Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

254 Tema 4. Campos tangentes lineales
un eje —que llamaremos x— y que en la posición de equilibrio la masa
está en la posición x = 0. Denotaremos con x(t) la posición de la masa
sobre este eje, en el instante t.
De acuerdo con la Ley de Hooke si la masa se desplaza una distancia
x de su posición de equilibrio, entonces el muelle ejerce sobre ella una
fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, es decir que existe
una constante k > 0, tal que
Fr = −kx.
Si suponemos que la masa está sujeta a un amortiguador, el cual produce
una fuerza sobre la masa que es proporcional (c > 0) a la velocidad
de esta, tendremos que sobre la masa actúa también una fuerza
Fa = −cx ′ .
Y si además tenemos un fuerza externa F que actúa sobre la masa
tendremos que la fuerza total que actúa sobre ella es
F + Fr + Fa,
y que si denotamos con x(t) la posición de la masa en el eje x, en el
instante t, tendremos por la Ley de Newton que
es decir
mx ′′ = F + Fr + Fa,
mx ′′ + cx ′ + kx = F.
Una situación aparentemente distinta surge cuando consideramos el
muelle colgando de un techo, en ese caso habría que considerar también
otra fuerza, la de gravedad y la ecuación sería
mx ′′ + cx ′ + kx − mg = F.
Ahora bien el muelle se estirará una cantidad s > 0 por la acción
de la gravedad sobre la masa y como en esa posición el muelle está en
equilibrio se sigue que
mg = −Fr = ks,
y por tanto para x = s + f, se tiene que f es solución de
mx ′′ + cx ′ + kx = F.