Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

814 Tema 10. La Ecuación de Laplace
Demostración. De la hipótesis se sigue que para todo M > 0, existe
un ɛ > 0 tal que
y − pi ≤ ɛ ⇒ u(y) ≥ M, ó u(y) ≤ −M,
y diremos que el punto pi es “positivo” en el primer caso y “negativo”
en el segundo.
Sea x ∈ U y consideremos un r > x y un δ < x − pi tales que
B = ∪ n i=1B(pi, δ) ⊂ ∪ n i=1B[pi, δ] ⊂ B(0, r),
ahora consideremos el máximo Mr de |u| en B[0, r]\B (el cual se alcanza
en el borde) y para M > Mr consideremos las n superficies
Si = {y ∈ B[pi, δ]: u(y) = M},
(si pi es positivo y . . . u(y) = −M si es negativo). Tales superficies son
el borde de {y ∈ B[pi, δ]: u(y) ≥ M}, que contiene a pi en su interior.
Consideremos el dominio C limitado por las superficies S(0, r) y las Si,
en cuyo interior está x y apliquemos el teorema (10.43), tendremos por
tanto que
u(x) = 1
4π
= 1
4π
∂C
S(0,r)
+ 1
4π
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds+
n
i=1
Si
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds,
donde v(y) = 1/x − y. Ahora derivando el primer sumando
ū(x) = [v(∂nu) − u(∂nv)] ds,
S(0,r)
respecto de las xi y observando que en el integrando ni u ni ∂nu dependen
de x, vemos que es una función armónica en {x = r}, además que no
depende de r por la segunda identidad de Green (10.13) ya que ∆u =
∆v = 0 en {r ≤ x ≤ r ′ }, por tanto ū es armónica en R3 . El otro
sumando, por ser u = cte y el teorema de Gauss es
[v(∂nu) − u(∂nv)] ds = v(∂nu) ds,
Si
Si