Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

7.10. Introducción al cálculo de variaciones 505
dejamos que vaya y vuelva en un movimiento pendular su período es
constante. Veámoslo.
Si consideramos la parametrización (Fig.7.14, para r = 1)
σ(θ) = r(θ − sen θ, 1 + cos θ),
(hemos invertido la cicloide y le hemos sumado 2r, para que se anule en
el punto más bajo y valga 2r en el más alto); y soltamos la bola en un
punto A = (x0, y0) = σ(θ0), el tiempo que tarda en llegar al punto más
bajo, que es el correspondiente a θ = π, es
π
θ0
2
1
q0 p
Figura 7.14.
|σ ′ π
(θ)| r
dθ =
v[σ(θ)] θ0
(1 − cos θ) 2 + sen2 θ
2gr(cos θ0 − cos θ) dθ
√ π
r 1 − cos θ
= √
g cos θ0 − cos θ dθ,
θ0
y para 2α = θ, cos θ = cos 2α = cos 2 α − sen 2 α = 2 cos 2 α − 1, y para
2α0 = θ0, tendremos que el tiempo es
r
g
π/2
α0
2
√ 2 − 2 cos 2 α
2(cos2 α0 − cos2 dα =
α)
r
g
π/2
2
sen α
α0 cos α0 1 − cos2 α
cos2 dα,
α0
π/2
r sen ϕ r
= 2
dϕ = π
g 0 sen ϕ g .
donde la última igualdad se sigue considerando el cambio de variable
α ∈ [α0, π/2] → ϕ ∈ [0, π/2]
cos ϕ =
cos α
cos α0
⇒ sen ϕ dϕ =
sen α
dα.
cos α0