Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

10.2. Funciones armónicas en el plano 745
⎧
⎪⎨
1, θ,
g(θ) = cos αθ, sen αθ,
⎪⎩
y sus combinaciones lineales.
e αθ , e −αθ ,
si a = 0,
si a = α 2 ,
si a = −α 2 ,
Ejercicio 10.2.1 Encontrar las funciones armónicas en el plano que sean de la
forma f(x)g(y).
10.2.2. Funciones armónicas y funciones analíticas.
Las funciones armónicas del plano están íntimamente relacionadas
con las funciones analíticas de variable compleja. Recordemos la identificación
z = x+iy ∈ C → (x, y) ∈ R 2 , y que a través de esta identificación
identificamos aplicaciones entre abiertos U, V ⊂ R 2
con funciones de variable compleja
F = (u, v): U ⊂ R 2 → V ⊂ R 2 ,
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) : U ⊂ C → V ⊂ C,
la cual es analítica en C, si y sólo si u y v son de clase 1 y se satisfacen
las ecuaciones de Cauchy–Riemann
ux = vy,
uy = −vx,
ahora bien f ′ (z) = ux + ivx = vy − iuy también es analítica y por tanto
u y v son de clase 2, lo cual implica que u y v son armónicas, pues
uxx + uyy = vyx − vxy = 0,
Definición. Un par de funciones armónicas, como u y v, que sean la parte
real e imaginaria de una función analítica en C se llaman conjugadas
armónicas.
Ejemplo 10.2.1 Por ejemplo consideremos la función
f(z) = e z = e x+iy = e x cos y + ie x sen y,