2 ) k = Tn(x).
2k≤n
i) Tn[Tm(cos θ)] = Tn[cos mθ] = cos nmθ = Tnm(cos θ).
ii) Para |x| ≤ 1 se sigue fácilmente derivando dos veces Tn(cos θ) =
cos nθ, pues
n=0
−T ′ n(cos θ) sen θ = −n sen nθ,
T ′′
n (cos θ) sen 2 θ − T ′ n(cos θ) cos θ = −n 2 cos nθ.
y para el resto de x se sigue porque (1 − x 2 )T ′′
n − xT ′ n + n 2 Tn es un
polinomio de grado n que se anula en todo [−1, 1] por tanto en todo R.
iii) Es fácil ver que < T0, T0 >= 2 y para el resto < Tm, Tn >= δnm,
pues haciendo el cambio de coordenadas x = cos θ, tenemos que
1
−1
1
f(x) √ dx =
1 − x2 π
0
f(cos θ) dθ,
y para fm(θ) = cos mθ = Pm(cos θ) y para n = m no nulos
< T0/ √ √ √ π
nπ
2
2
2, Tn > = cos nθ dθ = cos θ dθ = 0,
π 0
nπ 0
< Tn, Tm > = 2
π
cos nθ cos mθ dθ = 0,
π
0

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 795
pues f ′ k (π) = f ′ k (0) = 0 para cada fk que además es solución de y ′′ +
m 2 y = 0, por tanto
(m 2 − n 2 )fmfn = f ′′
nfm − f ′′ mfn = (f ′ nfm − f ′ mfn) ′ ,
esto prueba la ortogonalidad de Tn y Tm para n = m. Ahora para calcular
< Tn, Tn > basta observar que
π
0
cos 2 nθ dθ = (1/n)
nπ
0
cos 2 θ dθ = (1/n)
nπ
0
sen 2 θ dθ,
y se tiene que < Tn, Tn >= 1, pues la suma de las integrales anteriores
que son iguales es
(1/n)
nπ
0
1 dθ = π,
y su semisuma que es π
0 cos2 nθ dθ = π/2.
iv) Se tiene que
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β ⇒
⇒ cos(nθ + θ) + cos(nθ − θ) = 2 cos θ cos nθ,
por lo tanto tomando x = cos θ
v) Para x = cos θ
Tn+1 = 2xTn − Tn−1.
T2n(cos θ) = cos 2nθ = Tn(cos 2θ) = Tn(2 cos 2 θ − 1).
vi) Utilizando la fórmula de recurrencia
y sumando tenemos
t n+1 Tn+1 − 2xtt n Tn − t 2 t n−1 Tn−1 = 0,
(1 − 2tx + t 2 )
∞
Tn(x)t n = 1 − tx.
n=0
vii) Por inducción y la fórmula de recurrencia pues para T0 = 1 y
T1 = x se verifica y si hasta n se verifica Tn(cosh x) = cosh nx, para
n + 1 también pues
x −x
x −x nx −nx (n−1)x −(n−1)x
e − e e − e e − e e − e
Tn+1
= 2
−
2
2
2
2
= e(n+1)x − e−(n+1)x .
2

796 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Corolario 10.39 Para cada n, ρ n Tn(cos θ) son polinomios homogéneos
armónicos de grado n en x, y.
Veremos propiedades muy parecidas en el análisis del problema de
Dirichlet en la esfera (ver 10.6.6, pág.797)
Ejercicio 10.6.1 Resolver la ecuación ∆u = 0, considerando las condiciones:
1) u(1, θ) = cos 2 θ,
2) u(1, θ) = sen 3 θ.
10.6.5. Problema de Dirichlet en la esfera
Consideremos la temperatura estacionaria en una esfera de radio 1
con una temperatura determinada en su superficie, es decir consideremos
el problema de Dirichlet
uxx + uyy + uzz = 0,
u(x, y, z) = F (x, y, z), para x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Dadas las características del problema planteamos el problema en
coordenadas esféricas
x = ρ sen θ cos ϕ, y = ρ sen θ sen ϕ, z = ρ cos θ,
en las que el laplaciano hemos visto que vale (ver pág.755)
∆ = ∂2 2
+
∂ρ2 ρ
∂
∂ρ
1
+
ρ2 2 ∂ 1
+
∂θ2 sen2 θ
∂2 1
+
∂ϕ2 tan θ
∂
∂θ
Vamos a considerar el caso en que F es constante en ϕ, es decir que
es una función F (θ). Por tanto empezamos buscando soluciones de la
forma
u(ρ, θ, ϕ) = f(ρ)g(θ),
en cuyo caso f y g deben satisfacer la ecuación
′′ ′
2 f g′
ρ + 2ρf = −g′′ −
f f g g tan θ ⇒
ρ 2 f ′′ + 2ρf ′ − λf = 0,
g ′′ +
cos θ
sen θ g′ + λg = 0,

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 797
la primera de las cuales es una ecuación de Euler y la segunda es
(g ′ sen θ) ′ + λg sen θ = 0,
y si hacemos el cambio de coordenadas x = cos θ y llamamos y(x) = g(θ),
esta ecuación se transforma en la Ecuación de Legendre
(10.11) (y ′ (1 − x 2 )) ′ + λy = 0 ⇒ (1 − x 2 )y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,
10.6.6. La Ecuación de Legendre.
Si buscamos una solución de esta ecuación por el método de las potencias
tendremos
y(x) =
∞
cnx n ,
n=0
y ′ ∞
(x) = cnnx n−1 , −2xy ′ ∞
(x) = − 2cnnx n ,
n=0
n=0
n=0
y ′′ ∞
(x) = cnn(n − 1)x n−2 , −x 2 y ′′ ∞
(x) = − cnn(n − 1)x n ,
y al sustituir en la ecuación e igualar a 0, tendremos que los coeficientes
de la serie son todos nulos, es decir
n=0
λcn − 2ncn + (n + 2)(n + 1)cn+2 − n(n − 1)cn = 0,
y de aquí obtenemos la fórmula de recurrencia
cn+2 =
n(n + 1) − λ
(n + 1)(n + 2) cn,
de la que obtenemos todos los términos pares a partir de c0 por
siendo
c 2(n+1) = anc2n = anan−1c 2(n−1) = · · · =
an =
2n(2n + 1) − λ
(2n + 1)(2n + 2) ,
n
aic0,
i=0

798 Tema 10. La Ecuación de Laplace
y por tanto
c 2(n+1) =
n
i=0
2i(2i + 1) − λ
(2i + 1)(2i + 2) c0 =
n
c0
[2i(2i + 1) − λ]
(2n + 2)! ,
y de un modo similar obtendríamos los términos impares, a partir de c1.
Observamos que si
λ = n(n + 1),
para algún n par, entonces hay un polinomio solución, que se llama
Polinomio de Legendre de orden n, que denotamos con Pn (el único que
satisface Pn(1) = 1), y que sólo tiene términos pares, pues los coeficientes
pares se anulan a partir del n + 1 y todos los coeficientes impares se
anulan si tomamos c1 = 0. Y lo mismo si n es impar, tomando c0 = 0.
Esta solución polinómica Pn está definida en todo R, en particular en el
x = 1 —recordemos que x = 1 corresponde a θ = 0—.
Si por el contrario λ no es de esa forma, todos los coeficientes pares
son no nulos a menos que c0 = 0 y los coeficientes impares también son
no nulos a menos que c1 = 0. En cuyo caso la serie converge para |x| < 1,
para lo cual basta aplicar por separado el criterio del cociente a las series
formadas por los términos impares y por los pares. En cualquier caso las
series no convergen en x = 1. Por tanto sólo nos interesa el valor de
λ = n(n + 1) para el que la ecuación de Legendre correspondiente
tiene solución Pn.
Estos polinomios Pn tienen las siguientes propiedades:
Fórmula de recurrencia.
Pn+1(x) =
Fórmula de Rodrigues.
i=0
2n + 1
n + 1 xPn(x) − n
n + 1 Pn−1(x),
Pn(x) = 1
2n d
n!
n
dxn (x2 − 1) n ,
y además son ortogonales para el producto interior de L2[−1, 1], es decir
1
0, para n = m
Pn · Pm = Pn(x)Pm(x)dx =
−1
2
2n+1 , para n = m.
(remitimos al lector interesado en estas propiedades a las página 243 y
493 del libro de Derrick–Grossman). La ortogonalidad se sigue fácilmente
considerando que son solución, para λn = n(n+1), de la ecuación

10.6. Problema de Dirichlet en el plano 799
de Legendre (10.11) (1 − x2 )P ′′
n − 2xP ′ n = −λnPn y desarrollando
(λn − λm) PnPm =
=
[(1 − x 2 )P ′′
m − 2xP ′ m]Pn − [(1 − x 2 )P ′′
n − 2xP ′ n]Pm
1
[(1 − x
−1
2 )(P ′ mPn − PmP ′ n)] ′ = 0.
Por otra parte que su norma al cuadrado es 2/2n + 1 se sigue de que es
cierto para P0 = 1 y por inducción utilizando la fórmula de recurrencia
P 2 n+1 =
Pn+2Pn =
2n + 1
n + 1 xPnPn+1 − n
n + 1 Pn−1Pn+1,
2n + 2
n + 2 xPn+1Pn
n + 1
−
n + 2 P 2 n(x),
y el que son ortogonales. Observemos que estos polinomios se pueden
definir recurrentemente del siguiente modo, Pn es el único polinomio de
grado n que satisface:
— Tiene la misma L2–norma y el mismo valor en 1 que el polinomio
mónico x n (Pn(1) = 1 n = 1) y es ortogonal al espacio generado por los
polinomios anteriores
En−1 =< 1, x, x 2 , . . . , x n−1 >=< 1, P1, · · · , Pn−1 > .
Las series de Fourier–Legendre, es decir del tipo
∞
anPn(x),
n=0
son muy importantes para aproximaciones numéricas, pues en primer
lugar si h = Qn es un polinomio de grado n existe una representación
única
n
Qn = amPm(x),
m=0
donde dadas las propiedades de ortogonalidad de los Pm, los coeficientes
son necesariamente
am = Qn · Pm
,
Pm · Pm
y si h es una función de L2 (en particular si es continua) y elegimos los
mismos coeficientes
am =
h · Pm
,
Pm · Pm

800 Tema 10. La Ecuación de Laplace
que llamamos coeficientes de Fourier–Legendre relativos a h, tendremos
que para cada n el polinomio
pn(x) =
n
amPm(x),
m=0
es de grado n y h − pn es ortogonal al espacio En generado por los
polinomios de grado ≤ n, pues
(h − pn) · Pi = (h −
n
amPm(x)) · Pi = h · Pi − aiPi · Pi = 0,
m=0
y por lo tanto pn es la aproximación óptima (por mínimos cuadrados)
de h entre los polinomios p ∈ En, de grado ≤ n, pues por lo anterior
(h − pn) · p = 0, por lo tanto h · p = pn · p y
(h − p) · (h − p) = h · h − 2h · p + p · p
= h · h − 2pn · p + p · p
= h · h − pn · pn + (pn − p) · (pn − p),
y la expresión alcanza el valor mínimo cuando p = pn.
Volviendo a nuestro problema inicial, consideremos el caso en que
λ = n(n + 1), para el que tenemos las ecuaciones
ρ 2 f ′′ + 2ρf ′ − n(n + 1)f = 0,
(g ′ sen θ) ′ + n(n + 1)g sen θ = 0,
las cuales tienen solución —aplicando también en la primera el método
de las potencias—
y las combinaciones finitas de
f(ρ) = ρ n , g(θ) = Pn(cos θ),
ρ n Pn(cos θ),
son soluciones. Ahora es de esperar que eligiendo convenientemente coeficientes
ci, la serie
∞
cnρ n Pn(cos θ),
n=0

10.7. Teoremas fundamentales 801
converja a una solución que para ρ = 1 coincida con F (θ). Y esto es
así, si F es continua, eligiendo los cn como los coeficientes de Fourier–
Legendre de h(x) = F (θ). Remitimos al lector a la página 206 del
Weinberger, para los detalles.
De modo similar a lo visto en (10.39), pág.796, se demuestra por
inducción que cada ρ n Pn(cos θ) es un polinomio, pues por ejemplo para
los tres primeros P0 = 1, P1 = x y P2 = 3x 2 /2 − 1/2, se tiene
ρ 0 P0 = 1, ρP1(cos θ) = z, ρ 2 P2(cos θ) = 3z2
2 − x2 + y2 + z2 .
2
Proposición 10.40 Para cada n, ρ n Pn(cos θ) es un polinomio homogéneo
armónico en x, y, z.
Demostración. Por inducción utilizando la fórmula de recurrencia,
pues si hasta n, ρ n Pn es polinomio de grado n también ρ n+1 Pn+1, pues
ρ n+1 2n + 1
Pn+1 =
n + 1 cos θρn+1Pn − n
n + 1 ρ2ρ n−1 Pn−1,
ρ n+1 2n − 1
Pn = cos θρ
n
2 ρ n−1 n − 1
Pn−1 −
n ρ3ρ n−2 Pn−2.
Por último es de señalar que (ver pág. 208 del Weinberger)
∞
ρ n 1
Pn(cos θ) = ,
1 + ρ2 − 2ρ cos θ
n=0
fracción de la que hemos desarrollado algunos términos en la pág.769.
10.7. Teoremas fundamentales
Consideremos dos abiertos U, Ω ⊂ R n , con Ω ⊂ Ω ⊂ U una variedad
con borde, cuyo borde S = ∂Ω esté en las condiciones del Teorema
de Stokes, (14.12), pág.974, por ejemplo que sea una variedad (n − 1)–
dimensional salvo en un conjunto de medida nula. Nuestro interés radica

802 Tema 10. La Ecuación de Laplace
en estudiar la unicidad de solución de los tres problemas enunciados en
la pág.782, para la ecuación algo más general
∆u = P · u,
para P ≥ 0 una función de U no negativa.
10.7.1. Identidades de Green.
Recordemos que para cada función f y cada campo E,
div(fE) = grad f · E + f div E,
∆f = div grad f,
y que si T es un campo tangente y ∂n es el campo unitario ortogonal
exterior a S, entonces
iT ω |S = (T · ∂n)i∂n ω,
pues eligiendo D1 = ∂n, D2, . . . , Dn una base ortonormal de campos bien
orientada, con D2, . . . , Dn tangentes a S, tendremos T = (T · Di)Di
y si h es tal que en S, iT ω = hi∂nω, entonces aplicando ambos lados a
D2, . . . , Dn tendremos
h = ω(T, D2, . . . , Dn) = T · D1 = T · ∂n,
por lo que dadas dos funciones u, v ∈ C1 (U), tendremos por el Teorema
de Stokes, (14.12), pág.974, llamando D = grad u,
v ∂nu ds = v(D · ∂n) ds =
∂Ω
∂Ω
(vD) · ∂n i∂n
∂Ω
ω
= ivDω = d(ivDω) = div(vD) ω
∂Ω
C
Ω
= (grad v · grad u + v∆u) ω.
Ω
En definitiva tenemos la Primera identidad de Green,
(10.12)
(grad v · grad u + v∆u) dx = v(∂nu) ds,
Ω
∂Ω

10.7. Teoremas fundamentales 803
de donde se sigue la Segunda identidad de Green
(10.13)
(v∆u − u∆v) dx = [v(∂nu) − u(∂nv)] ds,
Ω
(donde recordemos que ∂n debe ser ortonormal y exterior a Ω) y por lo
tanto si u y v son armónicas tendremos que
(10.14)
v(∂nu) ds = u(∂nv) ds.
∂Ω
Corolario 10.41 Sea u ∈ C 1 (U) y armónica en Ω ⊂ Ω ⊂ U, entonces
∂Ω
∂Ω
u = 0 en S = ∂Ω ⇒ u = 0 en Ω
∂nu = 0 en S = ∂Ω ⇒ u = cte en Ω.
Demostración. Tomando u = v en la identidad de Green.
10.7.2. Unicidad de solución en PVF
Tras estos preliminares vamos a estudiar en que casos podemos asegurar
la unicidad de solución del PVF 6
(10.15) ∆u = P · u,
satisfaciendo una de las tres condiciones frontera
u = f,
∂nu = f,
∂nu + αu = f,
en ∂Ω,
en ∂Ω,
en ∂Ω, para α > 0,
(de existir). (En 10.7.5, pág.807 veremos que la unicidad en el primero
se da en condiciones generales para el borde, sin que sea variedad.)
Supongamos que hay dos soluciones u1 y u2, entonces u = u1 − u2
satisface la misma ecuación ∆u = P u, con la correspondiente condición
frontera para f = 0. Entonces en cualquiera de las tres condiciones
frontera tendremos que
(grad u · grad u + P u 2
)ω = u(∂nu) i∂nω,
Ω
6 PVF=problema con valores frontera
∂Ω

804 Tema 10. La Ecuación de Laplace
y para la primera y segunda condiciones tendremos que, por ser P ≥ 0
n 2 ∂u
+ P u
∂xi
2
ω = 0 ⇒
n
2 ∂u
+ P u
∂xi
2 = 0,
Ω
i=1
lo cual implica que u es constante y si en un punto x ∈ Ω es P (x) > 0,
entonces u(x) = 0 y por ser constante u = 0, por tanto la solución es
única, mientras que en el caso P = 0 tendremos que u es constante pues
tiene todas las derivadas nulas, por lo tanto u = 0 para la primera condición
frontera y es constante para la segunda, es decir que dos soluciones
del problema de Newmann difieren en una constante. Para la tercera
condición frontera tenemos que
∂nu = −αu ⇒
Ω
n
∂u
i=1
∂xi
2
+ P u 2
i=1
ω + αu
∂Ω
2 i∂nω = 0,
y tenemos que u = 0 en ∂Ω y como por otra parte u es constante,
tendremos que u = 0 y la solución es única.
Ejercicio 10.7.1 (1) La solución u para la ecuación 10.15, con P > 0, no puede
alcanzar un máximo positivo ni un mínimo negativo en el abierto acotado Ω.
(2) Como consecuencia demostrar la siguiente versión del principio del máximo:
si M1 ≤ u ≤ M2 en ∂Ω, con M1 < 0 y M2 > 0, entonces M1 ≤ u ≤ M2 en
Ω. (3) Comprobar que para M1 < M2 arbitrarias en general no es cierto el
resultado. (4) Demostrar que (de existir) la solución u, es continua respecto
de su valor f en la frontera.
10.7.3. Teorema de Gauss
En los términos de la lección anterior tenemos que para v = 1 en
10.12, se tiene
∂nu ds = ∆u dx,
∂Ω
Ω
lo cual también es consecuencia del Teorema de la divergencia (14.20),
pág.982, e implica el siguiente resultado.
Teorema de Gauss 10.42 Si u ∈ C1 (U) es armónica en Ω, con Ω ⊂ U,
entonces
∂nu ds = 0.
∂Ω

10.7. Teoremas fundamentales 805
Ejercicio 10.7.2 Demostrar que si denotamos con ∂n el campo unitario normal
exterior a las esferas centradas en el origen, entonces
vol[S(0, r)] = i∂nω = r n−1
i∂nω = r n−1 vol[S(0, 1)].
S(0,r)
S(0,1)
Fórmula de representación de Green 10.43 Sea u una función armónica
en un abierto U ⊂ Rn , entonces para cada x ∈ U y cada variedad
con borde C ⊂ U, con x ∈ V = ◦
C se tiene: para n ≥ 3 y v(x, y) =
1/x − y n−2
u(x) =
1
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds,
(n − 2) vol[S(0, 1)] ∂C
y para n = 2 y v = log(1/x − y),
u(x) = 1
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds.
2π
i=1
∂C
Demostración. (Haremos la demostración para n = 2). Sea x ∈ U
y r > 0 tal que B[x, r] ⊂ V y consideremos una variedad con borde
Ω = C\B(x, r), con borde ∂C ∪S(x, r). Ahora si ∂n es el campo unitario
y ortogonal exterior al borde, que en S(x, r) apunta hacia el interior de
la esfera y por tanto es −H, para
n
yi − xi ∂
2 − n
H =
⇒ Hv =
x − y ∂yi
x − yn−1
,
se sigue del Teorema de Gauss y de (10.14), por ser v armónica fuera de
x, que
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds = [v(Hu) − u(Hv)] ds =
∂C
S(x,r)
= n − 2
rn−1
u ds ⇒
S(x,r)
1
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds =
(n − 2) vol[S(0, 1)] ∂C
1
=
rn−1
u ds
vol[S(0, 1)] S(x,r)
1
=
u ds −→ u(x),
vol[S(x, r)]
cuando r → 0.
S(x,r)

806 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Nota 10.44 Observemos que el resultado anterior dice que en dimension
n = 3 toda función armónica u es
u(x) = 1
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds,
4π
∂C
suma de un potencial de capa simple en ∂C, de densidad ∂nu/4π y de
un potencial de capa doble de momento −u/4π.
10.7.4. Teoremas del valor medio
Teorema del valor medio I 10.45 El valor de una función armónica de
un abierto U, en un punto, es el valor medio de la función sobre la
superficie de una bola centrada en el punto que esté dentro de U.
Demostración. Por el resultado anterior pues la primera expresión
no depende de r, por tanto la última es constante en r.
Teorema del valor medio II 10.46 El valor de una función armónica de
un abierto U, en un punto, es el valor medio de la función en una bola
centrada en el punto, que esté dentro de U.
Demostración. Es una simple consecuencia del resultado anterior
unido a que para cualquier función f
∂
f ω = f i∂n
∂r B(x,r)
S(x,r)
ω.
demostrado en el ejercicio (11.4.1), pág.892, pues se tiene que
u(x) ∂
ω = u(x) i∂nω
∂r B(x,r)
S(x,r)
= u i∂nω = ∂
∂r
y el resultado se sigue integrando.
S(x,r)
B(x,r)
u ω,
Corolario. Teorema de Liouville 10.47 Toda función armónica en R n
no negativa es constante.

10.7. Teoremas fundamentales 807
Demostración. Si m es la medida de Lebesgue y m(B) la medida
de la bola unidad, m(B[x, r]) = rnm(B) y por el resultado anterior se
tiene
1
u(x) =
rn
u dm,
m(B)
B(x,r)
por tanto para x = y, z = (x + y)/2 y A∆B = (A ∩ Bc ) ∪ (Ac ∩ B)
1
|u(x) − u(y)| =
rnm(B) |
u dm − u dm|
B(x,r)
B(y,r)
1
=
rnm(B) |
B(x,r)∩B(y,r) c
u dm −
B(y,r)∩B(x,r) c
u dm|
1
≤
rn
m(B) B(x,r)∆B(y,r) c
u dm
1
≤
rn
u dm
m(B)
B(z,r+x−y)\B(z,r−x−y)
= u(z)m(B)((r + x − y)n − (r − x − y) n
rnm(B)
n
n x − y
x − y
= u(z) 1 + − 1 − → 0 si r → ∞,
r
r
lo cual implica que u(x) = u(y).
Ejercicio 10.7.3 Principio del máximo. Demostrar como consecuencia del
teorema del valor medio que si u es armónica en un abierto conexo U: (i) Si
alcanza un máximo (ó mínimo) en U, entonces es constante. (ii) Que si U es
acotado y u ∈ C(U), entonces u alcanza el máximo y el mínimo en ∂U (sin
condiciones de regularidad).
Ejercicio 10.7.4 Demostrar que si U es un abierto acotado y u ∈ C(U), entonces
para S = ∂U arbitrario
∆u = 0, en U, u|S = 0 ⇒ u = 0.
Ejercicio 10.7.5 Problema de Dirichlet. (i) Unicidad. Demostrar que dada
una función f ∈ C(∂U), para U abierto conexo acotado, si existe es única
la función armónica en U, u ∈ C(U), que satisface u = f en ∂U (sin condiciones
de regularidad). (ii) Dependencia continua. Demostrar que si existe la
solución ui del Problema de Dirichlet para f = fi (i = 1, 2), entonces para la
norma infinito (del supremo) respectivamente en U y en S = ∂U, se tiene que
u1 − u2∞,U ≤ f1 − f2∞,S.

808 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ejercicio 10.7.6 Demostrar que toda función armónica en R n integrable es
nula.
Ejercicio 10.7.7 Demostrar que si u es el potencial de una densidad de cargas
ρ ∈ C 1 c (R 3 ) y q = ρ, es la carga total, entonces el valor medio de u en
cualquier esfera de radio r que contenga toda la carga es q/r.
10.7.5. Recíproco del Teorema del valor medio
A continuación veremos que las funciones armónicas son las únicas
que tienen la propiedad del valor medio, pero antes veremos unos resultados
previos.
Si consideramos en Rn el campo de las homotecias H = xi∂xi y en
el abierto denso An complementario del cerrado C = {x1 ≥ 0, x2 = 0},
las coordenadas hiperesféricas
F = (ρ, θ1, . . . , θn−1): An ⊂ R n → (0, ∞) × (0, 2π) × (0, π) n−2
xn = ρ cos θn−1,
xn−1 = ρ cos θn−2 sen θn−1,
.
.
x2 = ρ cos θ1 sen θ2 · · · sen θn−1,
x1 = ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−1,
para ρ = x 2 i , entonces Hρ = ρ y Hθi = 0 (pues Hxn = xn, Hρ = ρ,
por lo que Hθn−1 = 0 y por inducción sabiendo que Hxi = xi). Por
tanto H = ρ∂ρ y N = ∂ρ = H/ρ es el campo unitario ortogonal exterior
a las esferas centradas en el origen.
Denotaremos por φ = (θ1, . . . , θn−1): S ′ = An ∩ Sn−1 → (0, 2π) ×
(0, π) n−2 el difeomorfismo que nos da los ángulos correspondientes a los
puntos de la esfera unidad. En cuyo caso F (x) = (ρ, φ(x/ρ))
Proposición 10.48 En los términos anteriores existe una única n − 1–
forma,
Θn−1 = f(θ1, . . . , θn−1)dθ1 ∧ · · · ∧ dθn−1,
que sólo depende de las variables angulares θi, tal que para ωn = dx1 ∧
· · · ∧ dxn,
iNωn = ρ n−1 Θn−1, ωn = ρ n−1 dρ ∧ Θn−1.

10.7. Teoremas fundamentales 809
Demostración. Definimos Θn−1 = ρ 1−n iN ωn (por la primera igualdad)
y para ver que no depende de ρ basta demostrar que
iN Θn−1 = 0, N L Θn−1 = 0.
Lo primero es obvio y lo segundo, tomando D = ρ1−nN para el que
div D = (xi/ρn )xi = 0, se sigue pues
N L Θn−1 = N L (iDωn) = iN d(iDωn) + d(iN(iDωn))
= iN d(iDωn) = iN(D L ωn) = (div D)iNωn = 0.
La segunda igualdad del enunciado se sigue de que dρ ∧ ωn = 0, por
tanto
0 = iN(dρ ∧ ωn) = ωn − dρ ∧ iNωn.
En estos términos se tiene que en la esfera unidad Sn−1 ⊂ Rn , la
medida estándar está dada por esta n − 1–forma,
σ(A) = iNωn = ρ
A
A
n−1
(10.16)
Θn−1 = Θn−1
A
=
f(θ)dθ1 . . . dθn−1,
φ(A)
Corolario 10.49 Para toda función g diferenciable7 e integrable en Rn ,
∞
g(x)dx1 · · · dxn = g(ρy)ρ n−1 dσdr.
0
Sn−1
Demostración. Por el resultado anterior (10.48), tenemos para g =
F ∗ (˜g), que
g(x)dx = gωn = gρ
An
An
n−1 dρ ∧ Θn−1
=
˜gρ n−1 f(θ)dρdθ1 · · · dθn−1
=
(0,∞)×(0,2π)×(0,π) n−2
∞
0
S ′
˜gρ n−1 dσ dρ.
7 Remitimos al lector interesado en este resultado en el contexto de Teoría de la
Medida, a nuestros Apuntes de Teoría de la Medida.

810 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Lema 10.50 Toda función u ∈ C(Ω), continua en un abierto Ω ⊂ Rn ,
que satisfaga la propiedad del valor medio en todo punto x ∈ Ω, es decir
que para todo r > 0, tal que B[x, r] ⊂ Ω, satisfaga
1
u(x) =
u(y) dy,
mn−1[S(x, r)] S(x,r)
es de clase ∞.
Demostración. Consideremos una función no negativa f ∈ Cc(R),
con sop f ⊂ (−1, 1) y ϕ: R n → R, ϕ(x) = f(|x|), tal que ϕ(x) dx =
1 (esa integral sería un número positivo a y bastaría considerar f/a).
Entonces sop ϕ ⊂ B[0, 1] y para las funciones ϕɛ(x) = ɛ −n ϕ(ɛ −1 x) de
soporte sop ϕɛ ⊂ B[0, ɛ] y por lo tanto la función en y, ϕɛ(x − y) tiene
el soporte en la bola B[x, ɛ], por lo tanto si consideramos r > 0 tal que
B[x, r] ⊂ Ω y ɛ = r/2, entonces para todo p ∈ B(x, ɛ), la función en y,
ϕɛ(p − y) tiene el soporte en la bola B[p, ɛ] ⊂ B[x, r], además
u(p) = u(p)
= u(p)
=
=
=
1
0
1
0
1
0
1
0
ϕ(x) dx = u(p)
1
0
f(r)r n−1 mn−1[S(0, 1)]dr =
ϕ(ry)r
S[0,1]
n−1 dy
1
u(p)f(r)ɛ 1−n mn−1[S(0, ɛr)] dr
ɛ
S(0,ɛr)
1−n
u(p − y) dy f(r) dr
u(p − ɛry)r n−1
f(r) dydr =
=
S(0,1)
u(p − x)ϕ(ɛ
B(0,ɛ)
−1 x)ɛ −n dx =
= u(x)ϕɛ(p − x) dx,
0
dr
u(p)f(r)mn−1[S(0, r)] dr
B(0,1)
u(p − ɛx)ϕ(x) dx
u(p − x)ϕɛ(x) dx
y se puede derivar bajo el signo integral cuantas veces queramos pues
ϕɛ ∈ C ∞ c y el resultado es una función continua, por tanto u es de clase
∞.

10.7. Teoremas fundamentales 811
Teorema 10.51 En los términos del Lema anterior toda función u continua
que satisfaga la propiedad del valor medio en todo punto de su
dominio abierto Ω, es armónica en él.
Demostración. Por el resultado anterior u es de clase 2, por tanto
basta demostrar que ∆u = 0. Sea p ∈ Ω y r ′ > 0 tal que B[p, r ′ ] ⊂ Ω,
entonces para r ≤ r ′ la propiedad del valor medio implica que
S[0,1]
u(p + ry) dy = r 1−n
S[0,r]
u(p + y) dy = u(p)mn−1(S[0, 1]),
por lo que se tiene para N el campo unitario exterior normal a las esferas
centradas en p
0 = d
dr
=
S[0,1]
S[0,1]
= r 1−n
u(p + ry) dy =
S[0,1]
yiuxi(p + ry) dy =
S[p,r]
Nu(y) dy = r 1−n
∂
u(p + ry) dy
∂r
−1
r yiuxi(p + y)r 1−n dy
S[0,r]
B[p,r]
∆u(x) dx,
y como esto es cierto para todo punto p y toda bola tendremos ∆u = 0.
10.7.6. Regularidad de las funciones armónicas
A continuación demostraremos que toda función armónica es analítica
real.
Lema 10.52 Si u es armónica en un abierto U ⊂ R n en el que está acotada
|u(x)| ≤ C, entonces para cada x ∈ U
|D α u(x)| ≤ C
n
|α|
|α|
δ
|α| ,
para δ = mín{x − y : y ∈ ∂U} = d(x, U c ).

812 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Demostración. Lo haremos por inducción en |α|. Para |α| = 1 sea
r < δ y apliquemos el teorema del valor medio a la función armónica uxi
1
uxi (x) =
uxi
vol[B(x, r)] B(x,r)
ω
1
=
rn
L
∂
(uω)
vol[B(0, 1)] B(x,r) ∂xi
1
=
rn
i ∂ (uω)
vol[B(0, 1)]
∂x
S(x,r) i
1
=
rn
u <
vol[B(0, 1)]
∂
, ∂n > i∂n
∂xi
ω,
S(x,r)
ahora por el ejercicio (11.4.1), pág.892, tenemos que
1
|uxi (x)| ≤
rn
|u|i∂n
vol[B(0, 1)] S(x,r)
ω
≤
C
r n vol[B(0, 1)] nrn−1 vol[B(0, 1)] = C
n
,
r
y como esto es cierto para todo r < δ el resultado se sigue.
Supongamos ahora que el resultado es cierto para todo |β| = k − 1,
con k ≥ 2 y demostrémoslo para |β| = k, para ello consideremos r <
δ = d(x, U c ), un |β| = k − 1 y un y ∈ B[x, r/k], entonces la distancia
δy = d(y, U c ) ≥ r − r/k y por la hipótesis de inducción se tiene que
|D β |β|
n
u(y)| ≤ C |β|
δy
|β|
≤ C
nk
(k − 1)r
k−1
(k − 1) k−1 = C
k−1 nk
,
r
y aplicando de nuevo el teorema del valor medio como en la primera
parte, en la B[x, r/k], tendremos que
| ∂
D
∂xi
β u(x)| ≤ C
k−1
nk n
= C
r r/k
n
k k
r
k ,
y como esto es cierto para todo r < δ el resultado se sigue.
Teorema 10.53 Si u es una función armónica en un abierto U, entonces
u ∈ C ω (U).

10.7. Teoremas fundamentales 813
Demostración. Por nuestro teorema de caracterización de las funciones
analíticas, basta demostrar que para cada compacto K ⊂ U existen
constantes M, r > 0 tales que para todo multiíndice α y x ∈ K
|D α u(x)| ≤ Mr −|α| |α|!.
Ahora bien se sigue de la fórmula de Stirling que existe una
constante k > 0 tal que para todo m ∈ N
m m ≤ k e m m!,
por lo tanto se sigue del lema anterior que tomando
M = Ck, r = d(K, U c )
,
e ·n
se tiene en K que
|D α
n
u(x)| ≤ C
d(K, U c |α|
|α|
)
|α|
n
≤ C
d(K, U c |α|
k e
)
|α| |α|!
= Mr −|α| |α|!.
10.7.7. Teorema de Picard
Como consecuencia de (10.43) también podemos demostrar el siguiente
resultado sobre potenciales Newtonianos–Electrostáticos.
Teorema de Picard 10.54 Si u es una función armónica en un abierto
U = R 3 \{p1, . . . , pn} satisfaciendo
lím u(x) = ∞, ó = −∞,
x−pi→0
y que existe un λ0 > 0, tal que para cada p ∈ R 3 , con p = 1, la
función u(pi + λ −1 p) es estrictamente creciente (ó decreciente) en λ ≥
λ0. Entonces en U
u(x) = q1
+ · · · + qn
+ v(x),
con v armónica en R 3 las qi ∈ R y ri(x) = x − pi.
r1
rn

814 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Demostración. De la hipótesis se sigue que para todo M > 0, existe
un ɛ > 0 tal que
y − pi ≤ ɛ ⇒ u(y) ≥ M, ó u(y) ≤ −M,
y diremos que el punto pi es “positivo” en el primer caso y “negativo”
en el segundo.
Sea x ∈ U y consideremos un r > x y un δ < x − pi tales que
B = ∪ n i=1B(pi, δ) ⊂ ∪ n i=1B[pi, δ] ⊂ B(0, r),
ahora consideremos el máximo Mr de |u| en B[0, r]\B (el cual se alcanza
en el borde) y para M > Mr consideremos las n superficies
Si = {y ∈ B[pi, δ]: u(y) = M},
(si pi es positivo y . . . u(y) = −M si es negativo). Tales superficies son
el borde de {y ∈ B[pi, δ]: u(y) ≥ M}, que contiene a pi en su interior.
Consideremos el dominio C limitado por las superficies S(0, r) y las Si,
en cuyo interior está x y apliquemos el teorema (10.43), tendremos por
tanto que
u(x) = 1
4π
= 1
4π
∂C
S(0,r)
+ 1
4π
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds+
n
i=1
Si
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds,
donde v(y) = 1/x − y. Ahora derivando el primer sumando
ū(x) = [v(∂nu) − u(∂nv)] ds,
S(0,r)
respecto de las xi y observando que en el integrando ni u ni ∂nu dependen
de x, vemos que es una función armónica en {x = r}, además que no
depende de r por la segunda identidad de Green (10.13) ya que ∆u =
∆v = 0 en {r ≤ x ≤ r ′ }, por tanto ū es armónica en R3 . El otro
sumando, por ser u = cte y el teorema de Gauss es
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds = v(∂nu) ds,
Si
Si

10.8. Armónicos esféricos 815
ahora como Si → {pi} cuando M → ∞ y por el teorema de Gauss la
Si ∂nu ds = ki no depende de M, pues u es armónica entre dos superficies
Si del punto pi, correspondientes a dos valores de M, tendremos
que
ki
lím v(∂nu) ds = v(pi)ki =
M→∞ Si
x − pi ,
y para qi = ki/4π se sigue el resultado.
Corolario 10.55 En las condiciones anteriores si además u se anula en
el infinito, es decir lím x→∞ u(x) = 0, entonces v = 0 y
u(x) = q1
+ · · · + qn
.
Demostración. Es un simple ejercicio.
10.8. Armónicos esféricos
r1
Veamos de donde salen los polinomios homogéneos armónicos que
hemos visto en (10.39), pág.796 y en (10.40), pág.801.
Sea Pk el espacio de los polinomios homogéneos de grado k en R n y
sea
Hk = {u ∈ Pk : ∆u = 0}, Hk = {u |S : u ∈ Hk}
es decir los polinomios homogéneos armónicos y su restricción a la esfera
unidad. A estos últimos los llamamos armónicos esféricos de grado k.
La aplicación restricción de Hk → Hk es isomorfismo pues tiene inversa
que es
rn
u → u(x) = |x| k
x
u .
|x|
Ahora para r 2 = x 2 i ∈ P2 se tiene el siguiente resultado.
Proposición 10.56 Pk = Hk ⊕ r 2 Pk−2.
Demostración. Consideremos el siguiente producto escalar en Pk,
para P, Q ∈ Pk, P = cαx α y DP = cαD α
< P, Q >= DP (Q) ∈ R,

816 Tema 10. La Ecuación de Laplace
obviamente es lineal en cada componente, y para P = x α , Q = x β , se
tiene (ver el ejercicio (8.2.2), pág.608)
por tanto en general,
< x α , x β >= D α x β =
α!, si β = α
0, si β = α.
< cαx α , dαx α >= α!cαdα,
y es un producto interior. Por último se tiene que si P ∈ Pk−2 y Q ∈ Hk,
entonces
< r 2 P, Q >=< P, ∆Q >,
y Q es ortogonal a todos los r 2 P sii es armónica, lo cual significa que
r 2 Pk−2 tiene como complemento ortogonal a Hk, ahora basta considerar
para cada elemento de Pk su proyección ortogonal en r 2 Pk−2 y su
diferencia está en Hk.
Corolario 10.57
Pk = Hk ⊕ r 2 Hk−2 ⊕ r 4 Hk−4 ⊕ · · ·
Corolario 10.58 La restricción a la esfera unidad de un polinomio homogéneo
de grado k es una suma de polinomios homogéneos armónicos
de grados k − 2i.
Lema de Euler 10.59 Para H ∈ D(R n ) el campo de las homotecias y
f ∈ Pk, Hf = kf.
Demostración. Basta derivar respecto de t, en t = 1, en la igualdad
f(tx) = t k f(x).
Teorema 10.60 Sea S la esfera unidad de R n , entonces L2(S) = ⊕ ∞ k=0 Hk,
donde la suma directa es ortogonal respecto del producto escalar de L2(S).
Demostración. Por (10.58) y el Teorema de aproximación de Weierstrass
(ver Folland), el subespacio generado por los armónicos esféricos
es denso en L2(S). Basta demostrar que si fj ∈ Hj y fk ∈ Hk, entonces
< fj, fk > L2(S)= 0. Sean Fj ∈ Hj y Fk ∈ Hk respectivamente sus extensiones
armónicas, entonces por la segunda identidad de Green, el Lema

10.9. Principio de Dirichlet 817
de Euler y para B la bola unidad centrada en el origen y S la esfera,
como H = ∂n para la esfera
0 = (Fj ∆Fk − Fk ∆Fj) = (Fj(HFk) − Fk(HFj)
B
S
= (j − k) fkfj.
S
10.9. Principio de Dirichlet
En los términos de la lección 10.7.2, se tiene.
Definición. Llamamos integral de Dirichlet en Ω de una función u a
I(u) = < grad u, grad u > ω.
Ω
El siguiente resultado establece que si entre todas las funciones v
definidas en un abierto Ω, que coinciden en ∂Ω, hay alguna armónica,
esta alcanza el mínimo de las integrales de Dirichlet, I(v).
Principio de Dirichlet 10.61 Si ∆u = 0 y u = v en ∂Ω, entonces
I(u) ≤ I(v).
Demostración. En primer lugar tenemos como consecuencia de la
ecuación (10.12), pág.802, que si u es armónica y u − v = 0 en ∂Ω,
entonces
< grad(u − v), grad u > ω = 0,
lo cual implica que I(u) =
U
0 ≤ I(u − v) = I(u) − 2
= I(v) − I(u).
U
< grad v, grad u > ω y por tanto
U
< grad v, grad u > ω + I(v)

818 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Por otra parte observemos que nuestro funcional I(u) corresponde al
problema variacional definido por la lagrangiana
pues queremos minimizar
I(u) =
Ω
L(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn) = z 2 i ,
< grad u, grad u > ω =
Ω
n
u 2
xi ω =
i=1
U
L(xi; uxi)ω
y la Ecuación de Euler–Lagrange correspondiente es precisamente la
Ecuación de LaPlace,
∂
Lzi
∂xi
(xi, uxi ) = 0 ⇔ uxixi = 0.
por tanto si el mínimo se alcanza en una función u, esta satisface la
ecuación de Euler-Lagrange, por tanto la de LaPlace y u es armónica.
Por otra parte observemos que entre las funciones de C1 (Ω) ∩ C2 (Ω)
podemos definir un producto interior
u · v = grad u · grad v,
si identificamos funciones que difieran en una constante, pues
0 = u · u = | grad u| 2 ⇒ uxi = 0 ⇒ u = cte.
Ω
En estos términos nuestro problema original consistente en encontrar
(para S = ∂Ω), la solución de
∆u = 0 en Ω, u |S = f,
para una función dada f ∈ C 1 (S), se reduce a considerar el subespacio
afín
A = {u ∈ C 1 (Ω) : u |S = f},
y el subespacio (dirección del anterior)
V = {u ∈ C 1 (Ω) : u |S = 0},

10.10. Introducción a las distribuciones 819
para los que A = u0 + V, para cualquier u0 ∈ A; y para ellos encontrar
el u ∈ A de mínima norma
u = √
u · u = | grad u| 2 dx.
Si nuestro espacio prehilbertiano, en el que hemos definido el producto
interior, fuese completo y nuestro subespacio cerrado, el problema
estaría resuelto. Pero no es así y el problema debemos afrontarlo de otro
modo.
10.10. Introducción a las distribuciones
Sea U ⊂ R 3 un abierto y consideremos el espacio de las funciones en
U de clase infinito y soporte compacto
C ∞ c (U) = {f : U → R : f ∈ C ∞ (U), sop f compacto},
el cual tiene una estructura topológica natural, pues si consideramos
para cada compacto K ⊂ U,
C ∞ 0 (K) = {f ∈ C ∞ c (U), sop f ⊂ K},
en el que consideramos la topología de la convergencia uniforme de las
funciones y de todas sus derivadas (ver pág.8), en cuyos términos
con la topología límite inductivo.
C ∞ c (U) = ∪K⊂U C ∞ 0 (K) = lím
−→ C ∞ 0 (K),
Definición. Llamamos distribución (en el sentido de Analisis Funcional)
a todo funcional lineal y continuo en este espacio
Ω
Φ: C ∞ c (U) → R.
Denotamos con D(U) el espacio de las distribuciones.

