Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

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iv ÍNDICE GENERAL 5.6. Clasificación topol. de las ED lineales . . . . . . . . . . . 297 5.7. Teorema de resonancia de Poincaré . . . . . . . . . . . . . 303 5.8. Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 5.9. La aplicación de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 5.10. Estabilidad de órbitas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 316 5.11. El Teorema de Poincaré–Bendixson . . . . . . . . . . . . . 320 5.12. Estabilidad de órbitas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 324 5.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 5.14. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 II Ecuaciones en derivadas parciales 335 6. Sistemas de Pfaff 337 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 341 6.2.1. Sistemas de Pfaff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 6.2.2. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 6.3. El sistema característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.4. El Teorema de la Proyección . . . . . . . . . . . . . . . . 349 6.4.1. Campos tangentes verticales . . . . . . . . . . . . . 349 6.4.2. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 349 6.5. El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 6.5.1. Método de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 6.5.2. 1–formas homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 367 6.6. Aplicación: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 369 6.6.1. Funciones especiales del fibrado tangente. . . . . . 369 6.6.2. Variedad con conexión. Distribución asociada. . . . 370 6.7. Aplicación: Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 6.8. Aplicación: Clasificación de formas . . . . . . . . . . . . . 382 6.8.1. Clasificación de 1–formas . . . . . . . . . . . . . . 382 6.8.2. Clasificación de 2–formas. . . . . . . . . . . . . . . 389 6.9. Variedades simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 6.9.1. Campos Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . 391 6.9.2. El Fibrado Cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . 396 6.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . . . . 397 6.9.4. Fibrado tangente de una var.Riemanniana. . . . . 398 6.9.5. Mecánica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . 399 6.10. Apéndice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . 412 6.10.1. Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . 414
ÍNDICE GENERAL v 6.10.2. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 417 6.10.3. Variedades integrales máximas . . . . . . . . . . . 418 6.10.4. Otra demostración del Teorema de Frobenius . . . 422 6.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 6.12. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 435 7.1. Definición clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 7.2. El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 7.3. EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 7.3.1. Ejemplo: Tráfico en una autopista. . . . . . . . . . 442 7.3.2. Ejemplo: Central telefónica. . . . . . . . . . . . . . 443 7.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 445 7.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 446 7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP . . . . . . . . . . . . 449 7.4.1. Campo característico. . . . . . . . . . . . . . . . . 449 7.5. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 452 7.5.1. Dimensión de una subvariedad solución. . . . . . . 453 7.5.2. Existencia de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . 455 7.5.3. El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 457 7.6. Métodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . . . . 460 7.6.1. Método de las características de Cauchy . . . . . . 460 7.6.2. Método de la Proyección. Integral completa . . . . 462 7.6.3. Método de Lagrange–Charpit. . . . . . . . . . . . . 465 7.7. Método de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 7.7.1. Envolvente de una familia de superficies. . . . . . . 466 7.7.2. Envolvente de una familia de hipersuperficies. . . . 470 7.7.3. Método de la envolvente. . . . . . . . . . . . . . . 472 7.7.4. Solución singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 7.8. Definición intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 7.9.1. Método de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 7.9.2. Ecuación de Hamilton–Jacobi. . . . . . . . . . . . 483 7.9.3. Geodésicas de una variedad Riemanniana. . . . . . 486 7.10. Introducción al cálculo de variaciones . . . . . . . . . . . . 496 7.10.1. Ecuaciones de Euler–Lagrange. . . . . . . . . . . . 497 7.10.2. Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton. . . . . 508 7.10.3. Apéndice. La ecuación de Schrödinger . . . . . . . 512 7.11. Lagrangianas. Teorema de Noëther . . . . . . . . . . . . . 513 7.11.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 513
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e integrando g[x(t)] − t0 = 2.4.
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906 Tema 12. Ecuación de ondas. El
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1000 Tema 14. Integración en varie
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1002 Tema 15. Variedades complejas
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1012 ÍNDICE ALFABÉTICO barrera, 8
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Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

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