Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

458 Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
entonces para cada t0 = (t1, . . . , tn−1) ∈ I existe un abierto U ⊂ R n
entorno de t0 y una solución f ∈ C ∞ (U), de la EDP definida por F y
satisfaciendo las condiciones
F (x, f(x), fx1 (x), . . . , fxn (x)) = 0, para x ∈ U0,
f(x0) = ϕ(x0), fxn (x0) = φ(x0), para x0 ∈ I ∩ U
única en el sentido de que si g ∈ C ∞ (V ) es otra, coinciden localmente
en t0.
Demostración. Si existe tal solución f tendremos que la subvariedad
n-dimensional {z = f(x), zi = fxi(x)} contiene a la subvariedad
Sn−1 = {xn = 0, z = ϕ(x1, · · · , xn−1),
z1 = ϕx1, . . . , zn−1 = ϕxn−1, zn = φ, }
que tiene las siguientes propiedades:
— Es una subvariedad n−1 dimensional de F que tiene coordenadas
(ui = i∗xi), para i = 1, . . . , n − 1.
— Es tal que si p ∈ Sn−1, Dp /∈ Tp(Sn−1), pues Dpxn = Fzn (p) = 0
y Sn−1 ⊂ {xn = 0}.
— Es solución, ωSn−1 = 0.
Esto nos induce a considerar la única subvariedad solución Sn, n–
dimensional, que la contiene. Además tiene coordenadas (x1, . . . , xn) en
un entorno de cada p ∈ Sn−1, pues por un lado i∗∂u1, . . . , i∗∂un−1, D
son base en p de Tp(Sn), para la inclusión i: Sn−1 → Sn, y por otra
parte la proyección
π = (x1, . . . , xn): Sn ⊂ R 2n+1 → R n ,
los lleva a vectores independientes, por tanto es inmersión local y difeomorfismo
local. Ahora basta considerar z = f(x1, . . . , xn) en esta
subvariedad.
En el caso particular de tener una EDP en el plano (es decir para
n = 2)
(7.4) F (x, y, z, zx, zy) = 0.
tenemos el siguiente resultado.