820 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ejemplo 10.10.1 Sea h ∈ C(U) ó h ∈ L1 (U), entonces
h: C ∞
c (U) → R, h(ρ) = ρ · h dx,
es una distribución. Esto nos induce a dar la siguiente definición.
Definición. Dada una distribución Φ ∈ D(U), para cada ρ ∈ C∞ c (U)
denotaremos
Φ(ρ) = ρ · Φ dx.
U
Ejemplo 10.10.2 Con esta notación tendremos que la medida de Dirac
en y δy, que es la distribución δy(ρ) = ρ(y), satisface
ρ(y) = ρ · δy dx.
U
Ejemplo 10.10.3 Del mismo modo para r(x) = x − y, e y ∈ U, no
está definida 1/r en U como función, pero si como distribución siendo
U
ρ · 1
dx = u(y),
r
para u la función potencial de densidad de carga ρ.
Ahora si f ó g ∈ C∞ c (U) entonces
fgxi dx = −
esto justifica la siguiente definición.
U
U
U
fxig dx,
Definición. Dada una distribución Φ definimos su derivada parcial respecto
de xi como la distribución que sobre cada ρ ∈ C∞ c (U) vale
Φxi(ρ) = ρΦxi dx = − ρxiΦ dx = −Φ(ρxi).
U
Por tanto una distribución es infinitamente diferenciable y para todo
operador diferencial lineal P de orden m
P (Φ)(ρ) = ρP (Φ) dx = (−1) m
P (ρ)Φ dx = (−1) m Φ[P (ρ)],
U
en particular para el operador de Laplace
∆(Φ)(ρ) = ρ∆(Φ) dx = ∆(ρ)Φ dx = Φ[∆(ρ)].
U
U
U
U

10.10. Introducción a las distribuciones 821
Lema 10.62 Para y ∈ U y r(x) = x − y, como distribución se tiene
1
∆ = −4πδy.
r
Demostración. Es consecuencia de (10.33) y de (10.10.2) pues si
u ∈ C∞ c (U) tendremos que u es el potencial de ρ = −∆u/4π y
1
1
∆u
∆ (u) = u · ∆ dx =
r
r
r dx
U
= −4πu(y) = −4πδy(u).
Esta propiedad es útil para comprobar ciertas igualdades, como la
fórmula integral de Green, pues si utilizamos la segunda igualdad de
Green (ver pág.803), que es válida para distribuciones, tendremos que
para v = 1/r
Ω
∆u
lo cual implica
4πu(y) +
r
∂nu
− u∆1 dx =
r
∂Ω r
Ω
∆u
r =
∂nu
∂Ω r
U
1
− u∂n ds,
r
1
− u∂n ds,
r
10.10.1. Método de la función de Green
Sea Ω ⊂ R 3 un abierto acotado con S = ∂Ω una superficie diferenciable
de clase 1 y consideremos un punto y ∈ Ω.
Definición. Llamamos Función de Green relativa al punto y a una función
gy ∈ C(Ω\{y}), que cumple
1.- gy(x) = 1
x−y + v, para v ∈ C(Ω) una función armónica en Ω.
2.- gy|S = 0.
La cuestión es si tal función existe y si existe si es única.
Unicidad de la función de Green. Observemos que su existencia equivale
a la existencia de la función v solución del problema de Dirichlet
particular
∆v = 0 en Ω, v |S = − 1
x − y ,

822 Tema 10. La Ecuación de Laplace
la cual ya sabemos que de existir es única, lo cual prueba la unicidad de
la función de Green.
Existencia de la función de Green (punto de vista Físico). Ahora la
existencia de tal función, Green la obtuvo con los siguientes argumentos
de naturaleza Física:
Consideremos el exterior de Ω como un conductor y en el punto y
consideremos una carga q = 1. El campo electrostático producido por la
carga mueve los electrones del conductor hasta un momento en el que se
quedan quietos y se produce una distribución de cargas en el borde S,
que junto con la carga en y produce un campo E = − grad u, que en el
conductor es nulo, por lo tanto el potencial es constante y es nulo pues
las cargas están acotadas, por tanto el potencial se anula en el infinito. El
potencial está producido por una carga puntual y por una distribución
de carga en S de capa simple, es decir
u = 1
+ v,
r
para v el potencial de capa simple, el cual es armónico fuera de S, en
particular en Ω y u se anula en Ω c , en particular en S. Por lo tanto este
potencial u = gy es la función de Green.
Esto no es una demostración (matemática) pero si es una justificación
que nos convence de la veracidad del teorema de existencia.
Observemos que de existir tal función de Green verifica en términos
de distribuciones que
∆gy = ∆ 1
+ ∆v = −4πδy,
r
además de existir esta solución particular del Problema de Dirichlet, lo
podemos resolver en general, pues:
1.- Problema de Dirichlet. Caso homogéneo.- Dada f ∈ C(S),
buscamos u ∈ C(Ω), tal que
∆u = 0 en Ω, u |S = −4πf.
Si u existe tendremos por la segunda identidad de Green (ver pág.803),

10.10. Introducción a las distribuciones 823
para v = gy que
(gy∆u − u∆gy) dx = (gy∂nu − u∂ngy) ds,
Ω
S
− u∆gy dx = 4π f∂ngy ds,
Ω
S
(10.17)
u(y) = f∂ngy ds,
que es la Fórmula integral de Poisson.
2.- Problema de Dirichlet. Caso no homogéneo.- Dada f ∈
C(S) y ρ ∈ C(Ω), buscamos u ∈ C(Ω), tal que
∆u = −4πρ en Ω, u |S = −4πf.
De nuevo si u existe tendremos por la segunda identidad de Green,
para v = gy que
(10.18)
Ω
(gy(−4πρ) − u∆gy) dx = − u∂ngy ds,
S
u(y) = gyρ dx + f∂ngy ds,
Ω
El método combinado de la función de Green y las distribuciones
muestra su extraordinaria eficacia al ofrecernos una definición para la
única candidata que resuelve el problema de Dirichlet (dada respectivamente
por las ecuaciones (10.17) y (10.18)). La cuestión que resta es
demostrar que esta función “señalada” realmente satisface las propiedades.
La de que u es armónica en el caso homogéneo la veremos mas
adelante, pero antes necesitamos demostrar que la función de Green es
simétrica.
Proposición 10.63 Sean y, z ∈ Ω, entonces
S
S
gy(z) = gz(y).
Demostración. (Por distribuciones) Usemos la segunda identidad
de Green para v = gy y u = gz
(gy∆gz − gz∆gy) dx = (gy∂ngz − gz∂ngy) ds = 0
Ω
S

824 Tema 10. La Ecuación de Laplace
lo cual implica que gy(z) = gz(y).
(Demostración clásica) Tomemos dos bolas By y Bz, centradas en
y y z de radio pequeño ɛ y sean Sy y Sz sus esferas. Consideremos la
región Ω ′ = Ω\(By ∪ Bz) y apliquemos la segunda identidad de Green
para v = gy y u = gz
(gy∆gz − gz∆gy) dx = (gy∂ngz − gz∂ngy) ds,
Ω ′
ahora como en Ω ′ , ∆gz = ∆gy = 0 y en S, gy = gz = 0,
gy∂ngz ds = gz∂ngy) ds
Sy∪Sz
S ′
Sy∪Sz
y basta desarrollar uno de los dos lados. Si gy = 1/ry + v tendremos que
gy∂ngz ds =
1
+ v ∂ngz ds
Sy
= 1
ɛ
= 1
ɛ
Sy
Sy
By
ry
∂ngz ds +
∆gz dx +
Sy
Sy
v∂ngz ds
v∂ngz ds = 0
el primer sumando es nulo por ser gz armónica en By y el segundo porque
v ∼ v(y) en By y como antes
∂ngz ds =
Sy
By
∆gz dx = 0
y desarrollando lo que falta como en Sz, gy → gy(z) cuando ɛ → 0, se
tiene que
pues la integral
Sz
gy∂ngz ds = 4πgy(z),
Sz ∂ngz ds es constante en ɛ, (por el teorema de Gauss)
pues entre dos esferas centradas en z de radios ɛ ′ < ɛ, la gz es armónica
y vale, para gz = 1/rz + w y ∂n el campo normal unitario interior de la
esfera centrada en z, por tanto ∂n(1/rz) = 1/r 2 z y
Sz
∂n
1
rz
+ w ds = 1
ɛ2 m2[Sz]
+
Sz
∂nw ds = 4π,

pues w es armónica en Bz.
10.10. Introducción a las distribuciones 825
Ahora como para cada y ∈ Ω, gy ∈ C(Ω\{y}) y acabamos de ver que
gy(z) = gz(y), podemos definir gy para todo y ∈ Ω y en definitiva para
la diagonal D = {(y, z) ∈ Ω × Ω : y = z}, definimos la que también
llamaremos función de Green
G: (Ω × Ω)\D → R, G(y, z) = gy(z),
para la que fijado z, gy(z) = gz(y) = (1/z − y) + v es armónica en
y ∈ Ω\{z} y se sigue el siguiente resultado.
Corolario 10.64 La función de la Fórmula integral de Poisson
u(y) = f∂ngy ds,
encontrada en el primer problema de Dirichlet, es armónica.
0.
S
Demostración. Se sigue de lo anterior y de que ∆y∂ngy = ∂n(∆ygy) =
En cuanto a la segunda condición, de que u |S = −4πf, es mas difícil
y la veremos en dos casos particulares: cuando Ω es el semiespacio y
cuando es una bola de radio r.
Ejemplo 10.10.4 Problema de Dirichlet para el semiespacio. Consideremos
en R 3 , Ω = {x3 > 0} y S = ∂Ω = {x3 = 0}, aunque se sale fuera
de los casos considerados pues Ω no es un abierto acotado (por ejemplo
no hay unicidad en el problema
∆u = 0, en Ω, u |S = 0,
pues lo satisface tanto u = 0 como u = x3).
No obstante busquemos la función de Green correspondiente, para
cada y ∈ Ω
gy(x) =
1
+ v(x),
x − y
para v armónica en Ω y g y|S = 0. Para ello seguiremos el método
de las imágenes, que consiste en considerar una carga q = 1 en el
punto y cuyo potencial es 1/x − y y considerar otra carga en un lugar
adecuado (fuera de Ω para que sea armónica en Ω), de modo que su
potencial anule al anterior en los puntos de S. Para ello basta considerar

826 Tema 10. La Ecuación de Laplace
en y = (y1, y2, −y3) otra carga igual y de signo contrario q ′ = −1, el
potencial conjunto de ambas cargas es
gy(x) =
1
x − y −
1
x − y
pues obviamente x − y = x − y para todo x ∈ S y v(x) = 1/x − y
es armónica en Ω.
Ahora consideremos la solución sugerida por Green: Consideremos
que Ω c es un conductor, cuyos electrones, en presencia de la carga q = 1
en el punto y, comienzan a moverse hasta que dejan de moverse debido a
que se acumulan en el borde definiendo una densidad de carga ρ en S que
conjuntamente con q definen un potencial u que en Ω c define una fuerza
electrostática nula E = − grad u = 0, por lo que u = cte en Ω c y como la
carga está en el punto y y en S, cuando x3 → ∞ el potencial u(x) → 0,
por lo que la constante es 0. De este modo el potencial es suma del
potencial debido a la carga q mas v, el potencial de capa simple definido
por la densidad de carga ρ
u(x) =
1
+ v(x) =
x − y
gy,
0,
en x3 > 0
en x3 ≤ 0
Veamos cual es el valor de esa densidad de carga. Para ello apliquemos
la fórmula,
∂nu + − ∂nu − = ∂nv + − ∂v − = −4πρ,
lo cual implica, al ser ∂n = ∂x3 , u+ = gy y u − = 0, que
∂x3 gy = ∂x3 u+ − ∂x3 u− = −4πρ,
por tanto (como en los x ∈ S, x − y = x − y)
−4πρ(x) = ∂x3
y la densidad de carga es
1
x − y −
ρ(x) = −
1
=
x − y
y3
.
2πx − y3 2y1
,
x − y3 Podemos calcular la carga total en el plano S, de coordenadas x =

(x1, x2)
ρ(x) dx1dx2 =
R 2
10.10. Introducción a las distribuciones 827
= − y3
2π
ρ(x1 + y1, x2 + y2)) dx1dx2 = −
2π ∞
0
0
r
r 2 + y 2 3
3
drdθ = −1,
y3
2π x2 1 + x22 + y2 3
3
pues la integral tiene la primitiva −1/ √ r 2 + a 2 .
Por último veamos que la fórmula integral de Poisson para el semiespacio,
que nos define la candidata a resolver el problema de Dirichlet,
realmente es solución.
Proposición 10.65 Dada una función acotada f ∈ C(S), la fórmula integral
de Poisson para y ∈ Ω, es decir y3 > 0 y ∂n = −∂x3
u(y) =
S
f(y)∂ngy ds = −2y3
S
f(x)
dx1dx2,
x − y3 es la solución continua en el semiespacio del problema de Dirichlet, ∆u =
0 en y3 > 0, u |S = −4πf.
Demostración. La primera propiedad la hemos visto en (10.64).
Para la segunda tenemos que demostrar que para cada x0 = (a, b, 0) ∈ S
e y = (y1, y2, y3) con y3 > 0
y3f(x)
lím u(y) = −4πf(x0) ⇔ lím
y→x0
y→x0 S x − y3 dx1dx2 = 2πf(x0),
para ello recordemos que acabamos de demostrar que
y3
x − y3 dx1dx2 = 2π,
S
y del mismo modo para cada bola del plano S, de centro y = (y1, y2) y
radio δ,
B[y,δ] c
y3
x − y3 dx1dx2
=
B[y,δ] c
y3
(x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + y2 3
3
dx1dx2
= y3
2π ∞
0
δ
r
r 2 + y 2 3
3
y3
drdθ = 2π ,
δ2 + y2 3

828 Tema 10. La Ecuación de Laplace
la cual converge a 0 cuando y3 → 0 y por tanto cuando y → x0. Además
por lo mismo como f es acotada tendremos que
lím
y→x0 B[y,δ] c
f(x)y3
x − y3 dx1dx2 = 0,
por lo tanto si consideramos una bola Bɛ = B[x0, ɛ] ⊂ S, un y ∈ Ω tal
que y − x0 < ɛ/2 y δ = ɛ/2 tal que en S, B[y, δ] ⊂ B[x0, ɛ], como
y3f(x)
S x − y3 dx1dx2
y3f(x)
=
dx1dx2+
Bɛ x − y3
+
Bc y3f(x)
dx1dx2,
x − y3 ɛ
y3f(x0)
2πf(x0) =
S x − y3 dx1dx2
y3f(x0)
=
dx1dx2+
Bɛ x − y3
y3f(x0)
+
dx1dx2
x − y3 y como en la derecha, las segundas integrales convergen a cero cuando
y → x0, pues B[x0, ɛ] c ⊂ B[y, δ] c , basta ver que la diferencia entre las
primeras converge a cero si hacemos tender ɛ → 0, por la continuidad de
f.
Ejemplo 10.10.5 Problema de Dirichlet para la bola. Consideremos ahora
Ω = B(0, r) = {x < r} y S = {x = r} y busquemos la función de
Green correspondiente para cada y ∈ Ω
gy(x) =
B c ɛ
1
+ v(x),
x − y
para v armónica en Ω y g y|S = 0. Para ello seguimos otra vez el método
de las imágenes, que en este caso consiste en considerar una carga
q = 1 en el punto y cuyo potencial es 1/x − y y considerar otra carga
en un lugar adecuado (fuera de Ω para que sea armónica en Ω), de modo
que su potencial anule al anterior en los puntos de S. Esto lo hemos visto
en el ejercicio (10.4.1), pág.764 y el punto adecuado es
y = r2
y,
|y| 2

10.10. Introducción a las distribuciones 829
la imagen de y por la inversión respecto de la esfera y la carga en ese
punto que hay que considerar es q ′ = −|y|/r = −r/|y|, por tanto la
función de Green es
gy(x) =
=
1
|x − y| −
r
|y||x − y|
1
r
−
|x| 2 + |y| 2 − 2x · y |y| 2 |x| 2 + r4 − 2r2x · y
pues para y ∈ Ω, v(x) = |y|/rx − y es armónica en Ω. Observemos que
mientras la primera expresión de gy aparentemente no estaba definida
en y = 0 la última si, siendo
g0(x) = 1 1
−
|x| r ,
además en la primera no es obvia la simetría gy(z) = gz(y), mientras en
la segunda si.
Ahora consideremos la solución sugerida por Green: Consideremos
que Ωc = {|x| > r} es un conductor, cuyos electrones, en presencia de
la carga q = 1 en el punto y, comienzan a moverse hasta que dejan
de moverse debido a que se acumulan en el borde definiendo una densidad
de carga ρ en la esfera S que conjuntamente con q definen un
potencial u que fuera de la esfera define una fuerza electrostática nula
E = − grad u = 0, por lo que u = cte en Ωc y como la carga está acotada
(pues está concentrada en S y en el punto y) ocurre que el potencial
u(x) → 0 cuando |x| → ∞, por lo que la constante es 0. De este modo el
potencial es suma del potencial debido a la carga q mas v, el potencial
de capa simple definido por la densidad de carga ρ
u(x) =
1
+ v(x) =
x − y
gy, en |x| < r
0, en |x| >≥ r
Veamos cual es el valor de esa densidad de carga. Para ello apliquemos
la fórmula, para ∂n exterior a Ω ′ , es decir ∂n = − (xi/|x|)∂xi , u+ = gy
y u − = 0,
∂nu + − ∂nu − = ∂nv + − ∂v − = −4πρ,
lo cual implica que
∂ngy = ∂nu + − ∂nu − = −4πρ,

830 Tema 10. La Ecuación de Laplace
por tanto (como en los x ∈ S, |x| = r) y se tiene que
∂xj gy(x) = ∂xj
1
x2 i + |y| 2 − 2 r
−
xiyi x2 i |y| 2 + r4 − 2r2
xiyi
xj|y| 2 − r 2 yj
= − xj − yj
+ r
|x − y| 3
r2 |y| 2 + r4 − 2r2 3
xiyi
∂ngy(x) = − xj
r ∂xj gy(x) = r2 − x · y r
−
r|x − y| 3 2 |y| 2 − r2x · y
r2 |y| 2 + r4 − 2r2 3
xiyi
= r2 − |y| 2
,
r|x − y| 3
de donde se sigue que la densidad de carga es
ρ(x) = |y|2 − r2 .
4πrx − y3 En el siguiente resultado veremos que la carga total es −1. En él veremos
además que la fórmula integral de Poisson para la bola es la solución del
problema de Dirichlet.
Proposición 10.66 Dada una función acotada f ∈ C(S), la fórmula integral
de Poisson para y ∈ Ω,
u(y) =
S
f(y)∂ngy ds = |y|2 − r2
r
S
f(s)
ds,
s − y3 (ahora para ∂n exterior a la esfera), es la solución continua en toda la
bola, del problema de Dirichlet ∆u = 0 en |x| < r, u |S = −4πf.
Demostración. Lo primero ya la hemos visto en (10.64). Para lo
segundo tenemos que demostrar que para cada x0 de la esfera de radio
r, e y = (y1, y2, y3) con |y| < r
lím u(y) = −4πf(x0)
y→x0
para ello observemos que para f = 1 el problema de Dirichlet
∆u = 0 en |x| < r, u |S = −4π,

10.10. Introducción a las distribuciones 831
tiene la solución obvia u = −4π, la cual verifica la fórmula integral de
Poisson (10.17), pág.823
S
−4π = |y|2 − r 2
r
S
1
ds
s − y3 de donde en particular obtenemos la carga total en la esfera S, sin hacer
cuentas, pues
ρ(s) ds = |y|2 − r2
1
ds = −1.
4πr |s − y| 3
Por lo tanto si consideramos una bola Sɛ = B[x0, ɛ] ∩ S
u(y) = |y|2 − r2
f(s)
ds
r S s − y3 = |y|2 − r2
f(s)
r Sɛ s − y3 ds + |y|2 − r2
r Sc f(s)
ds
s − y3 ɛ
−4πf(s0) = |y|2 − r2
f(s0)
r s − y3 ds + |y|2 − r2
f(s0)
ds
r s − y3 Sɛ
y como en la derecha, las segundas integrales convergen a cero cuando
y → x0, pues |y| → r y para s ∈ S c ɛ , e y próximo a x0, |s − y| > δ;
basta ver que la diferencia entre las primeras converge a cero si hacemos
tender ɛ → 0, lo cual es obvio por la continuidad de f.
En definitiva tenemos que si u es una función continua en la bola
cerrada y es armónica en su interior, entonces para todo y en el interior
de la bola se tiene la también llamada Fórmula integral de Poisson
u(y) = r2 − |y| 2
4πr
S
S
u(s)
ds.
|s − y| 3
Consideremos ahora Ω = B(0, r) c = {x > r} y S = {x = r} y
busquemos la función de Green correspondiente para cada y ∈ Ω
gy(x) =
1
+ v(x),
x − y
para v armónica en Ω y g y|S = 0. Para ello seguimos otra vez el método
de las imágenes, que en este caso consiste en considerar una carga
S c ɛ

832 Tema 10. La Ecuación de Laplace
q = 1 en el punto y cuyo potencial es 1/x − y y considerar otra carga
en un lugar adecuado (ahora en la bola para que sea armónica fuera, en
Ω), de modo que su potencial anule al anterior en los puntos de S. Esta
cuenta es la misma que antes y el punto adecuado es
y = r2
y,
|y| 2
la imagen de y por la inversión respecto de la esfera y la carga en ese
punto que hay que considerar es q ′ = −r/|y|, por tanto la función de
Green es
gy(x) =
1
|x − y| −
r
|y||x − y|
Ahora consideremos la solución sugerida por Green: Consideremos
que la bola Ω c = {|x| < r} es un conductor (con carga total nula), cuyos
electrones, en presencia de la carga q = 1 en el punto y, comienzan a
moverse hasta que dejan de moverse debido a que se acumulan en el borde
definiendo una densidad de carga ρ en la esfera S que conjuntamente con
la carga q del exterior definen un potencial u, que se anula en el infinito
y que en la esfera define una fuerza electrostática nula E = − grad u = 0,
por lo que u = cte = k en la bola (observemos que de existir tal potencial
u es único, pues la diferencia de dos se anula en el infinito y en la bola y
armónico fuera de la bola). Pero desconocemos el valor de esta constante,
ahora no tiene por qué ser k = 0. De este modo el potencial es suma del
potencial debido a la carga q mas v, el potencial de capa simple definido
por la densidad de carga ρ. Veamos que tal constante no puede ser nula.
Si fuese k = 0, entonces como en S, gy = 0 = k, tendríamos que
u(x) =
1
+ v(x) =
x − y
gy,
0,
en |x| > r
en |x| < r
Veamos cual sería el valor de esa densidad de carga. Para ello apliquemos
la fórmula, para ∂n exterior a Ω ′ , es decir ∂n = (xi/|x|)∂xi,
u + = gy y u − = 0,
lo cual implica que
∂nu + − ∂nu − = ∂nv + − ∂v − = −4πρ,
∂ngy = ∂nu + − ∂nu − = −4πρ,

10.10. Introducción a las distribuciones 833
y la cuenta es similar a la anterior, salvo que ahora |y| > r y |y| < r, se
tiene que la densidad de carga es en los x ∈ S
S
ρ(x) = r2 − |y| 2
,
4πrx − y3 pero se sigue que la carga total no es nula como debiera, sino que es
ρ(s) ds = r2 − |y| 2
4πr
1
ds,
s − y3 y para calcularla recordemos que
S
|s − y| r
=
|s − y| |y| ,
y que para |y| < r la inversión de y respecto de la esfera hemos demostrado
la primera igualdad
1 = r2 − |y| 2
1
ds ⇒
4πr S s − y3 r2 − |y| 2
r2 − |y| 2 = r2 − |y| 2
1
ds
4πr S s − y3 = r2 − |y| 2
|y|
4πr
3
r3 ds
s − y3 de donde que al ser |y||y| = r2
ρ(s) ds = (r2 − |y| 2 )r3 (r2 − |y| 2 r
= −
)|y| 3 |y| .
S
y esto es absurdo pues la carga de la bola debería de sea nula como al
principio antes de poner la carga exterior q en y. Por tanto la constante
k no es cero, ni la densidad de carga esta ρ, que hay que modificarla
adecuadamente para que la carga total sea nula. Esta modificación es
S
ρ = ρ + 1
4πr|y| ,
pues la carga total de la segunda función, que es constante, es 4πr 2 /4πr|y| =
r/|y| y compensa a la primera, además una densidad de carga constante
en la esfera da lugar a un potencial constante en el interior (ver la
pág.766), por tanto ésta es la solución,
ρ = r2 − |y| 2 1
+
4πr|s − y| 3 4πr|y| .

834 Tema 10. La Ecuación de Laplace
la cual es positiva para valores alejados de y y negativa para próximos y
es constante en cada paralelo del eje polar definido por y, pues es función
de |s − y|.
10.11. El método de Perron
Vamos a estudiar otro planteamiento para resolver el problema de
Dirichlet. En esta lección consideraremos en general que U ⊂ R 3 es un
abierto.
10.11.1. Funciones subarmónicas
Definición. Diremos que una función continua en U, u ∈ C(U), es
subarmónica si para todo x0 ∈ U, toda bola cerrada B[x0, r] ⊂ U y
V = m[B[x0, r]] = (4/3)πr3 su volumen
(10.19) u(x0) ≤ 1
V
B[x0,r]
u(x) dx.
Principio del máximo 10.67 Sea u continua en un abierto conexo U, tal
que satisface la desigualdad (10.19) en cada punto x0 ∈ U para algún r
(en particular si es subarmónica). Si u alcanza un máximo absoluto en
p ∈ U, entonces u es constante.
Demostración. Consideremos el cerrado de U, C = {u = u(p)} el
cual es no vacío y abierto, pues si B ⊂ U es una bola cerrada centrada
en x0 ∈ C, en la que se cumple la desigualdad, tendremos que
u(p) = u(x0) ≤ 1
m[B]
por tanto se tiene la igualdad y
(u(p) − u(x)) dx = 0,
B
B
u(x) dx ≤ u(p),
pero u(p) − u(x) ≥ 0, por tanto en B u = u(p). Por conexión C = U.

10.11. El método de Perron 835
Corolario 10.68 Sea Ω un abierto acotado conexo y u ∈ C(Ω), tal que
satisface la desigualdad (10.19) en cada punto del abierto para algún r
(en particular si es subarmónica en Ω). Sea x0 ∈ Ω un punto en el que
u alcanza un máximo, entonces x0 ∈ ∂Ω ó u es constante. En cualquier
caso el máximo se alcanza en ∂Ω.
Lema 10.69 Si u ∈ C(U) es tal que para todo x0 ∈ U y toda bola cerrada
B[x0, r] ⊂ U,
u(x0) ≤ 1
u(s) ds.
Ar
S[x0,r]
para Ar = 4πr 2 el área de la esfera S[x0, r], entonces u es subarmónica.
Demostración. Consideremos coordenadas esféricas centradas en
x0, (ρ, θ, φ), para las que por (10.1)
ω3 = dx ∧ dy ∧ dz = ρ 2 sen θ dρ ∧ dθ ∧ dφ,
ds = iN ω3 = ρ 2 sen θ dθ ∧ dφ,
entonces por la hipótesis, para todo r tal que B[x0, r] ⊂ U y V
(4/3)πr
=
3 su volumen,
u(x0) ≤ 1
u(s) ds
Ar S[x0,r]
π π
= 1
Ar
u(x0) = u(x0)
V
≤ 1
r
(
V 0
= 1
V
−π 0
r
0
π π
−π
B[x0,r]
r 2 u(s) sen θ dθ dφ
Aρdρ
0
u(x) dx.
ρ 2 u(s) sen θ dθdφ)dρ
Teorema 10.70 Para un abierto U y una función u ∈ C(U) son equivalentes.
i) Para todo x0 ∈ U, toda bola cerrada B[x0, r] ⊂ U y Ar el área de
su esfera
u(x0) ≤ 1
u(s) ds.
Ar
S[x0,r]

836 Tema 10. La Ecuación de Laplace
ii) u es subarmónica.
iii) Para todo abierto V ⊂ V ⊂ U y toda función v ∈ C(V ), armónica
en V , se cumple que
u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ ∂V ⇒ u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ V.
Demostración. (i) ⇒ (ii) visto en el Lema anterior.
(ii) ⇒ (iii) Consideremos un abierto V ⊂ V ⊂ U y una función v ∈
C(V ), armónica en V . Como u es subarmónica y v satisface el teorema
del valor medio tendremos que u − v es continua en V y subarmónica
en V y por el principio del máximo (10.67), el máximo lo alcanza en el
borde ∂V , por tanto
u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ ∂V ⇒ u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ V.
(iii) ⇒ (i) Sea x0 ∈ U, B = B[x0, r] ⊂ U y S = {x − x0 = r}.
Queremos ver que
u(x0) ≤ 1
u(s) ds.
Ar
Sea v ∈ C(B), armónica en la bola abierta B(x0, r), tal que v |S = u |S, la
cual sabemos que existe porque el problema de Dirichlet para la bola lo
hemos resuelto. Entonces u ≤ v en S y por la hipótesis u ≤ v en B, por
tanto
u(x0) ≤ v(x0) = 1
v(s) ds = 1
u(s) ds,
pues u = v en S.
Ar
S
El ser subarmónica es una propiedad local, como veremos a continuación.
Proposición 10.71 Sea u ∈ C(U) tal que es subarmónica en un entorno
de cada punto de U, entonces es subarmónica.
Demostración. Veamos que se cumple la caracterización (iii) del
resultado anterior. Consideremos un abierto V ⊂ V ⊂ U y una función
v ∈ C(V ), armónica en V tales que u ≤ v en ∂V , entonces como u − v es
subarmónica en un entorno de x0, tendremos por el principio del máximo
(10.68) que u − v alcanza el máximo en ∂V , por tanto u ≤ v en V .
A continuación damos otra caracterización de subarmónica entre las
de clase 2.
S
Ar
S

10.11. El método de Perron 837
Teorema 10.72 Sea u ∈ C 2 (U), entonces u es subarmónica sii ∆u ≥ 0.
Demostración. ⇐ Sea x0 ∈ U y consideremos coordenadas esféricas
con centro en x0 y una bola B = B[x0, r] ⊂ U, entonces por el Teorema
de Gauss (10.42) y en coordenadas esféricas ser ∂n = ∂ρ (ver pág.755)
0 ≤
=
∆u dx =
∂nu ds
B
S
2π π
(∂ρu)r
0 −π
2 sen θ dθdφ = r 2 g(r)
y se tiene que g(r) ≥ 0. Si ahora consideramos para cada r, el valor
medio de u en Sr = S[x0, r],
M(r) = 1
4πr2
u(s) ds
= 1
4πr2 = 1
4π
M ′ (r) = 1
4π
Sr
2π π
0 −π
2π π
0 −π
2π π
0
−π
u(s)r 2 sen θ dθdφ
u(s) sen θ dθdφ
(∂ρu) sen θ dθdφ = g(r)
4π
por tanto M es creciente y u(x0) = M(0) ≤ M(r), para todo r, con
B[x0, r] ⊂ U.
⇒ Si en un punto x0 es ∆u(x0) < 0, por continuidad existe un r tal
que ∆u(x) < 0 en la bola B[x0, r] y repitiendo el argumento anterior
tendríamos que M ′ (s) < 0, para s < r y u(x0) = M(0) > M(s), lo cual
es absurdo.
Proposición 10.73 Si u es armónica y f definida en la imagen de u es
convexa, f(u) es subarmónica.
Demostración. Si g = f(u), gxi = f ′ (u)uxi y
y el resultado se sigue sumando.
gxixi = f ′′ (u)(uxi) 2 + f ′ (u)uxixi,
Ejemplo 10.11.1 Son funciones subarmónicas en R 3 (se puede comprobar
directamente o aplicando el resultado anterior):
≥ 0

838 Tema 10. La Ecuación de Laplace
1.- |x| a para a ≥ −1.
2.- u a para u armónica positiva y a ≥ 1.
3.- − log u, para u armónica.
Veamos otras propiedades de las funciones subarmónicas.
Proposición 10.74 La suma finita de funciones subarmónicas es subarmónica.
El máximo g = máx{f1, . . . , fn} de funciones subarmónicas es subarmónica.
Demostración. La primera es inmediata. La segunda también por
la definición pues para cada x0 existe un i, tal que
g(x0) = fi(x0) ≤ 1
fi ≤
m[B] B
1
g.
m[B] B
Proposición 10.75 Sea u ∈ C(U) subarmónica y B = B[x0, r] ⊂ U.
Entonces existe una única función subarmónica uB ∈ C(U), armónica
en B que coincide con u = uB en B c . La llamaremos reemplazo de u
respecto de B. Además verifica que u ≤ uB.
Demostración. Si existe es de la forma
u, si x ∈ U\B
uB(x) =
u si x ∈ B,
para u solución del problema de Dirichlet
∆u = 0 en
◦
B y u |∂B = u |∂B,
que sabemos tiene solución y es única. Además u ≤ uB en U, pues por
una parte u = uB en U\B, por tanto en ∂B, en particular u ≤ uB en ∂B
y como uB es armónica en el interior de B, tendremos por el apartado
(iii) de (10.70) que u ≤ uB en B y por tanto en todo U. Veamos que
localmente es subarmónica: En el interior de B es obvio pues es armónica,
lo mismo en U\B. Falta verlo en los puntos x0 ∈ ∂B. Consideremos una
B[x0, r] ⊂ U, con borde la esfera S, entonces
uB(x0) = u(x0) ≤ 1
4πr2
u(s) ds ≤
S
1
4πr2
uB(s) ds.
S

10.11. El método de Perron 839
Teorema de la singularidad evitable 10.76 Si una función u es armónica
en U\{x0}, para U abierto y x0 ∈ U y está acotada en un entorno de
x0, entonces es prolongable a una función armónica en todo U.
Demostración. Consideremos una bola B = B[x0, r] ⊂ U en la que
u esté acotada y sea v ∈ C(B), armónica en la bola abierta B(x0, r), tal
que v = u en la esfera S = S[x0, r]. Basta ver que u = v en B\{x0}.
Para ello sea ɛ > 0 y consideremos la función definida en B\{x0}
r
h = u − v + ɛ 1 − ,
|x − x0|
que se anula en la esfera y es armónica en el abierto B(x0, r)\{x0}.
Además como u y v están acotadas en B, h es negativa en una bola
B(x0, δ), para δ suficientemente pequeño y como es armónica en la corona
δ ≤ x − x0 ≤ r tendremos por el principio del máximo que el supremo
lo alcanza en S donde es nula o en S[x0, δ] donde es negativa, por tanto
en S y se sigue que en la corona es h ≤ 0 y como es cierto para todo
δ > 0 suficientemente pequeño se tiene que h ≤ 0 en B\{x0}. Pero a su
vez esto es válido para todo ɛ > 0 suficientemente pequeño, por tanto
u ≤ v en B\{x0}. Repitiendo el argumento anterior pero con ɛ < 0 y
aplicando el principio del mínimo, tendríamos que u ≥ v en B\{x0}.
Definición. Diremos que una función u definida en una abierto U es
superarmónica si −u es subarmónica (lo cual equivale a que las desigualdades
de la caracterización van al revés).
Corolario 10.77 Una función u es armónica sii es subarmónica y superarmónica.
10.11.2. Sucesiones de funciones armónicas
Desigualdad de Harnack 10.78 Sean V ⊂ V ⊂ U ⊂ R 3 , con U y V
abiertos y V conexo acotado. Existe una constante c > 0, que depende
sólo de U y V tal que toda función u ≥ 0 armónica en U, verifica que
para cualesquiera x, y ∈ V , u(x) ≤ cu(y).
Demostración. Sea d = d(V, U c ) > 0 la distancia entre V y U c y
r < d/2. En primer lugar se tiene que si x, y ∈ V son tales que |x−y| ≤ r
entonces u(x) ≤ 8u(y), pues B[x, r] ⊂ B[y, 2r] ⊂ U y u ≥ 0, por lo tanto

840 Tema 10. La Ecuación de Laplace
se tiene que
1
1
u(x) =
u ≤
u
m[B[x, r]] B[x,r] m[B[x, r]] B[y,2r]
= m[B[y, 2r]]
u(y) = 8u(y).
m[B[x, r]]
Ahora bien V es compacto, por tanto se recubre con un número finito,
digamos m, de bolas de centro un punto de V y radio r/2 y dados x, y ∈ V
por conexión existirán unas cuantas de estas bolas Bi = B[xi, r/2] tales
que la primera contiene a x, la última Bk = [xk, r/2] contiene a y y cada
una corta a la anterior (si tiene) y a la siguiente (si tiene). Ahora k ≤ m
y se tiene |x − x1| < r, por tanto por lo anterior
u(x) ≤ 8u(x1) ≤ 8 2 u(x2) ≤ · · · ≤ 8 k u(xk) ≤ 8 k+1 u(y) ≤ cu(y),
para c = 8 m+1 .
Teorema de convergencia de Harnack 10.79 Sea un una sucesión creciente
de funciones armónicas en un abierto U ⊂ R 3 . Si para un x0 ∈ U,
la sucesión un(x0) está acotada, entonces un converge, uniformemente
en los compactos de U, a una función u armónica en U.
Demostración. un(x0) es una sucesión creciente y acotada, por tanto
tiene límite u(x0) y la sucesión es de Cauchy, por lo tanto para todo
ɛ > 0 existe un N ∈ N, tal que para n > m > N
0 ≤ un(x0) − um(x0) ≤ ɛ,
ahora si consideramos un abierto V acotado y conexo tal que x0 ∈ V ⊂
V ⊂ U y aplicamos el resultado anterior a la función armónica no negativa
un − um, tendremos que para todo x ∈ V
0 ≤ un(x) − um(x) ≤ c(un(x0) − um(x0)) ≤ cɛ,
y un es de Cauchy uniformemente en V , por tanto existe su límite u, que
es armónica porque tiene la propiedad del valor medio, pues
1
1
u(x) = lím un(x) = lím
u,
m[B[x, r]
m[B[x, r]
un =
B[x,r]
B[x,r]
y el límite entra en la integral porque la convergencia es uniforme.
Nota 10.80 Observemos que el espacio vectorial de las funciones armónicas
en un abierto U es completo respecto de la topología de la convergencia
uniforme en los compactos.

10.11. El método de Perron 841
10.11.3. Problema Dirichlet. Existencia de solución
Sea Ω ⊂ R 3 un abierto conexo acotado con borde S = ∂Ω arbitrario.
Dada una función f ∈ C(S), buscamos una función u ∈ C(Ω), tal que
∆u = 0, en Ω, u |S = f.
De lo estudiado anteriormente se sigue que si esta función u existe y
existe h ∈ C(Ω) subarmónica en Ω, tal que h |S ≤ f, entonces h ≤ u en
Ω, pues g = h + (−u) es suma de subarmónicas, por tanto subarmónica,
y por el principio del máximo como g ≤ 0 en S, se tiene que g ≤ 0 en
todo Ω, esto justifica que si existe u sepamos que es el supremo de las
subarmónicas del espacio
H = {h ∈ C(Ω) : subarmónicas en Ω, h |S ≤ f}.
Proposición 10.81 La función definida para cada x ∈ Ω
u(x) = sup h(x),
h∈H
está bien definida y es armónica en Ω.
Demostración. Que está bien definida se sigue del principio del
máximo, pues si h ∈ H,
h(x) ≤ máx
z∈S
h(z) ≤ máx f(z) = c < ∞,
z∈S
y u(x) = sup h(x) ≤ c.
Veamos que es armónica. Sea x0 ∈ Ω, como u(x0) = sup h∈H h(x0)
existe una sucesión de hn ∈ H, que podemos tomar creciente pues el
máximo de un número finito de funciones de H está en H, tales que
hn(x0) ↑ u(x0), además podemos suponer que son armónicas en una
bola B = B(x0, r) ⊂ B[x0, r] ⊂ Ω, tomando el reemplazo de la vieja
función en B. Sea h = lím hn, la cual es armónica en B por el Teorema
de Harnack (10.79) y h(x0) = u(x0). Veamos que h = u en B, con lo cual
u sería localmente armónica y por tanto armónica. Sea x1 ∈ B, entonces
h(x1) = lím hn(x1) ≤ sup h(x1) = u(x1),
h∈H
por lo tanto h ≤ u en B. Supongamos que h(x1) < u(x1), entonces
existiría g ∈ H, tal que h(x1) < g(x1) ≤ u(x1) y si consideramos las

842 Tema 10. La Ecuación de Laplace
funciones subarmónicas de H, máx{hn, g} y su reemplazo armónico en
B, hn ∈ H, entonces h = lím hn es armónica en B y como hn ≤ hn,
h ≤ h y
u(x0) = h(x0) ≤ h(x0) ≤ u(x0),
por tanto son iguales, por lo que h − h ≥ 0 es armónica en B y nula en
x0, por tanto se anula en todo B por el teorema del valor medio, pero
esto contradice que h(x1) < g(x1) ≤ h(x1).
10.11.4. Funciones barrera
Definición. Sea y0 ∈ S = ∂Ω. Llamamos barrera para y0 a toda función
b ∈ C(Ω), armónica en Ω y tal que b > 0 en todo punto salvo en y0,
b(y0) = 0. Diremos que un punto es regular si existe una barrera para él.
Lema 10.82 Si y0 ∈ S es regular, entonces
lím u(x) = f(y0).
x→y0
Demostración. Sea ɛ > 0, entonces existe λ > 0 tal que para todo
y ∈ S
|f(y) − f(y0)| < ɛ + λb(y),
pues por continuidad existe un δ > 0, tal que si |y − y0| ≤ δ, |f(y) −
f(y0)| ≤ ɛ y para
k = sup {|f(y) − f(y0)|} < ∞, 0 < c = ínf
|y−y0|≥δ
|y−y0|≥δ b(y),
existe λ > 0, tal que k < λc. Por tanto
f(y0) − ɛ − λb(y) ≤ f(y) ≤ f(y0) + ɛ + λb(y),
siendo las funciones de los extremos armónicas y en S la de la izquierda
es ≤ f, por tanto está en H y la de la derecha es ≥ f, por tanto por
(10.70), pág.835, para toda h ∈ H, h ≤ f(y0) + ɛ + λb(y), de donde que
f(y0) − ɛ − λb(x) ≤ u(x) ≤ f(y0) + ɛ + λb(x),
y el resultado se sigue tomando límites cuando x → y0 y ɛ → 0.
Nota 10.83 El resultado es igualmente cierto si en vez de considerar que
una función barrera es armónica, consideramos que es superarmónica.

10.11. El método de Perron 843
Teorema 10.84 Sea Ω ⊂ R 3 abierto acotado. El problema de Dirichlet
tiene solución para toda f ∈ C(S) sii todos los puntos de S son regulares.
Demostración. ”⇐”Por los resultados anteriores.
”⇒”Sea y0 ∈ S, f(y) = |y − y0| ∈ C(S) y b la solución del Problema
de Dirichlet ∆b = 0 en Ω, b |S = f. Entonces por ser armónica alcanza
el mínimo en S, en el que vale lo mismo que f, que alcanza el mínimo
en y0 en el que vale b(y0) = f(y0) = 0 y no puede tomar ese valor en
ningún punto del interior, en Ω, pues sería constante e igual a 0, que no
lo es pues en S sólo se anula en y0, por lo tanto b(y) > 0 salvo en y0 en
el que vale 0. Por lo tanto b es una función barrera para y0 y el punto es
regular.
A continuación vemos una sencilla propiedad geométrica que implica
la existencia de puntos regulares.
Proposición 10.85 Si para un punto y0 ∈ S existe una bola B[x0, r], tal
que
B[x0, r] ∩ Ω = {y0},
entonces y0 es regular.
Demostración. Sea b(x) = 1
r
1 − |x−x0| , la cual es armónica en
R 3 \{x0}, en particular en Ω y continua en Ω, además b(y) > 0 fuera
de la bola y b(y0) = 0, por tanto b es una barrera.
Ejemplo 10.11.2 Contraejemplo para el Problema Dirichlet. Veamos
que el Problema Dirichlet, para la bola unidad del plano sin el origen,
en general no tiene solución.
Por ejemplo si queremos que en la circunferencia u = 1 y en el origen
valga u(0) = 0, por el principio del máximo u estará entre 0 y 1 y por el
teorema de singularidad evitable u es armónica en todo el circulo pero
la única función armónica en el círculo, que en la circunferencia vale 1
es u = 1, contradicción.
Veamos no obstante qué función da el método de Perron. Para ello
consideremos hn = ρ 1/n que son subarmónicas pues
∆ρ 1/n = ∂2
y su supremo es 1.
∂ρ2 (ρ1/n ) + 1
ρ
∂
∂ρ (ρ1/n ) = 1 1
ρ n
n2 −2 ≥ 0

844 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ejemplo 10.11.3 Los puntos del borde de un convexo son regulares. Lo
veremos como consecuencia del:
Teorema del hiperplano soporte. Dado un convexo cerrado B, todo
punto en su borde tiene un hiperplano tangente que deja a un lado el
convexo.
Demostración. En primer lugar dado el convexo B y un q en su
exterior sea r = mín{p − q : p ∈ B}, pq un punto en el que lo alcance
(por continuidad y ser cerrado) y consideremos y = pq − q. Entonces
y · pq ≤ y · p, para todo punto p del convexo, pues para todo λ ∈ [0, 1] y
x = p − pq, λp + (1 − λ)pq = λx + pq ∈ B y para todo λ ∈ (0, 1]
r 2 ≤ λx + pq − q 2 = (λx + y) · (λx + y)
= y · y + 2λy · x + λ 2 x · x = r 2 + 2λy · x + λ 2 x · x ⇒
0 ≤ 2y · x + λx · x ⇒ 0 ≤ y · x ⇔ y · pq ≤ y · p
y podemos tomar y de modulo 1 sin mas que dividirlo por su módulo.
El hiperplano y t x = y t pq es tangente a B en pq y lo deja a un lado.
Ahora dado un punto x0 de la frontera de B consideremos una sucesión
de puntos exteriores qn → x0 y para cada uno el rn, el yn y los pqn = pn
correspondientes, entonces rn → 0, pn → x0. Ahora la sucesión yn tiene
un punto límite y, pues está en la esfera unidad y para ella se verifica
que
yn · pn ≤ yn · p ⇒ y · x0 ≤ y · p.
Por tanto dado todo punto en el borde tiene un hiperplano tangente
que deja a un lado a B y como consecuencia demostramos que todo
x ∈ S, el borde del convexo, es regular, pues basta considerar una esfera
tangente al hiperplano tangente en el mismo punto pero del otro lado.
Ejemplo 10.11.4 Lo mismo si S = {h = 0} es una superficie diferenciable
de clase 2. Tomamos como origen el punto de S, como eje z el
perpendicular a la superficie en ese punto y como ejes x e y los que
dan las direcciones principales de la superficie en ese punto, es decir para
cada curva plana intersección de la superficie con cada uno de sus
planos normales, consideramos las que tienen curvatura máxima k1 y
mínima k2 en el punto, las cuales se demuestra en los cursos de geometría
diferencial que corresponden a direcciones perpendiculares D1, D2
del plano tangente. En estas coordenadas se tiene que la superficie es
la gráfica de una función f definida en un entorno del origen, tal que

10.11. El método de Perron 845
f(0) = fx(0) = fy(0) = fxy(0) = 0 y que fxx(0) = k1 y fyy(0) = k2.
Para lo último ver 8.9, pág.662 donde vimos los términos en los que
tenemos que en el origen D1 = ∂x, D2 = ∂y y
k1∂x = k1D1 = φ(D1) = −D ∇ 1 N
= (kfx)x(0)D1 + (kfy)x(0)D2 = fxx(0)∂x + fxy(0)∂y
k2∂y = k2D2 = φ(D2) = −D ∇ 1 N
= (kfx)y(0)D1 + (kfy)y(0)D2 = fxy(0)∂x + fyy(0)∂y,
en definitiva tenemos que f(x, y) = (k1/2)x 2 + (k2/2)y 2 + h(x, y) para
h(x, y) = o(x 2 +y 2 ) y no puede cortar a toda esfera x 2 +y 2 +(z−r) 2 = r 2 ,
para r > 0, pues si k1 > k2 tenemos que
f(x, y) ≤ k1
2 (x2 + y 2 ) + h(x, y) ≤ g(x, y) = k(x 2 + y 2 ),
tomando x 2 + y 2 tal que h(x, y) < x 2 + y 2 , pues h(x, y)/(x 2 + y 2 ) → 0
cuando x 2 + y 2 → 0. Ahora la gráfica de g no puede cortar a todas
las esferas, por tanto tampoco la de f. Veámoslo: tomemos r < 1/2k,
entonces para x 2 + y 2 < r 2 si hubiese un z = g(x, y) satisfaciendo ambas
ecuaciones sería z > 0 (a menos que z = 0 en cuyo caso x = y = 0), pues
la esfera está sobre el plano x, y y tendríamos x 2 + y 2 = r 2 − (z − r) 2 =
2rz − z 2 , por tanto
z = k(x 2 + y 2 ) ⇒ z = kz(2r − z) ⇒ 1 = k(2r − z),
lo cual no puede ser pues si r → 0, z → 0 y tendríamos 1 = 0, lo cual es
absurdo.
Ejemplo 10.11.5 En el plano si Ω es tal que para p ∈ S, existe un
segmento de extremo p que toca a Ω sólo en p, entonces p es regular en
el sentido de superarmónica (ver la nota (10.83), de la pág.842).
Consideremos una bola centrada en p de radio r < 1, B = B[p, r],
cuya esfera corte al segmento y tomemos el origen de coordenadas en p
y el segmento como la parte positiva del eje de coordenadas x. Consideremos
para la variable compleja z = x + iy = ρ eiθ , el representante de
log z = log ρ + iθ y la función armónica en B(p, r) ∩ Ω y positiva
u(z) = − Re
1
log z
log ρ
= −
log 2 log ρ
≤ −
ρ + θ2 log 2 ρ
= − 1
log ρ ,

846 Tema 10. La Ecuación de Laplace
la cual, por la última expresión anterior, se extiende con continuidad a
p = 0 valiendo u(p) = 0. Ahora consideremos el mínimo c > 0 de u en el
compacto Ω ∩ S[p, r] y consideremos la función
mín{u, c}, B ∩ Ω
b =
c, Bc ∩ Ω,
que es b ≤ c y es superarmónica, pues en el abierto A = B(p, r) ∩ Ω
es superarmónica (el mínimo de superarmónicas es superarmónica), en
el borde S[p, r] ∩ Ω es constante b = c; en el abierto A ′ = B[p, r] c ∩ Ω
también es superarmónica pues es constante y en los puntos x del borde
es superarmónica pues satisface la propiedad del valor medio, ya que
b(x) = c y dada una bola Bx ⊂ Ω centrada en x, como b ≤ c tendremos
b(x) = c ≥
1
m(Bx)
ahora por la nota (10.83) se sigue el resultado.
10.12. Teorema de la aplicación de Riemann
En la pág.743 vimos qué funciones en Rn , dependientes sólo de la
distancia ρ =
x2 i al origen, son armónicas
A log ρ + B, si n = 2,
f(ρ) =
A/ρn−2 + B, si n = 2.
Ahora estamos interesados en el plano R 2 , y la función armónica
estandar es log ρ.
Definición. Sea Ω ⊂ R 2 = C un abierto acotado y p ∈ Ω. Llamamos
función de Green en p, a la función g ∈ C(Ω\{p}), que cumple:
1.- g(z) = log |z − p| + u(z), con u ∈ C(Ω) y armónica en Ω.
2.- g = 0 en ∂Ω.
La existencia desde un punto de vista físico de esta función es la
misma que vimos para el espacio en (10.10.1), pág.822. Por su parte su
existencia matemática equivale a encontrar u ∈ C(Ω) tal que
∆u = 0 en Ω, u(z) = − log |z − p| en ∂Ω.
Bx
b,

10.12. Teorema de la aplicación de Riemann 847
Nosotros demostraremos la existencia de esta u cuando el abierto Ω
es simplemente conexo, con argumentos similares a los utilizados en el
ejercicio 5.
Lema 10.86 Sea Ω un abierto acotado y p ∈ Ω. Existe una función
g ∈ C(Ω\{p}), que satisface las siguientes propiedades 8 :
(i) g(z) = log |z − p| + u(z) con u armónica en Ω (no decimos nada
de su borde).
(ii) g < 0 en Ω\{p}.
(iii) g es la mayor función cumpliendo (i) y (ii).
Demostración. Consideremos el espacio H de las funciones hα ∈
C(Ω) que son superarmónicas en Ω y que fuera de un entorno compacto
Kα de p, valen
hα(z) = − log |z − p|,
y sea G = {gα(z) = hα(z) + log |z − p| : hα ∈ H}
Veamos en primer lugar que este espacio tiene funciones. Consideremos
una bola B[p, r] ⊂ Ω y sea
− log |z − p| si z ∈ Ω\B[p, r]
hB(z) =
− log r si z ∈ B[p, r],
la cual está en H pues es superarmónica, por el razonamiento habitual
en las tres regiones, ya que hB ≤ − log r. Ahora podemos tomar en Ω
u(z) = ínf
h∈H h(z),
la cual se demuestra como en (10.81), pág.841 que es armónica. Ahora
por definición la función
g(z) = log |z − p| + u(z) = ínf
gα∈G gα(z), para gα = log |z − p| + hα
satisface la primera propiedad, veamos que también las otras dos. En
primer lugar cada gα es superarmónica en Ω\{p}, gα = 0 fuera de un
entorno compacto Kα ⊂ Ω, de p y gα(z) → −∞ cuando z → p. Por
tanto g ≤ gα ≤ 0 y si g(x) = 0 en un punto x ∈ Ω\{p}, alcanzaría el
máximo en un punto interior y como es armónica sería constante, por
tanto g < 0 en Ω\{p}.
8 Observemos que si la función de Green g existe, las satisface

848 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Por último si g = log |z − p| + u(z) fuese otra satisfaciendo las dos
propiedades, entonces log |z −p|+u(z) = g < 0 = gα = log |z −p|+hα(z)
en Ω\Kα y en este conjunto también sería u(z) < hα(z), es decir en
ese conjunto la función superarmónica hα(z) − u(z) > 0, (pues −u es
armónica), por tanto en todo Ω es positiva, por tanto g < gα para todo
α y g ≤ g.
Lema 10.87 Con la notación del lema anterior sea y0 ∈ ∂Ω. Si existe
una función armónica positiva b sobre Ω, entonces
lím b(z) = 0 ⇒ lím g(z) = 0.
z→y0
z→y0
Demostración. Sea B[p, r] ⊂ Ω. Existe un λ > 0 tal que en S[p, r],
−λb < g ≤ gα, para ello basta tomarla tal que mínS g + λ mínS b > 0,
pero entonces como gα se anula fuera del compacto Kα entorno de p,
tendremos que gα + λb > 0 en S y en Ω\Kα, pero como la función es
superarmónica, tendremos que gα +λb > 0 ó equivalentemente gα > −λb
en Ω\B y como esto es cierto para toda α tendremos que 0 ≥ g ≥ −λb
en Ω\B y tomando límite cuando z → y0, como b(z) → 0, tendremos
que g(z) → 0.
Definición. Diremos que una aplicación continua entre espacios topológicos
F : X → Y es un revestimiento de Y si todo y ∈ Y tiene
un entorno abierto Vy tal que F −1 (Vy) es homeomorfo a Vy × D con D
discreto, haciendo conmutativo el diagrama
F −1 (Vy) ∼ Vy × D
F ↘ ↙ π1
Vy
(recordemos que D es discreto si todo subconjunto suyo (en particular los
puntos) es abierto). Lo llamaremos revestimiento conexo si X es conexo.
Diremos que un espacio topológico conexo Y es simplemente conexo
si todo revestimiento conexo de Y es homeomorfismo.
Proposición 10.88 Si Ω ⊂ C es acotado simplemente conexo, entonces
para todo p ∈ Ω existe la correspondiente función de Green.
Demostración. Sea g la función del Lema (10.86), falta ver que
g(z) → 0 cuando z → y0, para y0 ∈ ∂Ω, para lo cual basta demostrar
por el Lema anterior que existe una función armónica positiva b sobre Ω

10.12. Teorema de la aplicación de Riemann 849
tal que límz→y0 b(z) = 0. Con una traslación y una homotecia podemos
suponer que y0 = 0 y que Ω ⊂ B(0, 1). Como Ω es simplemente conexo
podemos tomar una sección global de ez , log z : Ω → C y definir como
en el ejercicio 5
1
log ρ
b(z) = − Re = −
log z log 2 log ρ
≤ −
ρ + θ2 log 2 1
= −
ρ log ρ ,
para z = ρ e iθ y se tiene que z → 0, entonces ρ → 0 y b(z) → 0.
Lema 10.89 Todo abierto simplemente conexo Ω ⊂ C es analíticamente
isomorfo (biyección holomorfa) a un abierto del disco unidad.
Demostración. Supongamos en primer lugar que en Ω c existe un
disco abierto, que por una traslación y una homotecia podemos suponer
que es el disco unidad, entonces basta considerar Ω ′ = f(Ω), para la
biyección holomorfa f : C\{0} →∈ C\{0}, f(z) = 1/z.
En general sea z0 /∈ Ω, que podemos suponer con una traslación
z0 = 0 y consideremos el revestimiento g : C\{0} →∈ C\{0}, g(z) = z 2 ,
que es de grado 2 (cada fibra tiene dos puntos). Entonces el abierto
g −1 (Ω) tiene dos componentes conexas Ω ′ y Ω ′′ y podemos considerar
una determinación de la raíz cuadrada z ∈ Ω → √ z ∈ Ω ′ que es biyectiva
y holomorfa y basta considerar un disco abierto D ⊂ Ω ′′ ⊂ Ω ′c y aplicar
la primera parte.
Teorema de la aplicación de Riemann 10.90 Todo abierto simplemente
conexo Ω ⊂ C distinto de C es analíticamente isomorfo al disco unidad
D. Además fijado p ∈ Ω existe h: Ω → D isomorfismo analítico único
(salvo giros, concretamente es único si pedimos que el número complejo
h ′ (p) sea real y positivo), verificando h(p) = 0.
Demostración. Veamos la idea de la construcción de tal h. Supongamos
que existe y que se extiende al borde h: Ω → D y sea g(z) =
Re(log h(z)), que es tal que g |∂Ω = 0, pues si z ∈ ∂Ω, h(z) = e iθ ∈ S
y log h(z) = iθ. Ahora si h(z) = (z − p) e ũ(z) (sería de esta forma pues
h(p) = 0 y es analítica en toda la región, por tanto h es de la forma
(z −p)k(z), y k no puede anularse, fuera de p porque h no sería inyectiva
y en p porque h tendría diferencial nula y no sería isomorfismo analítico).
Entonces
log h(z) = log(z − p) + ũ(z) ⇒ g(z) = log |z − p| + Re ũ(z),

850 Tema 10. La Ecuación de Laplace
por lo que g sería la función de Green del punto p. Esto justifica el por
qué comenzamos considerando la función de Green 9 de p, g ∈ C(Ω\{p}),
con
g(z) = log |z − p| + u(z),
siendo u armónica en Ω y g |∂Ω = 0. Ahora consideremos ũ analítica con
parte real la función armónica u y definamos fuera de p la multifunción
para la que Re ˜g = g y sea
˜g = log(z − p) + ũ(z),
h(z) = e ˜g(z) = (z − p) e ũ(z) ,
que es función en todo el abierto. Veamos que satisface las propiedades:
Es holomorfa, h(p) = 0, converge a 1 cuando z tiende al borde de Ω
|h(z)| = | e ˜g(z) | = e g(z) → e 0 = 1, cuando z → ∂Ω ⇒ g(z) → 0,
además como en Ω, g(z) < 0, |h(z)| < 1, luego h(z) ∈ D. Falta ver que
h es biyectiva:
(1) h: Ω → D es sobre: Como h es holomorfa, es abierta, por tanto
basta ver que h(Ω) = C, que es abierto, es cerrado en D, pues en tal
caso al ser D conexo h(Ω) = D. Para ello sea ω ∈ D un punto adherente
a C, es decir ω = lím h(zn), para zn ∈ Ω. Ahora como el abierto Ω
es acotado (podemos considerarlo por el Lema anterior), zn tiene una
subsucesión, que llamamos igual, con límite zn → z ∈ Ω y z /∈ ∂Ω, pues
en caso contrario tendríamos un absurdo, pues por el párrafo anterior
1 = lím |h(zn)| = |ω| < 1. Por tanto z ∈ Ω y h(z) = h(lím zn) =
lím h(zn) = ω.
(2) h es inyectiva: Denotemos la función h = hp para cada p y sea q ∈
Ω. Consideremos el automorfismo σ del disco cerrado en si mismo, tal que
σ[hp(q)] = 0 el cual podemos dar explícitamente pues todo automorfismo
del disco es de la forma
σ(z) =
z − α
1 − āz ,
y basta tomar α = hp(q). Ahora consideremos la función holomorfa en
todo Ω
f(z) = σ[hp(z)]
hq(z) ,
9 que sabemos que existe por (10.88), pues por el lema anterior Ω es analíticamente
isomorfo a un abierto acotado.

