Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 45
Solución.- Sea y(t) el número de bacterias que hay en el instante t
y x(t) el número de bacterias consumidas en el período (0, t), entonces
y(t) = y(0) + kt − x(t), x ′ (t) = ay 2 (t), x(0) = 0,
por tanto y ′ (t) = k − ay 2 , que corresponde al campo
∂
∂t + (k − ay2 ) ∂
∂y ,
que tiene uno forma incidente, para λ = k/a
y la solución es
−adt + dy
λ2
1 λ + y
= d log − at ,
− y2 2λ λ − y
λ + y
λ − y = c eλat λ + y(0)
, c =
λ − y(0) .
2.- Reproducción de bacterias. Se sabe que la velocidad de reproducción
de las bacterias es, cuando no hay demasiadas, casi proporcional al
número de bacterias, y cuando hay demasiadas estas influyen negativamente
y la velocidad de reproducción se hace negativa. Se plantea así la
siguiente ecuación
x ′ (t) = k1x(t) − k2x 2 (t),
con k1, k2 > 0, y k2 pequeño. El campo tangente asociado está en R y
en la coordenada x se escribe
D = (k1x − k2x 2 ) ∂
∂x .
Ejercicio 1.9.9 Demuéstrese que la velocidad de reproducción es máxima cuando
la población de bacterias tiene la mitad de su tamaño de equilibrio.
1.9.4. Problemas Físicos.
Ley de Galileo. Consideremos un cuerpo de masa 1. La ley de Galileo
nos asegura que en caída libre su aceleración x ′′ (t) es constante e igual
a g.