Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

956 Tema 13. La Ecuación del calor
donde se están considerando los coeficientes
U
An =
φ(x)ϕn(x)dx
U ϕ2n(x)dx .
13.2.3. Caso bidimensional. Algunas soluciones.
Caso primero: Placa rectangular. Dadas las características de
la placa parece natural considerar coordenadas rectangulares. Veamos
cuales son las soluciones de 13.7 de la forma
u(x, y, t) = f(x)g(y)h(t),
en cuyo caso debe ser para cualquier (x, y, t)
′′ f (x)
K
f(x) + g′′
(y)
=
g(y)
h′ (t)
h(t) ,
y esto ocurre si existe una constante λ tal que
f ′′ (x)
f(x) + g′′ (y)
= −λ,
g(y)
h ′ (t) + λKh(t) = 0,
ahora bien la segunda ecuación tiene solución los múltiplos de
h(t) = e −λKt ,
y la primera ecuación se transforma para una constante µ en el par de
ecuaciones
f ′′ (x) − µf(x) = 0,
g ′′ (y) + (µ + λ)g(y) = 0.
Ahora consideremos que los vértices de la placa U son
(0, 0), (0, R), (L, 0), (L, R),
y que en todo instante, la temperatura de la placa es nula en el borde
∂U, por tanto satisface las siguientes condiciones frontera
u(x, 0, t) = u(x, R, t) = u(0, y, t) = u(L, y, t) = 0,