10.12. Teorema de la aplicación de Riemann 851
pues aunque el denominador se anula en q, sólo lo hace una vez y el
numerador también se anula en q, además |f(z)| = 1 en ∂Ω y por el
principio del máximo (ver (9.14), pág.691) que |f| ≤ 1 en todo Ω y como
f(p) = σ(0) −hp(q)
=
hq(p) hq(p)
|hp(q)|
⇒ ≤ 1,
|hq(p)|
es decir |hp(q)| ≤ |hq(p)| y por simetría tendremos la igualdad y por
tanto que |f(p)| = 1 y en p alcanza el máximo, pero entonces |f| es
constante |f| = |f(p)| y si z = q, 0 = hq(z) y
0 = σ[hp(z)] ⇒ hp(z) = hp(q).

852 Tema 10. La Ecuación de Laplace
10.13. Ejercicios resueltos
Ejercicio 10.1.1.- Dadas dos funciones armónicas f y g demostrar que fg es
armónica sii grad f · grad g = 0.
Indicación. Para h = fg, hx i = fx i g + fgx i y
hx ix i = fx ix i g + 2fx i gx i + fgx ix i ⇒ ∆h = 2 grad f · grad g.
Ejercicio 10.2.2.- Demostrar que la función, para z = x + iy
0, si (x, y) = (0, 0),
u(x, y) =
Re e −1/z4
, si (x, y) = (0, 0),
satisface la ecuación de Laplace en R 2 , pero no es continua en el origen.
Solución.- Es armónica en R 2 −{0} por ser la parte real de una función analítica
de variable compleja. Para verlo en el 0 hay que calcular uxx(0) = f ′′ (0) y uyy(0) =
g ′′ (0), para f(x) = u(x, 0) = e−1/x4, f(0) = 0; y g(y) = u(0, y) = e−1/y4 , g(0) = 0.
Se tiene que f ′ (0) = límx→0 1/x e1/x4 = 0 y f ′′ (0) = lím f ′ (x)/x = 0. Para ver que
no es continua tómese z = r eiπ/8 , z4 = r4i, −1/z4 = i/r4 , Re e−1/z4 = cos r−4 el
cual va oscilando y no tiene límite.
Ejercicio 10.3.3.- Expresando las funciones y el operador de LaPlace en coordenadas
esféricas, demostrar que si g es armónica en un abierto V ⊂ R 3 − {0},
entonces la función
f(x) = r
x g
2
r x
x2
,
es armónica en el abierto U correspondiente por la inversión espacial respecto
de la esfera centrada en el origen y radio r.
Solución.- Si consideramos las coordenadas (s = r2 /ρ, θ, ϕ), es fácil demostrar
que
∆ = ∂2 2 ∂ 1
+ +
∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 P2 = s4
r4
∂2
1
+ P2 ,
∂s2 s2 ∆ ◦ s = s5
r4
∂2
2 ∂ 1
+ + P2 ,
∂s2 s ∂s s2 por lo tanto si
g(x, y, z) = w(ρ, θ, ϕ),
es armónica, tendremos que para h = w(s, θ, ϕ)
∆(sh) = 0,
es decir es armónica
f(x, y, z) = sh = sw(s, θ, ϕ) = r2
ρ g
r2x ρ2 , r2y ρ2 , r2z ρ2
.

10.13. Ejercicios resueltos 853
Ejercicio 10.3.5.- Demostrar que la proyección estereográfica desde el polo de
la esfera al plano del ecuador conserva ángulos y transforma circunferencias
en circunferencias o rectas.
Demostración. (i) Dados a y b dos vectores tangentes en un punto Q de la
esfera y otros dos c y d en otro punto P , de modo que b, d, P Q sean coplanarios y
a, c, P Q también, entonces por simetría el ángulo que forman a y b es el mismo que
forman c y d (ver fig.10.8).
d
b
P
c
Q
a
Figura 10.8. Ángulos ab = cd
(ii) Sean a y b un par de vectores tangentes en un punto A de la esfera, entonces
se sigue de (i) que tienen el mismo ángulo que a ′′ y b ′′ , los cuales por paralelismo
tienen el mismo que a ′ y b ′ , que son la proyección de a y b (ver fig.10.9).
P
a''
b''
a b
A
A'
b'
a'
Figura 10.9. La proy. ester. conserva ángulos.
iii) La proyección estereográfica lleva cada circunferencia pasando por P en la
recta intersección del plano del ecuador y el plano de la circunferencia (ver fig.10.10).
P
A
B
Figura 10.10. La proy. ester. lleva circunferencias pasando por P en rectas.
A'
B'

854 Tema 10. La Ecuación de Laplace
iv) Por último la proyección de cualquier circunferencia que no pase por P es en
general una elipse (pues es una cónica cerrada), con la siguiente propiedad, dados
dos puntos suyos A ′ y B ′ , el corte con la recta A ′ B ′ , define en esos puntos ángulos
iguales (ver fig.10.11).
P
C B
A
D
Figura 10.11. La proy. ester. lleva circunferencias en circunferencias.
Esto es consecuencia de que sobre la esfera dos circunferencias P AB y ABCD se
cortan en A y B bajo ángulos iguales y la proyección conserva ángulos; y la circunferencia
es la única elipse con esa propiedad.
Ejercicio 10.3.6.- Demostrar que la aplicación τ = πQ ◦ π −1
P : R2 → R 2 , composición
de la inversa de la proyección estereográfica desde un polo P , con la
proyección estereográfica desde el otro polo Q, es la inversion respecto de la
circunferencia del ecuador.
P
Solución.-
Es consecuencia de que para πP (B) = A y
πQ(B) = A ′ , los triángulos rectángulos (ver dibujo)
P OA, P BQ y QOA ′ son semejantes pues
tienen dos ángulos comunes, por tanto
OA ′
OQ
= OP
OA ⇒ OA · OA′ = OP 2 .
A'
D'
C'
B'
O A'
Q
B
Figura 10.12.
Ejercicio 10.3.7.- Demostrar que la inversion respecto de una circunferencia
conserva ángulos y lleva circunferencias que no pasan por el centro en circunferencias
y las que pasan por el centro en rectas.
Solución.- Es una simple consecuencia de los dos resultados anteriores.
Ejercicio 10.4.1.- Dada una esfera de radio r centrada en O y una carga q en
un punto p, demostrar que existe un único punto p ′ de la recta que une O y p
(que es la imagen de p por la inversión respecto de la esfera) y en él una única
carga q ′ , tal que el potencial debido a las dos cargas es nulo en los puntos de
la esfera.
Solución.-
Si O es el origen de coordenadas, b = p y
a = p ′ , tendremos que en un punto cualquiera
(c cos θ, c sen θ) el potencial debido a ambas cargas
es
q ′
+
r1
q
r2
q
=
′
q
√ + √ ,
a2 + c2 − 2ac cos θ b2 + c2 − 2bc cos θ
r
c
q
o a q'
b
Figura 10.13.
r
1
A
r
2
q

10.13. Ejercicios resueltos 855
y si queremos que valga 0 para c = r y todo θ, tendremos que debe ser constante
a 2 + r 2 − 2ar cos θ
b 2 + r 2 − 2br cos θ
= − q′
q ,
y por lo tanto q ′ tiene signo contrario que q. Ahora derivando (su cuadrado) se tiene
(a 2 + r 2 − 2ar cos θ)b = a(b 2 + r 2 − 2br cos θ) ⇒ (a 2 + r 2 )b = a(b 2 + r 2 ) ⇒
y q ′ = −q a/b = −q(a/r) = −q(r/b).
ab(a − b) = r 2 (a − b) ⇒ ab = r 2 ,
Ejercicio 10.5.3.- Demostrar el Teorema de Helmholtz I: Un campo tangente
en el espacio que se anule en el infinito está totalmente determinado por
su rotacional y su divergencia.
Solución.- Sean Di campos que se anulan en el infinito y tales que div D1 =
div D2 y rot D1 = rot D2, entonces para D = D1 − D2, tendremos que div D =
rot D = 0, entonces irot Dω3 = d(γD) = 0 y por el Lema de Poincaré (3.22), pág.165,
γD = iDT2 = df es decir D = grad f ahora bien ∆f = div grad f = div D = 0 es decir
f es armónica y por lo tanto las fx i y como estas se anulan en el infinito, tendremos
por el ejercicio (10.5.2) que son nulas y por tanto D = 0.
Ejercicio 10.5.4.- Demostrar el Teorema de Helmholtz II: : Todo campo
D ∈ D(R 3 ) que se anule en el infinito es suma de un campo con divergencia
nula y otro con rotacional nulo.
Solución.- Si D = fi∂i, por el Teorema de la Ecuación de Poisson existe un
único campo Z = gi∂i, tal que ∆gi = −fi. Ahora el resultado se sigue de que para
todo campo Z, si denotamos ∆Z = (∆gi)∂i, se tiene la igualdad
−∆Z = − grad div Z + rot(rot Z),
pues div Z = gjxj y la componente i de su gradiente es ( gjxj )xi = gjxj xi ,
y por último rot Z tiene componentes (g3x2 − g2x3 , g1x3 − g3x1 , g2x1 − g1x2 ) y su
rotacional
g2x1x2 − g1x2x2 − g1x3x3 + g3x1x3 ,
g3x2x3 − g2x3x3 − g2x1x1 + g1x2x1 ,
g1x3x1 − g3x1x1 − g3x2x2 + g2x3x2 .
Ejercicio 10.6.1.- Resolver la ecuación ∆u = 0, considerando las condiciones:
(1) u(1, θ) = cos 2 θ,
(2) u(1, θ) = sen 3 θ.
Indicación.- (1) cos 2 θ = (1 + cos 2θ)/2.
Ejercicio 10.7.1.- (1) La solución u para la ecuación 10.15, con P > 0, no puede
alcanzar un máximo positivo ni un mínimo negativo en el abierto acotado Ω.
(2) Como consecuencia demostrar la siguiente versión del principio del máximo:
si M1 ≤ u ≤ M2 en ∂Ω, con M1 < 0 y M2 > 0, entonces M1 ≤ u ≤ M2 en

856 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Ω. (3) Comprobar que para M1 < M2 arbitrarias en general no es cierto el
resultado. (4) Demostrar que (de existir) la solución u, es continua respecto
de su valor f en la frontera.
Indicación. (1) Si u alcanza un máximo en x ∈ Ω, ux ix i (x) ≤ 0, por tanto
P (x)u(x) = ∆u(x) ≤ 0 y u(x) ≤ 0. (2) Por continuidad u alcanza el máximo en un
punto x del compacto Ω, si x ∈ U por el resultado anterior u(x) ≤ 0 ≤ M2, el resto
es obvio. (3) Considérese la función u = x 2 + y 2 + 1. (4) Se sigue de (2) restando dos
soluciones.
Ejercicio 10.7.2.- Demostrar que si denotamos con ∂n el campo unitario normal
exterior a las esferas centradas en el origen, entonces
vol[S(0, r)] = i∂nω = r n−1
i∂nω = r n−1 vol[S(0, 1)].
S(0,r)
S(0,1)
Indicación. Considérese la homotecia F (x) = rx, entonces
ω = F
S(0,1)
∗ (i∂n ω),
i∂n
S(0,r)
y basta demostrar que F∗∂n = r∂n, pues como F ∗ω = rnω, tendremos que F ∗ (i∂n ω) =
rn−1i∂n ω.
Ejercicio (Principio del máximo) 10.7.3.- Demostrar como consecuencia del
teorema del valor medio que si u es armónica en un abierto conexo U: (i) Si
alcanza un máximo (ó mínimo) en U, entonces es constante. (ii) Que si U es
acotado y u ∈ C(U), entonces u alcanza el máximo y el mínimo en ∂U (sin
condiciones de regularidad)
Demostración. (i) Sea λ = máx u y consideremos el cerrado de U, C = {x ∈
U : u(x) = λ}, el cual es abierto pues si x0 ∈ C, existe r > 0, tal que B[x0, r] ⊂ U
y como u(x0) es el promedio de u en esa bola, tendremos que en ella u = λ. Por
conexión C = U y u = λ. (ii) u alcanza el máximo y el mínimo por ser continua
en un compacto ahora si uno de ellos lo alcanza en u es constante, en particular lo
alcanza en el borde.
Ejercicio (Problema de Dirichlet) 10.7.5.- (i) Unicidad. Demostrar que dada
una función f ∈ C(∂U), para U abierto conexo acotado, si existe es única la
función armónica en U, u ∈ C(U), que satisface u = f en ∂U (sin condiciones de
regularidad). (ii) Dependencia continua. Demostrar que si existe la solución
ui del Problema de Dirichlet para f = fi (i = 1, 2), entonces para la norma
infinito (del supremo) respectivamente en U y en S = ∂U, se tiene que
u1 − u2∞,U ≤ f1 − f2∞,S.
Demostración. (i) Dadas dos soluciones se sigue del ejercicio anterior que su
diferencia es nula, pues alcanza el máximo y el mínimo en el borde donde es nula. (ii)
Es similar.

10.13. Ejercicios resueltos 857
Ejercicio 10.7.6.- Demostrar que toda función armónica en R n integrable es
nula.
Demostración. Por el Teorema del valor medio (10.46)
1
u(x) =
rn
u dm,
m(B) B(x,r)
y el resultado se sigue tomando límites pues u es integrable por tanto existe y es finito
el
lím
r→∞
u dm =
B(x,r)
Rn u dm.
Ejercicio 10.7.7.- Demostrar que si u es el potencial de una densidad de cargas
ρ ∈ C 1 c (R 3 ) y q = ρ es la carga total, entonces el valor medio de u en cualquier
esfera de radio r que contenga toda la carga es q/r.
Demostración. Consideremos una variedad con borde Ω que contenga al sop ρ
y una esfera S[x, r] de una bola B[x, r] ⊃ Ω que contenga la carga, entonces por la
ecuación de Poisson y el Teorema de Gauss
−4πq = ∆u dy = ∂nu ds = Nu ds,
Ω
∂Ω
S[x,r]
para N el campo unitario normal exterior a las esferas de centro x, donde la última
igualdad se sigue del Teorema de Gauss en el volumen B[x, r]\Ω, en el que u es
armónica. Por tanto la función de la derecha es constante en r. Si tomamos un r ′ > r,
v = 1/x − y y consideramos el volumen C = B[x, r ′ ]\B[x, r] en el que ambas son
armónicas y aplicamos la segunda identidad de Green, tendremos que
S[x,r ′
u Nv − u Nv = u∂nv = v∂nu =
]
S[x,r]
∂C
∂C
S[x,r ′
v Nu − v Nu,
]
S[x,r]
y como en cada esfera S[x, r], v = 1/r y Nv = −1/r2 , tendremos que para f(r) =
(1/4πr2 )
S[x,r] u el valor medio de u en S[x, r]
f(r) − f(r ′ ) = 1
4π (
S[x,r ′
u Nv − u Nv)
]
S[x,r]
= 1
4π (
S[x,r ′
v Nu − v Nu) =
]
S[x,r]
q q
−
r r ′
y por tanto f(r) − q/r = k es constante y f(r) = (q/r) + k, pero k = 0 pues f(r) → 0
cuando r → ∞, pues u(x) → 0.

858 Tema 10. La Ecuación de Laplace
10.14. Bibliografía y comentarios
Los libros consultados para la elaboración de este tema han sido:
Boyce, W. E. and DiPrima, R.C.: “Elementary Differential Equations and Boun-
dary value Problems”. J.Wiley, 1977.
Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Physics. Vol.II, Partial
Differential Equations”. J.Wiley, 1962.
Derrick, W.R. and Grossman, S.J.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”.
Fondo Educativo Interamericano, 1984.
Edwards, C.H.Jr. and Penney,D.E.: “Ecuaciones diferenciales elementales con
aplicaciones”. Prentice–Hall Hispanoamericana, 1986.
Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986.
Godunov, S.K.: “Ecuaciones de la Física Matemática”. Ed.Mir, 1978.
Kellog, O.D.: “Foundations of Potential Theory”. Springer–Verlag, 1967. Reim-
presión de la primera edición de 1929.
Mijáilov, V.P.: “Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales”. Ed.Mir, 1978.
Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Ed. McGraw-
Hill. 1977.
Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacio-
nal, 1983.
Tijonov, A.N. y Samarski, A.A.: “Ecuaciones de la Física matemática”. Ed. Pue-
blo y Ciencia, 1975.
Weinberger, H.F.: “Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. Ed. Reverté,
1970.
Zachmanoglou, E.C. and Thoe, D.W.: “Introduction to Partial Differential Equa-
tions with Applications”. Dover, 1986.
Uno de los problemas mas importantes estudiados durante el siglo
XVIII fue el de determinar la magnitud de la atracción que una masa
ejerce sobre otra, problema motivado por ejemplos tan característicos
como el del Sol y un planeta, la Tierra y la Luna, etc. Si ambas masas
estaban muy alejadas entre sí, podían ser consideradas como masas
puntuales, pero si estaban relativamente cercanas, era fundamental
considerar la forma de dichas masas.
En 1740, Colin Maclaurin, (1698–1746) demostró que por la acción
de la gravedad una masa homogénea de líquido en rotación sobre
un eje con velocidad uniforme, debe tener la forma de un elipsoide de

10.14. Bibliografía y comentarios 859
revolución, siendo el eje menor el de giro (teorema dado por Isaac Newton
(1642–1727), sin demostración). No obstante el método geométrico
utilizado por este autor así como por Isaac Newton y otros no era
el más potente para este tipo de problemas, pues sólo en situaciones
muy particulares de las masas podía ser de utilidad. Por ello no es de
extrañar que surgiera un método alternativo, el analítico, para estudiar
este problema.
La idea de que una fuerza F puede derivar de una función potencial,
F = grad u, e incluso el término de función potencial, fueron utilizados
por Daniel Bernoulli (1700–1782), en su tratado sobre “Hidrodinámica”
de 1738.
Por otra parte la ecuación de Laplace (tridimensional) aparece por
primera vez en 1752 en el trabajo de Leonard Euler (1707–1783)
titulado “Principios del movimiento de fluidos”, en el que demuestra
que el campo de velocidades del fluido es un gradiente D = grad v y si el
líquido es incompresible obedece a la llamada ley de continuidad, div D =
0, lo cual equivale a que ∆v = 0 y dice que no se conoce cómo resolver
esta ecuación en general, por lo que sólo considera casos especiales en los
que v es un polinomio. En 1762, Joseph Louis Lagrange (1736–1813)
retoma el tema (aunque no menciona a Euler) y mejora tanto las ideas
como la exposición de las mismas.
En 1772 Pierre Simon LaPlace (1749–1827) inicia una serie de
trabajos sobre la fuerza de atracción ejercida por volúmenes de revolución,
en los que no habla de la función potencial sino de las tres componentes
de la fuerza de atracción. En 1782, Adrien Marie Legendre
(1752–1833) también inicia una serie de trabajos en el mismo tema pero
utilizando la función potencial. En dichos trabajos introduce los polinomios
que llevan su nombre y deduce algunas de sus propiedades. También
en 1782 (probablemente inspirado por el trabajo de Legendre),
LaPlace escribe su célebre artículo
“Teoría de las atracciones de los esferoides y de las figuras de los planetas”
en el que aborda el problema de la atracción pero para un volumen arbitrario,
no necesariamente de revolución y trabajando con la función
potencial, y no con las componentes de la fuerza como en sus primeros
trabajos. En este trabajo demuestra que el potencial satisface la ecuación
de LaPlace, expresada en coordenadas esféricas, aunque no explica como
obtiene la ecuación. Es en un artículo posterior donde expresa la ecuación
en coordenadas rectangulares, aunque ambas formas habían sido
dadas ya por Euler y Legendre. En este artículo dice, erróneamente,

860 Tema 10. La Ecuación de Laplace
que el potencial satisface también la ecuación de LaPlace en el interior
del volumen, cosa que corrige en 1813 Siméon Denis Poisson (1781–
1840), demostrando que en el interior el potencial satisface la ecuación
que lleva su nombre, aunque con una demostración poco rigurosa como él
mismo reconoció. La demostración rigurosa la dio en 1813 Karl Friedrich
Gauss (1777–1855). En su artículo Poisson observa la utilidad
de la función potencial en electricidad, donde el papel de la densidad
de masa la tiene la carga eléctrica. Partiendo de esto George Green
(1793–1841) dio un tratamiento puramente matemático a la electricidad
estática y al magnetismo utilizando la función potencial. En 1828 publicó
un artículo en el que entre otros resultados demuestra la llamada
por nosotros segunda fórmula de Green, la cual también fue demostrada
ese mismo año por el ruso Miguel Ostrogradsky (1801–1861).
Para mas datos de naturaleza histórica, en particular sobre el principio
de Dirichlet y la existencia de solución en una región con valores
conocidos en el borde (problema de Dirichlet), remitimos al lector interesado
a los libros de los que hemos sacado los comentarios anteriores, en
particular a las páginas 693–704, 900–906 y 928–933 del libro
Kline, Morris: “El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días”.
Tomo II, Ed. Alianza Univ., N.724, 1972.
y en general al
Cajori, Florian: “A history of mathematics”. Chelsea Pub. Co., 1985. (Reedición
de la segunda edición de 1919, siendo la primera edición de 1893).
Por último el Teorema de Picard lo hemos seguido esencialmente
por el
Goursat, Edouard: “Cours d’analyse mathématique, Tome III”. Gauthier–Villars,
1942.
(página 254) aunque también puede encontrarse, como consecuencia de
resultados mas generales, en la página 270 del Kellog. En la página 277
del Kellog también hay comentarios históricos relativos al problema de
Dirichlet.
Fin del Tema 10

Tema 11
La Ecuación de ondas
11.1. La Ecuación de ondas unidimensional
Consideremos una cuerda flexible y uniforme con densidad de masa
ρ, de longitud L, fija por sus extremos, estirada por la acción de una
fuerza de tensión constante de módulo T . Supongamos que cuando la
cuerda vibra lo hace en un plano, en el que consideramos un sistema de
coordenadas (x, y) de modo que los extremos de la cuerda están sobre el
eje x, en los puntos (0, 0) y (L, 0).
Para cada t ∈ R denotemos con y = y(x, t) la función cuya gráfica
representa la forma de la cuerda en ese instante t. Si suponemos que el
ángulo θ de la tangente a la cuerda respecto del eje x, en cualquier instante
de su vibración, es suficientemente pequeño como para despreciar
los términos θ n , para n ≥ 2, entonces tendremos que
y para cada t ∈ R y x ∈ [0, L],
sen(θ) = θ , cos(θ) = 1 , tan(θ) = θ,
yx(x, t) = tan(θ) = sen(θ).
En cada instante la tensión de la cuerda está actuando tangencialmente
en cada punto de la cuerda y su módulo variará dependiendo de
861

862 Tema 11. La Ecuación de ondas
la longitud de la cuerda en ese instante. Como la longitud de la cuerda
no varía (módulo θ 2 ) —si, como estamos suponiendo, la desplazamos en
un ángulo θ —, el módulo de la tensión tampoco varía y es T .
Consideremos ahora un x ∈ [0, L],
un ɛ > 0 y el trozo de cuerda que
en el instante t está entre x y x +
ɛ. Denotemos con θ el ángulo de la
tangente a la curva en x y con θ +
∆θ el de x + ɛ. Las fuerzas que están
actuando sobre ese trozo de cuerda
son la gravedad y las dos tensiones
Figura 11.1. cuerda vibrante
tangenciales.
Si denotamos con e1 = (1, 0) y
e2 = (0, 1) los vectores de la base del plano, tendremos que la suma
de las fuerzas que actúan sobre el trozo de cuerda es
pues
− ρɛg e2 + T cos(θ + ∆θ)e1 + T sen(θ + ∆θ)e2−
− T cos(θ)e1 − T sen(θ)e2 =
= [−ρɛg + T (yx(x + ɛ, t) − yx(x, t))]e2,
cos(θ) = cos(θ + ∆θ) = 1, (módulo θ 2 ).
Ahora esta fuerza F produce el movimiento de la cuerda y por la
Segunda Ley de Newton debe ser igual a
ma e2 = ρɛytt(x, t)e2.
Dividiendo por ɛ y haciendo ɛ → 0, tenemos la ecuación
ó para a = T/ρ,
T yxx − ρg = ρytt,
(11.1) a 2 yxx − g = ytt.
A menudo esta ecuación aparece en los libros sin el término −g,
(11.2) a 2 yxx = ytt Ecuación de Ondas
la cual describe el movimiento en ausencia de gravedad, pero es que
cuando la densidad de masa ρ de la cuerda es pequeña en comparación

11.1. La Ecuación de ondas unidimensional 863
con la tensión T de la cuerda, como por ejemplo en la cuerda de una
guitarra, entonces para cada solución y de 11.2 podemos considerar
z(x, t) = y(x, t) + x(x − L) g
,
2a2 que es solución de 11.1, y si y satisface las condiciones y(0, t) = y(L, t) =
0 para todo t, entonces z también y se tiene que zt(x, t) = yt(x, t) y
cuando a es grande, el segundo término de z y sus derivadas es pequeño
—de hecho las derivadas de orden mayor que dos de z e y coinciden—, por
tanto ambas soluciones son aproximadamente iguales en todo instante,
z(x, t) ∼ y(x, t), en el sentido de que ellas y sus derivadas difieren poco.
Esto nos lleva a estudiar las soluciones de 11.2 que satisfacen las
condiciones frontera e iniciales
y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = u(x) , yt(x, 0) = v(x),
las cuales representan el movimiento de una cuerda que vibra con los
extremos fijos (condiciones frontera), empezando en el instante 0 con
una forma determinada por u y con una velocidad v (condiciones iniciales).
Observemos que la ecuación de ondas está definida por un ODL en
el plano xt de segundo orden, de tipo hiperbólico.
11.1.1. Series de Fourier.
Teorema 11.1 El conjunto de funciones de [−L, L], para n = 1, 2, . . .
φ0(x) = 1
√ 2 , φn(x) = cos nπx
L , ϕn(x) = sen nπx
L ,
es ortonormal, con el producto interior
< f, g >= 1
L
f(x)g(x)dx.
L −L
Demostración. Por una parte < φn, ϕm >= 0, porque φnϕm es una
función impar y por otra si denotamos con un cualquiera de las funciones
φn ó ϕn, entonces se tiene que
u ′′ n = −
nπ
2 un, un(L) = un(−L), u
L
′ n(L) = u ′ n(−L),

864 Tema 11. La Ecuación de ondas
y para n = m se sigue que
(m 2 − n 2 ) π2
L2 L L
unum =
−L
Por otro lado tienen norma 1 pues
L
−L
L
−L
L
2 nπx 1
cos =
L 2
−L
u
−L
′′ num − u ′′ mun
L
= (u
−L
′ num − u ′ mun) ′
= [u ′ num − u ′ mun] L −L = 0.
1 + cos 2nπx
= 1
2L +
2
L
sen
2nπ
2nπx
L
2 nπx
sen
L =
L
2 nπx
1 − cos = L.
−L
L
L
L
−L
= L
Además estas funciones son base del espacio de Hilbert L2[−L, L], espacio
cociente de L2[−L, L] (funciones Borel medibles de cuadrado integrable)
con la relación de equivalencia dada por la igualdad de funciones
salvo en un conjunto de medida nula. Es decir que el menor subespacio
cerrado que las contiene es el total.
Toda u de esta clase tiene una serie de Fourier
∞
∞
u = anφn + bnϕn,
n=0
donde la serie se entiende como el límite de las sumas parciales con la
norma que induce el producto interior y los coeficientes de Fourier an y
bn de u, vienen dados por
a0 =< u, φ0 >= 1
L √ 2
an =< u, φn >= 1
L
bn =< u, ϕn >= 1
L
n=1
L
−L
L
−L
L
−L
u(x)dx,
u(x) cos nπx
L dx,
u(x) sen nπx
L dx,

11.1. La Ecuación de ondas unidimensional 865
además se tiene la igualdad de Parseval
u 2 =< u, u >= 1
L
u
L −L
2 ∞
(x)dx =
n=0
a 2 n +
∞
b 2 n.
Observemos que no sólo podemos definir los coeficientes de Fourier
para funciones de cuadrado integrable en [−L, L], sino también para
funciones integrables —dada la acotación de nuestro sistema de funciones—,
aunque para estas no necesariamente converge la serie.
Desde un punto de vista práctico nos interesa saber bajo que condiciones
la serie de Fourier de una función u, no sólo converge en el sentido
de la topología de L2 a u, sino de la convergencia puntual o incluso de la
uniforme. En este sentido el siguiente resultado es uno de los mas importantes
(ver Kolmogorov–Fomin, páginas 433 y 452 ó Weinberger,
páginas 86 − 91).
Teorema de Dirichlet 11.2 Si u: R −→ R es una función acotada, de
período 2L, en cuyos puntos de discontinuidad, si los tiene, existen los
límites laterales de u y son finitos y en todo punto tiene derivadas laterales
finitas, entonces se tiene que su serie de Fourier converge puntualmente,
para cada x ∈ [−L, L], al valor
a0
lím √ +
N→∞ 2
N
n=1
an cos nπx
L + bn sen nπx
L
n=1
= u(x+ ) + u(x− )
,
2
además si u es continua y de clase 1 salvo en una colección finita de
puntos, la convergencia es uniforme.
En el caso particular de que u, con nuestra condición u(L) = u(−L),
sea impar, es decir u(−x) = −u(x), se tendrá que u(0) = 0, u(L) = 0 y
los an = 0 y por tanto
u(x) =
∞
n=1
bn sen nπx
L ,
y en el caso de que u sea par, u(−x) = u(x), se tiene que los bn = 0 y
u(x) = a0
√2 +
∞
n=1
an cos nπx
L .

866 Tema 11. La Ecuación de ondas
11.1.2. Solución de D’Alembert.
En primer lugar estudiaremos las soluciones de 11.2 que satisfacen
las condiciones
y(0, t) = y(L, t) = 0, (condiciones frontera)
y(x, 0) = u(x), yt(x, 0) = 0, (condiciones iniciales)
y en segundo lugar estudiaremos las que satisfacen las condiciones
y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = 0 , yt(x, 0) = v(x),
obviamente la suma de ambas soluciones satisfacen las condiciones generales.
Analicemos primero si existe alguna solución de 11.2 en variables
separadas, es decir de la forma
satisfaciendo las condiciones
y(x, t) = h(x)g(t),
y(0, t) = y(L, t) = 0 , yt(x, 0) = 0,
en cuyo caso se tendría para cualquier (x, t)
a 2 h ′′ (x)g(t) = h(x)g ′′ (t),
y esto ocurre si existe una constante λ para la que
h ′′ (x)
h(x) = g′′ (t)
a2 = −λ,
g(t)
es decir si se satisfacen las ecuaciones y condiciones
h ′′ (x) + λh(x) = 0 , h(0) = h(L) = 0,
g ′′ (t) + a 2 λg(t) = 0 , g ′ (0) = 0.
Ahora bien nosotros sabemos que las únicas soluciones h no triviales
con esas condiciones corresponden a
λ = α 2 n , αn = nπ
L ,
para cada n = 1, 2, . . . Y las soluciones son, para cada n, múltiplos de
hn(x) = sen(αnx),

11.1. La Ecuación de ondas unidimensional 867
y las soluciones g, que corresponden a estos valores de λ, son de la forma
por lo que
g(t) = A cos(aαnt) + B sen(aαnt),
g ′ (t) = −Aaαn sen(aαnt) + Baαn cos(aαnt),
y g ′ (0) = 0 implica que B = 0, por tanto las soluciones g son múltiplos
de
gn(t) = cos(aαnt).
Concluimos que para cada n ≥ 1,
yn(x, t) = hn(x)gn(t) = sen(αnx) cos(aαnt),
y cualquier combinación finita de ellas son soluciones de
a 2 yxx = ytt , y(0, t) = y(L, t) = 0 , yt(x, 0) = 0,
y es de esperar que las combinaciones infinitas
y(x, t) =
∞
bnhn(x)gn(t),
n=1
también sean solución y que eligiendo
adecuadamente las bn se tenga la otra
condición frontera, es decir la posición
inicial de la cuerda
∞
y(x, 0) = bnhn(x)gn(0)
=
n=1
∞
bn sen(αnx) = u(x).
n=1
Figura 11.2. Posición inicial
Esto nos sugiere la siguiente construcción formal. Como nuestra u
está definida en [0, L], podemos extenderla a [−L, L] de forma impar,
definiendo u(−x) = −u(x), y podemos considerar sus coeficientes de
Fourier bn, con los que definimos formalmente
∞
∞
y(x, t) = bnhn(x)gn(t) = bn sen(αnx) cos(aαnt).
n=1
n=1

868 Tema 11. La Ecuación de ondas
La cuestión consistiría en probar que esta serie converge puntualmente
a una función solución de nuestra ecuación satisfaciendo las propiedades
requeridas. Sin embargo no haremos esto 1 , sino que seguiremos
la demostración dada por D’Alembert, haciendo uso de la descripción
formal anterior, que nos indicará cual es la solución
y(x, t) =
∞
bn sen(αnx) cos(aαnt)
n=1
= 1
2
∞
n=1
bn sen(αn(x + at)) + 1
2
y por la definición de los bn tendremos que
= u(x + at) + u(x − at)
,
2
∞
bn sen(αn(x − at)),
para u: R −→ R la extensión impar y periódica de nuestra u: [0, L] −→
R inicial. Esto nos sugiere considerar la función
y(x, t) =
n=1
u(x + at) + u(x − at)
,
2
la cual se demuestra fácilmente que es
solución satisfaciendo las condiciones
iniciales. Tal solución representa un
par de “ondas=olas” que se mueven
hacia la derecha y hacia la izquierda,
a lo largo del eje x, con velocidad
constante a. Esta es la razón de lla- Figura 11.3. Ondas viajeras
mar a esta ecuación ecuación de ondas.
Nos planteamos ahora la búsqueda de la solución de (11.2) satisfaciendo
las condiciones
y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = 0 , yt(x, 0) = v(x).
Como antes consideramos las posibles soluciones y = h(x)g(t) satisfaciendo
y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = 0,
1 Remitimos al lector interesado en una demostración en esta linea a las pág. 99–
102 del Tijonov, A.N. and Samarski, A.A.

11.1. La Ecuación de ondas unidimensional 869
esto implica que h y g satisfacen las ecuaciones y condiciones
h ′′ (x) + λh(x) = 0 , h(0) = h(L) = 0,
g ′′ (t) + a 2 λg(t) = 0 , g(0) = 0,
por tanto son los múltiplos, respectivamente y para cada n ∈ N, de
hn(x) = sen(αnx) , gn(t) = sen(αnat).
Se sigue que las combinaciones lineales finitas de yn = hngn, son
soluciones de este problema y nos preguntamos si existirán cn ∈ R para
las que
∞
y(x, t) = cn sen(αnx) sen(αnat),
n=1
sea la solución a nuestro problema inicial. Si así fuera, en buenas condiciones
tendríamos que
yt(x, t) =
∞
acnαn sen(αnx) cos(aαnt),
n=1
yt(x, 0) = v(x) =
∞
acnαn sen(αnx),
n=1
de donde se seguiría que cnαna serían los coeficientes de Fourier de v
—realmente de su extensión impar a [−L, L]—, relativos a sen(αnx), es
decir
cn = 2
Laαn
L
0
v(x) sen(αnx)dx.
Veamos que esta elección de cn satisface nuestro problema. En primer
lugar se tiene, como en el primer caso analizado, que
∞
acnαn sen(αnx) cos(aαnt) =
n=1
=
∞
n=1
acnαn
[sen(αn(x + ta)) + sen(αn(x − at))]
2
= 1
[v(x + at) + v(x − at)],
2

870 Tema 11. La Ecuación de ondas
lo cual nos induce a considerar, para
w(x) =
(y su extensión par), la función
y(x, t) =
x
0
v(x)dx,
w(x + at) − w(x − at)
,
2a
la cual es solución de la ecuación de ondas satisfaciendo y(0, t) = y(L, t) =
0 y las condiciones iniciales y(x, 0) = 0, yt(x, 0) = v(x) (demuéstrelo el
lector).
Finalmente ya podemos dar la solución general de la ecuación de
ondas
y(x, t) =
u(x + at) + u(x − at)
2
satisfaciendo las condiciones
+ w(x + at) − w(x − at)
,
2a
y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = u(x) , yt(x, 0) = v(x),
que representa la superposición de cuatro ondas viajando dos a la derecha
y dos a la izquierda a velocidad constante a.
11.1.3. Energía de la cuerda.
Si y(x, t) representa la forma de la cuerda en el instante t y denotamos
con
x
s(x) = 1 + y2 xdx,
0
la nueva longitud de la cuerda, hasta el punto x, entonces como el desarrollo
de Taylor del integrando es del tipo
1 + y 2 x = 1 + y2 x
2
+ · · · ,
tendremos que el trabajo realizado en un elemento de cuerda dx, de la
posición inicial a la nueva posición, es
T (ds − dx) = T ( 1 + y 2 x − 1)dx ∼ T y2 x
2 dx,

11.1. La Ecuación de ondas unidimensional 871
(donde hemos despreciado los términos de las potencias de yx, de orden
mayor o igual que cuatro). Esto sugiere que definamos la energía
potencial de la cuerda completa como
L
0
T y 2 x
2 dx.
Las razones para esta definición obviamente no han sido mas que
muy débilmente justificadas, sin embargo como se tiene que y(x, t) es
solución de la ecuación de ondas, T yxx = ρytt, entonces
∂ ρ
∂t 2 y2 t + T
2 y2
x = ρytytt + T yxyxt
= T yxxyt + T yxyxt = ∂
(T yxyt),
∂x
y si denotamos la energía de la cuerda en el instante t como la suma de
las energías cinética y potencial,
L
ρ
E(t) =
2 y2 t + T
2 y2
x dx,
0
tendremos que, al ser y(0, t) = y(L, t) = 0
E ′ L
∂ ρ
(t) =
∂t 2 y2 t + T
2 y2
x dx
=
0
L
0
∂
(T yxyt)dx
∂x
= T yx(L, t)yt(L, t) − T yx(0, t)yt(0, t) = 0,
y por tanto la energía es una constante del movimiento de la cuerda.
Ejercicio 11.1.1 Demostrar que la energía de la cuerda, si la soltamos con
velocidad inicial nula y con la forma inicial definida por una función u, vale
∞ T π2
E = b
4L
2 nn 2 ,
n=1
para bn los coeficientes de Fourier de la extensión impar de u.
Ejercicio 11.1.2 Considérese la Lagrangiana asociada a la cuerda
L = T − V = 1
2
L
(ρy
0
2 t − T y 2 x)dx,
y demuéstrese que la ecuación de ondas da un valor estacionario a la acción.

872 Tema 11. La Ecuación de ondas
11.1.4. Unicidad de solución de la ecuación de ondas.
Nos interesa estudiar ahora la unicidad de solución de la ecuación de
ondas satisfaciendo las condiciones
y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = u(x) , yt(x, 0) = v(x).
Para ello observamos que si hubiese dos soluciones y1 e y2, entonces
y = y1 − y2 también sería solución satisfaciendo las condiciones
y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = 0 , yt(x, 0) = 0,
y para ella se tendría que E(t) = E(0), que en este caso vale
L
ρ
E(t) =
0 2 y2 t (x, t) + T
2 y2
x(x, t) dx
L
ρ
=
2 y2 t (x, 0) + T
2 y2
x(x, 0) dx = 0,
lo cual implica que
0
ρ
2 y2 t (x, t) + T
2 y2 x(x, t) = 0 ⇒
yt(x, t) = yx(x, t) = 0 ⇒ y(x, t) = 0.
11.1.5. Aplicaciones a la música.
Instrumentos como la guitarra, el violín o el piano emplean cuerdas
vibrantes para producir sonidos que llamamos musicales. Cuando un
objeto vibra, esta vibración se transmite a través del aire, en la forma
de lo que llamamos ondas sonoras, que son vibraciones periódicas de la
densidad del aire, con las frecuencias del emisor. Estas llegan al oído y
las escuchamos si su frecuencia se encuentra entre 20 y 20000 ciclos por
segundo.
Si escuchamos distintas ondas sonoras simultáneamente, la combinación
se percibe como armónica si las razones de sus frecuencias son
números enteros pequeños, en caso contrario el sonido nos resulta disonante.
La serie
∞
y(x, t) = bn sen(αnx) cos(aαnt),
n=1

11.1. La Ecuación de ondas unidimensional 873
representa el movimiento de una cuerda como superposición de un número
infinito de vibraciones con diferentes frecuencias. El término n–simo
bn sen(αnx) cos(aαnt),
representa una vibración con una frecuencia
νn = aαn
2π =
T
ρ
1 nπ n
=
2π L 2L
T
ρ , ν1 = 1
2L
T
ρ ,
A esta frecuencia mas baja, ν1, se la llama frecuencia fundamental y
en general es la que predomina en el sonido de la cuerda. La frecuencia
νn = nν1 se la llama n–simo sobretono o armónico, por esta razón el
sonido de una cuerda de guitarra suena agradablemente.
Observemos que la frecuencia fundamental de una cuerda no depende
para nada de las condiciones iniciales en las que empiece su movimiento.
Es una particularidad inherente a la cuerda (siempre que nos atengamos
a que el desplazamiento sea pequeño). Además su inversa es el período,
el tiempo que tarda cualquier punto de la cuerda en bajar y subir y que
es también el tiempo que tardan las dos ondas en las que se separa u,
T
que viajan a derecha e izquierda a velocidad a = ρ , en recorrer la
distancia 2L, tras lo cual vuelven a unirse para dar u de nuevo.
Lo que sí depende de las condiciones iniciales, es el mayor o menor
valor que tengan los coeficientes bn, y estas condiciones afectan al timbre
del sonido, que es la forma en que están combinadas todas las frecuencias.
Una cuerda de la guitarra tocada con la yema del dedo o con una púa
sonará de forma distinta. Por otra parte una nota como el Do tocada
en un piano y la misma nota tocada con un violín o con una guitarra,
sonará distinta —con distinto timbre— y la diferencia estará no sólo en
los valores de los coeficientes bn —que por supuesto serán distintos pues
las condiciones iniciales lo serán si en vez de golpear la cuerda (en el
piano), la tocamos con una uña (en la guitarra) ó la rozamos con un
arco (en el violín)—, sino en la forma de la caja en la que resuena el
sonido.
Observemos también que la frecuencia fundamental no varía si modificamos
la tensión y aumentamos —o disminuimos— la longitud de la
cuerda de forma que
√
T
2L ,

874 Tema 11. La Ecuación de ondas
permanezca constante, o que si disminuimos la cuerda a la mitad manteniendo
la tensión, obtenemos una frecuencia doble, es decir una octava
mas alta. Hágase la prueba en una guitarra.
11.2. La Ecuación de ondas bidimensional.
Consideremos una membrana elástica
—como la membrana de un
tambor— con la forma del cuadrado
[−1, 1] × [−1, 1] en el plano xy, con
vertices A = (−1, −1), B = (−1, 1),
C = (1, −1) y D = (1, 1) y estirada
por la acción de cuatro fuerzas
de módulo 2T constante, que actúan
respectivamente sobre cada lado del
Figura 11.4. Fuerzas sobre una membrana
cuadrado en las direcciones de los ejes: T1 = 2T e1, actuando sobre el
lado CD; T2 = −2T e1, sobre AB; T3 = 2T e2 sobre BD y T4 = −2T e2,
sobre AC; donde e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) y e3 = (0, 0, 1) son los
vectores de la base de R 3 .
Supondremos que sobre cada franja de la membrana del tipo [x, x +
a] × [−1, 1], el módulo de las dos fuerzas que actúan en la dirección del
eje y es aT , lo cual es empíricamente evidente.
Supongamos que la membrana tiene una densidad de masa superficial
uniforme ρ y que fijamos la membrana sobre una curva cerrada ∂U, borde
de un abierto U ⊂ [−1, 1] 2 simplemente conexo, es decir “sin agujeros”.
Supongamos además que las vibraciones de la membrana son de amplitud
tan pequeña que el ángulo θ que forma el plano tangente a la membrana
y el plano xy, en cualquier punto y en cualquier instante de su vibración,
es suficientemente pequeño como para despreciar los términos θ n , para
n ≥ 2.
En cuyo caso tendremos que sen θ = θ, cos θ = 1 y tan θ = θ y el
plano tangente a la superficie en cualquier instante no puede ser vertical,
por lo que la superficie es representable como gráfica de una función del
plano. Esto nos permite denotar, para cada t ∈ R, con z = z(x, y, t) la
función cuya gráfica nos da la forma de la membrana en el instante t y

11.2. La Ecuación de ondas bidimensional. 875
para cada t ∈ R y (x, y) ∈ U,
zx(x, y, t) = tan θ1 = sen θ1, zy(x, y, t) = tan θ2 = sen θ2.
La tensión de la membrana en un instante,
está actuando tangencialmente en
cada punto de la membrana, en todas
las direcciones y su módulo varía dependiendo
del área de la membrana en ese
instante. Como el área de la membrana
no varía (módulo θ
Figura 11.5. Membrana vibrante
2 ) —si, como estamos
suponiendo, la desplazamos en un ángulo
θ —, el módulo de la tensión tampoco varía.
Consideremos ahora un punto (x, y) ∈ U, un ɛ > 0 pequeño y el
trozo de membrana que en el instante t está sobre el cuadrado [x − ɛ, x +
ɛ] × [y − ɛ, y + ɛ]. Denotemos con θ2 y con θ2 + ∆θ2, respectivamente, el
ángulo que forman el plano xy y las rectas tangentes a la superficie en
(x, y − ɛ) y (x, y + ɛ), en la dirección del eje y, y con θ1 y con θ1 + ∆θ1
el de las rectas tangentes en (x − ɛ, y) y (x + ɛ, y), en la dirección del eje
x. Las fuerzas que están actuando sobre ese trozo de membrana son la
gravedad y las cuatro tensiones tangenciales.
Se sigue que las 5 fuerzas que actúan sobre el trozo de membrana son
T1 = 2ɛT (cos(θ1 + ∆θ1), 0, sen(θ1 + ∆θ1)),
T2 = −2ɛT (cos θ1, 0, sen θ1),
T3 = 2ɛT (0, cos(θ2 + ∆θ2), sen(θ2 + ∆θ2)),
T4 = −2ɛT (0, cos θ2, sen θ2),
F = (0, 0, −4ɛ 2 ρg),
y por nuestra hipótesis, las componentes x e y de su suma se anulan, por
lo que la fuerza resultante tiene la dirección del eje z y es
−2ɛρg − T (zx(x − ɛ, y, t) + T (zx(x + ɛ, y, t)−
−T (zy(x, y − ɛ, t) + T (zy(x, y + ɛ, t)]2ɛe3.
Ahora esta fuerza produce el movimiento de la membrana y por la
Segunda Ley de Newton debe ser igual a
4ɛ 2 ρztt(x, y, t)e3.

