Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

6 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Teorema de la función implícita 1.7 Sean F : U ⊂ E1 × E2 −→ E1 de
clase k, (x0, y0) ∈ U tal que F (x0, y0) = 0 y para un sistema de coordenadas
lineales xi en E1, el determinante de orden n
∂Fi
det (x0, y0) = 0,
∂xj
entonces existe un entorno V de y0 en E2 y una única aplicación x: V −→
E1 de clase k, tal que x(y0) = x0 y para todo y ∈ V
F [x(y), y] = 0.
1.2. El haz de funciones diferenciables
Hemos dicho que los C k (U) tiene una estructura natural de R-álgebra,
es decir tienen suma, producto, y contienen a R en la forma de
las funciones constantes. Pero además, si consideramos la familia de todos
los C k (U) cuando U recorre todos los abiertos de E, se tiene que la
aplicación
U (abierto) −−→ C k (U) (R − álgebra),
es un haz de R–álgebras, es decir satisface las propiedades:
a) Si U ⊂ V son abiertos de E, entonces
f ∈ C k (V ) ⇒ f(= f |U ) ∈ C k (U).
b) Dado un abierto U de E y un recubrimiento suyo por abiertos Ui,
se tiene que si f : U −→ R es tal que f ∈ C k (Ui) para cada i, entonces
f ∈ C k (U).
Otra importante propiedad, que veremos en esta lección, nos dice que
cada función de C k (U) coincide, en un entorno de cada uno de los puntos
de U, con una función de clase k en todo E, que además se anula fuera
de U si queremos. De esto se sigue que para conocer las funciones de
clase k en un abierto de E, nos basta con conocer las funciones de clase
k en E. Esto podría parecer obvio en una ingenua primera observación,