Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

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ii ÍNDICE GENERAL 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 71 2.1. Grupo uniparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2. Existencia de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4. Unicidad de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.5. Grupo Uniparamétrico de un campo . . . . . . . . . . . . 84 2.6. Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.7. Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 92 2.7.1. Clasificación local de campos no singulares. . . . . 96 2.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.9. Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 103 2.10. Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 104 2.11. Método de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.12. Apéndice. La tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.14. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial 143 3.1. Tensores en un módulo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.2. Campos tensoriales en R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 148 3.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.6. El Lema de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.7. Aplicación. Factores de integración . . . . . . . . . . . . . 166 3.8. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.8.1. Tensor métrico del espacio euclídeo. . . . . . . . . 170 3.8.2. Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 172 3.8.3. Interpretación geométrica del rotacional. . . . . . . 174 3.8.4. Tensores de torsión y de curvatura. . . . . . . . . . 177 3.8.5. Tensores de una variedad Riemanniana. . . . . . . 178 3.8.6. El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.8.7. Movimiento de un sólido rígido. . . . . . . . . . . . 183 3.8.8. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.8.9. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.8.10. El tensor de deformación. . . . . . . . . . . . . . . 191 3.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.10. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
ÍNDICE GENERAL iii 4. Campos tangentes lineales 205 4.1. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.2. Existencia y unicidad de solución . . . . . . . . . . . . . . 209 4.3. Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.3.1. El sistema homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4.3.2. El sistema no homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . 219 4.4. Reducción de una EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.5. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.6. EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.7. Clasificación de campos lineales . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.8. EDL con coeficientes periódicos . . . . . . . . . . . . . . . 231 4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . 233 4.9.1. Caso homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 4.9.2. Caso no homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4.10. EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.10.1. Ecuación de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.11. EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 4.11.1. Ecuación de Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 4.12. Otros métodos para resolver EDL . . . . . . . . . . . . . . 245 4.12.1. Método de las potencias. . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.12.2. Método de Frobenius de las potencias. . . . . . . . 246 4.12.3. Método de la transformada de Laplace. . . . . . . 247 4.13. La Ecuación de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 4.14. Algunas EDL de la Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 4.14.1. Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4.14.2. Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4.14.3. Problemas de circuitos eléctricos. . . . . . . . . . . 262 4.14.4. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 4.15. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 4.16. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 5. Estabilidad 277 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.2. Linealización en un punto singular . . . . . . . . . . . . . 278 5.3. Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 280 5.4. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.5.1. Sistemas tipo “depredador–presa”. . . . . . . . . . 291 5.5.2. Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 294 5.5.3. Aplicación en Mecánica clásica. . . . . . . . . . . . 294
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598 Tema 8. EDP de orden superior.
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690 Tema 9. El problema de Cauchy (
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742 Tema 10. La Ecuación de Laplac
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906 Tema 12. Ecuación de ondas. El
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964 Tema 14. Integración en varied
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1000 Tema 14. Integración en varie
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1002 Tema 15. Variedades complejas
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1012 ÍNDICE ALFABÉTICO barrera, 8
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Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

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