876 Tema 11. La Ecuación de ondas
por tanto se tiene que cuando la membrana vibra, cada punto lo hace en
el eje z perpendicular al plano de la membrana. Ahora dividiendo por
4ɛ 2 y haciendo ɛ → 0, tenemos la ecuación de ondas bidimensional
ó para a = T/ρ,
T (zxx + zyy) − ρg = ρztt,
(11.3) a 2 (zxx + zyy) − g = ztt,
la cual está definida por un ODL de segundo orden, en el espacio xyt.
A menudo esta ecuación aparece en los libros sin el término −g,
(11.4) a 2 (zxx + zyy) = ztt,
la cual describe el movimiento en ausencia de gravedad.
Además se tiene que cuando la curva sobre la que fijamos la membrana
es una circunferencia y la densidad de masa ρ de la membrana es
pequeña en comparación con la tensión T de la membrana, como en la
membrana de un tambor, entonces para cada solución z de 11.4, que se
anule sobre la circunferencia unidad x 2 + y 2 = 1, la función
z(x, y, t) = z(x, y, t) + (x 2 + y 2 − 1) g
,
4a2 es solución de 11.3, satisfaciendo la misma condición frontera, tiene la
misma velocidad en cualquier instante que z y es aproximadamente z en
el mismo sentido que en el caso unidimensional. Para otro borde cerrado,
{f = 0}, con f es buenas condiciones, como que ella y todas sus derivadas
estén uniformemente acotadas en {f = 0}, basta cambiar en la expresión
anterior x 2 + y 2 − 1 por f.
Esto nos lleva a estudiar las soluciones de 11.4 que satisfacen las
condiciones
z(x, y, t) = 0, para los puntos de x 2 + y 2 = 1,
z(x, y, 0) = u(x, y) ,
∂z
(x, y, 0) = v(x, y),
∂t
las cuales representan el movimiento de una membrana fija en la circunferencia
unidad, que en el instante 0 tiene una forma determinada por u
y una velocidad determinada por v.

11.2. La Ecuación de ondas bidimensional. 877
11.2.1. Solución de la ecuación de ondas.
Consideremos en el plano xy el sistema de coordenadas polares (ρ, θ)
y la ecuación de ondas en las coordenadas (ρ, θ, t). Se demuestra fácilmente
que,
∂ ∂ sen θ ∂
= cos θ −
∂x ∂ρ ρ ∂θ
∂ ∂ cos θ ∂
= sen θ +
∂y ∂ρ ρ ∂θ
⇒
∂2 ∂2 ∂2
+ =
∂x2 ∂y2 ∂ρ
1 ∂
+ 2 ρ ∂ρ
+ 1
ρ 2
∂2 ,
∂θ2 por tanto la ecuación de ondas, en las coordenadas (ρ, θ, t), se expresa
de la forma
a 2 (zρρ + 1
ρ zρ + 1
ρ 2 zθθ) = ztt.
En primer lugar buscamos soluciones de la forma
para las cuales debe verificarse
(11.5) a 2
f ′′ (ρ)
f(ρ)
z = f(ρ)g(θ)h(t),
1 f
+
ρ
′ (ρ) 1
+
f(ρ) ρ2 g ′′
(θ)
=
g(θ)
h′′ (t)
h(t) ,
y por tanto las dos partes de la ecuación deben de ser iguales a una
constante, pues dependen de distintas coordenadas, es decir que existe
λ ∈ R tal que
f ′′ (ρ)
f(ρ)
h ′′ (t) + λa 2 h(t) = 0,
1 f
+
ρ
′ (ρ) 1
+
f(ρ) ρ2 g ′′ (θ)
= −λ.
g(θ)
Ahora bien si λ es negativa, λ = −α 2 , la solución de la primera
ecuación es de la forma
h(t) = c1e aαt + c2e −aαt ,
y la correspondiente solución z → ∞ ó z → 0, cuando t → ∞, —
ó z → −∞, dependiendo del signo de las constantes—, lo cual implica
que no es una solución que represente a la membrana vibrando. Algo
similar ocurre si λ = 0, en cuyo caso h es afín. No obstante en (11.10),
pág.888, veremos que sólo para λ ≥ 0 existen soluciones f y g verificando
que en el borde la función producto fgh, se anula.

878 Tema 11. La Ecuación de ondas
Consideremos pues el caso en que λ es positiva, λ = α 2 para α > 0,
en cuyo caso las ecuaciones son
h ′′ (t) + α 2 a 2 h(t) = 0,
ρ 2 f ′′ (ρ)
f(ρ) + ρf ′ (ρ)
f(ρ) + α2 ρ 2 = − g′′ (θ)
g(θ) ,
la solución de la primera ecuación es
h(t) = c1 cos(aαt) + c2 sen(aαt),
y para la segunda ecuación, como los dos lados de la igualdad son funciones
de distintas coordenadas, son una misma constante µ. Ahora bien
como la solución de g ′′ (θ) + µg(θ) = 0 debe ser periódica, la única posibilidad
es que µ = n 2 , para cada natural n (demuéstrelo el lector). Por
tanto la segunda ecuación da lugar a las dos ecuaciones
g ′′ (θ) + n 2 g(θ) = 0,
ρ 2 f ′′ (ρ) + ρf ′ (ρ) + (α 2 ρ 2 − n 2 )f(ρ) = 0,
la primera de las cuales tiene solución
g(θ) = d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ),
y la segunda es la Ecuación de Bessel (ver la pág.248)
x 2 y ′′ (x) + xy ′ (x) + (x 2 − p 2 )y(x) = 0,
donde x = αρ y p = n, por tanto tiene soluciones
f(ρ) = kJn(αρ),
para Jn la función de Bessel de orden n, solución de la Ecuación de
Bessel para p = n.
Ahora bien buscamos las soluciones que satisfagan
z(1, θ, t) = 0 ⇒ f(1) = 0 ⇒ Jn(α) = 0,
es decir que α = αni es una de las infinitas raíces de Jn. Por lo tanto las
combinaciones lineales finitas de las funciones z(ρ, θ, t) de la forma
Jn(αniρ)[d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ)][c1 cos(aαnit) + c2 sen(aαnit)],

11.2. La Ecuación de ondas bidimensional. 879
son soluciones de nuestra ecuación, para n = 0, 1, 2, . . ., αni raíz de Jn y
d1, d2, c1, c2 constantes.
Si ahora consideramos que la velocidad inicial es nula
zt(ρ, θ, 0) = 0 ⇒ c2 = 0,
nos quedan las soluciones de la forma
z(ρ, θ, t) = Jn(αniρ)[d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ)] cos(aαnit),
y sus combinaciones lineales finitas. Por último si además consideramos
la condición inicial del tipo
z(ρ, θ, 0) = k(ρ, θ) = k(ρ) ⇒ n = 0,
las únicas posibles soluciones del tipo anterior corresponden a n = 0 y
si denotamos con αi las raíces de J0, las soluciones son las funciones de
la forma
z(ρ, θ, t) = J0(αiρ) cos(aαit),
y sus combinaciones lineales finitas.
Ahora bien el Teorema de Fourier–Bessel asegura que dada una
función k = k(ρ), con k(1) = 0 y ciertas propiedades —en particular si
es continua en [0, 1] y derivable salvo en un número finito de puntos en
los que la derivada tiene límites laterales finitos, entonces se tiene que la
serie
∞
cnJ0(αnρ),
para los coeficientes
cn =
n=1
2
J1(αn) 2
1
0
ρk(ρ)J0(rnρ)dρ,
converge puntualmente a la función k(ρ) en [0, 1]. (Ver Watson).
Por tanto hemos construido una serie formal
∞
z(ρ, θ, t) = cnJ0(αnρ) cos(aαnt),
n=1
para αn las raíces de J0, que está formada por soluciones de nuestra
ecuación y que al menos formalmente, satisface las condiciones frontera
y las condiciones iniciales. En el Weinberger, páginas 193 − −196 se

880 Tema 11. La Ecuación de ondas
demuestra de forma mas general que si la función k = k(ρ, θ) es suficientemente
regular, entonces eligiendo los coeficientes cn como antes y
convenientemente los coeficientes cni, la serie
∞
cnJ0(αnρ) cos(aαnt)+
n=1
+
∞
n,i=1
cniJn(αniρ)[d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ)] cos(aαnit),
converge uniformemente a una función que es solución de la ecuación de
ondas, satisfaciendo las condiciones
z(1, θ, t) = 0, z(ρ, θ, 0) = k(ρ, θ), zt(ρ, θ, 0) = 0.
11.3. La Ecuación de ondas n–dimensional.
11.3.1. La desigualdad del dominio de dependencia.
La ecuación de ondas n–dimensional, es
ux1x1 + · · · + uxnxn − utt = 0 ⇔ ∆u − utt = 0,
en las coordenadas (xi, t) de R n+1 , y está definida por el ODL de tipo
hiperbólico, ∆ − ∂tt, que para n = 3 llamamos D’Alembertiano (ver
pág.910, aunque el signo está cambiado). Su símbolo T 2 , nos permite
definir un isomorfismo de módulos γ : Ω(R n+1 ) → D(R n+1 ), tal que
γ(ω) = iωT 2 ∈ T 1 0 (R n+1 ) ∼ D(R n+1 ). Denotaremos con T2, el tensor
covariante correspondiente
que en coordenadas es
T2 : D(R n+1 ) × D(R n+1 ) −→ C ∞ (R n+1 ),
T2(D1, D2) = T 2 (γ −1 D1, γ −1 D2),
T2 = dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn − dt ⊗ dt.

11.3. La Ecuación de ondas n–dimensional. 881
Consideremos en cada punto a ∈ R n+1 el
conjunto de los vectores Da = ξi∂xi +
η∂t ∈ Ta(R n+1 ) isótropos para T2, es
decir tales que T2(Da, Da) = 0, los cuales
forman un cono ξ 2 i − τ 2 = 0.
Definición. Llamamos hipersuperficie
característica a cada cono Sa de R n+1
(x1−a1) 2 +· · ·+(xn−an) 2 −(t−t0) 2 = 0,
Figura 11.6. cono característico
con vértice en a = (t0, a0) = (a1, . . . , an, t0) ∈ R n+1 , correspondiente al
cono de vectores isótropos en a. Si consideramos t0 > 0 y denotamos con
Ca = {(x1 − a1) 2 + · · · + (xn − an) 2 ≤ (t − t0) 2 , 0 ≤ t ≤ t0},
la parte positiva e inferior del cono sólido, entonces tendremos que para
cada T ≤ t0 la intersección
Ca ∩ {t = T } = {(x1 − a1) 2 + · · · + (xn − an) 2 ≤ (t0 − T ) 2 }
se identifica con la bola cerrada de R n , B[a0, t0 − T ], centrada en a0 y
de radio t0 − T . Por último denotaremos con
C = Ca ∩ {t ≤ T },
el tronco de cono sólido entre los hiperplanos t = 0 y t = T .
Nota 11.3 Recordemos que para C ⊂ R n+1 cualquier variedad con borde,
N el vector unitario normal exterior a ∂C, D cualquier campo tangente
de R n+1 y para la forma de volumen
ω = dt ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxn,
el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 nos asegura que
(11.6) (div D) ω = iDω = < D, N > i∂nω,
C
∂C
donde la última igualdad se sigue fácilmente si extendemos N con una
base D1, . . . , Dn, de campos tangentes a ∂C, ortonormales, de tal modo
que
ω(N, D1, . . . , Dn) = 1,
∂C

882 Tema 11. La Ecuación de ondas
entonces para cualquier campo
n
D = < D, Di > Di+ < D, N > N,
i=1
tendremos que en ∂C, iDω = f · iN ω, para
f = iDω(D1, . . . , Dn) = ω(D, D1, . . . , Dn) =< D, N > .
Ahora volviendo a considerar nuestro tronco de cono C, tenemos que
∂C está formado por tres hipersuperficies, la parte de arriba del tronco de
cono S1 —que se identifica con la bola B[a0, t0 − T ]—, en la que N = ∂t;
la de abajo S2 —que se identifica con B[a0, t0]—, en la que N = −∂t; y
la superficie cónica, llamémosla S, en la que
n ∂ ∂
N = ni + nt
∂xi ∂t ,
verifica
n
i=1
i=1
n 2 i + n 2 t = 1, (por ser N unitario),
n
n 2 i − n 2 t = 0, (por ser S característica). ⎪⎭
i=1
⎫
⎪⎬
⇒ nt = 1
√ 2 .
Aunque nos estamos limitando —y lo seguiremos haciendo—, al semiespacio
t ≥ 0, no hay pérdida de generalidad en ello, pues con un
cambio de coordenadas del tipo t = −t, la ecuación de ondas permanece
invariante, por lo que el estudio correspondiente a t ≤ 0 se reduce al que
vamos a hacer.
En estos términos se tiene el siguiente resultado.
Teorema de la desigualdad del dominio de dependencia 11.4
Sea a = (a0, t0) ∈ Rn+1 , con t0 > 0 y sea Ω un abierto de Rn+1 que
contiene a Ca. Si u ∈ C2 (Ω) es solución de la ecuación de ondas en Ca,
entonces para cada 0 ≤ T ≤ t0 se tiene
n
u
B[a0,t0−T ] i=1
2 xi + u2
t dx1 · · · dxn ≤
|t=T
n
≤
u 2 xi + u2
t dx1 · · · dxn.
|t=0
B[a0,t0]
i=1

11.3. La Ecuación de ondas n–dimensional. 883
Demostración. Por ser solución de la ecuación de ondas se tiene la
igualdad
n
u 2 xi + u2 n
t = 2 uxiuxit n
+ 2ututt = (2utuxi )xi ,
i=1
t
i=1
por lo que si consideramos el campo tangente (cuya divergencia es nula
por la igualdad anterior)
n ∂
n
(11.7) D = 2utuxi − u
∂xi
2 xi + u2
∂
t
∂t
i=1
i=1
se sigue de lo dicho antes del teorema que
0 = (div D) ω = < D, N > iN ω
C
∂C
= < D, N > iN ω +
S
S1
+ < D, −∂t > |t=0 iNω
S2
= < D, N > iN ω−
S
n
−
B[a0,t0−T ] i=1
n
+
B[a0,t0]
i=1
i=1
< D, ∂t > |t=T iNω+
u 2 xi + u2 t
u 2 xi + u2 t
dx1 · · · dxn+
|t=T
dx1 · · · dxn,
|t=0
y el resultado se sigue porque en S, n2 i = n2t = 1/2, por lo tanto
n
< D, N > = 2utuxi ni
n
−
=
i=1
i=1
n
2utuxi ni
n
−
i=1
i=1
u 2 xi + u2 t
u 2 xi + u2 t
= √
n
2 2utuxi nint
n
−
= − √ 2
i=1
n
i=1
i=1
uxint 2 − niut ≤ 0.
nt
1
√2
u 2 xi + u2 t
n 2
t

884 Tema 11. La Ecuación de ondas
11.3.2. Unicidad de solución.
Teorema 11.5 Sea a = (a0, t0) ∈ R n+1 , con t0 > 0 y sea Ω un abierto
de R n+1 que contiene al cono sólido Ca. Si u ∈ C 2 (Ω) es solución de la
ecuación de ondas en Ca, tal que en la base inferior de Ca,
entonces u = 0 en Ca.
u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, para x ∈ B[a0, t0],
Demostración. Es una simple consecuencia del resultado anterior,
pues por la hipótesis uxi = 0 en t = 0 y x ∈ B[a0, t0], por tanto para
todo 0 ≤ T ≤ t0
0 ≤
B[a0,t0−T ]
n
i=1
u 2 xi + u2 t
dx1 · · · dxn ≤ 0,
|t=T
por lo que el integrando se anula y por tanto uxi = ut = 0 en todo punto
de Ca. Esto implica que u es constante en Ca y como en su base se anula,
u = 0 en Ca.
Corolario 11.6 Si u1 y u2 son soluciones de la ecuación de ondas, en
las condiciones anteriores, tales que
u1(x, 0) = u2(x, 0), u1t(x, 0) = u2t(x, 0), para x ∈ B[a0, t0],
entonces u1 = u2 en Ca.
Teorema de Unicidad 11.7 Si u1 y u2 son de clase 2 en un abierto de
R n+1 , que contiene a R n × [0, ∞) y son soluciones de la ecuación de
ondas satisfaciendo las mismas condiciones iniciales
entonces u1 = u2.
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), para x ∈ R n ,
La importancia de este resultado es obvia sin embargo el anterior
nos da más información, pues nos asegura que conociendo u y ut en la
base del cono, la solución u queda determinada de modo único en todo
el cono.

11.3. La Ecuación de ondas n–dimensional. 885
Teorema de la Conservación de la Energía 11.8 Si u es una solución
de la ecuación de ondas, de clase 2 en un abierto de R n+1 que contiene a
R n × [0, ∞), que fuera de una bola B(0, r0) ⊂ R n , u(x, 0) = ut(x, 0) = 0,
entonces
para cada T .
1
2 Rn n
i=1
u 2 xi + u2 t
= 1
2 Rn dx1 · · · dxn =
|t=T
n
i=1
u 2 xi + u2 t
dx1 · · · dxn,
|t=0
Demostración. En primer lugar u = 0 en el abierto
A = {(a0, t0) ∈ R n+1 : a0 > r0 + t0},
y esto como consecuencia de los resultados anteriores, porque u y ut se
anulan en la base de Ca, para cada a = (a0, t0) ∈ A, ya que para cada
x ∈ B[a0, t0],
u(x, 0) = 0,
x + t0 ≥ x + x − a0 ≥ a0 > r0 + t0 ⇒
ut(x, 0) = 0.
Ahora basta seguir la demostración de la desigualdad del dominio de
dependencia, pero considerando (para R > r0) un cilindro
B[0, R + T ] × [0, T ],
en vez de un cono, pues en este caso
0 = < D, N > iN ω−
S
n
−
B[0,R+T ] i=1
n
+
B[0,R+T ]
i=1
u 2 xi + u2 t
u 2 xi + u2 t
dx1 · · · dxn+
|t=T
dx1 · · · dxn,
|t=0
para S ⊂ A la superficie del cilindro, en cuyo caso nt = 0 y
< D, N >=
n
2utuxi ni = 0.
i=1

886 Tema 11. La Ecuación de ondas
por lo tanto
R n
n
i=1
u 2 xi + u2 t
=
=
=
B[0,R+T ]
B[0,R+T ]
R n
n
dx1 · · · dxn =
|t=T
i=1
n
i=1
n
i=1
u 2 xi + u2 t
u 2 xi + u2 t
u 2 xi + u2 t
dx1 · · · dxn
|t=T
dx1 · · · dxn
|t=0
dx1 · · · dxn.
|t=0
11.3.3. Ecuación de ondas en regiones con frontera.
Vamos a estudiar ahora la ecuación de ondas n–dimensional, u = 0,
en regiones con frontera, cuyos casos particulares 1–dimensional y bidimensional
hemos estudiado en la forma de la cuerda fijada en los extremos
de un segmento y de la membrana fijada en una circunferencia.
Vamos a considerar un abierto acotado U ⊂ R n , en el que el Teorema
de Stokes, (14.12), pág.974 es válido, y vamos a buscar soluciones
satisfaciendo una de las dos condiciones frontera
u(x, t) = 0, para x ∈ ∂U y t ≥ 0,
ó
Nu(x, t) = 0, para x ∈ ∂U y t ≥ 0,
para N el campo unitario ortogonal exterior a ∂U, extendido a R n+1 .
Esto incluye como casos particulares los problemas ya estudiados, con la
primera condición, de la cuerda y membrana vibrantes.
Teorema de la Conservación de la Energía 11.9 Si Ω es un abierto de
R n+1 que contiene a U × [0, ∞) y u ∈ C 2 (Ω) es una solución de la
ecuación de ondas, satisfaciendo una de las dos condiciones frontera,
entonces
1
2 U
n
i=1
u 2 xi + u2 t
= 1
2 U
dx1 · · · dxn =
|t=T
n
i=1
u 2 xi + u2 t
dx1 · · · dxn,
|t=0

para cada T ≥ 0.
11.3. La Ecuación de ondas n–dimensional. 887
Demostración. Consideremos el cilindro
en cuyo caso
0 =
S
C = {(x, t) : x ∈ U, t ∈ [0, T ]},
< D, N > iNω−
n
−
U i=1
n
+
U
i=1
u 2 xi + u2 t
u 2 xi + u2 t
dx1 · · · dxn+
|t=T
dx1 · · · dxn,
|t=0
para S la superficie del cilindro, en cuyo caso nt = 0 y en cualquiera de
las condiciones frontera se tiene que en S
< D, N >=
n
2utuxi ni = 2ut · Nu = 0.
i=1
Si ahora consideramos que la solución satisface además las condiciones
iniciales
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), para x ∈ U,
tendremos por el resultado anterior que la energía en cualquier instante
t = T vale
1
n
u
2 U i=1
2 xi + u2
t dx1 · · · dxn =
|t=T
= 1
n
f
2 U
2 xi + g2dx1
· · · dxn,
i=1
de donde se deduce fácilmente el Teorema de Unicidad de solución del
problema inicial–frontera (hágalo el lector como ejercicio).
11.3.4. El método de separación de variables.
Consideremos como antes un abierto acotado U ⊂ R n , en el que
el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 es válido, y consideremos las

888 Tema 11. La Ecuación de ondas
soluciones en variables separadas, u(x, t) = f(x)g(t), de la ecuación de
ondas n–dimensional
∆u − utt = 0, para x ∈ U y t > 0
(donde ∆ es el operador de LaPlace n–dimensional), satisfaciendo la condición
frontera
u(x, t) = 0, para x ∈ ∂U y t ≥ 0.
En tal caso las funciones f y g deben satisfacer
∆f + λf = 0, para x ∈ U, y f = 0, para x ∈ ∂U,
g ′′ + λg = 0, para t > 0,
ahora bien este problema tiene solución f ∈ C 2 (U) ∩ C(U), sólo para
ciertos valores de λ, a los que llamamos autovalores del problema y a las
correspondientes soluciones f autofunciones, y que tienen las siguientes
propiedades de las que nosotros sólo daremos la demostración de las
dos primeras, y para las demás remitimos al lector a la p. 323 del libro
Zachmanoglou and Thoe, donde se da referencia de ellas, en alguna
de las cuales se precisan propiedades adicionales de regularidad para la
frontera ∂U.
Proposición 11.10 Se tienen las siguientes propiedades:
i.- Todos los autovalores son positivos.
ii.- Si f1 y f2 son autofunciones correspondientes a autovalores λ1 y
λ2 distintos, entonces son ortogonales
< f1, f2 >= f1f2dx1 · · · dxn = 0.
U
iii.- Los autovalores son numerables y forman una sucesión λn → ∞.
iv.- Cada autovalor tiene un número finito —llamado multiplicidad
del autovalor—, de autofunciones independientes.
v.- Cada autofunción es analítica en U y se extiende con continuidad
al borde de U.
Demostración. (i) Como se tiene que para un campo D = fi∂i
y para una función f
(11.8) div fD = (ffi)xi =< grad f, D > +f · div D,

11.3. La Ecuación de ondas n–dimensional. 889
tendremos que para f autofunción correspondiente al autovalor λ, el
campo N unitario y ortogonal exterior a ∂U y para D = grad f
0 = < fD, N > iNω = (div fD)ω
∂U
U
= (< D, D > +f∆f)ω = < D, D > ω − λ f 2 ω.
U
(ii) Consideremos
∆f1 + λ1f1 = 0, para x ∈ U, y f1 = 0, para x ∈ ∂U,
∆f2 + λ2f2 = 0, para x ∈ U, y f2 = 0, para x ∈ ∂U,
entonces tendremos que
f2∆f1 − f1∆f2 = (λ2 − λ1)f1f2,
por lo que aplicando (11.8) a f = f1 y D = D2 = grad f2 y después a
f = f2 y D = D1 = grad f1, tendremos que
(λ2 − λ1) f1f2 = f2∆f1 − f1∆f2
U
U
= div f2D1 − div f1D2
U
= < f2D1, N > − < f1D2, N >= 0.
∂U
Podemos considerar por tanto un orden en los autovalores
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn → ∞,
donde cada uno lo consideramos tantas veces como indica su multiplicidad
y considerar para cada autovalor λn una autofunción fn, de modo
que todas sean ortogonales, para lo cual basta considerar el procedimiento
de ortogonalización de Gramm–Schmitz en cada subespacio finito dimensional
de autofunciones del autovalor, puesto que las autofunciones
de distintos autovalores ya sabemos que son ortogonales. Además se tiene
el siguiente resultado fundamental que tampoco demostraremos, sobre
las autofunciones fn.
U
U

890 Tema 11. La Ecuación de ondas
Teorema de expansión de autofunciones 11.11 Sea f ∈ C 2 (Ω), para
un abierto Ω que contiene a U, tal que f(x) = 0 para los x ∈ ∂U.
Entonces f puede representarse por una serie
f(x) =
∞
anfn(x),
n=1
que converge absoluta y uniformemente a f en U y donde los coeficientes
están dados por
an = < f, fn >
< fn, fn > .
Ejercicio 11.3.1 Demostrar que la ecuación de ondas bidimensional
zxx + zyy − ztt = 0,
con la condición frontera en el rectángulo [0, a] × [0, b]
z(x, 0, t) = z(x, b, t) = z(0, y, t) = z(a, y, t) = 0,
tiene autovalores y correspondientes autofunciones
λmn = π 2
2
m
,
¿Tiene algún otro autovalor?.
fmn = sen mπx
a
n2
+
a2 b2 sen nπy
b ,
11.4. El método del descenso.
11.4.1. La Fórmula de Kirchhoff.
En esta lección vamos a dar en primer lugar la expresión de la solución
de la ecuación de ondas tridimensional
ux1x1 + ux2x2 + ux3x3 = utt ⇔ u = 0,

11.4. El método del descenso. 891
que aparece en la teoría de ondas sonoras de pequeña amplitud, satisfaciendo
condiciones iniciales del tipo
(11.9) u(x, 0) = φ(x) ∈ C 3 (R 3 ), ut(x, 0) = ψ(x) ∈ C 2 (R 3 ),
la cual ya hemos demostrado que de existir es única.
El siguiente resultado nos permite simplificar el problema original y
es válido en general para la ecuación de ondas n–dimensional.
Lema (Regla de Stokes) 11.12 Si u es una solución de la ecuación de
ondas de clase 3, satisfaciendo las condiciones
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = f(x),
entonces v = ut es solución de la ecuación de ondas, satisfaciendo las
condiciones
v(x, 0) = f(x), vt(x, 0) = 0.
Demostración. Se deja al lector.
Si en el lema anterior denotamos con u ψ la solución u correspondiente
a f = ψ, y con u φ la correspondiente a f = φ, tendremos que
u = u ψ + u φ
t ,
es la solución de la ecuación de ondas satisfaciendo las condiciones originales
11.9
u = 0, u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x).
Esto nos permite simplificar nuestro problema, que ahora consiste en
hallar la solución de la ecuación de ondas, satisfaciendo las condiciones
iniciales
(11.10) u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = f(x).
Para el siguiente resultado denotaremos con
ω = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3,
por N entenderemos en general el campo tangente unitario y ortogonal
exterior a las esferas S(p, t), centradas en un punto p ∈ R 3 y de radio
arbitrario t. Con H = xi∂xi el campo de las homotecias que en la

892 Tema 11. La Ecuación de ondas
esfera unidad es unitario y exterior. En estos términos se tiene que para
la composición de traslación y homotecia F (x) = p + tx, que lleva la
esfera unidad S(0, 1) en la esfera de radio t, S(p, t),
F ∗
(dxi) = tdxi
F∗H = t N
Ejercicio 11.4.1 Demostrar que
⇒
F ∗ ω = t 3 ω,
F ∗ (iNω) = t 2 iHω.
∂
f ω = f iN ω.
∂t B(x,t)
S(x,t)
Nota 11.13 Dada una función f en R 3 medible y acotada en los acotados,
un punto x ∈ R 3 y un t > 0, denotaremos con
M f (x, t) = 1
4πt2
= 1
4πt2
= 1
4π
S(x,t)
f dλ = 1
4πt2
fiN ω
S(x,t)
fiNω = 1
4πt2
F
S(0,1)
∗ [fiN ω]
f(x + ty)iHω = f(x + ty) dµ,
F [S(0,1)]
S(0,1)
el valor medio de f en la esfera S(x, t), de centro x y radio t, donde λ es
la medida de área de la esfera, para la que λ[S(x, t)] = 4πt2 ; y recorre
los puntos de la esfera unidad S = S(0, 1) = { y2 i = 1}, F (y) = x + ty
y µ es la probabilidad correspondiente a la medida de área de la esfera
unidad S.
Observemos que la última expresión nos permite extender la definición
para todo t ∈ R siendo M f (x, 0) = f(x) y si f es continua en x,
entonces M f lo es en (x, 0), pues
|M f (z, t) − M f (x, 0)| ≤ 1
|f(z + ty) − f(x)|iHω → 0,
4π S(0,1)
cuando (z, t) → (x, 0). Además, fijado x la función es par en t, M f (x, t) =
M f (x, −t) por ser µ invariante en la esfera unidad por la aplicación
G(y) = −y, de paso al opuesto. Por último, por ser la esfera S(0, 1)
compacta se sigue de (10.16), que si f es de clase k, también lo es M f y las
S

11.4. El método del descenso. 893
derivadas entran en la integral. En particular para D = grad f = fxi ∂i
M f
t (x, t) = fxi
S
(x + ty)yi dµ = 1
fxi(x + ty)yi iHω
4π S
= 1
4πt2
(D · N) iN ω (para t > 0)
= 1
4πt 2
S(x,t)
B(x,t)
∆f ω, (por 11.6)
para t < 0 la expresión cambia de signo y la bola a considerar es B(x, |t|),
pues por ser M f par en t
M f (x, t) = M f (x, −t) ⇒ M f
t (x, t) = −M f
t (x, −t),
por tanto M f
t (x, 0) = 0. Además por lo anterior y el ejercicio (11.4.1),
para t > 0
M f
tt(x, t) = − 1
2πt3
∆f ω +
B(x,t)
1
4πt2
∆f iN ω = M
S(x,t)
f
tt(x, −t).
Fórmula de Kirchhoff 11.14 Si f ∈ C k (R 3 ), con k ≥ 2, entonces
u(x, t) = tM f
(x, t) = t f(x + ty) dµ,
S(0,1)
es de clase k en R 3 × R y es la solución de la ecuación de ondas satisfaciendo
u(x, 0) = 0 y ut(x, 0) = f(x).
Demostración. Por el párrafo anterior (11.13), u ∈ C k , u(x, 0) = 0
y derivando u = tM f , ut = M f + tM f
t (que es par en t por ser suma
de funciones pares, ya que t y M f
t son impares, de donde ut(x, t) =
ut(x, −t)) y en t = 0, ut(x, 0) = M f (x, 0) = f(x), por lo tanto u satisface
las condiciones iniciales. Veamos ahora que también satisface la ecuación
de ondas, para ello sabemos de la igualdad (para t > 0)
ut(x, t) = M f + tM f
t = f(x + ty) dµ +
S
1
∆f ω = ut(x, −t)
4πt B(x,t)

894 Tema 11. La Ecuación de ondas
que para D = grad f = fxi ∂i y para t > 0
utt(x, t) = 2M f
t + tM f
tt
= 2
4πt2
∆f ω −
B(x,t)
t
2πt3
∆f ω +
B(x,t)
1
∆f iNω
4πt S(x,t)
= 1
∆f iNω =
4πt S(x,t)
t
∆f(x + ty) iHω
4π S(0,1)
= t ∆f(x + ty) dµ = ∆u(x, t), (derivando u).
S
para t < 0 se sigue por ser utt(x, t) = −utt(x, −t) = −∆u(x, −t) =
∆u(x, t).
En definitiva se sigue que la solución de la ecuación de ondas tridimensional,
satisfaciendo las condiciones iniciales
u(x, 0) = φ(x) ∈ C k+1 (R 3 ), ut(x, 0) = ψ(x) ∈ C k (R 3 ),
existe, es única, es de clase k y viene dada por la expresión
u(x, t) = tM ψ + ∂t(tM φ ) = tM ψ + M φ + tM φ
t
= t
S
ψ(x + ty) dµ +
S
φ(x + ty) dµ + t
S
φxi (x + ty)yi dµ,
veamos quien es este último término. Llamando ϕ(y) = φ(x + ty), se
verifica que ϕyi (y) = tφxi (x + ty), y para H el campo de las homotecias,
B la bola unidad y m la medida de Lebesgue del espacio
t φxi
S
(x + ty)yi
dµ = H(ϕ) dµ =
S
1
4π
= 1
∆(ϕ) ω
4π
= t2
4π
= t2
4π
= t2
4π
B
B
B
B
S
∆(φ)(x + ty) dm
∆(u)(x + ty, 0) dm
utt(x + ty, 0) dm
H(ϕ) iHω

por tanto la solución es
u(x, t) =
(11.11)
11.4. El método del descenso. 895
S
u(x + ty, 0) dµ + t
+ t2
4π
B
S
utt(x + ty, 0) dm,
ut(x + ty, 0) dµ+
Ahora si u es armónica en el espacio, entonces es solución de la ecuación
de ondas y no depende del tiempo y como consecuencia inmediata
de (11.11), se tiene el teorema del valor medio (ver (10.45))
u(x) = u(x + ty) dµ, ∀t ∈ R.
11.4.2. El método del descenso.
S
Ahora vamos a considerar el problema de encontrar la solución de la
ecuación de ondas bidimensional
ux1x1 + ux2x2 − utt = 0,
satisfaciendo las condiciones iniciales
u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x).
Para ello haremos uso del llamado método del descenso, que consiste
en considerar la solución del problema tridimensional con las mismas
condiciones iniciales como funciones del espacio y observando que si en
11.10 la función f depende sólo de las dos primeras variables, entonces
la solución tridimensional correspondiente
u(x, t) = 1
4πt
= 1
4πt
fiN ω
S(x,t)
fiN ω,
S(x,t)
para x = (a, b, 0) la proyección de x = (a, b, c) en el plano de las dos
primeras variables, es también una función del plano. Ahora bien sobre
la esfera S(x, t)
N = x1 − a
t
∂
∂x1
+ x2 − b
t
∂ t2 − (x1 − a)
±
∂x2
2 − (x2 − b) 2 ∂
,
t
∂x3

896 Tema 11. La Ecuación de ondas
y como sobre ella x3 = ± t 2 − (x1 − a) 2 − (x2 − b) 2 , tendremos que su
2–forma de superficie vale —para x3 > 0—
iNω = iN dx1 ∧ dx2 ∧ dx3
= x1 − a
dx2 ∧ dx3 −
t
x2 − b
dx1 ∧ dx3+
t
t2 − (x1 − a)
+
2 − (x2 − b) 2
dx1 ∧ dx2
t
= x1 − a
−(x1 − a)
dx2 ∧
t
t2 − (x1 − a) 2 dx1−
− (x2 − b) 2
− x2 − b
−(x2 − b)
dx1 ∧
t
t2 − (x1 − a) 2 dx2+
− (x2 − b) 2
t2 − (x1 − a)
+
2 − (x2 − b) 2
dx1 ∧ dx2 =
t
t
=
t2 − (x1 − a) 2 − (x2 − b) 2 dx1 ∧ dx2,
por lo tanto la solución de la ecuación de ondas bidimensional satisfaciendo
las condiciones iniciales
es para x = (a, b)
u(x, t) = 1
4πt
= 1
2π
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = f(x),
S(x,t)
B[x,t]
fiNω
y la solución general satisfaciendo
es
(11.12)
f(ξ, η)
t 2 − (ξ − a) 2 − (η − b) 2 dξdη,
u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x),
u(x, t) = 1
2π
+ 1 ∂
2π ∂t
B[x,t]
B[x,t]
ψ(ξ, η)
t 2 − (ξ − a) 2 − (η − b) 2 dξdη+
φ(ξ, η)
t 2 − (ξ − a) 2 − (η − b) 2 dξdη.

11.4. El método del descenso. 897
También podemos utilizar el método del descenso para obtener la
solución del problema de valor inicial de la ecuación de ondas unidimensional
uxx − utt = 0,
satisfaciendo las condiciones iniciales, para x ∈ R
u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x),
pues basta como en los casos anteriores encontrar la solución que satisface
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = f(x),
para f una función de variable real, que podemos considerar definida en
el espacio, por lo que la solución tridimensional
u(x, t) = 1
fiN ω =
4πt S(x,t)
1
fiNω,
4πt S(x,t)
para x = (a, 0, 0), la proyección de x = (a, b, c) al primer eje, es una
función en la recta que vale
u(x, t) = 1
fiNω
4πt S(x,t)
= 1
f(ξ)
2π
t2 − (ξ − a) 2 − η2 dξdη
= 1
2π
= 1
2
B[(a,0),t]
a+t
a−t
a+t
a−t
f(ξ)
f(ξ)dξ,
√ t 2 −(ξ−a) 2
− √ t 2 −(ξ−a) 2
dη
t 2 − (ξ − a) 2 − η 2 dξ
y esto porque haciendo el cambio sen x = η/ t 2 − (ξ − a) 2
√ t 2 −(ξ−a) 2
− √ t 2 −(ξ−a) 2
En definitiva tenemos que
(11.13)
u(x, t) = 1
2
= 1
2
x+t
x−t
x+t
x−t
dη
= π.
t2 − (ξ − a) 2 − η2 ψ(ξ)dξ + 1 ∂
2 ∂t
x+t
x−t
φ(ξ)dξ
ψ(ξ)dξ + 1
[φ(x + t) + φ(x − t)],
2

898 Tema 11. La Ecuación de ondas
es la solución de la ecuación de ondas unidimensional
uxx − utt = 0,
satisfaciendo las condiciones iniciales, para x ∈ R
u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x).
11.4.3. El principio de Huygens.
Por último observemos que aunque hemos demostrado en general
que el valor de la solución u de la ecuación de ondas n–dimensional
para el problema de valor inicial, en un punto (x0, t0), sólo depende de
los valores de u y ut en los puntos (x, 0), con x ∈ B[x0, t0], tenemos
en los casos analizados en esta lección, que las fórmulas 11.12 y 11.13,
justifican directamente este hecho para n = 2 y n = 1 respectivamente,
sin embargo para n = 3 —ver (11.11)—, u(x0, t0) sólo depende de u y ut
en los puntos (x, 0), con x ∈ S[x0, t0]! y no de toda la bola B[x0, t0]. Este
fenómeno, descubierto por Huygens y que se conoce con el nombre de
Principio de Huygens, se puede demostrar que es válido para cualquier
impar n ≥ 3, mientras que en dimensión par es falso. (Ver Courant
and Hilbert, pág. 208, Garabedian, pág. 191—197, Tijonov and
Samarski, pág.435), etc.
K
u(x,t 1)=0
x
K
u(x,t 2)=0
x
K
u(x,t 3)=0
Figura 11.7.
Como consecuencia de este principio podemos analizar cómo se propaga
en el espacio una perturbación local. Supongamos para ello que φ
y ψ se anulan fuera de una pequeña región compacta K. En tal caso
para cada punto x, como u(x, t) se calcula mediante ciertas integrales
de φ y ψ en la esfera S(x, t), tendremos que u(x, t) = 0 en todo tiempo
t ≤ t1, hasta el instante t1 a partir del cual la esfera S(x, t) toca a K,
instante en el que u cambia posiblemente su valor hasta que con seguridad
de nuevo se anula a partir del instante t3 en el que de nuevo S(x, t)
vuelve a no cortar a K. De tal modo que en cada instante de tiempo t,
x

11.5. La Ecuación de Schrödinger. 899
el conjunto de puntos perturbados, es decir en los que u no es nula, se
caracteriza por estar entre las dos superficies envolventes de la familia
de esferas centradas en los puntos de K y de radio t.
K
t
Figura 11.8. Frentes delantero y trasero
La envolvente exterior se llama frente delantero y la interior frente
trasero y cuanto mas “pequeño” sea K, entorno de un punto p, mas
se aproximarán estos dos frentes a la esfera de centro p y radio t. En
particular, un oyente a distancia d de un instrumento musical, oye 2 en
cada instante t + d exactamente lo que fue tocado en el instante t y
no la mezcla de sonidos tocados en otros instantes (¡es un alivio vivir
en un espacio tridimensional!). En cambio en los casos bidimensional y
unidimensional las cosas son distintas pues u(x, t) = 0 hasta el instante
t0 en el que B[x, t] toca a K, y a partir de este instante B[x, t] siempre
corta a K y si las condiciones iniciales son no negativas en K, u(x, t) ya
nunca mas se anula para t ≥ t0.
11.5. La Ecuación de Schrödinger.
La Ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental de la
mecánica cuántica no–relativista. En el caso mas simple, para una partícula
sin spin, en un campo externo (ver Egorov–Shubin, página 16), tiene
la forma
(11.14) i ∂ψ
∂t
K
2
= − ∆ψ + V (x)ψ,
2m
donde x ∈ R 3 , ψ = ψ(x, t) es la función de onda de la partícula, que nos
da la amplitud compleja que caracteriza la presencia de la partícula en
2 suponiendo que la velocidad del sonido es 1.
t

900 Tema 11. La Ecuación de ondas
cada punto x —en particular |ψ(x, t)| 2 se interpreta como la densidad
de probabilidad de que la partícula se encuentre en el instante t en el
punto x—, m es la masa de la partícula, es la constante de Planck y
V (x) es una función real que representa el potencial.
Una función de la forma
i −
e Et ψ(x)
donde E es una constante, es solución de 11.14 si y sólo si ψ es solución
de la llamada Ecuación de Schrödinger de estado estacionario
(ver la lección 7.10.3, de la pág.512),
(11.15)
− 2
∆ + V
2m
ψ = Eψ,
que describe los estados con energía constante E.
Si un átomo —como el del hidrógeno—, tiene un electrón de masa m,
con energía total E —suma de la cinética y la potencial V —, entonces
tiene una función de densidad de probabilidad ψ que es solución de
(11.15).
Vamos a estudiar si existen soluciones de esta ecuación que sólo dependan
de la distancia
r = x 2 + y 2 + z 2
al origen de coordenadas —en que se localiza el núcleo del átomo—. En
tal caso tendríamos que
por lo tanto
∂ψ
∂x = ψ′ (r) ∂r
∂x = xψ′ (r)
,
r
∂2
ψ ∂
= x
∂x2 ∂x
ψ′
(r)
r
′ ′
ψ (r) ∂r
+ x
r ∂x
r + xψ′′ (r)r − ψ ′ (r)
r2 x
r
+ ψ ′
1 x2
(r) −
r r3
,
= ψ′ (r)
r
= ψ′ (r)
= x2 ψ ′′ (r)
r 2

11.5. La Ecuación de Schrödinger. 901
y haciendo lo mismo para y y z y sumando tendremos que
∆ψ = ψ ′′ (r) + 2
r ψ′ (r),
y la ecuación (11.15) se convierte en
ψ ′′ (r) + 2
r ψ′ (r) + 2m
(E − V )ψ = 0.
2 Ahora bien en el caso del hidrógeno tenemos un átomo con un electrón
con carga −q y un protón con carga q, por lo tanto el potencial electrostático
es
V = − q2
r ,
por lo que la energía total de un electrón en reposo —por tanto con
energía cinética nula—, en el infinito (r = ∞), será nula, por lo que la
energía de un electrón ligado al núcleo —es decir que no tiene energía
suficiente para irse al infinito—, es negativa
E = −α 2 ,
y tenemos que nuestra ecuación es de la forma
ψ ′′ (r) + 2
r ψ′ (r) − 2m
2 (α2 + q2
)ψ = 0,
r
y si consideramos la nueva variable x y la función v(x) tales que
x = 2αr √
−x/2
2m, ψ(r) = e v(x),
tendremos que nuestra ecuación se expresa en términos de x
xv ′′ + (2 − x)v ′ + (p − 1)v = 0, para p = q2√ 2m
2α .
Ahora bien la Ecuación de Laguerre de orden p es
y si la derivamos obtenemos
xy ′′ + (1 − x)y ′ + py = 0,
xy (3 + y ′′ − y ′ + (1 − x)y ′′ + py ′ = xy (3 + (2 − x)y ′′ + (p − 1)y ′ = 0,

902 Tema 11. La Ecuación de ondas
y por tanto si y(x) es solución de la ecuación de Laguerre, v = y ′
es solución de la nuestra. Esto nos lleva a estudiar las soluciones de la
Ecuación de Laguerre de orden p que escribimos de la forma
y ′′ 1 − x
+
x y′ + p
y = 0,
x
y tiene una solución en serie de potencias
y(x) = c0
∞
(−1) i Γ(p + 1)
i!(i + 1)!Γ(p − i) xi ,
i=0
por lo que su derivada es solución de nuestra ecuación.
Si ahora imponemos la condición de que
v(x)
lím ψ(r) = 0 ⇒ lím = 0,
r→∞ x→∞ e−x/2 tendremos que v(x) = y ′ (x) es un polinomio si p es un número natural
y por tanto la condición anterior se cumple. En cambio la condición
no puede cumplirse en cualquier otro caso. De aquí se sigue que los
únicos valores de p para los que nuestra ecuación tiene solución no trivial
satisfaciendo la condición impuesta son los naturales y corresponden a
valores de α
p = q2√2m 2α = n ⇒ αn = q2√2m 2n
y la energía del electrón en su n–simo estado es
En = −α 2 n = − q4 m
2n 2 2
y si el electrón baja del nivel de energía En al Ek, con n > k, su pérdida
de energía será
∆E = q4m 2n22
1 1
−
k2 n2
.
y dado que cuando un electrón pierde energía emite luz con una frecuencia
proporcional a la pérdida de energía, y la constante de proporciona-
lidad es la constante de Planck
∆E = ν = c
λ
⇒
1 ∆E
=
λ c = q4m 2n2c3
1 1
−
k2 n2
,

11.5. La Ecuación de Schrödinger. 903
y tenemos una expresión de la longitud de onda del fotón emitido (para
c la velocidad de la luz).
Fin del Tema 11

904 Tema 11. La Ecuación de ondas

Tema 12
Ecuación de ondas.
Electromagnetismo
12.1. Espacio Euclideo
Hay una geometría subyacente en la ecuación de ondas tridimensional.
Recordemos en primer lugar la definición de Espacio Euclídeo.
Definición. Llamamos espacio afín a una terna formada por un conjunto
A, un R–espacio vectorial V y una operación
A × V → A, (p, v) → p + v,
donde a p+v le llamaremos el trasladado de p por el vector v, verificando
las propiedades:
(1) p + v = p ⇔ v = 0.
(2) (p + v) + u = p + (v + u).
(3) Dados p, q ∈ A existe v ∈ V (único por las propiedades anteriores),
tal que p + v = q.
Llamamos dimensión de A a la dimensión de V.
905

906 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
Definición. Llamamos referencia afín a {p0, v1, . . . , vn}, para p0 ∈ A
llamado origen y {v1, . . . , vn} una base ordenada de V. Respecto de ella
todo punto p se expresa
n
p = p0 + v = p0 + xivi.
y a xi las llamamos coordenadas respecto de la referencia, de p.
i=1
Una referencia {p0, v1, . . . , vn} establece una biyección
(xi): A → R n ,
a través de la cual definimos una estructura topológica y diferenciable
en A, que no depende de la referencia elegida. Además para cada p ∈ A
tenemos un isomorfismo canónico
(12.1) V → Tp(A), v → D v p, D v pf = lím
t→0
que lleva vi en ∂xi .
f(p + tv) − f(p)
,
t
Definición. Llamamos espacio Euclídeo a un espacio afín con una métrica
g simétrica definida positiva en V. Llamamos referencia euclidea a
una referencia afín con la base ortonormal y coordenadas euclídeas a las
coordenadas respecto de una referencia euclídea. El isomorfismo anterior
(12.1) pasa la métrica a cada Tp(A), de modo que las ∂xi
son ortonor-
males, y define una métrica Riemanniana en A que en coordenadas es la
estandar
g = dxi ⊗ dxi.
Nuestro primer impulso es definir el espacio físico como un espacio
afín tridimensional A3 y así lo hemos considerado en distintas lecciones
a lo largo de estos apuntes. Sin embargo un Físico debe abandonar esta
estructura que parece tan natural. ¿Por qué?. Las trayectorias, bajo esa
concepción de espacio, son curvas parametrizadas
σ : R → A3,
y una trayectoria uniforme σ(t) = p0 +tv. Esto choca con un hecho experimental:
la relatividad del movimiento, es decir no podemos distinguir
el reposo absoluto y sin embargo con este esquema existe σ(t) = p0. Esto
justifica que haya que buscar otra estructura para espacio.

