Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

22 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Si E1 = E2, U ∪ V ⊂ W abierto y D ∈ Dk(W ) diremos que F deja
invariante a D si F lleva D en D, es decir si para cada x ∈ V
F∗Dx = D F (x).
Proposición 1.23 Sea F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2, de clase k + 1, D ∈ Dk(U)
y E ∈ Dk(V ). Entonces son equivalentes:
i) F lleva D en E.
ii) F∗D = F ∗ E.
iii) D ◦ F ∗ = F ∗ ◦ E.
Demostración. Hágase como ejercicio.
1.4.2. Campo tangente a soporte.
Consideremos una aplicación diferenciable (de clase ∞)
F : V ⊂ E2 −−→ U ⊂ E1.
Definición. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativo
a F , de clase k, a las derivaciones
con la regla de Leibnitz
D F : C ∞ (U) −−→ C k (V ),
D F (fg) = D F f · F ∗ g + F ∗ f · D F g.
Denotaremos con D F k (U) el Ck (V )–módulo de estos campos con las
operaciones
(D F + E F )f = D F f + E F f, (g · D F )f = g · D F f.
Nota 1.24 Si F es de clase r, podemos definir los campos a soporte de
clase k ≤ r como las derivaciones
D F : C ∞ (U) → C k (V ).
Definición. Dada la aplicación F de clase ∞, definimos los morfismos
de módulos
F∗ : D(V ) −−→ D F (U) , (F∗D)f = D(F ∗ f),
F ∗ : D(U) −−→ D F (U) , (F ∗ D)f = F ∗ (Df),