Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

416 Tema 6. Sistemas de Pfaff
K1 = C1. Para construir K2 tomamos para cada x ∈ K1 un abierto
Ux relativamente compacto (es decir con adherencia compacta). Por ser
K1 compacto podemos extraer un subrecubrimiento finito U1, . . . , Un,
y definimos K2 = ∪iUi ∪ C2, entonces K1 ⊂ ∪Ui ⊂ ◦
( K2). Ahora por
inducción construimos Kn en función de Kn−1 y el resultado se sigue.
Teorema 6.70 Dado un recubrimiento abierto Vi de una variedad V,
existe una partición de la unidad subordinada a él.
Demostración. En los términos del lema anterior para Kn consideremos
los compactos
C1 = K1, Cn = Kn\ ◦
( Kn−1)(n ≥ 2),
Los abiertos Vi recubren a C1 y a C2 y los Vni = Vi ∩ K c n−2 para
n ≥ 3 recubren a Cn. Aplicando (6.68), existen para cada n ∈ N,
Φn1, . . . , Φnm ∈ C ∞ (V), no negativas, con m dependiendo de n, tales
que en Cn, Fni = 1, y para n = 1, 2 y cada Φnj existe un abierto Vi,
que podemos llamar Vnj tal que sop(Φnj) ⊂ Vnj, y para n ≥ 3 y cada
Φnj existe un Vni, que podemos llamar Vnj, tal que sop(Φnj) ⊂ Vnj. Para
cada n ∈ N y cada i = 1, . . . , mn, Φni ≥ 0. Veamos ahora que sop(Φni)
es localmente finita.
Para cada x ∈ V existe n ≥ 3 tal que x ∈ ◦
( Kn). Ahora bien para
j ≥ n − 2 tenemos que Kn ⊂ Kj−2, por tanto
Vji = Vi ∩ K c j−2 ⊂ K c j−2 ⊂ K c n,
es decir que para j ≥ n − 2 tenemos
◦
K n ⊂ Kn ⊂ V c
ji ⊂ sop(Φji) c ,
de donde se sigue que sop(Φni)es localmente finita. Por último y como
consecuencia de lo anterior Φ = Fni ∈ C ∞ (V), además para cada
x ∈ V existe n ∈ N tal que x ∈ Cn y para algún i ∈ {1, . . . , m},
Φni(x) > 0, pues
Φn1(x) + · · · + Φnm(x) = 1.
Por tanto Φ(x) > 0 y basta considerar las funciones ϕni = (Φni/Φ) ∈
C ∞ (V).