12.2. Espacio de Minkowski. Relatividad especial 907
12.2. Espacio de Minkowski. Relatividad especial
Como en cualquier caso tenemos tres coordenadas espaciales y una
temporal consideramos como primera aproximación de nuestro espacio–
tiempo, una variedad diferenciable X de dimensión 4. Definimos trayectoria
de un móvil no como una curva parametrizada sino como una
subvariedad unidimensional. Ahora tenemos que recoger la noción de
movimiento uniforme, que es la linea recta. El espacio más simple satisfaciendo
esto es el afín
X = (A4, V4, +).
Consideremos la trayectoria de un observador que se mueve uniformemente.
La realidad de este observador se divide en dos partes bien
diferenciadas: por una parte hay espacio y por otra tiempo. Si consideramos
dos posiciones de esa trayectoria p, q, el observador las distingue
y una p es anterior a la otra q = p + v, es natural considerar el tiempo
transcurrido entre los dos sucesos como el |v|, para lo cual necesito
una métrica g y |v| = g(v, v), por ello necesitamos una métrica en
V. Ahora bien en cada punto p de esa trayectoria se observa un espacio
tridimensional y Euclideo. El candidato obvio es el hiperplano ortogonal,
al que llamamos hiperplano de simultaneidad del observador en p.
La métrica natural sería una Euclidea en V4, pero esta elección tiene
un problema. No distingue direcciones, todas son equivalentes y todas
posibles, en particular trayectorias en un hiperplano de simultaneidad
de otro observador, el cual vería en un instante al primer observador
con velocidad infinita o estando en todos los puntos de la recta simultaneamente,
cuando lo que realmente se observa es que al cabo de un
tiempo propio el otro observador está en otro punto de nuestro espacio.
Esto induce a considerar una métrica en V4 con signatura (ver el pie de
página 628) (+, −, −, −), es decir que en una base ortonormal la métrica
es
⎛
⎞
1 0 0 0
⎜
G = (gij) = ⎜0
−1 0 0 ⎟
⎝0
0 −1 0 ⎠
0 0 0 −1

908 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
con lo cual desaparece el problema anterior, pues podemos distinguir tres
tipos de trayectorias.
Definición. Diremos que la trayectoria de un observador es de tipo temporal,
lumínica ó espacial , si entre cada dos posiciones cualesquiera p y
q = p + v, g(v, v) es respectivamente > 0, = 0 ó < 0. Ahora podemos afinar
nuestra definición de observador pidiendo que sea de tipo temporal.
Observemos que el espacio de simultaneidad para un observador tiene
métrica tridimensional −δij (la Euclidea cambiada de signo).
Definición. Llamamos Espacio de Minkowski al espacio afín
(A4, (V4, g), +),
para g una métrica simétrica de signatura (+, −, −, −).
Definición. Llamaremos referencia inercial a {p0, e0, e1, e2, e3}, con p0 ∈
A4 y las ei una base ortonormal, es decir en las que la métrica es
g(e0, ei) = δ0i, y para i, j = 1, 2, 3, g(ei, ej) = −δij.
Definición. Llamaremos coordenadas inerciales ó coordenadas en un
sistema de referencia inercial {p0, e0, e1, e2, e3}, a las funciones xi(p) =
pi para p = p0 + piei. A menudo denotaremos la primera coordenada
como el tiempo x0 = t.
Como V se identifica canónicamente con cada espacio tangente Tp(X ),
podemos pasar la métrica de V al espacio tangente, de modo que en
términos de coordenadas inerciales se corresponden las ei y las ∂xi, con
lo que en A4 tenemos una métrica que en esas coordenadas es
g = dt ⊗ dt − dx1 ⊗ dx1 − dx2 ⊗ dx2 − dx3 ⊗ dx3.
la cual es semi–riemanniana (no es definida positiva, es no singular y
simétrica).
Parametricemos una trayectoria (es decir una recta) en las coordenadas
inerciales
σ(t) = (t, a1 + v1t, a2 + v2t, a3 + v3t),
entonces en una unidad de tiempo, por ejemplo entre los instantes 0 y 1
p = σ(0) = (0, a) y q = σ(1) = (1, a+v), recorre una distancia (aparente)
|v| = v 2 i que es por tanto la velocidad numérica aparente y v la
velocidad aparente. Ahora si q = p + T , tenemos:

12.3. D’Alembertiano 909
Definición. Decimos que la trayectoria es la de un móvil ó un observador
si g(T, T ) > 0 y como T = (1, v), es
0 < g(T, T ) = (1, v)G(1, v) t = 1 − v 2 i ⇒ |v| = v2 i < 1,
y 1 es la velocidad máxima a la que un móvil puede llegar. Decimos
que es la trayectoria de un rayo de luz si g(T, T ) = 0, en cuyo caso la
velocidad de la luz es constante e igual a 1, independientemente de la
referencia.
Nota 12.1 Si cogemos como unidad de tiempo 1 año y como unidad de
longitud el año–luz (es decir la longitud recorrida por la luz en un año),
la velocidad de la luz en estas unidades es 1. Si en lugar de coger una
referencia inercial (es decir con los ei ortonormales los cogemos verificando
g(e0, ei) = δ0i, y para i, j = 1, 2, 3, g(ei, ej) = −c −2 δij, entonces
la velocidad de la luz es c.
Por otra parte si consideramos las trayectorias de la luz pasando por
un punto p, tendremos un cono, siendo interiores a este las trayectorias
de los móviles y si tenemos las trayectorias A y B de dos móviles
pasando por p, sus espacios de simultaneidad respectivos no coinciden
y dos sucesos que para A son simultáneos, B los observará en general
en tiempos distintos, sin embargo este efecto no es apreciable a velocidades
pequeñas, en las que las trayectorias y por tanto sus espacios de
simultaneidad casi son iguales.
12.3. D’Alembertiano
12.3.1. Gradiente y divergencia
Sea X el espacio de Minkowski y en una referencia inercial g = dt 2 −
dx 2 i su métrica, entonces existe un isomorfismo canónico entre campos
y uno–formas, como en las variedades Riemannianas, dado por
γ : D → Ω, D → γ(D) = iDg = g(D, ·) = D · .

910 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
Definición. Llamamos gradiente de una función f, al campo D =
grad f, tal que γ(D) = df, el cual satisface que para todo campo E
grad f · E = Ef
y en coordenadas inerciales si grad f = hi∂xi , entonces
h0 = grad f · ∂t = ft, hi = − grad f · ∂xi = −fxi ⇒
⇒ grad f = ft∂t − fxi∂xi .
Consideremos ahora una orientación en nuestra variedad, dada por
la base ortonormal {e0, e1, e2, e3} de una referencia inercial y consideremos
la forma de volumen, es decir la 4–forma Ω4 que a cualquier base
ortonormal positivamente orientada, por ejemplo
le da el valor 1. Se sigue que es
∂t, ∂x1 , ∂x2 , ∂x3
Ω4 = dt ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.
Definición. Sea D ∈ D(X ), llamamos divergencia de D (ver la pág.742)
a la función div D tal que
cuya expresión en coordenadas es
D L Ω4 = (div D)Ω4,
D = fi∂xi ⇒ div D = (fi)xi.
12.3.2. D’Alembertiano y codiferencial
Ahora recordemos (ver pág.742) que en el espacio euclídeo n–dimensional
teníamos que
∆f = fxixi = div(grad f),
esto nos induce a dar la siguiente generalización.

12.3. D’Alembertiano 911
Definición. Llamamos D’Alembertiano de una función f a la función
✷f = div(grad f) = ftt −
es decir el operador de ondas aplicado a f.
3
fxixi,
Definición. Consideremos una p–forma ω ∈ Λp en las coordenadas inerciales
(t = x0, x1, x2, x3)
ω =
fαdxi1 ∧ · · · ∧ dxip ,
α=(i1

912 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
Proposición 12.3 Para cada función f se tiene que
✷f = dδf + δdf.
Demostración. Como δf = 0 basta ver cuanto vale δdf,
δdf = δ(ftdt + fxidxi) = ftt − fxixi = ✷f.
Esto nos induce a dar la siguiente definición
Definición. Para cada p–forma ω definimos
✷ω = dδω + δdω.
Proposición 12.4 En coordenadas inerciales
✷( fαdxα) = (✷fα)dxα.
Demostración. Basta demostrarlo para fdxα
✷(fdxα) = dδ(fdxα) + δd(fdxα)
= d(
δjfxj
i∂x (dxα)) + δ(
j
fxidxi ∧ dxα)
=
j,i
=
i
j
δjfxjxi dxi ∧ i∂x j (dxα) +
δifxixi dxα = (✷f)dxα.
i
i,j
δjfxixj i∂x j (dxi ∧ dxα)
Consideremos la conexión de Levi–Civitta asociada a la semimétrica
g, la cual coincide con la de R 4 ,
D ∇ ( fi∂xi ) = (Dfi)∂xi ,
y definimos la derivada covariante de 1–formas
D ∇ ω = D(ωE) − ω(D ∇ E),
y las derivadas covariantes de tensores
D[T (Di, ωj)] = D ∇ T (Di, ωj)+T (D ∇ D1, . . . , ωj)+· · ·+T (Di, D ∇ ω1, . . . , )+· · · .

12.4. Campo electromagnético 913
Definición. Llamamos diferencial covariante de un tensor T ∈ T 0
p , al
tensor ∇T ∈ T 0
p+1, tal que
iD0 ∇T = D∇ 0 T ⇔ ∇T (D0, . . . , Dp) = D ∇ 0 T (D1, . . . , Dp).
Llamamos divergencia del tensor T ∈ T 0
p , al tensor
div T = C 1 0(∇T ) ∈ T 0
p−1.
Proposición 12.5 Para una p–forma ω se tiene
div ω = δω.
Demostración. En coordenadas inerciales ω = fαdxα y basta
demostrarlo para fdxα. Ahora ∇(fdxα) = df ⊗ dxα, pues
∇(fdxα)(D0, . . . , Dp) = D ∇ 0 (fdxα)(D1, . . . , Dp) = (D0f)dxα(D1, . . . , Dp),
por lo tanto
div fdxα = C 1 0(∇(fdxα)) = C 1 0(df ⊗ dxα) = igrad f dxα = δ(fdxα).
12.4. Campo electromagnético
Consideremos un sistema de coordenadas inerciales (t, xi) en nuestro
espacio de Minkowski R 4 , con métrica g = dt 2 − dx 2 i .
Consideremos lo que debe verificar la trayectoria de una partícula
de masa m y carga q, con vector tangente T , tal que g(T, T ) = 1. Si la
partícula no está afectada por ninguna fuerza, seguiría una trayectoria
sin aceleración, es decir con T ∇ T = 0. Si por el contrario su movimiento
está afectado por una fuerza, la ley de Newton dice que su aceleración
por su masa sería igual a la fuerza, es decir considerando ˜ F la intensidad
de fuerza, es decir la fuerza por unidad de carga, sería
m · T ∇ T = q ˜ F ,

914 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
por lo que en cada punto p de la trayectoria q ˜ Fp = m(T ∇ T )p, ahora bien
¿depende ˜ Fp, sólo del punto p?. Si así fuera como 0 = T (T ·T ) = 2T ∇ T ·T ,
es decir (T ∇ T )p es ortogonal a Tp, tendríamos que ˜ Fp sería ortogonal
a Tp y esto para cualquier trayectoria posible dentro del cono, lo cual
daría que ˜ Fp = 0, por lo tanto ˜ Fp depende de p y de Tp, por lo que la
fórmula sería
m · T ∇ T = q ˜ F (T ).
siendo ˜ F (T ) · T = 0, lo que nos permitiría definir F (T1, T2) = ˜ F (T1) · T2,
verificando F (T, T ) = 0. Esto sugiere la siguiente definición.
Definición. Llamaremos Campo Electromagnético a una 2–forma F ∈
Λ2(X ) y denotaremos su endomorfismo asociado ˜ F : D → D, tal que
F (D, E) = ˜ F (D) · E = ˜ D · E.
Definición. Llamaremos Ley de Fuerza de Lorentz de una partícula de
masa m y carga q en un campo electromagnético ˜ F a
mT ∇ T = q ˜ F ,
para T el vector tangente a su trayectoria.
En nuestro sistema de coordenadas inerciales (t, xi) tendremos que
la expresión del campo es
F = Eidxi ∧ dt + B1dx2 ∧ dx3 + B2dx3 ∧ dx1 + B3dx1 ∧ dx2.
Definición. Dado un campo electromagnético y un sistema de coordenadas
inercial llamamos campo eléctrico y campo magnético asociados,
respectivamente a los campos espaciales
E = Ei∂xi , B = Bi∂xi ,
los cuales dependen del sistema de referencia, pero una vez conocidos
determinan el campo F .
Observemos que el campo eléctrico E = ˜ F (∂t), pues
˜F (∂t) · ∂t = 0, F ˜(∂t) · ∂xi = −Ei,

12.4. Campo electromagnético 915
por lo tanto es la fuerza sobre la unidad de carga en reposo (el reposo
está representado por la trayectoria ∂t), ya que
por otra parte
y la matriz de ˜ F es
m∂ ∇ t ∂t = qE.
iB(dx1 ∧ dx2 ∧ dx3) = F |t=cte,
⎛
0 E1 E2 E3
⎞
⎜E1
⎜
⎝E2
0
−B3
B3
0
−B2 ⎟
B1 ⎠
E3 B2 −B1 0
pues por ejemplo la segunda columna se obtiene de
˜F (∂x1 ) = a∂t + b∂x1 + c∂x2 + d∂x3 ,
a = ˜ F (∂x1) · ∂t = E1, b = − ˜ F (∂x1) · ∂x1 = 0,
c = − ˜ F (∂x1 ) · ∂x2 = −B3, d = − ˜ F (∂x1 ) · ∂x3 = B2,
Observemos que
⎛
0
⎜E1
⎜
⎝E2
E1
0
−B3
E2
B3
0
⎞
E3
−B2 ⎟
B1 ⎠
E3 B2 −B1 0
·
⎛ ⎞
0
⎜v1⎟
⎜ ⎟
⎝v2⎠
=
⎛ ⎞
viEi
⎜ B3v2 ⎜ − B2v3 ⎟
⎝−B3v1
+ B1v3⎠
y por tanto para v = vi∂xi espacial
v3
˜F (v) =< v, E > ∂t + v × B,
B2v1 − B1v2
para el producto escalar tridimensional de vectores espaciales < e, e ′ >=
−g(e, e ′ ).
12.4.1. Vector impulso
Definición. Recordemos que en el espacio Euclídeo A3, la velocidad
numérica de una partícula con velocidad v = (vi) = vi∂xi es
v = |v| = v2 i ,

916 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
y si su masa es m, llamamos cantidad de movimiento ó vector de impulso
a
p = mv,
en cuyos términos la Ley del movimiento de Newton se expresa
dp
dt
= m · a = Fuerza.
Definición. Volviendo a nuestro espacio de Minkowski, sea T el vector
tangente unitario de la trayectoria de una partícula de masa m. Llamaremos
vector de impulso de la partícula a
para el cual g(I, I) = m 2 .
I = mT,
Expresión en coordenadas del vector impulso
Escribamos I en nuestras coordenadas inerciales (t, xi)
I = m0∂t + m0v1∂x1 + m0v2∂x2 + m0v3∂x3 = m0∂t + p,
entonces la velocidad aparente es v = vi∂xi y p = m0v el impulso aparente
y m0 es la masa aparente, siendo su relación con la masa verdadera
m,
m 2 = g(I, I) = m 2 0 − m 2 0v 2 i = m 2 0(1 − v 2
) ⇒ m = m0 1 − v2 ,
por lo que si la velocidad es nula m = m0 y si la velocidad tiende a la
de la luz, v → 1, su masa aparente tiende a ∞.
Ahora bien la Ley de Lorentz dice
mT ∇ T = q ˜ F (T ) ⇔ T ∇ I = q ˜ F (T )
y si consideramos el múltiplo de T , D = ∂t +v que es el campo tangente
a la curva que para la función t en la curva es D = ∂t, pues Dt = 1,
tendremos que D ∇ I = q ˜ F (D) lo cual equivale a que para p = m0v =
pi∂xi
(Dm0) ∂t + D(pi)∂xi = q(E + (v · E) ∂t + v × B),
y sus componentes temporal y espacial respectivamente son
dm0
dt
= qv · E,
dp
dt
= q(E + v × B),
por lo que el campo magnético afecta si hay velocidad.

12.4.2. Forma de carga
12.4. Campo electromagnético 917
Definición. Llamamos forma de carga a una tres–forma ω3. En coordenadas
ω3 = ρ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + ω2 ∧ dt,
y llamamos a
ρ = ω3(∂x1 , ∂x2 , ∂x3 ),
la densidad de carga (en el espacio de simultaneidad de la referencia),
por lo que la carga total en una región Ω del espacio de simultaneidad
de un observador en un instante t = t0,
ω3 =
Ω
ρdx1 ∧ dx2 ∧ dx3 +
Ω
pues en Ω, t = t0 es constante.
ω2 ∧ dt =
Ω
ρdx1 ∧ dx2 ∧ dx3,
Ω
En general para D1p, D2p, D3p ∈ Tp(X ), la interpretación de esta
tres–forma, ω3(D1, D2, D3) es la suma (con su signo) de las cargas
de las partículas que atraviesan el paralelepípedo orientado de lados
D1, D2, D3, entendiendo que el signo de una partícula con vector tangente
T , es positivo si Ω4(T, D1, D2, D3) > 0, de este modo se ve que es
hemisimétrica.
La Ley de conservación de la carga se expresa con la ecuación
d ω3 = 0,
pues si consideramos que la carga está en una región acotada Ωt en
cada instante t ∈ [t0, t1] y consideramos un cilíndro 4–dimensional que
en cada instante t sea una esfera que contiene a Ωt, tendremos que el
cilindro contiene el “tubo” en el que está la carga y si llamamos Ω al
interior del cilindro y a su borde S = ∂Ω, que tiene tres partes: las bases
S0 = S ∩ {t = t0} y S1 = S ∩ {t = t1} y el lateral SL, entonces como por
una parte
SL ω3 = 0 y por otra en S0, el vector normal unitario exterior
a Ω es −∂t y en S1 es ∂t, siendo i∂tΩ4 = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3, tendremos que
0 = dω3 = ω3 = ω3 + ω3
Ω
S S0
S1
= − ρ dx1dx2dx3 + ρ dx1dx2dx3.
S0
S1

918 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
Como estamos en un espacio 4–dimensional es lo mismo dar la 3–
forma ω3, que un campo J.
Definición. Llamamos vector de carga–corriente, al campo J, tal que
el cual se expresa en coordenadas
J = ρ∂t +
iJΩ4 = ω3,
3
i=1
ji∂xi = ρ∂t + j,
y al vector espacial j lo llamaremos vector de corriente.
Consideremos la identificación canónica entre campos y 1–formas dada
por la métrica
Φ: D(X ) → Ω(X ), Φ(D) = D ∗ , D ∗ (E) = D · E,
en estos términos se tiene por ejemplo que en coordenadas
J ∗ = ρdt − jidxi,
lo cual implica (la igualdad que utilizaremos a continuación)
δ(J ∗ ) = igrad ρdt − igrad jidxi = ρt + (ji)xi = div J.
Proposición 12.6
dω3 = 0 ⇔ div J = 0 ⇔ δ(J ∗ ) = 0.
Demostración. Se sigue del anterior párrafo y de que
dω3 = d(iJΩ4) = J L Ω4 = (div J)Ω4.
12.4.3. Ecuaciones de Maxwell
Son un sistema de Ecuaciones que ligan el campo de fuerzas F con
la 3–forma de carga ω3.
Recordemos que en R 3 el campo electrostático E verificaba las dos
ecuaciones:
(1) E = − grad u ⇔ E ∗ = −du ⇔ dE ∗ = 0,
(2) div E = 4πρ ⇔ δE ∗ = 4πρ.

12.4. Campo electromagnético 919
Ahora en nuestro espacio 4–dimensional de Minkowski consideramos
el campo electromagnético F y el vector de carga–corriente J ó equivalentemente
J ∗ , los cuales satisfacen las ecuaciones de Maxwell
(1) dF = 0, (2) δF = −4πJ ∗ .
Observemos que la ley de conservación de la carga es consecuencia
de la segunda, pues
0 = δ 2 F = −4πδJ ∗ .
Por otra parte de la primera se sigue que localmente F = dθ y que a
esta θ podemos sumarle cualquier 1–forma exacta df, pues d 2 f = 0, por
lo que podemos considerar la θ = θ + df, tal que δθ = 0, sin mas que
considerar f cierta solución de la ecuación de ondas, pues para h = −δθ
0 = δθ = δθ + δdf = −h + ✷f ⇔ ✷f = h.
En definitiva podemos reescribir las dos ecuaciones de Maxwell
(1) δθ = 0, F = dθ,
(2) − 4πJ ∗ = δF = δdθ = δdθ + dδθ = ✷θ,
y si escribimos θ = θ0dt + θidxi en coordenadas, la segunda ecuación
se expresa de la forma
−4πJ ∗ = ✷θ0dt + ✷θidxi
y como J ∗ = ρdt − jidxi, si sabemos resolver las cuatro ecuaciones de
ondas
✷θ0 = −4πρ, ✷θi = 4πji,
tendremos resuelto el problema de dar F conocida ω3.
Definición. A θ la llamamos potencial electromagnético, a θ0 potencial
escalar y a θidxi el potencial vector (aunque es una 1–forma).
Caso particular: Electrostática. La electrostática la tenemos como
el caso particular en el que la fuerza en coordenadas es F = dt ∧ du,
con u = u(xi) una función espacial. En tal caso como
F = Eidxi ∧ dt + B1dx2 ∧ dx3 + B2dx3 ∧ dx1 + B3dx1 ∧ dx2.

920 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
tendremos que B = 0 (el campo magnético es nulo) y
du = − Eidxi ⇒ E = Ei∂xi = − uxi∂xi = − gradespacial u,
− (Eixi )dt = igrad Ei (dxi ∧ dt)
= δF = −4πJ ∗
= −4π(ρdt − ⎫
⎪⎬
⇒
⎪⎭
jidxi)
j
= 0, J = ρ∂t,
div E = 4πρ.
Ecuaciones de Maxwell en coordenadas. Consideremos el campo
electromagnético F en nuestro sistema de coordenadas (t, xi) con
campo eléctrico E y magnético B, entonces se tiene que las dos ecuaciones
se expresan como las cuatro ecuaciones siguientes.
Teorema 12.7
dF = 0 ⇔
δF = −4πJ ∗ ⇔
⎧
⎨
div B = 0
⎩rot
E = − ∂B
⎧
∂t
⎨ div E = 4πρ
⎩rot
B = ∂E
+ 4πj
∂t
Demostración. En primer lugar si consideramos Ω3 = dx1 ∧ dx2 ∧
dx3, entonces como B depende de t, tendremos que
B L Ω3 = dB1 ∧ dx2 ∧ dx3 + dx1 ∧ dB2 ∧ dx3 + dx1 ∧ dx2 ∧ dB3
= ( Bixi)Ω3 + (iBtΩ3) ∧ dt,
donde Bt = Bit∂xi y para γE = Ei dxi, tendremos que dγE ∧
dt = (irot EΩ3) ∧ dt (pues aunque las Ei dependen de t las componentes
correspondientes desaparecen al multiplicar exteriormente por dt, ver
además la definición de rotacional en la pág.172). Por lo tanto, como se
tiene que F = γE ∧ dt + iBΩ3 tendremos que
dF = dγE ∧ dt + d(iBΩ3) = (irot EΩ3) ∧ dt + B L Ω3
= (irot EΩ3) ∧ dt + (div B)Ω3 + (iBt Ω3) ∧ dt.

y para la segunda
12.4. Campo electromagnético 921
δ(F ) = igrad Ei dxi ∧ dt + igrad B1 dx2 ∧ dx3+
+ igrad B2 dx3 ∧ dx1 + igrad B3 dx1 ∧ dx2
= −( Eixi)dt − Eitdxi − B1x2dx3 + B1x3dx2−
− B2x3dx1 + B2x1dx3 − B3x1dx2 + B3x2dx1
= −4πρdt + 4πji dxi,
y el resultado se sigue igualando componentes.
Nota 12.8 De estas cuatro ecuaciones, la primera nos dice que no hay
“cargas magnéticas”
div B = 0,
la segunda es la ley de inducción de Faraday;
la tercera es la ley de Gauss
rot E = − ∂B
∂t ,
div E = 4πρ,
y la cuarta que es la que descubrió Maxwell
rot B = ∂E
∂t
+ 4πj.
Antes de Maxwell se especulaba si sería rot B = 4πj, pero esto implicaba
que las cargas no se mueven, pues un rotacional tiene siempre divergencia
nula, por lo que eso implicaba que la divj = 0 y por tanto por la ley de
la conservación de la carga div J = 0, tendríamos que
0 = div J = div(ρ∂t + j) = div(ρ∂t) = ρt,
por lo que la densidad de carga no varía con el tiempo, es decir las cargas
no se mueven.

922 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
12.5. Ecuación de ondas
Consideremos en nuestro espacio de Minkowski
la ecuación de ondas
(R 4 , g = dt 2 − dx 2 i ),
✷u = 0.
Nuestro objetivo es analizar la solución u satisfaciendo unas condiciones
iniciales, en t = t0, de u y su velocidad ut.
Fijemos un punto del espacio p y un sistema de referencia que lo tenga
como origen. Si encendemos una bombilla y la apagamos, las partícula
de luz emitida al cabo de un tiempo t0 forman una esfera, corte del cono
de luz de vértice p con el hiperplano t = t0. Ahora consideremos otra
superficie: para cada r > 0 consideremos el hiperboloide de dos hojas
Y = {h = r 2 }, h = t 2 − x 2 i ,
el cual tiene la siguiente propiedad, para cada q = (qi) ∈ Y , el vector
unitario, normal (con la métrica g) a Y en q es Nq = q/r = (qi/r), pues
para D = fi∂xi ∈ D(Y ),
g(Nq, Nq) = q2 0 − q 2 i
r 2
= 1,
Dqh = 0 ⇒ t(Dt) − xi(Dxi) = 0 ⇒
g(Nq, Dq) = 1
r (q0f0 − qifi) = 0.
12.5.1. Energía de una onda
Definición. Sea u una solución de la ecuación de ondas ✷u = 0. Llamamos
vector de energía–impulso de la solución en un sistema de referencia
inercial (t, xi) a
I = u2t + u2 xi
∂t −
2
(utuxi )∂xi .
A la función e = (u 2 t + u 2 xi )/2, la llamamos función energía. (Ver 11.7,
pág.883).

12.5. Ecuación de ondas 923
Proposición 12.9 Se tienen las siguientes propiedades:
(i) div I = 0 (Es la ley de conservación de la energía).
(ii) g(I, I) ≥ 0 (la energía “ fluye” a velocidad no superior a la de la
luz).
(iii) e(x) ≥ 0 y e(x) = 0 sii Ix = 0 sii dxu = 0.
(iv) Si Dx es un vector orientado al futuro (i.e. g(Dx, ∂t) > 0) y
unitario, g(Dx, Dx) = 1, entonces g(Dx, Ix) ≥ 0 y se da la igualdad
g(Dx, Ix) = 0 sii Ix = 0 sii dxu = 0.
Demostración. (i) Se deja al lector.
(ii)
g(I, I) = (u2 t + u 2 xi )2
4
− u 2 t u 2 xi = (u2t − u2 xi )2
.
4
(iii) Es obvio.
(iv) Con un cambio en la base de referencia ei, cambiando e0 por
el vector correspondiente a Dx, se tiene que Dx = ∂t y la energía es
positiva.
Pero no hemos visto que I sea intínseco, pues lo hemos dado en
coordenadas. Pero tenemos la siguiente generalización para una 1–forma
ω, de la que el caso anterior es el caso particular en que ω = du.
Definición. Dada una 1–forma ω llamamos tensor de energía–impulso
a
T2 = ω ⊗ ω − s
λg, s = traz(ω ⊗ ω).
2
En un sistema de referencia (t, xi), llamamos energía de ω a
e = T2(∂t, ∂t),
y vector de energía–impulso al vector I tal que
I ∗ = i∂t T2.
Se demuestra que para ω = du, I(ω) = I(u) y e(ω) = e(u), además
se tienen las cuatro propiedades anterores cambiando la primera por:
(i) Si dω = 0 y δω = 0 entonces div T2 = 0, y esto implica que
div I = 0.

924 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
12.6. Ejercicios resueltos
Ejercicio 11.1.1.- Demostrar que la energía de la cuerda, si la soltamos con
velocidad inicial nula y con la forma inicial definida por una función u, vale
E =
T π2
4L
∞
n=1
b 2 nn 2 ,
para bn los coeficientes de Fourier de la extensión impar de u.
Solución.- Sea y(x, 0) = u(x) e yt(x, 0) = 0 y consideremos la solución en la
forma (observemos que nosotros no lo hemos demostrado, pero que es verdad para
una u en “buenas condiciones”)
y(x, t) =
∞
bn sen(αnx) cos(aαnt),
n=1
para bn los coeficientes de Fourier de u. Ahora para f(x) = u ′ (x) tendremos que
f(x) = yx(x, 0) =
∞
bnαn cos(αnx),
n=1
y se sigue de la igualdad de Parseval que
L T
E(t) = E(0) =
0 2 y2 L T
x (x, 0)dx =
0 2 f(x)2dx = T L
∞ T L
< f, f >= b
4 4
n=1
2 nα2 ∞ T π2
n = b
4L
n=1
2 nn2 .
Ejercicio 11.1.2.- Considérese la Lagrangiana asociada a la cuerda
L = T − V = 1
2
L
(ρy
0
2 t − T y 2 x)dx,
y demuéstrese que la ecuación de ondas da un valor estacionario a la acción.
Solución.- Consideremos la acción
b
Ldt =
a
1
b L
(ρy
2 a 0
2 t − T y2 x )dxdt,
la cual si consideramos la función
F(x, t, y, yx, yt) = 1
2 (ρy2 t − T y2 x ),
se minimiza para la función y(x, t) que satisfaga la Ecuación de Euler–Lagrange
que es la ecuación de ondas.
Fy − ∂ ∂
Fyx − Fyt = 0,
∂x ∂t

12.6. Ejercicios resueltos 925
Ejercicio 11.3.1.- Demostrar que la ecuación de ondas bidimensional
zxx + zyy − ztt = 0,
con la condición frontera en el rectángulo [0, a] × [0, b]
z(x, 0, t) = z(x, b, t) = z(0, y, t) = z(a, y, t) = 0,
tiene autovalores y correspondientes autofunciones
λmn = π 2
2
m
,
¿Tiene algún otro autovalor?.
fmn = sen mπx
a
n2
+
a2 b2 sen nπy
b ,
Solución.- Hágase utilizando variables separadas. Por otra parte la teoría de las
series dobles de Fourier demuestra que cualquier función, de clase 2 en un abierto
que contenga al rectángulo, que satisfaga la condición frontera puede desarrollarse
en serie, que converge absoluta y uniformemente, por el sistema fmn. Por tanto si
hubiese otro autovalor λ con una autofunción u, tendríamos que u es ortogonal a
todas las fmn y por tanto u = 0, a menos que λ sea una de las λmn.
Ejercicio 11.4.1.- Demostrar que
∂
f ω =
∂t
B(x,t)
S(x,t)
f iN ω.
Solución.- Consideremos el grupo uniparamétrico
p − x
Xr(p) = p + r
p − x
del campo N ortonormal a las esferas centradas en x, entonces Xɛ(B[x, t]) = B[x, t +
ɛ]\B[x, ɛ] y por tanto
∂
B[x,t+ɛ] fω − B[x,t]
f ω = lím
∂t B(x,t) ɛ→0
fω
ɛ
Xɛ(B[x,t]) fω − B[x,t] fω + B[x,ɛ]
= lím
ɛ→0
fω
ɛ
X
= lím
ɛ→0 B[x,t]
∗
ɛ (fω) − fω
B[x,ɛ]
+ lím
ɛ
ɛ→0
fω
ɛ
= N
B[x,t]
L
B[0,1]
(fω) + lím
ɛ→0
ɛ3 (f ◦ F )ω
ɛ
= iN d(fω) + diN (fω)
B[x,t]
= f iN ω,
S(x,t)
pues d(fω) = 0 y donde F (a) = x + ɛa, que lleva F (B[0, 1]) = B[x, ɛ].

926 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
12.7. Bibliografía y comentarios
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dary value Problems”. J.Wiley, 1977.
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Fondo Educativo Interamericano, 1984.
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Weinberger, H.F.: “Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. Ed. Reverté,
1970.
Zachmanoglou, E.C. and Thoe, D.W.: “Introduction to Partial Differential Equa-
tions with Applications”. Dover, 1986.
Las primeras ecuaciones en derivadas parciales aparecieron en 1734,
en la obra del suizo Leonhard Euler (1707–1783) y en 1743, en el
“Tratado de Dinámica” de Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783).
Es en esta época en la que empezó a estudiarse la considerada como
primera ecuación en derivadas parciales estudiada de importancia: la
ecuación de ondas, que físicamente estaba representada por la oscilación
de una cuerda de violín.
El problema de representar una función por su serie trigonométrica

12.7. Bibliografía y comentarios 927
tiene una larga historia y en buena medida este problema fue el causante
de que se fuera aclarando el propio concepto de función.
El primero en considerar una serie trigonométrica
a1 sen πx
L
aπt
cos
L + a2 sen 2πx 2aπt
cos + · · · ,
L L
fue el suizo Daniel Bernoulli (1700–1782) en su intento de resolver
la ecuación de ondas. Este aseguraba que tal serie representaba la solución
general, aunque no argumentaba basándose en criterios matemáticos
sino físicos. Sin embargo como esta solución parecía tener un carácter
periódico, aparentaba tener menos generalidad que la solución
φ(x + at) + ψ(x − at),
dada en 1746 por D’Alembert en el artículo titulado
“Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa que se
hace vibrar”,
para el que el término función significaba función analítica. Dos años
después, en 1748, Euler publicó un artículo titulado
“Sobre la oscilación de cuerdas”,
en el que aunque seguía el método de D’Alembert, su concepto de
función, y por tanto de solución, era completamente distinto al de este
y mucho mas amplia pues hasta admitía como función cualquier “curva
dibujada a mano”.
En 1807, el Francés Joseph Fourier (1768–1830) anunció que cualquier
función puede representarse por una serie trigonométrica
a0
√ 2 +
∞
n=1
an sen nπx
L + bn cos nπx
,
L
si an y bn eran los (ahora llamados) coeficientes de Fourier de la función,
por esta razón tales series llevan su nombre. En 1824 dio una demostración
de esto, sin embargo los encargados de informar sobre su trabajo,
Lagrange, LaPlace y Legendre, lo criticaron por su vaguedad y
“alegría” en los razonamientos sobre la convergencia de la serie a la función.
En un artículo de 1828, el Alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet
(1805–1859) fue el primero en demostrar rigurosamente la convergencia
de la serie de Fourier para cierta clase de funciones y esto

928 Tema 12. Ecuación de ondas. Electromagnetismo
sin tener todavía una definición clara de lo que era una función. De hecho
el propio Dirichlet, propuso 9 años después, en 1837, la siguiente
definición de función:
“Si una variable y está relacionada con una variable x, de tal manera que
siempre que se atribuya un valor numérico a x, hay una regla según la cual
queda determinado un único valor de y, entonces se dice que y es una función
de la variable independiente x”.
Esta definición de función se aproxima a la actual, de aplicación entre
dos conjuntos de números reales, pero lo cierto es que los conceptos
de “conjunto” y de “número real” estaban lejos de tener un significado
preciso en aquella época.
La confección del Tema 12, sobre electromagnetismo se la debo al
profesor Juan Sancho de Salas una vez mas.
Por último remitimos al lector interesado en la historia de los problemas
de la cuerda vibrante, de la membrana vibrante y de las ondas
sonoras, a las páginas 666–692 del libro
Kline, Morris: “El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días”.
Tomo II, Ed. Alianza Univ., N.724, 1972.
Fin del Tema 12

Tema 13
La Ecuación del calor
13.1. La Ecuación del calor unidimensional
Consideremos una varilla caliente de material homogéneo, de densidad
de masa ρ, de longitud L y con una sección transversal uniforme de
área A.
Consideramos que la varilla es recta y que “está sobre el eje de coordenadas
x”, con un extremo en el origen y el otro en L. Así mismo
consideramos que A es tan pequeño que los puntos de la varilla de cada
sección perpendicular a la varilla, están a la misma temperatura. Además
supondremos que la varilla está térmicamente aislada y por tanto el calor
no sale de la varilla. Por lo tanto la temperatura será una función u(x, t),
que depende de la sección, que representamos por x, y del tiempo t.
Ahora pasamos a describir los principios físicos por los que se rigen
el calor, la temperatura y el flujo de calor.
La Ley de transferencia del calor de Newton dice que:
“Dadas dos placas A y B, paralelas a una distancia d, con
temperaturas constantes TA y TB respectivamente, se genera un
flujo de calor en la dirección perpendicular a las placas, que va de
la caliente a la fría y la cantidad de calor que fluye por unidad
de área y por unidad de tiempo, es directamente proporcional a
929

930 Tema 13. La Ecuación del calor
la diferencia de temperaturas entre las dos placas e inversamente
proporcional a la distancia que las separa”.
Es decir si denotamos con QAB el calor
que fluye de A a B por unidad de
tiempo y unidad de área, tendremos que
QAB = k TA − TB
,
d
para k la conductividad térmica, que es
positiva pues el calor fluye de lo caliente Figura 13.1. Flujo de calor
a lo frío.
De esta ley se sigue nuestro primer principio (haciendo d → 0):
Primer principio.- La cantidad de calor que fluye por unidad
de tiempo, a través de una unidad de área de una sección
x hacia la derecha de la varilla, es
φ(x, t) = −k ∂u
(x, t),
∂x
y en general en un cuerpo con puntos a distinta temperatura, se genera
un flujo de calor que en un instante dado t, define en cada punto un
vector tangente perpendicular a la superficie isoterma {x : u(x, t) = cte}
que pasa por ese punto, es decir que es proporcional al grad T , para
T (x) = u(x, t)
∂ ∂ ∂
Φ = −k · grad T = −k(ux + uy + uz
∂x ∂y ∂z ),
y obsérvese que en el caso de la varilla simplemente hemos supuesto que
uy = uz = 0 y
Φ = φ ∂
∂x .
Segundo principio.- La cantidad de calor necesaria para
elevar la temperatura de un material de masa m, de u1 = u
a u2 = u + ∆u es
cm∆u,
donde c es el calor específico y depende del material.

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 931
En este principio suponemos que todos los puntos del material están
a la misma temperatura u. En caso contrario tendríamos que hacer una
división del material en pequeñas porciones en las que la temperatura
sea prácticamente constante y aplicar el principio a cada una de ellas,
por lo que la cantidad de calor necesaria para cambiar la temperatura del
material de u1 a u2 es la integral, en el recinto R que ocupa el material
cρ(u2 − u1)dxdydz,
R
para ρ la densidad de masa.
Sean x ∈ (0, L) y ɛ > 0. Por una
parte tenemos que durante el intervalo
de tiempo [t, t + ∆t] la temperatura
de la varilla cambió de u(x, t)
a u(x, t + ∆t) y por tanto se sigue
del segundo principio que la cantidad
de calor necesario para cambiar
la temperatura en el trozo de varilla
I = [x, x + ɛ] es
x+ɛ
x
cAρ[u(x, t + ∆t) − u(x, t)]dx,
Figura 13.2. Calor que entra en I
ahora bien este calor sólo ha podido entrar en I por x —hacia la
derecha— y por x + ɛ —hacia la izquierda— y estas cantidades son
por el primer principio,
−k∆tAux(x, t) + k∆tAux(x + ɛ, t) + o(∆t).
Por tanto tenemos que ambas cantidades deben ser iguales
∂u
∂u
k∆tA (x + ɛ, t) − (x, t) + o(∆t) =
∂x ∂x
=
x+ɛ
x
cAρ[u(x, t + ∆t) − u(x, t)]dx,
y dividiendo primero por ∆t y haciéndolo tender a 0 y después por cρAɛ
y haciendo ɛ → 0, tenemos la ecuación de tipo parabólico
(13.1) Kuxx(x, t) = ut(x, t), Ecuación del calor
donde K = k/cρ es la difusibidad del material.

932 Tema 13. La Ecuación del calor
13.1.1. El principio del máximo.
Este principio dice que si tenemos una varilla cuyos extremos tienen
en todo instante una temperatura acotada por una constante M y en el
instante inicial la temperatura de todos los puntos de la varilla estaba
acotada por M, entonces en todo instante posterior todos los puntos de
la varilla tendrán una temperatura acotada por M.
Para demostrarlo consideremos la siguiente notación. Sea t0 > 0 y
consideremos el rectángulo
R = [0, L] × [0, t0] = C ∪ ◦
R ∪C1,
donde C1 es el lado de R —sin los extremos— que une el vértice (0, t0)
con (L, t0) y C son los otros tres lados.
Principio del máximo 13.1 Sea u una solución de la ecuación del calor
Kuxx(x, t) = ut(x, t), para (x, t) ∈ (0, L) × (0, t0]
continua en R, de clase 1 en un abierto A que contenga a ◦
R ∪C1 y tal
que uxx existe, entonces para cualesquiera constantes M1 ≤ M2 se tiene
que
M1 ≤ u(x, t) ≤ M2, en C ⇒ M1 ≤ u(x, t) ≤ M2, en R.
Demostración.- En primer lugar observamos que basta demostrar
una de las desigualdades, pues la otra se obtiene considerando la solución
−u. Nosotros daremos sólo la demostración correspondiente a M = M2
y lo haremos en dos partes. En la primera consideramos v una función
continua en R, de clase 1 en A tal que vxx existe, es continua y se satisface
Kvxx > vt, para (x, t) ∈ ◦
R ∪C1,
v(x, t) ≤ M, para (x, t) ∈ C,
y demostraremos que v(x, t) ≤ M, para (x, t) ∈ R.
Consideremos el punto p ∈ R en el que v alcanza el máximo, entonces
ó bien p ∈ C, en cuyo caso el resultado se sigue, ó bien se tienen las
siguientes posibilidades —que son contradictorias con la hipótesis—
p ∈ ◦
R ⇒ vt(p) = 0, vxx(p) ≤ 0 ⇒ Kvxx(p) ≤ vt(p),
p ∈ C1 ⇒ vt(p) ≥ 0, vxx(p) ≤ 0 ⇒ Kvxx(p) ≤ vt(p).

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 933
En segundo lugar consideramos la función u del enunciado, un ɛ > 0
y la función en R
v(x, t) = u(x, t) + ɛx 2 ,
por tanto
Kvxx > vt, para (x, t) ∈ ◦
R ∪ C1,
v(x, t) ≤ M + ɛL 2 , para (x, t) ∈ C,
y se sigue de la demostración anterior que en R
u(x, t) ≤ v(x, t) ≤ M + ɛL 2 ,
y como esto es cierto para todo ɛ > 0, el resultado se concluye.
Como consecuencia se tiene el siguiente resultado.
Teorema de Unicidad 13.2 Dadas las funciones continuas h(t) y g(t)
en [0, ∞) y f(x) en [0, L], a lo sumo existe una única solución u del
problema de valor inicial–frontera para la ecuación del calor
(13.2)
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = h(t), u(L, t) = g(t),
continua en [0, L] × [0, ∞), de clase 1 en (0, L) × (0, ∞) y para la que
exista uxx.
Demostración. Basta considerar la diferencia u de dos posibles soluciones,
para la que se tiene por el resultado anterior que para cualquier
t0 y cualesquiera (x, t) ∈ [0, L] × [0, t0], u(x, t) = 0.
También se tiene el siguiente resultado.
Teorema de dependencia continua 13.3 La solución u del problema de
valor inicial–frontera para la ecuación del calor 13.2, si existe depende
continuamente de los datos f, g y h, en el sentido de que si ui es, para
i = 1, 2, la solución correspondiente a fi, gi y hi y se tiene que para un
ɛ > 0 y un t0 > 0
máx
0≤x≤L |f1(x) − f2(x)| ≤ ɛ,
máx |h1(t) − h2(t)| ≤ ɛ, máx |g1(t) − g2(t)| ≤ ɛ,
0≤t≤t0
0≤t≤t0

934 Tema 13. La Ecuación del calor
entonces
|u1(x, t) − u2(x, t)| ≤ ɛ, para (x, t) ∈ [0, L] × [0, t0].
Demostración. Hágala el lector.
Nota 13.4 Observemos que la ecuación del calor es, como la de ondas,
invariante por traslaciones tanto en el tiempo como en el espacio, por lo
tanto los resultados anteriores son válidos si en vez del intervalo temporal
[0, t0], consideramos [T, T + t0], para cualquier T ∈ R. Sin embargo no
es invariante, como sí lo es la de ondas y en esto tenemos una diferencia
fundamental entre ambas, por la transformación temporal t = −t, pues
esta transformación la convierte en la ecuación
Kuxx = −u t ,
la cual difiere esencialmente de la ecuación del calor. Como consecuencia
no podemos remitirnos a los resultados obtenidos hasta ahora —en
particular el principio del máximo—, en los que siempre hemos hablado
de la evolución de la varilla “hacia el futuro” (t ≥ 0), para conocer el
proceso de la varilla “hacia el pasado” (t ≤ 0). Por tanto, en principio,
tendríamos que elaborar nuevos resultados.
Sin embargo en general se tiene que aunque el conocimiento de la
temperatura en los extremos de la varilla en todo instante y el de toda
la varilla en un instante t0 dado, determinan la temperatura de toda la
varilla en los instantes posteriores a t0, no la determinan en los instantes
anteriores a t0 (justificaremos esto en la nota (13.7), pág.939). En
términos físicos esta propiedad se expresa diciendo que,
“la conducción del calor es un proceso irreversible”.
13.1.2. Solución general.
Analicemos primero si existe alguna solución de 13.1 de la forma
u(x, t) = h(x)g(t),
en cuyo caso para cualquier (x, t) se debe satisfacer
Kh ′′ (x)g(t) = h(x)g ′ (t),

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 935
y esto ocurre si existe una constante λ tal que
h ′′ (x)
h(x) = g′ (t)
= −λ,
Kg(t)
es decir si se satisfacen las ecuaciones
h ′′ (x) + λh(x) = 0, g ′ (t) + Kλg(t) = 0,
siendo la solución general de estas ecuaciones —para λ = α 2 —
h(x) = A cos(αx) + B sen(αx),
g(t) = C e −Kα2 t ,
el caso λ < 0 no lo consideramos pues la correspondiente solución
u(x, t) = h(x)g(t) → ∞, cuando t → ∞,
por su parte el caso λ = 0 corresponde a la solución trivial
u(x, t) = Ax + B.
En definitiva vemos que las funciones de la forma
u(x, t) = e −Kα2 t [A cos(αx) + B sen(αx)],
y sus sumas finitas son soluciones de la ecuación del calor.
13.1.3. Soluciones con condiciones inicial y frontera
dadas.
Caso 1.- Condiciones en la frontera homogéneas. En primer
lugar vamos a considerar el caso en que la varilla mantiene sus extremos
a una temperatura constante igual a 0 y que en el instante inicial t = 0 la
temperatura de toda la varilla está dada por una función f(x). Es decir
estudiaremos las soluciones u(x, t), de 13.1 que satisfacen las condiciones
frontera–iniciales
u(0, t) = u(L, t) = 0 , u(x, 0) = f(x).
Analicemos primero si existe alguna solución de 13.1 de la forma
u(x, t) = h(x)g(t),

936 Tema 13. La Ecuación del calor
satisfaciendo las condiciones
u(0, t) = u(L, t) = 0 ⇒ h(0) = h(L) = 0.
Ahora bien nosotros sabemos que las únicas soluciones h no triviales
con esas condiciones corresponden a
λ = α 2 n , αn = nπ
L ,
para cada n = 1, 2, . . . Y las soluciones son, para cada n, múltiplos de
hn(x) = sen(αnx),
y las soluciones g, que corresponden a estos valores de λ, son de la forma
Se sigue que para cada n ≥ 1,
g(t) = A e −Kα2
n t .
un(x, t) = hn(x)gn(t) = e −Kα2
n t sen(αnx),
y cualquier combinación finita de ellas son soluciones de
Kuxx = ut , u(0, t) = u(L, t) = 0.
Ahora es de esperar que las combinaciones infinitas
u(x, t) =
∞
bnhn(x)gn(t),
n=1
también sean solución y que eligiendo adecuadamente las bn se tenga la
otra condición frontera
∞
∞
u(x, 0) = bnhn(x)gn(0) = bn sen(αnx) = f(x).
n=1
Como nuestra f está definida en [0, L], podemos extenderla a [−L, L]
de forma impar, por f(−x) = −f(x). Por tanto consideramos sus coeficientes
de Fourier
bn = 1
L
L
−L
n=1
f(x) sen nπx 2
dx =
L L
L
0
f(x) sen nπx
L dx,

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 937
y con ellos definimos, al menos formalmente, la “presumible solución”
∞
∞
(13.3) u(x, t) = bnhn(x)gn(t) = bn e −Kα2 nt sen(αnx).
n=1
Analicemos ahora si esta serie define realmente una función continua
en [0, L] × [0, ∞), que sea solución de la ecuación del calor, satisfaciendo
las condiciones dadas.
En primer lugar tenemos que
|bn| ≤ c = 2
L
L
0
n=1
|f(x)|dx,
y por tanto si f es continua en [0, L] —o con mas generalidad, si f es
integrable—, sus coeficientes de Fourier bn están uniformemente acotados.
En tal caso se tiene el siguiente resultado.
Teorema 13.5 Si bn ∈ R están uniformemente acotados, |bn| ≤ c < ∞,
entonces la serie
∞
n=1
bn e −Kα2
n t sen(αnx),
converge puntualmente, en R × (0, ∞), a una función
u ∈ C ∞ (R × (0, ∞)),
que satisface la ecuación del calor con las condiciones frontera
u(0, t) = u(L, t) = 0, para 0 < t < ∞.
Si además f : [0, L] −→ R es continua, de clase 1, salvo en una colección
finita de puntos en los que tiene derivadas laterales finitas, satisface
f(0) = f(L) = 0 y bn son los coeficientes de Fourier de su extensión
impar, entonces la serie converge puntualmente, en R × [0, ∞), a una
función u continua, que en t = 0 vale u(x, 0) = f(x).
Demostración. En primer lugar los términos de la serie están acotados
en módulo por
|bn e −Kα2
n t sen(αnx)| ≤ c e −Kα2
n t = c(e −Kπ2 t
L 2 ) n2
,
y como los términos de la derecha definen una serie que converge uniformemente
en R × [t0, ∞), para cualquier t0 > 0, nuestra serie también

938 Tema 13. La Ecuación del calor
converge uniformemente en ese conjunto a una función u, que es continua
en R × [t0, ∞), para todo t0 > 0 —pues las sumas parciales de nuestra
serie son continuas—. Por tanto u es continua en todo R × (0, ∞) y
satisface la condición frontera.
Del mismo modo los términos de las series
∞
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∂
∂t
bn e −Kα2 nt
sen(αnx) ,
∂
bn e
∂x
−Kα2n
t
sen(αnx) ,
∂2 ∂x2
bn e −Kα2n
t
sen(αnx) ,
están acotados en módulo, para cada t0 > 0, por términos de series
uniformemente convergentes1 en R × [t0, ∞), por tanto ellas convergen
uniformemente y definen funciones continuas que son respectivamente ut,
ux y uxx. Del mismo modo se demuestra que u tiene derivadas parciales
continuas de todos los ordenes para todo x y todo t > 0 y por tanto es
de clase infinito. Ahora se tiene que
Kuxx − ut =
∞
n=1
bn e −Kα2
n t sen(αnx)(−Kα 2 n + Kα 2 n) = 0,
y por tanto u satisface la ecuación del calor.
Para resolver completamente nuestro problema falta ver que en las
hipótesis de regularidad de f, u se extiende con continuidad a t = 0 y
u(x, 0) = f(x), es decir
lím
t→0 +
u(x, t) = f(x).
Si consideramos las sumas parciales
sN (x, t) =
N
n=1
bn e −Kα2
n t sen(αnx),
tendremos por el Teorema de Dirichlet que
sN(x, 0) =
N
bn sen(αnx) → f(x),
n=1
1 Es consecuencia de que
n nm k n < ∞, para m ∈ N y |k| < 1 fijos.

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 939
y la convergencia es uniforme, por tanto para todo ɛ > 0 existe un N,
tal que para m, n ≥ N se tiene
|sn(x, 0) − sm(x, 0)| ≤ ɛ,
pero v = sn − sm es solución de la ecuación del calor y satisface la
condición frontera v(0, t) = v(L, t) = 0, para todo t ≥ 0, por tanto se
sigue del principio del máximo que
|sn(x, t) − sm(x, t)| ≤ ɛ,
para todo (x, t) ∈ [0, L] × [0, ∞), por tanto sn converge uniformemente
a u en [0, L] × [0, ∞) y u es continua en ese conjunto.
En definitiva hemos demostrado el siguiente resultado.
Teorema de Existencia 13.6 Si f : [0, L] −→ R es continua, de clase 1,
salvo en una colección finita de puntos en los que tiene derivadas laterales
finitas y satisface f(0) = f(L) = 0, entonces existe una solución u de la
ecuación del calor
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = u(L, t) = 0,
que viene dada por convergencia uniforme de la serie
∞
u(x, t) = bn e −Kα2n
t sen(αnx),
n=1
en [0, L] × [0, ∞), con los bn los coeficientes de Fourier de la extensión
impar de f, y siendo u continua en [0, L] × [0, ∞) y de C ∞ ((0, L) ×
(0, ∞)).
Nota 13.7 Podemos utilizar el hecho de que la solución u encontrada
es de C ∞ ((0, L) × (0, ∞)), aunque la condición inicial f sólo sea continua,
para demostrar que en general las condiciones iniciales–frontera
no determinan la solución en el pasado, es decir para t ≤ 0. Para ello
supongamos que existe un t0 < 0 y una solución u del problema “hacia
el pasado”
Kuxx = ut, en (0, L) × (t0, 0]
u(0, t) = u(L, t) = 0 , para t0 ≤ t ≤ 0
u(x, 0) = f(x), para 0 ≤ x ≤ L.

940 Tema 13. La Ecuación del calor
para f continua, tal que u sea continua en [0, L] × [t0, 0].
Figura 13.3. Dominio del problema (hacia el pasado)
Consideremos entonces la función
g(x) = u(x, t1),
con un t0 < t1 < 0 arbitrario. Tal función es continua en [0, L] y de clase
1 en (0, L), pues uxx existe, sin embargo no sabemos si tiene derivadas
laterales finitas en 0 y L. En cualquier caso sabemos que si existe la
solución continua en [0, L] × [t1, 0], del problema “hacia el futuro”
Kuxx = ut, en (0, L) × (t1, 0]
u(0, t) = u(L, t) = 0 , para t1 ≤ t ≤ 0
u(x, t1) = g(x), para 0 ≤ x ≤ L,
esta es única y además depende continuamente de g y como nuestra u lo
satisface es la solución. Ahora bien si g tuviese derivadas laterales finitas
en 0 y L, la solución de este problema sería
u(x, t) =
∞
n=1
bn e −Kα2
n (t−t1) sen(αnx).
para bn los coeficientes de Fourier de la extensión impar de g, que por ser
continua están acotados, y con esto bastaba realmente para demostrar
que u es de C ∞ ((0, L)×(t0, ∞)), pero entonces esto implica que u(x, 0) =
f(x) es de C ∞ (0, L), lo cual no tiene por qué ser cierto. En el caso de
que g no verificase las propiedades dichas, no importa, como partimos
de que u es continua, también admite la representación
u(x, t) =
∞
n=1
bn e −Kα2
n (t−t1) sen(αnx).

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 941
y se concluye del mismo modo. La razón de poderla representar también
mediante la serie es que al ser u continua depende continuamente de g,
que podemos poner como límite uniforme de funciones gm continuas, que
se anulen en 0 y L y con derivadas laterales finitas en todo punto. Como
las soluciones um, correspondientes a gm, admiten la representación
en serie y convergen uniformemente a u y se tiene la convergencia de
coeficientes de Fourier
2
L
L
0
gm(x) sen nπx 2
dx →
L L
L
0
g(x) sen nπx
dx, m → ∞,
L
tendremos el resultado como una aplicación del teorema de la convergencia
dominada de Lebesgue.
Nota 13.8 La solución
u(x, t) =
∞
n=1
bn e −Kα2
n t sen(αnx),
para αn = nπ/L y los coeficientes de Fourier
de nuestro problema
admite la forma integral
para la función
u(x, t) = 2
∞
L
=
bn = 2
L
L
0
f(x) sen(αnx)dx,
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,
n=1
L
0
L
0
K(ξ, x, t) = 2
L
f(ξ) sen(αnξ) dξ e −Kα2
n t sen(αnx)
f(ξ)K(ξ, x, t) dξ,
∞
n=1
e −Kα2
n t sen(αnξ) sen(αnx).

942 Tema 13. La Ecuación del calor
Remitimos al lector interesado a la pág.115 del Weinberger, (ver también
Tijonov, A.N. and Samarski, A.A., p.234), en el que se demuestra,
utilizando esta representación, que nuestra solución sigue siéndolo
para una clase mas amplia de funciones f de la que los teoremas de convergencia
de Fourier permiten, en particular si f es acotada y continua
en x = x0, entonces la solución
satisface
u(x, t) =
L
0
f(ξ)K(ξ, x, t)dξ,
lím u(x, t) = f(x0),
(x,t)→(x0,0)
con esto tenemos otra forma de justificar los comentarios de la nota
anterior aunque g no tuviera derivadas laterales finitas en 0 y L. Se puede
demostrar (ver Tijonov, A.N. and Samarski, A.A., p.236) que si f
es continua salvo en un conjunto finito de puntos xi, tal solución es la
única acotada y continua en los puntos (x, 0), con x = xi.
Ejercicio 13.1.1 Encontrar las soluciones de la ecuación
Kuxx = ut, u(0, t) = u(L, t) = 0,
correspondientes a las condiciones iniciales:
(1) u(x, 0) = sen 3 πx
L ,
(2) u(x, 0) =
x,
L − x,
si x ∈ [0, L/2];
si x ∈ [L/2, L]
(3) u(x, 0) = x(L − x).
Caso 2.- Condiciones en la frontera no homogéneas. Hemos
dado por tanto contestación a la existencia de solución del problema
homogéneo en las condiciones frontera, entendiendo por esto que h(t) =
g(t) = 0. En cuanto al problema general
(13.4)
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = h(t), u(L, t) = g(t),

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 943
podemos reducirlo al homogéneo, siempre que podamos encontrar al menos
una solución u1 del problema actual sin la condición inicial, es decir
de
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(0, t) = h(t), u(L, t) = g(t),
pues en tal caso basta encontrar la solución u2, del problema homogéneo
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x) − u1(x, 0),
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,
para obtener la solución de 13.4, que es
u = u1 + u2.
Por ejemplo este proceso puede seguirse en el problema
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = a, u(L, t) = b,
donde a, b ∈ R, pues en tal caso una solución u1 es
b − a
u1(x, t) = a + x
L .
Ejercicio 13.1.2 Encontrar las soluciones de la ecuación
donde a, b, c ∈ R.
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = a + ct, u(L, t) = b + ct,
Por otra parte para encontrar una solución de
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(0, t) = h(t), u(L, t) = g(t),

944 Tema 13. La Ecuación del calor
basta encontrar por separado una solución de
y sumársela a una de
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(0, t) = h(t), u(L, t) = 0,
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(0, t) = 0, u(L, t) = g(t),
y para encontrar una solución de la primera consideramos primero el
caso más simple
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(0, t) = A cos ωt, u(L, t) = 0,
el cual podemos resolver en variables separadas considerando la parte
real de una solución compleja
a la que le pedimos que verifique
lo cual implica que
para
z(x, t) = y(x) e −iωt ,
y ′′ + iω
y = 0, y(0) = A, y(L) = 0,
K
y(x) = (A − λ) e −αx +λ e αx = y1(x) + iy2(x),
α =
−iω
K =
ω
(−1 + i),
2K
y donde la constante λ es tal que y(L) = 0. La solución por tanto es
y1(x) cos ωt + y2(x) sen ωt.
Si ahora la función h(t) es combinación de armónicos de distintas
frecuencias, la solución se obtiene como superposición de las soluciones
correspondientes a cada armónico por separado.

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 945
Por último remitimos al lector a la pág.134 del Weinberger donde
se estudia la solución del problema de la ecuación del calor no homogénea
Kuxx(x, t) = ut(x, t) + F (x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,
Caso 3.- Extremos de la varilla aislados. En este caso consideramos
que la varilla mantiene sus extremos aislados, de modo que no
hay flujo de calor que entre ni salga por ellos y que en el instante inicial
t = 0 la temperatura de toda la varilla está dada por una función f(x).
Es decir estudiamos las soluciones de la ecuación del calor que satisfacen
las condiciones
ux(0, t) = ux(L, t) = 0 , para t ≥ 0,
u(x, 0) = f(x) , para x ∈ [0, L].
Teorema 13.9 Si u es una función continua en la franja rectangular
[0, L] × [0, T ), con 0 < T ≤ ∞, que en su interior es de clase 2, tiene
derivadas ux y ut acotadas, satisface la ecuación del calor y en cada lado
vertical de la franja satisface una de las dos condiciones frontera
u(0, t) = 0 ó ux(0, t) = 0, t ∈ [0, T ],
u(L, t) = 0 ó ux(L, t) = 0, t ∈ [0, T ],
entonces la función en t ∈ [0, T )
es decreciente.
E(t) =
L
0
u 2 (x, t)dx,
Demostración. Consideremos 0 ≤ t1 < t2 < T , el campo N unitario
exterior y ortogonal al rectángulo R = [0, L] × [t1, t2], que en los lados
de rectángulo verticales (derecho e izquierdo) y horizontales (de arriba
y abajo), vale respectivamente
∂ ∂
, −
∂x ∂x ,
∂ ∂
, −
∂t ∂t ,

946 Tema 13. La Ecuación del calor
así mismo consideremos el campo
y la desigualdad
∂
D = 2Kuux
∂x
− u2 ∂
∂t ,
0 = 2u(Kuxx − ut) = K(2uux)x − 2K(ux) 2 − (u 2 )t ≤ div D,
en tales términos se sigue aplicando el Teorema de Stokes, (14.12),
pág.974 que
0 ≤
=
=
=
R
∂R
T
0
−
L
0
div D dx ∧ dt
< D, N > iN (dx ∧ dt)
(2Kuux) |x=Ldt −
L
0
u 2 (x, t2)dx +
u 2 (x, t1)dx −
L
0
T
0
L
0
(2Kuux) |x=0dt−
u 2 (x, t1)dx
u 2 (x, t2)dx.
Teorema de Unicidad 13.10 Si existe una función en las condiciones
del resultado anterior, que satisfaga la ecuación del calor, la condición
inicial
u(x, 0) = f(x), para x ∈ [0, L],
y una de las cuatro condiciones frontera para t ∈ [0, T ]
entonces es única.
u(0, t) = g(t), u(L, t) = h(t),
ó ux(0, t) = g(t), ux(L, t) = h(t)
ó ux(0, t) = g(t), u(L, t) = h(t)
ó u(0, t) = g(t), ux(L, t) = h(t)

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 947
Demostración. La diferencia de dos posibles soluciones satisface
las mismas condiciones pero para f = g = h = 0, entonces se sigue del
resultado anterior que E(t) ≤ E(0) = 0 y por tanto tal función debe
anularse en todo punto de la franja.
Consideremos ahora la solución general de la ecuación del calor
u(x, t) = e −Kα2 t [A cos(αx) + B sen(αx)],
e impongamos las condiciones frontera. De ux(0, t) = 0 se sigue que
B = 0 y de ux(L, t) = 0 que
α = αn = nπ
L ,
y por tanto nuestra función es un múltiplo de
un(x, t) = e −Kα2
n t cos(αnx),
ahora bien aun no hemos impuesto la condición inicial y es de esperar
que las combinaciones infinitas de estas funciones
u(x, t) = a0
2 +
∞
an e −Kα2 nt cos(αnx),
n=1
también sean solución y que eligiendo adecuadamente las an se tenga la
condición inicial
u(x, 0) = a0
2 +
∞
an cos(αnx) = f(x).
n=1
Como nuestra f está definida en [0, L], podemos extenderla a [−L, L]
de forma par, por f(−x) = f(x). Por tanto consideramos sus coeficientes
de Fourier
L
an = 2
f(x) cos
L 0
nπx
L dx,
y con ellos definimos, al menos formalmente, la “presumible solución”
u(x, t) = a0
2 +
∞
an e −Kα2 nt cos(αnx),
n=1
de un modo similar al del caso analizado anteriormente se demuestra que
la serie realmente converge a una solución, si f es continua y derivable
salvo en un número finito de puntos en los que tenga límites y derivadas
laterales finitos.

948 Tema 13. La Ecuación del calor
Ejercicio 13.1.3 Encontrar la solución de la ecuación
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
ux(0, t) = ux(L, t) = 0,
⎧
⎪⎨ 0, para x ∈ [0,
u(x, 0) =
⎪⎩
L−a
2 ),
1, para x ∈ [ L−a L+a
, 2 2 ],
0, para x ∈ ( L+a
, L]. 2
13.1.4. El problema de valor inicial.
Consideremos ahora el problema de la ecuación del calor en una varilla
infinita, que seguiremos suponiendo aislada. Es decir consideremos
el problema de valor inicial
(13.5)
Kuxx(x, t) = ut(x, t), para x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = f(x), para x ∈ R,
donde supondremos que f es continua. Este problema puede tener mas
de una solución 2 u, pero tiene sólo una que sea acotada.
El siguiente resultado se basa en el principio del máximo para rectángulos
finitos.
Teorema del valor extremo 13.11 Si u es una solución de la ecuación
del calor continua y acotada en R × [0, ∞), entonces
M1 ≤ u(x, 0) ≤ M2, para x ∈ R ⇒
M1 ≤ u(x, t) ≤ M2, para (x, t) ∈ R × [0, ∞).
Demostración. Como en el caso acotado basta hacer la demostración
para M2, y basta hacerla —restándole M2 a u— para M2 = 0.
Veamos pues que si u(x, 0) ≤ 0 para x ∈ R, entonces
u(x, t) ≤ 0, para (x, t) ∈ R × [0, ∞),
2 En la pág. 246 del Copson se da un ejemplo de Tikhonov en el que demuestra
que la ecuación no tiene solución única a menos que esté acotada por
|u(x, t)| < M e ax2
.
En la pág. 344 del Zachmanoglou and Thoe se da también referencia de no unicidad
para f = 0.

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 949
para ello consideremos |u(x, t)| ≤ M < ∞, para (x, t) ∈ R × [0, ∞) y
consideremos la también solución de la ecuación del calor
v(x, t) = 2M
L2
2 x
+ Kt ,
2
para L > 0 arbitrario pero fijo. Entonces se tiene que
u(x, 0) ≤ 0 ≤ v(x, 0), para x ∈ R,
u(±L, t) ≤ M ≤ v(±L, t), para t ≥ 0,
y se sigue del principio del máximo en [−L, L] que
u(x, t) ≤ v(x, t) = 2M
L 2
x 2
2
+ Kt , para (x, t) ∈ [−L, L] × [0, ∞),
y fijado el punto (x, t) y haciendo L → ∞ se sigue el resultado.
Como consecuencia trivial de este resultado se tienen los Teoremas
de Unicidad y de Dependencia continua del dato inicial.
Nota 13.12 A continuación vamos a dar la solución explícita de la ecuación
del calor satisfaciendo la condición inicial 13.5, pero antes vamos a
justificar la construcción de esta solución.
Nosotros sabemos que las soluciones (reales), en variables separadas,
de la ecuación del calor, son las combinaciones de la parte real y la parte
imaginaria de las soluciones complejas que son
e −α2 Kt e iαx ,
para α ∈ R. Ahora bien es de esperar que una superposición infinita de
estas soluciones ∞
λ(α) e
−∞
−α2Kt iαx
e dα,
también sea solución y si queremos que en t = 0 coincida con nuestra
función f(x), la función λ(α) debe verificar
f(x) =
∞
−∞
λ(α) e iαx dα,

950 Tema 13. La Ecuación del calor
pero en tal caso f es la transformada de Fourier3 de λ y se sigue del
Teorema de inversión que
λ(α) = 1
2π
∞
−∞
en tal caso la presumible solución será
u(x, t) = 1
2π
pues se tiene que
= 1
2π
= 1
2π
= 1
2 √ π
f(z) e −iαz dz,
∞ ∞
f(z) e
−∞ −∞
−iαz e −α2Kt iαx
e dα dz,
∞ ∞
e
−∞ −∞
iα(x−z)−α2
Kt
dα f(z)dz,
∞
π (x−z)2
e− 4Kt f(z)dz,
−∞ Kt
∞
−∞
∞
e
−∞
iα(x−z)−α2 ∞
Kt
dα =
−∞
∞
=
−∞
1 (x−z)2
− √ e 4Kt f(z)dz,
Kt
e −α2 Kt [cos α(x − z) + i sen α(x − z)] dα
e −α2 Kt cos α(x − z) dα,
y esto se sigue por ser exp{−α2Kt} sen α(x−z) impar e integrable. Ahora
si consideramos
I(r) =
∞
−∞
e −β2
cos βr dβ,
tendremos que I ′ (r) = −(r/2)I(r), para lo cual basta integrar en β
(e −β2
de donde se sigue que
sen βr) ′ = −2β e −β2
sen βr + r e −β2
cos βr,
r2 −
I(r) = I(0) e 4 = √ r2 −
π e 4 ,
y ahora basta considerar la nueva variable
3 Ver Rudin, pág. 192.
β = α √ Kt, y r =
x − z
√ Kt ,

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 951
pues en tal caso tendremos que
∞
−∞
e −α2 Kt cos α(x − z) dα = 1
√Kt
∞
−∞
= 1 √ − √ π e
Kt
r2
4
=
π (x−z)2
e− 4Kt .
Kt
e −β2
cos βr dβ
Teorema de existencia. Integral de Poisson 13.13 Sea f acotada en R,
entonces la función
1
u(x, t) = 2 √ ∞
(x−z)2
√1 − e 4Kt f(z) dz, para t > 0
π −∞ Kt
f(x), para t = 0.
es solución de la ecuación del calor, acotada en R × [0, ∞), de clase
infinito en R × (0, ∞) y continua en (x, 0) si f es continua en x.
Demostración. Por ser f acotada se sigue que para cada (x, t), con
t > 0, la función
(13.6)
1 (x−z)2
− √ e 4Kt f(z),
Kt
y sus derivadas respecto de t y x son integrables en z, de hecho uniformemente
integrables en un entorno acotado de (x, t), con t > 0. Esto
se sigue de que P (z) exp{−z 2 } es integrable 4 para cualquier polinomio
P . Por lo tanto u(x, t) define una función de clase infinito en t > 0. Del
mismo modo se tiene que u es acotada, pues si |f| ≤ M, tendremos que
para t = 0, |u| ≤ M y para t > 0 y considerando el cambio de variable
ξ = (z − x)/2 √ Kt
|u(x, t)| ≤ M
2 √ π
∞
−∞
1 (x−z)2
− √ e 4Kt dz =
Kt M ∞
√ e
π −∞
−ξ2
dξ = M.
4Recordemos que,
∞
Γ(p) = x
0
p−1 e −x ∞
dx = 2 ξ
0
2p−1 e −ξ2
dξ,
para ξ2 = x y que por tanto
∞
ξ
−∞
k e −ξ2
0, si k = 2n + 1,
dξ =
Γ n + 1
, si k = 2n.
2

952 Tema 13. La Ecuación del calor
Por otra parte se tiene que 13.6 satisface la ecuación del calor y por
tanto también u en t > 0.
Tan sólo falta ver que u es continua en (x0, 0), si f lo es en x0. Para
ello consideremos un ɛ > 0 y un δ > 0 tal que |f(x) − f(x0)| < ɛ, para
|x−x0| < δ, entonces haciendo el cambio de variable ξ = z−x, tendremos
que
|u(x, t) − u(x0, 0)| = |u(x, t) − f(x0)|
≤ |u(x, t) − f(x)| + |f(x) − f(x0)|
1
< ɛ +
2 √ πKt
1
= ɛ +
2 √ πKt
1
= ɛ +
2 √ πKt
1
+
2 √ πKt
1
+
2 √ πKt
∞
−∞
∞
−∞
−δ
−∞
δ
−δ
∞
δ
(x−z)2
−
e 4Kt [f(z) − f(x)]dz =
ξ2
−
e 4Kt [f(x + ξ) − f(x)]dξ
ξ2
−
e 4Kt [f(x + ξ) − f(x)]dξ+
ξ2
−
e 4Kt [f(x + ξ) − f(x)]dξ+
ξ2
−
e 4Kt [f(x + ξ) − f(x)]dξ,
y para la segunda integral tenemos que
1
2
√ δ
ξ2
−
e 4Kt [f(x + ξ) − f(x)]dξ
πKt
≤
−δ
ɛ
≤
2 √ πKt
δ
−δ
ξ2
−
e 4Kt dξ < ɛ,
en cuanto a las otras dos integrales son similares y acotaremos la última,
para ello consideremos el cambio β = ξ/2 √ Kt y la cota |f| ≤ M,
entonces
1
2 √ ∞
ξ2
−
e 4Kt [f(x + ξ) − f(x)]dξ
πKt
δ
≤
≤ 2M
∞
√
π δ/2 √ e
Kt
−β2
dβ < ɛ,
para t suficientemente pequeño, por lo tanto
|u(x, t) − u(x0, 0)| < 4ɛ.

13.1. La Ecuación del calor unidimensional 953
Nota 13.14 Observen los que han estudiado estadística, que
1
2 √ πKt
e− (x−z)2
4Kt ,
es la función de densidad de una distribución normal de media z y varianza
2Kt.
Nota 13.15 De este resultado se sigue que si f es una función no negativa,
con soporte en un pequeño intervalo (−ɛ, ɛ), es decir que la temperatura
de nuestra varilla infinita es nula salvo en este pequeño trozo en
el que es positiva, entonces la solución dada en el teorema
1
u(x, t) =
2 √ πKt
ɛ
−ɛ
(x−z)2
−
e 4Kt f(z)dz,
es positiva en todo punto x de la varilla y todo instante t > 0 y por tanto
no importa lo lejos que esté un punto del lugar de la varilla en el que
la temperatura es positiva en el instante 0, para que esto le influya instantáneamente
y su temperatura se eleve, por tanto el calor se transmite
con velocidad infinita, al contrario de lo que ocurre para las ondas.
Por otra parte si f es continua hemos visto que la solución acotada
es única, por tanto esta es la solución. Sin embargo si f es continua
salvo en un conjunto finito de puntos xi, esta es una solución y se puede
demostrar siguiendo el caso de la barra finita (ver Tijonov, A.N. and
Samarski, A.A., p.236) que es la única acotada y continua en los puntos
(x, 0) con x = xi.
Ejercicio 13.1.4 Sean a, b ∈ R. Encontrar la solución de
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
(x, t) ∈ R × (0, ∞),
u(x, 0) =
a,
b,
si x < 0;
si x > 0.

954 Tema 13. La Ecuación del calor
13.2. La Ecuación del calor n–dimensional.
13.2.1. Caso bidimensional. Planteamiento.
Consideremos una placa caliente, de material homogéneo —por ejemplo
hecha de hierro—, de densidad de masa ρ.
Consideremos que la placa es plana, que ocupa una región U del plano
xy, limitada por una curva diferenciable a trozos ∂U = C. Así mismo
consideremos que las dos caras de la placa equidistan, que están aisladas
y que su espesor a es tan pequeño que los puntos de la placa de cada
dirección perpendicular al plano de la placa, están a la misma temperatura.
Por lo tanto la temperatura de la placa será una función u(x, y, t),
que depende del punto (x, y) ∈ U y del tiempo t.
Consideremos un punto de la placa
(x, y) ∈ U y un ɛ > 0. Por una
parte tenemos que durante el intervalo
de tiempo [t, t + ∆t] la temperatura
de la placa cambió de u(x, y, t)
a u(x, y, t + ∆t) y por tanto se sigue
del segundo principio que la cantidad
de calor necesario para cambiar
la temperatura, en el trozo de placa
[x, x + ɛ] × [y, y + ɛ], es
x+ɛ y+ɛ
x
y
Figura 13.4. Difusión del calor en una
placa
caρ[u(x, y, t + ∆t) − u(x, y, t)]dxdy,
ahora bien este calor sólo ha podido entrar en el trozo de placa por el lado
[x, x+ɛ]×{y} —hacia arriba (ver dibujo)—, por el lado [x, x+ɛ]×{y+ɛ}
—hacia abajo—, por el lado {x} × [y, y + ɛ] —hacia la derecha— y por
el lado {x + ɛ} × [y, y + ɛ] —hacia la izquierda— y estas cantidades son
por el primer principio,
φ1 = −k∆taɛux(x, y, t) + o(∆t),
φ2 = k∆taɛux(x + ɛ, y, t) + o(∆t),
φ3 = −k∆taɛuy(x, y, t) + o(∆t),
φ4 = k∆taɛuy(x, y + ɛ, t) + o(∆t).

13.2. La Ecuación del calor n–dimensional. 955
Por tanto tenemos que ambas cantidades deben ser iguales y dividiendo
por cρaɛ 2 ∆t y haciendo ɛ → 0 y ∆t → 0, tenemos la ecuación
(13.7) K(uxx + uyy) = ut, (Ecuación del calor)
donde K = k/cρ es la difusibidad del material.
De un modo similar se plantea la ecuación del calor tridimensional y
en general la n–dimensional que es
K∆u = ut, para x ∈ U y t > 0,
donde ∆ es el operador de LaPlace n–dimensional.
13.2.2. El método de separación de variables.
Consideremos un abierto acotado U ⊂ R n , en el que el Teorema
de Stokes, (14.12), pág.974 sea válido, y consideremos las soluciones
en variables separadas, u(x, t) = ϕ(x)h(t), de la ecuación del calor n–
dimensional
K∆u = ut, para x ∈ U y t > 0,
satisfaciendo la condición frontera
u(x, t) = 0, para x ∈ ∂U y t ≥ 0.
En tal caso las funciones ϕ y h deben satisfacer
∆ϕ + λϕ = 0, para x ∈ U, y ϕ = 0, para x ∈ ∂U,
h ′ + λKh = 0, para t > 0,
ahora bien hemos dicho en el tema de la ecuación de ondas que este
problema tiene solución ϕ ∈ C 2 (U) ∩ C(U), sólo para cierta cantidad
numerable de valores de λ = λn, que son positivos y que llamamos
autovalores del problema y a las correspondientes soluciones ϕn autofunciones.
En tal caso
u(x, t) =
∞
Anϕn(x) e −λnKt ,
n=1
es la solución al problema satisfaciendo la condición inicial
u(x, 0) = φ(x), x ∈ U,

956 Tema 13. La Ecuación del calor
donde se están considerando los coeficientes
U
An =
φ(x)ϕn(x)dx
U ϕ2n(x)dx .
13.2.3. Caso bidimensional. Algunas soluciones.
Caso primero: Placa rectangular. Dadas las características de
la placa parece natural considerar coordenadas rectangulares. Veamos
cuales son las soluciones de 13.7 de la forma
u(x, y, t) = f(x)g(y)h(t),
en cuyo caso debe ser para cualquier (x, y, t)
′′ f (x)
K
f(x) + g′′
(y)
=
g(y)
h′ (t)
h(t) ,
y esto ocurre si existe una constante λ tal que
f ′′ (x)
f(x) + g′′ (y)
= −λ,
g(y)
h ′ (t) + λKh(t) = 0,
ahora bien la segunda ecuación tiene solución los múltiplos de
h(t) = e −λKt ,
y la primera ecuación se transforma para una constante µ en el par de
ecuaciones
f ′′ (x) − µf(x) = 0,
g ′′ (y) + (µ + λ)g(y) = 0.
Ahora consideremos que los vértices de la placa U son
(0, 0), (0, R), (L, 0), (L, R),
y que en todo instante, la temperatura de la placa es nula en el borde
∂U, por tanto satisface las siguientes condiciones frontera
u(x, 0, t) = u(x, R, t) = u(0, y, t) = u(L, y, t) = 0,

y se sigue de ellas que
13.2. La Ecuación del calor n–dimensional. 957
−µ = α 2 , α = nπ
L
µ + λ = β 2 , β = mπ
R
⎫
⎬
⎭
en cuyo caso las funciones de la forma
⇒ λ =
nπ
2 +
L
mπ
2 ,
R
e −
( nπ
L ) 2 +( mπ
R ) 2
Kt nπx mπy
sen sen =
(
e−
L R nπ
L ) 2 +( mπ
R ) 2
Kt
unm,
y sus combinaciones lineales finitas, son soluciones del problema con esas
condiciones frontera. Si ahora consideramos la condición inicial
u(x, y, 0) = φ(x, y), (x, y) ∈ [0, L] × [0, R],
tendremos que en general la solución es
para
u(x, t) =
Am,n =
∞
m,n=1
Am,n e −
( nπ
L ) 2 +( mπ
R ) 2
Kt nπx mπy
sen sen
L R ,
U φum,n dxdy
U u2m,n dxdy
= 1
4LR
R L
0
0
φ(x, y) sen nπx
L
sen mπy
R dxdy.
Caso segundo: La placa es un disco. Dadas las características de
la placa parece natural considerar coordenadas polares, en las que la
ecuación es 2 ∂ u 1 ∂u 1
K + +
∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂2u ∂θ2
= ut.
Dejamos al lector la búsqueda de soluciones de la forma
u = f(ρ)g(θ)h(t),
y el análisis del problema (ver el problema de la membrana circular, en
la lección de la ecuación de ondas bidimensional).

958 Tema 13. La Ecuación del calor
13.2.4. Caso n-dimensional
Condición en la frontera no homogénea e independiente del
tiempo. Consideremos ahora el siguiente problema de la ecuación del
calor n–dimensional en el abierto acotado U ⊂ R n ,
∆u = ut, para x ∈ U y t > 0,
satisfaciendo la condición frontera no homogénea (e independiente
del tiempo)
u(x, t) = ψ(x), para x ∈ ∂U y t ≥ 0,
y la condición inicial
u(x, 0) = φ(x), x ∈ U.
Podemos resolver este problema si somos capaces de encontrar la
solución u1 del Problema de Dirichlet (ver lección 10.5, pág.782 y siguientes)
∆u = 0, para x ∈ U,
u(x) = ψ(x), para x ∈ ∂U,
y la solución u2 del problema homogéneo
∆u = ut, para x ∈ U y t > 0,
u(x, t) = 0, para x ∈ ∂U y t ≥ 0,
u(x, 0) = φ(x) − u1(x), x ∈ U,
pues en tal caso la solución de nuestro problema es
u(x, t) = u1(x) + u2(x, t).

13.3. Ejercicios resueltos 959
13.3. Ejercicios resueltos
Ejercicio 13.1.1.- Encontrar las soluciones de la ecuación
Kuxx = ut, u(0, t) = u(L, t) = 0,
correspondientes a las condiciones iniciales:
(1) u(x, 0) = sen 3 πx
L ,
(2) u(x, 0) =
x,
L − x,
si x ∈ [0, L/2];
si x ∈ [L/2, L]. ,
(3) u(x, 0) = x(L − x).
Indicación.- (1) Demostrar que
sen 3 x = 3 1
sen x − sen 3x.
4 4
(2) Demostrar que
sen kx
x sen kx =
k2 ′ ′
x cos kx
−
.
k
(3) Demostrar que
x 2 2x sen kx
sen kx =
k2 ′
2 cos kx
+
k3 ′
x2 ′
cos kx
−
k
.
Ejercicio 13.1.2.- Encontrar las soluciones de la ecuación
donde a, b, c ∈ R.
Solución.- Basta considerar
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
u(x, 0) = f(x),
u(0, t) = a + ct, u(L, t) = b + ct,
b − a
c
u1(x, t) = a + ct + x + x(x − L)
L 2K .
Ejercicio 13.1.3.- Encontrar la solución de la ecuación
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
ux(0, t) = ux(L, t) = 0,
⎧
⎪⎨ 0, para x ∈ [0,
u(x, 0) =
⎪⎩
L−a
2 ),
1, para x ∈ [ L−a L+a
, 2 2 ],
0, para x ∈ ( L+a
, L].
2

960 Tema 13. La Ecuación del calor
Solución.-
u(x, t) = a
L +
∞
n=1
2
nπ (−1)n sen anπ 2nπx
cos
L L e− 4n2π 2
L2 Kt .
Ejercicio 13.1.4.- Sean a, b ∈ R. Encontrar la solución de
Kuxx(x, t) = ut(x, t),
(x, t) ∈ R × (0, ∞),
u(x, 0) =
a,
b,
si x < 0;
si x > 0.
Solución.- Observemos que si A + B = 1 entonces
aA + bB =
a + b
2
B − A
+ (b − a) ,
2
de esto y la fórmula general se sigue que la solución es
a
u(x, t) =
2 √ 0 (x−z)2
− b
e 4Kt dz +
Kπt −∞
2 √ ∞
Kπt 0
= a + b
2
+ b − a
√ π
x
2 √ Kt
0
e −ξ2
dξ.
(x−z)2
−
e 4Kt dz

13.4. Bibliografía y comentarios 961
13.4. Bibliografía y comentarios
Boyce, W. E. and DiPrima, R.C.: “Elementary Differential Equations and Boun-
dary value Problems”. J.Wiley, 1977.
Copson, E.T.: “Partial Differential Equations”. Ed. Cambridge Univ. Press, 1975.
Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Physics. Vol.II, Partial
Differential Equations”. J.Wiley, 1962.
Derrick, W.R. and Grossman, S.J.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”.
Fondo Educativo Interamericano, 1984.
Edwards, C.H.Jr. and Penney,D.E.: “Ecuaciones diferenciales elementales con
aplicaciones”. Prentice–Hall Hispanoamericana, 1986.
Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas”. Ed.
McGraw-Hill. 1977.
Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacio-
nal, 1983.
Tijonov, A.N. and Samarski, A.A.: “Ecuaciones de la Física matemática”, Pueblo
y Ciencia, 1978.
Weinberger, H.F.: “Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. Ed. Reverté,
1970.
Zachmanoglou, E.C. and Thoe, D.W.: “Introduction to Partial Differential Equa-
tions with Applications”. Dover, 1986.
En 1822, el Francés Joseph Fourier (1768–1830) publicó el célebre
libro,
“Théorie analytique de la chaleur”,
que mas tarde describiría Lord Kelvin como un “gran poema matemático”
y en el que desarrollaba las ideas que 10 años antes le habían valido
un premio de la Académie des Sciences francesa por un trabajo sobre la
teoría matemática del calor. Su contribución matemática principal fue
(ver los comentarios del tema anterior), la de que “cualquier” función
puede representarse por una serie trigonométrica con unos coeficientes
determinados por la función.
Por último remitimos al lector a la página 251 del Tijonov and
Samarski para ver el estudio del problema del calor, en una barra semiinfinita,
sin condiciones iniciales y con una condición frontera dada. Este
problema fue analizado por Fourier y aplicado por él en el estudio de
las oscilaciones térmicas del terreno. De la solución (ver la pág. 257 del
libro) se siguen las clásicas tres leyes de Fourier.

962 Tema 13. La Ecuación del calor
Fin del Tema 13

Tema 14
Integración en variedades
14.1. Orientación sobre una variedad
En (3.17), pág.157, vimos que si (U; ui) era un abierto coordenado de
una variedad V de dimensión n, entonces Λn(U) = {fωn : f ∈ C ∞ (U)}
siendo
ωn = du1 ∧ · · · ∧ dun.
De aquí se sigue que si ω, ω ′ ∈ Λn = Λn(V), son no nulas, entonces existe
f ∈ C ∞ (V), tal que ω = fω ′ . También se sigue que las posibles bases
de Λn(U) son de dos tipos: las que tienen la misma orientación que ωn,
es decir las de la forma fωn con f > 0, y las que tienen orientación
contraria, a las cuales corresponde f < 0.
Definición. Diremos que una variedad (V, C ∞ ) es orientable si existe
ωn ∈ Λn, tal que no se anula en ningún punto de V.
Nota 14.1 Supongamos ahora que V es orientable (y como siempre conexa),
entonces el conjunto
Λ 0 = {ω ∈ Λn : ωx = 0 ∀x ∈ V}
963

964 Tema 14. Integración en variedades
es no vacío y por la observación hecha anteriormente podemos establecer
la siguiente relación de equivalencia en Λ 0 . Para cada ω, ω ′ ∈ Λ 0
ωRω ′ ⇔ ∃f ∈ C ∞ (V), f > 0 : ω = fω ′
Por ser V conexa tendremos que el conjunto cociente Λ 0 /R tiene exclusivamente
dos clases que denotaremos con Λ + y Λ − , y que quedan
caracterizadas, tomando un ωn ∈ Λ + arbitrario, como
Λ + = {ω ∈ Λ 0 : ω = fωn, f > 0}, Λ − = {ω ∈ Λ 0 : ω = fωn, f < 0}.
Definición. Diremos que dos n–formas ω, ω ′ ∈ Λ, inducen la misma
orientación en V si están en la misma clase y orientación contraria si
están en distinta. Una orientación en V consiste en elegir una de las
dos clases Λ + ó Λ − , ó equivalentemente elegir un representante ωn de
la misma. Por una variedad orientada entenderemos una variedad en la
que hemos fijado una orientación, que en general denotaremos con Λ + .
Veamos que una orientación en una variedad tiene estructura de haz:
Si (V, Λ + ) es una variedad orientada y ω ∈ Λ + , entonces podemos definir
en cada abierto conexo U de V una orientación
Λ + (U) = {fωU ∈ Λn(U) : f ∈ C ∞ (U), f > 0},
la cual es independiente de la ω elegida, como se demuestra fácilmente.
Recíprocamente se tiene el siguiente resultado.
Proposición 14.2 Sea {Ui : i ∈ I} un recubrimiento por abiertos conexos
de V. Si cada Ui está orientado por Λ +
i , de tal forma que para i, j ∈ I y
cada componente conexa C de Ui ∩ Uj es
Λ +
i (C) = Λ+ j (C),
entonces existe una única orientación Λ + en V tal que Λ + (Ui) = Λ +
i .
Demostración. Sea {ϕj : j ∈ J} una partición de la unidad subordinada
a Ui y elijamos para cada ϕj un Uj tal que sop(ϕj) ⊂ Uj. Entonces
{Uj} es un nuevo recubrimiento de V y ϕj una partición de la unidad
subordinada a él.
Fijemos ahora para cada Uj, ωj ∈ Λ +
j
ω = ϕjωj ∈ Λn(V).
, y definamos la n–forma

14.1. Orientación sobre una variedad 965
Veamos que ωx = 0 para cada x ∈ V. Sea k tal que x ∈ Uk. Como
ϕj(x) = 1, tendremos que para algún j, ϕj(x) = 0 y por otra parte
todos los ϕj, salvo un número finito ϕ1, . . . , ϕr, se anulan en x. Por tanto
ωx = ϕ1(x)ω1x + · · · + ϕr(x)ωrx,
con ϕi(x) > 0. Ahora bien por hipótesis tenemos que en la componente
conexa U de x del abierto U1 ∩ · · · ∩ Ur ∩ Uk,
Λ + 1 (U) = · · · = Λ+ r (U) = Λ +
k (U),
y por tanto en U, para i = 1, . . . , r, ωi = fiωk, con fi > 0, de donde se
sigue que
ωx = [ ϕifi](x)ωkx,
y en particular ωx = 0. Esto prueba además que en Uk, ω = fωk para
f > 0. Por tanto si
entonces Λ + (Uj) = Λ +
j .
Λ + = {fω : f > 0, f ∈ C ∞ (V)}
Ejemplo 14.1.1 Ejemplos de variedades orientables son:
a) R n con ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
b) Una hipersuperficie cerrada de R n , S = {f = 0}, con dxf = 0
para cada x ∈ S. Basta tomar
ω = iN(dx1 ∧ · · · ∧ dxn),
donde N = grad(f) ∈ D(S) ⊥ es no nulo.
c) Los espacios proyectivos reales de dimensión impar.
Ejemplo 14.1.2 Ejemplos de variedades no orientables son:
a) La banda de Möebius.
b) Los espacios proyectivos reales de dimensión par.
Proposición 14.3 Los espacios proyectivos reales de dimensión par no
son orientables.
Demostración. Sea m ∈ N y consideremos la aplicación (proyección
regular)
π : Sm ⊂ R m+1 → Pm, π(x) =< x >,

966 Tema 14. Integración en variedades
entonces si existiese ω ∈ Λm(Pm) con ωp = 0 en todo p ∈ Pm, entonces
como γ = π ∗ ω sería no nula en todo punto y tal que σ ∗ γ = γ, para σ(x) =
−x, pues πσ = π, ahora esto no puede ser a menos que m = 2n + 1, pues
si γ = fωm, para ωm = iN (dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1), con f(x) = 0, sería
fωm = γ = σ ∗ γ = (σ ∗ f)σ ∗ (ωm) = (−1) m+1 (σ ∗ f)ωm,
pues σ ∗ (ωm) = (−1) m+1 ωm, ya que para σ(x) = −x en R m+1 , tenemos
σ∗N = N y por tanto
σ ∗ (ωm)(D1, . . . , Dm) = iN (dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1)(σ∗D1, . . . , σ∗Dm)
y por tanto para todo x ∈ Sm
= dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1(N, σ∗D1, . . . , σ∗Dm)
= dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1(σ∗N, σ∗D1, . . . , σ∗Dm)
= σ ∗ ωm+1(N, D1, . . . , Dm)
= (−1) m+1 ωm(D1, . . . , Dm),
f(x) = (−1) m+1 f(−x).
Esto nos justifica la no existencia de orientación en Pm para m par
y nos sugiere la construcción de una si m es impar.
14.2. Integración en una variedad orientada
Definición. Sea V una variedad y ω ∈ Λn. Llamaremos soporte de ω, al
conjunto
sop(ω) = {x ∈ V : ωx = 0}.
Nota 14.4 Sea (V, Λ + n ) una variedad orientada y sea U un abierto coordenado
de V, con coordenadas (u1, . . . , un), para las que sin pérdida de
generalidad podemos suponer que
du1 ∧ · · · ∧ dun = ωn ∈ Λ + n (U),

14.2. Integración en una variedad orientada 967
—obsérvese que en caso contrario bastaría intercambiar dos coordenadas
entre sí—. Para cada ω ∈ Λn(U), existe f ∈ C ∞ (U) tal que ω = fωn (observemos
que sop(ω) = sop(f)). Además en otro sistema de coordenadas
(vi), existe una g ∈ C ∞ (U), tal que ω = gdv1 ∧ · · · ∧ dvn y
dv1 ∧ · · · ∧ dvn = det(∂vi/∂uj)ωn ⇒ f = g det(∂vi/∂uj),
y (vi) está orientada como (ui), es decir dv1 ∧ · · · ∧ dvn ∈ Λ + n (U) sii
det(∂vi/∂uj) = h > 0. De aquí se sigue, aunque ya lo sabíamos, que
sop(f) = sop(g).
A continuación y en una serie de pasos daremos la definición de integral
de una n–forma con soporte compacto:
Definición. 1.- Sea U un abierto coordenado de V y sea ω ∈ Λn(U)
de soporte compacto contenido en U. Definimos la integral de ω =
f(u1, . . . , un)du1 ∧ · · · ∧ dun en U como
(14.1)
ω = fdx1 · · · dxn
U
Un
donde Un = u(U) y u = (u1, . . . , un).
Veamos que está bien definida, es decir que es independiente del sistema
de coordenadas elegido. Tomemos entonces otro sistema de coordenadas
v = (vi) orientado como u = (ui), entonces existe g ∈ C ∞ (U)
tal que
ω = g(v)dv1 ∧ · · · ∧ dvn,
y como antes tendremos que
f(u1, . . . , un) = g(v1, . . . , vn) h,
con h = det(∂vi/∂uj), lo cual implica que si Vn = v(U) y
entonces
F = v ◦ u −1 : Un → Vn, Fi = yi ◦ F,
f = (g ◦ F ) det(∂Fi/∂xj),
y por el teorema del cambio de variable se tiene
gdy1 · · · dyn = (g ◦ F ) | det(Fixj )|dx1
· · · dxn =
Vn
Un
Un
fdx1 · · · dxn,

968 Tema 14. Integración en variedades
de donde se sigue la independencia de las coordenadas elegidas para
definir
ω, que también escribiremos U U fdu1 ∧ · · · ∧ dun.
De la definición se sigue que si V es otro abierto coordenado tal que
sop(ω) ⊂ V ⊂ U, entonces
ω = U V ω.
Nota 14.5 Recordemos que en un abierto de R n la integral de una función
no varía si la cambiamos en un conjunto de medida nula 1 y que son
integrables las funciones acotadas de soporte compacto continuas salvo
en un conjunto de medida nula. Además el concepto de conjunto de medida
nula es invariante por difeomorfismos pues se sigue del teorema del
cambio de variable que si
F = (Fi): U ⊂ R n → V ⊂ R n ,
es un difeomorfismo y F −1 (A) ⊂ U es de medida nula, entonces A es de
medida nula, pues
m(A) = IAdy1 · · · dyn = (IA ◦ F ) | det(Fixj
V
U
)|dx1 · · · dxn
= | det(Fixj )|dx1 · · · dxn = 0,
F −1 (A)
y por lo tanto también podemos definir en una variedad los conjuntos de
medida nula como los borelianos de ella que en cada entorno coordenado
sean de medida nula.
De aquí se sigue que la definición (14.1) es valida en mas casos en los
que ω /∈ Λn(U), es decir no es diferenciable. Sea ω = fdu1 ∧ · · · ∧ dun,
con f : U → R acotada, tal que f |U1 ∈ C ∞ (U1) y f |U2 ∈ C ∞ (U2), para
U1 y U2 = U − U1 abiertos de U tales que ∂U1 = S es unión finita
ó numerable de subvariedades de U, entonces en este caso tendremos
que f es diferenciable salvo en el conjunto de medida nula S, y por tanto
integrable si ω es de soporte compacto en U. Para esta ω definimos su
integral como en (14.1). Para ella se tiene trivialmente que
ω = ω1 + ω2,
para ω1 = ωU1 ∈ Λn(U1) y ω2 = ωU2 ∈ Λn(U2).
U
U1
1 Por ejemplo: un hiperplano {h = 0}, un subespacio de dimensión < n, una
subvariedad ó una unión numerable de subvariedades.
U2

14.2. Integración en una variedad orientada 969
2.- Supongamos ahora que ω ∈ Λn(V) = Λn y que sop(ω) es compacto
y está en un abierto coordenado U de V. En este caso definimos la integral
de ω en V como
ω = ω.
Observemos que está bien definida pues si existiese otro abierto coordenado
V ⊂ V tal que sop(ω) ⊂ V , entonces sop(ω) ⊂ U ∩ V y por
tanto
ω = ω = ω.
U
U∩V
Como antes podemos definir la integral de una n–forma ω, con soporte
compacto dentro de U, y tal que en U sea sólo diferenciable en dos abiertos
disjuntos cuyo complementario sea unión finita de subvariedades.
Ejercicio 14.2.1 Demostrar que si ω1, ω2 ∈ Λn y sop(ω1), sop(ω2) son compactos
de un abierto coordenado de V, entonces para r, s ∈ R se tiene
(rω1 + sω2) = r ω1 + s ω2.
3.- Sea ahora ω ∈ Λn con sop(ω) compacto. Consideremos un recubrimiento
{Ui} por abiertos coordenados de V y una partición de la
unidad {ϕj} subordinada a él entonces ω = ϕjω. Ahora bien, para
cada x ∈ sop(ω) existe un entorno abierto Ux de x en V que corta sólo
a un número finito de sop(ϕj). Se sigue por tanto de la compacidad de
sop(ω) que este conjunto corta sólo a un número finito de sop(ϕj), es decir
que existen ϕ1, . . . , ϕk de la partición tales que ω = ϕ1ω + · · · + ϕkω.
Definimos entonces la integral de ω en V como
ω = ϕ1ω + · · · + ϕkω.
Veamos que no depende ni del recubrimiento ni de la partición elegidos.
Sea {Vj} otro recubrimiento por abiertos coordenados de V y {φi} una
partición de la unidad subordinada a él. Por lo mismo de antes existirán
φ1, . . . , φs, de la partición, tales que ω = φ1ω + · · · + φsω. Del ejercicio
(14.2.1) se sigue que
k
k s
s k
s
ϕiω = [ φjϕiω] = [ φjϕiω] = φjω,
i=1
i=1 j=1
por tanto está bien definida.
U
V
j=1 i=1
j=1

970 Tema 14. Integración en variedades
Por último y como en las dos ocasiones anteriores también podemos
definir la integral de una n–forma ω de soporte compacto que sea
diferenciable en dos abiertos disjuntos cuyo complementario sea una subvariedad
diferenciable.
Ejercicio 14.2.2 Demostrar el ejercicio (14.2.1), para ω1, ω2 n–formas acotadas,
de soporte compacto en V diferenciables en dos abiertos disjuntos con
complementario una unión finita ó numerable de subvariedades de V.
Ejercicio 14.2.3 Sea F : V1 → V2 un difeomorfismo entre dos variedades orien-
tadas (V1, Λ +1
n ) y (V2, Λ +2
n ), que conserve la orientación, es decir tal que para
cada ω ∈ Λ +2
n , F ∗ ω ∈ Λ +1
n . Demostrar que para cada ω ∈ Λ + n (V2) con soporte
compacto se tiene que
V1
F ∗
ω =
14.3. Variedades con borde
Definición. Recordemos que en un espacio topológico X la frontera
de un conjunto A, ∂A, es el conjunto de puntos cuyos entornos cortan
tanto al conjunto A como a su complementario A c = X − A. Por lo que
obviamente ∂A = ∂A c . Por otra parte también se tiene que ∂A = A−A 0 .
Definición. Sea V una variedad de dimensión n y U un abierto conexo
suyo tal que:
a) ∂U = ∂U y
b) S = ∂U es una subvariedad cerrada de dimensión n − 1.
A C = U la llamaremos variedad con borde y a S lo llamaremos el
borde de la variedad.
Nota 14.6 Observemos que de la definición se sigue que S es el borde
tanto de la variedad con borde C = U, pues S = ∂U, como de la también
variedad con borde V − U, pues S = ∂(V − U) = ∂U. En definitiva S
separa a dos variedades con borde en cierto modo complementarias.
V2
ω.

14.3. Variedades con borde 971
Nota 14.7 Observemos que si tomamos U como R n sin un hiperplano, el
apartado (a) no se satisface. Y sin embargo para U igual a un semiespacio
si se satisface. De hecho veremos a continuación que localmente todas
las variedades con borde son semiespacios.
Proposición 14.8 Sea C una variedad con borde S de V y sea x ∈ S.
Entonces existe un entorno abierto V de x en V y f ∈ C ∞ (V ), tales que
S ∩ V = {p ∈ V : f(p) = 0}, C ∩ V = {p ∈ V : f(p) ≤ 0}.
Además si W es otro entorno de x y g ∈ C ∞ (W ) verificando las condiciones
anteriores, entonces para cada Dx ∈ Tx(V) se tiene que Dxf > 0
sii Dxg > 0.
Demostración. Por ser S subvariedad n − 1–dimensional, existe
un abierto V , que podemos tomar coordenado por v = (vi), tal que
v(V ) = R n , v(x) = 0 y
S ∩ V = {p ∈ V : v1(p) = 0}.
Entonces si C = U, tendremos que U ∩ V = C ∩ [U1 ∪ U2], para
U1 = {p ∈ V : v1 > 0}, U2 = {p ∈ V : v1 < 0}.
Es decir que tenemos un conjunto A = U ∩ V , que es abierto y cerrado
en U1 ∪ U2. Ahora bien los Ui son abiertos conexos, por tanto se tiene
una de las tres posibilidades:
A = U1, A = U2 ó A = U1 ∪ U2.
siendo válidas sólo las dos primeras, pues en el tercer caso A = U1 ∪ U2 =
V , por lo que
V ⊂ A = U ∩ V ⊂ U ⇒ V ⊂ U 0 ,
de donde que S ∩ V = (∂U) ∩ V = (∂U) ∩ V = ∅, lo cual es absurdo.
Veamos la segunda parte. Si g ∈ C ∞ (W ) está en las condiciones del
enunciado, tendremos (ver la solución del ejercicio (6.2.2) en la pág.425),
que existe h ∈ C ∞ x tal que f = gh. Es decir que
0 < Dxf = h(x)Dxg + g(x)Dxh = h(x)Dxg,
y basta demostrar que h(x) > 0:

972 Tema 14. Integración en variedades
a) Si h(x) = 0, entonces Dxf = 0. Absurdo.
b) Si h(x) < 0, entonces en un entorno Ux de x, h < 0. Ahora bien
como todo entorno de x ∈ S = ∂U corta a U, tendremos que el entorno
de x, Ux ∩ V ∩ W corta a U en puntos en los que, h < 0, f < 0 y g < 0,
lo cual es absurdo.
Definición. En las condiciones anteriores diremos que un Dx ∈ Tx(V)
apunta hacia fuera de C si Dxf > 0. El resultado anterior nos asegura
que este concepto no depende de los representantes f y V elegidos.
Observemos que si V es un abierto coordenado tal que
V ∩ C = {v1 ≤ 0}, V ∩ S = {v1 = 0},
entonces en cualquier sistema de coordenadas vi el campo ∂v1 ∈ D(V ),
apunta hacia fuera de C en todo S ∩ V .
Veamos cómo una orientación en V induce una orientación natural
en el borde de cada variedad con borde C ⊂ V. Para ello veamos antes
el siguiente resultado donde C es una variedad con borde de V y S su
borde.
Lema 14.9 Sea (V, Λ + ) una variedad orientada, x ∈ S y V un abierto
entorno coordenado de x en V. Entonces si D, D ′ ∈ D(V ) son no nulos
y apuntan hacia fuera de C y ω, ω ′ ∈ Λ + (V ), se tiene que las n − 1–
formas de S ∩ V , i ∗ (iDω) e i ∗ (iD ′ω′ ) son no nulas y tienen la misma
orientación.
Demostración. Que son no nulas se sigue de que si V es un abierto
como en (14.8), con coordenadas (vi) tales que ωn = dv1∧· · ·∧dvn ∈ Λ + ,
y D = fi∂i, entonces f1 > 0 y si ω = hωn
i ∗ (iDω)(∂2, . . . , ∂n) = ω(D, ∂2, . . . , ∂n) = f1h > 0.
También se tiene que i ∗ (iDω) = h[i ∗ (iDωn)], de donde se sigue que
i ∗ (iDω) e i ∗ (iDω ′ ) tienen la misma orientación que i ∗ (iDωn). Ahora bien
si D ′ = gi∂i, entonces Dv1 = f1, D ′ v1 = g1 > 0. Y si
dv1 ∧ · · · ∧ dvn = ωn ∈ Λ + (V ),
(en el caso contrario −ωn ∈ Λ + (V ), la demostración es idéntica), ten-

dremos para ω ′ = gωn que
i ∗ (iDω) = h[i ∗ (iDωn)]
14.3. Variedades con borde 973
= h(i ∗ [(Dv1)dv2 ∧ · · · ∧ dvn + (−1)(Dv2)dv1 ∧ dv3 ∧ · · · ∧ dvn+
+ · · · + (−1) n−1 (Dvn)dv1 ∧ · · · ∧ dvn−1])
= h[i ∗ (f1dv2 ∧ · · · ∧ dvn)]
i ∗ (iD ′ω′ ) = g[i ∗ (g1dv2 ∧ · · · ∧ dvn)],
pues i ∗ (dv1) = 0. Por tanto i ∗ (iDω) e i ∗ (iD ′ω′ ) tienen la misma orientación
que i ∗ (dv2 ∧ · · · ∧ dvn).
Corolario 14.10 Sea V un abierto en las mismas condiciones del resultado
anterior. Entonces la orientación Λ + (V ) induce una orientación
natural en S∩V definida por i ∗ (dv2∧· · ·∧dvn), si dv1∧· · ·∧dvn ∈ Λ + (V )
(y por −i ∗ (dv2 ∧ · · · ∧ dvn) en caso contrario). Y que viene determinada
por
i ∗ (iDω),
para cualquier D ∈ D(V ) no nulo apuntando hacia fuera de C, y cualquier
ω ∈ Λ + (V ).
Proposición 14.11 Sea (V, Λ + ) una variedad orientada y C una variedad
con borde S, en V. Entonces Λ + induce una orientación natural en
S.
Demostración. Para cada x ∈ S tomemos un abierto coordenado
Ux de x en V, como en (14.8). Y consideremos el recubrimiento por
abiertos de S, Vx = Ux ∩ S. Entonces de (14.10) se sigue que en cada
Vx tenemos una orientación Λ + x de tal forma que en las intersecciones de
dos abiertos las dos orientaciones correspondientes coinciden, pues vienen
genéricamente determinadas por un campo cualquiera que apunte hacia
fuera de C y por un representante de Λ + en la intersección. De (14.2) se
sigue que existe una orientación en todo S que en cada Vx coincide con
Λ + x .

974 Tema 14. Integración en variedades
14.4. El Teorema de Stokes
Definición. Sea S el borde de una variedad con borde C de V y sea
ω ∈ Λn cualquiera si C es compacto y con soporte compacto si C es
arbitrario. Definimos la integral de ω en C como
(14.2)
ω = ω ′ ,
C
donde ω ′ = ω en C y ω ′ = 0 en V − C.
Del mismo modo si C es un compacto tal que ∂C = ∂(V − C) = S
es una unión finita o numerable de subvariedades definimos para cada
ω ∈ Λn su integral en C como en (14.2). Por comodidad escribiremos
S ω para ω ∈ Λn−1(V), entendiendo que es
S
i ∗ ω.
Ejercicio 14.4.1 Demostrar que para cada ω ∈ Λ, sop(dω) ⊂ sop(ω).
Teorema de Stokes 14.12 Sea (V, Λ + ) una variedad orientada de dimensión
n y sea S el borde de una variedad con borde C de V. Entonces
para cualquier ωn−1 ∈ Λn−1(V), si C es compacto, ó cualquier
ωn−1 ∈ Λn−1(V) de soporte compacto, si C no es compacto, se tiene
dωn−1 = ωn−1.
C
Demostración. Probaremos este resultado en dos etapas. En la primera
veremos que todo punto p ∈ V tiene un entorno en el que el resultado
es cierto para toda n − 1–forma de V con soporte contenido en
dicho entorno.
a) Supongamos que p ∈ V − C. Entonces V − C es un entorno abierto
de p en V y dada cualquier ω ∈ Λn−1, con sop(ω) ⊂ V − C, tendremos
que la igualdad es cierta pues ambas partes valen 0.
b) Supongamos que p ∈ S y consideremos un abierto coordenado Vp
tal que
C ∩ Vp = {u1 ≤ 0} y S ∩ Vp = {u1 = 0}.
S

14.4. El Teorema de Stokes 975
Cojamos ahora dentro de Vp otro abierto V , entorno de p y difeomorfo a
un cubo (ai, bi), con a1 < 0 < b1, y tal que V ⊂ Vp. Veamos que en V
es cierto el resultado. Dada ω ∈ Λn−1, con sop(ω) ⊂ V , tendremos que
existen fi ∈ C ∞ (Vp) tales que en Vp
por tanto
ω =
n
(−1) i−1 fidu1 ∧ · · · ∧ dui−1 ∧ dui+1 ∧ · · · ∧ dun,
i=1
i ∗ (ω) = f1i ∗ (du2 ∧ · · · ∧ dun),
pues i ∗ (du1) = 0. Entonces si fi = fi(u1, . . . , un), tendremos que sop(fi) ⊂
(ai, bi) y
S
ω =
Por otra parte
S∩V
ω =
b2
a2
bn
· · ·
an
f1(0, x2, . . . , xn)dx2 · · · dxn.
dω = (−1) i−1 dfi ∧ du1 ∧ · · · ∧ dui−1 ∧ dui+1 ∧ · · · ∧ dun,
y como dfi = (∂fi/∂uj)duj, será
y por tanto si u = (ui) y
tendremos que
dω = (∂fi/∂ui)du1 ∧ · · · ∧ dun,
C1 = u(C ∩ V ) = (a1, 0] × (a2, b2) × · · · × (an, bn),
C
dω =
C1
(∂fi/∂xi)dx1 · · · dxn,
y por el teorema de Fubini, dado que el sop(fi) ⊂ V , es decir dado que
0 = fi(x1, . . . , ai, . . . , xn) = fi(x1, . . . , bi, . . . , xn)
tendremos que
C
dω =
c) Supongamos por último que p está en el abierto U que define la variedad
cerrada C, es decir el abierto U tal que U = C. Tomemos un abierto
S
ω.

976 Tema 14. Integración en variedades
coordenado Vp, entorno de p en V, tal que Vp ⊂ U, y tomemos como antes
otro abierto V , entorno de p, dentro de Vp y difeomorfo a un cubo de
Rn . Entonces para cada ω ∈ Λn con sop(ω) ⊂ V , se tiene que
ω = 0,
S
pues en S, i∗ω = 0. Pero por el mismo cálculo de antes basado en el teorema
de Fubini tendremos que
C dω = 0, pues sop(fi) ⊂ V y por tanto
en Vp − V , fi = 0. Ahora en la segunda parte tomamos un recubrimiento
por abiertos Ui de V, tal que para cada ω ∈ Λn−1 con soporte incluido en
algún Ui se verifica el resultado. Que tal recubrimiento existe lo hemos
demostrado en la primera parte del teorema. Tomemos una partición de
la unidad ϕj subordinada a Ui. Sea ω ∈ Λn−1 con soporte compacto (en
el caso de que C sea compacto podemos tomar una n − 1–forma cualquiera
y la demostración es similar). Entonces ω = ϕjω y, como en la
definición de la integral, tendremos que sop(ω) corta a un número finito
de sop(ϕj), por lo que existen ϕ1, . . . , ϕk ∈ C ∞ (V) de la partición tales
que ω = ϕ1ω + · · · + ϕkω. Como además cada ϕiω es una n − 1–forma
con soporte en Ui, el teorema será cierto para ella y por tanto
ω = ϕ1ω+· · ·+ ϕkω = d(ϕ1ω)+· · ·+ d(ϕkω) =
S
S
S
C
Formula de Gauss-Green 14.13 Sea U un abierto de R2 con ∂U = ∂U =
S una subvariedad 1–dimensional de R2 . Entonces para P, Q ∈ C∞ (R2 )
se tiene, siendo C = U compacto o P y Q de soporte compacto,
P dx + Qdy = (Qx − Py)dx ∧ dy.
S
C
Demostración. P dx + Qdy ∈ Λ1(R 2 ) y
d(P dx + Qdy) = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (Qx − Py)dx ∧ dy,
y basta aplicar el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974.
Corolario 14.14 En una variedad orientable V, n–dimensional, toda n–
forma exacta tiene integral 0 en cualquiera de los casos: (i) la variedad
es compacta ó (ii) la n–forma es de soporte compacto.
Demostración. Tomando U = V, se tiene que C = V y S = ∅. Si
ω = dωn−1 se tiene que
ω = dωn−1 = ωn−1 = 0.
S
C
C
dω.

14.4. El Teorema de Stokes 977
Criterio De Bendixson 14.15 Sea D = f∂x +g∂y ∈ D(R 2 ). Si fx +gy >
0 (< 0), entonces D no tiene órbitas cíclicas en U.
Demostración. Supongamos que S es una órbita cíclica de D y sea
C el compacto conexo con frontera S del teorema de Jordan —(5.33),
pág.320—. Entonces ωD = 0 para ω = gdx − fdy y por Stokes
0 = ω = (fx + gy)dxdy,
S C
lo cual es absurdo pues C tiene interior no vacío.
El Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 se puede generalizar a variedades
con borde con “esquinas”. Vamos a finalizar la lección indicando
como debe hacerse en el caso bidimensional.
Definición. Sea (V, Λ2) bidimensional orientada y C un compacto conexo
de V tal que ∂C = ∂(V − C) = S. Diremos que S es un polígono
de k lados si existen subvariedades 1–dimensionales S1, . . . , Sk y puntos
x1, . . . , xk ∈ V, tales que
S = S1 ∪ · · · ∪ Sk ∪ {x1, . . . , xk},
siendo {xi} = Si ∩ Si+1, para Sk+1 = S1 y Si ∩ Sj = ∅, en el resto
de los casos. De tal forma que para cada i = 1, . . . , k existe un abierto
coordenado Vi de xi, con coordenadas (v1, v2) tales que ω2 = dv1 ∧ dv2,
Sj ∩ Vi = ∅, para j = i, i + 1 y
C ∩ Vi = {x ∈ Vi : v1(x) ≤ 0, v2(x) ≤ 0},
Si ∩ Vi = {x ∈ Vi : v1(x) = 0, v2(x) ≤ 0},
Si+1 ∩ Vi = {x ∈ Vi : v1(x) ≤ 0, v2(x) = 0}.
A los puntos xi los llamaremos vértices del polígono y a las Si aristas.
Como en el caso de una variedad con borde se demuestra que ω2
induce una orientación en cada Si de la forma i ∗ (iDω2), para D un campo
apuntando hacia fuera de C. En estos términos se tiene el siguiente
resultado.
Teorema 14.16 Sea C un compacto de V, con ∂C = S = ∪Si∪{x1, . . . , xk}
un polígono de k lados y ω ∈ Λ1(V), entonces
dω = ω.
C
Si

978 Tema 14. Integración en variedades
Demostración. Se hace como en (14.12), viendo que todo punto
tiene un entorno coordenado en el que la igualdad es cierta y se finaliza
argumentando con las particiones de la unidad. Falta ver la igualdad para
los puntos xi. Consideremos el abierto coordenado Vi con coordenadas
v = (v1, v2) de la definición, y consideremos [a1, b1] × [a2, b2] ⊂ v(Vi) y
el abierto
I = {x ∈ Vi : v(x) ∈ (a1, b1) × (a2, b2)}.
Y veamos que el resultado es cierto para cualquier ω ∈ Λ1(V) tal que
sop(ω) ⊂ I. Si en Vi es ω = f1dv2 − f2dv1, entonces
dω = [∂f1/∂v1 + ∂f2/∂v2]dv1 ∧ dv2,
Ahora en Vi ∩Si, i ∗ ω = f1(0, v2)dv2 siendo por (14.10) dv2 la orientación
en Si y en Vi ∩ Si+1, i ∗ ω = −f2(v1, 0)dv1, siendo por (14.10) −dv1 la
orientación en Si+1. Se sigue que
C
dω =
Si
=
ω =
C∩Vi
0
a2
Si
dω =
0 0
a1
f1(0, y)dy +
ω +
Si+1
ω =
a2
0
[∂xf1 + ∂yf2]dxdy
a1
0
f2(x, 0)dx
a2
f1(0, y)dy +
0
a1
f2(x, 0)dx.
14.5. Integración en var. Riemannianas
Definición. Sea (V, Λ + ) una variedad Riemanniana orientada. Para cada
x ∈ V diremos que una base
D1, . . . , Dn ∈ Tx(V),
está orientada positivamente (negativamente) si para cualquier ω ∈ Λ +
ωx(D1, . . . , Dn) > 0 (< 0).

14.5. Integración en var. Riemannianas 979
Geométricamente hablando podemos decir que de una base ortonormal
orientada positivamente a otra orientada también positivamente, se
pasa mediante un giro en el espacio tangente, y a una orientada negativamente,
mediante un giro y una simetría respecto de un hiperplano.
Recordemos que dada una matriz A = (aij) y Ei = aijDj ∈ Tx(V),
entonces
ωx(E1, . . . , En) = det(A)ωx(D1, . . . , Dn)
por lo que si det A = 0, el signo del det(A) es el que nos indica la
orientación de la base Ei si conocemos la de Di.
Teorema 14.17 Sea (V, Λ + ) una variedad Riemanniana orientada. Entonces
existe una única n–forma ωv ∈ Λ + —a la que llamaremos forma
de volumen—, tal que para cada x ∈ V y cada base ortonormal positivamente
orientada Di ∈ Tx(V), se tiene
ωvx(D1, . . . , Dn) = 1.
Demostración. La unicidad es obvia, pues si ω1 y ω2 satisfacen el
enunciado, entonces existe f > 0 tal que ω1 = fω2, siendo f = 1 por la
última condición. Veamos pues que existe. Consideremos en V un abierto
coordenado (U; ui), y definamos ωv en él. Sea E1, . . . , En ∈ D(U) una
base ortonormal positivamente orientada. Entonces si en U la métrica es
g = gijdui ⊗ duj y ∂i = aijEj, tendremos que
gij = g(∂i, ∂j) = aikajk,
es decir que (gij) = AA t , donde A = (aij). Y por tanto g = det(gij) =
(det A) 2 . Basta entonces definir
(14.3) ωv = √ gdu1 ∧ · · · ∧ dun.
Su unicidad en cada abierto coordenado prueba que ωv ∈ Λn(V), y
por supuesto ωv ∈ Λ + .
Definición. Sea (V, Λ + ) una variedad Riemanniana orientada y sea
ωv(= dx) su forma de volumen. Definimos la integral de una función
diferenciable con soporte compacto f ∈ C∞ c (V), como
f(x)dx = fωv.
V

980 Tema 14. Integración en variedades
Definición. Si la variedad V es compacta podemos tomar la función
f = 1 y definimos el volumen de V como
vol(V) = ωv.
Nota 14.18 Si V = R n , g = (dxi) 2 y dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∈ Λ + , entonces
obviamente
ωv = dx1 ∧ · · · ∧ dxn,
y para cada f ∈ C∞ (Rn ) de soporte compacto se tiene que
f(x) dx = fdx1 ∧ · · · ∧ dxn = f(x1, . . . , xn)dx1 · · · dxn
Nota 14.19 Veamos en términos de coordenadas la forma de volumen
(de área) de una superficie que sea la gráfica de una función: Sea f :
R 2 → R diferenciable. Definimos la superficie de R 3
entonces si definimos
tendremos que
S = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ R 2 },
h : (x, y) ∈ R 2 → (x, y, f(x, y)) ∈ S ⊂ R 3 ,
E1 = h∗
E2 = h∗
∂
=
∂x
∂ ∂
+ fx ∈ D(S),
∂x ∂z
∂
=
∂y
∂ ∂
+ fy ∈ D(S),
∂y ∂z
forman base en cada punto de S. Ahora si en R 3 consideramos la métrica
habitual y la restringimos a S, tendremos que vale g = g11dx ⊗ dx +
g12dx ⊗ dy + g21dy ⊗ dx + g22dy ⊗ dy, para
g11 = E1 · E1 = 1 + fx,
g12 = E1 · E2 = fxfy = g21,
g22 = 1 + fy,
por tanto de la ecuación (14.3) se sigue que
ωv = 1 + f 2 x + f 2 y dx ∧ dy.
Ejercicio 14.5.1 a) Calcular el área de la esfera de radio 1.
b) Calcular el área del toro de radio interior 1 y radio exterior 2.

14.6. Aplicaciones a la Física 981
14.6. Aplicaciones a la Física
Veamos ahora algunos conceptos y resultados de Física clásica relacionados
con el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974.
Definición. Llamamos divergencia de un campo D ∈ D(V) a la función
div(D) ∈ C ∞ (V), tal que
pues D L ω ∈ Λn.
D L ω = div(D)ω = d(iDω),
Definición. Sea (V, Λ + ) una variedad Riemanniana orientada y ω ∈ Λ +
su forma de volumen. Dada una hipersuperficie S de V (borde de una variedad
con borde C), con vector normal unitario exterior ∂n, llamaremos
flujo de un campo D ∈ D(V) a través de S, a
(14.4)
D · ∂n ωS = iDω,
para ωS la forma de volumen de S.
S
Si interpretamos D como la velocidad de un fluido en V que no cambia
con el tiempo, es decir que la trayectoria que sigue una partícula, que en
un instante está en un lugar, no depende del instante; entonces el flujo
(en dimensión 2 y 3) representa, respectivamente el área y el volumen
de fluido que atraviesa S por segundo (contando positivo el que sale y
negativo el que entra).
x
nx
D x
S
ds
D x
nx
Figura 14.1. flujo de D a través de S.
Veamos la igualdad (14.4): Sea ∂n ∈ DS(V) el campo normal unitario
a S apuntando hacia fuera de C. Sea x ∈ S y D2x, . . . , Dnx ∈ Tx(S) una
D x
nx

982 Tema 14. Integración en variedades
base ortonormal bien orientada en S. Por tanto D1x = ∂nx, D2x, . . . , Dnx ∈
Tx(V) es una base ortonormal bien orientada en V. Si en S es D =
fiDi, tendremos que en S,
D · ∂n = f1 = ω(D, D2, . . . , Dn) = iDω(D2, . . . , Dn),
y por tanto como ωS es la forma de volumen en S
iDω = (D · ∂n)ωS,
y el flujo es por el Teorema de Stokes, (14.12), pág.974
(D · ∂n)ωS = iDω = d(iDω) = div(D) dx,
S
lo que prueba el siguiente resultado.
S
Teorema de la divergencia 14.20 El flujo de un campo D ∈ D(V) a
través de una hipersuperficie, frontera de una variedad con borde C de
V, es igual a la integral de la divergencia del campo D en C.
Ejercicio 14.6.1 Demostrar que si V = R n y D = fi∂i, entonces div(D) =
(∂ifi).
Teorema de Liouville 14.21 Sea D ∈ D(V) con grupo uniparamétrico
τt y U un abierto de V. Si denotamos con U(t) = τt(U) y con V (t) =
V ol[U(t)], entonces
V ′
(t) = div(D) dx.
U(t)
Demostración. Por ser D L ω = div(D)ω, y la definición de la derivada
de Lie.
Corolario 14.22 Si div(D) = 0, entonces el flujo de D conserva los
volúmenes.
Corolario 14.23 El flujo de las ecuaciones de Hamilton en R2n , con coordenadas
(pk, qk)
p ′ i = − ∂h
,
∂qi
q ′ i = ∂h
,
∂pi
conserva los volúmenes.
C
C

14.6. Aplicaciones a la Física 983
Demostración. Consideremos el campo Hamiltoniano correspondiente
a h
n
n
∂h ∂ ∂h
D = −
+ ∂qi,
∂qi ∂pi ∂pi
i=1
i=1
Entonces el resultado se sigue del ejercicio (14.6.1), pues
div(D) = − ∂ 2 h
∂qi∂pi
+ ∂2h = 0.
∂pi∂qi
Definición. Llamamos circulación de un campo D ∈ D(V) sobre una
curva L de la variedad Riemanniana (V, g) a
L
iDg
Si nuestra variedad V es tridimensional, llamamos rotacional de D, R =
rot D, al único campo tangente que verifica
iRωv = d(iDg),
cuya existencia puede probarse fácilmente en cada abierto coordenado
(ver pág.174), y su unicidad es obvia, siendo en el espacio euclideo R 3 ,
R = (hy − gz)∂x + (fz − hx)∂y + (gx − fy)∂z.
En el caso bidimensional D = f∂x + g∂y, podemos entender el campo en
R 3 , en cuyo caso su rotacional R = (gx − fy)∂z es vertical. A menudo se
llama función rotacional de D a la función gx − fy, cuya interpretación
vimos en la pág.174, que era el doble del valor medio de las velocidades
angulares de las rectas pasando por cada punto.
Si S es una superficie del espacio, con borde la curva L, entonces el
Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 implica que
L
iDg =
S
d(iDg) =
irot Dω,
S
En el caso del plano si D = f∂x + g∂y, d(iDg) = d(f dx + g dy) =
(gx − fy)ω2. Esto prueba el siguiente resultado.

984 Tema 14. Integración en variedades
Teorema del rotacional 14.24 En el espacio, la circulación a lo largo
de una curva cerrada, frontera de una superficie S es igual al flujo del
rotacional a través de S.
En el plano, la circulación a lo largo de una curva cerrada L, borde
de una región S del plano, es la integral de la función rotacional de D
en C.
14.6.1. Interpretación física de la integral compleja
A continuación vemos la interpretación física de la f(z)dz, para
una función f = u + iv ∈ C∞(U) (ver la lección 8.4.3, pág.619)
C
Definición. Llamaremos campo tangente asociado a una función compleja
f = u+iv ∈ C∞(U), al campo que define su conjugada, f = u−iv,
C
S
D = u∂x − v∂y ∈ D(U).
Veremos que en general la integral es el número complejo
f(z)dz = x+iy, x = Circulación de D en S, y = Flujo de D en S.
Proposición 14.25 Dada f = u + iv ∈ C∞(U), D su campo asociado y
C
una curva S, borde de una variedad con borde C ⊂ R2 , su integral es
S
f(z)dz =
b
a
f(σ(t))σ ′
(t)dt =
S
iDg+i iDω = D·T +i D·N.
S
S
S
para cualquier parametrización σ : [a, b] → R 2 , de S = σ[a, b], con σ(a) =
σ(b); y siendo T, N los campos unitarios tangente y normal a la curva 2
Demostración. Para g la métrica del plano y para ω = dx ∧ dy, se
tiene que
iDg = udx − vdy = (D · T )ω1, iDω = vdx + udy = (D · N)ω1,
2 La parte real es la circulación de D a lo largo de S y la parte imaginaria el flujo
de D a través de S. Ver la pág.981.

14.7. La definición de Gauss de la curvatura 985
pues ω1(T ) = 1, por tanto
f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i (vdx + udy)
S
S S
S
= iDg + i iDω = D · T + i D · N
=
=
S
b
S
S
S
(ux
a
′ dt − vy ′ b
dt) + i (vx
a
′ dt + uy ′ dt)
b
a
f(σ(t))σ ′ (t)dt.
En (9.11), pág.687, vimos que la condición necesaria y suficiente para
que f sea holomorfa en U es que u y v sean de clase 1 en U y se satisfagan
las ecuaciones de Cauchy–Riemann (a la izquierda)
ux = vy,
uy = −vx, ⇔
div D = ux − vy = 0,
rot D = uy + vx = 0,
en cuyo caso se tiene el Teorema de Cauchy (8.24), pág.622,
f(z)dz =
S
0 en cualquier curva cerrada S borde de una variedad con borde C ⊂ U.
14.7. La definición de Gauss de la curvatura
Definición. Sea S una superficie cerrada de R 3 y sea ∂n ∈ D(S) ⊥
su campo unitario ortogonal. Si ∂n = ni∂i, definimos la aplicación
imagen esférica de S como
η : S → S2, η(x) = (n1(x), n2(x), n3(x))
Observemos que para cada x ∈ S y cada Dx ∈ Tx(S) los vectores
η∗(Dx), −φxDx = (D ∇ ∂n)x,
tienen las mismas componentes Dxni, por tanto las aplicaciones lineales
η∗ y −φx coinciden (naturalmente haciendo las identificaciones pertinentes)
en cada punto x ∈ S. Ahora bien nosotros sabemos que φx es un

986 Tema 14. Integración en variedades
isomorfismo sii det φx = k(x) = 0, por tanto también tendremos que η∗
es un isomorfismo en un punto x ∈ S sii k(x) = 0, y por tanto η es un
difeomorfismo local en x sii k(x) = 0.
Sea x ∈ S tal que k(x) = 0 y consideremos abiertos U y V de S y
S2, entornos de x y z = η(x) respectivamente tales que η : U → V es un
difeomorfismo.
Denotemos con ωS la 2–forma de volumen en S y con ω2 la de S2 y
consideremos un compacto C ⊂ U, con x ∈ C, entonces si η conserva la
orientación tendremos que
Area[η(C)] =
ω2 =
η(C)
C
η ∗ ω2.
Pero η ∗ ω2 = fωS, y si elegimos una base ortonormal D1, D2 ∈ D(U), tal
que D1, D2, ∂n esté orientada positivamente, entonces
f = fωS(D1, D2) = η ∗ ω2(D1, D2) = ω2(η∗D1, η∗D2)
= ω2(−φD1, −φD2) = ω2(φD1, φD2) = det(aij) = k,
donde φD1 = a11D1 + a12D2 y φD2 = a21D1 + a22D2.
Por tanto si k > 0 en U, η conserva la orientación y tendremos que
Area[η(C)] = kωS.
Teorema 14.26 En las condiciones anteriores
k(x) = lím
C→x
C
Area[η(C)]
.
Area[C]
Demostración. Sea k−(C) = mín{k(p) : p ∈ C} y k+(C) =
máx{k(p) : p ∈ C}. Entonces para cada compacto C ⊂ U, con x ∈ C,
tendremos que
k−(C)Area[C] = k−(C)ωS ≤ kωS = Area[η(C)]
C
C
≤ k+(C)ωS = k+(C)Area[C],
C
y como k−(C), k+(C) → k(x), cuando C → x, se sigue el resultado.

14.8. El operador de Laplace–Beltrami 987
14.8. El operador de Laplace–Beltrami
14.8.1. El operador ∗ de Hodge.
Definición. En una variedad Riemanniana orientada (V, g, Ω) de dimensión
n, definimos el operador ∗ de Hodge de la forma
∗ : β ∈ Λk → ∗β ∈ Λn − k,
∗β(Xk+1, . . . , Xn)Ω = β ∧ γ(Xk+1) ∧ · · · ∧ γ(Xn),
para Xi ∈ D(V) y γ(D) = iDg.
Lema 14.27 Si D1, . . . , Dn es una base ortonormal orientada, entonces
Demostración.
∗β(Dk+1, . . . , Dn) = β(D1, . . . , Dk).
∗β(Dk+1, . . . , Dn) = ∗β(Dk+1, . . . , Dn)Ω(D1, . . . , Dn)
= β ∧ γ(Dk+1) ∧ · · · ∧ γ(Dn)[D1, . . . , Dn]
= (1/k!)
sig(σ)[β ⊗ γ(Dk+1) ⊗ · · · ⊗ γ(Dn)]
= (1/k!)
σ
[Dσ(1), . . . , Dσ(n)] σ(i)=i,i>k
sig(σ)β[D σ(1), . . . , D σ(k)]
= (1/k!)H(β)[D1, . . . , Dk] = β(D1, . . . , Dk).
Ejercicio 14.8.1 Demostrar que en R n con Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn,
∗dxi = (−1) i+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn.
Proposición 14.28 El operador ∗ tiene las siguientes propiedades:
a) ∗∗ = (−1) k(n−k) β = (−1) k(n−1) β.
b) ∗ : Λk → Λn−k es un isomorfismo con inversa (−1) k(n−k) ∗.
c) α ∧ ∗β = β ∧ ∗α.
d) ∗[α ∧ γ(D)] = iD[∗α].
e) ∗[iDα] = (−1) n−1 [∗α] ∧ γ(D).
f) ∗[D ∇ α] = D ∇ [∗α].
g) α∧∗α = fΩ, con f(x) = 0 si αx = 0 y f(x) > 0 en caso contrario.

988 Tema 14. Integración en variedades
Demostración. Sea D1, . . . , Dn una base ortonormal y orientada de
D(U) en un abierto U.
a)
∗[∗β](D1, . . . , Dk) = (−1) k(n−k) ∗ β[Dk+1, . . . , Dn]
= (−1) k(n−k) β(D1, . . . , Dn).
La otra igualdad se sigue de que (−1) k2 = (−1) k .
b) Se sigue de (a).
c) Como 1 = sig(σ)Ω(D σ(1), . . . , D σ(n)],
α ∧ ∗β(D1, . . . , Dn) = (1/k!(n − k)!) sig(σ)α[D σ(1), . . . , D σ(k)]
∗ β[D σ(k+1), . . . , D σ(n)] =
= (1/k!(n − k)!) sig(σ) sig(σ) ∗ α[D σ(k+1), . . . , D σ(n)]
sig(σ)β[D σ(1), . . . , D σ(k)] =
= β ∧ ∗α(D1, . . . , Dn).
d) Basta ver que para Dk+2, . . . , Dn ortonormales
∗[α ∧ γ(D)](Dk+2, . . . , Dn) = iD[∗α](Dk+2, . . . , Dn).
Si D es combinación de esos Di ambos lados se anulan, en caso contrario
consideremos una base D1, . . . , Dk, Dk+1 = D, Dk+2, . . . , Dn ortonormal
y bien orientada, entonces
∗[α ∧ γ(D)](Dk+2, . . . , Dn) = [α ∧ γ(D)](D1, . . . , Dk+1)
= (1/k!) sig(σ)α[D σ(1), . . . , D σ(k)] < Dk+1, D σ(k+1) >
= α(D1, . . . , Dk) = ∗α(Dk+1, . . . , Dn)
= iD[∗α](Dk+2, . . . , Dn).
e) Por (a) tenemos que α = ∗[(−1) k(n−1) ∗ α] y por (d)
iDα = (−1) k(n−1) iD ∗ (∗α) = (−1) k(n−1) ∗ [∗α ∧ γ(D)],
por tanto por (a)
∗[iDα] = (−1) k(n−1) ∗∗[∗α∧γ(D)] = (−1) k(n−1) (−1) (n−k+1)(n−1) ∗α∧γ(D).

14.8. El operador de Laplace–Beltrami 989
f) Lo haremos por inducción en k, pero antes veamos que D ∇ Ω = 0
0 = D[Ω(D1, . . . , Dn)]
= D ∇ Ω(D1, . . . , Dn) + Ω[D ∇ D1, . . . , Dn) + · · · + Ω(D1, . . . , D ∇ Dn)
= D ∇ Ω(D1, . . . , Dn)
pues < D ∇ Di, Di >= 0 y por tanto D ∇ Di sólo tiene componentes en los
Dj con j = i. Ahora D ∇ Ω = [D ∇ Ω(D1, . . . , Dn)]Ω = 0. Por otra parte
∗(fΩ) = f y ∗f = fΩ, por tanto se sigue que para α = Ω (k = n)
y para α = fΩ
∗[D ∇ α] = 0 = D ∇ [∗α],
∗[D ∇ fΩ] = ∗[(Df)Ω] = Df = D ∇ [∗(fΩ)].
Sin dificultad se demuestran las fórmulas
iE(D ∇ β) = D ∇ (iEβ) − i D ∇ Eβ,
D ∇ γ(E) = γ(D ∇ E),
D ∇ (α ∧ β) = (D ∇ α) ∧ β + α ∧ (D ∇ β),
entonces por inducción, por (d) y por ellas se tiene
g)
iE(D ∇ ∗ α) = D ∇ (iE ∗ α) − i D ∇ E ∗ α
= D ∇ [∗(α ∧ γ(E))] − ∗[α ∧ γ(D ∇ E)]
= ∗[D ∇ (α ∧ γ(E))] − ∗[α ∧ γ(D ∇ E)]
= ∗(D ∇ α ∧ γ(E))] = iE[∗D ∇ α].
f = α ∧ ∗α(D1, . . . , Dn)
1
=
sig(σ)α[Dσ(1), . . . , Dσ(k)] ∗ α[Dσ(k+1), . . . , Dσ(n)] k!(n − k)!
1
=
sig(σ)α[Dσ(1), . . . , Dσ(k)] sig(σ)α[Dσ(1), . . . , Dσ(k)]. k!(n − k)!
Teorema 14.29 Si V es compacta,
< α, β >= α ∧ ∗β,

990 Tema 14. Integración en variedades
es bilineal, simétrica y definida positiva en Λk(V). Además verifica
< ∗α, ∗β >=< α, β > .
Demostración. Lo primero se sigue de la definición y de (14.28).
Veamos la igualdad
< ∗α, ∗β > = ∗α ∧ ∗ ∗ β = (−1) k(n−k)
∗α ∧ β
= β ∧ ∗α = α ∧ ∗β =< α, β > .
Definición. Llamaremos codiferencial exterior a
δ = (−1) k+n+1 ∗ −1 ◦d ◦ ∗: Λk → Λk−1.
Ejercicio 14.8.2 Demostrar que δ 2 = 0 y que ∗δ = (−1) n+k+1 d∗.
14.8.2. El operador de Laplace–Beltrami
Definición. Llamaremos operador de Laplace–Beltrami a
∆ = −(dδ + δd): Λk → Λk.
Ejercicio 14.8.3 Demostrar las siguientes propiedades:
a) ∆ = −(d + δ) 2 .
b) d∆ = ∆d.
c) δ∆ = ∆δ.
Proposición 14.30 Sobre las funciones, es decir para k = 0, el operador
de LaPlace–Beltrami se expresa de las formas:
∆ = −δd =
n
(D 2 i − D ∇ i Di) = div grad,
i=1
para Di una base orientada de campos ortonormales.

14.8. El operador de Laplace–Beltrami 991
Demostración. Veamos que −δ(du) = n
i=1 (D2 i u − D∇ i Diu), para
ello observemos que para una 1–forma ω
dω(D1, D2) = D1(ωD2) − D2(ωD1) − ω(D L 1 D2),
y por inducción para una n − 1–forma ω
dω(D1, . . . , Dn) =
n
(−1) i+1 Di[ω(D1, . . . , Di, . . . , Dn)+
i=1
+
n
(−1)
i=1
i
ω(D1, . . . , Di, . . . , D L i Dj . . . , Dn),
i

992 Tema 14. Integración en variedades
=
=
=
n
i=1
−
D 2 i u +
n
(−1)
i=1
n
(−1)
i=1
n
D 2 i u −
i=1
−
i
i

14.8. El operador de Laplace–Beltrami 993
que es conocido como el operador de Laplace en R n , del que hablamos
en 10.1, pág.741.
Para una variedad Riemanniana arbitraria y para k = 0 tenemos que
∆ = −δ ◦ d: C ∞ (V) → C ∞ (V),
es un ODL de orden 2, ∆ ∈ O2(V), definido, en términos de unas coordenadas
xi, por
(14.5) ∆u = 1
n
∂ √ggij √
g ∂xi
∂u
,
∂xj
i,j=1
donde gij son los coeficientes de la métrica g en esas coordenadas, g ij
son los términos de su matriz inversa y g = det(gij).
Consideremos una variedad Riemanniana y una hipersuperficie con
vector normal unitario ∂n y una base ortonormal de campos tangentes
a la hipersuperficie, D2, . . . , Dn. Consideremos el único campo ∂n en
la variedad que es geodésico, ∂ ∇ n ∂n = 0, y que extiende al normal a
la subvariedad y extendamos los Di a la variedad por las geodésicas
definidas por ∂n, de modo paralelo, es decir ∂ ∇ n Di = 0, de este modo los
campos ∂n = D1, . . . , Dn siguen siendo base ortonormal, pues Di · Dj y
∂n · Dj son constantes a lo largo de las curvas integrales de ∂n, ya que
∂n(Di·Dj) = ∂ ∇ n Di·Dj+Di·∂ ∇ n Dj = 0 = ∂ ∇ n ∂n·Dj+∂n·∂ ∇ n Dj = ∂n(∂n·Dj).
En estos términos se tiene el siguiente resultado.
Proposición 14.32 Dada una variedad Riemanniana con operador de
Laplace ∆ y una hipersuperficie con operador de Laplace ∆, respecto de
la métrica restringida, con operador de Weingarten φ (ver la pág.181) y
con vector normal unitario ∂n, se tiene que en la subvariedad, para toda
función u de la variedad
pues
∆u = ∂ 2 nu + ∆u − (traz φ)∂nu.
Demostración. Se sigue del resultado anterior y de la igualdad
D ∇ i Di = D ¯ ∇ i Di + φ2(Di, Di)∂n = D ¯ ∇ i Di + (φ(Di)Di)∂n,
∆u = ∂ 2 nu +
n
D 2 i u − ∂ ∇ n ∂nu −
i=2
= ∂ 2 nu + ∆u − (traz φ)∂nu.
n
i=2
D ∇ i Diu

994 Tema 14. Integración en variedades
Corolario 14.33 La gráfica de una función f de un abierto del plano
define una superficie mínima sii la función z es armónica en la superficie.
Demostración. Por el resultado anterior, por el ejercicio (8.8.7),
pág.656 y porque ∆z = 0 y ∂n(∂nz)) = 0, pues ∂ ∇ n ∂n = 0, por tanto
∂n(∂nx) = ∂n(∂ny) = ∂n(∂nz) = 0.
Corolario 14.34 Una superficie del espacio R 3 es mínima sii las funciones
x, y, z son armónicas en la superficie 3 .
Proposición 14.35 Si V es compacta sin borde, entonces para α ∈ Λk y
β ∈ Λk+1, se tiene
< dα, β >=< α, δβ > .
Demostración.
d(α ∧ ∗β) = dα ∧ ∗β − (−1) k+1 α ∧ d ∗ β = dα ∧ ∗β − α ∧ ∗δβ,
y por Stokes (14.12), pág.974
< dα, β >= dα ∧ ∗β = α ∧ ∗δβ =< α, δβ > .
Corolario 14.36 Si V es compacta sin borde y α, β ∈ Λk, entonces
Demostración.
< ∆α, β >=< α, ∆β > .
< ∆α, β > =< dδα, β > + < δdα, β >=< δα, δβ > + < dα, dβ >
=< α, dδβ > + < α, δdβ >=< α, ∆β > .
Definición. Diremos que α ∈ Λk es una forma armónica si ∆α = 0.
Teorema 14.37 ∆α = 0 sii dα = δα = 0.
Demostración.
0 =< ∆α, α >=< dδα, α > + < δdα, α >=< δα, δα > + < dα, dα >,
y δα = dα = 0, pues es definido positivo.
3 Ver los ejercicios (8.6.2), pág.646 y (8.6.3), pág.647

14.8. El operador de Laplace–Beltrami 995
Proposición 14.38 Si ∆β = 0 y β es exacta, entonces β = 0.
Demostración. Sea β = dα, entonces como dβ = δβ = 0
lo cual implica dα = 0.
0 =< δβ, α >=< δdα, α >=< dα, dα >,
En general se tiene el siguiente resultado cuya prueba no incluimos,
pues requiere teoría de operadores elípticos.
Teorema de descomposicion de Hodge–De Rham 14.39 Para cada λ ∈
Λk existe una única descomposición ortogonal
con ∆γ = 0.
λ = dα + δβ + γ,

996 Tema 14. Integración en variedades
Bibliografía y comentarios.
Los libros consultados para la confección de este tema han sido
Abraham, Ralph and Mardsen, Jerrold E.: “Foundations of Mechanics”. Ed.
Addison–Wesley, 1978.
Arnold, V.I.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, Moscou, 1974.
Bishop, R.L. and Goldberg,S.J.: “Tensor Analysis on Manifolds”. Dover, 1980.
Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geo-
metry”. Ac Press, 1975.
Crampin,M. and Pirani,F.A.E.: “Applicable Differential Geometry”. Cambridge
University Press, 1988.
Choquet–Bruhat, Y.: “Géométrie differentielle et systemes exterieurs”. Ed. Du-
nod, 1968.
Godbillon, C.: “Elements de Topologie Algebrique”. Hermann, Paris, 1971.
Una interesante aplicación práctica de la ecuación de Gauss–Green
la encontramos en el aparato de medición de áreas conocido como planí-
metro:
Este aparato se coloca sobre el papel
en el que tengamos dibujada la figura D, b
B
cuya área queremos medir. Está formado
f-b
por dos brazos 0A y AB de igual longitud
y con una articulación en su unión
A. El extremo 0 permanece fijo con un
A D
pincho como el de un compás y en A hay
una rueda perpendicular al papel, con
0
f
C
eje AB —ambos brazos están a altura
constante sobre el papel—. Una panta-
Figura 14.2. Planímetro
lla en el punto A nos va dando el área de la figura plana D, cuando con
el extremo B recorremos la curva C que la limita.
Tomemos 0 como origen de un sistema de coordenadas cartesiano y la
longitud del brazo como unidad de distancia. Ahora cada B = (x, y) ∈ R2 determina los ángulos ϕ ∈ (0, 2π), que forma 0A con el eje x, es decir
A = (cos ϕ, sen ϕ), y β ∈ (0, π) que forma la rueda con la perpendicular
a 0A por A, estos ángulos forman un sistema de coordenadas para los
puntos de la bola abierta de radio 2 (que es donde debe estar la figura

14.8. El operador de Laplace–Beltrami 997
D) quitando un radio y se tiene
x = cos ϕ + cos(ϕ − β)
y = sen ϕ + sen(ϕ − β)
⇒
⎫
xβ = sen(ϕ − β),
⎪⎬
xϕ = − sen ϕ − sen(ϕ − β),
yβ = − cos(ϕ − β),
yϕ = cos ϕ + cos(ϕ − β),
dx ∧ dy = (xβyϕ − xϕyβ) dβ ∧ dϕ = − sen β dβ ∧ dϕ
= d(cos β dϕ).
por lo tanto se sigue del teorema de Gauss–Green que
área(D) = dx ∧ dy = cos β dϕ.
D
Ahora bien
cos βdϕ no es otra cosa que el ángulo total que gira la
C
rueda que está en A —si la rueda tiene radio 1, en general es proporcional
a ese ángulo—. Veámoslo:
Parametricemos la curva C que describimos con B, con σ : [0, L] →
R2 , tal que σ[0, L] = C y σ(0) = σ(L) y consideremos las correspondientes
funciones ϕ(t) y β(t). Ahora pintemos de blanco el punto R(0) de la
rueda que está en el plano en el instante inicial t = 0 y denotemos con
α(t) el ángulo en la rueda que forma nuestro punto blanco R(0) (que
eventualmente no tocará el plano) con el que ahora lo toca. Observemos
que en el movimiento de B por el perímetro C, la rueda (que está en
A(t) = (cos ϕ(t), sen ϕ(t))), se mueve sobre la circunferencia de radio
1 con velocidad ϕ ′ (t)(− sen ϕ(t), cos ϕ(t)) y el rozamiento hace que la
rueda ruede, a menos que su desplazamiento tenga la dirección de su
eje. Ahora bien como cualquier velocidad en el plano, que actúe sobre la
rueda, se descompone en una componente con la dirección de la rueda y
otra en la dirección de su eje y sólo la de la dirección de la rueda tiene
efecto sobre ella, tendremos la siguiente relación
α ′ (t) = cos β(t)ϕ ′
(t) ⇒ área(D) = cos β dϕ = α(L).
Remitimos al lector al trabajo
Gatterdam, R.W.: “The planimeter as an example of Green’s theorem”. Amer.
Math. Monthly, 1981, 701-704.
El italiano Joseph Louis Lagrange (1736-û1813) da en un trabajo
sobre gravitación, de 1762, la primera versión del Teorema de Stokes,
(14.12), pág.974 (en una forma básica del Teorema de la divergencia).
C
C
⎪⎭

998 Tema 14. Integración en variedades
En 1813 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) demostró para n = 3
la igualdad
∂f
dx1dx2dx3 = f < ∂n, ∂xi > dσ
∂xi
C
para dσ el elemento de unidad de superficie, redescubriendo el resultado
de Lagrange. A partir de entonces se conoce como Ley de Gauss.
El francés André-Marie Ampère (1775–1836) que fue el primero en
explicar la Teoría electrodinámica, publica en 1825 sus resultados sobre
electricidad y magnetismo, en los que aparecen versiones tempranas del
Teorema de la divergencia. Maxwell describe este trabajo como
One of the most brilliant achievements in science. The whole, theory
and experiment, seems as if it had leaped, full-grown and full-armed,
from the brain of the ‘Newton of electricity’. It is perfect in form and
unassailable in accuracy; and it is summed up in a formula from which
all the phenomena may be deduced, and which must always remain the
cardinal formula of electrodynamics.
En 1828 George Green (1793–1841) publica de forma privada
∂C
An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Elec-
tricity and Magnetis.
en el que aparece un teorema equivalente al (14.13) dado por nosotros en
la página 976. Pero su trabajo pasó desapercibido hasta que cinco años
después de su muerte, en 1846, William Thompson (Lord Kelvin)
encontró una copia de su trabajo y lo reimprimió.
En 1828 M.V.Ostrogradsky (1801–1862) demostró la siguiente
fórmula para n = 3 (publicada en 1831)
(Px + Qy + Rz) dxdydz = P dydz + Q dxdz + R dxdy,
C
∂C
que también es un caso particular de la fórmula de Stokes y básicamente
el Teorema de la divergencia. En 1834 (publicado en 1838) la extendió
para n arbitrario.
A G. Gabriel Stokes (1819–1903) se le atribuye la extensión de
estos resultados con la única y elegante fórmula que lleva su nombre.
Aunque la historia parece ser la siguiente:
Tras la muerte en 1768 de Robert Smith, profesor de Astronomía de
la Universidad de Cambridge, se creó un premio legado por él y conocido
como Smith’s Prize, para licenciados matemáticos de la Universidad de

14.8. El operador de Laplace–Beltrami 999
Cambridge. Desde entonces todos los años se ha entregado este premio,
salvo en 1917 que no hubo candidatos. Algunos de los ganadores fueron:
en 1841 G. G. Stokes, en 1842 Arthur Cayley, en 1845 William
Thomson (Lord Kelvin), en 1854 J. Clerk Maxwell, en 1901 G.
H. Hardy ó en 1908 J. E. Littlewood.
Stokes ocupó, desde 1849 hasta su muerte en 1903, la cátedra Lucasian
de Matemáticas de la Universidad de Cambridge (la misma que
ocupó I. Newton) y desde 1850 hasta 1882 es él quién propone los
problemas 4 para el premio. En 1854 (año en el que gana Maxwell), el
problema 8 que plantea es:
8.- If X, Y, Z be functions of the rectangular co–ordinates x, y, z, dS an
element of any limited surface, l, m, n the cosines of the inclinations of the
normal at dS to the axes, ds an element of the bounding line, shew that
l
dZ dY
−
dy dz
=
+ m
dX
dz
− dZ
dx
+ n
X dx dy dz
+ Y + Z
ds ds ds
dY
dx
ds,
− dX
dy
dS
de differential coefficients of X, Y, Z being partial, and the single integral being
taken all round the perimeter of the surface.
C
La fórmula anterior no es otra cosa que la conocida
(Ry−Qz) dydz+(Rx−Pz) dxdz+(Qx−Py) dxdy =
∂C
P dx+Qdy+Rdz,
y entre la correspondencia que se conserva de Stokes aparece en la
postdata de una carta del 2 de Julio de 1850, de Lord Kelvin (William
Thomson) a Stokes.
Posiblemente Maxwell, que era candidato para el premio (que ganó)
es el que extiende el nombre de Teorema de Stokes, (14.12), pág.974 que
ha llegado hasta nuestros días.
No obstante todos los resultados citados hasta ahora son casos particulares
del Teorema y es probable que el padre real de él sea E.Cartan,
que fue el primero en analizar y dar la definición del concepto que se
escondía detrás de estas fórmulas, nos referimos a la diferencial de una
forma diferencial. Remitimos al lector a su libro
4 Una lista de todos los problemas propuestos por él se encuentra en internet en la
página de la Universidad de Michigan
http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAT0146.0005.001
page 296.

1000 Tema 14. Integración en variedades
Cartan, E.: “Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications geométri-
ques”. Hermann Paris, 1971 (Primera Ed. de 1945).
Fin del Tema 14

Tema 15
Variedades complejas
15.1. Estructuras casi–complejas
Todo C–espacio vectorial E, de dimensión n es un R–espacio vectorial
del dimensión 2n. Si e1, . . . , en es una base del C–espacio, entonces
e1, . . . , en, ie1, . . . , ien,
es una base del R–espacio vectorial. Además tenemos un endomorfismo
natural, multiplicar por i
J : E → E, J(e) = ie,
para el que J 2 = − Id. Recíprocamente, si E es un R–espacio vectorial
con un endomorfismo J : E → E, tal que J 2 = − Id, entonces tiene una
estructura natural de C–espacio vectorial, definiendo para cada e ∈ E y
a, b ∈ R
(a + ib)e = ae + bJ(e).
Definición. Llamaremos variedad casi compleja (X , J), a una variedad
diferenciable X con un C ∞ endomorfismo
J : D → D,
1001

1002 Tema 15. Variedades complejas
para el que J 2 = − Id.
Este endomorfismo J define el tensor
T 1 1 : D × Ω → C ∞ , T 1 1 (D, ω) = ω(JD),
y por tanto en cada punto x ∈ X tenemos un endomorfismo
J : Tx(X ) → Tx(X ),
tal que J 2 = − Id, por lo tanto cada espacio tangente tiene estructura
de C–espacio vectorial y
dim X = dim Tx(X ) = 2n.
Definición. Llamaremos aplicación casi compleja entre variedades casi
complejas a toda aplicación diferenciable
φ: (X , J) → (X ′ , J ′ ),
tal que para todo x ∈ X es conmutativo el diagrama
Tx(X )
φ∗
−→ T φ(x)(X ′ )
J ↓ ↓ J ′
Tx(X )
por tanto es C–lineal la aplicación
φ∗
−→ T φ(x)(X ′ )
Tx(X ) φ∗
−→ Tφ(x)(X ′ ).
Ejemplo 15.1.1 Sea E un C–espacio vectorial y consideremos el isomorfismo
de R–espacio vectorial
E → Tx(E),
que hace corresponder a cada vector la derivada direccional relativa a
ese vector, ahora llevemos el endomorfismo de E, J(e) = ie a cada espacio
tangente mediante el isomorfismo anterior. Esto dota a E de una
estructura casi compleja.

15.1. Estructuras casi–complejas 1003
Ejemplo 15.1.2 Sea E = C = R2 y consideremos la estructura casi compleja
del ejemplo anterior, en tal caso
J(1, 0) = (0, 1)
J(0, 1) = −(1, 0) ⇒
∂
J =
∂x
∂
∂y ,
∂
J = −
∂y
∂
∂x
Ejemplo 15.1.3 Sea E = Cn = R2n y consideremos la estructura casi
compleja del primer ejemplo, en tal caso
∂
J =
∂xi
J(e) = ie ⇒
∂
,
∂yi
∂
J = −
∂yi
∂
∂xi
Ejemplo 15.1.4 Sea (X , g) una superficie Riemanniana orientada, con
2–forma de área ω y sea J el endomorfismo asociado a (g, ω), es decir
para cualesquiera campos D1, D2
ω(D1, D2) = g(JD1, D2),
por tanto si consideramos D1, D2 una base local de campos ortonormal
(g(Di, Dj) = δij) y orientados positivamente (ω(D1, D2) = 1), tendremos
que
J(D1) = (J(D1) · D1)D1 + (J(D1) · D2)D2 = D2,
J(D2) = (J(D2) · D1)D1 + (J(D2) · D2)D2 = −D1,
por tanto J 2 = − Id y X es una variedad casi compleja.
Proposición 15.1 F : U ⊂ C → C es casi–compleja si y sólo si F es
holomorfa.
Demostración. Consideremos la función correspondiente
entonces como
F : U ⊂ R 2 → R 2 , F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)),
J =
0 1
, F∗ =
−1 0
fx fy
gx gy
,

1004 Tema 15. Variedades complejas
tendremos que F es casi–compleja si y sólo si JF∗ = F∗J lo cual equivale
a las ecuaciones de Cauchy–Riemann, gx = −fy y gy = fx, lo cual
equivale a que F sea holomorfa.
Del mismo modo se tiene el resultado en C n teniendo en cuenta que
F = (F1, . . . , Fm): U ⊂ C n → C m es holomorfa si y sólo si lo son las Fi
y que F : U ⊂ C n → C lo es si y sólo si para
F (z1, . . . , zn) = F ((x1, y1), . . . , (xn, yn))
= f((x1, y1), . . . , (xn, yn)) + ig((x1, y1), . . . , (xn, yn)),
se tiene fxi = −gyi, fyi = gxi.
Proposición 15.2 F = (F1, . . . , Fm): U ⊂ C n → C m es casi–compleja
si y sólo si las Fi son holomorfas.
Definición. Diremos que una variedad casi–compleja (X , J) es analítica
compleja si todo punto p ∈ X tiene un entorno coordenado casi–complejo
Up, es decir con un isomorfismo casi–complejo
ϕ = (z1, . . . , zn): Up → U ′ ⊂ C n ,
por tanto para zi = xi + iyi, las (xi, yi) son un sistema de coordenadas
(reales) en las que J(∂xi) = ∂yi, J(∂yi) = −∂xi.
Definición. Sea (X , J) una variedad compleja, diremos que
F = f + ig : U ⊂ X → C,
es holomorfa si es casi–compleja, por tanto en un entorno coordenado
casi–complejo Up, con coordenadas (xi, yi), se tiene F∗J = J ′ F∗, es decir
fx1
gx1
fy1
gy1
· · ·
· · ·
fxn
gxn
⎛
0
⎜
⎜−1
fyn ⎜
gyn ⎜ .
⎝ 0
1
0
.
0
· · ·
· · ·
. ..
· · ·
0
0
.
0
⎞
0
0 ⎟
. ⎟ =
⎟
1⎠
0
=
−1
1 fx1
0 gx1
0 0 · · · −1 0
fy1 · · · fxn
fyn
gy1 · · · gxn
gyn
lo cual equivale a las ecuaciones de Cauchy–Riemann para f y g y esto
a que la función F ′ = F (ϕ −1 ): U ′ → C sea holomorfa.

15.1. Estructuras casi–complejas 1005
15.1.1. Campos y 1–formas complejas
Definición. Sea X una variedad diferenciable, llamamos función diferenciable
compleja a cada función f = f1+if2 : U ⊂ X → C, con f1, f2 ∈
C ∞ (U) y al anillo que forman lo denotaremos con C ∞ (U, C) = C ∞ C (U).
Llamamos campos complejos a las derivaciones sobre C
D : C ∞ (U, C) → C ∞ (U, C),
y al C ∞ (U, C)–módulo que forman lo denotamos DC(U) = D(U) ⊗R C y
a su dual
ΩC(U) = DC(U) ∗ = Hom C ∞ (U,C)(DC(U), C ∞ C (U))
= Ω(U) ⊗R C.
Del mismo modo consideraremos la complejización del espacio tangente
en un punto x
y la diferencial compleja
T C x (X ) = DerC(C ∞ (X , C)x, C) = Tx(X ) ⊗R C,
C ∞ C
d
−→ ΩC
f = f1 + if2 −→ df = df1 + idf2
para la que también se tiene df(D) = Df.
Proposición 15.3 Todo campo tangente real D ∈ D(U) define de forma
natural uno complejo, D(f1 + if2) = Df1 + iDf2 y todo campo complejo
E define de modo único campos reales E1, E2 tales que E = E1 + iE2.
Toda 1–forma real define de forma natural una compleja, ω(D1 +iD2) =
ωD1 + iωD2 y toda 1–forma compleja ω define de modo único 1–formas
reales ω1, ω2 tales que ω = ω1 + iω2.
Demostración. Obsérvese que E está determinado sobre las funciones
reales pues E(f1 + if2) = Ef1 + iEf2 y que para f real
Ef = Re(Ef) + i Im(Ef) = E1f + iE2f.

1006 Tema 15. Variedades complejas
Definición. Definimos las conjugaciones en DC y ΩC respectivamente,
.
D = D1 + iD2 ∈ DC −→ D = D1 − iD2 ∈ DC
ω = ω1 + iω2 ∈ ΩC −→ ω = ω1 − iω2 ∈ ΩC
En un abierto coordenado (U; xi), las parciales
∂
∂x1
, . . . , ∂
,
∂xn
son base de DC(U), pues todo campo complejo D en U
D = D1 + iD2 =
n
i=1
f1i
n ∂
+ i
∂xi
i=1
f2i
∂
=
∂xi
n
i=1
Fi
∂
,
∂xi
para Fi = f1i + if2i. Del mismo modo las diferenciales dx1, . . . , dxn son
base de ΩC(U).
Definición. Sea (X , J) una variedad casi compleja. Extendemos J a
DC de modo que sea C ∞ C –lineal y siga verificando J 2 = − Id
J : DC → DC
D → J(D) = J(D1 + iD2) = J(D1) + iJ(D2),
y por tanto conmuta con la conjugación
Sobre las 1–formas definimos
J(D) = J(D).
J : ΩC → ΩC
ω → J(ω), para Jω(D) = ω(JD).
Ahora bien como J 2 = − Id, para J : DC → DC, tendremos que
J 2 + Id = 0 y como x 2 + 1 = (x − i)(x + i), siendo x − i y x + i primos
entre sí, tendremos por el primer teorema de descomposición 1 que
DC = ker(J − i Id) ⊕ ker(J + i Id) = D (1,0)
C
⊕ D(0,1)
C
1 Para p1 = x − i, p2 = x + i, existen polinomios q1, q2 tales que 1 = q1p1 + q2p2,
por tanto Id = q1(J) ◦ p1(J) + q2(J) ◦ p2(J) y para todo D, D = D1 + D2, para
D1 = q2(J)[p2(J)(D)] y D2 = q1(J)[p1(J)(D)], siendo pi(J)(Di) = 0.
,

siendo
15.1. Estructuras casi–complejas 1007
D ∈ D (1,0)
C ⇔ JD = iD,
D ∈ D (0,1)
C ⇔ JD = −iD,
y la descomposición es conjugada en el siguiente sentido
D ∈ D (1,0)
C ⇔ JD = iD ⇔
Del mismo modo tenemos que
siendo
⇔ JD = JD = −iD ⇔
⇔ D ∈ D (0,1)
C .
ΩC = Ω (1,0)
C
⊕ Ω(0,1)
C
ω ∈ Ω (1,0)
C ⇔ Jω = iω,
ω ∈ Ω (0,1)
C ⇔ Jω = −iω,
y la descomposición también es conjugada, pues ω ∈ Ω (1,0)
C equivale
a que ω ∈ Ω (0,1)
C . Además se tiene que las parejas (D (0,1)
C , Ω (1,0)
C ) y
(D (1,0)
C , Ω (0,1)
C ) son incidentes, pues por ejemplo si D ∈ D (0,1)
C y ω ∈
, entonces
Ω (1,0)
C
ωD = ω(iJD) = i[Jω](D) = −ωD ⇒ ωD = 0.
Consideremos C n = R 2n , con las funciones zi = xi + iyi, entonces ΩC
tiene base dx1, dy1, . . . , dxn, dyn y también es base
y denotamos la base dual
dzk = dxk + idyk,
dzk = dxk − idyk,
∂
, . . . ,
∂z1
∂
,
∂zn
∂
, . . . ,
∂z1
∂
∈ DC,
∂zn
para la que se verifica
∂
=
∂zk
1
∂
− i
2 ∂xk
∂
,
∂yk
∂
=
∂zk
1
∂
+ i
2 ∂xk
∂
,
∂yk
,

1008 Tema 15. Variedades complejas
y por tanto
J ∂
∂zk
J ∂
∂zk
y por tanto
D (1,0)
C
D (0,1)
C
= 1
∂
+ i
2 ∂yk
∂
∂xk
= 1
∂
− i
2 ∂yk
∂
∂xk
= i ∂
,
∂zk
= −i ∂
,
∂zk
⇒
∂
∂zk
∂
∂zk
∈ D (1,0)
C ,
∈ D (0,1)
C ,
∂
=< , . . . ,
∂z1
∂
>,
∂zn
Ω (1,0)
C =< dz1, . . . , dzn > .
∂
=< , . . . ,
∂z1
∂
>,
∂zn
Ω (0,1)
C =< dz1, . . . , dzn > .
Definición. Sea (X , J) una variedad compleja. Diremos que un campo
D ∈ DC es holomorfo si:
i) D ∈ D (1,0)
C ,
ii) Df es holomorfa para cada f holomorfa.
En coordenadas un campo D es holomorfo sii existen funciones fi =
Dzi holomorfas tales que
D =
n
i=1
fi
∂
.
∂zi
15.1.2. Integrabilidad de una estructura casi–compleja
Sea (X , J) una variedad casi–compleja de dimensión real 2n, diremos
que Ω (1,0)
C es un sistema de Pfaff totalmente integrable si todo punto tiene
, tales que
un entorno U y funciones f1, . . . , fn ∈ C ∞ C
Ω (1,0)
C (U) =< df1, . . . , dfn > .
Proposición 15.4 Sea (X , J) una variedad casi–compleja de dimensión
real 2n, entonces (X , J) es una variedad compleja sii Ω (1,0)
C es un sistema
de Pfaff totalmente integrable y sii lo es Ω (0,1)
C .
Demostración. Lo último se sigue por conjugación. ⇒ Todo punto
tiene un entorno isomorfo a un abierto U ⊂ C n , para el que
Ω (1,0)
C (U) =< dz1, . . . , dzn >, Ω (0,1)
C
(U) =< dz1, . . . , dzn > .

15.1. Estructuras casi–complejas 1009
⇐ Por la definición todo punto tiene un entorno U y f1, . . . , fn ∈ C ∞ C ,
tales que
Ω (1,0)
C (U) =< df1, . . . , dfn >,
por tanto Ω (0,1)
C (U) =< df1, . . . , dfn >, y si fk = xk + iyk, dfk = dxk +
idyk, dfk = dxk − idyk y
ΩC(U) =< dx1, . . . , dxn, dy1, . . . , dyn >,
y como son reales y tienen diferenciales C∞ C independientes, también son
C∞ independientes, por tanto es un sistema de coordenadas reales. Ahora
bien como
y se tiene
tendremos que
DC(U) = D (1,0)
C
∂
∂xk
(U) ⊕ D (0,1)
(U)
C
=< ∂
, . . . ,
∂f1
∂
> ⊕ <
∂fn
∂
, . . . ,
∂f1
∂
>,
∂fn
= ∂
+
∂fk
∂
,
∂fk
∂
∂yk
∂
= i −
∂fk
∂
,
∂fk
∂ ∂ ∂
J = J + J
∂xk ∂fk ∂fk
= i ∂
− i
∂fk
∂
=
∂fk
∂
,
∂yk
∂
∂
∂
J = iJ − iJ
∂yk ∂fk ∂fk
= − ∂
−
∂fk
∂
= −
∂fk
∂
,
∂xk
por tanto (U; xk, yk) es un entorno coordenado casi complejo y por tanto
(X , J) es una variedad compleja.
Definición. Llamamos tensor de Nijenhuis ó de torsión de J a
N(D1, D2) = [JD1, JD2] − J[D1, JD2] − J[JD1, D2] − [D1, D2],
para cada par de campos D1, D2 ∈ D.

1010 Tema 15. Variedades complejas
Proposición 15.5 Las condiciones siguientes son equivalentes 2 :
(a) N=0. (b) D (1,0) es involutiva. (c) D (0,1) es involutiva.
Demostración. Las dos últimas son equivalentes por conjugación.
Ahora como (J + i Id)DC = D (1,0) y (J − i Id)DC = D (0,1) , basta demostrar
que para D1, D2 ∈ DC,
(J − i Id)[(J + i Id)D1, (J + i Id)D2] = 0,
(J + i Id)[(J − i Id)D1, (J − i Id)D2] = 0,
equivale a que N(D1, D2) = 0. Por linealidad basta verlo para D1, D2 ∈
DR,
(J − i Id)([JD1, JD2] + i[D1, JD2] + i[JD1, D2] − [D1, D2]) =
= J[JD1, JD2] + iJ[D1, JD2] + iJ[JD1, D2] − J[D1, D2]−
−i[JD1, JD2] + [D1, JD2] + [JD1, D2] + i[D1, D2] =
= J(N(D1, D2)) − iN(D1, D2),
lo cual es cero si N(D1, D2) = 0 y recíprocamente si ambas expresiones
son cero, N(D1, D2) = 0.
Si el teorema de Frobenius fuese cierto para distribuciones complejas,
tendríamos de forma inmediata las equivalencias
N = 0 ⇔ D (1,0) es involutiva
T.Frob.
⇔ Ω (0,1) tot.int. ⇔ (X , J) es compleja,
pero el teorema de Frobenius no es válido en general, aunque la equivalencia
anterior sí y no es un resultado fácil.
Teorema de Newlander–Niremberg 15.6 (X , J) casi compleja es compleja
sii N=0.
Fin del Tema en construcción 15
2 Entendiendo que ∆ ⊂ DC es involutiva si D1, D2 ∈ ∆ entonces [D1, D2] ∈ ∆.

Índice alfabético
CO2, 42
C12 , 42
C14 , 42
DF , 22
Dp, 12
F ′ , 2
F ∗ , 3, 25, 152
F∗, 16
F ′ x, 2
J 1 p (f), 397
L(E1, E2), 2
T (U), 17
∆(V ), 343
∆x, 342
ωx, 25
∂/∂t, 38
∂/∂vi, 33
∂f/∂xi, 4
sig(σ), 153
sop(ϕ), 7
u, 910
dx, 25
dvi, 33
q(C), carga de C, 766
C(E), 1
Ck (U), 3
D(U) = D∞(U), 19
DF , 349
D0(U), 19
DL(U), 19
Dk(U), 19
E∗ , 1
J 1 (U), 397
J 1 p , 397
P(E), 1
P(V), 341
Px, 341
S(T ), H(T ), 154
1011
WD, 84
∆, 741
año–luz, 909
acción, 594
adjunto de un sistema, 218
álgebra
de funciones continuas, 1
de Grassman, 156
de Lie, 103
de polinomios, 1
exterior, 156
tensorial, 155
anillo conmutativo, 143
aplicación
analítica, 684
casi compleja, 1002
contractiva, 78
de Poincaré, 314
diferenciable, 2, 413
imagen esférica, 985
lineal
cotangente, 25
tangente, 16, 414
lipchiciana, 78
uniformemente, 80
localmente lipchiciana, 78
aproximación
a una órbita, 316
en espiral, 320
aristas, 977
armónico n–ésimo, 873
armónicos esféricos, 815
Arnold, V.I., 140
Arquímedes,(287 AC—212 AC), 433
Arzela, C. (1847–1912), 139
autovalores de un campo tangente lineal,
206

1012 ÍNDICE ALFABÉTICO
barrera, 842
base de campos orientada, 978
baterías, 263
Bendixson, I. (1861–1936), 139
Bernoulli, D. (1700–1782), 274
Bessel, F.W. (1784–1846), 274
Birkhoff, 333
Bluman,G.W. and Kumei,S., 141
borde, de una variedad, 970
Brahe, Tycho (1546–1601), 275
braquistocrona, 501
cálculo de variaciones, 496, 497, 594
cáustica, 560
cónica, 407
caída de tensión, 263
calor, 929
1–forma, 375
ganancia o pérdida en un instante,
376
intercambiado, 376
realizado, 376
campo
asociado a u + iv, 984
característico, 440, 449
de las homotecias, 367
en fibrado tangente, 513
de vectores, 17
cotangentes, 29
de clase k, 17
tangentes, 18
diferenciable
de tensores, 148
eléctrico, 914
electromagnético, 914
irrotacional, 173
magnético, 914
que apunta hacia fuera, 972
solenoidal, 173
tangente de las homotecias
en fibrado tangente, 541
tensorial, 147
covariante, 152
campo tangente, 18, 413
a soporte, 22
universal, 24
característico, 451
complejización, 619
complejo, 1005
completo, 84
conservativo, 295
continuo, 19
de las homotecias, 110, 297
en fibrado tangente, 542
de las traslaciones, 96
de los giros, 110
geodésico, 545
gradiente, 31
hamiltoniano, 393
holomorfo, 1008
invariante
por un grupo, 108
lagrangiano, 514
lineal, 205
relativo, 207
localmente Hamiltoniano, 393
localmente lipchiciano, 80
uniformemente, 81
paralelo, 373
polinómico, 304
vertical por F , 349
campos característicos, 616, 634
campos lineales
equivalentes, 229
diferenciablemente, 230
linealmente, 230
topológicamente, 230, 297
campos paralelos, 373
campos tangentes
módulo dual, 28
cantidad
de movimiento, 916
Caratheodory, C. (1873–1950), 433
Cartan, Elie (1869–1951), 204
catenaria, 54, 57, 59, 66, 188, 508, 561,
587, 590
catenoide, 587
Cauchy, A.L. (1789–1857), 138, 592
cerrada, p–forma, 163
ciclo, 374
cicloide, 504, 562
circuito eléctrico, 263
circulación de un campo, 983
clase de ω, 382
clasificación
de campos no singulares, 96
de ODL, 615
codiferencial, 911
exterior, 626, 990
coeficientes

de Fourier, 864
de Fourier–Legendre, 800
complejización
del espacio tangente, 1005
Condensadores, 263
conductividad térmica, 930
conexión lineal, 177, 370, 544
de Levi–Civitta, 179, 486, 546
plana, 373
conjugación de campos y 1–formas, 1006
conjugada armónica, 745
conjunto
de medida nula, 968
invariante, 309
negativamente , 309
positivamente, 309
límite
negativo (Ωq), 309
positivo (αq), 309
cono de Monge, 439
constante
g, 46
de la gravitación universal, 761
de Planck, 900, 902
gravitacional G, 46, 295
contracción
de un tensor, 146
interior, 144, 147
coordenadas
características, 634
cilíndricas, 64
esféricas, 754
inerciales, 908
polares, 34, 111
referencia afin, 906
simpléticas, 391, 479
coordenadas hiperesféricas, 808
corchete
de Lagrange, 594
de Lie, 103
de dos operadores, 601
de Poisson, 595
Coriolis, G.G. de,(1792–1843), 138
corriente eléctrica, 262
coseno hiperbólico, 56, 786
Criterio De Bendixson, 324
cuenca de un punto singular, 308
curva
característica, 467, 593, 616
integral, 36
ÍNDICE ALFABÉTICO 1013
máxima, 84
parametrizada, 36
de p–formas, 163
en un espacio de Banach, 209
curvatura, 114, 133, 560, 666, 844, 985
de Gauss, 180, 662
geodésica, 181
media, 589, 656, 664, 666
normal, 181
seccional, 180
D’Alembertiano, 880
u, 911
D’ancona, M., 332
datación por el carbono, 43
definición intrínseca de EDP
con z, 479
sin z, 478
densidad
de carga, 917
derivación, 12, 18
derivada, 3
covariante, D ∇ E, 101
de Lie, 105
de un campo tensorial, 149
de un ODL, 611
direccional, 4, 12
Descartes, René (1596–1650)
óvalo, 555
Desintegración, 41
difeomorfismo, 4
de clase k, 4
que conserva la orientación, 970
diferencia
de potencial, 295
diferencial, 28
compleja, 1005
covariante, 913
de funciones complejas, 620
de una p–forma compleja, 620
en un punto x, 25
exterior, 159
difusibidad del material, 931, 955
dipolo, 262
directriz, 407
Dirichlet, 333
distancia media, 409
distribución, 342
en Analisis Funcional, 819
involutiva, 343

1014 ÍNDICE ALFABÉTICO
rango de una, 343
totalmente integrable, 357
divergencia, 172, 227, 910, 981
de un tensor, 913
ecuación
de Gauss, 766
ecuación diferencial
adjunta, 242
de Bernoulli, 113
de Bessel, 248
de Euler, 239
de la catenaria, 56
de Riccati, 242
de segundo orden, 39
exacta, 241
homogénea, 110
invariante
por giros, 110
por homotecias, 110
por un grupo, 108
lineal, 112, 208
matricial asociada, 215
que admite factor integrante, 241
ecuación integral, 83
Ecuaciones
de Cauchy–Riemann, 622, 687,
688, 985
de Maxwell, 919
EDL, 208
EDO, 36
de Bessel, 248, 274, 878
de Euler, 744, 797
de Hamilton, 394
de Laguerre, 901, 902
de las geodésicas, 545
de Legendre, 797
EDP, 436
de Beltrami, 624
de Euler–Lagrange, 497, 499, 500
de Hamilton–Jacobi, 484, 551
para las geodésicas, 488
problema de dos cuerpos, 485
de LaPlace, 741
de las superficies mínimas, 661
de las superficies mínimas, 500,
646, 664
de ondas, 617, 657
n–dimensional, 880
aplicaciones a la música, 872
bidimensional, 876
solución de D’Alembert, 868
unidimensional, 862
de orden k, 597
de Poisson, 766, 775
de primer orden, 436
cuasilineal, 441
de Clairaut, 461, 477
de Hamilton–Jacobi, 551
de Schrödinger, 512, 899
de estado estacionario, 900
del calor, 931
bidimensional, 955
solución general n = 1, 934
Einstein, Albert (1879–1955), 204
ejemplo de Tikhonov, 948
elipsoide de inercia, 185
endomorfismo
J, 1001
asociado a un campo lineal, 206
curvatura, 371
de Weingarten, 181
energía, 405, 485, 514
cinética, 50, 400, 487, 502, 524,
590
cinética y potencial, 511
de ω, 923
de una cuerda vibrante, 870
interna del sistema, 376
potencial, 50, 502, 523, 524, 590,
761
total, 296
entorno coordenado, 412
entropía, 381
envolvente
de un haz de planos, 438
de un haz de superficies, 467
espacio
afín, 905
cotangente, 25
complejización, 619
de Minkowski, 908
Euclideo, 906
euclideo, 2
tangente, 13, 413
complejización, 619
topológico
simplemente conexo, 848
especies en competencia, 294
espiral, 127, 195, 312

estados de un sistema termodinámico,
375
estructura
diferenciable, 12, 412
casi–compleja, 1001
simplética, 391
fibrado cotangente, 396
fibrado tangente, 399, 515
Euler, L. (1707–1783), 274, 497, 594
evolvente, 506
exacta
1–forma, 28
p–forma, 163
excentricidad, 407
existencia de solución, 75
de una EDP de primer orden,
458
de una EDP de tipo hiperbólico,
702
exponencial de matrices, 223
exponentes característicos, 279
factor de integración, 167
familia localmente finita, 415
fenómeno
de la pulsación, 258
de la resonancia, 260
Fermat, P. (1601–1665), 553, 593
fibrado
cotangente, 27
tangente, 17, 369, 398
flujo, 71
de calor, 929
de un campo a través de S, 981
foco, 407
forma
armónica, 994
de carga, 917
de Liouville, 30, 396
de volumen, 910, 979
exacta, cerrada, 163
forma fundamental, 181
Fórmula
de Gauss–Green, 976
de Kirchhoff, 893
de Rodrigues, 798
de Stirling, 813
de Taylor, 13
integral de Cauchy, 689
integral de Gauss, 766
ÍNDICE ALFABÉTICO 1015
integral de Poisson, 791, 823
fotosíntesis, 43
franjas de una distribucion, 357
frecuencia fundamental, 873
fuerza
conservativa, 760
de coriolis, 188
electromotriz, 262
gravitacional, 761
función
afín, 205
analítica
compleja, 686
real, 680
armónica, 741
en el plano, 743
badén, 7
de Bessel, 250, 275, 878
de clase k, 2
de clase 1, 2
de clase infinita, 2
de Green, 821
en el plano, 846
de Liapunov, 288
de Liapunov estricta, 288
de Riemann–Green, 726
diferenciable compleja, 1005
diferenciable en una variedad, 412
energía, 508, 514, 922
Factorial, 250
Gamma, 250
generatriz, 444
holomorfa, 686, 1003
homogénea, 367
lineal
relativa, 207
potencial, 760
de un dipolo eléctrico, 770
subarmonica, 834
reemplazo, 838
superarmónica, 839
Gaudí, Antonio (1852–1926), 57
geodésicas, 181, 402, 486, 487, 489,
512, 517, 518, 523, 525, 531,
545, 549, 550, 591, 993
de la esfera, 489
de un elipsoide, 488
del cono, 493
del toro, 494

1016 ÍNDICE ALFABÉTICO
germen de función, 413
giros, 72, 751
campo tangente de los, 110
gradiente, 32, 172
Grasmann, H.G. (1809–1877), 204
Green
primera identidad, 802
segunda identidad, 803, 821
Grobman, 307
grupo
conmutativo, 143
de Cohomología de De Rham, 163
uniparamétrico, 71
local, 73
Halley, Edmond (1656–1742), 332
Hamilton, 410
Hamilton, W.R. (1805–1865), 204, 594
hamiltoniano (función), 393
Hartman, 307
haz
de R–álgebras de funciones, 6
de módulos
de 1–formas, 28
de campos tangentes, 19
de campos tensoriales, 147
de un sistema de Pfaff, 341
de una distribución, 343
Heaviside, O., 275
helicoide, 427
hemisimetrización, 154
hipersuperficie característica, 881
hodógrafa, 410
homotecias, 72, 751
campo de las, 541
campo tangente de las, 110
Huygens (1629–1695), 504, 898
identidad de Jacobi, 103
igualdad de Parseval, 865
impulso
aparente, 916
incidente de un submódulo, 343
índice de estabilidad, 301
inducir la misma orientación, 964
Inductancias, 263
inmersión, 417
local, 417
integral
completa, 463
de 1–formas, 375
de Dirichlet, 817
de una n–forma, 967
de una curva, 210
primera, 19
intensidad de corriente, 263
inversión respecto de una esfera, 753
inversiones, 753
isótopos, 42
isotermas, 375
jet 1
de aplicaciones, 532
de funciones, 397
de funciones en p, 397
Joule, J. (1818–1889), 375
Kepler, J. (1571–1630), 275
Kolchin, 140
Lagrange, J.L. (1736–1813), 203, 332,
497, 592, 594, 665
Lagrange–Charpit, 592
lagrangiana, 497, 513
Lambert, Johann Heinrich (1728–1777),
44
Laplace, P.S. (1749–1827), 275, 666
LaPlaciano
∆, 741
latus rectum, 407
Leibnitz, G.W. (1646–1716), 69, 138,
497
Lema de Poincaré, 165, 167, 195, 200,
389, 399, 400, 478, 481, 482,
855
Levi–Civita, T. (1873–1941), 204
Ley
de conservación
de la carga, 262, 917
de la energía, 50
momento angular, 183
momento lineal, 182
de fuerza de Lorentz, 914
de Galileo, 45
de Gauss, 921
de Hooke, 254
de inducción de Faraday, 921
de Kepler
primera, 267, 407
segunda, 266, 402, 529

tercera, 268, 409
de Kirchhoff
primera, 264
segunda, 264
de la refracción de la luz, 593
de Newton
de acción–reacción, 182, 183
de atracción universal, 46, 266,
295
de enfriamiento, 131
de transferencia del calor, 929
segunda, 46, 49, 182, 196, 254,
265, 296
de Pareto, 44, 66
de Snell, 553, 593
L’Hopital, 69
Liapunov, 333
Lie, Sophus, (1842–1899), 140
Lindelof, E.L. (1870–1946), 139
linealización de un campo tangente,
53, 278
Liouville, J. (1809–1882), 140
Lipschitz, R.O.S. (1832–1903), 138
logaritmo, 746
método
de Frobenius, 246
de Jacobi, 480
de la envolvente, 466, 472
de la Proyección, 462
de Lagrange–Charpit, 465
de las características de Cauchy,
460
de las imágenes, 825, 828, 831
de las potencias, 245
de Lie, 109
de Natani, 366
de Riemann, 724
de separación de variables
EDP Calor, 955
EDP Ondas, 887
del descenso, 895
Transformada de Laplace, 247
métrica
de Minkowski, 661
masa
aparente, 916
matriz fundamental, 214
Maupertuis, P. (1698–1759), 593
Meusnier, 665
ÍNDICE ALFABÉTICO 1017
módulo, 143
de campos tangentes, 19
dual, 144
Moigno, 138
momento, 59, 182
angular, 182, 404
conservación del, 183
de inercia, 185
de un dipolo, 770
externo total, 58, 182
Monge, G. (1746–1815), 593
multiplicadores característicos, 315
de una órbita cíclica, 315
n–forma
de Poincare–Cartan, 536
Navarro González, J.A., 434
Newton, I. (1642–1727), 69, 138, 268,
497
ODL
adjunto , 721
autoadjunto, 722
de una solucion z, 632
elíptico, 615
hiperbólico, 615
invariante por un difeomorfismo,
610
parabólico, 615
operador
∗ de Hodge, 626, 987
de LaPlace, 741
Caracterización, 609
de Laplace–Beltrami, 626, 990
de Weingarten, 181, 662, 664,
993
diferencial lineal (ODL), 602
lineal, 601
órbita
asintóticamente estable, 316
cíclica, 312
estable, 324
de un planeta, 267
Molniya, 431
periódica, 312
orientación, 963, 964
contraria, 964
sistema de coordenadas, 967
ovalo
de Descartes, 555

1018 ÍNDICE ALFABÉTICO
péndulo, 48
parámetro longitud de arco, 55
Pareto, Vilfredo (1848–1923), 44
Peano, G. (1858–1932), 139
período, 312
Pfaff, J.F. (1765–1825), 434, 593
Picard, E. (1856–1941), 139
Plateau, 666
Poincaré, H., 306, 333
Poincare–Cartan
n–forma de, 536
Poisson, S.D. (1781–1840), 333, 595
corchete, 395
paréntesis, 395
polígono, 977
polinomios
de Legendre, 798
de Tchebycheff, 793
potencial, 295, 859
diferencia de, 295
electrico, 760
electromagnético, 919
electrostático, 762, 764, 901
electrostático, diferencia, 264
escalar, 919
gravitacional, 760
Newtoniano, de una densidad de
masa, 764
superficial simple, 768
vector, 919
primera forma fundamental, 181
Principio
cuarto de Termodinámica, 380
de conservación
de la energía, 268, 405
momento angular, 183, 404, 529
momento lineal, 182
de Dirichlet, 817
de Hamilton, 511
de Huygens, 898
de mínima acción, 496, 511, 593,
594
de Hamilton, 594
de mínimo tiempo de Fermat, 553,
593
de Maupertuis, 522
del máximo
EDP calor, 932
EDP LaPlace, 783
funciones holomorfas, 691
primero de Termodinámica, 376
segundo de Termodinámica, 378,
433
tercero de Termodinámica, 379
problema
de Cauchy
para EDP de orden 1, 457
de Dirichlet, 782
en la esfera, 796
en un disco, 788
en un rectángulo, 785
de Goursat, 711
de los dos cuerpos, 404, 485, 528
de los tres cuerpos, 274
de Neumann, 782
de valor inicial característico, 712
mixto, 782
problemas
de circuitos eléctricos, 262
de mezclas, 253
de muelles, 254
proceso
de nacimiento y muerte, 446
de Poisson, 445
producto
exterior, 156
tensorial, 144
de campos, 147
vectorial, 173
proyección
canónica
en el fibrado cotangente, 396
en el fibrado de jets, 397, 533
en el fibrado tangente, 17
regular, 349, 369
pulsación, 258
punto
crítico, 278
de equilibrio, 278
estable, 280
asintóticamente, 280
hiperbólico, 279, 303
inestable, 280
límite
negativo, 309
positivo, 309
regular, 842
singular, 96, 278
radio

de convergencia, 676
espectral, 281
rango, 414
de un sistema de Pfaff, 341
de una distribución, 343
referencia
afín, 906
euclidea, 906
inercial, 908
regla
de la cadena, 16
de Leibnitz, 18, 414
en un punto, 13, 413
de Stokes, 891
Resistencias, 263
resonancia
de λi ∈ C, 305
fenómeno de la, 260
restricción
de un campo, 20
de un ODL, 603
revestimiento, 848
conexo, 848
Ricci, G. (1853–1925), 203
Riemann, F.B. (1826–1866), 203, 724,
740
Ritt, 140
rotacional de un campo, 172, 364, 983
interpretación geométrica, 174
Runge–Lenz, 405, 529
símbolo de un ODL, 614
símbolos de Christoffel, 545
sólido rígido, 183
Sancho de Salas, J., 434, 928
Sancho Guimerá, J., 434
sección local, 312
segunda forma fundamental, 181
seminorma, 8
seno hiperbólico, 56, 786
serie
de Fourier, 864
de Fourier–Legendre, 799
series multiples, 677
Siegel, 307
signo de una permutación, 153
simetrización, 154
sistema
característico, 345
de ω, 382
ÍNDICE ALFABÉTICO 1019
de una EDP, 640
de una EDP cuasi–lineal, 635
de coordenadas
de clase k, 4
inercial, 182
inerciales, 908
lineales, 2
de Pfaff, 341
complejo totalmente integrable,
1008
de la temperatura, 375
proyectable, 350
rango, 341
totalmente integrable, 357
de Ricci, 204
fundamental, 214
termodinámico, 375
sistemas
depredador–presa, 291
hiperbólicos, 713
Snellius, Willebrord (Snell) (1580–1626),
593
solución
de una EDO, 36
no autónoma, 38
de una EDP
general, 474
singular, 474
soporte
de una n-forma, 966
de una función, 7
St. Germain, 666
Sternberg, S., 139, 307, 333
subespacios entrantes y salientes, 301
subida de un campo, 89
al jet 1, 533
en una variedad con conexión,
370, 544
primera, 542
segunda, 544
subvariedad, 417
inmersa, 417
regular, 417
solución de una EDP, 451
sumidero, 308
superficies mínimas, 500, 501, 585, 586,
588, 589, 633, 646, 647, 656,
660, 661, 664, 665, 994
EDP, 500, 664
representación de Weierstrass, 647

1020 ÍNDICE ALFABÉTICO
temperatura, 375, 929
tensor, 144, 204
covariante
hemisimétrico, 153
simétrico, 153
de curvatura, 178
de deformación, 191
de energía–impulso, 923
de esfuerzos, 189
de inercia, 181, 185
de Nijenhuis de J, 1009
de Riemann–Christoffel, 179
de torsión, 178
de J, 1009
de volumen, 170
elástico, 204
eliptico, hiperbolico, parabolico,
615
métrico, 170, 178
Teoría de Hamilton–Jacobi, 479
Teorema
aplicaciones contractivas, 79
conservación energía (Ec.Ondas),
885, 886
curva de Jordan, 320
de Abel, 677
de Ascoli–Arzela, 139
de Caratheodory, 174, 200
de Cauchy, 622
de Cauchy–Kowalewsky, 670, 696
de Clairaut, 518
de comparación de Sturm, 241
de continuidad de solución
de una EDP de tipo hiperbólico,
709
de Darboux, 387, 396, 398, 450
de dependencia cont.
Ec. Calor unid., 933
grupo uniparamétrico, 87
problema de Dirichlet, 785
de dependencia dif.
grupo uniparamétrico, 93
sol. EDP tipo hiperbólico, 711
de Dirichlet, 865
de existencia de solución
de Cauchy–Peano, 77
de una EDP, 455
de una EDP de tipo hiperbólico,
706
Ec. Calor unid., 939
integral de Poisson, 951
de expansión de autofunciones,
889
de Fourier–Bessel, 879
de Frobenius, 358, 360, 362, 374,
423, 546, 1010
de Gauss, 804
de Hartman–Grobman, 333
de Helmholtz I, 784, 855
de Helmholtz II, 784, 855
de Jacobi, 401
de Jordan, 281
de la función
implícita, 6
inversa, 5, 16
de la proyección, 351, 353
de Lagrange, 297
de Liapunov
órbitas cíclicas, 318
de Liouville, 227, 270, 394, 792
de Newlander–Niremberg, 1010
de Noether, 527
de Picard, 763, 813
de Poincare–Bendixson, 322
de resonancia de Poincare, 306
de Stokes, 324, 403, 499, 621, 622,
690, 699, 746, 801, 802, 881,
886, 887, 946, 955, 974
de unicidad de solución
de una EDO, 83
de una EDP, 456
de una EDP de tipo hiperbólico,
707
EDP LaPlace, 784
EDP Ondas, 884
EDP Poisson, 784
del flujo, 96
del valor extremo
EDP calor, 948
del valor medio, 789
(I), 806, 895
(II), 806
desigualdad dominio dependencia,
882
Fórmula de Kirchhoff, 893
generador infinitesimal, 73
valor medio
funciones analíticas, 691
Termodinámica, 433
torque, 58, 182

trabajo, 294, 760
1–forma, 375
a lo largo de una curva, 294
intercambiado, 376
realizado, 376
tractriz, 41, 64, 116, 508, 590
transferencia de calor, 929
transformación
conforme, 747
lineal y funciones armónicas, 752
que conserva funciones armónicas,
751
simplética, 391
termodinámica, 375
transformada de Legendre, 513, 653
en R, 653
en R 2 , 654
traslaciones, 72, 751
trayectoria
de un móvil, 909
espacial, 908
lumínica, 908
rayo de luz, 909
temporal, 908
1–forma, 28
complejización, 619
de calor, 375
de Liouville, 30, 396
del trabajo, 294, 375
en un espacio vectorial, 25
en una variedad, 414
exacta, 28
homogénea, 367
incidente, 28
regular, 382
vértices del polígono, 977
Vallee–Pousin, Charles de la, (1866–
1962), 139
valor extremal del problema variacional,
535
variedad
C k –diferenciable, 12
con borde, 970
diferenciable, 412
analítica compleja, 1004
casi compleja, 1001
integral, 360
máxima, 360
ÍNDICE ALFABÉTICO 1021
orientable, 963
orientada, 964
Riemanniana, 178
simplética, 391
tangente, 360
vector, 204
cotangente, 25
de carga–corriente, 918
de corriente, 918
de energía–impulso, 922, 923
de impulso, 916
de Runge–Lenz, 405, 529
tangente, 12
velocidad
angular, 184
aparente, 908, 916
de escape, 407
Vinograd, 333
ejemplo de, 309
Volterra, Vito (1860–1940), 139, 332
volumen, 980
Watson, 252
Wronskiano, 238
Young, T., 666